NYITOTT KVANTUMRENDSZEREK ELMÉLETEI Miért nyitott? S rendszer kölcsönhat környez˝o R rendszerrel (rezervoár,tartály) S+R zárt rendszer, reverzibilis dinamikával S nyitott rendszer, irreverzibilis dinamikával Miért kvantum (Q)? Q-vákuum mindig jelen van, mint R Q-rendszer „túlérzékeny” a környezetre R környez˝o rendszer közeg, h˝otartály, egy másik rendszer, Q-vákuum dinamikai vagy info-gy˝ujt˝o (mér˝o) rendszer R alaphatásai disszipáció (csillapított inga) fluktuáció (Brown mozgás) dekoherencia (két csillapított inga) lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) irreverzibilitás! Alapjelenségek Közegellenállás (kl+Q) Csillapított rezgés (kl+Q) Spontán bomlás (Q) Folytonos mérés (kl+Q) ... kvark-hadronizáció (Q) Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus
1
Zárt rendszer összefoglaló Klasszikus kankord: x; Állapot: %(x) normált s˝ur˝uség R %(x) ≥ 0, %(x)dx = 1 Statisztikus értelmezés: szokásos Tiszta állapot: δ(x − x¯) R Tiszta-állapot-felbontás (egyértelm˝u): %(x) = δ(x − x¯)%(¯ x)d¯ x Kevert áll. mozgásegy.: %˙ = {H, %} (Liouville) ˙ − xt ) =?; x˙ = {x, H} (Hamilton) Tiszta áll. mozgásegy.: δ(x Összetett rendszer: xA , xB → xAB ≡ (xA , xB ), %AB (xAB ) Ha A,B független: %(xAB ) = %A (xA )%B (xB ) Kölcsönhatás: HAB = HA + HB R+ K „A” redukált állapota: %A (xA ) = %AB (xAB )dxB Q-bázis: |xi; Q-állapot: %(x; x0 ) = hx| %ˆ |x0 i normált s˝ur˝uségmátrix P %ˆ ≥ 0, tr %ˆ = x %(x, x) = 1 Statisztikus értelmezés: Q-méréselmélet (szokatlan) Tiszta állapot: |ψi hψ| P Tiszta-állapot-felbontás (nem egyértelm˝u): %ˆ = λ |λi hλ| %(λ) ˆ %ˆ] (Neumann J.) Kevert áll. mozgásegy.: %ˆ˙ = (−i/~)[H, ˙ = (−i/~)H ˆ |ψi Tiszta áll. mozgásegy.: |ψi Összetett rendszer: |xA i , |xB i → |xAB i ≡ |xA i ⊗ |xB i %AB (xAB ; x0AB ) = hxAB | %ˆAB |x0AB i Ha A,B független: %ˆAB = %ˆA ⊗ %ˆB , azaz %(xAB ; x0AB ) = %A (xA ; x0A )%B (xB ; x0B ) ˆ AB = H ˆA + H ˆB + K ˆ Kölcsönhatás: H P „A” redukált állapota: %ˆA = trB %ˆAB azaz %A (xA ; x0A ) = xB %AB (xA , xB ; x0A , xB )
2
Nyitott rendszer mikroszkopikus modell elve - S+R Ha S és R nem hatna kölcsön: S: %(x), H(x); %˙ = {H, %} R: %R (xR ), HR (xR ); %˙ R = {HR , %R } S+R: %SR (x, xR ; t) = %(x; t)%R (xR ; t) De ha S és R kölcsönhatnak: HSR (x, xR ) = H(x) + HR (xR ) + K(x, xR ): %˙ SR = {HSR , %SR } (reverzibilis) R S állapota S+R redukált állapota: %(x) = %SR (x, xR )dxR S dinamikája S+R redukált dinamikája: Z %˙ = {HSR , %SR }dxR (irreverzibilis) Tegyük fel %SR (x, xR ; 0) = %(x; 0)%R (xR ; 0), j.o. lineáris %(0)-ban, megoldás is lineáris: %(t) = K(t)%(0) K(t) lineáris leképezés (nem-invertálható szuper-operator). Markovi közelítésben K(t) = exp(Lt), ekkor: %(t) ˙ = L%(t) Markovi Mászter (vagy: Kinetikus) Egyenlet (id˝oben els˝o rend˝u diff.egy. %-ra) Feltételek: gyors R, lassú S; gyenge csatolás el˝ony, de nem feltétel. Ha S és R Q-rendszerek, aRkonstrukció ugyanez: % → %ˆ, %%R → %ˆ ⊗ %ˆR , dxR → trR , . . . A legtöbb fenomenológiai modell a MME-t posztulálja. %˙ = L% = {H, %} + D% −i ˆ [H, %ˆ] + D% %ˆ˙ = Lˆ %= ~
3
Példák klasszikus MME-re %(x) ˙ = D∂x2 %(x) (diffúzió egy.) p %(x, ˙ p) = − ∂x %(x, p) + D∂p2 %(x, p) + η∂p p%(x, p) (Fokker-Planck egy.) m p %(p) ˙ = − ∂x %(x, p) + „ütközési tag” (Boltzmann egy. - j.o. kvadratikus %-ban) m Z X [T (x, y)%(y) − T (y, x)%(x)], T (x, y) ≥ 0 (Kinetikus egy.) %(x) ˙ = −∂x v(x)%(x) + y
