JÁRMTEST ENERGIAABSZORPCIÓS DEFORMÁCIÓS MODELLJEINEK IDENTIFIKÁCIÓJA
PhD értekezés
Harmati István Árpád
Témavezet® : Dr. Várlaki Péter
BUDAPESTI MSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM JÁRMVÁZ- ÉS KÖNNYSZERKEZETEK TANSZÉK
Nyilatkozat
Alulírott Harmati István Árpád kijelentem, hogy ezt a doktori értekezést magam készítettem, és abban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint, vagy azonos tartalomban, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelm¶en a forrás megadásával jelöltem.
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés
8
1.1.
Általános bevezet®
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.
Célkit¶zések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2. Er®modellek
13
2.1.
Energia mérleg
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2.
Gyakoribb er®modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.1.
Lineáris modell
17
2.2.2.
Szakaszonként lineáris modell
2.2.3.
Er®telít®dési modell
2.2.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Hatvány modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.
A merevség fogalmának különféle megközelítései . . . . . . . . . .
25
2.4.
A bemutatott modellek kritikai elemzése
27
. . . . . . . . . . . . . . .
3. A felhasznált matematikai megközelítések és modellek
28
3.1.
Alapfogalmak
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.2.
Magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontás . . . . . . . . . .
31
3.3.
LPV rendszerek HOSVD alapú felbontása
. . . . . . . . . . . . . .
35
3.3.1.
A HOSVD alapú kanonikus alak numerikus rekonstrukciója .
38
3.3.2.
A HOSVD alapú kanonikus alak meghatározása . . . . . . .
40
3.4.
Fuzzy következtetési eljárások
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.
A fuzzy következtet® rendszerek felépítése
. . . . . . . . . .
42
3.4.2.
A TakagiSugeno fuzzy modell . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4. Az energiaabszorpciós folyamat heurisztikus modellje 4.1.
42
A járm¶ cellamodellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
48 49
TARTALOMJEGYZÉK
4.1.1.
A cellamodell dinamikai megfelel®je . . . . . . . . . . . . . .
49
4.1.2.
Az elnyelési függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.1.3.
Irányfügg® tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2.
Egydimenziós cellamodell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.3.
Többdimenziós cellamodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.4.
Új tudományos eredmények
57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. A deformációs folyamat LPV típusú er®modellje 5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
59
A deformáció során fellép® er® LPV modellje . . . . . . . . . . . . .
59
5.1.1.
Az LPV modell származtatása . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Az LPV rendszer meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.2.1.
Az LTI rendszerek meghatározása . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.2.2.
A teljes LPV rendszer meghatározása . . . . . . . . . . . . .
63
Valós töréstesztek adatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.3.1.
A mérési adatok feldolgozására vonatkozó el®írások
. . . . .
64
5.3.2.
A vizsgált járm¶vek adatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.3.3.
Fontosabb mért és számított adatok . . . . . . . . . . . . . .
65
Az LPV modell gyakorlati megvalósítása
. . . . . . . . . . . . . . .
68
5.4.1.
A merevségi felület meghatározása
. . . . . . . . . . . . . .
68
5.4.2.
A kapott LPV modell HOSVD alapú redukciója . . . . . . .
70
5.4.3.
A redukált modellek és a mérési adatok összehasonlítása
. .
76
5.5.
A deformációs folyamat Takagi-Sugeno fuzzy modellje . . . . . . . .
81
5.6.
Új tudományos eredmények
84
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Az eredmények összefoglalása 6.1.
Az eredmények összefoglalása
6.2.
Alkalmazási lehet®ségek
85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
A A CFC sz¶r® leírása
88
B A felhasznált LCB tesztekben mért er®karakterisztikák
89
Publikációk
97
Irodalomjegyzék
98
4
Ábrák jegyzéke
2.1.
Barényi Béla vázlata a cellaautóról
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.
Az ütközéskor fellép® er® és a deformáció az id® függvényében
2.3.
Az er®-deformáció karakterisztika egy valós esetben
2.4.
Az ütközési sebesség a maradandó deformáció függvényében
2.5.
Er® és elnyelt energia lineáris er®modell esetén
2.6.
Er® és elnyelt energia szakaszonként lineáris er®modell esetén
2.7.
Er® és elnyelt energia az er®telít®dési modell esetén
14
. . .
17
. . . . . . . . .
18
. . . .
19
. . . . . . . . . . .
20
. . .
21
. . . . . . . . .
23
2.8.
Er® és elnyelt energia a hatvány modell esetén . . . . . . . . . . . .
24
3.1.
A harmadrend¶
tenzor kiterítettjei . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2.
A szinguláris érték szerinti felbontás szemléltetése . . . . . . . . . .
32
3.3.
HOSVD szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.4.
A fuzzy következtet® rendszer vázlata . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.5.
A TakagiSugeno fuzzy modell vázlata
. . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.1.
A dinamikai modell cellamodell megfelel®je . . . . . . . . . . . . . .
49
4.2.
Az elnyelési függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3.
Az energiaabszorpció egydimenziós cellamodellje . . . . . . . . . . .
53
4.4.
Az egydimenziós cellamodell szemléltetése
. . . . . . . . . . . . . .
54
4.5.
Az energiaabszorpció kétdimenziós cellamodellje . . . . . . . . . . .
55
4.6.
A kétdimenziós cellamodell szemléltetése
. . . . . . . . . . . . . . .
56
5.1.
A mért és a sz¶réssel kapott er®függvény . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.2.
Az er® és a gyorsulás Honda Accord 2004 . . . . . . . . . . . . . .
65
5.3.
A gyorsulásból számított deformáció Honda Accord 2004
. . . . .
66
5.4.
Az er®-deformáció karakterisztika Honda Accord 2004 . . . . . . .
66
A
5
ÁBRÁK JEGYZÉKE
5.5.
A deformáció során elnyelt energia Honda Accord 2004
. . . . . .
67
5.6.
A merevség változása a deformáció során Honda Accord 2004 . . .
67
5.7.
Az illesztéssel kapott er®felület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.8.
Az illesztéssel kapott deformációs felület
. . . . . . . . . . . . . . .
69
5.9.
A merevségre kapott felület
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.10.
2×2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
súlyfüggvény
5.11. A merevségre kapott felület 5.12.
3×3
súlyfüggvény
súlyfüggvény esetén . . . . . . . .
71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.13. A merevségre kapott felület 5.14.
4×4
súlyfüggvény
5×5
súlyfüggvény
72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6×5
súlyfüggvény
4×4
súlyfüggvény esetén . . . . . . . .
73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.17. A merevségre kapott felület 5.18.
3×3
súlyfüggvény esetén . . . . . . . .
5.15. A merevségre kapott felület 5.16.
2×2
5×5
súlyfüggvény esetén . . . . . . . .
74
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.19. A merevségre kapott felület
6×6
súlyfüggvény esetén . . . . . . . .
5.20. Elnyelt energia az id® függvényében különböz® sebességek esetén
75
.
77
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.21. Elnyelt energia a deformáció függvényében különböz® sebességek esetén
5.22. Er® az id® függvényében különböz® sebességek esetén
. . . . . . . .
5.23. Er® a deformáció függvényében különböz® sebességek esetén
79
. . . .
80
5.24. Az egyes paramétertartományok fuzzy partíciója . . . . . . . . . . .
81
5.25. A fuzzy következtetéssel kapott er®felület . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.26. A mért és a fuzzy szabálybázis által közelített er®-deformáció karakterisztikák
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1. Az 5104 számú tesztben használt mátrix felosztás
. . . . . . . . . .
B.2. Az 5139 és 5215 számú tesztekben használt mátrix felosztás
83 89
. . . .
90
. . . . . . .
90
B.4. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében1 (5139).
. . . . . .
91
B.5. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében2 (5139).
. . . . . .
92
B.6. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében3 (5139).
. . . . . .
93
B.7. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében1 (5215).
. . . . . .
94
B.8. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében2 (5215).
. . . . . .
95
B.9. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében3 (5215).
. . . . . .
96
B.3. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében (5104) .
6
Táblázatok jegyzéke
2.1.
A különféle modellek merevségeinek összehasonlítása
. . . . . . . .
5.1.
A különféle modellek LPV-merevségeinek összehasonlítása
5.2.
A járm¶vek adatai
26
. . . . .
60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
7
1. fejezet
Bevezetés
1.1. Általános bevezet® Navigare necesse est, vivere non est necesse. Pompeius szavait kicsit szabadabban értelmezve : közlekedni márpedig muszáj. Sajnos a közúti forgalom nagyságának er®teljes emelkedésével el®térbe került a mondás második fele is : élni nem. Az EU útjain évente hozzávet®legesen 1,3 millió közlekedési baleset történik, ezek több mint 40000 halálos áldozatot és 1,7 millió sérültet követelnek. Akár humanitárius, akár gazdasági szempontok vezérelnek, ezeket az értékeket mindenképpen csökkenteni kell. Az EU által 2001-ben kiadott Fehér Könyv irányelveinek megfelel®en az akkori adatokhoz képest 2010-re 50%-kal kell csökkenteni a közlekedésbaleseti halálesetek számát (hazánkra némileg enyhébb szabályozás vonatkozik, 2010-ig 30%-kal, 2015-ig 50%-kal kell csökkenteni ezen értéket). A növekv® forgalom mellett egyre nagyobb szerep jut az egyre fejl®d® ún. aktív és passzív járm¶biztonsági rendszereknek is. Az aktív biztonság tulajdonképpen a baleset elkerülését jelenti, ide sorolhatóak a járm¶ mozgását, az útviszonyokat és a közlekedés többi résztvev®jének mozgását is elemz® intelligens járm¶irányítási rendszerek, míg passzív biztonságon azt értjük, hogy ha már bekövetkezettt a baleset, akkor azt az érintettek a lehet® legkisebb sérülésekkel vészeljék át. A passzív biztonsági rendszerek legfontosabb elemei a biztonsági öv, a különféle légzsákok, és az ún. energia elnyel® elemek, energia elnyel® vagy más néven gy¶r®dési zónák. Ez utóbbiak az ütközés el®tti mozgási energia elnyelésére szolgálnak, így megóvják az utasteret az ütközés súlyosabb következményeit®l, legalábbis egy bizonyos
8
1. FEJEZET. BEVEZETÉS
sebességhatárig ([48], [24], [39], [60], [69], [70]). További fontos feladat az ütköz® járm¶vek kompatibilitásának vizsgálata ([32], [56], [57]). A felsoroltak mindegyikének fejlesztése rendkívül bonyolult mérnöki feladat, melyek megoldásában felhasználják a tapasztalati adatokat, a vizsgált rendszert legalább közelít®leg leíró matematikai modelleket, és természetesen a szimulációs eljárások eredményeit ([30], [47]). A tapasztalati adatok származhatnak valódi balesetekb®l, ekkor viszont csak kevés paraméter ismert, és ezek értéke is bizonytalan. Ezért megfelel®bb, ha jól megtervezett, ismert paraméterekkel rendelkez®, legalább elvileg megismételhet® törési próbákat hajtanak végre. Ennek során a vizsgált járm¶ és az ütközési folyamat minél több paraméterét regisztrálják, majd az elméleti szimulációs modell viselkedését az itt mért adatokkal hasonlítják össze. Ezek a kísérletek azonban egyrészt rendkívül költségesek, évente csak néhány ezret végeznek el bel®lük, másrészt a rendszer minden egyes paraméterét szinte lehetetlen egyszerre mérni az ütközési folyamat igen rövid id®tartama alatt. Ezért az egyes részfolyamatokra és azok paramétereire vonatkozó modellezési eljárásoknak és becsléseknek kiemelt fontosságuk van. Az ütközési deformációs folyamatok teljeskör¶ modellezésére a mérnöki gyakorlatban általában valamilyen, a gyorsan változó er®hatások és a plasztikus alakváltozás kezelésére alkalmas végeselemes szoftvert használnak. Ezekben a szimulációkban a járm¶test, pl. gépkocsitest végeselem modellje ritkán tartalmaz 500 000-nél kevesebb elemet. A modell id®függ® dinamikai folyamatot ír le, és számos, az ütközési folyamat el®rehaladása során változó érintkezési feltételt kell kezelnie. A maradandó alakváltozások számításakor nemlineáris anyagtörvényeket kell alkalmazni, hiszen az ütközés során az egyes alkatrészek képlékeny alakváltozási állapotba jutnak. Ráadásul a nagy sebességgel lejátszódó folyamat miatt az anyagjellemz®k még az alakváltozás sebességét®l is függenek. A futtatás során hatalmas mennyiség¶ adat keletkezik (pl. minden csomópontban 3 elmozdulás-érték, a feszültségtenzor 9 eleme, stb.), és egy modell sok esetben több 100 000 csomópontból áll. A deformációs energia eloszlását, az egyes szerkezeti részek által disszipált energia mennyiségét a számított er® és elmozdulás értékekre alapozva határozzák meg, természetesen sok más jellemz®vel együtt. A mechanikai jelentés¶ dierenciálegyenlet rendszer numerikus megoldását adó végeselemes módszer általános, szinte minden területen használható eljárást eredményez. Az így felépül®
9
1. FEJEZET. BEVEZETÉS
eljárás rendkívül bonyolult és nagy számításigény¶. Azonban itt is komoly szerepet kap a heurisztika, a m¶szaki gyakorlati feladatok megoldása során összeálló mérnöki tapasztalat, pl. a végeselem háló típusának és nomságának megválasztásában. Ezzel szemben a csak egy jól körül határolt konkrét részproblémát (pl. az energiaeloszlást) kezel® heurisztikus modellek jóval egyszer¶bben kezelhet®k lehetnek, de természetesen nem nyújtanak teljes kör¶ leírást. A balesetelemzés során kiemelt gyelmet kap a járm¶ szerkezeti struktúra energia elnyel® képessége, ezen belül kiemelten a járm¶test plasztikus deformációja által elnyelt kinetikus energia minél pontosabb becslése. Az így meghatározott energia ekvivalens sebességet alkalmazzák a balesetelemzésnél ([39]). A deformációs folyamat során elnyelt energia meghatározására és a deformáció során fellép® er® közelít® leírására több modell is ismeretes, melyek részletesen ismertetésre kerülnek a 2. fejezetben. A modellekben meg gyelhet® az alkalmazott er®lefutási függvény és az ezzel szoros összefüggésben lev® merevségi függvény egyre komplexebb megragadása. Az utóbbi években az irányításelmélet területén, magas szint¶ multilineáris algebrai eszköztárra támaszkodva ([16]) új módszerek születtek a lineáris paraméterfügg® (linear parameter varying, LPV) modellek vizsgálatára ([5],[1], [2], [3], [11], [40], [62]). Ezzel lehet®ség nyílik a nemlineáris rendszerek egy széles osztályának egységes numerikus kezelésére. Jelen dolgozat egyik célja az irányításelmélet területén a közelmúltban már sikerrel alkalmazott módszereknek a baleseti járm¶test deformációs folyamatok modellezésében történ® alkalmazhatóságának vizsgálata.
1.2. Célkit¶zések Az értekezés célja új identi kációs és becslési eljárások kidolgozása a járm¶testek teljes (elasztikus és maradandó) deformációs folyamatainak leírására. A f® célkit¶zés olyan új energiaabszorpciós modellek megalkotása, amelyek gyorsan és hatékonyan adnak elfogadható pontosságú leírást a deformációs folyamat gyakorlati kezeléséhez. Jól ismert, hogy a deformációs folyamat klasszikus leírásához egzakt módon ismernünk kellene a járm¶test minden összetev®jének alapvet® zikai paramétereit, mint például rugalmassági modulus, nyírási modulus, stb. Ezek általában pontosan
10
1. FEJEZET. BEVEZETÉS
nem ismertek, de egzakt paraméterek esetén is igen bonyolult, általában parciális dierenciálegyenlet rendszerek megoldása jelentené a deformációs folyamat egzakt leírását. Ilyen típusú megközelítésen alapulnak a rugalmas/plasztikus deformációs folyamatok modellezésére ma már széleskör¶en alkalmazott végeselem módszerek is. Az utóbbi módszerek általános hátránya, hogy egyrészt a paraméterek részletekbe men® ismeretét tételezik fel, másrészt még ilyen pontos ismeretek esetén is t¶rhetelenül hosszú lehet egy deformációs folyamat számítógéppel történ® teljes rekonstruálása. A deformációs energia változásával kapcsolatos folyamatok meghatározására más eljárásokat is kifejlesztettek, melyek a deformáció során fellép® er®hatások különféle közelítésein alapulnak. Összehasonlítva a végeselem alapú eljárásokkal, ezek kevésbé pontos eredményeket szolgáltatnak, viszont sokkal kedvez®bb számítási kapacitás igényük van és jóval kevesebb ismert paraméterre támaszkodnak. Jelen értekezés célja új eljárások kidolgozása a deformációs energiaváltozási folyamatok heurisztikus modellezésére, valamint a deformációs folyamatokat kísér® nemlineáris er®alakulások modellezési lehet®ségeinek továbbfejlesztésére vonatkozó vizsgálatok kivitelezése. A kutatómunka során az alábbi célokat t¶ztük ki : A deformációs folyamatot kísér® er®változási folyamatok elemzésére alkalmas modellek összehasonlítása és elemzése, különös tekintettel a merevségi függvény alakulására. A deformációs folyamat egyszer¶ heurisztikus modelljének kidolgozásához szükséges alrendszer-jellemz®k (pl. energiaelnyelési képesség) meghatározása. A heurisztikus modell illusztratív bemutatása gépjárm¶vek tipikus baleseti ütközési helyzeteire. A deformáció során fellép® er®folyamatok további m¶szaki jellemz®kt®l való függ®ségi viszonyainak gyelembevételével a deformációs folyamat nemlineáris modellel történ® leírása. A közelít®en lineáris er®-deformáció összefüggés bizonyos általánosításaként értelmezhet® lineáris paraméterfügg® (linear parameter varying, LPV) er®lefutási modell identi kálása.
11
1. FEJEZET. BEVEZETÉS
Az LPV rendszer magasabbrend¶ szingulárisérték szerinti felbontás (higher order singular value decomposition, HOSVD) alapú redukciójának vizsgálata. Az LPV/HOSVD alapú identi kációs eljárás valós adatokon történ® bemutatása. A disszertáció szerkezeti felépítése a következ® : A Bevezetést követ® 2. fejezet áttekintést ad a járm¶deformációs folyamatok terén használatos er®modellekr®l, valamint a merevség jellemzésére alkalmas fogalmakról. A 3. fejezet az értekezésben használt matematikai módszereket és azok hátterét ismerteti. A 4. fejezet a szerkezeti struktúra deformációs folyamatát kísér® energiaváltozási folyamatok heurisztikus modelljét mutatja be. Az 5. fejezet a gépjárm¶járm¶szerkezet baleseti ütközéskor kialakuló deformációs folyamatának lineáris paraméterfügg® (LPV) er®modelljét ismerteti, melyet valós ütközési tesztekb®l származó adatsorokon muitatok be. A 6. fejezet az értekezés téziseit foglalja össze, valamint az alkalmazási lehet®ségeket mutatja be.
