KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS MUSAFA

KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS

MUSAFA

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Beras adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Februari 2010 Musafa NIM 070471

ABSTRACT MUSAFA. The Study of Continuous Hidden Markov Model and Its Application to The Price of Rice. Under supervision of BERLIAN SETIAWATY and N.K. KUTHA ARDANA. Continuous hidden Markov model with discrete time (Elliot et al. 1995) is a model consists of the cause of event and observation process. This model assumes that the cause of event is a Markov chain in discrete time, observed indirectly. The observation process has continuous range and future observation is influenced by the cause of present event. Parameters of this model are transition probability matrices of the cause of event, vector and vector of observation process; they are estimated by using the maximum likelihood method and expectation maximization algorithm that involves the change of measure. Model parameters were estimated by using Mathematica 7.0 functional programming computer algebra systems. The model is then applied to the price change of rice from February 2004 until May 2009. The estimated parameters are used to calculate the expectation value of rice price. As a result, this research convinces that the hidden Markov model can be applied to the price of rice. Keywords: Markov chains, hidden Markov model, expectation maximization Algorithm.

RINGKASAN MUSAFA. Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Beras. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N.K. KUTHA ARDANA. Rantai Markov merupakan proses stokastik dengan sifat bahwa kejadian di masa yang akan datang hanya dipengaruhi oleh kejadian masa sekarang. Jika penyebab kejadiannya tidak diamati dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov (HMM ). Misalkan proses stokastik dalam waktu diskret yang didefinisikan pada ruang peluang adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen dan diasumsikan tidak diamati. Proses X tidak diamati tetapi terdapat proses observasi Y yang bernilai skalar pada suatu selang, yaitu: Pasangan proses stokastik merupakan model hidden Markov kontinu. Model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995) yang dibahas berbentuk: ,

e1 , e2 , , e N dari X adalah S X dengan , yaitu himpunan vektor satuan di , di mana hanya elemen ke-i yang bernilai 1 dan lainnya 0. adalah matriks peluang transisi yang memenuhi , serta dan di mana . dengan adalah barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal dan bebas stokastik. Misalkan dengan rataan nol dan ragam satu N(0,1). adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh X. memenuhi . Karena X k S X fungsi dan didefinisikan sebagai vektor dan di , maka dan , di mana merupakan perkalian dalam di dengan , untuk Misalkan adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh proses observasi sedangkan adalah filtrsi lengkap yang dibangkitkan oleh dan . Pendugaan parameter model tersebut dilakukan dengan metode Maximum Likelihood Expectation dan pendugaan ulang menggunakan metode Expectation Maximization (EM) yang melibatkan perubahan ukuran peluang. Perubahan ukuran peluang dilakukan untuk mempermudah perhitungan matematik. Perubahan ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang menjadi peluang baru. Dari ukuran peluang baru akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan RadonNikodym. di

mana

ruang

state

Parameter model diberikan oleh himpunan di mana Berikutnya, dengan menggunakan Algoritma EM akan ditentukan himpunan parameter baru, di mana yang memaksimumkan pseudologlikelihood bersyarat. Pendugaan rekursif diperlukan untuk menduga parameter baru. Pendugaan rekursif meliputi pendugaan untuk state, banyaknya lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi. Penduga untuk state adalah

Penduga banyaknya lompatan adalah

Penduga untuk lamanya waktu kejadian adalah

Penduga untuk proses observasi adalah , Hasil pendugaan parameter model adalah sebagai berikut.

dan nilai harapan bersyarat

jika diketahui

, adalah

Pada proses pendugaan parameter model diambil banyaknya penyebab kejadian N = 2,3,4,5,6, sedangkan untuk proses prediksi harga beras dilakukan split data sehingga diperoleh prediksi harga beras terbaik. Pada penelitian ini, model tersebut diaplikasikan pada perubahan harga beras dari tahun 2004 sampai tahun 2009. Data input penelitian berupa harga ratarata beras eceran per minggu jenis Jembar I ( kualitas Ramos ) dan IR 64 II ( kualitas Medium ) di tingkat pedagang Ibukota Propinsi Jawa Barat, Kota Bandung, diambil dari WEEKLY PRICE SERIES, Retail Price of Several Essential Commodities of Provincial City in Indonesia, Badan Pusat Statistik, Jakarta-

Indonesia. Data berkisar antara bulan Februari tahun 2004 hingga bulan Mei tahun 2009 [21/07/2009]. Data observasi yang digunakan dalam kasus perubahan harga beras sebanyak 275 data. Harga rata-rata beras mengalami perubahan yang cukup fluktuatif. Hal ini disebabkan oleh banyak hal, diantaranya kebijakan pemerintah (kebijakan impor beras, harga pupuk dan harga BBM), masa panen, gagal panen, dan lain sebagainya. Kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi secara berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Akibatnya, besar kemungkinan di waktu mendatang akan terjadi kejadian yang sama. Harga beras kemungkinan dapat berubah setiap minggu. Diasumsikan bahwa harga rata-rata beras per minggu dibangkitkan oleh proses pengamatan . Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan harga rata-rata beras diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov yang tidak diamati. Misalkan banyaknya faktor tersebut adalah N dan dipilih N = 2, 3, 4, 5, 6. Pada setiap state, data harga rata-rata beras dibangkitkan oleh peubah acak yang menyebar dengan sebaran tertentu pada ruang peluang . Untuk mempermudah proses pendugaan parameter, split data, dan analisis data yang cukup banyak dibuat program komputasi berbasis pemrograman fungsional dengan menggunakan software Mathematica 7.0. Penduga parameter yang diperoleh digunakan untuk menghitung prediksi harga beras, dalam kasus ini harga beras IR 64 II dan Jembar I. Hasil penelitian menunjukkan bahwa semakin banyak penyebab kejadian, maka semakin baik model memprediksi harga beras sebenarnya. Akan tetapi, penambahan banyaknya kejadian tidak terlalu berpengaruh terhadap perbedaan nilai galat secara signifikan. Berdasarkan lama waktu pemrosesan data, keakuratan, dan prinsip kesederhanaan model, cukup dipilih N = 3 untuk memodelkan perubahan harga beras IR 64 II dan memodelkan prediksinya. Selanjutnya, model perubahan dan model prediksi harga beras Jembar I dipilih N = 2. Jadi, dapat disimpulkan bahwa model hidden Markov kontinu tersebut dapat memodelkan dan menjelaskan perubahan harga beras dengan baik, serta mampu memprediksi harga beras IR II maupun Jembar I mendatang dalam periode waktu yang relatif lama. Kata Kunci : Rantai Markov, model hidden Markov kontinu, metode Maximum Likelihood Expectation, metode Expectation Maximization, algoritma Expectation Maximization, perubahan ukuran.

KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS

MUSAFA

Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan


Judul Tesis : Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Beras Nama : Musafa NIM : G551070471

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Berlian Setiawaty, M.S. Ketua

Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

Tanggal Ujian : 22 Februari 2010

Tanggal Lulus :

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2010 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2009 ini adalah Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Beras. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Berlian Setiawaty, M.S. dan Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran dalam penulisan tesis ini. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ibu, kakak-kakak, adik-adik, seluruh keluarga, istri, anak, dan teman-teman atas segala doa, dukungan, serta kasih sayangnya. Juga kepada semua pihak yang telah turut membantu dalam penulisan tesis ini, penulis berdoa semoga Allah SWT membalas mereka dengan kebaikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Februari 2010 Musafa

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ...……………………………………………………………….. i DAFTAR TABEL

…………………………………………………………....

Error! Bookmark not defined. DAFTAR GAMBAR

………………………………………………………....

Error! Bookmark not defined. DAFTAR LAMPIRAN

……………………………………………………....

Error! Bookmark not defined. 1 PENDAHULUAN ………………………………………………………… 1 1.1 Latar Belakang ………………………………………………………… 1 1.2 Tujuan Penelitian ……………………………………………………… 4 2 LANDASAN TEORI

………………………………………………………

Error! Bookmark not defined. 2.1 Teori Peluang

…………………………………………………………..

Error! Bookmark not defined. 2.2 Rantai Markov ………………………………………………………… 2.3 Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam

9

…………………………………..

Error! Bookmark not defined. 2.4 Penghitungan Galat (Error)

…………………………………………....

Error! Bookmark not defined. 3 MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU ……………………………….. 17 3.1 State dan Proses Observasi ……………………………………………. 17 3.2 Nilai Harapan Bersyarat ………………………………………………. 20 3.3 Perubahan Ukuran …………………………………………………….. 26 3.4 Pendugaan Rekursif …………………………………………………… 36

3.5 Pendugaan Parameter ………………………………………………….. 45 3.6 Nilai Dugaan ܻ௞ାଵ …………………………………………………….. 60 3.7 Algoritma Pendugaan Parameter ……………………………………… 61 4 APLIKASI MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU PADA HARGA BERAS …………………………………………………... 65 4.1 Data Input Penelitian ………………………………………………….. 65 4.2 Pemodelan Masalah Perubahan dan Aplikasi pada Harga Beras ……... 66 4.3 Hasil Program Komputasi dan Interpretasi Model ……………………. 68 5 KESIMPULAN DAN SARAN …………………………………………… 88 5.1 Kesimpulan ……………………………………………………………. 88 5.2 Saran …………………………………………………………………... 88 DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………... 89 LAMPIRAN …………………………………………………………………. 92

DAFTAR TABEL Halaman 1. Perbandingan absolut persentase galat dan koefisien determinasi model untuk masing-masing nilai N dari beras IR 64 II

………………….. 83

Error! Bookmark not defined. 2. Perbandingan absolut persentase galat dan koefisien determinasi model ntuk masing-masing nilai N dari beras Jembar I Error! Bookmark not defined.

