Kapitola 6: Derivace funkcí více proměnných

Sbírka příklad˚ u Matematika II pro strukturované studium

Kapitola 6: Derivace funkcí více proměnných Chcete-li ukonˇ cit prohl´ıˇ zen´ı stisknˇ ete kl´ avesu Esc. Chcete-li pokraˇ covat stisknˇ ete kl´ avesu Enter.

. – p.1/26

Derivace funkcí více proměnných • Parci´ aln´ı derivace • Derivace ve smˇ eru • Derivov´ an´ı sloˇ zen´ ych funkc´ı • Taylor˚ uv polynom a tot´ aln´ı diferenci´ al • Newtonova metoda Zpˇ et

. – p.2/26

Parciální derivace ∂f ∂f • Pˇ r´ıklad 6.1.1 Pomoc´ı definice parci´ aln´ı derivace vypoˇ ctˇ ete (x, y) a (x, y) ∂x ∂y funkce f (x, y) = 2x + 3y 2 . • Pˇ r´ıklad 6.1.2 Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace funkce f (x, y) = arctg

y x

.

• Pˇ r´ıklad 6.1.3 Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace 1. a 2. ˇ ra ´du funkce f (x, y) = ln(x − 2y) . 2 • Pˇ eA= r´ıklad 6.1.4 Vypoˇ ctˇ ete gradient funkce f (x, y, z) = 3 x2 + e−xy − z v bodˇ [ 0, 2 , 0 ]

• Pˇ r´ıklad 6.1.5 Objem kuˇ zele V je funkc´ı polomˇ eru podstavy r a v´ yˇ sky kuˇ zele h . ∂V ∂V Vyj´ adˇ rete parci´ aln´ı derivace ∂r a ∂h . Co tyto derivace popisuj´ı? 2 • Pˇ r´ıklad 6.1.6 Ovˇ eˇ rte, ˇ ze funkce u(x, t) = e−a t sin x je ˇ reˇ sen´ım n´ asleduj´ıc´ı rovnice, tzv. rovnice veden´ı tepla: 2 ∂u 2∂ u , t > 0, a ∈ . =a ∂t ∂x2 Zpˇ et

. – p.3/26

Příklad 6.1.1 Pomoc´ı definice parci´ aln´ı derivace vypoˇ ctˇ ete

∂f ∂f (x, y) a (x, y) funkce ∂x ∂y

f (x, y) = 2x + 3y 2 . ?

Zpˇ et

. – p.4/26



f (x, y) = 2x + 3y 2 .

Výsledek: ∂f (x, y) = 2 , ∂x Zpˇ et

∂f (x, y) = 6y . ∂y

. – p.4/26



f (x, y) = 2x + 3y 2 .

Návod: ∂f f (x + h, y) − f (x, y) (x, y) = lim , h→0 ∂x h

f (x, y + h) − f (x, y) ∂f (x, y) = lim . h→0 ∂y h

Zpˇ et

. – p.4/26



f (x, y) = 2x + 3y 2 .

Řešení: 2(x + h) + 3y 2 − (2x + 3y 2 ) ∂f 2h (x, y) = lim = lim = 2, h→0 h→0 h ∂x h 2x + 3(y + h)2 − (2x + 3y 2 ) ∂f (x, y) = lim = h→0 ∂y h 2x + 3y 2 + 6yh + 3h2 − 2x − 3y 2 lim = h→0 h 6yh + 3h2 = lim = lim (6y + 3h) = 6y . h→0 h→0 h Zpˇ et

. – p.4/26



f (x, y) = 2x + 3y 2 .

Maple: >

f := (x,y) -> 2*x+3*yˆ2;

f := (x, y) → 2 x + 3 y 2 >

fx:=limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h, h = 0);

fx := 2 >

fy:=limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h, h = 0);

fy := 6 y Porovn´ ame s v´ ypoˇ ctem pomoc´ı pˇ r´ıkazu diff > diff(f(x,y),x) ; 2 nebo pomoc´ı pˇ r´ıkazu D[1] > D[1](f)(x,y); 2 Podobnˇ e pro promˇ ennou y: > diff(f(x,y),y); 6y Dalˇ s´ı . – p.4/26



f (x, y) = 2x + 3y 2 .

Maple: nebo pomoc´ı pˇ r´ıkazu D[2] > D[2](f)(x,y); 6y Zpˇ et

. – p.4/26



f (x, y) = 2x + 3y 2 .

Mathematica: f [x , y ] = 2 x − 3y ∧ 2 2x − 3y 2

Limit[(f [x + h, y] − f [x, y])/h, h → 0] 2

Limit[(f [x, y + h] − f [x, y])/h, h → 0] −6y

Porovn´ ame s v´ ypoˇ ctem derivace pomoc´ı pˇ r´ıkazu D. D[f [x, y], x] 2 D[f [x, y], y] −6y Zpˇ et

. – p.4/26

Příklad 6.1.2 Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace funkce f (x, y) = arctg ?

y x

. Zpˇ et

. – p.5/26

Příklad 6.1.2 Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace funkce f (x, y) = arctg

y x

.

Výsledek: y ∂f , (x, y) = − 2 ∂x x + y2 Zpˇ et

∂f x , (x, y) = 2 ∂y x + y2

pro x 6= 0 .

. – p.5/26


y x

.

Návod: Parci´ aln´ı derivace lze poˇ c´ıtat pouze v bodech n´ aleˇ zej´ıc´ıch do definiˇ cn´ıho oboru D(f ) . Pˇ ri ∂f v´ ypoˇ ctu derivace ∂x (x, y) povaˇ zujeme promˇ ennou y za konstantn´ı. Obdobnˇ e vypoˇ cteme ∂f derivaci ∂y (x, y) . Zpˇ et

. – p.5/26


y x

.

Řešení: D(f ) = {[x, y] ∈

2

, x 6= 0},

∂f 1 (x, y) = y 2 ·y · ) ∂x 1 + (x

−1 x2

= −

y 1+

2

y x2

x2

=−

y , x2 + y 2

1 x 1 ∂f . (x, y) = = 2 y 2 · ∂y 1 + (x) x x + y2 Zpˇ et

. – p.5/26


y x

.

Maple: >

f := (x,y) -> arctan(y/x);

y f := (x, y) → arctan( ) x Parci´ aln´ı derivace je moˇ zno spoˇ c´ıtat bud’: > fx:= diff(f(x,y),x) ; y fx := − y2 2 x (1 + 2 ) x > simplify(%); y − 2 x + y2 nebo pomoc´ı pˇ r´ıkazu D[ ]: > fy:=D[2](f)(x,y); fy := >

1 y2 x (1 + 2 ) x

simplify(%);

x x2 + y 2 Zpˇ et

. – p.5/26


y x

.

Mathematica: f [x , y ] = ArcTan[y/x]; V´ ypoˇ cet

∂f (x, y) x

fx = D[f [x, y], x] −

y y2 x2 1+ 2 x

Simplify[fx] y − x2 +y 2

V´ ypoˇ cet

∂f (x, y) y

fy = D[f [x, y], y] 1 y2 x 1+ 2 x

Simplify[fy] x 2 x +y 2

Zpˇ et

. – p.5/26

Příklad 6.1.3 Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace 1. a 2. ˇ ra ´du funkce f (x, y) = ln(x − 2y) . ?

Zpˇ et

. – p.6/26

Příklad 6.1.3 Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace 1. a 2. ˇ ra ´du funkce f (x, y) = ln(x − 2y) .

Výsledek: D(f ) = {[x, y] ∈

2

, x > 2y}

∂f 1 (x, y) = , ∂x x − 2y

∂f 2 (x, y) = − , ∂y x − 2y

1 ∂2f (x, y) = − , ∂x2 (x − 2y)2

∂2f 4 (x, y) = − , ∂y 2 (x − 2y)2

∂2f 2 , (x, y) = ∂x∂y (x − 2y)2 Zpˇ et

∂2f 2 . (x, y) = ∂y∂x (x − 2y)2

. – p.6/26


Návod: Parci´ aln´ı derivace lze poˇ c´ıtat pouze v bodech n´ aleˇ zej´ıc´ıch do definiˇ cn´ıho oboru D(f ) . Pˇ ri ∂f zujeme promˇ ennou y za konstantn´ı. Obdobnˇ e vypoˇ cteme v´ ypoˇ ctu derivace ∂x (x, y) povaˇ ∂f aln´ı derivace 2. ˇ ra ´du poˇ c´ıt´ ame podle vzorce derivaci ∂y (x, y) . Parci´ ∂ ∂f ∂2f ∂2f (x, y) , pro x = y ). Sm´ıˇ sen´ e derivace (x, y) = (x, y) (x, y) (znaˇ c´ıme ∂x∂y ∂y ∂x ∂x2 jsou totoˇ zn´ e, je-li f ∈ C 2 . Zpˇ et

. – p.6/26


Řešení: D(f ) = {[x, y] ∈ 2 , x > 2y}, geometricky je D(f ) doln´ı polorovina pod pˇ r´ımkou y = ∂f 1 (x, y) = · 1, ∂x x − 2y

1 2x,

bez uveden´ e pˇ r´ımky.

∂f 1 (x, y) = · (−2) , ∂y x − 2y

1 1 ∂2f (x, y) = − · 1 = − , ∂x2 (x − 2y)2 (x − 2y)2 ∂2f −2 4 (x, y) = (−2)(−1) = − , ∂y 2 (x − 2y)2 (x − 2y)2 ∂2f 1 2 ∂2f (−2) (x, y) = − · (−2) = , (x, y) = − ·1= ∂x∂y (x − 2y)2 (x − 2y)2 ∂y∂x (x − 2y)2 2 . Vid´ıme, ˇ ze sm´ıˇ sen´ e derivace jsou totoˇ zn´ e. (x − 2y)2 Zpˇ et

. – p.6/26


Maple: >

f := (x,y) -> ln(x-2*y);

f := (x, y) → ln(x − 2 y)

Parci´ aln´ı derivace 1. ˇ ra ´du: > fx:= diff(f(x,y),x) ;

1 x − 2y

fx := >

fy:= diff(f(x,y),y);

fy := − Parci´ aln´ı derivace 2. ˇ ra ´du: > fxx:= diff(f(x,y),x$2); fxx := − >

fyy:= diff(f(x,y),y$2);

2 x − 2y

1 (x − 2 y)2

4 (x − 2 y)2 vˇ cetnˇ e sm´ıˇ sen´ ych derivac´ı, kter´ e jsou totoˇ zn´ e: > fxy:= diff(f(x,y),x,y); fyy := −

fxy := Dalˇ s´ı

2 (x − 2 y)2 . – p.6/26


Maple: >

fyx:= diff(f(x,y),y,x);

fyx := Zpˇ et

2 (x − 2 y)2

. – p.6/26


Mathematica: f [x , y ] = Log[x − 2y]; V´ ypoˇ cet prvn´ıch derivac´ı: fx = D[f [x, y], x] 1 x−2y

fy = D[f [x, y], y] 2 − x−2y

V´ ypoˇ cet druh´ ych derivac´ı: fxx = D[f [x, y], {x, 2}] 1 − (x−2y) 2

fxy = D[f [x, y], x, y] 2 (x−2y)2

fyy = D[f [x, y], {y, 2}] 4 − (x−2y) 2

Zpˇ et

. – p.6/26

Příklad 6.1.4 2

e A = [ 0, 2 , 0 ] Vypoˇ ctˇ ete gradient funkce f (x, y, z) = 3 x2 + e−xy − z v bodˇ ?

