Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs®n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás
1.
Bevezetés
Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása között azt olvashatjuk, hogy a labda lépcs®n történ® pattogása is kaotikus [1]. A szerz®k elvileg nem gondolhattak a gumilabdára, melyben a pattogások között rugalmas hullámok is terjednek, hiszen az térben is lejátszódó, magas szabadsági fokú dinamika lenne. Alacsony dimenziójú leírást tekintve válasszuk a legegyszer¶bbet, a pontszer¶ labdát feltételez® (tehát a labda forgását elhanyagoló) modellt!
Feltesszük, hogy a labda egy hosszú lépcs®soron rugal-
masan pattog, a mozgás során az ütközési együttható értéke
k < 1
állandó.
A lépcs®t sima
vízszintes és függ®leges felületekb®l összetettnek tekintve, egy billiárd-problémát de niáltunk, mely szemben a szokásos billiárdokkal (pl. stadion billiard [2]) gravitációs er®térben értelmezett. Ezért az ütközési energiaveszteség mellett energianövekedés is felléphet a magasság csökkenése következtében. Els® ránézésre nehéz eldönteni, hogy lehet-e kaotikus a mozgás: a sima vízszintes felület a káosz ellen szól (hiszen síktükörként, vagyis nem szóróként viselkedne fénnyel való megvilágítás esetén), a lépcs® élei, a fokok végén lév® pontszer¶ törések viszont esetleg mellette. Vizsgáljuk meg ezért a mozgást alaposabban, egyszer¶ (középiskolai szint¶) levezetéseket és szimulációkat használva.
2.
A modell
L, magasságuk M , és a lépcs® lejtsen balról jobbra (1. ábra). függ®leges v komponense k < 1-szeresére változik minden ütközéskor. Az u > 0 vízszintes komponens id®ben végig állandó Legyen az egyes lépcs®fokok hossza
Mivel az ütközési együttható 1-nél kisebb, a labda beesési sebességének
marad. A tájékozódás kedvéért megadjuk tömör golyók ütközési együtthatóját: azonos anyagú
0, 9, acél 0, 7, ólom 0, 2, saját méréseink alapján k = 0, 3, illetve néhány labda tipikus ütközési együtthatója labda k = 0, 8, focilabda k = 0, 7, teniszlabda k = 0, 7,
golyóval ütközve [3] szerint: üveg, elefántcsont pedig: tömör gumi
k = 0, 8,
k®lapról visszapattanva: felfújt gumilabda
fa golyó
ping-pong
k = 0, 4.
Célunk az, hogy kapcsolatot találjunk az
n-edik
és az
n + 1-edik
ütközés hely- és sebesség-
adatai között. Az egyszer¶ség kedvéért helyezzük koordinátarendszerünket minden ütközéskor annak a lépcs®foknak a bal szélére, melyen az ütközés történik. (Ez azt jelenti, hogy az ütközés
x
(0, L] intervallumba.) xn , s a visszapattanás utáni függ®leges sebesség vn . eltelt t id®vel kifejezett magassága a lépcs® felszínét®l mérve
koordinátáját mindig visszatoljuk a Legyen az
n-edik
ütközés koordinátája
A labdának a visszapattanás óta
g y(t) = vn t − t2 , 2 miközben az origótól mért vízszintes távolsága A következ® ütközésig eltelt
∆tn
x(t) = xn + ut.
id® meghatározásához célszer¶ feltenni, hogy ismert, hány
lépcs®fokkal lejjebb pattan legközelebb a labda.
1
(Persze most még nem tudjuk ezt a számot,
N0=2 vn x0 M
u
N1=1
L
x1
x2
Az L hosszúságú és M magasságú fokokkal rendelkez® lépcs®n pattogó labda pályája, és jellemz® adatai: az n-edik ütközés helye xn , a visszapattanás utáni függ®leges sebesség vn , a vízszintes állandó sebesség u, és az n-edik ütközés után átugrott lépcs®fokok száma Nn . 1. ábra.
de kés®bb látni fogjuk, hogyan határozható meg.) változó lesz a továbbiakban.
Legyen ez az
Nn
egész szám, mely fontos
A repülési id® kiszámításához felhasználjuk, hogy a következ®,
n + 1-edik ütközéskor a labda az y = −M Nn magasságban elhelyezked® lépcs®vel találkozik, 2 azaz vn ∆tn − (g/2)(∆tn ) = −M Nn , amib®l p vn2 + 2gM Nn + vn ∆tn = . g p A becsapódás a vn − g∆tn = − vn2 + 2gM Nn függ®leges sebességgel történik. A visszapattanási sebesség e sebesség ellentettjének k -szorosa, így közvetlenül az n + 1-edik ütközés után a függ®leges sebesség p vn+1 = k vn2 + 2gM Nn . (1) Vízszintes irányban ekkor a labda az origótól
xn + u∆tn
távolságra van, jobbra.
mint az a szám, mely megadja, hogy ebben a távolságban hányszor van meg az
∆tn -t
Nn nem más, L lépcs®hossz.
behelyettesítve,
"
# p xn + (u/g)(vn + vn2 + 2gM Nn ) Nn = , L
(2)
ahol a szögletes zárójel az egész részt jelöli. Ha a (2) egyenletnek több megoldása is lenne, akkor közülük a legkisebb
Nn -re
van szükségünk. A keresett
Nn
kifejezhet® tehát az
n-edik
ütközés
adataival és a paraméterekkel. A lépcs®fokra helyezett koordinátarendszerben az ütközés utáni elmozdulás és az
LNn
xn+1
koordináta a vízszintes
különbsége, azaz
xn+1 = xn +
p u vn + vn2 + 2gM Nn − LNn . g
(3)
1
Az (1)-(3) rendszer egyfajta mozgásegyenletet, leképezést alkot , megadja a következ® ütközés
1 Vegyük
észre, hogy a leképezés segítségével a ferde hajítás parabolaívének kiszámítása nélkül, közvetlenül
kapjuk meg a becsapódási adatokat.
