Kapitola 10: Dvojný a trojný integrál

Sbírka příklad˚ u Matematika II pro strukturované studium

Kapitola 10: Dvojný a trojný integrál Chcete-li ukonˇ cit prohl´ıˇ zen´ı stisknˇ ete kl´ avesu Esc. Chcete-li pokraˇ covat stisknˇ ete kl´ avesu Enter.

. – p.1/25

Dvojný a trojný integrál • V´ ypoˇ cet dvojn´ eho integr´ alu • Substituˇ cn´ı metoda pro dvojn´ y integr´ al • Nevlastn´ı integr´ al • V´ ypoˇ cet trojn´ eho integr´ alu • Substituˇ cn´ı metoda pro trojn´ y integr´ al • Aplikace dvojn´ eho integr´ alu Zpˇ et

. – p.2/25

Výpočet dvojného integrálu • Pˇ r´ıklad ˇ te poˇ rad´ı integrace dvojn´ asobn´ eho integr´ alu ⎞e n ⎛ √ 10.1.1 Zamˇ 1 x ⎟ ⎜ f (x, y) dy ⎠ dx. ⎝ 0

0

• Pˇ r´ıklad 10.1.2 Zamˇ en ˇ te poˇ rad´ı integrace dvojn´ asobn´ eho integr´ alu ⎞ ⎞ ⎛ x ⎛ 2−x 1 2 ⎝ f (x, y) dy ⎠ dx + ⎝ f (x, y) dy ⎠ dx. 0

0

1

0

x y dx dy, kde M ∈

Ê2

je mnoˇ zina

ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı y = 2 − x a y = −x. • Pˇ x y dx dy, kde M ∈ r´ıklad 10.1.4 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al

Ê2

je mnoˇ zina

• Pˇ r´ıklad 10.1.3 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al 2

2

M

M

ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı y = 2 − x a y = |x|. Zpˇ et

. – p.3/25

Příklad 10.1.1 1 Zamˇ en ˇ te poˇ rad´ı integrace dvojn´ asobn´ eho integr´ alu 0

?

⎛ ⎜ ⎝

√

x

⎞

⎟ f (x, y) dy ⎠ dx.

0

Zpˇ et

. – p.4/25


⎛ ⎜ ⎝

√

x

⎞

⎟ f (x, y) dy ⎠ dx.

0

Výsledek: 1

⎛ ⎜ ⎝

0

√

0

x

⎞

⎟ f (x, y) dy ⎠ dx =

1 0

⎛ ⎜ ⎝

1

⎞ ⎟ f (x, y) dx⎠ dy .

y2

Zpˇ et

. – p.4/25


Návod:

⎛ ⎜ ⎝

√

x

⎞

⎟ f (x, y) dy ⎠ dx.

0

Pˇ reved’te nejdˇ r´ıve na dvojn´ y integral

f (x, y) dx dy. Nakreslete si obr´ azek mnoˇ ziny G G

a napiˇ ste integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu se z´ amˇ enou integrace. Zpˇ et

. – p.4/25

Příklad 10.1.1 1 Zamˇ en ˇ te poˇ rad´ı integrace dvojn´ asobn´ eho integr´ alu

⎛ ⎜ ⎝

0

√

⎞

x

⎟ f (x, y) dy ⎠ dx.

0

Řešení: Za pˇ redpokladu, ˇ ze funkce f je na mnoˇ zinˇ e G urˇ cen´ e nerovnicemi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤

√ x

(viz obr´ azek) spojit´ a, dan´ y integr´ al se rovn´ a dvojn´ emu integr´ alu

f (x, y) dx dy. G

y

1

G 1

x

2 Mnoˇ inu G m˚ uˇ zeme sak popsat i nerovnicemi ⎞ vˇ ⎞ 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1, plat´ı tedy ⎛z√ ⎛ 1 x 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ f (x, y) dy ⎠ dx = ⎝ ⎝ f (x, y) dx⎠ dy . 0

Zpˇ et

0

0

y2 . – p.4/25

Příklad 10.1.1 1 Zamˇ en ˇ te poˇ rad´ı integrace dvojn´ asobn´ eho integr´ alu

⎛ ⎜ ⎝

0

√

x

⎞

⎟ f (x, y) dy ⎠ dx.

0

Maple: V tomto pˇ r´ıkladˇ e si m˚ uˇ zeme pouze zakreslit mnoˇ zinu pˇ res kterou integrujeme, zamˇ enu integrace si mus´ıme udˇ elat sami. Nejdˇ r´ıve si nakresl´ıme mnoˇ zinu pˇ res kterou integrujeme > plot([0,sqrt(x)],x=0..1,filled=true,color=[white,grey]); 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

Vyj´ adˇ r´ıme si hranici mnoˇ ziny jako x v z´ avislosti na y > solve(y=sqrt(x),x); y2 Nyn´ı zamˇ en´ıme poˇ rad´ı integrace > Int(Int(f(x,y),y=0..sqrt(x)),x=0..1)=Int(Int(f(x,y),x=yˆ2..1),y=0..1) ; 1 √x 1 1 f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy 0

Zpˇ et

0

0

y2

. – p.4/25


⎛ ⎜ ⎝

√

x

⎞

⎟ f (x, y) dy ⎠ dx.

0

Mathematica: V tomto pˇ r´ıkladˇ e si m˚ uˇ zeme pouze zakreslit mnoˇ zinu pˇ res kterou integrujeme, zamˇ enu integrace si mus´ıme udˇ elat sami. Nejdˇ r´ıve si nakresl´ıme mnoˇ zinu pˇ res kterou integrujeme << Graphics`FilledPlot` Fills → {{{Axis, 1}, GrayLevel[.7]}}]; FilledPlot[Sqrt[x], {x, 0, 1}, 1},Fills 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

1

Vyj´ adˇ r´ıme si hranici mnoˇ ziny jako x v z´ avislosti na y Solve[y == Sqrt[x], x] x → y2 Nyn´ı zamˇ en´ıme poˇ rad´ı integrace Integrate[f [x, y], {y, 0, 1}, {x, y ∧ 2, 1}] Integrate[f [x, y], {x, 0, 1}, {y, 0, Sqrt[x]}]== Sqrt[x]}]==Integrate[f

1 1

1 √x f [x, y]dydx == f [x, y]dxdy 0 0 0 y2 Zpˇ et

. – p.4/25

Příklad 10.1.2 Zamˇ en ˇ te poˇ rad´ı integrace dvojn´ asobn´ eho integr´ alu ⎞ ⎞ ⎛ x ⎛ 2−x 1 2 ⎝ f (x, y) dy ⎠ dx + ⎝ f (x, y) dy ⎠ dx. 0

0

1

?

0

Zpˇ et

. – p.5/25


0

1

0

Výsledek: 1

⎛ ⎝

0

x 0

⎞ f (x, y) dy ⎠ dx +

2 1

⎛ ⎝

2−x

⎞

f (x, y) dy ⎠ dx =

0

1 0

⎛ ⎜ ⎝

2−y

⎞

⎟ f (x, y) dx⎠ dy .

y

Zpˇ et

. – p.5/25


0

1

0

Návod:

Pˇ reved’te nejdˇ r´ıve na dvojn´ y integral

f (x, y) dx dy. Nakreslete si obr´ azek mnoˇ ziny G G

a napiˇ ste integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu se z´ amˇ enou integrace. Zpˇ et

. – p.5/25


0

1

0

Řešení: Pˇ redpokladejme, ˇ ze funkce f je na mnoˇ zinˇ e G spojit´ a. G = G1 ∪ G2 , kde G1 je urˇ cen´ a nerovnicemi 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x a G2 je urˇ cen´ a nerovnicemi 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 − x (viz obr´ azek). y 1 G1

G2 1

2

x

Souˇ cet dan´ ych dvojn´ asobn´ ych integr´ al˚ u se rovn´ a dvojn´ emu integr´ alu

f (x, y) dx dy. G

Mnoˇ zinu G m˚ uˇ zeme vˇ sak popsat i nerovnicemi 0 ≤ y ≤⎛1 , y ≤ x ≤ 2 − ⎞y, plat´ı tedy ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 2−y 2−x 1 x 2 1 ⎟ ⎜ ⎝ f (x, y) dy ⎠ dx + ⎝ f (x, y) dy ⎠ dx = f (x, y) dx⎠ dy . ⎝ 0

