˚ MODEL OPTIMALN ´ ´I VOLBY PORTFOLIA MARKOWITZUV ˇ PREDPOKLADY, DATA, ALTERNATIVY ˇ Jitka Dupaˇcov´a - pˇr´ıprava k pˇredn´ aˇsce pro CSOB a Anal´yze investic Za zakladatele modern´ı teorie portfolia je pokl´ad´an H. Markowitz (1952, 1959). Jeho model se t´ yk´a pˇredevˇs´ım investic do portfolia akci´ı a vyuˇz´ıv´a cel´e ˇrady zjednoduˇsuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u: Jde o ide´aln´ı trh bez transakˇcn´ıch n´aklad˚ u, bez arbitr´aˇze, s neomezenou moˇznost´ı investov´an´ı i vyp˚ ujˇcovan´ı za stejnou bezrizikovou u ´rokovou m´ıru a obchodov´an´ı s neomezenˇe dˇeliteln´ ymi dokumenty; obchoduj´ı na nˇem mal´ı racion´aln´ı investoˇri, kteˇr´ı d´avaj´ı pˇrednost vyˇsˇs´ım v´ ynos˚ um pˇred niˇzˇs´ımi a menˇs´ımu riziku pˇred vˇetˇs´ım rizikem, vyuˇz´ıvaj´ı shodn´ ych informac´ı, a to hodnot oˇcek´avan´ ych v´ ynosnost´ı akci´ı a rozptyl˚ u a kovarianc´ı tˇechto v´ ynosnost´ı, a investuj´ı ve stejn´em ˇcase pro jedno stejnˇe dlouh´e obdob´ı. Pˇresto ˇslo o pr˚ ulom v tom, ˇze kromˇe hlediska maxim´aln´ıch v´ ynosnost´ı byl zohlednˇen i investor˚ uv vztah k riziku a ve sv´em d˚ usledku vedlo pouˇzit´ı modelu k diverzifikaci portfolia.
1
Odvozen´ı z´ akladn´ıho modelu
Uvaˇzujeme investici do J akci´ı, jednotkov´a investice do j-t´e z nich d´av´a ve zvolen´em obdob´ı celkovou n´ahodnou v´ ynosnost ρj . Rozdˇelen´ı vektoru ρ v´ ynosnost´ı vˇsech uvaˇzovan´ ych akci´ı je charakterizov´ano zn´am´ ym vektorem stˇredn´ıch hodnot Eρ = r a varianˇcn´ı matic´ı V = [cov(ρi , ρj ), i, j = 1, . . . J] kter´a obsahuje kovariance mezi v´ ynosnostmi vˇsech dvojic akci´ı a na hlavn´ı diagon´ale m´a rozptyly v´ ynosnost´ı jednotliv´ ych akci´ı. Sloˇ z en´ ı portfolia je urˇ c eno v´ a hami x , j = 1, . . . , J, kter´e mus´ı splˇ novat podm´ınku j P ynos“ portfolia s v´ahami x budeme ch´apat jako stˇredn´ı hodnotu jeho celkov´e j xj = 1. ”V´ v´ ynosnosti X r(x) = x j rj = r > x j
a riziko tohoto portfolia bude d´ano hodnotou rozptylu jeho celkov´e v´ ynosnosti X σ 2 (x) = [cov(ρi , ρj )]xi xj = x> Vx i,j
Podle pˇredpoklad˚ u d´avaj´ı vˇsichni investoˇri pˇrednost portfoliu s vyˇsˇs´ım v´ ynosem a s niˇzˇs´ım rizikem. V souladu s t´ım definujeme Definice 1.1. Portfolio s v´ahami x∗ je eficientn´ı vzhledem ke stˇredn´ı hodnotˇ P e a rozptylu (mean-variance efficient), jestliˇze neexistuj´ı jin´e v´ ahy x splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku j xj = 1, pro kter´e je r(x) ≥ r(x∗ ) a souˇcasnˇe σ 2 (x) ≤ σ 2 (x∗ ) a aspoˇ n jedna z nerovnost´ı je ostr´a. 1
Definice z˚ ust´av´a v platnosti, i kdyˇz omez´ıme volbu vah dalˇs´ımi podm´ınkami, napˇr. nez´apornost´ı. Portfolia, kter´a vyhovuj´ı t´eto definici budeme struˇcnˇe naz´ yvat eficientn´ı portfolia. Je cel´a ˇrada moˇznost´ı, jak hledat eficientn´ı portfolia, napˇr. ˇreˇsen´ım optimalizaˇcn´ıch u ´loh z´avisej´ıc´ıch na parametrech 1 max λr> x − x> Vx x∈X 2 kde λ ≥ 0 je parametr modeluj´ıc´ı investor˚ uv vztah k riziku, nebo min x> Vx x∈X