2
xn+1
hely- és
vn+1
sebességkoordináta értékét az el®z®
2
xn , vn
ismeretében, az
Nn
mennyiség
kiszámításának közbeiktatásával .
3.
Dimenziótlan alak
Érdemes felismerni, hogy a mozgásegyenletek írhatók egyszer¶bb alakban is, olyanokban, amelyek nem függnek már pl. külön-külön a lépcs® hosszától és magasságától, csak a meredekség abszolútértékének
L-el
m = M/L
értékét®l. Ezt akkor kapjuk, ha (3)-at átrendezzük olyan alakba,
osztva, mely a helyet a lépcs®hosszhoz viszonyítva adja meg, s ezzel egyidej¶leg a sebessé-
get is a konstans
u>0
vízszintes sebességhez viszonyítva adjuk meg, vagyis mindenütt
vn /u-t
szerepeltetjük:
xn u2 xn+1 = + L L gL Vegyük észre, hogy itt
m-en
vn + u
r v 2 n
u
2gL + 2 mNn u
kívül már csakis egy paraméter, a
! − Nn .
gL/u2
hosszparaméter-nek, s jelöljünk H -vel. Ha másik két egyenletet, azokban sem találkozunk újabb paraméterekkel. melyet nevezzünk ezentúl
(4)
kombináció jelenik meg, hasonlóan elemezzük a
Hasznos ezért a v/u → v , x/L → x helyettesítéssel de niált dimenziótlan változókra, vagyis u egységében mért v függ®leges sebességre és a L egységében mért x helykoordinátára áttérve
az
felírni az egyenleteket. Ebben a jelölésben
vn+1 = k
p
vn2 + 2mHNn ,
p 1 Nn = xn + (vn + vn2 + 2mHNn ) , H p 1 xn+1 = xn + (vn + vn2 + 2mHNn ) − Nn . H
(5)
(6)
(7)
Jól látjuk, hogy a mozgás összesen három adattól, a
k,
M , L
H≡
Lg u2
m meredekségt®l és az H hosszparak, M, L, u és g szerepelt). Utóbbi különösen érdekes, azt mutatja meg, hogy az u vízszintes és u függ®leges kezd®se2 besség¶ (tehát 45 fokos) ferde hajítás u /g féltávolsága hányszor fér rá a lépcs® L hosszára. Szemléletesen: minél kisebb H , annál apróbb lépcs®fokokat kell az u vízszintes sebességgel rekombinációktól függ, vagyis a
k
m≡
ütközési együtthatótól, az
métert®l (míg az eredeti (1)-(3) alakban még 5 paraméter,
pül® labda íve alá képzelni. A hosszparaméter megjelenése azt jelenti, hogy adott labdával, adott
4L hosszúságú lépcs®fokokon 2u vízszintes sebességgel mozgó labda éppúgy u sebességgel mozgó (és ugyanúgy mint a Holdon a 6L lépcs®fokokon u sebességgel mozgó). A hosszparaméter tehát a lépcs® hosszát nem
meredekség¶ lejt®n a mozog, mint az hosszúságú
L
méret¶ lépcs®fokokon
3
geometriai, hanem dinamikai szempontból jellemzi, a mozgásra jellemz® adatokkal veti össze .
2 Mivel x
n+1 de níció szerint
0 és L közé esik, xn+1 /L egész része nulla, s L-lel való osztás után (3) egész részét Nn megkapható úgy is, hogy (3)-ban addig írunk egész számokat de pozitív megoldást nem találunk xn+1 -re.
véve visszakapjuk (2)-t. Ez azt jelenti, hogy
Nn
helyébe, amíg
3 Szellemében
L-nél
kisebb,
hasonló az áramlások Reynolds-számához, vagy méginkább Froude-féle számához.
3
Hosszú lépcs®fokokról a továbbiakban akkor beszélünk, ha pontosabban (lásd 1. feladat), ha
H
a hosszparaméter elegend®en nagy,
H > 2m.
1. Feladat: Annak érdekében, hogy a hosszparaméter jelentését más oldalról is megvilágítsuk, mutassukqmeg, hogy egy lépcs®fok végpontjáról vízszintes u>0 sebességgel indított labda a lépcs®fok hosszának -szeresénél ütközik el®ször az alatta lév®vel4 . Adott m meredekség¶ lépcs®n a lépcs®fokok akxi = 2m H kor tekinthet®k hosszúnak, ha ez az arány kisebb egynél, azaz H > 2m.
Az épületekben el®forduló lépcs®fokok kb. kétszer olyan hosszúak mint szélesek, ezért az
1/2
m=
meredekséget fogjuk használni. Az ütközési együtthatót széles tartományban változtatjuk,
s a jobb áttekinthet®ség kedvéért, a sebességhez képest hosszú lépcs®fokokat vizsgálunk a
(2, 8)
5
tartományból .
Alapesetnek
a
H = 4
választást vesszük, amikor
H/2m = 4,
H∈
vagyis
vízszintesen indulva az els® ütközés a lépcs®hossz felénél történik.
4.
