Sf´erick´e kyvadlo Josef Pojar 31.1.2007
1
Teoretick´ yu ´ vod
1.1
Chaotick´ y pohyb
Abychom mohli klasifikovat chov´an´ı syst´emu jako chaotick´e mus´ı syst´em vykazovat n´asleduj´ıc´ı vlastnosti : • mus´ı b´ yt citliv´ y na poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky • mus´ı b´ yt topologicky tranzitivn´ı • jeho periodick´e orbity mus´ı b´ yt hust´e Citlivost k poˇc´ateˇcn´ım podm´ınk´am znamen´a, ˇze dvˇe bl´ızk´e trajektorie ve f´ azov´em prostoru se s rostouc´ım ˇcasem rozb´ıhaj´ı (exponenci´alnˇe). Jinak ˇreˇceno, mal´a zmˇena v poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach vede po ˇcase k velmi odliˇsn´emu v´ ysledku. Syst´em se chov´a identicky pouze kdyˇz jeho poˇc´ateˇcn´ı konfigurace je u ´plnˇe stejn´a. Pˇr´ıkladem takov´e citlivosti je tzv. ”mot´ yl´ı efek”, kdy m´avnut´ı mot´ yl´ıch kˇr´ıdel vyvol´a jen nepatrn´e zmˇeny v atmosf´eˇre, kter´e ale v pr˚ ubˇehu ˇcasu mohou v´est aˇz k tak dramatick´ ym zmˇen´am, jako je v´ yskyt torn´ada. M´avnut´ı kˇr´ıdel mot´ yla zde pˇredstavuje malou zmˇenu poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek syst´emu, kter´a ale zp˚ usob´ı ˇretˇez ud´alost´ı vedouc´ı k rozs´ahl´ ym jev˚ um, jako jsou torn´ada. Kdyby mot´ yl nem´avl sv´ ymi kˇr´ıdly, trajektorie syst´emu by mohla b´ yt zcela odliˇsn´a. Transitivita znamen´a, ˇze aplikace transformace na libovoln´ y dan´ y interval I1 ho roztahuje aˇz do doby, kdy pˇrekryje libovoln´ y dalˇs´ı dan´ y interval I2 . Transitivita, hust´e periodick´e body a citlivost na poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky se daj´ı rozˇs´ıˇrit na libovoln´ y metrick´ y prostor.
1.2
Atraktory a podivn´ e atraktory
Jedn´ım zp˚ usobem vizualizace chaotick´eho pohybu, nebo opravdu libovoln´eho typu pohybu, je vytvoˇren´ı f´azov´eho diagramu pohybu. V takov´em diagramu je ˇcas implicitn´ı a kaˇzd´a osa reprezentuje jednu dimenzi stavu. Napˇr´ıklad nˇekdo kresl´ı pozici kyvadla v˚ uˇci jeho rychlosti. Kyvadlo v klidu bude zobrazeno jako bod a kyvadlo v periodick´em pohybu bude nakresleno jako jednoduch´a uzavˇren´a kˇrivka (viz obr´azek 1). 1
Obr´azek 1: Kyvadlo v periodick´em pohybu ˇ Casto je na f´azov´ ych diagramech vidˇet, ˇze vˇetˇsina stavov´ ych trajektori´ı se pˇribliˇzuje a obmot´av´a nˇejakou obecnou limitu. Syst´em konˇc´ı ve stejn´em pohybu pro vˇsechny poˇc´ateˇcn´ı stavy v oblasti okolo tohoto pohybu, t´emˇeˇr jako by byl syst´em k tomuto pohybu (trajektorii f´azov´eho prostoru) pˇritahov´an. Napˇr´ıklad jestliˇze pˇripoj´ıme ke kyvadlu tlumiˇc (nebo jednoduˇse pˇripust´ıme p˚ usoben´ı t´ıhov´e s´ıly), bez ohledu na jeho poˇc´ateˇcn´ı pozici a rychlost se bude bl´ıˇzit ke klidov´emu stavu - nebo pˇresnˇeji - dos´ahne ho v limitˇe. Trajektorie ve f´azov´em diagramu budou vˇsechny spir´aly, smˇeˇruj´ıc´ı ke stˇredu, a nebudou jiˇz tvoˇrit mnoˇzinu ov´al˚ u. Na obr´azku 2 je vidˇet f´azov´ y prostor pro kyvadlo, kdyˇz pˇripouˇst´ıme p˚ usoben´ı t´ıhov´e s´ıly. Tento bod ve stˇredu - stav, kdy je kyvadlo v klidu - se naz´ yv´a atraktor. Atraktory jsou ˇcasto spojeny s disipativn´ımu syst´emy, kde nˇekter´ y prvek (v naˇsem pˇr´ıpadˇe t´ıhov´a s´ıla) spotˇrebov´av´a energii.