(1)
(2)
za podm´ınek r > x ≥ rp kde parametrem je nastaven´a minim´aln´ı hodnota rp pˇrijateln´e (oˇcek´avan´e) v´ ynosnosti portfolia. P Mnoˇzina X je definov´ana poˇzadavkem r´ıpadnˇe dalˇs´ımi podm´ınkami j xj = 1 a pˇ na sloˇzen´ı portfolia; my si odvod´ıme jednotliv´a tvrzen´ı pouze za platnosti zm´ınˇen´eho z´akladn´ıho poˇzadavku na v´ahy. Pokud je matice V regul´arn´ı (to mj. znamen´a, ˇze ˇz´adn´a akcie nen´ı bezrizikov´a) a stˇredn´ı v´ ynosnosti nejsou pro vˇsechny akcie stejn´e, lze pomoc´ı zn´am´ ych podm´ınek pro v´azan´ y > extr´em funkce x Vx snadno odvodit ˇradu v´ ysledk˚ u. Oznaˇcme jako xG v´ahy, kter´e minimalizuj´ı rozptyl v´ ynosnosti portfolia bez ohledu na jeho oˇcek´avanou v´ ynosnost, tj. xG =
V−1 1 1> V−1 1
a rmin = r(xG ) = r> xG odpov´ıdaj´ıc´ı oˇcek´avanou v´ ynosnost portfolia s v´ahami xG . Tvrzen´ı 1.2. Nechˇt je V regul´arn´ı, nechˇt jsou vektory r, 1 line´ arnˇe nez´ avisl´e a 1> Vr 6= 0. Pak pˇri libovolnˇe zvolen´e hodnotˇe rp ≥ rmin a) existuje vˇzdy jedin´y vektor vah x(rp ), kter´y minimalizuje rozptyl v´ynosnosti portfolia vu ´loze (2) V−1 r V−1 1 x(rp ) = µ1 > −1 + µ2 > −1 (3) 1 V r 1 V 1 b) vektor x(rp ) nutnˇe splˇ nuje podm´ınku r> x ≥ rp jako rovnost. c) hodnoty Lagrangeov´ych multiplik´ ator˚ u µ1 , µ2 lze vypoˇc´ıtat vyˇreˇsen´ım soustavy omezen´ı r > x = rp ,
1> x = 1
pro x = x(rp ). Zejm´ena plat´ı, ˇze µ1 + µ2 = 1.
2
d) Z´ıskan´e v´ahy x(rp ) jsou line´arn´ı funkc´ı rp , takˇze odpov´ıdaj´ıc´ı rozptyl v´ynosnosti portfolia σ 2 (x(rp )) je kvadratickou funkc´ı rp a oˇcek´ avan´ a v´ynosnost portfolia r(x(rp )) je line´ arn´ı funkc´ı rp . D˚ ukaz je snadn´ y a z tvrzen´ı 1.2 plyne cel´a ˇrada zn´am´ ych d˚ usledk˚ u: • V rovinˇe dvojic [r(x), σ 2 (x)] leˇz´ı minim´aln´ı rozptyly v´ ynosnosti portfolia na parabole. Jej´ı vˇetev, na kter´e leˇz´ı maxim´aln´ı moˇzn´e oˇcek´avan´e v´ ynosnosti portfolia pˇri dan´e hodnotˇe rozptylu, je t.zv. eficientn´ı hranice (mean-variance efficient frontier); odpov´ıd´a hledan´ ym eficientn´ım portfoli´ım, resp. optim´aln´ım ˇreˇsen´ım u ´lohy (2) pro r˚ uzn´e nastaven´e hodnoty rp ≥ rmin ; viz obr´azek 1. • Pro dvˇe eficientn´ı portfolia s v´ahami xp , xpˆ minimalizuj´ıc´ımi rozptyl v´ ynosnosti portfolia pˇri odliˇsn´ ych nastaven´ ych mez´ıch oˇcek´avan´ ych v´ ynosnost´ı rp , rpˆ plat´ı, ˇze i kaˇzd´a jejich line´arn´ı kombinace αxp + (1 − α)xpˆ je eficientn´ı, a to pˇri parametru αrp + (1 − α)rpˆ. • Vzorec (3) spolu s uveden´ ym d˚ usledkem maj´ı svou ekonomickou interpretaci zn´amou jako Tobinova vˇeta o separaci (two-fund separation theorem, Tobin 1958): Vˇsechna eficientn´ı portfolia lze vyj´adˇrit jako line´arn´ı kombinaci dvou eficientn´ıch portfoli´ı V−1 r V−1 1 xG = > −1 a x1 = > −1 1 V 1 1 V r
2
