Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Sorozatok: 1.
A valós számokon értelmezett műveletek és reláció tulajdonságai. Számok abszolút értéke, intervallumok. Számhalmazok alsó és felső határa.
2.
Sorozatok fogalma, korlátos sorozatok, monoton sorozatok. Konvergencia két definíciója, unicitási tétel. Konvergencia és korlátosság kapcsolata.
3.
Részsorozat
definíciója.
Konvergens
sorozat
részsorozatának
konvergenciájára
vonatkozó tétel. Divergencia definíciója. Tágabb értelemben konvergens sorozatok. 4.
Sorozatok műveleti tulajdonságai . Összeg, szorzat, konstansszoros, hányados határértéke.
5.
Nullsorozat fogalma. Korlátos sorozat és nullsorozat szorzatának határértéke. Határérték monotonitására vonatkozó tétel.
6.
Rendőr elv. Konvergens sorozat abszolút értékének konvergenciájára vonatkozó tétel. Monoton sorozat konvergenciájára vonatkozó tétel. Tágabb értelemben vett határérték esetére is.
7.
Bolzano-Weienstrass-féle kiválasztási tétel. Cauchy-féle konvergencia kritérium.
Függvények határértéke, folytonossága: 8.
Néhány nevezetes függvény. Abszolútérték-függvény egészrész-függvény, törtrészfüggvény, előjel-függvény, valós rész függvény. Polinomok, racionális törtfüggvények.
9.
Számhalmaz torlódási pontja. Függvény határértéke I. Végesben véges határérték definíciója, példa. Végesben végtelen határérték definíciója, példa.
10.
Függvény határértéke II. Végtelenben véges határérték definíciója, példa. Végtelenben végtelen határérték definíciója, példa.
11.
Átviteli elv. Műveletek határértékkel.
12.
Polinomok határértéke. Gyökfüggvények határértéke. Trigonometrikus függvények határértéke. A
13.
sin x x
( x ∈ \ \ {0}) függvény határértéke.
Folytonosság definíciója, kapcsolata a határértékkel. Folytonosságra vonatkozó műveleti tulajdonságok. Átviteli elv. Szakadási helyek osztályozása, példák.
14.
Folytonos függvények tulajdonságai (5 tétel bizonyítás nélkül).
15.
Exponenciális és logaritmusfüggvények.
16.
Sinus függvény és inverze. Cosinus függvény és inverze. Tangens függvény és inverze. Cotangens függvény és inverze.
Differenciálszámítás: 17. Derivált értelmezése, geometriai, fizikai jelentése. Differenciálhatóság szükséges feltétele. 18. A differenciálhatóság definíciójának egy ekvivalens átfogalmazása. Összeg, szorzat, hányados
differenciálhatóságára
vonatkozó
tétel.
Közvetett
függvény
differenciálhatóságára vonatkozó tétel. Inverz függvény differenciálhatóságára vonatkozó tétel. 19. Lokális monotonitás definíciója, lokális monotonitásra vonatkozó tétel. Lokális szélsőérték definíciója. Szélsőérték létezésének szükséges feltétele. 20. Rolle-tétele. Lagrange-tétele. Cauchy-tétele, 21. Intervallumon való monotonitás és a derivált közötti kapcsolat. Darboux-tétele. 0 ∞ 22. „ ” típusú és „ ” típusú határértékre vonatkozó L’Hospital-szabály. 0 ∞
23. Többször differenciálható függvények. Taylor-formula, és annak következménye. 24. Konvex, konkáv halmaz, függvény definíciója. Konvexitás szükséges és elegendő feltételei. 25. Szélsőérték létezésének elégséges feltételei. 26. Inflexiós pont definíciója. Inflexiós pont létezésének szükséges és elégséges feltétele. 27. Aszimptota definíciója, kiszámítása, függvényvizsgálat lépései. Integrálszámítás: 1. Primitív függvény definíciója, tulajdonságai. Műveleti tulajdonságok. 2. Parciális integrálás szabálya. Helyettesítéses integrálás szabálya. 3. Racionális törtfüggvények integrálása. 4. A határozott integrál fogalma. 5. Riemann integrálra vonatkozó műveleti-tulajdonságok. Riemann integrál monotonitására vonatkozó tétel. Integrálható függvény abszolút értékének Riemann integráljára vonatkozó becslés. 6. Integrálható függvények. Newton-Leibniz formula.