Minden klasszikus MME „kinetikus” szerkezet˝u. Reverzibilis rész: v sebesség˝u drift ({H, %}). Nincs, ha x diszkrét. Irreverzibilis (D%) rész: véletlen átmenetek, T (x, y) ≡ T (x ← y) valószín˝uség/id˝oegység Példák Q-MME-re 2 D ˆ ˙%ˆ = −i p , %ˆ − 2 [ˆ x, [ˆ x, %ˆ]] (hely-decoherencia egy.) ~ 2m ~ 2 −i D η p ˆ %ˆ˙ = , %ˆ − 2 [ˆ x, [ˆ x, %ˆ]] − i [ˆ x, {ˆ p, %ˆ}]+? (Q-Fokker-Planck egy.) ~ 2m ~ 2m X −i ˆ ˆ α %ˆL ˆ † − 1 {L ˆ† L ˆ ˆ}], (Lindblad mászter egy.) %ˆ˙ = [L [H, %ˆ] + α α α, % 2 ~ α Minden Q-MME Lindblad-szerkezet˝u. ˆ %ˆ]). Diszkrét Q-rendszerre is lehet! Reverzibilis rész: unitér fejl˝odés (−i/~[H, ˆ α Lindblad-generátorok szerint Irreverzibilis (D%) rész: Q-átmenetek, L
4
Diffúzió „mászter” egy.: %˙ = D%00 Speciális megoldás: x2 1 %(x; t|x0 = 0) = √ e− 4Dt ; %(x; 0) = δ(x) 4πDt
2 hxit = 0, x t = 2Dt
R Kevert % - tiszta állapotok egyértelm˝u keveréke: %(x) = δ(x − x0 )%(x0 )dx0 Általános megoldás: Z (x−x0 )2 1 √ %(x; t) = e− 4Dt %(x0 ; 0)dx0 4πDt
2 hxit = hxi0 x t − hxi2t = 2Dt Diffúzió egy. = Kinetikus egy., szinguláris átmeneti valószín˝uségekkel: 1/∆t − (x−x0 )2 1 %(x; ∆t|x0 ) = lim √ e 4D∆t ∆t→0 ∆t→0 ∆t 4πD∆t
T (x; x0 ) ≡ lim
Diffúzió egy. determinisztikus. Van-e stochasztikus leírás? MC-barát leírás: stochasztikus folyamat, „trajektória”
5
Diffúzió, mint Markov stochasztikus folyamat Markov lánc: x0 , xτ , x2τ . . . , xt . . . ; Prob(xt+τ ) = %(xt+τ |xt ) Véletlen bolyongás: x0 = 0, xτ = ±a, . . . , xt+τ = xt ± a, . . . , hxt i = 0,
2 t x t = a2 τ
Centrális határeloszlás tétel: xt Gauss-eloszlású ha t/τ → ∞: %(xt |x0 = 0) → p
1 2πa2 t/τ
−
e
x2 2a2 t/τ
Diffúzív határeset: τ → 0; a → 0; a2 /τ → 2D %(xt |x0 = 0) → %(x; t|x0 = 0) Markov lánc diffúzív határesete: xt Markov folyamat Egyenérték˝u modell a %˙ = D%00 diff.egy.-tel: %(x; t) = hδ(x − xt )i A diffúziós MME egyenlet megoldását tiszta állapotok keverékeként fejtettük ki. Ez a „trajektória” módszer. MC-barát, és valóságközelibb. De mik az xt stochasztikus folyamat (trajektória) saját egyenletei?
6
Wiener-stoch-folyamat, fehér zaj xt Wiener stoch. folyamat, „mérnökiesen”: fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) hx˙ t i = 0 2) hx˙ t x˙ s i = 2Dδ(t − s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi: Prob(xt1 ), Prob(xt1 , xt2 ), Prob(xt1 , xt2 , xt3 ), . . . , Gauss Direkt bizonyítás: véletlen bolyongás Markov-lánc, majd diffúzív határeset Differenciálos definíció: 1) hdxt i = 0 2) hdxt dxs i = 2Ddt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dx szorzatának h i-e dt-ben 1-nél magasabb rend˝u Ellen˝orzés: %(x; t) = hδ(x − xt )i-nek ki kell elégítenie diffúzió egy.-et Naiv számolás rosszra vezet: %(x; ˙ t) = − hx˙ t δ 0 (x − xt )i = 0 xt szinguláris fv., deriváltját határértékként kell kezeljük ∆%(x; t) ≡ %(x; t + ∆t) − %(x; t) ≈ − h∆xt δ 0 (x − xt )i + 12 h(∆xt )2 δ 00 (x − xt )i = = 21 h(∆xt )2 i hδ 00 (x − xt )i = 21 h(∆xt )2 i %00 (x; t) Kihasználtuk: R t+∆t ∆xt = t dsx˙ s statisztikusan független xt -t˝ol. Végül: Z t+∆tZ t+∆t Z t+∆tZ t+∆t
2 dr2Dδ(s − r) = 2D∆t ds dr hx˙ s x˙ r i = (∆xt ) = ds t
t
t
t
00
Tehát %(t) ˙ = lim ∆%(t)/∆t = D% ha ∆t → 0 Sokkal egyszer˝ubb differenciálosan: d%(x; t) ≡ hdδ(x − xt )i = − hdxt δ 0 (x − xt )i + 12 h(dxt )2 δ 00 (x − xt )i = = 12 h(dxt )2 i hδ 00 (x − xt )i = D%00 (x; t)
7
Standard Wiener folyamat, fehér zaj Standard (D=1/2) Wiener folyamat: Wt Diffúziós egyenlete: %(W ˙ ; t) = 12 %00 (W, t) Kapcsolat: %(W ; t) = hδ(W − Wt )i ˙ t standard fehér zaj wt = W Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) hwt i = 0 2) hwt ws i = δ(t − s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi R Spektrális definíció wω = (1/2π) wt exp(iωt)dt Fourier-komponensekre: 1) hwω i = 0 1 2) hwω w¯ω0 i = 2π δ(ω − ω 0 ) (egyenletes spektrális er˝osség) 3) Gaussi Differenciálos definíció Wt -re, ahol dWt = Wt+∆t − Wt ; ∆t → +0 1) hdWt i = 0 2) hdWt dWs i = dt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dW differenciál szorzatának h i-e dt-ben 1-nél magasabb rend˝u
