Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Kanizsai Rita Zenei fogalmak és rendszerek a matematika nyelvén BSc szakdolgozat Témavezet®:
Dr. Gergó Lajos Numerikus Analízis Tanszék
Budapest, 2012
Tartalomjegyzék
1. Bevezet®
4
1.1. Zeneelméleti bevezet® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1. A hang, és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2. Egyéb zenei de níciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Matematikai bevezet® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.1. Csoportelméleti fogalmak
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.2. Számelméleti fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2. Matematikai formalizmussal meghatározott zenei fogalmak
16
2.1. Zenei alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2. További zenei de níciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3. Algebra a zenében
20
3.1. Az temperált kromatikus skála struktúrája . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1.1. A h függvény ekvivalens de níciója . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.1.2. Az kromatikus temperált hangsor, mint csoport . . . . . . . . .
22
3.2. A kvintkör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2.1. A kvintkör haszna a zenében . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4. Együtt megszólaló hangok
29
4.0.2. Harmónia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.0.3. Hangzatforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.0.4. Harmóniaforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1
4.1. Következmények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Nem-temperált kromatikus skálák
35
37
5.1. A hangok zikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.1.1. Két hang együttes rezgése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5.2. A Püthagoreusok számelmélete a zenében . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.3. BolyaiBaumgartner-féle diatonikus skála . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.4. Konszonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.4.1. A konszonanciafok kialakulásának matematikatörténete . . . . .
42
5.4.2. Egy mai konszonanciade níció . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6. Skálák összehasonlítása
49
7. Befejezés
52
2
El®szó Két igencsak távoli terület. Mégis mi közük lehet egymáshoz? A zene és a matematika már az ókortól kezdve összefonódva él egymás mellett. Nem véletlen, hogy a matematika legnagyobbjai mind foglalkoztak a zeneelmélettel. Püthagorasztól elkezdve, Mersenne, Euler és Gauss mind kiváló matematikusok, akiknek jelent®s zeneelméleti fejtegetéseik is fennmaradtak. A magyarok közül hadd említsem meg a Bolyaiakat, Fejér Lipótot és Farkas Gyulát, akik kit¶n®en hegedültek, zongoráztak, és többen közülük olyan magas zenei képzettséggel rendelkeztek, hogy magánórákat is adtak, továbbá komolyan foglalkoztak a zene elméletével is. Sokan talán azt gondolják, hogy a zene, mint m¶vészet, egyfajta logikátlansággal teli és csupán megérzéseken alapuló tudomány, míg a matematika egy nagyon is racionális, jól felépített, logikus és ellentmondásmentes következtet® rendszer. Talán azt mondhatná a laikus, hogy a két területben semmi hasonlóság nincsen. Mégis azt állítom, és ezt az állítást helyezem dolgozatom középppontjába, hogy a zeneelmélet egy matematikailag jól megragadható és modellezhet® rendszer. A zenét, nevezetesen a zeneelméletet nagyon is szoros kapcsolat f¶zi össze a matematikával. Egy halmazelméleti és algebrai alapokon nyugvó, és az elméleti nyelv segítségével egzaktul leírható tudomány, s mint ilyen, felépített, rendszerezett és axiómák illetve de níciók egymásra épülésén alapul. S®t továbbmenve azt állítom, hogy az elméleti nyelvvel még a homályos zeneelméleti fogalmak is pontosabbá tehet®k. Vannak fogalmak, amiknek a jelentésében, pontos meghatározásában máig nem tudtak megállapodni a zeneelmélet kidolgozói. Erre mi a matematikai formalizmus segítségével teszünk majd kísérletet. A dolgozat témája tehát a zene és a matematika kapcsolatainak feltárása, a zene matematikai nyelven való megalapozása, továbbá zenei de níciók pontosítása, matematikai megfogalmazása, egy olyan rendszer kiépítése, mely a matematika és a zene közötti átmeneteket tartalmaz. Az el®szó befejezéseként szeretnék köszönetet mondani Dr. Gergó Lajos tanár úrnak, aki mellém állt a témaválasztáskor, és mind technikai, mind szakmai problémákban segítséget nyújtott, illetve Balázsnak a források fordításáért.
3
1. fejezet Bevezet®
1.1.
Zeneelméleti bevezet®
Els®ként vegyük sorra azokat a zenei alapfogalmakat, melyeket a dolgozat során használni fogunk. Ezekkel a de níciókkal szeretném a fogalmak laikus értelmezését pontosítani, hogy a vizsgálódás során egyértelm¶en hivatkozhassunk rájuk. Fontos megjegyezni, hogy ebben a részben a fogalmak jelentését inkább zenei, tapasztalati szemszögb®l adjuk meg. A bevezet®ben igyekeztem a zeneelmélet alapjait tömören megfogalmazni, így a de níciók ugyan veszítenek egzaktságukból, de teljeskör¶ vizsgálódásra e dolgozat sajnos nem nyit teret. Célom csupán az, hogy a f®bb zenei fogalmaknak matematikai hátteret adjak. A zeneelmélet egy egyszer¶sített formáját dolgozom fel a dolgozatban, így a bonyolult zenei fogalmakkal nem ismertetem meg az olvasót, és a de níciókat is csak a további vizsgálódásnak megfelel® részletességgel adom meg. A zeneelméletben sokszor még maguk a zenészek és komponisták között sincs egyetértés a fogalmak tekintetében. Az egyértelm¶ség érdekében a zeneelméleti bevezet®ben a fogalmakat Kesztler L®rinc elmélete alapján dolgoztam fel, és ezen meghatározásokból indultam ki. [2]
4
1.1.1. A hang, és tulajdonságai El®ször de niáljuk, hogy mi a hang, és vegyük sorra a f® tulajdonságait.
1.1.1. De níció.
Hang
A hang olyan zikai jelenség, melyet hallás útján érzékelünk. A hang keletkezésekor a leveg® rezgésbe jön, és hanghullámok (rezgések) formájában terjed. Attól függ®en, hogy a rezgés periodikus-e vagy egyenl®tlen beszélhetünk zenei
hang -ról, zörej -r®l illetve dörej -r®l. [6] A dolgozat során a hang szót ezen els®, zenei hang értelmezésében használjuk. A hang zenei vonatkozású tulajdonságait elemezve, azt mondhatjuk, hogy a hangnak négy f® tulajdonsága van, ezek:
• hang magassága • hang id®tartama • hanger®sség • hangszín
1.1.2. De níció.
Hangmagasság
A hangmagasságot a hangjel frekvenciájával azonosítjuk. A frekvencia mértékegysége a Hz, ami megadja, hogy hány rezgés történik egy másodperc alatt. A hangmagasság a frekvenciával logaritmikus összefüggésben áll. Ennek oka, hogy az emberi érzékszervek általában logaritmikusan érzékelik az ingereket. Attól függ®en, hogy a hang milyen frekvenciájú beszélhetünk infrahangról, ultrahangról. A kett® között helyezkedik el az emberi fül számára is érzékelhet® hangok tartománya. (Lásd 1.1 táblázat)
1.1.3. De níció.
Hang id®tartama
A rezgés kezdetét®l annak megsz¶néséig tartó id®tartam. Mértékegysége: sec. 5
Elnevezés
Infrahang
Hallható hang
Ultrahang
Frekvencia
< 16 Hz
16-20000 Hz
> 20000 Hz
1.1. táblázat. Hangok frekvencia szerinti csoportosítása
1.1.4. De níció.
Hanger®sség
A hanger® a hangrezgés amplitúdója. Értékét akusztikus decibelben mérik. A hanger®sséget szintén egy logaritmikus összefüggés jellemzi, és a következ® képlettel számolható ki:
Lp = 10 log10
p 2 p0
ahol p a hang nyomása az emberi fül membránján. A decibel egy arányon alapuló dimenzió nélküli mutató, ahol valamilyen referenciaszinthez viszonyítjuk a vizsgált hangnyomást. A p0 referenciaszint a nulla érzethez tartozó inger, más néven ingerküszöb. [20][6]
1.1.5. De níció.
Hangszín
A hangszín egy hangjelnek a frekvenciatartományi viselkedése, a hang és a felharmonikusok (b®vebben lásd 5.4.2. alfejezetben) együtthangzása. A dolgozat során a hangoknak csak egy tulajdonságával, a hangmagassággal foglalkozunk, a másik hármat az elméletben gyelmen kívül hagyjuk. Ezt a tulajdonságot próbáljuk meg átvinni a matematika fogalomtárába, és egyértelm¶ megfeleltetéseket keresni az ehhez a tulajdonsághoz kapcsolódó zenei fogalmak és a matematika között.
1.1.2. Egyéb zenei de níciók Hangmagassághoz kapcsolódó fogalmak A rezgésszámnak, s így a hangmagasságnak nincsen határa, ezért az elméletileg lehetséges magasságú, különböz® hangok száma végtelen. A hangoknak ezt az összességét zikai hangkészlet -nek nevezzük. A fent már említett hallható tartományba es® 6
frekvenciák képezik a ziológiai hangkészlet -et. A zenében használt hangok száma azonban töredéke ezeknek a hangkészleteknek. A dallamok leírásához használt hangok összességét zenei hangkészlet -nek nevezzük. A zenei hangokat az ABC nagybet¶ivel jelöljük. Alább látható a zenei hangok egy része, (a hét f® zenei hang), azok nevei, és helyük a szokásos ötvonalas rendszerben. Ezeket nevezzük törzshangok -nak.
G ¯
C
¯
D
¯
¯
¯
¯
¯
E
F
G
A
H
A szokásos ötvonalas rendszer öt vízszintes alapvonal -ból, és ennek megfelel®en négy
vonalköz -b®l áll. A hangokat kottafejek jelölik, ezek a vonalakon, és a vonalközökben helyezkedhetnek el. A vonalak és vonalközök számozását lentr®l indítva felfelé növeked® sorrendben adjuk meg. A törzshangoknak rögzített helyük van az ötvonalas rendszerben. A sor elején található jel az úgynevezett violin-kulcs, más néven G-kulcs. Ez adja meg a G hang helyét, hiszen a második vonalról indul, ennek megfelel®en a G hang is a második vonalon helyezkedik el, és ehhez képest adott a többi hang helye.
1.1.6. De níció.
Hangköz
A hangköz két hang magasságbeli viszonya. Az egyes szomszédos törzshangok között nem egyforma hangtávolság van. A hangok között lehet egy egészhang -nyi távolság, vagy félhang -nyi. Két félhangnyi távolság értelemszer¶en egy egészhangnyi távolságnak felel meg. A félhangot más néven kis
szekund -nak, míg az egészhangot nagy szekund -nak is szokás nevezni. A törzshangok sorában a szomszédosak közötti hangtávolságokat, azaz, hogy mely hangok között van egész-, és melyek között félhang, alább láthatjuk: 1
1
1
1
1
1
1
2 2 C→ − D→ − E− → F → − G→ − A→ − H− → C0
A nevezetes hangközök elnevezését látjuk a következ® 1.2. táblázatban, ahol a távolság kifejezés (a továbbiakban is) félhang-egységekben értend®. 7
Hangköz neve
Távolság
Tiszta prím
0
Kis szekund
1
Nagy szekund
2
Kis terc
3
Nagy terc
4
Tiszta kvart
5
Sz¶kített kvint
6
Tiszta kvint
7
Kis szext
8
Nagy szext
9
Kis szeptim
10
Nagy szeptim
11
Oktáv
12
1.2. táblázat. A hangközök elnevezései
A törzshangokon kívül származtatott zenei hangok is vannak, ezeket a törzshangok módosításával kapjuk. Ehhez bevezetjük a módosítójel fogalmát.
