Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Kaotikus rendszerek. Szakdolgozat. Szilágyi Enikő. Matematika B.Sc

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Kaotikus rendszerek Szakdolgozat

Szilágyi Enikő Matematika B.Sc., elemző szakirány

Témavezető: Keleti Tamás, egyetemi docens Analízis Tanszék

Budapest 2012

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés

4

1.1. Történelmi áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Magyar kutatóink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2. Bevezetés a kaotika vizsgálatába

14

2.1. Fraktálgeometriai alapismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.1. A fraktálok tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.2. A káosz és a fraktálok kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Stabilitásvizsgálati alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.1. Alapfogalmak, instabil és stabil állapot . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.2. Stabilitásvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3. Disszipatív rendszerek káosza

36

3.1. Általános jellemzők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.1. Gerjesztett rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.2. Feltétel a differenciálegyenlettel való leírásra . . . . . . . . . . .

37

3.2. A kaotikus mozgás jellemzői . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2.1. A kaotikus attraktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2.2. Ljapunov-exponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2.3. A természetes eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3. A pékleképezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.4. A vízikerék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4. Amiről nem esett szó

48

4.1. Perióduskettőző bifurkációsorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Összefoglalás

48 51

1

6. Mellékletek a fejezetekhez

52

6.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

6.1.1. Történelmi áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

6.1.2. Magyar kutatóink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.2. Bevezetés a kaotika vizsgálatába . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2.1. Fraktálgeometriai alapismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.3. Disszipatív rendszerek káosza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

7. Köszönetnyilvánítás

73

2

„Az első üzenet az, hogy van rendezetlenség. A fizikusok és matematikusok szabályosságokat igyekeznek felfedezni. Az emberek azt mondják, ugyan mi haszna a rendezetlenségnek. De az embereknek tudniuk kell a rendezetlenségről, ha foglalkozni szándékoznak vele. Az autószerelő, ha nem ismeri fel a szelepek elszennyeződését, nem jó szerelő.”

James Yorke

3

1. fejezet Bevezetés 1.1.

Történelmi áttekintés

II. Oszkár svéd király igen sokoldalú tehetség volt. Az uralkodása alatt véghez vitt reformokon kívül hadtörténeti könyvei, Herder és Goethe fordításai is öregbítik nevét. Eszünkbe juthat még róla, hogy építőanyagokkal támogatta a magyar Országház építését, vagy, hogy annnyira rajongott a színházért, hogy előre megtiltotta azok gyász miatti bezárását halála esetére. A káosz kutatás szempontjából ezek nem számottevő adatok. Sokkal lényegesebb azonban, hogy 1887–ben, a közeledő hatvanadik születésnapja tiszteletére versenyt írtak ki egy matematikai témájú cikk megírására. Az ötlet Magnus Gösta Mittag-Leffler svéd matematikustól származott, a kidolgozható témákat pedig Karl Weierstrass javaslata alapján állították össze. A verseny díja egy aranyérem és 2500 svéd korona volt, amit a francia matematikus, Henri Poincaré nyert el munkájával. Választott témája a Naprendszer stabilitásának kérdése volt. Dolgozatában bebizonyította, hogy a háromtestprobléma, vagyis a három kicsiny, egymás gravitációs terében mozgó test leírására szolgáló egyenletrendszer nem integrálható, így a három test mozgása nemperiodikus pályákhoz vezethet. Poincaré volt az első, aki meglátta a káosz lehetségességét, írásaiban olyan egyszerű kaotikus rendszereket találunk, melyekkel legközelebb csak két évtizeddel később találkozhatunk. Eredményei jónéhány évre feledésbe merültek – csak néhány kutató matematikus statisztikus mechanikai munkájában fedezhetünk fel azokra vonatkozó utalásokat –, míg az 20. század derekán végre újra le nem porolta néhány nagyreményű fiatal kutató.

4

Edward Norton Lorenz 1938-ban végzett a Darthmouth College-ben meteorológus szakon, de ez nem gátolta abban, hogy kutatásaira inkább matematikusként, mint időjósként tekintsen. A második világháború idején a kormány megkövetelte, hogy minden légitámaszponton dolgozzon meteorológus, így Lorenz közvetlenül az egyetem után a légierőhöz került időjárás-előrejelzőnek, és az ottléte alatt kénytelen volt hanyagolni kutatásait. A háború után aztán úgy döntött háttérbe tolja egy kissé a gyakorlati meteorológiát és a matematikát előtérbe helyezve az elméleti oldalával kíván foglalkozni. Bár tudományos hírnevét hagyományos tárgykörökben íródott dolgozatival szerezte, mindeközben szakadatlanul az előrejelzés problémáján töprengett. A ”valódi”, komoly meteorológusok szemében az előrejelzés nem volt igazi tudomány, inkább csak intuíció, melynek révén a műszerek és felhők állásából kiókumulálható a másnapi időjárás. Nem tekintették többnek találgatásnál. Lorenz ugyanúgy látta az időjóslásban uralkodó rendezetlenséget, mint bárki, aki már megpróbálkozott vele, de benne égett valamiféle matematikai eredetű vágy, mely a megfejtésére sarkallta. Ebben volt segítségére a számítógépek rohamos fejlődése: egy 1958-as Royal-McBee modell segítségével 1960-ban sikerült elkészítenie a Föld végtelenül leegyszerűsített időjárásmodelljét, néhány nemlineáris egyenlet segítségével. A gép által kinyomtatott eredményeken sorról-sorra változó hőmérsékletek, szélirányok és sebességek, csökkenő és növekvő légnyomások jelentek meg, pont úgy, ahogy a valóságban. Az adatok rendezettsége, a felismerhető, ugyanakkor sohasem teljesen egyforma ciklusok csodájára járt a tudományos társadalom apraja és nagyja. Úgy tűnt, végre megfejthető lesz a ”jövő”. 1961-ben Lorenz megdöbbentő felfedezést tett. Egy hosszabb sorozat vizsgálatát szerette volna lerövidíteni azzal, hogy az ismételt számolás helyett az előző napi eredményeket táplálta vissza a számítógépbe. Mikor meglátta az új számítást, először azt hitte, hogy a gépe romlott el: az új eredmények drasztikusan különböztek a korábban generáltaktól. A megismételt számolások ennek az ellenkezőjét igazolták: amikor megtervezte az algoritmust, a program szerint a gép hat tizedesjeggyel számolta az eredményeket, de helytakarékossági szempontokból kifolyólag a papírra csak három tizedesjegyig nyomtatta ki az adatokat. Lorenz a három tizedesjegyre kerekített adatokat táplálta vissza a computerbe, azt gondolván, hogy az ezredrésznél is kisebb eltérések elhanyagolhatók. Ez akkoriban ésszerű feltevésnek számított, végtére is a mérő műszerek már pontosnak számítottak, ha egyezred biztonsággal jelezték a hőmérsékletet. Lorenz ezzel a kísérlettel újabb megoldandó feladatot adott a programozóknak, nevezetesen a lebegőpontos számok (kerekítési hiba) problémáját. 5

Lorenz a fent leírt jelenséget betudhatta volna a modell vagy a program hibájának, ám érezte, hogy az nem lenne tökéletes magyarázata az adatok eltérésének. Így tovább vizsgálta a problémát, és arra az eredményre jutott, hogy egyes rendszerek jóval érzékkenyebbek a kezdeti feltételekre, mint mások.

Hogyan térnek el egymástól az eredeti és az újra begépelt időjárás mitázatai (Edward Lorenz 1961-ben kinyomtatott lapjaiból)[1]

Az ’50–es évek derekán úgy tűnt, hogy az időjárás-előrejelzés problémájának a megoldása karnyújtási távolságban van, a megalkotott modellek azonban mégsem voltak képesek néhány napnál tovább jó előrejelzést adni. A probléma oka a Lorenz által felfedezett úgynevezett pillangóhatásban rejlett. A pillangóeffektus nem más mint érzékenység a kezdetiérték feltételekre, vagy másképp a kiindulási értékek fontossága. Néhány nagyhírű tudós ebben a nehézségek helyett inkább a lehetőséget látta: nevezetesen az időjárás szabályozásának, irányításának lehetőségét. Lorenz szerényebb volt ennél, nem cövekelt le a pillangóhatás kérdésénél, és figyelmét inkább olyan rendszerek vizsgálatának szentelte, melyek bár ciklikusak, mégsem ismétlik magukat az összes részletben, vagyis sohasem jutnak állandósult állapotba. Természetesen ilyen az időjárás is, és Lorenz sejtette, hogy kapcsolatnak kell lennie a megjósolhatatlanság és az aperiodikusság között. Egyenleteit végül sikerült úgy megváltoztatnia, hogy teljesen eltüntesse rendszeréből a periodikusságot, így a játék-időjárása mind a kezdőfeltételektől való függést, mind az aperiodikusságot megjelenítette. Mindezt pedig alig egy tucat nemlineáris egyenlet produkálta. Nem csoda hát, hogy Lorenz félretéve az időjárás 6

előrejelzés problémáját, inkább a bonyolult viselkedések egyszerű megynyilvánulásait kezdte keresni, amit végül a folyadékok egy speciális mozgásában talált meg. A forró gázok illetve folyadékok felemelkedését konvenciónak nevezzük. Lorenz vett egy szakajtónyi ilyen konvenciós egyenletet és teljesen lecsupaszította őket, míg a nemlinearitáson kívül szinte semmi nem emlékeztetett már az eredeti egyenletekre. A kreált rendszerében végül három, első ránézésre könnyen megoldható egyenlet maradt: dx/dt = 10(x − y) dy/dt = −xz + 28x − y dz/dt = xy − (8/3)z Az egyszerűség azonban csak megtévesztés. Ahogy James Gleick írta „Egy nemlineáris egyenlet vizsgálata olyan, mint egy labirintusban sétálni, amelynek a falai minden lépésünk után máshova kerülnek.”[2] Lorenz először felfedezett kaotikus rendszere, egyben a legismertebb és legtöbbeket megihletett problémája az ún. Lorenz-féle vizikerék volt (a feladat részletes leírása később). A fenti, három változóval felírt három egyenlet tökéletesen visszaadta a rendszer egyes állapotait. Hogy könnyebben ábrázolhassa, Lorenz a számhármasokat egy 3-dimenziós koordinátarendszer pontjaiként fogta fel, és úgy is ábrázolta őket. Az eredményt Lorenz-attraktor néven ismerhetjük, mely sokak szemében még ma is kaotikakutatás fejlődésének a jelképe.

A Lorenz-attraktor pillangóra hasonlító ábrája.

Nemcsak Lorenz érdeklődését keltették fel a különös viselkedést mutató rendszerek: míg a 20. század elején jóformán kinevették azokat, akik időt szenteltek az ingák 7

vizsgálatára, a század derekán mégis egyre több tudományos ”forradalmár” szentelte idejét az oszcillátoroknak. Az ingák a klasszikus fizika, klasszikus gondolkodás egyik legfőbb jelképei, ám mindinkább úgy tűnt, hogy a róluk tanult alapigazságok megdőlni látszanak. A hagyományos, Galilei-féle ingamodell – amit még ma is tanítanak az elemi iskolában – egy teljesen lemeztelenített lineáris egyenlet. Galilei ugyanis eltekintett az általa is ismert nemlinearitásoktól (közegellenállás, súrlódás), a valósnál sokkal kissebnek tüntetve fel jelentőségüket, hogy bizonyíthassa azon sejtéseit, melyek szerint a lengési idő nem függ a kitérés nagyságától. (Adott hosszúságú inga lengési ideje független a kitérés szögétől.) „Határozottan állítom, hogy ha két barát odaáll megszámolni a lengéseket, egyikük a nagyokat, a másik a kis kitérésűeket, nemcsak tizet, de akár százat is leszámolhatnak,nem lesz különbség; nemhogy egy egész lengés, de az ív töredéke sem.”[3] Feltevése téves volt, és ha adottak lettek volna az eszközei, még azokon a roppant egyszerű példákon is beláthatta volna, hogy nem annyira elhanyagolhatók a nemlineáris tagok, mint ahogy képzelte. A ’60-as években az inga újra divat lett, és nem csak az előrejelezhetetlenségével keltette fel az új gondolkodásmód híveinek érdeklődését, hanem azzal is, hogy roppant egyszerű volt. Azon tudósok közül, akik nem hittek egyszerűsége álcájában, többen is hihetetlen felfedezéseket tettek, függetlenül attól, hogy a kutatás csillagászati, mechanikai vagy elektronikai tárgyú volt. Egyikőjük, Stephen Smale, a Kaliforniai Egyetem matematikusa nagy sikereket ért el a topológia területén, megoldotta a Poincaré-sejtést négynél nagyobb dimenziójú terekre, ám a kaotikus rendszerek kedvéért a ’70-es évektől mégis hanyagolta kissé e tudományágat. Ha a topológiát és a dinamikus rendszereket összekapcsoljuk, és egy-egy rendszer viselkedését ábrákkal szemléltetjük, akkor fázistereket kapunk. A fázistérben adott pont a rendszer egy állapotát tükrözi egy adott pillanatban. Ahogy az idő halad, úgy halad ez a pont is, és végül egy pályát ír le. Smale az oszcillátorok által kirajzolt fázisképeket tanulmányozta, de nem csak egyetlen pályát figyelt, hanem az egész tér torzulásait vizsgálta a rendszer változása közben. Eredménye később lópatkó néven vált ismerté, mellyel egészen jól magyarázható a pillangó hatás is. Szemléletesen úgy képzelhetjük el, mint a leveles tésztát. A teret megnyújtjuk az egyik irányban, míg a másikban összenyomjuk. Végül összehajtjuk. Ha ezt elég sokszor végezzük el, akkor képtelenség megjósolni, az egyes pontok helyzetét. Kezdetben egymáshoz közeli pontok távol kerülhetnek egymástól, és kezdetben távoliak közelivé válhatnak. 8

Smale sokáig próbálta bebizonyítani, hogy minden dinamikai rendszer fázisképe megadható ilyen térhajlítások nélkül is.