12
2. fejezet
Er®modellek
A járm¶vek ütközési energia elnyel® zónáinak ötlete
Barényi
Béla nevéhez és
az ® 1951-es szabadalmához köthet®, elképzelését gyakorlatban el®ször az 1953-as Mercedes180 típusban alkalmazták. Attól kezdve egyre lényegesebbé vált a közúti járm¶vek ütközésbiztonságának kérdése, a gépjárm¶gyártó cégek pedig igen nagy hangsúlyt fektetnek a biztonságra, töréstesztek sorozatait végzik el, hogy vizsgálják és igazolják a termékük biztonságosságát. Az ütközéskor elszenvedett deformáció mértéke szoros összefüggésben van a deformáció során felemésztett energiával, amely sok esetben közelít®leg megegyezik a járm¶ ütközés el®tti mozgási energiájával. Az energia elnyel® zónák feladata tulajdonképpen a járm¶ kinetikus energiájának deformációs energiává alakítása, természetesen az utasbiztonság céljainak megfelel®en. A deformáció nagyságának ütközési sebesség (energia) függését persze rengeteg tényez® befolyásolhatja (pl. az ütközés típusa, a vázszerkezet felépítése, a motor elhelyezkedése stb.), de a folyamat során elnyelt energia minden esetben lényeges információt hordoz. Fontos feladat tehát a deformációs folyamat során elnyelt energia eloszlásának, mennyiségének vizsgálata, erre irányuló modellek identi kálása, ezek paraméter függéseinek értelmezése. A deformáció során elnyelt energia meghatározására irányuló módszereket alapvet®en két csoportra oszthatjuk. A visszafelé történ® számításnál a járm¶ ütközés során kialakult helyzete, valamint a deformált járm¶test alapján határozzák meg a baleset paramétereit, például a járm¶ sebességét az ütközés pillanatában. Mint oly sok területen, itt is egyre inkább el®térbe kerülnek az úgynevezett lágy számítás-
13
2. FEJEZET. ERMODELLEK
2.1. ábra. Barényi Béla vázlata a mells® és hátsó ütközési zónákkal ellátott cellaautóról.
tudományi technikákon alapuló módszerek, melyekkel a tapasztalt humán szakért® tudása és a matematikai precizitás sikeresen ötvözhet® ([50], [67], [68], [49], [66]). Az el®re történ® számítás során az ütközés el®tti állapot paramétereit használják egy mérési adatokon és elméleti megfontolásokon alapuló matematikai modell bemeneteként. Mivel a gépjárm¶ önmagában is egy rendkívül komplex rendszer, ezért ezek a modellek szükségképpen er®sen leegyszer¶sítik a valós folyamatot, ennek ellenére értékes eredményeket szolgáltatnak. Az alábbiakban a második csoportba tartozó fontosabb modelleket ismertetjük. Ezek mindegyike az ütközési folyamat során fellép® er®t adja meg a deformáció függvényében, melyb®l az elnyelt energia már meghatározható. Statisztikai adatok alapján egyértelm¶, hogy a baleseti ütközések jelent®s része frontális jelleg¶, másrészt a töréstesztek dönt® többsége is a frontális ütközést vizsgálja, ezért a továbbiakban csak erre az esetre fókuszálunk.
2.1. Energia mérleg Általános esetben, két test ütközésekor az energia mérleg : 0
0
0
0
ET1 + ER1 + ET2 + ER2 = ET1 + ER1 + ET2 + ER2 + ED1 + ED2 + ES , ahol az
i-edik
test
14
(2.1)
2. FEJEZET. ERMODELLEK
mozgási (transzlációs) energiája :
1 ETi = mi vi2 2
1 ETi = mi vi2 2
forgási (rotációs) energiája :
1 ERi = Θi ωi2 2 deformációs energiája :
Az
ES
1 EDi = mi (EESi )2 . 2
egyéb energiát jelöl (hang, fény, h®, stb.), mely a többihez képest általában
elhanyagolható mérték¶, így a további vizsgálatok során gyelmen kívül hagyjuk. Ha a folyamat számottev® forgás nélkül zajlik le, akkor az egyenletünk eképpen egyszer¶södik :
1 1 1 1 m1 v12 + m2 v22 = m1 u1 2 + m2 u2 2 + ED1 + ED2 . 2 2 2 2
(2.2)
Ebb®l pedig a teljes defomáció által felemésztett energia :
1 1 1 1 ED1 + ED2 = m1 v12 + m2 v22 − m1 u1 2 − m2 u2 2 . 2 2 2 2
(2.3)
Összevonás után kapjuk :
ED1 + ED2 =
1 m1 m2 (v1 + v2 )2 − (u1 + u2 )2 . 2 m1 + m2
(2.4)
A töréstesztek során általában ez utóbbi formula érvényes, a forgási és egyéb energia fajták elhanyagolhatóak. Merev (deformálhatatlan és mozdíthatatlan) akadálynak történ® ütközéskor az akadály elmozdulása, deformációja gyakorlatilag elhanyagolható, a járm¶ egy nagyon rövid visszalök®dési fázis után megáll, tehát a teljes mozgási energiáját a fellép® deformációnak kell elnyelnie. Azaz
v1 = u1 = 0, u2 ≈ 0
esetén :
1 ED2 = m2 v22 . 2
m1 → ∞, (2.5)
Az utasbiztonság szempontjából kulcsfontosságú kérdés, hogy ez a járm¶ milyen mérték¶ deformációjával jár, hiszen a nagyon rövid deformációs úthossz túlságosan nagy gyorsulást (lassulást) eredményezne, viszont az utascella sértetlenségét is lehet®leg biztosítani kell. Élettani kutatások szerint az ütközéses balesetek esetén
15
2. FEJEZET. ERMODELLEK
az emberi szervezetre megállapítható túlélési lassulási határérték lezzük, hogy az utas a járm¶vel azonos módon lassul, akkor a lassulásból és
60 g .
60 g
Ha feltéte-
állandó érték¶
50 km/h ütközési sebességb®l kb. 16 cm-es lassulási úthossz követke-
zik, ami már egy igen rövid járm¶nél is megvalósíthatónak t¶nik. Ez természtesen csak egy becsült elméleti érték, a gyakorlatban ennél nagyobb lassulási úthosszal számolhatunk. A járm¶test által elnyelt energia a fellép® er® függvénye, mely függ a járm¶ egyes részeinek zikai paramétereit®l, tehát nem feltétlenül egyenletesen oszlik el a járm¶test szélességében és magasságában, másrészt függ a deformáció mélységét®l is, azaz
Zx0 Zy0 Zw0 f (x, y, w) dw dy dx.
ED = 0
0
(2.6)
0
A következ® pontban bemutatásra kerül® ismertebb er®modellek a járm¶test felülnézeti képét osztják fel a járm¶test szélességében és így vizsgálják a deformáció mélységét, a magassággal változó paraméterekkel általában nem foglalkoznak. A szélességi felosztásnak megfelel® zónákban végig ugyanolyan, a deformáció mélységét®l függ® er®modellt alkalmaznak, ezek összegeként áll el® a teljes deformációs folyamat során fellép® er®. Mivel a teljes átfedés¶ frontális ütközések esetén a deformáció mértéke a járm¶test teljes szélsességében és magasságában nagyjából azonosnak tekinthet®, ezért az alábbiakban a szélesség szerinti felosztást már nem hangsúlyozzuk, az adott modell értelemszer¶en átvihet® a teljes járm¶ helyett annak szélesség szerinti zónáira is.
2.2. Gyakoribb er®modellek A frontális ütközésekben a járm¶ legfontosabb paraméterei a tömege, a sebessége és a merevsége, mely utóbbi magában foglalja a járm¶test geometriai felépítését is. Míg itt az els® két adat egyértelm¶en meghatározott, addig az utóbbi jóval nehezebben vizsgálhat® s®t, több különböz® értelmezése is lehetséges. A deformációs modellekben általában a merevségnek a
Hooke-törvényb®l
ismert, rugóállandó-
szer¶ fogalmát alkalmazzák. Az alábbiakban a járm¶test deformációs folyamatok elemzése során gyakrabban alkalmazott er®modelleket ismertetem röviden. A deformáció során fellép® er®t, és
16
2. FEJEZET. ERMODELLEK
így a deformáció folytán elnyelt energiát is, a modellek mindegyike a járm¶test merevségi paraméterét®l teszi függ®vé. A modellek közötti alapvet® különbséget tulajdonképpen a paraméter kvalitatív megválasztása jelenti. Az így kapott deformációs er®modellek min®sége és komplexitása szoros összefüggésben van a merevségi paraméter összetettségével.
4
x 10 6
erõ (N)
5 4 3 2 1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.1
0.11 0.12 0.13 0.14 0.15
0.1
0.11 0.12 0.13 0.14 0.15
idõ (s) 0.8
deformáció (m)
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
idõ (s) 2.2. ábra. Az ütközéskor fellép® er® és a deformáció az id® függvényében, egy valós esetben (az adatok forrása : NHTSA adatbázis).
2.2.1. Lineáris modell Ez a legelterjedtebb és egyben legrégibb modell, alapját adja több szimulációs programnak is (pl. CRASH, SMAC) ([36], [37], [38]). A lineáris modell megalkotása
Campbell
nevéhez f¶z®dik, aki
Emori
kutatásai nyomán ( [20], [21], [22]) jó
közelítéssel lineáris összefüggést talált a frontális ütközés sebessége és a maradandó deformáció nagysága között. Habár a Campbell-féle modell nem közvetlenül a deformáció során fellép® er® linearitásának feltételezésén, hanem nagy számú törésteszt kiértékelésén alapul,
17
2. FEJEZET. ERMODELLEK
mégis néhány, viszonlyag egyszer¶ feltevésb®l levezethet® ([8], [9]).
4
x 10 6
5
erõ (N)
4
3
2
1
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
deformáció (m) 2.3. ábra. A 2.2 ábra függvényeib®l meghatározott er®deformáció görbe. Látható, hogy a gra kon kezdeti szakasza közel lineáris, majd utána er®s nemlineáris jelleg mutatkozik.
A feltevés szerint az összenyomódási fázisban a fellép® er® arányos az deformáció mértékével, azaz a jól ismert lineáris er®törvénnyel leírható :
F = kx, ahol
k
(2.7)
a merevségi együttható,x pedig a deformáció pillanatnyi nagysága. Mivel
az el®z® rész feltevései szerint a deformációnak a járm¶ teljes mozgási energiáját fel kell emésztenie, ezért
1 1 mv 2 = kx2m . 2 2
(2.8)
A kompressziós fázis után, a deformációs folyamat második részeként, rövid visszalök®dés következik be, amely nyomán kialakul a járm¶test maradandó deformációja. Egy további feltevés, hogy a maximális deformáció (xm ) felbontható a maradandó (xr ) és a visszaalakuló (x0 ) deformáció összegére :
xm = x0 + xr , és ez az
x0
(2.9)
független a deformáció nagyságától, vagyis a visszanyert rugalmas ener-
gia nagysága is állandó, továbbá meghatározható a maradandó deformációval nem
18
2. FEJEZET. ERMODELLEK
60
mért adatok (NHTSA) illesztett egyenes: v=0,0647x + 6,9407
ütközési sebesség (km/h)
50
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
maradandó deformáció (mm) 2.4. ábra. Az ütközési sebesség a maradandó deformáció függvényében. Meg gyelhet®, hogy a járm¶ egy bizonyos sebességhatárig nem szenved maradandó deformációt.
járó ütközés határsebessége is. Megjegyzend®, hogy a terhelési és a visszalök®dési fázis ugyanolyan merevségi paraméterrel történik, de léteznek olyan modellek is, ahol ez nem teljesül (McHenry).
1 1 E0 = mv02 = kx20 ⇒ v0 = 2 2
r
k x0 . m
(2.10)
Az eredeti, kísérleti eredmények alapján meghatározott Campbell-féle összefüggéshez (v
= b0 + b1 xr )az
el®z®ek összevetéséb®l juthatunk :
1 2 1 mv = k(x0 + xr )2 ⇒ v = 2 2
r
k (x0 + xr ), m
(2.11)
vagyis az ütközési sebesség a maradandó deformáció lineáris függvényeként áll el®. A modell együtthatói ez alapján :
k = mb21
x0 =
b0 . b1
(2.12)
További átalakítások után az er® és a maradndó deformáció közötti összefüggés :
F = k(x0 + xr ) = m(b0 b1 + b21 xr ),
19
(2.13)
2. FEJEZET. ERMODELLEK
5
x 10 3
k=500 kN/m k=400 kN/m k=450 kN/m
Erõ (N)
2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.4
0.5
0.6
deformáció (m) 4
x 10 9
k=500 kN/m k=400 kN/m k=450 kN/m
Energia (J)
8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
0.1
0.2
0.3
deformáció (m) 2.5. ábra. A deformáció során fellép® er® és az elnyelt energia a deformáció mélységének függvényében lineáris er®modell esetén
vagy a szakirodalomban elterjedtebb jelölésekkel :
B = mb21
A = mb0 b1
x0 =
A b0 = . b1 B
(2.14)
A maximális elnyelt energia :
1 1 F xm = (A + Bxr )(x0 + xr ) = 2 2 A2 Bx2r (A + Bxr )2 + Axr + = , = 2B 2 2B
Em =
vagyis
Em
(2.15)
meghatározható, ha ismerjük a maradandó deformáció nagyságát, az
ütközési sebesség pedig :
r v=
2Em = m
r
(A + Bxr )2 . Bm
(2.16)
2.2.2. Szakaszonként lineáris modell Számos törésteszt igazolja, hogy a deformáció során fellép® er® meredeksége a deformáció el®rehaladtával csökken, vagyis a járm¶testhez rendelt merevség nem
20
2. FEJEZET. ERMODELLEK
5
x 10 3
Erõ (N)
2.5 2 1.5
k1=800 kN/m, k2=100 kN/m k =2000 kN/m, k =50 kN/m 1 2 k1=400 kN/m, k2=150 kN/m
1 0.5 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.4
0.5
0.6
deformáció (m) 4
14
x 10
k1=800 kN/m, k2=100 kN/m k1=2000 kN/m, k2=50 kN/m k1=400 kN/m, k2=150 kN/m
Energia (J)
12 10 8 6 4 2 0
0
0.1
0.2
0.3
deformáció (m) 2.6. ábra. A deformáció során fellép® er® és az elnyelt energia a deformáció mélységének függvényében szakaszonként lineáris er®modell esetén.
lehet egyetlen paraméter. A szakaszonként lineáris modell (a szakirodalomban sok helyütt a bilineáris modell elnevezést használatos) ennek a jelenségnek egy igen egyszer¶ modellje. Két konstans merevség¶ részb®l áll össze : a kisebb deformációkra, vagyis az alacsonyabb sebesség¶ ütközésekre, egy dell érvényes, egészen egy bizonyos forma érvényes egy kisebb
k2
xbl
k1
merevség¶ lineáris mo-
maradandó deformációig, ezután a bilineáris
értékkel ([41], [55], [65]).
A deformációs folyamat során fellép® er® általánosan :
F (x) =
0
ha
k1 x k x + k (x − x ) 1 bl 2 bl
A maximális elnyelt energia energia lineáris modellb®l kapott értékkel,
ha
xm ≤ xbl
xm > xbl
x<0
0 ≥ x ≤ xbl
ha
x > xbl
esetén természetesen azonos a
esetén pedig
1 k1 − k2 Em = k1 x2m − (xm − xbl )2 , 2 2 21
(2.17)
(2.18)
2. FEJEZET. ERMODELLEK
melyb®l az
xm = x0 + xr
összefüggést felhasználva a maradandó deformáció isme-
retében az ütközési sebesség is meghatározható :
r v=
2Em = m
r
1 (k1 (x0 + xr )2 − (k1 − k2 )(x0 + xr − xbl )2 ). m
(2.19)
2.2.3. Er®telít®dési modell Ez tulajdonképpen a szakaszonként lineáris modell speciális esetének tekinthet®, amikor egy bizonyos mérték¶ maradandó deformáció elérése után a fellép® er® nem növekszik tovább, hanem állandó marad, tehát a második szakaszon
k2 = 0
teljesül. Sikerrel alkalmazták ezt a modellt frontális, oldalirányú és hátsó ütközések vizsgálatánál ([53], [54], [55], [64], [71]).
F (x) =
A maximális elnyelt energia ha pedig
xm > xs ,
0
ha
kx kx s
xm ≤ xs
ha
x<0
0 ≥ x ≤ xs
ha
(2.20)
x > xs
esetén itt is a lineáris modellnek felel meg,
akkor
1 1 1 Em = kx2m − k(xm − xs )2 = kxs (x0 + xr − xs ). 2 2 2
(2.21)
Ebb®l az ütközés el®tti sebesség pedig :
r v=
2Em = m
r
2k xs (x0 + xr − 0,5xs ). m
(2.22)
2.2.4. Hatvány modell Az el®z® két modell megfelel ugyan annak a meg gyelésnek, hogy a deformáció mélységével a járm¶test merevsége csökken, viszont ez az átmenet túlságosan drasztikusan jelenik meg, a durva töréspont zikailag nehezen indokolható. A hatvány modell ezzel szemben sima átmenetet biztosít a lineáris jelleg¶ és a telít®dést mutató tartományok között, miközben a mért (és símított) er®-deformáció karakterisztikát is jobban közelíti az el®bbieknél, ezenkívül a deriváltjai is folytonosak, ami megkönnyíti a további vizsgálatokat ([12], [73]).
22
2. FEJEZET. ERMODELLEK
5
x 10 3
k=2000 kN/m k=1250 kN/m k=400 kN/m
Erõ (N)
2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.4
0.5
0.6
deformáció (m) 4
14
x 10
k=2000 kN/m k=1250 kN/m k=400 kN/m
Energia (J)
12 10 8 6 4 2 0
0
0.1
0.2
0.3
deformáció (m) 2.7. ábra. A deformáció során fellép® er® és az elnyelt energia a deformáció mélységének függvényében az er®telít®dési modell esetén.
A fellép® er®
x≤0
esetén
F (x) = k0 xN ahol
k0
a referencia-merevség,
tapasztalat szerint az
n ≈
xN
x xN
n
= k0 xN
xr + x0 xN
n ,
(2.23)
pedig normálási tényez®, a kitev®
0 ≤ n ≤ 1.
A
2 eset elég jól illeszkedik a mérési adatokra. Vegyük 3
észre, hogy a hatvány modell
n=1
esetén a lineáris,
n=0
zatlan er®nek megfelel® modellt szolgáltatja. Ez alapján az
esetén pedig a válto-
n=0
esethez tartozó
er®t referencia er®nek (f0 ) tekintve :
F (x) = k0 xN
x xN
n
= k0n f01−n xn .
(2.24)
A maximális elnyelt energia :
k0 x2N Em = n+1
x xN
n+1
23
= k0n f01−n
xn+1 . n+1
(2.25)
2. FEJEZET. ERMODELLEK
5
x 10 3
k=150 kN/m, n=0,25 k=150 kN/m, n=0,5 k=150 kN/m, n=0,75 k=150 kN/m, n=1
Erõ (N)
2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.4
0.5
0.6
deformáció (m) 4
x 10 9
k=150 kN/m, n=0,25 k=150 kN/m, n=0,5 k=150 kN/m, n=0,75 k=150 kN/m, n=1
Energia (J)
8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
0.1
0.2
0.3
deformáció (m) 2.8. ábra. A deformáció során fellép® er® és az elnyelt energia a deformáció mélységének függvényében hatvány modell esetén.