…………………... 84

DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Grafik perubahan harga beras jenis jembar I per minggu

…………………

Error! Bookmark not defined. 2. Grafik perubahan harga beras jenis IR 64 II per minggu

…………………

Error! Bookmark not defined. 3. Grafik perubahan harga beras jenis Jembar I per minggu ……………….. 65 4. Grafik perubahan harga beras jenis IR 64 II per minggu ………………... 66 5. Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 dengan penduga filter …………………………………………………..... 69

6. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan

harga beras IR 64 II untuk N = 2 ………………………………………… 69

7. Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 dengan penduga smoother

………………………………………………..

Error! Bookmark not defined.

8. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2

…………………………………………


9. Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 dengan penduga filter

…………………………………………………….


10. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3

…………………………………………


11. Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 dengan

penduga smoother

……………………………………………….

Error! Bookmark not defined. 12. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 Error! Bookmark not defined.

………………………………………...

13. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2 dengan

penduga filter

…………………………………………………....


14. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2

………………………………………..

Error! Bookmark not defined. 15. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2 dengan

penduga smoother

………………………………………………..

Error! Bookmark not defined. 16. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2

....……………………………………..

Error! Bookmark not defined. 17. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3 dengan penduga filter …………………………………………………… 75 18. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3

……………………………………….


19. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3

dengan penduga smoother ………………………………………………. 76 20. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3

………………………………………...

Error! Bookmark not defined. 21. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4 dengan penduga filter ……………………………………………………. 77 22.Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan

harga beras Jembar I untuk N = 4 ……...……………………………….... 77 23. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4 dengan penduga smoother ………………………………………………. 78 24. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4 ………………………………………... 78 25. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5 dengan penduga filter …………………………………………………… 79

26. Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5 ………………………………………... 79 27. Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5 dengan

penduga smoother

………...…………………………………….

Error! Bookmark not defined. 28. Diagram kotk persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5

……………………………………….


penduga filter

…………………………………………………...


………………………………………..


penduga smoother

.……………………………………..………..


……………………………………...…

Error! Bookmark not defined. 33. Grafik model prediksi harga beras IR 64 II

………………………………

85 33. Grafik model prediksi harga beras Jembar I ………..………………….… 86 34. Diagram kotak persentase absolut galat harga beras IR 64 II dan Jembar I .. 87

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Bukti Teorema 3.4.5

……………………………………………………… 92

Error! Bookmark not defined. 2. Program dan Hasil Komputasi ……………………………………………. 95

1

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Model hidden Markov adalah suatu pasangan proses stokastik yang memenuhi (hidden), dan bersyarat

adalah suatu rantai Markov homogen yang tidak diamati adalah suatu barisan peubah acak bebas di mana sebaran

hanya bergantung pada

.

Model hidden Markov kontinu adalah salah satu bentuk model hidden Markov di mana proses observasinya bernilai skalar pada suatu selang. Di samping memiliki banyak struktur matematis, model ini dapat memodelkan dengan baik beberapa aplikasi penting. Aplikasi yang sudah dikaji antara lain adalah pada business cycle (Hamilton 1989, Keskinen dan Oller 1998), stock market (Hamilton dan Lin 1996, Schaller dan Van Norden 1997, Manton et al. 2008), masalah alokasi asset (Elliot dan Van Der Hoek 1997), penetapan harga opsi (Bollen 1998, Campbell 2002), penetapan harga bond (Landen 2000), kebijakan moneter (Zampolli 2006), nilai penyimpanan gas alam (Chen dan Forsyth 2007), alokasi modal (Morger 2006), harga electricity spot (Schindlmayr 2005), analisa pada resiko kredit (Dunbar dan Edwards 2007), serta manajemen resiko kredit (Banachewicz dan Lucas 2008). Elliott et al. (1995) mengembangkan model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret. Karakteristik modelnya dicirikan oleh beberapa parameter, yaitu matriks peluang transisi dari penyebab kejadian serta beberapa parameter dari proses observasi. Metode Maximum Likelihood dan Algoritma Excpectation Maximization (Algoritma EM) adalah suatu pendekatan yang digunakan untuk melakukan pendugaan parameter model hidden Markov kontinu tersebut. Hasil pendugaan parameter model berbentuk pendugaan rekursif. Parameter model yang diperoleh kemudian dievaluasi kembali dengan menggunakan parameter atau mungkin dengan data baru. Nurfathoni (2008) telah mengkaji dan mengaplikasikan model hidden Markov kontinu di atas pada harga gabah kering panen. Adapun pembahasan dan

2 analisisnya lebih menekankan pada penggambaran perilaku model, tidak dilakukan prediksi. Pada penelitian ini akan ditentukan model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995) terbaik hingga dapat digunakan untuk menggambarkan perilaku harga beras dan memprediksi harga beras mendatang. Data input penelitian berupa harga rata-rata beras eceran per minggu jenis Jembar I ( kualitas Ramos ) dan IR 64 II ( kualitas Medium ) di tingkat pedagang Ibukota Propinsi Jawa Barat, Kota Bandung. Data ini diambil dari WEEKLY PRICE SERIES, Retail Price of Several Essential Commodities of Provincial City in Indonesia, Badan Pusat Statistik, Jakarta-Indonesia, antara bulan Februari tahun 2004 hingga bulan Mei tahun 2009 [21/07/2009]. Jumlah observasi yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 275 data. Adapun sebarannya dapat dilihat pada Gambar 1 grafik berikut.

Harga Beras (Rp/Kg)

8,000.00 7,000.00 6,000.00

5,000.00 4,000.00 3,000.00 2,000.00 1,000.00

0.00 0

50

100

150

200

250

300

Waktu Pengamatan per Minggu (Februari 2004- Mei 2009)

Gambar 1 Grafik perubahan harga beras jenis Jembar I per minggu. Sumber: Badan Pusat Statistik, Statistics - Indonesia

3

7,000.00 Harga Beras (Rp/Kg)

6,000.00 5,000.00

4,000.00 3,000.00 2,000.00 1,000.00

0.00 0

50

100

150

200

250

300

Waktu Pengamatan per Minggu (Februari 2004-Mei 2009)

Gambar 2 Grafik perubahan harga beras jenis IR 64 II per minggu. Sumber: Badan Pusat Statistik, Statistics – Indonesia Grafik perubahan harga beras di atas menunjukkan bahwa harga rata-rata beras mengalami perubahan yang cukup fluktuatif. Harga beras dapat berubah setiap minggu. Tentunya kejadian ini disebabkan oleh banyak hal, diantaranya kebijakan pemerintah (kebijakan impor beras, harga pupuk dan harga BBM), masa panen, gagal panen, dan lain sebagainya. Penyebab-penyebab tersebut dapat membentuk pola tertentu. Misalnya, jika pada waktu sebelumnya terjadi kenaikan harga BBM sebagai akibat kebijakan pemerintah tentang kenaikan harga BBM maka biasanya diikuti dengan kenaikan biaya distribusi beras dari produsen ke pedagang eceran atau grosir sehingga terjadi kenaikan harga beras. Kejadiankejadian tersebut dapat terjadi secara berulang tetapi

tidak dapat dipastikan

waktunya. Akibatnya, besar kemungkinan di waktu mendatang akan terjadi kejadian yang sama. Jadi, karena penyebab kejadian perubahan harga beras membentuk rantai Markov yang homogen dan diasumsikan tidak diamati, maka masalah perubahan harga beras dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Proses observasi dan penyebab kejadian yang tidak diamati

yang

digunakan pada model masing-masing adalah harga beras per minggu dan

4 penyebab terjadinya perubahan harga beras tersebut, di mana

menyatakan

minggu. Untuk memudahkan perhitungan dan analisis data dibuat program komputasi berbasis pemrograman fungsional dengan menggunakan software Mathematica 7.0.

1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1.

Mengkaji model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995).

2.

Melakukan pendugaan parameter model hidden Markov kontinu tersebut dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan Expectation Maximization (EM).

3.

Mengaplikasikan model hidden Markov kontinu di atas melalui program komputasi berbasis pemrograman fungsional untuk masalah perubahan harga beras sehingga: a.

dapat menentukan model terbaik untuk menggambarkan perilaku harga beras,

b.

dapat menentukan model terbaik untuk mendatang.

memprediksi harga beras

5

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ross 2000) Misalkan dalam suatu percobaan, pengulangan dapat dilakukan pada kondisi yang sama. Meskipun hasil percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama seperti ini disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan

.

Himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebut kejadian, misalkan kejadian A. Definisi 2.1.2 (-field ) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Medan- (-field ) adalah suatu himpunan

yang anggotanya adalah himpunan

bagian dari ruang contoh serta memenuhi syarat-syarat berikut: (i) (ii)

. Jika A1, A2, …..

(iii) Jika A

maka

maka

.