Zpˇ et

. – p.7/26

Příklad 6.1.4 2

e A = [ 0, 2 , 0 ] Vypoˇ ctˇ ete gradient funkce f (x, y, z) = 3 x2 + e−xy − z v bodˇ

Výsledek: grad f (A) = (−4, 0, −1) Zpˇ et

. – p.7/26

Příklad 6.1.4 2


Návod: grad f (x, y, z) = Zpˇ et

∂f ∂f ∂f (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z) ∂x ∂y ∂z

. – p.7/26

Příklad 6.1.4 2


Řešení: D(f ) =

3

,

2 ∂f (x, y, z) = 6 x − y 2 e−xy , ∂x

∂f ( 0, 2, 0 ) = −4 , ∂x

∂f −xy 2 , (x, y, z) = −2 x y e ∂y

∂f ( 0, 2, 0 ) = 0 , ∂y

∂f (x, y, z) = −1 , ∂z

∂f ( 0, 2, 0 ) = −1 . ∂z

Tedy grad f (A) = (−4, 0, −1) . Zpˇ et

. – p.7/26

Příklad 6.1.4 2


Maple: >

f:=(x,y,z)-> 3*xˆ2+exp(-x*yˆ2)-z; 2

f := (x, y, z) → 3 x2 + e(−x y ) − z Gradient je vektor parci´ aln´ıch derivac´ı > [diff(f(x,y,z),x),diff(f(x,y,z),y),diff(f(x,y,z),z)]; 2

2

[6 x − y 2 e(−x y ) , −2 x y e(−x y ) , −1] kter´ y lze vypoˇ c´ıtat pˇ r´ımo pomoc´ı pˇ r´ıkazu grad: > with(linalg,grad): > gradf:= grad(f(x,y,z),[x,y,z]); h i 2 (−x y 2 ) (−x y 2 ) gradf := 6 x − y e , −2 x y e , −1 Nakonec dosad´ıme souˇ radnice bodu A: > gradfvA:=subs(x=0,y=2,z=0,grad(f(x,y,z),[x,y,z]));

>

simplify(%);

gradfvA := [−4 e0 , 0, −1] [−4, 0, −1]

Zpˇ et

. – p.7/26

Příklad 6.1.4 2


Mathematica: f [x , y , z ] = 3x∧ 2 + Exp[−xy ∧ 2] − z; << Calculus`VectorAnalysis`

Grad[f [x, y, z], Cartesian[x, y, z]] o n −xy 2 −xy 2 2 xy, −1 y , −2e 6x − e

grad = Grad[f [x, y, z], Cartesian[x, y, z]]

gradA = grad/.{x → 0, y → 2, z → 0} {−4, 0, −1} Zpˇ et

. – p.7/26

Příklad 6.1.5 Objem kuˇ zele V je funkc´ı polomˇ eru podstavy r a v´ yˇ sky kuˇ zele h . Vyj´ adˇ rete parci´ aln´ı ∂V ∂V derivace ∂r a ∂h . Co tyto derivace popisuj´ı? ?

Zpˇ et

. – p.8/26

Příklad 6.1.5 Objem kuˇ zele V je funkc´ı polomˇ eru podstavy r a v´ yˇ sky kuˇ zele h . Vyj´ adˇ rete parci´ aln´ı ∂V ∂V derivace ∂r a ∂h . Co tyto derivace popisuj´ı?

Výsledek: 2πrh ∂V = , ∂r 3 Zpˇ et

∂V πr 2 = . ∂h 3

. – p.8/26


Návod: Pˇ ri v´ ypoˇ ctu derivace ∂V zujeme promˇ ennou h za konstantn´ı. Obdobnˇ e pro derivaci ∂r povaˇ ∂V zujeme promˇ ennou r za konstantn´ı. ∂h povaˇ Zpˇ et

. – p.8/26


Řešení: πr 2 h V (r, h) = , 3

∂V 2πrh = , ∂r 3

∂V πr 2 = ∂h 3

∂V popisuje rychlost zmˇ eny objemu kuˇ zele v z´ avislosti na zmˇ enˇ e polomˇ eru, za ∂r ∂V popisuje rychlost zmˇ eny pˇ redpokladu, ˇ ze je v´ yˇ ska kuˇ zele konstantn´ı. Derivace ∂h objemu kuˇ zele v z´ avislosti na zmˇ enˇ e v´ yˇ sky, za pˇ redpokladu, ˇ ze je polomˇ er konstantn´ı. Derivace

Zpˇ et

. – p.8/26


Maple: Objem kuˇ zele: > V:=(r,h)-> Pi*rˆ2*h/3; 1 π r2 h 3 Parci´ aln´ı derivace objemu kuˇ zele dle polomˇ eru a v´ yˇ sky: V := (r, h) →

>

Vr:= diff(V(r,h),r) ;

Vr := >

2πrh 3

Vh:= diff(V(r,h),h) ;

π r2 Vh := 3 Zpˇ et

. – p.8/26


Mathematica: Objem kuˇ zele: V [r , h ] = Pir ∧ 2h/3; Parci´ aln´ı derivace objemu kuˇ zele dle polomˇ eru a v´ yˇ sky: Vr = D[V [r, h], r] 2hπr 3

Vh = D[V [r, h], h] πr 2 3

Zpˇ et

. – p.8/26

Příklad 6.1.6 2

Ovˇ eˇ rte, ˇ ze funkce u(x, t) = e−a t sin x je ˇ reˇ sen´ım n´ asleduj´ıc´ı rovnice, tzv. rovnice veden´ı tepla: 2 ∂u 2∂ u , t > 0, a ∈ . =a ∂t ∂x2 ? Zpˇ et

. – p.9/26

Příklad 6.1.6 2

Ovˇ eˇ rte, ˇ ze funkce u(x, t) = e−a t sin x je ˇ reˇ sen´ım n´ asleduj´ıc´ı rovnice, tzv. rovnice veden´ı tepla: 2 ∂u 2∂ u , t > 0, a ∈ . =a ∂t ∂x2

Výsledek: 2 ∂u 2 −a2 t 2 ∂ u = −a e sin x . =a ∂t ∂x2 Zpˇ et

. – p.9/26

Příklad 6.1.6 2


Návod: Porovn´ ame parci´ aln´ı derivace na obou stran´ ach rovnice. Zpˇ et

. – p.9/26

Příklad 6.1.6 2


Řešení: D(u) =

×

+

,

∂u 2 −a2 t = −a e sin x , ∂t

∂u −a2 t =e cos x , ∂x

∂2u 2 −a2 t 2 −a2 t a = a · e · (−1) sin x = −a e sin x . ∂x2 2

Funkce je tedy ˇ reˇ sen´ım rovnice na cel´ em D(u) . Zpˇ et

. – p.9/26

Příklad 6.1.6 2


Maple: >

u := (x,t) -> exp(-aˆ2*t)*sin(x);

∂ ∂t

u := (x, t) → e(−a

2 t)

sin(x)

Vyj´ adˇ r´ıme u > ut := diff(u(x,t),t); ∂2 a2 ( ∂x 2

ut := −a2 e(−a

2 t)

sin(x)

u): a spoˇ c´ıt´ ame > Prstr := aˆ2*diff(u(x,t),x$2);

Prstr := −a2 e(−a Tedy dan´ a funkce ˇ reˇ s´ı rovnici veden´ı tepla.

2 t)

sin(x)

Zpˇ et

. – p.9/26

Příklad 6.1.6 2


Mathematica: u[x, t] = Exp[−a∧ 2t]Sin[x]; Ovˇ eˇ ren´ı, ˇ ze funkce splˇ nuje rovnici veden´ı tepla. rovnice = D[u[x, t], t] == a∧ 2D[u[x, t], {x, 2}] True

Zpˇ et

. – p.9/26

Derivace ve směru x • Pˇ v bodˇ e r´ıklad 6.2.1 Pomoc´ı definice vypoˇ ctˇ ete derivaci funkce f (x, y) = y B = [4, −1] ve smˇ eru vektoru u ~ = (−2, 3) .

x • Pˇ v bodˇ e B = [4, −1] r´ıklad 6.2.2 Vypoˇ ctˇ ete smˇ erovou derivaci funkce f (x, y) = y ve smˇ eru vektoru u ~ = (−2, 3) s pomoc´ı gradientu funkce. • Pˇ r´ıklad 6.2.3 Vypoˇ ctˇ ete smˇ erovou derivaci funkce f (x, y, z) = cos(xy) + ln z 2 v bodˇ e B = [π, 1, 1] ve smˇ eru vektoru u ~ = (1, 1, 1) s pomoc´ı gradientu funkce. Zpˇ et

. – p.10/26

Příklad 6.2.1 Pomoc´ı definice vypoˇ ctˇ ete derivaci funkce f (x, y) =

x v bodˇ e B = [4, −1] ve smˇ eru y

vektoru u ~ = (−2, 3) . ?

Zpˇ et

. – p.11/26



vektoru u ~ = (−2, 3) .

Výsledek: Df (B, ~ a) = −10 Zpˇ et

√

13 , 13

kde ~ a=

u ~ . k~ uk

. – p.11/26



vektoru u ~ = (−2, 3) .

Návod: Df (B, ~ a) = lim

h→0

f (B + h~ a) − f (B) , h

kde k~ ak = 1 .

Zpˇ et

. – p.11/26



vektoru u ~ = (−2, 3) .

Řešení: Ovˇ eˇ r´ıme, ˇ ze B ∈ D(f ) = {[x, y] ∈

2

, y 6= 0 },

√ u ~ ~ u 13 = √ (−2, 3) , vypoˇ cteme odpov´ıdaj´ıc´ı jednotkov´ y vektor ~ a= = k~ uk 13 13

a d´ ale

" √ √ √ # 2h 13 3h 13 13 B + h~ a = [4, −1] + h (−2, 3) = 4 − , −1 + . 13 13 13

Podle definice dost´ av´ ame

Df (B, ~ a) = lim

h→0

f (B + h~ a) − f (B) = lim h→0 h

√ 2h 13 4 − 13 √ −1 + 3h1313

h

4 − −1

√ 10h 13 √ −13 + 3h 13 = lim = h→0 h

√ √ 10 13 10 13 =− = lim . √ h→0 −13 + 3h 13 13 Zpˇ et

. – p.11/26



vektoru u ~ = (−2, 3) .

