James Gleick KÁOSZ. Egy új tudomány születése GÖNCÖL KIADÓ

James Gleick

KÁOSZ Egy új tudomány születése

GÖNCÖL KIADÓ

Cynthiának

A könyv az Oktatási Minisztérium támogatásával, a Felsőoktatási Pályázatok Irodája által lebonyolított felsőoktatási tankönyvtámogatási program keretében jelent meg.

Fordította:

Szegedi Péter Szerkesztette és a fordítást az eredetivel egybevetette:

Seres Iván A versidézeteket fordította:

Miszoglád Gábor A mű eredeti címe: James Gleick: Chaos. Making a New Science

Penguin Books, 1988 © James Gleick, 1987 - M inden jog fenntartva © Hungarian translation - Szegedi Péter, 1999, 2000

MÁSODIK KIA DÁS ISBN 963 9183 14 8

A nyomdai előkészítésben közreműködött a TWIND Kft. Göncöl Kiadó - 1519 Budapest, Pf. 351. Telefon/Fax: 361-4370 Felelős kiadó: Szikói Gábor ügyvezető Nyomta és kötötte: Széchenyi Nyo mda Kft., Győr Felelős vezető: Nagy Iván ügyvezető

a zene emberi, az állandóság természetes …

JOHN UPDIKE

Ohio Facing Nature. Poems (Alfred A. Knopf, 1985. p. 14.)

Tartalomjegyzék (elektronikus formátumhoz igazítva az oldalszámok)

Előszó .................................................................................................. A pillangó-hatás ................................................................................... 12 Edward Lorenz és játék-időjárása. A számítógép neveletlenkedik. A hosszabb távú előrejelzés kudarcra van ítélve. A rend rendezetlenségnek álcázza magát. A nemlinearitás világa. „Teljesen félreértettük a lényeget."

Forradalom ...........................................................................................29 A látható forradalom. Ingaórák, űrgolyók és játszótéri hinták. A lópatkó feltalálása. Egy megoldott rejtély: a Jupiter nagy vörös foltja. Az élet

viszontagságai ...............................................................................46

Az állati populációk modellezése. Nemlineáris tudomány, „a nemelefánt állatok tanulmányozása". Vasvilla elágazások és egy utazás a Spree folyón. Film a káoszról és a messiási kérés.

A természet geometriája....................................................................... 64 Felfedezés a gyapot árával kapcsolatban. Valaki menekül a Bourbakicsoporttól. Átviteli hibák és csipkézett tengerpartok. Új dimenziók. A fraktálgeometria szörnyei. Reszketés a skizoszférában. A felhőktől az erekig. A tudomány szemétládája. „Meglátni a világot egy homokszemben."

Különös attraktorok.............................................................................. 99 Kérdés Istenhez. Átmenetek a laboratóriumban. Forgó hengerek és egy fordulópont. David Ruelle ötlete a turbulenciához. Hurkok a fázistérben. Cickafark és kolbász. A csillagász leképezése. „Tűzijáték vagy galaxisok."

Univerzalitás ........................................................................................ 123 Új kezdet Los Alamosban. A renormalizációs csoport. Színek dekódolása. A numerikus kísérletezés kialakulása. Mitchell Feigenbaum áttörése. Az univerzalitás elmélet. Az elutasító levelek. Találkozás Comoban. Felhők és festmények.

A kísérletező ........................................................................................ 145 Hélium egy kis dobozban. „A szilárd nem szilárd hullámzása." Áramlás és forma a természetben. Albert Libchaber győzelme. A kísérlet össze-

kapcsolódik az elmélettel. Egy dimenziótól sok dimenzióig.

A káosz képei .......................................................................................161 A komplex sík. Meglepetés a Newton-módszerben. Mandelbrot-halmaz: hajtások és kacsok. A művészet és a kereskedelem találkozik a tudománnyal. Fraktális medencehatárok. A káosz-játék.

A dinamikai rendszerek csoport .......................................................... 181 Santa Cruz és a hatvanas évek. Az analóg számítógép. Tudomány volt ez? „Hosszú távú előrejelzés." Mérni a megjósolhatatlant. Információelmélet. A mikroméretektől a makroméretekig. Csöpögő vízcsap. Audiovizuális segítség. Egy korszak véget ér.

Belső ritmusok...................................................................................... 202 A modellek félreértése. A bonyolult test. A dinamikus szív. A biológiai óra beállítása. Végzetes aritmia. Csirkeembriók és rendellenes szívdobogás. A káosz mint egészség.

Káosz és ami túlmegy a káoszon.......................................................... 222 Új feltételezések, új meghatározások. A második főtétel, a hópehely rejtélye és a cinkelt játékkocka. Alkalom és szükségszerűség.

Köszönetnyilvánítás ............................................................................. 234

Előszó 1974-et írtak, amikor Los Alamosban, az észak-amerikai új-Mexikó állam egyik kisvárosában a rendőrök felfigyeltek egy férfira, aki minden áldott éjszaka az utcákat rótta; cigarettája itt is, ott is felparázslott a sötétben. Órákon át kószált a sziklafennsík ritka levegőjében szikrázó csillagok alatt, láthatólag minden közelebbi cél nélkül. S nem csupán a rendőrség furcsállta a dolgot. Az országos kutatóintézetben néhány fizikus meglepetéssel tapasztalta, hogy újdonsült kollégájuk huszonhat órásra igyekszik tágítani a napot, emiatt nem mindig lehet napközben ébren találni. Ez már a különcséggel volt határos, még az Elméleti Osztály munkatársainak szemében is. Három évtized telt el azóta, hogy J. Robert Oppenheimer épp ezt az isten háta mögötti új-mexikói vidéket választotta ki az atombombaprogram színhelyéül; ennyi idő alatt a Los Alamos-i Országos Kutatóintézet megannyi részecskegyorsítójával, gázlézerével és vegyiüzemeivel, ezernyi tudósával, tisztviselőjével, technikusával, s a világ egyik legnagyobb szuperszámítógép-központjával jócskán szétterült ezen az elhagyatott fennsíkon. Az idősebb kutatók közül emlékeztek még néhányan a sziklaágyon egykor, a negyvenes években sebtében felhúzott faépületekre, de a Los Alamos-i közösség legnagyobb részének - az egyetemista módi szerint kordnadrágban járó, munkaköpenyes fiatal férfiaknak és nőknek - a tudatában az első bombakészítők már szinte szellemek voltak. Az intézetben a legfőbb gondolati műhely az Elméleti Osztály volt, amelyet egyszerűen T osztályként emlegettek; a számítástechnikai osztályt pedig mindenki C osztálynak, a fegyverekkel foglalkozót X osztálynak mondta. Ezen a nevezetes T osztályon több mint száz jól fizetett, az egyetemi oktatás és a publikálás kötelezettségeitől mentesült fizikus és matematikus dolgozott. Ragyogó értelem és egy kis bogarasság együtt és külön-külön sem volt újdonság nekik; nem hökkenthette meg őket akárki. Mitchell Feigenbaumnak azonban mégis sikerült. Egyetlen árva cikk jelent meg a neve alatt, és semmi olyasmin nem dolgozott, ami valamelyest is ígéretesnek látszott volna. A haja fésületlen bozont, hátravetve széles homlokából, mint a német zeneszerzők mellszobrain. Tekintetében mindig szenvedély izzott. Csak hadarva beszélt, és hajlamos volt lenyelni a névelőket meg a névmásokat, mintha Közép-Európából származna, holott született brooklyni volt. Úgy dolgozott, mint egy megszállott - ha éppen dolgozott. Ha nem, akkor sétált és gondolkodott, nappal éppúgy, mint éjszaka, de leginkább mégis éjszaka. A huszonnégy órás nap nem volt elég hosszú neki, ám egy idő után mégsem próbálkozott tovább a személyére szabott kváziperiodicitással, mert arra a belátásra jutott, hogy képtelen ébren kihúzni napnyugtáig; márpedig ha folytatta volna, néhány napos időközönként óhatatlanul rákényszerül. Huszonkilenc éves korára már híre volt a tudósok között, nemegyszer ő volt a végső mentsvár egy-egy különösen nehéz kérdésben, akit mindig fel lehetett keresni, csak az volt bizonytalan, hogy hol. Egy este a munkahelyére tartva belebotlott az intézet igazgatójába, Harold Agnewba, aki éppen hazafelé készült. Agnew fontos ember volt, hajdanában Oppenheimer gyakornokaként kezdte. Még Hiroshima fölött is járt az Enola Gay kíséretében, egy műszeres repülőgépen, amely a kutatóintézet első termékének célba érkeztét fény-

képezte le. - Tudom, hogy igazán okos vagy, de ennyi ésszel megáldva miért nem a lézerfúzión töröd a fejed? - mondta Agnew Feigenbaumnak. Még a barátai sem voltak benne biztosak, hogy lesz-e Feigenbaumnak valaha is bárminemű saját eredménye. Úgy látszott, amilyen buzgón és sziporkázó szellemmel veti rá magát az ő kérdéseikre, olyan kevéssé törekszik arra, hogy valami hasznot hozó saját kutatásba fogjon. Gondolkodott a folyadékok és gázok turbulenciáján1. Eltűnődött az időn - vajon simán halad-e, vagy ugrásszerűen, mint egy kozmikus film kockái? Elelmélkedett azon, hogy milyen különös is a szem: állandó színeket és formákat lát egy olyan világban, amelyet a fizikusok változékony kvantumkaleidoszkópnak tudnak. Gondolkodott az intézet fölött futó gyalogösvények mintázatáról, vagy a repülőgép ablakán át szeme elé táruló felhőkről (míg 1975-ben hivatalosan meg nem vonták tőle egy időre - költségtúllépés miatt a tudományos célú utazások jogát). A nyugati hegyi városokban a felhők nem is emlékeztetnek a keleti tájak egén alacsonyan hömpölygő füstös, formátlan ködökhöz. Los Alamosban, egy nagy vulkáni eredetű katlan szélárnyékában, a felhők szabálytalan alakzatokban bukdácsolnak végig az égen, bár időről időre megesik, hogy egyforma füzérekké állnak össze, vagy szabályosan barázdált, szinte az agyvelőt idéző mintákban tűnnek tova. Viharos délutánokon, amikor az ég szinte reszket az elektromosságtól, a felhők - megszűrve és visszaverve a fényt - ötven kilométer távolságból is élesen kivehetők, míg lassan úgy nem fest az egész égbolt, mint fizikusoknak címzett szelíd, de látványos szemrehányás. A felhők távol estek a fizikai kutatás fő sodrától; elmosódott, egyszersmind részletekben gazdag, szerkezettel bíró és megjósolhatatlan tüneményei voltak a természetnek. Feigenbaum ilyesféléken gondolkodott, mindennemű feltűnés és eredmény nélkül. Fizikus felfogás szerint a lézerfúzió megvalósítása érdemleges kutatási témának számított, éppúgy, mint a kis részecskék spinjének, színének és ízének feltárása, vagy a világegyetem születési idejének meghatározása. A felhők természetének megértését a közfelfogás a meteorológusoktól várta. A többi fizikushoz hasonlóan Feigenbaum is lekezelő modorban nyilatkozott az effajta problémákról. - Ez az egész dolog nyilvánvaló - mondhatta, ami azt jelenti, hogy megfelelő elmélkedés és számolás után bármely jól képzett fizikus megértheti az eredményt. A nem nyilvánvaló jelző csak olyan kérdésekkel kapcsolatban merülhetett fel, amelyek tudományos tekintéllyel és Nobel-díjjal kecsegtettek. A legnehezebb problémákra, amelyekre a fizikusok csak az univerzum belső titkainak megismerése révén remélhettek megoldást, külön címkék voltak használatosak: például a mély. 1974ben - jóllehet ezt csak kevés kollégája tudta - Feigenbaum éppen egy ilyen mély kérdésen tépelődött: a káoszon.

A káosz ott kezdődik, ahol a klasszikus tudomány véget ér. Amióta a fizikusok a természet törvényeit kutatják, mindig valami különös tudatlanság lengte körül a légkörben, a viharos tengerben, az állati populációkban, a szív- és az agyműködés ingadozásaiban felbukkanó rendezetlenséget. A természet szabálytalan, nem folytonosan változó része rejtély, sőt, szinte rettenetes dolog volt a tudományban. 1

A folyadék turbulens mozgását az jellemzi, hogy a sebesség az áramlási térség minden pontjában időben teljesen szabálytalanul, össze-vissza változik. A sebesség rendszertelenül változik egy adott pillanatban az áramlási tér egyik pontjáról a másikra menve is. Mindezek miatt a részecskék pályája rendkívül bonyolult, kibogozhatatlan jelleget ölt, a folyadék összekeveredik - a fordító.

A hetvenes években azonban néhányan az Egyesült Államokban és Európában kezdtek közelebb férkőzni ehhez a bizonyos rendezetlenséghez. Ezek a kutatók - matematikusok, fizikusok, biológusok, vegyészek - mindannyian a szabálytalanság különböző fajtái között kerestek kapcsolatokat. Fiziológusok meglepő rendet tapasztaltak abban a káoszban, amely az emberi szívben fejlődik ki, és legfőbb oka a látszólag ok nélküli, hirtelen szívhalálnak. Az ökológusok felfedezték a gyapjaslepke-populációk egyedszámának növekedését és csökkenését. A közgazdászok előásták régi részvények árfolyamlistáit és újfajta módszerrel elemezték őket. Felismeréseik közvetlen összefüggéseket tártak fel az árfolyamingadozások és a természet világa - a felhők alakja, a villámlás nyomvonala, a vérerek mikroszkopikus összefonódása vagy a csillagok galaktikus összetömörülése - között. Amikor Mitchell Feigenbaum Los Alamosban gondolkodni kezdett a káoszon, csak nagyon kevesen s egymásról mit sem tudva foglalkoztak ezzel a témával. A kaliforniai Berkeley-ben egy matematikus kisebb kutatócsoportot hozott létre „dinamikai rendszerek" tanulmányozására. A Princetoni Egyetemen egy populációbiológus éppen szenvedélyes felhívást kívánt közzétenni, mely szerint minden tudósnak látnia kellene a meglepően bonyolult viselkedést, amely bizonyos egyszerű modellekben is benne rejlik. Az IBM-nél dolgozó egyik geométer új szót keresett egy - csipkézett, összegubancolt, széthasogatott, megtekert, darabokra tört - alakzat-család leírására, amelyben a természet egyik szervező elvét vélte felismerni. Egy francia matematikai fizikus azt a vitatható kijelentést tette, hogy a folyadékokban és gázokban megfigyelhető turbulenciának köze van egy furcsa, végtelenül bonyolult absztrakt valamihez, amelyet ő különös attraktornak nevezett el.1 Egy évtizeddel később a káosz lett a névadója egy rohamosan terjedő mozgalomnak, amely átalakította a tudományos életet. Egymást érték a káosz-konferenciák és egyre-másra jelentek meg a káosz-folyóiratok. Kormányzati programmenedzserek a védelmi kutatásokra, a Központi Hírszerző Ügynökség (CIA) és az Energetikai Minisztérium céljait szolgáló kutatásokra fordítható anyagi forrásokból addig példa nélkül álló összegeket költöttek a káosz vizsgálatára, s külön adminisztrációt. állítottak fel az itt felhasznált pénzeszközök kezelésére. A nagyobb egyetemeken és minden valamirevaló vállalat kutatóközpontjában több elméleti kutató is a káosz problémájának szentelte minden idejét, és csak mellékesen foglalkozott eredeti kutatásaival. Los Alamosban megalakították a Nemlineáris Kutatások Központját a káosz és vele rokon területek vizsgálatának összehangolására, és Egyesült Államok-szerte létesültek hasonló intézmények az egyetemeken. A káosz kutatása során sajátos számítógépalkalmazási módszerek és grafikus eljárások alakultak ki: olyan ábrázolásmódok, amelyek hihetetlen mértékű komplexitást (azaz bonyolultságot és összetettséget) is meg tudtak jeleníteni. Az új tudomány megalkotta a maga sajátos nyelvét: a fraktálok és bifurkációk, az intermittenciak és periodicitások, az összehajtogatott törülköző diffeomorfizmusok és a sima nudli leképezések szakmai zsargonját. Ezek mind a mozgás új elemeit jelentették, ahogyan a hagyományos fizikában a kvarkok és gluonok az anyag új alkotói voltak. Jó néhány fizikus szemében a káosz inkább a folyamat, mintsem az állapot tudománya, inkább a valamivé válásé, semmint a valamiként való létezésé.2 Ma a tudomány úgy tartja, hogy a káosz mindenütt jelen van. A felszálló cigarettafüst 1 Ezekkel később egy külön fejezet foglalko zik - a fordító 2 F. K. Browand: The Structure of the Turbulent Mixing Layer. Physica 18D (1986), p. 135. (A jegyzetekben a továbbiakban a káosszal kapcsolatban megadott irodalom általában nem laikusoknak szól. A könyv anyagát röviden összefoglaló népszerűsítő cikk magyarul: James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard és Robert S. Shaw: A káosz. Tudomány 1987/2 13-25. old. és Tél Tamás: A káosz természetrajza Természet Világa 1998/ 9 386-8. o ld. a fordító.)

heves örvényekre bomlik szét, a zászló ide-oda csapkod. A csapból kicsurranó víz állandósult alakzatból bizonytalanba megy át. A káosz megjelenik az időjárás változásaiban; abban, ahogyan a repülőgép viselkedik a levegőben; abban, ahogyan az autók összetorlódnak az autópályán1 , sőt abban is, ahogyan az olaj áramlik a föld alatti vezetékekben. Mindegy, milyen a közeg, viselkedését ugyanazok az újonnan felfedezett törvények szabják meg. E felismerés nyomán az üzletemberek kezdték másként elbírálni a biztosítási kérdéseket, megváltozott a csillagászok vélekedése a Naprendszerről, csakúgy mint a politológusok felfogása a fegyveres konfliktusokhoz vezető feszültségekről.2 A káosz áttöri a tudományágak határait, s a rendszerek általános természetének tudománya lévén, közelebb hozza egymáshoz a korábban szigorúan elkülönült területek kutatóit. „Tizenöt évvel ezelőtt az egyre erőteljesebb szakosodás már-már válsággal fenyegette a tudományt - állapította meg egy tudományfinanszírozással foglalkozó tengerészeti tisztviselő matematikusokból, biológusokból, fizikusokból és orvosokból álló hallgatósága előtt -, de a káosz jóvoltából ez a tendencia az ellenkezőjére fordult." A káosz kutatása olyan kérdéseket vet fel, amelyek meghaladják a tudomány szokásos munkamódszereinek teljesítőképességét. A káosz tudománya sokat mondó kijelentéseket tesz a komplexitás egyetemes (azaz a legkülönfélébb esetekben megnyilatkozó) természetéről. A káosz elméletének első művelőiben, akik létre- és mozgásba hozták ezt a tudományágat, egytől egyig megvolt egy sajátos fogékonyság, látásmód: jó szemük volt a mintázatokhoz, különösen az egyszerre több mérettartományban is feltűnő azonos alakzatokhoz. Volt érzékük a véletlen és a bonyolultság, a csipkézett élek és a hirtelen ugrások iránt. A káosz hívei - akik magukat nemegyszer hívőknek vagy megtérteknek, olykor egyenesen evangelistáknak mondják - a determinizmusról és szabad akaratról, a fejlődésről, a tudatos intelligencia természetéről elmélkednek. Úgy érzik, hogy eltérítették a tudományt redukcionista törekvésétől: attól, hogy a rendszereket csupán alkotórészeiken - kvarkokon, kromoszómákon vagy neuronokon - keresztül tanulmányozza. Meggyőződésük szerint ők az egészet keresik. Az új teória legszenvedélyesebb szószólói azt az állítást is megkockáztatják, hogy az utókor csak három dologra fog emlékezni a XX. századi tudományból: a relativitáselméletre, a kvantummechanikára és a káoszra. Meggyőződésük, hogy a káosz a század harmadik nagy forradalma a fizikai tudományokban. Az első két forradalomhoz hasonlóan a káoszt is a newtoni fizikától való elszakadás jellemzi. Ahogy egy fizikus mondotta: „A relativitáselmélet végzett az abszolút tér és idő newtoni illúziójával, a kvantumelmélet az ellenőrizhető mérési folyamat szintén newtoni álmával, a káosz pedig leszámolt a determinisztikus jóslat lehetőségének laplace-i képzetével."3 E háromból a káosz forradalma közvetlenül érinti a látható és tapintható, emberi léptékű dolgok világát. A mindennapi tapasztalat és a világ valóságos képei újra visszakerültek a tudományos kutatásba. Már hosszú idő óta és sokan érezték úgy - ha nem adtak is neki hangot -, hogy az elméleti fizika jócskán elrugaszkodott a világról kialakult emberi elképzelésektől. Hogy ez az eretnekség termékeny lesz-e vagy terméketlen: nem tudni. De azok közül, akik szerint a fizika zsákutcába jutott, néhányan most a káoszban látják a kivezető utat. A fizikán belül a káosz tanulmányozása egy, mondhatni, holtágból indult ki. A XX. század nagy részében a fizikai kutatás fő áramlata a részecskefizika volt, amely mind nagyobb energiákon, egyre kisebb méretekben és időtartományokban tárta fel az anyag építőköveit. Japán tudósok különösen komolyan vették a közlekedési problémát; pl. Tsohimitsu Musha és Hideyo Higuchi: The 1 / f Fluctuation of a Traffic Current on an Exp ressway. Japanese Journal of Applied Physics (1976), pp. 1271-75. 2 Alvin M. Saperstein: Chaos - A Model for the Outbreak of War. Nature309 (1984), pp. 303-5. 3 Joseph Ford: What is Chaos, That We Should Be Mindful of It? preprint, Georgia Institute of Technology, p. 12. 1