, dengan

menyatakan komplemen dari himpunan A.

Jadi, suatu himpunan disebut medan- (-field ) jika terhadap operasi union takhingga, dan

adalah anggota

,

tertutup

tertutup terhadap operasi komplemen.

Definisi 2.1.3 (Ukuran Peluang) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Suatu ukuran peluang

pada (

) adalah suatu fungsi

yang

memenuhi syarat-syarat berkut: (i)

P( ) = 0 dan P( ) = 1.

(ii)

Jika A1, A2, …..

adalah himpunan-hmpunan yang saling lepas, yaitu

untuk setiap pasangan

dengan

( ). Pasangan (

) disebut ruang peluang (probability space).

, maka

=

6

Teorema 2.1.4 (Teorema Bayes) (Hogg et al. 2005) Misalkan (

) adalah ruang peluang. Jika dan

kejadian C di

sehingga

sehingga

dengan , maka untuk sebarang

berlaku .

Definisi 2.1.5 (Kejadian Saling Bebas) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika suatu himpunan

. Secara umum,

dikatakan saling bebas jika

untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I . Definisi 2.1.6 (Peubah Acak) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan

adalah ruang peluang. Suatu peubah acak (random variabel)

adalah suatu fungsi X :

dengan

untuk setiap

.

Definisi 2.1.7 ( Fungsi Sebaran) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Fungsi sebaran (distribution function) dari suatu peubah acak X adalah yang diberikan oleh

.

Definisi 2.1.8 (Peubah Acak Diskret) (Grimmet dan Stirzaker) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang tercacah

dari

. Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C

terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 2.1.9 (Fungsi Masa Peluang) Fungsi masa peluang (probability mass function) dari suatu peubah acak diskret X adalah

yang diberikan oleh

7

Definisi 2.1.10 (Peubah Acak Kontinu) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai

untuk suatu fungsi

yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi

disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi peubah acak X . Definisi 2.1.11 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi yang diberikan . Definisi 2.1.12 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Marginal) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Peubah acak X dan Y disebut dua peubah acak kontinu yang menyebar bersama, dengan fungsi sebaran bersama

, jika untuk setiap

fungsi sebaran

bersamanya dapat diekspresikan sebagai

untuk suatu fungsi

yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi

disebut

fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak X dan Y yang didefinisikan oleh

Fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut ,

8

Definisi 2.1.13 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari

dengan syarat

, ditulis

,

yang diberikan oleh

untuk sebarang

sehingga

, di mana X dan Y adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan marginal

dan

adalah fungsi kepekatan

peluang bersama dari X dan Y . Definisi 2.1.14 (Bebas Stokastik Identik) (Hogg et al. 2005) Misalkan

adalah

peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan yang

sehingga

sama yaitu

dan fungsi kepekatan bersamanya adalah

. Peubah acak

disebut peubah acak yang saling bebas stokastik identik. Definisi 2.1.15 (Fungsi Indikator) (Cassela dan Berger 1990) Fungsi indikator dari himpunan A dinotasikan dengan

, didefinisikan sebagai

fungsi . Definisi 2.1.16 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) (Ghahramani 2000) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang , maka nilai harapan dari peubah acak X didefinisikan .

9

Definisi 2.1.17 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) (Ghahramani 2000) Misalkan

adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

,

maka nilai harapan dari peubah acak X didefinisikan sebagai . Definisi 2.1.18 (Nilai Harapan Peubah Acak Bersyarat) (Ghahramani 2000) Misalkan

dan

adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

bersyarat dari X dengan syarat

adalah

. Nilai harapan bersyarat dari , ditulis

peubah acak X dengan syarat nialai peubah acak

,

diberikan oleh

Definisi 2.1.19 (Kontinu Absolut) (Billingsley 1986) Misalkan peluang

dan

adalah dua ukuran peluang yang terdefinisi pada

dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang , untuk setiap

dan dinotasikan

jika

. Jika

kedua ukuran dikatakan ekuivalen dan dinotasikan dengan

dan

. Ukuran maka maka

.

Teorema 2.1.20 (Radon-Nikodym) (Billingsley 1986) Jika

dan

sehingga untuk semua

adalah dua ukuran peluang yang terdefinisi pada , maka terdapat peubah acak tak negatif , dinotasikan dengan

sedemikian

sehingga

= .

2.2 Rantai Markov Definisi 2.2.1 (Ruang State) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state.

10

Definisi 2.2.2 (Proses Stokastik) (Ross 2000) Proses stokastik

yang terdefinisi pada ruang peluang ke suatu

adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh ruang state

Jadi, untuk setiap

adalah suatu peubah acak.

Definisi 2.2.3 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Proses stokastik

yang terdefinisi pada ruang peluang (

)

dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap berlaku

untuk semua kemungkinan nilai dari

.

Definisi 2.2.4 (Matriks Transisi) ( Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan proses stokastik

adalah rantai Markov dengan ruang state

S yang berukuran N. Matriks transisi matriks peluang transisi

adalah untuk semua

.

Definisi 2.2.5 (Rantai Markov Homogen) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Rantai Markov

untuk semua

dengan ruang state S dikatakan homogen jika

.

Definisi 2.2.6 (Peluang Transisi n-step) (Ross 2000) Peluang transisi n-step

dari rantai Markov

adalah peluang

suatu proses berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai .

11

Definisi 2.2.7 (Accessible State) (Ross 2000) Suatu state

dari rantai Markov

state , ditulis

disebut terakses (accessible) dari

, jika ada minimal sebuah bilangan bulat

sehingga

. Definisi 2.2.8 (Communicate State) (Ross 2000) Dua state

dan

dari rantai Markov

(communicate), ditulis

, jika state

disebut saling berkomunikasi dapat diakses dari state

dan state

dapat

diakses dari state . Definisi 2.2.9 (State Class) (Ross 2000) Suatu kelas state dari rantai Markov

adalah suatu himpunan tak

kosong S sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari S berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota S yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari S. Definisi 2.2.10 (Irreducible Markov Chains) (Ross 2000) Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi (irreducible) jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan lainnya. Definisi 2.2.11 (The First-Passage Time Probability) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan

adalah rantai Markov dan

merupakan peluang

bahwa, mulai dari state i, proses bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut the first-passage time probability. Jadi untuk semua n = 1, 2, …

.

12

Definisi 2.2.12 (Recurrent) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan

adalah rantai Markov. Peluang bahwa suatu proses yang

dimulai dari state i akan pernah bertransisi ke state j didefinisikan sebagai . Kemudian State i disebut recurrent (berulang) jika Teorema 2.2.13 (Recurrent dan Transient State) (Ross 2000) State i adalah recurrent (berulang) jika

, dan transient jika

. Definisi 2.2.14 (Ross 2000) Misalkan 1.

adalah rantai Markov.

Suatu state i disebut memiliki periode d jika

untuk semua n yang tidak

habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan terbesar (the greatest common divisor) bagi n sehingga 2.

Suatu state dengan periode = 1 disebut aperiodic, sedangkan state dengan periode

3.

.

disebut periodic.

Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak berulang positif (posistive recurrent) disebut null recurrent.

4.

Rantai Markov dengan positive recurrent state dan aperiodic disebut ergodic.

Teorema 2.2.15 (Nilai Harapan Rantai Markov) (Ross 2000) Misalkan

adalah rantai Markov ergodic dengan ruang state S yang

berukuran N dan misalkan A merupakan matriks peluang transisi berukuran N x N

13

dengan

dan

dinotasikan dengan

, maka nilai harapan dari yang memenuhi

Definisi 2.2.16 (Himpunan P-Null) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan

adalah ruang peluang lengkap. Himpunan P-Null didefiniskan

sebagai

Definisi 2.2.17 (Ruang Peluang Lengkap) (Billingsley 1986) Sebuah ruang peluang maka

disebut lengkap, jika

, dan P(B) = 0

.

Definisi 2.2.18 (Filtrasi) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan dari

adalah suatu medan-

dan memenuhi

dan

adalah barisan sub medan-

untuk semua

, maka

disebut filtrasi.

Definisi 2.2.19 (Filtrasi Lengkap) (Protter 1995) Misalkan

adalah ruang peluang lengkap dan

filtrasi. Jika

memuat semua himpunan

-Null di

adalah sebuah maka

disebut filtrasi

lengkap. Definisi 2.2.20 (Measurable atau Terukur) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan X adalah peubah acak bernilai real yang terdefinisi pada ruang peluang . Peubah acak X dikatakan terukur- , jika semua

, untuk

.

Definisi 2.2.21 (Adapted) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Barisan peubah acak

yang terdefinisi pada ruang peluang

dikatakan adapted terhadap filtrasi

, jika

terukur-

untuk setiap .

14

Definisi 2.2.22 (Predictable) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Barisan peubah acak

yang terdefinisi pada ruang peluang

dikatakan predictable terhadap filtrasi

, jika

terukur-

untuk setiap .

Definisi 2.2.22 (Predictable) (Grimmet dan Stirzaker 1992) Misalkan

adalah ruang peluang,

adalah sub medan- dari , dan X adalah

peubah acak yang terintegralkan pada bersyarat dari X jika diketahui

, maka

. Nilai harapan

, disebut nilai harapan selanjutnya didefinisikan

sebagai sebarang peubah acak Y yang memenuhi: (a)

Y terukur- .