8
Wiener folyamatok Ito-kalkulusa Helyfügg˝o diffúzió-drift egyenlet: %˙ = −∂x V % + ∂x2 D% Hozzárendelt Wiener folyamat: xt ; %(x; t) = hδ(x − xt )i A dxt Ito-differenciál Ito-kalkulusa: 1) hdxt i = V (xt )dt 2) (dxt )2 = 2D(xt )dt (Nincs h i! Miért? Csak!) 3) dxt statisztikailag független xt -t˝ol: hf (xt )dxt i = f (xt ) hdxt i Belátható, hogy d% = −∂x V %dt + ∂x2 D%dt teljesül. Hogyan segít Ito az y = f (x) változó transzformációban? dy = f 0 (x)dx + 12 f 00 (dx)2 = f 0 (x)dx + f 00 D(xt )dt hdyi = f 0 (x)V (x)dt + f 00 D(x)dt ≡ V˜ (y)dt ˜ (dy)2 = 2[f 0 (x)]2 D(x)dt ≡ 2D(y)dt 0 ˜ ˜ = (f 0 )2 D Innen leolvassuk: V = f V + f 00 D és D ˜ A diffúzió+drift egy. az új változóban: %˙ = −∂y V˜ % + ∂y2 D% p dx standard reprezentációban: dx = V (x)dt + 2D(x)dW Többváltozós általánosítás: x, V, W vektorok, D mátrix Speciális eset, csak 1 zaj, standard reprezentációban: dx = V (x)dt + U (x)dW (x, V, U vektorok, W skalár) Q-elméletben komplex általánosítás: x = |ψi, vagy x = %ˆ, pl.: dˆ % = Lˆ %dt + . . . dW ˆ |ψi + · · · + (i/~)f x d |ψi = −(i/~)H ˆ |ψi dW Leibniz-Ito szabály: Ha x1 és x2 két Wiener folyamat, akkor: d(x1 x2 ) = (dx1 )x2 + x1 (dx √ √2 ) + (dx1 )(dx2 ) Ha például dx1 = V1 dt + 2D1 dW √ és dx1 = V1 dt + 2D1 dW , akkor: d(x1 x2 ) = (dx1 )x2 + x1 (dx2 ) + 2 D1 D2 dt
9
Trajektória vagy mászter egyenlet? Trajektória
Mászter
szemléletesebb stochasztikus egyszer˝u MC-szimuláció kl: x-et fejleszt Q: |ψi-t fejleszt (d változó)
absztraktabb determinisztikus forrásigényes szimuláció kl: %(x)-et fejleszt Q: %ˆ-t fejleszt (d × d változó)
10
A legegyszerubb ˝ tartály: fehér zaj HSR (x, p, xR ) = H(x, p) + HR (xR ) − xF (xR ) R véletlen küls˝o er˝o: F (xr ) → f wt R-ben nincs önálló dinamika. Nem ad disszipációt, csak fluktuációt. p ˆ2 p2 ˆ − f xwt ill. H(t) = 2m − fx ˆ wt Teljes Hamilton: H(x, p; t) = 2m 2 p2 p ˆ ˆ Ito-alakban: H(x, p; t)dt = 2m dt − f xdWt ill. H(t)dt = 2m dt − f x ˆdWt Klasszikus dinamika: Trajektória (Hamilton egy.): x˙ t =
pt m
dx =
p dt m
ill. p˙ t = f wt Csak p diffundál!
dp = f dW
√ 2D = f
MME %(x, p; t) = hδ(x − xt )δ(p − pt )i-re: p d%(x, p) = − ∂x %(x, p) + D∂p2 %(x, p) dt m Ez a Fokker-Planck egy. súrlódás nélkül. Levezetés: d%(x, p; t) = d hδ(x − xt )δ(p − pt )i = = h−dxt δ 0 (x−xt )δ(p−pt )−dpt δ(x−xt )δ 0 (p−pt )+ 12 (dxt )2 δ(x−xt )δ 00 (p−pt )i = = {−(p/m)dt∂x +Ddt∂p2 } hδ(x − xt )δ(p − pt )i = {−(p/m)∂x +D∂p2 }%(x, p; t)dt.
11
Q-dinamika: Trajektória (Heisenberg egy.): x ˆ˙ t = p ˆt /m; p ˆ˙ t = f wt De: nem ezt hívjuk Q-trajektóriának!! ˆ Fehér-zaj Q-trajektória: |ψit vektor, amit a H(t) fejleszt: ˆ Naivan: d |ψit /dt = −(i/~)H(t) |ψit - ez nem m˝uködik! Használjuk az Ito-t! 2 ˆ ˆ ˆ } |ψit |ψit+dt = exp{−(i/~)H(t)dt} |ψit = {1 − (i/~)H(t)dt − 12 ~−2 [H(t)dt] ˆ |ψi dt − 1 (f /~)2 x = |ψi − (i/~)H(t) ˆ2 |ψi dt t
t
2
t
Innen d |ψit = |ψit+dt − |ψit -re a korrekt Schrödinger egy.: d |ψi =
ˆ2 −i p 1 i |ψi dt − 2 f 2 x ˆ2 |ψi dt + f x ˆ |ψi dW ~ 2m 2~ ~
Ez egyben a |ψit fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: %ˆ = h|ψi hψ|i mozgás egy.-e: Levezetés: d h|ψi hψ|i = hd |ψi hψ| + |ψi d hψ| + d |ψi d hψ|i = . . . Eredmény a térbeli dekoherencia egy.: 2 2 −i p 1 −i p ˆ ˆ dˆ % = , %ˆ − 2 D[ˆ x, [ˆ x, %ˆ]] ≡ , %ˆ + D%ˆ dt ~ 2m ~ ~ 2m Ha D nagy, kinetikus tagot elhanyagoljuk, dˆ %/dt = D%ˆ, és %(x, y) = hx| %ˆ |yi: %(x, ˙ y) = hx| D%ˆ |yi = −D~−2 (x − y)2 %(x, y), így: Dt 2 %(x, y; t) = exp − 2 (x − y) %(x, y; 0) = exp(−t/τd )%(x, y; 0) ~ τd =
~2 (dekoherencia id˝o) D(x − y)2
MME-ben „duplakommutátor” x ˆ-ben → dekoherencia x-ben!
