NME Közleménye;
Gépészet, 30 (1989) kötet,
Miskolc, III. Sorozat,
21 7-238.
NÉHÁNY KIEGÉSZÍTÉS AZ ÜTKÖZÉSI FELADATOK MEGOLDÁSÁVAL KAPCSOLATBAN ECSEDI
ISTVÁN
Összefoglalás: feladatainak Az ütközési feladatokkal E tanulmány szilárd testek ütközési megoldását ismerteti. kapcsolatos egyenletek felírásán túlmenőleg a tanulmány megadja azok megoldását is. A felírt megoldások ismeretében formulák alkalmazásával egyszerű szerkezetű tudjuk meghatározni az ütközés előtti az ütközés utáni sebességállapotot. A tanulmány megvizsgálja az ütközés sebességállapot ismeretében az energia veszteség számítására. energia viszonyait is, több képletet ismertet
jelölések:
1 Fontosabb .
x, y,
derékszögű koordináták,
z
ex, ey, e, A, B
egységvektorok,
T
idő,
az
DR. ECSEDI
egyetemi n
műszaki
ütköző
testek
megnevezése,
ISTVÁN
docens
tudomány kandidátusa
Nehézipari Műszaki Egyetem Mechanika Tanszék 3515. Miskolc-Egyetemváros Kézirat beérkezett:
1982.
nov.
1. Közlésre
elfogadva:
71988.augusztus 217
ö
az
SZ
ap, w,
ütközés
időtartama,
sebességvektor, szögsebesség vektor, ütközési normális egységvektora,
c, v, V
nA, nB LA LnA, -
LB
LnB
=
lökés,
K, t, T
kinetikus
x
ütközési "
energia, tényező, szorzás
,,'
skaláris
mA, m3
tömeg,
1/3,II:
súlyponti tehetetlenségi tenzor,
,,X A'1 A =
-
"
vektorális
v
A
az
A'1
A'1
tenzor
-
A
E
=
inverze,
E
ahol
jele, azaz
egységvektor.
feladat
Alap
Ütközésről
olyankor, amikor két test mozgása hogy pillanatnyi egymás mozgását akadályozzák.
érintkezésbe,
beszélünk
abban
a
70
időpillanatban
norrnálisa
úgy
azA
csak akkor
(2.l)
jöhet létre,
ha
(Cfvo) CxB(T0))nA -
-
=
feltétel
fennáll
fejezi ki, hogy 218
egymással
ésB
nA +nB=o. ütközés
kerül
kerültek
XA és XB pontjai éppen érintkezésbe
nA felületi nB felületi
szemlélteti
során
jelű szilárd testeket, amikor egymással.AZérintkező felületek közös az ütközési normálisa. azA test Irányát anyagából kifelé mutató XA pontbeli B normális a test egységvektor, vagy pedig anyagából kifelé mutató XB pontbeli normális természetesen egységvektor jelöli ki,
Az 1. ábra
n
szorzás
=
2.
ezek
jele,
(e? (r az az
nB )
o) 430.9) első
érintkezés
XA pont
a
B
=
pillanatában. A (2.2) feltétel azt anyagában, az XB pont pedig
test
(2.2)
0
a
nyilvánvaló tényt test anyagába
azA
1. ábra
Szabad
mozgást végző ütköző
szilárd
testek
219
változást
csak
és kinetikai
kinematikai
hogy
XB pont környezetében egyenletek felírásánál eltekintünk
XA, illetve
az
feltételezzük,
A továbbiakban
igyekszik behatolni.
az
A, illetve
az
szenved
ütközés
az
aB
test
ütközés
az
során
némi
alak-
folyamán.
fellépő
A
alakvál-
is a merev vonatkozó testekre aB szilárd testekre összefüggétozásoktól és az A, valamint további fontosabb feltevések az alábbiakfeladattal Az ütközési seket alkalmazzuk. kapcsolatos
ban
összegezhetők: a)
A két
r;
test
(10)
=
azA 311017;
a s
s
test
1),
egy
tetszőlegesPApontjának
Az ütközéssel az
c)
helyvektora,
=
LnB
LE
=
LnB
CA (xe)
és
a_
cím)
Az mas
folyamat ütközési fokozatosan
220
test
egy
tetszőleges
továbbá
csak
az
ütközés
során
fellépő LA
=
LnA,
eltekintünk.