0

1

0

0

y

Zpˇ et

. – p.5/25


0

1

0

Maple: V tomto pˇ r´ıkladˇ e si m˚ uˇ zeme pouze zakreslit mnoˇ zinu pˇ res kterou integrujeme, zamˇ enu integrace si mus´ıme udˇ elat sami. Nejdˇ r´ıve si nakresl´ıme mnoˇ zinu G1 potom G2 , mnoˇ zina pˇ res kterou integrujeme je G = G1 ∪ G2 . > G2:=plot([0,2-x],x=1..2,filled=true,color=[white,grey]): > plots[display](G1,G2); 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 x

1.2 1.4 1.6 1.8

2

Nyn´ı zamˇ en´ıme poˇ rad´ı intagrace > Int(Int(f(x,y),y=0..x),x=0..1)+Int(Int(f(x,y),y=0..2-x),x=1..2)=Int(I nt(f(x,y),x=y..2-y),y=0..1); 1 x 2 2−x 1 2−y f(x, y) dy dx + f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy 0

0

1

0

0

y

Zpˇ et . – p.5/25


0

1

0

Mathematica: V tomto pˇ r´ıkladˇ e si m˚ uˇ zeme pouze zakreslit mnoˇ zinu pˇ res kterou integrujeme, zamˇ enu integrace si mus´ıme udˇ elat sami. Nejdˇ r´ıve si nakresl´ıme mnoˇ zinu G1 potom G2 , mnoˇ zina pˇ res kterou integrujeme je G = G1 ∪ G2 . << Graphics`FilledPlot` G1 = FilledPlot[x, {x, 0, 1}, Fills → {{{Axis, 1}, GrayLevel[.7]}}, DisplayFunction → Identity]; GrayLevel[.7]}},DisplayFunction DisplayFunction → Identity]; G2 = FilledPlot[2 − x, {x, 1, 2}, Fills → {{{Axis, 1}, GrayLevel[.7]}}, GrayLevel[.7]}},DisplayFunction Show[{G1, G2}, DisplayFunction → $DisplayFunction]; 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5

1

1.5

2

Nyn´ı zamˇ en´ıme poˇ rad´ı intagrace Integrate[f [x, y], {x, 1, 2}, {y, 0, 2 − x}]== Integrate[f [x, y], {x, 0, 1}, {y, 0, x}]+ x}]+Integrate[f Integrate[f [x, y], {y, 0, 1}, {x, y, 2 − y}]

2 2−x

1 2−y

1 x f [x, y]dydx + f [x, y]dydx == f [x, y]dxdy 0 0 1 0 0 y Zpˇ et

. – p.5/25

Příklad 10.1.3


Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al 2

y = 2 − x a y = −x. ?

Ê2

je mnoˇ zina ohraniˇ cen´ a grafy funkc´ı

M

Zpˇ et

. – p.6/25

Příklad 10.1.3



y = 2 − x a y = −x.

Ê2


M

Výsledek: 9 . 8 Zpˇ et −

. – p.6/25

Příklad 10.1.3



y = 2 − x a y = −x.

Ê2


M

Návod: Nakreslete si obr´ azek mnoˇ ziny M . Protoˇ ze funkce f (x, y) = x y je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e M, m˚ uˇ zeme napsat integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu. Zpˇ et

. – p.6/25

Příklad 10.1.3



y = 2 − x a y = −x.

Ê2


M

Řešení: Vypoˇ cteme si spoleˇ cn´ e body funkc´ı y = −x a y = 2 − x2 . Rovnice −x = 2 − x2 m´ aˇ reˇ sen´ı x1 = −1 a x2 = 2. Nyn´ı nakresl´ıme mnoˇ zinu M , 2 M = {[x, y] ∈ Ê ; = −1 ≤ x ≤ 2 , −x ≤ y ≤ 2 − x2 } (viz obr´ azek). y 2

M

-1

x

2

Protoˇ ze funkce f (x, y) = x y je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e M , m˚ uˇ zeme napsat integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu. ⎞ ⎛ 2 2 2−x 2 2 2 2−x x y ⎟ ⎜ x y dx dy = x y dy ⎠ dx = dx = ⎝ 2 −1

M

2 = −1

Zpˇ et

−x

−x

−1

3

5

5x x 2x − + 2 2

dx =

4

6

x 5x x − + 8 12 2

2 −1

2 =− − 3

11 24

=−

9 . 8

. – p.6/25

Příklad 10.1.3



y = 2 − x a y = −x.

Ê2


M

Maple: Vypoˇ cteme si spoleˇ cn´ e body funkc´ı y = −x a y = 2 − x2 . > solve(-x=2-xˆ2,x); 2, −1 Nakresl´ıme grafy funkc´ı y = −x a y = 2 − x2 pro x ∈ −1, 2. > plot([-x,2-xˆ2],x=-1..2); 2

1

–1

–0.5

0.5

1 x

1.5

2

–1

–2

Protoˇ ze funkce f (x, y) = x y je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e M , m˚ uˇ zeme napsat integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu. > Int(Int(x*y,y=-x..2-xˆ2),x=-1..2)=int(int(x*y,y=-x..2-xˆ2),x=-1..2); 2 2−x2 −9 x y dy dx = 8 −1 −x Zpˇ et . – p.6/25

Příklad 10.1.3



y = 2 − x a y = −x.

Ê2


M

Mathematica: Vypoˇ cteme si spoleˇ cn´ e body funkc´ı y = −x a y = 2 − x2 . Solve[−x == 2 − x∧ 2, x] {{x → −1}, {x → 2}} Nakresl´ıme si mnoˇ zinu M . << Graphics`FilledPlot` FilledPlot[{−x, 2 − x∧ 2}, {x, −1, 2}, Fills → {{{1, 2}, GrayLevel[.7]}}]; 2 1

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-1 -2

Protoˇ ze funkce f (x, y) = x y je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e M , m˚ uˇ zeme napsat integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu. Integrate[xy, {x, −1, 2}, {y, −x, 2 − x∧ 2}] − 98 Zpˇ et . – p.6/25

Příklad 10.1.4



y = 2 − x a y = |x|. ?

Ê2


M

Zpˇ et

. – p.7/25

Příklad 10.1.4



y = 2 − x a y = |x|.

Ê2


M

Výsledek: 76 15

.

Zpˇ et

. – p.7/25

Příklad 10.1.4



y = 2 − x a y = |x|.

Ê2


M

Návod: Nakreslete si obr´ azek mnoˇ ziny M . Protoˇ ze funkce f (x, y) = x y je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e M, m˚ uˇ zeme napsat integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu. Integr´ al mus´ıme rozdˇ elit na dva integr´ aly, pˇ res mnoˇ zinu M1 a pˇ res mnoˇ zinu M2 , kde M = M1 ∪ M2 . Zpˇ et

. – p.7/25

Příklad 10.1.4



y = 2 − x a y = |x|.

Ê2


M

Řešení: Vypoˇ cteme si spoleˇ cn´ e body funkc´ı y = |x| a y = 2 − x2 . Rovnice |x| = 2 − x2 m´ aˇ reˇ sen´ı x1 = −1 a x2 = 1. Nyn´ı nakresl´ıme mnoˇ zinu M , 2 M = {[x, y] ∈ Ê ; = −1 ≤ x ≤ 1 , |x| ≤ y ≤ 2 − x2 } (viz obr´ azek). y 2 M -1

1

x

Protoˇ ze funkce f (x, y) = x y je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e M , m˚ uˇ zeme napsat integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu. Integr´ al mus´ıme nejdˇ r´ıv rozdˇ elit na dva integr´ aly, pˇ res mnoˇ zinu M1 a pˇ res mnoˇ zinu M2 , kde M = M1 ∪ M2 . M1 = {[x, y] ∈

Ê2 ; = −1 ≤ x ≤ 0 ,

a M2 = {[x, y] ∈

Ê2 ; = 0 ≤ x ≤ 1 ,

−x ≤ y ≤ 2 − x2 } 2

x≤y ≤2−x }

Dalˇ s´ı

. – p.7/25

Příklad 10.1.4


Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al

Ê2


M

2

y = 2 − x a y = |x|.

