1 Na´hodny´ pokus a historie pravdeˇpodobnosti, kombinatorika 1.1. Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti Ve fyzice nebo chemii můžeme najít mnoho příkladů tzv. deterministických pokusů. Jde o příklady zákonů typu, „při splnění určitých podmínek nastane vždy určitý následekÿ. Ponoří-li se do roztoku CUSO4 elektrody, začne se na katodě hromadit měď. Vystavíme-li vodu v nádobě teplotě -20◦ C, dojde k zamrznutí vody. Tento deterministický výsledek pokusu nastane vždy, kdy jsou správně dodrženy podmínky pokusu. Ale existují také pokusy, při kterých tomu tak není. Pokud několik akumulátorů vystavíme jistým podmínkách, automobil s některými akumulátory nastartuje a s jinými akumulátory nenastartuje. Např. po několika týdnech nedobíjení akumulátoru při nízké teplotě nelze s jistotou říci, zda bude funkční. Při pokusu o telefonické spojení s daným číslem nelze určit, zda volaný bude mít zapnutý telefon, zda bude v dosahu signálu, zda nebude mít jiný telefonní hovor. Uvede-li se do provozu určité zařízení, nelze — ani při dokonale známé technologii výroby — s jistotou říci, že bude bez poruchy pracovat 200 hodin, ani že k poruše dojde během prvních 10 měsících provozu, ani že poruše dojde až po skončení záručního období. Jde o situace, ve kterých podmínky, předurčující jejich výsledek, jsou daleko méně kontrolovatelné, než u jednoduchých laboratorních pokusů. U takovýchto činností lze jen popsat množinu možných výsledků a do někdy jen vágně, např. slovy, že výsledek nastává „velmi častoÿ, „častoÿ, „zřídkaÿ, „vyjímečněÿ. Všem takovým činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně předurčen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (aspoň v zásadě, teoreticky) neomezeně mnohokrát opakovatelné za stejných podmínek, říkáme náhodné pokusy. Co do předvídatelnosti výsledků podobají se všechny zmíněné náhodné pokusy úkonům z hazardních her jako je rozdávání karet, házení 9
10
mincí, kostkou, losováním z osudí, v ruletě. Náhodné pokusy sdružené s hazardními (náhodnými) hrami se obvykle používají pro ilustraci základních principů počtu pravděpodobnosti a jsou také těsně spjaty s prvními historickými matematickými studiemi pravděpodobnosti. Ale i mezi historickými úlohami lze dohledat jiné příklady. Např. Laplace (1749–1827) v r. 1776 počítá jaká je pravděpodobnost, že všech 6 známých planet a 10 satelitů obíhá stejným směrem (P = 2−15 = 1/32768). A dochází k závěru, že vzhledem k této malé pravděpodobnosti musí existovat síla (zákon), který předurčuje toto chování planetárního systému. Vhodný matematický model pro popis náhodných jevů vzniká až na začátku 20. století — Kolmogorov (1903–1987) a to přesto, že kombinatorické problémy jsou již dávno vyřešeny. Pascalův trojúhelník patrně znal již al-Karadži (953–1029). Kombinatorika se objevila daleko dříve v Asii, nejstaršími dosud nalezenými a spolehlivými prameny jsou především sútry. Bhagabati Sútra (kolem 300 př. Kr.) obsahuje počty permutací k prvků z n pro k = 1, 2, 3 a stejně tak počty kombinací. Počátek teorie pravděpodobnosti je všeobecně datován rokem 1654 a je spojován se jmény Blaise Pascala (1623–1662) a Pierra Fermata (1601–1665), kteří v tomto roce na popud Gombauda (nebo Gombaulda) rytíře de Méré (1607–1685) řešili ve své korespondenci jisté problémy týkající se hry v kostky. Jak tomu však obvykle bývá, zakladatel vědecké disciplíny či objevitel klíčového poznatku má řadu předchůdců a předřešitelů. Úlohy o rozdělení sázky řešil již Luca Pacioli (1445?