Jawaban
1. Diketahui F (λ ) =
2π hc 2
1
λ
exp(hc / λ k BT ) − 1
5
a. Untuk menemukan nilai maksimum F (λ ) , diambil derivatif F (λ ) ke λ kemudian
nilanya sama dengan 0. Misalnya x=
hc 1 xkT atau = λ kT λ hc
Sehingga 2 x5 xkT 2π hc F (λ ) = K = exp( x) − 1 hc exp( x ) − 1 5
Dengan
K=
2π k 5T 5 h4c 3
Maka 0=
dF dF dx 5 x 4 (e x − 1) − x 5e x hc = =K .− 2 x 2 d λ dx d λ λ kT (e − 1) 5 x 4 (e x − 1) − x5e x = 0 5 − x = 5e − x
Hasilnya adalah x = 0 atau x = 4,965
Nilai yang digunakan adalah nilai yang tidak nol. x=
hc = 4,965 λ kT
atau
λT =
hc 6, 6 ×10−34 × 3 ×108 = = 2,9 ×10−3 mK 4,965k 4,965 × 1,38 × 10−23
b. Total daya radiasi adalah 1
∞
D=∫ 0
2π hc 2
1
λ
exp(hc / λ k BT ) − 1
5
dλ
Dengan substitusi
λ=
hc 1 kT x
maka dλ = −
hc dx , λ =0→ x=∞, λ =∞→x=0 kT x 2
sehingga 5
0
hc dx kTx 1 D = ∫ 2π hc x .− 2 hc e − 1 kT x x =∞ 2
∞
=
2π k 4T 4 h 3c 2
=
2π k 4T 4 π 4 = σT 4 h3c 2 15
x3dx ∫ ex −1 x=0
dengan
σ=
2π k 4 . 15h3c 2
Berarti
n=4
c. Rapat energi internal radiasi benda hitam diberikan oleh
u = kT 4 sehingga energi internal diberikan oleh U = uV = kVT 4
Kapasitas panas radiasi pada volume tetap dirumuskan sebagai
∂U 3 CV = = 4kVT . ∂T V Tekanan radiasi benda hitam diberikan oleh p = 13 u = 13 kT 4
Kapasitas panas pada tekanan tetap dirumuskan sebagai 2
∂U CP = . ∂T P Ketika tekanan p tetap maka suhu T juga tetap sehingga dT = 0. Jadi
∂U CP = →∞. ∂T P
d. Hukum pertama termodinamika dirumuskan sebagai
dQ = dU + pdV dQ = d (kVT 4 ) + 13 kT 4 dV = k (T 4 dV + 4VT 3dT ) + 13 kT 4 dV = 43 kT 4 dV + 4kVT 3dT dT dV = 43 kVT 4 +3 T V Syarat keadaan adiabatik adalah dQ = 0
sehingga dV dT +3 = 0. V T Jika diintegralkan diperoleh ln V + 3ln T = konstan
atau VT 3 = konstan.
Dengan menggunakan persamaan
p = 13 kT 4 maka
pV 4 / 3 = konstan. Jika p, V dan T digabungkan maka diperoleh
pV = konstan T sehingga
m = 1. 3
e. Gambar siklus Carnot adalah sebagai berikut.
Pada siklus di atas, keadaan isotermal baik ekspansi maupun kompresi diberikan oleh persamaan p = konstan, sebab p = 13 kT 4 .
Sedangkan untuk keadaan adibatik baik ekspansi maupun kompresi diberikan oleh p=
konstan . V 4/3
f. Dari keadaan 1 ke 2 (isotermal, dT = 0), panas yang diterima oleh sistem adalah
Q1→2 = ∫ dQ =
V2
∫
V2
4 3
kT14 dV = 34 kT14 ∫ dV = 34 kT14 (V2 − V1 ) .
V1
V1
Nilai Q1→2 < 0 karena V2 > V1 . Dari keadaan 2 ke 3 (adiabatik) maka panas yang diterima oleh sistem adalah Q2→3 = 0 . Dari keadaan 3 ke 4 (isotermal, dT = 0), panas yang diterima oleh sistem adalah Q3→4 = 43 kT34 (V4 − V3 ) .
Nilai Q3→4 < 0 karena V4 < V3 . 4
Dari keadaan 4 ke 1 (adiabatik) maka panas yang diterima oleh sistem adalah Q4→1 = 0 . Pada keadaan adibatik berlaku V2T13 = V3T33 (adiabatik 2 – 3)
dan V1T13 = V4T33 (adiabatik 4 – 1)
Jika dikurangi diperoleh (V2 − V1 )T13 = (V3 − V4 )T33 = −(V4 − V3 )T33 Efisiensi mesin Carnot dirumuskan sebagai
η=
4 kT 3 (V − V ) T Q1→2 + Q3→4 Q T = 1 + 3→4 = 1 + 34 33 4 3 3 = 1 − 3 . Q1→2 Q1→2 T1 3 kT1 (V2 − V1 ) T1
g. Persamaan untuk entropi S adalah
dQ 43 kT 4 dV + 4kVT 3dT 4 3 dS = = = 3 kT dV + 4kVT 2 dT T T 3 4 = d ( 3 kVT ) Jadi S = 43 kVT 3 + C Jika diasumsikan bahwa untuk T = 0 tidak ada entropi (S = 0), maka C = 0. Jadi rapat entropi dirumuskan sebagai s=
S 4 3 = 3 kT . V
5
2.
