Příčinou povrchového napětí jsou kohezní mezimolekulární síly, které mají velice malý dosah. Uvnitř kapaliny se tyto síly vyrovnají, ale na povrchu se molekulová rovnováha naruší. Síly působí ve směru normály k povrchu a vytváří kohezní tlak. Díky tomuto tlaku se povrch snaží mít co nejmenší plochu (beztížný stav – koule, tíhové pole – kapka). Z hlediska mechaniky můžeme říci, že povrch dokáže přenést pouze tahové namáhání viz. obrázek výše (Maxwellův pokus). Míra tohoto namáhání je povrchové napětí σ[𝑁/𝑚]. Vztah pro výpočet povrchového napětí vychází z práce, kterou je schopna blána vykonat.
Povrchové napětí způsobuje v tenkých trubicích (kapilárách) vzlínání kapaliny. Vzlínání se projevuje buď jako kapilární elevace nebo kapilární deprese. Vše probíhá na rozhraní 3 látek – kapalina, plyn, stěna (pevný mat.). Na těchto rozhraních vznikají povrchová napětí – σ13, σ12 a σ32. Mezi nimi platí rovnováha. Zda se jedná o elevaci nebo depresi poznáme z okrajového úhlu φ. 𝑐𝑜𝑠φ =
𝜎13 − 𝜎23 𝜎12
Kde 1 ... vzduch (plyn) 2 ... kapalina 3 ... stěna Pokud φ ˃ 90° je tekutina nesmáčivá, která tvoří vypuklý meniskus a kapilární depresi (tekuté kovy) φ < 90° je smáčivá, vydutý meniskus a kapilární elevace (dobrá maziva) Výška elevace nebo deprese je h a její velikost viz. obrázek.
Statika tekutin se zabývá rovnováhou tekutiny a těles do ní ponořených. Makroskopické částice tekutiny jsou v klidu. Rozlišujeme absolutní klid, vzhledem ke všem okolním předmětům, a relativní klid, který je vztažený například k nádobě, ve kterém se tekutina nachází. Ta ovšem může konat pohyb vůči absolutnímu prostoru. Ve statice existují pouze tlakové síly. Tekutina v klidu nepřenáší smykové síly a tahové síly v tekutině neexistují. Primárně se snažíme najít matematický model rovnováhy. Určujeme rovnováhu sil a momentů. K jejich řešení musíme zavést vhodný souřadný systém. Základní sledovaná veličina ve statice je tlak. Ten musí působit ve směru normály k vytknuté elementární ploše, protože neexistují žádné smykové síly. Při práci s elementárním objemem nesmíme zapomínat, že jeho nejmenší hodnota je 1µm (u vzduchu za normálních podmínek).
Z tekutiny si vytkneme elementární hranol o rozměrech δx, δy a δz, který úhlopříčně rozřízneme. Sestavíme silovou rovnováhu do všech směrů (v ukázce chybí směr x, protože v něm nic nepůsobí). Poté uvažujeme pravou stranu rovnic za nulovou díky třem diferenciálům – velikost je zanedbatelná. Když dosadíme δz za δs.sinθ v první rovnici, můžeme ji celou vydělit δx.δz a zbyde nám výsledný vztah: py = ps Tento postup analogicky provedeme do všech směrů s získáme: pz = ps px = ps px = py = pz .... odtud plyne Pascalův zákon – Tlak kapaliny se šíří ve všech směrech stejně. Změnou tlaku kapaliny v jednom místě se změní tlak o tutéž hodnotu i v celém objemu. Tlak je skalár, nemá směr. (Pozor: tlaková síla je vektor, který má směr opačný k normále této plechy) Tohoto zákona se využívá v hydraulických zařízeních, kde pracujeme s jednoduchým: 𝐹 = 𝑝. 𝐴 a jelikož je p konstantní, můžeme psát:
𝑝=
𝐹 𝐹1 𝐹2 = = 𝐴 𝐴1 𝐴2
Objemovou sílu tvoří tíha tekutiny – γδXδYδZ. Kde γ je „měrná tíha“.
𝛾 = 𝜌𝑔 [𝑁/𝑚3 ] Setrvačné síly jsou ve statice nulové.
Tento vztah se používá pro výpočet rozdílů hydrostatického tlaku v nestlačitelné tekutině, na kterou působí tíhová síla. Dokazuje nám, že vliv na tlak v nádobě má pouze její hustota a výška kapalinného sloupce. Tento výrok se nazývá Pascalovo hydrostatické paradoxon, ačkoliv paradoxní není.
Vycházíme ze stavové rovnice ideálního plynu : 𝑝 = 𝜌𝑟𝑇, do níž za hustotu dosadíme vztah pro ∆𝑝 𝑔𝑝 𝑑𝑝 hydrostatický tlak: ∆𝑝 = ℎ𝜌𝑔. Dostaneme 𝑝 = ℎ𝑔 𝑟𝑇, dalšími úpravami - 𝑟𝑇 = 𝑑𝑧 . Stlačování uvažujeme jako izotermické.
Manometry pracují na principu porovnávání tlaku tekutiny s hydrostatickým tlakem kapaliny v U trubici nebo měří pohyb deformačního členu působením měřeného tlaku. Měří se s nimi rozdíl tlaků.
Barometrem se měří atmosférický tlak. Na obrázku je jednoduchý rtuťový barometr, v jehož uzavřené trubici je vakuum a výška hladiny h se mění dle tlaku, který působí na rtuť v nádobě.
