Přednáška 06 Nepružné chování materiálu Ideálně pružnoplastický model Plastická analýza průřezu ohýbaného prutu Mezní plastický stav konstrukce Plastický kloub Interakční diagram N, M Příklady
Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/
1
Jednoosá tahová zkouška betonářské oceli ●
Měkká betonářská ocel R10 505, 12 mm U ... mez úměrnosti =E Konvenční napětí (konstantní průřezová plocha)
EYoungův modul pružnosti 1
Pružnoplastické chování se zpevněním
E ... mez pružnosti fy … mez kluzu Ocel se stává plastickou. fu … mez pevnosti Maximální přenos napětí. Dle klasifikace oceli R jsou požadavky fyk=490 MPa a fuk=550 MPa.
Foto a data: A. Kotlánová, TÜV NORD Czech, s. r. o
2
Jednoosé tahové zkoušky konstrukčních ocelí
Data převzaty od V. Rödera, VUT v Brně
3
Jednoosá tahová zkouška hliníku ●
U materiálů s nevýraznou mezí kluzu se určí „smluvní“ mez kluzu – pro vysokopevnostní oceli odpovídá deformaci 2∙103
Konvenční napětí (konstantní průřezová plocha)
4
Trojbodový ohyb – cementová pasta
+
–
+
+
–
●
Těleso 12x12x80 mm, zářez 40% výšky Zatížení řízeno posunem, pevnost v tlaku 1015x vyšší než pevnost v tahu –
●
Data od autora, P. Hlaváčka a P. Padevěta, ČVUT v Praze, Fakulta stavební
5
Modely nepružného chování materiálu Ideálně tuhoplastický model
Ideálně pružnoplastický model
Tuhoplastický model s lineárním zpevněním
Pružnoplastický model s lineárním zpevněním
6
Modely nepružného chování materiálu Model poškození s lineárním změkčením
Pružnoplastický model se změkčením
Model poškození s exponenciálním změkčením
7
Ideálně pružnoplastický model ●
Prandtlův diagram
e
Rozklad deformace ε=ε e +ε p
p
Upravený Hookeův zákon σ= E εe =E (ε−ε p )
0=fy 0=fy p
e
Vývoj plastické deformace −σ0 < σ< σ 0 ε p se nemění σ=σ 0 ε p roste σ=−σ 0 ε p klesá σ <σ 0 ∨σ >σ 0 nelze
0=fy
8
Pružnoplastický materiál ve výpočtu ● ●
Deformace styčníku Mez kluzu 220 MPa
9
Simulace ohybu s pružnoplastickým materiálem Konzola délky 3 m, řez 0.13 m od vetknutí. Dochází k posunu neutrální osy. BernoulliNavierova hypotéza je stále dobrou aproximací pro posuny u.
Elastický stav
Elastoplastické stavy
Průřez je blízký meznímu plastickému stavu
10
Pružnoplastický ohyb – analýza průřezu ●
Mezní elastický stav obdélníkového průřezu
– h=hel
Neutrální osa
+
+
T
Mel …mezní elastický moment
–
0= 0 / E
b
d = 0
2 0 bh M el= 0⋅W = 0⋅ , = 6 h d el
2
Pro mezní elastický moment rozhoduje menší z Weld či Welh, tzn. průřezový modul ke vzdálenějším vláknům.
