KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 2015/2016
Zpracoval: Schválil: Dne: pod č. j.:
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy 24. 4. 2014 MSMT-6858/2014-CERMAT
1
KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 2015/2016
Zpracoval: Schválil: Dne: pod č. j.:
Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy 24. 4. 2014 MSMT-6858/2014-CERMAT
2
Obsah Úvod ............................................................................................................................................... 5 Požadavky na vČdomosti a dovednosti, které mohou být ovČĜovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky .......................................................................................... 6 ýást A – Kompetence ..................................................................................................................... 6 ýást B – Tematické okruhy ............................................................................................................ 7 ýást C – Základní specifikace povinné zkoušky z matematiky ...................................................... 13 ýást D – PĜíklady testových úloh pro povinnou zkoušku z matematiky ......................................... 13
3
3
4
Úvod Úþel a obsah katalogu Katalog požadavkĤ k maturitní zkoušce z matematiky je vydáván v souladu s ustanovením § 78a odst. 1 zákona þ. 561/2004 Sb., o pĜedškolním, základním, stĜedním, vyšším odborném a jiném vzdČlávání (dále jen školský zákon), ve znČní pozdČjších pĜedpisĤ a vymezuje rozsah požadavkĤ na vČdomosti a dovednosti žákĤ vzdČlávacích programĤ v oborech stĜedního vzdČlávání s maturitní zkouškou. ZpĤsob a formu ovČĜování znalostí a dovedností stanoví provádČcí vyhláška þ. 177/2009 Sb., o bližších podmínkách ukonþování vzdČlávání ve stĜedních školách maturitní zkouškou, ve znČní pozdČjších pĜedpisĤ. Souþástí vymezení požadavkĤ je i rámcová specifikace povolených pomĤcek. PodrobnČjší vymezení rozsahu a struktury povolených pomĤcek stanoví, s ohledem na technologický a informaþní vývoj, ministerstvo školství, mládeže a tČlovýchovy jako souþást oznámení kritérií hodnocení v souladu s provádČcí vyhláškou ke školskému zákonu. Pedagogické dokumenty ke katalogu a k maturitní zkoušce Katalogy byly pĜipravovány v souladu s pedagogickými dokumenty, a to s rámcovými vzdČlávacími programy pro gymnaziální obory vzdČlání a rámcovými vzdČlávacími programy pro obory stĜedního odborného vzdČlávání s maturitní zkouškou, a také s platnými uþebními dokumenty pro stĜední odborné školy. Jako podpĤrné prameny byly využity publikované standardy a didaktické materiály: FUCHS, E., BINTEROVÁ, H. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro stĜední odborná uþilištČ. Praha: Prometheus, 2003, ISBN 80–7196–294–5. FUCHS, E., KUBÁT, J. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro þtyĜletá gymnázia. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 80–7196–095–0. FUCHS, E., PROCHÁZKA, F. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro stĜední odborné školy. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 80–7196–097–7.
Nedílnou souþástí Katalogu požadavkĤ k maturitní zkoušce z matematiky je pĜíloha s ukázkami testových úloh.
4
5
Požadavky na vČdomosti a dovednosti, které mohou být ovČĜovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky ýást A – Kompetence Oþekávané vČdomosti a dovednosti pro maturitní zkoušku z matematiky v rámci spoleþné þásti maturitní zkoušky jsou v této þásti specifikovány v pČti hlavních kategoriích kompetencí, k jejichž získání smČĜuje výuka matematiky v rámci stĜedního vzdČlávání zakonþeného maturitní zkouškou. Osvojení matematických pojmĤ a dovedností Žák dovede: Ɣ užívat správnČ matematické pojmy (definovat pojmy a urþit jejich obsah, charakterizovat pojem rĤznými zpĤsoby, tĜídit pojmy a nalézat vztahy mezi nimi); Ɣ numericky poþítat a užívat promČnnou (provádČt základní poþetní operace, odhadnout výsledek výpoþtu, využít efektivní zpĤsoby výpoþtu, upravit výrazy s þísly a promČnnými, stanovit definiþní obor výrazu, na základČ reálné situace sestavit výraz s promČnnými); Ɣ pracovat s rovinnými a prostorovými útvary (rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary, využívat geometrickou pĜedstavivost pĜi analýze rovinných a prostorových vztahĤ, mČĜit a odhadovat výsledek mČĜení, Ĝešit poþetnČ geometrickou úlohu, Ĝešit konstrukþnČ geometrickou úlohu); Ɣ matematicky argumentovat (rozlišit rĤzné typy tvrzení – definice, vČta, rozumČt logické stavbČ matematické vČty). Matematické modelování Žák dovede: Ɣ matematizovat reálné situace (odhalit kvantitativní nebo prostorové vztahy a zákonitosti, vytvoĜit matematický model reálné situace); Ɣ pracovat s matematickým modelem; Ɣ ovČĜit vytvoĜený model z hlediska reálné situace (vyjádĜit výsledek Ĝešení modelu v kontextu reálné situace, vyhodnotit výsledek modelové situace). Vymezení a Ĝešení problému Žák dovede: Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
vymezit problém; analyzovat problém; zvolit vhodnou metodu Ĝešení problému (popsat problém vzorcem, užít známý algoritmus); vyĜešit problém; diskutovat o výsledcích; aplikovat osvojené metody Ĝešení problémĤ v jiných tématech a oblastech.
5
6
Komunikace Žák dovede: Ɣ þíst s porozumČním matematický text; Ɣ vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru obsažené v grafech, diagramech, tabulkách atd.; Ɣ pĜesnČ se vyjádĜit (užívat jazyk matematiky vþetnČ symboliky a terminologie, zdĤvodnit matematické tvrzení, obhájit vlastní Ĝešení problému, prezentovat výsledky Ĝešení úlohy a prezentovat geometrické konstrukce na dobré grafické úrovni); Ɣ prezentovat získané informace a výsledky (zpracovat získané údaje formou grafĤ, diagramĤ, tabulek atd.). Užití pomĤcek Žák dovede: Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
využít informaþní zdroje (odborná literatura, internet atd.); efektivnČ Ĝešit problémy pomocí kalkulátoru a PC; použít kalkulátor a PC k prezentaci Ĝešení problémĤ; použít tradiþní prostĜedky grafického vyjadĜování.