–1514?) v knize Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, která vyšla v r. 1494, a také Nicolo Tartaglia (1499?-1557) v knize General trattato di numeri et misura, která vyšla v r. 1556. Jejich řešení jsou ale chybná. Zřejmě první prací, věnovanou počtu pravděpodobnosti, je práce Hieronyma Cardana (1501-1576) De ludo aleæ, která byla zřejmě napsána v r. 1526, ale otištěna až v r. 1663 v jeho sebraných spisech. Teorií pravděpodobnosti se zabýval také Galileo Galilei (1564-1642), jeho spis Considerazione sopra il giuco dei dadi vyšel až v r. 1718 a datum vzniku není známo. Při řešení kombinatorických úloh s herní motivací jmenovaní vychází z pojetí pravděpodobnosti odpovídající dnešní „klasické definici pravděpodobnostiÿ, pojem „pravděpodobnostÿ ale vůbec nedefinují — jejich cílem bylo řešení jistých konkrétních úloh a nikoli definování pojmů a teoretické studium jejich vlastností. Například podle de Mére má být nadpoloviční šance na dvě šestky při házení dvěma kostkami počínaje 24 hody. Jako vážnivý hráč ale
1
Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika
11
bobouřen shledává, že to není pravda. Následně Pascal v dopisu Fermatovi z 29. 7. 1654 o tom píše: „To tedy byl jeho velký skandál, který ho přiměl domýšlivě říci, že poučky nejsou stálé a že se aritmetika mýlí: vy ale jistě snadno uvidíte důvod podle principů, k nimž jste dospěl.ÿ Hazardní hry se stávají exklusivní cestou k pravděpodobnostnímu myšlení. Může se zdát podivné, že nebyla nalezena žádná dřívější explicitní zmínka o relativní četnosti vrhů určitých čísel či jejich kombinací. Vždyť v Evropě se hra v kostky udržela v masové oblibě od římských dob až do renesance, kdy byla zčásti vytlačena kartami. Ke kritice a zákazům však docházelo jak ze strany církve, tak i státu. Římská republika hraní kostek zákonem omezila na dobu Saturnálií (kolem našich vánoc). O hře zvané „hazardÿ se v knize Essay d’analyse sur les jeux de hazard z roku 1708 zmiňuje francouzský matematik Pierre Rémond de Montmort (1678–1719). V knize řeší řadu kombinatorických a pravděpodobnostních úloh. Etymologie slova „hazardÿ je předmětem sporů – jedno vysvětlení je odvozuje od al zhar, což je kostka, druhé od asar, značící obtížné. Další hypotéza odvozuje původ slova z názvu syrské pevnosti uvedeného v textu vůdce první křižácké výpravy Godefroy de Bouillona (1061–1110), který uvádí: „Do Hazait jelo skvělé poselstvo a nazývá se Hazait právě proto, že tam byly původně vyráběny a tečkami značeny kostky.ÿ Zmíněné úloze rytíře de Méré o rozdělení sázky se budeme konkrétně věnovat v části 2.3, i když se v těchto skriptech hazardním hrám budeme spíše vyhýbat (lze je dohledat v jiných učebnicích). Tato úloha totiž dává poučení: při řešení nejisté úlohy v budoucnosti máme uvažovat pouze to, co se může stát, a nikoliv to, co se již stalo. O tom, že tato zásada není obecně používána, se v běžném životě přesvědčujeme více než často. Hazardními hrám nebudeme věnovat větší prostor, také proto abychom nedávali marnou naději hráčům, vždyť už v Řecku Iuvenalius píše: K stolům, kde v kostky se hraje, se nejde s hubeným měšcem; má-li se opravdu hrát, to přistaví celičkou truhlu. K jakým tu dochází bitvám, když učetní převezme roli zbrojnoše. Je to snad bláznovství pouhé, když sto tisíc ve hře promarní člověk, jenž otroku v zimě chce tuniku upřít? Je s podivem, když hazardní hry dnešní společnost nezakazuje, není snad známo kolik zničených životů mají na svědomí? Vždyť jaké důvody vedly např. Otta I., Eduarda III., Jindřicha VIII. , Fridricha II. , trevírský koncil v letech 1227 a 1238, koncil ve Worcesteru v r.
