KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN

SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden Oefeningen met oplossingen

September 2013 C. Biront met medewerking van D. De Bock, A. Gheysen, A. Laeremans en T. Moons

Verantwoording Als je handelswetenschappen studeert, zal je vaak geconfronteerd worden met cijfermateriaal. De geproduceerde hoeveelheid van een goed, de prijs van dat goed, de totale, gemiddelde en marginale kosten, … zijn allemaal grootheden die met getallen uitgedrukt worden en waarmee gerekend kan worden, m.a.w. kwantitatieve grootheden. In heel wat situaties zijn de concrete getalwaarden van die grootheden niet gegeven omdat het veranderlijken (variabelen) of parameters zijn. In dat geval worden die grootheden voorgesteld door letters (hoeveelheid: q, prijs: p, …). Om de verbanden tussen die grootheden weer te geven, ontstaan uitdrukkingen met letters (die getallen voorstellen). We spreken van algebraïsche uitdrukkingen. Om die verbanden verder te analyseren moet met die algebraïsche uitdrukkingen gerekend worden. Om dat te kunnen, moet je over algebraïsche vaardigheden beschikken. In deze tekst herhalen we een aantal basisregels van de elementaire algebra1. Daarna illustreren we het gebruik van die regels met een aantal voorbeelden. Tot slot geven we opgaven (met de eindoplossingen) zodat je zelf kan oefenen. Door die oefeningen te maken leer je de juiste regels van de algebra toepassen en verwerf je de algebraïsche vaardigheden die als voorkennis voor je studie handelswetenschappen vereist zijn. We willen beklemtonen dat de algebraïsche vaardigheden geen doel op zich zijn maar een middel om o.a. (bedrijfs)economische en statistische problemen te analyseren. De cursussen wiskunde in de opleiding handelswetenschappen zijn dan ook helemaal niet te vergelijken met deze tekst. Ze zijn veel meer op toepassingen gericht. Deze tekst bevat (een deel van) de noodzakelijke voorkennis.

1

Het woord Algebra is afgeleid van het Arabisch woord Al-Jabr uit het rond 820 geschreven werk Hisab al-jabr w'al-muqabala van Abu Ja'far Muhammad ibn Musa alKhwarizmi. Met elementaire algebra bedoelen we het rekenen met letters en het manipuleren en oplossen van vergelijkingen. In de hedendaagse wiskunde heeft het woord Algebra een ruimere en abstractere betekenis gekregen. 1

1.

Uitwerken van haakjes en buiten haakjes brengen

VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING EN HAAKJES Het TEGENGESTELDE van een getal verkrijg je door DAT GETAL TE VERMENIGVULDIGEN MET −1.

a   1  a Een AFTREKKING kan je herleiden tot een OPTELLING, een DELING tot een VERMENIGVULDIGING. a  b  a   b   a   1 b a:b 

a 1  a b b

VERMENIGVULDIGINGEN moet je VÓÓR OPTELLINGEN uitvoeren. HAAKJES kunnen die volgorde veranderen. Je moet ze EERST uitwerken waarbij je weer VERMENIGVULDIGINGEN VÓÓR OPTELLINGEN moet uitvoeren.

Voorbeelden 1.

2  3  6   2  4  2  18   8  2  18  8  12

2.

2  3  6   2  4  5  6   8  30  8  22

3.

2  3  6   2  4  2  18   2  4  2  16  4  66









REKENREGELS Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt: a  b  c  d   a  b    c  d    a  b  c   d  ...  a   b  c   d  ... In een som van meerdere termen (gedurige som) mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.

a  b  c  d  c  a  d  b  ...  b  c  d  a  ... In een som van meerdere termen (gedurige som) mag je de volgorde van de termen om het even hoe wijzigen.

2

Uiteindelijk betekent dit dus: a   b  c   d   a  b    c  d   d   c  a   b  ...  c   a  d  b   ... In een som van meerdere termen (gedurige som) mag je de volgorde van de termen om het even hoe wijzigen en mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.

Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt: a  b  c  d   a  b    c  d    a  b  c   d  ...  a   b  c   d  ... In een product van meerdere factoren (gedurig product) mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.

a  b  c  d  c  a  d  b  ...  b  c  d  a  ... In een product van meerdere factoren (gedurig product) mag je de volgorde van de factoren om het even hoe wijzigen.

Uiteindelijk betekent dit dus: a   b  c   d   a  b    c  d   d   c  a   b  ...  c   a  d  b   ... In een product van meerdere factoren (gedurig product) mag je de volgorde van de factoren om het even hoe wijzigen en mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.

Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt ook: a  b  c   ab  ac

 a  b  c  ac  bc  a  b  c  d   a  c  d   b c  d   ac  ad  bc  bd   a  b    1 a  b    1 a   1 b  a   b   a  b Voorbeelden 1.

 a  7  b  3   c  d  2   a  7  b  3  c  d  2  a  b  c  d  7  3  2  a  b  c  d  7  3  2  a  b  c  d  12

2.

3  2  b   a   5  3  2  b  a   5  3  2   5  a  b





 3  2   5   a  b   30ab

3

3.





  a  b   1  1 a  b   1 1 a   1 b  a  b









  a  b   1 a   b   1 a   1 b   1 a   1 1 b  a  b

Praktische regel: als er een minteken voor een haakje staat mag je de haakjes en dat minteken weglaten op voorwaarde dat je alle tekens binnen de haakjes verandert. 4.





  6  a  c    2  b   5   3  d    6  a  c    2  b  5   3  d     6  a  c   3  b    3  d   6  a  c  3  b  3  d  a  b  c  d  12

5.

 







1  2 3 5   a  b   x  2y  1  2 3  5  a  b  x   2y



 1  2 15  3a  3b  3x  2y   1  30  6a  6b  6 x  4y   1  30  6a  6b  6 x  4y  29  6a  6b  6 x  4y

Bij meerdere paren haakjes begin je best met het uitwerken van de binnenste haakjes. 6.

3a  5b  4c   5a  2b   3a  5a  5b  2b  4c  3  5 a  5  2  b  4c  8a  7b  4c

7.

3 2x  3y  6   5  8x  5y  7   6 x  9y  18    40 x  25y  35   6 x  40x  9y  25y  18  35  46 x  34y  17

8.

 2  p  s  a  3b  2a   2 3 b  ap   3 bp  as   3 bs  2a  6b  ap  3bp  as  3bs

9.

In de vorige voorbeelden hebben we telkens haakjes weggewerkt. In veel toepassingen is het net nuttig om zoveel mogelijk factoren buiten haakjes te plaatsen:

3abc  6ac  30bc  3c  ab  3c 2a  3c  10b  3c  ab  2a  10b

4

Oefeningen 1.

2.

3.

Werk de haakjes uit en vereenvoudig. (a)

   x  y  3  2  z 

(b)

 r  s  3   2  s  r 

(c)

2 3 4  r  5s   3r  2 6  r  3   s  1

(d)

2 b   a  5  7a  3 a  5 b  2  a  3

(e)

 a  b 2  c    3  a  bc  1

 













 

Plaats zoveel mogelijk factoren buiten haakjes. (a)

5xyz  25xz  50z

(b)

3pr  12prst  24prt  33prs

Vul aan door de aangeduide factor buiten haakjes te brengen, vereenvoudig die factor en plaats indien mogelijk nog meer factoren buiten haakjes. (a)

2a  4b (x  2y)   4a  8b x  3y  z    a  2b...

(b)

a 2y  6z    b  c  2y  6z   b  4y  12z    y  3z ...

(c)

p r   s  t   pq 2r  2s  2t   r  s  t   r  s  t ...





Oplossingen 1.

(a) (b) (c) (d) (e)

x  y  z 5 5 18r  116s  68 43a  13b  80 3a  3b  3c  2ac  2bc  3

2.

(a)

5z  xy  5x  10

3.

(b)

3pr  1  4st  8t  11s 

(a)

2  a  2b  x  8y  2z 

(b) (c)

2  y  3z  a  b  c 

 r  s  t  p  2pq  1 5

2.

Rekenen met breuken

REKENREGELS Als a, b, c en d reële getallen zijn (en de getallen in de noemer verschillend van nul zijn), dan geldt: a ac  b bc a  1  a a   b  1  b b Teller en noemer mag je met eenzelfde getal vermenigvuldigen of door eenzelfde getal delen. a b ab   c c c a c a  d c  b ad  bc     b d bd d b bd b a b a  c b ac  b a      c 1 c 1c c c Breuken optellen: gelijknamig maken (gelijke noemers) en de tellers optellen.

a c ac ac    b d b  d bd b a b ab a    c 1 c c b b 1 b b    1     c c 1 c c b b 1 b b    1     c c 1 c c Breuken vermenigvuldigen: tellers vermenigvuldigen met elkaar én noemers vermenigvuldigen met elkaar.