Obr´azek 2: Kyvadlo s t´ıhovou silou Takov´ y atraktor m˚ uˇzeme naz´ yvat bodov´ym atraktorem. Ne vˇsechny atraktory jsou body. Nˇekter´e jsou jednoduch´ ymi smyˇckami, nebo sloˇzitˇejˇs´ımi dvojit´ ymi smyˇckami (pro ty je potˇreba v´ıce neˇz dva stupnˇe volnosti). A nˇekter´e jsou skuteˇcn´ ymi frakt´ aly: ty se naz´ yvaj´ı 2
podivn´e atraktory, coˇz jsou atraktory s velkolep´ ymi detaily a velkou sloˇzitost´ı. Syst´emy s atraktory ve tvaru smyˇcky vykazuj´ı periodick´ y pohyb. Syst´emy se sloˇzitˇejˇs´ımi rozdˇelen´ ymi smyˇckami vykazuj´ı kvaziperiodick´ y pohyb. A syst´emy s podivn´ ymi atraktory vykazuj´ı chaotick´e chov´an´ı.
1.3
Frakt´ aly
Obecn´a definice: ”Frakt´ al je takov´y u ´tvar, pˇri jehoˇz zvˇetˇsen´ı dostaneme opˇet stejn´y obraz, bez ohledu na mˇeˇr´ıtko” Frakt´al je geometrick´ y objekt, kter´ y m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti: • je sobˇepodobn´y – Znamen´a to, ˇze pokud dan´ yu ´tvar pozorujeme v jak´emkoliv mˇeˇr´ıtku, v jak´emkoliv rozliˇsen´ı, pozorujeme st´ale opakuj´ıc´ı se urˇcit´ y charakteristick´ y tvar. • M´a na prvn´ı pohled velmi sloˇzit´y tvar, ale je generov´an opakovan´ym pouˇzit´ım jednoduch´ych pravidel.
Obr´azek 3: Mandelbrotova mnoˇzina Frakt´aly jsou nejsloˇzitˇejˇs´ı geometrick´e objekty, kter´e souˇcasn´a matematika zkoum´a. Term´ın frakt´al pouˇzil poprv´e matematik Benoˆıt Mandelbrot v roce 1975. Poch´az´ı z latinsk´eho fractus – rozbit´ y. Podobn´e objekty byly zn´amy v matematice jiˇz dlouho pˇred t´ım, jako 3
napˇr´ıklad Van Kochova vloˇcka. Ta vych´az´ı na sv´em poˇc´atku z rovnostrann´eho troj´ uheln´ıku. Vˇzdy o tˇretinu menˇs´ı troj´ uheln´ıky se pˇrid´avaj´ı na obvod, doprostˇred kaˇzd´e strany. Vznikl´ y u ´tvar m´a jednu u ´ˇzasnou vlastnost, a to nekoneˇcn´ y obvod.