Smale egyik ismerőse, bizonyos Robert May biológus (aki egyébként először fizikus diplomát szerzett, majd alkalmazott matematikát tanult) populációs modelleket vizsgált, illetve azok kritikus pontjait, amikor a paraméterek változtatásával furcsa eredményt kapott. A differenciálegyenletek egyik paraméterét növelve a modellezett populációk egyedszáma ahelyett, hogy egy érték felé haladt volna, és az évek során a körül az egy érték körül mozgott volna, inkább hullámozni kezdett és két érték között ”pattogott”. A kor szemlélete szerint ez lehetetlen volt, így May, a történtek megértésére grafikonokat készített.

Bifurkációs ábra. Jól látható a kaotikus tartomány.

9

Azok viszont még furcsábbra sikerültek: a paramétert tovább növelve még több ilyen ”kettészakadás” ment végbe a bifurkációs ábrán, végül a rendszer teljesen kaotikussá vált. Egy-egy kettőződés azt jelentette, hogy a modell periódusa megduplázódott. Ezek a periódus duplázások egyre sűrűbben követték egymást, míg végül a teljesen kaotikus pályák vették át az uralmat, olyannyira, hogy külső szemlélő számára akár véletlenszerűnek tűnhetett az egyedek számának alakulása. Viszont ahogy az idő haladt előre fel–fel bukkant néhány szabályos periódus, míg végül azok is duplázódni kezdtek és újra bele nem futottak a káoszba. Felfedezésével megoldotta az ökológusok vitáját, hogy a népességek változása determinisztikus vagy nemlineáris szerkezetű. A perióduskettőzés bebizonyította, hogy determinisztikus rendszerek is mutathatnak kaotikus viselkedést. May szenvedélyévé vált a bifurkációk gyűjtése, később nagy hangú cikkekben követelte a káosz oktatását a egyetemeken. A New York-i Egyetem Matematika Intézetében dolgozó Frank Hoppensteadet is megihlették ezek a bifurkációk. Mivel nagy teljesítményű számítógépe lehetőséget adott rá, filmet készített a nemlineáris egyenletek különböző paraméterek melletti változásáról. Ha az átlagembert megkérdezik, hogy mi, illetve ki az aki, az eszébe jut a káoszról, akkor valószínűleg elsők között említi a fraktálokat és Benoît Mandelbrot-t. Benoît Mandelbrot zsidó származású szülők gyermekeként látta meg a napvilágot 1924-ben Varsóban. Alig volt tizenegy éves, mikor a család a politikai események alakulását látva Franciaországba menekült. Taníttatása rendszertelen volt, de ez nem gátolta kitörni akaró zsenialitását. Matematikát először Párizsban és Lyonban tanult, majd a Kaliforniai Műszaki Egyetem hallgatója volt, később pedig Neumann János utolsó posztdoktori kutatója a Princetoni Egyetemen.1 Mandelbrotban már a ’60-as években kialakult egy nem szokványos gondolkodásmód, mely azonban határozott irányt csak a ’70-es években vett egy közgazdász ismerősénél tett látogatása során. A szoba falára aggatott diagramonkon a gyapotárak szerepeltek egy nyolcéves időszakban, amik ahelyett, hogy a normáleloszlás szabályos harang-görbéjét formázták volna, inkább hosszan, keskenyen elnyúltak. Mandelbrot egyszer már látta ezt: korábban a gazdaság 1

Születtek elméletek arról, hogy a fraktálok Szegedről származhatnak, ugyanis Neumann János

járatta magának a magyar matematikai szaklapokat, 1952-ben pedig megjelent a Matematikai Lapokban egy Reisz Frigyes által feladott feladat: „Milyen z1 komplex számokból kiindulva ad adott komplex a mellett a zn+1 = (1/2)(zn2 +a) iteráció konvergens sorozatot?” Magyar megoldás nem érkezett a problémára, ám Mandelbrot épp ilyen iterációk tanulmányozása nyomán vezette be a fraktál fogalmát[4].

10

kis és nagy jövedelmeinek eloszlását tanulmányozta. A gyapotár-adokat még aznap hazavitte és nemsokára már a legszabálytalanabb alakzatokban is furcsa rendet vett észre. Vizsgálta a telefonvonalakban fellépő hibák eloszlását, a világ folyóinak (elsősorban a Nílusnak) a vízállását, a felhők különböző formáit, a villámok útját, egyes tárgyak (például egy spárgagombolyag) gyakorlati dimenzióját, a partvonal-problémát, és még rengeteg mást is. Meglepve tapasztalta, hogy a természet szabálytalansága milyen szabályosságokat mutat. Túllépett az addig ismert három dimenzión, megalkotta a törtdimenziókat, és végül úgy döntött, hogy ideje lenne eredményeit és alakzatait egységesíteni, úgyhogy egy könyv írásába kezdett. Így született meg a fraktál kifejezés, mely a latin fractus (törött) melléknévből ered. Először 1975-ben a Les objets fractals, forme, hasard et dimension (Fraktálok: forma, véletlen és dimenzió) című dolgozatában használta ezt a kifejezést, mely munkájával alaposan felkavarta a természettudományok tengerét2 . Jelölései nem egyeztek sem a fizikusok, sem a mérnökök, sem a közgazdászok által használtakkal. Még a matematikusokétól is különböztek, de zsenialitásával és más területeken szerzett matematikai sikereivel olyan helyzetbe került, hegy lehetelen volt megtámadni ezeket a jelöléseket, melyek mára már kötelezővé váltak. A paradigmaváltás nemcsak a fent említett természettudósokat sodorta magával. A teljesség igénye nélkül néhány jelentős káoszelméleti eredmény: • Az 1960-as évek közepére Andrej Nyikolajevics Kolmogorov Vlagyimir Arnolddal és Jürgen Moserrel megalkotta a Kolmogorov-Arnold-Moser-tételt (KAM-tételt), amely konzervatív rendszerek esetében mutatja meg a kaotikus viselkedés feltételeit. • James Yorke amerikai matematikus bebizonyította, hogy a hármas periódus káoszra utal, azaz ha egy rendszerben megjelenik egy három hosszú ciklus, akkor bármilyen más hosszúságú periódus is megjelenik benne. • A nyolcvanas évek elején Philip Marcus fiatal csillagász megfejtette a Jupiter vörös foltjának rejtélyét. • Mitchell Feigenbaum megalkotta az univerzalitás-elméletet. 2

Mandelbrot 1982-ben kiadott egy újra gondolt, kibővített könyvet ebben a témában The Fractal

Geometry of Nature (A fraktálok természetrajza) címmel.

11

• Kenneth G. Wilson ’82-ben fizikai Nobel-díjat kap a fázisátalakulásokkal kapcsolatos kritikus jelenségekre vonatkozó elméletéért. • Julian Seymour Schwinger amerikai elméleti fizikus kifejlesztette a renormálás elméletét.

1.2.

Magyar kutatóink

Természetesen nemcsak külföldi sikerek születtek a kaotikus dinamika kutatásában. Magyar tudósok is jeleskednek eredményekkel, néhányuk szintén a teljesség igénye nélkül: Stépán Gábor a Budepesti Műszaki Egyetem gépészmérnöki karán végzett 1978-ban. Kutatási területei az analitikus mechanika, a stabilitáselmélet, a nemlineáris rezgések és a mechanikai rendszerek mozgásegyenletei. Legjelentősebb eredményeit a stabilitáselméleti kutatásaiban érte el, számos publikációja jelent meg ebben a témában angol és magyar nyelven is. Jelenleg a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem tanára, illetve 2008-tól a Gépészmérnöki Karának dékánja, a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagja. 2011-ben Széchenyi-díjjal tüntették ki[5]. Szépfalusy Péter 1953-ban végzett a Budapesti Műszaki Egyetem villamosmérnöki karán, majd két év alatt szerezte meg az Eötvös Loránd Tudományegyetemen a fizikus oklevelet. Kutatásainak elsődleges témája a statisztikus fizika, a kaotikus viselkedés vizsgálata, a fázisátalakulás elmélete és a nemlineáris jelenségek. 1995-ben Széchenyidíjat kapott a fázisátalakulások dinamikai skálatörvényeinek meghatározásában elért eredményeiért, a térelméleti módszereken alapuló soktest-problémának, a kritikus jelenségek és fázisátalakulások modern elméletének, továbbá az egyensúlytól távoli instabilitások hazai kutatásának bevezetéséért, a kvantumrendszerek kaotikus viselkedésére vonatkozó, világszerte elismert munkásságáért. Az Eötvös Loránd Tudományegyetem szilárdtest-fizika tanszékének vezető tanára volt 1986-1996 között, 1982-től a Magyar Tudományos Akadémia levelező, 1987 óta pedig rendes tagja[6]. Tél Tamás az Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Karán szerzett fizikusi oklevelet 1975-ben. Fontosabb kutatási területei a környezeti folyadékdinamika és kapcsolódó laboratóriumi kísérletek, a részecskesodródás numerikus vizsgálata, szennyezések terjedése, tehetetlen részecskék sodródási dinamikája, reakciók áramlásokban, klíma-dinamika, transzport és irreverzibilitás a kaotikus dinamika szempont12

jából, nemlineáris jelenségek, káosz és tranziens káosz, fraktálok, statisztikus fizika, sztochasztikus folyamatok valamint nemegyensúlyi potenciálok. Több mint százötven angol és harminckilenc magyar tudományos publikációja jelent meg továbbá két angol, valamint három magyar nyelvű könyv szerzője3 . 1993 óta tanít az Eötvös Loránd Tudományegyetem Elméleti Fizikai Tanszékén, 1992-től pedig a Magyar Tudományos Akadémia doktora[7]. Vicsek Tamás a moszkvai Lomonoszov Egyetem Természettudományi Karán szerzett 1972-ben fizikusdiplomát. Munkássága jelentős a biológiai fizika, ezen belül a komplex alakzatok természetben történő kialakulási folyamatának kutatásában. A fraktálgeometria eszközeit használva sikerült leírnia és értelmeznie olyan természeti jelenségeket, mint a hegyvonulatok, a hópelyhek, a baktériumtelepek, illetve a folyadékáramlások. 2000 óta foglalkozik az emberi viselkedés modellezésével, ezen belül a szinkronizáció, a pánik, valamint a szociális hálózatok területével. Több mint százhetven tudományos publikáció szerzője vagy társszerzője, ebből öt angol nyelvű könyv. Publikációinak lényeges részét angol nyelven adta közre, de vannak magyar nyelvű művei is4 , valamint több közleménye jelent meg nemzetközi folyóiratokban. 1991-től az Eötvös Loránd Tudományegyetem tanára, ahol 1998-ban megalapította a biológiai fizika tanszéket, melynek 2005-ig a vezetője volt, azóta egyetemi tanárként oktat tovább. 1995-ben választották a Magyar Tudományos Akadémia levelező tagjává, melynek 2001 óta rendes tagja.[8].

A fenti bevezetőben említett fantasztikus tudományos eredmények részletes bemutatása ugyan meghaladja ezen dolgozat kereteit, az alábbiakban azonban lehetőségünk lesz megismerkedni a káoszelmélet alapfogalmaival és néhány könnyebben érthető dinamikus rendszerrel.

3

SZÉPFALUSY P.-TÉL T. (1982): A káosz: Véletlenszerű jelenségek nemlineáris rendszerekben,

Budapest, Akadémiai Kiadó; HORVÁTH Z.-TÉL T. (1983): Elméleti Fizikai Példatár 2., Budapest, Tankönyvkiadó; TÉL T.-GRUIZ M. (2002): Kaotikus Dinamika Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó 4 (1990) Fraktálnövekedés, Akadémiai Kiadó, (1999) A természet geometriája, (2001) Biológiai rendszerek statisztikus fizikája

13

2. fejezet Bevezetés a kaotika vizsgálatába 2.1.

Fraktálgeometriai alapismeretek

„A fraktálokat először definiáló matematikusok azt mondták, hogy ezek nem lehetnek a természet részei, én azonban megmutattam, hogy mindenütt fraktálok vannak, a test szerveitől kezdve egészen a fizikáig és a művészetekig. ”

Bênoit Mandelbrot[11]

2.1.1.

A fraktálok tulajdonságai

Általános iskolában megtanultuk, hogy minden síkidomnak meghatározható kerülete és területe van, melyet jobb esetben valamilyen szabály segítségével, rosszabb esetben pedig méréssel illetve darabolásokkal, illesztésekkel határozhatunk meg. Tudjuk 14

a viszonyszámot is: K/T : T −1/2 mértékegységektől független arány kicsinyítések illetve nagyítások után is állandó. Ugyanezeket tanultuk a térbeli alakzatokról is, sőt jól megjegyeztük a szabályt, mely szerint F/V : V −1/3 . Viszont a térfogatot másképp nevezzük űrtartalomnak is, így hamar rájöhettünk arra, hogy azért van egy kis csalás is a dologban. A szappan habnak például nagyon nagy a felülete, pedig nagyon kevés anyagot tartalmaz, azaz kicsi a térfogata. Az angol származású Lewis F. Richardson a 20. század első felében egy a fentihez hasonló, igen érdekes problémával találkozott. A világ térképeit vizsgálva feltűnt neki ugyanis, hogy néhány szomszédos ország leírásában eltér a közös határvonalak hossza. Közelebbről megvizsgálva a dolgot, észrevette, hogy nem mindegy milyen mérőeszközt használnak, és az sem mindegy, hogy ”merről” kezdik a mérést. Minél kisebb szakaszokat illesztünk a határvonalakra, azok annál hosszabbak lesznek. (Természetesen igazán pontos eredményt csak egy atomi nagyságú mérőrúd illesztésével kaphatnánk.) Tehát a nagy felületű rendszerekhez nem rendelhető hozzá a már említett arányszám, sőt egyáltalán nem adhatunk meg mérőszámot, mert a felület nagysága függ a mérésünk pontosságától is. A partvonal probléma egy lehetséges matematikai modellje a Koch-görbe. A görbét úgy kapjuk, hogy egy egységnyi szakasz közepéről szimmetrikusan kivágunk egy 1/2-nél kisebb részt, aztán az új végpontokra a megmaradt szakaszokkal megegyező hosszúságú (r) szakaszokat illesztünk, úgy hogy a végük összeérjen. A további lépésekben minden új szakaszra végtelen sokszor ismételjük ezt a kivágás-új szakaszok illesztése algoritmust.