Az elnyelt energiából számított sebesség :
r v=
2Em = m
s
2k0 x2N (xr + x0 )n . (n + 1)mxnN
24
(2.26)
2. FEJEZET. ERMODELLEK
2.3. A merevség fogalmának különféle megközelítései A járm¶test merevsége széles körben használt heurisztikus fogalom a balesetelemzés és a járm¶biztonság területén ([29], [42], [44], [74]). A merevség, mint egyetlen számérték, egyértelm¶en meghatározott a lineáris modell esetében, viszont a járm¶test deformációs folyamatok általában nem írhatóak le kielégít®en lineáris modellel, s®t a merevség pontos fogalmának interpretálására is többféle lehet®ség kínálkozik ([43], [45], [46]). Az alábbi megközelítések tulajdonképpen a lineáris modellnél használt merevség fogalom bizonyos általánosításainak tekinthet®k, általános esetben a deformáció mélységével változó merevséget eredményeznek. Az er®modellek alapján de niálhatjuk a lokális merevség fogalmát, mely az er®karakterisztika érint®jének meredeksége az adott pontban, azaz :
klok =
dF . dx
(2.27)
Energia ekvivalens vagy globális merevségen azt értjük, hogy az elnyelt energia (E ) és a fellép® deformáció (x) milyen lineáris modellnek felelne meg, vagyis ezen elvi lineáris modell együtthatója :
kgl =
2E . x2
(2.28)
A lineáris modell lokális és globális merevsége is állandó, a bilineáris és az er®telít®dési modell globális merevsége monoton csökken® folytonos függvény, míg lokális merevségük mind a lineáris, mind a bilineáris vagy telít®dési tartományon belül egy-egy konstans érték. A hatvány modell globális és lokális merevsége is folytonos, monoton csökken® függvény. Látható, hogy a modellek bonyolultsága és pontossága szoros összefüggésben van a merevségi értékek (függvények) összetettségével. Ezek a megközelítések feltételezik az er®karakterisztika és deformációs folyamat során elnyelt energia pontos ismeretét, ami a gyakorlatban csak közelít®leg valósulhat meg (elég arra gondolni, hogy az er®deformáció függvény pontos ismeretéhez szükségünk lenne az esetleges anyaghibák egzakt paramétereire is). A töréstesztek eredményeképpen kapott er®deformáció görbe is diszkrét, sz¶rt mérési pontokból
25
2. FEJEZET. ERMODELLEK
2.1. táblázat. A különféle modellek merevségeinek összehasonlítása
lokális merevség
globális merevség
k
k
Lineáris modell Bilineáris modell
Er®telít®dési modell
Hatvány modell
k1
ha
x ≤ xbl
k2
ha
x > xbl
k
ha
x ≤ xs
0
ha
k0 n
k1 k1 − (k1 − k2 ) 1 − k k−k 1−
x > xs n−1
xs 2
2k0 n+1
x xN
x
x xN
xbl 2 x
ha
x ≤ xbl
ha
x > xbl
ha
x ≤ xs
ha
x > xs
n−1
áll, így például a lokális merevség de níció szerinti meghatározására nincs is lehet®ségünk. Az említett korlátok miatt egyszer¶bb, mérési adatokon alapuló merevségi jellemz®ket is de niálhatunk, melyek tekinthet®ek az el®z® két modell durvított, diszkretizált változatainak is. Az er®deformáció karakterisztika bizonyos szakaszára illesztett egyenes meredekségét tekinthetjük közelít® merevségi értéknek. Nyilván az így kapott érték függeni fog a szakasz megválasztásától. Egy bizonyos szakaszon tekinthetjük az átlagos deformációs er®t és ebb®l, a lineáris er®törvényb®l származó energia kifejezéssel származtatjuk a merevséget, azaz
1 2 2F kd = F · d ⇒ k = , 2 d ahol
d
(2.29)
az említett szakasz hossza. Természetesen a kapott érték itt is függ a
tartomány megválasztásától. Vizsgálhatjuk úgy a deformációt, mintha a járm¶ teljes mozgási energiája a lineáris modellnek megfelel®en nyel®dött volna el, azaz
1 2 1 mv 2 kxmax = mv 2 ⇒ k = 2 , 2 2 xmax ahol
xmax
(2.30)
a maximális deformáció nagysága.
Végezetül megemlítem, bár dimenzióban nem egyeznek az eddigiekkel, de a mért er®deformáció karakterisztikában megjelen® lokális maximumok, csúcsok (peaks) szintén alkalmasak a járm¶test merevségének jellemzésére.
26
2. FEJEZET. ERMODELLEK
2.4. A bemutatott modellek kritikai elemzése A lineáris modell kielégít® eredményeket ad a deformációs folyamat kezdeti szakaszában, viszont nem kezeli azt a jelenséget, hogy nagyobb deformációknál a merevségi paraméter értéke csökken. Ennek megfelel®en nagyobb mérték¶ deformációk esetében túlbecsüli az elnyelt energiát és így a járm¶ ütközési sebeségét is. A szakaszonként lineáris és az er®telít®dési modell jó közelítést ad mind a deformáció kezdeti (lineáris) szakaszában, mind pedig a lineáris tartományon kívül. A függvényekben megjelen® töréspontot a motor helyével szokás kapcsolatba hozni, ezzel együtt a hirtelen letörés nehezen magyarázható. A hatvány modell speciális esetként visszaadja a lineáris modellt, a bilineáris és az er®telít®dési modellt pedig folytonosan dierenciálható függvényként közelíti, sima átmenetet biztosítva az állandó merevség és az állandó er® modellje között, az el®z®eknél reálisabb er®-deformáció karakterisztikát ad. A bemutatott modellek mindegyike adós marad a töréstesztek során mért (LCB - load cell barrier test ), sokszor csúcsszer¶en megjelen® (peak force ), majd lecsökken® er® modellezésével. A visszalök®dési fázist a fenti er®modellek nem tartalmazzák, az ott keletkezett struktúrális visszaalakulást és a maximális deformáció során megjelen® deformációs energia egy részének visszaalakulását a maradandó deformáció ismeretében (mint pl. a lineáris modellnél) határozzák meg.
27
3. fejezet
A felhasznált matematikai megközelítések és modellek
3.1. Alapfogalmak Ebben a részben a többdimenziós tömbökkel (magasabb rend¶ tenzorokkal) kapcsolatos azon fogalmakat és tulajdonságokat ismertetem, amelyek feltétlenül szükségesek a lineáris algebrából ismert szinguláris érték szerinti felbontás magasabb rend¶ tenzorokra történ® általánosításának megalapozásához. A tárgyalás során
Lathauwer
[16] m¶vét vettem alapul. Fontos megjegyezni, hogy (az alapul vett
külföldi szakrodalomnak megfelel®en) tenzor alatt most egy többdimenziós tömböt (többdimenziós mátrixot) értünk. Hasonlóan a kés®bbiekben el®kerül® súlyfügg-
vény alatt nem az egységimpulzusra adott választ, hanem az egyes részrendszerek fontosságát jellemz® függvényt értjük. A klasszikus lineáris algebrában szokásos fogalmak némelyike szinte triviálisan kiterjeszthet® többdimenziós tenzorokra, de bizonyos esetekben (például a rang értelmezésénél) a megszokott tulajdonságok már nem, vagy nem a szokásos módon teljesülnek. Els®ként ismertetem egy
N -ed
rend¶ tenzor mátrix reprezentációját,
amely szemléletesen a tenzor kiterítését jelenti valamelyik dimenziója szerint.
3.1. Definíció. Legyen A egy N -ed rend¶ tenzor, azaz A ∈ RI1 ×I2 ×...×IN . Ekkor az A tenzor nedik dimenzió szerinti kiterítettjén az A tenzor n-edik dimenziójának ar ∈ RIn oszlopvektoraiból álló A(n) ∈ RIn ×In+1 In+2 ...IN I1 I2 ...In−1 mátrixot értjük.
28
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
A rang fogalma nem általánosítható egyértelm¶en, míg mátrixok esetében a sorés az oszloprang, valamint a mátrixot lineáris kombinációként el®állító egy rangú márixok száma megegyezik, addig ez a magasabb rend¶ tenzorok esetében már nem teljesül ([17]). A többféle rang-koncepció közül most csak az egyik lehetséges, a továbbiakban fontos szerepet játszó általánosítást mutatom be.
3.2. Definíció. Az A tenzor n-edik dimenzió szerinti rangja (Rn ) az n-edik dimenzió szerinti kiterítettjének rangja, azaz Rn = rangn (A) = rang(A(n) ). A skaláris szorzat, az ortogonalitás, és a Frobenius-norma fogalma triviálisan általánosítható tenzorokra.
3.3. Definíció. Az A, B ∈ RI1 ×I2 ×...×IN tenzorok skaláris szorzata
hA, Bi =
XX i1
...
X
i2
ai1 i2 ...iN bi1 i2 ...iN .
iN
3.4. Definíció. Az A és B tenzorok ortogonálisak, ha skaláris szorzatuk 0.
3.5. Definíció. Az A tenzor Frobenius normája : kAk =
p hA, Ai.
Egy mátrix és egy tenzor valamely dimenzió szerinti szorzatát a mátrix-mátrix szorzáshoz hasonlóan de niálhatjuk, így ez a m¶velet értelmezhet® úgy is, mint a tenzor megfelel® dimenzió szerinti kiterítettjének és a mátrixnak a szorzata.
3.6. Definíció. Az A ∈ RI1 ×I2 ×...×IN tenzor és az U ∈ RJn ×In mátrix n-edik dimenzió szerinti szorzata (A × n U)egy I1 × I2 × . . . × In−1 × Jn × In+1 × . . . × IN méret¶ tenzor, melynek elemei
(A × n U)i1 i2 ...in−1 jn in+1 ...iN =
X
ai1 i2 ...in−1 in in+1 ...iN ujn in .
in
Több tényez®s szorzat esetén a jelölés: N
A × 1 U1 × 2 U2 × 3 . . . × N UN = A ⊗ Un . n=1
29
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
3.1. ábra. A harmadrend¶
A
tenzor kiterítettjei.
3.7. Következmény. Ha
A = B × n U,
akkor
A(n) = UB(n) .
3.8. Következmény. Ha
A ∈ RI1 ×I2 ×...×IN ,
és
F ∈ RJn ×In , G ∈ RJm ×Im , n 6= m,
akkor
(A × n F) × m G = (A × m G) × n F = A × n F × m G.
3.9. Következmény. Ha
A ∈ RI1 ×I2 ×...×IN , F ∈ RJn ×In
és
G ∈ RKn ×Jn ,
akkor
(A × n F) × n G = A × n (G · F) .
30
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
3.2. Magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontás A magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontás ismertetéséhez el®ször tekintsük át valamely mátrix szinguláris érték szerinti dekompozícióját, mely az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik :
3.10. Tétel. (SVD) Minden
A ∈ RI1 ×I2
mátrix felírható az alábbi szorzat alakban :
2
A = U1 · S · UT2 = S × 1 U1 × 2 U2 = S ⊗ Un ,
(3.1)
n=1
amelyben
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
1.
U1 = (u1 , u2 , . . . , uI1 ) I1 × I1
2.
U2 = (u1 , u2 , . . . , uI2 ) I2 × I2
3.
S ∈ RI1 ×I2 ,
méret¶ unitér mátrix ; méret¶ unitér mátrix ;
amely
a) pszeudodiagonális :
S = diag(σ1 , σ2 , . . . , σmin(I1 ,I2 ) ), b) a f®átló elemei monoton csökken® sorrendben rendezettek :
σ1 ≥ σ2 ≥ . . . σmin(I1 ,I2 ) ≥ 0. A
(1)
σi -k az A mátrix szinguláris értékei, az ui
és
(2)
ui
vektorok pedig az i-edik
bal-,illetve jobboldali szinguláris vektorok.
Megjegyzések: 1. Az
A
mátrix rangja megegyezik a nemnulla szinguláris értékek számával.
2. Ha vannak megegyez® szinguláris értékek is, akkor a felbontás csak egy
(−1)-
es szorzó erejéig egyértelm¶.
A fenti dekompozíció általánosításához nem az és
U2
S
diagonális voltát, hanem
szerepét kell szem el®tt tartanunk. Vegyük észre, hogy
31
U1
és
S,
illetve
U1 U2
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
3.2. ábra. A szinguláris érték szerinti felbontás szemléltetése
és
S
között a kapcsolat nagyon hasonló : ahogyan
binációját képzi, úgy
S
U2
oszlopai szorzódnak
latban állnak
U2
U1
az
S
az
S
sorainak lineáris kom-
oszlopainak lineáris kombinációját képzi. Ahogyan
U1 -gyel,
oszlopai az
U1
A
úgy szorzódnak a sorai
U2 -vel,
amilyen kapcso-
mátrix oszlopterével, olyan kapcsolatban állnak
oszlopai a sorterével. A felbontás során keletkez® tényez®k ezen szimmetri-
kus, dimenziónként teljesen egyenrangú szerepe jól szemléltethet® a mátrix-tenzor szorzatnál bevezetett felbontása :
×n
m¶velettel. Ezzel az
A = S × 1 U1 × 2 U2 .
A
mátrix szinguláris érték szerinti
Ilyen megközelítésben a mátrixoknál megismert
dekompozíció magasabb rend¶ tenzorokra is kiterjeszthet® az alábbi módon :
3.12. Tétel. (HOSVD) Minden
A ∈ RI1 ×I2 ×...×IN
tenzor felírható az alábbi szorzat alakban :
N
A = S × 1 U1 × 2 U2 × 3 . . . × N UN = S ⊗ Un ,
(3.2)
n=1
amelyben
(n)
(n)
(n)
1.
Un = (u1 , u2 , . . . , uIn ), n = 1, . . . , N In × In
2.
S ∈ RI1 ×I2 ×...×IN ,
amelyben az
n-edik
méret¶ unitér mátrix ;
index rögzítésével keletkezett
Sin =α
altenzorok a következ® tulajdonságokkal rendelkeznek :
a) ortogonalitás : két altenzor ortogonális
n, α
és
β (α 6= β )
séges értékére, azaz
hSin =α , Sin =β i = 0
(α 6= β),
b) rendezettség :
kSin =1 k ≥ kSin =2 k ≥ . . . ≥ kSin =In k ≥ 0 32
minden lehet-
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
minden lehetséges Az
n-re.
kSin =i k Frobenius norma az A tenzor n-edik dimenzió szerinti szinguláris
értéke, az
(n)
ui
vektor pedig az
i-edik, n-edik
dimenzió szerinti szinguláris
vektor. Természetes módon a mátrixok és a tenzorok szinguláris érték szerinti felbontása számos analógiát tartalmaz. A bal és jobb oldali szinguláris vektoroknak magasabb dimenzióban az
n-edik
dimenzió szerinti szinguláris vektorok felelnek meg, a szin-
guláris értékek szerepét az
N -ed
N − 1-ed
rend¶ altenzorok Frobenius-normája játssza.
rend¶ tenzorok esetében minden
1≤n≤N
esetén léteznek az
n-edik
di-
menzió szerinti szinguláris értékek (ezek nem feltétlenül ugyanazok), ezzel szoros összefüggésben van az a tény, hogy egy
N -ed rend¶ tenzornak többféle rangja lehet
a kiterítés dimenziója szerint. Lényeges különbség, hogy míg az nális és elemei nem negatívak, addig az
S
S
pszeudodiago-
magtenzor korántsem ritka (azaz nem
mindig van nagyon sok nulla eleme). Vagyis itt a karakterisztikus tulajdonság nem a diagonalitásban, hanem az ortogonalitásban jelenik meg, amely az
S
mátrix di-
agonális volta miatt ott is teljesül : két különböz® sor vagy oszlop skaláris szorzata nulla.
Megjegyzések: 1. A magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontás mindig egyértelem¶en meghatározza az
S
magtenzort, de ha legalább egy dimenzióban vannak meg-
egyez® szinguláris értékek is, akkor az
Un
mátrixok már nem egyértelm¶en
meghatározottak. 2. Egy
N -ed
rend¶ tenzor magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontása
(HOSVD) az összes dimenzió szerinti kiterítettjeinek (N ) szinguláris érték szerinti felbontását (SVD) jelenti. 3. Az
S
magtenzor meghatározható az alábbi módon :
N
S = A × 1 UT1 × 2 UT2 × 3 . . . × N UTN = A ⊗ UTn . n=1
A mátrixok szinguláris értékek szerinti felbontása lehet®séget ad arra, hogy a nulla szinguláris értékeket és a nekik megfelel® szinguláris vektorokat elhagyva a mátrix egy minimális felbontását állítsuk el®. Hasonló eljárással kaphatjuk meg egy magasabbrend¶ tenzor minimális reprezentációját is.
33
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
3.3. ábra. A magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontás szemléltetése harmadrend¶ tenzor esetén
3.14. Definíció. (CHOSVD) Tegyük fel, hogy elkészítettük az A tenzor magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontását. Legyen az n-edik dimenzió szerinti kiterített rangja rn . Ha minden dimenzióban elhagyjuk a nulla szinguláris értékeket és a nekik megfelel® szinguláris vektorokat, akkor az A tenzor egy minimális felbontását kapjuk (Compact Higher Order Singular Value DecompositionCHOSVD), azaz N
A = D ⊗ Un ,
(3.3)
n=1
amely rendelkezik mindazokkal a tulajdonságokkal, amelyekkel az eredeti felbontás, azzal a különbséggel, hogy Un In × rn -es, D pedig r1 × r2 × . . . × rN -es. Ha nemnulla szinguláris értékeket is elhagyunk, akkor az eredeti
A
tenzor egy
közelítését kapjuk. A közelítés hibájára ad fels® korlátot a következ® tétel.
3.15. Tétel. Legyen az
A
tenzor magasabb rend¶ szinguláris érték szerinti felbontása a követ-
34
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
kez®
N
A = S ⊗ Un ,
(3.4)
n=1
n-edik dimenzió ˆ az a tenzor, bá A az
Rn . Legyen továb(n) (n) (n) tenzor σ 0 , σI 0 +2 , . . . , σRn In +1 n
szerinti kiterítettjének rangja pedig legyen amelyet úgy kapunk, hogy az
S
0
szinguláris értékeinek megfelel® elemeit nullára cseréljük (In
ˆ ≤ kA − Ak
R1 X
(1) σ i1
2
R2 X
+
(2) σ i2
2
+ ... +
RN X
Ekkor
(N )
σ iN
2
.
(3.5)
0 iN =IN +1
0 i2 =I2 +1
0 i1 =I1 +1
< Rn ).
Megjegyzend®, hogy míg mátrixok esetében az így konstruált közelítés legkisebb négyzetes értelemben a legjobb az adott rangúak közül, addig magasabbrend¶ tenzorokra ez már nem mindig teljesül.
3.3. LPV rendszerek HOSVD alapú felbontása Tekintsük az alábbi lineáris paraméterfügg® (LPV) rendszert :
˙ x(t) = A(p(t))x(t) + B(p(t))u(t)
(3.6)
y(t) = C(p(t))x(t) + D(p(t))u(t), melyben tét, (Ω
u(t) ∈ Rk
x(t) ∈ R
m
jelöli a rendszer bemenetét,
y(t) ∈ Rl
p(t) ∈ Ω
pedig az állapotvektort. Az id®függ®
N
= [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × . . . × [aN , bN ] ⊂ R
a rendszer kimene-
) tartalmazhatja az
paramétervektor
x(t)
állapotvektor
elemeit is, vagyis ilyen módon bizonyos nemlineáris rendszereket is leírhatunk. A fenti rendszer rendszermátrixa :
S(p(t)) =
A(p(t)) B(p(t)) C(p(t)) D(p(t))
! ∈ R(m+l)×(m+k) .
(3.7)
Ezzel az állapottér modell :
˙ x(t)
!
y(t)
= S(p(t))
x(t)
!
u(t)
.
(3.8)
3.16. Definíció. (Végeselem¶ tenzorszorzat modell) A fenti rendszermátrix tetsz®leges p(t) esetén megadható, mint lineáris id®invariáns (LTI) rendszermátrixok paraméterfügg® kombinációja, azaz ! ! N ˙ x(t) x(t) = S ⊗ wn (pn (t)) , n=1 y(t) u(t)
35
(3.9)
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
ahol 1. pn (t) a p(t) paramétervektor n-edik eleme ; 2. a wn (pn (t)) ∈ RIn (n = 1 . . . N ) súlyfüggvényvektor tartalmazza az egyváltozós, korlátos és folytonos wn,in (pn (t)) (in = 1 . . . In ) súlyfüggvényeket ; 3. wn,in (pn (t)) az n-edik dimenzióban értelmezett in -edik súlyfüggvény ; 4. az n-edik dimenzióban értelmezett súlyfüggvények száma In ; 5. az N +2 dimenziós S ∈ RI1 ×I2 ×...×IN ×O×I együttható tenzor az Si1 i2 ...iN ∈ RO×I LTI rendszermátrixokból áll. Tekintsünk egy LPV modellt, amely felírható tenzorszorzat alakban, azaz
N
S(p(t)) = S ⊗ wn (pn (t)).
