Kalkulus 2 Deret Pangkat dan Uji Konvergensi
Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.
Department of Chemical Engineering Semarang State University 1
Deret Pangkat Experimental Urutan dan deret (sequences and series) 1. Urutan angka merupakan rangkaian angka tak terbatas (jumlah n) yang membentuk suatu pola atau susunan
1, 2, 3, 4;......atau
1 1 1 , , ;.....atau 1,1, 1 2 3 4
Syarat urutan konvergen : jika n semakin besar, maka urutan tersebut akan mendekati suatu angka tertentu dimana angka tersebut merupakan suatu limit urutan
Jika urutan tidak mempunyai limit, maka urutan tersebut tidak konvergen atau disebut divergen (diverges) 2
Deret Pangkat Experimental Contoh (konvergen)
n 1 n 1 1 konvergen, karena lim an n n n Semakin besar nilai n maka urutan tersebut semakin mendekati nilai 1 sehingga bersifat konvergen Contoh (divergen)
an 2n divergen, karena lim 2n n
Semakin besar nilai n maka urutan tersebut semakin besar menuju tak hingga sehingga bersifat divergen
3
Deret Pangkat Experimental 2. Deret merupakan bentuk penjumlahan dari suatu urutan, berbentuk
a1 a2 a3 a4 .... an ... jika deret berhenti sampai an maka deret terbatas (finite), jika deret berlanjut terus maka deret tersebut tak hingga (infinite)
n a L n 1
Penjumlahan sebagian deret n merupakan penjumlahan deret hingga nilai n. Jika penjumlahan sebagian tersebut konvergen terhadap L maka deret tersebut konvergen terhadap limit L.
4
Deret Pangkat Experimental 2. Deret (lanjutan) Jika tidak terdapat limit tersebut divergen.
(seperti deret harmonik) berarti deret
1 1 1 1 contoh deret harmonik 1 , , .... 2 3 4 n 1 n
1 Misal : apakah deret n konvergen? Jika iya, tentukan nilainya n 1 3 Penyelesaian : Bentuk deret :
1 1 1 1 2 3 .... n 3 3 3 3
5
Deret Pangkat Experimental 1 1 1 1 S n 2 3 .... n (a) 3 3 3 3 1 1 1 1 1 S n 2 3 .... n n1 Kalikan dengan 1/3, sehingga 3 3 3 3 3
(b)
Kurangkan persamaan (a) ke persamaan (b), didapat
2 1 1 S n n 1 3 3 3
3 1 1 S Lalu kalikan dengan 3/2, sehingga n n 1 23 3
Kemudian tentukan limit
31 1 lim n1 n 2 3 3
31 1 0 23 2
Deret konvergen dengan nilai
1 2
6
Deret Pangkat Experimental Deret pangkat (power series) -) deret pangkat untuk x = 0
n 2 n c x c c x c x .... c x ... n 0 1 2 n n 0
-) deret pangkat untuk x = a
n 2 n c ( x a ) c c ( x a ) c ( x a ) .... c ( x a ) ... n 0 1 2 n n 0
Dimana a merupakan pusat dan c0, c1 , c2 ,….., cn merupakan konstanta, sedangkan x merupakan variabel.