Příklad výpočtu tlaku plynu A nebo B pomocí diferenčního manometru. Použije se Eulerovy rovnice statiky, zvolí se nejvhodnější řez (2-3) a vypočítá se tlak z levé a z pravé strany.
Máme nádobu s kapalinou v klidu, která začně přímočaře rovnoměrně zrychlovat zrychlením a. Na kapalinu působí gravitační zrychlení g. Výsledný setrvačný účinek aV bude působit pod úhlem θ od kolmice na původní tlakovou hladinu. Nové tlakové hladiny jsou nakloněné o stejný úhel θ od původní hladiny. 𝑑𝑝 = −√(𝑔 + 𝑎𝑧 )2 + 𝑎𝑥2 . 𝜌𝑑𝑠 𝑑𝑠 = 𝑑𝑧. 𝑐𝑜𝑠𝜃 . .
Při rotaci nesouměrné nádoby vyjdeme opět z Eulerovy rovnice statiky. Zvolíme si souřadnice – výšku z a její vektor k, poloměr r a vektor ir. Nádoba se otáčí úhlovou rychlostí Ω. Na tekutinu působí tíhové zrychlení g a normálové zrychlení a, jehož velikost je –rΩ2. Přírůstek tlaku ve směru z je roven měrné tíze –γ=ρg a ve směru r je ρa=ρΩ2r. Tyto přírůstky vynásobíme příslušnými vektory a vložíme do Eul. 𝑟2
rovnice statiky. Po zitegrování dostaneme tvar 𝑝 − 𝑝0 = −𝜌𝑔 + 𝜌Ω2 2 . Dostali jsme rovnici paraboly, je to rovnice konstantních tlakových hladin, pro p = p0 je to rovnice tvaru volné hladiny kapaliny.
Síla na rovnou, šikmou stěnu: 𝐹 = ∫ 𝑑𝐹 = ∫ 𝑝𝑑𝐴 = ∫ 𝜌𝑔ℎ 𝑑𝐴 = 𝜌𝑔sinθ ∫ ξdA = 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃ξ𝐶𝐺 𝐴 𝐴
𝐴
ξCG .... je souřadnice těžiště počítané plochy Stejný výpočet včetně atmosférického tlaku na dalším slidu.
𝐴
Tímto máme spočítanou působící sílu na plochu, ale ještě musíme zjistit polohu působení síly. Uvažujeme, že sledovaná plocha není symetrická, takže musíme zjistit souřadnice centra x i y. Souřadnice se zjišťují z rovnosti momentů sil k osám. 𝐹𝑦𝐶 = ∫ 𝑑𝐹 . ξ = ∫ 𝑝𝑑𝐴 . ξ = ∫ 𝜌𝑔 ξ𝐶𝐺 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝐴 . 𝑦 = 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ∫ 𝑑𝐴 . ξ2𝐶𝐺 = 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝐼𝑋 𝐴
𝐴
𝐴
Podobně pro xC: 𝐹𝑥𝐶 = 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝐷𝑥𝑦 Legenda: DXY=IXY ... Deviační moment plochy k osám x a y IX=IXX ... Kvadratický moment plochy k ose x Po upravení: 𝑦𝐶 =
𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝐼𝑋 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝐼𝑋 𝐼𝑋 𝐼𝑋 𝑠𝑖𝑛𝜃 = = = 𝐹 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃ξ𝐶𝐺 . 𝐴 ξ𝐶𝐺 . 𝐴 ℎ𝐶𝐺 𝐴 𝑥𝐶 =
𝐷𝑋𝑌 𝐷𝑋𝑌 𝑠𝑖𝑛𝜃 = ξ𝐶𝐺 . 𝐴 ℎ𝐶𝐺 𝐴
Pěkné matematické vysvětlení v Mechanika tekutin I, J. Linhart, 2009, ZČ, Plzeň, Strana 31. - Síla působící v bodě 2 na elementární plošku tělesa je větší než síla v bodě 1 díky rozdílné vzdálenosti od hladiny. Rozdíl těchto sil je roven tíze elementárního objemu mezi ploškami 1 a 2. Nadlehčovací síla je F=ρgV. Při ponoření tělesa současně do různých kapalin s různými hladinami, je vztlaková síla rovna součtu jednotlivých sil. Síla se počítá vždy na stejnou výšku hladiny a hustotu kapaliny.
Jestliže je vztlaková síla větší než tíha tělesa, vynoří se z kapaliny. Pokud je částečně ponořené, znamená to, že je vztlaková síla vznikající nadlehčováním ponořené části tělesa a tíha celého tělesa jsou v rovnováze. Plovoucí tělesa se nachází ve 4 různých stavech: 1) Rovnovážná poloha – Tíhová síla a vztlaková síla jsou kolineární a vzájemně se ruší 2) Stabilní poloha – Při vychýlení tělesa se toto samovolně vrací do původní rovnovážné polohy. Tam, kde vztlaková síla protíná osu symetrie leží metacentrum. Tento stav je stabilní, protože dvojice sil tvoří vratný moment, který se snaží těleso narovnat. Metacentrum leží nad těžištěm. 3) Nestabilní poloha – Při vychýlení tělesa se výchylka samovolně zvětšuje, až se těleso převrátí – nová rovnovážná poloha (stabilní). Metacentrum je pod těžištěm a výsledný převratný moment způsobí převrácení tělesa. 4) Indiferentní – Tíhová a vztlaková síla jsou kolineární, těleso setrvává ve vychýleném stavu, metacentrum je totožné s těžištěm.
