KARNAUGH MAP (K -MAP) (I) (K-MAP)
Pokok Bahasan : K-map 2 variabel K-map 3 variabel K-map 4 variabel
Tujuan Instruksional Khusus : 1. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara membuat k-map 2, 3, dan 4 bariabel 2. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara pengcover-an minterm dalam sebuah k-map
KARNAUGH MAP (K-MAP) 9 Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran menjadi sebuah rangkaian logika 9 Salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan rangkaian logika
K-MAP 2 VARIABEL
B
A
Tabel Kebenaran Map value
A
B
Y
0
0
0
A’B’
1
0
1
A’B
2
1
0
AB’
3
1
1
AB
Model 1
0
1
0
A’B’
A’B
1
AB’
B
Model 2
A
0
AB
2
1
3
0
1
0
A’B’
AB’
1
A’B
0
2
AB 1
3
Desain Pemetaan K-Map 2 Variabel
Karnaugh-Map 2 variabel dengan minterm-mintermnya xy F = ∑(m0,m1) = x’y + x’y’ x
y
F
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
x
y
0
1
0
x’y’
x’y
1
xy’
xy
x
y
0
1
0
1
1
1
0
0
F=AB’+A’B B
F=AB’+A’B+AB 1
0
0
1
1
1
B
0
1
0
0
1
0
1
1
1
B 0 A
1
B
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
A
0
F=AB’+A’B
A
A
F=A+B
Contoh 1: B
A
Tabel Kebenaran
0
Map value
A
0
0
0
1
1
0
1
0
2
1
0
0
3
1
1
1
B
0
1
1
0 0
Y
A’B’
AB
1
0
1
1 2
A
B 0
3
0
1
A’B’
0 0
Jadi Y = A’B’ + AB
1
0
1
AB 2
3
Contoh 2: B
A
Tabel Kebenaran
0
Map value
A
B
Y
0
0
0
1
A’B’
1
0
1
1
A’B
2
1
0
0
3
1
1
0
0
1
1
1 0
1
0
1
0 2
A
B 0
3
0
1
A’B’
A’B 0
Jadi Y = A’
1
0
1
0 2
3
Catatan untuk K-Map 2 Variabel 0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low)
A
B
4 kotak terlingkupi = ‘1’ (High) Melingkupinya harus posisi “horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)
1
1
0
1
1
AB
A’B’
1 kotak terlingkupi = 2 variabel output 2 kotak terlingkupi = 1 variabel output
0
Y = A’B’ + AB
A
B
0
1
0
1
1
1
0
1
Y =A’ + B
A’
B
Contoh 3: Dari Tabel Kebenaran di bawah ini, tulis persamaan logikanya dengan menggunakan K-map Map value
A
B
Y
0
0
0
1
1
0
1
1
2
1
0
0
3
1
1
1
A
Jadi Y = A’ + B
B
0
1
0
1
1
A’
1
0
1
B
Contoh 4: Sederhanakan persamaan logika Y = A + AB’ + A’B menggunakan K-map A
B
0
1
0
0
1
B
1
1
1
A
AB’ Jadi Y = A + B
K-MAP 3 VARIABEL
Tabel Kebenaran Map valu A B C Y e
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
Model I A
BC
00 01 0 A’B’C’ A’B’C 1 AB’C
0
AB’C
4
1
11 A’BC ABC
5
3 7
Model II C
10 A’BC’ ABC’
2
6
Map value AB
00 0 A’B’C’
01 A’BC’
A’B’C
A’BC
0
1
1
11 ABC’ 2
10 AB’C’ 6
ABC 3
4
AB’C 7
5
Tabel Kebenaran Map A B C Y value
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
Model III
Model IV
C
0 1 00 A’B’C’ A’B’C
AB
0
1
01 A’BC’ A’BC 2
11
ABC’ 6
3
ABC 7
10 AB’C’ AB’C 4
5
A
0 1 00 A’B’C’ AB’C’
BC
0
4
01 A’B’C AB’C 1
11
A’BC 3
5
ABC 7
10 A’BC’ ABC’ 2
Map value
6
Desain Pemetaan K-Map 3 Variabel
Catatan untuk K-Map 3 Variabel
A
BC
01
11 1
0 1
10 1
1
0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low)
Y = AB’C’ + A’B
1 kotak terlingkupi = 3 variabel output 2 kotak terlingkupi = 2 variabel output
00
A
BC
4 kotak terlingkupi = 1 variabel output
0
11 1
8 kotak terlingkupi = ‘1’ (High)
1
1
Melingkupinya harus posisi “horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)
00
01
10 1 1 B
A
BC 0
00 1
1
1
01
11
10 1 1
C’
Contoh Pengcoveran
C
AB
A 00
01
11
10
0
C
AB 0
00 0
01 0
11 1
10 1
1
0
0
1
1
C 1 B
C
AB
G(A,B,C) = A
0
00 1
01 0
11 0
10 1
1
0
0
1
1
c
ab 0
00 0
01 0
11 1
10 0
1
0
1
1
1
f = bc + ab + ac F(A,B,C) = B’C’ + AC
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
A
BC
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 1 1 0 1 1 1 1
F = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’ + ABC A
0
00 0
01 1
11 0
10 1
1
1
1
1
1
B’C
A
BC 0
00 0
01 1
11 0
10 1
1
1
1
1
1
BC’
F = A + B’C + BC’
Contoh 1 : Diketahui Tabel Kebenaran seperti berikut ini, cari persamaan logikanya Tabel Kebenaran Map A B C Y value
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 1 1
Penyelesaian : A
BC 0 1
00 1
01 1
11
1
1
A’B’
AC
Jadi
10
Y = AC + AB + A’B’
1
AB
Contoh 2 : Diketahui persamaan Boolean : D = A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC + AB’C Sederhanakan dengan metode K-map.
