KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE
123TVVM – homogenizace (směšovací pravidla)
Homogenizace Stavební materiály jsou z hlediska zastoupení dominantních složek několikafázové systémy: Dvoufázové – matrice, vzduch (póry) Třífázové – matrice, vzduch (póry), voda (v pórech) Čtyřfázové – matrice, vzduch, volná voda, vázaná voda Každá fáze má jiné vlastnosti a je velmi složité provádět počítačové simulace v heterogenním systému. Proto se provádí vhodná náhrada heterogenního systému systémem homogenním a vlastnosti jednotlivých fází se nahradí tzv. efektivní vlastností materiálu
Vícestupňová homogenizace I na stavební konstrukce je možné pohlížet jako na vícefázové soustavy. Např. cihelné zdivo – fáze 1, cementová malta – fáze 2 Kamenné zdivo (opuka) – fáze 1, vápenná malta – fáze 2 V takovém případě je možné provést homogenizaci v několika krocích. Nejprve jednotlivé fáze 1. složka – matrice, póry, voda v cihelném zdivu 2. složka – matrice, póry a voda v cementové maltě Stanoví se jejich efektivní vlastnost V dalším kroku je možné uvažovat zhomogenizovanou dvoufázovou směs složenou z cihelného zdiva a malty. Provede se finální homogenizace těchto dvou složek.
Jaké vlastnosti nás zajímají Z hlediska stavební praxe jsou to zejména: Dielektrické vlastnosti – relativní permitivita εr [-] – při volbě vhodného modelu je možné připravit kalibrační křivky pro metodu TDR a přepočítat naměřenou relativní permitivitu na obsah vlhkosti
Tepelné vlastnosti – součinitel tepelné vodivosti λ [W m-1 K-1] – je možné získat představu o tepelných vlastnostech vícefázového materiálu na základě znalosti vlastností jednotlivých komponent.
Teoretické meze -
-
Wienerovy meze - odvozeny pro elektrické vlastnosti – permitivita, konduktivita – paralelní = minimum – sériová = maximum Hashin-Shtrickmanovy meze – odvozeny pro magnetické vlastnosti, zužují Wienerovy meze
a) Maximální efektivní elektrická vlastnost kompozitu při působení elektrického pole paralelně k vrstvám materiálu – Wienerův sériový model b) Minimální efektivní vlastnost kompozitu při působení elektrického pole působícího kolmo k vrstvám materiálu – Wienerův paralelní model.
Teoretické meze -
Dvoufázové soustavy – matrice, vzduch
-
Wienerův sériový model
ε eff = f aε a + (1 − f a )ε m -
Wienerův paralelní model
ε eff =
ε aε m f aε m + (1 − f a )ε a
-
Třífázové soustavy – matrice, vzduch, voda
-
Wienerův sériový model
ε eff = f1ε1 + f 2ε 2 + f 3ε 3 -
Wienerův paralelní model
ε eff =
f1
ε1
+
1 f2
ε2
+
f3
ε3
Teoretické meze Ke zpřesnění Wienerových mezí přispěli Hashin a Shtrikman (1963) mezemi odvozenými pro statické magnetické pole. Díky podobnosti elektrostatických a statických magnetických úloh byla jejich platnost zobecněna i pro dielektrické vlastnosti materiálů a později i pro vlastnosti tepelné.
ε eff ,1 = ε m +
fa f 1 + a ε m − ε a 3ε a
ε eff , 2 = ε a +
1− fa f 1 + a ε m − ε a 3ε a
Zobecnění pro n fází ε eff ,max = ε n + n −1
∑ i =1
3ε n 1 −1 εi − εn fi 2ε n + ε i
ε eff ,min = ε 1 +
při ε1 < ε2 < C < εn
n
∑ i=2
3ε 1 1 −1 ε i − ε1 fi 2ε 1 + ε i
Teoretické meze
Dvě hlavní skupiny směšovacích pravidel Maxwell-Garnettův model x Bruggemanův model Maxwell pohlížel na heterogenní směs jako na jednu spojitou fázi (matrice, host, matrix), do které jsou přidány částice kulového tvaru takzvané inkluze, které se vzájemně nepřekrývají a neshlukují. Matrice a inkluze mají rozdílné permitivity, εe (v případě stavebních materiálů jde o relativní permitivitu matrice εm) a εi (v případě stavebních materiálů jde o relativní permitivitu vzduchu εa). Pro obě fáze je známé objemové zastoupení inkluzí f (tzv. filling factor, který je v případě stavebního materiálu rovný objemovému zastoupení vzduchu fa). Matrice fm vyplňuje zbytek objemu a platí fm = 1 – f.