Maple: >

with(linalg):

>

f := (x,y) -> x/y;

f := (x, y) → >

>

x y

BOD := vector([4,-1]); u := vector([-2,3]);

BOD := [4, −1] u := [−2, 3]

Vektor je tˇ reba nejdˇ r´ıve ”normovat”: > a := vector([-2,3])/norm(u,frobenius); √ 1 [−2, 3] 13 13 M˚ uˇ zeme pouˇ z´ıt jin´ y pˇ r´ıkaz pro normalizaci: > a := normalize(u); " √ √ # 2 13 3 13 a := − , 13 13 a :=

>

Dalˇ s´ı

Dfa := Limit(’(f(BOD+h*a)-f(BOD))/h’,h=0);

Dfa := lim

h→0

f(BOD + h a) − f(BOD) h . – p.11/26



vektoru u ~ = (−2, 3) .

Maple: >

P := evalm(BOD+h*a);

"

√ √ # 2 h 13 3 h 13 P := 4 − , −1 + 13 13 >

Dfa := Limit((f(P[1],P[2])-f(BOD[1],BOD[2]))/h,h=0); √ 2 h 13 4− 13√ +4 3 h 13 −1 + 13 Dfa := lim h→0 h > Dfa := Limit(simplify((f(P[1],P[2])-f(BOD[1],BOD[2]))/h),h=0); √ 10 13 Dfa := lim √ h→0 −13 + 3 h 13 Nyn´ı se limita, tj. derivace ve smˇ eru v v bodˇ e BOD , vypoˇ c´ıt´ a: >

Dfa BOD := limit((f(P[1],P[2])-f(BOD[1],BOD[2]))/h,h=0); √ 10 13 Dfa BOD := − 13

Zpˇ et

. – p.11/26



vektoru u ~ = (−2, 3) .

Mathematica: f [x , y ] = x/y; u = {−2, 3}; BOD = {4, −1}; −1};u Normov´ an´ı vektoru: v = u/Norm[u] n o 3 2 − √13 , √13

V´ ypoˇ cet derivace ve smˇ eru:

Limit[ (f [BOD[[1]] + hv[[1]], BOD[[2]] + hv[[2]]]− f [BOD[[1]], BOD[[2]]])/h, h → 0] − √10 13 Zpˇ et

. – p.11/26

Příklad 6.2.2 Vypoˇ ctˇ ete smˇ erovou derivaci funkce f (x, y) =

x v bodˇ e B = [4, −1] ve smˇ eru vektoru y

u ~ = (−2, 3) s pomoc´ı gradientu funkce. ?

Zpˇ et

. – p.12/26



u ~ = (−2, 3) s pomoc´ı gradientu funkce.

Výsledek: Df (B, ~ a) = −10 Zpˇ et

√

13 , 13

kde ~ a=

u ~ . k~ uk

. – p.12/26




Návod: Df (B, ~ a) = gradf (B) · ~ a,

kde k~ ak = 1 .

Zpˇ et

. – p.12/26




Řešení: 2 , y 6= 0}, f ∈ C 1 (G) , kde G = {[x, y] ∈ , y < 0}, B ∈ G . √ ~ u u ~ 13 = √ (−2, 3) . Odpov´ıdaj´ıc´ı jednotkov´ y vektor je ~ a= = k~ uk 13 13

D(f ) = {[x, y] ∈

2

Ze znalosti gradientu gradf (x, y) = Df (B, ~ a) = gradf (B) · ~ a

x 1 ,− 2 y y

a ze zn´ am´ eho vzorce

dost´ av´ ame

√ √ √ 4 1 13 13 13 ,− · (−2, 3) = (2 − 12) = −10 . Df (B, ~ a) = 13 −1 (−1)2 13 13 Zpˇ et

. – p.12/26




Maple: >

with(linalg):

>

f := (x,y) -> x/y;

f := (x, y) →

x y

v bodˇ e: >

>

BOD := vector([4,-1]); u := vector([-2,3]);

BOD := [4, −1] u := [−2, 3]

>

a := normalize(u);

√ # √ 13 3 13 , a := − 13 13 Ze znalosti gradientu a ze zn´ am´ eho vzorce: > vzorec := innerprod(grad(f(x,y),[x,y]), a); √ 13 (2 y + 3 x) vzorec := − 13 y 2 Dalˇ s´ı "

2

. – p.12/26




Maple: dostaneme pˇ r´ımo derivaci ve smˇ eru v v bodˇ e BOD: > der ve smeru:= subs({x=BOD[1],y=BOD[2]},vzorec); √ 10 13 der ve smeru := − 13 Zpˇ et

. – p.12/26




Mathematica: f [x , y ] = x/y; grad = {D[f [x, y], x], D[f [x, y], y]} n o x 1 y , − y2

gradB = grad/.{x → 4, y → −1} {−1, −4}

u = {−2, 3}; Normav´ an´ı vektoru: v = u/Norm[u] o n 3 2 √ √ − 13 , 13

V´ ypoˇ cet derivace ve smˇ eru pomoc´ı gradientu:

DerVeSmeru = gradB.v − √10 13 Zpˇ et

. – p.12/26

Příklad 6.2.3 Vypoˇ ctˇ ete smˇ erovou derivaci funkce f (x, y, z) = cos(xy) + ln z smˇ eru vektoru u ~ = (1, 1, 1) s pomoc´ı gradientu funkce. ?

2

v bodˇ e B = [π, 1, 1] ve Zpˇ et

. – p.13/26

Příklad 6.2.3 Vypoˇ ctˇ ete smˇ erovou derivaci funkce f (x, y, z) = cos(xy) + ln z smˇ eru vektoru u ~ = (1, 1, 1) s pomoc´ı gradientu funkce.

2

v bodˇ e B = [π, 1, 1] ve

Výsledek: √ 3 , Df (B, ~ v) = 2 3 Zpˇ et

kde ~ v=

u ~ . k~ uk

. – p.13/26


2


Návod: Df (B, ~ v ) = gradf (B) · ~ v,

kde k~ vk = 1 .

Zpˇ et

. – p.13/26


2


Řešení: D(f ) = {[x, y, z] ∈

3

, z 6= 0}, f ∈ C 1 (G) , kde G = {[x, y, z] ∈

3

, z > 0},

B ∈ G.

√ u ~ 3 u ~ Odpov´ıdaj´ıc´ı jednotkov´ y vektor je ~ v= = √ = (1, 1, 1) . k~ uk 3 3 Ze znalosti gradientu gradf (x, y, z) = Df (B, ~ v ) = gradf (B) · ~ a

2 −y sin(xy), −x sin(xy), z

a ze vzorce

dost´ av´ ame

√ √ √ 3 3 3 (− sin(π), −π sin(π), 2) · (1, 1, 1) = (0 + 0 + 2) = 2 . Df (B, ~ v) = 3 3 3 Zpˇ et

. – p.13/26


2


Maple: >

with(linalg):

>

f := (x,y,z) -> cos(x*y)+ ln(zˆ2);

>

f := (x, y, z) → cos(x y) + ln(z 2 ) BOD := vector([Pi,1,1]); BOD := [π, 1, 1]

>

u := vector([1,1,1]);

a := [1, 1, 1] >

v := normalize(u);

"√ √ √ # 3 3 3 v := , , 3 3 3 Ze znalosti gradientu a ze zn´ am´ eho vzorce: > vzorec := innerprod(grad(f(x,y,z),[x,y,z]), v); √ 1 3 (sin(x y) y z + sin(x y) x z − 2) vzorec := − 3 z dostaneme pˇ r´ımo derivaci ve smˇ eru v v bodˇ e BOD: > der ve smeru:= subs({x=BOD[1],y=BOD[2],z=BOD[3]},vzorec); der ve smeru := −

1√ 3 (sin(π) + sin(π) π − 2) 3

Dalˇ s´ı . – p.13/26


2


Maple: >

simplify(%);

2

√ 3 3

Zpˇ et

. – p.13/26


2


Mathematica: f [x , y , z ] = Cos[xy] + Log[z ∧ 2]; << Calculus`VectorAnalysis` grad = Grad[f [x, y, z], Cartesian[x, y, z]] −ySin[xy], −xSin[xy], z2 V´ ypoˇ cet gradientu:

gradB = grad/.{x → Pi, y → 1, z → 1} {0, 0, 2}

Definice a normov´ an´ı vektoru: u = {1, 1, 1}; v = u/Norm[u] n o 1 1 1 √ , √ , √ 3 3 3

V´ ypoˇ cet smˇ erov´ e derivace pomoc´ı gradientu:

DerVeSmeru = gradB.v 2 √ 3

Zpˇ et

. – p.13/26

Derivování složených funkcí • Pˇ r´ıklad 6.3.1 Napiˇ ste derivaci f ′ (t) funkce f (t) = g(x, y) , kde x = et a y = sin t , g ∈ C 1 ( 2 ) . Pro konkr´ etn´ı funkci g(x, y) = xy 2 + 3yx3 vypoˇ ctˇ ete f ′ (0) . • Pˇ r´ıklad 6.3.2 Je d´ ana funkce g(x, y) = x2 + y 2 , kde x(r, ϕ) = r cos ϕ a y(r, ϕ) = r sin ϕ . Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace funkce f (r, ϕ) = g(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) . • Pˇ r´ıklad 6.3.3 Napiˇ ste sm´ıˇ senou parci´ aln´ı derivaci druh´ eho ˇ ra ´du funkce 2 2 f (r, s) = h(x, y) , kde x(r, s) = r + s a y(r, s) = 5rs , h ∈ C 2 ( 2 ) . Zpˇ et

. – p.14/26

Příklad 6.3.1 Napiˇ ste derivaci f ′ (t) funkce f (t) = g(x, y) , kde x = et a y = sin t , g ∈ C 1 ( konkr´ etn´ı funkci g(x, y) = xy 2 + 3yx3 vypoˇ ctˇ ete f ′ (0) . ?

2

) . Pro Zpˇ et

. – p.15/26

Příklad 6.3.1 Napiˇ ste derivaci f ′ (t) funkce f (t) = g(x, y) , kde x = et a y = sin t , g ∈ C 1 ( konkr´ etn´ı funkci g(x, y) = xy 2 + 3yx3 vypoˇ ctˇ ete f ′ (0) .

2

) . Pro

Výsledek: ′

f (t) =

∂g ∂g t (x, y) e + (x, y) cos t , ∂x ∂y

′

f (0) = 3 .