Řešení:

(x + 2y) dx dy

=

M

(x + 2y) dx dy + M1

0 =

⎛ ⎜ ⎝

−1

2 2−x

⎞

−1

0

2

2−x2 −x

2

= Zpˇ et

2

4x + x −

⎜ ⎝

2 2−x

dx +

xy + y 0

3

4

3

4

5

x x 4x − + 3 4 5

⎞ ⎟ x + 2y dy ⎠ dx =

x

1

4 + 2x − 4x − x + x

⎛

0

−1

=

1

−x

xy + y

=

M2

⎟ x + 2y dy ⎠ dx +

0 =

(x + 2y) dx dy =

2 2 2−x x

1

dx +

2

3

4

4 + 2x − 6x − x + x

0

0

+

−1

dx =

2

3

4x + x − 2x −

4

5

x x + 4 5

dx =

1 = 0

127 59 76 + = . 60 20 15 . – p.7/25

Příklad 10.1.4



y = 2 − x a y = |x|.

Ê2


M

Maple:

Vypoˇ cteme si spoleˇ cn´ e body funkc´ı y = |x| a y = 2 − x2 . > solve(abs(x)=2-xˆ2,x); 1, −1 Nakresl´ıme si mnoˇ zinu M . > plot([abs(x),2-xˆ2],x=-1..1); 2

1.5

1

0.5

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 x

1

Protoˇ ze funkce f (x, y) = x + 2y je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e M , m˚ uˇ zeme napsat integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu. > Int(Int(x+2*y,y=abs(x)..2-xˆ2),x=-1..1)=int(int(x+2*y,y=abs(x)..2-xˆ2 ),x=-1..1); 1 2−x2 76 x + 2 y dy dx = 15 −1 |x| Zpˇ et . – p.7/25

Příklad 10.1.4



y = 2 − x a y = |x|.

Ê2


M

Mathematica: Vypoˇ cteme si spoleˇ cn´ e body funkc´ı y = |x| a y = 2 − x2 . Solve[2 − x∧ 2 == Abs[x], x] {{x → −1}, {x → 1}} Nakresl´ıme si mnoˇ zinu M . << Graphics`FilledPlot` Fills → {{{1, 2}, GrayLevel[.7]}}]; 1},Fills FilledPlot[{Abs[x], 2 − x∧ 2}, {x, −1, 1}, 2 1.5 1 0.5

-1

-0.5

0.5

1

Protoˇ ze funkce f (x, y) = x + 2y je spojit´ a na mnoˇ zinˇ e M , m˚ uˇ zeme napsat integr´ al pomoc´ı dvojn´ asobn´ eho integr´ alu. Integrate[x + 2y, {x, −1, 1}, {y, Abs[x], 2 − x∧ 2}] 76 15

Zpˇ et . – p.7/25

Substituční metoda pro dvojný integrál • Pˇ r´ıklad 10.2.1 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al M = {[x, y] ∈

Ê

2

2

; x + y ≤ 4}.

M = {[x, y] ∈

Ê

M = {[x, y] ∈

Ê

2

2

2

2

2

2 +y 2

ex

dx dy, kde

M

2

• Pˇ r´ıklad 10.2.2 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al 2

x y dx dy, kde M

; 1 ≤ x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}. ln(x2 + y 2 ) • Pˇ dx dy, kde r´ıklad 10.2.3 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al x2 + y 2 2

; 1 ≤ x + y ≤ e }.

• Pˇ r´ıklad 10.2.4 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al polovina kruhu, M = {(x, y) ∈

Ê

2

M

4 − x2 − y 2 dx dy, kde M je

M 2

; (x − 1) + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. Zpˇ et

. – p.8/25

Příklad 10.2.1


x2 +y 2

e

dx dy, kde M = {[x, y] ∈

Ê2 ; x2 + y2 ≤ 4}.

M

?

Zpˇ et

. – p.9/25

Příklad 10.2.1


x2 +y 2

e


Ê2 ; x2 + y2 ≤ 4}.

M

Výsledek: π(e4 − 1) . Zpˇ et

. – p.9/25

Příklad 10.2.1

x2 +y 2


e


Ê2 ; x2 + y2 ≤ 4}.

M

Návod: Pouˇ zijte substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic. x

=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π .

Zpˇ et

. – p.9/25

Příklad 10.2.1

x2 +y 2


e


Ê2 ; x2 + y2 ≤ 4}.

M

Řešení: Pouˇ zijte substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic. x

=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π .

x2 +y 2

e

dx dy =

r2

re

dr dt ,

¯ M

M

¯ = {[r, t] ∈ Ê2 ; r ∈ 0, 2 , t ∈ 0, 2π}. kde M Nyn´ı vypoˇ cteme integr´ al po substituci.

r2

re

dr dt

=

¯ M

2π 2 2π 2 1 r2 2 r e ( r e dr) dt = dt = 2 0 0

=

0

0

2π 1 1 1 ( e4 − dt = 2π (e4 − 1) = π(e4 − 1) . 2 2 2 0

Zpˇ et

. – p.9/25

Příklad 10.2.1


x2 +y 2

e


Ê2 ; x2 + y2 ≤ 4}.

M

Maple: Substituci mus´ıme prov´ est sami, Maple n´ am spoˇ c´ıt´ a integr´ al aˇ z po substituci. > int(int(r*exp(rˆ2),r=0..2),t=0..2*Pi); e4 π − π Zpˇ et

. – p.9/25

Příklad 10.2.1


x2 +y 2

e


Ê2 ; x2 + y2 ≤ 4}.

M

Mathematica: Substituci mus´ıme prov´ est sami, Mathematica n´ am spoˇ c´ıt´ a integr´ al aˇ z po substituci. Integrate[rExp[r ∧ 2], {t, 0, 2Pi}, {r, 0, 2}] −1 + e4 π Zpˇ et

. – p.9/25

Příklad 10.2.2

Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al M = {[x, y] ∈ ?

Ê

2

2

x y dx dy, kde M 2

; 1 ≤ x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}. Zpˇ et

. – p.10/25

Příklad 10.2.2

Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al M = {[x, y] ∈

Ê

2

2

x y dx dy, kde M 2

; 1 ≤ x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Výsledek: 15 8

.

Zpˇ et

. – p.10/25

Příklad 10.2.2


Ê

2

2

x y dx dy, kde M 2

; 1 ≤ x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.


=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π .

Zpˇ et

. – p.10/25

Příklad 10.2.2


Ê

2

x y dx dy, kde M 2

2

; 1 ≤ x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Řešení: Pouˇ zijte substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic. x

=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π .

x y dx dy = ¯ M

M

¯ = {[r, t] ∈ Ê2 ; r ∈ 1, 2 , t ∈ 0, kde M Nyn´ı vypoˇ cteme integr´ al po substituci.

r 3 cos t sin t dr dt

=

¯ M

¯ M

π 2 }. π

2 2 sin 2t 3 sin 2t dr dt = ( r 3 dr) dt = r 2 2 0

π

2 = 0

Zpˇ et

=

3

r cos t sin t dr dt ,

r 4 sin 2t 4 2

1

π

2

2 dt =

1

1

π

15 sin 2t dt = 4 2

2 1

15 sin 2t dt = 8

π 15 cos 2t 2 cos π cos 0 15 −1 1 15 15 − − + = − + = . = 8 2 8 2 2 8 2 2 8 0 . – p.10/25

Příklad 10.2.2


Ê

2

2

x y dx dy, kde M 2

; 1 ≤ x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Maple: Substituci mus´ıme prov´ est sami, Maple n´ am spoˇ c´ıt´ a integr´ al aˇ z po substituci. > int(int(rˆ3*cos(t)*sin(t),r=1..2),t=0..Pi/2); 15 8 Zpˇ et

. – p.10/25

Příklad 10.2.2


Ê

2

2

x y dx dy, kde M 2

; 1 ≤ x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Mathematica: Substituci mus´ıme prov´ est sami, Mathematica n´ am spoˇ c´ıt´ a integr´ al aˇ z po substituci. Integrate[r ∧ 3Sin[t]Cos[t], {t, 0, Pi/2}, {r, 1, 2}] 15 8

Zpˇ et

. – p.10/25

Příklad 10.2.3 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al M = {[x, y] ∈ ?

Ê

2

2

M 2

ln(x2 + y 2 ) dx dy, kde x2 + y 2

; 1 ≤ x + y ≤ e2 }. Zpˇ et

. – p.11/25

Příklad 10.2.3 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al M = {[x, y] ∈

Ê

2

2

M 2

ln(x2 + y 2 ) dx dy, kde x2 + y 2

; 1 ≤ x + y ≤ e2 }.

Výsledek: 2π . Zpˇ et

. – p.11/25


Ê

2

2

M 2

ln(x2 + y 2 ) dx dy, kde x2 + y 2

; 1 ≤ x + y ≤ e2 }.


=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π .