6

a b  a  d  ad c b c bc d a a b  b  a1  a c c b c bc 1 a a a c ac  1    b b 1 b b c c Delen door een breuk: vermenigvuldig met de omgekeerde breuk

Voorbeelden

1.

2.

3.

2 2 2 2 2 1 2 4 2 1 2 4 1 8 3   3  1          4 3 3 4 1 3 3 4 1 3 6 3 4 3 2 4 1 4 1 8  2 1 16     6 32 6 6 1  16 15 15 5 3 5      6 6 6 2 2 3

a 3 b a5 x  z 32y  z bxy      2y 5x 10z 2y  5  x  z 5x  2  y  z 10z  x  y 5axz  6yz  bxy  10xyz 2rs  4 ps p  s 2s   r  2p  p  s 2s p  s 2s  r p  s        r  2p r r 1 r 1 r r r  2p 1



4.

x 1

5.

a y



x y a  y y



2rs   p  s  r



2rs  p  s r

x y x y xy  x    ya ya 1 ya ya y

De breuk uit vorig voorbeeld kan eenvoudiger als volgt berekend worden:

x 1

a y



xy xy xy   a ya  a 1    y y  y y y  1

7

Oefeningen Herleid tot één breuk (met één enkele breukstreep). Vereenvoudig indien mogelijk. Werk de tellers en de noemers uit. 1.

x  2y x  y  2z z

2.

x  2y a  b  2z 3

3.

x  2y 2z ab 2c

4.

5.

6.

2p 4p 2 x  3y x  3y 5 ab 1

a b

c 2 d

Oplossingen 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x x  2z 2z ax  bx  2ay  2by 6z cx  2cy az  bz 2x  3y 2 x  3y 5a  5b bd  ad bc  2bd

8

3.

Machten met gehele exponenten

DEFINITIES Als a een reëel getal is en n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1 geldt: an  a  a  a 

a

n factoren

1 (a  0) an a1  a a n 

a0  1 (a  0)

VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING, MACHTSVERHEFFING EN HAAKJES MACHTEN hebben VOORRANG op VERMENIGVULDIGINGEN. VERMENIGVULDIGINGEN hebben VOORRANG op OPTELLINGEN. Als er HAAKJES voorkomen, moet je die EERST uitwerken.

Voorbeelden 1.

2  32  3  2  2  9  62  18  36  54

2.

22   2    4  2  

2

2

0

32 2

1 2   1  2  4  8  3 2 1   1  4  4  1  18 1 18 1 19 19  4  4  1      18 18 18 18 18 2

3.

0



2a3  a2  3   2  a



2  1   1  3  3

2

2

 is voor a  1 gelijk aan:

 2   1 

2

  2  1  1  3  2

2

  2  1   3  21  2

1 12  1 11 12 11 23 23   2  1   3    3   3      4 4 4 4 4 4 4 

9

REKENREGELS Als a en b reële getallen zijn en r en s gehele getallen dan geldt (indien nodig wordt verondersteld dat a en/of b verschillend zijn van 0): ar  as  ar  s ar  ar  s s a

a  r

s

 ar s

 a  b

r

 ar  br

r

ar  a  b br  

Voorbeelden 1 1  4 625 5

1.

5 

2.

2 3    1  4

3.

3  23   28  1  1 2 2   2 28 256

4.

x 2  y 3  x 5  2y  y 3  2x 2  3y 2

2

2

 54 

2

2 4    3 1



2

8   3

 

2

2

2   8  1  32 9 3         2   3   64 8 8  





 2  x 2  x 5  y 3  y 1  2  3  x 2  y 3  y 2



 2  x 3  y 2  6  x 2  y 5 2 6y 5 2 6y 5  x  y 2 2  6 xy 7     x 3y 2 x2 x 3y 2 x2  x  y 2 x 3y 2



5.



      5x  5  y    2 x  8 x  2 x  3y   5y   2 x   5y   3y    5x  5y  2  8  x  x  2  3  x  y   5   2   y  x  5   3   y  y   5x  5y  16  x  6 xy    10 xy  15y 

5 x 2  y 2  2x 8x 1  3y  5y 2x  3y 2 2

2

2

2

2

2

1

2

1

0

2

3

 5x 2  5y 2  16  6 xy  10 xy  15y 3  15y 3  5x 2  5y 2  4 xy  16

10

Oefeningen Vereenvoudig zover mogelijk. Schrijf het resultaat als één breuk en zonder negatieve exponenten. 3

1.

 x 2y 3  x 4y    2x 

2.

a2 2a1b  32  b 4

3.