A részecskefizikából származtak a természet alapkölcsönhatásairól és a világegyetem keletkezéséről szóló elméletek. Néhány fiatal fizikus mégis egyre elégedetlenebb volt a tudományok e legtekintélyesebbjének haladási irányával. A fejlődés egyre lassulni látszott, az új részecskék elnevezése felületesnek, az elmélet maga egyre zsúfoltabbnak tetszett. A káosz feltűntekor a fiatal tudósok úgy érezték, végre itt az egész fizikát átható irányzatváltozás kezdete. Úgy tartották, hogy már eleget uralkodtak ezen a területen a nagyenergiájú fizika és a kvantummechanika csillogó absztrakciói. A kozmológus Stephen Hawking1 - Newton egykori tanszékének vezetője a Cambridge-i Egyetemen - 1980-ban, „Mutatkoznak-e olyan előjelek, amelyek az elméleti fizika végét sejtetik?" címmel tartott előadásában áttekintést adott tudományáról. „A mindennapi élet tapasztalataihoz kapcsolódó általános fizikai törvényeket már ismerjük.... Azért pedig, hogy az elméleti fizikában annyira messze előrehaladtunk, az a fizetség, hogy hatalmas gépeket és temérdek pénzt kell felhasználunk olyan kísérletekhez, amelyeknek eredményét nem lehet megjósolni." Hawking mindazonáltal elismerte: nem tudjuk, hogy a részecskefizikára alapozott természeti törvényeket vajon miképpen kell alkalmaznunk a legegyszerűbbeknél egy hajszállal is bonyolultabb rendszerekre. Más dolog a megjósolhatóság a ködkamrában, ahol két részecske egymásnak ütközik a gyorsító körüli eszeveszett hajszából jövet, és megint más, sőt egészen más egy közönséges kád kavargó vizében, a földi időjárásban, vagy az emberi agyban. Hawking fizikáját, amely egymás után szerzi a Nobel-díjakat és a nagy pénzeket a kísérletekhez, gyakran mondják forradalomnak. Időről időre mintha elérhető közelségbe kerülne a tudományok Szent Grál kelyhe, a Nagy Egyesített Elmélet (GUT), azaz a „mindenek elmélete". A fizika végigkövette az anyag és energia fejlődését a világegyetem történetének szinte legelső pillanatától. De vajon valóban forradalom-e a háború utáni részecskefizika? Vagy csak annak a keretnek a kitágítása, amelyet Einstein, Bohr s a relativitáselmélet meg a kvantummechanika többi atyja alkotott? Nem kétséges, hogy a fizika eredményei - az atombombától a tranzisztorig - gyökeresen megváltoztatták a XX. század arculatát. A részecskefizika hatóköre mégis egyre szűkülni látszott. Két nemzedék is váltotta egymást azóta, hogy az ebben a tudományágban megfogalmazódott új gondolatok igazán erőteljesen hatottak a nem szakemberek világfelfogására. A Hawking által leírt fizika úgy jutott el küldetése végéhez, hogy a természetet illetően adós maradt néhány egészen sarkalatos kérdés megoldásával. Hogyan jött létre az élet? Mi a turbulencia? És legfőképpen: hogyan alakulhat ki rend ebben az entrópia kormányozta világegyetemben, amely feltartóztathatatlanul halad a mind nagyobb rendezetlenség felé? Mindazonáltal a mindennapokban megismert dolgok, például a folyadékok, gázok és mechanikai rendszerek annyira alapvetőnek és közönségesnek látszottak, hogy a fizikusok már-már úgy vélhették, behatóan ismerik és értik is őket. Holott nem így állt a dolog. Ahogy a káosz forradalma halad előre, a fizikusok legjobbjai egymás után ismerik fel, hogy minden zavar nélkül visszakerültek az emberi méretekhez. Nem galaxisokat tanulmányoznak, hanem felhőket. Eredményes számítógépes kutatásokat végeznek, s nem Crayeken, hanem Macintoshokon. A vezető folyóiratok a kvantumfizikai cikkek tőszomszédságában tanulmányokat közölnek az asztalon pattogó golyó különös dinamikájáról. Most mintha éppen a legegyszerűbb rendszerek okoznák a legnagyobb fejtörést az előrejelezhetőség dolgában. Ráadásul ezekben a rendszerekben - a káosszal karöltve - magától 1 John Boslough: Stephen Hawking's Universe (Cambridge University Press, Cambridge, 1980); lásd még Robert Shaw: The Dripping Faucet as a Model of Chaotic System (Aerial, Santa Cruz, 1984), p. 1.

feltűnik a rend. Csak egy újfajta tudománytól remélhető, hogy áthidalhatja azt a roppant szakadékot, amely az egyes dolgok - egyetlen vízmolekula, a szív szövetének egyetlen sejtje, egy magában álló idegsejt - viselkedéséről megszerzett ismereteket elválasztja azoktól, amelyeket milliónyi ugyanilyen dolog együttes viselkedéséről gyűjtöttünk össze. Figyeljünk meg két kis szomszédos vízbuborékocskát egy vízesés lábánál. Mondhatunke valamit is arról, hogy mekkora távolságra lehettek egymástól a vízesés legtetején? Semmit az égvilágon. A szokványos fizikán belül maradva az sem zárható ki, hogy Isten észrevétlenül az asztal alá csempészte az összes vízmolekulát és ott szépen megkeverte őket. Ha a hagyományos neveltetésű fizikusok bonyolult eredményeket észleltek, rögtön bonyolult okokat kerestek. Ha véletlenszerű összefüggést láttak egy rendszer bemenete és kimenete között, akkor mindjárt azt gondolták, hogy véletlenszerűséget - mesterséges zajt vagy hibát - kell beépíteniük bármely épkézlábnak szánt elméletbe. A káosz modern elmélete azzal a hátborzongató felismeréssel kezdődött, még a hatvanas években, hogy egészen egyszerű matematikai egyenletek is modellezhetnek olyan rendszereket, amelyek nem kevésbé változékonyak, mint az emlegetett vízesés. A bemenetnél még egészen elenyésző, apró eltérések óriási különbségekké nőhetnek a kimenetig - ez az a bizonyos „érzékenység a kezdőfeltételekre". Az időjárásban ez például a félig komolyan, félig tréfásan pillangó-hatásnak nevezett jelenségben mutatkozik meg: e szerint ha egy pillangó szárnya rebbenésével megmozdítja a levegőt mondjuk Pekingben, akkor abból esetleg egy hónap múlva New Yorkban hatalmas viharrendszer támadhat. Amikor a káosz kutatói elkezdték feltárni új tudományuk családfáját, sok ide mutató korábbi gondolatot fedeztek fel. Afelől azonban még sincs semmi kétség, hogy a fiatal fizikus és matematikus forradalmárok ebből a bizonyos pillangó-hatásból indultak ki.

A pillangó-hatás

A fizikusok valahogy így szeretnek gondolkozni: „Ezek és ezek a feltételek: mi fog most történni?"

RICHARD P. FEYNMAN A fizikai törvények jellege (Magvető, 1983. p. 187.)

A nap mindig tiszta, felhőt még sosem látott égboltról tűzött alá. A szél tükörsima földet söpört. Soha nem jött alkonyat, az ősz sohasem fordult télbe, és soha nem esett az eső. A szimulált időjárás - a négy évszak átlagának megfelelő száraz, nappali időjárás - lassan, de biztosan változott Edward Lorenz1 új elektronikus számítógépében; ilyen viszonyok lehettek egykor Arthur király Camelotjában, vagy lehetnének Dél-Kaliforniában, ha nagyon meg találna enyhülni az idő. Lorenz az ablakon át láthatta a valódi időjárást, a kora reggeli ködöt, amint végigvonul a Massachusettsi Műegyetem (MIT) területén, vagy az Atlanti-óceán felől szinte a háztetők fölé beúszó felhőket. A számítógépén működő modellben sohasem jelent meg sem köd, sem felhő. A gép - egy Royal McBee - vezetékek és elektroncsövek sűrű bozótjából állt, jól elterpeszkedett Lorenz szobájában, furcsa, idegesítő zajokat hallatott, tetejébe úgy hetente el is romlott. Sem a sebessége, sem a memóriája nem volt elegendő a Föld légkörének és óceánjainak valódi szimulációjához. 1960-ban Lorenz mégis kirukkolt egy játék-időjárással, amellyel szinte elbűvölte munkatársait. A gép egy perc alatt lepergetett egy egész napot, s a perc végén egy számokkal telenyomtatott lapon közölte az aznapi időjárást. Aki tudta, mit jelentenek az egymás utáni számok, kiolvashatta belőlük, hogy az uralkodó nyugati szél idővel északira fordult, aztán délire, majd újból északira. Digitalizált ciklonok forogtak lassan egy idealizált földgömbön. Ahogy a dolognak híre ment a tanszéken, a meteorológus kollégák és a végzős egyetemisták össze-összegyűltek a gép körül, és fogadásokat kötöttek, hogyan alakul majd Lorenz időjárása. Hogy, hogy nem, sosem ismételte önmagát. Lorenz örömét lelte az időjárásban - persze enélkül is válhat az emberből kutató meteorológus. Elvezte a változékonyságát. Kedvelte a légkörben keletkező és tovatűnő mintázatokat, az örvény- és cikloncsaládokat, amelyek bár matematikai szabályoknak engedelmeskedtek, sohasem ismétlődtek. Ha a felhőkre tekintett, hajlamos volt struktúrákat látni bennük. Korábban attól tartott, hogy az időjárást kutatni olyasvalami, mintha csavarhúzóval szednénk szét egy varázsdobozt. Most viszont azon tűnődött, vajon képes lesz-e egyáltalán a tudomány elhatolni a titokig. Úgy vélte, az időjárás igazi jellege nem fogható meg átlagokkal. A Massachusetts állambeli Cambridge júniusi középhőmérséklete átlagosan 24 fok. A szaúd-arábiai Rijadban évente átlagosan tíz az esős napok száma. Ezt mondja a statisztika. A lényeg viszont az, hogyan változnak a mintázatok a légkörben az idő múlásával; ezt ragadta meg Lorenz a Royal McBeen. Ebben a gépi világegyetemben ő volt a Teremtő: szabadon, tetszése szerint szabhatta meg a természet törvényeit. Bizonyos számú kevésbé isteni és tökéletes próbálkozás, téve1

Lorenznek három alapvető cikke van, amelyek közü l a legfontosabb a Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963), pp. 130-41.; a másik kettő pedig a The Mechanics of Vacillat ion. Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963), pp. 448-64. és a The Problem of Deducing the Climate fro m the Governing Equations. Tellus 16 (1964), pp. 1-11. Ezek meg kapóan elegáns munkák, amelyek még húsz évvel később is hatással voltak a matematikusokra és fizikusokra. Lorenz visszaemlékezései első számítógépes légkörmodelljére megjelentek az On the Prevalence of Aperiodicity in Simp le Systems című írásában; in: Global Analysis, eds. M. and J. Marsden (Springer-Verlag, New Yo rk 1979), pp. 53-75.

dés után, tizenkét törvényt választott. Ezek numerikus szabályok voltak - egyenletek -, amelyek a hőmérséklet és a nyomás, a nyomás és a szélsebesség viszonyát írták le.1 Lorenz rájött, hogy sikerült a gyakorlatba átültetnie Newton törvényeit, amelyekkel egy órásmester isten megalkothat és mozgásba hozhat egy világot, egy azután már magától járó világot, hiszen a fizikai törvények determinizmusának jóvoltából szükségtelen bármiféle további beavatkozás. Aki ilyen modelleket alkot, az eleve úgy tartja, hogy a jelen és a jövő között a mozgástörvény ver hidat - a matematikai bizonyosság hídját. Ha felfogod a törvényt, megértetted a világegyetemet: ez a filozófia húzódott meg az időjárás számítógépes modellezése mögött is. S valóban, a XVIII. századi filozófusok, akik jóindulatú kívül maradónak - színfalak mögöttinek - gondolták el a Teremtőt, alighanem ilyen, Lorenz-hez hasonlatos lényt képzeltek maguk elé. Szokatlan fajta meteorológus volt. Megfáradt farmerarcából szinte kiragyogott a két szeme, s ettől úgy tetszett, mintha mindig mosolygós volna. Ritkán beszélt magáról vagy a munkájáról, inkább másokat hallgatott. Sokszor annyira belemerült a számításaiba vagy elgondolásaiba, hogy észre sem vette, ha szólnak hozzá. A hozzá közel állók úgy érezték, hogy Lorenz idejének jó részét feltehetőleg valahol a világűr egy távoli szegletében tölti. Gyerekkorában kezdte el fürkészni az időjárást: a szülői házban - a Connecticut állambeli West Hartfordban - naponta leolvasta és lejegyezte a maximum-minimum hőmérőről a napi legmagasabb és legalacsonyabb hőmérsékletet. Még több időt töltött el a házon belül matematikai fejtörőkkel. Időnként apjával együtt oldották meg a feladatokat. Egyszer egy különösen nehéz problémával találkoztak, amelyről azután kiderült, hogy nincs megoldása. El is fogadta, amit az apja mondott: mindig megpróbálhatsz egy feladatot azzal megoldani, hogy bebizonyítod, nincs megoldása. Ez tetszett Lorenznek, akárcsak a matematika tisztasága; amikor 1938-ban végzett a Dartmouth College-ban, úgy gondolta, a matematika az ő hivatása. A körülmények azonban - a II. világháború évei - közbeszóltak: a Légierőkhöz került időjárás-előrejelzőnek. A háború után már úgy döntött, megmarad az elméleti meteorológiánál, egy kicsit előrébb tolva a matematikát. Hagyományos tárgykörökben - az általános légkörzésről - írt dolgozatokkal szerzett tudományos hírnevet. De közben szakadatlanul töprengett tovább az előrejelzésen.2 A legkomolyabb meteorológusok szemében az előrejelzés nem volt igazán tudomány, inkább csak ráérzés, amelynek révén a műszerek és a felhők állásából fogékonyabb technikusok kiókumlálják a másnapi időjárást. Ez lényegében tehát találgatás. A Massachusettsi Műegyetemhez hasonló kutatóközpontokban jobban kedvelték az olyan meteorológiai problémákat, amelyek megoldhatók. Lorenz ugyanúgy látta az időjóslásban uralkodó összevisszaságot, mint bárki más, aki megpróbált már időjárás-előrejelzéssel szolgálni katonai pilótáknak, benne azonban lapult valamiféle matematikai természetű érdeklődés e kérdéskör iránt. De nemcsak az előrejelzést vették semmibe a meteorológusok: az 1960-as években - lényegében minden komoly tudóssal egyetemben - a számítógépekben sem volt bizalmuk. Az egyenletek felhasználásának kérdéseit a légkörmodellezésben Lorenz olvasmányosan írja le a következő, korabeli cikkben: Large-Scale Motions of the Atmosphere: Circulation; in: Advances in Earth Science, ed. P. M. Hurley (The MIT Press, Cambrige, Mass. 1966), pp. 95-109. A probléma ko rai, nagy hatású elemzését adja L. F. Richardson: Weather Prediction by Numerical Process (Cambridge, Cambridge University Press, 1922). 2 Lorenz egy előadásban is beszámol arról, hogy gondolkodását a matematika és a meteorológia ellentétes irányokban befolyásolta; ezt az Irregularity: A Fundamental Property of the Atmosphere című előadást Stockholmban, a Svéd Király i Tudományos Akadémián tartotta a Crafoord-díj átvételekor, 1983. szeptember 28-án; meg jelent: Tellus 36A (1984), pp. 98-110. 1