Egyszer¶ periodikus pattogás
A nem túl kis ütközési együtthatójú esetekben, azaz ha a labda nem kezd el csúszni valamelyik lépcs®fokon (részleteket a csúszásról lásd majd a 8. fejezetben), akkor
mindig
azt tapasztaljuk,
hogy el®bb-utóbb egy állandósult mozgást felvéve pattog lefelé. Ezen mozgás alatt teljesül az, hogy az ütközések miatt elvesztett energiát a gravitációs tér éppen kompenzálja, a mozgás függ®leges átlagsebessége állandó. Az ütközési veszteség egyfajta disszipáció, aminek következtében a rendszer elfelejti kezd®állapotát. A kezd®feltételek széles osztályából tehát ugyanaz az állandósult mozgás alakul ki végül, vagyis egy bizonyos mozgásállapot felé vonzódnak a labdák, amit így nevezhetünk attraktornak is. A 2. ábrán bemutatott mozgás körülbelül az ötödik pattanástól kezdve ismétl®dik. Itt a legegyszer¶bb attraktort, a periodikus ugrálás attraktorát ismerhetjük fel. A b) betétábra mutatja, hogy az
x n , v n , Nn
sorozatok maguk is konstans értékhez, xpontokhoz tartanak.
Annak érdekében, hogy az érdekl®d® olvasók interaktív módon is megismerkedhessenek a jelenséggel, a crnl.hu/lepcso honlapon elérhet®vé, kipróbálhatóvá és letölthet®vé tettünk néhány programot, melyek különböz® paraméterekkel és kezd®feltételekkel rajzolják ki a labda mozgását
6
a lépcs®n . A paraméterek megadása után a
Lépcs® nev¶ program ábrázolja az m meredekség¶
lépcs®t, és a rajta elindított pattogó labda pályájának a rajzterületbe es® részét. A következ®
xn , vn és Nn Nn koordináták
programok az egyes pályákra jellemz®
zistér programok pedig az xn , vn
és
értékeket mutatják
n
függvényében, a
Fá-
által kifeszített térben (az un. fázistérben)
ábrázolják a mozgást (kiválasztható, hogy melyik két koordináta jelenjen meg a síkban).
A
gra konokon ábrázolt értékek a Táblázat-ban numerikusan is megtekinthet®k. A mozgásegyenletb®l következik, hogy a sebesség és a lépésszám xpontértékei
v ∗ = 2m
k , 1−k
4 A feladatok részletes megoldásai a crnl.hu/lepcso honlapon megtalálhatók. 5 Az említett H tartomány meghatározásának nem matematikai okai vannak,
(8)
hanem megítélésünk szerint kb.
ezen paraméterek jellemz®k a valós lépcs®kön lepattogó nem nagy vízszintes sebesség¶ valós labdákra. A szóban forgó paramétertartományon belül kvalitatíve azonos mozgásformákat találtunk.
6 Mindegyik
program JavaScriptben íródott (a forráskód is elérhet®), tetsz®leges böngész®vel futtatható (az
adatbevitelnél php részt tartalmaz).
4
a)
b)
x*
1 0,5 0 2
N*
1 0 3 2 1 0
v* 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
n
Pattogás k = 0, 6 ütközési együtthatóval (m = 0, 5, H = 4). a) Az x0 = 0, 5, v0 = 3 kezd®feltétellel indított pálya (a folytonos görbe, az alsó lépcs®soron a fels®r®l lelép® mozgások folytatódnak) és b) a pattogások adatainak xn , vn , Nn sorozata. Mindkett® ábrán a szaggatott görbe az attraktor pályája, és a szaggatott vízszintes vonalak az attraktorhoz tartozó xpontértékeket mutatják, melyeket rövid tranziensek után elér a rendszer. Az ezzel az ütközési együtthatóval zajló pattogások kivétel nélkül mind a periodikus egylépcs®nyi ugrálás attraktorához tartanak, melyre (8), (9) szerint v ∗ = 1, 5 és N ∗ = 1. Az x∗ függ a kezd®feltételt®l, esetünkben x∗ = 0, 964.
2. ábra.
2m 1 + k . (9) H 1−k 2. Feladat Mutassuk meg, hogy ezek az eredmények következnek a (5)-(7) egyenletekb®l! Természetesen a pontos ismétl®dést feltételezzük, vagyis: xn = xn+1 = x∗ , vn = vn+1 = v ∗ , Nn = Nn+1 = N ∗ . N∗ =
Külön megfontolást igényel, hogy úgy eljárni, hogy felvesszük
N
∗
N∗
de níció szerint csak egész szám lehet. Érdemes ezért
N
értékét, mint az
egész számot, és keressük a megfelel® ütközési
együttható-értékeket. A (9) egyenletb®l az következik, hogy csak az alábbi
diszkrét k
értékek
jöhetnek szóba:
kN = Ezt
k
NH 2m NH 2m
−1 , +1
N = 1, 2, . . . .
(10)
az ütközési együtthatók spektrumának nevezhetjük, hiszen periodikus pattogás csak kivételes
értékeknél történhet, hasonlóan ahhoz, hogy a hidrogénatom energiaszintjei is csak diszkrét ér-
H = 4 választással például az egy lépcs®t átugró periodikus megoldáshoz k2 = 7/9 = 0, 77 tartozik7 . Érdekes következmény: ahhoz, hogy N = 1 megvalósulhasson, mint xpont, teljesülni kell annak, hogy k1 > 0, azaz H > 2m. A legegyszer¶bb egylépcs®nyi periodikus pattogás tehát tékek lehetnek [4, 5]. A
k1 = 3/5 = 0, 6,
a két lépcs®t átugróhoz
csak elegend®en hosszú lépcs®fokok esetén fordulhat el®. Rövidebb lépcs®hossz esetén ugyanis az egy id® után beálló pattogás során az attraktoron a labda mindig átugrik néhány lépcs®fokot.