A háromtriadikus (r =

1 ) 3

Koch-görbe (alul) és a belőle képzett Koch-szigetek (fölül). Jól látható az ábrán, hogy a

sziget területe véges (kisebb mint az r sugarú körlap területe), de a kerülete a végtelenhez tart.

A Koch-görbéhez hasonló alakzatokat, fraktáloknak nevezzük. Jellemző rájuk, hogy 15

nagyon tagoltak, így nincs pontosan kiszámítható a kerületük, felületük, valamint általában önhasonlóak. Önhasonlónak akkor nevezünk egy alakzatot, ha a mérési pontosságot finomítva ugyanolyan szerkezettel találkozunk, mint a finomítás előtt. Ezt a tulajdonságot szokás még fraktál tulajdonságnak is nevezni, de a természetben felbukkanó fraktálokra általában csak bizonyos nagyságrendig jellemző1 . A fraktálok definícióján sokat rágódtak a kutatók, és végül arra jutottak, hogy nem definiálják őket. Mivel ez a dolgozat csak korábbi erdményeket dolgoz fel, illetve összesít, a fraktálok pontos meghatározása ebből is kimarad. A tagoltságuk azonban felvet egy újabb problémát is. Az ilyen alakzatok már-már belenyúlnak egy magasabb dimenziójú térrészbe, így kénytelenek vagyunk bevezetni új definíciót a dimenziószámra. A fraktálok dimenziójának becslésére több speciálisan fogalmat is bevezettek, ebben a dolgozatban kettővel ismerkedhetünk meg, a doboz-dimenzióval és a Hausdorffdimenzióval. Doboz-dimenzió 2.1. Definíció. Ha az alábbi határérték létezik és véges, akkor egy alakzat dobozdimenzióját D0 -lal jelöljük és a következő módon számíthatjuk: D0 = limε→0

lnN (ε) , ln1/ε

(2.1)

ahol N (ε) annak a száma, hogy hány darab ε nagyságú d-dimenziós kockával tudjuk lefedni az alakzatot, d pedig annak az euklideszi térnek a dimenziója, amelyben az alakzatot ábrázoltuk. 2.2. Megjegyzés. Ez a D0 szám az egyszerű alakzatokra megegyezik a tér dimenziószámával, míg a fraktálokra általában ennél kisebb. A fraktálok között találhatóak olyanok, melyeknek nemcsak nemcsak az egyes kis részletei hasonlítanak egymásra, hanem ezek egyben is hasonlóak. Ez azt jelenti, hogy vannak olyan fraktálok, melyek nemcsak közelítőleg önhasonlóak, hanem egzaktul önhasonlóak. Az egzaktul önhasonló fraktálok fontos csoportját képezik az egyskálájú fraktálok. Jellemzőjük, hogy N darab azonos részből állnak, és minden rész pontosan ugyanazzal az r < 1 faktorral kicsinyített része az egésznek. 1

Az emberi tüdő felépítése is fraktálszerkezetű, de sejt szintre bontva már megszűnik ez a tulaj-

donsága. Melléklet xyoldal

16

2.3. Definíció. Legyen A halmaz az f1 , f2 , · · · , fn függvényrendszer invariánsa, vagyis A = f1 (A) ∪ f2 (A) ∪ · · · ∪ fn (A), és tegyük fel, hogy az fi függvények kicsinyítő hasonlósági transzformációk, melyek faktora ugyanaz az r < 1 szám. Ekkor A-t egyskálájúnak nevezzük, az s=

log n log(1/r)

(2.2)

szám pedig a hasonlósági dimenziója. 2.4. Megjegyzés. Természetesen az előbbi Koch-típusú görbék egzaktul önhasonlóak és egyskálájúak is. Az egyik legegyszerűbb egyskálájú fraktál a Cantor-halmaz. Elkészíteni a következőképp lehet: Első lépésben egy egységnyi hosszú szakasznak kivágjuk a közepét úgy, hogy a két szélső r hosszúságú részt meghagyjuk. Majd a megmaradt részeken végezzük el a kivágást úgy, hogy a szélső r2 hosszú szakaszokat tartjuk meg. A továbbiakban ezt ismételjük, mindig ugyanilyen arányú kivágással. Ez jól láthatóan nem egy egybefüggő alakzat, hanem egy szétszórt ponthalmaz a számegyenesen, de a fraktálok tulajdonságainál nem is írtuk, hogy az alakzatoknak összefüggőnek kell lennie. 2.5. Definíció. Legyen a 0 < r < 1 és legyen a Cn sorozat a következő: C0 = [0, 1], C1 = [0, r] ∪ [1 − r, 1], C3 = [0, r2 ] ∪ [r2 , r − r2 ] ∪ [1 − r, 1 − r + r2 ] ∪ [1 − r2 , 1], C4 = [0, r3 ] ∪ [r2 − r3 , r2 ] ∪ · · · T és legyen C = ∞ n=0 Cn . A fenti Cn halmazok metszetét Cantor-halmaznak nevezzük. 2.6. Állítás. A Cantor-halmazok doboz-dimenziója az alábbi érték: D0 =

ln2 ln1/r

(2.3)

Bizonyítás: Csak azt bizonyítjuk, hogy ha a doboz-dimenzió definíciója szerinti határérték létezik, a Cantor-halmazokra akkor a fenti értékkel egyenlő. 17

Fontos az ε jó megválasztása, de természetesen olyan sorozatot kell keresnünk, amir a nullához tart. Ha a ε = rn -vel számolunk (ha n → ∞, akkor pont jó), akkor a lefedéshez szükséges szakaszok száma 2n . Ez azt jelenti, hogy a lefedéshez szükséges dobozok, ln2

azaz jelen esetben intervallumok száma N (ε) = N (rn ) = (rn ) lnr . Ezt behelyettesítve a fraktáldimenzió definíciójában megadott képletbe azt kapjuk, hogy ln2

ln(rn ) lnr = lim D0 = lim n→∞ n→∞ ln r1n

ln2 lnr

· ln(rn ) ln2 ln2 = −1 · = 1 lnr ln1/r ln rn

. 2.7. Megjegyzés. A Koch-sziget mintájára a Cantor-halmazból képezhetünk Cantorfelhőt. Elkészítésénél egy egységnyi oldalú négyzetből függőlegesen és vízszintesen is kivágunk egy-egy sávot úgy, hogy a megmaradt részek r < 1 szélesek legyenek. Az így kapott négy darab r oldalhosszú négyzeten folytatva az algoritmust megkapjuk a Cantorfelhőt. Magasabb dimenzióban hasonlóan kell eljárnunk. Cantor-halmazt készítünk akkor is, ha az egyik oldalon r1 < 1 hosszú szakaszt hagyunk meg, míg a másik oldalt r2 < 1, r1 6= r2 hosszút. Az így kapott fraktál a kétskálájú Cantor-halmaz. 2.8. Definíció. Tegyük fel, hogy az A halmaz az f1 , f2 , · · · , fn fügvényrendszer invariáns halmaza, ahol f1 , f2 , · · · , fn kicsinyítő hasonlósági transzformációk, melyek faktora rendre az r1 , r2 , · · · , rn < 1 számok. Ekkor A-t többskálájúnak nevezzük, és a hasonlósági dimenziója az az s érték, melyre az r1s + r2s + · · · + rns = 1

(2.4)

egyenlet teljesül. Egyértelmű, hogy a többskálájú fraktálok dimenzióját nem lehet a korábbi képletek egyikével sem kiszámítani. 2.9. Állítás. Tegyük fel, hogy A többskálájú fraktál, és hogy

Tn

i=1

fi (A) = ∅. Ekkor A

doboz-dimenzióját az alábbi implicit egyenlet megoldásai adják: n X

rjD0 = 1,

j=1

ahol rj < 1 (∀j = 1, 2, · · · , n-re) a fraktál kicsinyítési fraktorai. 18

(2.5)

Nem csak így készíthetünk azonban egyszerűbb fraktálok felhasználásával bonyolultabbakat. Megint a Cantor-halmazokat alapul véve alkossuk meg az úgynevezett Cantorszálakat. Ezeket úgy alkothatjuk meg, hogy az egységintervallumnak és az r kicsinyítő faktorú Cantor-halmaznak vesszük a direkt szorzatát. Így olyan téglalapokat kapunk, melyek egyik oldala egységnyi hosszú, a másik pedig rn . (Mintha összevetítettük volna őket.) A fraktáldimenzió számításánál, ha ε = rn , akkor az előbbi állítás tanúsága szerint a lefedésnél 2n darab ε széles téglalapot kapunk és minden téglalap 1/rn , azaz 1/ε darab dobozt tartalmaz. A szálakat lefedő dobozok száma így N (ε) = N (rn ) = (rn )ln2/lnr ·

1 rn

= εln2/lnr−1 . A fraktáldimenzió eszerint D0 =

ln2 + 1, ln1/r

vagyis pont eggyel nagyobb a Cantor-szálak doboz-dimenziójánál. 2.10. Definíció. Azokat a fraktálokat, melyek felírhatók két másik fraktál direkt szorzataként, összevetített fraktáloknak nevezzük. A Cantor-fraktálok sora tovább is bővíthető még, nézzük meg, hogy mi történik, ha két Cantor-halmaznak vesszük a direkt szorzatát! Ha a két halmaz faktora ugyanaz, akkor szimmetrikus Cantor-felhőt kapunk, de ha különböznek, akkor asszimetrikusat. Érdekes problémával kerülünk így szembe a doboz-dimenzió kiszámításának kapcsán. Az előbbi példa alapján felmerülhet a gyanú, hogy az összevetített fraktálok dimenziója felírható a direktszorzatban szereplő két fraktál dimenziójának valamilyen lineáris kombinációjaként. 2.11. Állítás. A két fraktál direktszorzataként kapott összetett fraktálok dimenziója az egyes összetevők dimenzióinak az összege, azaz (1)

(2)

D0 = D0 + D0 .

(2.6)

Bizonyítás: Ez a bizonyítás nem teljes, mert be kellene látnunk, hogy nem létezik olyan ε nagyságú dobozokkal való lefedése a halmaznak, melyre N (ε) < N (1) (ε)·N (2) (ε), és az egyenlőséget is csak speciálisan, egyenes szakaszba ágyazott fraktálok direktszorzata esetén bizonyítjuk. Egyenesek mentén vetített fraktálok esetén az ε nagyságú lefedő négyzetek számát egy szorzás eredményeképp kaphatjuk meg. Legyen a vízszintes tengellyel párhuzamosan vetített fraktál lefedéséhez szükséges ε nagyságú lefedő dobozok száma N (1) (ε). 19

Világos, hogy ez megegyezik az összevetített fraktált lefedő, a vízszintes tengellyel párhuzamos, ε széles sávok számával. Ugyanígy a függőleges tengellyel párhuzamos ε széles sávok száma egyben a másik fraktál lefedéséhez szükséges ε méretű lefedő dobozok száma is, vagyis N (2) (ε). Ebből a teljes alakzatot fedő ε oldalhosszú négyzetek száma: N (ε) = N (1) (ε) · N (2) (ε). (1)

(2.7)

(2)

Tudjuk, hogy N (1) (ε) ∼ ε−D0 és N (2) (ε) ∼ ε−D0 . Ezek összevetítéséből: (1)

(2)

(1)

N (ε) = N (1) (ε) · N (2) (ε) = ε−D0 · ε−D0 = ε−D0

(2)

−D0

Ebből a teljes doboz-dimenzió: (1)

(2)

D0 = D0 + D0 ,

(2.8)

vagyis a komponensek doboz-dimenzióinak összege. Megfigyelt térfogat A doboz-dimenzió csak egy a fraktálokat jellemző mennyiségek közül. Nem egyedi, több fraktálnak is lehet ugyanannyi a fraktáldimenziója, így nem elegendő az alakzatok pontos jellemzésére. Ahhoz, hogy átfogóbb képet kapjunk a fraktálok szerkezetéről, be kell vezetnünk még néhány jellemzőt. 2.12. Definíció. Egy d-dimenziós térben ábrázolt fraktál megfigyelt térfogatán az alábbi mennyiséget értjük: V (ε) = εd · N (ε),

(2.9)

ahol N (ε) a d-dimenziós ε nagyságú lefedő dobozok száma. 2.13. Megjegyzés. Mivel N (ε) ∼ ε−D0 , a megfigyelt térfogatra V (ε) = εd−D0 áll. 2.14. Megjegyzés. A d − D0 mennyiséget szokás a fraktál kodimenziójának is nevezni. Azokat a fraktálokat, melyeknek a fraktáldimenziója kisebb, mint a tér dimenziója, sovány fraktáloknak nevezzük, mert a megfigyelt térfogatuk csökken, ha ε → 0 (vagyis, 20

ha növeljük az illesztés pontosságát). Használatos még rájuk a nullértékű halmaz kifejezés is, mert durván fogalmazva nincs térfogatuk, viszont a felszínük a végtelenhez tart a felbontás növelésével. Az olyan fraktálokat, melyek fraktáldimenziója megegyezik a tér dimenziójával, kövér fraktáloknak nevezzük. Az hogy D0 = d, még nem jelenti azt, hogy hagyományos alakzatról beszélünk, csak azt, hogy a megfigyelt térfogat kellően kicsi ε választás mellett egy véges V érték. A Hausdorff-mérték A korábban definiált fraktáldimenziót szokták még doboz-dimenziónak is nevezni, a lefedésre használt dobozok miatt. Egy másik hasonlóan a lefedhetőséggel kepcsolatban álló mérték a fraktálok leírására a Hausdorff-mérték vagy a Hausdorff-dimenzió. 2.15. Definíció. Az A halmaz egy megszámlálható F1 , F2 , · · · lefedését r-lefedésnek hívjuk, ha minden i = 1, 2, · · · -re dFi = sup{|x − y| : x, y ∈ Fi } < r. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a lefedő dobozaink mérete nem állandó, de mindig kisebb r. 2.16. Definíció. Legyen r > 0, és s > 0 valós szám. Ekkor Hrs (A) = inf