12
Schrödinger macska |ψi0 =
|eleveni +
|holti
Q-optikai Sch. macska: |ψi0 =
|αi +
|βi ;
|α − β| 1
Q-mechanikus Sch. macska: |ψi0 = |itti +
|otti ;
|itt − ott| „nagy00
A kezdeti s˝ur˝uségmátrix tiszta állapot: %ˆ0 = 21 (|itti + |otti) (hitt| + hott|) Ha itt≈r1 és ott≈r2 akkor ψ(x; t = 0) = 2−1/2 [ϕ(x − r1 ) + ϕ(x − r2 )] ahol ϕ(x) keskeny hullámcsomag. Koordináta reprezentációban ¯ 0) = %(x, y; 0) = ψ(x; 0)ψ(y; ¯ − r1 ) + 21 ϕ(x − r2 )ϕ(y ¯ − r2 ) (diagonális) = 21 ϕ(x − r1 )ϕ(y 1 ϕ(x − r1 )ϕ(y ¯ − r2 ) + 21 ϕ(x − r2 )ϕ(y ¯ − r1 ) (off-diagonális) 2 Térbeli-dekoherencia egyenlet hatására off-diagonális rész lecseng: %(x, y; t) = exp[− Dt (x − y)2 ]%(x, y; 0) ≈ exp[− Dt (r − r2 )2 ]%(x, y; 0) → ~2 ~2 1 → 12 ϕ(x − r1 )ϕ(y ¯ − r1 ) + 12 ϕ(x − r2 )ϕ(y ¯ − r2 ) (diagonális) Eredeti absztrakt jelölésben: %ˆ0 = 21 (|itti + |otti) (hitt| + hott|) → 21 |itti hitt| + 21 |otti hott| √ √ A dekoherencia hatására tiszta állapot (1/ 2-1/ 2 amplitúdóval itt és ott) átmegy kevert állapotba ( 12 - 12 valósz.-gel itt vagy ott).
13
Spekuláció: gravitáció/térid˝o eredetu˝ térbeli dekoherencia Feltevés: Azért nem látunk Sch. macskákat, mert van egy univerzális dekoherencia tag minden - egyébként zárt - rendszerre is. Ez a dekoherencia olyan, mintha egy gravitációs/térid˝os fehér zaj tartály létezne mindenütt, egyel˝ore láthatatlanul. Elemi jóslat: ~GM 2 (|r1 − r2 | R) D= 2R3 Ha M = 1g, R = 1cm, |r1 − r2 | = R/10 akkor 3 ~2 100 100~R 100 × 10−27 × 1 2 R τd = ∼~ = ∼ s = 10−17 s 2 2 2 2 −8 2 D(r1 − r2 ) ~GM R GM 10 × 1
Ennyi id˝o alatt bomlana le a Sch. macska! Ez irreálisan rövid id˝o, azt jelzi, hogy ki sem alakulhat az ilyen macska, ha a gravitációs/térid˝os zaj hipotézise igaz. Nem is rossz, éppen ezt akartuk. De: van-e direkt kísérleti igazolás? Ehhez nanomacska kell, aminek van esélye létrejönni, és nekünk van esélyünk a bomlását megfigyelni.
14
Kétállapotú Q-rendszer fehér zajban |↑i |Li |Hi |gi |0i
|↓i |Ri |V i |ei |1i
spin fel-le z-irányban cirkulárisan polarizált foton, balra/jobbra lineárisan polarizált foton, vízsz./függ. kétállapotú atom, alap/gerjesztett absztrakt logikai qubit, 0/1
Spin z-irányú fluktuáló mágnes térben: ˆ ˆ ˆz + f wt σ ˆz ill. H(t)dt = σ ˆz dt + f σ ˆz dW H(t) = σ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ |ψit+dt = exp{−(i/~)H(t)dt} |ψit = {1 − (i/~)H(t)dt − 21 ~−2 [H(t)dt] } |ψit ˆ |ψi dt − 1 (f /~)2 |ψi dt = |ψi − (i/~)H(t) t
t
2
t
Innen d |ψit = |ψit+dt − |ψit -re a korrekt Schrödinger egy.: d |ψi =
−i 1 i ˆ σz |ψi dt − 2 f 2 |ψi dt − f σ ˆz |ψi dW 2~ 2~ 2~
Ez egyben a |ψit spin-állapot fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: %ˆ = h|ψi hψ|i mozgás egy.-e: Levezetés: d h|ψi hψ|i = hd |ψi hψ| + |ψi d hψ| + d |ψi d hψ|i = . . . Eredmény a spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy.: −i f2 −i dˆ % = [ˆ σz , %ˆ] − 2 [ˆ σz , [ˆ σz , %ˆ]] ≡ [ˆ σz , %ˆ] + D%ˆ dt 2~ 2~ 2~ D E ˆ %ˆ) = ~σ ˆ polarizációt: Bevezetve az ~s = tr(~σ s˙ x = −(/~)sy − (1/τr )sx s˙ y = +(/~)sx − (1/τr )sy s˙ z = 0 2f 2 (relaxációs id˝o) ~2 A z-körüli precesszió állandó sz mellett τr id˝oskálán elhal. MME-ben „duplakommutátor” σ ˆz -ben → dekoherencia (fázisvesztés) |↑i és |↓i (vagy |Li és |Ri, vagy |gi és |ei) között! τr =
15
Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Klasszikusan dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dx = dp =