(10, 10 + ö1)időszakaszegymáshoz vagyis
első
m)
(rn-nBxa, .
második
eltűnnek, egymástól, vagyis
reszei
lodnak
+5;
aB
.A= n
a
§T,(T(_)
pedig
,
egyetlen pontban történik,
Az folyamata két szakaszra bontható. az XB pontok környezetei közelednek
XA
=(cf; (m4: To
csak
r:
simák.
egyéb erőhatásoktól
számolunk
Az ütközés az
érintkezés
tökéletesen
jelenség vizsgálatánál
Az ütközési
LB
ban
kapcsolatos felületek
érintkező
lökésekkel
d)
helyzetét, vagyis
a
,
PB pontjának helyvektora. b.)
meg
(23)
+
(70
___
változtatja
nem
as),
f; 00+
r? (TG) 'B; (o
folyamán
ütközés
az
(To+ ö; a
két
,
70 +
test
ö)
időszakaszában
A és B XA és X"
pedig
az
alakváltozások
pontjainak környezetei
távo-
rügal-
(c: (w)
cf (T"))
_
nA
'
=
(2.6)
(cf e")
=
7.0
A vonatkozó
c: (m)
-
+Ő1(THSTO
szakirodalom
nB
-
4
o,
.
ütközési
az
folyamat
(krompresszió) szakaszának, míg a második nevezi ([1, 2, 3]). Ha az ütközési folyamat Ll nB a második szakaszban pedig
első szakaszát
szakaszt
a
első szakaszában
a
összenyomódás
az
visszaállás
(restitució)
lökést
Lf
=
szakaszának
L1nA,Lf
=
=
L§=L2nB
LA=L,nA, jelöli,
feltevés
akkor
L, ahol A
[6].
(2.7)
,
tényezője (0 í K í l). LA LnA,LB LnB
ütközés
K az
teljes
xL,
=
szerint
lökés
=
=
pedig az =(1+K)L1
L=L1+L2 felhasználásával
formula A 7-1
=
kaszának
7'
+
határozható
81 időpillanatban
kezdeti
időpontjában
az
meg.
ütközési fennáll
folyamat
első szakaszának
végső,
a
második
sza-
a
(XÍ(T1)-CÍ(T1))'nA =
=vÍ(n)-vÍ('r1))'nB=0 egyenlet. A (2.9) egyenlettel kifejezett feltétel
(2.9) alapján tudjuk meghatározni L;
értékét.
Jelölje:
WA(T)
az
A
WB (T)
a
B
merev merev
test test
szögsebesség vektorát, szögsebesség vektorát, 221
44 (T) S
az
A
merev
test
SA súlypontjának sebességét,
é; (T)
a
B
merev
test
S
c: (T) cg (T)
az
XA pont sebességét,
az
XB pont sebességét.
B
súlypontjának sebességét,
S
Legyen továbbá
WA =WA(To)s
wB=WB(To)a
ÜA=WA(TO+Ö),
9B=WB(To+5).
V: =C§4(To),
Vf=Cf(To),
Vf=c;*(ro+ö),
Vf=cf(vo+ö).
bevezetett (2.9) egyenlet a fentiekben jelölések és az felhasználásával alapvető összefüggés kapcsolatos A
a
merev
alábbi
test sebességállapotával kapcsolat egyenletté alakítható:
"A'CÍ(T1)+NA's0A(T1)+nB'cÍ(T1)+ (2.10)
+NB'WB(T1)=O. A
(2.10) egyenletben NA
NB
=
=
alkalmaztuk
r4
x
nA,
P
x
na
az
jelöléseket. Ismeretes, hogy
222
az
A és B
merev
testek
sebesség-állapotainak megváltozása
az
mA(csA(,1)_,,;t)=L1nA,
(2.13)
l? -(w**(n)-w**)=L,NA,
(2.14)
mB(CÍ(T1)-1'Í)=L1n'9,
(2-15)
[f (WB(T1)"WB)=L1NB '
egyenletek megoldásával tekintendő, illetve A
LB
ha
szóban
a
forgó
aktív
LInB
határozható külső
-
meg A, illetve B
lökés
(215) ismeretlenek
a 4-4(11), 450.1) c: (11), cpA(T1), XA, illetve XB pontjain Lf LI na; S
merev
testek
támad
=
([2], [3], [6]) (2.10), (2.13), (2.14), (2. 15), (2. 16) egyenletek kombinálásával =
.