∞ X

dsFi ,

(2.10)

i=1

ahol az infimumot az A halmaz összes lehetséges F1 , F2 , · · · r-lefedésére vesszük. Világos, hogy ha r2 < r1 , akkor A minden r2 -lefedése egyben r1 -lefedés is, vagyis Hrs2 (A) ≤ Hrs1 (A). Ez azt jelenti, hogy Hrs (A) r-szerint monoton, vagyis létezik a következő határérték: Hs (A) = lim Hrs (A), r→0

ami lehet végtelen is. 2.17. Definíció. A Hs (A) = lim Hrs (A) r→0

határértéket az A halmaz s-dimenziós Hausdorff-mértékének nevezzük. A Hausdorff-mérték legfontosabb tulajdonságait mondja ki a következő tétel. 21

(2.11)

2.18. Tétel. Tetszőleges s > 0 valósszámra az alábbiak teljesülnek: 1. Hs (∅) = 0, 2. ha A ⊆ B, akkor Hs (A) ≤ Hs (B), S P∞ s 3. Hs ( ∞ i=1 Ai ) ≤ i=1 H (Ai ). Bizonyítás nélkül. 2.19. Definíció. Az s0 küszöbszámot egy A alakzat Hausdorff-dimenziójának nevezzük, melyre igazak az alábbiak: 1. ha t < s0 , akkor Ht (A) = ∞, 2. ha t > s0 , akkor Ht (A) = 0, és Hs0 (A) szám lehet 0, véges pozitív, és ∞ is.

2.1.2.

A káosz és a fraktálok kapcsolata

Bár a természetben megjelenő fraktálgeometriával foglalkozni önmagában is élveztes, a fraktálok kaotikus rendszerekkel való kapcsolatát még izgalmasabb feltárni. Míg a szabályos mozgások hagyományos geometriai alkzatokat rajzolnak ki, addig a kaotikus mozgásokhoz fraktálszerkezet társul. Általánosságban elmondható, hogy minél bonyolultabb egy mozgás, annál bonyolultabb a hozzá tartozó fraktál szerkezete is. Az eddigi példákkal ellentétben a kaotikus rendszerekkel kapcsolatos fraktálok szerkesztése általában nem írható le egyszerű szabályokkal, hanem mivel magából a mozgásegyenletből következik, gyakran bonyolult és csak a fázistérben figyelhető meg. (Általában még a fraktáldimenzió sem adható meg képlettel.)

22

2.2.

Stabilitásvizsgálati alapfogalmak

„A káosz az állandósult instabilitás”[10]

2.2.1.

Alapfogalmak, instabil és stabil állapot

Alapfogalmak Ahhoz, hogy érdemben foglalkozhassunk kaotikus rendszerekkel rendelkeznünk kell némi előismerettel. Először is nézzük tehát az alapfogalmakat. A legelső mozgások – melyeket megtanítanak az elemi iskolában – egyetlen koordináta helyzetét mutatják csak be az idő változásával. A helykoordináta által kirajzolt ábra csak egy egyenes, és általában véve is igen utópisztikus a modell: a mozgó testre nem hat a környezet semmilyen formában sem. Hamar észrevesszük azonban, hogy az elgurított kisautó bizony megáll, és az eldobott labda sem akar egyenes vonalban repülni, pedig elvileg minden olyan, mint az iskolában fizika órán. Számolni viszont egyszerű ezekkel a képletekkel, így gyerekként senki sem vágyik az idilli helyzet megváltoztatására, inkább eltekint az észrevett furcsaságoktól. A mozgásokat és pályáikat több csoportra oszthatjuk. Mi elsősorban azokkal a mozgásokkal fogunk foglalkozni, melyek differenciálegyenletekkel leírhatók. Lássuk az elemzésük alapjait! Az első példa legyen az a rendszer, melyben egy golyót helyezünk el különböző felületeken. Ha egy kerek tálat felfordítunk és a golyót tökéletesen pontosan a legtetejére tesszük, akkor az nem mozdul el onnan, tehát a tál legfelső pontja egy nyugalmi pont. Ha azonban nem pontosan a tál csúcsára tesszük a golyót, akkor az legurul arról (távolodik a nyugalmi ponttól), tehát ez egy instabil nyugalmi állapot. Fontos észrevennünk ebben a rendszerben azonban azt is, hogy ha a tál tetejére nem pontosan tesszük oda 23

a golyót, hanem például ráejtjük, akkor nem tudjuk megjósolni, hogy végül melyik fixpontban áll meg, még azt sem tudhatjuk, hogy melyik negyedívre kerül. Nagyon pici eltérések is drasztikusan megváltoztathatják a végkifejletet. Ez a tulajdonság, vagyis a kezdetiértékektől való nagyfokú függés általánosságban is igaz az instabil fixpontokra. Ha a tálat megfordítjuk, akkor a nyugalmi pont a tál legalsó pontja lesz. Ez azonban stabil helyzet, hisz ha a golyót kicsit kimozdítva engedjük el, akkor mindenképp e felé gurul majd. Itt nem áll fenn a kezdetiértékektől való nagy fokú függés sem, hisz bárhova is tesszük a golyót, előbb-vagy utóbb a nyugalmi pontba jut. Ha a golyót egy sík felületen helyezzük el, akkor is ott marad, tehát az is stabil helyzet. Ha egy kicsit kimozdítjuk a helyéről, akkor se nem közeledik, se nem távolodik a korábbi helyétől, tehát ez eltér az előbbi két állapottól. Hogy matematikailag helyesen fogalmazhassuk meg a nyugalmi állapotok definícióját, tekintsük az alábbi differenciálegyenletet: x˙ = λ · x, és legyen x(0) = p, valamint λ ∈ R. Az egyensúlyi helyzet x0 , amire x0 (t) := 0 áll, a kezdetiérték feladat megoldása pedig x(t) = eλ·t alakban írható. Ha λ < 0, akkor limt→∞ x(t) = 0, tehát az x0 -hoz közelednek a megoldások. Ekkor x0 aszimptotikusan stabil megoldás. Ha 0 < λ, akkor limt→∞ x(t) = ±∞, attól függően, hogy p pozitív, vagy negatív, tehát a megoldások távolodnak x0 -tól. Ilyenkor x0 -t instabilnak nevezzük. Ha λ = 0, akkor a megoldások konstansok, így nem is közelednek, nem is távolodnak x0 tól. Az ilyen típusú megoldásokat stabilnak mondjuk. 2.20. Definíció. [9] Legyen Ω ⊂ RN +1 tartomány, f : Ω −→ RN folytonosan differenciálható függvény, és (t0 , p0 ) ∈ Ω. Az x(t) ˙ = f (t, x(t)) differenciálegyenlet x(t0 ) = p0 kezdeti feltételt kielégítő megoldása legyen t 7−→ Φ(t, t0 , p0 ), a Φ értelmezési tartománya pedig I(t0 , p0 ). A Φ(t, t0 , p0 ) megoldást stabilnak nevezzük, ha 1. [t0 , +∞) ⊂ I(t0 , p0 ), és 2. minden ε > 0 és t1 ∈ [t0 , +∞) számhoz létezik olyan δ > 0, hogy ha (t1 , q) ∈ Ω és k Φ(t, t0 , p0 ) − q k< δ, akkor [t1 , +∞) ⊂ I(t1 , q), és k Φ(t, t1 , q) − Φ(t, t0 , p0 ) k< ε minden t1 < t-re. Egy megoldást instabilnak nevezünk, ha nem stabil. Aszimptotikusnak akkor nevezünk egy megoldást, ha stabil, és a fenti (t1 , q) ∈ Ω mellett limt→∞ k Φ(t, t1 , q) − Φ(t, t0 , p0 ) k= 0. 24

Gyakorlatban leggyakrabban autonóm, vagyis időfüggetlen differenciálegyenletek nyugalmi pontjainak stabilitását kell vizsgálnunk, ezért érdemes a definíciót erre az esetre is kimondanunk. 2.21. Definíció. [9] Legyen M ⊂ RN tartomány, f : M −→ RN folytonosan differenciálható függvény, és legyen az x(t) ˙ = f (x(t)) autonóm differenciálegyenlet x(0) = p kezdetiérték feltételt kielégítő megoldása t 7−→ ϕ(t, p), melynek értelmezési tartománya I(0, p). Ekkor a p ∈ M pontot egyensúlyi pontnak, vagy nyugalmi pontnak nevezzük, ha minden t ∈ M -re ϕ(t, p) = p. 2.22. Definíció. [9] A (2.2) definíció rendszerében a p ∈ M nyugalmi pont pontosan akkor stabil, ha minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy ha q ∈ M és k q − p k< δ, akkor k ϕ(t, q) k< ε. Az egyensúlyi pont akkor instabil, ha nem stabil, és pontosan akkor aszimptotikusan stabil, ha limt→∞ k ϕ(t, q) k= 0. Egy mozgásban lévő test pontos leírásához három paraméterre ven szükségünk: az időre (t), a helyre (x) és a sebességre (v), így nem ábrázolható az eddig megszokott idő-kitérés grafikonon, inkább valamiféle idő-sebesség-kitérés grafikonra lenne szükségünk. 2.23. Definíció. Tetszőleges q ∈ M pontra a ϕ(t, q) : t ∈ I(q) görbét a q pont trajektóriájának vagy pályájának nevezzük. Egy rendszer fázisterén a hely-sebesség-idő háromdimenziós koordinátarendszerben ábrázolt állapotainak az x-y síkra kirajzolt merőlegesvetületét értjük. A fázistér minden pontja a rendszer egy-egy állapotát jelenti és a pont a trajektóriák mentén halad. Mivel ez egy időföggetlen ábra, érdemes a trajektóriákon nyilakkal jelölnünk a haladási irányt. Magasabb dimenziószámú rendszereknél hasonló módon adhatjuk meg a fázisteret. Instabil nyugalmi állapot Nézzük meg, hogy mit jelentenek az előbbi fogalmak egy mozgás esetében! A fázistér legyen a (x, v) pontok által kifeszített sík, ahol x a kitérés, v pedig a sebesség. Példaként vizsgáljuk először azon eseteket, melyekben csak egy instabil, vagy taszító nyugalmi van jelen, legyen ez x∗ , és legyen a helye az origó. Ha feltételezzük, hogy a mozgó testre nem hat semmilyen erő a rendszerben jelenlévőn kívül (nincs súrlódás), akkor a Newtoni-erőegyenlet a következő: F (x) = µ2 · x, 25

(2.12)

ahol F (x) az erőfüggvény, µ2 pedig az úgynevezett taszítási paraméter. A gyorsulást a sebesség idő szerinti deriváltjaként kaphatjuk meg, a sebesség pedig a kitérés-idő függvénynek az idő szerinti deriváltja, tehát a gyorsulás nem más, mint a kitérés-idő függvény idő szerinti második deriváltja. Ha az idő szerinti deriváltat ponttal jelöljük, akkor a mozgásegyenletet az alábbi módon írhatjuk fel: x¨ = F (x) = µ2 · x

(2.13)

Ez egy homogén, lineáris differenciálegyenlet, ami állandó együtthatós, ha a taszítási paraméter konstans. Ebben az esetben az általános megoldása az x(t) = c1 · eµ·t + c2 · e−µ·t

(2.14)

alakban írható fel. Ebből a sebesség: v(t) = c1 · µ · eµ·t − c2 · µ · e−µ·t .

(2.15)

A megoldás egyértelmű, az x(0) = x0 v(0) = v0

(2.16)

kiindulási értékek mellett, c1 -re és c2 -re az alábbiakat kapjuk: µ · x0 + v 0 2·µ µ · x0 − v0 c2 = . 2·µ c1 =

(2.17) (2.18)

Vagyis adott kezdő feltételek mellett a megoldás tényleg egyértelmű. Ahhoz, hogy ábrázolhassuk ezeket a megoldásokat a fázistérben, ki kellene valahogy küszöbölnünk az időtől való függésüket. Alakítsuk a (2.14)-es és a (2.15)-ös egyenletet az alábbiak szerint: µ · x0 + v0 µ·t µ · x0 − v0 −µ·t ·e + ·e 2·µ 2·µ µ · x0 + v0 µ·t µ · x0 − v0 −µ·t v(t) = ·e − ·e 2 2

x(t) =

(2.19) (2.20)

Szorozzuk meg az első egyenletet µ-val! µ · x(t) =

µ · x0 + v0 µ·t µ · x0 − v0 −µ·t ·e + ·e 2 2 26

(2.21)

Vegyük a (2.21)-es és (2.22)-es egyenlet különbségét illetve összegét: v(t) − µ · x(t) = −(µ · x0 − v0 ) · e−µ·t

(2.22)

v(t) + µ · x(t) = (µ · x0 + v0 ) · eµ·t

(2.23)

Szorozzuk össze a két egyenletet: v 2 (t) − µ2 · x2 (t) = v02 − µ2 · x20 = konstans

(2.24)

Vagyis a v 2 (t) − µ2 · x2 (t) független az időtől. Ha ezt ábrázoljuk a hely-sebesség síkon, akkor egy µ paraméterű hiperbola sereget kapunk, melyek aszimptotái pont a v0 ± µ · x0 origón áthaladó egyenesek. A hiperbolák a trajektóriák, az origó pedig a fixpont. Az ilyen típusú fixpontot nyeregpontnak vagy hiperbolikus fixpontnak nevezzük. Az alábbi ábra mutatja be a fázistér szerkezetét:

Az aszimptotákat instabil illetve stabil görbéknek nevezzük. Az instabil görbék mentén távolodunk a fixponttól, ezek a ez az ábrán a v = µ · x egyenletű egyenes, a stabilak (v = −µ · x) mentén közeledünk hozzá. Súrlódásmentes eset azonban ritkán áll fenn a laboratóriumi körülményeken kívül, így érdemes megnéznünk, hogy mi változik, ha valamilyen hátráltató erő is szerepel a rendszerben.