Ezek a feljavított számológépek nem látszottak használható eszköznek az elméleti tudományban. Ilyenformán az időjárás numerikus modellezése is eléggé elfajzott problémának tűnt. Holott megérett rá a helyzet. Az időjárás előrejelzése kétszáz éve várt már egy olyan gépre, amely ezerszámra, fáradhatatlanul és gépiesen végzi egymás után a matematikai műveleteket. Csak egy ilyen számítógépnek lehetett esélye valóra váltani a newtoni ígéretet, mely szerint a világ felfejthető egy determinisztikus fonal mentén; hogy szabályok kormányozzák, mint a a bolygók mozgását; hogy előrejelezhető, mint a fogyatkozások és az árapály. Elméletileg a meteorológusok a számítógép birtokában megtehetik azt, amit a csillagászok ceruzával és logarléccel: kiszámíthatják a maguk világának jövőjét a kezdeti feltételekből és a fejlődést irányító fizikai törvényekből. A levegő és a víz mozgását leíró egyenletek éppúgy ismertek voltak, ahogy a bolygók mozgását leírók. A csillagászok nem jutottak el a tökéletességig, és reményük se igen lehet rá ebben a mi Naprendszerünkben, amelyben kilenc bolygó, rengeteg hold és a kisbolygók ezreinek tömegvonzása hat. De a bolygómozgásokra vonatkozó számítások hallatlan pontossága elfeledtette az emberekkel, hogy mégiscsak jóslásokról van szó. Ha a csillagász azt mondta: „a Halley-üstökös hetvenhat év múlva visszatér", akkor ez ténynek tetszett, nem jóslatnak. A determinisztikus alapú numerikus előrejelzés pontos űrhajó- és rakétapályákat adott meg; miért nem számolta ki ugyanilyen pontosan a szeleket és a felhőket is? Nos, az időjárás sokkal bonyolultabb, jóllehet ugyanazok a törvények irányítják. Talán egy kellően nagy teljesítményű számítógép lehetne az a felsőbbrendű értelem, amelyet a XVIII. századi filozófus-matematikus, a newtoni láztól mindenkinél jobban megtámadott Laplace elképzelt: „Egy ilyen értelem - írta - egyazon képletbe foglalhatná össze a világegyetem legnagyobb testjeinek és legkönnyebb atomjainak a mozgását; számára semmi sem lenne meghatározatlan és szemei előtt ott lenne a jövő éppúgy, mint a múlt."1 Manapság, Einstein relativitáselméletének és Heisenberg határozatlansági összefüggésének korában, Laplace derűlátása már-már együgyűnek tetszhet, a modern tudomány mindazonáltal nem kis részben ma is ezt az álmát követi. Sok huszadik századi tudós - biológus, neurológus, közgazdász - lényegében arra törekszik, hogy lebontsa a maga világát a lehető legegyszerűbb olyan atomokra, amelyek tudományos szabályoknak tesznek eleget. Mindezekben a tudományokban változatlanul hat egyfajta newtoni determinizmus. A modern számítástechnika létrehozói maguk is Laplace nyomdokain haladtak; a számítástechnika és az előrejelzés története elválaszthatatlanul összekeveredett, amióta az 1950-es években Neumann János megtervezte első gépeit a princetoni (New Jersey állam) híres Felsőbb Tanulmányok Intézetében (Institute for Advanced Study). Neumann felismerte, hogy az időjárás modellezése egyenesen a számítógépek „testére" van szabva. E felfogásban persze mindig megbújt egy csöppnyi megalkuvás, olyan csekély, hogy a kutatásban részt vevők rendszerint meg is feledkeztek róla, pedig ott rejtőzött gondolataik mélyén, mint valami kiegyenlítetlen tartozás. A mérések sohasem lehetnek tökéletesek. A Newton zászlaja alatt menetelő tudósok valójában nem is a newtoni zászlót lobogtatták, hanem egy másikat, amelyre valami ilyesmi volt írva: Ha közelítőleg ismeretesek egy rendszer kezdeti feltételei és a rendszert szabályozó természeti törvény, akkor közelítőleg kiszámíthatjuk a rendszer viselkedését. Ez a feltevés a tudomány filozófiai lényegéhez tartozik. Ahogy egy elméleti kutató szerette volt mondani tanítványainak: „A nyugati tudomány alapgondolata az, hogy ha megpróbáljuk meghatározni, hogyan mozog egy golyó a biliárdasztalon, akkor nem kell figyelembe vennünk egy másik galaxis valamely bolygóján éppen lehulló faleveleket. A nagyon kis hatások elhanyagolhatók. Van bizonyos egyfelé igyekvés (konvergencia) a dolgok működésében, és akármilyen kicsiny hatások nem da1 Pierre Simon de Laplace: Essay philosopique sur les probabilités (1814).

gadhatnak tetszőlegesen nagy következményekké." A klasszikus tudományban jól bevált, igazolódott ez a hit a közelítésben és a konvergenciában. Ha 1910-ben egy kis hiba csúszik a Halley-üstökös helyzetének megállapításába, az csak egy kicsit teszi pontatlanná az üstökös helyzetének előrejelzését 1986-os feltűnésekor, sőt a hiba évmilliókon át is kicsi marad. A számítógépek ugyanennek a feltevésnek az alapján irányítják az űrhajót: a megközelítően pontos bemenetből megközelítően pontos kimenet származtatható. A gazdasági előrejelzések is erre építenek, bár már kevésbé látványos végeredménnyel. S nem tettek másképpen a globális időjárási előrejelzés úttörői sem. Lorenz primitív számítógépével a végsőkig, szinte csontvázzá egyszerűsítette az időjárást. A gép által kinyomtatott papírlapokon a sorról sorra változó szelek és hőmérsékletek mégis láthatólag úgy viselkedtek, mint a földi valóságban. Megerősítették a tudós kedvenc elképzeléseit, azt a benyomását, hogy ahogyan nő és csökken a nyomás, északra és délre kitér a légáramlás, az időjárás ismétli magát: hasonló időbeli mintázatokat mutat. Felfedezte, hogy amikor egy vonal felpúposodás nélkül ereszkedik le, akkor erre majd egy kettős felpúposodás következik, - s mint mondta: „Az ilyen szabálynak látja hasznát az időjós." Az ismétlődések azonban sosem voltak tökéletesen pontosak. A mintázatokban zavarok is megjelentek, afféle rendezett rendezetlenség. Hogy a mintázatokat világosan láthatóvá tegye, Lorenz egy egyszerű ábrázolási módszert alkalmazott. A csupa számjegyekből álló sorok helyett bizonyos számú üres szóközt nyomtattatott ki, majd utánuk még egy a betűt is. Kiválasztott egy változót - mondjuk a légáramlás irányát. Az a-k lassan végighaladtak a papírtekercsen, előre-hátra hintázva, egy hullámvonal mentén: hosszú hegy- és völgysorokat rajzoltak ki, mutatván, hogyan térül el a nyugati szél északra és délre a kontinensen. Ennek rendezettsége, a felismerhető, újra meg újra feltűnő, de sohasem egyforma ciklusok szinte megigézték. Úgy tűnt, a rendszer lassan felfedi titkait az időjós tekintete előtt. 1961-ben egy téli napon Lorenz egy hosszabb sorozatot szeretett volna megvizsgálni, s ezért rövidítéshez folyamodott: nem a legelejéről kezdte a futtatást, hanem a közepéről. A kezdeti feltételeket egyszerűen az előző kinyomtatott lapról olvasta le. Aztán lesétált a büfébe, hogy kikerüljön egy kicsit a zajból és megigyon egy csésze kávét. Amikor egy óra múlva visszatért, különös dolgot tapasztalt, s ezzel egy új tudomány alapjait vetette meg.

Ennek az új futtatásnak pontosan meg kellett volna ismételnie a korábbi futás eredményét. Lorenz maga másolta be a számokat a gépbe, a program is ugyanaz maradt. De ahogy rátekintett az újonnan kinyomtatott lapra, Lorenz mindjárt látta: időjárása olyan rohamosan tér el a legutóbbi futás mintázatától, hogy alig néhány hónapnyi idő múlva már a legkevésbé sem emlékeztet rá. Hol ezt a számhalmazt nézte, hol azt. Akár egy kalapból is kihúzhatott volna két időjárást, csak úgy vaktában. Hamarjában arra gondolt, hogy biztosan kiégett a gépben az egyik elektroncső. Azután hirtelen rájött az igazságra: Minden rendben működött, csak a begépelt számokkal volt baj.1 A számítógép hat tizedesjegyet tárolt a memóriájában: 0,506127. A papírra helykímélésül - csak hármat nyomtatott ki a gép: 0,506. Lorenz ezt a rövidebb, kerekített számsort gépelte be, gondolván, hogy az ezred résznél is kisebb különbség elhanyagolható. Ez ésszerű feltevés volt; ha például egy meteorológiai mesterséges hold az óceán felszíni hőmérsékletét egy ezrednyi pontossággal méri, akkor működtetői elégedettek lehetnek a teljesítményével. Lorenz Royal McBee számítógépe a klasszikus programot hajtotta végre, amely teljesen determinisztikus egyenletrendszeren alapult, vagyis nem tartalmazott vélet1 On the Prevalence... p. 55.

lenszerű folyamatoknak megfelelő tagokat. Ugyanabból a pontból kiindulva újra meg újra ugyanaz az időjárás adódik eredményül. S ha valamelyest különböző pontokból indulnánk ki, akkor az időjárás lefolyásában csak egészen kicsi lenne a különbség. Ez a csekély számértékbeli eltérés olyan, mint egy enyhe szélfuvallat - márpedig a kis fuvallatok nyilván elenyésznek vagy kioltják egymást, még mielőtt fontos, nagy léptékű időjárási jelenséggé nőhetnének. De lám, Lorenz sajátos egyenletrendszerében a kis hibák mégis katasztrofálisnak bizonyultak.1

HOGYA N TÉRNEK EL EGYMÁSTÓL AZ IDŐJÁRÁS ALAKULÁSÁNAK MINTÁZATAI. Edward Loren z látta, hogy jóllehet számítógépes időjárása közelítőleg ugyanabból a pontból indul ki, egymástól egyre jobban és jobban eltérő mintázatokat hoz létre, mígnem a hasonlóság végül teljesen eltűnik. (Lo renz 1961-ben kinyomtatott lapjaiból.)

Lorenz úgy döntött, hogy közelebbről megvizsgálja, mennyire tér el két ilyen közeli időjárás alakulása. Az egyik kimeneti hullámvonalat fóliára másolta és ráfektette a másikra, hogy lássa, mégis mennyire válnak szét. Az első két kidudorodás apró részleteiben is fedte 1

A dinamikai rendszereken gondolkodó klasszikus fizikusok és matematikusok közü l Jules Henri Poincaré értette meg a legjobban a káosz lehetőségét. Poincaré a következőket jegyezte meg a Science et Méthode-ban (Flammarion, Paris 1924, p. 68-69.): „Egy nagyon kicsiny, figyelmünket is elkerü lő okból meglehetős méretű okozat származhat, amelyet már lehetetlenség nem észrevennünk; s ekkor azt mondjuk, hogy mindez a vélet len műve. Ha pontosan ismerjük a természet törvényeit és a világegyetem állapotát a kezdeti pillanatban, akkor pontosan jósolhatjuk ugyanannak a világegyetemnek az állapotát egy következő pillanatban. De a kezdeti állapotot csak közelítőleg ismerhetjük, s ez akkor sem lenne másként, ha már feltáru lt volna előttünk a természeti törvények valamennyi titka. Ha e közelítő ismeret birtokában képesek vagyunk ugyanazzal a közelítéssel megjósolni a következő állapotot, akkor minden teljesül, amit kívánunk. Ez esetben azt mondhatjuk, hogy a jelenséget megjósoltuk, hogy a jelenséget törvények irányítják. Ez azonban nincs mindig így; megtörténhet, hogy kis különbségek a kezdeti feltételekben nagyon nagy különbségeket támasztanak a végső jelenségben. Egy kis hiba az előbbiben nagy hibát okoz az utóbbiban. A jóslás így lehetetlenné válik..." Poincaré századvégi figyelmeztetését gyakorlatilag elfelejtették; az Egyesült Államokban az egyetlen matematikus, aki komo lyan követte Poincaré tanítását a húszas és harmincas években, Geo rge D. Birkhoff volt, s ő történetesen tanított egy ideig egy Edward Lorenz nevű diákot a Massachusettsi Műegyetemen.

egymást. Azután az egyik vonal egy paraszthajszállal lemaradt a másik mögött. Mire a következő dudorig jutottak, már feltűnően nem voltak azonos fázisban. A harmadik vagy negyedik dudornál pedig már semmiben sem emlékeztettek egymásra. Mindez, mondhatni, csupán egy ügyetlen számítógép bizonytalankodása volt. Lorenz nyugodt lélekkel feltehette volna, hogy a számítógépével van valami baj, vagy a modelljével - talán erre kellett volna gondolnia. Hiszen nem történt semmi olyasmi, mintha nátriumot és klórt vegyítve mondjuk aranyat kapott volna. Matematikai meggondolásokból kiindulva azonban - amelyeket kollégái csak később értettek meg - Lorenz úgy vélte, hogy valami itt nincs rendjén; valami kizökkent a kerékvágásból. Megdöbbenthette, amit tapasztalt. Egyenletei, holott csak karikatúrái voltak a földi időjárásnak, meggyőződése szerint mégis megragadták a valóságos légkör lényegét. Még nem is ért véget a nap, amelyen elszánta magát arra a bizonyos hosszú távlatú előrejelzésre, s máris kudarcot kellett vallania.1 „Egyáltalán nem jártunk sikerrel, és most megvan rá a mentségünk - mondta. - Azt hiszem, az emberek egyebek közt azért gondolták lehetségesnek az előrejelzést, mert léteznek olyan valóságos fizikai jelenségek, amelyek lefolyása valóban előre kiszámítható, ilyenek például a napfogyatkozások - amelyben elég bonyolult a Nap, a Hold és a Föld együttes dinamikája - vagy az óceáni árapály jelensége. Sohasem gondoltam az árapály előrejelzésekről, hogy jóslatok volnának - tényekről szóló állításoknak tartottam őket -, pedig igenis jóslatok. Az árapály valójában éppoly bonyolult, mint a légkör. Mindkettőnek vannak periodikus összetevői: megjósolhatjuk például, hogy a következő nyár melegebb lesz az idei télnél. De az időjárással úgy vagyunk, hogy köszönjük szépen, ezt már tudjuk róla. Ami viszont az árapályt illeti, abban épp ez a megjósolható rész érdekel bennünket; a megjósolhatatlan rész kis hányadot tesz ki, feltéve persze, hogy nincs vihar. A kívülálló, látván, hogy néhány hónapra előre is egészen jól meg tudjuk jósolni az árapályt, erre azt kérdezheti: miért nem tudjuk akkor előre megjósolni a légkör állapotát is; hiszen az is csak egy nem szilárd halmazállapotú közeg, nagyjából ugyanolyan bonyolultságú törvényekkel. Nos, arra jutottam, hogy ha egy fizikai rendszer nem periodikus viselkedésű, akkor - bármilyen legyen is e rendszer egyébként - a mozgása mindig megjósolhatatlan." Az ötvenes-hatvanas években irreálisan közelinek tetszett az időjárás előrejelezhetősége.2 Az újságok, képeslapok gyakran cikkeztek az időjárástudománnyal kapcsolatos várakozásokról, s nem csupán előrejelzéssel, hanem az időjárás módosításával, sőt szabályozásával is kecsegtettek. Ez időre érett be ugyanis a digitális számítógépek és a mesterséges holdak technológiája. Együttes hasznosításukra nemzetközi programot készítettek elő, a Globális Légkörkutatási Programot, mégpedig abban a reményben, hogy végre fordul a kocka: az emberi társadalom megszabadulhat az időjárás viszontagságaitól, sőt megszabhatja az időjárás alakulását. Geodetikus kupolák borítanák a kukoricaföldeket, repülőgépek csapadékképző szerekkel hintenék be a felhőket; a tudósok megtanulnák, hogyan csináljanak esőt, és hogyan parancsoljanak megálljt neki. 1 On the Prevalence ... p. 56. 2 Az akkori szakértői vélemények széleskörű áttekintését adta a következő cikk: Weather Scientists Optimistic That New Findings Are Near; The New York Times, 1963. szeptember 9., p. 1. Mai (magyar nyelvű) áttekintéssel szolgál Götz Gusztáv: Káosza légkö rben c. tanulmánya; Magyar Tudomány1993 / 4 tematikus szám: A káosz és rendezetlenség kutatása. Korszakváltás a tudományban.

Ennek a közkeletű felfogásnak Neumann volt a szellemi atyja, aki - egyebek között - éppen az időjárás irányítása céljából építette meg első számítógépét. Meteorológusokkal vette körül magát, és terveiről lélegzetelállító előadásokat tartott a fizikus társadalomnak. Megvolt rá a maga sajátos matematikai oka, miért látott rá lehetőséget. Felismerte ugyanis, hogy egy bonyolult dinamikai rendszerben létezhetnek instabilitási pontok: olyan kényes pontok, ahol egy apró lökésnek is komoly következményei lehetnek, például egy hegycsúcson egyensúlyozó labda esetében. Neumann úgy vélte, hogy a számítógép segítségével a tudósok több napra előre kiszámíthatnák a folyadékmozgás egyenleteinek megoldását, s e megoldás birtokában - az időjárást kiigazítandó - valamilyen központi meteorológus-bizottság repülőgépeket indíthatna útnak ködfüggönyök létrehozására vagy felhők behintésére. Neumann figyelmét azonban elkerülte a káosz lehetősége: jelesül az, hogy minden pontban felléphet ilyesfajta instabilitás. Az 1980-as évekre hatalmas és rengetegbe kerülő gépezet jött létre e Neumann-féle tervnek, de legalábbis az előrejelzésre vonatkozó részének a megvalósítására. Amerika legkiválóbb előrejelzői egy egyszerű kockaépületben dolgoztak együtt az egyik marylandi elővárosban, a washingtoni körgyűrű közelében; a tetőn annyi volt a radar meg az antenna, hogy kémközpontnak is bevált volna. Szuperszámítógépükön olyan modell futott, amely csak alapötletében hasonlított Lorenzéhez. Míg a Royal McBeenek alig hatvan szorzásra futotta másodpercenként, addig a Control Data Cyber 205-ös sebességét megaflopokban mérték, azaz másodpercenkénti egymillió lebegőpontos műveletben. Lorenz még beérte tizenkét egyenlettel; a modern globális modell 500 ezer egyenletből álló rendszerrel számolt. A modell tudta, milyen hőfolyamatokat kelt a levegőben a nedvesség kicsapódása és elpárolgása. Digitális hegyláncok formálták a digitális szeleket. Óránként özönlöttek az adatok a világ minden országából, repülőgépekről, mesterséges holdakról és hajókról. Az Amerikai Meteorológiai Központ a világ második legjobb előrejelzéseit adta. A legjobbak azonban az angliai Readingből jöttek, egy kis egyetemi városból, autóval alig egy órányira Londontól. A Középtávú Időjáráselőrejelzés Európai Központja egy szerény, fáktól árnyékolt, jellegtelen ENSZ-stílusú, modern üveg- és betonszerkezetű épületben székelt, sokfelől érkezett ajándékokkal ékesítve. Az összeurópai közös piaci szellem virágzásának idején épült, amikor a nyugat-európai nemzetek legtöbbje úgy határozott, hogy egyesíti a többiekkel tehetségét és erőforrásait az időjárás előrejelzésének ügyében. Az európaiak fiatal, rendszeresen megújuló - nem közszolgálati jellegű - gárdájuknak tulajdonították sikereiket, no meg Cray szuperszámítógépüknek, amely láthatólag mindig egy modellel előtte járt az amerikainak. Az időjárás-előrejelzés az első, de korántsem az utolsó eset volt, amikor a számítógépeket bonyolult rendszerek modellezésére használták fel. Sok fizikus és társadalomtudós is ehhez a módszerhez fordult, azt remélvén, hogy ez úton mindent megjósolhatnak, a lég- és hajócsavartervezőket foglalkoztató mikroméretű folyadékáramlásoktól kezdve a közgazdászokat izgató nagy gazdasági áramlatokig. S a hetvenes-nyolcvanas évekre a számítógépes gazdasági előrejelzés már csakugyan hasonlított a globális időjárás-előrejelzéshez. A modellek az egyenletek bonyolult - részben önkényes - szövevényét gyúrták-gyömöszölték, hogy a kezdeti feltételek - légköri nyomás vagy pénztartalékok - mért értékeiből kiindulva szimulálják a jövőbeli irányzatokat. A programozók azt remélték, hogy eredményeik nem válnak túlságosan torzzá a sok elkerülhetetlen egyszerűsítő feltevés után. Ha egy modell valami szembetűnően furcsát adott - mondjuk árvizet fakasztott a Szaharában, vagy megháromszorozta a kamatlábat -, akkor a programozók felülbírálták az egyenleteket, hogy a kimenetet visszatereljék a várakozásnak megfelelő irányba. A gazdasági modellek a gyakorlatban lehangolóan vaknak bizonyultak; sokan - akik mindenáron többet szerettek volna