11
Pružnoplastický ohyb – analýza průřezu ●
Elastoplastický stav – část průřezu plastizuje Obvykle dvě neznámé – poloha N.O. a Melpl
-
N1
–
–
N -2
0= 0 / E
N +2 +
N1
+
h hel
Neutrální osa, obecně dojde k jejímu posunu
0
b
Melpl …elastoplastický moment
+
●
d = 0
2
2
2 0 bh bhel M elpl =W elpl⋅ 0= 0⋅ − , = 4 12 h el
Největší deformace
N x =0
∬ x dA=0 A
∑ N +=∑ ∣N -∣
M elpl =∬ x z dA A
12
Pružnoplastický ohyb – analýza průřezu ● ●
Mezní plastický stav – celý průřez plastizuje Obvykle dvě neznámé – poloha N.O. a Mpl
–
Mpl …plastický moment
h
A-
+
A+
Neutrální osa, obecně dojde k jejímu posunu
∞
b
d = 0 2
Největší deformace
bh M pl =W pl⋅ 0 = 0⋅ , ∞ 4 + + N x =0 ∬ x dA=0, 0 = 0 A = A A
M pl =∬ x z dA A
M el M elpl M pl 13
Příklad – určete Mel a Mpl pro 0=±250 MPa
Těžiště
200 mm
50
y
250 MPa -
Mel
A4 A -3
N.O.
Mpl
+
A
z 350 mm
A=0,0375 m2 Iy=4,453125e4 m4
Iy M el= 0 zh M el=636,1 kNm
178.6 MPa
N -4 = -0 A-4 N -3= -0 A -3
N.O. 50
125 mm
–
175 mm
50
250 MPa
x=175
200 mm
+ 2
+
+
+
+
+
+
N 2 = 0 A 2 +
A1
250 MPa
N 1 = 0 A 1
Výpočet momentu k hornímu líci:
+
-
0 =∣ 0∣ A + = A- =0,01875 m 2 x =0,175 m N -4 =2,5 MN N -3=2,1875 MN N +2 =0,3125 MN N +1 =4,375 MN
M pl =−2,5⋅0,025 −2,1875⋅0,1375 0,3125⋅0,2375 4,375⋅0,275 =914,1 kNm
14
Plastická rezerva průřezu M pl 0⋅W pl W pl = = M el 0⋅W el W el
Válcované profily IPN, IPE
tf
d
h
d
b
W
min el
2
bh = 24 2
bh W pl = 2− 2 6 W pl =2,343 W el
h
tw
b
b
bh2 6
b d 3−b−t w h 3 6d
d 6
bh2 4
twh b t f d−t f 4
1,698
1,5
≈1,15
d 32
3
3
2
15
Pružnoplastický ohyb – analýza nosníku h= 0
bh2 M el= 0 6
M el
+
+
L
–
4 4 bh2 F el = M el = 0 L L 6
x
F el 2
Mezní elastický stav
h=hel
●
Mel Mpl
b
d = 0
Mez kluzu dosažena na nosníku
16
Pružnoplastický ohyb – analýza nosníku
Elastoplastický stav
4 4 bh bh M elpl = 0⋅ − L L 4 12
L
+
Mel Mpl Mez kluzu dosažena na nosníku
x0
M elpl
bh M el= 0 6
2
+
F elpl 2
h= 0 –
F elpl =
x
2 el
2
h hel
●
d = 0 2
2
bh bhel M elpl = 0⋅ − 4 12
F elpl 2 M el M el= x 0 , x 0= 2 F elpl
17
Pružnoplastický ohyb – analýza nosníku
Mezní plastický stav
4 4 bh M pl = 0⋅ L L 4
Ah
L
F pl 2
2
bh 6 2 bh M pl = 0⋅ 4
+
M el= 0 Mel Mpl
Mez kluzu dosažena na nosníku Tvar plastického kloubu
x0
M pl
A+
+
F pl =
x
h= 0
2
–
●
d = 0
b
bh 2 0 6
2
F pl 2 M el L M el= x 0 , x 0= = = 2 2 F pl 3 4 bh ⋅ L 0 4
Plastický kloub funguje podobně jako vložený kloub. Výsledkem je staticky přeurčitá konstrukce (kinematický mechanismus). 18
Výpočet mezního zatížení na konstrukci ●
●
Při daném (známém) kinematickému mechanismu kolapsu umíme určit maximální zatížení. Použijeme momentové podmínky rovnováhy.