p dt m
√
2DdW − ηpdt
Csak p diffundál, és csak p súrlódik! Stacioner hp2 i =? d hp2 i = −2η hp2 i dt + 2Ddt, tehát hp2 i∞ = D/η. Ha a tartály h˝otartály, akkor ekvipartíció tétel: hp2 /2mi∞ = kB T /2, tehát: p pT = mkB T = termalis impulzus D = ηmkB T = ηp2T MME %(x, p; t) = hδ(x − xt )δ(p − pt )i-re: p d%(x, p) = − ∂x %(x, p) + ηmkB T ∂p2 %(x, p) + η∂p p%(x, p) dt m Ez a Fokker-Planck egy., súrlódással, h˝otartályban. Levezetés: mint el˝obb. Stacioner megoldás a Maxwell-eloszlás: p2 1 exp − 2 %(x, p, ∞) = p 2pT V 2πp2T Most, hogy tudjuk D-t a súrlódás és h˝omérséklet fv-ben, vissza a Sch. macska bomlásidejéhez h˝otartályban! 2 1 ~2 λT ~2 = τd = = 2 D(x − y)2 ηpT (x − y)2 η (x − y) λT = ~/pT a termális (h˝omérsékleti) de Broglie hullámhossz. Pl.: m = 1g-os Schrödinger macskára: 1.06 × 10−27 ergs λT = p ∼ 10−20 cm 1g × 1.38 × 10−16 erg/K × 300K Általában: τD 1/η. Dekoherencia sokkal gyorsabb, mint a disszipáció! (Zurek)
16
Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Q-dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dˆ x=
p ˆ dt m
dˆ p=
√ 2DdW − ηˆ pdt
Probléma: d[ˆ x, p ˆ] = [dˆ x, p ˆ] + [ˆ x, dˆ p] + [dˆ x, dˆ p] = −iηdt Tehát [ˆ xt , p ˆt ] = i exp(−ηt) → 0, a Heisenberg ∆x∆p ≥ ~/2 sérül! A fenomenológikus súrlódási tag önmagában nem elég. Kiút általában: mikroszkopikus levezetés. El˝otte: Wigner fv. fenomenológia W (x, p) = hWδ(x − x ˆ)δ(p − p ˆ)i %ˆ = WW (x, p) W Weyl-rendezés definíciója: Weaˆx eaˆp = eaˆx+bˆp Így levezethet˝o, hogy: Z 1 eirp/~ hx + r/2| %ˆ |x − r/2i dr W (x, p) = 2π Normált fázistér kvázi-eloszlás (W ≥ 0 sérülhet, ezért kvázi). Átírási szabályok: [ˆ x, %ˆ] → i~∂p W és {ˆ p, %ˆ} → 2pW . p d%(x, p) = − ∂x %(x, p) + ηmkB T ∂p2 %(x, p) + η∂p p%(x, p) dt m Ez volt a Fokker-Planck egy., súrlódással, h˝otartályban. Tekintsük ezt a Wigner-fv. mászter egyenletének, és írjuk át %ˆ-ra: 2 ˆ dˆ % −i p ηmkB T η = , %ˆ − [ˆ x, [ˆ x, %ˆ]] − i [ˆ x, {ˆ p, %ˆ}] 2 dt ~ 2m ~ 2~ Ez a Q-Fokker-Planck (Q-Brown mozgás) egy. — magas T h˝omérsékleten Baj: alacsony T és keskeny hullámcsomag esetén elrontja a %ˆ nemnegativitását
17
Q-Fokker-Planck egy. - Lindblad alak Csak a Lindblad alak garantálja, hogy %ˆ ≥ 0 meg˝orz˝odik: dˆ % −i h ˆ i = H, %ˆ + D, dt ~
D%ˆ =
X ˆ α %ˆL ˆ †α − 1 {L ˆ †α L ˆ α , %ˆ}] [L 2 α
A magas h˝om. Q-Fokker-Planck 2 dˆ % −i p ˆ ηp2T η = , %ˆ − 2 [ˆ x, {ˆ p, %ˆ}] x, [ˆ x, %ˆ]] − i [ˆ dt ~ 2m ~ 2~ nem hozható Lindblad alakra. Próbálkozzunk egyetlen nem-hermitikus Lindblad generátorral: p p i T ˆ = 2η x ˆ+ p ˆ L ~ 4pT Ezt a Lindblad disszipátort kapjuk: ˆ %L ˆ † − 1 {L ˆ † L, ˆ %ˆ} D%ˆ = Lˆ 2 η η η ηp2 x, [ˆ x, %ˆ]] − i [ˆ x, {ˆ p, %ˆ}] − [ˆ p, [ˆ p, %ˆ]] + i [{ˆ x, p ˆ}, %ˆ] = − 2T [ˆ 2 ~ 2~ 16pT 4~ ˆ = pˆ2 − η {ˆ Az utolsó tag Hamiltoni típusú járulék, ezt a Hamilton op. H x, p ˆ} 2m 4 formális korrekciójával kiejtjve: 2 −i p η η ˆ dˆ % = , %ˆ − i [ˆ x, {ˆ p, %ˆ}] − [ˆ p, [ˆ p, %ˆ]] dt ~ 2m 2~ 16p2T Ez a Q-Brown mozgás Lindblad ME. Új, alacsony h˝omérsékleten jelent˝os tag jött be: momentum-dekoherenciát ír le! Behelyettesítéssel igazolható, a stac. megoldás a Maxwell-Gibbs állapot: 1 p ˆ2 %ˆ(∞) = exp − 2 2πp2T 2pt Alkalmazás pl.: nanomechanikus oszcillátor (csatolva fotonhoz, q-dothoz, elelmi magspinhez, ...) Elvileg elektron transzportra is, de erre a stat-fiz. más standard módszereket használ.