(b)

.

Persamaan

dapat ditulis dengan

Teorema 2.2.24 (Sifat-sifat Nilai Harapan Bersayarat) (Shreve 2004) Misalkan

adalah ruang peluang,

adalah sub medan- dari

adalah peubah acak yang terintegralkan pada

, maka berlaku:

(1) (2)

Jika X terukur- , maka

(3) (4)

Jika

.

(5)

Jika

(6)

Jika Y terukur- , maka

sub medan- dari , maka berlaku

.

, X,Y, dan XY

15

2.3. Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam Definisi 2.3.1 (Ruang Vektor Umum) (Anton 1997) disebut ruang vektor, jika untuk setiap

dan sebarang skalar

dan

dipenuhi aksioma berikut: (i)

Jika

, maka

(ii) (iii) (iv)

Ada 0

(v)

sehingga , ada

(vi)

Jika

+ 0, sehingga

.

adalah sebarang skalar dan

, maka

(vii) (viii) (ix) (x) Definisi 2.3.2 (Perkalian Dalam) (Anton 1997) Jika

dan

maka Euclidean Inner Product

adalah sebarang vektor di

,

didefinisikan dengan .

Definisi 2.3.2 (Ruang Hasil Kali Dalam) (Anton 1997) Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real mengasosiasikan bilangan real di

(b) (c) (d)

dengan masing-masing pasangan vektor

dan

sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua u, v, w dan skalar .

(a)

adalah fungsi yang

16

Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real.

2.4 Penghitungan Galat (Error) Definisi 2.4.1 (Koefisien Determinasi) (Agresti dan Finlay 1999)

di mana

dan

masing-masing merupakan proporsi variasi atau keragaman

data yang mampu dijelaskan oleh model, rataan, dan prediksi Definisi 2.4.2 (Wei 1994) Mean Absolute Persentage Error (persentase rataan galat absolut) didefinisikan sebagai

17

BAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU 3.1 State dan Proses Observasi Semua proses yang terdapat di dalam model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995) akan didefinisikan pada ruang peluang lengkap Parameter

waktu diskret merupakan nilai dari bilangan

. Andaikan

adalah rantai state yang menunjukkan proses penyebab kejadian. Ruang state

adalah himpunan vektor satuan

di

dituliskan

, di mana hanya elemen ke- yang bernilai Diasumsikan bahwa diketahui. Di samping itu,

dan lainnya

diberikan, atau distribusinya atau rataan diasumsikan sebagai suatu rantai Markov homogen,

sehingga

di mana

adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh

Lema 3.1.1 (Elliott et al. 1995) Misalkan

merupakan

peluang

adalah matriks peluang transisi yang memenuhi , maka

Bukti Misalkan

, maka

transisi

dan dan

18

maka

Selanjutnya, misalkan

Maka dapat ditulis Jadi,

 Lema 3.1.2 (Elliott et al. 1995)

Bukti , maka

Karena

 Lema 3.1.3 (Rantai Markov Ergodic) (Ross 2000) Jika berukuran

adalah rantai Markov ergodic dengan ruang state S yang dan misalkan

dengan

merupakan matriks peluang transisi berukuran

dan

adalah

x

, maka nilai harapan dari

yang memenuhi

dan

.

Lema 3.1.4 (Nilai Harapan Rantai Markov Ergodic) (Ross 2000) Misalkan

adalah rantai Markov ergodic dengan .

, maka

19 Bukti Misalkan

, maka

Karena

maka diperoleh

Jadi,

 Definisikan

Dengan menggunakan Lema 3.1.1 diperoleh

.

20 Dari persamaan (3.3) diperoleh suatu persamaan state

Misalkan ,

di sini

di

tidak diobservasi secara langsung, tetapi ada proses observasi mana

bernilai

skalar

pada

suatu

selang,

yaitu:

adalah barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar

normal dengan rataan nol dan ragam satu,

Karena

, fungsi

ditentukan oleh vektor dalam

; maka

di dan

di mana

dengan

, untuk

menotasikan perkalian dalam di

Pasangan

merupakan model hidden Markov kontinu yang

berbentuk

(3.2)

.

3.2 Nilai Harapan Bersyarat Misalkan barisan

dan

masing-masing adalah

filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh Akan diturunkan sebaran bersyarat akan ditentukan juga nilai harapan bersyarat himpunan bebas terhadap

jika diketahui

. Disamping itu,

, jika dketahui

Karena

adalah himpunan peubah acak yang bebas stokastik, maka dan

Lema 3.2.1 (Elliott et al. 1995)

21 Bukti

Dari Lema 3.1.2 didapatkan

 Untuk sebarang adalah

maka sebaran bersyarat dari

jika diketahui

22 Lema 3.2.2 (The Normal Distribution) (Hogg et al. 2005) Jika

adalah peubah acak yang menyebar normal dengan rataan nol dan ragam

satu,

maka

, dengan

normal dengan rataan nol dan ragam

adalah peubah acak yang menyebar ,

Bukti Misalkan

, maka sebaran untuk

Misalkan y

, maka

adalah

. Sedangkan batas integral untuk

sehingga y Akibatnya

Melalui Teorema Dasar Kalkulus didapatkan

dengan Jadi,

adalah peubah acak yang menyebar normal dengan rataan nol dan ragam

, 

23 Misalkan

adalah nilai harapan bersyarat (fungsi kepadatan

, jika diketahui

, dan dari Lema 3.1.2 maka

Diperoleh

Jadi, fungsi kepadatan bersayarat dari

Adapun sebaran bersama dari

jika diketahui

dan

=

jika diketahui

.

Diperoleh fungsi kepadatan bersama bersyarat dari yaitu Berdasarkan aturan Bayes, diperoleh

adalah

adalah

(3.5) dan

jika diketahui

24

Lema 3.2.3 (Elliott et al. 1995)

Bukti Misalkan

maka

Jadi,

 Dari Lema 3.2.3 didapat

Teorema 3.2.4 (Elliott et al. 1995)

Bukti Diketahui dibuktikan bahwa

dan

bersifat bebas stokastik identik. Akan

25 Bukti

Jadi,

Karena

bersifat bebas stokastik identik, maka

Diperoleh

Akibatnya

 Peubah

merupakan nilai harapan bersyarat

Pada persamaan (3.6),

adalah tak linier terhadap

memudahkan perhitungan secara matematik peluang.

jika diketahui Sehingga untuk

dilakukan perubahan ukuran

26 3.3 Perubahan Ukuran Perubahan ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang menjadi peluang baru. Dari ukuran peluang baru akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan RadonNikodym. Teorema 3.3.1 (Teorema Bersyarat Bayes) (Elliott et al. 1995) Misalkan

merupakan ruang peluang dan

Misalkan juga

adalah sub-medan

dari

adalah ukuran peluang lain yang kontinu absolut terhadap

. Jika

dengan turunan Radon-Nikodymnya

adalah peubah acak

terintegralkan dan terukur- , maka berlaku

Bukti Menurut definisi 2.2.23, harus ditunjukkan bahwa

adalah nilai harapan bersyarat dari berdasarkan definisi 2.2.23 , sehingga

jika diketahui

. Hal yang sama berlaku untuk . Karena

merupakan pembagian

dari nilai harapan bersyarat yang terukur- , maka akibatnya Misalkan

, maka

sebarang himpunan di . Selanjutnya didefinisikan

terukur- .

27 Akan ditunjukkan

Definisikan

, sehingga dan

Maka dari definisi 2.2.23 Berakibat

atau

hampir pasti di G. Kemudian dan

Nilai Selanjutnya

. Misalkan , sehingga

hampir pasti pada

, maka

, di mana

28

Akibatnya

Jadi,

Karena

=

dan

= , maka

=

terukur- .

 Suatu barisan

dikatakan adapted terhadap

jika

setiap k. Penggunaan Teorema 3.3.1 berakibat pada ukuran persamaan

sehingga didapatkan Lema berikut.

Lema 3.3.2 (Elliott et al. 1995) Jika

adalah barisan peubah acak yang terintegralkan, maka

Bukti Bukti Lema 3.3.2 serupa dengan bukti Teorema 3.3.1

terukur

untuk

dan

dari

29 Lema 3.3.3 (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang

di

adalah rantai Markov homogen dan

memenuhi di mana

, merupakan barisan peubah acak bersifat bebas stokastik identik

menyebar normal

maka fungsi kepekatan peluang dari

Bukti Untuk sebarang

Misalkan

maka sebaran dari

, maka

adalah

adalah

30 Misalkan

, maka

integral untuk

atau

. Sedangkan batas

sehingga

Akibatnya

Melalui Teorema Dasar Kalkulus didapatkan

Jadi,

adalah peubah acak yang fungsi kepekatan peluangnya dalah

 Diketahui bahwa di bawah ukuran peluang 1.

di

berlaku:

adalah rantai Markov homogen dan memenuhi

2.

, di mana

merupakan barisan peubah acak

bersifat bebas stokastik identik menyebar normal peubah acak yang bergantung pada adalah

.