nyerjük
a
(2.l7)
formu-
lát:
HA rvAS +NA 'w'4 +MB'VB+NB' S Li
Az ütközés
./(mA)-1+ (mB)-1+NA ,(J.:)-1 ,NA
folyamán fellépő teljes L
wB
=
(1
=
+
x)L,
lökés
számítása
,
(2.l7)
(If)-1_NB
az
=
nA='-(1+K)
v? +NA-
M
(mA)'1 + (mB)'1+NA-
wB +nB-vf+1v*5(Ifrl NA+NB af)" -
-
-NB
(2.18) összefüggés alapján
történik.
Az ütközés
To, és az
kezdeti
meghatározó sebesség
és
ütközés végső 1' o+ ö időpillanatához tartozó sebességállapotokat szögsebességvektorok kapcsolatát az alábbi egyenletek fejezik ki:
-v;* )=LnA, m*4(V;4
[f (m -
--
(2.19)
A)u=LNA,
(2.2o) (2.21)
mB(Vf vf)=LnB, -
If (wB (03) =LNB -
A fenti
potokat
(2.22)
-
.
egyenletrendszer egyenleteinek megoldásával nyerjük meghatározó sebesség és szögsebességvektorokat:
VÍ =vÍ +L(m'4) RÁ
=
wA
"ln"
+L(I'§)"
V? "f +L(m")" =
-
ütközés
utáni
sebességálla-
(2.23)
,
NA
"B
az
,
l
(2.24) (225) 223
523 Elemi
=
wB
+Laf)-*
kimutatható,
számolással
NB.
-
(2-26)
hogy
v;4-n*4+w'4'NA+vf'nB+wB-NB= (2.27)
=cxA(ra-n*4+cf(ro)'nB. A
és
formula
(2.18)
Rövid
diszkusszióval
sohasem
+
nyerjük
a
(2.28)
formulát:
(2.28)
(70) "B
c:
'
7 -
arról, hogy
a
(Is )'* "NA +NB- agyi .Na (2.18)
és
(2.28)
formulák
minden
mivel
H=(m*4)" mális számolással
o)- nA
(mA)"+(mB)"1 +N-4 meggyőződhetünk
érvényesek,
kifejezés
c: (r
K)
=-(1+
esetben
kombinálásával
(2.27) összefüggés
a
(2.29)
Forjöhető NA, NB vektorokra. felhasználásával kimutatható, (2.23), (2.24), (2.25), (2.26) egyenletek
lehet a
NA +NB-(1f)'*-1vB +(m3)-'+N*4-([;4)'1 zérus,
H )
mert
szóba
0 minden
hogy
nejen.) cf -
(m)
nA
-
+
+(c;' (ro+a)-cf(ro+a))-
nA
=o.
(2.30)
(2.30) egyenlet az XA és XB pontok sebesség különbségeinek megváltozásával kapösszefüggést rögzíti. Röviden testek ütközés megvizsgáljuk az ütközés energia-viszonyait. Az A és B merev előtti és utáni kinetikus energiái az alábbi formulák alapján számítandók: A
csolatos
r4 _1
--2-
_1
mA(vf)2+
1 -
2
wA
-
F;- wA,
1
ÍB-"2'mB(VÍ)2+§wB'If'wB,
(2.32)
A,A TA=lmBVA2+l (,) 2 252 18-52,
(233)
A
224
(2.31)
TB A
1
m3
=5
(Vf)?+
1
523
5
-1f
93
-
(2.34)
.