1 x2  2x 3 3y 1

4.

1  2x 2   2     x  y  1   y  4  x 1  y  

3

1

5.

(2 x)22  y 1    2  2y   3x 2    (Bij meerdere paren haakjes gebruiken we soms verschillende soorten haakjes.)

Oplossingen 1.

1 7 10 x 7y 10 x y  8 8

2.

18a  b3 18a  b3   9a2b3 9a2b3

3.

3  2x 5y 6x3

4.

x 3y 10  8 x 6 y 12

5.

y3 36

11

4.

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

REKENREGELS Als a, b, en c reële getallen zijn dan geldt: a  b  c   ab  ac

 a  b  c  ac  bc Als a en b reële getallen zijn, dan gelden de volgende MERKWAARDIGE PRODUCTEN:

 a  b    a  b   a  b   a2  2ab  b2 2  a  b    a  b  a  b   a2  2ab  b2  a  b  a  b   a2  b2 2

Een uitdrukking UITWERKEN betekent dat je ze als een SOM schrijft. Bovenstaande formules toepassen van links naar rechts is dus uitwerken. Een uitdrukking ONTBINDEN betekent dat je ze als een PRODUCT schrijft. Bovenstaande formules toepassen van rechts naar links is dus ontbinden.

Voorbeelden van uitwerken 1.





2 x 3x  2 x 2   4 x  5   x  y  x  y  2





 6 x 2  4 x 3   4 x   2  4 x  5  52  x 2  y 2 2

2

3

2

2

 6 x  4 x  16 x  40 x  25  x  y

2

 4 x 3  9 x 2  y 2  40x  25

2.

 a  b

3



  a  b   a  b   (a  b) a2  2ab  b2 1

2

2

2

2



2

 a  a  a  2ab  a  b  b  a  b  2ab  b  b  a3  2a2 b  ab2  a2b  2ab2  b3  a3  3a2 b  3ab2  b3

3.

 x 2y   2y x   2y x   2y x   3  5  5  3    5  3  5  3        2

2

4y 2 x 2  2y  x      3 25 9  5   

12

2

4.

2 2 a 1 b    b    2a  b    a    3 2 3 4  2  2 2  a  a b  a      2      b  b2    1 2a  b     3  2  3 12  2   2 2 2  a2 a b    ab  b2    1 2a  b    34 3 12  2 a2 2ab 2b2 a b      2a  b    6 3 3 3 12 2 2 a 2ab 2b a b     4a2  4ab  b2   6 3 3 3 12 a2 2ab 2b2 a b     4a2  4ab  b2   6 3 3 3 12 2 2 23a 14ab b a b      6 3 3 3 12





Voorbeelden van ontbinden









1.

2x 2  12x  18  2 x 2  6x  9  2 x 2  2  x  3  32  2  x  3

2.

2 4 b2 b b b  4a  ab   2a  2  2a       2a   3 9 3 3 3 

3.

a2  4ab  4b2  a  2b   a2  4ab  4b2   a  2b 

2

2

2

2





   a  2b    a  2b    a  2b     a  2b   1   a  2b 1  a  2b  2

4.

5.

x 1 x 1  x 2  2x  1   x 2  2x  1 2 2 2 x 1 1  3     x  1   x  1    x  1    x  1   x  2 2  2 





2   x 2  x x2 x x x   y2   y     y2   y      y2     y   2   2 4 2 2 2    x  x  x  x  x     y    y     y     y    y  1 2  2  2  2  2 

13

5.

Herhalingsoefeningen

Van de oplossingen worden soms twee vormen gegeven die aan elkaar gelijk zijn. Het volstaat in eerste instantie minstens één van die vormen te vinden (of nog een andere die er ook aan gelijk is). Bij het vergelijken van je antwoord met de opgegeven oplossing, moet je dan kunnen verklaren waarom de andere vorm(en) ook correct is (zijn). 1.

Elk van de uitdrukkingen in de linkerkolom is gelijk aan precies één uitdrukking in de rechterkolom. Plaats de gelijke uitdrukkingen bij elkaar. a.

ab ab

b.

 b  a 

c. d. e. f. g.

2.

2

ba ab a  b ab

b2  a2 a  b ab ab a  a2

A.

 a  b a  b

B.

  b  a b  a

C.