Obmˇ eny z´ akladn´ıho modelu 1. Uvaˇzujme nav´ıc moˇznost investice do bezrizikov´eho aktiva, j = 0, s v´ ynosnost´ı r0 a souˇcasnˇe i moˇznost neomezen´eho vyp˚ ujˇcov´an´ı za bezrizikovou u ´rokovou m´ıru r0 . PJ V´aha bezrizikov´eho aktiva v portfoliu bude x0 = 1 − j=1 xj . Staˇc´ı tedy dosadit a pracovat jenom s v´ahami rizikov´ ych aktiv, xj , j = 1, . . . , J. Zavedeme rozd´ıly Rj = rj −r0 , Rp = rp −r0 a uvˇedom´ıme si, ˇze varianˇcn´ı matice rozd´ıl˚ u ρj −r0 , j = 1, . . . , J je opˇet V. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze Rp ≥ rmin . V´ahy rizikov´ ych aktiv v portfoliu dostaneme jako ˇreˇsen´ı u ´lohy >
min x Vx za podm´ınek
J X
Rj x j ≥ Rp
(4)
j=1
(Podm´ınka na souˇcet vah jiˇz v u ´loze nen´ı a pro optim´aln´ı ˇreˇsen´ı bude podm´ınka na oˇcek´avanou v´ ynosnost opˇet splnˇena jako rovnost.) V´ ysledn´e v´ahy jsou x∗ = 3
Rp V−1 R R> V−1 R
P a x∗0 = 1 − j x∗j pro investice do bezrizikov´eho aktiva. Odpov´ıdaj´ıc´ı minim´aln´ı rozptyl v´ ynosnosti portfolia je σp2 (x∗ ) = a pomˇer
Rp σP (x)
Rp2 R> V−1 R
je t. zv. Sharpova m´ıra portfolia.
ˇ sen´ım odpov´ıdaj´ıc´ı u Reˇ ´lohy (4) o v´azan´em extr´emu zjist´ıme, ˇze i v tomto pˇr´ıpadˇe lze eficientn´ı portfolia representovat jako line´arn´ı kombinac´ı dvou portfoli´ı - bezrizikov´eho (s v´ahami x0 = 1 a xj = 0 pro j 6= 0) a t.zv. teˇcn´eho eficientn´ıho portfolia sloˇzen´eho P pouze z akci´ı, tedy s v´ahami xT , kter´e splˇ nuj´ı dodateˇcnou podm´ınku Jj=1 xj = 1. Odpov´ıdaj´ıc´ı hodnota oˇcek´avan´e v´ ynosnosti Rp (nad danou bezrizikovou v´ ynosnost r0 ), kterou je tˇreba nastavit, a v´ ysledn´ y minim´aln´ı rozptyl vyjdou jako Rp = r(xT ) − r0 =
R> V−1 R R> V−1 1
a σp2 (xT ) =
R> V−1 R (R> V−1 1)2
Pro eficientn´ı portfolia s v´ahami x se graficky zn´azorˇ nuje z´avislost smˇerodatn´e odchylky v´ ynosnosti portfolia na nastaven´e hodnotˇe rp jako pˇr´ımka kapit´ alov´eho trhu (CML - capital market line) r(x) = r0 +
r(xT ) − r0 σ(x) σ(xT )
kter´a proch´az´ı bodem odpov´ıdaj´ıc´ım bezrizikov´emu portfoliu a bodem pro portfolio akci´ı s v´ahami xT ; viz obr´azek 2. Pro toto portfolio plat´ı, ˇze d´av´a maxim´aln´ı moˇznou Sharpovu m´ıru portfolia a v rovnov´aˇzn´em modelu (napˇr. CAPM) je lze interpretovat jako trˇzn´ı portfolio. 2. Podm´ınky nez´apornosti a pˇr´ıpadn´ a dalˇs´ı line´ arn´ı omezen´ı znamenaj´ı pouze sloˇzitˇejˇs´ı diskusi podm´ınek optimality, ale povaha v´ ysledk˚ u se nemˇen´ı. Pro diskusi v´ ysledk˚ u je v´ yhodnˇejˇs´ı pracovat s u ´lohou ve tvaru (1). V´ahy je moˇzn´e z´ıskat numericky pouˇzit´ım libovoln´eho software pro u ´lohu kvadratick´eho programov´an´ı. Z hlediska dimenze ˇreˇsen´e u ´lohy jsou nejmenˇs´ı u ´lohy o alokaci prostˇredk˚ u mezi agregovan´e tˇr´ıdy aktiv, d´ale pak vlastn´ı u ´loha o volbˇe portfolia a nejvˇetˇs´ı u ´lohy vznikaj´ı pˇri sledov´an´ı trˇzn´ıho indexu. Doporuˇcen´ı, jak investovat, vˇsak nen´ı jednoznaˇcn´e. Koneˇcn´e rozhodnut´ı - volba jednoho z eficientn´ıch portfoli´ı - je v rukou investora.