(3.10)
n=1
Feltehetjük, hogy a függetlenek az
wn,in (pn (t))
[an ; bn ]
súlyfüggvények
L2 [an ; bn ]
értelemben lineárisan
intervallumok felett. Ellenkez® esetben a
wn,in (pn (t))
súly-
függvények közül egy maximális lineárisan független rendszert kiválasztva a többi súlyfüggvény kifejezhet® ezek lineáris kombinációjával, vagyis a tenzorszorzat modell mindig megadható lineárisan független súlyfüggvényekkel is. Lineárisan független függvények megadhatóak, mint ortonormált függvények lineáris kombinációi (például GramSchmidt-féle ortogonalizációs eljárással). Így minden egyes
[an ; bn ]
függvény rendszer (1
≤ in ≤ kn )
intervallum felett meghatározható egy
≤ in ≤ In ),
ahol
ϕn,kn (pn ) (1 ≤ kn ≤ In )
függvények lineáris kombinációja. Hasonlóan a
meghatározhatóak a
ϕn,kn (pn )
ϕn,in (pn ) a
ortonormált
wn,in (pn ) (1 ≤
wn,in (pn )
függvények is
függvények segítségével.
3.17. Következmény. A fentiek alapján az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy szorzat reprezentációjában a azaz minden
n-re
wn,in
S(p(t)) tenzor-
súlyfüggvények ortonormált rendszert alkotnak,
Zbn wn,in (pn )wn,jn (pn ) dpn = δij ,
(3.11)
an
ahol
δij
a Kronecker-féle deltafüggvény (δij
36
= 1,
ha
i=j
és
δij = 0,
ha
i 6= j ).
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
Alkalmazzuk a minimális reprezentációt szolgáltató CHOSVD-t az LPV rendszer
S ∈ RI1 ×I2 ×...×IN +2 tenzor els® N dimenziójára. ˜ n (1 ≤ n ≤ N ). Ezek segítségével az új mátrixok U
tenzorszorzat alakjában szerepl® Legyenek az így kapott súlyfüggvények :
˜ T wn (pn ). ˜ n (pn ) = U w n Mivel az
˜n U
mátrixok ortonormáltak és a
vények is ortonormáltak minden
w˜n,1 (pn ), w˜n,2 (pn ), . . . , w˜n,rn (pn ) Zbn
(3.12)
wn,in (pn ) (1 ≤ in ≤ In )
1 ≤ n ≤ N
esetén, ezért a
˜ n (pn ) w
súlyfüggfüggvény
komponensei is ortonormáltak, ugyanis
b Zn ˜n = ˜ T wn (pn )wT (pn ) dpn U ˜ n (pn ) dpn = U ˜ nT (pn )w w n n an
an
˜ ˜n = U ˜ TU ˜ T E In U =U n n = Ern . n A fentiekb®l következik az alábbi tétel :
3.18. Tétel. Tekintsünk egy LPV rendszermátrixot (S(p(t))), mely felírható végeselem¶ tenzorszorzat modellként. Ekkor, a magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontással minimális alakot el®állítva az
S
tenzor els®
N
dimenzióján (CHOSVD), az LPV
rendszer felírható a következ® formában :
˙ x(t)
!
x(t)
n=1
u(t)
= D ⊗ wn (pn (t))
y(t)
!
N
,
(3.13)
ahol a felbontás az alábbi tulajdonságokal rendelkezik : 1. A
D
2. A
wn (pn (t)) paramétervektor n-edik dimenziójához tartozó rn darab wn,in (pn (t))
tenzor (r1
× r2 × . . . × rN × O × I )-es
méret¶ ;
súlyfüggvény ortonormált rendszert alkot ; 3. A
wn,in (pn (t)) súlyfüggvény az n-edik dimenzióhoz tartozó in -edik szinguláris
függvény ; 4. Rögzítsünk egy-egy elemet a A kapott
N
dimenziós
a) ortogonalitás :
D0
n, α
D tenzor N +1-edik és N +2-edik dimenziójában.
altenzor tulajdonságai :
és
β (α 6= β )
minden lehetséges értékére
hDi0n =α , Di0n =β i = 0,
37
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
b) rendezettség :
kDi0n =1 k ≥ kDi0n =2 k ≥ . . . ≥ kDi0n =In k ≥ 0 minden lehetséges 5. A
kDi0n =i k
n-re.
(n) Frobenius normák (σi ) az
S
tenzor szinguláris értékei az
n-edik
dimenzióban ; 6. A
D
magtenzor tartalmazza az LTI rendszereket.
3.19. Definíció. A fenti minimális alakot a végeselem¶ tenzorszorzat modell HOSVD alapú kanonikus alakjának nevezzük.
3.20. Megjegyzés. Ha bármely dimenzióban vannak megegyez® szinguláris értékek, akkor a kanonikus alak nem egyértelm¶.
3.3.1. A HOSVD alapú kanonikus alak numerikus rekonstrukciója A bemutatásra kerül® tételek a kanonikus alak numerikus el®állíthatóságát támasztják alá ([5], [58]). Így az LPV rendszer diszkretizálásából el®állított tenzor HOSVD alapú felbontása végtelenül nomodó felosztássorozat esetén tart az elméleti kanonikus alakhoz, vagyis határértékben el®állnak a súlyfüggvények és a magtenzor is. Osszuk fel az intervallumra (1
[an ; bn ] intervallumokat Mn számú ∆n,mn diszjunkt rész-
≤ mn ≤ Mn ).
Azaz legyen
ξn,0 = an < ξn,1 < . . . < ξn,Mn = bn
∆n,mn = [ξn,mn −1 ; ξn,mn ).
Legyen
xn,mn ∈ ∆n,mn , De niáljunk egy rácsot az legyen
xn,mn
1 ≤ mn ≤ Mn .
pontok segítségével. Az így kapott rács egy pontja
gm1 ...mN = (x1,m1 , . . . , xN,mN ),
majd diszkretizáljuk az
Bm1 ...mN = S(gm1 ...mN ).
38
S(p(t))
függvényt :
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
Ezután a
Bm1 ...mN
így természetesen juk a
wn (pn )
mátrixokból állítsuk össze az
M1 × M2 × . . . × MN × O × I
súlyfüggvényeket az
értékeib®l álló mátrix legyen
Wn ,
xn,mn
N + 2 dimenziós B
méret¶ lesz. Hasonlóan diszkretizál-
rácspontokban. A
wn (pn )
B
vektor diszkrét
amely így
wn,1 (xn,1 )
wn,2 (xn,1 )
...
wn,rn (xn,1 )
wn,1 (xn,2 ) wn,2 (xn,2 ) . . . wn,rn (xn,2 ) Wn = . . .. . . . . . wn,1 (xn,Mn ) wn,2 (xn,Mn ) . . . wn,rn (xn,Mn ) A
tenzort, amely
.
(3.14)
tenzor így megadható az alábbi formában :
N
B = D ⊗ Wn .
(3.15)
n=1
3.21. Tétel. Legyen az
r1 ×r2 ×...×rN ×O×I S(p(t)) CHOSVD felbontása D ⊗N . n=1 wn (pn (t)), ahol D ∈ R
Osszuk fel az
[an ; bn ]
≤ N ).
Az
Mn -re
minden
S(p(t))
intervallumot
Mn
számú egyenl® részintervallumra (1
≤n≤
ezen felosztás alapján történ® diszkretizálásakor, elegend® nagy
n = 1...N
esetén
rang n (B) = rn .
3.22. Tétel. Legyenek a az
[an ; bn ]
wn,in (pn ) (1 ≤ in ≤ rn )
súlyfüggvények folytonosan dierenciálhatóak
intervallumon, a végpontokban balról, illetve jobbról. Legyen továbbá
max
max |wn,in (pn (t))| = K1 ,
max
0 (pn (t))| = K10 . max |wn,i n
1≤in ≤rn an ≤pn ≤bn
1≤in ≤rn an ≤pn ≤bn Ekkor, ha
2rn (bn − an )2 K1 K10 < Mn ,
akkor
rang n (B) = rn .
3.23. Tétel. Legyen a diszkretizálással kapott
B
tenzor CHOSVD felbontása
N
˜ ⊗ Un , B=D n=1
ahol
˜ Un Mn × rn -es, D
pedig
r1 × r2 × . . . × rn × O × I -es.
Tegyük fel továbbá,
hogy a CHOSVD során mindegyik dimenzióban különböz® szinguláris értékeket kaptunk. Ekkor
ahol
Mn → ∞ esetén √ √ ( ρn Wn − Un )T ( ρn Wn − Un ) → 0,
ρn = (bn − an )/Mn . 39
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
3.24. Tétel. Legyen az el®z® tételbeli
≤ rn ),
és legyen
Un in -edik
oszlopának
mn -edik
wˆn,in (xn,mn ) = un,in ,mn , xn,mn ∈ ∆n,mn . Zbn
eleme
Ekkor
un,in ,mn (1 ≤ in ≤
Mn → ∞
esetén
(wn,in (pn ) − wˆn,in (xn,mn ))2 dpn → 0,
an vagyis a
wˆn,in (xn,mn )
függvények
L2 [an , bn ]
értelemben tartanak a
wn,in (pn )
súly-
függvényekhez.
3.25. Tétel. Legyen a diszkretizálással kapott
B
tenzor CHOSVD felbontása
N
˜ ⊗ Un , B=D n=1
ahol
˜ Un Mn × rn -es, D
pedig
r1 × r2 × . . . × rn × O × I -es.
Tegyük fel továbbá,
hogy a CHOSVD során mindegyik dimenzióban különböz® szinguláris értékeket kaptunk. Ekkor
Mn → ∞
esetén
˜ → D, D ahol
D
a HOSVD alapú kanonikus alak magtenzora.
3.3.2. A HOSVD alapú kanonikus alak meghatározása tenzorszorzat transzformációval A tenzorszorzat (tensor productTP) transzformáció egy numerikus eljárás, melynek célja, hogy egy adott LPV állapottér modellt HOSVD alapú kanonikus alakra hozzunk ([1], [2], [3], [11], [40], [62]). Maga a transzformáció három f® lépésb®l áll. El®ször diszkretizáljuk az
S(p(t))
rendszermátrixot egy mindegyik dimenzió-
ban s¶r¶ rács felett, majd a magasabb rend¶ szinguláris érték szerinti felbontással meghatározzuk a (tulajdonképpen bázisnak tekintett) lineáris id®invariáns rendszereket, végül ezekhez a rendszerekhez folytonos súlyfüggvényeket rendelünk.
A tenzorszorzat transzformáció lépései: 1.
Diszkretizálás 40
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
i. A paramétertér meghatározása :
p(t) ∈ Ω : [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × . . . × [aN , bN ] ⊂ RN . ii. A rácspontok száma az iii. Az
S(p(t))
n-edik
dimenzióban
Mn .
rendszermátrix diszkretizálása a rácsháló felett (1
≤ mn ≤
≤ Mn ) : SD m1 m2 ...mN = S(pm1 m2 ...mN ). SD m1 m2 ...mN
iv. A diszkretizálással kapott
S D ∈ RM1 ×M2 ×...MN ×O×I 2.
mátrixokból felépítjük az
tenzort.
Az LTI rendszerek meghatározása Az
SD
tenzor els®
N
dimenziójára alkalmazzuk a HOSVD-t, aminek ered-
ményeképpen kapjuk a következ®t :
N
S D ≈ S ⊗ Un . n=1
A hibakorlát a közelítésre :
2 X
D
N
≤ S − S ⊗ U σk2 . γ= n
n=1 k
A kapott
S ∈ RI1 ×I2 ×...×IN ×O×I
tenzor tartalmazza az LTI rendszereket (In
≤
≤ rn ≤ Mn ). 3.
A folytonos súlyfüggvények meghatározása i. Az
Un
mátrix in -edik oszlopa (un,in ) a
wn,in (pn (t)) súlyfüggvény diszkre-
tizáltja. Az oszlopvektor elemei a súlyfüggvény értékei a rácspontokban :
wn,in (gn,mn ) = un,mn ,in . ii. A súlyfüggvények az
S(p(t))
rendszermátrix segítségével az egész para-
méter tartományon meghatározhatóak. A vényeinek meghatározásához legyen
wd (pd (t)) súlyvektor súlyfügg-
pk = gk,l (k = 1 . . . N , k 6= d). Ekkor
p(t) = (g1,1 , g2,1 , . . . , pd , . . . , gN,1 ). iii. Tehát
pd -re :
wd (pd (t)) = (S(p(t)))(3)
41
!+ S ⊗ uk,1 , k
(d)
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
ahol
uk,1 az Uk mátrix els® sora. (S(p(t)))(3) úgy értend®, hogy az S(p(t))
mátrixot olyan három dimenziós tenzorként kezeljük, amelynél a harmadik dimenzió hossza egy. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy az
S(p(t))
mátrixot sorfolytonosan tároljuk, '+' pedig a mátrix pszeudoinverzét jelöli.
Gyakorlati szempontból lényeges kérdés, hogy a transzformáció költsége, azaz számításigénye nagyban függ a szinguláris érték szerinti felbontás számításigényét®l. Másrészt ismert, hogy korlátos számú komponens esetén a tenzorszorzat formában jól közelíthet® függvények halmaza sehol sem s¶r¶ a folytonos függvények halmazán. Ezek a tulajdonságok szükségessé teszik az alkalmazás során a pontosság és a komplexitás közötti ésszer¶, feladatfügg® kompromisszum keresését ([4], [6], [7], [63]).
3.4. Fuzzy következtetési eljárások A fuzzy logika megalapozása Zadeh nevéhez köthet®, aki a matematikai értelemben véve rosszul de niált, homályos fogalmak precíz kezelésére javasolt módszereket ([76], [77], [78], [79]). Ma már a fuzzy logikán alapuló vezérlési és következtetési eljárások számos tudományos és m¶szaki területen igen elterjedtek ([31]). Az alábbiakban a fuzzy következtetési rendszerek általános felépítését, valamint a kés®bbiekben alkalmazott, a lineáris paraméterfügg® rendszer speciális esetének tekinthet® Takagi-Sugeno fuzzy rendszert ismertetem.
3.4.1. A fuzzy következtet® rendszerek felépítése Szabálybázis A fuzzy következtet® rendszerek magját a rendszer m¶ködésér®l rendelkezésünkre álló tudást általában ha - akkor típusú szabályok formájában leíró szabálybázis alkotja. Egy szabály általános alakja : Ha ahol
x1 = X1i
x1 , . . . , x n
és
...
és
xn = Xni
, akkor
a bemen® változók értékei,
hoz tartozó tagsági függvények,
y1 , . . . , ym 42
y1 = Y1i
és
X1i , . . . , Xni
...
és
ym = Ymi ,
(3.16)
az egyes bemen® változók-
a kimen® változók értékei,
Y1i , . . . , Ymi
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
fuzzy
illeszkedési mérték
-
meghatározása
-
következtet®
-
defuzzi kálás
-
egység
6
6
fuzzy szabálybázis
3.4. ábra. A fuzzy következtet® rendszer vázlata
pedig a hozzájuk tartozó tagsági függvények. Mivel a kimen® változók függetlenek, ezért a n bemenet¶, m kimenet¶ (MIMO) rendszer felbontható m darab n bemenet¶ egy kimenet¶ (MISO) rendszer halmazára.
Az illeszkedési mérték meghatározása Az illeszkedési mérték meghatározása során a szabályok antecedens részét hasonlítjuk össze a meg gyelt értékekkel. Minden egyes szabályra meghatározunk egy w (0
≤ w ≤ 1)
illeszkedési mértéket, mely tulajdonképpen az adott szabály kompe-
tenciájának, alkalmazhatóságának, érvényességének mértékét jelzi. Azokat a szabályokat, melyekre
w > 0,
tüzel® szabályoknak is szokás nevezni. A következtetési
eljárás során az egyes szabályok konzekvens részét az adott szabály érvényességi mértékének megfelel®en vesszük gyelembe.
Következtetés A fuzzy következtetési eljárás során a tüzel® szabályok kimeneteit az illeszkedési mérték meghatározásakor kapott érvényességi mértéknek megfelel®en kombináljuk. A fuzzy modell fuzzy relációként történ® értelmezésekor a következtetés a meg gyelés és a szabálybázis fuzzy kompozíciójaként áll el®, azonban a nagy szorzattér feletti tagsági függvény rendkívül számításigényessé teszi a módszert, így a gyakorlatban ennek a módszernek egy módosított változata terjedt el, amely nem magán
43
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
a reláción, hanem annak projekcióin m¶ködik, azaz a bemeneti adatok és az egyes szabályok kompozícióit külön-külön határozza meg, majd a kapott részkonklúziók fuzzy uniójaként határozza meg a kimenetet. Ezen az elven alapul a és a
Mamdani
Larsen-féle következtetési eljárás is. A következtetés kimenete általában egy
nem konvex, szubnormális fuzzy halmaz, melyb®l valamely defuzzi kációs eljárással nyerhetünk egy konkrét értéket (A
TakagiSugeno
eljárás ez alól kivételt
jelent, hiszen ott a konzekvensek defuzzi kált formában jelennek meg, így a végs® következtetés meghatározásához nincs szükség erre a lépésre).
Defuzzi káció Általában szükség van arra, hogy a következtetési eljárással kapott fuzzy halmazt valamilyen jellemz® számértékkel helyettesítsük. Ezen számérték meghatározása valamely defuzzi kációs eljárással történik. A defuzzi káláshoz többféle eljárás ismert, közös jellemz®jük, hogy a fuzzy tagsági függvény legjellemz®bb, valamilyen értelemben vett középértékét választják ki. A legelterjedtebbek közé tartozik a geometriai középpont (center of area, COA) módszer, mely a fuzzy következtetéssel kapott teljes halmaz tagsági értékkel súlyozott átlagát adja, a súlypont (center of gravity, COG) módszer, amely az el®z®vel ellentétben a részkonklúziók középpontjainak geometriai középpontját számolja, a maximumok közepe (mean of maxima, MOM) módszer, ahol a kimenet a fuzzy következtetés maximális tagsági értékkel rendelkez® elemeinek átlaga és a középs® maximum (center of maxima, COM) módszer, amely a fuzzy konklúzió legnagyobb tagsági értékkel rendelkez® elemei közül választja ki a középs®t. Fontos megemlíteni, hogy bizonyos esetekben fuzzy kimenet esetén sem szükséges a defuzzi káció, mert a kapott fuzzy tagsági függvény sokszor több információt nyújt, mint egyetlen számérték.
3.4.2. A TakagiSugeno fuzzy modell Egyes fuzzy következtet® rendszerek esetében a szabályok konzekvens oldalán nem fuzzy halmazok, hanem nem fuzzy (crisp) függvények állnak. Az ilyen modellek el®nye a sokszor id®igényes és bizonyos esetekben lingvisztikailag nehezen indokolható defuzzi kálási eljárás kiküszöbölése, másrészt a modell struktúrája és m¶ködési is egyszer¶bb, mint a fuzzy relációkon alapuló következetési eljárásoké. Egy ilyen
44
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
modellben egy szabály általános alakja az alábbi : Ha Az
fi
x1 = A1,i , . . . , xn = An,i
akkor
yi = fi (x1 , . . . , xn )
(3.17)
függvény bonyolultságától függ®en más-más elnevezések terjedtek el a szak-
irodalomban. Ha
fi konstans, akkor Sugeno, ha lineáris , akkor Takagi-Sugeno,
ha pedig más, bonyolultabb függvény, akkor
Takagi-Sugeno-Kang
modellr®l
beszélünk ([59], [31]). Több fuzzy modellhez hasonlóan ([18]) a Takagi-Sugeno modell is rendelkezik az univerzális approximációs tulajdonsággal ([13], [27], [61], [75], [80]), lehet®vé téve bonyolult, nemlineáris rendszerek hatékony közelítését ([34], [35]). A modell Ha . . . , akkor . . . típusú szabályokból áll, amelyek lokálisan lineáris input-output relációkkal írják le a nemlineáris rendszer m¶ködését. A TakagiSugeno (TS) fuzzy rendszer f® sajátossága, hogy minden fuzzy implikáció esetében a lokális dinamikát lineáris modellel adja meg. A rendszer teljes fuzzy modellje ezeknek a lineáris modelleknek a keverékéb®l adódik.