ýást B – Tematické okruhy Druhá þást požadavkĤ pro povinnou zkoušku z matematiky obsahuje požadavky na konkrétní vČdomosti a dovednosti z jednotlivých tematických okruhĤ.
1. ýíselné obory Žák dovede: 1.1 PĜirozená þísla Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
provádČt aritmetické operace s pĜirozenými þísly; rozlišit prvoþíslo a þíslo složené, rozložit pĜirozené þíslo na prvoþinitele; užít pojem dČlitelnost pĜirozených þísel a znaky dČlitelnosti; rozlišit þísla soudČlná a nesoudČlná; urþit nejvČtšího spoleþného dČlitele a nejmenší spoleþný násobek pĜirozených þísel.
1.2 Celá þísla Ɣ provádČt aritmetické operace s celými þísly; Ɣ užít pojem opaþné þíslo. 1.3 Racionální þísla Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
pracovat s rĤznými tvary zápisu racionálního þísla a jejich pĜevody; užít dekadický zápis þísla; provádČt operace se zlomky; provádČt operace s desetinnými þísly vþetnČ zaokrouhlování, urþit Ĝád þísla; Ĝešit úlohy na procenta a zlomky, užívat trojþlenku a pomČr; znázornit racionální þíslo na þíselné ose, porovnávat racionální þísla; užívat jednotky a jejich pĜevody.
6
7
1.4 Reálná þísla Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
zaĜadit þíslo do pĜíslušného þíselného oboru; provádČt aritmetické operace v þíselných oborech, porovnávat reálná þísla; užít pojmy opaþné þíslo a pĜevrácené þíslo; znázornit reálné þíslo nebo jeho aproximaci na þíselné ose; urþit absolutní hodnotu reálného þísla a chápat její geometrický význam; provádČt operace s mocninami s celoþíselným a racionálním exponentem a odmocninami; Ĝešit praktické úlohy s mocninami s pĜirozeným exponentem a odmocninami.
1.5 ýíselné množiny Ɣ užívat oznaþení þíselných oborĤ ۼǡ ܈ǡ ۿa ;܀ Ɣ zapisovat a znázorĖovat þíselné množiny a intervaly, urþovat jejich prĤnik a sjednocení.
2
Algebraické výrazy
Žák dovede: 2.1 Algebraický výraz Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
urþit hodnotu výrazu; urþit nulový bod výrazu; urþit definiþní obor výrazu; sestavit výraz, interpretovat výraz; modelovat reálné situace užitím výrazĤ.
2.2 Mnohoþleny Ɣ užít pojmy þlen, koeficient, stupeĖ mnohoþlenu; Ɣ provádČt operace s mnohoþleny, provádČt umocnČní dvojþlenu pomocí vzorcĤ; Ɣ rozložit mnohoþlen na souþin vytýkáním a užitím vzorcĤ. 2.3 Lomené výrazy Ɣ provádČt operace s lomenými výrazy; Ɣ urþit definiþní obor lomeného výrazu. 2.4 Výrazy s mocninami a odmocninami Ɣ provádČt operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny; Ɣ urþit definiþní obor výrazu s mocninami a odmocninami.
3
Rovnice a nerovnice
Žák dovede: 3.1 Algebraické rovnice a nerovnice Ɣ užít pojmy rovnice a nerovnice s jednou neznámou, levá a pravá strana rovnice a nerovnice, obor rovnice a nerovnice, koĜen rovnice, množina všech Ĝešení rovnice a nerovnice; Ɣ užít ekvivalentní úpravy rovnice a nerovnice; Ɣ provádČt zkoušku. 3.2 Lineární rovnice a jejich soustavy Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
Ĝešit lineární rovnice o jedné neznámé; vyjádĜit neznámou ze vzorce; Ĝešit rovnice v souþinovém a podílovém tvaru; Ĝešit poþetnČ soustavy lineárních rovnic; 7
8
Ɣ Ĝešit graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých; Ɣ užít lineární rovnice a jejich soustavy pĜi Ĝešení slovní úlohy. 3.3 Rovnice s neznámou ve jmenovateli Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
stanovit definiþní obor rovnice; Ĝešit rovnice o jedné neznámé s neznámou ve jmenovateli; vyjádĜit neznámou ze vzorce; užít rovnice s neznámou ve jmenovateli pĜi Ĝešení slovní úlohy; využít k Ĝešení slovní úlohy nepĜímé úmČrnosti.
3.4 Kvadratické rovnice Ɣ Ĝešit neúplné i úplné kvadratické rovnice a nerovnice; Ɣ užít vztahy mezi koĜeny a koeficienty kvadratické rovnice; Ɣ užít kvadratickou rovnici pĜi Ĝešení slovní úlohy. 3.5 Lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy Ɣ Ĝešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy; Ɣ Ĝešit nerovnice v souþinovém a podílovém tvaru.
4
Funkce
Žák dovede: 4.1 Základní poznatky o funkcích Ɣ užít rĤzná zadání funkce a používat s porozumČním pojmy definiþní obor, obor hodnot, argument funkce, hodnota funkce, graf funkce vþetnČ jeho názvu; Ɣ sestrojit graf funkce dané pĜedpisem ݕൌ ݂ሺݔሻ nebo þást grafu pro hodnoty promČnné ݔz dané množiny, urþit hodnoty promČnné ݔpro dané hodnoty funkce ݂; Ɣ pĜiĜadit pĜedpis funkce ke grafu funkce a opaþnČ; Ɣ urþit prĤseþíky grafu funkce s osami soustavy souĜadnic; Ɣ urþit z grafu funkce intervaly monotonie a bod, v nČmž nabývá funkce extrému; Ɣ užívat výrazy s elementárními funkcemi; Ɣ modelovat reálné závislosti užitím elementárních funkcí. 4.2 Lineární funkce, lineární lomená funkce Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
užít pojem a vlastnosti pĜímé úmČrnosti, sestrojit její graf; urþit lineární funkci, sestrojit její graf; objasnit geometrický význam parametrĤ ܽǡ ܾ v pĜedpisu funkce ݕൌ ܽ ݔ ܾ; urþit pĜedpis lineární funkce z daných bodĤ nebo grafu funkce; užít pojem a vlastnosti nepĜímé úmČrnosti, sestrojit její graf; užít pojem a vlastnosti lineární lomené funkce, sestrojit její graf; urþit pĜedpis lineární lomené funkce z daných bodĤ nebo grafu funkce; Ĝešit reálné problémy pomocí lineární funkce a lineární lomené funkce.