3
Vstupn´ı data
Moˇznost u ´spˇeˇsn´eho pouˇzit´ı Markowitzova modelu z´avis´ı na tom, jsou-li splnˇeny pˇredpoklady modelu, a tak´e na vstupn´ıch datech, tedy na stˇredn´ıch hodnot´ach v´ ynosnost´ı akci´ı a na 4
varianˇcn´ı matici v´ ynosnost´ı. Jist´e je, ˇze nelze pracovat jenom s rozptyly v´ ynosnost´ı jednotliv´ ych akci´ı, ale ˇze pr´avˇe hodnoty kovarianc´ı mohou podstatnˇe pˇrispˇet k u ´ˇcinn´e diversifikaci portfolia. Pokud maj´ı investoˇri k disposici dosti dlouh´e ˇcasov´e ˇrady v´ ynosnost´ı sledovan´eho souboru akci´ı, nab´ız´ı se pouˇzit´ı pr˚ umˇern´ ych v´ ynosnost´ı a tak´e odhad˚ u rozptyl˚ u a kovarianc´ı z tˇechto pozorov´an´ı. Pro kvalitn´ı odhady moment˚ u je tˇreba pouˇz´ıt dosti dlouh´e ˇrady pozorov´an´ı, dlouh´e historick´e ˇrady vˇsak ˇcasto nejsou stacion´arn´ı. Pro vysvˇetlen´ı kovarianˇcn´ı struktury v´ ynosnost´ı se proto nˇekdy pouˇz´ıv´a faktorov´ ych model˚ u. V takov´em pˇr´ıpadˇe pˇredpokl´ad´ame, ˇze v´ ynosnosti jednotliv´ ych akci´ı se ˇr´ıd´ı modelem ρj = αj + βj F + j
(5)
kde j jsou n´ahodn´e odchylky od modelu nekorelovan´e s faktorem F , maj´ı nulov´e stˇredn´ı 2 a n´ahodn´e odchylky pro r˚ uzn´e dvojice akci´ı jsou nekorelovan´e. Z´ahodnoty, rozptyly σj kladn´ı pˇredstava, ˇze korelace mezi v´ ynosnostmi jsou zp˚ usobeny odezvou na situaci na cel´em trhu, vede k interpretaci faktoru F jako rozd´ılu v´ ynosnosti trhu akci´ı a v´ ynosnosti bezrizikov´eho aktiva F = ρM − r0 . V´ ynosnosti jednotliv´ ych akci´ı pak maj´ı dvˇe sloˇzky - systematickou danou vazbou na v´ ynosnost trhu a specifickou. Tato pˇredstava souhlas´ı s modelem CAPM. Na z´akladˇe modelu (5) a uveden´ ych statistick´ ych pˇredpoklad˚ u dostaneme 2 snadno stˇredn´ı hodnoty, rozptyly a kovariance (rM , σM znaˇc´ı stˇredn´ı v´ ynosnost a rozptyl v´ ynosnosti trˇzn´ıho portfolia): rj − r0 = αj + βj (rM − r0 ),
2 2 σj2 = varρj = βj2 σM + σj
(6)
kde rM − r0 se interpretuje jako pr´emie za riziko trhu (market risk premium) a 2 vjk = cov(ρj , ρk ) = βj βk σM ,
2 cov(ρj , ρM ) = βj σM
Odtud plyne βj =
cov(ρj , ρM ) 2 σM
Koeficienty βj , αj a rozptyly se odhaduj´ı z dat, v´ ynosnost trhu je representov´ana v´ ynosnost´ı vhodn´eho indexu. Pro rovnov´aˇzn´ y stav trhu jsou v (5) m´ıry nerovnov´aˇznosti αj = 0 pro vˇsechny akcie a z´avislost stˇredn´ıch v´ ynosnost´ı akcie na stˇredn´ı v´ ynosnosti trˇzn´ıho portfolia se zn´azorˇ nuje graficky jako pˇr´ımka trhu cenn´ych pap´ır˚ u (SML - security market