(2.19), (2.20), (2.21) (2.22) egyenletek alapján írhatjuk, hogy mA VÍ
v:
-
mA (vfY =LnA
-
m*4(V;4)2 -mAv;* Vg=LnA
-
-
m3 Vf
=LnB vf mB(vf)2
-
-
'
(2.36) (2.37)
,
Vf,
(2.38)
wA,IA,aA_wA_IA,wA=LNA'wA,
(2.39)
524-If-S2A-SzA-Ij-w**=LNA-S2A,
(2.4o)
wB-If-nB-wB-If-wB=LNB-wB,
(2.41)
S2B-Is-S2B-GB-If-wB=LNB-wB.
(2.42)
S
s
A
-
(2-35)
y
Vf
vf
-
mB(Vf)2mBvf Vf=LnB -
v:
-
(2.35), (2.36),
.
.
.
(2.42) egyenletek
összeadásával
2(T-t)=L[nA-Vf+NA-S1A+nB
-
kapjuk
a
(2.43) egyenletet:
Vf+
+NB'S2B+nA'vÍ+NA -wA+nB-VSB+ +NB
wB]=(1-K)L[n*4 m4,+NA -wA
-
+
(2.43)
+nB-vf+1vB-wB]. A
(2.18)
formula
és
a
(2.43) egyenlet
kombinálásával
jutunk
a
(2.44) képletre.
AK=t-T=
1_K2 2
(nA'vÍ+NA'wA+nB-vf+1v5-w13)2 (mA)'1+(mB)"+AíA- (Ifrl
-N*4 +1vB
-
(Ifrl
-M*
(2.44) 225
A
lással belátható,
mulával
előtti
ütközés
az
az adja meg, hogy a kinetikus energia veszteség közvetlenül Hosszadalmas, de elemi számosebesség állapot ismeretében. t T kinetikus energia veszteség kifejezhető az alábbi for-
jelentőségét
formula
(2.44)
számítható
hogy
AK
a
=
-
is:
l
K
-
(2.45)
AK=1+K as, ahol
é [mA(V":-vf)2+(§2A-wA)-1§-(s2A-wA)+
(p:
+mB(Vf-vf)2 3. Gömbcsuklóval A 2. ábra
rögzített
DA
a
,
m3
B) rf (m3 -wB)]. v
-
ütközési
testek
(2.46)
-
feladatai
DB pontban gömbcsuklóval rögzített két szilárd feladatlmegoldása során az előző pontban részletezett
illetve
Az ütközési
szemléltet.
+
a
testet
feltevéseket
alkalmazzuk. Az ütközés
kezdeti
n,
(c: (m)
időpillanataiban nyilván
cf
-
(To))' nA
=
"B (c: (To)"'C;1(To)) '
=
=
=NA
'*PA(To)+NBWPB(To))0,
NA
r;
(11)
ahol
A
T;
=
=
10 + 7,
NB =rD
x
nB.
időpillanatban befejeződik
az
XA
x
nA,
(3.2), (3.3) és
XB pontok kömyezeteinek
közele-
dése, vagyis
NA. -Az álló
DA
,
wnHNB
illetve
sek felhasználásával
226
'wB(n)=0.
DB pontra felirt perdület tétel "integrálásával", kapjuk a (3.4), (3.5) egyenleteket.
(34) levezetett
összefüggé-
IA-(sa"(n)-w'4)=L1NA,
(3.4)
IB
(3.5)
'
(w"(n)-wB)=L,NB.
test DA pontra számolt, IB egyenletekben IA az A merev pedig a B merev mátrixa. A (3.4), (35), tehetetlenségi tenzorának pontra (3.6) egyenletek bínálásával nyerjük a (3.7) formulát:
A fenti
DB
test
számolt
kom-
NA'wA+NB'o.JB L
Az ütközés
lesz.
