KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE
GUM: Vyjádření nejistot měření
Chyby a nejistoty měření -
V praxi nejsou žádná měření, žádné měřicí metody ani žádné přístroje absolutně přesné.
-
Výsledek měření se pohybuje v určitém rozmezí kolem skutečné hodnoty
-
Existují dvě koncepce práce se souborem naměřených dat
-
Starší – práce s chybami měření
-
Novější – standard – práce s nejistotami měření – jde o komplexnější posouzení měření, uvažujeme o nejistotách celého měřicího řetězce, který můžeme rozdělit na jednotlivé části: fyzikální jev- etalon kalibrační postup - měřidlo - rušivé vlivy při měření.
Základní pojmy chybové analýzy
-
Chyba měření je rozdíl mezi skutečnou hodnotou měřené veličiny a hodnotou zjištěnou měřením.
-
Přesnost – kvalitativní vyjádření blízkosti výsledků měření od skutečné hodnoty. Čím vyšší přesnost, tím užší interval naměřených hodnot
-
Rozlišení – nejmenší změny detekovatelné / zobrazitelné měřícím zařízením
-
Nejistota – kvantitativní rozsah hodnot, v němž mohou ležet skutečné hodnoty
-
Chyby měření Chyby dělíme do několika skupin (viz. další slide) Vyjadřují se buď v absolutních nebo relativních hodnotách
-
Absolutní chyba = naměřená hodnota – skutečná hodnota Např. při vážení 2 kg závaží, chyba 15g (= 0,015 kg)
-
Relativní chyba = absolutní chyba / skutečná hodnota Předchozí příklad – relativní chyba = 0,0075 = 0,75%
-
Klasifikace chyb Hrubé chyby – jsou zapříčiněny lidským faktorem – nepozornost, nesprávný výklad výsledků, výpočetní chyby, volba nevhodných měřících přístrojů nebo metod měření. Naměřené hodnoty se vyřazují z dalšího zpracování.
-
Systematické (soustavné) chyby – systematicky ovlivňují výsledek měření, při stálých podmínkách se nemění = stálá velikost, stejné znaménko. Jsou dány měřícími zařízeními a vnějšími vlivy působícími na měřící zařízení. Stanovení je možné z dokumentace, odhadem… Není-li udána, uvažujeme hodnotu jedné poloviny nejmenšího dílku měřidla.
-
Náhodné (statistické) chyby – vznikají působením neznámých nebo nepoznaných příčin. Jsou zjistitelné opakovaným měřením a statistickým zpracováním naměřených výsledků pomocí vhodných pravděpodobnostních rozdělení (např. Gaussovo).
Chyba měření x nejistota měření
Základní pojmy chybové analýzy – náhodné chyby - Průměrná hodnota (aritmetický průměr)
-
Náhodnou chybu vyjadřuje odchylka Výběrová směrodatná odchylka (směrodatná odchylka výběrového souboru)
-
Směrodatná odchylka aritmetického průměru – používána méně často
-
-
Grafické znázornění výsledků Graf s průměrnými hodnotami a vyznačenými chybovými úsečkami – směrodatná odchylka, chyba vyjádřená procentuálně, … Proložení naměřených dat zatížených chybou – metoda nejmenších čtverců, spline, lineární filtrace, …
-
2.4
Thermal conductivity [Wm-1K-1]
-
Příklad 1 – Grafické znázornění výsledků Měření součinitele tepelné vodivosti vápenné omítky s přídavkem cihelného prachu λ [Wm-1K-1] v závislosti na obsahu vlhkosti w [m3m-3] nestacionární metodou přístrojem ISOMET 2104. Přesnost udávaná výrobcem: ±10% z naměřené hodnoty v rozsahu 0.70 - 6.0 Wm-1K-1) Graf je doplněn o teoretické meze a Lichteneckerův model Measured data Wiener's parallel bound
Wiener's serial bound Lichtenecker's model k=0.27
2 1.6 1.2 0.8 0.4 0 -0.01
0.09
0.19
Volumetric moisture content
0.29
[m3 m-3]
0.39
-
Příklad 2 – Grafické znázornění proložení dat Měření profilů vlhkosti (destilovaná voda, KNO3) a koncentrace soli (KNO3) v pískovci + proložení – lineární filtrace Volumetric moisture content [m 3/m3]
0,36 0,32 0,28 0,24 0,20
Smoothed data Measured data
0,16 0,12 0,08 0,04 0,00 0,0001
0,0006
0,0011
0,0016
0,0021
0,0026
x/√t [m/s1/2]
0,30
Smoothed data Measured data