7
Aplikasi Deret Pangkat Experimental Grafik y = 1/(1-x) dan pendekatan polinomialnya 12
10
y=1/(1-x)
8
y=1+x+..+(x^8) y=1+x+(x^2)
6
y=1+x y=1
4
y=1+x..+(x^15) 2
0 -1
-0.5
0
0.5
1
1 1 x x 2 x 3 .... x n ... (1 x 1) 1 x 8
Aplikasi Deret Pangkat Experimental Contoh deret pangkat diketahui sebagai berikut : 1 12 ( x 2) 14 ( x 2) 2 ... ( 12 ) n ( x 2) n ... a 2; c0 1; c1 12 ; c2 14 ; cn ( 12 ) n ratio (r )
x2 2
x2 1 atau 0 x 4 Deret konvergen untuk 2 a 1 1 2 Penjumlahan deret adalah S n x2 1 r 1 r 1 ( 2 ) x
Sehingga 2 1 12 ( x 2) 14 ( x 2) 2 ... ( 12 ) n ( x 2) n ...., 0 x 4 x 9
Aplikasi Deret Pangkat Experimental Grafik y = 2/x dan pendekatan polinomialnya 3.5 3 2.5 2
2/x 1-0.5(x-2)=2-(x/2)
1.5
1-0.5(x-2)+0.25(x-2)^2 1 0.5 0 0
1
2
3
4
2 1 12 ( x 2) 14 ( x 2) 2 ... ( 12 ) n ( x 2) n ...., 0 x 4 x 10
Deret Geometrik Experimental
a ar ar 2 ar 3 .... ar n 1 ar n1 n 1
Bagaimana mengecek deret konvergen atau tidak konvergen pada deret geometrik? Jika r 1 , maka deret konvergen Jika r 1 , maka deret divergen
Misal deret konvergen :
Sedangkan deret
1 1 1 1 2 3 .... n 2 2 2 2
2 22 23 2n ... divergen
11
Deret Geometris Experimental Jumlah pada deret geometris
a(1 r n ) Sn (1 r )
4 1 1 1 3 3 40 1 Untuk deret , maka jumlah deret hingga deret ke-4 adalah S 4 n 81 1 n 1 3 1 3
Untuk deret geometris tak terhingga jika deret tersebut konvergen, maka
lim r n 0 Sehingga n
S
a 1 r
12
Uji Konvergensi Experimental Beberapa cara uji konvergensi : 1) Tes rasio (ratio test) 2) Tes Integral (integral test) 3) Tes perbandingan (comparison test)
13
Uji Konvergensi Experimental 1) Tes rasio (ratio test)
an 1 n a n a) Jika 1 , maka deret konvergen b) Jika 1 , maka deret divergen c) Jika 1 , dalam hal ini uji tidak menyediakan informasi yang cukup lim
sehingga deret bisa konvergen atau juga divergen
Contoh : Tentukan apakah deret
n konvergen n n 1 3
n 1 n n n 1 1 n 1 3 n 1 3 3 n 1 lim lim n 1 lim n n n n 3 n n 3 3 3n Karena nilai
1 , maka deret konvergen 14
Uji Konvergensi Experimental 2) Tes integral (integral test) Jika f positif, kontinyu, dan menurun untuk x 1 dan an = f(n), maka
a n 1
dan
n
1
f ( x) dx
, kedua-duanya bisa konvergen atau divergen
6n 2 Contoh : apakah deret 3 konvergen? n 1 n 1 Penyelesaian : Integralkan, mengganti n dengan x, sehingga
1
6x2 dx 3 x 1
6x2 lim 3 dx , subtitusi u = x3 +1 dan du = 3x2 dx, sehingga diperoleh : a 1 x 1 a 3 1 du a 3 1 lim 2 lim 2 (ln u ) 2 lim 2 (ln(a 3 1) ln 2) 2 a a u a a
Hasil integral tak hingga (divergen) sehingga deret juga divergen 15
Uji Konvergensi Experimental 3) Tes perbandingan (comparison test) Jika 0 an bn , untuk semua nilai n
a) Jika
b n 1
b) Jika
n
b n 1
n
konvergen, maka
a
divergen, maka
n 1
a n 1
n
n
konvergen
divergen
Contoh : apakah deret
1 konvergen? n n 1 5 2
Penyelesaian :
1 Kita tahu bahwa nilai n konvergen karena r 1 2 1 1 1 Jika dibandingkan maka lebih kecil dari n sehingga konvergen n n 5 2 2 n 1 5 2
16
Uji Konvergensi Experimental
1 1. Apakah deret konvergen? Gunakan tes rasio n 1 3n
2. Apakah deret
n e konvergen? Gunakan tes integral n 1
3. Apakah deret
1 konvergen? Gunakan tes perbandingan n2 n 1
17
Deret Taylor Experimental Deret ini Taylor pada titik
x = a merupakan deret yang berguna untuk
pendekatan fungsi disekitar titik x = a
k 0
f ( k ) (a) k f " (a) f n (a) 2 ( x) f (a) f ' (a)( x a) ( x a) ... ( x a) n ... k! 2! n!