Zpˇ et

. – p.11/25

Příklad 10.2.3

ln(x2 + y 2 ) dx dy, kde x2 + y 2


Ê

2

M 2

2

; 1 ≤ x + y ≤ e2 }.

Řešení: Pouˇ zijte substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic.

M

x

=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π .

ln(x2 + y 2 ) dx dy = x2 + y 2

¯ M

ln(r 2 ) dr dt , r

¯ = {[r, t] ∈ Ê2 ; r ∈ 1, e , t ∈ 0, 2π}. kde M Nyn´ı vypoˇ cteme integr´ al po substituci. ¯ M

ln(r 2 ) dr dt r

⎛

2π

e

0

1

⎝

=

=

substituce ln(r 2 ) ⎠ dr dt = du = r1 dr r α=0 ⎞

u = ln r = β=1

2π 1 2π 2π 1 u2 ( 2 u du) dt = dt = 1 dt = 2 π . 0

0

0

0

0

Zpˇ et . – p.11/25


Ê

2

2

M 2

ln(x2 + y 2 ) dx dy, kde x2 + y 2

; 1 ≤ x + y ≤ e2 }.

Maple: Substituci mus´ıme prov´ est sami, Maple n´ am spoˇ c´ıt´ a integr´ al aˇ z po substituci. > Int(Int(ln(rˆ2)/r,r=1..exp(1)),t=0..2*Pi)=int(int(ln(rˆ2)/r,r=1..exp( 1)),t=0..2*Pi); 2 π e ln(r 2 ) dr dt = 2 π r 0 1 Zpˇ et

. – p.11/25


Ê

2

2

M 2

ln(x2 + y 2 ) dx dy, kde x2 + y 2

; 1 ≤ x + y ≤ e2 }.

Mathematica: Substituci mus´ıme prov´ est sami, Mathematica n´ am spoˇ c´ıt´ a integr´ al aˇ z po substituci. Integrate[Log[r 2 ]/r, {t, 0, 2Pi}, {r, 1, E}] 2π Zpˇ et

. – p.11/25

Příklad 10.2.4 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al M = {(x, y) ∈ ?

Ê

2

2

4 − x2 − y 2 dx dy, kde M je polovina kruhu,

M

; (x − 1) + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. Zpˇ et

. – p.12/25

Příklad 10.2.4 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al M = {(x, y) ∈

Ê

2

2


M

; (x − 1) + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Výsledek: 8 π 2 − . 3 2 3 Zpˇ et

. – p.12/25


Ê

2

2


M

; (x − 1) + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.


=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π .

Hranice mnoˇ ziny M je ˇ c´ asteˇ cnˇ e pops´ ana kruˇ znic´ı (x − 1)2 + y 2 = 1, tato kruˇ znice m´ av pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch tvar r = 2 cos t. Zpˇ et

. – p.12/25


Ê

2

2


M

; (x − 1) + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Řešení: Nakresl´ıme si mnoˇ zinu M :

y 1 M 0

2 x

1

Pouˇ zijeme substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic.

M

x

=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π .

4 − x2 − y 2 dx dy =

r

4 − r 2 dr dt .

¯ M

Hranice mnoˇ ziny M je ˇ c´ asteˇ cnˇ e pops´ ana kruˇ znic´ı (x − 1)2 + y 2 = 1. Neˇ z urˇ c´ıme mnoˇ zinu 2 2 ¯ M, vyj´ adˇ r´ıme si kruˇ znici (x − 1) + y = 1 v pol´ arn´ıch souˇ radnic´ıch. Dalˇ s´ı . – p.12/25


Ê

2


M

2

; (x − 1) + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Řešení: (x − 1)2 + y 2

=

1

(r cos t − 1)2 + y 2

=

1

r 2 cos2 t − 2 r cos t + 1 + r 2 sin2 t

=

1

r 2 − 2 r cos t

=

0

r

=

2 cos t .

¯ = {[r, t] ∈ Ê2 ; r ∈ 0, 2 cos t pro t ∈ 0, Mnoˇ zina M Nyn´ı vypoˇ cteme integr´ al po substituci. r

π

2 4 − r 2 dr dt

=

¯ M

⎛ ⎝

0

π

0 π

2 = Zpˇ et

−

(

=

4

substituce 2 ⎠ r 4 − r dr dt = du = −2 r dr α=4

4 sin 2 t

2

4

π 2 }.

⎞

2cos t

0

vydˇ el´ıme r

1 2

π

√ u du) dt =

2 0

⎡ ⎣−

3 u2

3

= β = 4 sin2 t

u = 4 − r2

⎤ 4 sin2 t ⎦

dt 4

π 2 1 2 8 3 cos(t) 8 π 3 (1 − sin t) dt = t + − cos(3t) − . = 3 4 12 3 2 3 0 . – p.12/25


Ê

2

2


M

; (x − 1) + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Maple: Substituci mus´ıme prov´ est sami, Maple n´ am spoˇ c´ıt´ a integr´ al aˇ z po substituci. > Int(Int(r*sqrt(4-rˆ2),r=0..2*cos(t)),t=0..Pi/2)=int(int(r*sqrt(4-rˆ2) ,r=0..2*cos(t)),t=0..Pi/2); π 2 cos(t) √ 16 4π 2 − r 4 − r 2 dr dt = 3 9 0 0 Zpˇ et

. – p.12/25


Ê

2

2


M

; (x − 1) + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Mathematica: Substituci mus´ıme prov´ est sami, Mathematica n´ am spoˇ c´ıt´ a integr´ al aˇ z po substituci. Integrate[rSqrt[4 − r ∧ 2], {t, 0, Pi/2}, {r, 0, 2Cos[t]}] 4 9 (−4

+ 3π)

Zpˇ et

. – p.12/25

Nevlastní integrál • Pˇ r´ıklad 10.3.1 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al D = 0, ∞) × 0, ∞). • Pˇ r´ıklad 10.3.2 Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al

D

Ê2

1 dx dy, kde (x2 + y 2 + 4)2

1 dx dy. 1 + x2 + y 2 Zpˇ et

. – p.13/25

Příklad 10.3.1

Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al D

?

1 dx dy, kde D = 0, ∞) × 0, ∞). (x2 + y 2 + 4)2 Zpˇ et

. – p.14/25

Příklad 10.3.1


1 dx dy, kde D = 0, ∞) × 0, ∞). (x2 + y 2 + 4)2

Výsledek: π . 16 Zpˇ et

. – p.14/25

Příklad 10.3.1


1 dx dy, kde D = 0, ∞) × 0, ∞). (x2 + y 2 + 4)2

Návod: D

1 dx dy = lim n→∞ (x2 + y 2 + 4)2

Dn

1 dx dy , (x2 + y 2 + 4)2

kde Dn = {[x, y] ∈ Ê2 ; x2 + y 2 ≤ n2 , x ≥ 0, y ≥ 0}. Pro v´ ypoˇ cet integr´ alu pod limitou pouˇ zijte substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic. Zpˇ et

. – p.14/25

Příklad 10.3.1


Řešení:

Pro nevlastn´ı integr´ al plat´ı D

1 dx dy, kde D = 0, ∞) × 0, ∞). (x2 + y 2 + 4)2

1 dx dy = lim n→∞ (x2 + y 2 + 4)2

1 dx dy , (x2 + y 2 + 4)2

Dn

kde Dn = {[x, y] ∈ Ê ; x + y ≤ n , x ≥ 0, y ≥ 0}. Vypoˇ cteme nejdˇ r´ıve integr´ al pod limitou. Pouˇ zijeme substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic. 2

Dn

¯ n = {[r, t] ∈ kde D ¯n D

Ê2 ;

2

2

1 dx dy = (x2 + y 2 + 4)2 r ∈ 0, n , t ∈ 0,

1 r 2 dr dt (r + 4)2

=

π 2 0

=

Plat´ı tedy

2

D

n 0

π 2 0

π 2 }.

1 − 2

r ¯n D

1 dr dt , (r 2 + 4)2

Plat´ı

1 r 2 dr (r + 4)2 1 1 − n2 + 4 4

1 π dx dy = lim − n→∞ (x2 + y 2 + 4)2 4

dt =

π 2 0

π dt = − 4

1 1 − n2 + 4 4

1 1 − 2 r2 + 4

1 1 − n2 + 4 4

=

n 0

dt

.