18
Egységes reprezentáció: Fock Kétállapotú q-rendszer Pauli→Fock: ˆ |0i = 0 és H ˆ |1i = |1i |↑i = |0i |↓i = |1i bázis, H 1 (ˆ σx − iˆ σy ) = a ˆ = |0i h1| , 21 (ˆ σx + iˆ σy ) = a ˆ† = |1i h0| elt˝untet˝o/kelt˝o op. 2 2 † 2 † † † a ˆ = (ˆ a ) = 0, {ˆ a, a ˆ }=a ˆa ˆ +a ˆa ˆ = 1 fermion felcserélési rel. † 1 1 − 2σ ˆz = a ˆa ˆ=n ˆ betöltés, okkupáció, n = 0, 1 2 ˆ H = ˆ n Hamilton Példa: spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy. Pauliban +i 1 +i dˆ % = [ˆ σz , %ˆ] − [ˆ σz , [ˆ σz , %ˆ]] ≡ [ˆ σz , %ˆ] + D%ˆ dt 2~ 4τr 2~ Fockban:
−i 1 −i dˆ % = [ˆ n, %ˆ] − [ˆ [ˆ n, %ˆ] + D%ˆ n, [ˆ n, %ˆ]] ≡ dt ~ τr ~
Megoldás Fockban: ρ00 = ρ11 = const és ρ10 (t) = exp(−iωt − τr−1 t)ρ10 (0), tehát diagonális rész állandó (nincs disszipáció), az off-diagonális rész lecseng (van dekoherencia). Sokállapotú q-rendszer: harmonikus oszcillátor Kanonikus→Fock: √ √ mωˆ x + iˆ p/ mω √ a ˆ= , 2~
a ˆ† = . . .
Ha az oszcillátor nem mechanikus, hanem egy üreg e.m. módusa, akkor a ˆ, a ˆ† els˝odleges, és: x ˆ=
a ˆ+a ˆ† √ 2
yˆ =
a ˆ−a ˆ† √ i 2
kvadraturak
[ˆ a, a ˆ† ] = 1 bozon felcserélési rel. (másképp: [ˆ x, yˆ] = i) ˆ |0i , |1i ,√ . . . , |ni , . . . bázis, H |ni √ = n |ni, = ~ω† † a ˆ |ni = n |n − 1i a ˆ |ni = n + 1 |n + 1i a ˆa ˆ |ni = n |ni n ˆ=a ˆ† a ˆ betöltés, okkupáció, n = 0, 1, 2, . . . ˆ = ˆ ˆ = (/2)(ˆ H n Hamilton [másképp: H x2 + yˆ2 )]
19
Q-disszipáció - mászter egyenletek (Lindblad fenomenológia) Kétállapotú atom spontán bomlás ˆ=L ˆ † : csak dekoherencia. L ˆ 6= L ˆ † kell disszipációhoz. L √ ˆ = Γˆ Legyen L a (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆ % = −iω[ˆ n, %ˆ] + Γ a ˆ%ˆa ˆ† − 12 {ˆ n, %ˆ} dt Innen %ˆ(∞) = |0i h0| stacionárius állapot — o.k., bomlás van! ME-b˝ol egzakt megoldás: ρ11 (t) = e−Γt ρ11 (0) , ρ00 (t) = 1 − ρ11 (t) , ρ10 (t) = e−iωt−Γt/2 ρ10 (0) . ρ11 → 0 (disszipáció); ρ10 → 0 (dekoherencia) Atomfizikából, mikroszkópikusan: Γ=
4ω 3 |D|2 3~c3
(D = atmeneti − dipolmomentum)
Alkalmazás pl.: Q-optika, lézertérben fluoreszkáló atom, ...; Magmágnesség: spinrelaxáció
20
Q-disszipáció - mászter egyenletek (még mindig fenomenológia) Csillapított e.m. üreg oszcillátor Egyetlen módus — harmonikus oszcillátor ˆ=L ˆ † : csak dekoherencia. L ˆ 6= L ˆ † kell disszipációhoz. L √ ˆ = Γˆ Legyen L a (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆ % = −iω[ˆ n, %ˆ] + Γ a ˆ%ˆa ˆ† − 12 {ˆ n, %ˆ} dt Innen %ˆ(∞) = |0i h0| stacionárius állapot — o.k., bomlás van! Formailag eddig minden azonos a kétállapotú atommal, hála Fock-nak. ME-b˝ol egzakt bomlási (disszipációs) tulajdonságok: n˙ ≡ d hˆ ni dt = tr(ˆ ndˆ %/dt) = −Γn, n(t) = e−Γt n(0) a˙ ≡ d hˆ ai dt = tr(ˆ adˆ %/dt) = −iωa − Γa, a(t) = e−iωt−Γt/2 a(0) Miben különbözik az e.m. üregoszci a mechanikus oszcitól? Mechanikusnál csak p ˆ disszipálódik (súrlódik), x ˆ nem (csak p ˆ-n keresztül. E.m. üregoszciban - tipikus esetben - a ˆ hermitikus és anti-hermitikus része (a két kvadratúra) azonosan disszipálódik! Γ: üregb˝ol a kifolyási veszteség sebessége. Alkalmazás pl.: Q-optika (cm-es üreg, 0,1,2, fotonnal) Érdekesség: grav. hull. detektor, km-es üreg, extrém magas gerjesztettség, ugyanez az egyenlet, de elég a klasszikus.