__
'
37 V)
'
NLÜATluN/A+NB'ÜB)'I'NB sebességállapotot meghatározó, teljes sebességállapotek
utáni
L lökés szímértéke
nyilván
Az ütközéssutíni
NA-or4+1V'B-wB (3.8)
_
WA JÜIVBGBYIWB L--(1+K)NA.aA)_1 sebességíllapotokat; jellemző HA alapján számítandóak:
lesz. Az ütközés az
alábbi
utáni
formula
a
és
SZBszögsebességvektorok pedig
NA-wA +NB-wB
A
=wA_(1+K) N
93 =wB -(1+x)
A
-a
A
r
l
-N
A
NA. ("A +NB NA.
B
+N
'
B
-(I
r
1
-NB
("B
(IA)-l ,NA +1vB_ (IB)-1,M
(IA)_I'NA' (3.9)
(rBrl -NB.
energia veszteség számítására szolgáló formulák levezetését mellőzzük, hiszen előző ismertetett gondolatmenetet kell megismételnünk. A számínagyjából pontban tások végeredményei az alábbi formulák: A kinetikus
az
l-x? AK
(NA-w*4+NB*a7B)2
=
2
NÁ'
(IÁ)-1_NA+NB
.
r
aB)-l JVB
(3.11)
_
14
AK-
0'
_
1+x
3 ('12)
ahol
o=%[(a'*-w**)-I'*(nA-w**)+ 227
2. ábra.
228
Gömbcmklóval
rögzített
ütköző
szilárd
tettek
í
ábra. Helytálló tengely körül
forgó mozgást végző szilárd
testek
229
+(s2B -o.2B) Helytálló tengely
4.
ütközési
13
-
4523 -wB)]
körül
forgó
(313)
.
testek
feladata
szemléltetett A, illetve B szilárd test az EA illetve azEB helytálló tengee A A forgástengelyek irányát az illetve az eB egymozgást forgó végezhet. lyek másodrendű AzA test EA forgástengely DA pontjára számolt ki. merev jelöli ségvektor IA test EB forgástengely DB pontjára számolt másodrendű a B merev tenzora nyomaték [B tenzora nyomaték A 3. ábrán
,
körüli
,
.
Legyen továbbá
IA=eA -IA 'eA, 13
13 =eB-
-
eB
(4.1) (4.2)
.
Nyilván
Az
wm=wm#,'
mm
fm=wmf.
mm
EA, illetve,
az
EB tengelyre
felírt
perdület
tétel
felhasználásával
nyerjük
a
(4.5), (4.6)
egyenleteket:
A fenti
dudva-wH=L1#,
M5)
FwPeo-o%)=Lm*.
(49
egyenletekben
MÜ
#=%xMr%) fB Az ütközési
ban dik
az
a
=
(rD x nB)' eB
folyamat XA
érintkező távolodás.
A T,
.
első
szakaszának kezdeti 71 időpillanatávégső, második szakaszának XB pontok környezeteínek közeledése befejeződött, s megkezdőidőpillanatban fennáll az alábbi egyenlet: és
(cÍ(T1)-cf(1'1))'n'4=;p'1f4+;pBfB=O. 230
(43)
(4.9)
A
(4.6), (4.7)
és
a
(4.8) egyenletek
ursafA+ wa fa (1A)'*(f'4)2+ (Iarl (f?
_
Az ütközés
kombinálásával
sebességállapotot meghatározó
utáni
MA fa
L=-(1+:c)
nyerjük
formulát:
(4.9)
a
(4.9)
'
lökésre
a
(2.8)
formula
alkalmazásával
wafs
+
(4.1o)
í)?
eredményt tudjuk levezetni.
az
A
MmA -wA)=LfA
(4.11)
13523 -aJB)=LfB
(4.12)
egyenletrendszer megoldásával kapjuk az alábbi eredményeket állapotokat meghatározó szögsebességekre: 9,4
=
wA
+
523
=
wB
+
az
ütközés
sebesség-
(IA)-1LfA,
(4.13)
(1B)-1LfB
(4.14)
.
gondolatmenet megismétlésével nyerjük pontban alkalmazott számítására energia veszteség szolgáló alábbi formulákat: A 2.