1.1.7. De níció.
Módosítójel
A [(bé), ] (kereszt) és \ (feloldójel) jeleket módosítójeleknek nevezzük, ahol [ egy félhanggal lejjebb, ] félhanggal feljebb szállítja a hangot, \ pedig megszünteti az el®z® két jel érvényességét. Így egy teljes 12 hangból álló hangsorozatot kapunk, mely a törzshangokon kívül a származtatott hangokat is tartalmazza. Minden zenei m¶ ebb®l a 12 zenei hangból, mint elemi épít®kövekb®l épül fel. A törzshangok és a módosított hangok könnyen értelmezhet®k úgy, mint a zongora fehér, illetve fekete billenty¶i. (Lásd 1.1. ábra)
1.1.8. De níció.
Skála/Hangsor
A skála hangok hangmagasság szerint növekv® sorozata. 8
1.1. ábra. A zongora billenty¶i
Diatonikus skálá -nak nevezik azokat a hétfokú hangsorozatokat, melyek a fent megadott C-D-E-F-G-A-H skálához hasonlóak, azaz a különböz® szomszédos hangok távolsága vagy egészhang, vagy félhang, és félhang csak a harmadik és negyedik, illetve a hetedik és nyolcadik sorszámú hangok között lehet. A kromatikus skála olyan skála, melyben tizenkét hang szerepel, melyeknek egymástól való távolsága félhang. A kromatikus skálán belül vannak skálák, melyekben minden hang egyforma félhang-távolságra van egymástól, ezeket temperált skálá -nak nevezzük, ám ezek mellett vannak olyan skálák, ahol a két szomszédos hang távolsága nem rögzített, hanem több különböz® nagyságú félhang szerepel a skálában. Ezeknek az eltérése ugyan nagyon kicsi, de mégis van köztük különbség. Ezeket a félhangok közötti eltéréseket kommák -nak nevezzük. A dolgozat során kromatikus skálákkal fogunk foglalkozni, és azon belül mindkét csoportba tartozó skálákkal. A 2. 3. és 4. fejezetben a temperált, míg az 5. fejezetben a nem-temperált skálákkal dolgozunk. Itt láthatjuk a temperált skála hangjat, jelöléseit és a hangok helyét az ötvonalas rendszerben. A két skála egymással ekvivalens.
G ¯
C
G ¯
C
4¯
Cisz
2¯
¯
D
¯
Desz D
1.1.9. De níció.
¯
¯
4¯
¯
4¯
¯
4¯
¯
¯
Disz
E
F
Fisz
G
Gisz
A
Aisz
H
C'
2¯
¯
¯
2¯
¯
2¯
¯
2¯
¯
¯
Esz
E
F
Gesz G
Asz
A
B
H
C'
4¯
Tonika
A skála els® eleme. Más néven alaphangnak is nevezik. 9
1.1.10. De níció.
Transzponálás
Egy hang n-nel való transzponáltján értjük azt a hangot, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti hangot n-félhanggal feljebb szállítjuk. Ugyanígy értelmezhet® egy skála n-nel való transzponáltja, ekkor a skála minden elemét n félhanggal feljebb szállítjuk.
Egyéb szükséges fogalmak A hang id®tartam paraméterével, mint már említettem a dolgozat során nem foglalkozunk, így a különböz® elnevezéseket csak említés szintjén tárgyaljuk, pusztán a kés®bbi példák megértése végett.
Hang neve
Hang jele
Egész
¯
Fél
˘“
Negyed
ˇ“
Nyolcad
ˇ “(
Tizenhatod
ˇ “)
Harmincketted
ˇ “*
1.3. táblázat. A hangok id®tartam szerinti jelölései, és elnevezései
Attól függ®en, hogy a hangok milyen hosszú ideig szólnak, bevezetünk különböz® jeleket a különböz® ideig megszólaló hangokra. A hangok megszólalásának id®arányának elnevezéseit a 1.3 táblázat mutatja. Az id®tartam mértéke egy 1-nél kisebb dimenziótlan törtszám, ezt a darab elején, a violin-kulcs után jelölik. Az egységet szintén a darab elején jelöljük a következ®képpen: ˇ “ = 80, ahol a szám azt adja meg, hogy hány egység szólal meg percenként.
1.1.11. De níció.
Hangzat
Az egyid®ben megszólaló hangokat hangzatnak nevezzük. Általában a laikus értelmezésben disszonáns hangzat az, ami "rosszul" hangzik, és konszonáns az, amelyik "szépen". A konszonancia fogalma máig nem tisztázott, sok 10
elmélet létezik arra, hogy mi a "szépenhangzás" de níciója. Itt egyet bemutatunk ezekb®l (Kesztler, 1959. 181182. o. [2]), és kés®bb a matematika segítségével adunk pontosabb választ.
1.1.12. De níció.
Konszonancia
Két hang együttes megszólalásának összehangzása. A hangzat olyan jellemz®je, mely mutatja, hogy mennyire érezzük a megszólaló hangokat egymáshoz tartozónak. Disszonancia ennek az ellentéte. Legtökéletesebb konszonáns akkord a prím és az oktáv, a leginkább disszonáns hangzat pedig a szekund és a szeptim.
1.2.
Matematikai bevezet®
A zene rövid elméleti áttekintése után helyezzük át gyelmünket most a matematika, azon belül is f®ként az algebra tudományára. A további fejezetek megértéséhez szükségünk lesz bizonyos alapszint¶ csoportelméleti és számelméleti fogalmak bevezetésére. Célom ebben az alfejezetben, hogy bepillantást nyerjünk a fels®bb matematika világába. Ehhez Fuchs László [4] jegyzetét használtam fel.
1.2.1. Csoportelméleti fogalmak 1.2.13. De níció.
Csoport
Olyan G 6= ∅ algebrai struktúra, melyben teljesülnek a következ® axiómák: 1. Bármely g1 , g2 ∈ G elemekhez létezik g3 ∈ G, hogy g1 g2 = g3 . 2. Bármely g1 , g2 , g3 ∈ G elemekre g1 (g2 g3 ) = (g1 g2 )g3 . 3. Létezik e ∈ G, melyre minden g ∈ G-re teljesül, hogy eg = g . 4. Bármely g ∈ G-hez létezik g −1 ∈ G, hogy
gg −1 = e teljesül.
A fenti axiómák a következ®képpen értelmezhet®k. Az (1) axióma szerint a csoportban adott egy m¶velet, és bármely két csoportbeli elemre a m¶veletet elvégezve csoportbeli elemet kapunk. A m¶veletet de niálhatjuk külön jobb- illetve baloldali 11
m¶veletként, mi most azonban az egyszer¶ség kedvéért a további de níciókban is két oldali m¶veletként tekintünk rá. Továbbá a (2) axióma kimondja, hogy a m¶velet asszociatív. A (3) axióma jelentése, hogy létezik egy úgynevezett egységelem, mellyel bármely g csoportbeli elemre a m¶veletet elvégezve g -t kapjuk. Az utolsó, (4) állítás szerint minden elemnek van inverze. Ha teljesül a kommutativitás tulajdonság, akkor kapjuk a következ® struktúrát:
1.2.14. De níció.
Abel-csoport
Az olyan csoportokat, melyekben teljesül, hogy minden g1 , g2 ∈ Gre teljesül, hogy
g1 g2 = g2 g1 , Abel-csoportnak, vagy más néven kommutatív csoportnak nevezzük. A dolgozatban nagy jelent®sége lesz a ciklikus csoport fogalomnak, ehhez azonban néhány egyéb csoportelméleti fogalmat is be kell még vezetnünk.
1.2.15. De níció.
Részcsoport
A G csoport egy H részhalmazát részcsoportnak nevezzük, ha H elemei a G-beli m¶veletre nézve maguk is csoportot alkotnak.
1.2.16. De níció.
Generált részcsoport
Legyen H a G csoport egy tetsz®leges részhalmaza, akkor a G csoport összes, H -t tartalmazó részcsoportjának metszete szintén csoport, ezt nevezzük a G csoport K által generált részcsoportjának.
1.2.17. De níció.
Generátorelem
A g ∈ G elemet generátorelemnek nevezzük, ha a g által generált csoport éppen a G csoport.
1.2.18. De níció.
Ciklikus csoport
G csoportot ciklikusnak nevezzük, ha egyetlen elemmel generálható. G =< g > A de nícióból következ®en kétféle ciklikus csoportot különböztetünk meg, aszerint hogy G-nek végtelen, vagy véges sok eleme van, végtelen ciklikus csoport -nak, illetve
véges ciklikus csoport -nak nevezzük. Az els® esetben G elemei {g 0 = e; g; g 2 ; g 3 ; . . .} mind különböz®ek. A második esetben g k = g l adódik. 12
1.2.19. De níció.
Descartes-szorzat
A és B halmazok Descartes-, vagy direkt szorzatán értjük azon (a; b) rendezett párok halmazát, melyre teljesül, hogy a ∈ A és b ∈ B .[16] Jelölés:
A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
1.2.20. De níció.
Reláció
Az A és B halmazok Descartes-szorzatának egy R részhalmazát az A és B halmazok közötti kétoldali relációnak nevezzük. Ha (a, b) ∈ R akkor ezt aRb-vel is szokás jelölni. [16]
1.2.21. De níció.
Ekvivalencia-reláció
Egy A alaphalmazon értelmezett ∼ relációt, melyre igaz, hogy részhalmaza A×A-nak ekvivalencia-relációnak nevezünk, ha teljesül, hogy a reláció: 1. re exív, azaz minden a ∈ A-ra teljesül, hogy a ∼ a 2. szimmetrikus, azaz minden a, b ∈ A-ra teljesül, hogy ha a ∼ b akkor b ∼ a 3. tranzitív, azaz minden a, b, c ∈ A-ra teljesül, hogy ha a ∼ b és b ∼ c, akkor a ∼ c.
1.2.22. De níció.
Ekvivalenciaosztályok
Az ekvivalenciaosztályok az A alaphalmaz azon x, y elemeinek halmaza, melyekre teljesül, hogy x ∼ y .
1.2.23. De níció.
Relációk szorzata
Egy R1 ⊆ A × B és R2 ⊆ C × D relációk szorzatán azt az R1 ◦ R2 ⊆ A × D relációt értjük, amely azoknak az (a, d) ∈ A × D elemeknek a halmaza, melyek esetén létezik olyan c ∈ B ∩ C , melyre aR1 c és cR2 d teljesül. [17]
1.2.24. De níció.
Faktorhalmaz
Ha R egy ekvivalenciareláció A-n, akkor az {R(x)|x ∈ A} halmazt, ahol R(x) az
x ∈ A elem ekvivalenciaosztályát jelöli, A/R-rel jelöljük, és A-nak az R-szerinti faktorhalmazának nevezzük. 13
A fenti halmazokra kimondott de níciók csoportokra is értelmezhet®k, de ezek közül csak a faktorcsoport de níciójára lesz szükségünk, így ezt vezetjük be a következ® de níciókon keresztül.
1.2.25. De níció.
Mellékosztályok
Legyen H a G részcsoportja, és a ∈ G. Ekkor az aH részhalmazt a G csoport
H részcsoport szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük. Az a ∈ aH az aH egy reprezentánsa.
1.2.26. De níció.
Normálosztó, normális részcsoport
Ha H részcsoport G-ben, és teljesül, hogy minden a ∈ G-re az a szerinti jobb- és baloldali mellékosztályok megegyeznek, azaz aH = Ha, akkor H -t normálosztónak, vagy normális részcsoportnak nevezzük. Jele: H C G Az el®z® de níciókból következik az alábbi állítás:
1.2.1. Állítás.
Kommutatív csoportban minden részcsoport normálosztó.