3.5. ábra. A TakagiSugeno fuzzy modell vázlata
Az i -edik szabály általános alakja : Ha
p1 (t) = M1i
ahol
( Si =
és
...
és
pk (t) = MN i
, akkor
˙ x(t) = Ai x(t) + Bi u(t) y(t) = Ci x(t). 45
Si ,
(3.18)
(3.19)
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
Itt
x(t) ∈ Rn
az állapotvektor,
u(t) ∈ Rm
a bemenet,
y(t) ∈ Rk
Ai ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×m , Ci ∈ Rk×n . p(t) = (p1 (t), . . . , pN (t))
a kimenet,
paramétervektor,
amely tartalmazhatja az állapotváltozókat, azok függvényeit, küls® zavarást, stb. Az egyes szabályok alkalmazhatósági mértékét, vagyis az egyes lokális lineáris modellek érvényességi mértékét a paramétervektor elemeinek illeszkedési mértékeib®l határozzuk meg. A paramétervektor j -edik elemének illeszkedési mértéke az i -edik szabály antecedens részének megfelel® (j -edik) változójában legyen
µji (pj (t)).
Az
egyes tagsági értékekb®l szorzat t -normát alkalmazva kapjuk az i -edik szabály illeszkedési mértékét :
N Y
wi (p(t) =
µji (pj (t)).
(3.20)
j=1 Ezzel a
TakagiSugeno
modell az alábbi alakban írható fel :
r P
˙ x(t) =
wi (p(t)) (Ai x(t) + Bi u(t))
i=1 r P
,
(3.21)
wi (p(t))
i=1 r P
y(t) =
wi (p(t))Ci x(t)
i=1 r P
.
(3.22)
wi (p(t))
i=1 Teljes
TakagiSugeno rendszer esetén, azaz ha az antecedens halmazok min-
den lehetséges kombinációja el®fordulhat, egy szabály általános alakja :
Ha
p1 (t) = M1v1
és
...
és
pk (t) = MN vN
, akkor
Sv1 v2 ...vN .
(3.23)
Ekkor a következtetés :
V1 P
˙ x(t) =
···
i1 =1
VN Q N P
µj,ij (pj (t)) (Ai1 i2 ...iN x(t) + Bi1 i2 ...iN u(t))
iN =1 j=1 V1 P
···
i1 =1 V1 P
y(t) =
i1 =1
···
VN Q N P
VN Q N P
, µj,ij (pj (t))
iN =1 j=1
µj,ij (pj (t))Ci1 i2 ...iN x(t)
iN =1 j=1 V1 P i1 =1
···
(3.24)
VN Q N P
.
(3.25)
µj,ij (pj (t))
iN =1 j=1
A modell jelent®sen egyszer¶södik, ha az antecedens halmazok minden dimenzió-
46
3. FEJEZET. MATEMATIKAI ALAPOK
ban
Ruspinipartíciót alkotnak, azaz ha minden Vj -re, minden j -re teljesül, hogy Vj X
µjij (pj (t)) = 1.
(3.26)
ij =1 Ekkor ugyanis
V1 X i1 =1 V1 X i1 =1
µ1,i1 (p1 (t)) ·
V2 X
···
VN Y N X
µj,ij (pj (t)) =
iN =1 j=1
µ2,i2 (p2 (t)) · . . . ·
i2 =1
VN X iN =1
47
µN,iN (pN (t)) = 1.
(3.27)
4. fejezet
Az energiaabszorpciós folyamat heurisztikus modellje
Egy járm¶ ütközése miatt fellép® deformációs folyamat energiaviszonyainak pontos leírásához mind a járm¶, mind a környezeti tényez®k aprólékos ismeretére lenne szükség, viszont a sok paraméter gyelembevétele szükségképpen nagy komplexitású modellt eredményez. Ilyen típusú megközelítés például az, amikor a járm¶ részletes végeselem modelljét használják fel a számítások során, de még egy ilyen modell sem lesz soha teljesen pontos, a modellek paramétereit mindig tovább nomítják a futási eredmények és a megfelel® valós töréstesztek összehasonlítása után ([23], [26], [60], [72]). Bár a végeselem modellek általában jó eredményeket szolgáltatnak, jelent®s hátrányuk, hogy egy-egy járm¶ modelljének megalkotása több szakember több hónapos (esetleg éves) munkájának eredménye, melynek során (például a hálózás folyamatában) kiemelten fontos szerep jut a szakért®i tapasztalatokon alapuló heurisztikus meggondolásoknak. További hátrányt jelent a kapott modell komplexitása : nem ritkán napokig is eltarthat egy-egy ütközés teljes kiértékelése. A fentiek alapján elmondható, hogy a klasszikus végeselem alapú modellezési eljárás az ütközési folyamatot teljeskör¶en, általában kielégít® pontossággal írja le, azonban a magas komplexitás miatt olyan esetekben, amikor a deformációs folyamatot csak egy bizonyos aspektusból (például az elnyelt energia eloszlása szerint) vizsgáljuk, érdemes egy, csak az adott részproblémára készült, alacsonyabb komplexitású modellel dolgozni ([28], [50], [51], [52], [67], [68]). Az alábbiakban egy ilyen,
48
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
a deformációs folyamat energiaabszorpciós viszonyait leíró modellt ismertetünk.
4.1. A járm¶ cellamodellje A vizsgálandó járm¶vet elméletben részekre bontjuk egy egy, kett® vagy három dimenziós rácsháló mentén. A deformációs folyamat energiaviszonyait a keletkezett cellák energiaelnyel® képességével modellezzük. Ezek a cellák a valóságban természetesen er®sen inhomogén rendszerek, így a pontos energiaviszonyok leírása túlságosan bonyolult, nagy számú paraméter ismeretét feltételez® feladat lenne. A javasolt modellezési eljárás a folyamatot kvalitatív módon írja le, de megfelel® paraméterbecsléssel, valós adatok (például töréstesztek sorozatai) alapján kielégít® kvantitatív leírás is elérhet®.
4.1.1. A cellamodell dinamikai megfelel®je A cellamodell rendszerdinamikai szempontból felfogható egymáshoz csatolt, nemlineáris rugókarakterisztikával és száraz súrlódásos jelleg¶ csillapítással rendelkez® részrendszerek együttesének. Egy járm¶ütközési problémát tekintve az egyes részrendszerek paraméterei (rugókarakterisztika, csillapítás) nagy mértékben irányfügg®ek, hiszen a járm¶test a különböz® irányokból érkez® hatásokra (vagyis a különböz® irányú ütközésekre) eltér® módon reagál, a szerkezet egy bizonyos irányból könnyebben, míg egy másik irányból nehezebben deformálható, és a deformáció el®rehaladásával szembeni ellenállás is a szerkezeti felépítés sajátosságait követi.
4.1. ábra. A dinamikai modellnek megfeleltethet® soros elrendezés¶ egydimenziós cellamodell sor
Energetikai szempontból vizsgálva a rendszert, a kezdeti kinetikus energiát az egyes részrendszerek a súrlódási és a maradandó deformációval kapcsolatos munka révén emésztik fel. Mivel a deformációs úthossz minden részrendszer esetén
49
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
véges, így a felemészthet® energia nagysága is korlátos, vagyis egy adott részegység egy bizonyos mérték¶ deformáció elérése után már nem képes több energiát elnyelni (felemészteni), vagyis a elnyelhet® energiamennyiség szempontjából telít®dik. A részrendszerek eltér® paraméterei miatt a részrendszerenként elnyelt energia mennyisége is eltér® lehet, a paraméterek egymáshoz való viszonya határozza meg azt, hogy az egyes részrendszerek a deformációs folyamat mely szakaszában képesek több illetve kevesebb energia felemésztésére.
4.1.2. Az elnyelési függvény A felosztás során kapott minden egyes cellatartomány esetén a járm¶ adott részének energiaelnyelési tulajdonságát egy függvénnyel modellezzük, mely azt adja meg, hogy az adott cella a bejöv® energia mekkora hányadát képes elnyelni, azaz végleg kivezetni a rendszerb®l. Ezt a függvényt úgy kell megválasztani, hogy az jó közelítéssel leírja az energia eloszlási és kiáramlási viszonyok kvalitatív jellemz®it. A cellák tulajdonságaitól függ®en a függvény az alábbi típusokból kerülhet ki : A cella a modellezési tartományon belül minden energiát képes elnyelni. Ekkor az elnyelési függvény
f ≡ 1.
Ilyenkor a sorban következ® cellák már nem
játszanak szerepet a deformáció során fellép® energia elnyelésében. A cella gyakorlatilag semekkora mennyiség¶ energia elnyelésére nem képes, vagyis a maradandó deformáció okozta energia elvonás szempontjából nem is létezik, ekkor
f ≡ 0.
A cella a bejöv® energia meghatározott (konstans) hányadát nyeli el, a többit átengedi. Ekkor
f ≡ c.
A cella reális viselkedését leíró függvény a fentiek kompozíciójaként adódik, vagyis a megjelenített energiaelnyel® képesség nem állandó, hanem függ a már elnyelt energia nagyságától. A valós folyamat leírására leginkább az utóbbi, kompozíciós jelleggel meghatározott függvénycsalád alkalmas. A deformációs folyamat id®beli lefutásának elemzése azt mutatja, hogy az egyes részek (cellák) deformációja nem csak egymás után, hanem id®ben párhuzamosan is végbemehet, továbbá egy adott cella egy bizonyos
50
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
mérték¶ deformációs szint elérése után tovább már nem, vagy a plasztikus deformáció okozta szerkezeti átstrukturálódás miatt már csak nagyon kis mértékben nyomható össze (felkeményedik). Ezek alapján az ideális, energiaabszorpciós folyamatot leíró cellafüggvény az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik : Egy bizonyos energiaszintig az összes bejöv® energiát elnyeli ; ezután az abszorpciós képessége csökken az elnyelt energia függvényében ; végül a cella telít®dik, nem képes további energia elnyelésére. A fenti tulajdonságokkal rendelkezik például az alábbi egyszer¶ függvény :
f (x) =
Az
a
1
b−x
b−a 0
ha
x
ha
a≤x
ha
x>b
(4.1)
paraméter határozza meg a teljes elnyelési szakasz végét, a
b−a
különbség
pedig a teljes elnyelés és teljes áteresztés közötti átmenet meredekségét. Egy másik lehet®ség, mely a két széls®séges eset között sima átmenetet biztosít :
f (x) = Itt az
k
x0
1 + e−kx0 . 1 + ek(x−x0 )
(4.2)
paraméter felel a majdnem teljes elnyelést jelent® tartomány hosszáért,
pedig az átmenet meredekségét határozza meg. Alkalmazhatjuk a fenti típusú
függvények konvex kombinációit is, ekkor
f (x) =
n X
λi fi (x)
, ahol
i=1
n X
λi = 1
és
0 ≤ λi ≤ 1.
(4.3)
i=1
Ezekkel a függvényekkel kifejezhet® az elnyelt és az átengedett energia mennyisége adott
E
E=E
bejöv® energia esetén, melyre teljesül az energia megmaradás elve, azaz
elnyelt
+E
áteng.
.
ZE E
elnyelt
=
ZE f (x) dx
E
0
áteng.
(1 − f (x)) dx.
= 0
51
(4.4)
1
1
0.8
0.8 Elnyelési arány
Elnyelési arány
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
0.6 0.4 0.2
0.4 0.2
0
0 0
2000
4000 6000 8000 Bejövõ energia (J)
10000
5000
5000
4000
4000 Elnyelt energia
Elnyelt energia
0.6
3000 2000 1000
0
2000
4000 6000 8000 Bejövõ energia (J)
10000
0
2000
4000 6000 8000 Bejövõ energia (J)
10000
3000 2000 1000
0
0 0
2000
4000 6000 8000 Bejövõ energia (J)
10000
4.2. ábra. Szakaszonként lineáris és szigmoidszer¶ elnyelési és áteresztési függvény, valamint a megfelel® cella által elnyelt és továbbított energia.
4.1.3. Irányfügg® tulajdonságok Egy járm¶ természetesen nem izotróp test, s®t a felosztás során kapott cellák sem azok. Ez azt is jelenti, hogy valamely cellához rendelt elnyelési függvény esetleg helyesen írja le a folyamatot egy bizonyos irányú ütközés esetén, de más (például az el®z®re mer®leges) küls® hatás kielégít® modellezésére már nem alkalmas. Ennek megfelel®en egy cellához, a modell céljait szem el®tt tartva, több függvényt is rendelhetünk, a szóba jöhet® irányoknak megfelel®en. Valamely köztes irányú ütközés esetén két megoldás közül választhatunk : az ismeretlen elnyelési függvényt interpoláljuk a többivel ; a küls® hatás irányát bontjuk fel a már meghatározott elnyelési függvényeknek megfelel® irányok szerint.
52
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
4.2. Egydimenziós cellamodell Az el®z®ekben leírt cellamodell legegyszer¶bb megvalósítása az egydimenziós modell, melyben a csak az egymás utáni cellák vesznek részt a folyamatban, így minden cellának csak egy bemenete és egy kimenete van. Ezzel az alacsony komplexitású modellel heurisztikusan jellemezhetjük a járm¶ teljes szélességében történ® frontális ütközés okozta deformációs folyamat energiaviszonyait. A cellafelosztás szerint itt két esetet különböztethetünk meg : A járm¶vet csak hosszirányban osztjuk fel, így egy cella szélessége megegyezik a járm¶ szélességével. A cella viselkedését leíró elnyelési függvényt a teljes szélesség anizotróp voltának gyelembevételével határozzuk meg. Érzékenyebb modellt kapunk, ha a járm¶vet nem csak a hosszúsága, hanem a szélessége (esetleg még a magassága) mentén is felosztjuk. Ekkor viszont valamilyen módon gyelembe kell vennünk nemcsak az egymás utáni, hanem az egymás melletti (egymás alatti) cellák, rétegek közötti kölcsönhatásokat is. Teljes szélességben történ® frontális ütközés esetén ezek a relációk beépíthet®ek az egyes cellákat jellemz® elnyelési függvényekbe, vagyis a modellezés során úgy tekinthetjük, mintha sok egyszer¶ egydimenziós modellt kezelnénk párhuzamosan.
x1 -
f1 (x)
x2 -
f2 (x)
x3 -
f3 (x)
x4 -
···
xn -
fn (x)
xn+1 -
4.3. ábra. Az energiaabszorpció egydimenziós cellamodellje
Legyen a bejöv® energia energia (természetesen
x, h(x)
az elnyelt,
x = h(x) + g(x)),
Ekkor
g(x)
a cella elnyelési függvénye pedig
Zx h(x) =
pedig az átengedett, továbbított
f (s).
Zx f (s)ds
(1 − f (s))ds.
g(x) =
0
(4.5)
0
Így a 4.3 ábra jelöléseit használva a cellarendszer egyes elemeinek állapotait leíró egyenletrendszer :
53
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
x1 = E
x1 − h1 (x1 ) = g1 (x1 )
x2 = g1 (x1 )
x2 − h2 (x2 ) = g2 (x2 )
. . .
(4.6)
. . .
xn − hn (xn ) = gn (xn ).
xn = gn−1 (xn−1 )
(a) E=3×2000
(b) E=3×4000
(c) E=3×6000
(d) E=3×8000
(e) E=3×10000
(f ) E=3×12000
(g) E=3×14000
(h) E=3×16000
(i) E=3×18000
4.4. ábra. A járm¶ teljes szélességben történ® ütközéséb®l ered® energiaabszorpciós folyamat szemléltetése eltér® elnyelési függvényekkel rendelkez® cellákból álló egydimenziós modellel, ktív paraméterekkel.
4.3. Többdimenziós cellamodell Az el®z® megközelítés bár heurisztikusan leírja a frontális ütközés esetét hiányossága, hogy csak teljes szélességben történ® ütközés modellezésére alkalmas. Mind a közúti balesetek, mind a töréstesztek jelent®s hányadát adják a részlegesen
54
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
átlapoló, nem teljes szélességben végbemen® ütközési folyamatok, mint például a fának vagy oszlopnak ütközés, és ezek laboratóriumi körülmények között véghezvitt modellezése ([19]). Ahhoz, hogy ezekben az esetekben is min®ségileg kielégít®en tudjuk leírni a folyamatokat, gyelembe kell vennünk az egymás melletti, és egymás alatti cellák, rétegek közötti kölcsönhatásokat. Ennek egy lehetséges módja, hogy a cella által átengedett energiát úgy tekintjük, hogy nem csak az eredeti hatás irányában terjed, hanem valamilyen meghatározott arányban oszlik el a cella szomszédai között (bár általában az energiaabszorpció jelent®s része az eredeti küls® hatás irányának megfelel® irány mentén történik).
x11
- f11 (x)
s12 ?
f21 (x) p12 ?
x12 s11
- f12 (x)
x13 s21
- f13 (x)
s22 ?
x22 - f22 (x) p11
x14 s31
-
···
x1n
- f1n (x)
sn−1,1
s32 ?
x23 - f23 (x) p21
p22
-
sn1
sn2 x24 - ··· p31
x2n
? - f2n (x)
pn−1,1
p32
?
x1,n+1
x2,n+1 -
pn1
pn2
?
?
4.5. ábra. Az energiaabszorpció kétdimenziós cellamodellje
Ezt a folyamatot szemlélteti a 4.5 ábra. Itt az egyes cellák által továbbított energia két részre oszlik. Az els® sorban minden egyes cella az ®t megel®z® által el nem nyelt energiának csak az
si1 -szeresét
oldalirányú energia továbbításra (si1
kapja, az
si2 -szerese
fordítódik az
+ si2 = 1 és 0 ≤ si1 , si2 ≤ 1). Az ily módon az
eredeti irányra mer®legesen továbbított energia esetén (mivel itt gyakorlatilag az egyik cella húzza magával a mellette lév®t) az eredeti iránynak megfelel® elnyelési függvénnyel számolhatunk. Az alkalmazás során az els® sornál a számítás ugyanúgy történik, mint az egydimenziós modell esetében, azzal a különbséggel, hogy az átengedett energia két részre oszlik. A második (és a többi) sor esetében az egyes cellák számára a sorban el®ttük állóktól és a felettük lev®kt®l származó energia összege jelenti a bemenetet, a kimenet pedig ismét két részre oszlik. Ezt a metódust
55
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
(a) E=5000
(b) E=10000
(c) E=15000
(d) E=20000
(e) E=25000
(f ) E=30000
(g) E=35000
(h) E=40000
(i) E=45000
4.6. ábra. A részlegesen átlapoló ütközésb®l származó energiaabszorpciós folyamat szemléltetése eltér® elnyelési függvényekkel rendelkez® cellákból álló kétdimenziós modellel.
visszük végig az egész cellamátrixon, élve azzal a feltételezéssel, hogy a cellák között nincs visszahatás, azaz például a második sor tagjai az els® sorba már nem továbbítanak semmit. Használva a 4.5 ábra jelöléseit, az egyes cellák állapotait az alábbi egyenletrendszer írja le :
x11 = E
x21 = s12 g11 (x11 )
x12 = s11 g11 (x11 )
x22 = s22 g12 (x11 ) + p11 g21 (x21 )
. . .
x1n = sn−1,1 g1,n−1 (x1,n−1 )
(4.7)
. . .
x2n = sn2 g1n (x1n ) + pn−1,1 g2,n−1 (x2,n−1 ).