Obr´azek 4: Van Kochova vloˇcka
2 2.1
Sf´ erick´ e kyvadlo s magnety Sf´ erick´ e kyvadlo s magnety obecnˇ e
Obr´azek 5: Sf´erick´e kyvadlo s nˇekolika magnety ˇ sil jsem poˇc´ateˇcn´ı u Obr´azky 1 a 2 jsem nakreslil v matlabu. Reˇ ´lohu pro diferenci´aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu pro matenatick´e kyvadlo, kterou jsem pˇrevedl na soustavu dvou rovnic o dvou nezn´am´ ych, y10 (t) = y2 (t) y20 (t) = Ry2 (t) + c sin y1 (t) kde R je ra´aln´e ˇc´ıslo, kter´e je rovno souˇcinu ml. Re´aln´e ˇc´ıslo m pˇredstavuje hmotnost hmotn´eho bodu a re´aln´e ˇc´ıslo l d´elku z´avˇesu kyvadla. Re´aln´e ˇc´ıslo c je rovno souˇcinu 4
mg, kde re´aln´e ˇc´ıslo g pˇredstavuje t´ıhovou s´ılu. Samozˇrejmˇe ˇze toto nen´ı pˇr´ıliˇs zaj´ımav´a u ´loha a i v´ ysledn´ y pohyb kyvadla je celkem pˇredpov´ıdateln´ y. Ale je moˇzn´e sestrojit kyvadlo (viz obr´azek 5), kter´e bude extr´emˇe citliv´e na poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. Staˇc´ı pˇridat tˇret´ı rozmˇer a nˇekolik magnet˚ u na desku pod kyvadlo. Nˇekolik magnet˚ u tedy um´ıst´ıme na (nemagnetick´e) podloˇzce do soustavy souˇredn´e a kyvadlo um´ıst´ıme nad n´ı. Kyvadlo m´a na sv´em konci kovovou kuliˇcku (m´ısto hmotn´eho bodu), kter´a je v nˇejak´e v´ yˇsce nad podloˇzkou. S´ıly, kter´e p˚ usob´ı na takto sestrojen´e kyvadlo jsou s´ıla magnetick´a (p˚ usob´ı na kovovou kuliˇcku), s´ıla t´ıhov´a a s´ıla tˇrec´ı v z´avˇesu. M˚ uˇzeme jeˇstˇe uvaˇzovat odpor vzduchu kuliˇcky a tak´e z´avˇesu. Kyvadlo je v nˇejak´e poˇc´ateˇcn´ı poloze, m˚ uˇze zaˇc´ınat v klidu, nebo mu udˇel´ıme nˇejak´e poˇcateˇcn´ı zrychlen´ı, udˇel´a nˇekolik smyˇcek d´ıky tomu, ˇze je pˇritahov´ano magnety a p˚ usob´ı na nˇej t´ıhov´a s´ıla, ale nakonec najde m´ısto, kde se zatav´ı. Bud’ to bude pˇr´ımo nad jedn´ım z magnet˚ u, nebo nˇekde mezi magnety. To z´aleˇz´ı hlavnˇe na tom, jak vysoko je kyvaldo nad deskou s magnety a jakou maj´ı magnety s´ılu. I kdyˇz jsou magnety dostateˇcnˇe siln´e, aby si pˇrit´ahly kyvadlo a pˇrekovaly tak t´ıhovou s´ılu (v dalˇs´ım textu budu jiˇz uvaˇzovat pouze tuto situaci), m˚ uˇze se pˇri velice speci´aln´ıch poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach st´at to, ˇze kyvadlo se nakonec zastav´ı nˇekde mezi magnety. Toto ˇreˇsen´ı je pak velice nestabiln´ı. Z toho je vidˇet, ˇze ˇreˇsit tuto u ´loho uˇz bude docela zaj´ımav´e a v´ ysledn´ y pohyb kyvadla nebude trivi´aln´ı. Jak pozdˇeji uk´aˇzi na pˇr´ıkladech, pokud za urˇcit´ ych podm´ınek jen nepatrnˇe zmˇen´ıme poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky, pohyb kyvadla i jeho v´ ysledn´a poloha m˚ uˇze b´ yt velice odliˇsn´ y a tˇeˇzko pˇredv´ıdateln´ y. Tento pohyb se d´a dokonce oznaˇcit jako chaotick´ y. Bude t´ım v´ıce chaotick´ y, ˇc´ım menˇs´ı bude ˇcinitel u ´tlumu (napˇr´ıklad tˇrec´ı s´ıla).