1_K2 AK_
utáni
'
2
(wAf-A+wBfB)2 (lő-l (M2 +(1B)" (fBY
a
AK
=
t
-
Tkinetikus
(4
'
)
14 AK-
_1+x
('416 )
d),
ahol
q5=
5.
a IIAmA -wA)2+IB(SZB-wB)2].
Néhány speciális
5.1 A
(4.17)
eset
gyakorlat szempontjából igen
fontos
azon
eset,
amikor
231
Természetesen
m8
m8 =0
vB=0 S
(5-1), (5-2), (5-3)
=o==
esetben
ez
ww=. A
GM
(2.18), (2.23), (2.24), (2.44)
L__(1+K)
formulák
fenti
esetre
való
alkalmazásával
azt
kapjuk, hogy
Vs"nA+úJA'NA .
(mA)-l +NA_ aÍ)-1,NA,
Vf,=V':+L(m'4)'1nA, m
=wA l-K:
AK_
_
2
AK
o=
+
=
M +L(1*:)-1-
(56)
(5.7)
,
(v"§']nA+wA'NA)2 (mA)-1+N24 ,(Iz:)-l .NA
(58) .
(59)
m,
%lm'4(V':-v';)2+ (HA-wh-r: ..(s2A-wA)].
(5.1o)
Legyen a 3. pontban vizsgált DB pontjában gömbcsuklóval mege "végtelen" vagyis legyen 5.2
a? =0y
(IBTI=0
(3.9), (3.11), (3.12),(3.13) formulák kapjuk, hogy A
S-2A=(d4_
232
rögzített
szilárd
tö-
test
(s.11),(5.12) és
az
(5.11), (5.12)
előírások
kombinálásával
azt
woA A-l.
a ) NA, (1+v)M_aA)_1_NA
(s 13) .
(OJAÜVA);
l-nz
(5.14)
_
,
NA _('[Á)-l.NÁ
2
ll-K
[m4 -ar*)
AK=21+K 5.3
Az
lomban
EA forgástengely lévő szilárd
forgó
körül
IA- s?
v
A szilárd
-or**)1.
test
a
(5.15)
helytálló "végtelen"
tömegű nyuga-
ütközik.
B testnek
Nyilván
d? =o.
(IB)'1=o.
(ma),
A (4.13), (4.15), (4.16),(4.17)formulákjelen eredményeket nyerjük:
m
való
esetre
alkalmazásával
a
(5.17)
következő
=-KwA,
(5.1s)
1A(af'*)2, AK=ÉJ l
l-K
(5.19)
A
=51+KI(9A-w")2. 5.4
sok
a viszonyok Igen egyszerűen alakulnak szempontjából nagyon fontos esetben,
abban amikor
(5.20) a
különleges,
de
1. ábrán
vázolt
az
a
gyakorlati két test
alkalmazá-
SA ésSB
súlypontjaíknak és az ütközési normálisnak olyan közös Z síkja van, amely mindkét súlyponti tehetetlenségi tenzorának egyben fősíkja is. Legyen az ütközés előtti pillanatnyi mozgás állapota mindkét testnek olyan elemi síkmozgás, melynek alap síkja a 2 sík. A E sík normális egységvektora ez, vagyis a Z? sík párhuzamos az xy síkkal. A fenti megkötések következménye, hogy test
"A'ez'"B'ez=0a
Cl;(T) WA(T)
=
-
ez
=
'
ez
wAme,
(5-23) egyenletben CÍ,az _AZ jának sebességvektorát jelöli.
(5.21)
,
=
0
930)
Acg pedig
a
(5-22)
'
B
=
merev
wümez test
(5.23) (5.24)
tetszőleges PA illetvePB pont,
233
A a
(2.19), (2.20),(2.21), (2.22) egyenletek jelen összefüggéseket:
alkalmazásával
történő
esetre
nyerjük
következő
mA(VAs-v*:)=LnA*
(5.25)
,
11;(94
(f)
-
IA
E síkra
(5.26)
,
mBU/f-v?)=
LnB
3
(5.27)
IfmB m3)
LdB,
(528)
=
-
ahol
LdA
=
azA
SA ponton átmenő, l? pedig
test
merev
merőleges
b
a, illetve
számolt
tengelyre
a
B
ponton átmenő nyomatékát jelöli, továbbá
merev
másodrendű
test
rA =dAxA +bAnA
(5-29)
xA-n**=0,
(xA)*=1, rB
xB-nB=o.