Adapun

adalah

dengan fungsi kepekatan peluang dari

31

Kemudian akan dikonstruksi ukuran peluang baru terhadap


yang kontinu absolut , sehingga di bawah

ukuran peluang : 1.

merupakan rantai Markov homogen dan memenuhi

.

2.

merupakan barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal Hal tersebut berarti harus dikonstruksi , sehingga di bawah ukuran peluang

1.

merupakan rantai Markov homogen dan memenuhi

.

2.

merupakan barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal

Misalkan

adalah fungsi kepekatan peluang

Agar

berdistribusi normal

di bawah ukuran peluang , maka

Sedangkan menurut definisi ukuran peluang

Dari persamaan karena

dan


serta didapat

32

dan

Misalkan

Definisikan suatu ukuran pluang baru terhadap

Eksistensi

dengan batasan turunan Radon-Nikodym

sama dengan

dijamin oleh Teorema Radon-Nikodym dan eksistensi

dijamin

oleh Teorema Perluasan Kolmogorov (Wong and Hajek, 1995). Lema 3.3.4 (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang ,

adalah peubah acak yang bebas stokastik identik

menyebar normal Bukti Misalkan 3.3.2 persamaan ini menjadi

sedangkan

. Menurut Teorema Bayes dan Lema

33

diperoleh

Jadi, di bawah ukuran

,

merupakan barisan peubah acak yang bebas

stokastik identik menyebar normal

. 

Sebaliknya, dimisalkan ukuran peluang

di

sehingga di bawah

ukuran peluang 1.

adalah rantai Markov dengan matriks transisi , di mana

2.

, sehingga

.

adalah suatu barisan peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal N(0,1).

Sehingga harus dikonstruksi kembali ukuran peluang terhadap


ukuran peluang :

1.

adalah rantai Markov homogen.

yang kontinu absolut sehingga di bawah

34 2.

di mana

merupakan barisan peubah

acak bersifat bebas stokastik identik menyebar normal Misalkan

sedangkan


, maka


sehingga

Akibatnya didapatkan

Selanjutnya, misalkan

serta definisikan ukuran peluang

=

batasan turunan Radon-Nikodym terhadap

Jelas, bahwa untuk mengkonstruksi ukuran peluang

syarat yang harus dipenuhi adalah

kembali maka

.

Lema 3.3.5 (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang , stokastik menyebar normal N(0,1).

adalah barisan peubah acak yang bebas

35 Bukti Misalkan

. Berdasarkan Teorema 3.3.1,

maka diperoleh

sedangkan

Akibatnya

. Jadi, di bawah ukuran peluang

,

adalah barisan peubah acak yang bebas

stokastik identik menyebar normal N(0,1).

36 3.4 Pendugaan Rekursif Pendugaan rekursif diperlukan untuk menduga parameter baru. Pendugaan rekursif meliputi pendugaan untuk state, banyaknya lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi. Notasi 3.4.1 (Elliott et al. 1995) Jika

adalah sebarang barisan peubah acak yang adapted terhadap tuliskan

Sekarang notasikan unnormalized

conditional expectation dari

jika diketahui

sebagai

Menurut Teorema Bayes bersyarat (lihat Lema 3.3.2)

sehingga

karena

. Pada proses pendugaan rekursif diambil nilai awal

Misalkan

adalah barisan peubah acak bernilai skalar, di mana

maka akibatnya

. Perhatikan suku pertama dari persamaan berikut

yaitu

Karena

=

, maka

37

Notasi 3.4.2 (Elliott et al. 1995) Notasikan

Jika

diketahui dan

, maka

38 Menurut Lema 3.2.1,

sehingga didapatkan

Kemudian jika

, maka

Diperoleh

Jadi, jika pendugaan unnormalized

diketahui, maka pendugaan untuk

diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen Lebih lanjut, ambil

.

, maka persamaan

menjadi

Lema 3.4.3 (Elliott et al. 1995) 1) Jika 2) Jika

, maka , maka

39 Bukti

1) Misalkan

, maka

. Jadi,

2) Misalkan

.

maka

40

Jadi,  Lema 3.4.4 (Elliott et al. 1995) Misalkan maka dan

adalah matriks diagonal dengan vektor

pada diagonalnya,

41 Bukti Diketahui

, maka

Karena

, sehingga diperoleh

dan karena

, maka

 Notasi 3.4.4 (Elliott et al. 1995) Untuk sebarang proses

yang adapted terhadap , notasikan

Teorema 3.4.5 (Elliott et al. 1995) adapted terhadap

Misalkan proses 1.

terukur

berbentuk:

,

2.

, di mana fungsi bernilai skalar, dan adalah proses predictable terhadap merupakan vektor berdimensi N.

serta

,

bernilai skalar. Sedangkan

42 Maka

di mana Bukti Bukti Teorema 3.4.5 terdapat pada lampiran 1. 3.4.1 Penduga untuk State Menurut Teorema 3.4.5 dan jika dipilh mana

di

maka penduga untuk state didefinisikan sebagai berikut

Dapat juga ditulis dalam bentuk pendugaan rekursif untuk unnormalized conditional

expectation

dari

,

jika

diketahui

,

yaitu

. Bentuk ini disebut unnormalized smoother.

Berdasarkan Teorema 3.4.5 dan pilih maka diperoleh

3.4.2 Penduga Banyaknya Lompatan Jika rantai Markov berpindah dari state waktu

,

, pada waktu , ke state

, maka

banyaknya lompatan dari state

ke state

. Misalkan sampai ke-

, maka

, pada adalah

43

Menurut Teorema 3.4.5 dan dengan

,

,

maka penduga untuk banyaknya lompatan adalah

Karena

maka diperoleh

Bentuk unnormalized smoother untuk

jika diketahui

Dengan memilih

adalah

, maka

dari aplikasi Teorema 3.4.5 diperoleh

3.4.3 Penduga untuk Waktu Kejadian Misalkan , maka

adalah lamanya waktu

berada di state

sampai waktu ke-k

44 Dengan

, maka

menurut Teorema 3.4.5 penduga lama waktu kejadian:

, maka

Karena

Jadi,

Sedangkan bentuk unnormalized smoother untuk adalah

jika diketahui

. Jika Teorema 3.4.5 diaplikasikan pada bentuk

unnormalized smoother penduga lama waktu kejadiannya, di mana , maka didapatkan

45 3.4.4 Penduga untuk Proses Observasi Untuk menduga ulang vektor varian

dan vektor

pada proses observasi

, maka

ditentukan penduga untuk proses observasi dalam bentuk

di mana

atau

.

Dengan menggunakan Teorema 3.4.5, di mana nilai , maka didapatkan penduga untuk proses observasi sebagai berikut

Bentuk unnormalized smoother dari

jika diketahui

. Dengan memilih

,

adalah

maka berdasarkan Teorema 3.4.5 diperoleh

3.5 Pendugaan Parameter Pada bagian ini, parameter model diduga dengan menggunakan algoritma Expectation Maximization (EM). Hasilnya berupa parameter dalam bentuk pendugaan rekursif. Algoritma ini dikembangkan oleh Baum dan Petrie (1996) dengan ide dasar sebagai berikut. Misalkan ruang

adalah koleksi ukuran peluang yang terdefinisi pada dan kontinu absolut terhadap

. Misalkan

kemudian

definisikan fungsi Likelihood untuk menghitung penduga parameter berdasarkan informasi

sebagai

46

dan Maximum Likelihood Estimation (MLE) didefinisikan sebagai

Secara umum MLE

sulit dihitung secara langsung, maka biasanya

digunakan algoritma Expectation Maximization (EM). Algoritma EM memberikan suatu metode iteratif untuk mengaproksimasi

, dengan prosedur sebagai berikut.

dan pilih

Langkah 1. Set

Langkah 2. [Langkah-E] Set

dan hitung

, di mana

Langkah 3. [Langkah-M]

Langkah 4. Ganti

dengan

dan ulangi langkah 2 sampai

kriteria berhenti dipenuhi. Barisan yang dibangkitkan likelihood

memberikan barisan nilai fungsi

yang tak turun. Tentunya, hal ini menurut ketaksamaan

Jensen,

dengan kesamaan jika dan hanya jika

.

disebut pseudo-

loglikelihood bersyarat. Model hidden Markov kontinu dengan waktu diskrit (Elliott et al. 1995) yang diduga parameternya berbentuk

di mana

adalah peubah acak yang bebas stokastik identik menyebar normal

N(0,1). Parameter model diberikan oleh himpunan

di mana

Berikutnya, dengan menggunakan

algoritma EM akan ditentukan himpunan parameter baru,

47

, yang memaksimumkan pseudo-

di mana loglikelihood bersyarat. 3.5.1 Pendugaan Parameter Untuk mengubah parameter didefinisikan

dan definisikan peluang

sehingga

Lema 3.5.1.1 (Elliott et al. 1995)

Bukti Misalkan

Jadi,

, maka

menjadi

pada rantai Markov

,

48

Ruas kanan lema 3.5.1.1

Jadi,

Dari persamaan (1) dan (2), maka

 Lema 3.5.1.2 (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang

, jika

, maka

49 Bukti Misalkan

maka

Akibatnya

50

Karena

maka

 Teorema 3.5.1.3 (Elliott et al. 1995)