1.2.27. De níció.
Faktorcsoport
Ha N normálosztó G-ben, akkor N szerinti mellékosztályok csoportot alkotnak az alábbi m¶veletre nézve:
(aN )(bN ) := (ab)N Ezt nevezzük a G csoport N normálosztó szerinti faktorcsoportjának. Jele: G/N
1.2.2. Számelméleti fogalmak 1.2.28. De níció.
Kongruencia
Legyenek a és b egész számok, és m pozitív egész. Azt mondjuk, hogy a kongruens
b-vel, modulo m, ha m|a − b. [12] Jelölés: a ≡ b (mod m)
14
1.2.29. De níció.
Maradékosztály
Rögzített m modulus mellett az a-val kongruens elemek halmazát az a által reprezentált maradékosztálynak nevezzük. [12]
1.2.30. De níció.
Teljes maradékrendszer
Ha rögzített m modulus mellett minden maradékosztályból egy és csak egy elemet kiveszünk, akkor az így kapott számokat teljes maradékrendszernek nevezzük mod m. [12]
15
2. fejezet Matematikai formalizmussal meghatározott zenei fogalmak
Ebben a fejezetben a két, látszatra egymástól távoli terület közelítését láthatjuk. A matematika alapját a halmazelmélet axiomatikus felépítése adja. Adottak de niálatlan alapfogalmak, melyekb®l egy egész tudományt, magát a matematikát fel tudjuk építeni. Tekintsünk úgy a zenére, mint egy ilyen, még "fel nem épített tudomány"-ra, és próbáljuk meg alapfogalmakból kiindulva matematikai módszerekkel, és szemlélettel felépíteni azt. Ebben a fejezetben az els® fejezet néhány zeneelméleti de nícióját fogjuk formalizálni, és így újrade niálni, illetve ezek segítségével, még nem de niált fogalmakat is meg tudunk majd adni. Az els® fejezetben azért adtuk meg a fogalmak kicsit ugyan pongyola zeneelméleti jelentéseit, hogy ebben a fejezetben hivatkozhassunk rájuk. E témakör kidolgozásában Rudolf Wille [1] gondolatai voltak segítségemre.
2.1.
Zenei alapfogalmak
Ahhoz, hogy elméleti nyelven tudjunk beszélni, szükségünk van néhány de niálatlan alapfogalom bevezetéséhez. Ezek legyenek a hang és a hangmagasság. További alapfogalmak lehetnének a hangszín, a kiadott hang id®tartama, illetve a hanger®sség, ezekre most nem térünk ki, mert jelen dolgozatban csak egyparaméteres modellre szorítkozunk. A hangrendszer a zenei hangkészlet azon hangjaiból álló alaphalmaz, amelyb®l az 16
összes zenei m¶ megszerkeszthet®, és minden zenei struktúra ezen elemi épít®kövekb®l felépíthet®. A hangrendszerb®l származtathatók a skálák, harmóniák és esetleges dallamminták. [22] A fenti megállapítás egyik logikus elméleti következtetése, hogy nincs zenei hang a hangrendszeren kívül. A gyakorlatban persze el®állíthatók zenei hangok bizonyos hangszereken, (például a heged¶n), de a rendszer felépítésénél ki kell jelentenünk, hogy zeneelméletileg nem ismerhetünk el hangrendszeren kívüli hangokat. [22] A hangrendszer halmazelméleti fogalmakkal való felírásához vegyük a T halmazt, és egy h injektív leképezést {h : T → R+ }. Jelölje a hangrendszert egy rendezett pár:
(T ; h) . T elemeit nevezzük hangok -nak, és a h(t) érték pedig legyen a t hanghoz tartozó hangmagasság.
2.1.31. De níció.
Temperált hangrendszer
De niáljuk a (T ; h) hangrendszert a következ® szerint: t
T := {−48, −47, . . . , 35, 39} és h(t) := 440 · 2 12
(t ∈ T )
Ezzel megadtuk az Európában elterjedt temperált hangrendszert. [1]
2.1.1. Megjegyzés.
A zenében különös jelent®sége van emiatt alaphangnak is szokás
nevezni az A hangnak, aminek a frekvenciája 440 Hz. A többi hangot ehhez viszonyítva adják meg. Mechanikai hatásra a hangvilla rezg® ágai között is ez a hang szólal meg. Ezért a t = 0-hoz rendelt hangmagasság éppen 440 Hz.
2.1.2. Megjegyzés.
Mi alapján választottuk meg a T alaphalmazt?
A T halmaz lehetne végtelen elemb®l álló halmaz is, viszont akkor olyan hangokat is kapnánk, melyek nincsenek benne a fülünk által érzékelhet® tartományban. Viszont ha utánaszámolunk, akkor az is kiderül, hogy a megadott alaphalmaz jóval sz¶kebb, mint a hallható tartomány hangjai. Ennek oka nagyon egyszer¶: a skála de níciójában a hagyományos zongora billenty¶inek hangjait de niáltuk, a hangmagasság pedig a kiadott hang frekvenciájának felel meg Hz-egységekben. [21]
17
2.1.3. Megjegyzés.
Egy másik elterjedt skála: t
T := {0, 1, 2, . . . , 79, 80} h(t) := 100 · 5 25
(t ∈ T )
Ezt a skálát a modern közel-keleti zenében használják. Az ebben a hangrendszerben íródott dallamot makám-nak nevezik. [19] Ebben a de nícióban a hangmagasságot nem Hz-ben kapjuk meg, hanem centben, ami egy másik gyakran használt hangmagasságmértékegység. A fenti halmazelméleti de nícióval akármilyen hangrendszert de niálhatnánk. A gyakorlatban a fenti két példán kívül több hangrendszert is használnak a világban, melyek azonban az európai zenéhez szokott fülnek szokatlanok.
2.2.
További zenei de níciók
2.2.32. De níció.
Hangzat
Ha K halmaz T halmaznak egy véges részhalmaza, akkor K halmazt hangzatnak nevezzük. Ha |K| = n, akkor a a hangzatot n-hangzat-nak nevezzük. Egy n elemb®l álló rendezett hangzatot rendezett n-hangzat-nak nevezünk.
2.2.33. De níció.
Hangköz
A két hangból álló rendezett hangzatok esetén a hangzatban szerepl® két hang magasságának arányát hangköznek nevezzük. n = 2 és (t1 ; t2 ) rendezett pár esetén a hangközt a g : T 2 → R+ függvénnyel adhatjuk meg, [1] ahol
g(t1 ; t2 ) := h(t2 ) : h(t1 ).
18
2.2.2. Állítás.
Az oktávtól eltekintve g minden hangközhöz egy irracionális számot ren-
del. Bizonyítás : A hangköz de níciójából kiindulva t01
g(t1 ; t01 ) =
440 · 2 12 t1
=2
t01 −t1 12
440 · 2 12 Ha feltesszük, hogy 12 - t01 − t1 , akkor a kitev®ben racionális szám szerepel, ami azt jelenti, hogy g irracionális. Ha a kitev®ben a t01 − t1 osztható 12-vel, akkor a két hang távolsága oktáv vagy annak többszöröse.
19
3. fejezet Algebra a zenében
3.1.
Az temperált kromatikus skála struktúrája
A zene egy nagyon jelent®s és nélkülözhetetlen fogalma a skála, vagy más néven hangsor. A bevezet®ben de niáltam a fogalmat, most már csak az a feladatunk, hogy ezt matematikai formalizmussal megadjuk. A temperált kromatikus skálának 12 hangja van. Ezeket meg tudjuk adni a szokásos
(T ; h) hangrendszerben úgy, hogy vesszük az A ⊂ T részhalmazt, és a szokásos h függvénnyel megadva a különböz® frekvenciákat, a frekvenciákhoz a hangok elnevezéseit rendeljük. 2.1.1. megjegyzésben említettük, hogy történeti okok miatt az alaphang az A=440 Hz, és a de nícióból a frekvenciáját úgy kapjuk meg, hogy a t-t 0-nak választjuk. Következésképpen a temperált kromatikus hangsort úgy kaphatjuk meg, hogy a T alaphalmazból az A := {−9, −8, . . . , 2} részhalmazt kell kiválasztanunk ahhoz, hogy az ezen számokhoz tartozó hangmagasságok éppen a temperált hangsor hangjait adják meg. Ezzel egy probléma adódik, hogy 0-hoz nem a hangsor kezd®hangját, a C -t rendeltük.
20
3.1.1. A h függvény ekvivalens de níciója t
A további elemzések érdekében adjuk meg a h(t) = 440 · 2 12 függvény egy ekvivalens alakját: t
ˆ := 262 · 2 12 h(t) ˆ és h függvények közötti kapcsolat: Ah 262 · 2
t+9 12
t
= 440 · 2 12
Tehát az eredeti h függvényen függvénytranszformációt hajtottunk végre. Így az A alaphang helyett a hangsort C hangról tudjuk indítani.
A zeneelméletben a kro-
matikus skála szokásosan C-r®l indul. Ennek matematikai következménye, hogy ezzel az átalakítással A = {−9, −8, . . . , 2} halmaz helyett vehetjük Aˆ ⊂ T halmazt, ahol
Aˆ := 0, 1, 2, . . . 11. A
Aˆ
ˆ A) ˆ h(A) = h(
Név
-9
0
262
C
-8
1
277
Cisz
-7
2
294
D
-6
3
311
Disz
-5
4
330
E
-4
5
349
F
-3
6
370
Fisz
-2
7
392
G
-1
8
415
Gisz
0
9
440
A
1
10
466
Aisz
2
11
494
H
3.1. táblázat.
ˆ függvényekre A továbbiakban ezzel a módosított Aˆ halmazzal dolgozunk. A h és h a továbbiakban nem lesz közvetlenül szükségünk. 21
3.1.2. Az kromatikus temperált hangsor, mint csoport Azonosítsuk az Aˆ halmazban szerepl® számokat a neki megfelel® hangelnevezésekkel. Így a hangok helyett a 0, 1 . . . 11 számokkal számolhatunk. Elméleti síkon, mint ahogyan említettem, a T alaphalmaz elemszáma végtelen is lehetne. Ekkor T alaphalmaz éppen Z halmaznak felelne meg. Kézenfekv®nek t¶nik a temperált kromatikus hangsor hangjaira úgy tekinteni, mint az alaphalmaz vett elemei. Ezt a halmazt nevezzük a
mod 12
mod 12 vett maradékosztályok halmazának.
Vegyük észre, hogy a Aˆ elemei éppen ezek a maradékosztályok. De niáljunk egy m¶veletet az Aˆ halmazon!
Összeadáson értsük a következ®t:
a1 , a2 ∈ Aˆ esetén a1 ⊕ a2 := a1 + a2
(mod 12).
(Megjegyezzük, hogy az összeadás itt pusztán elméleti m¶velet, természetesen a valóságban így nem lenne értelme két hangot összeadni, hiszen ez azt jelentené, hogy a zongorán két billenty¶t lenyomva egy harmadik hangot hallanánk. Matematikailag azonban bevezethet®, és így érdekes dolgokat tudunk levezetni.)
3.1.3. Állítás. Aˆ halmaz a ⊕ m¶veletre nézve csoportot alkot.
[3]
Az állítást általánosan igazoljuk.
3.1.4. Állítás.
A
mod m vett maradékosztályok az ⊕ összeadásra nézve csoportot
alkotnak. Bizonyítás : A bizonyításhoz igazoljuk a csoportaxiómák teljesülését. Mivel a1 , a2 ∈ Z ebb®l következik, hogy (a1 + a2 ) ∈ Z, és létezik olyan k ∈ Z, hogy az a ˜ := a1 + a2 − km összeg eleme lesz a csoportnak, vagyis 0 6 a ˜ 6 m − 1. Az egész számok közötti összeadás asszociativitása miatt teljesül, hogy
(a1 + a2 ) + a3 ≡ a1 + (a2 + a3 ). Válasszuk az egységelemet 0-nak! Ekkor minden a ∈ Aˆ-ra teljesül, hogy
a+0≡a
(mod m) 22
Kell, hogy minden a ∈ Aˆ-ra létezik egy a−1 , hogy
a + a−1 ≡ 0
(mod m)
Mindkét oldalból levonva a-t kapjuk, hogy
a−1 ≡ −a ≡ m − a (mod m) Mivel 0 6 m − a 6 m − 1, ezért m − a ∈ Aˆ. Így megkaptuk, hogy a
mod m, (jelen esetben m = 12) vett maradékosztályok
+ csoportot alkotnak. Ezt Z+ m -al (Z12 ) jelöljük.