ε j −εm ε eff − ε m 3 = ∑ j =2 f j ε eff + 2ε m ε + 2 ε j m
Dvě hlavní skupiny směšovacích pravidel Maxwell-Garnettův model x Bruggemanův model neboli EMA (Effective Medium Approximation) EMM (Effective Medium Model) Obrácený pohled na věc Všechny fáze (matrice, inkluze) jsou rovnocenné Základem je efektivní hodnota vlastnosti heterogenního materiálu. Jak matrice, tak inkluze způsobují odchylku od této efektivní hodnoty
ε j − ε eff fj =0 ∑ ε j + 2ε eff j =1 n
n rovnocenných fází
Další vylepšení modelů -
místo kulových inkluzí se uvažují inkluze ve tvaru elipsoidů uvažuje se směs inkluzí různých vlastností uvažují se vícevrstvé inkluze
Protože jsou modely většinou odvozené pro elektrické vlastnosti (následně zobecněné pro další vlastnosti), tvar inkluze je možné popsat depolarizačním faktorem.
Další vylepšení modelů Depolarizační faktor je vektor – v 3D prostoru popsaný třemi složkami V případě, že je elipsoid umístěn ve vnějším homogenním elektrickém poli Ee působícím paralelně k ose x, působí i vnitřní pole Ei paralelně k ose x a vztah platný pro kulové inkluze je možné zobecnit z
A=
Ei 3ε e = Ee ε i + 2ε e
na
Ei εe A= = Ee ε e + N x (ε i − ε e )
kde A je poměr mezi vnitřním Ei a vnějším elektrickým polem Ee v částicích eliptického tvaru. Pro kulové inkluze platí {Nx, Ny, Nz} = {1/3; 1/3; 1/3} Pro diskové inkluze {Nx, Ny, Nz} = {1, 0, 0} – deska v rovině x Pro jehlové inkluze {Nx, Ny, Nz} = {0, 1/2 , 1/2 } – jehla – tenký válec
Další vylepšení modelů Zobecněním Bruggemanova pravidla pro různé tvary inkluzí byla vytvořena Polder van Santenova pravidla
ε eff = ε m + ∑ j =2 f j (ε j − ε m ) ⋅
3ε eff
3
ε eff = ε m + ∑ j = 2 f j (ε j − ε m ) ⋅ 3
ε eff = ε m + ∑ j =2 f j (ε j − ε m ) ⋅ 3
2ε eff + ε j 5ε eff + ε j
3ε eff + 3ε j
2ε j + ε eff 3ε j
pro kulové inkluze
pro jehlové inkluze
pro deskové inkluze
Obecně
ε eff = ε m
+ ∑ f ⋅ (ε j
j
−εm
)⋅ K
j
1 x, y,z Kj = ⋅ ∑ 3 i= x
Kj je tzv. tvarový faktor, Ni depolarizční faktor
1 εj 1+ − 1 ⋅ N i ε eff
Další vylepšení modelů Jiným směrem se ubírá další skupina směšovacích pravidel tzv. Lichteneckerův směšovací model - mocninný model, power raised model Základem je Wienerova mez, která je zobecněna pomocí mocninného koeficientu - ten jistým způsobem vyjadřuje geometrii uvnitř materiálu resp. natočení inkluzí v prostoru pro dvě fáze platí
ε effβ = f a ε aβ + (1 − f a )ε mβ pro tři fáze – matrice (matrix), voda (water), vzduch (air) platí
ε eff = [ f wε wβ + (1 − f a )ε mβ + ( f a − f w )ε aβ ]β
1
Dle koeficientu β jsou pojmenované jednotlivé modely β = 0,5 Birchakův model, β = 0,33 Looyengův model, β = 1 sériová Wienerova mez, β = - 1 paralelní Wienerova mez
Jak lépe vystihnout geometrii materiálu? - u předchozích směšovacích pravidel není jasně definovatelný vztah mezi vstupními parametry a geometrií materiálu. - Existují dvě reprezentace, které geometrii materiálů popisují pomocí tzv. distribuční funkce g(L) Efektivní médium dle Bergmana – odvozeno pro dvě fáze, nerozšiřitelné pro více fází – nevhodné pro stavební materiály. využívané např. pro odhad vodivosti kompozitů – el. nevodivá nekovová matrice, elektricky vodivý pokovující materiál. Stanovení minima vodivého materiálu potřebného k dostatečné výsledné vodivosti kompozitu – ušetření nákladů na výrobu Bergmanův zápis sleduje linii Maxwell Garnettova modelu
1 g (L ) dL ε eff = ε m 1 + f a ∫ ε m 0 +L εa −εm pro izotropní materiály navíc platí
1
∫ g (L )dL = 1 0
1
∫ Lg (L )dL = 0
1− fa 3
Jak lépe vystihnout geometrii materiálu? Efektivní médium dle Goncharenka – Goncharenko zobecnil rovnici pro výpočet efektivní hodnoty sledované veličiny na tří- a vícefázové systémy. Tento přístup je vhodný pro porézní stavební materiály. n
∑ i =1
1
fi ∫ 0
P( L) dl = 0 si + L
ε eff , kde si = ε i − ε eff 1
P(L) – distribuční funkce, omezující podmínka
∫ P( L)dL = 1 0
Goncharenko sleduje linii Bruggemanova modelu Do Bergmanovy notace g(L) i Goncharenkovy notace P(L) mohou být za distribuční funkci dosazena stejná distribuční rozdělení. V obou případech popisují mikrogeometrii kompozitu, tedy jeho mikrostrukturu.