7 Az ütközési paraméterek lehetséges értékei kizárólag az N H/2m aránytól függnek, hogy minél hosszabb a lépcs®fok, minél nagyobb
N H/2m,
lépcs®nyi periodikus pattogás (lásd még az 5. feladatot).
5
annál nagyobb
kN
s a (10) kifejezésb®l látszik,
esetén tud csak megvalósulni az
N
Ugyanakkor nagy
H
esetén már az egyszeres pattogás is csak nagy ütközési együtthatókkal
valósulhat meg. A 3. ábra alapesetünk ütközésiegyüttható-spektrumát mutatja gra kusan.
k
N
_
1
19 21
0,9
15 17
0,8
11 13
0,7
7_ 9
_
_
3_ 5
0,6 0,5
3. ábra. A periodikus ugrásokhoz tartozó kN spektrum gra kus ábrázolása (10) alapján m = 0, 5, H = 4 esetén. N növelésével a kN értékek egymást egyre s¶r¶bben követve szigorúan monoton növekednek. 3. Feladat A (10) összefüggés alapján adjuk meg, mekkora H paraméter mellett gyelhetünk meg legalább N lépcs®nyi ugrásokat mutató periodikus pattogást.
Mekkora a függ®leges sebesség xpontértéke a spektrum N -edik szintjén?
4. Feladat
5. Feladat A 3. ábráról látszik, hogy a spektrum nagy N értékekre (a H spektrumához hasonlóan) bes¶r¶södik, miközben a k értékek közelítenek 1-hez. Mutassuk meg, hogy ebben a tartományban jó közelítéssel 4m 1 , N >> 1. (11) kN = 1 −
H N
k1 = 0, 6 eset kapcsán már említett azon tulajdonság, hogy x∗ nem egyértelm¶ kezd®feltételt®l), minden kN értékre igaz. Ennek oka rögtön világossá válik, ha
A 2. ábránál a (tehát függ a
ismét a 2. ábra a) képére tekintünk, s észrevesszük: az attraktor valójában nem más, mint a hosszú id® utáni pattogások parabolaívei. Egy adott parabolaívhez pedig meghatározott
v
érték (N
8A
∗
és
v∗ )
tartozik, ellenben
x∗
8
N
és
már különböz® lehet .
pattogó labda abból ugyanis semmit sem "vesz észre", ha az "attraktoríve" alatt a lépcs®t jobbra-balra
tologatjuk, hiszen továbbra is ugyanakkora egymás utáni magasságkülönbségekkel rendelkez® vízszintes felületeken fog pattogni. A lépcs®vel más "kapcsolata" pedig nincs. Persze csak addig tologathatjuk, ameddig az ív és a lépcs® geometriája azt megengedi.
Könnyen belátható, hogy periodikus attraktoroknál a lépcs®fokok bal
oldalának egy része geometriai okokból "holt terület" lesz, viszont a fennmaradó rész összes
x∗ .
6
x
értéke már lehet
5.
Kettes ciklusok
Állandósult mozgásként el®fordulhat az is, hogy a pattogás csak minden második ütközés után ismétl®dik. ütközésig
K
Ez azt jelenti hogy az els® és a második ütközés között
N
lépcs®t, a következ®
lépcs®t repül át a labda, és azután ez ismétl®dik szigorúan (N, K egész számok). A
4. ábra mutat egy ilyen kettes ciklus attraktort, s azt is, hogy az adott kezd®feltételb®l hogyan jutunk el ehhez.
Pattogás k = k1,2 = 0, 715 ütközési együttható esetén. A kezd®feltételek és az egyéb paraméterek ugyanazok, mint a 2. ábrán. Az ezzel az ütközési együtthatóval indított pattogások rövid tranziensek után kivétel nélkül egy olyan periodikus ugrálás attraktorához (szaggatott görbe) tartanak, ahol egy lépcs® után kett®, majd ismét egy átugrása történik, azaz N = 1 és K = 2.
4. ábra.
Érdekes, hogy az ilyen kettes ciklusok is csak
kivételes,
az
N
és
K számok által meghatárokN,K ütközési együttható
zott értékeknél következhetnek be. Az ezekhez a számokhoz tartozó egyértelm¶en meghatározható. Közülük a legkisebb a
k1,2 = 0, 715],
k1,2
érték [alapesetünkben (l. 4. ábra):
amely a két legegyszer¶bb periodikus pattogás
k1
és
k2
ütközési együtthatója
közé esik. 6. Feladat
6.
Vezessük le a kN,K ütközésiegyüttható-spektrumot meghatározó "sajátértékegyenletet".
Mozgás tetsz®leges
k
értékekkel
Tetsz®leges ütközési együttható esetén, vagyis amikor
k
nem az egyes vagy a kettes ciklusnak
megfelel® nagyságú, hanem valamilyen köztes érték¶, akkor hosszútávon mindig
mozgás jön létre (5. ábra).
kváziperiodikus
Az elnevezés abból adódik, hogy a pattogás nem pontosan periodikus,
csak ahhoz hasonló. A lényeg megértéséhez induljunk ki a
k1
ütközési együtthatójú mozgásból. Ilyenkor hosszú-
távon létrejön egy egyszer¶ periodikus mozgás: a labda minden lépcs®fokon pattan egyet, méghozzá ugyanazon a helyen, ugyanazon sebességgel.