12
1240 k zákazu hry v kostky a karty. Proč Svatý Ludvík (IX.) zakazuje svým úředníkům nejen kostky, ale i šachy, návštěvu hostinců a smilstvo — vše v jedné řadě — a kostky se v celém svém království nesmějí ani vyrábět. Snažili se spíše obrátit pozornost k mužným sportům, ale těmito zákazy měli na zřeteli zejména související průvodní jevy her o peníze. Ty jsou popsány v Chaucerových Canterburských povídkách, v Povídce odpustkáře Kristovy hřeby! Pro Kristovy údy a jeho krev a srdce, u všech všudy. Máš tři a pět, a sedm padlo mně. Kristova muko! Hraješ-li falešně já do srdce ti vrazím tuhle dýku. Hle, to jsou plody kostek hazardníků: klam, zloba, vražda, proklínání kleté. a v povídce Fráterově: Přátelé . . . i jinam vodili ji podél řek a k zábavám u tichých studánek, do libých míst, kde nebyla sama, kde také i tančili a hrál se šach a dáma. Zbývá ještě odpověď na otázku položenou na začátku: proč se teorie pravděpodobnosti tak opozdila za ostatními oblastmi matematiky? Bývají navrhovány čtyři obecné důvody: nedostatečně zvládnutá kombinatorika, pověrčivost hráčů (to se ovšem vztahuje pouze k představě, že hry jsou cestou k pravděpodobnostnímu myšlení), nedostatečná představa o náhodnosti jako důležitému elementu dění, morální či náboženské přehrady bránící připuštění náhodnosti dějů (pomíjíme nedokonalost kostek). Problém náboženství nelze podceňovat, podle křesťanské věrouky všechno dění je v rukou Božích. S protiargumentem, že pak by vymizely hry i náhoda a štěstí se vyrovnal sv. Tomáš Akvinský poukazem na univerzální zákony a dílčí zákony a že sice nic se nemůže vymknout ze zákona universálního, ale u zákonu dílčího se to stát může a pak mluvíme o náhodnosti. Hugenotovi de Moivrovi dokonce pravděpodobnostní zákony vyjadřují pevný řád Vesmíru a vedou k uznání díla Stvořitelova. Mimo teologické úvahy to náhoda má dokonce horší. Benedikt Spinoza (1632–1677) v r. 1675 ve spisu Ethica ordine geometrico demonstrata píše, že „událost může být považována za náhodnou jedině ve vztahu k našim nedostatečným znalostemÿ. Tvrzení 29 zní: „V přírodě neexistuje nic náhodného, nýbrž všechny věci jsou přirozeností Boha nutně determinovány k určitému modu existence a působení.ÿ
1
Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika
13
Na str. 92–93 v českém překladu Spinoza, Etika, nakladatelství Svoboda, 1977 je uvedena Poznámka 1: „ . . . Jako náhodnou však označujeme věc jen z důvodů tkvících v nedostatečnosti našeho poznání. Ta věc, o níž nevíme, zda její esence nezahrnuje protiklad, nebo o níž bezpečně víme, že žádný protiklad nezahrnuje, a přesto o její existenci nemůžeme s jistotou tvrdit, protože řád příčin je nám skryt, taková věc se nám nemůže jevit ani jako nutná, ani jako nemožná, a proto ji nazýváme náhodnou nebo možnou.ÿ U d’Alemberta v textu z r. 1750 najdeme: „Přesně vzato neexistuje žádná náhoda, jedině její ekvivalent: naše nevědomost, díky níž my sami jsme její příčinou.ÿ Stejné názory najdeme ostatně i u Laplace (1749–1827). Ten si představoval universální bytost nevyčerpatelné inteligence vědoucí o Vesmíru v každém okamžiku vše a pojem pravděpodobnosti vůbec nepotřebující. Pro nás je však nutný „z části díky nevědomosti, z části díky znalosti. Víme, že ze tří či více jevů by se měl státi pouze jediný, z ničeho však nemůžeme usoudit, který z nich to bude. V tomto stavu nerozhodnosti je nemožné ohlásit výsledek s jistotou.ÿ Naštěstí jsme dnes ovlivněni moderní biologií: variabilita druhů i jejich skupinového i individuálního vývoje je jen obtížně popíratelná a výrazný vliv náhodných procesů je rozpoznán. Stejně je tomu v kvantové fyzice, zachycující řadu náhodných procesů na nás zcela nezávislých, např. radioaktivní rozpad. Proto jsme na pojem náhodnosti jako charakteristického rysu života a všeho denní již zvyklí a nedovedeme si představit, že tomu někdy bylo jinak. Lze tedy dosti oprávněně soudit, a zde lze opět ocitovat myšlenku z úvodu o matematice pouze vyjadřující naše poznání, že hlavní příčinou pozdního zrodu pravděpodobnosti byla obecná nepřipravenost společnosti i jednotlivců k porozumění jejím koncepcím, neschopnost je začlenit do existujícího myšlenkového systému a také jakýmkoliv způsobem využít. Za místo jejího vzniku je patrně správné považovat Itálii 14. až 16. století, ale její myšlenky a postupy, ve společnosti nepřipravené je přijmout, zapadaly okamžitě po svém zrodu. Zásluhou západní Evropy, jmenovitě Francie 17. století bylo, že znovu oživené pravděpodobnostní problémy již dokázaly vzbudit společenský zájem. I když z počátku pouze u gamblerů na dvoře Ludvíka XIV.