7. Integrálfüggvény definíciója, és a rá vonatkozó tétel. Integrálfüggvény és primitív függvény kapcsolata. Határozott integrálra vonatkozó parciális integrálás. Határozott integrálra vonatkozó helyettesítéses integrálás. 8. Integrálszámítás alkalmazásai I. Síkidomok területe, kör területe. Görbe ívhossza, kör kerülete. 9. Integrálszámítás alkalmazásai II. Forgástest térfogata. Gömb térfogata. Forgásfelület felszíne, gömb felszíne. Differenciálegyenletek: 10. Differenciálegyenlet fogalma. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek. 11. Homogén másodrendű, konstans együtthatós differenciálegyenletek. Inhomogén másodrendű, konstans együtthatós differenciálegyenletek. Végtelen sorok: 12. Numerikus sorok definíciója, sorok konvergenciája, divergenciája. Nevezetes sorok. 13. Cauchy-féle konvergencia-kritérium sorokra. Konvergencia egy szükséges feltétele. Műveletek végtelen sorokkal. 14. Összehasonlító kritérium. Improprius integrálok definíciója. Integrálkritérium. 15. Leibniz-kritérium. Cauchy-féle gyökkritérium. D´Alambert-féle hányadoskritérium. Többváltozós függvények: 16. Többváltozós függvények. (Definíció, megadás, ábrázolás.) \ 2 -beli pontsorozatok konvergenciája. 17. Halmaz, pontsorozat korlátossága \ 2 -ben. Konvergencia és korlátosság kapcsolata \ 2 -ben. Torlódási pont fogalma \ 2 -ben, Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel.
18. Többváltozós
függvény
határértéke,
műveleti
tulajdonságok.
Többváltozós
függvények határértékének kapcsolata az iterált határértékekkel. 19. Többváltozós függvény folytonossága. Kétváltozós függvény parciális deriváltja. Parciális deriválhatóság és folytonosság kapcsolata, geometriai jelentés. 20. Kétváltozós
függvények
differenciálhatósága. Parciális differenciálhatóság és
differenciálhatóság közötti kapcsolat. 21. Kétváltozós függvény szélsőértéke. Szükséges feltétel, elégséges feltétel. Feladatok
Sorozatok:
1. Határozza meg definíció alapján az alábbi sorozatok határértékét!
1 ⎛ ⎞ a) ( xn = c, n ∈ ` ) b) ⎜ xn = , n ∈ `* ⎟ n ⎝ ⎠ 2. Határozza meg definíció alapján az alábbi sorozatok határértékét!
(
a) xn = ( −1) , n ∈ ` n
)
b) ( xn = nα , n ∈ ` ) (α > 0 ) 3. Határozza meg definíció alapján az alábbi sorozatok határértékét!
( b) ( x
)
a) xn = n a , n ∈ ` , a ∈ \ + n
= n n , n ∈ `*
)
4. Határozza meg definíció alapján az alábbi sorozat határértékét! ⎛ ⎞ an x = ,n ∈ `⎟,a ∈ \ ⎜ n n! ⎝ ⎠
5. Határozza meg definíció alapján az alábbi sorozat határértékét!
(x
n
= n n !, n ∈ `
)
6. Vizsgálja meg a következő sorozat konvergencia szempontjából! n ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ * ⎜⎜ xn = ⎜1 + ⎟ , n ∈ ` ⎟⎟ ⎝ n⎠ ⎝ ⎠
7. Határozza meg definíció alapján az alábbi sorozat határértékét!
(x
n
= qn , n ∈ ` ) ( q ∈ \ )
Függvények differenciálhatósága: 8. Konstans függvény, identikus leképezés deriváltja. 9. Hatványfüggvény deriváltja. 10. Sinus függvény deriváltja. 11. Cosinus függvény deriváltja. 12. Logaritmusfüggvény deriváltja. 13. Exponenciális függvény deriváltja. 14. Inverz trigonometrikus függvények deriváltja. 15. Valós kitevőjű hatványfüggvény értelmezése, deriváltja. 16. f g alakú függvények differenciálása.
Integrálszámítás: 17.
∫
18.
∫ ax
( ax
Ax + B
+ bx + c )
2
n
Ax + B dx + bx + c
(b
2
19. ∫ sin n xdx, 1
(b
dx
∫ cos
n
2
− 4ac < 0, A, B, a, b, c ∈ \ ) kiszámítása.
( n ∈ ` ) kiszámítása. *
xdx
1
− 4ac < 0, n ∈ `* , A, B, a, b, c ∈ \ ) kiszámítása.
( n ∈ ` ) kiszámítása.
20.
∫ sin
21.
∫ R ( tg x ) dx, ∫ R ( ctg x ) dx, ∫ R ( sin x, cos x ) dx
22.
∫ P ( x) ⋅ e
23.
∫ R ( x, x ) dx;
24.
∫ R ( x,
25.
∫ R ( x,
n
x
dx,
αx
∫ cos
2
*
dx
x
integrálok kiszámítása.
∫ R ( e ) dx; ∫ P ( x ) ln xdx integrálok kiszámítása. ( n ∈ ` ) integrálok kiszámítása.
dx;
x
*
n
n
n
)
ax + b dx;
⎛
∫ R ⎜⎜ x, ⎝
n
ax + b ⎞ ⎟ dx integrálok kiszámítása. cx + d ⎟⎠
)
ax 2 + bx + c dx integrál kiszámítása trigonometrikus helyettesítéssel.
26. f ( x ) = x 2 , x ∈ [ 0,1] függvény Riemann integrálja definíció alapján. ∞
27.
1
∫ xα dx (α > 0 ) improprius integrál létezésének vizsgálata. 1