7
Ha
k
értékét kissé megnöveljük, akkor a
5. ábra. k = 0, 75 ütközési együtthatóval zajló mozgás pályája a tranziensek lecsengése után (egyéb paraméterek megegyeznek a 2. ábrán bemutatottal). (Az els® 500 pattanás kivárását követ®en 1500 pattanás ideéig rajzoltuk ki az pályaíveket.) A pályaívek a 3. lépcs® elhagyása után a nulladik fölött ugyanabban a magasságban lépnek be a képbe újra és újra. Bármely kezd®feltételb®l is indítjuk a mozgást, az ábrán látható kváziperiodikus mozgás, attraktor, jön létre hosszú távon. Az ütközési együttható esetünkben k1,2 < k < k2 , tehát az N = 1, K = 2 kettes ciklus és az N = 2 egyes ciklus közé esik. Ennek megfelel®en a hosszú távú kváziperiodikus mozgásban egy, illetve két lépcs®fokot ugrik át egyszerre, méghozzá úgy, hogy átlagosan az utóbbi ugrásból van több. A numerikus vizsgálat szerint az átugrott lépcs®k számának hosszú id®re vett átlaga N¯ = 1, 747. Az attraktorra jellemz® vn sebesség-id®sor a következ® ábra betétjében látható.
kisebb energiaveszteség miatt a labda nagyobbakat fog ugrani, s az vegyülni fog némi
N = 2
is.
Ha tovább növeljük
k
N = 1 pattogások közé N = 2 ugrások száma csak N = 2 marad. Ezzel
értékét, akkor az
N = 1-hez képest egészen addig fog monoton módon n®ni, míg végül k2 -höz érkezünk el. Van egy köztes állapot (de nem k1 és k2 számtani közepe!), ahol N = 1 és N = 2 darabszáma megegyezik, ráadásul felváltva követik egymást. Az ehhez tartozó ütközési együttható éppen k1,2 -nek felel meg.
éppen
A fentebb említettek, illetve numerikus vizsgálatok alapján az alábbi megállapítások tehet®k. A kettes ciklusos attraktorok közül csak a
K = N +1
típusúak valósulnak meg, azaz nem lehet
a kettes ciklus hosszabb íve kett® vagy több egységgel hosszabb, mint a rövidebb. vagy hosszabb ciklusokat a nagy ütközési együtthatók
k ≥ k1
tartományában
Hármas
egyáltalán
nem
kN < k < kN +1 ütközési együttható esetén (ahol N ≥ 1) olyan kváziperiodikus mozgás jön létre, amelynek alapperiódusai N és N + 1 ugrásokból állnak. k növelésével n® az N + 1 hosszúságú ugrások száma N -éhez képest. Az egész folyamat jól jellemezhet® az ¯ számmal, mely megadja, hogy két ütközés között átlagosan hány attraktoron tapasztalható N találunk. Minden
lépcs®t ugrott át a labda. Ezt röviden
átlagos ugrásszámnak nevezzük, s numerikusan határozzuk
¯ (k) sima, monoton növekedését mutatja a k ütközési paraméter függvényében. N Vegyük észre, hogy az N hosszúságú egyes ciklusok ütközési együtthatóinál N egyben az átlagos ¯ (kN ) = N . N 1, azaz 1-hez közeli kN ütközési együtthatók esetén az értékek ugrásszám, N ¯ = 4m/H 1/(1 − k), tehát igen nagy ütközési bes¶r¶södnek, s (11) megfordítása szerint N −1 együtthatók esetén az átlagos ugrásszám (1 − k) -el arányosan n®. meg. A 6. ábra
8
_ 20 N
3,2
vn 15
10
3
2,8 0
50
100
n
150
200
5
0 0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
k
1
Az attraktorra jellemz® átlagos N¯ ugrásszám k függvényében, numerikus szimulálás alapján a nagy ütközési együttható (k ≥ k1 ) tartományban (m = 0, 5, H = 4). Jól látható, hogy k növekedésével ¯ monoton n®. Az N hosszúságú egyes ciklusokhoz tartozó kN , N értékpárokat diszkrét pontokkal N jelöltük. A szaggatott vonal a nagy k-kra érvényes N¯ = (2(1 − k))−1 közelít® összefüggést illusztrálja (mely meglep®en jó közelítésnek bizonyul az egész tartományban). Az N, N + 1 kettes ciklusokban természetesen N¯ (kN,N +1 ) = (N + (N + 1))/2 = N + 1/2, s ezek is a görbére es® pontokat adnak, de a jobb áttekinthet®ség kedvéért ezeket nem ábrázoltuk. A betét az 5. ábra, k = 0, 75, attraktorához tartozó vn sebesség-id®sort mutatja. Jól látszik, hogy a mozgás négy lépésenként majdnem ismétl®dik, de a pontos ismétl®dést az id®nként bekövetkez® "kitüremkedések" megakadályozzák. 6. ábra.
7.
Többszörös pattogások egyetlen lépcs®n
A kis ütközési együtthatók tartományában,
k < k1 -re
kettes ciklusok keresése során nem engedtük meg, hogy
új mozgásformák jelenhetnek meg.
Nn
A
zérus lehessen. Kis ütközési együtt-
hatóknál ennek viszont már lehet értelme, s azt jelenti, hogy egyetlen lépcs®fokon kétszer is pattan a labda.
Az az eset, amikor a kettes ciklus úgy valósul meg, hogy a labda átugrik a
következ® lépcs®fokra, azon pattan még egyet, s a mozgás innét ismétl®dik (7. ábra), annál az ütközési együtthatónál tapasztalható, melyet az jellemeznek. Ez a jóval
k1
k1,0 = k0,1
N = 1, K = 0
N = 0, K = 1 indexek k1,0 = 0, 405-nek bizonyul,
vagy
ütközési együttható alapesetünkben
alatti érték. Mivel itt két lépés után kerül a labda egy lécs®fokkal odébb, az átlagos
ugrásszám
¯ (k1,0 ) = 0, 5. 1/2: N . Vezessük le a k1,0 -t meghatározó egyenletet tetsz®leges paraméterek esetén.