line). Odhadnut´e hodnoty β se pouˇz´ıvaj´ı pro charakterizaci rizika akci´ı vzhledem k trˇzn´ımu riziku i k samotn´e konstrukci portfolia. Faktorov´ y model tak´e objasˇ nuje, proˇc nelze oˇcek´avat, ˇze diversifikace portfolia bude neomezenˇe sniˇzovat riziko: na v´ ynosnosti akci´ı p˚ usob´ı tak´e vliv trhu, trˇzn´ı riziko, kter´e Markowitz˚ uv model neeliminuje. Riziko trhu vˇsak lze sn´ıˇzit vhodnou volbou portfolia s ohledem na hodnoty β. Pokud dostupn´a informace nestaˇc´ı pro dosti pˇresn´e odhady stˇredn´ıch hodnot v´ ynosnost´ı, jejich rozptyl˚ u a kovarianc´ı ani pro faktorov´ y model, navrhuj´ı se nˇekdy zjednoduˇsen´e postupy. Tak na pˇr´ıklad lze z pˇredpokl´adan´ ych hodnot minim´aln´ıch a maxim´aln´ıch moˇzn´ ych 5
v´ ynosnost´ı rj,min , rj,max odhadnout stˇredn´ı v´ ynosnost jako rj = 1/2[rj,min + rj,max ], rozptyl u korelac´ı a z jako σj2 = 1/16[rj,min − rj,max ]2 a kovariance spoˇc´ıtat z expertn´ıch odhad˚ odhadnut´ ych rozptyl˚ u. Ukazuje se vˇsak, ˇze v´ ysledky Markowitzova modelu jsou velmi citliv´e vzhledem ke stˇredn´ım hodnot´am v´ ynosnost´ı, m´enˇe jiˇz vzhledem k jejich varianˇcn´ı matici (Chopra a Ziemba 1993, Dupaˇcov´a 1996). Pˇr´ıˇcina souvis´ı s chov´an´ım optim´aln´ıch ˇreˇsen´ı u ´loh kvadratick´eho programov´an´ı (1) nebo (2) v z´avislosti na parametrech. Uvaˇzujme u ´lohu odpov´ıdaj´ıc´ı u ´loze (1) max p> x − 1/2x> Vx (7) x∈X
kde p je parametr, V je pozitivnˇ e definitn´ı matice a X je nepr´azdn´a polyedrick´a mnoˇzina, J |Ax ≤ b . (V naˇsem speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe je p = λr.) napˇr. X = x ∈ R+ Mnoˇzinu X lze rozloˇzit na koneˇcn´ y poˇcet relativnˇe otevˇren´ ych stˇen, kter´e jsou definov´any mnoˇzinami index˚ u aktivn´ıch omezen´ı; vnitˇrek mnoˇziny X je ch´ap´an jako otevˇren´a stˇena odpov´ıdaj´ıc´ı pr´azdn´e mnoˇzinˇe index˚ u. Parametrick´ y prostor RJ vektor˚ u p lze odpov´ıdaj´ıc´ım zp˚ usobem rozloˇzit na koneˇcn´ y poˇcet disjunktn´ıch mnoˇzin stability charakterizovan´ıch t´ım, ˇze pro libovoln´ y prvek p dan´e mnoˇziny stability leˇz´ı optim´alm´ı ˇreˇsen´ı x(p) u ´lohy (7) ve stejn´e stˇenˇe mnoˇziny X . Pˇritom v dan´e mnoˇzinˇe stability je x(p) line´arn´ı funkce parametru p a je diferencovateln´a ve vˇsech vnitˇrn´ıch bodech t´eto mnoˇziny. Pro p, kter´e leˇz´ı na hranici nˇekter´e mnoˇziny stability, optim´aln´ı ˇreˇsen´ı x(p) jiˇz diferencovateln´e nen´ı. Optim´aln´ı hodnota ϕ(p) u ´ˇcelov´e funkce v (7) je poˇc´astech line´arn´ı