Jak vytvořit distribuční funkci? -
použitím matematického aparátu – beta (gama) funkce – teoretické – nejsou založeny na reálné struktuře materiálů
-
použitím měřitelné křivky vystihující vnitřní strukturu materiálů – možností je normalizovaná distribuční křivka pórů, tak aby vyhovovala omezující podmínce 1
∫ P( L)dL = 1 0
Distribuční křivka pórů je dobře měřitelná veličina pomocí metody rtuťové nebo plynové porozimetrie. Udává závislost objemového zastoupení pórů na daném průměru pórů
Kalciumsilikát – relativní permitivita Objemová hmotnost
Otevřená pórovitost
Součinitel tepelné vodivosti suchého materiálu
Faktor difúzního odporu
[kgm-3]
[%] [m3m-3]
[Wm-1K-1]
[-]
230
87 (0,87)
0,063
2,6
Kalciumsilikát – relativní permitivita Složka
Popis
Relativní permitivita er [-]
Matrice
Pevná složka materiálu vypočtená dle Rayleighova směšovacího pravidla
7,98
Vzduch
Výplň otevřených pórů v suchém materiálu
1
Voda
Voda vyplňující otevřené póry materiálu
80
Kalciumsilikát – relativní permitivita
Geometrie popsaná pomocí Polder van Santenovými směšovacími pravidly
Kalciumsilikát – relativní permitivita
Velmi dobrá shoda naměřených hodnot s výsledky získanými pomocí distribuční funkce. Je možné tuto vlastnost predikovat bez nutnosti měření.
Cihelný střep – Heluz Family 50 – součinitel tep. vod. Složka
Matrice
Popis Pevná složka materiálu – extrapolace dat
[Koronthályová and Matiášovský, 2007]
Součinitel tepelné vodivosti l [W m-1 K-1]
1,58
Vzduch
Výplň otevřených pórů v suchém materiálu
0,0262
Voda
Voda vyplňující otevřené póry materiálu
0,6071
Cihelný střep – Heluz Family 50 – součinitel tep. vod.
Extrapolace naměřených dat součinitele tepelné vodivosti v závislosti na pórovitosti. Hodnota pro matrici odpovídá pórovitosti 0% - [Koronthályová and Matiášovský, 2007]
Cihelný střep – Heluz Family 50 – součinitel tep. vod.
Dobrá korelace s měřenými daty – vždy jen pro určitou oblast obsahu vlhkosti
Cihelný střep – Heluz Family 50 – součinitel tep. vod.
Varianta s distribuční funkcí lépe sleduje trend závislosti součinitele tepelné vodivosti na obsahu vlhkosti
Mšenský pískovec – součinitel tepelné vodivosti Složka
Popis
Součinitel tepelné vodivosti l [W m-1 K-1]
Matrice
Pevná složka materiálu - křemen (SiO2) měřeno kolmo na osu c - [Lide, 1999], snížené v důsledku vlivu mikrokrystalické fáze
5,1
Vzduch
Výplň otevřených pórů v suchém materiálu
0,0262
Voda
Voda vyplňující otevřené póry materiálu
0,6071
Mšenský pískovec – součinitel tepelné vodivosti
Pro vyšší obsah vlhkosti se naměřené hodnoty blíží sériové Wienerově mezi
Mšenský pískovec – součinitel tepelné vodivosti
Velmi dobré výsledky modelu s distribuční funkcí. Pro nejvyšší vlhkosti však model nevykazuje dostatečnou přesnost
Závěr Použití distribučních funkcí ve formě výstupu z porozimetrických měření se zdá být perspektivní. Využití distribučních funkcí pro predikci vlastností heterogenních materiálů není v současné době dostatečně prozkoumáno – a to ani v jiných vědních disciplínách. Výstupem mohou být křivky uložené v měřících zařízených. Měřená elektrická veličina může být pomocí uložené křivky přepočítána na obsah vlhkosti.