π . 16

Zpˇ et . – p.14/25

Příklad 10.3.1


1 dx dy, kde D = 0, ∞) × 0, ∞). (x2 + y 2 + 4)2

Maple: Maple n´ am tento nevlastn´ı integr´ al spoˇ cte pˇ r´ımo: > Int(Int(1/(xˆ2+yˆ2+4)ˆ2,y=0..infinity),x=0..infinity)=int(int(1/(xˆ2+ yˆ2+4)ˆ2,y=0..infinity),x=0..infinity); ∞ ∞ 1 π dy dx = (x2 + y 2 + 4)2 16 0 0 Zpˇ et

. – p.14/25

Příklad 10.3.1


1 dx dy, kde D = 0, ∞) × 0, ∞). (x2 + y 2 + 4)2

Mathematica: Mathematica n´ am tento nevlastn´ı integr´ al spoˇ cte pˇ r´ımo: Integrate[1/(x∧ 2 + y∧ 2 + 4)∧ 2, {x, 0, Infinity}, {y, 0, Infinity}] π 16

Zpˇ et

. – p.14/25

Příklad 10.3.2

Vypoˇ ctˇ ete dvojn´ y integr´ al ?

Ê2

1 dx dy. 1 + x2 + y 2 Zpˇ et

. – p.15/25

Příklad 10.3.2


Ê2

1 dx dy. 1 + x2 + y 2

Výsledek: ∞ , dvojn´ y integr´ al nekonverguje. Zpˇ et

. – p.15/25

Příklad 10.3.2


Ê2

1 dx dy. 1 + x2 + y 2

Návod:

Ê2

1 dx dy = lim n→∞ (x2 + y 2 + 1)

Dn

1 dx dy , (x2 + y 2 + 1)

ypoˇ cet integr´ alu pod limitou pouˇ zijte kde Dn = {[x, y] ∈ Ê2 ; x2 + y 2 ≤ n2 }. Pro v´ substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic. Zpˇ et

. – p.15/25

Příklad 10.3.2


Ê2

Řešení:

Pro nevlastn´ı integr´ al plat´ı

Ê2

1 dx dy. 1 + x2 + y 2

1 dx dy = lim n→∞ (x2 + y 2 + 1)

1 dx dy , (x2 + y 2 + 1)

Dn

kde Dn = {[x, y] ∈ Ê ; x + y ≤ n }. Vypoˇ cteme nejdˇ r´ıve integr´ al pod limitou. Pouˇ zijeme substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic. 2

2

Dn

¯ n = {[r, t] ∈ kde D ¯n D

Ê2 ;

2

1 dx dy = (x2 + y 2 + 1)

=

2π 0

=

Ê2

r ¯n D

1 dr dt , (r 2 + 1)

r ∈ 0, n , t ∈ 0, 2π}. Plat´ı

1 r 2 dr dt (r + 1)

Plat´ı tedy

2

n 0

2π 0

1 dr r 2 (r + 1)

dt =

π 0

1 2 ln(r + 1) 2

n 0

dt

1 2 2 ln(n + 1) dt = π ln(n + 1) . 2

1 2 dx dy = lim 2π ln(n + 1) = ∞. n→∞ (x2 + y 2 + 1)

Integr´ al nekonveruje. Zpˇ et

. – p.15/25

Příklad 10.3.2


Ê2

1 dx dy. 1 + x2 + y 2

Maple: Int(Int(1/(xˆ2+yˆ2+1),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity)=i nt(int(1/(ˆ2+yˆ2+1),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity); ∞ ∞ 1 dy dx = ∞ 2 2 −∞ −∞ x + y + 1 V´ ysledek je ∞, integr´ al tedy nekonverguje. >

Zpˇ et

. – p.15/25

Příklad 10.3.2

1 dx dy. 1 + x2 + y 2


Ê2

Mathematica: {y, −Infinity, Infinity}] Integrate[1/(x∧ 2 + y ∧ 2 + 1), {x, −Infinity, Infinity}, Infinity},{y, Integrate::idiv : Integral of √

∞

−∞

1

1+x2

√

π

1+x2

does not converge on {−∞, ∞}. More. . .

dx

Mathematica n´ am sdˇ el´ı, ˇ ze integr´ al nekonverguje. Zpˇ et

. – p.15/25

Výpočet trojného integrálu • Pˇ r´ıklad 10.4.1 Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al

• Pˇ r´ıklad 10.4.2 Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al M = {[x, y, z] ∈

Ê

; x ≥ 0; y ≥ 0;

x2 y z 3 dx dy dz, kde

I

I = 0, 1 × 0, 1 × 0, 2

3

y dx dy dz, kde M

x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}. Zpˇ et

. – p.16/25

Příklad 10.4.1

2

3

x y z dx dy dz, kde I = 0, 1 × 0, 1 × 0, 2

Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al I

?

Zpˇ et

. – p.17/25

Příklad 10.4.1

2

3

x y z dx dy dz, kde I = 0, 1 × 0, 1 × 0, 2


Výsledek: 2 . 3 Zpˇ et

. – p.17/25

Příklad 10.4.1

2

3

x y z dx dy dz, kde I = 0, 1 × 0, 1 × 0, 2


Návod: Pouˇ zijte Fubiniovu vˇ etu a vypoˇ ctˇ ete trojn´ ason´ y integral

1 1 2 2 ( ( x y z 3 dz) dy) dx. 0

0

0

Zpˇ et

. – p.17/25

Příklad 10.4.1

2

3

x y z dx dy dz, kde I = 0, 1 × 0, 1 × 0, 2


Řešení: Pouˇ zijeme Fubiniovu vˇ etu a vypoˇ cteme trojn´ ason´ y integral

1 1 2 2 ( ( x y z 3 dz) dy) dx. 0

1 1 2 2 3 ( ( x y z dz) dy) dx 0

0

2 =

=

0

0

2

1

( 0

=

3

0

z dz)(

0

1 1 3 2 z dz) ( x y dy) dx

(

0

0

z4 4

2 0

1 y dy)(

0

y2 2

1 0

2

x dx) 0

x3 3

1 = 0

2 16 1 1 = . 4 2 3 3

Zpˇ et

. – p.17/25

Příklad 10.4.1

2

3

x y z dx dy dz, kde I = 0, 1 × 0, 1 × 0, 2


Maple: Int(Int(Int(xˆ2*y*zˆ3,z=0..2),y=0..1),x=0..1)=int(int(int(xˆ2*y*zˆ3,z =0..2),y=0..1),x=0..1); 1 1 2 2 x2 y z 3 dz dy dx = 3 0 0 0 Zpˇ et >

. – p.17/25

Příklad 10.4.1

2

3

x y z dx dy dz, kde I = 0, 1 × 0, 1 × 0, 2


Mathematica: Integrate[x∧ 2 y z ∧ 3, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 2}] 2 3

Zpˇ et

. – p.17/25

Příklad 10.4.2

y dx dy dz, kde

Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al M = {[x, y, z] ∈ ?

Ê

3

M

; x ≥ 0; y ≥ 0;

x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}. Zpˇ et

. – p.18/25

Příklad 10.4.2

y dx dy dz, kde

Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al M = {[x, y, z] ∈

Ê

3

M

; x ≥ 0; y ≥ 0;

x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}.

Výsledek: 4 . 3 Zpˇ et

. – p.18/25

Příklad 10.4.2

y dx dy dz, kde


Ê

3

M

; x ≥ 0; y ≥ 0;

x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}.

Návod: Pouˇ zijte Fubiniovu vˇ etu a vypoˇ ctˇ ete trojn´ ason´ y integral

2 0

√ (

4−x

2 0

( √

2

y dz) dy) dx.

x2 +y 2

Zpˇ et

. – p.18/25

Příklad 10.4.2

y dx dy dz, kde


Ê

3

M

; x ≥ 0; y ≥ 0;

x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}.

Řešení: Nejdˇ r´ıve pop´ıˇ seme mnoˇ zinu M nerovnicemi tak, abychom mohli pouˇ z´ıt Fubiniovu vˇ etu. Nakresl´ıme si mnoˇ zinu M . Mnoˇ zina M se d´ a vyj´ adˇ rit nerovnicemi 2

2

2

Nyn´ı plat´ı y dx dy dz

=

2

=

=

4−x2

0 2

√

0

2

√

x2 +y 2

y2 −

(x2 + y 2 )3 3

x y z

y dz

x2 +y 2

≤ ≤ ≤

dy

dy

dx =

√4−x2 dx = 0

≤ ≤ ≤

2 √

4 − x2

2

.

dx

2 y z √

0 2

x2 + y 2

4−x2

0

=

√

0

M

0 0

2 0

2 0

√ 0

4−x2

y (2 −

4 x3 2 −x + dx = 3 3

x2 + y 2 ) dy

dx

4 x3 x4 x− + 3 3 12

8 16 4 8 − + = . 3 3 12 3

Zpˇ et . – p.18/25

2 0

Příklad 10.4.2

y dx dy dz, kde


Ê

3

M

; x ≥ 0; y ≥ 0;

x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}.