56
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
4.4. Új tudományos eredmények A fejezetben leírt eredményeket a következ® publikációkban ismertettem : Angol nyelv¶ folyóiratcikk (lektorált, referált) : [S1], [S10]. Angol nyelv¶ konferenciakiadvány (lektorált, referált) : [S3], [S4], [S6], [S7]. Magyar nyelv¶ folyóiratcikk : [S8]. A fejezet eredményeit az alábbi tézisekben foglaltam össze :
A közúti járm¶ütközések során a deformációs alakváltozással összefüggésben fellép® energiaeloszlások vizsgálatára új módszert dolgoztam ki. 1. Tézis :
Megjegyzések : A módszer az ortogonális rácshálóval cellákra osztott járm¶test energiaeloszlását cellánként és irányonként úgynevezett energiaelnyelési függvényekkel közelíti, melyek az adott cella energiaelnyel® képességét írják le a deformáció adott szakaszában. A modell számítási komplexitása függ a használt elnyelési függvények bonyolultságától, ezért javasoltam a lehet® legegyszer¶bb, a folyamat jellegének megfelel®, szakaszonként lineáris és a nomabb közelítést lehet®vé tev® szigmoid jelleg¶ függvények alkalmazását. Az általam javasolt újszer¶ megközelítési módszer így rugalmas vizsgálati és tervezési lehet®séget biztosít és megalapozza az intelligens számítási módszerek hatékony alkalmazását.
A módszer bemutatására kidolgoztam a közúti járm¶ütközések és balesetek jelent®s hányadát kitev®, teljes szélességben történ® és részlegesen átlapoló frontális ütközések kvalitatív cellamodelljét. 2. Tézis :
Megjegyzések : Az egyes cellák viselkedését leíró függvények paraméterei egymástól függetlenül változtathatóak, így könnyen modellezhetjük az egyes járm¶típusok eltér® merevségi viszonyait. Az így kialakított módszer a balesetelemz® mérnök számára lehet®vé teszi a jelent®s mértékben eltér® zikai karakterisztikával bíró ütközési folyamatok eredményes és rugalmas leírását. A módszer nagyvonalú közelítést biztosít, el®nye, hogy gyors és egyszer¶, könnyen végrehajtható, az egyes cellák viselkedését leíró függvények paramétereinek változtatásával a modellezett
57
4. FEJEZET. HEURISZTIKUS MODELL
járm¶ jellege egyszer¶en megváltoztatható. Az eljárás tentatív kiindulási eredményeket biztosít az átfogóbb vizsgálatok számára, melyeket ilyen eredmények nélkül a várható nagy esetszám és számítási költség miatt nem érdemes elindítani.
58
5. fejezet
A deformációs folyamat LPV típusú er®modellje
A járm¶test deformációs folyamata során fellép® er® karakterisztikája er®sen nemlineáris jelleg¶, melyben bizonyos uktuációk is el®fordulhatnak. A 2. fejezetben ismertetett er®modellek (a lineáris
Campbell-modell
kivételével) ezt a nemline-
áris viselkedést próbálják meg viszonylag egyszer¶ függvényekkel közelít®leg leírni (például a bilineáris vagy az er®telít®dési modellben szerepl® töréspontot rendszerint a motor helyével azonosítják), viszont semmiféle választ vagy közelítést nem adnak az er®karakterisztikában megjelen®, a járm¶ szerkezeti inhomogenitásaiból származó kisebb ugrásokra, uktuációkra. A fentiek miatt célunk egy olyan, mérési adatokon alapuló, nomabb numerikus modell felállítása, mely mind a nemlineáris jelleget, mind az azon belül fellép® ugrásokat legalább részben képes kielégít® pontossággal kezelni.
5.1. A deformáció során fellép® er® LPV modellje A deformációs folyamat során elnyelt energia mennyiségének, akár id®beli változásának pontosabb meghatározásához az er®modell nomítására van szükség. A bemutatott er®modellekben meg gyelhet®, hogy az újabb generációs modellek egyre inkább általánosítják a kezdeti lineáris megközelítést. Ugyancsak meg gyelhet®, hogy a leírások bonyolultsága és pontossága szoros összefüggésben áll az alkalmazott merevségi paraméter összetettségével. Míg a legegyszer¶bb megközelítés az
59
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.1. táblázat. A különféle modellek er®/deformáció típusú merevségeinek összehasonlítása
merevség
k
Lineáris modell Bilineáris modell
k1
ha
x ≤ xbl
k2 + (k1 − k2 ) xxbl
ha
x > xbl
k
Er®telít®dési modell
k xxs k0
Hatvány modell
ha
x ≤ xs
ha
x > xs n−1
x xN
egész járm¶testhez a deformációs folyamat teljes térbeli és id®beli lefolyása alatt egyetlen konstans merevségi paramétert rendel, addig más modellek a merevségi paraméterek szakaszonkénti változtatásával (bilineáris, er®telít®dési), vagy folytonosan változó merevségi függvény alkalmazásával próbálnak pontosabb eredményt szolgáltatni. Bizonyos szempontból mindegyik megközelítés a lineáris modell továbbfejlesztésének, általánosításának tekinthet®. Ezt az irányt követve a deformáció során fellép® er®t változó merevség¶ modellel azonosítjuk. A vizsgálatok gyakorlati alapját valós töréstesztek adják. A töréstesztek egy bizonyos típusánál (LCB - load cell barrier test) a vizsgálandó járm¶vet egy olyan akadálynak ütköztetik, melyet el®z®leg mátrixszer¶en elrendezett er®mér®kkel szereltek fel. Ily módon a deformációs folyamat során lehet®ség nyílik a járm¶ elölnézeti hálóján az egyes cellákon fellép® er® id®beli lefutásának mérésére, melyb®l természetesen a teljes járm¶testre ható er® is meghatározható. A dinamikus deformációt a járm¶ valamely deformációs zónába nem tartozó (pl.hátsó) részéhez rögzített gyorsulásmér® adatai és a kezd®sebesség alapján számítják ki, így végül az er®-id®, deformáció-id® függvényekb®l meghatározható er®-deformáció karakterisztika.
5.1.1. Az LPV modell származtatása Induljunk ki a legegyszer¶bb, lineáris modellb®l :
F = −kx.
60
(5.1)
5. FEJEZET. LPV MODELL
A töréstesztek eredményei alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy a járm¶ merevségi paramétere nem egy (vagy több) állandó érték, hanem függ a deformáció mértékét®l (x), az ütközés sebességét®l (v ), az ütközés irányától (ϕ) stb. Ezek alapján az er®modellt a következ® kvázilineáris alakban keressük :
F = −k(x, v)x.
(5.2)
Vagy dierenciálegyenlet alakban felírva :
m¨ x = −k(x, v)x.
(5.3)
Végezzük el a következ® helyettesítéseket :
k 0 (x, v) =
k(x, v) , m
x1 = x,
x2 = x˙ 1 .
(5.4)
Ezzel az egyenletünk az alábbi alakot ölti :
"
x˙ 1 x˙ 2
#
" =
0
1
#"
−k 0 (x, v) 0
x1
# .
x2
(5.5)
Vagyis feltételezésünk szerint a rendszer nemlinearitása megfelel®en leírható a fenti, a nemlineáris rendszerek családjába tartozó, lineáris paraméterfügg® rendszer segítségével. Az állapottérmodell általános alakja :
˙ x(t) = f (x(t))
(5.6)
y(t) = c(x(t)). ahol
" f (x(t)) =
x2 (t)
# ,
−k 0 (x1 (t), v)
(5.7)
c(x(t)) = x1 (t). (5.8)
Az LPV rendszerek tipikus felírását használva :
"
˙ x(t) y(t)
#
" = S(p(t))
61
x(t) u(t)
# .
(5.9)
5. FEJEZET. LPV MODELL
Az
S(p(t))
rendszermátrix :
" S(p(t)) = ahol
p(t) = (x1 (t), v)
#
A(p(t)) B(p(t))
.
C(p(t)) D(p(t))
(5.10)
és
" A=
C=
0
1
# ,
−k 0 0 h
1 0
"
i
,
0
B=
D=
h
# ,
0 0
i
(5.11)
.
5.2. Az LPV rendszer meghatározása Következ® feladatunk a
k0
függvény meghatározása. Az itt követett metodika ha-
sonló, mint amit más jelleg¶, irányítástechnikai feladatok megoldására a közelmúltben már sikeresen alkalmaztak ([10], [15], [25]). El®ször természetesen élnünk kell bizonyos el®feltételezésekkel, azaz
k0
függését az
x
és
v
paraméterekt®l egy el®re
meghatározott alakban keressük, például szakaszonként lineáris, polinom, spline, vagy
x
és
v
adott típusú függvényeinek más lineáris kombinációja. A modell iden-
ti kációja két f® lépésb®l áll : el®ször meghatározzuk a feltételezett LPV modellhez hasonló struktúrájú lokális (LTI) modelleket, majd ezek alapján a teljes LPV rendszert.
5.2.1. Az LTI rendszerek meghatározása A lokális LTI modellek meghatározásához szükséges adatokat laboratóriumi körülmények között elvégzett töréstesztek eredményeib®l vehetjük. Adott kezdeti sebességgel, ugyanolyan feltételek mellett elvégzett tesztek során regisztráljuk a fellép® er®t (F (t)) és a deformációt (x(t)) az id® függvényében. A kapott eredményekb®l bizonyos mérték¶ deformációknál (pl. 5 cm-enként) meghatározhatjuk a lokális viselkedésnek megfelel® LTI modellt. Természetesen más-más
x
értékek esetén a
kapott LTI rendszer nagy valószín¶séggel más és más lesz. Ezzel egy bizonyos ütközési sebességnél az er®karakterisztikát adott pontokban lineárisan közelíthetjük. A deformáció mélységére nézve ugyanilyen lépésközzel elvégezzük az eljárást más kezdeti sebességek esetén is. Végeredményül a kezdeti sebesség és a deformáció
62
5. FEJEZET. LPV MODELL
mélységének függvényében a feltételezett LPV rendszerrel megegyez® struktúrájú LTI rendszerek sokaságát kapjuk.
5.2.2. A teljes LPV rendszer meghatározása A kapott lineáris modellek halmaza tulajdonképpen a különböz®
x(t) és v
k0
függvény értékeit jelenti
értékek mellett. Ezen pontokból és a függvény típusára vonat-
kozó el®feltételezéseinkb®l a
k0
függvény, és így az LPV modell is meghatározható.
A kapott modell segítségével az identi kációhoz felhasznált sebességekt®l eltér® ütközési sebesség esetén közelít®leg meghatározható a deformáció térbeli és id®beli lefutása. El®fordulhat, hogy a kapott LTI rendszerek összessége esetleg túlságosan komlex rendszert alkot, vagyis az épít®elemek számát a pontosságot is szem el®tt tartva minimalizálni kell ([33]). Erre a célra használhatjuk a matematikai módszereknél ismertetett magasabbrend¶ szinguláris érték szerinti felbontást (HOSVD), mellyel az LTI összetev®k száma minimalizálható és a közelítés hibája is elég kicsi marad ([5], [6], [16]).
5.3. Valós töréstesztek adatai A fent leírtak gyakorlati megvalósításához töréstesztek sorozatára van szükség, azaz ugyanolyan típusú járm¶vek különböz® sebességekkel történ® ütközéseinek adataira. Sajnos azonban a gyártók által végzett tesztek részletes eredményei többnyire (érthet® okokból) titkosak, másrészt a vizsgálatok jelent®s részét a túlélési határsebességként megjelölt 56 km/h (35 mph) sebességnél végzik. Ritkábbak a különböz® sebességeknél mért sorozatok, vagyis a rendelkezésünkre álló, kisebb mennyiség¶, ingyenesen elérhet® adatokkal kell dolgoznunk. A felhasznált adatok forrása az NHTSA (National Highway Tra c Safety Administartion) adatbázisa (http ://www.nhtsa.dot.gov/), ahonnan a mérések eredményei nyers (as measured) formában ingyenesen letölthet®k, és elérhet®ek a töréstesztekr®l készült jelentések is. Az adatbázis több szempont szerint is kereshet®, a feladat szempontjából az akadály típusa (load cell barrier, LCB) és az ütközési sebesség volt lényeges a járm¶ típusán kívül.
63
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.3.1. A mérési adatok feldolgozására vonatkozó el®írások A töréstesztek nyers mérési adatainak feldolgozásához különféle sz¶r®ket írnak el®, általában a CFC család valamely tagját (a CFC sz¶r® leírását az A. függelék tartalmazza). Az akadályon mért er® és a járm¶ valamely hátsó részének gyorsulása esetében a CFC60 sz¶r® alkalmazandó ([14]). A mért és sz¶rt gyorsulásból az ütközési sebesség ismeretében integrálással határozzuk meg az összenyomódási sebességet és a deformációt, majd az er®id® és deformációid® függvények alapján az er®deformáció karakterisztikát, a rugalmas visszalök®dést (visszaalakulást) jelent® jellegzetes hátrahajlással.
4
3.5
x 10
mért adatok szûrt adatok
3
2.5
erõ (N)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
idõ (s) 5.1. ábra. A mért és a CFC60 sz¶rés eredményeképpen kapott er®függvény.
5.3.2. A vizsgált járm¶vek adatai Egyez® típusú járm¶vek különböz® sebesség mellett elvégzett LCB töréstesztjeire igen kevés példa akad, tesztek sorozata helyett meg kell elégednünk három eltér® sebességnél végzett teszt adataival. A vizsgált járm¶vek (Honda Accord 2004) f®bb adatait az alábbi táblázat tartalmazza.
64
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.2. táblázat. A járm¶vek adatai (Honda Accord 2004)
Teszt száma
5104
5215
5139
Ütközési sebesség (km/h)
39,8
48,3
56,3
Tömeg (kg)
1673
1860
1834
Hosszúság (mm)
4802
4807
4809
Szélesség (mm)
1823
1810
1804
5.3.3. Fontosabb mért és számított adatok A következ®kben bemutatom a vizsgált járm¶vek esetében az adatok sz¶rése után kapott er® és gyorsulás függvényeket, majd az ezekb®l számított további görbéket. Az egyes tesztekben mért er®ket a B. függelék tartalmazza, ezekb®l meghatározható a cellákon mért er®k összege, vagyis deformáció során fellép® teljes er®.
v=39,8 km/h v=48,3 km/h v=56,3 km/h
erõ (kN)
600
400
200
0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
idõ (s)
v=39,8 km/h v=48,3 km/h v=56,3 km/h
2
gyorsulás (m/s )
300
200
100
0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
idõ (s) 5.2. ábra. Az akadályon mért er®k összege és a hátsó rész gyorsulása az id® függvényében, különböz® sebességek esetén (Honda Accord 2004).
65
5. FEJEZET. LPV MODELL
sebesség (m/s)
20
v=39,8 km/h v=48,3 km/h v=56,3 km/h
15 10 5 0 −5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
idõ (s)
deformáció (m)
0.8
0.6
0.4
v=39,8 km/h v=48,3 km/h v=56,3 km/h
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
idõ (s) 5.3. ábra. A hátsó rész gyorsulásából számított összenyomódási sebesség és dinamikus deformáció (Honda Accord 2004).
v=39,8 km/h v=48,3 km/h v=56,3 km/h
erõ (kN)
600
400
200
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
deformáció (m) 5.4. ábra. Az er® deformáció karakterisztikák különböz® ütközési sebességek esetén. Meg gyelhet®, hogy a görbék kezdeti szakasza közel lineáris (Honda Accord 2004).
66
5. FEJEZET. LPV MODELL
elnyelt energia (kJ)
250 200 150 100
v=39,8 km/h v=48,3 km/h v=56,3 km/h
50 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
deformáció (m)
elnyelt energia (kJ)
250 200 150 100
v=39,8 km/h v=48,3 km/h v=56,3 km/h
50 0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
idõ (s) 5.5. ábra. A deformáció során elnyelt energia a deformáció függvényében, valamint az id® függvényében (Honda Accord 2004).
2500
v=39,8 km/h v=48,3 km/h v=56,3 km/h
merevség (kN/m)
2000
1500
1000
500
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
deformáció (m) 5.6. ábra. A merevség változása a deformáció függvényében (Honda Accord 2004).
67
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.4. Az LPV modell gyakorlati megvalósítása A töréstesztek során minden mérés id®tartományban történik, így az er® és a merevség deformációfüggését csak közvetve határozhatjuk meg. Az LPV modell közvetlen paraméterei így a sebesség és a deformáció helyett a sebesség és az id® lesznek.
5.4.1. A merevségi felület meghatározása A mérésekb®l rendelkezésünkre álló adatok és a bel®lük számolt értékek alapján mind az er®, mind a deformáció lefutását az id® függvényében vizsgálhatjuk, vagyis ezekb®l a merevség is el®állítható, mint az id® és az ütközési sebesség függvénye. Néhány sebességérték mellett ismerjük az er® id®beli lefutását, az ezen görbékre interpolált felülettel közelíthetjük az er® sebesség- és id®függését. Hasonlóan járhatunk el a (gyorsulásból számított) deformáció értékével is, majd a két interpoláló függvényb®l kapjuk a merevséget a sebesség és az id® függvényében.
5.7. ábra. Az illesztéssel kapott er®felület (Honda Accord 2004).
68
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.8. ábra. Az illesztéssel kapott deformációs felület (Honda Accord 2004).
5.9. ábra. Az el®bbi kett®b®l meghatározott merevségi felület (Honda Accord 2004).
69
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.4.2. A kapott LPV modell HOSVD alapú redukciója A fenti eljárással kialakított függvény határozza meg a modell paraméterfüggését. A kapott LPV rendszer a 3. fejezetben bemutatott HOSVD alapú eljárással felbontható LTI rendszerek változó együtthatójú kombinációjára, ahol az együtthatókat a paramétertéren értelmezett súlyfüggvények jelentik ([40]). A modell pontossága és komplexitása er®sen függ az alkalmazott súlyfüggvények számától, de éppen a felbontás ad lehet®séget arra, hogy néhány szinguláris érték elhagyásával kevésbé komplex, tehát kevesebb súlyfüggvényt használó, de esetleg még elfogadható közelítést adó modellt határozzunk meg.
A TP transzformáció alkalmazása során az id®nek megfelel® dimenzióban
108,
a sebességnek megfelel® dimenzióben pedig
34
rácsvonalat használtam.
A HOSVD eljárás alkalmazása során mindkét dimenzió szerinti felbontáskor 5 olyan szinguláris értéket kaptam, ami még nem tekinthet® numerikus nullának. A maximális modellt így az 5 - 5 szinguláris érték megtartásával kapott rendszer jelentette, mely így mindkét dimenzióban 6 súlyfüggvénnyel rendelkezett. A szinguláris értékek fokozatos elhagyásakor meg gyelhet®, hogy még a 3 3 megtartott szinguláris értéknek megfelel® modell is gyakorlatilag egybeesik a mérési adatok interpolálásával kapott felülettel.
70
5. FEJEZET. LPV MODELL
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
súlyok
súlyok
1 0.9
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0
0.14
11.5
12
12.5
idõ (s)
13
13.5
14
14.5
15
sebesség (m/s)
5.10. ábra.
2×2
súlyfüggvény
6
x 10 5
4
3
2 16
1 15 0
14 13
0
0.02
0.04
0.06
0.08
12 0.1
0.12
0.14
5.11. ábra. A merevségre kapott felület
71
0.16
2×2
11
súlyfüggvény esetén.
15.5
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
súlyok
súlyok
5. FEJEZET. LPV MODELL
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
11.5
12
12.5
idõ (s)
13
13.5
14
14.5
15
sebesség (m/s)
5.12. ábra.
3×3
súlyfüggvény
6
x 10 5
4
3
2 16
1 15 0
14 13
0
0.02
0.04
0.06
0.08
12 0.1
0.12
0.14
5.13. ábra. A merevségre kapott felület
72
0.16
3×3
11
súlyfüggvény esetén.
15.5
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
súlyok
súlyok
5. FEJEZET. LPV MODELL
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1 0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0
0.14
11.5
12
12.5
idõ (s)
13
13.5
14
14.5
15
sebesség (m/s)
5.14. ábra.