27

2.24. Definíció. Ha egy mozgás egyenlete a x¨ = µ2 · x − S(v) alakban írható, akkor az egyenletben szereplő S(v) függvényt súrlódásnak vagy közegellenállásnak nevezzük. 2.25. Megjegyzés. A súrlódás a sebességtől függő, de a haladási iránnyal ellentétes irányú erő. 2.26. Megjegyzés. Ha az S(v) = 0, akkor a konzervatív (súrlódásmentes) mozgásegyenletet kapjuk. 2.27. Megjegyzés. Azokat a rendszereket, melyekben nem elhanyagolhatóak valamely energiaemésztő folyamatok (például a közegellenállás) disszipatív rendszereknek nevezzük. Vegyük tehát hozzá a rendszerünkhöz a súrlódást. Az egyszerűség kedvéért feltehetjük, hogy a sebesség és valamilyen konstans szorzataként írható fel: S(v) = α · v = α · x, ˙ ahol α > 0. Az új mozgásegyenletünk tehát: x¨ = µ2 · x − α · x. ˙

(2.25)

A másodrendű, homogén lineáris differenciálegyenletek megoldását eλ·t alakban kell keresnünk. A (2.26) egyenletet átalakítva a λ2 + α · λ − µ2 másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek a megoldásai: r α α2 λ1 = + + µ2 2 r 4 α α2 λ2 = − + µ2 . 2 4

(2.26) (2.27)

Az általános megoldása tehát a surlódásos mozgásegyenletnek: λ1 ·t

x(t) = c1 · e

λ2 ·t

+ c2 · e

+ (α 2

= c1 · e

q

α2 +µ2 )·t 4

+ c2 · e

(α − 2

q

α2 +µ2 )·t 4

.

(2.28)

Ha megadjuk a (2.16) és (2.17) kezdőfeltételeket, akkor c1 és c2 értéke a korábbiakhoz hasonlóan kiszámolható: −λ2 · x0 + v0 λ1 − λ2 λ1 · x0 − v0 c2 = λ1 − λ2

c1 =

28

(2.29) (2.30)

Itt is az lenne a feladat, hogy az időtől való függést kiküszöböljük, ez azonban már nem olyan egyértelmű, mint az előbb volt. Vegyük a (2.29)-es mozgás egyenletet, a deriváltját és a λ1 -gyel illetve a λ2 -vel vett szorzatát: −λ2 · x0 + v0 λ1 ·t λ1 · x0 − v0 λ2 ·t ·e + ·e λ1 − λ2 λ1 − λ2 ˙ = v(t) = −λ2 · x0 + v0 · λ1 · eλ1 ·t + λ1 · x0 − v0 · λ2 · eλ2 ·t x(t) λ1 − λ2 λ1 − λ2 λ1 · x0 − v0 −λ2 · x0 + v0 · λ1 · eλ1 ·t + · λ1 · eλ2 ·t λ1 · x(t) = λ1 − λ2 λ1 − λ2 −λ2 · x0 + v0 λ 1 · x0 − v0 λ2 · x(t) = · λ2 · eλ1 ·t + · λ2 · eλ2 ·t λ1 − λ2 λ1 − λ2 x(t) =

(2.31) (2.32) (2.33) (2.34)

Képezzük a v(t) − λ1 · x(t) és a v(t) − λ2 · x(t) mennyiségeket: v0 − λ1 · x0 λ2 ·t ·e = (v0 − λ1 · x0 ) · eλ2 ·t λ1 − λ2 −λ2 · x0 + v0 λ1 ·t v(t) − λ2 · x(t) = (λ1 − λ2 ) · ·e = (v0 − λ2 · x0 ) · eλ1 ·t λ1 − λ2 v(t) − λ1 · x(t) = (λ1 − λ2 ) ·

(2.35) (2.36)

Emeljük a (2.36)-os egyenletet λ1 -edik hatványra, a (2.37)-est pedig λ2 -edikre: (v(t) − λ1 · x(t))λ1 = (v0 − λ1 · x0 )λ1 · eλ1 ·λ2 ·t

(2.37)

(v(t) − λ2 · x(t))λ2 = (v0 − λ2 · x0 )λ2 · eλ1 ·λ2 ·t

(2.38)

Végül pedig osszuk el egymással a két egyenletet: (v0 − λ1 · x0 )λ1 (v(t) − λ1 · x(t))λ1 = (v(t) − λ2 · x(t))λ2 (v0 − λ2 · x0 )λ2

(2.39)

Ezek a mennyiségek már nem függnek az időtől, és bár nem látható olyan szépen, mint az előbb, ezek is a hiperbolákhoz hasonló görbéket rajzolnak ki. Két aszimptotájuk van, melyek mint a súrlódásmentes esetben, az origóban metszik egymást. Ezen nem is csodálkozhatunk, hisz az origó volt a nyugalmi pont az előbb. Mivel a súrlódás a sebességgel arányos erő, a fixpontokban pedig a sebesség nulla, következésképp a súrlódás is nulla a fixpontokban, tehát a nyugalmi pontok helyzetét nem változtatja meg a közegellenállási erő. A súrlódás olyan pályamódosító paraméter, mely csak a mozgás sebességétől függ, a helyétől nem. Vannak azonban olyan nem elhanyagolható hatások, melyek helyfüggőek, azaz a mozgó test helyzete szerint változnak. Ezek jellemzésére szolgál a potenciál.

29

2.28. Definíció. Legyen egy konzervatív rendszer V (x) potenciálfüggvénye a következő képletből számítható: F (x) = −V 0 (x) = −

dV (x) . dx

(2.40)

A V (x) függvény a test egységnyi tömegre eső potenciális energiáját adja meg az x helyen. 2.29. Megjegyzés. Ha az erő taszító irányú, akkor a potenciál csökken a távolság növekedésével, ha az erő vonzó, akkor pedig nő. 2.30. Megjegyzés. A potenciál függvényt csak konzervatív rendszerekben értelmezzük. Aszimptotikusan stabil nyugalmi állapot Természetesen a mozgásegyenlet hasonló módon írható fel aszimptotikusan stabil fixpont esetén is, a taszítási paraméter itt vonzási lesz, tehát a mozgásegyenlet súrlódásmentes esetben a következő: x¨ = F (x) = −µ2 · x.

(2.41)

Az x(0) = x0 és v(0) = v0 kezdőfeltételek mellett kiszámolható, hogy az egyenlet megoldása az alábbi: x(t) = x0 · cos(µ · t) +

v0 · sin(µ · t). µ

(2.42)

Ebből a trajektóriák meghatározásához szükséges időfüggetlen mennyiségek: v 2 (t) + µ2 · x2 (t) = v02 + µ2 · x20 .

(2.43)

Ezek az egyenletek nem hiperbolákat, hanem ellipsziseket definiálnak, ezért az ilyen típusú fixpontot elliptikus fixpontnak nevezzük.

30

Mivel a mozgásunk előre haladó, a pályák iránya az óramutató járásával megegyező. Disszipatív rendszer esetén a következőképp módosul a mozgásegyenlet: x¨ = −µ2 · x − α · x. ˙

(2.44)

Ebben az esetben a λ2 + α · λ + µ2 = 0 másodfokú egyenletet kell megoldanunk az általános megoldáshoz: λ1,2

α =− ± 2

r

α2 − µ2 . 4

(2.45)

Behelyettesítve: x(t) = c1 · eλ1 ·t + c2 · eλ2 ·t −λ1 · x0 + v0 c1 = λ1 − λ2 λ2 · x0 − v0 c2 = . λ1 − λ2

(2.46) (2.47) (2.48)

Fontos észre vennünk, hogy bár ez a megoldás nagyon hasonlít arra, amit az instabil fixpont esetén kaptunk, lényeges különbségek vannak közöttük. Míg a (2.27) és (2.28) egyenletek által meghatározott λ értékek közül az egyik negatív, a másik pozitív volt, addig a (2.46)-os képlettel felírt mindkét λ negatív. Vizsgáljuk meg közelebbről ezeket a λ-kat! Az instabil fixpont elemzése során nem kellett foglalkoznunk mélyebben ezekkel az értékekkel, itt azonban a diszkrimináns 31

értéke lehet negatív is, így a λ-k lehetnek komplexek. Az, hogy mindkét λ negatív, a vonzást fejezi ki az egyenletben, míg a képzetes rész egy oszcilláció lecsengését mutatja.

A fázistér ábráját ez úgy módosítja, hogy az eddig azonos távolságokra lévő trajektóriák most elkezdenek közeledni egymáshoz, illetve a vonzó fixponthoz is.

Az ábrán jól látható, hogy a pályák egy spirált alkotnak. A mozgás iránya nem változott, hisz az előre mozdító erővel van dolgunk. Az ilyen típusú fixpontot spirális attraktornak nevezzük. 32

2.2.2.

Stabilitásvizsgálat

A globális stabilitásvizsgálathoz szükségünk van néhány nem egészen triviális összefüggés kimondására. Először is tekintsük át a fixpontok jellemzőit! A nyugalmi állapotok pontosan azokban az x∗ pontokban jönnek létre, melyekre F (x∗ ) = 0, illetve

V 0 (x∗ ) = 0 áll.

(2.49)

Az, hogy a fixpont stabil vagy instabil, attól függ, hogy az erőfüggvény hogyan viselkedik a lokális vizsgálat során. Ha az előbbi feltételek állnak, akkor az x∗ fixpont • stabil, ha az x∗ pontban a potenciálfüggvénynek lokális minimuma van; • instabil, ha maximuma. A kétdimenziós fázistér Gyakorlati megfontolásokból a részletesebb fixpont vizsgálatokat csak kétdimenziós rendszerekben tanulmányozzuk. Tehát a x˙ = f (x) modell kétdimenzióban a x˙1 = f1 (x1 , x2 )

(2.50)

x˙2 = f2 (x1 , x2 )

(2.51)

egyenletek által definiált rendszer. 2.31. Megjegyzés. A korábban vizsgált mozgásokat is felírhatjuk ilyen alakban. Példaként nézzük a súrlódásos mozgásegyenletet: x¨ = F (x) − α · x. ˙ Legyen x1 := x és x2 := x˙ = v. Ekkor a rendszer: f1 (x1 , x2 ) = x2 ,

f2 (x1 , x2 ) = F (x1 ) − α · x2 .

A fixpontok tehát azok a fázistérbeli pontok, melyekre az x∗ = 0 egyenletrendszer áll. Ez természetesen ekvivalens azzal, hogy f (x∗ ) = 0. Ebben a felírásban a fixpont továbbra is időfüggetlen, de mivel a második koordináta itt nem a sebesség, már nem feltétlenül igaz, hogy az is 0. A potenciált sem tudjuk olyan szépen megadni, mint az előbb, így a fixpontok jellemzésére más módot kell találnuk. Vegyünk egy a fixponthoz közeli x pontot és képezzük a x − x∗ különbségeket.

33

Ha ezt behelyettesítjük a (2.51) és a (2.52) egyenletek által meghatározott általános kétdimenziós rendszerbe, majd linearizáljuk a kapott rendszert, akkor a következő összefüggést kapjuk: ˙ x∗ ) = a11 · (x1 − x∗ ) + a12 · (x2 − x∗ ) (x1 − 1 1 2

(2.52)

˙ x∗ ) = a21 · (x1 − x∗ ) + a22 · (x2 − x∗ ), (x2 − 2 2 1

(2.53)

ahol az aij együtthatók az

∂fi ∂xj

parciális deriváltak hányadosa. Mátrixos alakban felírva

az együtthatókat: A=

a11 a12

! =

a21 a22

∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x1

∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2

!

2.32. Definíció. A fenti A mátrixot a rendszer stabilitási mátrixának nevezzük. A rendszert is felírhatjuk mátrixok segítségével: 2.33. Definíció. Legyen az x − x∗ különbség ∆x. Ekkor a (2.53)-os és a (2.54)-es egyenletek által meghatározott rendszert az alábbi egyenlet írja le: ˙ = A · ∆x. ∆x

(2.54)

Ha szeretnénk ebből az egyenletrendszerből meghatározni a fixpontokat, akkor először A-t kell közelebbről megvizsgálnunk. Először is megoldható kell, hogy legyen a rendszer, vagyis hogy detA 6= 0 teljesülnie kell. Ha a megoldásokat∆x = u · eλ·t keressük, akkor az egyenlet a következőképp alakul: λ · u · eλ·t = A · u · eλ·t

(2.55) (2.56)

vagyis λ · u = A · u.

(2.57)

ami azt jelenti, hogy λ az A mátrix sajátvektora. A fixpontok jellegét egyértelműen meghatározzák az A sajátértékei. Az alábbi táblázat foglalja össze, hogy milyen kapcsolat is áll fenn a fixpontok és a λ-k között:

34

Nyeregpont

λ1,2 valós és λ1 > 0 > λ2

Elliptikuspont

λ1,2 csak képzetes részből áll

Csomópontattraktor

mindkét λ valós és 0 > λ1,2

Spirális attraktor

λ1,2 komplex és mindkettő valós részére Reλ1,2 < 0 áll

Csomópont repellor

λ1,2 valós és 0 < λ1,2

Spirális repellor

λ1,2 komplex és Reλ1,2 > 0

A tábálzat eredményei levezethetőek a korábbiakhoz hasonló módon, ám a számításokat az olvasóra bízzuk.