Maple: Int(Int(Int(y,z=sqrt(xˆ2+yˆ2)..2),y=0..sqrt(4-xˆ2)),x=0..2)=int(int(i nt(y,z=sqrt(xˆ2+yˆ2)..2),y=0..sqrt(4-xˆ2)),x=0..2); 2 √4−x2 2 4 y dz dy dx = √ 3 0 x2 +y 2 0 Zpˇ et >

. – p.18/25

Příklad 10.4.2

y dx dy dz, kde


Ê

3

M

; x ≥ 0; y ≥ 0;

x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}.

Mathematica: Tˇ eleso pˇ res kter´ e poˇ c´ıt´ ame integr´ al je ˇ ctvrt kuˇ zele. Tˇ eleso si nakresl´ıme. << Graphics`Shapes` Show[{TranslateShape[Graphics3D[Helix[2, 0.000001, 2, 40]], {0, 0, 2}], TranslateShape[Graphics3D[Cone[4, −2, 40]], {0, 0, 2}]}, PlotRange → {{0, 2}, {0, 2}, {0, 2}}, ViewPoint->{3.136, 0.422, 0.977}, Axes → True]; 2

1.5

0.50 1 2

1.5

1

0.5 0 0

0.5

1

1.5

0 2

Integrate[y, {x, 0, 2}, {y, 0, Sqrt[4 − x∧ 2]}, {z, Sqrt[x∧ 2 + y ∧ 2], 2}] 4 3

Zpˇ et . – p.18/25

Substituční metoda pro trojný integrál • Pˇ r´ıklad 10.5.1 Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al M =

[x, y, z] ∈

Ê

M = [x, y, z] ∈

Ê

z dx dy dz, kde M

3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

• Pˇ r´ıklad 10.5.2 Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al

3

9 − x2 − y 2

2

2

.

2

(x + y + z ) dx dy dz, kde M

; x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 < 1

. Zpˇ et

. – p.19/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde

Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al M =

[x, y, z] ∈ ?

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

. Zpˇ et

. – p.20/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde


[x, y, z] ∈

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

.

Výsledek: 81 π. 16 Zpˇ et

. – p.20/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde


[x, y, z] ∈

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

.

Návod: Pouˇ zijte substituci do cylindrick´ ych souˇ radnic. x

=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π

z

=

z.

Zpˇ et

. – p.20/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde


[x, y, z] ∈

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

.

Řešení: Nakresl´ıme si tˇ eleso pˇ res kter´ e integrujeme. 3 x2 y2 z2 9

3 3

Pro v´ ypoˇ cet integralu pouˇ zijeme substituci do cylindrick´ ych souˇ radnic. x

=

r cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin t ,

t ∈ 0, 2π

z

=

z.

Zobrazen´ı z kart´ ezsk´ ych do cylindrick´ radnic je regul´ arn´ı a jeho jakobi´ an je ych souˇ cos t sin t 0 J(r, t, z) = −r sin t r cos t 0 = r cos2 t + r sin2 t = r . 0 0 1 Dalˇ s´ı . – p.20/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde


[x, y, z] ∈

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

.

Řešení: Plat´ı tedy:

z dx dy dz =

M

¯ kde M = [r, t, z] ∈ Ê3 , 0 < r < 3 , 0 < t < Nyn´ı vypoˇ cteme integr´ al po substituci

z r dr dt dz

=

¯ M

π 2 0

= =

3

π 2 0

3 0

¯ M π 2

, 0
√

9−r 2

z r dz

0

0

z r dr dt dz ,

9−r r 2

dr

2

dr

√ 9 − r2 .

dt =

dt = π 2

0

π 2 0

⎛ ⎜ ⎝

3 0

1 2 2 − (9 − r ) 8

r

z2 2

√9−r2

3 0

⎟ dr ⎠ dt

0

dt =

⎞

π 2 0

1 2 (9) dt 8

81 π 16

Zpˇ et

. – p.20/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde


[x, y, z] ∈

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

.

Maple: Mnoˇ zina pˇ res kterou poˇ c´ıt´ ame trojn´ y integr´ al je osmina koule. Nakresl´ıme si ji. > c := plottools[sphere]([0,0,0], 3): plots[display](c,view=[0..3,0..3,0..3], axes=boxed);

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Nyn´ı vypoˇ cteme trojn´ y integr´ al bez substituce nebo se substituc´ı do sf´ erick´ ych souˇ radnic. > Int(Int(Int(z,z=0..sqrt(9-xˆ2-yˆ2)),y=0..sqrt(9-xˆ2)),x=0..3)=int(int (int(z,z=0..sqrt(9-xˆ2-yˆ2)),y=0..sqrt(9-xˆ2)),x=0..3); 3 √9−x2 √9−x2 −y2 81 π z dz dy dx = 16 0 0 0 Dalˇ s´ı

. – p.20/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde


[x, y, z] ∈

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

.

Maple: Int(Int(Int(r*z,z=0..sqrt(9-rˆ2)),r=0..3),t=0..Pi/2)=int(int(int(r*z, z=0..sqrt(9-rˆ2)),r=0..3),t=0..Pi/2); π 3 √9−r2 81 π 2 r z dz dr dt = 16 0 0 0 Zpˇ et >

. – p.20/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde


[x, y, z] ∈

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

.

Mathematica: Mnoˇ zina pˇ res kterou poˇ c´ıt´ ame trojn´ y integr´ al je osmina koule. Nakresl´ıme si ji. << Graphics`Shapes` Show[Graphics3D[Sphere[3, 40, 40]], PlotRange → {{0, 3}, {0, 3}, {0, 3}}, ViewPoint->{3.136, 0.422, 0.977}, Axes → True]; 2

3

1

0 3

2

1

0

1

2

0 3

Nyn´ı vypoˇ cteme trojn´ y integr´ al bez substituce nebo se substituc´ı do sf´ erick´ ych souˇ radnic. Integrate[z, {x, 0, 3}, {y, 0, Sqrt[9 − x∧ 2]}, {z, 0, Sqrt[9 − x∧ 2 − y∧ 2]}] 81π 16

Dalˇ s´ı . – p.20/25

Příklad 10.5.1

z dx dy dz, kde


[x, y, z] ∈

Ê

M 3

; x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤

9 − x2 − y 2

.

Mathematica: Integrate[rz, {t, 0, Pi/2}, {r, 0, 3}, {z, 0, Sqrt[9 − r ∧ 2]}] 81π 16

Zpˇ et

. – p.20/25

Příklad 10.5.2

M = [x, y, z] ∈ ?

Ê

3

2

2

2

(x + y + z ) dx dy dz, kde

Vypoˇ ctˇ ete trojn´ y integr´ al M

; x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 < 1

. Zpˇ et

. – p.21/25

Příklad 10.5.2

M = [x, y, z] ∈

Ê

3

2

2

2



; x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 < 1

.

Výsledek: π . 10 Zpˇ et

. – p.21/25

Příklad 10.5.2

M = [x, y, z] ∈

Ê

3

2

2

2



; x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 < 1

.

Návod: Protoˇ ze tˇ eleso pˇ res kter´ e integrujeme je osmina koule, pouˇ zijte substituci do sf´ erick´ ych souˇ radnic. x

=

r sin u cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin u sin t ,

t ∈ 0, 2π

z

=

r cos u ,

u ∈ 0, π .

Zpˇ et

. – p.21/25

Příklad 10.5.2

M = [x, y, z] ∈

Ê

3

2

2

2



; x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 < 1

.

Řešení: Nakresl´ıme si tˇ eleso pˇ res kter´ e integrujeme.

1 x2 y2 z2 1

1

1

Protoˇ ze tˇ eleso pˇ res kter´ e integrujeme je osmina koule, pouˇ zijeme substituci do sf´ erick´ ych souˇ radnic. x

=

r sin u cos t ,

r ∈ 0, ∞)

y

=

r sin u sin t ,

t ∈ 0, 2π

z

=

r cos u ,

u ∈ 0, π .