Zpˇ et

. – p.15/26


2

) . Pro

Návod: ′

f =

∂g ∂x ∂g ∂y + ∂x ∂t ∂y ∂t

Zpˇ et

. – p.15/26


2

) . Pro

Řešení: ′

f (t) =

∂g ∂x ∂g ∂y ∂g ∂g t (x, y) (t) + (x, y) (t) = (x, y) e + (x, y) cos t . ∂x ∂t ∂y ∂t ∂x ∂y

Konkr´ etn´ı funkce g(x, y) = xy 2 + 3yx3 m´ a parci´ aln´ı derivace ∂g 2 2 (x, y) = y + 9yx , ∂x

∂g 3 (x, y) = 2xy + 3x . ∂y

Pro t = 0 je x = 1 , y = 0 a

∂g ∂g (1, 0) = 0 , (1, 0) = 3 , ∂x ∂y

tedy f ′ (0) = 0 · e0 + 3 · cos(0) = 3 . Zpˇ et

. – p.15/26


2

) . Pro

Maple: Pˇ riprav´ıme form´ aln´ı vzorec derivov´ an´ı sloˇ zen´ e funkce tzv. vzorec ˇ retˇ ezov´ eho derivov´ an´ı > ft := ’gx’*’xt’ + ’gy’*’yt’; ft := gx xt + gy yt Zad´ ame vnˇ ejˇ s´ı funkci a spoˇ c´ıt´ ame parci´ aln´ı derivace > g := x*yˆ2 + 3*y*xˆ3;

>

g := x y 2 + 3 y x3 gx := diff(g,x); gy := diff(g,y); gx := y 2 + 9 y x2 gy := 2 x y + 3 x3

Zad´ ame vnitˇ rn´ı funkce > x := exp(t); y := sin(t); x := et y := sin(t) a derivujeme kaˇ zdou z nich podle t > xt := diff(exp(t),t); yt := diff(sin(t),t); xt := et yt := cos(t) Dalˇ s´ı . – p.15/26


2

) . Pro

Maple: Do vzorce pro ˇ retˇ ezov´ eho derivov´ an´ı dosad´ıme pˇ ripraven´ e derivace v t = 0 > ftv0 := simplify( subs(t=0,ft) ); ftv0 := 3 Zpˇ et

. – p.15/26


2

) . Pro

Mathematica: g[a , b ] = ab∧ 2 + 3ba∧ 3; x[t ] = Exp[t]; y[t ] = Sin[t]; Vypoˇ cteme sloˇ zenou funkci: f [t ] = g[x[t], y[t]] 3e3t Sin[t] + et Sin[t]2 Spoˇ cteme pˇ r´ımo derivaci derf[t ] = D[f [t], t] 3e3t Cos[t] + 9e3t Sin[t] + 2et Cos[t]Sin[t] + et Sin[t]2 derf[0] 3 Zpˇ et

. – p.15/26

Příklad 6.3.2 Je d´ ana funkce g(x, y) = x2 + y 2 , kde x(r, ϕ) = r cos ϕ a y(r, ϕ) = r sin ϕ . Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace funkce f (r, ϕ) = g(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) . ?

Zpˇ et

. – p.16/26

Příklad 6.3.2 Je d´ ana funkce g(x, y) = x2 + y 2 , kde x(r, ϕ) = r cos ϕ a y(r, ϕ) = r sin ϕ . Vypoˇ ctˇ ete parci´ aln´ı derivace funkce f (r, ϕ) = g(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) .

Výsledek: ∂f (r, ϕ) = 2r , ∂r

∂f (r, ϕ) = 0 . ∂ϕ

Zpˇ et

. – p.16/26


Návod: ∂f ∂g ∂x ∂g ∂y = + , ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r

∂f ∂g ∂x ∂g ∂y = + , ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ

nebo vyjdeme pˇ r´ımo z rovnosti f (r, ϕ) = (x(r, ϕ))2 + (y(r, ϕ))2 . Zpˇ et

. – p.16/26


Řešení: f (r, ϕ) = g ( x(r, t), y(r, t) ) = g(r cos t, r sin t) ∂f ∂g ∂x ∂g ∂y ∂f = + ⇒ (r, ϕ) = 2x cos ϕ + 2y sin ϕ = ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂r = 2r cos ϕ cos ϕ + 2r sin ϕ sin ϕ = 2r, ∂g ∂x ∂g ∂y ∂f ∂f = + ⇒ (r, ϕ) = 2x (−r sin ϕ) + 2y r cos ϕ = ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂ϕ = 2r cos ϕ (−r sin ϕ) + 2r sin ϕ r cos ϕ = 0 . Pro kontrolu urˇ c´ıme pˇ r´ımo pˇ redpis sloˇ zen´ e funkce f (r, ϕ) = (r cos ϕ)2 + (r sin ϕ))2 = r 2 . Tedy ∂f ∂f (r, ϕ) = 2r , (r, ϕ) = 0 . ∂r ∂ϕ Zpˇ et

. – p.16/26


Maple: Pˇ riprav´ıme form´ aln´ı vzorec derivov´ an´ı sloˇ zen´ e funkce. ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ r := r : P hi := P hi : x := x : y := y : tzv. vzorec ˇ retˇ ezov´ eho derivov´ an´ı > fr := ’gx’*’xr’ + ’gy’*’yr’; >

fr := gx xr + gy yr fp := ’gx’*’xp’ + ’gy’*’yp’;

fp := gx xp + gy yp Zad´ ame vnˇ ejˇ s´ı funkci a spoˇ c´ıt´ ame parci´ aln´ı derivace > g := xˆ2 + yˆ2;

>

g := x2 + y 2 gx := diff(g,x); gy := diff(g,y); gx := 2 x gy := 2 y

Zad´ ame vnitˇ rn´ı funkce > x := r*cos(Phi); y := r*sin(Phi); x := r cos(Φ) y := r sin(Φ) a derivujeme kaˇ zdou z nich podle r a Φ Dalˇ s´ı . – p.16/26


Maple: >

xr := diff(r*cos(Phi),r); yr := diff(r*sin(Phi),r);

xr := cos(Φ) >

yr := sin(Φ) xp := diff(r*cos(Phi),Phi); yp := diff(r*sin(Phi),Phi); xp := −r sin(Φ)

yp := r cos(Φ) Do vzorce pro ˇ retˇ ezov´ e derivov´ an´ı dosad´ıme pˇ ripraven´ e derivace > fr := simplify(fr ); fr := 2 r >

fp := simplify(fp );

fp := 0 Nebo vypoˇ cteme pˇ r´ımo parci´ aln´ı derivace sloˇ zen´ e funkce: > f:= (r,Phi) -> (r*cos(Phi))ˆ2 +(r*sin(Phi))ˆ2 ;

>

f := (r, Φ) → r 2 cos(Φ)2 + r 2 sin(Φ)2 Dfr:= diff(f(r,Phi),r); Dfr := 2 r cos(Φ)2 + 2 r sin(Φ)2

Dalˇ s´ı

. – p.16/26


Maple: >

simplify(Dfr );

2r >

Dfr:= diff(f(r,Phi),Phi);

Dfr := 0 Zpˇ et

. – p.16/26


Mathematica: g[a , b ] = a∧ 2 + b∧ 2; x[r , ϕ ] = rCos[ϕ]; y[r , ϕ] = rSin[ϕ]; Vypoˇ cteme sloˇ zenou funkci: f [r , ϕ ] = g[x[r, ϕ], y[r, ϕ]] r 2 Cos[ϕ]2 + r 2 Sin[ϕ]2 Spoˇ cteme pˇ r´ımo derivace derfr[r , ϕ ] = D[f [r, ϕ], r] 2rCos[ϕ]2 + 2rSin[ϕ]2 Simplify[%] 2r derfphi[r , ϕ ] = D[f [r, ϕ], ϕ] 0 Zpˇ et

. – p.16/26

Příklad 6.3.3 Napiˇ ste sm´ıˇ senou parci´ aln´ı derivaci druh´ eho ˇ ra ´du funkce f (r, s) = h(x, y) , kde 2 2 2 2 x(r, s) = r + s a y(r, s) = 5rs , h ∈ C ( ) . ?

Zpˇ et

. – p.17/26

Příklad 6.3.3 Napiˇ ste sm´ıˇ senou parci´ aln´ı derivaci druh´ eho ˇ ra ´du funkce f (r, s) = h(x, y) , kde 2 2 2 2 x(r, s) = r + s a y(r, s) = 5rs , h ∈ C ( ) .

Výsledek: ∂2f ∂2f (r, s) = (r, s) = ∂r∂s ∂s∂r 2 ∂h ∂2h ∂2h 2 2 ∂ h (x, y) + 25rs 2 (x, y) + 5 (x, y). = 4rs 2 (x, y) + 10(r + s ) ∂x ∂x∂y ∂y ∂y Zpˇ et

. – p.17/26


Návod: ∂h ∂x ∂h ∂y ∂f = + , ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂ ∂2f = ∂r∂s ∂s Zpˇ et

∂f ∂r

parci´ aln´ı derivace 2. ˇ ra ´du poˇ c´ıt´ ame podle vzorce

. Sm´ıˇ sen´ e derivace 2. ˇ ra ´du jsou totoˇ zn´ e, je-li f ∈ C 2 .

. – p.17/26


Řešení: f (r, s) = h ( x(r, s), y(r, s) ) = h(r 2 + s2 , 5rs) ∂f ∂h ∂x ∂h ∂y ∂f ∂h ∂h = + ⇒ (r, s) = (x, y) 2r + (x, y) 5s , ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂r ∂x ∂y ∂ ∂2f (r, s) = ∂r∂s ∂s =

∂h ∂h (x, y)2r + (x, y)5s ∂x ∂y

∂2h ∂2h (x, y) 2s + (x, y) 5r ∂x2 ∂x∂y

!

2r +

=

∂2h ∂2h (x, y)5r (x, y)2s + ∂y∂x ∂y 2

!

5s+

∂h (x, y) 5 = ∂y

2 ∂2h ∂h ∂2h 2 2 ∂ h = 4rs 2 (x, y) + 10(r + s ) (x, y) + 25rs 2 (x, y) + 5 (x, y) . ∂x ∂x∂y ∂y ∂y Zpˇ et

. – p.17/26


Maple: Zad´ ame vnitˇ rn´ı funkce: > x := rˆ2+sˆ2; y := 5*r*s; x := r 2 + s2 y := 5 r s Zad´ ame form´ alnˇ e vnˇ ejˇ s´ı funkci > f :=’f’: f := h(x,y); f := h(r 2 + s2 , 5 r s) Pˇ riprav´ıme si form´ alnˇ e poˇ zadovanou druhou derivaci > fs := Diff(f,s): frs := Diff(fs,r); frs := >

∂2 ∂r ∂s

h(r 2 + s2 , 5 r s)

fs :=diff(f,s);

fs := 2 D1 (h)(r 2 + s2 , 5 r s) s + 5 D2 (h)(r 2 + s2 , 5 r s) r kde D1 (h) , resp. D2 (h) , znamen´ a maplovsk´ y z´ apis pro prvn´ı parci´ aln´ı derivaci podle prvn´ı resp. druh´ e promˇ enn´ e. N´ asleduj´ıc´ım pˇ r´ıkazem dostav´ ame hledanou sm´ıˇ senou derivaci druh´ eho ˇ ra ´du: Dalˇ s´ı

. – p.17/26


Maple: >

frs := simplify(diff(diff(f,s),r));

frs := 4 s D1, 1 (h)(r 2 + s2 , 5 r s) r + 10 D1, 2 (h)(r 2 + s2 , 5 r s) s2 + 10 D1, 2 (h)(r 2 + s2 , 5 r s) r 2 + 25 r D2, 2 (h)(r 2 + s2 , 5 r s) s + 5 D2 (h)(r 2 + s2 , 5 r s) kde napˇ r. D1, 2 (h) znamen´ a maplovsk´ y z´ apis pro sm´ıˇ senou druhou parci´ aln´ı derivaci funkce h . Zpˇ et