a kvadratick´a funkce parametru p a d´ıky pˇredpokladu o pozitivn´ı definitnosti matice V je i diferencovateln´a s v´ yjimkou pˇr´ıpadu, kdy by koeficienty aktivn´ıch omezen´ı byly line´arnˇe z´avisl´e. Tento v´ ysledek vysvˇetluje relativn´ı stabilitu optim´aln´ı hodnoty i v pˇr´ıpadech, kdy je optim´aln´ı ˇreˇsen´ı velmi citliv´e na mal´e zmˇeny parametru: To jsou pr´avˇe pˇr´ıpady, kdy parametr p leˇz´ı na hranici nˇekter´e mnoˇziny stability. Podobnou moˇznost nelze vylouˇcit ani ve speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy p = λr pˇri pevn´em vektoru r a parametru λ ≥ 0, tedy pˇri sledov´an´ı eficientn´ı hranice. Pˇ r´ıklad 3.1. Uvaˇzujme jednoduchou u ´lohu kvadratick´eho programov´ an´ı max p1 x1 + p2 x2 − 1/2x21 − x1 x2 − x22 na mnoˇzinˇe X = {x1 , x2 |x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 1} . Mnoˇzinu X lze rozloˇzit na relativnˇe otevˇren´e stˇeny Σ1 , . . . , Σ7 , viz obr´ azek 3. Odpov´ıdaj´ıc´ı mnoˇziny stability σ(Σk ), k = 1, . . . , 7 jsou zn´ azornˇeny na obr´ azku 4. Uvaˇzujme nyn´ı p1 = p2 = 1. Pro tuto hodnotu parametru leˇz´ı optim´ aln´ı ˇreˇsen´ı ve vrcholu Σ3 , ale mal´e zmˇeny souˇradnic zp˚ usob´ı, ˇze se posune do pˇrilehl´ych stˇen Σ6 nebo Σ7 , pˇr´ıpadnˇe dovnitˇr mnoˇziny X - tj. do stˇeny Σ1 . Odpov´ıdaj´ıc´ı zmˇeny optim´ aln´ı hodnoty a prvn´ı souˇradnice x1 (p) optim´aln´ıho ˇreˇsen´ı jsou zn´ azornˇeny pro p1 = 1 a p2 ≥ 0 na obr´ azku 5. Podobn´ a situace nast´av´a i pro dvojici p1 = 1, p2 = 2. Z hlediska investora m˚ uˇze j´ıt o nestabiln´ı chov´an´ı optim´aln´ıch vah - extr´emn´ı rozhodnut´ı investovat vˇse do prvn´ıho aktiva (vrchol Σ3 nebo Σ4 ) se m˚ uˇze snadno zmˇenit v investov´ an´ı do obou rizikov´ych aktiv (stˇena Σ7 ) nebo v investov´an´ı do obou rizikov´ych aktiv i do bezrizikov´eho aktiva (stˇena Σ1 ). 6
S ohledem na vliv v´ychoz´ıch pˇredpoklad˚ u modelu a na probl´emy pˇri z´ısk´ av´ an´ı dat to znamen´ a, ˇze rozhodov´an´ı zaloˇzen´e na v´ ah´ ach z´ıskan´ych ˇreˇsen´ım Markowitzova modelu je tˇreba nav´ıc detailnˇe analyzovat. Probl´emy nar˚ ustaj´ı, pokud se podle Markowitzova modelu hled´ a cel´ a posloupnost rozhodov´an´ı v ˇcase. Markowitz˚ uv model je statick´y a numerick´e studie dokumentuj´ı, ˇze na nˇem zaloˇzen´e v´ysledky se zhorˇsuj´ı s rostouc´ım horizontem pro rozhodov´ an´ı a tak´e s rostouc´ım poˇctem ˇcasov´ych interval˚ u, na kter´e je aplikov´ an; viz napˇr. pˇr´ıpadov´ a studie Cari˜ nho et al. (1994).