Zobrazen´ı do sf´ erick´ ych souˇ radnic je regul´ arn´ı, jeho jakobi´ an je J(r, t, u) = r 2 sin u . Dalˇ s´ı

. – p.21/25

Příklad 10.5.2

2

M = [x, y, z] ∈

Ê

3

2

2



; x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 < 1

.

Řešení: Plat´ı tedy:

2

2

2

(x + y + z ) dx dy dz = ¯ M

M

¯ = [r, t, u] ∈ Ê3 , 0 < r < 1 , 0 < t < kde M Nyn´ı vypoˇ cteme integr´ al po substituci

r 4 sin u dr dt du

r 2 r 2 sin u dr dt du ,

=

π 2 0

¯ M

=

=

π 2

0 π 2

0

=

0

π 2 0

π 10

sin u

sin u

π [− cos u]02

r 4 sin u dr

1 t 5

, 0
1 0

π 2

π 2

5

r 5

1

π 2

du =

0

=

.

dt

du

dt

0

π 2

du = π 2

0

π 2

0

π 2 0

1 sin u dt 5

du

π sin u du 10

π . 10

Zpˇ et

. – p.21/25

Příklad 10.5.2

M = [x, y, z] ∈

Ê

3

2

2

2



; x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 < 1

.

Maple: Mnoˇ zina pˇ res kterou poˇ c´ıt´ ame trojn´ y integr´ al je osmina koule. Obr´ azek viz pˇ redchoz´ı pˇ r´ıklad, jen polomˇ er koule je 1. Vypoˇ cteme integr´ al bez substituce i se substituc´ı do sf´ erick´ ych souˇ radnic. > Int(Int(Int((xˆ2+yˆ2+zˆ2),z=0..sqrt(1-xˆ2-yˆ2)),y=0..sqrt(1-xˆ2)),x=0 ..1)=int(int(int((xˆ2+yˆ2+zˆ2),z=0..sqrt(1-xˆ2-yˆ2)),y=0..sqrt(1-xˆ2)) ,x=0..1); 1 √1−x2 √1−x2 −y2 π x2 + y 2 + z 2 dz dy dx = 10 0 0 0 > Int(Int(Int(rˆ4*cos(u),r=0..1),t=0..Pi/2),u=0..Pi/2)=int(int(int(rˆ4* cos(u),r=0..1),t=0..Pi/2),u=0..Pi/2); π π 1 π 2 2 r 4 cos(u) dr dt du = 10 0 0 0 Zpˇ et

. – p.21/25

Příklad 10.5.2

M = [x, y, z] ∈

Ê

3

2

2

2



; x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 < 1

.

Mathematica: Mnoˇ zina pˇ res kterou poˇ c´ıt´ ame trojn´ y integr´ al je osmina koule. Obr´ azek viz pˇ redchoz´ı pˇ r´ıklad, jen polomˇ er koule je 1. Vypoˇ cteme integr´ al bez substituce i se substituc´ı do sf´ erick´ ych souˇ radnic. {z, 0, Sqrt[1 − x∧ 2 − y ∧ 2]}] Integrate[x∧ 2 + y ∧ 2 + z ∧ 2, {x, 0, 1}, {y, 0, Sqrt[1 − x∧ 2]}, 2]},{z, π 10

Integrate[r ∧ 4Sin[u], {u, 0, Pi/2}, {t, 0, Pi/2}, {r, 0, 1}] π 10

Zpˇ et

. – p.21/25

Aplikace dvojného integrálu • Pˇ r´ıklad 10.6.1 Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho rovinami x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 3, x + y + z = 4. • Pˇ r´ıklad 10.6.2 Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho plochou y = x2 , a rovinami y = 0, y + z = 2. • Pˇ r´ıklad 10.6.3 Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho rovinou z = 0 a ˇ c´ ast´ı plochy 2 −y 2

z = e−x

. Zpˇ et

. – p.22/25

Příklad 10.6.1 Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho rovinami x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 3, x + y + z = 4. ?

Zpˇ et

. – p.23/25

Příklad 10.6.1 Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho rovinami x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 3, x + y + z = 4.

Výsledek: V =

55 . 6

Zpˇ et

. – p.23/25


Návod:

(4 − x − y) dx dy, kde G = G1 ∪ G2 , G1 = {[x, y] ∈

V = G

G2 = {[x, y] ∈

Ê2 ;

Ê2 ;

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3} a

1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 4 − x}

Zpˇ et

. – p.23/25


Řešení: Nakresl´ıme si obr´ azek uvaˇ zovan´ eho tˇ elesa a mnoˇ zinu G = G1 ∪ G2 pˇ res kterou budeme integrovat. 4

(4 − x − y) dx dy =

V = G

(4 − x − y) dx dy +

G1

(4 − x − y) dx dy G2

3

2

y

G1 = {[x, y] ∈ G2 = {[x, y] ∈

Ê2 ; Ê2 ;

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3} 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 4 − x}

(4 − x − y) dx dy

=

G1

1

G2

=

0

(4 − x − y) dx dy

4 3

0 2

1

3

4−x 0

G1 G2 0 1 2

(4 − x − y) dy

xy4

4

x

dx = 6

(4 − x − y) dy

dx =

19 , 6

V =6+

19 55 = . 6 6

Zpˇ et . – p.23/25


Maple: Abychom mˇ eli pˇ redstavu o tˇ elese jehoˇ z objem poˇ c´ıt´ ame, nakresl´ıme si roviny x + y + z = 4 a z = 0 na obdeln´ıku x ∈ 0, 2 × 0, 3. > plot3d([4-x-y,0],x=0..2,y=0..3,axes=boxed);

4 3 2 1 0 –1 0

0.5

0 1 1.5 y

0.5 2

1 2.5

1.5

x

2

3

Nyn´ı si nakresl´ıme mnoˇ zinu G = G1 ∪ G2 pˇ res kterou integrujeme. > G1 := plottools[polygon]([[1,0], [1,3],[2,2],[2,0],[1,0]], color=green): G2 :=plottools[polygon]([[0,0], [0,3], [1,3],[1,0],[0,0]],color=green): plots[display](G1,G2); 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0.5

1

1.5

2

Dalˇ s´ı . – p.23/25


Maple: Nakonec vypoˇ cteme objem dan´ eho tˇ elesa. > V:=Int(Int(4-x-y,y=0..3),x=0..1)+Int(Int(4-x-y,y=0..4-x),x=1..2)=int( int(4-x-y,y=0..3),x=0..1)+int(int(4-x-y,y=0..4-x),x=1..2); 1 3 2 4−x 55 V := 4 − x − y dy dx + 4 − x − y dy dx = 6 0 0 1 0 Zpˇ et

. – p.23/25


Mathematica: Abychom mˇ eli pˇ redstavu o tˇ elese jehoˇ z objem poˇ c´ıt´ ame, nakresl´ıme si roviny x + y + z = 4 a z = 0 na obdeln´ıku x ∈ 0, 2 × 0, 3. DisplayFunction → Identity]; r1 = Plot3D[4 − x − y, {x, 0, 2}, {y, 0, 3}, PlotPoints → 10, 10,DisplayFunction r2 = Plot3D[0, {x, 0, 2}, {y, 0, 3}, PlotPoints → 10, DisplayFunction → Identity]; Show[{r1, r2}, DisplayFunction → $DisplayFunction, AxesLabel → {x, y, z}, BoxRatios → {1, 1, 1}, ViewPoint->{2.728, 1.516, 1.103}]; 2 4

z

x 0.50 1.5 1

2 0 0

1 y

2

3

Nyn´ı si nakresl´ıme mnoˇ zinu G = G1 ∪ G2 pˇ res kterou integrujeme. G = Graphics[{GrayLevel[.7], Polygon[{{0, 0}, {0, 3}, {1, 3}, {1, 0}, {0, 0}}], Polygon[{{1, 0}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 0}, {1, 0}}]}]; L = Graphics[{Line[{{0, 0}, {0, 3}, {1, 3}, {1, 0}, {0, 0}}], Line[{{1, 0}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 0}, {1, 0}}]}]; Dalˇ s´ı . – p.23/25


Mathematica: Show[{G, L}, Axes → True]; 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5

1

1.5

2

Integrate[4 − x − y, {x, 1, 2}, {y, 0, 4 − x}] V = Integrate[4 − x − y, {x, 0, 1}, {y, 0, 3}]+ 3}]+Integrate[4 55 6

Zpˇ et

. – p.23/25

Příklad 10.6.2 Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho plochou y = x2 , a rovinami y = 0 , y + z = 2 . ?