. – p.17/26


Mathematica: x[r , s ] = r ∧ 2 + s∧ 2; y[r , s ] = 5rs; Nejdˇ r´ıve definujeme sloˇ zenou funkci f f [r , s ] = h[x[r, s], y[r, s]] h r 2 + s2 , 5rs

Nyn´ı spoˇ cteme prvn´ı a druh´ e derivace.

derfr[r , s ] = D[f [r, s], r] 5sh(0,1) r 2 + s2 , 5rs + 2rh(1,0) r 2 + s2 , 5rs

derfs[r , s ] = D[f [r, s], s] 5rh(0,1) r 2 + s2 , 5rs + 2sh(1,0) r 2 + s2 , 5rs

derfrr[r , s ] = D[f [r, s], {r, 2}] 2 2 2 2 2 (1,1) 2 (0,2) (1,0) r + s , 5rs + r + s , 5rs + 2rh r + s , 5rs + 5s 5sh 2h 2r 5sh(1,1) r 2 + s2 , 5rs + 2rh(2,0) r 2 + s2 , 5rs Dalˇ s´ı

. – p.17/26


Mathematica: derfrs[r , s ] = D[f [r, s], r, s] 2 2 2 2 2 (1,1) 2 (0,2) (0,1) r + s , 5rs + r + s , 5rs + 2sh r + s , 5rs + 5s 5rh 5h 2r 5rh(1,1) r 2 + s2 , 5rs + 2sh(2,0) r 2 + s2 , 5rs

derfss[r , s ] = D[f [r, s], {s, 2}] 2 2 2 2 2 (1,1) 2 (0,2) (1,0) r + s , 5rs + r + s , 5rs + 2sh r + s , 5rs + 5r 5rh 2h 2s 5rh(1,1) r 2 + s2 , 5rs + 2sh(2,0) r 2 + s2 , 5rs

Zde h(1,1) znaˇ c´ı druhou derivaci funkce h podle prvn´ı a podle druh´ e promˇ enn´ e. Podobnˇ e (2,0) (1,0) ostatn´ı symboly h ,h ,...

Zpˇ et

. – p.17/26

Taylor˚ uv polynom a totální diferenciál • Pˇ r´ıklad 6.4.1 Najdˇ ete Taylor˚ uv polynom druh´ eho stupnˇ e funkce f (x, y) = x ey , kter´ y aproximuje funkci f v okol´ı bodu [x0 , y0 ] = [2, 0] . • Pˇ r´ıklad 6.4.2 Napiˇ ste Taylor˚ uv polynom 2. stupnˇ e pro funkci f (x, y) = sin(x2 + y 2 ) v bodˇ e [x0 , y0 ] = [1, 0] a pomoc´ı nˇ eho vypoˇ ctˇ ete pˇ ribliˇ znˇ e hodnotu f (1, 1; 0, 1) . • Pˇ r´ıklad 6.4.3 Vypoˇ ctˇ ete pˇ ribliˇ znou hodnotu

1 pomoc´ı Taylorova 3, 052 + 0, 05

polynomu druh´ eho stupnˇ e. • Pˇ r´ıklad 6.4.4 Napiˇ ste form´ alnˇ e tot´ aln´ı diferenci´ al funkce: f (x, y) = y 2 sin x v bodˇ e [x0 , y0 ] . p • Pˇ r´ıklad 6.4.5 Vypoˇ ctˇ ete tot´ aln´ı diferenci´ al funkce f (x, y) = 9x2 + y 2 v bodˇ e [2, 8] pro pˇ r´ır˚ ustky dx = −0, 05, dy = 0, 08 . Zpˇ et

. – p.18/26

Příklad 6.4.1 Najdˇ ete Taylor˚ uv polynom druh´ eho stupnˇ e funkce f (x, y) = x ey , kter´ y aproximuje funkci f v okol´ı bodu [x0 , y0 ] = [2, 0] . ?

Zpˇ et

. – p.19/26

Příklad 6.4.1 Najdˇ ete Taylor˚ uv polynom druh´ eho stupnˇ e funkce f (x, y) = x ey , kter´ y aproximuje funkci f v okol´ı bodu [x0 , y0 ] = [2, 0] .

Výsledek: 2

T2 (x, y) = x + 2y + (x − 2)y + y . Zpˇ et

. – p.19/26


Návod: Taylor˚ uv polynom druh´ eho stupnˇ e T2 v okol´ı bodu [x0 , y0 ] je definovan´ y vztahem ∂f ∂f T2 (x, y) = f (x0 , y0 ) + (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 )+ ∂x ∂y ! 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f 2 2 1 + 2! (x , y )(x − x ) + 2 (x , y )(y − y ) . (x , y )(x − x )(y − y ) + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Zpˇ et

. – p.19/26


Řešení: Do vzorce pro T2 (x, y) dosad´ıme funkˇ cn´ı hodnotu f (x0 , y0 ) a hodnoty parci´ aln´ıch derivac´ı funkce f v bodˇ e [x0 , y0 ] = [2, 0] . f (2, 0) = 2 , ∂f = ey ∂x ∂f ∂y

= x ey

∂2 f ∂x2

=0

∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y 2

∂f (2, 0) = 1 , ∂x

⇒ ⇒

∂f ∂y (2, 0) ∂2 f ∂x2

⇒

= ey

⇒

= x ey

⇒

= 2,

(2, 0) = 0 ,

∂2 f ∂x∂y (2, 0) ∂2 f ∂y 2

= 1,

(2, 0) = 2 .

1 2 2 T2 (x, y) = 2+1·(x−2)+2·(y−0)+ 0 · (x − 2) + 2 · 1 · (x − 2)(y − 0) + 2 · (y − 0) = 2! = 2 + (x − 2) + 2y + (x − 2)y + y 2 = x + 2y + (x − 2)y + y 2 . Tento polynom aproximuje funkci f v okol´ı bodu [x0 , y0 ] = [2, 0] . Zpˇ et . – p.19/26


Maple: >

f:=(x,y)->x*exp(y);

f := (x, y) → x ey Pˇ r´ıkaz mtaylor, narozd´ıl od pˇ r´ıkazu taylor pro funkci jedn´ e promˇ enn´ e, neobsahuje zbytek. > mtaylor(f(x,y),[x=2,y=0],2+1); 2 y + x + y 2 + (x − 2) y Je moˇ zno vyj´ adˇ rit jednotliv´ e koeficienty rozvoje: Hodnota f [x0 , y0 ] > coeftayl(f(x,y),[x,y]=[2,0],[0,0]); 2 0

Koeficient u (x − x0 ) (y − y0 ) > coeftayl(f(x,y),[x,y]=[2,0],[1,0]); 1 0

Koeficient u (x − x0 ) (y − y0 ) > coeftayl(f(x,y),[x,y]=[2,0],[0,1]); 2 2

0

Koeficient u (x − x0 ) (y − y0 ) > coeftayl(f(x,y),[x,y]=[2,0],[2,0]); 0 Dalˇ s´ı . – p.19/26


Maple: Koeficient u (x − x0 ) (y − y0 ) > coeftayl(f(x,y),[x,y]=[2,0],[1,1]); 1 Koeficient u (x − x0 )0 (y − y0 )2 > coeftayl(f(x,y),[x,y]=[2,0],[0,2]); 1 Pr˚ ubˇ eh funkce v okol´ı bodu [x0 , y0 ] lze uk´ azat pomoc´ı grafu > with(plots):plot3d(f(x,y),x=-2..6,y=-2..2,axes=framed);

40 30 20 10 0 –10 –2

–2 0

–1 y

2

0 4

1 2

x

6

Dalˇ s´ı . – p.19/26


Maple: Pr˚ ubˇ eh aproximuj´ıc´ıho Taylorova polynomu v okol´ı bodu [x0 , y0 ] lze uk´ azat pomoc´ı grafu > T2:=(x,y)->mtaylor(f(x,y),[x=2,y=0],2+1); >

T2 := (x, y) → mtaylor(f(x, y), [x = 2, y = 0], 3) with(plots):plot3d(T2(x,y),x=-2..6,y=-2..2,axes=framed);

20 15 10 5 0 –2

–2 0

–1 y

2

0 4

1 2

x

6

Zpˇ et

. – p.19/26


Mathematica: f [x , y ] = xExp[y]; x0 = 2; y0 = 0; V´ ypoˇ cet Taylorova polynomu: T2[x , y ] = f [x0, y0] + Derivative[1, 0][f ][x0, y0](x − x0) + Derivative[0, 1][f ][x0, y0](y − y0)+ 1/2(Derivative[2, 0][f ][x0, y0](x − x0)∧ 2 + 2Derivative[1, 1][f ][x0, y0](x − x0)(y − y0)+ Derivative[0, 2][f ][x0, y0](y − y0)∧ 2) x + 2y + 21 2(−2 + x)y + 2y 2 Zpˇ et

. – p.19/26

Příklad 6.4.2 Napiˇ ste Taylor˚ uv polynom 2. stupnˇ e pro funkci f (x, y) = sin(x2 + y 2 ) v bodˇ e [x0 , y0 ] = [1, 0] a pomoc´ı nˇ eho vypoˇ ctˇ ete pˇ ribliˇ znˇ e hodnotu f (1, 1; 0, 1) . ?

Zpˇ et

. – p.20/26

Příklad 6.4.2 Napiˇ ste Taylor˚ uv polynom 2. stupnˇ e pro funkci f (x, y) = sin(x2 + y 2 ) v bodˇ e [x0 , y0 ] = [1, 0] a pomoc´ı nˇ eho vypoˇ ctˇ ete pˇ ribliˇ znˇ e hodnotu f (1, 1; 0, 1) .

Výsledek: 2

2

T2 (x) = sin(1) + 2 cos(1)(x − 1) + (cos(1) − 2 sin(1))(x − 1) + cos(1)y , . . f (1, 1; 0, 1) = T2 (1, 1; 0, 1) = 0, 943508. Zpˇ et

. – p.20/26


Návod: Taylor˚ uv polynom druh´ eho stupnˇ e T2 v okol´ı bodu [x0 , y0 ] je definovan´ y vztahem ∂f ∂f (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 )+ T2 (x, y) = f (x0 , y0 ) + ∂x ∂y ! 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f 2 1 + 2! (x , y )(x − x ) + 2 (x0 , y0 )(y − y0 )2 . (x , y )(x − x )(y − y ) + 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y Zpˇ et

. – p.20/26


Řešení: Do vzorce pro T2 (x, y) dosad´ıme funkˇ cn´ı hodnotu f (x0 , y0 ) a hodnoty parci´ aln´ıch derivac´ı funkce f v bodˇ e [x0 , y0 ] = [1, 0] f (1, 0) = sin(1) , ∂f = 2x cos(x2 + y 2 ) ∂x ∂f ∂y ∂2 f ∂x2

= 2y cos(x2 + y 2 )

⇒

∂f ∂y (1, 0)

= 0,

= 2 cos(x2 + y 2 ) − 4x2 sin(x2 + y 2 )

∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y 2

∂f (1, 0) = 2 cos(1) , ∂x

⇒

= −4xy sin(x2 + y 2 )

⇒

⇒

∂2 f ∂x∂y (1, 0)

= 2 cos(x2 + y 2 ) − 4y 2 sin(x2 + y 2 )

⇒

∂2 f ∂x2

(1, 0) = 2 cos(1) − 4 sin(1) ,

= 0, ∂2 f ∂y 2

(1, 0) = 2 cos(1) .