14
To co tehdy a dnes ještě více dělá teorii pravděpodobnosti obtížnou a také nepopulární, jsou úvahy založené na deduktivním myšlení. Pro mnoho studentů je tento přístup přijatelný až po obrovském studijním úsilí a proto také často studia pravděpodobnosti zanechávají. Cílem této práce je zejména přiblížit teorii pravděpodobnosti každému laskavému čtenáři, pomoci získat nadhled a usnadnit mu bližší přístup k teoretičtějším publikacím.
1
Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika
15
1.2. Základní vzorce kombinatoriky Definice 1.1 Uspořádaná k-tice. Nechť {a1 , a2 , . . . , an1 }, {b1 , b2 , . . . , bn2 }, . . . , {g1 , g2 , . . . , gnk } je k skupin libovolných prvků; počet prvků i-té skupiny je ni . Počet různých k-tic {ai1 , bi2 , . . . , gik } majících na prvním místě prvek z první skupiny, na druhém místě prvek z druhé skupiny, atd. je roven n1 n2 n3 . . . nk . Definice 1.2 Uspořádaný výběr s opakováním (variace s opakováním). Nechť je dána skupina n různých prvků, rozlišených např. čísly 1, 2, . . . , n. Ze skupiny se vybírá k-krát po sobě po jednom prvku, vybraný prvek se vždy před dalším vybráním vrací. Počet všech různých k-tic {i1 , i2 , . . . , ik }, které lze takto utvořit, je nk . Definice 1.3 Uspořádaný výběr bez opakování (variace k-té třídy z n prvků bez opakování). Nechť je dána skupina n prvků očíslovaných 1, 2, . . . , n. Ze skupiny se vybírá k-krát po sobě po jednom prvku, vybrané prvky se nevracejí. Počet všech možných k-tic {i1 , i2 , . . . , ik }, kde ij je číslo prvku vybraného při j-tém tahu, je roven n(k) = n(n − 1) . . . (n − k + 1). Definice 1.4 Permutace. Skupinu n prvků očíslovaných 1, 2, . . . , n lze uspořádat v posloupnost {i1 , i2 , . . . , in }, n! = n(n) = n(n − 1) . . . 2 · 1 způsoby. Jednotlivá uspořádání {i1 , i2 , . . . , in } čísel 1, 2, . . . , n jsou tzv. permutace. Číslo n! udává počet permutací n prvků. Symbol n! se čte n-faktoriál. Definice 1.5 Neuspořádaný výběr bez opakování — kombinace. Nechť je množina n prvků očíslovaných 1, 2, . . . , n. Počet různých podmnožin po k prvcích, které lze vybrat z dané množiny n prvků je roven n(k) n! n = = . k! k!(n − k)! k Různé podmnožiny o k prvcích vybrané z dané množiny jsou tzv. kombinace k prvků z n; číslo nk udává počet kombinací k prvků z n a čte se „n nad kÿ.
16
Příklad 1.6 Náhodný pokus spočívá ve vytažení 4 karet z důkladně promíchané hry 32 karet. Jaká je pravděpodobnost, že budou vytaženy karty červená sedma, zelená desítka, žaludský král, kulové eso v uvedeném pořadí? Elementární jevy jsou v tomto příkladu jsou uspořádané čtveřice karet. Podle pravidla 3 je takových možných čtveřic 32(4) = 32(32 − 1) . . . (32 − 4 + 1) = 32 · 31 · 30 · 29 = 863040 . Důkladné zamíchání karet a vytahování bez snahy o ovlivnění výsledku vytváří předpoklady pro to, aby bylo možné považovat všechny čtveřice za stejně pravděpodobné. Pravděpodobnost vytažení čtyř daných karet v daném pořadí je 1 = 1,1587 · 10−6 . 32(4) Příklad 1.7 Uvažujme náhodný pokus z předchozího příkladu a stanovme pravděpodobnost, že budou vytaženy čtyři dané karty v jakémkoliv pořadí. Počet elementárních jevů – uspořádaných čtveřic – už byl stanoven a je 863040. Dané čtyři karty lze (podle pravidla 4) uspořádat 4! = 24 způsoby. To znamená, že jevu „vytažení 4 daných karet v libovolném pořadíÿ je příznivých 24 elementárních jevů, a pravděpodobnost tohoto jevu je 4! 24 = = 2,78 · 10−5 . (4) 32 863040 Příklad 1.8 Náhodný pokus spočívá v šesti hodech kostkou; předpokládá se, že kostka je naprosto pravidelná a hází se bez snahy o dosažení určitého výsledku. A) Jaká je pravděpodobnost, že nepadne ani jednou šestka? B) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jednou padne šestka? C) Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne právě jednou? D) Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne nejvýše jednou? E) Jaká je pravděpodobnost, že šestka více než jednou? Lze použít pravidla 2. Místo vybírání prvku ze skupiny šesti prvků je při každém hodu vybrána jedna ze šesti stěn kostky. Výsledek šesti hodů je úplně popsán uspořádanou šesticí (i1 , i2 , . . . , i6 ), kde ij značí výsledek j-tého hodu. Počet takových šestic je 66 = 46656. Vzhledem k popsaným podmínkám je lze považovat za stejně pravděpodobné. A) Elementárních jevů, příznivých jevu „nepadne žádná šestkaÿ, je 56 = 15625 (uspořádané skupiny neobsahující šestku lze vytvořit tak, že se na všech místech vystřídají všechny ze zbývajících možností).