F pl L
F pl
F pl L ⋅ =M pl 2 2 4 M pl F pl = L
F pl 2
+
Mpl
Mpl 19
Mezní plastický stav při kombinaci ohybu s tahem h= 0 –
A-
N - = 0 b h−h+ h h−h+ h+ r= − = 2 2 2
M
-
h
N
Těžišťová osa
h−h+ r = 2
h+
+
N + = 0 b h +
+
A+
d = 0
b +
-
+
N =N − N = 0 b 2h −h h N + h= 2 2 0 b h N + h−h = − 2 2 0 b
+
+
h−h h−h h M =N r N r = 0 b h 2 2h + +
+
-
-
+
M = 0 b h + h−h+ h N h N M = 0 b ⋅ − 2 2 0 b 2 2 0 b
[
][ [ ]
h2 N M = 0 b − 4 2 0 b 2
M N =1, M pl 4 0 b M pl
2
+
]
N2 =M pl − 4 0b 2
M N =1 M pl N pl
20
Mezní plastické stavy při ohybu s tahem/tlakem
+
Mpl
+
+
Tah a kladný ohyb
Tlak a kladný ohyb
Tlak a záporný ohyb
Npl
Tah a záporný ohyb
+
N
2
∣M∣ N =1 M pl N pl 2
+
M N =1 −M pl N pl
–
+
Mpl
–
–
+
Npl
+
–
+
M
2
M N =1 M pl N pl
–
–
Zde uvedené plastické stavy platí pro obdélníkový průřez
–
●
21
Interakční diagram pro obdélníkový průřez
Mezní elastický stav
M
Mezní plastický stav
Mpl+ Mel+
∣M∣ ∣N∣ =1 M el N pl Npl
Tlak a kladný ohyb
Tah a kladný ohyb
Tlak a záporný ohyb
Tah a záporný ohyb
2
∣M∣ N =1 M pl N pl Npl +
N
Mel Mpl
22
–
1 Pa N.O.
+
+
0,165
N.O.
0,035
1 Pa
0,15
0,02
N.O.
+
0,065
T
0,481 Pa 0,015
0,15 m
0,135
0,18 m
0,02
Příklad – určete Wel, Welpl se zplastizovanou pásnicí, Wpl
1 Pa
1 Pa
1 Pa
1 ( 0,02⋅0,18 3 +0,15⋅0,023 )+0,02⋅0,18⋅0,045 2+ 0,15⋅0,02⋅0,0552=2,6185e-5 m 4 12 W del =I y / z d =1,9396 e-4 m 3 I y=
2⋅0,015 1 W elpl =0,02⋅0,15⋅0,09+ 2⋅0,015⋅0,02⋅ ⋅ + 0,15⋅0,02⋅0,025=3,48 e-4 m 3 3 2 2
2
0,165 0,015 W pl =0,02⋅ + 0,020⋅ + 0,15⋅0,02⋅0,025=3,495 e-4 m 3 2 2 W pl =1,802 W el
23
Otázky 1. Nakreslete pracovní diagramy materiálu se zpevněním a se změkčením. 2. Vyjádřete křivost prutu při elastoplastickém stavu. Jaká je křivost prutu při mezním plastickém stavu? 3. Jak lze snadno nalézt polohu neutrální osy při mezním plastickém momentu, pokud jsou meze kluzu v tahu i tlaku stejné? 4. Načrtněte tvar plastického kloubu pro I profil při tříbodovém a čtyřbodovém ohybu. 5. Jak zjistit mezní zatížení u konstrukce, kde neznáme počet a polohu plastických kloubů? 6. Může libovolná normálová síla přispívat ke zvětšení Mpl? 7. Jaký je rozdíl v mezní únosnosti čistě taženého prutu, pokud použijete teorii pevnosti a pružnoplastický materiál?
Vytvořeno 03/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer, ČVUT. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami.
24