4.3 Kvadratické funkce Ɣ urþit kvadratickou funkci, stanovit definiþní obor a obor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce; Ɣ vysvČtlit význam parametrĤ v pĜedpisu kvadratické funkce, urþit intervaly monotonie a bod, v nČmž nabývá funkce extrému; Ɣ Ĝešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce.
8
9
4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice Ɣ urþit exponenciální funkci, stanovit definiþní obor a obor hodnot, sestrojit graf; Ɣ urþit logaritmickou funkci, stanovit definiþní obor a obor hodnot, sestrojit graf, užít definici logaritmické funkce; Ɣ vysvČtlit význam základu ܽ v pĜedpisech obou funkcí, monotonie; Ɣ užít logaritmu, vČty o logaritmech, Ĝešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování pĜi Ĝešení exponenciální rovnice; Ɣ upravovat výrazy obsahující exponenciální a logaritmické funkce a stanovit jejich definiþní obor; Ɣ použít poznatky o exponenciálních a logaritmických funkcích v jednoduchých praktických úlohách. 4.5 Goniometrické funkce Ɣ užít pojmy orientovaný úhel, velikost úhlu, stupĖová míra, oblouková míra a jejich pĜevody; Ɣ definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku;
ଶ
ଶ
Ɣ definovat goniometrické funkce v intervalu ͲۃǢ ʹɎۄ, resp. ۃെ Ǣ ۄnebo ͲۃǢ Ɏۄ, resp. v oboru reálných þísel, u každé z nich urþit definiþní obor a obor hodnot, sestrojit graf; Ɣ užívat vlastností goniometrických funkcí, urþit z grafu funkce intervaly monotonie a body, v nichž nabývá funkce extrému; Ɣ upravovat jednoduché výrazy obsahující goniometrické funkce a stanovit jejich definiþní obor; Ɣ užívat vlastností a vztahĤ goniometrických funkcí pĜi Ĝešení jednoduchých goniometrických rovnic.
5
Posloupnosti a finanþní matematika
Žák dovede: 5.1 Základní poznatky o posloupnostech Ɣ aplikovat znalosti o funkcích pĜi úvahách o posloupnostech a pĜi Ĝešení úloh o posloupnostech; Ɣ urþit posloupnost vzorcem pro ݊–tý þlen, graficky, výþtem prvkĤ. 5.2 Aritmetická posloupnost Ɣ urþit aritmetickou posloupnost a chápat význam diference; Ɣ užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost. 5.3 Geometrická posloupnost Ɣ urþit geometrickou posloupnost a chápat význam kvocientu; Ɣ užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost. 5.4 Využití posloupností pro Ĝešení úloh z praxe, finanþní matematika Ɣ využít poznatkĤ o posloupnostech pĜi Ĝešení problémĤ v reálných situacích; Ɣ Ĝešit úlohy finanþní matematiky.
6
Planimetrie
Žák dovede: 6.1 Planimetrické pojmy a poznatky Ɣ užít pojmy bod, pĜímka, polopĜímka, rovina, polorovina, úseþka, úhly (vedlejší, vrcholové, stĜídavé, souhlasné), objekty znázornit;
9
10
Ɣ užít s porozumČním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovinČ (rovnobČžnost, kolmost a odchylka pĜímek, délka úseþky a velikost úhlu, vzdálenosti bodĤ a pĜímek); Ɣ rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat jejich vlastnosti a správnČ jich užívat; Ɣ využít poznatkĤ o množinách všech bodĤ dané vlastnosti v konstrukþních úlohách. 6.2 Trojúhelníky Ɣ urþit objekty v trojúhelníku, znázornit je a správnČ využít jejich základních vlastností, pojmy užívat s porozumČním (strany, vnitĜní a vnČjší úhly, osy stran a úhlĤ, výšky, ortocentrum, tČžnice, tČžištČ, stĜední pĜíþky, kružnice opsaná a vepsaná); Ɣ pĜi Ĝešení poþetních i konstrukþních úloh využívat vČty o shodnosti a podobnosti trojúhelníkĤ; Ɣ užít s porozumČním poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, velikost výšky, Pythagorova vČta, poznatky o tČžnicích a tČžišti) v úlohách poþetní geometrie; Ɣ Ĝešit úlohy s užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku a obecného trojúhelníku (sinová vČta, kosinová vČta, obsah trojúhelníku urþeného sus). 6.3 Mnohoúhelníky Ɣ rozlišit základní druhy þtyĜúhelníkĤ (rĤznobČžníky, rovnobČžníky, lichobČžníky), popsat jejich vlastnosti a správnČ jich užívat; Ɣ pojmenovat, znázornit a správnČ užít základní pojmy ve þtyĜúhelníku (strany, vnitĜní a vnČjší úhly, osy stran a úhlĤ, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopĜíþky, výšky); Ɣ popsat, znázornit a užít vlastnosti konvexních mnohoúhelníkĤ a pravidelných mnohoúhelníkĤ; Ɣ užít s porozumČním poznatky o þtyĜúhelnících (obvod, obsah, vlastnosti úhlopĜíþek a kružnice opsané nebo vepsané) v úlohách poþetní geometrie; Ɣ užít s porozumČním poznatky o pravidelných mnohoúhelnících v úlohách poþetní geometrie. 6.4 Kružnice a kruh Ɣ pojmenovat, znázornit a správnČ užít základní pojmy týkající se kružnice a kruhu (tČtiva, kružnicový oblouk, kruhová výseþ a úseþ, mezikruží), popsat a užít jejich vlastnosti; Ɣ užít s porozumČním polohové vztahy mezi body, pĜímkami a kružnicemi; Ɣ aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (obvod, obsah) v úlohách poþetní geometrie. 6.5 Geometrická zobrazení Ɣ popsat a urþit shodná zobrazení (soumČrnosti, posunutí, otoþení) a užít jejich vlastnosti.
7
Stereometrie
Žák dovede: 7.1
TČlesa
Ɣ charakterizovat jednotlivá tČlesa (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotaþní válec, rotaþní kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její þásti), vypoþítat jejich objem a povrch; Ɣ užívat jednotky délky, obsahu a objemu, provádČt pĜevody jednotek; Ɣ užít polohové a metrické vlastnosti v hranolu; Ɣ využít poznatkĤ o tČlesech v úlohách.