51 Bukti Berdasarkan definisi, fungsi Log-likelihood adalah

di mana

tidak tergantung pada , dan

nilai harapan dari fungsi Log-likelihood

Sehingga atau

Pseudo-loglikelihood

bersyaratnya menjadi

di mana parameter dinamik

harus memenuhi

, atau dalam bentuk

52 Bentuk dinamik di atas dapat dituliskan dalam bentuk bersyarat

, maka dapat ditulis dalam bentuk nilai harapan bersyarat

Oleh karena itu, sekarang masalah optimasi di atas menjadi memilih yang memaksimumkan

dengan

kendala

dan

diferensialkan

.

fungsi

Selanjutnya

tersebut

definisikan

terhadap

dan

dan

Dari

dan

didapatkan

fungsi

Lagrange

sehingga

53

Jadi, pilihan optimum

adalah

3.5.2 Pendugaan Parameter Misalkan ukuran peluang baru

Untuk

mengubah

dengan faktor

parameter

dan

menjadi

turunan Radon-Nikodymnya

,

maka

didefinisikan

54


Bukti Dari definisi di atas dan di bawah ukuran peluang baru dari

adalah

fungsi Log-likelihood

55 dengan

bebas terhadap

dan nilai harapan bersyaratnya adalah

Jika persamaan di atas didiferensialkan terhadap

Akibatnya didapatkan pilihan optimum dari

, maka diperoleh

adalah

 3.5.3 Pendugaan Parameter Misalkan ukuran peluang baru

Untuk mengganti parameter

dengan faktor

dengan

dan turunan Radon-Nikodymnya

(ambil

tetap), definisikan

56


Bukti Dari definisi di atas, dan di bawah ukuran peluang , fungsi Log-likelihood dari adalah

dengan

57 tidak bergantung pada , dan nilai harapan bersyaratnya adalah

58

Karena

maka untuk

didapatkan

59

Jadi,

 Pilihan optimum

yang diperoleh dari Teorema di atas adalah

Berdasarkan observasi sampai waktu ke-k, parameter model yang baru yaitu

diberikan oleh persamaan (*), persamaan (**), dan persamaan (***). Nilai dan

kemudian dapat dihitung

kembali dengan menggunakan parameter yang baru dan data pengamatan yang baru.

60 3.6 Nilai Dugaan Nilai dugaan jika diketahui

dihitung dengan menggunakan nilai harapan bersyarat

.

Lema 3.6.1 (Nilai Harapan Bersyarat Nilai harapan beryarat dari

di mana Bukti

)

jika diketahui

adalah

61

Jadi,

 3.7 Algoritma Pendugaan Parameter Diketahui parameter model hidden Markov kontinu dengan waktu diskrit (Elliott et al. 1995) berbentuk

Kemudian akan ditentukan parameter model hidden Markov kontinu dengan waktu diskrit di atas yang baru,

yang memaksimumkan pseudo-loglikelihood bersayaratnya. Algoritma untuk memperoleh parameter tersebut, yang diperoleh dari Setiawaty dan Kristina (2005) dengan beberapa penambahan, sebagai berikut. Algoritma untuk menentukan parameter Langkah 1: Tetapkan N ( banyaknya state: penyebab kejadian), T ( banyaknya data) dan input data

.

Langkah 2: Tetapkan nilai awal ,

62 .

Langkah 3: Lakukan untuk

sampai dengan T.

1. Tetapkan

2. Lakukan untuk

sampai dengan

a. Hitung penduga rekursif

.

63

di mana: 1. 2. 3. dengan b. Lakukan untuk

sampai dengan

Hitung penduga rekursif smoother

c. Hitung penduga parameter

64

d. Tuliskan

e. Tentukan dan

dari persamaan dari persamaan

.

f. Ulangi langkah a sampai dengan langkah e untuk k berikutnya. 3. Beri nilai

dan

4. Ulangi langkah 1 sampai dengan langkah 3 untuk berikutnya. Langkag 4: Hitung nilai Langkah 5: Untuk

dan sampai dengan , cetak

dan

.

65

DAFTAR PUSTAKA [1]. Baum, L. E. and Petrie, T. 1996. Statistical inference for probabilistic function of finite state Markov chains, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 37: 1554-1563.

66 [2]. Elliott, R. J., Aggoun, L. and Moore, J. B. 1995. hidden Markov Models. Springer Verlag, New York. [3]. Setiawaty B, Kristina L. 2005. Pendugaan Parameter Model hidden Markov. Jurnal Matematika dan Aplikasinya, 4 : 23-39 [4]. Wong, E and Hajek, B. 1985. Stochastic Process in Engineering System. Springer Verlag, Berlin.

65

BAB IV APLIKASI MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU PADA HARGA BERAS Pada bab ini dibahas pemodelan masalah perubahan harga beras. Bagian pertama menjelaskan data input. Pada bagian dua dibahas aplikasi model terhadap kasus banyaknya penyebab kejadian N dan data observasi, sehingga diperoleh kesesuaian model. Pada bagian terakhir dibahas split data sampai didapatkan model terbaik untuk memprediksi harga beras mendatang. Proses perhitungan dan analisa datanya dilakukan dengan program komputasi berbasis pemrograman fungsional, software Mathematica 7.0. 4.1 Data Input Penelitian Penelitian ini menggunakan data harga rata-rata beras eceran per minggu, jenis Jembar I dan IR 64 II di Kota Bandung. Data yang digunakan merupakan hasil pengamatan harga rata-rata beras antara bulan Februari tahun 2004 hingga bulan Mei tahun 2009 [21/07/2009]. Perubahan harga beras yang akan dimodelkan selama kurun waktu tersebut dapat dilihat pada gambar 1 grafik berikut. 8,000.00 Harga Beras (Rp/ Kg)

7,000.00 6,000.00 5,000.00 4,000.00 3,000.00 2,000.00 1,000.00 0.00 0

50 100 150 200 250 300 Waktu Pengamatan per Minggu (Februari 2004- Mei 2009)

Gambar 1 Grafik perubahan harga beras jenis Jembar I per minggu Sumber: Badan Pusat Statistik, Statistics – Indonesia

66

7,000.00

Harga Beras (Rp/ Kg)

6,000.00 5,000.00 4,000.00 3,000.00 2,000.00 1,000.00 0.00 0

50 100 150 200 250 300 Waktu Pengamatan per Minggu (Februari 2004-Mei 2009)

Gambar 2 Grafik perubahan harga beras jenis IR 64 II per minggu. Sumber: Badan Pusat Statistik, Statistics – Indonesia

4.2 Pemodelan Masalah Perubahan dan Aplikasi pada Harga Beras Beras merupakan komoditas pertanian yang sangat penting. Hal ini tercermin dari konsumsi beras yang hampir mencapai 90% dari nilai konsumsi masyarakat Indonesia. Mengingat pentingnya komoditas ini maka sangat lazim kebijakan perberasan nasional menjadi perhatian utama oleh pemerintah karena tidak hanya menyangkut hajat hidup sebagian besar masyarakat yang sangat tergantung pada komoditas ini, namun juga menyangkut kestabilan pangan. Secara garis besar permasalahan beras tidak terlepas dari permasalahan di bidang produksi, distribusi, dan kebijakan terkait dengan perberasan. Permasalahanpermasalahan ini dapat kita kategorikan sebagai kejadian yang sifatnya berulang dan tidak dapat dipastikan waktunya. Hal ini yang menyebabkan harga rata-rata beras mengalami perubahan yang berfluktuasi. Model hidden markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995) adalah suatu model matematis yang dapat menjelaskan perilaku harga beras. Model ini diharapkan lebih fleksibel dalam menggambarkan perubahan-perubahan yang terjadi

67

pada harga rata-rata beras, karena pada model ini diperkenankan terjadinya perubahan pada setiap state. Diasumsikan bahwa harga rata-rata beras per minggu dibangkitkan oleh proses pengamatan yang hanya dipengaruhi oleh proses penyebab kejadian yang merupakan rantai Markov dan tidak diamati secara langsung. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan harga rata-rata beras diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov

. Misalkan banyaknya faktor tersebut adalah N. Pada setiap state, data

harga rata-rata beras dibangkitkan oleh peubah acak sebaran tertentu pada ruang peluang Misalkan hubungan antara

yang menyebar dengan

. dan

ditetapkan oleh persamaan berikut:

Berdasarkan asumsi bahwa penyebab perubahan harga rata-rata beras tidak diketahui atau tidak diamati, berakibat harga rata-rata beras

tersembunyi (hidden) di balik data pengamatan

. Jadi pasangan

merupakan model hidden

Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliott et al. 1995). Parameter model di atas berbentuk

Data pengamatan harga rata-rata beras

selama kurun waktu Februari 2004

sampai Mei 2009 berjumlah 275. Dengan menggunakan data tersebut, parameter model diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan pendugaan ulang menggunakan metode Expectation Maximization yang melibatkan perubahan ukuran. Penduga rekursif yang digunakan adalah penduga tanpa smoother (filter) dan penduga smoother. Pada proses pendugaan parameter model, banyaknya penyebab kejadian diambil N = 2,3,4,5,6, sehingga diperoleh model terbaik yang dapat memodelkan dan menjelaskan perubahan harga beras. Untuk proses prediksi harga beras dilakukan split data menjadi dua kelompok. Data harga beras kelompok pertama digunakan untuk membangkitkan parameter

68

model terbaik. Kelompok kedua, data harga beras dijadikan sebagai pembanding terhadap harga beras hasil prediksi model. Proses ini berlangsung sampai mendapatkan model prediksi terbaik. Prediksi harga beras dan

diharapkan

dilakukan dengan menggunakan nilai yang

. Harga beras prediksi ini diharapkan mendekati harga beras

yang pasar. Prosesnya dikerjakan menurut algoritma pendugaan parameter dan nilai harapan

.