tudni - mégis úgy tettek, mintha hittek volna az eredményekben. A gazdasági növekedést vagy a munkanélküliséget két vagy három tizedesjegy pontossággal vélte megjósolni a modell.1 A kormányok és pénzügyi intézmények nem kis pénzt fizettek az ilyen jóslatokért, és jobb híján, kényszerűségből rájuk alapozva cselekedtek. Feltehetőleg tudták, hogy a „fogyasztói optimizmus" és a hasonszőrű változók nem mérhetők olyan tisztán, mint a „páratartalom", és hogy még senkinek sem sikerült felállítania a politikai mozgás vagy a divat tökéletes differenciálegyenleteit. Azt viszont kevesen vették észre, hogy már az áramlások számítógépes modellezése is meglehetősen bizonytalan, még akkor is, ha az adatok megbízhatónak tűntek, a vonatkozó törvények pedig tisztán fizikaiak voltak, mint például az időjárás előrejelzésében. A számítógépes modellezés valódi sikereket ért el az időjárás-előrejelzés művészetből tudománnyá változtatásában. Az Európai Központ becslései valószínűvé tették, hogy a jóslatok révén - amelyek statisztikailag jobbak voltak a véletlen találgatásnál - a világ dollármilliárdokat takarított meg minden egyes évben. Két vagy három napon túl azonban a világ legjobb előrejelzései is elbizonytalanodtak, hat vagy hét napon túl pedig teljesen hasznavehetetlenné váltak. Az ok a pillangó-hatásban rejlett.2 A kisléptékű időjárási jelenségek lefolyása - s a globális előrejelzésben a viharok és hóviharok is ide számítanak - csak igen rövid időszakra jósolható meg előre. A hibák és bizonytalanságok a turbulens tulajdonságok láncán keresztül fokozatosan megsokszorozódnak, a portölcsérekből és széllökésekből földrésznyi kiterjedésű örvények formálódnak, s azokat csak a mesterséges holdak észlelik. A modern időjárási modellek egymástól nagyjából száz kilométerre levő észlelőhelyek hálózatával dolgoznak, és bizonyos kezdeti adatokat még így is találgatni kell, mert a földi állomások és a mesterséges holdak sem érzékelhetnek mindent. De tegyük fel mégis, hogy a Földet beboríthatnánk egymástól harminc centiméterre levő érzékelőkkel, és ezt a harminc centiméteres lépésközt felfelé is tarthatnánk, egészen a légkör tetejéig. Tegyük fel ezenfelül, hogy minden érzékelő tökéletesen pontos mérési eredményeket ad a hőmérsékletről, a nyomásról, a páratartalomról és bármely olyan mennyiségről, amelyre a meteorológus egyáltalán kíváncsi lehet. Pontosan délben egy végtelen nagy teljesítményű számítógép megkapja az összes adatot és kiszámítja, hogy mi történik majd minden egyes pontban 12:01-kor, aztán 12:02-kor, aztán 12:03-kor ... A számítógép azonban változatlanul képtelen lesz megjósolni, napos vagy esős idő lesze egy hónap múlva a New Jersey állambeli Princetonban. Az érzékelők közötti terekben a déli méréskor is fluktuációk, az átlagtól való piciny eltérések bújnak meg, s a számítógép nem szerez róluk tudomást. 12:01-re ezek a fluktuációk már kisebb hibákat idéznek elő a 30 centiméteres távolságon. A hibák hamarosan elérik a három méteres nagyságrendet, sőt nemsokára a földgolyó méretéig nőnek majd. Mindez ellentmond az intuíciónak, még a tapasztalt meteorológusok intuíciójának is. Lorenz beszélt a pillangó-hatásról egyik legrégebbi barátjának és MIT-beli meteorológustársának, Robert White-nak, aki később az Amerikai óceán és Légkör Hivatal vezetője lett, s elmondta azt is, mit jelent ez szerinte a hosszú távú jóslás szempontjából. White ugyanúgy válaszolt erre, mint Neumann tette volna: „Jóslás, az semmi, - mondta - ez maga az időjárás irányítása." Úgy gondolta, hogy az emberi lehetőségek körébe eső apró módosítá1

Peter B. Medawar Expectation and Prediction; in: Pluto's Republic (OxfordUn iversity Press, Oxford, 1982), pp. 301-4. 2 Lorenz eredetileg inkább a tengeri sirályra hivatkozott. Az elfogadottabb név talán a Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas? c. előadásból származik, amelyet az A merican Association for the Advancement of Science éves közgyűlésén tartott Washingtonban, 1979. december 29-én.

sok révén létrehozhatják a kívánt nagy léptékű változásokat. Lorenz másképpen látta. Hogyne, megváltoztatjuk az időjárást; elérhetjük, hogy másképpen alakuljon, mint különben alakult volna. De ha megtesszük, sosem fogjuk megtudni, miként alakult volna magától. Mintha csak megkevernénk egy már jól megkevert kártyacsomagot. Tudjuk, hogy megváltoztatja a szerencsénket, de azt nem, hogy javítja-e vagy rontja.

Lorenz felfedezése a véletlen műve volt, folytatása annak a sornak, amely Arkhimédésszel és fürdőkádjával vette kezdetét. Lorenz mégsem kiáltott soha heurékát. Nem változtatott jellemén, hozzáállásán az a tény, hogy finom érzékkel kietlennek tűnő helyen is értéket talált. Készen állt arra, hogy feltárja felfedezésének következményeit: nevezetesen, hogy kiderítse, mit változtat ez a felfedezés a folyadék áramlásának tudományos felfogásán. Ha Lorenz nem lép tovább a pillangó-hatásnál, a megjósolhatatlanság olyasfajta képénél, amely utat nyit a merő véletlen előtt, akkor csupán egy nagyon rossz hírrel szolgált volna. Csakhogy ő a véletlennél többet érzékelt ebben az időjárás-modellben. Finom geometriai szerkezetet látott benne, melynek csak álcája a véletlenszerűség. Végül is meteorológus alakját felöltött matematikus volt, és ettől fogva, mondhatni, kettős életet élt. Írt tisztán meteorológiai cikkeket, s írt tisztán matematikaiakat is, kissé félrevezető meteorológiai bevezetővel. Utóbb azután ezek a bevezetők teljesen elmaradtak. Figyelme egyre inkább olyan rendszerek matematikája felé fordult, amelyek sohasem jutnak állandósult állapotba: olyan rendszerekére, amelyek szinte megismétlik önmagukat, de sohasem minden részletükben. Mindenki tudta, hogy az időjárás éppen ilyen - aperiodikus - rendszer. A természetben ez egyáltalán nem ritkaság: az állati populációk majdnem szabályosan növekszenek és csökkennek; a járványok - nem kis fájdalmunkra - csaknem szabályos időközökben jönnek és mennek. Ha az időjárás egyszer is pontosan olyan állapotba jutna vissza, amilyenben már volt - minden szélroham és felhő pontos mása lenne egy korábbi pillanatban fennállottnak -, akkor ezután alighanem örökké ismételné önmagát, és pofonegyszerűvé válna az előrejelzés feladata. Lorenz átlátta, hogy ennek az önismétlődéstől való tartózkodásnak valamiképpen összefüggésben kell lennie az időjárás-előrejelzések óhatatlan pontatlanságával: azaz kapcsolatnak kell lennie az aperiodikusság és a megjósolhatatlanság között.1 Nem volt könnyű feladat egyszerű egyenletekkel előállítani ezt a kívánt aperiodikusságot. Számítógépe eleinte előszeretettel esett ismétlődő ciklusokba. De Lorenz néhány kisebb bonyolítás révén végül is sikerrel járt: kialakított egy olyan egyenletet, amely kelet-nyugati irányban változtatta a felmelegedés mértékét, tökéletes összhangban azzal, ahogy a valóságban is más és más a napsütés melegítő hatása például Észak-Amerika keleti partján és az Atlanti-óceánon. Ekkor eltűnt az ismétlődés. A pillangó-hatás nem holmi véletlen volt, hanem nagyon is szükségszerű. Tegyük fel fejtegette Lorenz -, hogy a kis zavarok végig kicsik maradnak, s nem nőnek egyre nagyobbra a rendszerben. Ha így lenne, és az időjárás tetszőlegesen közel kerülne valamely korábbi állapotához, akkor tetszőlegesen közel maradna az e korábbi időjárás további alakulásához. Gyakorlati szempontból tehát megjósolhatóak volnának a ciklusok, azaz végül is érdektelenek. A tényleges földi időjárás változatos gazdagságának, csodálatos sokféleségének okaként keresve sem találhatunk jobbat a pillangó-hatásnál. A pillangó-hatás tudományos nevet kapott; ettől fogva úgy mondták: érzékenység a kezdőfeltételekre. A kezdőfeltételektől való érzékeny függés nem egészen új eszme. Fellelhe1 The Mechanics of Vacillation.

tő a népköltésben is: „Egy szög miatt a patkó elveszett; A patkó miatt a ló elveszett; A ló miatt a lovas elveszett; A lovas miatt a csata elveszett; A csata miatt az ország elveszett!"1 (Károlyi Amy fordítása) A tudományban, akárcsak az életben, köztudomású, hogy az események láncában adódhat egy válságpont, amely felnagyíthatja a csekélyke változásokat. A káosz azt jelenti, hogy mindenütt vannak ilyen pontok: áthatnak mindent. Az időjáráshoz hasonló rendszerekben a kezdőfeltételek iránti érzékenység elkerülhetetlen következménye annak a módnak, ahogyan a kis és nagy mérettartományok összefonódnak. Kollégáit bámulatba ejtette, ahogy Lorenz mind az aperiodikusságot, mind a kezdőfeltételekre való érzékenységet megjelenítette a maga játék-időjárásában: épp csak egy tucat egyenletben, amelyeket könyörtelen mechanikus hatékonysággal számolt ki újra meg újra. Hogyan támadhat ilyen gazdagság, ilyen megjósolhatatlanság - ilyen káosz - egy egyszerű determinisztikus rendszerben?

Lorenz félretette az időjárást, és a bonyolult viselkedésnek még ennél is egyszerűbb megnyilatkozásait kereste. Talált is egy csupán három egyenlet által leírható rendszert. Ezek az egyenletek nemlineáris egyenletek voltak, ami annyit tesz, hogy az egyenes arányosságtól eltérő összefüggéseket fejeztek ki. A lineáris összefüggések rajzban egyenes vonallal ábrázolhatók. A lineáris összefüggéseket könnyű elgondolni: mennél több, annál jobb (mégpedig arányosan: ha kétszer több, akkor kétszer jobb - a fordító). A lineáris egyenletek könnyen megoldhatók, ezért nagyon jó iskola- (és tankönyvi) példák. A lineáris rendszereknek nagy előnyük az elemekből való összerakhatóság: szét lehet őket szedni, aztán újra összerakni - a darabok összeadódnak. A nemlineáris rendszerek egyenletei rendszerint nem oldhatók meg és nem lehet összeadni őket. A folyadékrendszerekben és a mechanikai rendszerekben a nemlineáris tagok adnak számot azokról a tulajdonságokról, amelyektől az emberek - egyszerű és könnyen átlátható képre törekedve - rendszerint igyekeznek megszabadulni. Ilyen sajátosság például a súrlódás. A súrlódást számításon kívül hagyva egy egyszerű lineáris egyenlet fejezi ki azt az energiamennyiséget, amely egy jégkorong valamekkora mértékű felgyorsításához szükséges. A súrlódással is számolva az összefüggés bonyolultabb lesz, mert ez az energiamennyiség attól is függeni fog, milyen sebesen mozog már a korong. A nemlinearitás azt jelenti, hogy a játék alakulása befolyásolja a játékszabályokat. Nem tulajdoníthatunk mindentől független jelentőséget a súrlódásnak, mert ez a jelentőség függ a sebességtől. És viszont: a sebesség függ a súrlódástól. Ez a kifordult, csavaros változékonyság teszi nehezen kiszámíthatóvá a nemlinearitást, de ez ad módot a vele járó gazdag viselkedésformákra is, amelyek lineáris rendszerekben soha nem léphetnek fel. A hidrodinamikában minden egyetlen központi egyenletre, a Navier-Stokes egyenletre csupaszodik le: ez a tömörség 1 Ebben az összefüggésben Norbert W iener idézte: Nonlinear Predict ion and Dynamics; in Collected Works with Commentaries, ed. P. Masani (The MIT Press, Cambridge, Mass., 1981), 3:371. Wiener Loren z elődje volt a tekintetben, hogy legalább a lehetőségét látta „a kis részletek felerősödésének az időjárási térképen". Megjegyezte, hogy "a tornádó teljességgel helyi jelenség, és kis kiterjedésű apróságnak tűnő dolgok határozhatják meg a pontos pályáját."

csodája, amely összefüggést állít fel a folyadék sebessége, nyomása, sűrűsége és viszkozitása (folyóssága) között, de történetesen nemlineáris. Ezért ezeknek az összefüggéseknek a megragadása nemegyszer lehetetlenné válik. Egy nemlineáris egyenlet - mondjuk a Navier-Stokes egyenlet - viselkedésének vizsgálata olyan, mint egy labirintusban sétálni, amelynek a falai minden lépésünk után máshová kerülnek. Ahogy Neumann maga mondta: „Az egyenlet jellege ... minduntalan változik minden fontos tekintetben: a rendje éppúgy, mint a fokszáma. Így nem kis matematikai nehézségekkel számolhatunk."1 A világ más lenne - és a tudománynak nem kellene semmiféle káosz -, ha a Navier-Stokes egyenletbe nem férkőzött volna be a nemlinearitás démona. Lorenz három egyenletét egy sajátos folyadékmozgás sugalmazta: a forró gáz vagy folyadék felemelkedése vagy felfelé áramlása, amit konfekciónak neveznek. A légkörben a konvekció összekeveri a napsütötte földfelszín által felmelegített levegőt, és kísértet módjára reszkető konvektív hullámokat csal a forró aszfalt és a radiátorok fölé. De Lorenz éppoly boldog volt, ha egy csésze forró kávéban fellépő konvekcióról beszélhetett.2 Mint mondta, ez csak kiragadott példa a tömérdek hidrodinamikai folyamatra világegyetemünkben, az Egészben, amelynek viselkedését szeretnénk előre ismerni. Hogyan számíthatjuk ki, milyen gyorsan hűl le egy csésze kávé? Ha a kávé csak meleg, hője bármi hidrodinamikai mozgás nélkül szétszóródik. A kávé mindvégig állandósult állapotban marad. De ha kellően forró, akkor egy konvektív áram a csésze aljáról felviszi a forró kávét a hidegebb felszínre. Ez a konvekció szépen láthatóvá válik, ha egy kis tejszínt csurgatunk a kávéba. Bármily bonyolult legyen is a kavargás, aligha kétséges, mi felé halad a rendszer. Mivel a hő szétszóródik és a súrlódás lelassítja a mozgó folyadékot, a mozgásnak szükségszerűen meg kell szűnnie. Lorenz némi szarkazmussal csak ennyit mondott erről egy tudományos eszmecserén: „Adódhatnak nehézségeink, ha tudni szeretnénk, mekkora lesz egy perc múlva a kávé hőmérséklete, de szinte egyáltalán nem kerül fáradságba megmondani, hogy mekkora lesz egy óra múlva."3 A kihűlő kávét leíró mozgásegyenleteknek tükrözniük kell a rendszer végső állapotát. Szét kell szórniuk, el kell veszejteniük az energiát, avagy - fizikus szóhasználattal élve - disszipatívnak kell lenniük. A hőmérsékletnek tartania kell a szoba hőmérsékletéhez, a sebességnek pedig nullához. Lorenz vett egy csomó konvekciós egyenletet4 és teljesen lecsupaszította őket; mindent elvetett belőlük, ami felesleges, s ezzel irreálisan egyszerűvé változtatta őket. Egyetlen tulajdonság - a nemlinearitás - kivételével szinte semmi sem maradt az eredeti modellből. Fizikus szemmel nézve, az egyenletek könnyűnek tetszettek. Rájuk pillantva azt gondolhatjuk - ahogyan sok tudós tette a következő években -, hogy meg tudnám oldani őket. „Hogyne - mondta Lorenz - látva őket, hajlamosak vagyunk ezt hinni. Akad bennük né1 John von Neumann: Recent Theories of Turbulence. (1949); in: Colletted Works, ed. A. H. Taub (Pergamon Press, Oxford 1963), 6:437. 2 The pred ictability of hydrodynamic flow; in : Transactions of the New York Academy of Sciences 11:25:4 (1963), pp. 409-32. 3 U.o. p. 410. 4 Ezt a konvekciót modellező, hét egyenletből álló rendszert Barry Saltzman találta ki a Yale Egyetemen. A Saltzman-egyenletek általában periodikusan viselkedtek, de az egyik változat „nem volt hajlandó lehiggadni", ahogy Lorenz mondta, és Lorenz észrevette, hogy ennek a kaotikus viselkedésnek a folyamán négy változó nullához közelített - így el lehetett hanyagolni őket. Barry Saltzman : Fin ite A mplitude Convection as an Initial Value Problem; Journal of the Atmospheric Sciences 19 (1962), p. 329. A konvekció kísérleti és elméleti megkö zelítéseiről magyarul is olvasható Sasvári László tanulmánya: A Rayleigh-Bénard instabilitás; in: Kürti Jenő (szerk.): Nemlineáris jelenségek: Struktúrák kialakulása és káosz (ELTE Fizikus Diákkör 1983) I. kötet IV. fejezet.

hány nemlineáris tag, mégis bízunk benne, hogy valami módon csak kikerülhetjük őket. Holott erre nincs mód." A legegyszerűbb, tankönyvekben szerepeltetett konvekció egy folyadékcellában zajlik, egy dobozban, amelynek sima alját melegíteni, szintén sima tetejét pedig hűteni lehet. A forró fenék és a hideg tető közötti hőmérséklet-különbség határozza meg, hogyan áramlik a hő. Ha ez a különbség kicsi, akkor a rendszer nyugalomban marad: a hő ilyenkor vezetéssel jut feljebb, éppúgy, mint egy fémrúdon keresztül, anélkül, hogy legyőzné a folyadék természetes hajlamát a nyugalomban maradásra. Sőt a rendszer stabil: bármilyen véletlenszerű mozgás - például ha egy egyetemi hallgató óvatlanul meglöki a berendezést - ki fog halni, s a rendszer visszajut állandósult állapotába. Ámde ha növeljük a hőt, akkor a rendszer újfajta viselkedést mutat. Ahogy a folyadék alja felforrósodik, egyben ki is tágul, azaz kevésbé sűrű lesz, s idővel odáig csökken a sűrűsége, hogy legyőzi a súrlódást, és megindul felfelé, a felszín felé. Egy e célra tervezett dobozban például hengeres áramlás fejlődhet ki, a henger egyik oldalán a forró folyadék felemelkedik, a másik oldalán a hideg folyadék lesüllyed. Oldalról nézve a mozgás körkörösnek látszik. A természet a laboratórium falain kívül is gyakran hoz létre konvekciós cellákat. Amikor például a Nap felmelegíti a sivatag homokfelszínét, akkor a mozgó levegő bizonytalan körvonalú mintázatokat alakíthat ki fent a felhőkben vagy lent a homokon. Ha a hő mennyisége tovább növekszik, akkor a viselkedés is egyre bonyolódik. A hengerek hullámzani kezdenek. Lorenz lecsupaszított egyenletei jóval egyszerűbbek voltak, semhogy ezt a fajta komplexitást modellezhették volna. Csak egyetlen tulajdonságát jelenítették meg a valódi világ konvekciójának: a forró folyadék felemelkedő és süllyedő, óriáskerékre emlékeztető körmozgását. Az egyenletek tekintetbe vették ennek a mozgásnak a sebességét és a hőszállítását. Ezek a fizikai folyamatok kölcsönhatásban voltak egymással: ahogyan valamely piciny forró folyadékcsepp felemelkedett a kör mentén, hidegebb folyadékkal került érintkezésbe és így kezdte elveszíteni a hőjét. Ha a kör elég gyorsan mozgott, a folyadékcseppnek maradt még hőtartaléka azután is, hogy elérte a tetőpontot és elkezdett lefelé süllyedni a henger másik oldalán, s ezenközben voltaképp elkezdett ellenállni a mögötte jövő másik folyadékcsepp lendületének. Bár Lorenz rendszere nem modellezte teljesen a konvekciót, kiderült, hogy mégis vannak pontos hasonmásai a valóságban. Az egyik egyfajta régimódi elektromos dinamó, a modern generátorok elődje, amelyben az áram egy mágneses térben forgó korongon folyik át. Bizonyos feltételek között a dinamó megfordulhat. Ahogyan Lorenz egyenletei ismertebbé váltak, egyes kutatók arra a belátásra jutottak, hogy ennek a dinamónak a viselkedése magyarázatot adhat egy másik különös megfordulási jelenségre: a földi mágneses tér megfordulására. A „geodinamó"-ról tudjuk, hogy sokszor átfordult a földtörténet során, olyan időközönként, amelyeknek a hossza véletlenszerűnek és megmagyarázhatatlannak tűnik. Ezzel a szabálytalansággal szembesülve, az elméleti szakemberek általában a rendszeren kívül eső okokat hoztak fel magyarázatul, például a meteoritbecsapódásokat. Pedig talán a geodinamónak is megvan a maga saját káosza.1 Egy másik rendszer, amelyet a Lorenz-féle egyenletek pontosan leírnak, egy bizonyos típusú vízikerék, a konvekció forgó hengerének mechanikai hasonmása. Ebben a rendszer1

A Föld mágneses terének káoszon alapuló magyarázata még ma is erősen vitatott. Ennek az ötletnek egyik legelső megfogalmazása megtalálható a következő cikkben: K. A. Robbins: A mo ment equation description of magnetic reversals in the earth; Proceedings of the National Academy of Science 73 (1976), pp. 4297-4301. A kozmikus dinamókró l magyar nyelven is olvashatunk Király Péter: Káosz-jelenségek geofizikai és asztrofizikai rendszerekben c. tanulmányának 4. fejezetében; in: Szépfalusy Péter-Tél Tamás (szerk.): A káosz. Veletlenszerű jelenségek nemlineáris rendszerekben (Akadémiai Kiadó, 1982).

ben felülről folyamatosan víz ömlik kerékabroncsra szerelt tartályokba. A tartályokból egy kis lyukon át állandóan csorog ki a víz. Ha a víz lassan ömlik be, akkor a felső tartályok sosem telnek meg annyira, hogy legyőzhetnék a súrlódást; ám ha a beáramlás gyorsabb, a súly elkezdi forgatni a kereket. A forgás folytonossá válhat. S ha a beáramlás már olyan gyors, hogy a nehéz tartályok átlendülnek az alsó ponton és elkezdenek felfelé emelkedni a másik oldalon, akkor a kerék lelassulhat, megállhat és forgása ellenkező irányúra változhat.

