Bevezetés a kaotikus rendszerekbe 1. előadás
Könyvészet: Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos
Káosz, fraktálok és dinamika `
Fraktálok:
szépség
matematikai leírás
Fraktálzene: Phil Thompson Me Myself Totally Alone `
A káosz és a fraktálok részei a dinamika területének változás, időbeni fejlődés: - egyesnúly felé tart - ciklikusan viselkedik - még bonyolultabb viselkedést mutat
A dinamika története Időpont
Név
Esemény
1666
Newton
kalkulus felfedezése bolygómozgás magyarázata
1700-as évek
a kalkulus és a klasszikus mechanika virágkora
1800-as évek
a bolygómozgások analitikus tárgyalása
1890
Poincaré
1920-1950
geometriai megközelítés, káosz lázálom nemlineáris oszcillátorok a fizikában és a mérnöki tudományokban: rádió, radar, lézer …
1920-1960
Birkhoff Kolmogorov Arnol’d Moser
komplex viselkedések a Hamiltoni mechanikában
1963
Lorenz
különös attraktor egy egyszerű konvekciós modellben
1970-es évek
Ruelle & Takens May Feigenbaum
káosz és tulburencia káosz a logisztikai leképezésekben univerzalitás és renormalizáció, kapcsolat a káosz és a fázisátalakulások között a káosz kísérleti tanulmányozása nemlineáris oszcillátorok a biológiában fraktálok
Winfree Mandelbrot 1980-as évek
általános érdeklődés a káosz, fraktálok, oszcillátorok es alkalmazásaik iránt
A dinamika logiaki struktúrája `
`
differenciálegyenletek: `
magasabbrendű differenciális egyenletek pl. csillapított harmónikus oszcillátor
`
parciális differenciálegyenletek pl. hővezetés
differencia egyenletek: `
`
d 2x dx m 2 + b + kx = 0 dt dt 2 ∂u ∂ u = 2 ∂t ∂x
diszkrét egyenletek
iterált leképezések
a rendszerek tisztán időbeli viselkedésére koncentrálunk, ezért magasabbrendű differenciálegyenleteket fogunk tanulmányozni `
`
időben folytonosak
általánosan:
⎧ x&1 = f1 ( x1 , x2 , ... , xn ) ⎪ ⎨...... ⎪ x& = f ( x , x , ... , x ) n 1 2 n ⎩ n
nem autonóm rendszerek: pl.
dxi x&i ≡ dt
explicit időfüggés
m&x& + bx& + kx = F cos t
átírható a fenti alakra, csak egyel több egyenlet lesz: eltűnik az időfüggés egy extra dimenzió hozzáadásával
Miért olyan nehezek a nemlineáris problémák `
a legtöbb analitikusan megoldhatatlan
`
a lineáris rendszerek darabokra bonthatók
`
a valós rendszerek egyes részei interferálhatnak, együttműködhetnek vagy versenghetnek nemlineáris kölcsönhatások
Nemlineáris példák
`
a hallás: a hallószőrök nemlineáris viselkedése hallószőrök hossza: 10-30 μm minimális érzékenység: ~3 nm kitérés 1012-szeres hangerő 106-szoros amplitúdó ~3 mm kitérés Lehetetlen ekkora kitérés !!! A hallószőrök nem viselkedhetnek lineárisan !!! Torzítanak!
Oktáv
Akusztikai illúziók (hiányzó alapharmonikus)
Akusztikai illúziók (harmadik hang)
Tartini, XVIII. sz.
Akusztikai illúziók (Shepard skála)
Dinamikai világkép
Áramlások egy egyenesen `
tekintsük a következő rendszert
`
n=1 esettel kezdünk
`
1 dimenziós, elsőrendű egyenletek
⎧ x&1 = f1 ( x1 , x2 , ... , xn ) ⎪ ⎨...... ⎪ x& = f ( x , x , ... , x ) n 1 2 n ⎩ n
Geometriai gondolkodásmód `
pl. x& = sin x
`
analitikus megoldás:
`
feladat:
x0 =
π 4
cosec x0 + ctg x0 t = ln cosec x + ctg x
-re írjuk le a rendszer kvalitatív viselkedését
mi történik t → ∞ -ben? `
grafikai megközelítés
vektortér egy egyenesen: - megadja a sebességvektort minden pozícióban nyilak:
x& > 0 x& < 0
Fizikai kép a vektormezőkről `
folyadék (fázisfolyadék) egyensúlyban áramlik az x tengely (fázistér) mentén a grafikon által megadott sebességgel és a nyilak irányában
`
fixpont:
nincs áramlás
`
stabil fixpont (attraktor)
`
instabil fixpont (repeller)
Válasz a kérdésekre
x0 =
π 4
t →∞
Fixpontok és stabilitás `
a grafikus megközelítés használható minden 1 dimenziós rendszer esetén
`
recept: megrajzoljuk az f(x) grafikont és vázoljuk a vektormezőt fázisportré
`
a fázispontot elhelyezzük x0-ba és nézzük, hogyan sodorja azt az áramló folyadék
`
a mozgást követve megkapjuk a pályát
`
fixpontok:
differenciélegyenlet megoldása
( )
az f x* = 0 pontok
álló pontok az áramlásban
stabil fixpont
instabil fixpont
tranziens fixpont
Populációnövekedés modell `
egyszerű modell: `
van néhány kiinduló egyed
`
minden egyed egyforma
`
minden egyed örökké él
`
a születési ráta állandó
`
végtelen mennyiségű élelem
`
elhalálozás bevezetése
N& = b ⋅ N N& = −d ⋅ N
N& = (b − d ) ⋅ N = rN `
exponenciális növekedés EZ NEM TARTHAT ÖRÖKKÉ!!!
túlnépesedés, véges erőforrások növekedési ráta csökken ha N túl nagy lesz
`
egyszerűsítés: r lineárisan csökken az N növekedésével
`
logisztikus egyenlet:
⎛ N⎞ & N = rN ⎜1 − ⎟ k⎠ ⎝
eltartóképesség
Logisztikus egyenlet grafikus megoldása `
Fixpontok:
N* = 0 instabil fixpont
N* = k stabil fixpont
`
N=0 kivételével bárhonnan kiindulunk, a populáció mindig eléri a terület eltartóképességét
`
kis populációról indulva, ez kezdetben nagyon gyorsan növekszik k/2-ig, majd a népesség lassan stabilizálódik
szigmoid görbe
A modell kritikái
`
kezdetben a növekedés univerzális törvényének tekintették (Pearl – 1927)
`
jó egyezés laboratóriumi körülmények között baktériumok és egyszerű organizmusok esetén konstans környezetben, élelemmel és ragadozók nélkül
`
nem működött komplex életciklusú bogarak, lepkék esetén `
`
tojás
lárva
báb
fennmaradó fluktuációk!!!
egyed
Oszcillációk lehetetlensége `
a fázispont sosem vált irányt, a stabil fixpont megközelítése mindig monoton módon történik
`
nem létezik túllépés és csillapított oszcilláció
`
nincs periodikus megoldás
`
mechanikai analógia:
túlcsillapított rendszerek méz
m&x& + bx& = F ( x )
bx& >> m&x& 1 ⇒ bx& = F ( x ) ⇒ x& = f ( x ) = F ( x ) b