8
Analytická geometrie
Žák dovede: 8.1 SouĜadnice bodu a vektoru na pĜímce
10
11
Ɣ urþit vzdálenost dvou bodĤ a souĜadnice stĜedu úseþky; Ɣ užít pojmy vektor a jeho umístČní, souĜadnice vektoru a velikost vektoru; Ɣ provádČt operace s vektory (souþet vektorĤ, násobek vektoru reálným þíslem). 8.2 SouĜadnice bodu a vektoru v rovinČ Ɣ Ɣ Ɣ Ɣ
užít souĜadnice bodu v kartézské soustavČ souĜadnic; urþit vzdálenost dvou bodĤ a souĜadnice stĜedu úseþky; užít pojmy vektor a jeho umístČní, souĜadnice vektoru a velikost vektoru; provádČt operace s vektory (souþet vektorĤ, násobek vektoru reálným þíslem, skalární souþin vektorĤ) a užít jejich grafickou interpretaci; Ɣ urþit velikost úhlu dvou vektorĤ, užít vlastnosti kolmých a kolineárních vektorĤ. 8.3 PĜímka v rovinČ
Ɣ užít parametrické vyjádĜení pĜímky, obecnou rovnici pĜímky a smČrnicový tvar rovnice pĜímky v rovinČ; Ɣ urþit polohové a metrické vztahy bodĤ a pĜímek v rovinČ a aplikovat je v úlohách.
9
Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika
Žák dovede: 9.1 Základní poznatky z kombinatoriky a pravdČpodobnosti Ɣ užít základní kombinatorická pravidla; Ɣ rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, kombinace bez opakování), urþit jejich poþty a užít je v reálných situacích; Ɣ poþítat s faktoriály a kombinaþními þísly; Ɣ užít s porozumČním pojmy náhodný pokus, výsledek náhodného pokusu, náhodný jev, opaþný jev, nemožný jev a jistý jev; Ɣ urþit množinu všech možných výsledkĤ náhodného pokusu, poþet všech výsledkĤ pĜíznivých náhodnému jevu a vypoþítat pravdČpodobnost náhodného jevu. 9.2 Základní poznatky ze statistiky Ɣ užít pojmy statistický soubor, rozsah souboru, statistická jednotka, statistický znak kvalitativní a kvantitativní, hodnota znaku a pojmy vysvČtlit; Ɣ vypoþítat þetnost a relativní þetnost hodnoty znaku, sestavit tabulku þetností, graficky znázornit rozdČlení þetností; Ɣ urþit charakteristiky polohy (aritmetický prĤmČr, medián, modus, percentil) a variability (rozptyl a smČrodatná odchylka); Ɣ vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách.
11
12
ýást C – Základní specifikace zkoušky z matematiky Zkouška má formu didaktického testu tvoĜeného rĤznými typy uzavĜených testových úloh (s jednou správnou odpovČdí) vþetnČ jejich svazkĤ, otevĜenými úlohami se struþnou odpovČdí a otevĜenými úlohami se širokou odpovČdí. Testové úlohy mají rĤznou bodovou hodnotu, která je uvedena u každé úlohy v testu. V prĤbČhu didaktického testu budou mít žáci k dispozici Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro stĜední školy, kalkulátor (bez grafického režimu, Ĝešení rovnic a úprav algebraických výrazĤ) a rýsovací potĜeby.1 V následující tabulce je uvedeno orientaþní procentuální zastoupení skupin požadavkĤ (tematických okruhĤ) k maturitní zkoušce v didaktickém testu: Tematické okruhy
Zastoupené v testu (v %)
1. ýíselné množiny
4–12
2. Algebraické výrazy
8–18
3. Rovnice a nerovnice
12–20
4. Funkce
10–20
5. Posloupnosti a finanþní matematika
4–14
6. Planimetrie
8–18
7. Stereometrie
4–12
8. Analytická geometrie
4–14
9. Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika
4–14
1
Souþástí vymezení požadavkĤ je i rámcová specifikace povolených pomĤcek. PodrobnČjší vymezení rozsahu a struktury povolených pomĤcek stanoví, s ohledem na technologický a informaþní vývoj, ministerstvo školství, mládeže a tČlovýchovy jako souþást oznámení kritérií hodnocení v souladu s provádČcí vyhláškou ke školskému zákonu.
12
13
ýást D – PĜíklady testových úloh pro povinnou zkoušku z matematiky Testové úlohy jsou uvedeny jako samostatné ukázky, jejich zastoupení necharakterizuje strukturu testu. Soubor ukázek nelze považovat za sestavený test. V ukázkách úloh je správné Ĝešení uvedeno vždy za úlohou.
1.
ýíselné množiny
1
Kolik celých þísel leží v intervalu ൻെ ξͳͲଽ Ǣ ξͳͲͲͲͲ൯?
య
A)
1 099
B)
1 100
C)
1 101
D) 10 099 E) 11 001 ěešení: B
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Akciová spoleþnost prodala v prvním þtvrtletí letošního roku zboží za 78 milionĤ Kþ. Ve srovnání se stejným obdobím minulého roku to bylo o 13 % více. (CERMAT)
2
VypoþtČte, za kolik milionĤ korun prodala spoleþnost zboží v prvním þtvrtletí minulého roku. Výsledek zaokrouhlete na celé miliony.
ěešení: za 69 milionĤ korun
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Dvanáct dČlníkĤ provede zemní práce za 15 dní. (CERMAT)
3
VypoþtČte, za jak dlouho by zemní práce provedlo pĜi stejném výkonu devČt dČlníkĤ.
ěešení: za 20 dní
13
14
4
Pro prĤnik množiny a intervalu ൌ ۦെ͵Ǣ ͷሻ platí: תൌ ሼെͳǢ ͳǢ ͵ሽ. Které z následujících þísel množina ۻnemĤže obsahovat? ሻ െͷ ሻ െ͵ ሻ െͳ D) ͵ ሻ ͷ
ěešení: B
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 5 Kamarádi byli na výletČ. Každý chlapec složil jako zálohu na výdaje urþitou þástku, tyto peníze pokryly veškeré náklady a byly utraceny beze zbytku. PĜi vyúþtování se celková útrata rovnomČrnČ rozdČlila na osobu a den. NČkteĜí z kamarádĤ pak museli urþitou sumu doplatit, jiným se peníze vracely. Níže je tabulka s vyúþtováním. Je však neúplná, neboĢ nČkteré údaje byly špatnČ þitelné. :ŵĠŶŽ
WŽēĞƚ ĚŶƽ
ĄůŽŚĂ <ē
DƵƐş ĚŽƉůĂƚŝƚ <ē
ƵĚĞŵƵ ǀƌĄĐĞŶŽ <ē
ĚĂŵ
ϳ
ϱϰϬ
Ϭ
ϯϲ
ĂǀŝĚ
ϰϵϬ
Ϭ
ϱϴ
&ŝůŝƉ
ϳ
ϰϰ
Ϭ
,ŽŶnjĂ
ϰ
Ϭ
(CERMAT)
5
DoplĖte správná þísla do prázdných políþek tabulky.