7. Feladat
Ennél kisebb ütközési együtthatókra az is megtörténhet, hogy egyetlen lépcs®n háromszor vagy többször pattan a labda, majd utána ugrik le a szomszédos lépcs®re, ahol mindez ismétl®dik. Ha
j
j tetsz®leges természetes szám), s a labda utána lép át a j + 1 ütközés után ismétl®d® j + 1-es ciklus. Az átlagos lépésszám tartozó (növekv® j -vel egyre csökken® érték¶) ütközési együtthatók a
pattanás történik egy lépcs®n (ahol
szomszédosra, akkor a mozgás itt
1/(j + 1).
Az ehhez
fentiekhez hasonlóan meghatározhatók (l. 11. Feladat).
9
Kétszeres pattogás egyetlen lejt®n. A k1,0 = 0, 405 ütközési együtthatóval történ® mozgás pályája a tranziensek lecsengése után (egyéb paraméterek megegyeznek a 2. ábrán bemutatottal). Tetsz®leges kezd®feltétellel indított pattogások egy olyan periodikus attraktorhoz, kettes ciklushoz tartanak, ahol átugrás el®tt minden lépcs®fokon kett®t pattan a labda.
7. ábra.
8.
A csúszásba történ® átmenet
Elegend®en kis ütközési együttható, azaz nagy pattogási energiaveszteség esetén el®fordulhat, hogy a labdát egyetlen lépcs®fokon belüli
végtelen sok pattanás után is még ugyanazon a lépcs®-
fokon találjuk. Végtelen sok ütközés után a labda már nem emelkedik a lépcs® síkja fölé, s mivel a vízszintes irányú sebessége állandó, ezért az ilyen mozgást a valós id®ben
csúszás-ként értelmez-
zük. Ennek kapcsán észre kell vennünk, hogy a pattogásokra alapuló (5)-(7) mozgásegyenletek
9
kiegészítésre szorulnak a valódi id®ben történ® csúszással . A részletek függnek attól, hogy mit tudunk a felület érdességér®l.
Ezt azonban nem szükséges konkretizálnunk, hiszen akár van
súrlódás, akár nincs, a csúszás újfajta mozgás, egy sajátos attraktor, amelyb®l lépcs®ket átível® ugrások már sohasem alakulhatnak ki. Ha egyetlen lépcs®n végtelen sok ugrás történhet, akkor az iterálás szimulálásával leállhatunk, mondván, hogy a labda a csúszási attraktorra érkezett. Ha egy adott lépcs®fokra érkezés utáni elpattanás függ®leges sebessége
vi ,
akkor a teljes
elmozdulás a lépcs®n történ® végtelen sok pattogás után
∆x =
2vi 1 . H 1−k
(12)
8. Feladat Vezessük le a (12) összefüggést. Útmutatás: használjuk a mértani sor összegképletét, érdemes dimenziósan számolni, és az utolsó lépésben áttérni dimenziótlan mennyiségekre.
Amennyiben a labda az
xi
helyen érkezik meg az el®z® lépcs®fokról az általunk meg gyelt
lépcs®fokra, akkor annak a feltétele, hogy csúszás alakuljon ki, az, hogy végtelen sok pattanás után is még a lépcs®fok egységnyi koordinátájú végpontja el®tt legyen, vagyis
xi + ∆x < 1.
A
(12) összefüggést behelyettesítve és átrendezve
vi < 9 Ha
H (1 − k)(1 − xi ). 2
(13)
a (5)-(7) leképezési egyenletekkel haladunk el®re, akkor a labda végtelen sok pattanás után megállni
látszik. A valós és az
n-ben
mért iterációs id® ilyenkor teljesen szétválik, az el®bbi az utóbbiban gyakorlatilag
megáll.
10
Az, hogy ez az egyenl®tlenség teljesül-e egy adott labda az adott lépcs®fokon, azaz mekkora az tanás
vi
indulási sebessége.
xi
k
értékre, azon múlik, hogy hova esik be a
indulási koordináta, és mekkora ott az elpat-
Szimulálásunkban akkor mondjuk azt, hogy egy mozgás elérte a
csúszási attraktort, ha valamelyik lépcs®fokra érkezve az ottani
10 .
xi
és
vi
között fennáll a (13)
egyenl®tlenség
A kritikus kc értékhez tartozó attraktor: a lépcs® legvégér®l v = 0 -val elpattanó labda végtelen pattogás után éppenhogy kijut a következ® lépcs®fok végére, ahonnan ismét v = 0-val pattan tovább. Itt kc = 1/3 (H = 4, m = 0, 5). (Mivel minden kis egymást követ® pályaív k-szor rövidebb és k2 -szer alacsonyabb, azaz egyre laposabb, mint a megel®z®, ezért a lépcs®fok végén már csak egy vízszintes vonalat látunk.)
8. ábra.