(xB)==l, Az
r:
és
az
(5-30)
=dBxB+bBnB,_
pf helyvektorokat
pontok sebesség n, + a időpillanatában
vektorait
az
pedig
a
4. ábra
ütközés
szemlélteti.
kezdeti
n,
bejelölt YA és YB időpillanatában VjŐ, 115az ütközés végső Jelölje
a
4. ábrán
Vf, Vfjelöli.
Azalapvető
v;
=
lg +wAdAnA,
vf =vf
+
(531)
wB dB nB,
(5-32)
V; Vf+ SZAdAnA
(5.33)
=
Vf Vf+ =
SZBdBnB
,
(5.34)
,
vA-nA+vB-nB=vA-n'4+vB-nB X
X
kinematikaiösszefüggések kapjuk
234
az
(5 .36)
és
az
(5 .3
y
és
y
(5.35)
(5.25), (5.26), (527), (5.28) egyenletek kombinálásával 7), (S .38) egyenleteket: az
4 ábra.
Elemi
xíkmozgást végző ütköző
testek
235
mAo/g-v*;')=L
(N
(w
+
"A
(536)
,
(m2 (iBY + (f?
"'B(VÍ_VÍ)'LW"B= _
nA L-
__
(l+x)
v:
-
(l-A)2+(d.4)2 +
1
m4 A fenti
-
(537)
w: l
(N
m8
.(5.38)
(ÍByHdBY (m2
fo rmulákban
(jAf
=
p;
(ÍR)?
mA
Igen áttekinthető
alakban
felírni
tudjuk
__("A_)2_
_ '
j?
(5.39), (5.40)
-
=
,
m3
(536), (537), (5 .38) egyenleteket
az
a
A
m
(541)
'
(e? +(d-**)2 VB
=
B
m
(5.42)
(iBY (dBY +
tömeg dimenziójú mennyiségek bevezetésével:
Mm; -v§
)=LnA
(5-43)
,
(5-44)
-vB )=LnB, VB(VB y y nA
vf +
-
L=-(1+x)--1--f-+ 77
A felírt
zethető
ütközési módszerrel
236
nB
-
vf
(5.45)
.
7
egyenletekből kiolvasható, hogy jelen pontban vizsgált az YA és az YB súlypontú VA és VBtömegű centrikusan problémájának megoldására. vezeti
le
([5], [7]).
Ezt
az
eredményt
a
ütközési
feladat
visszave-
ütköző
szilárd
testek
vonatkozó
szakirodalom
más
IRODALOM Műszakiaknak
kézikönyv
Fizikai
1.
I. Főszerk;
János, Műszaki
Antal
Könyvkiadó
Budapest,
1980, 73-74. Vedeníe
J a G. PANOVKO:
Pattantyús Főszerk. W.
6.
Arnold.
SÁLYI
teorüu
mechanicxeszkovo
udara.
mechanikí
teoricxeszkoj
Izd.
Fiz.
Mat.
Lit.
1974.
Moszkva,
The
l. Kinetika
SOME
ond
theory
behaviour
1955.
1-24.
SOLUTION
OF
Miskolc,
(Egyetemijegyzet)
COMPLEMENTS
physical
1971.
-
Anyagismeret.
solidx.
ofcollding
London.
4-21.
L. T. D. 1960.
Publ.
Moszkva.
604-621.
kézikönyve II. Alaptudományok Gépész és Villamosmérnókök Sályi I. Műszaki Könyvkiadó Budapest, 1961. 653-660.
GoLDsMlTHzlmpact.