MOZGÓ FOLYA DÉK. Amiko r egy folyadékot vagy gázt alulról melegítünk, a kö zeg hajlamos hengerekké szerveződni (balra). A forró közeg az egyik oldalon felemelked ik, majd hőt vesztve a másikon lesüllyed - ez a konvekció folyamata. Ha egyre növeljük a hőmérsékletet (jobbra), instabilitás lép fel: a hengerek hullámzani kezdenek, és ez a hullámzás előre-hátra mozog a hengerek palástja mentén. Még nagyobb hőmérsékleteken az áramlás elvadul, és turbulenssé válik.

A fizikusi intuíció - a káoszt megelőző idők fizikusi intuíciója - azt súgná, hogy egy ilyen egyszerű mechnikai rendszerben hosszú idő múltán, ha a vízbeáramlás már nem változik többé, valamilyen állandósult állapot alakul ki, akár úgy, hogy a kerék állandóan forog, akár úgy, hogy állandóan oda-vissza leng, azonos időközönként előbb az egyik, azután a másik irányba fordulva. Lorenz azonban másként tapasztalta. Három változóval felírt három egyenlet tökéletesen visszaadta ennek a rendszernek a mozgását.1 Lorenz számítógépe kinyomtatta a három változó összetartozó értékeit: 0-10-0; 4-12-0; 9-20-0; 16-32-2; 30-667; 54-115-24; 93-192-74. A három szám előbb emelkedett, 1 Ez a klasszikus - általában Lorenz-rendszernek nevezett - modell a következő: dx/dt =10(y – x) dy/dt = -xz + 28x – y dz/dt = xy - (8 / 3)z. Ezt a rendszert a Deterministic Nonperiodic Flow c. cikkben való megjelentetése óta töviről hegyire megvizsgálták; e tekintetben irányadó szakkönyv Colin Sparrow műve: The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors (SpringerVerlag, 1982). Magyarul a következő helyeken olvashatunk a Lorenz-modellről: Hermann Haken: Szinergetika (Műszaki Könyvkiadó, 1984), 12. fejezet; Gnádig Péter-Györgyi Géza-Szépfalusy Péter-Tél Tamás: Bevezetés a káosz kialakulásának és tulajdonságainak elméletébe c. tanulmányának 22-24. pontja; in: Szépfalusy-Tél (szerk.): A káosz; Tél Tamás: A káosz és kialakulása c. tanulmányában; in: Kürti J. (szerk.): Nemlineáris jelenségek, II. kötet, XII. fejezet.

azután csökkent, ahogy teltek a képzelt időtartamok: öt időegység, száz időegység, ezer időegység. Az adatok ábrázolása céljából Lorenz a számhármasokat koordinátákként fogta fel, a háromdimenziós tér egy-egy pontjának koordinátáiként. A számsorozatból így folytonos pályát kirajzoló pontsorozat lett; ez a pálya jellemezte a rendszer viselkedését. Egy ilyen pálya eljuthat egy pontba, ahonnan már nem is lép tovább; ez azt jelenti, hogy a rendszer végül állandósult állapotba jutott, ahol a sebesség és hőmérséklet értéke nem változik többé. De ez a pálya be is záródhat: azaz a pillanatnyi állapotnak megfelelő pont körbe-körbejár egy zárt görbe mentén; ez pedig azt jelenti, hogy a rendszer viselkedése szabályos időközönként megismétlődik.

A LORENZ-FÉLE VÍZIKERÉK. A z első, Ed ward Lorenz által felfedezett, híressé vált kaotikus rendszer pontosan megfelel egy mechanikai rendszernek: a vízikeréknek. Errő l az egyszerű rendszerről bebizonyosodott, hogy meglepően bonyolulttá válhat a viselkedése. A vízikerék forgásának egyik-másik tulajdonsága megegyezik a konvekciós folyamat forgó folyadékhengereinek sajátosságaival. A vízikerék olyan, mint a henger kereszt metszete. Az egyiket folyamatosan hajtja a víz, a másikat a hő - és mindkettő szétszórja az energiát. A folyadék hőt veszít, a vödrök vizet. A két rendszer hosszú távú viselkedése egyaránt attól függ, mennyi a hajtóenergia. A folyadék egyenletesen ömlik felülről a vízikerékre. Ha lassan ömlik, akkor a legfelső vödör sosem telik meg annyira, hogy legyőzze a súrlódást, és a kerék sosem jön forgásba. (Éppígy, ha a hő túl kevés a viszkozitás legyőzéséhez, akkor nem hozza mo zgásba a folyadékot.) Ha szaporábban ömlik a v íz, akko r a legfelső vödör súlya mozgásba hozza a kereket (balra). A vízikerék forgása beállítható úgy, hogy a forgás állandó sebességgel folytatódjék (középen). De ha még több víz ö mlik be (jobbra), akkor - a rendszerbe beépített nemlinearitás folytán - a forgás kaotikussá válhat. A forgási sebességtől függ, mennyire telnek meg a vödrök a vízbeö mlés helyén. Ha a kerék gyorsan forog, a vödröknek kevés idejük van a töltődésre. (Egy gyorsan forgó konvekciós hengerben a folyadéknak szintén kevés ideje van a hő elnyelésére.) S ha a kerék gyorsan forog, a vödrök még az előtt átkerülhetnek a felfelé mo zgó oldalra, hogy teljesen kiürülhettek volna; s ezek a nehéz vödrök lelassíthatják a forgást, majd megfordíthatják az irányát. Loren z voltaképpen felfedezte, hogy hosszú időszakok alatt a forgás iránya sokszor megfordulhat, mikö zben a rendszer sebessége sohasem állandósul, és a rendszer sohasem követ valamilyen is métlődő, előre megjósolható mintát.

Csakhogy a Lorenz rendszerének megfelelő pálya sehol nem ért véget és nem is záró-

dott be, hanem valamiféle végtelen bonyolultságot tükrözött. Mindig határok között maradt, sosem futott ki a lapról, mégsem ismételte önmagát. Különös, határozott formát követett, valamilyen kettős spirált rajzolt ki három dimenzióban: mintha egy kiterjesztett szárnyú pillangót ábrázolt volna. Az alakzat tökéletesen rendezetlennek tetszett, nem lévén rajta ismétlődő pont vagy pontokból álló mintázat, s mégis egy újfajta rend nyilatkozott meg rajta. Évekkel később a fizikusoknak átszellemült az arcuk, ha az ezekről az egyenletekről szóló Lorenz-cikkre terelődött a szó: - Ó, az a csodálatos tanulmány - mondogatták róla, akárha egy ókori kézirat lett volna, tudósítás az örökkévalóság titkairól. A káosz tudományos irodalmának több ezer cikke közül nemigen akad, amelyikre többet hivatkoztak volna, mint erre, a „Determinisztikus nemperiodikus áramlás"-ra. Éveken át egyetlen dolog sem ihletett több ábrát, sőt filmet, mint ez az imént leírt titokzatos görbe, a kettős spirál, amely Lorenz-attraktor néven vált ismertté. Lorenz képei mutatták meg először, mit is jelent az, hogy valami „bonyolult." Ezekben a képekben benne volt a káosz minden gazdagsága. Akkoriban azonban csak kevesen vették ezt észre. Lorenz elmondta a dolgot Willem Malkusnak, a Massachusettsi Műegyetem alkalmazott matematikus professzorának, akinek nagyszerű képessége volt a kollégák munkájának értékelésére. Malkus nevetett és azt mondta, „Ed, tudjuk - nagyon jól tudjuk -, hogy a folyadék konvekció egyáltalán nem így működik." A bonyolultság biztosan egyszerűsödik, mondta Malkus, és a rendszer eljut egy állandó, szabályos mozgáshoz. „Persze teljesen félreértettük a lényeget - ismerte el, egy emberöltő múltán Malkus, évekkel azután, hogy a hitetlenek meggyőzésére épített egy igazi Lorenz-féle vízikereket alagsori laboratóriumában Ed egyáltalán nem a mi fizikánk fogalmaiban gondolkodott. Valamifajta általánosított vagy elvont modell lebegett a szeme előtt, amelynek a viselkedése, benyomásai szerint, bizonyos vonatkozásokban jellemző volt a külső világra. Ezt azonban nem tudta nekünk igazán megvilágítani. Csak később jöttünk rá, hogy nyilván ilyesfajta gondolatok foglalkoztatták." Kevés kívülálló ébredt rá, mennyire széttagolódott a tudós közösség: akár egy modern csatahajó, amelyet válaszfalakkal cellákra osztanak fel, védekezésül a meglékelés veszélye ellen. A biológusoknak túl sok olvasnivalójuk volt, semhogy lépést tarthattak volna a matematikai irodalommal; sőt, mondjuk, a molekuláris biológiával foglalkozóknak már ahhoz is túl sok, hogy a populációbiológia eredményeit követhessék. Ami a fizikusokat illeti, úgyszintén volt jobb dolguk is, mint meteorológiai folyóiratokat böngészni. Néhány matematikust felajzott volna, ha tudomást szerez Lorenz felfedezéséről; abban az évtizedben fizikusok, csillagászok és biológusok is keresgéltek valami hasonlót, és néha újra fel is fedezték. No de Lorenz meteorológus volt, és ugyan ki gondolhatta volna, hogy a káosz éppen a Journal of the Atmospheric Sciences (Légkörtudományi Folyóirat) 20. kötetének 130. oldalán van leírva.1

1 A Determin istic Nonperiodic Flo w c. cikket a tudományos közösség az 1960-as évek kö zepén évente átlagban egyszer idézte; két évtizeddel később évente több mint százszor hivatkoztak rá.

A LORENZ-ATTRAKTOR. Ez a bűvös kép, amely egy bagoly ábrázatához vagy egy pillangó szárnyához hasonlít, jelképpé vált a káosz első felfedezőinek szemében. Feltárta a rendezetlen adathalmazban rejlő fino mszerkezetet. Hagyományosan így, az idő függvényében szokás ábrázolni egy paraméter változó értékeit (fent). De ha három változó kö zötti viszonyokat szeretnénk bemutatni, már más módszerhez kell folyamodnunk. A három változó minden időpillanatban kijelö l egy pontot a háromd imenziós térben; a rendszer változása közepette e pont mozgása jeleníti meg a folytonosan változó paramétereket. Minthogy a rendszer sosem ismét li pontosan önmagát, a pálya sem metszi ön magát, hanem örökké körbe-körbe jár. A z attraktoron való mozgás elvont mozgás, de magán viseli a valóságos rendszer mo zgásának sajátosságait. Például az átmenet az attraktor egyik oldaláról a másikra a vízikerék vagy az áramló folyadék forgásirány váltásának felel meg.

Forradalom

Persze, minden erőnkkel azon voltunk, hogy ne legyünk úgymond Statisztikai átlag.

STEPHEN SPENDER Thoughts During an Air Raid Collected Poems 1928-1953. (Faber and Faber, 1965. p. 96.)

A tudománytörténész Thomas S. Kuhn1 leír egy zavarba ejtő kísérletet, amelyet az 1940-es években végzett két pszichológus. A kísérleti személyek rövid pillantást vethettek egy-egy kártyalapra - egyszerre mindig csak egyre -, majd el kellett mondaniuk, hogy milyen kártyalapokat láttak. Volt persze egy kis huncutság a dologban: a lapok némelyikét ugyanis meghamisították: volt köztük például piros pikk hatos vagy fekete káró dáma. Ha gyors egymásutánban jöttek a lapok, akkor nem történt semmi: a kísérleti személyek egyszerűen átsiklottak e tények fölött: észre sem vették, hogy valami nincs rendben. A piros pikk hatosra vagy azt mondták, hogy „kőr hatos", vagy azt, hogy „pikk hatos". Ám ha egy kicsit tovább nézhették a kártyákat, egyszerre bizonytalanná váltak. Arra rájöttek, hogy valami nincs rendjén, de arra már nem, hogy voltaképpen mi zavarja őket. Olyasmit mondtak, hogy mintha valami szokatlan lett volna a lapon, például piros keret egy fekete szív körül. Végül, amikor a tempó tovább lassult, a kísérleti személyek többsége „kapcsolt". Váltott az agyuk: felismerték, hogy hamis lapokról van szó, és azután már hibátlanul válaszoltak. De csak a többség, korántsem mindenki; néhányan ugyanis szinte megzavarodtak, és szenvedtek is tőle. „Akármi is ez a kártya, egyáltalán nem tudom megállapítani, milyen színű mondta egyikük. - Nem is olyan, mint egy kártya. Már azt sem tudom milyen a színe, hogy pikk-e vagy kőr. Már abban sem vagyok biztos, hogy milyen a pikk. Atyaúristen!"2 A hivatásos tudósok is legalább ekkora kínt és zavart éreznek, amikor rövid, bizonytalan pillantást vetve a természet működésére, ilyesféle oda nem illő jelenségekkel kerülnek szembe. Éppen ezek az oda nem illő dolgok változatják meg a tudós szemléletmódját, és segítik elő a legfontosabb lépéseket. Így vélekedik erről Kuhn, és erről tanúskodik a káosz története is. Amikor Kuhn 1962-ben közreadta elképzeléseit a tudósok munkájáról és a forradalmakról, azokra egyfelől nagy ellenkezés, másfelől semmivel sem kisebb csodálat volt a válasz, és ez az ellentét azóta sem csillapult. Felfogásával nagyot döfött azon a hagyományos nézeten, hogy a tudomány a tudás növekedése útján fejlődik, úgy, hogy minden felfedezés hozzáadódik a korábbiakhoz; hogy az új elméletek akkor jelennek meg, amikor az új kísérleti tények szükségessé teszik őket. Kipukkasztotta a tudománynak azt a felfogását, miszerint az a kérdések feltevésének és a válaszok megtalálásának szabályszerű folyamata volna. Hangsúlyozta, hogy más a tudományágukon belül elfogadott, jól megértett problémáKuhn felfogását a tudományos forradalmakról széleskörűen boncolgatták és vitatták a közreadása óta eltelt huszonöt évben (közzététele éppen az időre esett, amikor Loren z időjárási modellre programozta a számítógépét). Kuhn nézeteit illetően elsősorban A tudományos forradalmak szerkezetére (Gondolat, Budapest, 1984); másodsorban pedig a következőkre támaszkodom: The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change (University of Chicago, Chicago, 1977); What Are Scientific Revolutions? (Occasional Paper No. 18, Center for Cognitive Science, Massachusetts Institute of Technology); valamint a Kuhnnal készített interjúra. A témát szintén használhatóan és lényegbevágóan elemzi I. Bernard Cohen:Revolu tion in Science (Belknap Press, Cambridge, Mass., 1985) című könyvében. 2 A tudományos forradalmak szerkezete 93j94. oldalán idézi J. S. Bruner és Leo Postman cikkét : On the Perception of Incongruity: A Paradig m; Journal of Personality XVIII (1949), p. 206. 1

kon dolgozó tudósok sokasága által végzett munka s megint más a kivételes, nem ortodox teljesítmény, amely forradalmat idéz elő. Aligha véletlen, hogy a tudósokat nem csupán és nem egészen racionális lényeknek mutatja be. Kuhn felfogása szerint a szokásos, mindennapi tudomány jórészt tisztogató hadműveletekben merül ki. A kísérletezők valamelyes módosításokkal olyan kísérleteket hajtanak végre, amilyeneket korábban már sokan, sokszor elvégeztek. Az elméleti szakemberek itt egy téglát tesznek be, ott egy párkányt alakítanak át az elmélet falában. Aligha is lehetne másként: ha minden tudósnak mindent az elején kellene kezdenie, az alapfeltevések megkérdőjelezésével, akkor aligha érnék el a hasznos munkához szükséges magas szakmai színvonalat. Benjamin Franklin idejében az elektromosság megértésével birkózó maroknyi tudós még megválaszthatta a maga alapelveit - voltaképpen nem is igen tehettek volna mást.1 Az egyik kutató gondolhatta úgy, hogy a vonzás a legfontosabb elektromos hatás, maga az elektromosság pedig valamiféle, anyagokból kiáradó „fluidum". A másik meg a vezető anyagok által szállított folyadéknak hihette az elektromosságot. Ezek a tudósok szinte ugyanolyan könnyen meg tudták értetni magukat a kívülállókkal, mint egymással, mert még nem jutottak el arra a szintre, ahol már elfogadott, magától értetődő szaknyelven cserélhettek volna eszmét a tanulmányozott jelenségekről. Egy huszadik századi hidrodinamikus viszont nem juthat magas szintű tudáshoz a maga területén, ha előbb nem sajátítja el a bevett szaknyelvet és a matematikai módszereket. Ennek fejében viszont öntudatlanul jórészt feladja a kérdezés jogát és szabadságát tudományának alapjaival kapcsolatban. Kuhn központi gondolata, hogy a szokásos, mindennapi tudomány feladatmegoldás: olyan típusú feladatok megoldása, amilyenekkel a tudósok már hallgatóként is találkoztak tankönyveikben. Az ilyen feladatok megoldásából kerekedik ki a tudományos teljesítmény egy bizonyos fajtája, s ez juttatja át a tudósok többségét a doktori tanulmányokon, a disszertáción és a folyóiratokba szánt cikkek megírásán, egész tudományos pályafutásukon. „Normális körülmények között a kutató nem újító, hanem rejtvényfejtő, és a rejtvények, amelyekre összpontosít, éppen azok, amiket hite szerint meg is lehet fogalmazni és meg is lehet oldani a létező tudományos tradíció keretein belül."2 - írja Kuhn. Azután vannak forradalmak. Új tudomány egy zsákutcába jutott korábbi tudományból keletkezik. A forradalom nemegyszer interdiszciplináris jellegű: központi felfedezései sokszor a szakmájuk határain túllépő kutatóktól származnak. Az ezeket az elméleti szakembereket foglalkoztató problémák nem vágnak egybe a kutatás elfogadott vonalával. Disszertációs téziseiket elvetik a bírálók, cikkeik közreadását is elutasítják. Ezek az elméleti kutatók maguk sem bizonyosak benne, hogy felismernék a választ, ha majd a szemük elé kerül. Belátják, hogy kockázatos lesz a pályájuk. Kevés számú magányosan dolgozó szabadgondolkodó, aki képtelen elmagyarázni, merre tart, sőt elmondani is fél a kollégáinak, mivel foglalkozik - ez a romantikus kép áll a kuhni elképzelések középpontjában, s ez csakugyan ismételten így volt a káosz feltárása során a valós életben is. Akik részesei voltak a káoszkutatás kezdeti szakaszának, mind megtapasztalták ezt az óva intő vagy épp nyíltan ellenséges vélekedést. A doktori képzésben résztvevőket előre figyelmeztették, hogy a pályájukkal játszanak, ha disszertációjukat egy még be nem vett tudományágból írják, amelyben témavezetőik sem szerezhettek még tapasztalatot. Egy részecskefizikus az új matematikáról hallván, elkezdett játszani vele a maga szakállára, csak mert gyönyörűnek, egyszersmind roppant nehéznek is tartotta, de úgy érezte, sosem tudna beszélni róla a kollégáinak. Idősebb professzorok úgy érezték: a középkorúak válságába jutottak, mivel kockázatos kutatási irányt választottak, olyat, amelyet kollégáik alighanem 1 A tudományos forradalmak szerkezete 34-35. old. 2 The Essential Tension, p. 234.