Diketahui F = − NkT ln[2 cosh( µ B H / 2kT )] a. Dari persamaan
dF = − SdT − MdH maka magnetisasi M dirumuskan sebagai
∂F M = − ∂H T
µ B 2sinh( µ B H / 2kT ) 2kT 2 cosh( µ B H / 2kT ) = 12 N µ B tanh( µ B H / 2kT ) = NkT
b. Nilai maksimum M diperoleh ketika
tanh( µB H / 2kT ) → 1 Jadi
M max = 12 N µB . c. Pada kasus suhu tinggi, (T tinggi sehingga µ B H / kT << 1 maka M = 12 N µ B
exp( µ B H / 2kT ) − exp(− µ B H / 2kT ) exp( µ B H / 2kT ) + exp(− µ B H / 2kT )
≈ 12 N µ B
1 + µ B H / 2kT − (1 − µ B H / 2kT ) 1 + µ B H / 2kT + (1 − µ B H / 2kT )
= 12 N µ B
2 µ B H / 2kT 2
=
N µB 2 H 4kT
Dengan menggunakan relasi
M = χH Maka susceptibilitas magnetic pada suhu tinggi diberikan oleh
χ=
6
N µB2 . 4kT
d. Dari persamaan
dF = − SdT − MdH maka ∂F S = − ∂T H µ H 2sinh( µ B H / kT ) = Nk ln 2 cosh( µ B H / kT ) + T . − B 2 2kT 2 cosh( µ B H / kT ) µ H = Nk ln(2 cosh( µ B H / kT )) − B tanh( µ B H / kT ) 2kT e. Untuk limit H → 0 maka
cosh(µ B H / kT ) → 1 dan
tanh(µ B H / kT ) → µ B H / kT . Jadi 2 1 µB H S ≈ Nk ln(2) − 2 kT . ≈ Nk ln(2)
Dari sini diperoleh jumlah derajat kebebasan sebesar 2, yaitu spin dapat memiliki keadaan ke atas atau ke bawah.
f. Ada dua energi, yaitu E1 = − s µ B H = − 12 µ B H ketika spin searah dengan H
dan E2 = + s µ B H = 12 µ B H ketika spin berlawanan arah dengan H.
Momen magnetik rata-rata dirumuskan sebagai
7
µ =
µ1e− E / kT + µ2e − E 1
2
/ kT
e− E1 / kT + e− E2 / kT 1 µ exp( 12 µ B H / kT ) + (− 12 µ B ) exp(− 12 µ B H / kT ) =2 B exp( 12 µ B H / kT ) + exp(− 12 µ B H / kT )
µ B 2sinh( 12 µ B H / kT ) 2 2 cosh( 12 µ B H / kT ) = 12 µ B tanh( 12 µ B H / kT ) =
g. Magnetisasi total N spin dirumuskan sebagai M =N µ = 12 N µ B tanh( 12 µ B H / kT ) Hasil ini sama seperti pada (a).
8
3.
Persamaan keadaan Dieterici p=
nRT na exp − V − nb RTV
dengan p = tekanan, V = volume, T = suhu mutlak, n = jumlah mol, R = tetapan gas universal serta a dan b = tetapan positif. a. Keadaan kritis dipenuhi ketika tekanan P, volume V dan suhu T gas tersebut memenuhi tiga persamaan: Persamaan keadaan, (∂p / ∂V )T = 0 dan (∂ 2 p / ∂V 2 )T = 0 . na na − na − RTV (∂p / ∂V )T = nRT −(V − nb) −2 e RTV + (V − nb) −1 e 2 RTV 1 na = p − 2 V − nb RTV 2 na 1 1 2na (∂ p / ∂V )T = p − + − . 2 V − nb (V − nb) 2 RTV 3 RTV 2
2
Dari persamaan (∂p / ∂V )T = 0 diperoleh na 1 = 2 RTcVc Vc − nb Dari persamaan (∂ 2 p / ∂V 2 )T = 0 diperoleh
1 2na = 2 (Vc − nb) RTcVc 3 Dari dua persamaan terakhir di atas dengan substitusi diperoleh volume kritis Vc = 2nb . Nilai suhu kritis Tc diperoleh dari persamaan di atas yaitu
Tc = =
na (Vc − nb) RVc 2 a 4 Rb
Sedangkan tekanan kritis diperoleh dari persamaan keadaan
9
nRTc na exp − Vc − nb RTcVc
pc =
.
a = 2 2 4b e
b. Digunakan lambang tekanan tereduksi p = p / pc , volume tereduksi V = V / Vc dan suhu tereduksi T = T / Tc . Persamaan keadaan menjadi
ap nR(a / 4 Rb)T na = exp − 2 2 4b e 2nbV − nb R(a / 4 Rb)T .2nbV yang jika disederhanakan menjadi
p=
e2T 2 exp − 2V − 1 TV
c. Titik inversi pada efek Joule-Thomson diperoleh ketika ∂T =0 ∂p h atau T (∂V / ∂T ) p − V = 0 Berlaku juga T (∂V / ∂T ) p − V = 0 Persamaan di atas dapat ditulis sebagai
(∂V / ∂T ) p = V / T Dari persamaan keadaan tereduksi 2 (2V − 1) p = e2T exp − TV jika diturunkan ke T pada p konstan, hasilnya adalah 2 2(∂V / ∂T ) p p = e 2 exp − TV 10
2 (V + T (∂V / ∂T ) p ) 1 + T 2 (TV )
2 pV 4 2 = e 2 exp − 1 + T TV TV
Jika persamaan terakhir di atas dibagi dengan persamaan keadaan tereduksi untuk mengeliminasi p , akhirnya diperoleh V=
4 . 8−T
Jika hasil ini dimasukkan ke dalam persamaan keadaan tereduksi diperoleh 5 4 p = (8 − T ) exp − . 2 T
11