0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,0000
0,0005
0,0010 x/√t [m/s
0,0015
1/2
]
Concentration of nitrates C t [kg/m3] sample
Volumetric moisture content [m 3/m3]
0,35
0,0020
30,00
25,00
20,00
Smoothed data Measured data
15,00
10,00
5,00
0,00 0,0000
0,0005
0,0010 x/√t [m/s1/2]
0,0015
0,0020
Opakování měření
-
při opakování měření (Obr. 1) se výskyt naměřených hodnot blíží Gaussovu (normálnímu) rozdělení (Obr. 2)
-
čím je měření přesnější, tím je Gaussova křivka užší
-
Obr. 2 křivka a) - nejpřesnější, c) – nejméně přesné měření
Obr. 1
Obr. 2
GUM Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement •
•
•
Žádné měření není exaktní, výsledek závisí na měřícím systému, postupu měření, zkušenosti operátora, okolním prostředí a dalších vlivech Pro sjednocení vyjadřování chyb navrhla The Comite International des Poids et Mesures (CIPM) v roce 1993 pravidla pro stanovení nejistoty měření GUM. Definice chyby měření Chyba = naměřená hodnota – skutečná hodnota
•
Protože skutečná hodnota není známa, není ani chyba známa. Je vhodné navrhnout parametr (nejistota měření = uncertainty), který je možné stanovit na základě znalosti experimentálních dat a chyb měření použitých přístrojů a metod. Platí: Výsledná hodnota = nejpřesněji stanovená hodnota ± nejistota
Postup provádění GUM analýzy
Rozdělení pravděpodobností spojené s nejistotami měření typu A -
Pro standardní nejistoty typu A (náhodné chyby) je charakteristické Gaussovo (normální) rozdělení
-
Pravděpodobnost, že se měření nachází v daném intervalu průměr ± odchylka cca 68% - xi ± 1d cca 95% - xi ± 2d cca 99% - xi ± 3d
GUM – standardní nejistoty typu A
•
GUM rozeznává dva typy standardních nejistot – A, B
•
Standardní nejistoty typu A jsou stanoveny s využitím statistické analýzy sérií experimentálních měření. V případě opakování měření a jejich vzájemné nezávislosti je možné stanovit výběrovou směrodatnou odchylku. Počet nezávislých měření by měl být minimálně 10 (n ≥ 10).
•
V případě, že je měření prováděno méně než 10x, je do výpočtu třeba zanést korekční koeficient k.
kde n je počet měření, k korekční koeficient
Standardní nejistota A – přímé měření veličiny
•
•
Stanoví se pro veličinu, která není závislá na dalších veličinách – např. stanovení standardní nejistoty typu A při vážení vzorku, přímém měření teploty, … Stanovení výběrového průměru průměrná hmotnost
•
Stanovení směrodatné odchylky průměrů = standardní nejistota typu A
výběrových
směrodatná odchylka hmotností •
V případě malého počtu měření korekce
Rozdělení pravděpodobností spojené s nejistotami typu B -
-
Pokud není statistické rozdělení známo, GUM doporučuje použít obdelníkové rozdělení (typické pro nejistoty typu B) xi ± d
obdelníkového rozdělení je porovnání s normálním (Gausovým) rozdělením nižší 58% vs. 68%, z toho vyplývá vyšší nejistota
GUM – standardní nejistoty typu B
• •
• •
•
Standardní nejistoty typu B Jsou způsobeny známými a odhadnutelnými příčinami vzniku např. nedokonalými měřicími přístroji, použitými měřicími metodami, nepřesnými hodnotami konstant, způsobem vyhodnocení. Jejich identifikaci a základní hodnocení provádí experimentátor. Jejich určování nebývá vždy jednoduché. U složitých měřicích zařízení a při zvýšeném požadavku na přesnost se musí se provést podrobný rozbor chyb, což vyžaduje značné zkušenosti. Tyto nejistoty pocházejí z různých zdrojů a výsledná nejistota typu B je dána jejich sumací - přitom nezávisí na počtu opakovaných měření.
GUM – standardní nejistoty typu B
•
V případě použití digitálních přístrojů MAE (maximum admissible error), v případě analogových měřících zařízení r (resolution).
•
Výsledná standardní nejistota typu B zahrnuje nejistoty typu B celého měřícího procesu.