Mivel a kongruencia ekvivalenciareláció, ezért az összeadás kommutatív, tehát a Z+ 12 csoport Abel-csoport. + A fenti Z+ 12 csoport egy ciklikus a C12 csoport, hiszen van olyan g ∈ Z12 , hogy a g
generálja az egész csoportot. Jelen esetben g := 1 esetén < g >= Z+ 12 . Konklúzióként megkaptuk, hogy ahogyan a
mod 12 vett elemek, úgy a nekik
megfelel® hangok is sorban ciklikusan követik egymást. Tehát a C, Cisz, . . . , H hangok után ismét C, Cisz, . . . hangok következnek. Ez a zeneelméletben is így van. Ha a zongorára gondolunk, akkor észrevehetjük, hogy a 1.1. ábrán bemutatott minta a zongora klaviatúráján egymás után ismétl®dik, méghozzá hétszer. Matematikailag a ciklus végtelenszer ismétl®dik, de ennek a zenében zikai határai vannak. Az ötvonalas hangrendszerben a bevezet®ben de niált szabályt követve a hangsort lefelé és felfelé is folytathatjuk. Ha már az els® vonal alá kerülünk, vagy az ötödik vonal fölé, akkor úgynevezett pótvonalak segítségével tudjuk b®víteni a lekottázható hangok számát. A végeredmény tehát, hogy a kromatikus temperált skála 12 hangjából minden dallam el®állítható.
A skála hangjai, mint ekvivalenciaosztályok Az egész számok halmaza a szokásos összeadásra csoportot alkot. Mivel az összeadás kommmutatív, ezért Z Abel-csoport is. 23
Az egész számok részcsoportja a 12Z csoport, hiszen 12Z ⊂ Z, és 12Z csoport, hiszen bármely két 12-vel osztható szám összege osztható 12-vel, az összeadás asszociatív, az egységelem itt is a 0, és minden elem inverze az ellentettje. Mivel ez a csoport is kommutatív, ezért 1.2.1. értelmében 12Z normálosztó is. Vegyük az egész számok additív csoportját és faktorizáljuk a 12Z additív csoporttal. A kapott faktorcsoport Z/12Z éppen a
mod 12 vett teljes maradékrendszer. A teljes
maradékrendszer elemei éppen a faktorizálás ekvivalenciaosztályai. [3] Az egyes ekvivalenciaosztályok tehát a következ®k: C := 0 + 12Z, Cisz := 1 + 12Z,
. . ., H := 11 + 12Z. A zene nyelvén ez azt jelenti, hogy az egymástól 12 félhangra, azaz egy oktávra lév® hangok egy ekvivalenciaosztály tagjai. Ezen oknál fogva nevük megegyezik, de ennél fontosabb következmény, hogy nem különböztetjük meg ®ket egymástól. Azaz az oktávnyi távolságra lév® hangok annyira összetartoznak mind hangzásilag, és most már elméletileg is, hogy szinte ugyanarról a hangról beszélünk.
3.2.
A kvintkör
1 Feladat.
Vegyük a C12 csoportot, és keressük meg a generátorelemeit!
Az el®z® pontban láttuk, hogy az 1 generátoreleme, mert bármely n ∈ C12 el®áll, mint
1| + 1 +{z· · · + 1} n
3.2.5. Állítás.
Ciklikus Cm csoportban minden olyan elem, mely m modulushoz relatív
prím, generátoreleme a csoportnak. Bizonyítás : Ha g ∈ Cm relatív prím m-hez, azaz (m; g) = 1, akkor a legkisebb
k ∈ Z szám, melyre kg ≡ 0 (mod 12) éppen a modulus. Ha g nem lenne relatív prím a modulushoz, akkor nem generálhatná a csoportot, hiszen akkor az általa generált csoport minden tagja osztható lesz l = (m; g) számmal, azaz < g >6= Cm
24
l 6= 1
A feladat megoldásainak száma tehát négy, a generátorelemek pedig az 1, 5, 7, 11 számok. A generátorelemeket és az általuk generált teljes maradékrendszereket a 3.2 táblázat prezentálja:
(mod 12)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
5
5
10
3
8
1
6
11
4
9
2
7
0
7
7
2
9
4
11
6
1
8
3
10
5
0
11
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3.2. táblázat. Generáljunk most hangsorozatokat ezen generátorelemek segítségével, azaz a számoknak feleltessük meg a hozzájuk tartozó hangokat. Vizsgáljuk meg, hogy milyen hangsorozatokat kapunk. Az 1-el generált hangsor éppen a kromatikus temperált hangsor, ezzel nem foglalkozunk, ugyanúgy a 11-el generált hangsorral sem, hiszen ez ugyanez a hangsor fordított sorrendben véve a hangokat. Számunkra nagyobb jelent®séggel bírnak az 5-tel és 7-tel generált sorozatok. Vegyük az ezen generátorokkal generált sorozatokban a számokhoz tartozó hangokat. Az eredményt a 3.3 táblázat mutatja.
g=5 g=7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
5
10
3
8
1
6
11
4
9
2
7
0
F
B
Esz
Asz
Desz
Gesz
H
E
A
D
G
C
7
2
9
4
11
6
1
8
3
10
5
0
G
D
A
E
H
Fisz
Desz
Asz
Esz
B
F
C
3.3. táblázat. Hasonlítsuk össze a táblázatot a 3.1. ábrával!
25
3.1. ábra. Kvintkör
Induljunk ki a C hangtól, ami a kör tetején található. Ha negatív irányban haladunk a kör mentén, láthatjuk, hogy éppen a 7-es által generált teljes maradékrendszer hangjait kaptuk meg. [3] Ezt az objektumot nevezik a zenészek kvintkörnek, és a zenében nagyon nagy jelent®sége van. Azért nevezik kvintkörnek, mert a 7 távolság megegyezik a tiszta kvint hangközzel. A 7 + 5 ≡ 0 (mod 12) egyenl®ség teljesüléséb®l következik, hogy −7 ≡ 5
(mod 12). Ha most a másik irányban haladunk a kör mentén C-t®l kezdve, akkor megkapjuk a másik, az 5 generátor szerinti sorrendet, ami valóban ugyanaz, mintha a 7-tel generált kör mentén haladnánk visszafelé. Ezt kvartkörnek nevezik, mert az 5 távolság éppen a tiszta kvart hangköznek felel meg. Megjegyezzük, hogy ha a C -t®l két irányba indulunk el, akkor a hatodik lépésben a két irány találkozik a közös F ] = G[ hangnál. Ez a következ® levezetésb®l adódik. Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:
7 · 6 ≡ 42 ⇒ 42 − 30 = 12 ≡ 0 5 · 6 ≡ 30
26
(mod 12)
3.2.1. A kvintkör haszna a zenében A dalt a tonalitása azaz hangneme jellemzi. Ez azt jelenti, hogy a dal csak meghatározott törzshangokból épül fel, továbbá, hogy egy adott hangon (alaphang/tonika) végz®dik , és sok esetben ugyanezen a hangon is indul. A dal végén szerepl® tonika lezártságot ad a dallamnak. Szépnek, konszonánsnak, befejezettnek érezzük a dallamot. A tonalitás ezeket a törzshangokat és a tonikát határozza meg. [2] Egy egyszer¶ példán bemutatva:
Ł ˇ ˇ GS Ł ˇ ˇ ˇ ˇ
Ł ˇ ˇ Ł ˇ ˇ ˇ ˇ
Ö Ö ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
Ö Ö ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
A tonika határozza meg a dal el®jegyzéseit is (a ] és [ módosítójeleket, és számukat). A fenti egyszer¶ (Boci, boci c.) népdal alaphangja C, hiszen ezen a hangon végz®dik. A dal tehát C tonalitású. Ha a sor elejét tekintjük, akkor látjuk, hogy a dal kezd®hangja is C. Mivel a népdal hangneme C, így a sor elejére nem került el®jegyzés. Nézzük meg ugyanezt a dallamot de más alaphangról indulva. Kezdjük a dalt most G-r®l. A kottakép ekkor így alakul:
Ł ˇ ˇ Ł S G ˇ ˇ ˇ ˇ 4
Ł ˇ ˇ Ł ˇ ˇ ˇ ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Ö Ö ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ Ö Ö ˇ ˇ
Ahhoz, hogy maga a dallam ugyanaz maradjon, viszont egy magasabb G hangfekvésben halljuk, minden F hangot fél hanggal feljebb kell szállítani. Ezt mutatja a ] el®jegyzés a sor elején. Ha a dalt D-r®l kezdtük volna, akkor két kereszt került volna a sor elejére, ha A-ról, akkor három kereszt stb. Viszont ha F-r®l kezdenénk, akkor egy [ el®jegyzéssel indulna a kotta. Ezt a kvintkör jól reprezentálja. Ha a kör tetején lév® C-t®l jobbra indulunk, akkor a keresztes tonalitásokat látjuk, ha pedig balra indulunk akkor a [-s tonalitásokat. Attól függ®en, hogy hányadik helyen áll a C-hez viszonyítva az adott tonalitás bet¶jele, annyi el®jegyzés kerül majd a kotta elejére. A kör alján a sorok összeérnek, így tehát az, hogy hat ]-et vagy hat [-t látunk a kotta elején, az egymással egyenérték¶.
27
Azt, hogy adott tonalitásban mely hangok lesznek módosítva, onnan tudjuk, hogy a törzshangok egymástól vett távolságainak a korábban tárgyalt C hangnem¶ diatonikus hangsorban lév® távolságaival kell megegyeznie. 1
1
1
1
1
1
1
2 2 → F → − G→ − A→ − H− → C0 C→ − D→ − E−
Ezeknek a távolságoknak minden hangfekvésben rögzítettnek kell lennie a hangsorban. Tehát a távolságokat kiszámítva a módosított hangsorok törzshangjai 3.4 táblázat szerint alakulnak. Tonalitás
El®jegyzés
C
Törzshangok sorrendben C
D
E
F
G
A
H
G
]
G
A
H
C
D
E
Fisz
D
]]
D
E
Fisz
G
A
H
Cisz
A
]]]
A
H
Cisz
D
E
Fisz
Gisz
E
]]]]
E
Fisz
Gisz
A
H
Cisz
Disz
H
]]]]]
H
Cisz
Disz
E
Fisz
Gisz
Aisz
Fisz/Gesz
]]]]]]
Fisz
Gisz
Aisz
H
Cisz
Disz
F
Desz
[[[[[
Desz
Esz
F
Gesz
Asz
B
C
Asz
[[[[
Asz
B
C
Desz
Esz
F
G
Esz
[[[
Esz
F
G
Asz
B
C
D
B
[[
B
C
D
Esz
F
G
A
F
[
F
G
A
B
C
D
E
3.4. táblázat. A kvintkörben kapott tonalitásokat dúr hangnemeknek nevezzük. A tonikák után a kapott hangnemek neve C-dúr, G-dúr, F-dúr stb. Végeredményként megkaptuk, hogy ez az elegáns és matematikailag egyszer¶en megadható konstrukció, ami a zenészek és komponisták által egy automatikusan használt eszköz, egy pontos csoportelméleti következmény.
28
4. fejezet Együtt megszólaló hangok
A 2.1. fejezetben már de niáltuk az n-hangzat és a rendezett n-hangzat fogalmát, továbbá egy hangköz terjedelmét, azaz két hang távolságát. A hangzat de níciója magában foglalta, hogy az alaphalmazból tetsz®legesen kiválaszthatunk egy részhalmazt, az mindig hangzat lesz, az egyetlen kritérium, hogy a hangok egyszerre szólaljanak meg. Tehát, ha a zongorán kiválasztunk 10 billenty¶t, és ezeket a billenty¶ket egyszerre lenyomva megszólaltatjuk, akkor egy általános tizeshangzatot kapunk. Ezeket az általános hangzatokat szeretnénk ebben a fejezetben csoportosítani, osztályozni.