Zpˇ et

. – p.24/25

Příklad 10.6.2 Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho plochou y = x2 , a rovinami y = 0 , y + z = 2 .

Výsledek: 32 15

√ 2.

Zpˇ et

. – p.24/25


Návod:

(2 − y) dx dy, kde G =, G = {[x, y] ∈

V =

Ê2 ;

√ √ − 2 ≤ x ≤ 2 , x2 ≤ y ≤ 2}.

G

Zpˇ et

. – p.24/25


Řešení: Nakresl´ıme si obr´ azek uvaˇ zovan´ eho tˇ elesa a mnoˇ zinu G pˇ res kterou budeme integrovat. 2

y 2

2

G

2

2

2

(2 − y) dx dy

V =

x

G = {[x, y] ∈

Ê2 ;

√ √ − 2 ≤ x ≤ 2 , x2 ≤ y ≤ 2}

G

(2 − y) dx dy

V =

=

=

√ − 2

G

=

√ 2

√ 2

2 x2

(2 − y) dy

4

dx =

√ 2 √ − 2

2y −

2

y 2

2 dx x2 5

2 3 x x ) dx = 2 x − x + 2 3 10 √ 4√ 2√ 32 √ 2 2 2− 2+ 2 = 2. 3 5 15 √ − 2

2

2 − 2x

+

√2 √ − 2

Zpˇ et

. – p.24/25


Maple: Abychom mˇ eli pˇ redstavu o tˇ elese jehoˇ z objem poˇ c´ıt´ ame,√nakresl´ √ ıme si roviny 2 y + z = 2 a z = 0 a plochu y = x na obdeln´ıku x ∈ − 2, 2 × 0, 2. > g1:=plot3d(2-y,x=-sqrt(2)..sqrt(2),y=0..2,axes=boxed): > g2:=plot3d([x,xˆ2,z],x=-sqrt(2)..sqrt(2),z=0..2): > g3:=plot3d(0,x=-sqrt(2)..sqrt(2),y=0..2,axes=boxed): > plots[display](g1,g2,g3);

2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 y

1 1.5 2

1

0.5

0

–1 –0.5 x

Dalˇ s´ı

. – p.24/25


Maple: Nyn´ı si nakresl´ıme mnoˇ zinu G pˇ res kterou integrujeme. > plot([xˆ2,2],x=-sqrt(2)..sqrt(2),thickness=3); 2

1.5

1

0.5

–1

–0.5

0.5

x

1

Nakonec vypoˇ cteme objem dan´ eho tˇ elesa. > V:=Int(Int(2-y,y=xˆ2..2),x=-sqrt(2)..sqrt(2))=int(int(2-y,y=xˆ2..2),x =-sqrt(2)..sqrt(2)); √ √2 2 32 2 V := 2 − y dy dx = √ 2 15 − 2 x Zpˇ et

. – p.24/25


Mathematica: Abychom mˇ eli pˇ redstavu o tˇ elese jehoˇ z objem ame, nakresl´ıme si roviny y + z = 2 a √ poˇ √c´ıt´ 2 z = 0 a plochu y = x na obdeln´ıku x ∈ − 2, 2 × 0, 2.

DisplayFunction → Identity]; r1 = Plot3D[2 − y, {x, −Sqrt[2], Sqrt[2]}, {y, 0, 2}, PlotPoints → 10, 10,DisplayFunction DisplayFunction → Identity]; r2 = Plot3D[0, {x, −Sqrt[2], Sqrt[2]}, {y, 0, 2}, PlotPoints → 10, 10,DisplayFunction ∧ PlotPoints → 10, DisplayFunction → r3 = ParametricPlot3D[{x, x 2, z}, {x, −Sqrt[2], Sqrt[2]}, {z, 0, 2}, 2},PlotPoints Show[{r1, r2, r3}, DisplayFunction → $DisplayFunction, AxesLabel → {x, y, z}, BoxRatios → {1, 1, 1}, ViewPoint->{2.728, 1.516, 1.103}];

2

1

x 0 -1

1.5 5 z 1 0.5 5 0 0 0.5 1 1.5 y 2

Dalˇ s´ı

. – p.24/25


Mathematica: Nyn´ı si nakresl´ıme mnoˇ zinu G pˇ res kterou integrujeme. FilledPlot[{2, x∧ 2}, {x, −Sqrt[2], Sqrt[2]}, Fills → {{{1, 2}, GrayLevel[.7]}}, √ √ ; Ticks → − 2, 2 , {2} 2

2

2

Nakonec vypoˇ cteme objem dan´ eho tˇ elesa. V = Integrate[2 − y, {x, −Sqrt[2], Sqrt[2]}, {y, x∧ 2, 2}] √ 32 2 15

Zpˇ et

. – p.24/25

Příklad 10.6.3 2 −y 2

Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho rovinou z = 0 a ˇ c´ ast´ı plochy z = e−x ?

. Zpˇ et

. – p.25/25

Příklad 10.6.3 2 −y 2

Vypoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa ohraniˇ cen´ eho rovinou z = 0 a ˇ c´ ast´ı plochy z = e−x

.

Výsledek: V = π. Zpˇ et

. – p.25/25

Příklad 10.6.3 2 −y 2


.

Návod:

V =

2 −y 2

e−x

dx dy, kde G =

Ê2 . Jedn´a se o nevlastn´ı integr´al.

G

Zpˇ et

. – p.25/25

Příklad 10.6.3 2 −y 2


.

Řešení: Nakresl´ıme si obr´ azek uvaˇ zovan´ eho tˇ elesa

1

Mnoˇ zina pˇ res kterou integrujeme je G = Nyn´ı vypoˇ cteme objem tˇ elesa: V =

Ê2 . 2 −y 2

e−x

dx dy .

G

Integr´ al je nevlastn´ı.

V = lim

n→∞ Gn

kde Dn = {[x, y] ∈

−x2 −y 2

e

dx dy , .

Ê2 ; x2 + y2 ≤ n2 }.

Dalˇ s´ı . – p.25/25

Příklad 10.6.3 2 −y 2


.

Řešení: Pˇ ri v´ ypoˇ ctu integr´ alu pod limitou pouˇ zijeme substituci do pol´ arn´ıch souˇ radnic.

−x2 −y 2

e

Vn =

Vn

re

= ¯n G

=

−r 2

2π 0

dr dt .

¯n G

Gn

−r 2

re

dx dy =

dr dt =

1 1 −n2 − e 2 2

2π

0

n 0

dt =

−r 2

re

dr

1 1 −n2 − e 2 2

dt =

2π

[t]0

2π 0

=

1 −r2 − e 2

n

1 −n2 1 − e 2 2

0

dt

2π.

Objem uvaˇ zovan´ eho tˇ elesa je V = lim

n→∞

1 1 −n2 − e 2 2

2π = π.

Zpˇ et

. – p.25/25

Příklad 10.6.3 2 −y 2


.

Maple: Abychom mˇ eli pˇ redstavu o tˇ elese jehoˇ z objem poˇ c´ıt´ ame, nakresl´ıme si plochu 2

2

z = e−x −y > plot3d(exp(-xˆ2-yˆ2),x=-3..3,y=-3..3,axes=boxed);

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 –3

–2

–1 0 y

1

2

3

3

2

1

0

–1 x

–2

–3

Maple n´ am nevlastn´ı integr´ al spoˇ cte pˇ r´ımo: > V:=Int(Int(exp(-xˆ2-yˆ2),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity )=int(int(exp(-xˆ2-yˆ2),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity); ∞ ∞ 2 2 V := e(−x −y ) dy dx = π −∞

−∞

Zpˇ et

. – p.25/25

Příklad 10.6.3 2 −y 2


.

Mathematica: Abychom mˇ eli pˇ redstavu o tˇ elese jehoˇ z objem poˇ c´ıt´ ame, nakresl´ıme si plochu 2 −y 2

z = e−x

Plot3D[Exp[−x∧ 2 − y∧ 2], {x, −3, 3}, {y, −3, 3}, PlotRange → {0, 1.0}, BoxRatios → {1, 1, 0.8}]; 1.0},BoxRatios

0

2

-2

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -2

0

2

Mathematica n´ am nevlastn´ı integr´ al spoˇ cte pˇ r´ımo: V = Integrate[Exp[−x∧ 2 − y∧ 2], {x, −Infinity, Infinity}, {y, −Infinity, Infinity}] Infinity},{y, π Zpˇ et . – p.25/25

Kapitola 10: Dvojný a trojný integrál

Recommend Documents