félreértenének, sőt zokon vennének. De nem tudtak lemondani a szellemi izgalomról, ami az igazán új ismeretekkel együtt jár. Ezt még a kívülállók is érezték - már akik egyáltalán ráhangolódtak. Freeman Dysont úgy érték a káosz hírei az 1970-es években, mint megannyi „áramütés". Mások úgy érezték, végre egyszer tanúi lehetnek egy igazi paradigmaváltásnak: a gondolkodásmód átalakulásának. A káosz első felismerőinek nem kis fejtörést okozott, miképpen önthetnék közölhető formába gondolataikat és felfedezéseiket. A káosz kutatása az addigi tudományterületek közé esett: túl elvont volt például a fizikusok szemében és túl kísérleti a matematikusokéban. Néhányuk számára az új gondolatok közlésének nehézségei és a hagyományos körök vad ellenállása mutatta, mennyire forradalmi az új tudomány. A felszínes gondolatok könnyen emészthetők; azok a gondolatok azonban, amelyek az egész világkép átszervezését követelik meg, ellenséges reakciókat keltenek. A Georgia Műegyetem egyik fizikusa, Joseph Ford Tolsztojt kezdte idézni: „Tudom, hogy az emberek többsége, köztük azok, akik a legbonyolultabb problémákkal is könnyedén szembenéznek, ritkán fogadják el még a legegyszerűbb és legnyilvánvalóbb igazságot is, ha amiatt kénytelenek lennének beismerni némely korábbi következtetés helytelenségét, amelyeket oly nagy élvezettel magyaráztak kollégáiknak, oly büszkén tanítottak másoknak, sőt szálanként beleszőttek életük szövetébe."1 A kutatások fő áramlatában működők közül sokan csak homályosan ismerték fel a születő tudományt. Néhány különösen konzervatív hidrodinamikus egyenesen kikérte magának. A káosz javára szóló érvek elsőre vadnak és tudománytalannak tetszettek. Azonkívül a káosz szokatlan és bonyolultnak tűnő módon támaszkodott a matematikára. A káoszhoz értők számának szaporodásával a tanszékek egyike-másika elítélte ezeket a kissé deviáns tudósokat; más tanszékek hirdetés útján igyekeztek minél több kutatóra szert tenni. Egyes folyóiratoknál íratlan szabály volt, hogy a káoszról nem közölnek cikkeket; mások épp ellenkezőleg: egyes-egyedül a káosszal foglalkoztak. A kaotikusok vagy kaológusok (ilyen nyelvi újítások2 kaptak szárnyra) aránytalanul nagy számban kerültek fel a fontos ösztöndíj- és kitüntetési listákra. A nyolcvanas évek közepére a tudományos terjeszkedés a káosz szakembereinek befolyásos helyeket szerzett az egyetemi bürokráciában. Több helyütt „nemlineáris dinamiká"-ra és „komplex rendszerek"-re szakosodott központokat és intézeteket állítottak fel. A káoszból nem csupán elmélet lett, hanem módszer is; nemcsak szent meggyőződés, hanem a tudomány művelésének egy lehetséges módja is. A káosz létrehozta a maga számítógépes módszerét, s az nem követeli meg a Crayek és Cyberek óriási sebességét, hanem a rugalmas beavatkozás kedvéért inkább a szerényebb terminálokat részesíti előnyben. A káosz kutatóinak a matematika kísérleti tudomány, ahol a számítógép helyettesíti a kémcsövekkel és mikroszkópokkal teli laboratóriumot. A grafikus képek döntő fontosságúak. „Mazochizmus egy matematikusnak ezt képek nélkül űzni - mondta egy káoszkutató. Hogyan láthatnák a viszonyt két mozgás között? Hogyan fejleszthetik intuíciójukat?" Néhányan úgy végezték kutatásaikat, hogy nyíltan tagadták e dolgok forradalmi jellegét; mások szándékosan használták a paradigmaváltás kuhni fogalmát a tapasztalt változások leírására. Stilisztikai szempontból a káoszról megjelent legkorábbi cikkek Benjamin Franklin koFord személyes közlése és a következő cikke: Chaos: Solving the Unsolvable, Predicting the Unpredictable; in: Chaotic Dynamics and Fractals, (eds.) M. E. Barnsley and S. G. Demko (Academic Press, New York, 1985). 2 Bár Michael Berry meg jegyzi, hogy az Oxford angol értelmező szótárban benne van a „Kaológia (rit k) 'a káosz története vagy leírása"' címszó. Berry: The Unpredictable Bouncing Rotator: A Chaology Tutorial Machine. Preprint, H. H. Wills Physics Laboratory, Bristol. 1

rára emlékeztettek: hiszen visszamentek egészen az alapelvekig. Amint azt Kuhn megállapítja, a megalapozott tudományok magától értetődőnek tekintenek valamely ismeretrendszert, amely közös kiindulópontként szolgál a kutatásokhoz. A kutatók, nem akarván kollégáikat untatni, rendszerint csak a beavatottaknak érthető dolgokkal kezdik és fejezik be cikkeiket. A káoszról szóló cikkeknek a 70-es évek végétől viszont szinte evangéliumi volt a hangvételük a bevezetéstől a befejezésig. Új hitvallást tettek, és gyakran valamilyen tevékenységre szólítottak fel. Ezek az eredmények izgalmasak, sőt kihívóak a mi szemünkben.1 A turbulenciába való átmenet elméleti képe éppen most van kialakulóban. A káosz lényege matematikailag megragadható.2 A káosz most előre jelzi a jövőt, ezt senki nem vonhatja kétségbe. Ám hogy elfogadjuk a jövőt, fel kell adnunk a múlt nagy részét.3 Új remények, új módszerek és - ami a legfontosabb - új szemléletmód. A forradalmak nem fokozatosan támadnak.4 A természet egyik leírását egy másikkal helyettesítik. Régi problémákat új színben látnak, és először ismernek fel bizonyos új problémákat. Valami olyasmi történik, mint amikor új termékek gyártására állítanak át egy egész ipart. Kuhnnal szólva: „Mintha a szakmai közösség egyszer csak átkerült volna egy másik bolygóra, ahol az ismerős tárgyak más megvilágítást kapnak és ismeretlenekkel együtt jelennek meg."5

Az új tudomány kísérleti nyula az inga lett: a klasszikus fizika jelképe, a kényszermozgás mintapéldája, az óraműszerű szabályosság kvintesszenciája. Egy súly leng szabadon egy rúd végén. Mit lehetne még ezen túl is elvenni a turbulencia vadságából? Ami Arkhimédész történetében a fürdőkád, Newtonéban az alma, az - legalábbis az ismert legenda szerint - Galileiében egy templomi csillár volt, amely előre-hátra hintázott, egyhangúan bombázva üzenetével az olasz fizikus tudatát. Christian Huygens az ingamozgás előrejelezhetőségére alapozva időmérő eszközt hozott létre, s ezzel olyan útra állította a nyugati civilizációt, amelyről nem volt letérés. Foucault a párizsi Pantheonban egy húsz emeletnyi magasságból alácsüngő ingával bebizonyította, hogy forog a Föld. Minden óra és minden karóra (legalábbis a rezgő kvarckristályok koráig) valamilyen formájú és kisebb-nagyobb méretű ingát tartalmazott. (Mellesleg a kvarc rezgése sem nagyon tér el az ingáétól.) Az űrben az égitestek keringése ad példát a súrlódásmentes periodikus mozgásra, itt a Földön azonban voltaképp minden szabályos rezgés az inga valamilyen rokonától ered. Az elektronikus alapáramköröket pontosan ugyanolyan egyenletek írják le, mint a hintázó súlyt. Az elektronikus rezgések milliószor gyorsabbak, de a fizikájuk ugyanaz. A huszadik századra azonban a klasszikus fizika visszaszorult az iskolai oktatásba és a rutinszerű mérnöki tervezésbe. Az ingák a tudományos múzeumok dísztárgyaivá váltak vagy a repülőtéri ajándékboltokat élénkítették, forgó műanyag „űrgolyók" formájában. Kutató fizikus nem törődött az ingákkal. Pedig az inga még tartogatott meglepetéseket. Próbakővé vált, akárcsak annak idején, a Galilei-féle forradalomban. Amikor Arisztotelész ránézett egy ingára,6 a föld felé törekvő súlyt látott benne, amelyet a zsinór erővel arra kényszerít, hogy előre-hátra lengjen. Mai 1 Crutchfield, M. Nauenberg és J. Rudnick: Scaling for External Noise at the Onset of Chaos; Physical Review Letters 46 (1981), p. 933. 2 Alan Wolf: Simp licity and Universality in the Transition to Chaos; Nature 305 (1983), p. 182. 3 Joseph Ford: What is Chaos, That We Should Be Mindful of It? preprint, Georgia Institute of Technology, Atlanta. 4 What Are Scientific Revolutions? p. 23. 5 A tudományos forradalmak szerkezete 153. o ld. 6 What Are Scientific Revolutions? pp. 2-10.

fülnek ez elég nevetségesen hangzik. A klasszikus mozgás, tehetetlenség és tömegvonzás fogalmaihoz szokott embernek nehéz megértenie azt az önmagában következetes világképet, amely Arisztotelész inga-felfogása mögött rejlik. A fizikai mozgás Arisztotelész szemében nem valamiféle mennyiség vagy erő volt, inkább egyfajta változás, éppolyan, mint mondjuk az ember növekedése. Egy leeső súly csupán legtermészetesebb állapota felé törekszik, abba, amelyet el is ér, ha magára hagyják. Ebbe a felfogásba beillesztve Arisztotelész véleménye értelmessé válik. De Galilei már mást, mérhető szabályosságot látott, amikor ingára nézett. Ennek a magyarázata forradalmat kívánt meg a mozgó testek megértésében. Galileinek nem az volt az előnye az ókoriakkal szemben, hogy jobb adatai lettek volna. Sőt ellenkezőleg: éppen a lengésidő megmérhetőségének ötlete vezette arra, hogy összehívja néhány barátját és huszonnégy órán keresztül számlálják a lengéseket - ami, nem tagadható, elég munkaigényes kísérlet. Galilei szeme azért akadt meg a szabályosságon, mert volt egy elmélete, amely szabályosságot jósolt. Megértette, amit Arisztotelész nem érthetett meg: hogy a mozgó test igyekszik fenntartani a mozgását, a sebességben vagy az irányban történt változást csak valamilyen külső erővel - például a súrlódással - lehet magyarázni. Elmélete voltaképpen annyira hatékony volt, hogy a valóságban nem létező szabályosságot is megjósolt. Galilei ugyanis azt állította, hogy adott hosszúságú inga nemcsak hogy pontosan megtartja a lengésidejét, de ez az idő ugyanannyi, bármekkora is a kilengés szöge. Egy jobban kilengő ingának hosszabb utat kell megtennie, de történetesen éppen annyival gyorsabban is halad. Más szóval, a lengésidő szerinte független a kitérés nagyságától. „Határozottan állítom, hogy ha két barát odaáll megszámolni a lengéseket, egyikük a nagyokat, a másik a kis kitérésűeket, nemcsak tízet, de akár százat is leszámolhatnak, nem lesz különbség; nemhogy egy egész lengés, de még az ív egy töredéke sem."1 Galilei kísérleti formába öntötte állítását, de az elmélet tette meggyőzővé - olyannyira, hogy a középiskolai fizikaórákon mai is rendszerint szentírásként tanítják. Pedig tévedés, ugyanis a szabályosság, amit Galilei látott, csak közelítő jellegű. A súly pillanatnyi kilengésének szöge egy kis nemlinearitást hoz be az egyenletekbe. Kis kitéréseknél az emiatti hiba csaknem eltűnik, mindazonáltal ott van, és mérhető még olyan közelítő kísérletekben is, mint amilyet Galilei leír. A kis nemlinearitásoktól könnyű volt eltekinteni. A kísérleteket végző emberek hamar megtanulták, hogy tökéletlen világban élnek. A Galilei és Newton utáni évszázadokban a szabályosság keresése a kísérletekben alapvető jelentőségű volt. Minden kísérletező olyan mennyiségeket keresett, amelyek változatlanok, vagy éppen nullák maradtak. Ez azonban azt jelenti, hogy eltekintünk valami kis piszoktól, ami megzavarná a tiszta képet. Ha egy vegyész két anyag állandó arányát az egyik nap 2,001-nek, a másik nap 2,003-nak, egy harmadik napon pedig 1,998-nak találná, akkor bolondság lenne részéről nem olyan elméletet keresni, amely ne a tökéletes „kettő az egyhez" arányt magyarázná. Galileinek, hogy ilyen szerencsés eredményeket kapjon, magának is el kellett tekintenie olyan nemlinearitásoktól, amelyekről tudomása volt: a súrlódástól és a levegő közegellenállásától. A levegő közegellenállása szakadatlanul jelen levő kísérleti kellemetlenség, olyan bonyodalom, amelytől meg kellett szabadulni, hogy elérhetővé váljék a mechanika új tudományának lényege. Egyforma gyorsan esik-e egy tollpihe és egy kődarab? A leeső testekkel kapcsolatos tapasztalatok egyöntetűen azt mondják, hogy nem. A pisai toronyból golyókat ejtegető Galilei története kissé mitikus formában arról a megváltozott szemléletről szól, amelynek alapja egy ideális tudományos világ felfedezése, ahol a szabályosságok elválaszthatók a tapasztalat rendetlenségétől. 1 Galileo Galilei: Matematikai érvelések és bizonyítások (Európa, 1986), 286. old.

A tömegvonzás egy adott tömegre tett hatásának és a levegő közegellenállásának kettéválasztása ragyogó szellemi teljesítmény volt. Ez adott módot Galileinek arra, hogy közel férkőzzék a tehetetlenség és az impulzus lényegéhez. Hiszen a valóságos világban az ingák végül pontosan azt teszik, amit Arisztotelész régi paradigmája megjósolt: megállnak. A következő paradigmaváltás megalapozása során a fizikusok kezdtek végre szembenézni azzal, amiről sokan úgy hitték: csak az ingához hasonló egyszerű rendszerekről tanultak fogyatékossága. Századunkra megismerték a súrlódásszerű disszipatív folyamatokat, és az egyetemi hallgatók megtanulták belevenni őket az egyenleteikbe. Megtanulták azt is, hogy a nemlineáris rendszerekre felírt egyenletek általában megoldhatatlanok - ami kétségtelenül igaz -, s hogy ezek rendszerint kivételesek - ami viszont egyáltalán nem igaz. A klasszikus mechanika a mozgó testek egész családjainak viselkedését írta le, az ingákét és kettős ingákét, a tekercsrugókét és a kihajló rudakét, a megpendített vagy vonóval megszólaltatott húrokét. A matematikát alkalmazták folyadékrendszerekre és elektromos rendszerekre. De szinte senki sem gyanúsította a káoszt a klasszikus korszakban azzal, hogy ott rejtőzne a dinamikai rendszerekben, ha a nemlinearitás utat nyit előtte. A fizikus nem értheti igazán a turbulenciát vagy a komplexitást, ha nem érti az ingákat, mégpedig úgy, ahogyan az a huszadik század első felében még nem volt lehetséges. Ahogy a káosz összefogta a különböző rendszerek tanulmányozását, az inga dinamikája kiszélesedett és kiterjedt a csúcstechnológiáig: a lézerektől egészen a szupravezető Josephson-átmenetekig. Bizonyos kémiai folyamatok is ingaszerű viselkedést mutattak, a szívverésről nem is beszélve. A nem sejtett lehetőségek köre - mint egy fizikus írta - kibővült a „fiziológiai és pszichiátriai orvostudomány, a gazdasági előrejelzés és talán a társadalom fejlődésére".1 Nézzünk egy játszótéri hintát. Lefelé jöttében gyorsul, felfelé menet lassul, s mindeközben mindig veszít egy kicsit a sebességéből a súrlódás miatt. Szabályos lökéseket kap mondjuk valami óraszerkezetű géptől. Intuíciónk azt mondja, hogy - bármely helyzetből indult is a hinta - a mozgás végül valamilyen szabályos előre-hátra mintázatú lesz, és a hinta mindig ugyanolyan magasra fog felemelkedni. Ez csakugyan megtörténhet.2 Ámde a mozgás - többször, mint gondolnánk - szabálytalanná is válhat: egyszer magasabbra lendül, másszor alacsonyabbra, sosem áll be egy állandósult állapotba és sosem ír le olyan lengésmintázatot, amilyet valamikor korábban.3 Ez a meglepő, szabálytalan viselkedés abból fakad, hogy már ebben az egyszerű rezgő rendszerben sem lineáris az energia be- és kiáramlása. A hinta fékeződik is, hajtódik is: a súrlódás fékezi, megpróbálja leállítani, hajtani pedig a periodikus lökdösés hajtja. Egy fékezett és hajtott rendszer még akkor sincs egyensúlyban, amikor egyensúlyban van, a világ pedig telis-tele van ilyen rendszerekkel, kezdve mindjárt az időjárással, amelyet a mozgó levegő és víz súrlódása, valamint a hő világűrbe való elszivárgása fékez, a napenergia állandó lökése viszont hajt. De nem az előrejelezhetetlenség volt az ok, amiért a hatvanas és hetvenes években a fizikusok és matematikusok kezdték ismét komolyan venni az ingákat. Az előrejelezhetetlenség csak felkeltette irántuk az érdeklődést. A kaotikus dinamikát tanulmányozók felfeDavid Tritton: Chaos in the swing of a pendulum; New Scientist, 1986. július 24, p. 37. Olvasmányos, ismeretterjesztő írás az inga-káosz filozófiai következményeirő l. Az inga-káoszról magyarul is olvashatunk Gnádig-Györgyi-Szépfalusy-Tél: Bevezetés a káosz kialakulásának és tulajdonságainak elméletébe c. tanulmányának 3. pontjában. 2 Ha valaki ténylegesen lökdös egy hintát, szinte mindig többé-kevésbé szabályos mozgást hoz létre, éspedig alighanem azért, mert öntudatlanul is nemlineáris visszacsatolást létesít. 3 Az egyszerű hajtott inga lehetséges bonyodalmainak számos elemzése között jó összefoglaló a következő: D. D'Hu mieres, M. R. Beasley, B. A. Huberman és A. Libchaber: Chaotic States and Routes to Chaos in the Forced Pendulum; Physical Review A 26 (1982), pp. 3483-96. 1