T2 (x, y) = sin(1) + 2 cos(1)(x − 1) + 0 · y+

1 2(cos(1) − 2 sin(1))(x − 1)2 + 2 · 0 · (x − 1)y + 2 cos(1)y 2 = + 2!

= sin(1) + 2 cos(1)(x − 1) + (cos(1) − 2 sin(1))(x − 1)2 + cos(1)y 2 . Dalˇ s´ı . – p.20/26


Řešení: Tento polynom aproximuje funkci f v okol´ı bodu [x0 , y0 ] = [2, 0] . Pˇ ribliˇ znou hodnotu funkce f (1, 1; 0, 1) vypoˇ cteme dosazen´ım bodu [1,1; 0,1] do vypoˇ cten´ eho Taylorova polynomu. Tedy . f (1, 1; 0, 1) = T2 (1, 1; 0, 1) = . = sin(1) + 2 cos(1)(0, 1) + (cos(1) − 2 sin(1))(0, 1)2 + cos(1)(0, 1)2 = 0, 943508. Zpˇ et

. – p.20/26


Maple: >

f:= (x,y) -> sin(xˆ2+yˆ2);

f := (x, y) → sin(x2 + y 2 ) >

mtaylor(f(x,y),[x=1,y=0],2+1);

>

sin(1) + 2 cos(1) (x − 1) + (−2 sin(1) + cos(1)) (x − 1)2 + cos(1) y 2 T2:= (x,y) ->mtaylor(f(x,y),[x=1,y=0],2+1);

T2 := (x, y) → mtaylor(f(x, y), [x = 1, y = 0], 3) Pˇ ribliˇ znou hodnotu funkce f(1,1; 0,1) vypoˇ cteme dosazen´ım bodu [1,1; 0,1] do tohoto Taylorova polynomu. > subs(x=1.1,y=0.1,T2(x,y)); 0.98 sin(1) + 0.22 cos(1) >

simplify(%);

0.9435080724 Skuteˇ cn´ a hodnota funkce f(1,1; 0,1) je (zaokrouhleno na 10 desetinn´ ych m´ıst): > f(1.1, 0.1); 0.9390993563 Zpˇ et

. – p.20/26


Mathematica: f [x , y ] = Sin[x∧ 2 + y∧ 2]; x0 = 1; y0 = 0; T2[x , y ] = f [x0, y0] + Derivative[1, 0][f ][x0, y0](x − x0) + Derivative[0, 1][f ][x0, y0](y − y0)+ 1/2(Derivative[2, 0][f ][x0, y0](x − x0)∧ 2 + 2Derivative[1, 1][f ][x0, y0](x − x0)(y − y0)+ Derivative[0, 2][f ][x0, y0](y − y0)∧ 2) 2(−1 + x)Cos[1] + 21 2y 2 Cos[1] + (−1 + x)2 (2Cos[1] − 4Sin[1]) + Sin[1] Pˇ ribliˇ znou hodnotu funkce f(1,1; 0,1) vypoˇ cteme dosazen´ım bodu [1,1; 0,1] do tohoto Taylorova polynomu.

T2[1.1, 0.1] 0.943508 Skuteˇ cn´ a hodnota funkce f(1,1; 0,1) je (zaokrouhleno na 6 desetinn´ ych m´ıst): f [1.1, 0.1] 0.939099 Zpˇ et

. – p.20/26

Příklad 6.4.3 Vypoˇ ctˇ ete pˇ ribliˇ znou hodnotu stupnˇ e. ?

1 pomoc´ı Taylorova polynomu druh´ eho 3, 052 + 0, 05 Zpˇ et

. – p.21/26

Příklad 6.4.3 Vypoˇ ctˇ ete pˇ ribliˇ znou hodnotu stupnˇ e.

1 pomoc´ı Taylorova polynomu druh´ eho 3, 052 + 0, 05

Výsledek: T2 (x) =

1 2 1 1 4 1 2 − (x − 3) − y+ (x − 3)2 + (x − 3)y + y , 9 27 81 27 243 729 1 . . = T (3, 05; 0, 05) = 0, 106927. 2 3, 052 + 0, 05

Zpˇ et

. – p.21/26



Návod: Taylor˚ uv polynom druh´ eho stupnˇ e T2 v okol´ı bodu [x0 , y0 ] je definovan´ y vztahem ∂f ∂f T2 (x, y) = f (x0 , y0 ) + (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 )+ ∂x ∂y ! 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f 2 2 1 + 2! . (x , y )(x − x ) + 2 (x , y )(x − x )(y − y ) + (x , y )(y − y ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Zpˇ et

. – p.21/26



Řešení: 1 a zvol´ıme bod [x0 , y0 ] = [3, 0] . Do vzorce pro T2 (x, y) x2 + y dosad´ıme funkˇ cn´ı hodnotu f (x0 , y0 ) a hodnoty parci´ aln´ıch derivac´ı funkce f v bodˇ e [x0 , y0 ] = [3, 0] Poloˇ z´ıme f (x, y) =

f (3, 0) =

1 , 9

−2x ∂f = ∂x (x2 + y)2 ∂f ∂y ∂2 f ∂x2

=

=

∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y 2

−1 (x2 +y)2

=

⇒

8x(x2 +y)−2(x2 +y) (x2 +y)4

=

4x 2 (x +y)3

2 (x2 +y)3

∂f −2 (3, 0) = , ∂x 27

⇒

⇒ ⇒

∂f ∂y (3, 0)

=

=

8x2 2 (x +y)3

−1 81

−

∂2 f ∂x∂y (3, 0) ∂2 f ∂y 2

(3, 0) =

,

2 (x2 +y)2

=

4 243

2 729

⇒

∂2 f ∂x2

(3, 0) =

2 27

,

,

.

Dalˇ s´ı

. – p.21/26



Řešení: T2 (x, y) =

1 2 1 1 4 1 2 2 − (x − 3) − y+ (x − 3) + (x − 3)y + y . 9 27 81 27 243 729

Pˇ ribliˇ znou hodnotu f (3, 05; 0, 05) vypoˇ cteme dosazen´ım bodu [3,05; 0,05] do vypoˇ cten´ eho Taylorova polynomu. Tedy . f (3, 05; 0, 05) = T2 (3, 05; 0, 05) = =

1 2 1 1 4 1 2 2 . − 0, 05 − 0, 05 + (0, 05) + 0, 05 · 0, 05 + (0, 05) = 0, 106927 . 9 27 81 27 243 729

Zpˇ et

. – p.21/26



Maple: Zvol´ıme bod [3,0] a funkci f > f:=(x,y)->1/(xˆ2+y); 1 x2 + y Ovˇ eˇ r´ıme spr´ avnost vypoˇ cten´ ych parci´ aln´ıch derivac´ı: > fx:= diff(f(x,y),x) ; f := (x, y) →

>

fx := −

2x (x2 + y)2

fy := −

1 (x2 + y)2

fy:= diff(f(x,y),y) ;

>

fxx:= diff(f(x,y),x$2);

>

2 8 x2 − fxx := (x2 + y)3 (x2 + y)2 fyy:= diff(f(x,y),y$2); fyy :=

2 (x2 + y)3

Dalˇ s´ı . – p.21/26



Maple: >

fxy:= diff(f(x,y),x,y);

4x (x2 + y)3 Taylor˚ uv polynom v bodˇ e [3,0] vypoˇ cteme pˇ r´ımo pˇ r´ıkazem: > mtaylor(f(x,y),[x=3,y=0],2+1); fxy :=

>

2x y (x − 3)2 4 (x − 3) y y2 1 − − + + + 3 27 81 27 243 729 T2:= (x,y) ->mtaylor(f(x,y),[x=3,y=0],2+1);

T2 := (x, y) → mtaylor(f(x, y), [x = 3, y = 0], 3) Pˇ ribliˇ znou hodnotu funkce f(3,05; 0,05) vypoˇ cteme dosazen´ım bodu [3,05; 0.05] do tohoto Taylorova polynomu. > subs(x=3.05,y=0.05,T2(x,y)); 0.1069272977 Skuteˇ cn´ a hodnota funkce f(3,05; 0,05) je (zaokrouhleno na 10 desetinn´ ych m´ıst): > f(3.05, 0.05); 0.1069232825 Zpˇ et

. – p.21/26



Mathematica: Zvol´ıme bod [3,0] a funkci f (x, y) =

1 x2 +y

f [x , y ] = 1/(x∧ 2 + y); x0 = 3; y0 = 0; V´ ypoˇ cet Taylorova polynomu: T2[x , y ] = f [x0, y0] + Derivative[1, 0][f ][x0, y0](x − x0) + Derivative[0, 1][f ][x0, y0](y − y0)+ 1/2(Derivative[2, 0][f ][x0, y0](x − x0)∧ 2 + 2Derivative[1, 1][f ][x0, y0](x − x0)(y − y0)+ Derivative[0, 2][f ][x0, y0](y − y0)∧ 2) y 2y 2 2 2 2 1 8 1 9 − 27 (−3 + x) − 81 + 2 27 (−3 + x) + 243 (−3 + x)y + 729 Pˇ ribliˇ znou hodnotu

1 (3.05)2 +0.05

vypoˇ cteme dosazen´ım bodu [3,05; 0,05] do Taylorova

polynomu. T2[3.05, 0.05] 0.106927 Skuteˇ cn´ a hodnota: f [3.05, 0.05] 0.106923 Zpˇ et . – p.21/26

Příklad 6.4.4 Napiˇ ste form´ alnˇ e tot´ aln´ı diferenci´ al funkce: f (x, y) = y 2 sin x v bodˇ e [x0 , y0 ] . ?

Zpˇ et

. – p.22/26

Příklad 6.4.4 Napiˇ ste form´ alnˇ e tot´ aln´ı diferenci´ al funkce: f (x, y) = y 2 sin x v bodˇ e [x0 , y0 ] .

Výsledek: df (x0 , y0 ) = y02 cos x0 dx + 2y0 sin x0 dy . Zpˇ et

. – p.22/26


Návod: df =

∂f ∂f dx + dy . ∂x ∂y

Zpˇ et

. – p.22/26


Řešení: Protoˇ ze je

∂f = y 2 cos x , ∂x

∂f = 2y sin x , ∂y

df (x0 , y0 ) = y02 cos x0 dx + 2y0 sin x0 dy .