•
Hodnota m závisí na druhu rozdělení: m = 2 pro normální rozdělení m = 1,73 pro rovnoměrné rozdělení m = 2,45 pro trojúhelníkové rozdělení.
GUM – kombinovaná nejistota, rozšířená nejistota
•
Kombinovaná nejistota sdružuje nejistoty typu A a B
•
Rozšířená nejistota ku = 1 – pro 68% úroveň pravděpodobnosti ku = 2 – pro 95% úroveň pravděpodobnosti ku = 3 – pro 99% úroveň pravděpodobnosti
•
Finální zápis výsledku
•
• •
•
Příklad – přímé měření teploty Měření teploty v místnosti běžným lihovým teploměrem, na který nepůsobí výrazné negativní vlivy. Přesnost je definována jako chyba odečítání teploty o velikosti jednoho dílku stupnice, tj. ±1°C. Předpoklad: teplotní pole je v měřeném prostoru homogenní, potom není nutné uvažovat další korekce
Krok 1 – provedení dostatečného počtu měření – 10. Z ilustračních důvodů bylo provedeno 9 měření – nutnost zavedení korekčního koeficientu
Příklad – měření teploty – nejistota typu A Měření
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Teplota °C
25
24
23
24
27
26
25
24
26
•
= 224 / 9 = 24,9 °C
Měření
1
2
3
4
5
6
7
8
9
yi - yavg
0,1
-0,9
-1,9
-0,9
2,1
1,1
0,1
-0,9
1,1
Měření
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(yi – yavg)2 0,01 0,81 3,61 0,81 4,41 1,21 0,01 0,81 1,21
• •
= √(12,89 / 9 x 8) = 0,42 °C Nejistota typu A s korekcí = 0,42 x 1,2 = 0,5 °C
•
•
Příklad – měření teploty – nejistota typu B Standardní nejistota typu B má při daném zjednodušení jediný zdroj – chyba odečítání hodnoty ± 1 °C. Předpoklad pravoúhlého rozdělení = 1 / √3 = 0,58 °C
•
Kombinovaná nejistota = 0,76 °C (interval nejistoty 68%)
•
Rozšířená nejistota – 95% - 1,52 °C – 99% - 2,28 °C
•
t = 24,9 ± 1,52 °C s 95% pravděpodobností
Příklad stanovení nejistoty gravimetrického měření (nepřímá veličina)
-
Jednoduchá metoda používaná pro stanovení objemové hmotnosti založená na měření hmotnosti a rozměrů (3) vzorků pravidelného tvaru
-
Díky pravidelnému tvaru je možné jednoduše spočítat objem vzorků
-
Při laboratorních měřeních se používají vzorky tvaru krychle, kvádru, válce
-
Kromě výsledné hodnoty odvozené z dostatečného počtu měření je nutné stanovit i chybu/nejistotu měření
Postup stanovení nejistoty měření dle GUM (stanovení objemové hmotnosti) •
Naměřené hmotnosti a rozměry vzorků pórobetonu P4-500 (10x10x10 cm) Hmotnost suchého vzorku
•
Rozměry
m (0,5) [kg]
a (0,1) [m]
b (0,1) [m]
c (0,1) [m]
0,49 0,50 0,50 0,48 0,51 0,50 0,50 0,51 0,52 0,49
0,09 0,10 0,10 0,09 0,10 0,10 0,09 0,10 0,11 0,10
0,11 0,10 0,10 0,10 0,09 0,10 0,10 0,10 0,10 0,09
0,10 0,09 0,10 0,10 0,10 0,10 0,11 0,11 0,10 0,10
Chceme stanovit objemovou nejistoty jejího stanovení
hmotnost
včetně
Postup stanovení nejistoty měření dle GUM – typ nejistoty A (stanovení objemové hmotnosti) • •
Výpočet průměrů veličin xi – m [kg], a [m], b [m], c [m] Výpočet průměrné hodnoty objemové hmotnosti z průměrů – m [kg], a [m], b [m], c [m]
•
Výpočet nejistot měření A naměřených veličin u A xi uA(m) [kg], uA(a) [m], uA(b) [m], uA(c) [m] podle vztahu
•
Podle počtu naměřených hodnot se nejistota uA(xi) násobí koeficientem kA – korekce pro menší počet opakovaných měření. Nejistota měření pro 10 a více hodnot je rovna 1 a nemění se.