35

3. fejezet Disszipatív rendszerek káosza 3.1.

Általános jellemzők

A hétköznapi életben igen ritkán találkozhatunk konzervatív rendszerekkel. Mivel a közegellenállási erő folyamatosan hat minden mozgó testre, ha nem vizsgálunk például hidrodinamikai áramlásokat, akkor nem valószínű, hogy súrlódásmentes esettel kellene számolnunk. Emiatt ez a dolgozat sem foglalkozik jelentékeny mértékben ezekkel a rendszerekkel, inkább a disszipatív rendszereket helyezi az előtérbe.

3.1.1.

Gerjesztett rendszerek

A kaotikus rendszerek környezete általában nem független az időtől, hanem periodikusan változó, ezáltal a rendszerre kifejtett hatás sem állandó, hanem periodikus. Az ilyen környezeti változásokat gerjesztésnek, az ilyen rendszereket pedig gerjesztett rendszereknek nevezzük. 3.1. Definíció. A gerjesztett rendszereket leíró mozgásegyenlet általános alakja a x¨ = F (x) − α · x˙ + Fg (x, t)

(3.1)

egyenlet, ahol Fg (x, t) a gerjesztési erő. Mivel ez az erő valamilyen T periódus múlva ugyanolyan értéket vesz fel, értékét az alábbi alakban írhatjuk: Fg (x, t + T ) = Fg (x, t). 36

(3.2)

A gerjesztett rendszereknél fontos az is, hogy a gerjesztés milyen állapotban van, amikor a mozgás elkezdődik, így definiálnunk kell a gerjesztési fázis fogalmát is. 3.2. Definíció. Jelölje a továbbiakban a gerjesztési fázist ϕ és értéke legyen a következő: ϕ=2·π·

t + ϕ0 , T

(3.3)

ahol ϕ0 a kezdő fázis. A fáziskép ilyenkor nem két, hanem háromdimenziós és a v és x értékeken kívül a ϕ értékeitől is függ. A rendszer állapotait vizsgálva sokszor érdemes a trajektóriák követése helyett csak adott fázisú pillanatokban megnézni a fázisképet. Ezt úgy képzelhetjük el, hogy a térbeli trajektóriákat ϕ − ϕ0 síkokkal metszük és utána csak ezen síkokat vizsgáljuk. (Praktikus úgy elkészítenünk a metszeteket, hogy a periódus idők T egész számú többszörösei legyenek, vagyis a metsző síkok egyenletei: ϕ − ϕ0 = k · 2 · π, ahol k egész.) 3.3. Definíció. Jelöljék a rendszer n-edik metszeten lévő állapotát a (vn , xn ) koordináták. Ekkor a rendszer következő metszeten lévő állapotát az alábbi M leképezés fejezi ki: (xn+1 , vn+1 ) = M (xn , vn ),

(3.4)

vagyis koordinátánként kiírva: xn+1 = M1 (xn , vn ),

vn+1 = M2 (xn , vn ),

(3.5)

ahol M1 és M2 a leképezés egyes komponenseit megadó függvények. A fenti M leképezést stroboszkopikusnak nevezzük. A stroboszkopikus leképezés hasznosságát a későbbi fejezetekben fejtjük ki.

3.1.2.

Feltétel a differenciálegyenlettel való leírásra

Ahogy már korábban is megfogalmaztuk, matematikai szempontból számunkra azok a fontos rendszerek, melyeket valamilyen differenciálegyenletekkel le tudunk írni. Ahhoz, hogy egy rendszer leírható legyen ily módon, teljesülnie kell néhány feltételnek.

37

3.4. Állítás. Ahhoz, hogy egy rendszert differenciálegyenletekkel írhassunk le, teljesülnie kell az alábbi feltételeknek: 1. A leképezésnek megfordíthatónak kell lennie (léteznie kell a leíró függvény inverzének) 2. A leképezés Jacobi-mátrixának a determinánsa pozitív kell, hogy legyen (detJ > 0) 3. Súrlódásmentes esetben a Jacobi-determináns értéke 1 kell, hogy legyen, disszipatív rendszer esetén pedig kisebb mint 1 (vagyis detJ ≤ 1) A továbbiakban csak olyan rendszerekkel fogunk foglalkozni, melyek megfelelnek a (3.1)-es állítás feltételeinek.

3.2.

A kaotikus mozgás jellemzői

A fraktálok vizsgálatánál ismertettük, hogy a jellemzésükre a fraktáldimenzió, a koodimenzió, illetve a megfigyelt térfogat vonatkozik. A stabilitásvizsgálat szempontjából fontos információkat a rendszert leíró differenciálegyenlet, illetve a leképezés mátrixa tartalmazták. Ha globálisan szeretnénk jellemezni a káoszt, természetesen megtehetjük. Ebben a fejezetben a kaotikus mozgás jellemzésére szolgáló legfőbb mennyiségek rövid leírását találhatjuk.

3.2.1.

A kaotikus attraktor

A fázistér azon pontjainak a halmazát, melyhez a trajektóriák konvergálnak, attraktornak nevezzük. Ez nem feltétlenül egy olyan fixpont, mint amilyet a 2.2.2-es fejezetben definiáltunk, legtöbbször nem is egy zárt görbe, hanem a fázistér egy olyan zárt invariáns halmaza, mely vonza a környezetében lévő többi pályát, és amelyik trajektória belefut, az nem lép ki belőle. A kaotikus attraktoron mozgás történik, és ez a mozgás bonyolult geometriájú. A 3.4-es állításban kimondott feltételek miatt tudjuk, hogy a leképezéseink Jacobi-determinánsa 0 és 1 közé esik. Ez azt jelenti, hogy a fázistérfogat az attraktoron iterációk előrehaladtával csökken (méghozzá pontosan a Jacobi-determináns szorosára). Az iterálás mindig azt eredményezi, hogy a kiindulási tartomány az instabil irányban megnyúlik, a stabilban pedig összehúzódik. Ez a folyamat kellően nagy számú iterációs lépés elvégzése után a Cantor-szálakhoz hasonló 38

szerkezetet indukál. A doboz-dimenziója tehát megegyezik az egységintervallum és a Cantor-halmaz összevetítésével kapott fraktál dimenziójával: D0 = 1 +

ln2 . ln1/r

(3.6)

A hiperbolikus fixpontokhoz tartozó instabil és stabil sokaság mághatározásánál azt vehetjük észre, hogy az instabil sokaság fraktáldimenziója megegyezik a teljes kaotikus attraktoréval, sőt, jó közeleítéssel magával a kaotikus attraktorral is.

A kaotikus attraktor. Jól látszanak az instabil pályák.

A kaotikus attraktor jobb megértését segíti, ha a későbbiekben vizsgált pékleképezéshez tartozó kaotikus attraktor tulajdonságait végigszámoljuk, kialakulását lépésrőllépésre végig kísérjük.

3.2.2.

Ljapunov-exponens

A kaotikus viselkedés egyik feltétele az előrejelezhetetlenség. Ennek a mérésére szolgál a következő fogalom, a Ljapunov-exponens. Korábban már említettük, hogy a hiperbolikus pontok közeléből induló pontok távolsága exponenciálisan növekszik. Ez ekvivalens azzal a megfogalmazással, hogy a trajektóriák exponenciálisan távolodnak egymástól. 3.5. Definíció. Jelöljük a hiperbolikus fixpontot b = (x1 , x2 )-vel, és két hozzá közeli, 1

az instabil pályáról induló pont kezdeti távolságát ∆b0 := (∆x21 + ∆x22 ) 2 . Az n-edik 1

iteráció után ez a távolság ∆bn = (∆x21,n + ∆x22,n ) 2 . Ha a kezdeti távolság kellően kicsi, akkor a ∆bn távolság a következő összefüggésből számolható: ∆bn (b) = 1, n→∞ ∆b0 · eλ(b)·n lim

ahol a λ(b) mennyiséget lokális Ljapunov-exponensnek nevezzük. 39

(3.7)

3.6. Megjegyzés. Azért lokális, mert függ az attraktortól való távolságtól. (Ezt fejezi ki a zárójelben a b is) 3.7. Megjegyzés. A lokális Ljapunov-exponens értéke mindig pozitív. Ha speciálisan olyan pontokat választunk, melyek a stabil sokasághoz tartoznak, akkor természetesen azok közeledni fognak egymáshoz, így a Ljapunov-exponens értéke is negatív lesz. Ezt hívjuk negatív Ljapunov-exponensnek : ∆bn (b) = ∆b0 · eλ− (b)·n

(3.8)

Természetesen az összes fázistéren lévő pont között felírhatunk ilyen összefüggést. Azt a mennyiséget, mely nem függ az attraktortól való távolságtól, átlagos Ljapunovexponensnek nevezzük, és λ-val jelöljük. Ilyenkor az összefüggés: ∆bn = ∆b0 · eλ·n

(3.9)

Át kell gondolnunk, hogy egy a kaotikus attraktoron haladó pontpár mindig más és más lokális Ljapunov-exponens hatásának ven kitéve. Emiatt az átlagos Ljapunovexponens a lokálisak időbeli átlaga, ami azonban megegyezeik a természetes eloszlás szerinti átlaggal. 3.8. Állítás.

1

Legyen b = (x1 , x2 ) az attraktor, és λ(b) a lokális Ljapunov-exponens.

Ekkor az átlagos Ljapunov-exponens úgy számolható, mint a λ(b)-nek az időfüggetlen természetes eloszlás szerinti várható értéke: Z λ = λ(x1 , x2 ) · P ∗ (x1 , x2 ) · dx1 · dx2

(3.10)

3.9. Megjegyzés. A természetes eloszlást a következő fejezetben tárgyaljuk részletesen.

3.2.3.

A természetes eloszlás

Már a bevezetőben is említettük, hogy a kaotikus rendszerek egyik fontos sajátossága, hogy a kezdeti kis eltérések rövid időn belül jelentékennyé válhatnak, emiatt a kaotikus attraktoron való mozgást hosszútávon nem tudjuk megjósolni. Ez tényleg az egyik 1

Ez az összefüggés és a bizonyítása a TÉL T. - GRUIZ M. (2002) : Kaotikus Dinamika (Budapest,

Nemzeti Tankönyvkiadó) könyv 210. oldalán található.

40

alapfeltétele a káosznak, így ezen nem csodálkozhatunk. Azonban a statisztikai eszköztár széles skálája áll rendelkezésünkre, érdemes tehát inkább globálisan, egy tartomány mozgását vizsgálnunk, és a tartomány pontjaira, mint mozgásban lévő atomokra tekintenünk. Így már könnyebben meg tudjuk előre mondani, hogy egy atom milyen valószínűséggel járja be a kaotikus attraktor egyes részeit. Tegyük fel, hogy kezdetben a fázistartományon egyenletesen szétszórva helyezkednek el az atomok, illetve tegyük fel, hogy a fázistartomány nagysága 1 egységnyi. Ekkor annak a P0 (b) valószínűsége, hogy egy kezdeti A0 területű tartomány részletben található atom, az P0 := 1/A0 , egyébként(a fázistartományon kívül) P0 ≡ 0. Egy iterációs lépés után, a fázistartomány kisebb lesz, így nő annak a valószínűsége, hogy atomot találjunk egy véletlenszerűen választott fázistartomány részletben, vagyis P0 < P1 . (Érdemes odafigyelnünk arra, hogy már egy lépés után sem homogén az atomok eloszlása.) Az iterálást kellően sokszor ismételve észre kell vennünk, hogy a Pn valószínűségek konvergálnak egy határeloszláshoz: Pn (x1 , x2 ) → P ∗ (x1 , x2 ),

han → ∞.

(3.11)

Ezt a P ∗ értéket szokás a kaotikus attraktor természetes eloszlásának, vagy természetes mértékének nevezni.

3.3.

A pékleképezés

A pékleképezés eredete az 1930-as évekre tehető, és Eberhard Hopf német matematikus nevéhez köthető. A leképezés sokban hasonlít a bevezetőben is ismertett Smalelópatkóra. A pékleképezés úgy módosítja a teret, hogy egyik irányban összenyomja, másik irányban megnyújtja, majd két egyforma darabra vágja és ezeket egymásra rakja. A nevét arról kapta, hogy sokszor megismételve tényleg ahhoz hasonló, mint amit a pékek csinálnak a levelestésztával. Disszipatív változatát az 1980-as évektől kezdve vizsgálták. A levelestésztás hasonlatot tovább fűzve, ez egy olyan pék munkáját modellezi, aki kissé torkos, így minden nyújtásnál lecsippent magának egy kicsit a tésztából.

A leképezés megfelel mindazoknak a feltételeknek, melyeket a (3.1)-es állításban 41

fogalmaztunk meg, tehát megfordítható és a Jacobi-mátrix deteminánsa 0 és 1 közé esik. 3.10. Definíció. A pékleképezés a hely-sebesség sík egységnégyzetének pontjaihoz rendeli a (xn+1 , vn+1 ) = B(xn , vn )

(3.12)

pontokat a következőképp: ( B− (xn , vn ) ≡ (a · xn , 2 · vn ), B(xn , vn ) = B+ (xn , vn ) ≡ (1 + a · (xn − 1), 1 + 2(vn − 1)),

ha vn ≤ 1/2 ha vn > 1/2

.

Ha szeretnénk, koordinátánként is felírhatjuk a B függvényt: ( a · xn , ha vn ≤ 1/2 xn+1 = , 1 + a · (xn − 1), ha vn > 1/2 illetve

( vn+1 =

2 · vn ,

ha vn ≤ 1/2

1 + 2(vn − 1),

ha vn > 1/2

.