2.2
Speci´ aln´ı rovnice sf´ erick´ eho kyvadla s magnety
Namodelovat obecnˇe pohyb tohoto kyvadla, popsat ho nˇejakou soustavou diferenci´aln´ıch rovnic a tuto soustavu ˇreˇsit je velice sloˇzit´ yu ´kol. Celou situaci si tedy znaˇcnˇe zjednoduˇs´ım. Magnety budou m´ıt stejnou s´ılu, budou jen tˇri a budou um´ıstˇeny do vrchol˚ u rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka. Uvaˇzujme kyvadlo, popsan´e jiˇz v´ yˇse, ve v´ yˇsce d nad deskou s magnety. Kyvalo bude m´ıt nekoneˇcnˇe dlouh´ y z´avˇes. To je samozˇrejmˇe nere´aln´ y poˇzadavek, ale d´ıky tomu se z d stane re´aln´a konstanta a tak´e vzd´alenost kyvadla od magnet˚ u se bude poˇc´ıtat jednoduˇseji. Pˇrin´aˇs´ı n´am to ale jeden probl´em, na takto sestrojen´e kyvadlo by t´ıhov´a s´ıla nemˇela ˇz´adn´ y vliv, byla by vyruˇsena pevnost´ı z´avˇesu. Kv˚ uli tomu bude na kyvadlo p˚ usobit jeho vlastn´ı vratn´a s´ıla kyvadla c, kter´a nahrad´ı s´ılu t´ıhovou. Bude to tedy konstantn´ı s´ıla, kter´a smˇeˇruje do stˇredu troj´ uheln´ıku, tvoˇren´eho magnety. Tˇres´ı s´ılu si oznaˇc´ıme R. Znovu to bude re´aln´a konstanta (m˚ uˇzeme si ji pˇredstavit jakou v´ ysledek po sloˇzen´ı vˇsech sil tˇrec´ıch a odporov´ ych p˚ usob´ıc´ıch na kyvadlo). Poˇcet magnet˚ u je s a pokud si desku s magnety pˇredstav´ıme jako soustavu souˇradnou, jsou um´ıstˇen´e v m´ıstech (xi , yi ). kde xi je x-ov´a souˇradnice i-t´eho magnetu a yi je y-ov´a souˇradnice i-t´eho magnetu. Soustava diferenci´aln´ıch rovnic druh´eho ˇr´adu, kter´a popisuje pohyb tohoto kyvadla je uvedena v Fractals for the Classroom: Complex Systems and Mandelbrot Set, str. 347. Vypad´a takto: 00
0
x (t) + Rx (t) + cx(t) −
s X i=1
xi − x(t) p
d2 + (xi − x(t))2 + (yi − y(t))2 5
3
=0
a 00
0
y (t) + Ry (t) + cy(t) −
s X i=1
yi − y(t) p
d2 + (xi − x(t))2 + (yi − y(t))2
3
=0
Poznamenejme znovu, ˇze kyvadlo m´a nekoneˇcnˇe dlouh´ y z´avˇes. V´ yˇska d nad podloˇzkou je tedy konstantn´ı, pˇri pohybu kyvadla se nemˇen´ı.
3 3.1
ˇ sen´ı Reˇ Jednoduˇ sˇ s´ı ˇ reˇ sen´ı
Jako poˇc´ateˇcn´ı pom´ıky budeme uvaˇzovat vˇzdy nulovou poˇc´ateˇcn´ı rychlost (tedy x0 (0) = 0, y 0 (0) = 0) a nˇejakou poˇc´ateˇcn´ı polohu r˚ uznou od stˇredu rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka tvoˇren´eho magnety. Obr´azek 6 ukazuje, jak se mˇen´ı x-ov´a a y-ov´a souˇradnice (tedy jak se kyvadlo pohybuje) v ˇcase t. Konstanty jsou: R=0.05, c=0.2, d=0.25. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky jsou: x(0) = 2.5, y(0) = 2.5
Obr´azek 6: x,y,t Na obr´azku 7 je zn´azornˇena ta sam´a situace, akor´at osa x zn´azorˇ nuje x-ovou souˇradnici a osa y y-ovou souˇradnici. Kdyˇz zad´am jin´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky, v´ ysledek se bude hodnˇe liˇsit. Je to vidˇet na obr´azc´ıch 7 a 8. Zde se nepatrnˇe zmˇenila poˇc´ateˇcn´ı poloha kyvadla.
6
Obr´azek 7: x,y
Obr´azek 8: jin´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky
Obr´azek 9: jin´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky
3.2
Sloˇ zitˇ ejˇ s´ı rˇ eˇ sen´ı
Nyn´ı si pˇredstavme, ˇze jsme soustavu vyˇreˇsily pro vˇsechny body (pˇredstavuj´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı polohu kyvadla) na desce (kruhov´a oblast). Tedy v´ıme, kde se nakonec zastavilo kyvadlo, nad kter´ ym magnetem se zastavilo, nebo jestli se zastavilo mezi nimy. Tady uˇz pˇripad´a v u ´vahu jen moˇznost, kdy se kyvadlo zastav´ı nad stˇredem troj´ uheln´ıku, tvoˇren´ ym magnety (to vypl´ yv´a a toho, jak jsme si situaci zjednoduˇsili). Pˇri ˇreˇsen´ı soustavi pˇriˇrad´ıme kaˇzd´emu 7
bodu desky barvu podle toho, kde se nakonec kyvadlo zastav´ı. Pokud to bude nad jedn´ım z magnet˚ u, bod, ze kter´eho jsme vyˇsli bude m´ıt modrou, ˇcervenou, nebo zelenou barvu. Pokud se zastav´ı nad poˇc´atkem, bod, ze kter´eho jsme vyˇsli bude m´ıt ˇcernou barvu. Samozˇrejmˇe ˇze u ´lohu neˇreˇs´ıme pro u ´plnˇe vˇsecny body kruhov´e oblasti. Sestroj´ıme s´ıt’ bod˚ u s nˇejakou hustotou. V´ ypoˇcet soustavy pro velk´e mnoˇzstv´ı bod˚ u je ˇcasovˇe n´aroˇcn´a ’ z´aleˇzitost, nen´ı tedy vhodn´e sestrojit s´ıt zbyteˇcnˇe hustou. Pro jiˇz zadan´e konstanty m´ame ˇreˇsen´ı na obr´azku 10.