21
A legegyszerubb ˝ Q-tartály: bozon vákuum Markov közelítésben HR a tartály Hilbert tere, %ˆR a tartály vákuum (T=0) egyensúlyi állapota ξˆt , ξˆt† a bozontér markovi közelítésben, Fock-szer˝u reprezentációban Kanonikus csererelációk: ˙ ˙ ˙ ˙ [ξˆt , ξˆs ] = [ξˆt† , ξˆs† ] = 0 ,
˙ ˙ [ξˆt , ξˆs† ] = δ(t − s)
Várható értékek, h. . . i ≡ tr(. . . %ˆR ): D E D E D E ˙ ˙ ˙ ˙ ξˆt = ξˆt† = 0, ξˆt† ξˆs = 0 (bozonvakuum) D
E ˙ ˙ ξˆt ξˆs† = δ(t − s)
felcs miatt
Ugyanez Ito-val: ˆ dξˆ† ] = dt 0) [d D ξ, E D E 1) dξˆ = dξˆ† = 0 ˆ ξˆ† = dt , (dξ) ˆ 2 = (dξˆ† )2 = 0 2) D dξd E ˆ ξˆ = 0 3) f (ξ)d Emellett mindig elt˝unik dξˆt dξˆs , dξˆt† dξˆs† , dξˆt† dξˆs . Továbbá dξˆt , dξˆs† kommutál, és dξˆt dξˆs† elt˝unik, ha t 6= s.
22
Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) Kétállapotú atom + bozonvákuum (a tartály) √ ˆ +H ˆ SR dt = ~ωˆ Q-Itoval a teljes Hamilton: Hdt ndt + ~ Γ(ˆ adξˆ† + h.c.) ˆ R Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. A tartály H Standard mikroszkopikus modellben %ˆ ⊗ %ˆR ≡ %ˆ%ˆR kezd˝oállapotot fejlesztünk: √ √ d(ˆ %%ˆR ) = exp[−iωˆ ndt−i Γ(ˆ adξˆ† +h.c.)]ˆ %%ˆR exp[iωˆ ndt+i Γ(ˆ adξˆ† +h.c.)]−ˆ %%ˆR Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆ % = trR d(ˆ %%ˆR )-hez kiértékeljük vala† ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ mennyi tr dξ %ˆR , tr dξdξ %ˆR , tr dξdξ %ˆR , tr dξ %ˆR dξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dξˆ† %ˆR dξˆ = dt: n, %ˆ} dt dˆ % = −iω[ˆ n, %ˆ]dt + Γ a ˆ%ˆa ˆ† − 12 {ˆ Ez éppen a spontán bomlás ME! Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: √ √ dˆ a = exp[iωˆ ndt + i Γ(ˆ adξˆ† + h.c.)]ˆ a exp[−iωˆ ndt − i Γ(ˆ adξˆ† + h.c.)] − a ˆ √ adt + i Γ(2ˆ = −(iω + 12 Γ)ˆ n − 1)dξˆ Elsö tag: u.a., mint hˆ ai egyenlete. Második tag: a tartály járuléka. Kanonikus reláció, {ˆ a, a ˆ† } = 1, meg˝orz˝odik a dξˆ járuléka segítségével: √ ˆa ˆ (2ˆ n − 1)dξ, ˆ† } + h.c. + Γ{(2ˆ n − 1)dξ, n − 1)dξˆ† } d{ˆ a, a ˆ† } = {−(iω + 12 Γ)ˆ adt + i Γ(2ˆ √ ˆ dξˆ† } a, a ˆ† }dt + h.c. + i Γ{2ˆ = −(iω + 1 Γ){ˆ n − 1, a ˆ† }dξˆ + h.c. + Γ(2ˆ n − 1)2 {dξ, 2
ˆ dξˆ† } = dt. Ez 0, mert {ˆ a, a ˆ† } = 1, {2ˆ n − 1, a ˆ† } = 0, (2ˆ n − 1)2 = 1 és {dξ,
23
Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) E.m. üreg oszcillátor + bozonvákuum (a tartály) Hála Fock-nak, u.a., mint kétállapotú atom. √ ˆ +H ˆ SR dt = ~ωˆ Q-Itoval a teljes Hamilton: Hdt ndt + ~ Γ(ˆ adξˆ† + h.c.) ˆ R Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. A tartály H Standard mikroszkopikus modellben %ˆ ⊗ %ˆR ≡ %ˆ%ˆR kezd˝oállapotot fejlesztünk: √ √ d(ˆ %%ˆR ) = exp[−iωˆ ndt−i Γˆ adξˆ† +h.c.)]ˆ %%ˆR exp[iωˆ ndt+i Γ(ˆ adξˆ† +h.c.)]−ˆ %%ˆR Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆ % = trR d(ˆ %%ˆR )-hez kiértékeljük vala† ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ mennyi tr dξ %ˆR , tr dξdξ %ˆR , tr dξdξ %ˆR , tr dξ %ˆR dξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dξˆ† %ˆR dξˆ = dt: n, %ˆ} dt dˆ % = −iω[ˆ n, %ˆ]dt + Γ a ˆ%ˆa ˆ† − 21 {ˆ Ez éppen a csillapított oszci ME! (Azonos alakú az atomi spontán bomlás ME-tel.) Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: √ √ dˆ a = exp[iωˆ ndt + i Γ(ˆ adξˆ† + h.c.)]ˆ a exp[−iωˆ ndt − i Γ(ˆ adξˆ† + h.c.)] − a ˆ √ = −(iω + 1 Γ)ˆ adt − i Γdξˆ 2
Elsö tag: u.a., mint hˆ ai egyenlete. Második tag: a tartály járuléka A tartály járuléka más alakú, mint atomi sp. bomlás Heisenberg-Ito egy.-ben. Kanonikus reláció, [ˆ a, a ˆ† ] = 1, meg˝orz˝odik a dξˆ járuléka segítségével: √ ˆa ˆ dξˆ† ] ˆ† ] + h.c. + Γ[dξ, d[ˆ a, a ˆ† ] = [−(iω + 12 Γ)ˆ adt − i Γdξ, ˆ dξˆ† ] = 0 = −(iω + 1 Γ)[ˆ a, a ˆ† ]dt + h.c. + Γ[dξ, 2
ˆ dξˆ† mindig kommutálnak a ˆ dξˆ† ] = dt. Mert dξ, ˆ, a ˆ† -vel, [ˆ a, a ˆ† ] = 1, és [dξ,
24
Q-h˝otartály: bozonos, Markov közelítésben HR a tartály Hilbert tere, %ˆR a tartály T > 0 egyensúlyi állapota ξˆt , ξˆt† a bozontér markovi közelítésben, Fock-szer˝u reprezentációban D E ˙ ˙ Ugyanaz, mint a bozonvákuum tartály, csak %ˆR változott, és ξˆt† ξˆs 6= 0 többé. Rögtön minden Ito-val (β = 1/kB T ): ˆ dξˆ† ] = dt 0) [d D ξ, E D E 1) dξˆ = dξˆ† = 0 dt 2) dξˆ† dξˆ = exp(β)−1 , D E ˆ ξˆ = 0 3) f (ξ)d
ˆ ξˆ† = dξd
dt 1−exp(−β)
,
ˆ 2 = (dξˆ† )2 = 0 (dξ)
Emellett mindig elt˝unik dξˆt dξˆs , dξˆt† dξˆs† . Továbbá dξˆt , dξˆs† kommutál, dξˆt† dξˆs és dξˆt dξˆs† elt˝unik, ha t 6= s.