ěešení: WŽēĞƚ ĚŶƽ
ĄůŽŚĂ <ē
DƵƐş ĚŽƉůĂƚŝƚ <ē
ƵĚĞŵƵ ǀƌĄĐĞŶŽ <ē
ĚĂŵ
ϳ
ϱϰϬ
Ϭ
ϯϲ
ĂǀŝĚ
6
ϰϵϬ
Ϭ
ϱϴ
&ŝůŝƉ
ϳ
460
ϰϰ
Ϭ
,ŽŶnjĂ
ϰ
238
50
Ϭ
:ŵĠŶŽ
14
15
2.
Algebraické výrazy
1
Provećte dČlení mnohoþlenĤ a stanovte, pro která reálná þísla r má dČlení smysl. ሺ ݎଷ െ ʹ ݎଶ െ ͻ ݎ ͳͺሻ ሺ ݎെ ͵ሻ
ěešení: ݎଶ ݎെ Ǣ ͵ ് ݎ
2
RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (2.1–2.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE).
2.1
Pro každá dvČ reálná þísla ܽǡ ܾ platí ሺܽ ܾሻଶ ൌ ܽଶ ܾ ଶ.
2.2
Pro každé reálné ݔplatí ሺെ͵ െ ݔሻଶ ൌ ͻ ݔ ݔଶ .
2.3
Pro každé reálné ܽ ് ͳ platí ͳ െ ܽ ή
2.4
Pro každé reálné ܿ ് ʹ platí
ଶି మ ିଶ
ଵି ିଵ
A
N
ൌ ܽ ͳ.
ൌ ʹ ܿ.
ěešení: NE, ANO, ANO, NE
3
Je dán výraz: ݔଶ ͵ ݔെ ͳͲ ݔଶ െ Ͷ
3.1
Urþete, pro které hodnoty ܀ א ݔmá výraz smysl, a výraz zjednodušte.
3.2
Urþete hodnotu výrazu pro ݔൌ Ͳ.
3.3
Urþete hodnoty promČnné ܀ א ݔ, pro které má výraz hodnotu Ͳ.
3.4
Urþete hodnoty promČnné ܀ א ݔ, pro které má výraz hodnotu ͳ.
ěešení: 3.1
௫ାହ
; ് ݔേʹ
௫ାଶ
3.2
ʹǡͷ
3.3
ݔൌ െͷ
3.4
Výraz nenabývá hodnoty ͳ pro žádnou reálnou hodnotu promČnné ݔ.
15
16
4
Je dán výraz: ܾ ଶ െ ʹܾ ܾ െ ܾ ʹ Ͷ െ ܾଶ Který z upravených výrazĤ je s daným výrazem ekvivalentní? A)
ଶ
; ܾ ് െʹǢ ܾ ് ʹ
ାଶ
B) ͲǢ ܾ ് െʹǢ ܾ ് Ͷ C) D) E)
ଶ ିଶ ାଶ ସ
; ܾ ് െʹǢ ܾ ് ʹ ; ܾ ് െʹǢ ܾ ് ʹ ; ܾ ് െʹǢ ܾ ് ʹ
మ ିସ
ěešení: A
16
17
3.
Rovnice a nerovnice
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Na veþírek pĜišlo tĜikrát více chlapcĤ než dČvþat. Po odchodu 8 chlapcĤ a 8 dČvþat zbylo na veþírku pČtkrát více chlapcĤ než dČvþat. (CERMAT)
1
Urþete, kolik chlapcĤ a kolik dČvþat pĜišlo na veþírek.
Uvećte celý postup Ĝešení. ěešení: ݄ – poþet chlapcĤ, ݀ – poþet dívek ݄ ൌ ͵݀ ݄ െ ͺ ൌ ͷሺ݀ െ ͺሻ ͵݀ െ ͺ ൌ ͷ݀ െ ͶͲ ݀ ൌ ͳǢ ݄ ൌ Ͷͺ Na veþírek pĜišlo 48 chlapcĤ a 16 dČvþat.
2
V rovnici ݔଶ ܾ ݔെ ͳʹ ൌ Ͳ s neznámou ܀ א ݔje jeden koĜen ݔଵ ൌ െʹ. VypoþtČte koeficient ܾ a druhý koĜen.
ěešení: ܾ ൌ െͶǢݔଶ ൌ
3
Je dána nerovnice s neznámou ܀ א ݔ: Ͷ ݔെ ݔെ Ͷ െ ʹ ݔെ ͵ ʹ Který z intervalĤ pĜedstavuje množinu všech Ĝešení nerovnice? ଵସ Ǣ λሻ ଽ
A) ۃ
B) ͳۃǢ λሻ C) ൫െλǢ ʹۄ D) ൫െλǢ ͳۄ E) ൫െλǢ െۄ ěešení: D
17
18
4
Pro veliþiny ݎଵ ǡ ݎଶ ǡ ݂ǡ ݊ platí: ͳ ͳ ͳ ൌ ሺ݊ െ ͳሻ ൬ ൰ ݎଵ ݎଶ ݂ Které vyjádĜení veliþiny ݂ odpovídá uvedenému vztahu? A) ݂ ൌ ሺ݊ െ ͳሻሺݎଵ ݎଶ ሻ B) ݂ ൌ C) ݂ ൌ D) ݂ ൌ
ଵ ିଵ
ሺݎଵ ݎଶ ሻ భ మ
ሺିଵሻሺభ ାమ ሻ ሺିଵሻభ మ భ ାమ
E) žádné z uvedených ěešení: C
18
19
4.