Zpˇ et

. – p.22/26


Maple: >

f:= (x,y) -> yˆ2*sin(x);

>

f := (x, y) → y 2 sin(x) ’df’ = ’fx’*dx + ’fy’*dy ;

df = fx dx + fy dy Vyj´ adˇ r´ıme parci´ aln´ı derivace a dosad´ıme do nich bod [x0 , y0 ] . > fx :=subs({x=x0,y=y0},diff(f(x,y),x)); >

fx := y0 2 cos(x0 ) fy :=subs({x=x0,y=y0},diff(f(x,y),y)); fy := 2 y0 sin(x0 )

Tot´ aln´ı diferenci´ al je v´ yraz > df := fx*dx+fy*dy; df := y0 2 cos(x0 ) dx + 2 y0 sin(x0 ) dy Zpˇ et

. – p.22/26


Mathematica: f [x , y ] = y ∧ 2Sin[x]; V´ ypoˇ cet tot´ aln´ıho diferenci´ alu: Derivative[0, 1][f ][x0, y0]dy df = Derivative[1, 0][f ][x0, y0]dx+ y0]dx+Derivative[0, dxy02 Cos[x0] + 2dyy0Sin[x0] V´ ypoˇ cet pomoc´ı funkce Dt[f] pro v´ ypoˇ cet tot´ aln´ıho diferenci´ alu: Dt[f [x, y]]/.{x → x0, y → y0}

y02 Cos[x0]Dt[x0] + 2y0Dt[y0]Sin[x0]

Dt[x0] znaˇ c´ı dx a Dt[y0] znaˇ c´ı dy Zpˇ et

. – p.22/26

Příklad 6.4.5 Vypoˇ ctˇ ete tot´ aln´ı diferenci´ al funkce f (x, y) = dx = −0, 05, dy = 0, 08 . ?

p

9x2 + y 2 v bodˇ e [2, 8] pro pˇ r´ır˚ ustky Zpˇ et

. – p.23/26

Příklad 6.4.5 Vypoˇ ctˇ ete tot´ aln´ı diferenci´ al funkce f (x, y) = dx = −0, 05, dy = 0, 08 .

p

9x2 + y 2 v bodˇ e [2, 8] pro pˇ r´ır˚ ustky

Výsledek: df (2, 8) = −0, 026 . Zpˇ et

. – p.23/26


p


Návod: df =

∂f ∂f dx + dy . ∂x ∂y

Zpˇ et

. – p.23/26


p


Řešení: Protoˇ ze ∂f 9x = p ∂x 9x2 + y 2 ∂f ∂y

y 9x2 +y 2

= √

je

∂f 18 (2, 8) = = 1, 8 , ∂x 10

⇒ ⇒

∂f ∂y

(2, 8) =

8 10

= 0, 8

df (2, 8) = 1, 8 dx + 0, 8 dy = 1, 8 · (−0, 05) + 0, 8 · 0, 08 = −0, 026 .

Zpˇ et

. – p.23/26


p


Maple: >

f := (x,y) -> sqrt(9*xˆ2+yˆ2);

f := (x, y) → Nap´ıˇ seme form´ alnˇ e tot´ aln´ı diferenci´ al funkce > ’df’ = ’fx’*dx + ’fy’*dy ;

p

9 x2 + y 2

df = fx dx + fy dy a dosad´ıme > fx :=subs({x=2,y=8},diff(f(x,y),x)); √ 9 100 fx := 50 > fy :=subs({x=2,y=8},diff(f(x,y),y)); √ 2 100 fy := 25 > dx := -0.05; dy := 0.08; dx := −0.05 dy := 0.08

Tot´ aln´ı diferenci´ al je v´ yraz > df := fx*dx+fy*dy; Dalˇ s´ı

df := −0.002600000000

√

100 . – p.23/26


p


Maple: >

simplify(%);

−0.02600000000 Zpˇ et

. – p.23/26


p


Mathematica: f [x , y ] = Sqrt[9x∧ 2 + y ∧ 2]; V´ ypoˇ cet tot´ aln´ıho diferenci´ alu: Derivative[0, 1][f ][x0, y0]dy df = Derivative[1, 0][f ][x0, y0]dx+ y0]dx+Derivative[0, √ 9dx

x0 2 9x0 +y02

dy y0 9x02 +y02

+ √

Dosazen´ı za x0 , y0 , x, y : df/.{x0 → 2, y0 → 8, dx → −0.05, dy → 0.08} −0.026

Zpˇ et

. – p.23/26

Newtonova metoda • Pˇ r´ıklad 6.5.1 Newtonovou metodou vypoˇ ctˇ ete prvn´ı aproximaci ˇ reˇ sen´ı soustavy neline´ arn´ıch rovnic 2 x + y 2 = 1 , sin x = y . Pro v´ ypoˇ cet koˇ rene ve III. kvadrantu zvolte nultou aproximaci x0 = −1 , y0 = −1 . • Pˇ r´ıklad 6.5.2 Newtonovou metodou vypoˇ ctˇ ete prvn´ı aproximaci ˇ reˇ sen´ı soustavy neline´ arn´ıch rovnic 2 x−y −1=0 2x2 − y = 0 . Pro v´ ypoˇ cet koˇ rene zvolte nultou aproximaci 21 , 21 . Zpˇ et

. – p.24/26

Příklad 6.5.1 Newtonovou metodou vypoˇ ctˇ ete prvn´ı aproximaci ˇ reˇ sen´ı soustavy neline´ arn´ıch rovnic 2 2 x + y = 1 , sin x = y . Pro v´ ypoˇ cet koˇ rene ve III. kvadrantu zvolte nultou aproximaci x0 = −1 , y0 = −1 . ?

Zpˇ et

. – p.25/26

Příklad 6.5.1 Newtonovou metodou vypoˇ ctˇ ete prvn´ı aproximaci ˇ reˇ sen´ı soustavy neline´ arn´ıch rovnic 2 2 x + y = 1 , sin x = y . Pro v´ ypoˇ cet koˇ rene ve III. kvadrantu zvolte nultou aproximaci x0 = −1 , y0 = −1 .

Výsledek: e . Prvn´ı aproximace ˇ Soustava m´ a dvˇ eˇ reˇ sen´ı X , X reˇ sen´ı soustavy ve III. kvadrantu je . X1 = [−0, 778309; −0, 721691] . Po dvou dalˇ s´ıch iterac´ıch proveden´ ych v Maplu (lze rovnˇ eˇ z pomoc´ı pˇ r´ıkazu fsolve) lze v´ ysledek . . e = X = [−0, 739085; −0, 673612] , X [0, 739085; 0, 673612] .

pokl´ adat za ˇ reˇ sen´ı soustavy. Zpˇ et

. – p.25/26


Návod: Necht’ je d´ ana soustava rovnic f1 (x, y)

=

0

f2 (x, y)

=

0.

∆x



Ze soustavy line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic   

∂f1 ∂x

(X0 )

∂f1 ∂y

(X0 )

∂f2 ∂x

(X0 )

∂f2 ∂y

(X0 )

  

∆y



   = −

f1 (X0 ) f2 (X0 )



  ,

kde X0 = [x0 , y0 ] je poˇ ca ´teˇ cn´ı ”pˇ ribl´ıˇ zen´ı”, vypoˇ c´ıt´ ame ∆X = [∆x , ∆y ] . Potom X1 = X0 + ∆X je prvn´ı dalˇ s´ı pˇ ribl´ıˇ zen´ı soustavy neline´ arn´ıch rovnic. Zpˇ et

. – p.25/26


Řešení: Z grafick´ eho zn´ azornˇ en´ı (v Maplu) je zˇ rejm´ e, ˇ ze m´ a soustava dvˇ eˇ reˇ sen´ı navz´ ajem symetrick´ a v˚ uˇ ci poˇ ca ´tku. Je zad´ ano poˇ ca ´teˇ cn´ı pˇ ribl´ıˇ zen´ı X0 = [−1, −1] k ˇ reˇ sen´ı soustavy ve III. kvadrantu. Pˇ rep´ıˇ seme soustavu a ˇ reˇ s´ıme Newtonovou metodou x2 + y 2 − 1

y − sin x

  

Tedy

  

2x0

2y0

− cos x0

1

−2

  

−2

∆x ∆y

  

=

0

=

0, 



   = −

∆x





   =

x20

+

y02

−1

y0 − sin x0 −1

1 + sin(−1) − cos(−1) 1 ∆y ˇ s´ıme-li soustavu line´ Reˇ arn´ıch algebraick´ ych rovnic dost´ av´ ame     0, 221691 ∆x   .    ,  =  0, 278309 ∆y



  .



  .

Dalˇ s´ı . – p.25/26


Řešení: . tedy aproximace prvn´ıho koˇ rene je X1 = [−0, 778309; −0, 721691] . Odvod´ıme aproximaci druh´ eho koˇ rene, tedy [0, 778309; 0, 721691] , nebo tento koˇ ren spoˇ c´ıt´ ame Newtonovou metodou pˇ ri zad´ an´ı poˇ ca ´teˇ cn´ıho pˇ ribl´ıˇ zen´ı [1, 1] . Zpˇ et

. – p.25/26


Maple: >

with(linalg):

>

f1:= xˆ2 + yˆ2 - 1;

>

f1 := x2 + y 2 − 1

f2:=y - sin(x);

f2 := y − sin(x)

Obˇ e funkce zn´ azorn´ıme graficky. > plots[implicitplot]({f1=0,f2=0},x=-2..2,y=-2.5..2.5); 1

y

–2

0.5

–1

1 x

2

–0.5

–1

´ Uloha m´ a2ˇ reˇ sen´ı symetrick´ e podle poˇ ca ´tku. Dalˇ s´ı . – p.25/26


Maple: >

f := vector([f1,f2]);

f := [x2 + y 2 − 1, y − sin(x)] Vypoˇ ctˇ eme matici parci´ alnich derivac´ı vektorov´ e funkce f. > Df := jacobian(f,[x,y]); " # 2x 2y Df := −cos(x) 1

Pro v´ ypoˇ cet jednoho ze dvou koˇ ren˚ u ve III. kvadrantu zvolme nultou aproximaci [-1,-1]. > Aprox[0]:=[-1.0,-1.0]; >

>

Aprox 0 := [−1.0, −1.0] J[0]:=subs(x=Aprox[0][1],y=Aprox[0][2],evalm(Df)); " # −2.0 −2.0 J0 := −cos(−1.0) 1 F[0]:=subs(x=Aprox[0][1],y=Aprox[0][2],evalm(f));

F0 := [1.00, −1.0 − sin(−1.0)] Dalˇ s´ı

. – p.25/26


Maple: ˇ s´ıme soustavu line´ Reˇ arn´ıch algebraick´ ych rovnic > DX:=linsolve(J[0],-F[0]); >

DX := [0.2216908872, 0.2783091128] Aprox[1]:=evalm(Aprox[0]+DX);

Aprox 1 := [−0.7783091128, −0.7216908872] Pomoc´ı Maplu udˇ el´ ame jeˇ stˇ e nˇ ekolik ( nmax ) dalˇ s´ıch aproximac´ı, (zvol´ıme nmax = 2). > nmax:=2; nmax := 2 >

for n from 1 to nmax do

>

J[n]:=subs(x=Aprox[n][1],y=Aprox[n][2],evalm(Df));