Mivel a definíció szerint a leképezést a 0 ≤ xn ≤ 1, 0 ≤ vn ≤ intervallumokon értelmezzük, tehát a fázistér is az ezen koordináták által lefedett egységnégyzet. A fixpontok megkereséséhez azokat a pontokat kell megtalálnuk, melyekre B(xn , vn ) = (xn , vn ), jelöljük az ilyen pontokat (x∗ , v ∗ )-gal. Ez csak akkor lehetséges, 1. ha v ∗ ≤ 1/2, és az x∗ = a · x∗ , v ∗ = 2 · v ∗ egyenletrendszernek van megoldása, illetve 2. ha v ∗ > 1/2, és az x∗ = a · x∗ − a + 1, v ∗ = 2 · v ∗ − 1 egyenletnek van megoldása. Mindkét esetben találunk megoldást: az elsőből a (0,0), a másodikból az (1,1) fixpont létezése következik. Ezek mindketten hiperbolikusak, ami a leképezés mátrixából a korábban bemutatott módon kiszámolható. Ezekből azonban még nem következik kaotikus viselkedés, így vizsgáljuk meg, hogyan is néz ki egy pont pályája. Ha két egymáshoz közeli pont pályáját egy táblázatban rögzítjük, illetve akár ábrázoljuk is2 , azt vehetjük észre, hogy a két trajektória radikálisan különbözik egymástól már néhány lépés után is. Az ilyen távolodás mérésére vezettük be korábban a Ljapunov-exponenst. 2

Melléklet 72.oldal

42

Definíció szerint a lokális Ljapunov-exponenst az instabil pályák mentén számíthatjuk ki. A leképezés során egy lépés után két tetszőleges pont sebesség koordináták szerinti távolsága legalább kétszeresére növekszik, ugyanakkor a helykoordináták szerinti távolság minden iterációval az a-szorosára csökken. Ez azt jelenti, hogy a sebesség menti pályák hiperbolikusak, vagyis ezeken számoljuk a lokális Ljapunov-exponenst. Jelöljük a két pont n-edik iteráció után sebességkoordináta szerinti távolságát ∆vn nel. Mivel minden lépésben a kétszeresére nő ez a távolság, az alábbi összefüggés igaz: ∆vn = 2n · ∆v0 = en·ln2 · ∆v0 . A Ljaponuv-exponens definíciójában erre a növekedésre a ∆vn = enλ · ∆v0 összefüggést írtuk fel. A behelyettesítés után a Ljapunov-exponensre a λ = ln2 = 0.6931

(3.13)

erdményt kapjuk. Az x irány mentén a két pont távolsága csökken, az n-edik iteráció után ∆xn = n

a · ∆x0 áll. A negatív Ljapunov-exponens definíciójába behelyettesítve λ− = lna,

(3.14)

ami pedig biztosan negatív, mert a < 1. p A teljes távolság ∆bn = ∆x2n + ∆vn2 képletében bár a ∆xn csökken, néhány iteráció után már teljesen a növekedő ∆vn -es tag dominál. Emiatt a teljes távolság a pozitív Ljapunov-exponensnek megfelelően exponenciálisan nő. Fontos megjegyeznünk azonban, hogy ez a növekedés természetesn csak véges ideig figyelhető meg, a rendszer végessége miatt.

3.4.

A vízikerék

Szintén a bevezetőben említett egyik problémával rokon a vízikerék kérdése3 . Az eddigieknél azért különlegesebb ez a rendszer, mert bár a fázisképe ennek is háromdimeniós, itt nincs olyan változó, aminek az értéke a végtelenhez tartana4 . Az alapprobléma felvázolásaként képzeljünk el egy olyan talpazathoz rögzített kereket, mely egy tengely mentén mindkét irányban szabadon mozoghat, és melyen egyenlő 3 4

A hasonló probléma a Lorenz-féle vízikerék. A stroboszkopikus leképezéseknél a ϕ fázis a végtelenhez tart.

43

távolságban (és szimmetrikusan) vödrök vannak elhelyezve, melyekbe egyenletesen elosztva hull az eső. (Feltételezzük, hogy a vödrökből ki is csorog valamennyi víz.)

A felmerülő kérdés az, hogy annak ellenére, hogy teljesen szimmetrikus a vödrök elrendezése, mozgásba jöhet-e a kerék, illetve, ha már mozog, akkor lehetséges-e mozgásban maradnia hosszú távon? Ahhoz, hogy könnyebben értelmezhető legyen a feladat, kicsit le kell csupaszítanunk a modellt. Tegyük fel először is, hogy a vödrök tömege elhanyagolható, így csak a bennük lévő víz tömege lesz jelentékeny. Ha azt is föltesszük, hogy a vödrök mérete kicsi, ugyanakkor a számuk nagy, akkor azt mondhatjuk, hogy a vödrökben lévő vízmennyiség felfogható úgy, mint egy olyan folytonos szigorúan nem negatív függvény, melynek az értelmezési tartománya egy körvonal. Fontos feltennünk még azt is, hogy a kerék tömege dominálja a vízzel telt vödrök tömegét, mert így azt mondhatjuk, hogy a tehetetlenségi nyomaték csak a keréktől függ, vagyis időben állandó, értéke konstans. Legyen a kerék sugara R, az alapegységnek számított körív hossza l, adott l hosszú körív függőlegessel bezárt szöge ϕ, az l(ϕ) kis körívre jutó víz tömege a t időpillanatban pedig legyen m(ϕ, t) · l(ϕ). Az m mennyiség tehát függ a ϕ-től, vagyis a helytől, és a t időtől (mert tudnunk kell az adott pillanatban ki- illetve befolyó víz mennyiségét). Hogy felírhassuk a kerék mozgásegyenletét, először meg kel határoznunk a rá ható forgónyomaték nagyságát. Ehhez szükségünk van az egységnyi ívhosszra jutó forgónyomatékra: m(ϕ, t) · l(ϕ) · R · g · sin ϕ,

(3.15)

ahol g a gravitációs gyorsulás. A teljes kerékre jutó forgónyomaték ezeknek az összege, 44

vagyis Z

2π

m(ϕ, t) · l(ϕ) · R · g · sin ϕdϕ.

N=

(3.16)

0

Természetesen N = 0, ha a víz eloszlása a keréken szimmetrikus. Az N kiszámításához tehát mindenképp tudnunk kell az m(ϕ, t) értékeket. Kereshetjük a megoldást az alábbi speciális alakban, ahol az egységnyi ívhosszra eső víz mennyisége így írható: m(ϕ, t) = A(t) · sin ϕ + B(t) · cos ϕ.

(3.17)

Ha A(t) = 0, akkor a víz eloszlása természetesen szimmetrikus, így tegyük fel, hogy A(t) 6= 0. Helyettesítsünk be az integrálba, ekkor N = A(t) · R · g · π

(3.18)

következik. Ha a szögsebességet ω-val jelöljük, a tehetlenséget Θ-val, a súrlódási együttható pedig szokásosan α, akkor a mozgásegyenlet a következő alakban írható: Θ · ω˙ = N − α · ω,

(3.19)

behelyttesítve N -t ω˙ = A(t) ·

R·g·π α − ·ω Θ Θ

(3.20)

adódik. Ahhoz, hogy ezt az egyenletet megoldhassuk, szükségünk lenne az A(t)-re, ennek a meghatározásához azonban tudnunk kellene azt, hogy egy időegység alatt mennyi víz távozik az l(ϕ) körívről, illetve mennyi csapadék esik rá. Az egyszerűség kedvéért feltehetjük, hogy a kicsepegő vízmennyiség arányos az ívhosszon lévő víz mennyiségével, tehát az egy időegység alatt távozó víz tömege −κ · m(ϕ, t) · l(ϕ), ahol κ > 0 az arányossági tényező. Mivel egy ívrész merőleges vetülete a vízszintes tengelyre R · cos(ϕ) · l(ϕ), a ráhulló víz mennyisége tehát legyen q · cos(ϕ) · l(ϕ), ahol q = R · konstans. A vízmennyiségekre vonatkozó derivált egyenlet így az alábbi

−ω ·

∂m(ϕ, t) = ∂t

(3.21)

∂m(ϕ, t) + q · cos ϕ − κ · m(ϕ, t). ∂ϕ

(3.22)

3.11. Megjegyzés. Ezt az egyenletet szokás a vízikerék kontinuitási, vagy más néven tömegmegmaradási egyenletének is nevezni. 45

Ha behelyettesítjük az m(ϕ, t)-re felírt képletet, akkor a A˙ · sin ϕ + B˙ · cos ϕ = q · cos ϕ − κ · A · sin ϕ − κ · B · cos ϕ − ω · A · cos ϕ + B · sin(3.23) ϕ egyenletet kapjuk, aminek minden ϕ szögre teljesülnie kell. Hogy ez igaz legyen, a koszinuszos, illetve szinusos tagok megfelelő együtthatóinak egyenlősége kell, hogy fennálljon, vagyis az alábbi differenciálegyenlet-rendszert kell megoldanunk: A˙ = −κ · A + ω · B

(3.24)

B˙ = q − κ · B − ω · A.

(3.25)

Ez a nemlineáris egyenletrendszer egyértelműen meghatározza a vízikerék mozgását, vagyis ha található olyan megoldás, melyben az ω nem a nullához tart, akkor a kerék asszimetrikus lesz és forogni fog. ˙ B˙ és ω változók feszítik ki. A fixpontok ott találA vízikerék fázisterét tehát a A, hatók, ahol A˙ = B˙ = ω˙ = 0 egyenlőségek teljesülnek. Ha a fixpontokat (A∗ , B ∗ , ω ∗ )-gal jelöljük, akkor az alábbi egyenletrendszert kell megoldanunk: R · g · π · A∗ − α · ω ∗ = 0 −κ · A∗ + ω ∗ · B ∗ = 0

(3.26)

q − κ · B ∗ − ω ∗ · A∗ = 0. Az egyik lehetséges megoldás, a (A∗ , B ∗ , ω ∗ ) = (0, q/κ, 0) pont. Ez a helyzet akkor lehetséges, ha a kiindulási állapotban a kerék állt, és azt jelenti, hogy ha nem éri más hatás a kereket, csak a ráhulló víz, akkor nem is kezd mozgásba. Nézzük meg, hogy mi történik, ha feltesszük, hogy ω ∗ 6= 0! Ki fejezhetjük A∗ -ot és B ∗ -ot az első két egyenletből: α · ω∗ R·g·π κ·α ∗ B = áll. R·g·π A∗ =

(3.27) (3.28)

Ha ezt behelyettesítjük a harmadik egyenletbe, akkor a másodfokú egyenletek megoldóképlete szerint az alábbi összefüggés igaz ω ∗ -ra: r q·R·g·π ω∗ = ± − κ2 . α 46

(3.29)

Annak a feltéle, hogy a kerék mozoghasson az, hogy a ω ∗ > 0 valós szám legyen, vagyis a diszkriminánsnak pozitívnak kell lennie: q>

κ2 · α , R·g·π

(3.30)

kell állnia. Tehát ahhoz, hogy a kerék forgásban maradjon, a q értéknek nagyobbnak kell lennie a fenti törtnél. A pozitív illetve negatív szorzó az ω ∗ képletében a fozgási irányoknak felel meg, tehát két nemtriviális fixpont is van még a rendszerben a korábban meghatározott mellett.

47

4. fejezet Amiről nem esett szó 4.1.

Perióduskettőző bifurkációsorozat

A bevezetőben bemutattuk, hogy hogyan is néz ki egy bifurkációs diagram, de nem tértünk ki a részletes értelmezésére. A bifurkációelmélet azt vizsgálja, hogy egy differenciálegyenletekkel leírható rendszer szerkezete hogyan változik a paraméterek megváltoztatásával. Ez fontos része a kaotikakutatásnak, ezért nem maradhat ki egy ilyen témájú dolgozatból a vázlatos ismertetése. A pékleképezés vizsgálata során láttuk, hogy két fixpontja van, a (0, 0) és az (1, 1), de nem foglalkoztunk azzal, hogy vajon lehetséges-e magasabb rendű ciklus kialakulása ebben rendszerben. 4.1. Definíció. Egy leképezés n-edrendű ciklusának pontjain azokat az (x∗ , v ∗ ) pontokat értjük melyekre a ◦ · · · ◦ B}(x∗ , v ∗ ) = (x∗ , v ∗ ) áll, |B ◦ B {z

(4.1)

n

vagyis amit a leképezés n iteráció után önmagába visz. Ezt a képletet alkalmazva megállapíthatjuk, hogy a pékleképezésnek a fenti két elsőrendű (és egyben másod-, harmad, · · · , sokadrendű) fixpontja mellett van két másodrendű is, az (1/(1 + a), 1/3), illetve az (a/(1 + a), 2/3). 4.2. Megjegyzés. A fenti definícióból látszik, hogy ha létezik n-edrendű ciklusa a leképezésnek, akkor van n darab n-edrendű nemtrivális fixpontja is.

48

4.3. Állítás. Az összes n-hosszú ciklus pontjainak (triviális és nemtriviális egyaránt) a száma összesen Nn = 2n . A fenti ciklusok hiperbolikusak, és a hiperbolikus ciklusok pontjai alkotják a kaotikus attraktor vázát. Maga az attraktor tekinthető úgy, mintha az összes ciklus vonzó sokaságának az együttese lenne. A ciklusok vizsgálata a bifurkáció elmélet alapja. A kaotikus rendszerek kialakulása általában egy (vagy több) paramétertől függ1 . Legyen a paraméter, melytől a rendszer típusa függ p. Ahogy a fejezet címe is sejteti, a periódukettőző bifurkációsorozat példáján keresztül mutatjuk be a káosz kialakulását. Tegyük fel, hogy a p paraméter kiindulási éréke mellett a rendszernek egy fixpontja van. Ha a p értéket növeljük, akkor azt tapasztaljuk, hogy egy p1 érték elérése után a fixpont instabillá válik és ezzel egyidőben kialakul egy kettes ciklus, ami felváltja a kezdeti egy fixpontot, és helyette lesz az attraktor. Vagyis az attraktor periódusa megduplázódott. Ez a másodrendű attraktor azonban csak egy p2 értékig stabil, utána instabillá válik, és az előbbi módon megkettőződik: kialakul egy vonzó négyes attraktor. Ezt folytatva a tapasztalat azt mutatja, hogy egyre kisebb a pk+1 − pk távolság, vagyis az egyes ciklusok egyre kevesebb ideig maradnak stabilak. Amikor a rendszer eléri a formális p∞ értéket, és ezzel azt, hogy a ciklusok 2∞ hosszúak legyenek, akkor azt mondjuk, hogy elérte az akkumulációs pontját.