4.0.2. Harmónia A harmóniákat az egyszerre megszólaló hangok alkotják, de számuk a hangzatokénál jóval kevesebb, hiszen a harmóniák speciális hangzatok. Nem összekeverend® a laikus értelemben használt harmonikus szó az itt de niált harmóniával. A harmónia nem kell, hogy konszonáns (harmonikus) hangzatú legyen, azt is harmóniának hívjuk, ami disszonáns hangok összessége. A kritérium csak annyi, hogy több hang szóljon egyszerre. A harmóniákat más néven akkordoknak is nevezzük. [23]
1. Példa.
A harmónia fogalmát egy példán keresztül vezetjük be.
Lássuk a következ® két hangzatot: 29
ˇˇˇ
G ˇˇ ˇˇ ˇ ˇ Ha zongorán megszólaltatjuk a két hangzatot, akkor azt tapasztaljuk, hogy fülünk nem érez különbséget a két hangzás között. Mindkét akkord a C, E és G hangokból épül fel, csak a második egy oktávval magasabb C', E' és G' hangokat is tartalmaz. Fülünk számára azonban mindkét hangzat ugyanúgy szól, csak az egyik nagyobb hangtömeget képvisel, de harmonikus szempontból ugyanannak tekinthet®. Lássunk egy matematikai konstrukciót a fenti két különböz® hangzat invarianciájára! A harmóniák invarianciájának elégséges feltétele a harmóniahangok oktávcseréje. Az oktávcserék az elméleti nyelvben kétoldali relációként értelmezhet®k. A relációt jelöljük Ω-val.
34. De níció.
Hangzatok halmaza
Legyen k(T ) az összes, a temperált (T ; h) hangrendszerben képezhet® összes hangzat halmaza.
35. De níció.
Oktávcsere (Ω)
Legyen Ω a k(T ) halmazon értelmezett reláció. Ekkor minden
K, K 0 ∈ k(T )-ra
KΩK 0 fennáll, ha minden t1 ∈ K , t02 ∈ K 0 -höz található t01 ∈ K 0 , t2 ∈ K és z1 , z2 ∈ Z, melyekre g(t1 , t01 ) = 2z1 és g(t2 , t02 ) = 2z2 .
KΩK 0 tehát azt jelenti, hogy K 0 hangzat K hangzatból és ugyanúgy K hangzat K 0 hangzatból egyes hangok oktáváthelyezésével származtatható.
2. Példa.
Vegyük a következ® két hármashangzatot: 1.
2.
ˇ
ˇ G ˇˇ
G ˇ ˇ
Legyen a (T ; h) hangrendszer a temperált hangrendszer. Ekkor mindkét hangzat
∈ k(T ). Az 1gyel jelölt hangzatot jelölje K , a 2vel jelölt hangzatot pedig K 0 . Mindkét hangzat három hangból áll, és ebb®l kett®-kett® a két hangzatban megegyezik. A két 30
harmadik hang között éppen egy oktávnyi távolság van. Ekkor a de níció szerint KΩK 0 , hiszen kizárólag oktávcserékkel az egyik hangzatból megadható a másik. A két hangzat a
T alaphalmaz két részhalmaza: K, K 0 ⊂ T
K = {−9; −2; 7} K 0 = {−2; 3; 7}
Látható, hogy a két halmaz csak egyetlen elemében tér el. Legyen
t1 := −9 t01 := 3 Ekkor
t01
g(t1 ; t01 ) =
440 · 2 12 t1 12
t01
t1
= 2 12 − 12 = 2
3−(−9) 12
440 · 2 Tehát z1 = 1 ∈ Z, így a kívánt feltétel teljesül.
6. Állítás.
= 21
Igazoljuk, hogy Ω ekvivalenciareláció.
Bizonyítás : Az állítások könnyen igazolhatók az oktávcsere de níciója alapján. De níció szerint
g(t; t) =
h(t) = 20 h(t)
Mivel 0 ∈ Z ezért ez a feltétel teljesül. Ha teljesül, hogy
g(tK ; tL ) =
h(tL ) = 2tL −tK = 2z h(tK )
akkor
g(tL ; tK ) =
h(tK ) = 2tK −tL = 2−z . h(tL )
Mivel z ∈ Z, ezért −z ∈ Z. Ha teljesül a következ® két feltétel:
g(tK ; tL ) = 2i és
g(tL ; tM ) = 2j akkor igaz, hogy
g(tK ; tM ) = 2i+j . 31
Mivel i, j ∈ Z, ezért i + j ∈ Z. Mivel Ω ekvivalenciareláció, ezért a létrehozhatjuk k(T )/Ω faktorhalmazt.
36. De níció.
A k(T )/Ω elemeit, azaz Ω ekvivalenciaosztályait nevezzük harmóniák-
nak. A zene nyelvére lefordítva tehát oktávcsere erejéig két hangzatot egymással egyenérték¶nek tekintünk.
4.0.3. Hangzatforma 3. Példa.
Vegyük a következ® két hármashangzatot: 2. 1.
G 4ˇˇˇ
G ˇˇˇ
A fenti 4.0.2 de níció alapján nem igaz, hogy ez a két hangzat egymással invariáns lenne, azaz nem taroznak egy harmóniába, hiszen kizárólag oktávcserékkel nem lehetne az egyiket a másikká átalakítani. A két hangzat között azonban mégis van hasonlóság, mégpedig az egyes hangok közötti távolságok. A legmélyebb hang és a középs® hang közötti távolság nagy terc, a legmélyebb és a legmagasabb hangok távolsága pedig tiszta kvint. Tehát a két hangzat "felépítése" megegyezik. A két hangzat közötti kapcsolat feltárásához be kell vezetnünk a transzponált fogalmát.
37. De níció.
De niálja az r-rel való transzponálást egy (T ; h) hangredszerben
értelmezett τr : T → T
(r ∈ R+ ) függvény, [1] ahol τr := {(t1 ; t2 )|t1 , t2 ∈ T
g(t1 , t2 ) = r}
A transzponálás egy injektív, m¶velettartó leképezés, T -b®l T -be, de általában az értelmezési tartomány nem az egész alaphalmaz D(τr ) 6= T , hiszen nem szükségszer¶ az egész hangsort transzponálni. A hangrendszerek transzponálásának feltételével egy kétoldali relációt de niálhatunk k(T )-n. 32
38. De níció.
Legyen Φ olyan reláció, ahol K, K 0 ∈ k(T ) esetén KΦK 0 teljesül, ha
létezik egy r ∈ R+ , hogy τr (K) = K 0 . Ez azt jelenti, hogy egyik hangzat a másikból transzponálás útján megkapható és fordítva. (Lásd az el®bbi példát, amelyben a C, G, E hangok egy egészhanggal feljebb való transzponálása során megkapjuk, a D, Fisz, A hangokat.)
7. Állítás. Φ ekvivalenciareláció k(T ) halmazon. Bizonyítás : Itt szintén az ekvivalenciareláció három tulajdonságát igazoljuk. Legyen r := 1, ekkor τr (K) = K . Ekkor minden K ∈ k(T ) esetén KΦK. Ha K, L ∈ k(T ) és KΦL, akkor létezik r ∈ R+ hogy τr (K) = L. Vegyük 1/r ∈ R+ -t, ekkor teljesül, hogy τ1/r (L) = K , tehát LΦK. Ha K, L, M ∈ k(T ) és teljesül, hogy KΦL és LΦM , akkor létezik olyan r, q ∈ R+ , hogy τr (K) = L és τq (L) = M . Ekkor igaz, hogy τrq (K) = M , tehát KΦM . Mivel Φ szintén ekvivalenciarelációnak bizonyult k(T )-n, vegyük a k(T )/Φ faktorhalmazt.
39. De níció. Φ
ekvivalenciaosztályait, azaz a transzponálásra invariáns alakzatokat
hangzatformáknak nevezzük. Ez azt jelenti, hogy a hangzatokat transzponálás erejéig egymással invariánsnak tekintjük, azaz a hangzatban a hangok rögzítése helyett a köztük lév® távolságokat rögzítjük. Nevezetes hangzatformákra példa az összes hangköz, továbbá a dúr illetve moll hármashangzat-formák. A
dúr
hármashangzat
[alaphang+tiszta
kvint],
míg
felépítése: a
[alaphang],
moll-hármashangzat
[alaphang+kis terc], [alaphang+tiszta kvint].
[alaphang+nagy felépítése:
terc],
[alaphang],
A hármashangzatok közül fontos
megemlíteni még a sz¶kített és a b®vített hármashangzatokat. A négyeshangzatok közül példaként megemlíthet® a domináns szeptimakkord. A lista természetesen nem 33
teljes, hiszen a hangzatformáknak elég sok variációját el®állíthatjuk, itt most csak a legfontosabb hangzatformákat soroltuk fel. Az el®bbi példák szemléltetése a következ® ábrán látható C alaphanggal. Az els® sorban a hangközök, a második sorban pedig rendre a dúr-, moll-, sz¶kített és b®vített hármashangzatok, illetve a domináns szeptimakkord négyeshangzat szerepel.
G 2ˇ ˇ 2ˇ ˇ ˇ 2ˇ ˇ 2ˇ ˇ 2ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ G ˇˇˇ 2ˇˇˇ 2ˇ2ˇˇ 4ˇˇˇ
ˇˇ ˇˇ
4.0.4. Harmóniaforma 4. Példa.
Példaként vegyük a következ® két hangzatot:
4ˇˇˇ G ˇˇˇ 4ˇˇˇ A fenti de níciók alapján már tudjuk, hogy oktávcserékkel és transzponálással a két hangzat egy alakra hozható. (Ha második hangzatot egy egészhanggal letranszponáljuk, és a három legfels® hangot egy oktávval lejjebb szállítjuk, akkor éppen az els® hangzatot kapjuk.) Vezessük be a Ω ◦ Φ relációt k(T )-n. Az el®z®ek alapján, ha minden t1 ∈ K -hoz létezik egy t2 ∈ L és z ∈ Z, hogy g(t1 , t2 ) = 2z akkor KΩL. Továbbá, ha létezik olyan
r ∈ R+ , hogy minden t2 ∈ L-hez létezik t3 ∈ K 0 , hogy g(t2 , t3 ) = r, akkor LΦK 0 . Ezek alapján K(Ω ◦ Φ)K 0 fennáll, ha minden t1 ∈ K -hoz létezik z ∈ Z, r ∈ R+ és t3 ∈ K 0 , melyre teljesül, hogy g(t1 , t3 ) = 2z r.
8. Állítás. Ω ◦ Φ is ekvivalenciareláció K(T )-n. Bizonyítás : Az el®z®ek alapján ez triviálisan következik.
34
4.1.
Következmények
Ebben a fejezetben bevezettünk különböz® fogalmakat, melyekkel egyszer¶bbé tettük a hangok világát, és egyfajta rendezettséget hoztunk létre a hangzatok között. A fenti de níciók természetesen tetsz®legesen de niált skálára igazak, mi azonban az eddig is használt temperált skála rendszerével dolgozunk, és a példákat is ebb®l a skálából hoztuk. A transzponálás és oktávcsere fogalmak bevezetésekor azonban kihasználtuk, hogy a már mindenki számára ismert C-Cisz-D-Disz-E-F-Fisz-G-Gisz-A-Aisz-H kromatikus temperált hangsor minden egyes hangja egy adott rögzített frekvenciához tartozó hangmagasság elnevezése.
4.1.4. Megjegyzés.
A zene elméletben gyakran találkozunk a dó-ré-mi-fá-szó-lá-ti
szolmizációs hangsorral. Jogosan merül fel a kérdés, hogy mi a különbség a szolmizációs hangsor, és a fenti rögzített frekvenciájú hangokból álló temperált hangsor között. Amint azt fent említettük a temperált skála hangjai rögzített hangmagassághoz (frekvenciához) tartoznak, tehát például az A hang alatt a 440 Hz frekvencián megszólaló hangot értjük. A szolmizációs hangsorban a hangok frekvenciája nem kötött, tehát ez a hangsor a temperált hangsorból, és annak transzponáltjaiból áll. A hangok távolsága a két skálában megegyezik. A szolmizáció tehát nem a hangokról, hanem a hangviszonyokról ad információt. Így tehát a szolmizációs skálára úgy is tekinthetnénk, mint a hétfokú (diatonikus) skála hangzatformájára, viszont a skála és a hangzat fogalmak között zenei értelmezésbeli különbség van, (az egyikben a hangok egyszerre szólalnak meg, a másik pedig sorozat), így ezt nem tesszük meg. Miért van szükség a szolmizációs skálára? Attól függ®en, hogy egy adott dallamnak mi a tonikája, ezt feleltetjük meg a dó szolmizációs hangnak. Így, ha egy dalt különböz® hangnemekbe transzponálunk, (lásd 3.4. táblázat), a szolmizált alakja ugyanaz marad.