4.3 Hasil Program Komputasi dan Interpretasi Model Berdasarkan algoritma pendugaan parameter yang telah dijelaskan pada bab III dan data harga beras di atas, dibuat program komputasi untuk membangkitkan parameter model dengan menggunakan penduga filter dan smoother. Dari proses ini diperoleh model perubahan harga beras dan prediksi. Di samping itu, didapatkan juga nilai perbandingan galat antara harga beras pasar dan prediksi. 1. Model untuk menggambarkan perubahan harga beras a. Beras IR 64 II

69 Harga Beras IR 64 II Februari 2004 M ei 2009

6000 5500

Harga Pasar ---- Harga Prediski

5000 4500 4000 3500

MAPE = 3.14362 % 3000

2005

2006

2007

2008

2009

Gambar 3 Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 dengan penduga filter.

12

10

8

6

4

2

0 IR 64 II, Filter

Gambar 4 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2.

70

Harga Beras IR 64 II Februari 2004 M ei 2009

6000 5500


5000 4500 4000 3500

MAPE = 3.18078 %

3000

2005

2006

2007

2008

2009

Gambar 5 Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 2 dengan penduga smoother.

12

10

8

6

4

2

0 IR 64 II, Smoother


71


6000 5500


5000 4500 4000 3500

MAPE = 2.10315 %

3000

2005

2006

2007

2008

2009

Gambar 7 Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 dengan penduga filter. 10

8

6

4

2

0 IR 64 II, Filter


72


6000 5500


5000 4500 4000 3500

MAPE = 1.7837 % 3000

2005

2006

2007

2008

2009

Gambar 9 Grafik model perubahan harga beras IR 64 II untuk N = 3 dengan penduga smoother.

8

6

4

2

0 IR 64 II, Smoother


73

b. Jembar I

Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 M ei 2009

6500 6000


5500 5000 4500 4000

MAPE = 3.31982 %

3500

2005

2006

2007

2008

2009

Gambar 11 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2 dengan penduga filter.

12

10

8

6

4

2

0 Jembar I, Filter

Gambar 12 Diagram kotak persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2.

74


6500 6000


5500 5000 4500 4000

MAPE = 3.26963 % 3500

2005

2006

2007

2008

2009

Gambar 13 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 2 dengan penduga smoother.

12

10

8

6

4

2

0 Jembar I, Smoother


75


6500 6000


5500 5000 4500 4000

MAPE = 1.98996%

3500

2005

2006

2007

2008

2009


10

8

6

4

2

0 Jembar I, Filter


76


6500 6000


5500 5000 4500 4000

MAPE = 2.03145 %

3500

2005

2006

2007

2008

2009

Gambar 17 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 3 dengan penduga smoother.

8

6

4

2



77


6500 6000


5500 5000 4500 4000

MAPE = 1.56838 %

3500

2005

2006

2007

2008

2009


10

8

6

4

2

0 Jembar I, Filter


78


6500 6000


5500 5000 4500 4000

MAPE = 1.20752 %

3500

2005

2006

2007

2008

2009

Gambar 21 Grafik model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 4 dengan penduga smoother. 12

10

8

6

4

2



79


6500 6000


5500 5000 4500 4000

MAPE = 1.1212 %

3500

2005

2006

2007

2008

2009


10

8

6

4

2

0 Jembar I, Filter

Gambar 24 Diagram kotk persentase absolut galat model perubahan harga beras Jembar I untuk N = 5.

80

Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 M ei 2009 7000 6500


6000 5500 5000 4500 4000

MAPE = 0.394138 %

3500

2005

2006

2007

2008

2009


12

10

8

6

4

2



81


6500 6000


5500 5000 4500 4000

MAPE = 0,9485 % 3500

2005

2006

2007

2008

2009


10

8

6

4

2

0 Jembar I, Filter


82

Harga Beras Jembar Satu Februari 2004 M ei 2009 7000 6500


6000 5500 5000 4500 4000

MAPE = 0.445156 %

3500

2005

2006

2007

2008

2009


10

8

6

4

2



83

Dari analisis gambar model perubahan harga beras dan diagram kotak di atas dapat disimpulkan bahwa model hidden Markov kontinu tersebut

mampu

memodelkan perubahan harga beras IR 64 II dan Jembar I. Fluktuasi harga pasar yang terjadi setiap minggu dapat direspon dengan baik oleh model ini. Secara keseluruhan nilai rata-rata persentase absolut galat (MAPE) yang dibuat oleh model untuk setiap banyaknya kejadian N relatif kecil, yaitu di bawah 4 %. Persentase absolut galatnya banyak berada di kisaran 0 % – 6 %. Keakuratan prediksi harga beras seperti itu tergantung dari nilai parameter yang model dibangkitkan. Jika nilai parameter model tersebut dapat memaksimukan harapan harga beras prediksi, maka nilai persentase absolut galat semakin kecil. Penduga smoother ternyata mampu membangkitkan parameter model dengan nilai MAPE yang lebih kecil dibandingkan penduga filter untuk setiap N. Dengan kata lain parameter model yang dibangkitkan penduga smoother lebih baik dari pada penduga filter. Adanya keterkaitan antara nilai N, MAPE, dan

dengan penduga parameter

serta dipilih model terbaik dijelaskan dalam analisis numerik model berikut. Tabel 1 Perbandingan absolut persentase galat dan koefisien determinasi model untuk masing-masing nilai N dari beras IR 64 II

Penduga Filter

N 2 3

Penduga

N

Smoother

2 3

Min. Absolut Persentase Galat 0 0 Min. Absolut Persentase Galat 0 0

MAPE 3.14362 2.10315

MAPE 3.18078 1.78370

Maks. Absolut Persentase Galat 13.50040 10.03260

0.964572 0.984723

Maks. Absolut Persentase Galat 13.46090 9.21987

0.961929 0.990638

84

Tabel 2 Perbandingan absolut persentase galat dan koefisien determinasi model untuk masing-masing nilai N dari beras Jembar I

N Penduga Filter

2 3 4 5 6

N Penduga Smoother

2 3 4 5 6

Min. Absolut Persentase Galat 0 0 0 0 0 Min. Absolut Persentase Galat 0 0 0 0 0

MAPE 3.31982 1.98996 1.56838 1.12120 0.94850

MAPE 3.269630 2.031450 1.207520 0.394138 0.445156

Maks. Absolut Persentase Galat 12.8765 11.5643 11.4580 9.3132 10.4518

0.961391 0.985293 0.991673 0.995365 0.996630

Maks. Absolut Persentase Galat 12.63760 9.17913 12.28840 14.24330 12.31500

0.962605 0.985969 0.995294 0.997931 0.998054

Tabel 1 dan 2 di atas menunjukkan bahwa bertambahnya nilai N membuat MAPE semakin kecil nilainya, di mana persentse absolut galat lebih terkonsentrasi pada kisaran 0 % - 6 %, dan nilai

mendekati satu, 0.96 – 1.00, untuk setiap

penduga parameter. Hal ini memberikan interpretasi pada model, yaitu jika jumlah penyebab perubahan harga beras IR 64 II dan Jembar I bertambah banyak, maka harga beras prediksi keduanya semakin mendekati harga pasar. Di samping itu, arti nilai

mendekati satu adalah fluktusi harga beras yang terjadi setiap minggu dapat

direspon dan dijelaskan oleh model hidden Markov kontinu tersebut dengan baik. Hal lain yang dapat diungkap dari Tabel 1 dan 2, yaitu setiap nilai N bertambah besar maka nilai MAPE atau kisaran nilai persentase absolut galat mengecil. Penduga filter dan smoother menghasilkan nilai-nilai galat ini berbeda. Akan tetapi perbedaannya relatif kecil, yaitu 0 % - 1 %. Perbedaan 0 % - 1 % dalam kasus ini dianggap tidak terlalu mengakibatkan selisih harga beras prediksi berbeda secara signifikan untuk N = 2, 3, 4, 5, dan 6.