4×4
súlyfüggvény
6
x 10 5
4
3
2 16
1 15 0
14 13
0
0.02
0.04
0.06
0.08
12 0.1
0.12
0.14
5.15. ábra. A merevségre kapott felület
73
0.16
4×4
11
súlyfüggvény esetén.
15.5
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
súlyok
súlyok
5. FEJEZET. LPV MODELL
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1 0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0
0.14
11.5
12
12.5
idõ (s)
13
13.5
14
14.5
15
sebesség (m/s)
5.16. ábra.
5×5
súlyfüggvény
6
x 10 5
4
3
2 16
1 15 0
14 13
0
0.02
0.04
0.06
0.08
12 0.1
0.12
0.14
5.17. ábra. A merevségre kapott felület
74
0.16
5×5
11
súlyfüggvény esetén.
15.5
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
súlyok
súlyok
5. FEJEZET. LPV MODELL
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0
0.14
11.5
12
12.5
idõ (s)
13
13.5
14
14.5
15
sebesség (m/s)
5.18. ábra.
6×5
súlyfüggvény
6
x 10 5
4
3
2 16
1 15 0
14 13
0
0.02
0.04
0.06
0.08
12 0.1
0.12
0.14
5.19. ábra. A merevségre kapott felület
75
0.16
6×6
11
súlyfüggvény esetén.
15.5
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.4.3. A redukált modellek és a mérési adatok összehasonlítása Fontos kérdés, hogy a szinguláris értékek elhagyásával kapott közelít® jelleg¶ modellekkel dolgozva mennyire kaphatunk pontos képet a deformációs folyamat során fellép® er® és az elnyelt energia alakulásáról. Az adott sebességeknél rendelkezésre álló adatokat vizsgálva a következ®k mondhatóak el :
3 - 3 megtartott szinguláris érték (4
×4
súlyfüggvény) esetén a mérési ada-
tokkal gyakorlatilag megegyez® az eredmény. Az elnyelt energia alakulását jellegében már
2×2
súlyfüggvény esetén is jól
közelíti a modell. Az er® lefutása
3×3
súlyfüggvény esetén még nem követi teljes mértékben
a mérési adatokat. Az er® karakterisztika jó közelítéséhez több megtartott szinguláris értékre (több súlyfüggvényre) van szükség, mint az energia jó közelítéséhez. A közelítések jellemz®en jobbak a paramétertartomány belsejében, mint a szélein, azaz a közbüls®
48,3 km/h
sebességnél jobb a közelítés, mint
56,3 km/h-nál.
76
39,8
és
5. FEJEZET. LPV MODELL
Elnyelt energia vs. idõ: v=39,8 km/h
4
x 10
12
elnyelt energia (J)
10
8
6
4
2
0
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
idõ (s) Elnyelt energia vs. idõ: v=48,3 km/h
5
2
x 10
1.8
1.6
elnyelt energia (J)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
idõ (s) Elnyelt energia vs. idõ: v=56,3 km/h
5
2.5
x 10
elnyelt energia (J)
2
1.5
1
0.5
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért 0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
idõ (s)
5.20. ábra. Elnyelt energia az id® függvényében különböz® sebességek esetén
77
5. FEJEZET. LPV MODELL
Elnyelt energia vs. deformáció: v=39,8 km/h
4
x 10
12
elnyelt energia (J)
10
8
6
4
2
0
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
deformáció (m) Elnyelt energia vs. deformáció: v=48,3 km/h
5
2
x 10
1.8
1.6
elnyelt energia (J)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
deformáció (m) Elnyelt energia vs. deformáció: v=56,3 km/h
5
2.5
x 10
elnyelt energia (J)
2
1.5
1
0.5
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
deformáció (m)
5.21. ábra. Elnyelt energia a deformáció függvényében különböz® sebességek esetén
78
5. FEJEZET. LPV MODELL
Erõ vs. idõ: v=39,8 km/h
5
4.5
x 10
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért
4
3.5
3
erõ (N)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
idõ (s)
Erõ vs. idõ: v=48,3 km/h
5
6
x 10
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért
5
4
erõ (N)
3
2
1
0
−1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
idõ (s)
Erõ vs. idõ: v=56,3 km/h
5
7
x 10
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért
6
erõ (N)
5
4
3
2
1
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
idõ (s)
5.22. ábra. Er® az id® függvényében különböz® sebességek esetén
79
5. FEJEZET. LPV MODELL
Erõ vs. deformáció: v=39,8 km/h
5
4.5
x 10
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért
4
3.5
3
erõ (N)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
deformáció (m)
Erõ vs. deformáció: v=48,3 km/h
5
6
x 10
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért
5
4
erõ (N)
3
2
1
0
−1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
deformáció (m)
Erõ vs. deformáció: v=56,3 km/h
5
7
x 10
2×2 súlyfüggvény 3×3 súlyfüggvény 4×4 súlyfüggvény mért
6
erõ (N)
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
deformáció (m)
5.23. ábra. Er® a deformáció függvényében különböz® sebességek esetén
80
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.5. A deformációs folyamat Takagi-Sugeno fuzzy modellje A mérési adatok mellett és humán szakért®i tapasztalat együttes gépi felhasználásának megalapozására alkalmas módszerek egyike a deformációs folyamat leírása fuzzy következtet® rendszerrel. Az alábbiakban az eddig felhasznált mérési adatsorokat eredményez® deformációs folyamatokat leír® fuzzy megközelítést ismertetem. A fuzzy modell el®nye az általánosabb LPV leírással szemben, hogy a szakért®i tapasztalat a lingvisztikai változók segítségével jóval egyszer¶bben integrálható a rendszerbe, továbbá a tagsági függvények paramétereinek változásával a modell nomhangolása is könnyen elvégezhet®. A Takagi-Sugeno fuzzy következtet® rendszer tulajdonképpen tekinthet® a lineáris paraméterfügg® rendszer speciális esetének. A leirandó rendszer viselkedését a paramétertér minden egyes pontjában lokális modellek konvex kombinációja írja le (ld. 4. fejezet). A fuzzy modell közelítésének nomsága az egyes paramétertartományok partíciójának nomságán, vagyis alkalmazott fuzzy szabályantecedensek számán, valamint a fuzzy szabályantecedensek tagsági függvényének alakján múlik. Számítási bonyolultság szempontjából célszer¶ mind az antecedens halmazok számát minimalizálni, mind pedig a tagsági függvények alakját a lehet® legegyszer¶bbre választani.
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
ütközési sebesség (m/s) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
deformáció (s)
5.24. ábra. Az egyes paramétertartományok fuzzy partíciója.
81
0.8
5. FEJEZET. LPV MODELL
5
x 10
6
erõ (N)
5 4 3 2 1 0 0.6 15
0.4
14 13
0.2 12
deformáció (m)
0
sebesség (m/s)
5.25. ábra. A fuzzy következtetéssel kapott er®felület.
Ennek megfelel®en háromszög alakú tagsági függvényekkel dolgoztam (ez gyakorlatilag 3 számértéket jelent). A sebességtartományt 3, a deformációs tartományt pedig 8 fuzzy halmazzal lefedve 24 szabállyal modelleztem (ezek között vannak a gyakorlatban nem lehetséges esetek is, pl. a sebesség kicsi és a deformáció nagy) a deformáció során fellép® er®t adott ütközési sebesség és deformációs mélység esetén. Meg gyelhet®, hogy már ilyen szabályszám esetén is nagyon jól közelíti a fuzzy modell a mért értékeket. Látható, hohgy a röviden bemutatott eljárás, mely tulajdonképpen tekinthet® a lineáris paraméterfügg® modell speciális esetének, az el®z® részben alkalmazott módszerhez hasonló jó eredményt szolgáltat.
82
5. FEJEZET. LPV MODELL
5
4.5
v=39,8 km/h
x 10
mért fuzzy közelítés
4 3.5 3
erõ (N)
2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.5
0
0.1
0.2 0.3 deformáció (m)
5
7
0.4
0.5
v=48,3 km/h
x 10
mért fuzzy közelítés 6
erõ (N)
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3 0.4 deformáció (m)
5
8
0.5
0.6
0.7
v=56,3 km/h
x 10
mért fuzzy közelítés
7 6
erõ (N)
5 4 3 2 1 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 deformáció (m)
0.6
0.7
0.8
5.26. ábra. A mért és a fuzzy szabálybázis által közelített er®-deformáció karakterisztikák.
83
5. FEJEZET. LPV MODELL
5.6. Új tudományos eredmények A fejezetben leírt eredményeket a következ® publikációkban ismertettem : Angol nyelv¶ folyóiratcikk (lektorált, referált) : [S2]. Angol nyelv¶ konferenciakiadvány (lektorált, referált) : [S9]. A fejezet eredményeit az alábbi tézisekben foglaltam össze :
A lineáris paraméterfügg® (linear parameter varying, LPV) modellezési paradigma alkalmazásával az er®sen nemlineáris alakváltozás leírására új módszert dolgoztam ki a deformációs er®modellek identi kálására. 3. Tézis :
Megjegyzések : Ennek során a járm¶test deformációs folyamatainak elemzésében használatos merevség fogalmak alternatívájaként javaslatot tettem az eddigieknél bonyolultabb, de a deformációs folyamatot pontosabban leíró sajátos merevségi fogalom használatára a közelít® számítások hatékony megvalósítása érdekében.
A klasszikus lineáris er®modell általánosításaként javaslatot tettem az LPV típusú er®modell alkalmazására, mely speciális esetként magában foglalja a töréstesztek elemzéseinél használatos ismertebb er®modelleket. 4. Tézis :
Megjegyzések : Megmutattam, hogy az ütközések nemlineáris deformációs folyamatai bizonyos ütközési típusok esetén jól közelíthet®ek LPV modellekkel. Az így kialakított modell alkalmas újabb, egyszer¶bb er®modellek felállítására, lehet®séget biztosít a részletesebb és bonyolultabb számítási módszerek induló adatokból származó bizonytalanságának csökkentésére.
Az LPV megközelítés és az alkalmazott HOSVD eljárás alapján gyakorlati identi kációs eljárást mutattam be valós töréstesztek adatsorainak felhasználásával. 5. Tézis :
Megjegyzések : Az általam kialakított újszer¶ modellezési lehet®ség hidat képezhet az intelligens heurisztikus eljárások és az analitikus nemlineáris függvényekkel operáló, ún. egzakt módszerek között.
84
6. fejezet
Az eredmények összefoglalása
6.1. Az eredmények összefoglalása Az értekezés célja új identi kációs és becslési eljárásokat dolgozása a járm¶testek deformációs folyamatainak leírására. A f® célkit¶zésem olyan új energiaabszorpciós modellek megalkotása volt, amelyek gyorsan és hatékonyan adnak elfogadható pontosságú leírást a deformációs folyamatról. További célkit¶zésem volt az irányításelméletben az utóbbi években kifejlesztett módszerek más irányú alkalmazhatóságának vizsgálata. Az értekezés eredményeit az alábbi tézisekbben foglaltam össze :
A közúti járm¶ütközések során a deformációs alakváltozással összefüggésben fellép® energiaeloszlások vizsgálatára új módszert dolgoztam ki. 1. Tézis :
Megjegyzések : A módszer az ortogonális rácshálóval cellákra osztott járm¶test energiaeloszlását cellánként és irányonként úgynevezett energiaelnyelési függvényekkel közelíti, melyek az adott cella energiaelnyel® képességét írják le a deformáció adott szakaszában. A modell számítási komplexitása függ a használt elnyelési függvények bonyolultságától, ezért javasoltam a lehet® legegyszer¶bb, a folyamat jellegének megfelel®, szakaszonként lineáris és a nomabb közelítést lehet®vé tev® szigmoid jelleg¶ függvények alkalmazását. Az általam javasolt újszer¶ megközelítési módszer így rugalmas vizsgálati és tervezési lehet®séget biztosít és megalapozza az intelligens számítási módszerek hatékony alkalmazását.
85
6. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÁS, KITEKINTÉS
A módszer bemutatására kidolgoztam a közúti járm¶ütközések és balesetek jelent®s hányadát kitev®, teljes szélességben történ® és részlegesen átlapoló frontális ütközések kvalitatív cellamodelljét. 2. Tézis :
Megjegyzések : Az egyes cellák viselkedését leíró függvények paraméterei egymástól függetlenül változtathatóak, így könnyen modellezhetjük az egyes járm¶típusok eltér® merevségi viszonyait. Az így kialakított módszer a balesetelemz® mérnök számára lehet®vé teszi a jelent®s mértékben eltér® zikai karakterisztikával bíró ütközési folyamatok eredményes és rugalmas leírását. A módszer nagyvonalú közelítést biztosít, el®nye, hogy gyors és egyszer¶, könnyen végrehajtható, az egyes cellák viselkedését leíró függvények paramétereinek változtatásával a modellezett járm¶ jellege egyszer¶en megváltoztatható. Az eljárás tentatív kiindulási eredményeket biztosít az átfogóbb vizsgálatok számára, melyeket ilyen eredmények nélkül a várható nagy esetszám és számítási költség miatt nem érdemes elindítani.
A lineáris paraméterfügg® (linear parameter varying, LPV) modellezési paradigma alkalmazásával az er®sen nemlineáris alakváltozás leírására új módszert dolgoztam ki a deformációs er®modellek identi kálására. 3. Tézis :
Megjegyzések : Ennek során a járm¶test deformációs folyamatainak elemzésében használatos merevség fogalmak alternatívájaként javaslatot tettem az eddigieknél bonyolultabb, de a deformációs folyamatot pontosabban leíró sajátos merevségi fogalom használatára a közelít® számítások hatékony megvalósítása érdekében.
A klasszikus lineáris er®modell általánosításaként javaslatot tettem az LPV típusú er®modell alkalmazására, mely speciális esetként magában foglalja a töréstesztek elemzéseinél használatos ismertebb er®modelleket. 4. Tézis :
Megjegyzések : Megmutattam, hogy az ütközések nemlineáris deformációs folyamatai bizonyos ütközési típusok esetén jól közelíthet®ek LPV modellekkel. Az így kialakított modell alkalmas újabb, egyszer¶bb er®modellek felállítására, lehet®séget biztosít a részletesebb és bonyolultabb számítási módszerek induló adatokból származó bizonytalanságának csökkentésére.
86
6. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÁS, KITEKINTÉS
Az LPV megközelítés és az alkalmazott HOSVD eljárás alapján gyakorlati identi kációs eljárást mutattam be valós töréstesztek adatsorainak felhasználásával. 5. Tézis :
Megjegyzések : Az általam kialakított újszer¶ modellezési lehet®ség hidat képezhet az intelligens heurisztikus eljárások és az analitikus nemlineáris függvényekkel operáló, ún. egzakt módszerek között.
6.2. Alkalmazási lehet®ségek Az eredmények alkalmazhatóságát a közúti járm¶vek passzív biztonságának fejlesztése jelenti. Közúti balesetek esetén a járm¶ kinetikus energiájának jelent®s része a járm¶test deformációja során nyel®dik el. Az így elnyelt energia meghatározása, vagy legalább kielégít® becslése kulcsfontosságú a balesetelemzésben és a biztonságosabb járm¶vek tervezésénél. A heurisztikus és HOSVD alapú megközelítések jó kiiindulási alapot szolgáltathatnak a nomabb, részletesebb vizsgálatok számára. Az általában szabályozástechnikai célokra alkalmazott LPV alapú leírás pedig további lehet®séget adhat a jöv®ben ütközéscsillapító eljárások tervezésére is.
87
A függelék
A CFC sz¶r® leírása
Az adatok sz¶rését a SAE J211 el®írásainak megfelel® sz¶r®vel végeztük. A használt negyedrend¶ Butterworthsz¶r®t leíró dierenciaegyenlet (ez az egyenlet másodrend¶ sz¶r®t ad meg, mindkét irányban alkalmazva kapunk negyedrend¶t) :
Y [t] = a0 X[t] + a1 X[t − 1] + a2 X[t − 2] + b1 Y [t − 1] + b2 Y [t − 2] Itt
X[t]
a mért adatsor,
Y [t]
a sz¶réssel kapott kimenet,
T
(A.1)
pedig a mintavételi
id®köz. Az egyes együtthatókat az alábbi összefüggések határozzák meg :
ωd = 2π · CF C · 2,0775
(A.2)
sin ωd T2 ωa = cos ωd T2
(A.3)
a0 =
1+
√
a1 = 2a0
ωa2 2ωa + ωa2 a2 = a0
−2(ωa2 − 1) √ 1 + 2ωa + ωa2 √ −1 + 2ωa − ωa2 √ b2 = 1 + 2ωa + ωa2 b1 =
88
(A.4)
(A.5)
(A.6)
(A.7)
B függelék
A felhasznált LCB tesztekben mért er®karakterisztikák
Az alábbiakban az LPV és a fuzzy modellhez felhasznált részletes mérési adatokat közöljük. Az adatok forrása az NHTSA (National Highway Tra c Safety Administartion) adatbázisa (http ://www.nhtsa.dot.gov/). Az 5104 (v=39,8 km/h) számú teszt esetén az érz®kel®kkel ellátott akadályon (load cell barrierLCB) mért er®karakterisztikák
3 × 2-es,
km/h) és 5215 (v=48,3 km/h) számú tesztek esetében
míg az 5139 (v=56,3
9 × 4-es
mátrixformában
álltak rendelkezésre. Az egyes cellákon fellép® er®ket egy adott teszt esetén a könnyebb összehasonlíthatóság végett mindig ugyanolyan skálázás mellett ábrázoltuk.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
B.1. ábra. Az 5104 számú tesztben használt mátrix felosztás
89
B. FÜGGELÉK
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
B.2. ábra. Az 5139 és 5215 számú tesztekben használt mátrix felosztás
erõ (kN)
A1
A2
150
150
150
100
100
100
50
50
50
0
0 0
0.05
0.1
0.15
0 0
0.05
A4
erõ (kN)
A3
0.1
0.15
0
A5 150
150
100
100
100
50
50
50
0
0 0.05
0.1
idõ (s)
0.15
0.1
0.15
0.1
0.15
A6
150
0
0.05
0 0
0.05
0.1
idõ (s)
0.15
0
0.05
idõ (s)
B.3. ábra. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében (5104) .
90
B. FÜGGELÉK
erõ (kN)
A1
A2
80
80
80
40
40
40
0
0 0
0.05
0.1
0.15
0 0
0.05
erõ (kN)
B1
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.05
0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
40
40
40
0 0.1
idõ (s)
0.15
0.15
0.1
0.15
0.1
0.15
D3
80
0.05
0.05
D2
80
0
0.1
0 0
D1
0
0.15
C3
80
0.05
0.05
C2
0
0.1
0 0
C1
0
0.05
B3
80
0
erõ (kN)
0.1
B2
0
erõ (kN)
A3
0 0
0.05
0.1
idõ (s)
0.15
0
0.05
idõ (s)
B.4. ábra. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében1 (5139).
91
B. FÜGGELÉK
erõ (kN)
A4
A5
80
80
80
40
40
40
0
0 0
0.05
0.1
0.15
0 0
0.05
erõ (kN)
B4
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.05
0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
40
40
40
0 0.1
idõ (s)
0.15
0.15
0.1
0.15
0.1
0.15
D6
80
0.05
0.05
D5
80
0
0.1
0 0
D4
0
0.15
C6
80
0.05
0.05
C5
0
0.1
0 0
C4
0
0.05
B6
80
0
erõ (kN)
0.1
B5
0
erõ (kN)
A6
0 0
0.05
0.1
idõ (s)
0.15
0
0.05
idõ (s)
B.5. ábra. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében2 (5139).