Funkce
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Teplota se mČĜí v Celsiových nebo Fahrenheitových stupních. Hodnoty ve Fahrenheitových stupních (݂ሻ jsou lineární funkcí hodnot v Celsiových stupních (ܿ). NapĜ. 8 °C odpovídá 46,4 °F a 24 °C odpovídá 75,2 °F. (CERMAT)
1
Urþete pĜedpis této funkce.
ěešení: ݂ ൌ ͳǡͺܿ ͵ʹǡͲ
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 V pĤjþovnČ automobilĤ se pan Novák rozhoduje, zda si má pĤjþit automobil A nebo B. Náklady ݊(v Kþ) na provoz automobilu A jsou urþeny lineární funkcí ݊ ൌ ͵ͲͲͲ ʹǡͶݔ, náklady na provoz automobilu B lineární funkcí ݊ ൌ ͻͲͲͲ ͳǡݔ, kde promČnná ( ݔv km) je ujetá vzdálenost. (CERMAT)
2
VypoþtČte, jakou vzdálenost musí pan Novák nejménČ ujet, aby se mu výpĤjþka automobilu B vyplatila.
ěešení: 7 500 km
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Kolikrát ( )ݕse zvČtší množství bakterií za urþitou dobu ()ݔ, lze za urþitých podmínek vyjádĜit exponenciální funkcí ݕൌ ܽ ௫ , kde ݔ Ͳ. V laboratorním experimentu se bČhem každých 2 hodin ሺ ݔൌ ʹሻ množství bakterií zvČtší þtyĜikrát ሺ ݕൌ Ͷሻ. (CERMAT)
3
Kolikrát se zvČtší množství bakterií bČhem 6 hodin laboratorního experimentu? A) dvanáctkrát B) šestnáctkrát C) þtyĜiadvacetkrát D) osmaþtyĜicekrát E) þtyĜiašedesátkrát
ěešení: E
19
20
4
4.1
PĜiĜaćte ke každému grafu funkce ݂ଵ–݂ସ (4.1− −4.4) pro ܀ א ݔା, resp. ܀ א ݔା odpovídající pĜedpis funkce (A–F). y
݂ଵ
݂ଵ
_____
݂ଶ
_____
݂ଷ
_____
݂ସ
_____
1 O
x
1
y 4.2
݂ଶ
1 x O
1
y ݂ଷ
4.3
1 O
4.4
x
1
y
݂ସ
1 O
1
x
A) ݕൌ ʹ௫ B) ݕൌ െͶݔ C) ݕൌ ݔ D) ݕൌ
ଶ ௫
E) ݕൌ ݔଶ F) ݕൌ Ͷ െ ݔ ěešení: D, F, A, E
20
21
ݔെ ʹ
5
Funkce ݂ je dána pĜedpisem ݕൌ
5.1
Urþete prĤseþíky grafu funkce ݂ se souĜadnicovými osami.
5.2
Zapište rovnice asymptot grafu funkce ݂.
5.3
Sestrojte graf funkce ݂.
ݔ
.
Uvećte postup Ĝešení. ěešení: 5.1
PrĤseþík se souĜadnicovou osou ݔ: ݕൌ Ͳ, tedy Ͳ ൌ
ݔെ ʹ ݔ
ݔൌʹ
ܺሾʹǢ Ͳሿ PrĤseþík se souĜadnicovou osou ݕneexistuje ()Ͳ ് ݔ. 5.2
Platí: ݕൌ
ݔെ ʹ ݔ
ൌͳെ
ʹ , tedy asymptoty procházejí bodem ܵൣͲǢ ͳ൧ ݔ
Rovnice asymptot: ݔൌ ͲǢ ݕൌ ͳ 5.3 f
y
1
O 1
6
x
Pro Ͳۃ א ݔǢ ʹɎ ۄĜešte rovnici ݔൌ ͳ െ ݔ.
ěešení: ࡷ ൌ ቊ
ૈ ૈ Ǣ ቋ
21
22
5.
Posloupnosti a finanþní matematika
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Plechovky jsou narovnány v deseti Ĝadách nad sebou. Ve spodní ĜadČ je 24 plechovek, v každé další ĜadČ je vždy o jednu plechovku ménČ. (CERMAT)
1
Kolik plechovek je narovnáno ve všech deseti Ĝadách?
ěešení: 195 plechovek
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 V soutČži byly za prvních 6 míst vyplaceny odmČny v celkové hodnotČ 2 400 Kþ. Nejvyšší odmČnu získal vítČz, odmČny za další umístČní se postupnČ snižovaly vždy o stejnou þástku. (CERMAT)
2
Kolik korun získali dohromady vítČz a soutČžící na šestém místČ? A)
800 Kþ
B) 1 000 Kþ C) 1 200 Kþ D) 1 200 Kþ E) nelze jednoznaþnČ urþit ěešení: A
3
Kolik po sobČ jdoucích pĜirozených þísel od 1 do ݊ musíte nejménČ seþíst, aby jejich souþet pĜesáhl 1 000 000? A)
999
B) 1 000 C) 1 202 D) 1 414 E) 1 828 ěešení: D
22
23
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 V rámci úsporných opatĜení rozhodlo vedení podniku, že na konci každého þtvrtletí klesne poþet zamČstnancĤ podniku o 7 % oproti stavu na poþátku þtvrtletí. (CERMAT)
4
O kolik procent pĜibližnČ klesne poþet zamČstnancĤ po uplynutí jednoho roku? A) o 20 % B) o 22 % C) o 25 % D) o 27 % E) o 30 %
ěešení: C
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Majitel dílny nakoupil na úvČr s roþní úrokovou mírou 10 % materiál v cenČ 800 000 Kþ, úroky se pĜipisují koncem každého roþního úrokovacího období. Majitel splatí celou þástku jednorázovČ po uplynutí pČti let. (CERMAT)
5
VypoþtČte, o kolik procent splátka pĜevýší úvČr.
ěešení: pĜibližnČ o 61 %
23
24
6.
Planimetrie
1
Strana ܤܣobdélníku ܦܥܤܣmČĜí 84 cm. ÚhlopĜíþka ܥܣje o 72 cm delší než strana ܥܤ. Urþete obsah obdélníku ܦܥܤܣ.