Deret Taylor khusus pada x = 0 disebut Deret Mclaurin
k 0
f ( k ) (a) k f " (0) 2 f n (0) n ( x) f (0) f ' (0) x x ... x ... k! 2! n!
18
Deret Taylor Experimental 1 Contoh : Tentukan Deret Taylor yang dihasilkan oleh fungsi f ( x) x 1 Pertama, turunkan fungsi f ( x) x
f ( x) x 1
f (1) 1
f ' ( x) x 2
f ' (1) 1
f " ( x ) 2 x 3
f " (1) 2 2!
f ' " ( x) 6 x 4
f ' " (1) 6 3!
f ( 4) ( x) 24 x 5
f ( 4 ) (1) 24 4!
f ( n ) ( x) (1) n
n! n 1 x
f ( n ) (1) (1) n n!
pada a = 1
Langkah ke-2, masukkan ke persamaan Deret Taylor 2!( x 1) 2 3!( x 1)3 1 ( x 1) ... 2! 3!
1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ... (1) k ( x 1) k 2
3
k 0
19
Deret McLaurin Experimental Beberapa contoh Deret McLaurin yang sering digunakan x 2 x3 xk e 1 x ... 2! 3! k 0 k! x
x3 x5 x 2 k 1 k sin x x ... (1) 3! 5! (2k 1)! k 0
2k x2 x4 k x cos x 1 ... (1) 2! 4! (2k )! k 0
Buktikan
Buktikan
Tugas Hitung dengan menggunakan deret dan kalkulator atau M. Excel kemudian bandingkan (% eror)
k 1 x 2 x3 x 4 x ln(1 x) x ... (1) k 2 3 4 k 1 k 0
sin 10o
20
Aplikasi Deret Taylor Experimental Dalam praktik penggunaan pada Deret Taylor, tidak semua deret digunakan Umumnya hanya menggunakan beberapa suku awal saja 1.
Order nol (menggunakan suku pertama)
Saat nilai f ( xi 1 ) f ( x)
, berarti nilai fungsi pada titik x1+i sama dengan
nilai fungsi pada titik xi . Hal tersebut berlaku jika fungsi konstan. Jika tidak maka harus memperhitungkan suku-suku berikutnya.
2. 3. 4.
Order satu (menggunakan dua suku pertama) x f ( xi 1 ) f ( x) f ' ( x) 1! Order dua (menggunakan dua suku pertama) x x 2 f ( xi 1 ) f ( x) f ' ( x) f " ( x) 1! 2! Order tiga (menggunakan tiga suku pertama) x x 2 x 3 f ( xi 1 ) f ( x) f ' ( x) f " ( x) f ' " ( x) 1! 2! 3! 21
Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial Experimental Selesaikan y' y x,
y(0) 1
Penyelesaian : Asumsi penyelesaian dalam bentuk
y a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 ..... an1 x n1 an x n
Tujuan kita adalah ingin menemukan nilai ak ,maka turunan pertamanya
y' a1 2a2 x 3a3 x 2 ..... nan x n1 Mengurangkan persamaan awal dengan turunannya
y' y (a1 a0 ) (2a2 a1 ) x (3a3 a2 ) x 2 ..... (nan an1 ) x n1 ... Sehingga diperoleh
a1 a0 0
nan an1 0
2a2 a1 1 3a3 a2 0 22
Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial Experimental Penyelesaian (lanjutan) :
a0 1 ; a1 a0 1
a3
a2 2 2 3 3 . 2 3!
1 a1 1 1 2 a2 2 2 2!
an 1 2 an n n! Subtitusi ke persamaan : y a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 ..... an1 x n1 an x n x2 x3 xn y 1 x 2 2 ..... 2 .... 2! 3! n! x 2 x3 xn y 1 x 2 ..... .... n! 2! 3!
Sehingga persamaan menjadi :
y 1 x 2 ex 1 x y 2e x 1 x
Deret McLaurin 2 3 x x e x 1 x ... 2! 3! x 2 x3 x e 1 x ... 2! 3!
Penyelesaian 23
Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial Experimental Tentukan deret dari persamaan diferensial :
1) y ' y 0, 2) y ' y x, 3) y ' xy 0,
y (0) 1 y (0) 1 y (0) 1
24
Thank you for your attention
25