Penyelesaian : D = A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC + AB’C A
BC
00
01
11 1
10 1
1
1
1
0 1
AC
B
Jadi
D = B + AC
Tabel Kebenaran
K-MAP 4 VARIABEL
Map A B C D Y value
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
AB
Model I
CD
00 01 11 10 00 A’B’C’D’ A’B’C’D A’B’CD A’B’CD’ 0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
8
9
01 A’BC’D’ A’BC’D A’BCD A’BCD’ 11 ABC’D’ ABC’D
ABCD
15
ABCD’
14
10 AB’C’D’ AB’C’D AB’CD AB’CD’ 11
10
AB CD
00 01 11 10 00 A’B’C’D’ A’BC’D’ ABC’D’ AB’C’D’
Model II
0
4
12
8
1
5
13
9
3
7
2
6
01 A’B’C’D A’BC’D ABC’D AB’C’D 11 A’B’C’D A’BCD
ABCD
15
AB’CD
11
10 A’B’CD’ A’BCD’ ABCD’ AB’CD’ 14
10
Desain Pemetaan K-Map 3 Variabel AB CD
A’ 00
A 01
11
00
D
10
C’
01
D’
11
C
10
B B’
Catatan untuk K-Map 4 Variabel
AB 00 CD 00 1
01
11
10
1
1
1
0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low)
01
1
1
1
1
1 kotak terlingkupi = 4 variabel output
11
1
1
2 kotak terlingkupi = 3 variabel output
10
1
1
4 kotak terlingkupi = 2 variabel output 8 kotak terlingkupi = 1 variabel output 16 kotak terlingkupi = ‘1’ (High) Melingkupinya harus posisi “horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)
AC’ 1 ACD’
A’ AB CD
00
1
01
11
10 B’C’
00
1
1
01
1
1
11
1
10
1 A’BCD
ABCD’
Contoh Pengcoveran AB CD
00
01
11
10
00
1
0
0
0
0
01
0
1
0
0
0
1
11
0
0
1
0
0
0
10
0
0
0
1
00
01
11
10
00
0
0
0
0
01
1
0
0
11
1
1
10
1
1
A’B’D
AB CD
A’C
F = A’B’D+A’C+B’CD
B’CD
A’B’C’D’ A’BC’D ABCD
AB’CD’
F = A’B’C’D’+A’BC’D+ABCD+AB’CD’
Contoh Pengcoveran AB CD
00
01
11
10
00
0
0
0
1
01
1
1
0
11
1
1
10
1
0
B’C
A’D
AB CD
00
01
11
10
00
0
1
1
1
1
01
0
0
1
1
1
1
11
0
0
0
0
1
1
10
0
0
1
0
AC
AB’
F = A’D+B’C+AB’+AC
BC’D’
ABD’
F = ABD’+AC’+BC’D’
AC’
Contoh 1 : F(A,B,C,D)=Σm(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15) Penyelesaian : AB CD 00
F(A,B,C,D)=Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15) 00
01
11
1
01
10 1
B’C’D’
1
11
1
1
1
1
10
1
1
1
1
A’BD
Jadi C
F(A,B,C,D) = C+B’C’D’+A’BD
Contoh 2 : Diketahui Tabel Kebenaran sebagai berikut, cari persamaan logikanya. Map value A B C D Y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
Penyelesaian : AB CD
00
01
00
11
10
1 1
01 11
1
1
10
1
1 A’C
1
ABC’D’
Jadi Y(A,B,C,D) = A’C+AB’D+ABC’D’
AB’D
Contoh 3 : Lingkarilah dan tulis Persamaan logikanya. WX 00 YZ 00
01
1
11 1
01 11
1
10
1
1 1
W’X’Y’Z’
10
WXZ’
1
WX’Z
1
YZ
Jadi M = YZ+WX’Z+WXZ’+W’X’Y’Z’
Latihan Soal 1. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar: a. AB + BC’ + A’B’ b. AC + ABC’ + BC + B’C’ c. XY + X’Z + Y’Z’ d. XY + YZ + XZ + X’Y’ e. BC + AD + ABCD + ADC + A’ f. BC + D + AD
2. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar: a. (B+D)(A+C) + ABD b. A(BC’ + C) + B(A + A’C) c. (AC + ABC’).(BC + B’C’) d. Z(XY + X’Z).Y’Z’(X + Z) e. A’(B’C + B’C’) + A’BC’ f. B’(CD’ + A’D) + B’C’(A + A’D’) Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah ke bentuk SOP)