ěešení: 1 092 cm2
2
Jaká je velikost vnitĜního úhlu pravidelného osmiúhelníku? A) 108° B) 120° C) 125° D) 135° E) 140°
ěešení: D
3
Které dokonþení vČty vede k pravdivému tvrzení? Jestliže se prĤmČr kruhu zvČtší tĜikrát, pak se jeho A) polomČr zvČtší 1,5krát, obvod se zvČtší 6krát a obsah se zvČtší 9krát. B) polomČr zvČtší 3krát, obvod se zvČtší 3krát a obsah se zvČtší 3krát. C) polomČr zvČtší 3krát, obvod se zvČtší 3krát a obsah se zvČtší 9krát. D) polomČr zvČtší 9krát, obvod se zvČtší 9krát a obsah se zvČtší 9krát. E) polomČr zvČtší 3krát, obvod se zvČtší 6krát a obsah se zvČtší 9krát.
ěešení: C
24
25
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Bod ܣje vrcholem trojúhelníku ܥܤܣs pravým úhlem pĜi vrcholu ܤ. Bod ܦje vrcholem trojúhelníku ܦܥܤs pravým úhlem pĜi vrcholu ܦ.
A
B
C
D (CERMAT)
max. 2 body 4 4.1
V polorovinČ ܣܥܤsestrojte množinu $ všech bodĤ כܣ, které jsou vrcholy trojúhelníkĤ ܥܤ כܣs pravým úhlem pĜi vrcholu ܤ.
4.2
V polorovinČ ܦܥܤsestrojte množinu ' všech bodĤ כ ܦ, které jsou vrcholy trojúhelníkĤ כ ܦܥܤs pravým úhlem pĜi vrcholu כ ܦ.
Nalezené množiny oznaþte symboly $ a ' ěešení: 4.1
PolopĜímka bez poþáteþního bodu : $ A B
C D
4.2
PĤlkružnice bez krajních bodĤ ǡ : A C
B '
D
25
26
7.
Stereometrie
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jedna z kopulí hvČzdárny M. Koperníka v BrnČ má tvar polokoule o prĤmČru 6 m. Kopuli je tĜeba natĜít z vnČjší strany. Náklad na 1 m2 nátČru je 150 Kþ. (CERMAT)
1
VypoþtČte s pĜesností na stovky korun, kolik bude stát jeden nátČr kopule.
ěešení: 8 500 Kþ
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Na polici stojí akvárium. TloušĢka jeho skel je 5 mm. Celý vnitĜní prostor akvária tvaru krychle vyplní voda o objemu 27 litrĤ. (CERMAT)
2
Jakou plochu na polici akvárium zabírá? A) 30 dm2 B) 90 dm2 C) 900 cm2 D) 930 cm2 E) 961 cm2
ěešení: E
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 SilniþáĜi opravují cestu. Používají silniþní válec s prĤmČrem 120 cm a šíĜkou 1,75 m. (CERMAT)
3
VypoþtČte s pĜesností na m2 obsah plochy, kterou válec uválcuje za pČt otoþení.
ěešení: 33 m2
26
27
8.
Analytická geometrie
1
Je dána pĜímka ǣ ݔെ ʹ ݕെ ൌ Ͳ. Jaké mĤže být její parametrické vyjádĜení? A) ݔൌ ͳ ʹݐǡ ݕൌ െ͵ ݐǢ ܀ א ݐ B) ݔൌ െͳ െ ʹݐǡ ݕൌ െ͵ െ ݐǢ ܀ א ݐ C) ݔൌ െ͵ ʹݐǡ ݕൌ ͳ ݐǢ ܀ א ݐ D) ݔൌ ͳ െ ʹݐǡ ݕൌ െ͵ ݐǢ ܀ א ݐ E) ݔൌ െͳ ʹݐǡ ݕൌ ͵ െ ݐǢ ܀ א ݐ
ěešení: A
2
Je dána pĜímka ݍǣ ݔൌ ͵ݐǡ ݕൌ ͳʹ െ ͶݐǢ ܀ א ݐ. VypoþtČte vzdálenost pĜímky ݍod rovnobČžné pĜímky , která prochází poþátkem soustavy souĜadnic.
ěešení:
3
ଷ ହ
Je dán pravidelný šestiúhelník ܨܧܦܥܤܣse stĜedem ܵ. Oznaþme vektory ሬሬሬሬሬԦ . ݑ ሬԦ ൌ ሬሬሬሬሬԦ ܤܣǡ ݒԦ ൌ ܥܤ RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (3.1–3.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE). A
3.1
ሬሬሬሬሬԦ ܥܣൌ ݑ ሬԦ ݒԦ
3.2
ሬሬሬሬሬԦ ൌ ݑ ሬԦ െ ݒԦ ܵܤ
3.3
ሬሬሬሬሬԦ ሬԦ ܧܣൌ ʹݒԦ െ ݑ
3.4
ሬሬሬሬሬԦ ൌ ʹݑ ܦܨ ሬԦ െ ݒԦ
N
ěešení: ANO, ANO, ANO, NE
27
28
9.
Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Zákazník si vybírá materiál pro šatní skĜínČ – jeden druh dĜeva a jeden typ doplĖkĤ. V nabídce je 7 druhĤ svČtlého dĜeva, 6 druhĤ tmavého dĜeva a dále 4 typy doplĖkĤ vhodných jen pro svČtlé dĜevo, 5 typĤ vhodných jen pro tmavé dĜevo a 2 univerzální typy pro jakýkoliv druh dĜeva. (CERMAT)
1
Kolik vhodných dvojic (dĜevo a doplĖky) je možné nabídnout? A) 82 B) 85 C) 143 D) 132 E) jiná možnost
ěešení: E
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 2 ýtyĜi studenti sportovního gymnázia zadávali anketu. PČt set náhodnČ oslovených lidí jim odpovČdČlo na otázku, zda pravidelnČ jezdí na kole nebo na in–line bruslích. Jejich odpovČdi jsou zpracovány v tabulce.
:ĞnjĚşŶĂŝŶͲůŝŶĞ ďƌƵƐůşĐŚ EĞũĞnjĚşŶĂŝŶͲůŝŶĞ ďƌƵƐůşĐŚ
:ĞnjĚşŶĂŬŽůĞ
EĞũĞnjĚşŶĂŬŽůĞ
ϵϬ
ϮϬ
ϮϭϬ
ϭϴϬ
(CERMAT)
2 2.1
VypoþtČte, s jakou pravdČpodobností mohl jeden ze studentĤ vyhrát sázku, že první osoba z náhodnČ oslovených jezdí pouze na in-line bruslích.
2.2
VypoþtČte, jaké procento dotázaných nejezdí na in-line bruslích.