92
B. FÜGGELÉK
erõ (kN)
A7
A8
80
80
80
40
40
40
0
0 0
0.05
0.1
0.15
0 0
0.05
erõ (kN)
B7
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.05
0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
40
40
40
0 0.1
idõ (s)
0.15
0.15
0.1
0.15
0.1
0.15
D9
80
0.05
0.05
D8
80
0
0.1
0 0
D7
0
0.15
C9
80
0.05
0.05
C8
0
0.1
0 0
C7
0
0.05
B9
80
0
erõ (kN)
0.1
B8
0
erõ (kN)
A9
0 0
0.05
0.1
idõ (s)
0.15
0
0.05
idõ (s)
B.6. ábra. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében3 (5139).
93
B. FÜGGELÉK
erõ (kN)
A1
A2
80
80
80
40
40
40
0
0 0
0.05
0.1
0.15
0 0
0.05
erõ (kN)
B1
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.05
0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
40
40
40
0 0.1
idõ (s)
0.15
0.15
0.1
0.15
0.1
0.15
D3
80
0.05
0.05
D2
80
0
0.1
0 0
D1
0
0.15
C3
80
0.05
0.05
C2
0
0.1
0 0
C1
0
0.05
B3
80
0
erõ (kN)
0.1
B2
0
erõ (kN)
A3
0 0
0.05
0.1
idõ (s)
0.15
0
0.05
idõ (s)
B.7. ábra. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében1 (5215).
94
B. FÜGGELÉK
erõ (kN)
A4
A5
80
80
80
40
40
40
0
0 0
0.05
0.1
0.15
0 0
0.05
erõ (kN)
B4
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.05
0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
40
40
40
0 0.1
idõ (s)
0.15
0.15
0.1
0.15
0.1
0.15
D6
80
0.05
0.05
D5
80
0
0.1
0 0
D4
0
0.15
C6
80
0.05
0.05
C5
0
0.1
0 0
C4
0
0.05
B6
80
0
erõ (kN)
0.1
B5
0
erõ (kN)
A6
0 0
0.05
0.1
idõ (s)
0.15
0
0.05
idõ (s)
B.8. ábra. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében2 (5215).
95
B. FÜGGELÉK
erõ (kN)
A7
A8
80
80
80
40
40
40
0
0 0
0.05
0.1
0.15
0 0
0.05
erõ (kN)
B7
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.05
0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
80
40
40
40
0 0.1
0.15
0.05
0.1
0.15
0
80
40
40
40
0 0.1
idõ (s)
0.15
0.15
0.1
0.15
0.1
0.15
D9
80
0.05
0.05
D8
80
0
0.1
0 0
D7
0
0.15
C9
80
0.05
0.05
C8
0
0.1
0 0
C7
0
0.05
B9
80
0
erõ (kN)
0.1
B8
0
erõ (kN)
A9
0 0
0.05
0.1
idõ (s)
0.15
0
0.05
idõ (s)
B.9. ábra. Az ütközéskor fellép® er® az id® függvényében3 (5215).
96
Publikációk
[S1] Harmati, I. and Várlaki, P. : Identi cation of Energy Distribution for Crash Deformational Processes of Road Vehicles.
Acta Polytechnica Hungarica,
4(2) :19-28.
2007. [S2] Harmati, I. Á., Szeidl, L., Rövid, A., and Várlaki, P. : Energy distribution modeling of car body deformation using LPV representations and fuzzy reasoning.
Transactions on Systems, 7(11) :1228-1237. 2008.
WSEAS
[S3] Harmati, I., Rövid, A., Szeidl, L., and Várlaki, P. : Identi cation and Reconstruc-
tion of Car Body Deformation Applying Tensor Product Models. Proc. of the 10th International Conference on Intelligent Engineering Systems, pages 98-101, London, United Kingdom. 2006.
[S4] Harmati, I., Rövid, A., Szeidl, L., and Várlaki, P. : Identi cation of Car Body Defor-
Proc. of the 3rd International Symposium on Applied Computational Intelligence and Informatics, pages 70-76, Timisoara, Romation Applying Tensor Product Models. mania. 2006.
[S5] Harmati, I., Orbán, G., and Várlaki, P. : Takagi-Sugeno Fuzzy Control Models for
Proc. of the 3rd International Symposium on Computational Intelligence and Intelligent Informatics, Agadir, Morocco. CD. 2007. Large Scale Logistic Systems.
[S6] Harmati, I., Rövid, A., and Várlaki, P. : Energy Absorption Modelling Technique
Proc. of the 4th International Symposium on Applied Computational Intelligence and Informatics, pages 269-272, Timisoara, Romania.
for Car Body Deformation. 2007.
[S7] Harmati, I., Rövid, A., and Várlaki, P. : Estimation of Energy Distribution for Car-
Proc. of the 3rd International Symposium on Computational Intelligence and Intelligent Informatics, Agadir, Morocco. CD. 2007.
Body Deformation.
[S8] Harmati I., Várlaki P. : A deformációs energia eloszlásának modellezése baleseti járm¶test deformáció esetén.
A Jöv® Járm¶ve. 2007.
[S9] Harmati, I. Á., Rövid, A., Szeidl, L., and Várlaki, P. : Energy distribution modeling of car body deformation using fuzzy control and LPV representations.
of the 8th conference on Applied Informatics and Communications,
Proceedings
pages 146-151,
WSEAS. 2008. [S10] Harmati, I., Rövid, A., and Várlaki, P. : Heuristic Model for Energy Absorption
Scienti c Bulletin of 'Politehnica' University of Timisoara, Transactions on Automatic Control and Computer Science (közlésre
of Car Body Deformational Processes, elfogadva)
97
Irodalomjegyzék
[1] P. Baranyi.
TP model transformation as a way to LMI-based controller design.
Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 51(2) :387400, 2004.
[2] P. Baranyi, D. Tikk, Y. Yam, and R.J. Patton. From dierential equations to PDC controller design via numerical transformation. 297, 2003.
Computers in Industry, 51(3) :281
[3] P. Baranyi, PL Varkonyi, and P. Korondi. Dierent a ne decomposition of the model of the prototypical aeroelastic wing section by TP model transformation. In , pages 9398, 2005.
Proc. of IEEE International Conference on the Intelligent Engineering Systems, INES'05
[4] P. Baranyi, A.R. Várkonyi-Kóczy, Y. Yam, and R.J. Patton. Adaptation of TS Fuzzy Models Without Complexity Expansion : HOSVD-Based Approach. , 54(1), 2005.
IEEE
Transactions on Instrumentation and Measurment
[5] P. Baranyi, P. Varlaki, and L. Szeidl. De nition of the HOSVD based canonical form of polytopic dynamic models. In , pages 660665, 2006.
IEEE International Conference on Mechatronics
[6] P. Baranyi, Y. Yam, D. Tikk, and R.J. Patton. Trade-o between approximation accuracy and complexity : TS controller design via HOSVD based complexity minimization. , pages 249277, 2003.
Interpretability Issues in Fuzzy Modeling
[7] P. Baranyi, Y. Yam, AR Varkonyi-Koczy, and RJ Patton. to MISO TS models. 2003.
SVD-based reduction
Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 50(1) :232242,
[8] M. Batista. A Note on Linear Force Model in Car Accident Reconstruction.
preprint physics/0511127, 2005.
Arxiv
[9] M. Batista, T. Magister, and L. Bogdanoivi¢. Computer based road accident reconstruction experiences, 2005. [10] G. Belforte, F. Dabbene, and P. Gay. LPV approximation of distributed parameter systems in environmental modelling. , 20(8) :10631070, 2005.
Environmental Modelling and Software
[11] J. Bokor, P. Baranyi, P. Michelberger, and P. Varlaki. TP model transformation in non-linear system control. In , pages 111120, 2005. [12]
Proc. of the IEEE 3rd International Conference on Computational Cybernetics ICCC R.M. Brach and M. Brach. Vehicle accident analysis and reconstruction methods.
Society of Automotive Engineers, 400 Commonwealth Dr, Warrendale, PA, 15096, USA 2005. [13] J.J. Buckley.
Sugeno type controllers are universal controllers.
Systems, 53(3) :299303, 1993.
98
Fuzzy Sets and
IRODALOMJEGYZÉK
Crash Analysis Criteria
[14] D. Cichos, D. de Vogel, M. Otto, O. Schaar, and S. Zölsch. . Workgroup Data Processing Vehicle Safety, 2006.
Description
[15] D. Coca and S.A. Billings.
Identi cation of nite dimensional models of in nite
dimensional dynamical systems.
Automatica, 38(11) :18511865, 2002.
[16] L. De Lathauwer, B. De Moor, and J. Vandewalle. Decomposition. 1278, 2000.
A Multilinear Singular Value
SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,
21(4) :1253
[17] L. De Lathauwer, B. De Moor, and J. Vandewalle. On the Best Rank-1 and Rank-(R, R,..., R) Approximation of Higher-Order Tensors.
and Applications, 21 :1324, 2000.
SIAM Journal on Matrix Analysis
[18] Y. Ding, H. Ying, and S. Shao. Necessary conditions on minimal system con guration for general MISO Mamdani fuzzy systems as universal approximators. , 30(6) :857864, 2000.
IEEE
Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B
[19] S. El-Tawil, M. PE, E. Severino, and P. Fonseca. Vehicle Collision with Bridge Piers. , 10 :345, 2005.
Journal of Bridge Engineering
First International Conference on Vehicle Mechanics," Wayne State University, Detroit, Michigan, 1968.
[20] R.I. Emori. Mechanics of Automobile Collisions. In
[21] R.I. Emori. Vehicle Mechanics of Intersection Collision Impact. 1970. [22] R.I. Emori. Scale models of automobile collisions with breakaway obstacles.
rimental Mechanics, 13(2) :6469, 1973.
Expe-
[23] A. Eskandarian, D. Marzougui, and N.E. Bedewi. Finite element model and validation of a surrogate crash test vehicle for impacts with roadside objects. , 2(3) :239258, 1997.
International
Journal of Crashworthiness
[24] A.G.
Fonda.
Principles
of
crush
energy
determination.
SAE transactions,
108(6) :392406, 1999. [25] L. Giarre, D. Bauso, P. Falugi, and B. Bamieh. LPV model identi cation for gain scheduling control : An application to rotating stall and surge control problem. , 14(4) :351361, 2006.
Control Engineering Practice
[26] P. Gri²kevi£ius and A. iliukas. The Crash Energy Absorption of the Vehicles Front Structures.
Transport, 18(2) :97101, 2003.
[27] Y. Hao. General Takagi-Sugeno fuzzy systems with simpli ed linear rule consequent are universal controllers, models and lters. 1998. [28] M. Huang.
Vehicle Crash Mechanics.
Information Sciences,
108(1) :91107,
CRC Press, 2002.
[29] J.F. Kerkho, S.E. Husher, M.S. Varat, A.M. Busenga, and K. Hamilton. An Investigation Into Vehicle Frontal Impact Stiness, BEV and Repeated Testing for Reconstruction. , pages 227255, 1993.
SAE Spec. Publ., SAE, Warrendale, 1993,
[30] CH Kim and JS Arora. Nonlinear dynamic system identi cation for automotive crash using optimization : A review. , 25(1) :218, 2003.
Structural and Multidisciplinary Optimization
[31] L.T. Kóczy and D. Tikk.
Fuzzy rendszerek.
99
Typotex, 2000.
IRODALOMJEGYZÉK
[32] A.C. Kuchar, R. Greif, and G.W. Neat. A Systems Modeling Methodology For Evaluation of Vehicle Aggressivity In The Automotive Accident Environment. , pages 011172, 2001.
SAE
Paper
[33] A. Kwiatkowski and H. Werner. Parameter Reduction for LPV Systems via Principle Components Analysis. In .
Proc. 16th IFAC World Congress
[34] N.E. Mastorakis. General Fuzzy Systems as extensions of the Takagi-Sugeno methodology. , pages 795800, 2004.
WSEAS Transactions on Systems
[35] N.E. Mastorakis. Modeling dynamical systems via the Takagi-Sugeno fuzzy model.
WSEAS Transactions on Systems, 3(2) :668676, 2004.
[36] B.G. McHenry. The Algorithms of CRASH.
McHenry Software, Inc.
[37] B.G. McHenry and R.R. McHenry. SMAC2003 : The Automatic Iteration of SMAC. , pages 1528, 2003.
SAE SP
[38] R.R. McHenry, B.G. McHenry, and Society of Automotive Engineers. Eects of Restitution in the Application of Crush Coe cients. , 106 :1696 1716, 1997.
SAE TRansactions
[39] G. Melegh.
Gépjárm¶szakértés.
Maróti Könyvkereskedés és Könyvkiadó Kft., 2004.
[40] S. Nagy, Z. Petres, and P. Baranyi. Transformation. In
TP Tool-a MATLAB Toolbox for TP Model
Proceedings of 8 th International Symposium of Hungarian Researchers on Computational Intelligence and Informatics, Budapest, Hungary, pages
483495, 2007.
[41] J.A. Neptune. A Comparison of Crush Stiness Characteristics from Partial-Overlap and Full-Overlap Frontal Crash Tests. 1999.
SAE Transactions, 108(6 ; PART 1) :383391,
[42] J.A. Neptune, G.Y. Blair, J.E. Flynn, and Society of Automotive Engineers. A method for quantifying vehicle crush stiness coe cients. Technical report, Society of Automotive Engineers, 400 Commonwealth Dr, Warrendale, PA, 15096, USA 1992. [43] J.A. Neptune and J.E. Flynn. stiness coe cients.
A method for determining accident speci c crush
SAE Transactions, 103(6) :12491265, 1994.
[44] J.A. Neptune and J.E. Flynn. A Method for Determining Crush Stiness Coe cients from Oset Frontal and Side Crash Tests. , 107 :93109, 1999.
SAE Transactions
[45] G.S. Nusholtz, Lan Xu, Y. Shi, and L. Di Domenico. Search for a relationship.
Vehicle mass and stiness :
SAE Transactions, 113(6) :748754, 2004.
[46] G.A. Nystrom, G. Kost, and S.M. Werner. Stiness parameters for vehicle collision analysis.
SAE Transactions, 100(6) :169176, 1991.
[47] D.S. Riha, J. Hassan, M. Forrest, and K. Ding. Crash Models. , pages 123138, 2004.
SAE SP
Stochastic Approach for Vehicle
[48] M. Ross, D. Patel, and T. Wenzel. Vehicle Design and the Physics of Tra c Safety.
Physics Today, 59(1) :49, 2006.
[49] A. Rövid and G. Melegh. Modeling and identi cation of road vehicle body deformatiom.
Periodica Polytechnica Transportation Science, 32(1-2) :135148, 2004.
100
IRODALOMJEGYZÉK
Baleseti járm¶test-deformációk identi kációja intelligens számítási mód-
[50] A. Rövid. . PhD thesis, Budapesti M¶szaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépjárm¶vek Tanszék, 2005. (in Hungarian).
szerekkel
[51] B.F. Schmidt, W.R. Haight, T.J. Szabo, and J.B. Welcher. and momentum analysis of collisions.
System-based energy
SAE Transactions, 107(6) :120132, 1998.
[52] J. Singh, J. Welcher, and J. Perry. N-point linear interpolation of motor vehicle crush pro les applied to various force-shortening models. , 8(4) :321328, 2003.
International Journal of
Crashworthiness
[53] C.E. Strother, R.W. Kent, and C.Y. Warner. Estimating vehicle deformation energy for vehicles struck in the side.
SAE Transactions, 107(6) :306322, 1998.
[54] C.E. Strother, R.L. Woolley, and M.B. James. A Comparison Between Nhtsa Crash Test Data and Crash3 Frontal Stiness Coe cients. , 1990.
SAE 900101
[55] C.E. Strother, R.L. Woolley, M.B. James, and C.Y. Warner. Crush energy in accident reconstruction.
SAE Transactions, (2) :740756, 1986.
[56] S. Summers, A. Prasad, and W.T. Hollowell. NHTSA's Vehicle Compatibility Research Program. , pages 010071, 1999.
SAE Paper
[57] S.M. Summers, A.K. Prasad, and W.T. Hollowell. NHTSA's Compatibility Research Program Update. , 2001.
SAE Transactions
[58] L. Szeidl, P. Baranyi, Z. Petres, and P. Varlaki. Numerical Reconstruction of the HOSVD Based Canonical Form of Polytopic Dynamic Models. In
[59]
[60]
Proc. of the International Symposium on Computational Intelligence and Intelligent Informatics,ISCIII'07, pages 111116, 2007. K. Tanaka and H.O. Wang. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach. Wiley-Interscience, 2001. S. Thomke, M. Holzner, and T. Gholami. The crash. Scienti c American, 280(3) :92 97, 1999.
[61] D. Tikk, P. Baranyi, and RJ Patton. Polytopic and TS models are nowhere dense in the approximation model space. In , volume 7, 2002.
Man and Cybernetics
2002 IEEE International Conference on Systems,
[62] D. Tikk, P. Baranyi, RJ Patton, I. Rudas, and JK Tar. Design methodology of tensor product based control models via HOSVD and LMIs. , 2, 2002.
Industrial Technology, 2002. IEEE ICIT'02. 2002 IEEE International Conference on
[63] D. Tikk, P. Baranyi, R.J. Patton, and J. Tar. Approximation Capability of TP model
Australian Journal of Intelligent Information Processing Systems, 8(3) :155
forms. 163, 2004.
[64] M.S. Varat and S.E. Husher. Vehicle crash severity assessment in lateral pole impacts.
SAE Transactions, 108(6) :302324, 1999.
An Analysis of Trends of Vehicle Frontal
[65] M.S. Varat, S.E. Husher, and J.F. Kerkho. . Society of Automotive Engineers, 1994.
Impact Stiness
[66] A.R. Várkonyi-Kóczy and A. Rövid. Soft Computing Based Point Correspondence Matching for Automatic 3D Reconstruction. 2005.
101
Acta Polytechnica Hungarica,
2(1),
IRODALOMJEGYZÉK
[67] A.R. Várkonyi-Kóczy, A. Rövid, and M. da Graca Ruano. Soft-Computing-Based Car Body Deformation and EES Determination for Car Crash Analysis Systems. , 55(6) :23042312, 2006.
IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement
[68] A.R. Várkonyi-Kóczy, A. Rövid, and P. Várkonyi. Intelligent 3D Car-Body Deformation Modeling. In , pages 4848, 2007.
Systems, 2007. ICONS'07. Second International Conference
on
[69] S. Vincze-Pap. Gy¶r®déssel a biztonságért.
Természet Világa, 2, February 2003.
(in
Hungarian). [70] S. Vincze-Pap.
Személyautók passzív biztonsága.
Természet Világa,
1, January
2004. (in Hungarian). [71] K.J. Welsh and D.E. Struble. Crush energy and structural characterization.
SAE
[72] D.P. Wood. Comparison of Modeled and Actual Car Dynamic Frontal Crush.
SAE
transactions, 108(6) :290301, 1999.
transactions, 107(6) :133149, 1998.
[73] R.L. Woolley. Non-Linear Damage Analysis in Accident Reconstruction. , 2001.
Reconstruction
Accident
[74] R.L. Woolley, C.E. Strother, and M.B. James. Rear Stiness Coe cients Derived From Barrier Test Data. , 1991.
SAE International
[75] H. Ying. General SISO Takagi-Sugeno fuzzy systems with linear ruleconsequent are universal approximators.
IEEE transactions on fuzzy systems, 6(4) :582587, 1998.
[76] LA Zadeh. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes. , 3 :2844, 1973.
IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics
The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to Approximate
[77] L.A. Zadeh. . National Technical Information Service, 1973.
Reasoning
[78] LA Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning. I. , 8 :199249, 1975.
Inform. Sciences
[79] L.A. Zadeh. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility.
Fuzzy sets and systems,
100(Supplement 1) :934, 1999. [80] K. Zeng, N.Y. Zhang, and W.L. Xu. A comparative study on su cient conditions for Takagi-Sugeno fuzzy systems as universal approximators. , 8(6) :773780, 2000.
Fuzzy Systems, IEEE
Transactions on
102