4
Alternativn´ı pˇ r´ıstupy 1. V souvislosti s Markowitzov´ ym modelem se ˇcasto diskutuj´ı i asymetrick´e m´ıry rizika, napˇr. King (1993) nebo kvadratick´a semivariance. Jejich v´ yznam je zˇreteln´ y zvl´aˇstˇe pˇri snaze pouˇz´ıt Markowitz˚ uv model pro rozhodov´an´ı o portfoliu aktiv a pasiv, kde se za v´ ynosnost pokl´ad´a rozd´ıl mezi v´ ynosnost´ı aktiv a ”v´ ynosnost´ı” pasiv. Nˇekteˇr´ı autoˇri uvaˇzuj´ı tak´e aplikace podobn´eho postupu na obligace; tam vˇsak nelze oˇcek´avat pˇr´ıliˇs velk´ y efekt, protoˇze trh obligac´ı se chov´a odliˇsnˇe; zejm´ena lze jen stˇeˇz´ı poˇc´ıtat s negativn´ı korelac´ı v´ ynosnost´ı. Dalˇs´ı zaj´ımavou ot´azkou jsou d˚ usledky investic velk´ ych investor˚ u, kter´e mohou ovlivnit stˇredn´ı hodnoty a v´ ynosnosti jednotliv´ ych akci´ı. 2. Konno a Yamazaki (1991) navrhli a aplikovali model, kter´ y kvantifikuje riziko portfolia pomoc´ı stˇredn´ı absolutn´ı odchylky od oˇcek´avan´e v´ ynosnosti a t´ım se mj. vyh´ yb´a probl´emu odhadov´an´ı varianˇcn´ı matice. Model m˚ uˇzeme zapsat analogicky jako (2) (pˇr´ıpadnˇe (4)) X X min E| ρj x j − rj x j | (8) x∈X
j
j
za podm´ınek X
rj x j ≥ rp
j
Toto kriterium d´a teoreticky shodn´e sloˇzen´ı portfolia jako pˇri minimalizaci rozptylu v´ ynosnosti (´ uloha (2)), pokud se v´ ynosnosti akci´ı ˇr´ıd´ı norm´aln´ım rozdˇelen´ım. Autoˇri navrhuj´ı odhadovat stˇredn´ı hodnoty pr˚ umˇery z historick´ ych pozorov´an´ı; pak je moˇzn´e vzniklou u ´lohu ˇreˇsit jako u ´lohu line´arn´ıho programov´an´ı. Situace se nezmˇen´ı, ani tehdy, rozliˇsuj´ı-li se odchylky nad/pod stˇredn´ı v´ ynosnost, plat´ı obdoba vˇety o separaci a i v tomto modelu lze zkonstruovat pˇr´ımku trhu cenn´ ych pap´ır˚ u. Jednoduˇsˇs´ı struktura vstupn´ıch dat i sama metoda ˇreˇsen´ı se zdaj´ı b´ yt velmi slibn´e. Dosud vˇsak zˇrejmˇe nebyla testov´ana citlivost v´ ysledk˚ u na vstupn´ı data. 3. Souˇcasnˇe s Markowitzem se zab´ yval zahrnut´ım rizika do finanˇcn´ıch rozhodov´an´ı tak´e Roy (1952). Navrhl maximalizovat pro x ∈ X pravdˇepodobnost P (ρ> x ≥ rp ), 7
kde rp znaˇc´ı minim´aln´ı uvaˇzovanou v´ ynosnost portfolia. Pro ρ ∼ N (r, V) lze u ´lohu pˇrev´est na tvar r(x) − rp max ; x∈X σ(x) ˇ a porovnejte s maximalizac´ı Sharpovy m´ıry portfolia! odvodte Dalˇs´ı pouˇz´ıvan´e kriterium m´a tvar max{r(x) | P (ρ> x ≥ rp ) ≥ 1 − α}, x∈X
pro dan´e α ∈ (0, 1) a rp . Pro ρ ∼ N (r, V) m´a tato u ´loha tvar max{r(x) | r(x) + Φ−1 (α)σ(x) ≥ rp }. x∈X
Kvantilov´e kriterium maximalizovat rp za podm´ınek x ∈ X , P (ρ> x ≥ rp ) ≥ 1 − α pro zvolen´e α ∈ (0, 1) je pˇr´ıbuzn´e s kvantifikac´ı rizika pomoc´ı value at risk, VaR. ˇ jeho tvar za pˇredpokladu ρ ∼ N (r, V)! Odvodte 4. Konkurenc´ı pro uveden´e typy model˚ u jsou pˇr´ıstupy zaloˇzen´e na uzn´avan´em kriteriu maximalizace stˇredn´ıho uˇzitku z v´ynosnosti portfolia. Takov´ y model m´a tvar X max E u( ρj x j ) x∈X
j