1
Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika
17
Pravděpodobnost, že v šesti hodech nepadne vůbec žádná šestka, je tedy rovna 6 56 5 = 0,3349 . = 66 6 B) Pravděpodobnost, že v šesti hodech padne šestka aspoň jednou, je rovna doplňku 6 5 1− = 0,6651 . 6 C) Jevu „právě jednou padne šestkaÿ, jsou příznivé elementární jevy, popsané uspořádanou šesticí (i1 , i2 , . . . , i6 ), ve kterých právě jedno ij je rovno 6 a ostatní jsou čísla od 1 do 5. Takových šestic je 6 · 55 = 18750 (je 55 skupin (6, i2 , i3 , . . . , i6 ) s ij 6= 6, dále 55 skupin (i1 , 6, i3 , . . . , i6 ) s ij 6= 6, atd) Pravděpodobnost, že v šesti hodech padne právě jedna šestka, je tedy rovna 5 6 · 55 5 = = 0,4019 . 6 6 6 D) Jev „šestka padne nejvýše jednouÿ, je sjednocením disjunktních jevů „ani jednou nepadne šestkaÿ a „právě jednou padne šestkaÿ. Pravděpodobnost, že šestka padne nejvýše jednou je tedy rovna součtu pravděpodobností těchto jevů: 0,3349 + 0,4019 = 0,7368 . E) Pravděpodobnost, že šestka padne více než jednou, je 1 − 0,7368 = 0,2632 . Příklad 1.9 Problémy rytíře de Méré (1607–1685): Úloha o kostkách De Méré tvrdil, že chce-li někdo hodin aspoň jednu šestku při opakovaném házení jednou kostkou, má nadpoloviční šanci na úspěch počínaje čtyřmi hody a poměr šancí na úspěch k šancím neúspěšným při čtyřech hodech je 671:625. Pokud chce někdo hodit aspoň jednou dvě šestky při házení dvěma kostkami, měl by mít podle de Mérého nadpoloviční šanci na úspěch počínaje 24 hody (neboť poměr 24:36 je stejný jako poměr 4:6). Ve své hráčské praxi ale zjistil, že to není pravda. Tvrzení ověříme vyřešením nerovnice 35 k 1 ) < 36 2 . ze které dostáváme k = 24.6 takže dvěma kostkami je třeba hodit aspoň pětadvacekrát, aby šance na úspěch byla nadpoloviční. (
18
Poměr šancí je 3625 − 3525 . = 1.022 3525 Úloha 1.10 Problémy rytíře de Méré (1607–1685): Úloha o rozdělení sázky Dva hráči hrají sérii her o nějakou částku C, tuto částku získá ten hráč, který jako první vyhraje k her (hráči hrají na k vítězných her). Pravděpodobnost výhry je v každé jednotlivé hře pro oba hráče shodná. Série her je předčasně ukončena ve chvíli, kdy jednomu hráči chybí do výhry m her, druhému hráči chybí do výhry n her. Jak má být částka C spravedlivě rozdělena mezi hráče?
1
Náhodný pokus a historie pravděpodobnosti, kombinatorika
19
Literatura Coufal, J.: Alea iacta est aneb půltisíciletí od vytištění úlohy rytíře de Méré. Informační bulletin České statistické společnosti, (5) 1994, čl. 1 a 2. Horák, P.: Svět Blaise Pascala. Vyšehrad, Praha, 1985. Mačák, K.: Počátky počtu pravděpodobnosti. Prometheus, edice Dějiny matematiky, Praha, 1997. Rényi, A.: Dialogy o matematice. MF, Praha, 1980. Saxl, I.: Pravděpodobnost ve starověku a středověku. sborník prací semináře Stakan zorganizovaného Českou statistickou společností a Slovenskou štatistickou a demografickou spoločnosťou za podpory KPMS MFF UK ve dnech 23. – 25. 5. 2003 v Bystřici pod Hostýnem, Praha, 2004, str. 87 – 106.
20