25
Q-disszipáció T > 0 ( mikroszkopikus levezetés) atom/oszci + Q-h˝otartály (markovi közelítésben) Hála Fock-nak, atom/oszci u.a. √ ˆ +H ˆ SR dt = ~ωˆ Q-Itoval a teljes Hamilton: Hdt ndt + ~ Γ(ˆ adξˆ† + h.c.) ˆ R Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. A tartály H Standard mikroszkopikus modellben %ˆ ⊗ %ˆR ≡ %ˆ%ˆR kezd˝oállapotot fejlesztünk: √ √ adξˆ† +h.c.)]ˆ %%ˆR exp[iωˆ ndt+i Γ(ˆ adξˆ† +h.c.)]−ˆ %%ˆR d(ˆ %%ˆR ) = exp[−iωˆ ndt−i Γˆ Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆ % = trR d(ˆ %%ˆR )-hez kiértékeljük vala† ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ mennyi tr dξ %ˆR , tr dξdξ %ˆR , tr dξdξ %ˆR , tr dξ %ˆR dξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. dt dt , tr dξˆ† %ˆR dξˆ = tr dξˆ† %ˆR dξˆ = 1 − exp(−β) exp(β) − 1 Vegyük észre: a második e−β -szor kisebb, mint az els˝o! Eredmény: dˆ % ≡ trR d(ˆ %%ˆR ) = n, %ˆ} dt + e−β Γβ a aa ˆ† , %ˆ} dt ˆ† %ˆa ˆ − 12 {ˆ = −iω[ˆ n, %ˆ]dt + Γβ a ˆ%ˆa ˆ† − 12 {ˆ ahol Γβ = Γ/[1 − exp(−β)] a T -függ˝o bomlási sebesség. Az atom/oszci közös alakú ME-e T > 0 h˝otartályban: dˆ % = −iω[ˆ n, %ˆ] + Γβ a n, %ˆ} + e−β Γβ a aa ˆ† , %ˆ} ˆ%ˆa ˆ† − 21 {ˆ ˆ† %ˆa ˆ − 21 {ˆ dt Az els˝o Lindblad járulék: disszipáció (bomlás, csillapodás), sebessége: Γβ =
Γ 1 − exp(−β)
A második Lindblad járulék: pumpálás (a h˝otartályból a rendszerbe), sebessége: Γ exp(β) − 1 A kett˝o harcából termikus egyensúlyi állapot: e−β Γβ =
%ˆβ =
1 exp(−βˆ n) Zβ
Ez stac. állapota a ME-nek. ME jobboldala el kell t˝unjön %ˆ = %ˆβ -ra. Els˝o tag o.k., marad Γβ -szor: a ˆe−βˆn a ˆ† − n ˆ e−βˆn + e−β a ˆ† e−βˆn a ˆ − e−β a ˆa ˆ† e−βˆn Az els˝o tag kiejti az utolsót (hasonlóan a bels˝o két tag egymást). Biz: a ˆe−βˆn a ˆ† = e−βˆn eβˆn a ˆe−βˆn a ˆ† = e−βˆn e−β a ˆe−βˆn a ˆ† = e−β a ˆa ˆ† e−βˆn 26
A Q-tartály Markovi közelítése Ez lett volna a záró el˝oadás, ha megtartom. Így csak meséltem róla: A Q-h˝otartály egzakt mikroszkopikus modellje pl. a másodkvantált fekete-test sugárzás, majdan lineárisan csatolva az atom/oszci-hoz. A másodkvantált e.m. tér ilyenkor Markovi közelítésben a ξˆ térrel írható le, az atom/oszci-val való kölcsönhatás szempontjából. A markovi Q-h˝otartály már figyelembe veszi az atom/oszci gerjesztési energiáját (a ξˆ tér korrelációi nem csak T -t˝ol, -tól is függnek). Másik atom/oszcihoz (ha más az ) másik markovi Q-h˝otartály tartozik. A Markovi Q-h˝otartályunk ezért nem univerzális. (Pedig elvárhatnánk: termodinamikában ugyanazon h˝otartály bármilyen gyengén hozzácsatolt rendszert termikus egysúlyba juttat a tartállyal. Ez Q-h˝otartályokra nem tud ilyen univerzális lenni.)
— Ami még kimaradt R környez˝o rendszer info-gy˝ujt˝o (mér˝o) rendszer R alaphatásai lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) Alapjelenségek Folytonos mérés (kl+Q) Trajektória vagy mászter egyenlet? Q-trajektóriára egyetlen futó (épp nem MC-barát) példa jutott. — Amire sok id˝ot kellett szánni, mert alapvet˝o Fél tucat Q-mászter egyenlet.
27