Postup stanovení nejistoty měření dle GUM – typ nejistoty A (stanovení objemové hmotnosti) -
V případě stanovení nejistoty závislé veličiny uA(y) (v našem případě objemová hmotnost rv) se počítají citlivostní koeficienty jako derivace závislé veličiny podle jednotlivých veličin (hmotnost, 3x rozměr = 4 citlivostní koeficienty Am, Aa, Ab, Ac)
•
Nejistota typu A závislé veličiny rv(m,a,b,c) je vyjádřena odmocninou součtu kvadrátů citlivostních koeficientů a nejistot jednotlivých veličin podle vztahu
Postup stanovení nejistoty měření dle GUM – typ nejistoty A ( stanovení objemové hmotnosti) •
Výpočet citlivostních koeficientů podle
•
Ai se počítá dosazením průměrných hodnot do parciálních derivací = průměrná hmotnost, průměrná délka a, průměrná délka b, průměrná délka c rv
r v 1 m abc
rv m 2 a a bc
m abc
rv m 2 b ab c
rv m c abc2
GUM – měření “nezatížené” chybou
• • •
Nejistota typu A – 0,00 kg/m3 Nejistota typu B – 0,05 kg/m3 Rozšířená nejistota (95%) – 0,1 kg/m3
GUM – měření zatížené chybou
• • •
Nejistota typu A – 17,24 kg/m3 Nejistota typu B – 0,05 kg/m3 Rozšířená nejistota (95%) – 34,48 kg/m3
Postup stanovení nejistoty měření dle GUM – typ nejistoty B (stanovení objemové hmotnosti) -
V případě stanovení nejistoty typu B pro objemovou hmotnost je třeba vzít v úvahu chybu měření způsobenou vážením a měřením tří délek posuvným měřítkem – informace od výrobce
digitální měřáky analogové měřáky
-
Šuplera EXTOL 3427 digitální – MAE = 0,01 mm
-
Váha OHAUS Adventurer Pro AV4102CU digitální – MAE = 0,01 g
Postup stanovení nejistoty měření dle GUM – typ nejistoty B ( stanovení objemové hmotnosti) -
-
-
Následně je z nejistot typu B pro vážení a měření délek potřeba stanovit nejistotu typu B pro stanovení objemové hmotnosti Je třeba spočítat citlivostní koeficienty Ai (stejný výpočet jako v případě chyb typu A – parciální derivace)
1. term – nejistoty vznikající použitím měřících zařízení 2. term – nejistoty ovlivňující stanovení veličiny y způsobené jinými vlivy (expertní odhady, dokumentace)
Postup stanovení nejistoty měření dle GUM -
Kombinovaná nejistota (celková standardní nejistota) – příspěvky všech nejistot typu A a B
-
Rozšířená nejistota – výsledná nejistota výsledku
c = 1 – pro 68% úroveň pravděpodobnosti c = 2 – pro 95% úroveň pravděpodobnosti c = 3 – pro 99% úroveň pravděpodobnosti -
Finální zápis výsledku
GUM [1]
Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM). BIPM/IEC/IFCC/ISO/IUPAC/IUPAP/OIML, 1993 zavedena v ČSN P ENV 1305:2005 (01 4109) Pokyn pro vyjadřování nejistoty měření.
TNI 01 4109-1, Kat. čís.: 87625, Vydána: 6.2011 Nejistota měření - Část 1: Úvod k vyjadřování nejistot měření (Pokyn ISO/IEC 98-1) Uncertainty of measurement - Part 1: Introduction to the expression of uncertainty in measurement TNI 01 4109-3, Kat. čís.: 87624, Vydána: 6.2011 Nejistoty měření - Část 3: Pokyn pro vyjádření nejistoty měření (GUM:1995) (Pokyn ISO/IEC 98-3) Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement(GUM:1995) TNI 01 4109-3.1, Kat. čís.: 87622, Vydána: 6.2011 Nejistota měření - Část 3: Pokyn k vyjádření nejistoty měření (GUM 1995) Doplněk 1: Šíření rozdělení užitím metod Monte Carlo (Pokyn ISO/IEC 98-3/Doplněk 1) Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method TNI 01 4109-4,Kat. čís.: 87623, Vydána: 6.2011 Nejistota měření - Část 4: Úloha nejistoty měření při posuzování shody Uncertainty of measurement - Part 4:Role of measurement uncertainty in conformity assessment …
ÚLOHA Stanovte nejistotu měření obsahu vlhkosti
Hmotnosti stanovte 3mi měřeními Rozměry stanovte 7mi měřeními Pro stanovení nejistot použijte korekční koeficient k (počet měření dané veličiny < 10)