4.1.5. Megjegyzés.
A harmóniák és harmóniaformák szisztematikus kombinatorikus
rendszerezését jelen dolgozatban nem teszem meg, hiszen egy hasonló témájú munkát találhatunk Ádám András [9] szerkesztésében. A cikk témája éppen a harmóniaformák áttekintése és táblázatba foglalása. A szerz® a harmóniaforma helyett a hangkészlet kifejezést használja, viszont ez a szóhasználat jelen munkában ellentmondásba ütközne azzal, 35
hogy a bevezetésben hangkészlet alatt az összes képezhet® hangot de niáltuk. A szerz® a cikkben ugyanúgy oktávcserére invariánsnak tekinti a hangokat, és a transzponálás segítségével (azt m¶veletnek tekintve) alakít ki osztályokat, rendszerezve a harmóniaformákat.
36
5. fejezet Nem-temperált kromatikus skálák
5.1.
A hangok zikája
A nem temperált skálák bevezetéséhez el®ször is vizsgáljuk meg, hogy zikailag mi történik egy hang megszólalásakor.
Kísérleti tapasztalat, hogy hangot akkor hal-
lunk, hogy ha valamely rezg® test, más szóval hullámforrás, megfelel® intenzitású és frekvenciájú hullámai a közvetít® közeg nyomásingadozásai révén hangingert, majd hangérzetet váltanak ki bennünk. A hangforrás általában valamilyen rezg® test, vagy közeg. (Például a rezg® hangvilla ága, rezg® gitárhúr, a sípokban rezg® leveg®oszlop.) A bevezet®ben említettem, hogy egy hangot akkor nevezünk zenei hangnak, ha a rezgés periodikus. A hang tehát hullámjelenség, s mint ilyen, a következ® függvénnyel jellemezhet®: [6]
y(x, t) = A sin(ωt − kx) Az A, ω és k paraméterek, míg x változó a vízszintes helykoordináta, t pedig az id® változását jelöli. y függvény a hullám kitérését adja meg adott t id®pillanatban adott
x helyen. A hang, ahogy az egyenletb®l is látszik, szinuszosan változó periódikus hullámként terjed. A periodicitás miatt további paraméterekkel is jellemezhet®, úgy, mint T periódusid® (egy periódus megtételéhez szükséges id®), λ hullámhossz, (az a távolság mely
37
alatt a hullám egy periódusa lezajlik), és az f frekvencia, (id®egység alatt megtett periódusok száma). A hullám id®-kitérés függvénye 2
sin(x)
1.5 1 0.5 Kitérés 0 -0.5 -1 -1.5 -2
0
2
4
6
Id®
8
10
12
14
Fontosnak tartom megemlíteni, hogy a hang a longitudinális hullámok csoportjába tartozik, melyekre fennáll, hogy a rezgések a haladás irányában keletkeznek, ellentétben a transzverzális hullámokkal, melyeknél a rezgések a haladási irányra mer®legesek. A fenti egyenlet a longitudinális hullámokra is igaz, csak az y értelmezése módosul. Ebben az esetben nem a haladási iránytól való kitérést, hanem az x-re mer®leges rezgési síkok kitérését fogja jelenteni. [6]
5.1.1. Két hang együttes rezgése Vizsgáljuk meg, mi történik, ha két különböz® frekvenciájú hangot egyszerre szólaltatunk meg. A két szinuszfüggvényt indítsuk az origóból! Mikor fog a két függvény újra y = 0-ban találkozni?
5.1.5. Példa.
Tegyük fel, hogy az egyik hang hullámhossza λ1 = 2 a másiké pedig
λ2 = 3. Azaz az egyik hullám 2, a másik 3 id®egység alatt tesz meg egy periódust. A két hullám közös állapotba kerüléséhez a két hullámhossz legkisebb közös többszörösének, azaz 6 id®egységnek kell eltelnie. (5.1. ábra) A hullámhossz, mint azt a zika elmélete levezeti fordított arányosságban áll a frekvenciával, és az arányossági tényez® a hullám terjedési sebessége, (jelen esetben c = 38
5.1. ábra.
340m/s). A c = λf képlet jellemzi a összefüggést. Így a fenti jelenség akkor is fennáll, ha hullámhossz helyett frekvenciáról beszélünk. Ha két hangot együtt szólaltatunk meg, vagyis kettes-akkordot vagy hangközt hozunk létre, akkor a hangközt tudjuk úgy jellemezni, mint a frekvenciák arányát. Ez a modell teljesen beleillik a 2.2.33. de nícióban megadott hangköz-de nícióba, miszerint, hogyha a hangközben szerepl® két hang hangmagasságainak arányát vesszük, akkor megkapjuk a hangköz terjedelmét. A fenti de níció és e tapasztalati meghatározás közti különbség abban rejlik, hogy a 4. fejezetben a g(t1 ; t2 ) irracionális szám is lehetett, itt viszont g(t1 ; t2 ) ∈ Q+ .
5.1.6. Példa.
Vegyük a 440 Hz frekvencián megszólaló A hangot, és a 880 Hz mag-
asságú A' hangot. A két frekvencia aránya 2:1. Így tehát azt kapjuk, hogy az oktáv hangköz ezzel a hányadossal jellemezhet®. Tehát e modell szépsége az egész számok közti arányosságokon múlik. A két modell összehasonlítását majd a 6. fejezetben láthatjuk. A következtetés tehát az, hogy minden hangköz adott aránnyal jellemezhet®. Ezt kísérletileg is tudjuk igazolni, mégpedig a következ®képpen: ha egy gitárhúrt éppen a felénél fogunk le, akkor a húr hangját egy oktávval feljebb halljuk. Ha a húrt a 2/3nál fogjuk le, akkor tiszta kvintet hallunk. Ha a 3/4-nél, akkor tiszta kvartot. Az eredeti kísérletet Püthagorasz és tanítványai végezték egy egy húrból álló monochord nev¶ hangszeren. Ez alapján készítették el a püthagoraszi skálát, melyet a következ® alfejezetben fogunk részletesen tárgyalni. [10]
39
5.2.
A Püthagoreusok számelmélete a zenében
Sokszor halljuk a kifejezést: Már az ókori görögök is. . . A zene megalapozása szintén a görögökhöz köthet®, hiszen t®lük maradtak fenn a legkorábbi zeneelméleti-számelméleti alapok. Püthagorasz tanítványaival különböz® hosszúságú kifeszített húrokat megpendítve kísérletezett, és arra a felismerésre jutott, ahogy ezt fent már említettem, hogy a konszonáns hangzatok hangzásakor a húrhosszak aránya rendre: 2 : 1,
3 : 2,
4 : 3.
Összesen két alaphangközt a kvintet és az oktávot használva felépítettek egy skálát, melyet róluk püthagoraszi skálának neveztek el. [7] Észrevették továbbá, hogy két hangköz kivonásával, egy harmadik hangköz nyerhet®, méghozzá a kvart:
oktav − kvint = kvart Két hangköz összeadásának, illetve kivonásának megfeleltethet® a hangközöket jellemz® húrarányszámok szorzata, illetve hányadosa, jelen példában:
(2 : 1) : (3 : 2) = (4 : 3) A mi értelmezésünkben az arányszámokhoz nem a húrhosszakat, hanem a megfelel® rezgésszámokat rendeljük: C 0 : 528Hz
C : 264Hz
F : 352Hz
G : 396Hz Ezekkel a
számokkal a fenti arany arányt kapjuk:
528 : 396 = 352 : 264 Itt az alaphanghoz tartozik a legkisebb szám, és a fels® oktávjához a legnagyobb. (Ez megfelel a zika törvényeinek, miszerint a hullámhossz, így a húrhossz is fordítottan arányos a frekvenciával.) Ezekb®l az elemekb®l épül fel a püthagoraszi hangsor. A hangokat C hangról induló kvintugrásokkal kapjuk meg, és amennyiben C 0 -nél magasabb hangot kapnánk, akkor azt egy oktávval lejjebb transzponáljuk. C -t kezdetben de niáljuk 1-nek. Az ·3
·3
2 2 → G(3/2). Innen G(3/2) − → D0 (9/4)-t kapjuk. Ez a hang els® kvintugrás C(1) −
már több, mint egy oktáv távolságra van az alap C -hez képest, ezért egy oktávval lejjebb transzponáljuk. Így kapjuk meg D(9/8)-ot. Az algoritmust folytatva eljutunk 40
Hang neve
C
D
E
F
G
A
H
C'
Alaphanghoz való arány
1
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2
5.1. táblázat. A püthagoraszi skála Hang neve
C
D
E
F
G
A
H
C'
Alaphanghoz való arány
1/1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2/1
5.2. táblázat. A BolyaiBaumgartner féle skála
H(243/128)-hoz. Az algoritmus végtelenig való folytatásának azonban nincs értelme, hiszen az alaphang hatványát sohasem kaphatjuk meg. Az algoritmus elvégzésével a 5.1 táblázatban bemutatott skálát kaptuk meg. [14] A 15. századig ezt a hangsort, illetve ennek egy változatát használták.
5.3.
BolyaiBaumgartner-féle diatonikus skála
Bolyai Farkas (17751856) és a Bolyai János (18021860), ahogy már az el®szóban említettem, mélyrehatóan foglalkoztak zeneelmélettel. Olyannyira, hogy komoly zeneelméleti újításaik voltak. Többek között Bolyai Farkas volt az, aki a püthagoraszi hangsort módosítva egy új hangsort vezetett be. Farkas hétfokú, míg János már tizenkét fokú hangsorral dolgozott. A Bolyai Farkas által módosított hangsort a 5.2 táblázat mutatja. [13] Ez azért jobb mint a püthagoraszi skála, mert az arányokban szerepl® számok jóval kisebbek. Matematikailag az 5-ös szám is helyet kap a prímfelbontásukban. Így az összes arányszám számlálója és nevez®je a 2, 3 és az 5 számok hatványainak szorzataként áll el®. [7] A 5.3 táblázat Bolyai János tizenkét fokú hangsorát mutatja. [13] A táblázatban látjuk, hogy az arányokat jellemz® törtek számlálóját és nevez®jét szintén a 2, 3 és 5 prímek szorzatkombinációiból kapjuk.
41
Név
Frekvencia az el®z® hanghoz
Frekvencia az alaphanghoz
Hányados
C
16/15
1/1
1
desz
16/15
16/15
1,066. . .
D
135/128
9/8
1,125
esz
16/15
6/5
1,2
E
25/24
5/4
1,25
F
16/15
4/3
1,333. . .
gesz
135/128
45/32
1,40625
G
16/15
3/2
1,5
asz
16/15
8/5
1,6
A
25/24
5/3
1,66. . .
bé
16/15
16/9
1,77. . .
H
135/128
15/8
1,825
C
16/15
2/1
2
5.3. táblázat.
5.4.