Az a kritikus
kc
ütközési paraméterérték, amelynél már
bármely kezd®feltételb®l induló moz-
gás, némi tranziens után, átmegy csúszásba, a numerikus tapasztalat szerint a következ®kb®l határozható meg. Mivel a vízszintes sebességkomponens minden ütközésben megmarad, az el®z® lépcs®fok végén egységnyi (dimenziótlan) vízszintes sebességgel haladó labda ferde hajítási íve olyan
xi
helyen érjen a következ® lépcs®re, hogy azzal és a hozzá tartozó
vi
ütközés utáni füg-
g®leges sebességgel végtelen sok pattogás után éppen a lépcs® szélére kerüljön (8. ábra), vagyis (13) egyenl®ségként teljesüljön. Így azt kapjuk, hogy
r
2m 1 + kc = 1. H 1 − kc
(14)
9. Feladat Vezessük le a (14) összefüggést. Útmutatás: Most is érdemes dimenziósan számolni, és az utolsó lépésben áttérni a dimenziótlan mennyiségekre.
A (14) egyenletet átrendezve, az explicit eredmény
q kc = q 10 Ha
H 2m
−1
H 2m
+1
.
(15)
az adott lépcs®fokra érkez® labda pattanásakor a csúszási feltétel (13) egyenl®tlensége teljesül, akkor
szintén teljesül a léps®fokon végbemen® további (végtelen számú) pattanások mindegyikén is.
11
A
H =4
választással
kc = 1/3 = 0, 33.
Ennél kisebb ütközési együtthatókra ugyancsak igaz,
hogy bármilyen kezd®feltétel esetén csúszó mozgás alakul ki, a
teljesen elt¶nnek. 9.
Mozgás kis
k
értékekkel
k1
Az egyes periódusú attraktorhoz tartozó
egyetlen
hosszú távú pattogó megoldások
érték alatt lefelé haladva továbbra is igaz, hogy
attraktor létezik, vagyis akármilyen kezdeti feltétellel indulunk, egy id® után minden
mozgás egyforma jelleg¶vé válik. meghatározott átlagos
¯ N
Az attraktor rendszerint kváziperiodikus, s a numerikusan
ugrásszám csökken a
k
csökkentésével (l.
9. ábra).
Létezik egy
k−
érték, amely alatt ez a tulajdonság megsz¶nik abban az értelemben, hogy a hosszantartó pattogás mellett megjelenik a csúszás lehet®sége: a pattogás kváziperiodikus attaktora és a csúszás
létezik.
Ez az érték alapesetünkben numerikusan
k− = 0, 382.
együtt
Abban az esetben, ha nem
létezik folyamatosan lépcs®fokról-lépcs®fokra pattanó mozgás (mert mindegyik kezd®feltételnél hosszú távon el®bb-utóbb csúszás történik), akkor
¯ N
függvényértéket nullának vesszük, hiszen
ez a függvény azt adja meg, hogy hány lépcs®nyi az elmozdulás két ütközés között, de ebben az esetben az elmozdulás még végtelen sok ütközés után sincs egy lépcs®nyi sem. Együttlétez® attraktorok, tehát
k < k−
esetén felmerül, hogy milyen a vonzási tartományuk.
Ez úgy határozható meg, hogy a kezd®feltételek
x0 , v0
síkján más színnel jelöljük azokat a ponto-
kat, melyek az egyik vagy másik attraktorhoz tartanak. A 9. ábra "csíkos" betétábrája a pattogó mozgás és a csúszás vonzási tartományát mutatja alapesetünk
k = 0, 35
értékénél fehér illetve
fekete színnel ábrázolva. A szürke háromszög a (13) egyenl®tlenségnek megfelel® tartomány, az ilyen kezd®feltétellel induló mozgások rögtön csúszási mozgások.
11
10. Feladat Becsüljük meg k− értékét azon az alapon, hogy k− alatt nemcsak a kezd®feltételek, hanem a pattogási attraktor tipikus értékei mellett is fennállhat a (13) egyenl®tlenség, vagyis a mozgás beléphet a szürke háromszögbe. Útmutatás: használjuk ki, hogy a tapasztalat szerint a (8) kifejezés minden pattogó mozgásra jó közelítést ad az attraktor átlagos v sebességére, tehát vehet® vi -nek, és hogy az xi helykoordináta tipikus értéke 1/2-nek tekinthet®.
A
k− -nál
kisebb ütközési paraméterek esetén a nullától különböz®
mozgások attraktorára határoztuk meg. mondható, hogy tendenciájában csökken®
kc
¯ N
értékeket a pattogó
Az átlagos ugrásszáma változó, de összességében el-
k
csökkenésével. Meglep® módon azonban még jóval
elérése el®tt, rövid intervallumokban teljesen elt¶nnek a hosszú távon pattogó mozgások lehe-
t®ségei, vagyis a pattogó mozgás attraktora ilyenkor nem létezik. Egy ilyen intervallumon belül azonban, ha tovább csökkentjük a pattogó mozgás, méghozzá
¯ N
k -t,
akkor az intervallum végéhez érve, hirtelen újra megjelenik
egy lokális csúcsával. Ezek az
¯ N
értékek egész számok recip-
N = 1-es lépés N = 0 valósul meg j -szer egymás
rokai, s az állandósult mozgás ezekben a kivételes pontokban periodikus: egy után után.
j
alkalommal pattan a labda ugyanazon a lépcs®n, vagyis Az ennek megfelel® ütközési paramétert
természetesen
11 Fontos
¯ (k 0 ) = 1/(j + 1). N j
kj0 -vel
jelöljük.