Obr´azek 10: Uk´azka sloˇzitˇejˇs´ıho ˇreˇsen´ı
3.3
Zmˇ ena konstant
Nyn´ı budeme mˇenit postupnˇe konstanty R, c a d. 3.3.1
Zmˇ ena R
Budeme mˇenit konstantu R (tˇren´ı) z hodnoty 0.02 do hodnoty 0.2. Na prvn´ım obr´azku m˚ uˇzeme vidˇet kolem kaˇzd´eho magnetu mal´a pole stability, ale jinak je to velice n´ahodn´e. Pot´e se tyto n´ahodn´e oblast mˇen´ı a vznikaj´ı v nich pole, kter´a vypadaj´ı jako by byla vyˇ ık´a se jim ”Lakes of Wada” a jsou zaj´ımav´a hlavnˇe kv˚ plnˇena jednou barvou. R´ uli jejich frakt´aln´ım vlastnostem. Kdyby jsme naˇsi s´ıt’ zvolili dostateˇcnˇe hustou, provedli v´ ypoˇcty a v´ ysledn´ y obr´azek poˇr´ad pˇribliˇzovali, tyto oblasti by vypadaly poˇr´ad velice podobnˇe. Nakonec p´ar posledn´ıch obr´azk˚ u je velice jednoduch´ ych a odpov´ıdaj´ı tomu, co by jsme 8
oˇcek´avali. Zvyˇsuj´ıc´ı se tˇren´ı bere kyvadlu energiji a i jeho cesta je m´enˇe chaotick´a a samozˇrejmˇe i kratˇs´ı.
9
10
11
12
3.3.2
Zmˇ ena c
Nyn´ı budeme mˇenit c z hodnoty 0.01 na hodnotu 0.5. M˚ uˇzeme sledovat dva hlavn´ı efekty. Jeden je, ˇze jak se t´ıha zvyˇsuje, spojen´a pole se rozpadaj´ı a jsou v´ıce n´ahodn´a. A druh´ y je, ˇze to, ˇze trajektorie kyvadla bude v´est pˇr´ımo do stˇredu troj´ uheln´ıka a kyvadlo tam z˚ ustane, se st´av´a v´ıce pravdˇepodobn´e, i kdyˇz je to velice nestabiln´ı poloha. Nakonec se to stane velice pravdˇepodobn´ ym ˇreˇsen´ım.
13
14
15
16
17
3.3.3
Zmˇ ena d
Nakonec budeme mˇenit konstantu d (vzd´alenost od podloˇzky) od 0.1 do 0.7. Na zaˇc´atku m´a obr´azek nˇekolik velk´ ych oblast´ı stability, nˇekolik ”Lakes of Wada” oblast´ı, ale vˇetˇsinou je nahodn´ y. Jak se d zvˇetˇsuje, velk´e oblasti stability se zmenˇsuj´ı a zakulacuj´ı a ”Lakes of Wada” se tak´e mˇen´ı na menˇs´ı oblasti stability. Nakonec se s´ıla reprezentovan´a konstantou c stane dominantn´ı.
18
19
20
21
4
Z´ avˇ er
Snaˇzil jsem se uk´azat, ˇze i ˇreˇsen´ı t´eto u ´lohy, kter´a byla znaˇcnˇe zjednoduˇsen´a je docela zaj´ımav´e a chov´an´ı tohoto syst´emu m˚ uˇze b´ yt chaotick´e. Do budoucna bych se r´ad pokusil proveden´a zjednoduˇsen´ı odstranit, nebo je alespoˇ n zm´ırnit a pˇribl´ıˇzit se tak ke skuteˇcnosti. Samozˇrejmˇe se tak i zmˇen´ı cel´a soustava diferenci´aln´ıch rovnic, kter´a by mˇela ˇreˇsit tento probl´em.
22