ěešení: 2.1 2.2
Student mohl vyhrát sázku s pravdČpodobností ൌ ͲǡͲͶ. Na in-line bruslích nejezdí 78 % dotázaných.
28
29
VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 3 V grafu je statistika dopravních pĜestupkĤ ve sledovaném období. Závažnost dopravního pĜestupku vyjadĜuje poþet odebraných bodĤ.
ŽƉƌĂǀŶşƉƎĞƐƚƵƉŬLJ ƉŽēĞƚƉƎĞƐƚƵƉŬƽ
ϭϳ ϭϰ
ϭ
ϭϱ ϭϮ
Ϯ
ϯ
ϭϬ
ϴ
ϳ
ϱ
ϰ
ϯ
Ϯ
ϯ
ϰ ϱ ϲ ϳ ϴ ϵ ƉŽēĞƚŽĚĞďƌĂŶljĐŚďŽĚƽ njĂƉƎĞƐƚƵƉĞŬ
ϭϬ
ϭϭ
ϭϮ
NapĜ. bylo spácháno 10 pČtibodových pĜestupkĤ. (CERMAT)
3 3.1
Urþete, kolik bodĤ za pĜestupek bylo odebíráno nejþastČji.
3.2
Urþete prĤmČrný poþet bodĤ odebraných za pĜestupek.
3.3
Urþete, v kolika pĜípadech poþet odebraných bodĤ za pĜestupek pĜekroþil prĤmČrnou hodnotu.
3.4
Urþete medián poþtu odebraných bodĤ za pĜestupek.
ěešení: 3.1 2 body 3.2 4,52 bodu 3.3 ve 42 pĜípadech 3.4 4 body
29
30
VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 4 Graf A ukazuje, kolik žákĤ tĜí základních typĤ stĜedních škol Ĝešilo v roce 2003 úlohy z matematiky. Graf B poskytuje informaci o prĤmČrném poþtu bodĤ (ze 40 možných), které se žákĤm podaĜilo získat. PrĤmČrný poþet bodĤ všech ĜešitelĤ byl 17,4. (SOŠ jsou stĜední odborné školy, SOU jsou stĜední odborná uþilištČ.) 'ƌĂĨ WƌƽŵĢƌŶljƉŽēĞƚďŽĚƽƉŽĚůĞƚLJƉƵƓŬŽůLJ
'ƌĂĨ ZŽnjĚĢůĞŶşƉŽēƚƵƎĞƓŝƚĞůƽƉŽĚůĞƚLJƉƽƓŬŽů ^Kh͖ Ϯϭϯϯ
ŐLJŵŶĄnjŝĂ Ă ůLJĐĞĂ͖ ϭϭϳϰ
ϰϬ ϯϬ
ϮϮ͕ϱ
͍ ϭϱ͕ϯ
ϮϬ ^Ka͖ ϲϮϲϯ
ϭϬ Ϭ ŐLJŵŶĄnjŝĂ ĂůLJĐĞĂ
^Ka
^Kh
(CERMAT)
4
S pĜesností na desetiny urþete prĤmČrný poþet bodĤ, které získali v roce 2003 studenti SOŠ.
ěešení: 17,2 bodu
30
31
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 5 Pan Mrázek nČkolikrát do mČsíce kontroloval spotĜebu plynu v domácnosti. Vždy v 7 hodin odeþetl stav plynomČru a spoleþnČ s datem jej zapsal do tabulky. ĂƚƵŵŽĚĞēƚƵ
jĚĂũŶĂƉůLJŶŽŵĢƌƵǀŵϯ
ϭ͘ϰ͘
ϭϮϰϯ͕ϱϲ
ϳ͘ϰ͘
ϭϮϰϴ͕ϳϯ
ϭϮ͘ϰ͘
ϭϮϱϲ͕ϴϬ
ϭϴ͘ϰ͘
ϭϮϲϯ͕ϵϱ
Ϯϱ͘ϰ͘
ϭϮϳϱ͕ϭϱ
ϯϬ͘ϰ͘
ϭϮϴϮ͕ϵϬ
(CERMAT)
5
Ve kterém období mezi dvČma následujícími odeþty byla prĤmČrná denní spotĜeba plynu nejvČtší? A) od 1. 4. – 7. 4. B) od 7. 4. – 12. 4. C) od 12. 4. – 18. 4. D) od 18. 4. – 25. 4. E) od 25. 4. – 30. 4.
ěešení: B
31
32
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 6 V tabulce jsou uvedeny výsledky zápasĤ pČti fotbalových družstev, z nichž každé dosud sehrálo 10 zápasĤ. Za každou výhru získává družstvo 3 body a za každou remízu 1 bod. Slavia prohrála 3 zápasy z deseti a získala celkem 17 bodĤ. ƌƵǎƐƚǀŽ ^ƉĂƌƚĂ ^ůĂǀŝĂ dĞƉůŝĐĞ >ŝďĞƌĞĐ KƐƚƌĂǀĂ ǥ
ǀljŚĞƌ ϴ ͍ ϲ Ϯ ϲ
WŽēĞƚ ƌĞŵşnj ϭ ͍ ϯ ϰ Ϯ
ƉƌŽŚĞƌ ϭ ϯ ϭ ϰ Ϯ
(CERMAT)
6
Kolik zápasĤ vyhrála Slavia? A) 3 zápasy B) 4 zápasy C) 5 zápasĤ D) jiný poþet zápasĤ E) odpovČć nelze urþit
ěešení: C
32
33
ŽĚLJ Ϯϱ ϭϳ Ϯϭ ϭϬ ϮϬ
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 7
KĚĐŚLJůŬĂƚĞƉůŽƚLJǀĞ°
Graf ukazuje odchylky maximálních denních teplot od prĤmČrné dlouhodobé polední teploty (ve stupních Celsia), záznam je veden od pondČlí do pátku. PrĤmČrná dlouhodobá polední teplota byla 20 °C. ϰ ϯ Ϯ ϭ Ϭ Ͳϭ ͲϮ Ͳϯ Ͳϰ Ͳϱ Ͳϲ WŽ
jƚ
^ƚ
WĄ
ƚ
(CERMAT)
7
Jaká je prĤmČrná hodnota maximálních teplot v pČti uvedených dnech? A) 12 °C B) 14 °C C) 16 °C D) 18 °C E) 20 °C
ěešení: D
33
34