>

F[n]:=subs(x=Aprox[n][1],y=Aprox[n][2],evalm(f));

>

DX:=linsolve(J[n],-F[n]);

>

Aprox[n+1]:= evalm(Aprox[n]+DX);

>

end do;

Dalˇ s´ı

. – p.25/26


Maple: J1 :=

"

−1.556618226 −cos(−0.7783091128)

−1.443381774 1

#

F1 := [0.1266028118, −0.7216908872 − sin(−0.7783091128)] DX := [0.03803185367, 0.04669709457] Aprox 2 := [−0.7402772591, −0.6749937926] " # −1.480554518 −1.349987585 J2 := −cos(−0.7402772591) 1 F2 := [0.0036270403, −0.6749937926 − sin(−0.7402772591)] DX := [0.001191042484, 0.001380484524] Aprox 3 := [−0.7390862166, −0.6736133081] Druh´ y koˇ ren I. kvadrantu je symetrick´ y podle poˇ ca ´tku. Ovˇ eˇ r´ıme ho v´ ypoˇ ctem pˇ r´ımo pomoc´ı pˇ r´ıkazu fsolve: > koren2:=fsolve({f1,f2},{x=1,y=1}); koren2 := {x = 0.7390851332, y = 0.6736120292} Zpˇ et . – p.25/26


Mathematica: f2[x , y ] = Sin[x] − y; f1[x , y ] = x∧ 2 + y ∧ 2 − 1; 1;f2[x << Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlot[{f1[x, y] == 0, f2[x, y] == 0}, {x, −2, 2}]; 1 0.5 -2

-1

1

2

-0.5 -1

Z grafick´ eho zn´ azornˇ en´ı vypl´ yv´ a, ˇ ze soustava m´ a dvˇ eˇ reˇ sen´ı. Jacobf = Outer[D, {f1[x, y], f2[x, y]}, {x, y}] {{2x, 2y}, {Cos[x], −1}}

F [x , y ] = {f1[x, y], f2[x, y]}; Dalˇ s´ı

. – p.25/26


Mathematica: x0 = −1; y0 = 0;

reseni = {{"i", "xi", "yi"}, {0, x0, y0}}; nmax = 2;

Program pro v´ ypoˇ cet ˇ reˇ sen´ı pomoc´ı Newtonovy metody: {dX = LinearSolve[N [Jacobf/.{x → x0, y → y0}], For[i = 1, i ≤ nmax, nmax,{dX x1 = N [x0 + dX[[1]]]; y1 = N [y0 + dX[[2]]]; N [−F [x0, y0]]]; y0]]];x1 reseni = Join[reseni, {{i, x1, y1}}]; x0 = x1; y0 = y1; i = i + 1}] x1;y0 ˇ sen´ı: Reˇ MatrixForm[reseni]  i ξ  0 −1    1 −1. 2 −0.756617 Zpˇ et

yi 0 −0.841471 −0.709971

    

. – p.25/26

Příklad 6.5.2 Newtonovou metodou vypoˇ ctˇ ete prvn´ı aproximaci ˇ reˇ sen´ı soustavy neline´ arn´ıch rovnic 2

x−y −1=0

2x2 − y = 0 . Pro v´ ypoˇ cet koˇ rene zvolte nultou aproximaci 21 , 21 . ?

Zpˇ et

. – p.26/26


x−y −1=0

2x2 − y = 0 . Pro v´ ypoˇ cet koˇ rene zvolte nultou aproximaci 21 , 21 .

Výsledek:

1 . Prvn´ı ”aproximace” ˇ reˇ sen´ı soustavy je X1 = − , −1 . Soustava vˇ sak nem´ aˇ reˇ sen´ı (viz 4 grafick´ e zn´ azornˇ en´ı). Po nˇ ekolika dalˇ s´ıch iterac´ıch metody proveden´ ych v Maplu je zˇ rejm´ e, ˇ ze proces nekonverguje. Zpˇ et

. – p.26/26


x−y −1=0


Návod:

Necht’ je d´ ana soustava rovnic f1 (x, y)

=

0

f2 (x, y)

=

0.

∆x



Ze soustavy line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic   

∂f1 ∂x

(X0 )

∂f1 ∂y

(X0 )

∂f2 ∂x

(X0 )

∂f2 ∂y

(X0 )

  

∆y



   = −

f1 (X0 ) f2 (X0 )



  ,

kde X0 = [x0 , y0 ] je poˇ ca ´teˇ cn´ı pˇ ribl´ıˇ zen´ı, vypoˇ c´ıt´ ame ∆X = [∆x , ∆y ] . Potom X1 = X0 + ∆X je prvn´ı dalˇ s´ı pˇ ribl´ıˇ zen´ı soustavy neline´ arn´ıch rovnic. Zpˇ et

. – p.26/26


x−y −1=0


Řešení:

Z grafick´ eho zn´ azornˇ en´ı je zˇ rejm´ e, ˇ ze soustava nem´ aˇ reˇ sen´ı. Zkus´ıme sak resto (jen form´ alnˇ e) vypoˇ c´ıtat z poˇ ca ´teˇ cn´ıho zadan´ eho pˇ ribl´ıˇ zen´ı pˇ 1 vˇ 1 s´ı pˇ ribl´ıˇ zen´ı Newtonovou metodou. X0 = 2 , 2 prvn´ı dalˇ      x0 − y02 − 1 ∆x 1 −2y0       .  = −   2x20 − y0 ∆y 4x0 −1 Tedy

  

1

−1

  

∆x





   =

3 4



  .

2 −1 ∆y 0 ˇ s´ıme-li soustavu line´ Reˇ arn´ıch algebraick´ ych rovnic dost´ av´ ame     − 43 ∆x       =  . 3 −2 ∆y Dalˇ s´ı

. – p.26/26


x−y −1=0


Řešení:

1 Tedy prvn´ı ”aproximace” koˇ rene je X1 = [− , −1] , aˇ ckoli tento v´ ypoˇ cet nemˇ el jin´ y 4 smysl neˇ z pouze procviˇ cit Newtonovu metodu. Zpˇ et

. – p.26/26


x−y −1=0


Maple: >

with(linalg):

>

f1:=x-yˆ2-1;

>

f1 := x − y 2 − 1

f2:=2*xˆ2-y;

f2 := 2 x2 − y Z grafick´ eho zn´ azornˇ en´ı je zˇ rejm´ e, ˇ ze soustava nem´ aˇ reˇ sen´ı. > plots[implicitplot]({f1=0,f2=0},x=-2..2,y=-2..2); 2 1.5 y

1 0.5

–1

–0.5

0

0.5

1 x

1.5

2

–0.5 –1

Dalˇ s´ı . – p.26/26


x−y −1=0


Maple:

Neexistuj´ıc´ı koˇ ren soustavy pˇ resto ”aproximujeme” pomoc´ı Newtonovy metody. > f := vector([f1,f2]); f := [x − y 2 − 1, 2 x2 − y] Vypoˇ ctˇ eme matici parci´ alnich derivac´ı vektorov´ e funkce f. > Df := jacobian(f,[x,y]); " # 1 −2 y Df := 4x −1 Zvol´ıme nultou aproximaci [0,5;0,5] > Aprox[0]:=[0.5,0.5]; >

Dalˇ s´ı

Aprox 0 := [0.5, 0.5] J[0]:=subs(x=Aprox[0][1],y=Aprox[0][2],evalm(Df)); " # 1 −1.0 J0 := 2.0 −1 . – p.26/26


x−y −1=0


Maple: >

F[0]:=subs(x=Aprox[0][1],y=Aprox[0][2],evalm(f));

F0 := [−0.75, 0.] ˇ s´ıme soustavu line´ Reˇ arn´ıch algebraick´ ych rovnic: > DX:=linsolve(J[0],-F[0]); >

DX := [−0.7500000000, −1.500000000] Aprox[1]:=evalm(Aprox[0]+DX);

Aprox 1 := [−0.2500000000, −1.000000000] Udˇ elejme nmax dalˇ s´ıch aproximac´ı, (zvolime nmax = 4). > nmax:=4; nmax := 4 >

for n from 1 to nmax do

>

J[n]:=subs(x=Aprox[n][1],y=Aprox[n][2],evalm(Df)):

>

F[n]:=subs(x=Aprox[n][1],y=Aprox[n][2],evalm(f)):;

>

DX:=linsolve(J[n],-F[n]):

>

Aprox[n+1]:= evalm(Aprox[n]+DX);

>

end do;

Dalˇ s´ı

. – p.26/26


x−y −1=0


Maple:

Aprox 2 := [−0.2500000000, 0.125000000] Aprox 3 := [0.7625000000, −0.887500000] Aprox 4 := [0.3549149777, −0.0803218179] Aprox 5 := [0.8419945324, 0.9434166001] Vid´ıme, ˇ ze hodnoty sloˇ zek vektoru DX, ani pˇ ri volbˇ e nmax=4 , nekonverguj´ı k 0. Zpˇ et

. – p.26/26


x−y −1=0


Mathematica:

f2[x , y ] = 2x∧ 2 − y; f1[x , y ] = x − y ∧ 2 − 1; 1;f2[x << Graphics`ImplicitPlot`

PlotRange → {−1, 2}]; ImplicitPlot[{f1[x, y] == 0, f2[x, y] == 0}, {x, −2, 2}, 2},PlotRange 2 1.5 1 0.5 -2

-1

1

2

-0.5 -1

Z grafick´ eho zn´ azornˇ en´ı vypl´ yv´ a, ˇ ze soustava nem´ a ˇreˇ sen´ı. Pˇ resto m˚ uˇ zeme zkusit pouˇ z´ıt Newtonovu metodu. Dalˇ s´ı . – p.26/26


x−y −1=0


Mathematica:

Jacobf = Outer[D, {f1[x, y], f2[x, y]}, {x, y}] {{1, −2y}, {4x, −1}}

F [x , y ] = {f1[x, y], f2[x, y]}; x0 = −1; y0 = 0;

reseni = {{"i", "xi", "yi"}, {0, x0, y0}}; nmax = 4;

{dX = LinearSolve[N [Jacobf/.{x → x0, y → y0}], For[i = 1, i ≤ nmax, nmax,{dX x1 = N [x0 + dX[[1]]]; y1 = N [y0 + dX[[2]]]; N [−F [x0, y0]]]; y0]]];x1 reseni = Join[reseni, {{i, x1, y1}}]; x0 = x1; y0 = y1; i = i + 1}] Dalˇ s´ı

. – p.26/26


x−y −1=0


Mathematica:

MatrixForm[reseni]  i xi yi  0 −1 0   1 1. −6.    2 −0.22449 −2.89796   3 1.62064 −1.55606 4 0.704928 −0.683218

        

Newtonova metoda nekonverguje. Zpˇ et

. – p.26/26

Kapitola 6: Derivace funkcí více proměnných

Recommend Documents