Konszonancia
5.4.1. A konszonanciafok kialakulásának matematikatörténete A zeneelmélet talán legvitatottabb fogalma, mely már az ókortól, mint már láttuk, a görögökt®l kezdve foglalkoztatta a tudósokat a konszonancia fogalma. Ahogy ezt már a bevezet®ben láttuk, a fogalom hangok egybecsengését, összetartozását jelenti, és mint olyan, szubjektív fogalom. Azokat a matematikusokat, akik fogalalkoztak zenével szinte mind foglalkoztatta a konszonancia problémája. A legalapvet®bb feltett kérdés az volt, hogy le lehet-e írni a konszonancia jelenségét matematikai nyelv segítségével, egyáltalán, van-e tudományos alapja a "szépenhangzásnak", vagy ez csak amolyan szubjektív érzület lenne, hogy együtt megszólaló hangokat szépnek tartunk-e vagy fogcsikorgatónak? A megragadhatatlan fogalmat a matematikusok mind úgy próbálták modellizálni, hogy a konszonanciára úgy tekintettek, mint mennyiségre. Ezáltal akarták egy arány referenciához 42
viszonyított konszonanciafokát megadni, azaz egy mennyiséggel jellemezni, hogy mennyire tiszta az akkord. (Pontosabb de níciót lásd 5.4.2-ben.) Egy másik probléma volt, hogy hogyan lehetne konszonancia szempontjából csoportosítani a hangközöket. A következ® fejezetekben erre is választ fogunk kapni.
Giovanni Battista Benedetti A konszonanciafok fogalmának bevezetéséhez hadd ismertessem meg az olvasót Giovanni Battista Benedetti (15301590) olasz matematikus hipotézisével, miszerint egy hangköz konszonanciafoka attól függ, hogy mennyi az aránypárban szerepl® két egész szám legkisebb közös többszöröse. [8] Ez azzal egyenérték¶, hogy mekkora az az eltelt id®, míg a két hanghullám ismét azonos fázisba kerül (azaz az egyik "utoléri" a másikat). Minnél kisebb a legkisebb közös többszörös, annál tisztább, szebb, összehangzóbb a hangköz. Így azt kapta, hogy 1:1 2:1, 3:2, 4:3, 5:3, 5:4, 6:5, 7:5, 8:5 stb. hangközök a legszebbek a legkonszonánsabbtól haladva a disszonánsabbak felé. Az elmélete ott bukott meg, hogy a 7:5 arány, melyet a zenében nem is használnak, konszonánsabbnak adódott, mint a kis szext hangköz (8:5). Az elmélet azonban azt igazolta, hogy a konszonancia relatív, nem egzakt hangokhoz köt®dik, hanem arányokhoz, illetve azt is bebizonyította, hogy minnél nagyobb számokat választunk, annál hamisabb a hangköz.
Beeckman és Mersenne Az elméletet Isaac Beeckman (15881637) és Marin Mersenne (15881648) nomították. k azt mondták ki, hogy az aránypár két tényez®jét összeadva is monoton növekv® sorozatot kell kapnunk, ahogy ezt a 5.4 táblázatban is igazolva látjuk. [8] Elméletükben az is szerepel, hogy hogyan tudjuk osztályozni a konszonanciafokokat. A hangközöket a zeneelméletben három csoportra osztják: tökéletes, tökéletlen és disszonáns hangközök. [2] Az osztályozás alapja a prímfaktorizáció. Az arányok számlálóit és nevez®it prímszámok szorzatára bontva azt már megállapítottuk, hogy a felbontásban csak a 2, 3 és 5 príszámok szerepelnek. Vegyük észre, hogy a tökéletes hangközök arányainak prímfelbontásában csak a 2, és a 3 szerepel alacsony kitev®re emelve. A nemtökéletes hangközöknél már az 5 is szerepel, de itt is csak alacsony kitev®re emelve. A 43
Név
Arány
Összeg
Prímfelbontás
Legnagyobb prímtényez®
Tökéletes hangközök Prím
1:1
1+1=2
1
3
Oktáv
2:1
2+1=3
2
3
Tiszta kvint
3:2
3+2=5
3/2
3
Tiszta kvárt
4:3
4+3=7
22 /3
3
Tökéletlen hangközök Nagy szext
5:3
5+3=8
5/3
5
Nagy terc
5:4
5+4=9
5/22
5
Kis terc
6:5
6+5=11
2 · 3/5
5
Kis szext
8:5
8+5=13
23 /5
5
Disszonáns hangközök Nagy szekund
9:8
9+8=17
32 /23
5
Nagy szeptim
15:8
15+8=23
3 · 5/23
5
Kis szeptim
16:9
16+9=25
24 /32
5
Kis szekund
16:15
16+15=31
24 /3 · 5
5
Sz¶kített kvint
64:15
64+15=79
26 /3 · 5
5
5.4. táblázat. A hangközök aránnyal való jellemzése disszonáns hangközöket pedig szintén a 2, 3 és 5 prímek szorzataként kapjuk, de úgy, hogy a kitev®k összege nagyobb, mint 5. Pontosabb csoportosítást kés®bb láthatunk majd. (Ld. 5.4.2)
Leonhard Euler A 18. század matematikusa, Leonhard Euler (17071783) szintén foglalkozott a konszonancia problémájával. [11] Adott
n = pα1 1 pα2 2 · · · pαmm
44
prímfelbontású egész számhoz a következ® számelméleti függvénnyel de niálta a konszonanciafokot.
d(n) = α1 (p1 − 1) + α2 (p2 − 1) + · · · + αm (pm − 1) + 1,
d(1) := 1
Ha a szám prím n = p, akkor a függvény d(n) = 1(p − 1) + 1 = p, tehát a függvényérték önmaga. Az is el®fordulhat, hogy m 6= n esetén d(m) = d(n), tehát a függvény nem bijektív. E függvénnyel Euler minden egész számhoz hozzárendelt egy konszonanciafokot. Egy intervallum konszonanciafokát úgy de niálta, hogy az arányban szerepl® számok legkisebb közös többszörösét vette, és ehhez rendelt konszonanciafokot.
d(a : b) := d(lkkt(a; b)) Ezzel a módszerrel nem csak két hang, hanem több hangból álló hangzat konszonanciáját is meg tudta adni. A módszer kis számokra jól m¶ködött, ezt szemlélteti a 5.4.1 táblázat: a:b
d(a:b)
név
2:1
2
oktáv
3:2
4
kvint
4:3
5
kvart
5:4
7
nagy terc
6:5
8
kis terc
5.5. táblázat.
A módszer két ok miatt bukott meg. Az egyik, hogy különböz® hangközöknek ugyanakkora volt a konszonanciafoka, (például kis szekund, és kis szext). A másik ok pedig, hogy a legkisebb közös többszörös az akkordok konszonanciafokát jelent®sen növelte, így egy szépenhangzó akkordhoz tartozó konszonanciafok nagyobb volt, mint egy disszonáns hangközé.
45
5.4.7. Példa.
A C, E, G hangokból álló dúr akkordot a 4:5:6 arány határozza meg.
Konszonancia szempontjából ez a zeneelmélet egyik legkitüntetettebb akkordja. Ennek a konszonanciafoka Euler függvényének segítségével számolva d(4 : 5 : 6) = 9, míg ha kiszámoljuk a kis szekund hangközét, ami a zeneelmélet szerint a disszonáns hangközök közé tartozik, akkor d(8 : 9) = 8.
5.4.2. Egy mai konszonanciade níció A rengeteg próbálkozás ellenére olyan de níciót, mely minden elvárást ki tudna elégíteni, máig sem találtak. Ebben a fejezetben egy olyan matematikai de níciót használunk a konszonanciára, melynek segítségével igyekszünk a legtöbb feltételnek eleget tenni. A de nició konstruálása során arra fogunk törekedni, hogy minden hangzathoz egy természetes számot, mint konszonanciafokot rendeljünk, amely a hangzat hangjainak egymáshoz való hasonlóságának mér®száma lesz.
A hozzárendelésnek invariánsnak
kell lennie a transzponálásra, hiszen egy hangköz konszonanciája nem függhet az ®t "határoló" hangokból. Keressünk egy leképezést a ketteshangzatok terjedelmének halmazából a természetes számok halmazába. Az értelmezési tartomány legyen a Q+ hiszen ebben a fejezetben úgy foglalkozunk a hangokkal, mint egész számok arányai. A leképezésnek négy feltételnek kell megfelelnie: [1] 1. f (q) = f (2z q) ∀q ∈ Q+ z ∈ Z 2. f (q) = f ( 1q )
∀q ∈ Q+
3. f (u) 6 f ( uv ) minden u, v páratlan számra, ahol lnko(u; v) = 1 4. f (u) < f (u + 2) minden u páratlan szám esetén. Az (1) feltétel azt mondja ki, hogy a kívánt konszonanciafoknak harmonikus fogalomnak kell lennie. (2) felteszi, hogy a rendezett ketteshangzatokban a konszonanciafok független a hangok sorrendjét®l. (3)-t úgy értelmezhetjük, hogy a felharmonikus sorban egy hang semelyik másik hanghoz nem hasonlít jobban, mint az alaphanghoz. 46
(4) szerint az alaphanghoz való hasonlóság a felharmonikus sorban való növekedéssel (eltekintve az oktávismétlésekt®l) csökken. (Felharmonikusnak nevezzük azokat a hangmagasság-értékeket, amelyet egy a hosszának felében, harmadában, negyedében stb. megrezegtetett húr vagy leveg®oszlop szólaltat meg. Áttérve a frekvenciákra, azokat a frekvenciákat nevezzük felharmonikusoknak, melyeket a kezdeti hang egész számú többszöröseiként nyerünk. Alább látható a felharmonikus hangsor. A hangsor C-t®l indul, és négy oktávnyi távolságot ölel át. A hangsorban szerepl® hangok a legels®
C hang frekvenciájának egész számú többszöröseiként állnak el®.)
G ˇ ˇ ˇ1
2
3
ˇ
ˇ
ˇ 2ˇ 6ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2ˇ ˇ
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
A fenti négy feltételt Rudolf Wille szerint a következ® k : Q+ → Z függvény kielégíti:
k(q) = 12 (max{u; v} − 1) ahol q := 2z uv , u, v páratlan számok, valamint u és v relatív prímek. Ezután egy (t1 , t2 ) rendezett ketteshangzat konszonanciafokát a következ®képp de niáljuk:
k(g(t ; t )) ha g(t ; t ) ∈ Q+ 1 2 1 2 k(t1 ; t2 ) := ∞ egyébként
Alkalmazzuk a függvényt a 5.4 táblázatban szerepl® törtértékekre! Ekkor a következ® eredményeket kapjuk (5.6 táblázat). q
1 1
2 1
3 2
4 3
5 3
5 4
6 5
8 5
9 8
15 8
16 9
16 15
64 45
k(q)
0
0
1
1
2
2
2
2
8
14
8
14
44
5.6. táblázat.
Hasonlítsuk össze a 5.4 táblázat szerinti csoportosítást és a 5.6 táblázatban összefoglalt k(q) értékeket. Azt látjuk, hogy ez utóbbi de níció megadta a hangközök csoportosítását, melyre a fenti 5.4.1 fejezetben tárgyalt de níciók egyike sem volt alkalmas. 47
Mi több, az ebben a fejezetben tárgyalt de níció egy pontosabb csoportosítást adott. A kapott értékek alapján kiderül, hogy a prím és az oktáv egynem¶ hangok megszólalását jelenti, a kvint és a kvárt a legtisztább hangközök, a tökéletlen hangközök a kis és nagy terc, illetve a kis és nagy szext, továbbá a disszonáns hangközöknek is három alcsoportja van. Az ugyanazzal a konszonanciafokkal rendelkez® hangközök egy csoportba tartoznak. Ezzel a konszonanciade nícióval egy n hangból álló hangzat de nícióját is meg tudjuk adni, mégpedig a következ®képpen: Egy K := (t1 ; t2 ; . . . ; tn ) hangzat konszonanciafoka:
k(K) := max{k(ti ; tj )|1 6 i 6 j 6 n} Tehát a hangzat konszonanciafokára a hangzatban szerepl® hangok közül a két egymással legdisszonánsabb viszonyban álló konszonanciafok a jellemz®. (Például, ha egy hármashangzatban C,G és H hangok szerepelnek, akkor a hangzat konszonanciafoka 14, mert a hangzatban nagy szeptim szerepel: C-H hangok távolsága, mely jelen esetben a maximális konszonanciafokú hangköz.) A de níció természetesen oktávcserére és transzponálásra invariáns, tehát ha egy hangzat konszonanciafokát meg tudjuk adni, akkor egy hangzatforma, harmónia illetve harmóniaforma konszonanciafokát is megadtuk. Ha KΦK 0 , KΩK 0 vagy K(Φ ◦ Ω)K 0 akkor k(K) = k(K 0 ).