kde u je investorem zvolen´a uˇzitkov´a funkce. Maximalizace stˇredn´ıho uˇzitku z v´ ynosnosti portfolia m´a ˇradu v´ yhod pˇred postupy, kter´e vych´azej´ı z Markowitzova modelu: Lze ji pouˇz´ıt pro r˚ uzn´a rozdˇelen´ı, pro r˚ uzn´e druhy cenn´ ych pap´ır˚ u, zahrnout transakˇcn´ı n´aklady, zobecnit pro dynamick´e modely, respektovat vazbu aktiv a pasiv, atp. Optim´aln´ı portfolio zde vˇsak z´avis´ı na volbˇe uˇzitkov´e funkce a pro jej´ı volbu nelze d´at obecn´ y n´avod. Pochopitelnˇe se studovala ot´azka, kdy d´av´a (8) eficientn´ı portfolia ve smyslu Markowitzovˇe (viz napˇr. Elton a Gruber 1987, M¨ uller 1994): Je tomu tak zejm´ena v pˇr´ıpadˇe, ˇze v´ ynosnosti maj´ı norm´aln´ı rozdˇelen´ı a uˇzitkov´a funkce je neklesaj´ıc´ı a konk´avn´ı, nebo pro kvadratickou uˇzitkovou funkci. Pokud jsou v´ yrazn´e odchylky od norm´aln´ıho rozdˇelen´ı, v´ ysledky se liˇs´ı. V takov´em pˇr´ıpadˇe vˇsak (na rozd´ıl od maximalizace stˇredn´ıho uˇzitku z v´ ynosnosti) Markowitz˚ uv model odhl´ıˇz´ı od informace o momentech vyˇsˇs´ıho ˇr´adu vypov´ıdaj´ıc´ıch napˇr. o asymetrii rozdˇelen´ı v´ ynosnost´ı a pˇrirozenˇe pak jeho v´ ysledky nelze pˇreceˇ novat.
8
Literatura • D. R. Cari˜ no et al., The Russell - Yasuda Kassai model: An asset/liability model for a Japanese insurance company using multistage stochastic programming. Interfaces 24 (1994) 29–49. • W. K. Chopra a W. T. Ziemba, The effect of errors in means, variances and covariances on optimal portfolio choice. J. Portfolio Mgt. 19 (1993) 6–11. • T. Cipra, Praktick´ y pr˚ uvodce finanˇcn´ı a pojistnou matematikou, Edice HZ, Praha 1995. • G. M. Constantinides a A. G. Malliaris, Portfolio theory. In: Finance, Vol 9 of Handbooks in OR & MS (ed. R. Jarrow et al.), Elsevier 1995, p. 1–30. • J. Dupaˇcov´a, Stochastick´e optimalizaˇcn´ı modely v bankovnictv´ı, Ekonomicko - Matematick´ y Obzor 27 (1991) 201–234. • J. Dupaˇcov´a, Uncertainty about input data in portfolio management. In: Modelling techniques for financial markets and bank management (M. Bertocchi et al., eds.), Physica Verlag 1996, pp. 17–33. • E. J. Elton a M. J. Gruber, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Wiley, New York 1987 (3. vyd´an´ı). • A. J. King, Asymmetric risk measures and tracking models for portfolio optimization under uncertainty. Annals of Oper. Res. 45 (1993) 165–178. • H. Konno a H. Yamazaki, Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its applications to Tokyo stock market. Management Sci. 37 (1991) 519–531. • H. M. Markowitz, Portfolio Selection. J. of Finance 7 (1952) 77–91. • H. M. Markowitz, Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. Wiley, New York, 1959. • H. H. M¨ uller, Modern portfolio theory: Some main results. ASTIN Bulletin 19 (1994) 9–27. • A. D. Roy, Safety-first and the holding of assets. Econometrica 20 (1952) 431–439. • J. Tobin, Liquidity preference as behavior toward risk. Review of Economic Studies 25 (1958) 68–85.
9