Edward 7.
v
Krzuz
E. H. BRERECZKIN:
TO THE
IMPACT
PROBLEMS
by I. ECSEDI
Su of the
Solutions of these
impact ted
aud
may some
formulae
are
before
state
ary
of
the
ERGÁNZUNGEN
EINIGE
m
impact problems impact is known, The impact by using simple formulae. given for the energy loss.
speed
determined
be
equatíons
mechanical
if the
solutions,
m
LÖSUNG DER
ZUR
BEZIEHENDEN
DER
AUFGABEN
are
the
given. speed
AUF
hasis
after
is also
energy
SlCH
On the state
the
investiga-
DEN
STOB
MECHANIK
von
l. ECSEDI
Zusammenfassung Der
Aufsatz
beschreibt de:
genden Aufgaben ben
werden,
untersucht,
und
es
Nachdem
der
mit
die den
Stoís
dem
Stoü
Körper zusammenhánGleichungen aufgeschrieLösungen kann aus dem Gesch-
festet
beschreibenden
dieser Lösung angegeben. ln Kenntnis nach dem Stoís mit Hilfe einfach StoB der Geschwindigkeitszustand auch werden. des Stoíívorganges werden bestimmt Die Energieverháltnisse zur werden mehrere Fotmeln Berechnung des Energieverlustes angegeben.
wird auch
windigkeitszustand aufgebauter Formeln
Lösung
die
Mechanik.
vor
ihxe
dem
IIOIIOHHEHI/m
HECKOIIBKO
K PEIIIEHHIO
YIIAPHHX
BAIIAH
lrí. EÍIEJIH Peaiome
312 paöora
ypanneimn, Hamicaaaux
aHaKoMm c
caxaaJ-mux
pemenuü
c
c
ynapuux
pemeuuem
ynapummu
npnMenetmeM
aanau
mepzmx
n ux paöora sumer qJopMyn npocron crpyicrypu
aauauam
ren.
Cnepx
pememix. Moxno
Co
Hamlcuuu SHBHKBM
oupenwmrs
237
IIOCIIC ynapa, CKOPOCTHOC COCTOXHHB PSŐOTE HCCIICIIYCT H SHGPFBTHHBCKHC
MynaMH
238
IUUI
pacqeTa
HOTCPH
BCIIH
CKOPOCTHOC
OTHOLLICHHH
IBHBPFKH.
ynapa,
COCTOHHHC SHEKOMHT
ynapoM
HSBBCTHO.
C HCCKOIIBKPIMH
(pop-
nepen
A
NEHÉZIPARI
MÜSZAKI
KŐZLEMÉNYEI
III.
sorozat
GÉPÉSZET 30. KÖTET
MISKOLC,
'
4 F ÜZET
1989.
EGYETEM
l-IU-ISSN
0234-6728
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG: LÉVAI IMRE felelős szerkesztő
ROMVÁRI PÁL, TAJNAFŐI JÓZSEF
Kiadja
Nehézipari Műszaki Egyetem
a
A kiadásért
Dr. Romvári
NME
Üzeme
felelős: Sokszorosító
Nyomdaszám:
KSZ
-
89
Pál
rektorhelyettes
380
-
Miskolc-Egyetemváros, 1989. Engedély száma: 16141 Dr, Farka: Sajtó alá rendezte:
József egyetemi tanár Közleményei Szerkesztőségének gondozásában
NME
Megjelent
az
Technikai
szerkesztő:
Kézirat
szedése!
Példányszám: Készült az
IBM-72
MSZ 5601-59
A sokszorosításétt
Zoltánné
Németh
1988.
XI.
1.
1988.
-
XI.
30-ig. Sokszoroxítóba
265
1989.
leadva: .
Elektronikus
és 5602-55 felelős:
Composer szedéssel, rotaprint lemezről szabványok szerint, 2 BI5 ív terjedelemben Kovács
Tiborné
üzemvezető
február
15.
TARTALOMJEGYZÉK
Ecsedi
István:
Ecsedi
István;
Hőelvezetés
változó
Néhány kiegészítés
vastagságú az
ütközési
tárcsa
alakú
feladatok
bordám
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
megoldásával kapcsolatban
.
.
199
.
.
.
.
.
217