dezték, hogy az egyszerű rendszerek rendezetlen viselkedése teremtő folyamatként működik. Komplexitást hoz létre: gazdagon szervezett mintázatokat, időnként stabilakat, máskor instabilakat, egyszer végeseket, máskor végteleneket, de mindig az élő dolgok elevenségével. Ezért lelték kedvüket a tudósok mindenféle játékokban. Az egyik játék, amelyet „űrgolyók" vagy „űrtrapéz" néven árulnak (Magyarországon inkább „örökmozgóként" ismert - a fordító), két golyóból áll, amelyek egy rúd két végén ülnek - egy T alak keresztrúdján - egy inga tetején, és e kettőhöz alulról egy harmadik, nehezebb golyó csatlakozik.1 Az alsó golyó előre-hátra hintázik, a felső rúd pedig szabadon forog. Mindhárom golyóban belül kis mágnesek vannak, és ha egyszer elindítjuk a szerkezetet, akkor az fenntartja a mozgását, mert egy elemmel táplált elektromágnes van elrejtve a talapzatában. Az elektromágnes érzékeli, ha a legalsó golyó közeledik hozzá, és minden áthaladáskor egy kis mágneses lökést ad neki. A berendezés néha egy ideig megmarad egy állandó ritmusú hintázásnál, máskor azonban kaotikusnak tűnik a mozgása, mindig változik és szakadatlanul újat mutat. A másik ingajáték nem egyéb, mint az úgynevezett gömbi inga: olyan inga, amely nemcsak előre-hátra lenghet, hanem bármely irányban. Néhány kis mágnes van elhelyezve körben a talapzatában. A mágnesek vonzzák a fémsúlyt, és amikor az inga megáll, valamelyikük befogja. A játék úgy megy, hogy elindítjuk az ingát és tippelünk, melyik mágnes fog győzni. Elég háromszög alakban három mágnes a talapzaton, és az inga mozgása már megjósolhatatlan. Egy darabig az A és B között fog előre-hátra lengeni, aztán átvált B és C-re, azután mikor már úgy látszik, hogy megáll majd C-n, hirtelen átugrik A-ra. Tegyük fel, hogy egy tudós rendszeresen kimutatást vezet egy térképen e játék viselkedéséről, éspedig a következőképpen: Kiválaszt egy kiindulópontot, azután odateszi a súlyt és elengedi, majd a térképen a kiindulópontot ábrázoló pontot pirosra, kékre vagy zöldre színezi, aszerint, hogy a súly onnan indítva melyik mágnesnél áll meg. Hogyan fest majd ez a térkép? Lesznek olyan tartományai amelyek teljes egészükben pirosak, kékek vagy zöldek, ahogyan várjuk is - ezek azok a tartományok, amelyekből elindulva a súly bizonyosan ugyanannál az adott mágnesnél állapodik majd meg. Lesznek azonban olyan tartományok is, ahol a színek végtelen bonyolultsággal összefonódnak. Egy-egy piros pont szomszédságában, bármily közel menjünk is hozzá, mindig lesznek zöld és kék pontok is. Emiatt a súly végállapotát gyakorlatilag lehetetlen lesz kitalálni. A hagyományt követve a dinamika művelői azt gondolhatnák, hogy ha érteni akarunk egy rendszert, akkor csak fel kell írnunk e rendszer egyenleteit. Hogyan lehetne ennél jobban megragadni a lényeges tulajdonságokat? A játszótéri hinta vagy valamely játék esetében az egyenletek összekapcsolják az inga kitérésének szögét, az inga sebességét, a súrlódását és a hajtóerőt. De ezeknek az egyenleteknek a kicsiny nemlinearitásai miatt a dinamika kutatója nem fog tudni válaszolni a rendszer jövőjét illetően a legegyszerűbb gyakorlati kérdésekre sem. A számítógép szimuláció segítségével nekigyürkőzhet a feladatnak, és gyorsan kiszámíthat minden ciklust. Csakhogy a szimulációnak is megvan a maga baja: a bármely számítást terhelő aprócska pontatlanságok gyorsan megnőnek, mert ez olyan rendszer, amely érzékeny a kezdőfeltételekre. A jel hamarosan eltűnik majd, és csak a zaj marad. Vagy mégsem? Lorenz előrejelezhetetlenséget kapott, de mintázatra is lelt. Mások szintén felfedeztek struktúrára emlékeztető dolgokat a látszólag véletlenszerű viselkedés körül1

Michael Berry kutatta ennek a játéknak a fizikáját, mind elméleti, mind kísérleti tekintetben. A The Unpredictable Bouncing Rotator-ban leírja a viselkedés típusait; ezek mind csak a kaotikus dinamika nyelvén érthetők meg: „KAM tóruszok, periodikus pályák bifurkáció i, Hamilton-káosz, stabil fixpontok és különös attraktorok."

ményei között. Az inga példája talán túl egyszerű volt, semhogy komolyan kelljen venni, mindazonáltal akik mégsem vették semmibe, azok kihívó üzenetet olvashattak ki belőle. Észrevehették, hogy a fizika bizonyos értelemben tökéletesen leírja az ingamozgás alapvető mechanizmusait, de képtelen ezt a leírást hosszú távra kiterjeszteni. A mikroszkopikus összetevők teljesen világosak voltak; a makroszkopikus viselkedés azonban rejtély maradt. A rendszerek hagyományosan lokális szemlélete - előbb elkülöníteni a mechanizmusokat, azután összeadni őket - kezdett összeomlani. Az ingák, a folyadékok, az elektronikus áramkörök, a lézerek esetében az alapvető egyenletek ismerete többé már egyáltalán nem tűnt mindent felölelő ismeretnek. A 60-as évek folyamán többen is a Lorenzéhoz hasonló felismerésekre jutottak; például egy francia csillagász, aki a galaktikus pályákat tanulmányozta, meg egy japán villamosmérnök, aki elektronikus áramköröket modellezett. Az első meggondolt, összehangolt törekvés a globális és lokális viselkedés lehetséges különbségeinek megértésére azonban a matematikusoktól eredt. Többek között Stephen Smale-től, aki Berkeleyben dolgozott a Kaliforniai Egyetemen és ekkor már híressé vált arról, hogy kibogozta a többdimenziós topológia legmélyebb problémáit. Egy fiatal fizikus egy terefere során megkérdezte Smale-t, hogy min dolgozik. Igencsak megdöbbent, mikor ezt a választ kapta: „Oszcillátorokon." Ez teljes képtelenség volt. Az oszcillátorok - ingák, rugók vagy elektromos áramkörök - problémakörével egy fizikus már tanulmányainak korai szakaszában végez. Ez könnyű dolognak számít. Miért foglalkozna hát egy nagy matematikus elemi fizikával? A fiatalember csak évekkel később jött rá, hogy Smale nemlineáris oszcillátorokat vizsgált, kaotikus oszcillátorokat, és úgy látta a dolgokat, ahogy a fizikusok nem tanulták meg látni.

Smale helytelen feltevést fogalmaz meg.1 Ezt a matematikailag szigorúan megfogalmazott állítást úgy lehetne kifejezni, hogy az idő legnagyobb részében a dinamikai rendszerek általában nem viselkednek túlságosan különös módon. De ahogyan nemsokára látnia kellett, a dolgok nem ilyen egyszerűek. Smale olyan matematikus volt, aki nemcsak megold problémákat, hanem másoknak is szolgál megoldandó problémákkal. Történeti ismereteire és a természet iránti fogékonyságára támaszkodva szép csendben kijelentette, hogy volna egy még teljesen kipróbálatlan kutatási terület, amelyre érdemes a matematikusoknak egy kis fáradságot szánni. Felmérte a kockázatokat, hideg fejjel eltervezte stratégiáját, akár egy sikeres üzletember, s mindemellett megvolt benne a hamelni patkányfogó képessége mások mozgósítására. Ahol ő volt a vezető, ott számos követő akadt. Tekintélye azonban nem korlátozódott a matematikára. A vietnami háború korai szakaszában Jerry Rubinnal együtt „Nemzetközi Tiltakozó Napok"-at szervezett és támogatta azokat, akik meg akarták állítani a Kalifornián keresztülhaladó csapatszállító vonatokat. 1966. nyarán, amikor az Amerika-ellenes Tevékenységet Vizsgáló Képviselőházi Bizottság megpróbálta beidézni, éppen Moszkvába tartott, a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusára. Ott kapta meg a Fields-érmet, a matematikusok legmagasabb elismerését. Az itt, Moszkvában történtek Smale legendájának feledhetetlen fejezetévé váltak.2 ÖtRövid és némileg anekdotikus beszámoló Smale ekkori gondolatairól: On How I Got Started in Dynamical Systems; in: Steve Smale: The Mathematics of Ti me: Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics (Springer-Verlag, New York, 1980), pp. 147-51. 2 Raymond H. Anderson: Moscow Silences a Crit ical American. The New York Times, 1966. augusztus 27. p. 1; Smale: On the Steps of Moscow University. The Mathematical Intelligencer 6:2, pp. 21-27. 1

száz agitáló és megagitált matematikus gyűlt össze. Óriási volt a politikai feszültség; kiáltványokat adtak körbe. A konferencia vége felé Smale a Moszkvai Egyetem széles lépcsősorán rendezett sajtókonferencián egy észak-vietnami újságíró kérdésére válaszolt. Az amerikaiak vietnami beavatkozásának megbélyegzésével kezdte, majd - épp mikor vendéglátói kezdtek örvendezni - Magyarország szovjet elözönlésének elítélésével és a Szovjetunióban hiányzó politikai szabadság követelésével folytatta. Mikor befejezte, gyorsan belökték egy autóba és elvitték hatósági kihallgatásra. Kaliforniába visszatérve az Országos Tudományos Alap (NSF) törölte a támogatottak sorából. Smale egy híres topológiai munkájának jutalmául kapta a Fields-érmet; a matematikának ez az ága a huszadik században, főként az ötvenes években élte virágkorát. A topológia azokat a tulajdonságokat vizsgálja, amelyek változatlanok maradnak a különböző alakzatok forgatása, nyújtása és összenyomása során. Hogy egy idom szögletes vagy gömbölyű, kicsi vagy nagy, az a topológia szempontjából nem érdekes, mert a nyújtás ezeket a tulajdonságokat megváltoztathatja. A topológusok azt kérdezik, összefüggő-e az alakzat, vannak-e benne lyukak, hurkok. Felületeket képzelnek maguk elé nemcsak az euklideszi egy-, két- és háromdimenziós világokban, hanem sokdimenziós terekben is, amelyeket lehetetlen szemléletessé tenni. A topológia voltaképpen geometria egy gumilepedőn. Inkább a minőséggel foglalkozik, semmint a mennyiséggel. Azt kérdezi, hogy ha nem ismered a méreteket, mit mondhatsz mégis az egész szerkezetről. Smale megoldotta a topológia egyik nevezetes történelmi problémáját, a Poincaré-sejtést öt és magasabb dimenziós terekre, s ezzel e tudományág egyik legnagyobb alakjává vált. Az 1970-es években azonban elhagyta a topológiát egy kipróbálatlan terület kedvéért: a dinamikai rendszerek tanulmányozásába fogott. Mindkét terület, a topológia és a dinamikai rendszerek is Henri Poincaréval veszi kezdetét, aki ugyanazon érem két oldalának tekintette őket. A századfordulón élt Poincaré az utolsó nagy matematikus volt, aki a geometriai képzelőerőt a fizikai világ mozgástörvényei felé fordította. Elsőként értette meg a káosz lehetségességét; írásai utaltak egy csaknem olyan egyszerű típusú megjósolhatatlanságra, amilyet később Lorenz felfedezett. Halála után a topológia virágzásnak indult, a dinamikai rendszerek kutatása azonban elsorvadt. Még a név is kikopott a használatból: a Smale kiszemelte tárgykör névlegesen a differenciálegyenletek területére esett. A differenciálegyenletek leírják, hogyan változnak a rendszerek folyamatosan az időben. Az efféle dolgokat a bevett szokások szerint lokálisan vizsgálták, azaz a mérnökök vagy fizikusok egyszerre csak egy lehetőséghalmazt vettek tekintetbe. Poincaréhoz hasonlóan Smale is globálisan akarta megérteni őket, azaz igyekezett egyszerre megragadni a lehetőségek egész birodalmát. A dinamikai rendszereket - például a Lorenz-félét - leíró egyenletrendszerek lehetőséget hagynak arra, hogy indulásnál tetszésünk szerint állítsuk be bizonyos változók, paraméterek értékét. A hőmérsékleti konvekció esetében az egyik ilyen paraméter a folyadék viszkozitása. Ha nagyok a különbségek a paraméterekben, az nagy különbségekkel járhat együtt a rendszerben - például az egyik esetben a rendszer nyugalomba jut, a másikban periodikusan rezeg. A fizikusok feltették, hogy igen kis változások csak a számokban okoznak szintén nagyon csekély különbségeket, a viselkedés minőségében azonban bizonyosan nem. A topológia és a dinamikai rendszerek összekapcsolása révén ábrákkal szemléltethetjük egy rendszer viselkedéseinek egész tartományát. Ha egy egyszerű rendszert veszünk, ez az ábra lehet valamilyen görbült felület; egy bonyolult rendszernél viszont egy sokdimenziós sokaság. Egy ilyen felületen egy-egy pont a rendszer állapotát jellemzi valamely időpillanatban. Ahogy a rendszer előrehalad az időben, a pont mozog, s egy pályát ír le e felüle-

ten. A rendszert jellemző paraméterek megváltozásának - viszkózusabb folyadéknak vagy kissé erősebben hajtott ingának - az ábra valamelyes torzulása felel meg. A nagyjából ugyanolyan ábrák nagyjából ugyanolyan viselkedést takarnak. Ha magunk előtt látjuk ezeket az ábrákat, megérthetjük a rendszert. Amikor Smale érdeklődése a dinamikai rendszerek felé fordult, a topológia, mint a tiszta matematika általában, leplezetlenül megvetette a valóságos világra vonatkozó alkalmazásokat. A topológia eredetileg közel esett a fizikához, de a matematikusok megfeledkeztek erről, és saját kedvük szerint alakították kutatásaikat. Smale szívből egyetértett ezzel a felfogással - ő volt a tiszták legtisztábbja -, mégis az az ötlete támadt, hogy a topológia elvont, belső fejlődése most valamivel hozzájárulhat a fizikához, úgy, ahogy Poincaré kívánta a századfordulón. Smale első hozzájárulásainak egyike éppen az említett hibás feltevés volt. Fizikus módon megfogalmazva, valami ilyesfajta természeti törvényt állított fel: Egy rendszer viselkedhet szabálytalanul, de a szabálytalan viselkedés nem lehet stabil. A stabilitás - a „Smale-féle stabilitás", ahogy a matematikusok időnként nevezik - döntő tulajdonság volt. Valamely rendszerben azt a viselkedést mondják stabilnak, amely még nem borul fel attól, hogy néhány számot egy kicsit megváltoztatunk. Minden rendszernek lehetnek stabil és instabil viselkedésmódjai. A hegyére állított ceruzát meghatározó egyenleteknek matematikailag jó megoldása az a „mozgás", amelyben a súlypont mindig az alátámasztási pont felett marad, csakhogy a ceruzát nem tudjuk így megállítani, mert ez a megoldás instabil. A legkisebb zavar is elég, hogy a rendszer eltávolodjék ettől a megoldástól. Másfelől egy tál fenekén levő golyó ott is marad a tál fenekén, mert ha egy kicsit megzavarjuk, utána visszagurul. A fizikusok feltételezték, hogy bármely ténylegesen megfigyelhető viselkedésnek normálisan stabilnak kell lennie, mivel a valós rendszerekben elkerülhetetlenek a kicsiny zavarok és bizonytalanságok. A paramétereket soha nem ismerjük pontosan. Ha olyan modellt akarunk, amely fizikailag reális és ellenáll a kis zavaroknak - érveltek a fizikusok -, akkor kétségbevonhatatlanul egy stabil modellre vágyunk. A rossz hír postán jött, valamivel 1959 karácsonya után. Ekkor Smale ideiglenesen egy Rio de Janeiró-i bérlakásban élt felesége, két piciny gyermeke és egy halom pelenka társaságában. A dinamikai rendszerekkel kapcsolatos feltevése egy - szerkezetileg stabil differenciálegyenletekből álló - osztályt határozott meg. Bármely kaotikus rendszer - állította tetszőlegesen megközelíthető egy ebből az osztályból származó rendszerrel. De nem így állt a dolog: egy kollégája levélben tájékoztatta arról, hogy sok rendszer nem viselkedik olyan jól, ahogy elképzelte, és leírt egy ellenpéldát, egy rendszert, amely egyszerre volt kaotikus és stabil.1 A rendszer kikezdhetetlen volt: ha egy kicsit megzavarták - ahogy minden természetes rendszert állandóan zavar a zaj - nem szűnt meg a különössége. Zavarnak ellenáll és mégis különös; Smale kezdeti hitetlensége lassacskán szertefoszlott, ahogy a levelet végigtanulmányozta.2 A káosz és az instabilitás - e fogalmak formális meghatározására akkoriban még alig került sor - egyáltalán nem ugyanazok. Egy kaotikus rendszer lehet stabil, ha szabálytalanságának sajátos jellege ellenáll a kisebb zavaroknak. Erre példát adott a Lorenz-féle rendszer, ámbár Smale csak évekkel később hallott Lorenzről. A Lorenz által felfedezett káosz, minden megjósolhatatlanságával egyetemben, olyan stabil volt, akár a golyó a tálban. Ezt a A levelet N. Levinson írta. A matematika több - még Poincaréig visszanyúló - fonala futott itt össze. Az egyik Birkhoff munkája volt. Angliában Mary Lucy Cartwright és J. E. Littlewood vette vizsgálat alá a Balthasar van der Pol által felfedezett kaotikus rezgő rendszereket. E matematikusok mind tudtak az egyszerű rendszerekben fellépő káosz lehetőségéről, de Smale - akárcsak a jól kép zett matematikusok többsége - nem ismerte munkáikat, egészen Levinson leveléig. 2 Smale: On How I Got Started. 1