85

Oleh karena itu, berdasarkan petimbangan lama waktu proses komputasi, keakuratan harga prediksi, dan kesederhanaan model dipilih model dengan N = 3 sebagai model terbaik. 2. Model untuk menggambarkan prediksi harga beras mendatang Model terbaik untuk menggambarkan prediksi harga beras mendatang dipilih model dengan N = 3 untuk beras IR 64 II dan N = 2 untuk Jembar I. Proses berikutnya menginput data. Data harga beras kelompok pertama digunakan untuk membangkitkan parameter model. Setelah didapatkan model terbaik dilanjutkan proses prediksi. Kelompok data harga beras yang kedua digunakan sebagai pembanding bagi harga beras hasil prediksi model. Perbandingan kedua harga beras tersebut dapat dilihat pada gambar berikut. a. Prediksi harga beras IR 64 II selama 10 minggu 6000


5800

 

5600

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5400

MAPE = 0.425197 % 5200 0

2

4

6

8

Gambar 31 Grafik model prediksi harga beras IR 64 II. Beberapa hal yang dapat menjelaskan grafik di atas. 1. Selisih antara harga pasar dan prediksi: Minimum: Rp 11.28 Rata-rata: Rp 21.357 Maksimum: Rp 49.29 2. Persentase galat: Minimum persentase absolut galat: 0.0370594 %

10

86

MAPE: 0.425197 % Maksimum persentase absolut galat: 0.881594 %

b. Prediksi harga beras Jembar I selama 10 minggu 8000

Harga Pasar ---- Harga Prediski 7000

 

 

 

 

 

 

6000

 

 

 

 

5000

MAPE = 1.12361 % 4000 0

2

4

6

8

Gambar 32 Grafik model prediksi harga beras Jembar I. Keterangan di bawah ini menjelaskan lebih lanjut grafik di atas. 1. Selisih harga antara harga pasar dan prediksi: Minimum: Rp 31.32 Rata-rata: Rp 47.818 Maksimum: Rp 180.95 2. Persentase galat: Minimum persentase absolut galat: 0.270349 % MAPE: 1.12361 % Maksimum persentase absolut galat: 2.98154 %

10

87

Adapun sebaran galatnya dapat dilihat pada diagram kotak berikut ini. 3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 IR 64 II

Jembar I

Gambar 33 Diagram kotak persentase absolut galat harga beras IR 64 II dan Jembar I Dari hasil seluruh analisis di atas dapat disimpulkan bahwa model hidden Markov kontinu dengan waktu diskrit dapat memprediksi harga beras IR 64 II dan Jembar I mendatang dan dapat memodelkan harga beras keduanya dengan baik.

88

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dari hasil penelitian diambil kesimpulan sebagai berikut. 1. Model hidden Markov kontinu dengan waktu diskret (Elliot et al. 1995) dapat memodelkan dan menjelaskan perilaku perubahan harga beras dengan baik. 2. Model terbaik IR 64 II mempunyai MAPE = 1.78 % dengan banyak penyebab kejadian N = 3, dan model terbaik Jembar I nilai MAPE = 3.27 % dengan N = 2. 3. Model prediksi terbaik IR 64 II berada pada nilai MAPE = 0.425197%, N = 3, dan model prediksi terbaik Jembar I dengan MAPE = 1.12%, N = 2. 5.2 Saran Penentuan nilai awal parameter model yang optimal perlu dikaji formulasinya.

88

DAFTAR PUSTAKA Argesti A, Finlay B. 1999. Statistical Methods for the Social Sciences. Prentice Hall. New Jersey Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Versi Aplikasi. Erlangga. Jakarta. Banachewicz K, Lucas A. 2008. Quantile Forecasting for Credit Risk Management Using Possibly Misspacified Hidden Markov Model. Journal of Forecasting. 27:566-586. Billingsley P. 1991. Probability and Measure. John Willey & Sons. New York. Bolen NPB. 1998. Valuing Options in Regime-Switching Models. Journal of Derivatives 6: 38-49. [BPS] Badan Pusat Statistik. Statistics-Indonesia. 2009. WEEKLY PRICE SERIES, Retail Price of Several Essential Commodities of Provincial City in Indonesia. [21/07/2009]. Campbell SD. 2002. Regime Switching in Economics [Dissertation]. University of Pennsylvania. Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove. California. Chen Z, Forsyth PA. 2007. Implications of a Regime-Switching Model on Natural Gas Stronge Valuation and Optimal Operation. University of Waterloo Canada. Dunbar K, Edwards AJ. 2007. Empirical Analysis of Credit Risk Regime Switching and Temporal Conditional Default Correlation in Credit Default Swap Valuation: The Market Liquidity Effect. Economics Working Papers. University of Connecticut. Elliot RJ, Aggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models. Estimation and Control. Springer-Verlag. New York. Elliot RJ. Van der Hoek J. 1997. An Application of Hidden Markov Model to Asset Allocation Problems. Journal Finance and Stochastics. 1:229-238. Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability with Stochastic Process. Pearson Prentice Hall New Jersey.

89

Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Third Edition. University Press. Oxford. Hamilton JD. 1989. A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle. Econometrica 57: 357-384. Hamilton JD, Lin G. 1996. Stock Market Volatility and the Business Cycle. Journal of Applied Econometrics 11: 573-593. Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statisics. Prentice Hall, Engelwood Cliffs. New Jersey. Jamal. 2008. Kajian Model Hidden Markov Diskret dan Aplikasinya pada Harga Gabah Kering Panen. [Tesis]. IPB. Keskinen L, Oller LE. 1998. A hidden Markov Model as a Dynamic Bayesian Classifier, with an Application to Forecasting Business Cycle Turning Points. Working Paper. No. 59. National Institute of Economic Research. Landen C. 2000. Bond Pricing in a Hidden Markov Model of the Short rate. Journal Finance and Stochastics. 4:371-389. Manton J, Muscatelli A, Krishnamurthy V, Hurn S. 2008. Modelling Stock Market Excess Returns by Markov Modulated Gaussian Noise. Working Papers. No. 9806. University of Glasgow. Morger F. 2006. International Asset Allocation and Hidden Regime-Switching [Dessertation]. Universitat Zurich. Nurfathoni N. 2008. Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Gabah Kering Panen. [Tesis]. IPB. Protter P. 1995. Stochastic Integration Differential Equations. Springer-Verlag. New York. Ross SM. 2007. Introduction to Priobability Models. Ninth Edition. Academic Press. Elsevier. ------------. 2000. Stochastic Process. John Willey & Sons. New York. Schaller H, Van Norden S. 1997. Regime Switching in Stock Market Returns, Applied Financial Economics. Taylor and Francis Journals. 7: 91-177. Schindlmayr G. 2005. A Regime-Switching Model for Electricity Spot Prices. Working paper, EnBW Trading GmbH.

90

Setiawaty B, Kristina L. 2005. Pendugaan Parameter Model Hidden Markov. Jurnal Matematika dan Aplikasinya 4 : 23-39. Shreve SE. 2004. Stochastic Calculus for Finance I. Springer-Verlag . New York. Wei WWS. 1994. Time Series Analysis. Addison Wesley Publishing Company. California. Zampolli F. 2006. Optimal monetary policy in a regime-switching economy: the response to abrupt shifts in exchange rate dynamics. Working Paper. No.297. Bank of England.

92 Lampiran 1 Bukti Teorema 3.4.5 ;

Misalkan proses terukur

1.

adapted- yang berbentuk:

. ,

,

2.

1, dimana

, skalar, dan , , adalah proses predictable- . Sedangkan

merupakan vektor berdimensi

.

Maka ,

, , , ,

,

.

di mana Bukti Karena

|

0 dan di bawah ukuran peluang

,

bersifat bebas

stokastik identik, maka |

,

|

0.

1

, ,

1 1

,

1 .

93 Jadi,

,

1

,

1

(1)

Suku pertama dari persamaan (1) yaitu ,

1 1

,

1 1

|

,

,

1 1

|

,

,

1 1 .

Sehingga didapatkan persamaan ,

1

(2)

1

Suku kedua dari persamaan (1) yaitu ,

1

,

,

,

,

0 | | 1 .

1

,

1

1

| ,

,

|

,

1

|

,

1

,

1 1

1

94 Sehingga didapatkan persamaan ,

1 1 .

(3)

Dari persamaan (2), (3), Lema 3.4.3, dan Notasi 3.4.2 diperoleh

1 .

Karena ∑ ∑

,

1, maka

, 1

∑

=

,

,

,

,

∑

,

1

,

, ,

.

Jadi, ,

,

,

, , di mana

.

,

95 Lampiran 1 Bukti Teorema 3.4.5 ;

Misalkan proses terukur

1.

adapted- yang berbentuk:

. ,

,

2.

1, dimana

, skalar, dan , , adalah proses predictable- . Sedangkan

merupakan vektor berdimensi

.

Maka ,

, , , ,

,

.

di mana Bukti Karena

|

0 dan di bawah ukuran peluang

,

bersifat bebas

stokastik identik, maka |

|

,

0.

1

, ,

1 1

,

1 .

96 Jadi,

,

1

,

(1)

1

Suku pertama dari persamaan (1) yaitu ,

1 1

,

1 1

|

,

,

1 1

|

,

,

1 1 .

Sehingga didapatkan persamaan ,

1

(2)

1

Suku kedua dari persamaan (1) yaitu ,

1

,

,

,

,

| |

0 | | 1 .

1

,

1

1

| ,

,

,

1

,

1

,

1 1

1

97 Sehingga didapatkan persamaan ,

1 1 .

(3)

Dari persamaan (2), (3), Lema 3.4.3, dan Notasi 3.4.2 diperoleh

1 .

Karena ∑

,

1, maka

, 1

, 1

, ,

1

,

,

,

,

1

,

,

,

,

1

,

,

,

,

1

,

, ,

, 1

98 ,

, ,

.

, Jadi, ,

,

,

, , dimana

.

,

91

DRAFT TUGAS AKHIR KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET DAN APLIKASINYA PADA DNA

NURMAILY


KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS MUSAFA

Recommend Documents