48
6. fejezet Skálák összehasonlítása
A 2., 3. és a 4. fejezetekben a temperált skálát, míg a 5. fejezetben konszonanciafogalom használata során a nem-temperált, más néven természetes skálát használtuk. Tisztáztuk, hogy mi a kett® közötti különbség, az egyik az oktáv intervallumának egyenletes felosztásán, míg a másik a frekvenciák számarányán alapul. Ebben a fejezetben röviden összehasonlítjuk a két skálát, és választ adunk a jogosan feltehet® kérdésre, hogy melyiket mikor érdemes használni, mik az egyik el?nyei és hátrányai, illetve, hogy lehete ?ket ekvivalens módon használni. Az 15. század végére már teljesen elvetették a természetes skálák használatát. Ezek a skálák nem voltak alkalmasak arra, hogy a dallamot más hangnembe transzponáljuk. Ennek megértéséhez a 6.1.
ábrát használjuk.
Ha a dallamot el®ször C, majd D
alaphangról játszanánk, akkor a két dallam nem egyezne, meg, hiszen a hangközök távolsága egy kicsit más lenne az egyik hangfekvésben, mint a másikban.
6.1. ábra. Ha a 3.2 fejezetben emlegetett kvintkört vesszük, és C alaphangról indulunk, akkor 49
12 kvintugrást végezve, ismét C hangot kapunk. Ugyanezt egy püthagoraszi skálán eljátszva, ha tizenkét kvintugrást végzünk, és ennek következtében a hét oktávugrásnak megfelel®en hétszer egy oktávval lejjebb transzponáljuk a hangot, akkor 12 7 3 1 531441 · = = 1.0136 2 2 524288 számot kapjuk. A kapott hang ennyivel tér el a kezdeti hangtól. Ezt a kis eltérést Püthagoraszi kommának nevezik. [15] A temperálásnak természetesen számos el®nye van, ezek közé tartozik, hogy a komma fogalma érvényét veszti, a temperált hangrendszerekben. Ennélfogva, mivel egyforma hangközökre van osztva az oktáv, nincs két különböz® félhang, csak egyféle félhangot, és egyféle egészhangot használnak. Ezzel megoldódik a temperálás problémája, azaz bármilyen dallam bármilyen hangról kezdve ugyanúgy szól. Ellene szól, hogy az oktáv kivételével nincs teljesen tiszta hangköze, emellett a tiszta konszonancia érvényét veszti, hiszen ebben a felfogásban nem érvényesek a de níciók sem. Alkalmazás szintjén a zenei skálák közül leggyakrabban a kromatikus temperált skálát használjuk. A legtöbb hangszer, így például a zongora és a gitár is a temperált skála hangjait szólaltatják meg. A természetes skálát például a zongora hangolásánál szokás használni. A hangolás els® részében a nem temperált skála szerint állítják be a hangokat, majd nomhangolóval módosítják a kommákat. A két skála közötti különbség azonban csak szakavatott fülek számára hallható, a legtöbb ember nem venné észre, hogy temperált vagy nem-temperált hangszeren játszik-e.
Lissajous-kísérlet Befejezésül egy zikai kísérletet mutatnék be, melynek segítségével össze tudjuk hasonlítani a két skálatípust. A kísérlet Lissajous-görbék demonstrálásán alapul. Ezek a görbék olyan görbék, melyeknek x, és y koordinátája a cos(ωt + δ) függvény szerint paraméterezett, ahol a két függvényben a három állandó, a, ω és δ különbözhet. [5]
Ernst Chladni 18. századi zenész és zikus 1787-ben felfedezte, hogy ha egy fémlapra nom port szór és a szélénél vonóval rezgésbe hozza a fémlapot, akkor a por a rezgést®l 50
6.2. ábra. Lissajousgörbe függ®en különleges mintákba rendez®dik a lapon. Ezt a kísérletet ma már hanggenerátorral, vagy oszcilloszkóppal végzik. A frekvenciát emelve a minták átrendez®dése gyelhet® meg. A kapott minták éppen Lissajous-görbéket fognak alkotni. Meg gyelték, hogy a Lissajous-görbék csak bizonyos frekvenciákon alkotnak szabályos alakzatot, két ilyen állapot között egy rendezetlen átrendez®dés jelenik meg. Ennek oka az x(t) = a cos(ω1 t) és y(t) = b cos(ω2 t) függvényekben rejlik: ha teljesül, hogy ω1 ω2
= pq , ahol p és q egész számok, akkor a Lissajous-görbe önmagában záródik. Ha a
p q
arány irracionális, akkor a görbe nem záródik. A 6.2 ábra egy záródó Lissajousgörbét mutat, melyben a
p q
= 34 .
Ha olyan paramétereket adunk meg, hogy a fenti arány ne racionális legyen, akkor a kapott görbe egy vibráló alakzat lesz, nem lesz stabil. A kísérletben a természetes skálát, mint a stabil, zárt Lissajous görbét, és a temperált skálát pedig, mint nem záródó és instabil jelenséget tudjuk demonstrálni. E görbékkel, ezek kísérleti szemléltetésével és ezek zenei hivatkozásával részletesen Muzsai István foglalkozott. További ábrákat láthatunk az ® demonstrálásában. [7]
51
7. fejezet Befejezés
Korántsem merítettünk ki minden témát, ami a zenével kapcsolatban szóba kerülhetne. Rengeteg irány van, melyen tovább lehetne keresgélni a két terület közötti megfeleltetéseket. Ilyenek például, hogy hogyan vesszük bele az id®t a matematikai zenemodellbe. Az id® paramétere majdnem ugyanolyan fontos tulajdonsága a hangoknak, mint a magasságuk, mi azonban az egyszer¶sítés kedvéért csak az utóbbival foglalkoztunk. Id® nélkül azonban nincsen zene, hiszen a dallam lényege, hogy különböz® ideig tartó hangok és hangzatok sorozatából áll. S ekkor még említést sem tettünk a hang másik két tulajdonságáról, az er®sségr®l, és a hangszínr®l. [3] A zenei fogalmak matematikai megfeleltetését folytathattuk volna a moll-hangsorok és moll-akkordok vizsgálatával, ehhez inverziók bevezetésére, és újabb csoportelméleti fogalmakra lett volna szükségünk. [18] Ezek folytatásaként választ kaptunk volna arra a kérdésre, hogy mi az alapja a "négyakkordos" zenéknek (mint például például a Let it
be, Can you feel the love tonight, No, woman, no cry, 67-es út és még számtalan példa létezik), melyeknek gitár és zongorakísérete 4 akkordból áll. A püthagoreusok nyomán vizsgálódva meglep® összefüggéseket tapasztalhatunk, az aranymetszés és a hangok között. Amikor Püthagorasz és tanítványai az alaphangot adó húrt 12 részre osztották, ahol a kvart 9, a kvint 8, az oktávhoz a 6 egység tartozott, észrevették, hogy a húrhosszak között fennáll a következ® aránypár: 12 : 9 = 8 : 6 Ezt az arányt nevezzük arany aránynak, mely a zenében gyakran el® is fordul. [14] 52
Ugyanígy lehetne foglalkozni különböz® dallammintákkal, a zene szimmetriájával. A m¶ szerkesztésében gyakran el®kerül a periodicitás, sok helyen dallamminták ismétl®désének lehetünk szem- és fültanúi. Foglalkozhatnánk még a zene kombinatorikájával. Különböz® modellek születtek arra, hogy a zenét milyen kombinációkkal lehet megalkotni, hány darab hangzat létezik, stb. [9] Mi köze Beethoven Kilencedik szimfóniájának a tóruszhoz, Bartóknak az aranymetszéshez, és sorolhatnánk az ehhez hasonló kérdéseket. A válaszhoz azonban további kutatás szükséges. A dolgozat során felvillanásszer¶en láthattuk a természettudományok megjelenését a m¶vészetben. Megnéztük, hogy milyen algebrai háttér alapozza meg a zene elméletét, és láttuk, hogy a sokszor kaotikusnak t¶n® szolfézs és zenei fogalmak mögött egy szilárd rendszer áll, ami nem más, mint a matematika.
53
Irodalomjegyzék
[1] WILLE, R.: Mathematik und musiktheorie. Musik und zahl: interdisziplinäre Beiträge zum Grenzbereich zwischen Musik und Mathemetik, szerk.: Günter
Schnitzler, Bon-Bad Godesberg, 1976. [2] KESZTLER L. Dr.: Zenei alapismeretek - Iskolai és magánhasználatra. Zenem¶kiadó Vállalat, Budapest, 1959. 10-11 181-182 [3] BLAGOVESHCHENSKAYA, E.: Some links between Music and Mathematics
algebraic aspects. Schriften des Essener Kollegs für Geschlechterforschung, hrsg. von: Doris Janshen, Michael Meuser 4. 2004. Heft II. [4] FUCHS L.: Algebrakézirat Tankönyvkiadó, Budapest, 1987. 2182 [5] TASNÁDI P., SKRAPITS L. és BÉRCES GY.: Mechanika I. Általános zika, I. 1. , Dialóg Campus, Budapest, 2004. 103 [6] TASNÁDI P., SKRAPITS L. és BÉRCES GY.: Mechanika II. Általános zika, I. b. kötet, Dialóg Campus Kiadó, Pécs-Budapest, 2001. 185-188, 224-234. [7] MUZSAI I.: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök. 2010. dladolg.mome.
hu/2009-10-1/muzsai_istvan.pdf, (2012. május 31.) 2-6, 13-15. [8] GARETH, L.: Musimathics The mathematical foundations of music. Volume I. London, England, 2006. 56-62. [9] ÁDÁM, A.: A kromatikus skála tizenkét hangjából képezhet® hangkészletek áttek-
intése. Alkalmazott matematikai lapok, 21, 2004. 329-354. 54
[10] LACZKÓ Á. és TAMAGA I.: A görög matematika jegyzet Kutrovátz Gá-
bor el®adásai alapján. hps.elte.hu/~kutrovatz/gorogmat_jegyzet_2009.pdf (2012. május 16.) 15. [11] KNOBLOCH, E: Euler Transgressing limits: the In nite and Music Theory. "Quaderns d'historia de l'enginyeria", 2008, vol. IX, 9-24. [12] FREUD R. és GYARMATI E.: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000 5460. [13] BENK A.: A Bolyaiak zeneelmélete. Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1975. 4344. [14] SAIN M.: Nincs királyi út! Matematikatörténet Gondolat, Budapest, 1986. 81-84 [15] HARTFELDT, C., EID, W. és HENNING H.: Mathematik in der Welt der Töne Magdeburg, 7, 2002. [16] KOMJÁTH P.: Halmazelmélet. Budapest, 2007. http://www.cs.elte.hu/~kope/
oktatas/11tav/ma1.pdf (2012. május 25.) [17] KOVÁCS B.:
Matematika I. 3. Új Magyarország Fejlesztési Terv,
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0033_PDF_GEMAN6206B/ GEMAN6206B_03.pdf (2012. május 25.) [18] THOMAS M. F.: Music and Mathematics. http://www-personal.umd.umich.
edu/~tmfiore/1/musictotal.pdf (2012. május 31.) [19] Modern
Magyar
Makám,
http://www.hunmaqam.hu/hungary/szabaly.htm
(2012. május 24.) [20] Gábor Dénes F®iskola, Informatikai Rendszerek Intézete, http://users.vpg.
sulinet.hu/mrobi/informatika/elmelet/m4.pdf (2012. május 24.) [21] Piano Finders, (2012. május 24.) http://www.pianofinders.com/educational/
whattocallthekeys1.htm 55
[22] Gitáriskola,
http://gitariskola.hu/temperalt_hangrendszer.html (2012.
május 24.) [23] Zenetanoda, http://zenetanoda.mindenkilapja.hu/html/18122800/render/
alapok (2012. május 30.)
56