Ilyenkor az átlagos ugrásszám
A legnagyobb ilyen intervallum
megjegyezni, hogy a 6. ábrán numerikusan mért
¯ N
k20 = 0, 3527
ugrásszámnál, mivel egy
k
és
k = 0, 3555
értékhez egy attraktor
(egyfajta hosszútávú mozgás) tartozott, tetsz®leges kezd®feltétel mellett mérhettünk. Esetünkben azonban már meg kell válogatni a kezd®feltételt, méghozzá úgy, hogy továbbra is pattogó mozgáson mérjünk átlagot (azon belül persze már mindegy melyiken, mert csak egyféle van egy adott
12
k
mellett most is).
között létezik, s a többi hasonló egyre kisebb hosszal ismétl®dik
kc
-felé haladva. A 9. ábrán ez
a halmozódás is meg gyelhet®.
_ N
1 1
0,8
vn
vn
0,6
0,8
0,4 0,2 0 0
50
100
150
n
200
0 0
kc k'2 k-
0,6
xn
1
0,8
vn
0,6
0,4
0,4 0,2 0 0
50
100
150
n
200
0.2 ,
0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
k
0,6
Az attraktorra jellemz® átlagos N¯ ugrásszám k függvényében, numerikus szimulálás alapján a kis ütközési együttható (k ≤ k1 ) tartományban (m = 1/2, H = 4). A vízszintes szaggatott vonalak az N¯ = 1/2, 1/3, ... 1/10 értékeknek felelnek meg, a fekete pontok pedig a kj0 ütközési együtthatóhoz tartozó j +1 periódusú attraktor adatait jelölik. Függ®leges szaggatott vonallal a k− helyét is bejelöltük. A pontozott görbe az N¯ (k) függvény kc környékén érvényes alakját adja meg. A két egymás alatt lév® betét a kváziperiodikus attraktor vn id®sorát mutatja a k = 0, 35 (mely kissé balra esik a k20 = 0, 353 ponttól) és a k = 0, 337 ütközési együtthatóknál. El®bbi mellett a hozzá tartozó pattogási és a csúszási attraktorok vonzási tartományai láthatóak. A betétekhez tartozó N¯ = 0, 298 és N¯ = 0, 194 értékeket nyíllal jelöltük. 9. ábra.
Határozzuk meg a kj0 ütközési együttható értékeket azt felhasználva, hogy a periodikus mozgás Nn id®sora ilyenkor választható úgy, hogy N0 = N1 = · · · = Nj = 0, Nj+1 = 1, majd ez ismétl®dik. Útmutatás: használjuk az (5)-(7) rekurziókat, melyek Nn = 0-ra különösen egyszer¶ek. 11. Feladat
¯ (k) függvény kc környékén érvényes alakját a kj0 értékek kc körüli, 12. Feladat Határozzuk meg a N azaz nagy j -kre történ® halmozódása alapján. A
k < kc
kc -hez érve azonban "hir¯ (k) görbe, illetve a közelít® N kc -nél tehát a fázisátalakulá-
tartományban csakis a csúszási attraktor létezik. Alulról
telen" jelennek meg a lepattanó mozgások, méghozzá úgy, hogy az görbe, nagyon meredeken indul. A pattogó mozgás el®bukkanása
sokra emlékeztet® átbillenéssel jelenik meg, amit a dinamika rendszerek nyelvén bifurkációnak nevezünk.
13
10.
Összefoglalás
Vizsgálatunk célja, hogy megtudjuk, a lépcs®n pattogó labda pattogása, ill. annak legegyszer¶bb modellje szerinti mozgása kaotikus-e. Összetett viselkedésre érdekes módon a kis
k,
vagyis
a nagy disszipációs veszteség tartományában bukkantunk. A (5)-(7) dinamika nyilván nemlineáris, erre utal a
kc -nél
meg gyelt bifurkáció is, meg az együtt létez® attraktorok megjelenése.
A vonzási határok azonban szemmel láthatóan simák (l. szerkezet lenne jellemz®.
Maga az
¯ (k) N
9. ábra betétje), a káoszra fraktál-
k < k1 -re
függvény
néhol nem sima, és ugrásokat is
mutat. Megvizsgáltuk azonban azt is, hogy a közeli kezd®feltételekb®l induló és hosszan pattogó mozgást végz® mozgáspárok valamelyik koordináta-különbsége hogyan változik id®ben. A
közeledést találtunk. Így levonhatjuk azt a nem kaotikus. Ugyanakkor a jelenség össze-
káoszra jellemz® gyors széttartás helyett mindenütt következtetést, hogy ebben a modellben a mozgás
tettségére utal, hogy számos mennyiségre nem találtunk (elemi módszerekkel) képlettel leírható összefüggéseket, így például az hetett meghatározni.
¯ N
átlagos ugrásszám függvényre, melyet csak numerikusan le-
Ez az összetettség tulajdonképpen el®revetíti, hogy a mozgás már kis
módosítás esetén is kaotikussá válhat.
Ha a lépcs®k éles sarka helyett lekerekített átmeneteket
vennénk, a körívek jelenléte a problémát szóró billiárddá tenné, s abban eléggé nagy görbületi sugarak esetén már kiterjedt, robosztus káoszt várhatunk. Köszönjük Károlyi Györgynek a kézirattal kapcsolatos hasznos érszrevételeit, Páll Csabának pedig a honlapon található programok megírásában nyújtott segítségét. A munka az NK100296 OTKA pályázat támogatásával készült.
Hivatkozások [1] A. Jaros, A. Nussbaumer, H. Kunze, [2] Tél T., Gruiz M.,
Basiswissen Physik-compact, Öbvhpt, Wien, 1999.
Kaotikus Dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002
[3] Budó Á.,
Kísérleti zika I, Tankönyvkiadó, Budapest, 1989
[4] Nagy K.,
Kvantummechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978
[5] Néda Z., Libál A., Kovács K.,
Elemi Kvantummechanika, Kolozsvári Egyetemi Nyomda, 2006
14