D.

  b  a

E.

 a  b

F. G.

h.

  b  a

i.

  a  b 

j.

ab  b2 a3  a2b

2

H. 2

I.

J.

ba a  b 2

2

b a2 ba b  a ba  ab ab ba

b 1  a 1 a a 1

Werk uit. Gebruik indien mogelijk merkwaardige producten. (a)

 x  5y 

 1  2x    x  y  x  y 

(b)

 a  12a  3b  8

(c)

3 x 3  x 2

(d)

 xy

2

(e)

p

 2q p2  2q

(f)

2  a2  a  4  a2 

(g)

 y  x  y  x 

2

2



2

3

 2x

2

 3x  4





2





2

14

3.

Ontbind in factoren. (a)

20xy 3  30xy 2 z  25xy 2 z 3

(b)

a2b3 ab2   ab 16 4

(c)

3 x y  3   x  y  

(d)

2x 2y 3  x  2y   4x 3y 3  x  2y 

(e)

4r 2 s  16rs5

(f)

25x3y12 z 4  15x5 z 8  40x 4y 2 z 4

(g)

5  a  b   20  a  b 

(h)

5x 4  40x3  80x2

(i)

36 A2  25

(j)

2p3  p2  2p  1

(k)

ax2  ay 2  bx2  by 2

2

4.

5.

2

2

3

Vul de juiste factor op de puntjes in. (a)

9a2  5a  9a  2

(b)

 a  b

 a  b 

(c)

 3x  2 

4x 4  4x 1  x   x  3 3

2

 3

3



2 1 a  b   3

 

Schrijf als één enkele breuk en ontbind teller en noemer van deze breuk zoveel mogelijk in factoren. (a)

(b)

1 a 1 1 a

y  xy x 2y y2 x 15

(c)

ab  c a  b  b  a ab  c

 x  5

2

(d)

2yz



y2 z3 x 2  25

(e)

4x  4 x 2y 3 x 1 x 3y

(f)

3 2  x  5 2x  1

(g)

5

(h)

a 1 a 1  a 1 a 1

(i)

5s s 1 1   2 s3 s s

(j)

b  a b b  a  a  b  

(k)

2  ab 1 1 2  a  2  b  ab   a  1 a  

(l)

x 2 3 5  x x2

(m)

1y 1 x  y x xy y

25 x 5

x

16

6.

De uitdrukking 1  x  2y  is gelijk aan één van de onderstaande 2

uitdrukkingen. Aan welke? Verklaar uw antwoord. (a)

1  x 2  2y 2

(b)

1  x 2  4y 2

(c)

1  x 2  2y 2

(d)

1  x2  4y 2

(e)

x2  4y 2  4xy  2x  4y  1

Oplossingen 1.

a en H; b en E; c en C; d en G; e en B; f en I; g en J; h en A; i en D; j en F

2.

(a)

2x2  10xy  24y 2  4x  1

(b) (c) (d)

2a2  3ab  10a  3b  8 6x5  15x 4  21x3  12x2 x2y 4  6xy 2  9

(e)

p4  4q2

(f) (g)

16  a4 x 4  2x 2 y 2  y 4

(a)

5xy 2 4y  6 z  5z 3

3.

(b) (c)





 ab  b 1 ab    1  ab ab2  4b  16 4  16  16 2 1 2 1  x  y   9  x  y   9  x  y  9x  9y  1   2





(d)

2x2y 3  x  2y  x  2y   2x 2y 3  x  2y  x  2y 

(e)

4rs r  4s4

(f)

5x 3 z 4 5y12  3x 2 z 4  8xy 2

(g)

5  a  b  1  4a  4b 

(h)

5x 2  x  4 

(i) (j) (k)









2

2

6 A  56 A  5  p2  1 2p  1  x  y  x  y  a  b

17

4.

(a) (b) (c)

5.

(a) (b) (c) (d)

a 1 x xy 2 c  ab ab  c  x  5 yz 2 2  x  5

(e)

4x y2

(f)

8x  13  x  52x  1

(g)

5x x 5

(h)



(i)

4s3  2s2  4s  3 s2  s  3 

(j) (k) (l) (m) 6.

a 5 9a    2 9 2 1 a  b  3  a  b   3 4 20 20x x 5  x 3 3 3

4a  a  1 a  1

ab a 2a  b a x3 6 x  10 1 x

De uitdrukking onder (e). Verklaring:

1  x  2y 

2

 1  x   2y   1  x   2  1  x   2y  2y   2

2

2

18