1

Gondoljunk csak az ingára, melynek rendszerébe vonzó mágneseket helyeztünk!

49

4.4. Állítás. A perióduskettőző bifurkációsorozatok pn paraméter sorozata a p∞ érték kis környzetében mértani sorozatként viselkedik, vagyis a 1 pn = p∞ − A · ( )n δ

(4.2)

képletből számolható, ahol δ = 4.669 minden differenciálegyenletekkel leírható leképezésre. 4.5. Megjegyzés. Feigenbaum-exponensek: 1. a bifurkációsorozat villáinak szélessége α = 2.503 és 2. a bifurkációsorozat kvóciense a fenti δ = 4.669 minden differenciálható leképezéssel leírt rendszerben. A különlegességük, hogy mivel állandóak, megmutatják, hogy a káosz kialakulása univerzális vonásokkal rendelkezhet. Nevüket az univerzalitásuk bebizonyítójáról, Mitchell Feigenbaumról kapták.

50

5. fejezet Összefoglalás A választott téma határai sajnos szétfeszítik egy B.Sc. szakdolgozat kereteit, az alapfogalmak meghatározása azonban már egy ilyen rövid dolgozatban is lehetséges. A történeti bevezetőben meismerhettük a kaotika kutatás legnagyobb mérföldköveit és az alapokat lerakó legnevesebb természettudósokat, és természetesen nem maradhattak ki közülük az eredményesebb magyar kutatóink sem. A történeti összefoglalás után megbarátkozhattunk a fraktálokkal, alaptulajdonságaikkal és jellemző mérőszámaikkal, valamint a legegyszerűbben elkészíthető fraktálokkal. Az első fejezet folytatását a stabilitásvizsgálat alapjainak meghatározására szenteltük, többek között megfogalmaztuk az egyensúlyi helyzetek típusainak feltételeit. A második fejezet a disszipatív rendszerekkel foglalkozik, tartalmazza rövid leírását a káosz legfontosabb mérőszámainak jellemzőinek, valamint a rövid elemzését a pékleképezésnek, illetve a vízikerék problémának. A negyedik fejezetben az eddig nem említett bifurkáció elmélettel foglalkozhattunk egy kicsit, a perióduskettőző bifurkásiósorzatot kísérhettük végig a káoszba vezető útján. Az ezt követő részben a mellékletek találhatók, remélem kellően támogatják a dolgozat korábbi részeit.

51

6. fejezet Mellékletek a fejezetekhez 6.1.

Bevezetés

A bevezető mellékletei főként az említett kutatók képeit tartalmazzák. Bár az, hogy arcról is ismerjük őket nem feltétele a káoszelmélet megértésének, sőt jelentékeny segítséget sem nyújt a későbbi tanulmányokhoz, véleményem szerint mégis fontos, ha nemcsak egy leírt névhez, hanem egy archoz, egy emberhez is tudjuk kötni az eredményeket, tételeket.

6.1.1.

Történelmi áttekintés

52

1. Magnus Gösta Mittag-Leffler svéd matematikus (1846-1881) 2. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass német matematikus (1815-1897) 3. Jules Henri Poincaré francia matematikus, fizikus és filozófus (1854-1912) 4. Galileo Galilei olasz természettudós (1564-1642)

53

5. Edward Norton Lorenz amerikai matematikus, meterorológus (1917-2008) 6. Stephen Smale amerikai matematikus (19307. Egy 1958-as Royal-McBee

54

)

8. Bênoit Mandelbrot lengyel származású francia-amerikai matematikus (1924-2010) 9. Mandelbrot előadás közben, mögötte kivetítőn a róla elnevezett fraktál

55

10. Robert May amerikai biológus, fizikus, matematikus (1938-) 11. Vlagyimir Igorevics Arnold szovjet matematikus (1937-2010) 12. Andrej Nyikolajevics Kolmogorov szovjet matematikus (1903-1987) 13. Jürgen Kurt Moser német-amerikai matematikus (1928-1999)

56

14. James Alan Yorke amerkiai matematikus, fizikus (1941-) 15. Mitchell Jay Feigenbaum amerikai matematikus (1944-) 16. Kenneth Geddes Wilson amerikai fizkus (1936-) 17. Julian Seymour Schwinger amerikai fizikus (1918-1994)

57

6.1.2.

Magyar kutatóink

18. Stépán Gábor Széchenyi-díjas magyar gépészmérnök (1953-) 19. Szépfalusy Péter Széchenyi-díjas magyar fizikus, villamosmérnök (1931-) 20. Tél Tamás Széchenyi-díjas magyar fizikus (1951-) 21. Vicsek Tamás Széchenyi-díjas magyar fizikus (1948-) 58

6.2. 6.2.1.

Bevezetés a kaotika vizsgálatába Fraktálgeometriai alapismeretek

A felső képen egy tengerpart látható, az alsón pedig Nagy-Britannia partvonalának mérése különböző nagyságú mérőeszközökkel.

Már ilyen kezdetleges ábra is szemléletesen láttatja, hogy minél kisebbnek választjuk a mérőrudat, a partvonal annál hosszabb lesz. Ez a partvonal paradoxon: tetszőlegesen kicsi mérőeszközt használva, a part hossza a végtelenhez tart.

59

A háromtriadikus Koch-görbe szerkesztésének első négy lépése.

A Koch-görbék egyskálájúak és egzaktul önhasonlóak, ez már néhány lépés után is észrevehető. 60

Cantor-felhő A szimetrikus Cantor-felhő az első négy iteráció után. A vízszintesen vetített Cantorhalmaz r paramétere 1/3, a függőlegesen vetítetté pedig 2/5.

61

A Sierpinski-háromszögből képzett négyzet alapú gúla és a Sierpinski-háromszög szerkesztésének első hat lépése.

A Sierpinski-háromszög elkészítésénél a kiindulási halmaz egy egyenlő oldalú háromszög. Az első lépésben az oldalak felező pontjait összekötjük, és az általuk határolt háromszöget kivágjuk. A további lépésekben minden megmaradt háromszögön alkalmazzuk az előbbi kivágást. A k-adik lépés után a halmaz 3k egybevágó kis hromszöget tartalmaz, melyek oldalhossza 2−k . 62

A Sierpinski-szőnyeg

A Sierpinski-háromszöghöz hasonló módon készíthető el a Sierpinski-szőnyeg is. Egy egységnyi oldalú négyzet szemben lévő oldal harmadoló pontjait összekötjük, és az általuk kirajzolt középső kis négyzetet kivágjuk. Az iterációt folytatjuk a megmaradt 8 darab kis négyzetre.

63

A Menger-szivacs

A Sierpinski-szőnyeg térbeli megfelelője a Menger-szivacs. A kiindulási halmaz egy egység oldalú kocka. Ezt élharmadolásokkal felbontjuk 27 darab kis négyzetre, és kivágunk belőlük hetet: minden lapon a középsőt, illetve a kocka belsejében lévőt. Minden lépésben a megmaradt kiskockákra ismételjük az eljárást. A k-adik iteráció )k . A Menger-szivacs térfogata: után 20k kiskocka lesz az alakzatban, és a térfogatuk ( 20 27 V =1−7·

k X i=1

ami ha k → ∞, akkor nullához konvergál.

64

20i−1 ·

1 , 33·i

A Mandelbrot-halmaz Tekintsük a komplex síkon, a ϕx (z) = z 2 + x leképezést. A Mandelbrot-halmaz azon x pontok halamza, melyekre a ϕx (0), ϕ2x (0), ϕ2x (0), · · · sorozat korlátos. Bênoit Mandelbrot sokáig azt hitte, hogy nem összefüggő, de Adrien Douady és J. Hubbard 1982-ben bebizonyították, hogy nemcsak összefüggő, hanem telt is, vagyis nincsenek benne lyukak.

65

Ahogy Mandelbrot is mondta, fraktálok a természetben is mindenütt találhatóak. A további mellékletekben többségében olyan képek találhatóak, melyek természetben megtalálható fraktálokat ábrázolnak. Ezekhez a képekhez nem tartozik magyarázó szöveg.

66

67

68

69

70

6.3.

Disszipatív rendszerek káosza

Két pont helyzete a pékleképezésben húsz iteráció után. Már ennyi lépés alatt is látszik, hogy a kaotikus attraktor vonzás tartományából indított pontok pályái távolodnak egymástól.

71

A kaotikus attraktor Tekintsük az a + b · z · exp(i ·

k−p ) 1+|z|2

leképezést a komplex síkon. A a = 0.85, b = 0.9,

k = 0.4, p = 7.7 paraméter választás melletti erdményei láthatók a képen egy, négy, tizenhat és hatvannégyszeres nagyítással. Ez a mozgás jellemzi például a turbulens mozgásokat, vagy a felszálló füstöt is. A különös, vagy kaotikus attraktor kifejezést David Ruelle és Floris Takens használta rá először 1971-ben.

72

7. fejezet Köszönetnyilvánítás Köszönöm témavezetőmnek, Keleti Tamásnak, hogy észrevételeivel és tanácsaival hozzásegített ahhoz, hogy olyan legyen a dolgozatom, amilyet elképzeltem. Köszönettel tartozom továbbá Kecse Orsolya Rebeka grafikusnak, amiért ábráival és képeivel megszépítette a munkámat.

73

Irodalomjegyzék [1] GLEICK, James (2000): Káosz, egy új tudomány születése Budapest, Gönczöl Kiadó pp.17. [2] GLEICK, James (2000) Káosz, Egy új tudomány születése, Budapest, Gönczöl Kiadó, pp.23. [3] GALILEI, Galileo (1986): Matematikai érvelések és bizonyítások, Budapest, Európa Könyvkiadó, pp.286. [4] TÓTH J.-SIMON L.P. (2005): Differenciálegyenletek, Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba Budapest, Typotex Kiadó pp.254.-255. [5] Stépán

Gábor

honlapja

[elektronikus

dokumentum],

URL:

http://www.mm.bme.hu/ stepan/ [6] Szépfalusy

Péter

honlapja

[elektronikus

dokumentum],

(2011),

URL:

https://fizika.elte.hu/hu/index.php?page=munkatars&tid=4&id=138 [7] TÉL

Tamás:

Önéletrajz

[elektronikus

dokumentum],

URL:

http://theorphys.elte.hu/tel/magyar/Oneletrajz.pdf [8] Vicsek

Tamás

honlapja

[elektronikus

dokumentum],

URL:

http://angel.elte.hu/ vicsek/ [9] TÓTH J.-SIMON L.P. (2005): Differenciálegyenletek, Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba Budapest, Typotex Kiadó III.7.fejezet A stabilitáselmélet elemei pp.155-166. [10] TÉL T.-GRUIZ M. (2002): Kaotikus Dinamika Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, pp.80. 74

[11] Bênoit Mandelbrot (2003), Index [elektronikus folyóirat] ’Mindenütt fraktálok vannak’ TÓTH Balázs riportja URL: http://index.hu/tudomany/mandel1020/?print [12] Elhunyt

Akadémikusok [elektronikus

adatbázis],

URL:

http://www.math.bme.hu/akademia/elhunytakademikusok.html [13] MÉRŐ LÁSZLÓ (2007): Maga itt a tánctanár? (Káosz) Magyar Narancs [folyóirat] 2007.augusztus 16. [14] História-Tudósnaptár

[elektronikus

adatbázis],

URL:

http://www.kfki.hu/physics/historia/historia/abc.php?betu=G#G [15] GRUIZ M.-TÉL T.: A káosz, Fizikai szemle [folyóirat], 2005/5. pp.191., URL: http://www.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0505/gruiz0505.html [16] GRUIZ M.-TÉL T.:Káoszról, kicsit bővebben, Fizikai szemle [folyóirat], 2005/6. URL: http://fiztan.phd.elte.hu/nyilt/publokt/kaosz2.pdf [17] TÉL TAMÁS: Káosz egy csésze kávéban, Természet Világa [folyóirat], 1996. szeptember, URL: http://www.termeszetvilaga.hu/tv98/tv9809/kave.html [18] TÉL TAMÁS: A káosz természetrajza, Természet Világa [folyóirat], 1998. szeptember, URL: http://www.termeszetvilaga.hu/tv98/tv9809/kaosz.html [19] GÖTZ GUSZTÁV: Káosz a légkörben, Természet Világa [folyóirat], 2004. november, URL: http://www.termeszetvilaga.hu/szamok/tv2004/tv0411/kaosz.html [20] SLÍZ

JUDIT:

Helyfüggő

látor

kaotikus

viselkedése,

amplitúdóval Fizikai

gerjesztett

szemle

harmonikus

[folyóirat],

2010./4,

oszcilURL:

http://fiztan.phd.elte.hu/nyilt/publokt/Sliz-Fizszem-1004.pdf [21] CZIRBUSZ SÁNDOR (2009): Fraktálok [elektronikus oktatási segédanyag], URL: http://compalg.inf.elte.hu/ czirbusz/teaching/fractal/Eloadas.html [22] SZABÓ LÁSZLÓ (1997): Ismerkedés a fraktálok matematikájával, Szeged, POLYGON Kiadó [23] WIKIPEDIA

[elektronikus

http://hu.wikipedia.org/wiki/Kezd%C5%91lap

75

enciklopédia]

URL:

Nyilatkozat

A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés nélkül nem használtam fel.

76