rendszert lehetett zajjal bolygatni, megrázni, felkeverni, beavatkozni a mozgásába, ám amikor minden megnyugodott, az átmeneti mozgások kihaltak, mint visszhang a völgyben, akkor a rendszer visszatért ugyanahhoz a korábban mutatott sajátos, szabálytalan mintázathoz. Lokálisan megjósolhatatlan, globálisan stabil volt. A valóságos dinamikai rendszerek sokkal bonyolultabb szabályhalmaz alapján működtek, mint azt bárki gondolta volna. A példa, amelyet Smale kollégája levelében leírt, egy másik - több mint egy emberöltővel korábban felfedezett és már csaknem elfelejtett - egyszerű rendszer volt. Történetesen egy álruhás ingáról van szó: egy rezgéseket végző elektronikus áramkörről. Az áramkör nemlineáris, és periodikusan lökéseket - gerjesztést - kap, akár egy hintázó gyerek. Voltaképpen egy elektroncsőről volt szó, amelyet a húszas években vizsgált egy Balthasar van der Pol1 nevű holland elektromérnök. Egy mai fizikus hallgató már könnyedén feltárhatja egy ilyen oszcillátor viselkedését: elég, ha egy oszcilloszkóp képernyőjén figyeli, milyen vonalak rajzolódnak ki rajta. Csakhogy van der Polnak nem volt oszcilloszkópja, ezért kénytelen volt egy telefonkagylón át, változó hangok lehallgatásával megfigyelni áramkörét. Örömmel fedezte fel, hogy az oszcillátor viselkedése szabályszerűen változik, amint az áramerősséget változtatja. A hang frekvenciáról frekvenciára ugrott, mintha lépcsőn mászna: az egyik frekvenciát elhagyta és nyomban a következőre lépett. Időnként azonban valami különös ütötte meg van der Pol fülét: a hang viselkedése szabálytalanná vált, s van der Pol erre nem tudott magyarázatot. Mindazonáltal nem akadt fenn a dolgon. „Gyakran szabálytalan zaj hallatszik a telefonkagylóban, még mielőtt a frekvencia a következő szintre ugrana - olvashatjuk a Nature c. folyóiratnak beküldött levelében, - ez azonban csak mellékes jelenség."2 Egyike volt annak a nagyszámú tudósnak, akik előtt felsejlett a káosz, csak éppen nem voltak eszközeik a megértéséhez. Az elektroncső létrehozásán igyekvők szemében a frekvencia-ugrás volt a fontos. Akik viszont a bonyolultság természetével szerettek volna tisztába kerülni, azoknak a nagyobb és a kisebb frekvencia ellentétes irányú vonzásából fakadó „szabálytalan zaj" keltette fel a figyelmét. Ha helytelen volt is Smale feltevése, közvetlenül elvezette őt egy olyan új módszerre, amellyel megragadhatóvá vált a dinamikai rendszerek teljes komplexitása. Más megközelítésből kiindulva már több matematikus is megvizsgálta a van der Pol-féle oszcillátorban rejlő lehetőségeket; Smale most új megvilágításba helyezte az ő munkájukat. Neki sem volt más oszcilloszkópja, mint a tulajdon agya, az azonban a topológia világának sokéves kutatásában formálódott. Smale megragadta az oszcillátor lehetőségeinek teljes tartományát: az egész fázisteret, ahogy a fizikusok mondják. A fázistérben egy-egy pont jeleníti meg a rendszer különféle időpontoknak megfelelő állapotát; a rendszer helyzetére és sebességére vonatkozó információk mind benne rejlenek e pont koordinátáiban.3 Ahogyan a rendszer változik, a pont vándorol a fázistérben. A rendszer folytonos változása során ez a pont egy pályát ír le. Az egyszerűbb rendszerek, például az inga esetében a fázistér esetleg csak egy négyzet: az inga valamely időpontban mért kilendülésének szöge határozza meg a pont kelet-nyugaVan der Pol leírása a munkájáró l: Nature 120 (1927), pp. 363-64. A van der Poloszcillátorró l magyarul is olvashatunk Gnádig-Györgyi-Szépfalusy-Tél: Bevezetés a káosz kialakulásának és tulajdonságainak elméletébe c. tanulmányának 7. pontjában; valamint Tél T.: A káosz és kialakulása c. tanulmányának 4. pontjában. 2 Uo. 3 Ebben az absztrakt (tehát a valóságos tértől eltérő) térben a koordináták száma azonos a rendszer úgynevezett szabadsági fokainak - azaz a mo zgás leírásához minimálisan szükséges független változóknak-a számával. Például egyn részecskéből álló rendszer esetében a fázistérnek 6n koordinátája vagyis dimenzió ja van, mert minden részecskéhez 3 térbeli és 3 sebesség (impulzus) adat tartozik - a fordító. 1

ti helyzetét, az inga sebessége pedig észak-déli irányú helyzetét. A szabályosan fel- s alá lengő inga a fázistérben egy zárt görbét ír le; a rendszer e mentén körbe-körbe jár, s újra meg újra eljut ugyanazokba az állapotokba.

ÁBRA KÉSZÍTÉS A FÁZISTÉRBEN. A hagyományos időfüggvények (fent) és a fázistérbeli pályák (lent) két módszer ugyanazoknak az adatoknak a szemléltetésére; mindkettő arra való, hogy képet adjon a rendszer hosszú távú viselkedéséről. Az első rendszer (balra) egy állandósult állapothoz egy fázistérbeli ponthoz - tart. A második ön magát periodikusan ismételve ciklikus pályát rajzol ki. A harmadik egy bonyolultabb keringőritmusban: „háro m periódusú" ciklusban teszi ugyanezt. A negyedik kaotikus.

Smale azonban nem egyetlen pályát vizsgált, hanem azt kutatta, hogyan viselkedik a teljes tér a rendszer változása közben, például ha több hajtóenergiához jut. Figyelme a rendszer fizikai lényegéről egy újfajta geometriai lényeg felé fordult. Eszközként a fázistérbeli alakzatok topológiai transzformációit használta: olyan transzformációkat, amilyen például a nyújtás vagy az összenyomás. Némelykor e transzformációknak világos fizikai jelentésük van. Például a disszipáció, a rendszer súrlódás miatti energiavesztése azt jelenti, hogy a fázistérben összehúzódik a rendszert megjelenítő jellemző alakzat - olyasformán, mint egy lyukas léggömb -, s mire a rendszer teljesen leáll, egyetlen ponttá zsugorodik. Smale a van der Pol-féle oszcillátor teljes komplexitását ábrázolva rájött, hogy a fázisteret valamiféle bonyolult, újfajta transzformáció-kombinációnak kell alakítania. A globális viselkedés szemléltetésével kapcsolatos gondolatát csakhamar új típusú modellé alakította át. Eredménye - a káoszról alkotott, s a következő években is érvényes kép - a lópatkó néven ismertté vált konstrukció. Smale lópatkójának1 egyszerű változataképpen vegyünk egy négyzetet, majd felülről és alulról nyomjuk össze egy vízszintes sávvá. Hajlítsuk meg a sáv egyik végét a másikhoz, és hosszanti irányban nyújtsuk is meg, hogy egy lópatkószerű C alak jöjjön ki belőle. Ezután képzeljük el, hogy a lópatkót belehelyezzük egy új négyzetbe, és ugyanennek a transzformáció-sorozatnak vetjük alá: összenyomjuk, hajlítjuk, nyújtjuk. A folyamat hasonlít a karamella-készítő gép munkájához: abban a forgó karok kinyújtják a karamellát, majd visszahajtják, azután megint megnyújtják, és így tovább, amíg a karamella nagyon vékonnyá, tekervényessé, s igen nagy felületűvé nem válik. Smale kipró1

Smale e munkájának pontos matematikai kifejtése a következő cikkben jelent meg : Differentiable Dynamical Systems;Bulletin of theAmerican Mathematical Society 1967, pp. 747-817 (továbbá in: The Mathematies of Tinie, pp. 1-82).

bálta az ebben a lópatkó-alakzatban rejlő topológiai lehetőségeket, és arra jutott, hogy a lópatkó szemléletes analógiát nyújt a kezdeti feltételek iránti érzékenységre, amit Lorenz néhány évvel később felfedezett a légkörben. Vegyünk két közeli pontot az eredeti térben; hogy hová esnek végül, azt már aligha fogjuk kitalálni. A hajtogatások és nyújtások után nagyon távolra is kerülhetnek egymástól. S megfordítva: a végén egymás közelében lévő két pont, kezdetben akármilyen távol is lehetett.

SMALE LÓPATKÓJA. Ez a topológiai transzformáció adott alapot a dinamikai rendszerek kaotikus tulajdonságainak megértéséhez. Az elemei egyszerűek: A teret meg kell nyújtani az egyik irányban, összenyomni a másikban, azután összehajtani. Ez a folyamat egymás után megismételgetve olyasfajta strukturált keveréshez vezet, amilyet mindenki látott, aki hajtogatott már levelestésztát. Egy egymáshoz kö zel került pontpár kezdetben akár nagyon távol is lehetett egymástól.

Smale elsőre azt remélte, nyújtásokkal és összenyomásokkal minden dinamikai rendszert megmagyarázhat, bármiféle hajtogatás nélkül - de legalábbis olyan hajtogatások nélkül, amelyek lényegesen aláaknáznák a rendszer stabilitását. Kiderült azonban, hogy a hajtogatások nem hagyhatók el; ezek teszik lehetővé a hirtelen változásokat a dinamikai viselkedésben. Smale lópatkója volt az első abból a sokféle geometriai alakzatból, amelyek új képet adtak a matematikusoknak és fizikusoknak a mozgás lehetőségeiről. Bizonyos fokig túl mesterkélt volt, semhogy használható lehessen; túlságosan magán viselte még a matematikai topológia jegyeit, ezért kevéssé tűnt vonzónak a fizikusok szemében. De jó kiindulópontként szolgált. Ahogy teltek-múltak a hatvanas évek, Smale csoportot gyűjtött maga köré fiatal matematikusokból, akiket hozzá hasonlóan erősen foglalkoztatott a dinamikai rendszerek újabb keletű kutatása. Még egy évtizednek kellett eltelnie, mire munkájuk magára vonta a kevésbé tiszta tudományok kutatóinak figyelmét, de a fizikusok akkor végre felismerték, hogy Smale egy teljes matematikai ismeretágat hozott közelebb a valóságos világhoz. Ahogy mondták, az volt az aranykor. „Ez a paradigmaváltások paradigmaváltása" - fogalmazta meg Smale egyik kollégája, Ralph Abraham, aki utóbb matematikaprofesszor lett a Kaliforniai Egyetemen Santa Cruzban. „Amikor 1960-ban - nem is olyan régen - elkezdtem matematikusi működésemet, a fizikusok - nagyrészt még a matematikai fizikusok élgárdája is - mindenestül elutasították a modern matematikát: egyebek közt a differenciálható dinamikát, a globális analízist, a leképezés-sokaságokat, a differenciálgeometriát - mindent, ami akár csak egy-két évvel is fiatalabb volt annál, amit annak idején Einstein használt. A matematikusok és fizikusok románca az 1930-as években válással végződött. Szóra sem méltatták, sőt megvetették egymást. A matematikai fizikusok nem engedték doktoranduszaiknak, hogy matematikusoktól

hallgassanak matematikai tárgyú előadásokat : Tőlünk tanuljon matematikát. Mi arra tanítjuk meg, amire szüksége van. A matematikusokra egyfajta rémes szellemi önkielégülés jellemző; csak tönkretennék a fejét. Így álltunk 1960-ban, 1968-ra azonban teljesen megváltozott a helyzet." A fizikusok, csillagászok és biológusok végre mind megértették, hogy szükségük van az újdonságokra. Egyike a kisebbfajta kozmikus rejtélyeknek a Jupiter nagy vörös foltja, egy óriási örvénylő ovális képződmény, olyan, akár egy hatalmas vihar, amely sosem mozdul el és nem csendesül le.1 Aki látta a Voyager-2 által 1978-ban a Földre sugárzott fotókat, mind felismerhette, hogy turbulenciát lát egy teljesen ismeretlen mérettartományban. Ez a Naprendszer egyik leglenyűgözőbb jellegzetessége -,,a vörös folt jajong, mint elkínzott szem/ fortyogó szemöldökök örvénylésében',2 mint John Updike írja. De vajon mi ez a vörös folt? Húsz évvel azután, hogy Lorenz, Smale és mások elkezdték az áramlások új elméletének kidolgozását, a Jupiter másvilági időjárásáról kiderült: maga is a közé a számos probléma közé tartozik, amely a káosz tudománya által feltárt új lehetőségekre vár. Három hosszú évszázadon át úgy állt a dolog, hogy minél többet tudtak róla, annál kevésbé voltak tisztában vele. A csillagászok előbb egy foltot vettek észre a nagybolygón, nem sokkal azután, hogy - elsőként - Galilei a Jupiternek szegezte távcsövét. Robert Hook is látta az 1600-as években, Donati Creti megfestette, ahogy a Vatikáni Képtárban látható. Mint aprócska elszíneződés, nem is igen kívánt magyarázatot. A távcsövek azonban egyre jobbak lettek, és az ismeretek bővülésével egyre több lesz a még ismeretlen. Az utolsó száz évben egyre-másra születtek az elméletek a vörös folt megmagyarázására. Csak mutatóban néhány: A lávaömlés-elmélet. A tizenkilencedik század végén a tudósok úgy képzelték, hogy vulkánból kiömlött olvadt lávából hatalmas ovális tó alakult ki. A láva egy olyan lyukból ömlött ki, amelyet egy kisbolygó ütött a vékony szilárd kérgen. Az új hold elmélete. Egy német tudós viszont úgy gondolta, hogy a folt egy új hold lenne, amely éppen felemelkedik a bolygó felszínéről. A tojáselmélet. Egy kellemetlen, új tény merült fel: a folt kissé elmozdulni látszott a bolygó háttere előtt. Így 1939-re az a vélemény alakult ki, hogy a folt egy többé-kevésbé szilárd test, amely úgy úszik a légkörben, mint tojás a vízben. Ennek az elméletnek a változatai - például a sodródó hidrogén- vagy héliumbuborékra vonatkozó elképzelés - évtizedekig fennmaradtak. A gázoszlop-elmélet. Egy újabb tény: ha a folt elmozdult is, valahogyan sosem ment messzire. A tudósok a hatvanas években ilyenformán feltették, hogy a folt egy - talán kráterből kiáramló - gázoszlop teteje. Azután jött a Voyager. A legtöbb csillagász úgy gondolta, hogy a rejtély mindjárt megoldódik, mihelyt elég közelről tekinthetünk a foltra. A Voyager-repülés valóban az új adatok egész tárházával szolgált, csakhogy ezek az adatok sem bizonyultak végül elegendőnek. Az űrhajó 1978-ban küldött fényképei erős szeleket és színes örvényeket fedtek fel. A látványos részletek alapján a csillagászok magát a foltot örvénylő áramlások hurrikánszerű rendszerének látták, amely félretolja a bolygó körüli vízszintes sávokat alkotó kelet-nyugati szélzónák felhőit. A hurrikánnál jobb leírást senki sem gondolhatott ki, de számos okból 1

Philip S. Marcus: Coherent Vort ical Features in a Turbulent Two-Dimensional Flow and the Great Red Spot of Jupiter. Előadás az Amerikai Akusztikai Társaság 110. Közgyűlésén, Nashville, Tennessee, 1985. november 5. 2 John Updike: The Moons of Jupiter. Facing Nature. p. 74.

az sem volt megfelelő. A földi hurrikánokat a légköri nedvesség esővé való lecsapódásakor támadt hő hajtja, a vörös foltot viszont nem nedvességgel összefüggő folyamatok tartják fenn. A hurrikánok, mint minden földi vihar, ciklonirányban forognak: az Egyenlítő fölött az óramutató járásával szemben, alatta az óramutató járásának irányában, a vörös folt forgása viszont anticiklonális irányú. És a legfontosabb: a ciklonok néhány napon belül elülnek. Tetejébe, a csillagászok a Voyager fényképeit tanulmányozva rájöttek, hogy a bolygó gyakorlatilag teljes egészében mozgó folyadékból áll. Arra készültek, hogy egy szilárd bolygót fognak majd látni, papírvékony légkörrel, olyat, mint a Föld; ám ha a Jupiternek egyáltalán van szilárd magja, akkor az jóval a felszín alatt húzódhat. A bolygó egyszerre csak egy nagy hidrodinamikai kísérlet alakját öltötte, és ott ült rajta a vörös folt, állandó keringésben, a környező káosztól mit sem zavartatva. A foltból, mondhatni, alaklélektani teszt vált. A tudósok azt látták benne, amit szemléletük láttatott velük. A hidrodinamika kutatója, véletlen és zajos folyamatnak gondolván a turbulenciát, nem képzelhetett bele semmiféle stabilitás jellemezte szigetet. A Voyager azzal még bosszantóbbá tette a rejtélyt, hogy kicsiny, a legerősebb földi távcsövekkel sem látható1 mérettartományokban is áramlási tulajdonságokról tudósított. Ezekben a kis mérettartományokban gyors és rendezetlen volt a mozgás; a keletkező örvények még aznap el is tűntek. De a foltnak mindez nem ártott. Mi tarthatja akkor működésben? S mi tartja a helyén? Az Amerikai Repülésügyi és úrkutatási Hivatal (a NASA) mintegy fél tucat archívumban tartja a képeit szerte az Egyesült Államokban. Az egyik a Cornell Egyetemen van, nem messze attól a szobától, ahol a nyolcvanas évek elején egy fiatal csillagász és alkalmazott matematikus, Philip Marcus dolgozott. A Voyager adatainak megjelenése után Marcus is kereste a módját a vörös folt modellezésének, ahogyan még vagy fél tucat kutató az Egyesült Államokban és Nagy-Britanniában. A hurrikánra támaszkodó elméletpótléktól megszabadulva, máshol megfelelőbb analógiákra találtak. Például a Golf-áramlásra, amely átkanyarodik az Atlanti-óceán nyugati részén, majd valami rejtélyes emlékezetre támaszkodva elfordul és ágakra bomlik. Kis hullámokat formál, s azok azután visszafordulnak, gyűrűkké alakulnak és - lassú, hosszú ideig tartó, anticiklonikus örvényeket formálva - leperdülnek a fő áramlatról. A másik párhuzam egy sajátos meteorológiai jelenség: a blocking (blokkolás). Időnként egy nagynyomású rendszer ül a tenger felett, a parttól nem messze, s lassan forogva heteken, sőt hónapokon át dacol a szokásos kelet-nyugati áramlással. A blocking elrontotta a globális előrejelző modelleket, de némi reményt is nyújtott az időjósoknak, mivel szabályos tulajdonságai voltak, s azokat szokatlanul hosszú ideig megtartotta. Marcus órákon áttanulmányozta a NASA fényképeket: a Holdon emberekről készített ragyogó Hasselblad-felvételeket és a Jupiter turbulenciájának fotóit. Mivel a Newton-törvények mindenütt érvényesek, Marcus folyadékegyenletek rendszerét programozta egy számítógépbe. A jupiteri időjárás törvényszerűségeit feltárni: ez a feladat olyan, mintha szabályokat kellene felírni, egy nem világító csillaggal azonos tömegű, sűrű hidrogénre és héliumra. A bolygó gyorsan forog: itt tíz földi óra a nap. A forgás erős Coriolis-erőt kelt azaz oldalra irányuló erőt, amely a körhintán keresztül sétáló embert is nyomja - ez a Coriolis-erő hajtja a foltot. Lorenz egy kicsiny modellel igyekezett leírni a földi időjárást, s ez úton csak durva vonalakat jeleníthetett meg a papírtekercseken; nem így Marcus: ő sokkal nagyobb teljesít1 Andrew P. Ingersoll: Order fro m Chaos: The Atmospheres of Jupiter and Satum; Planetary Report 4:3, pp. 8-11.

ményű számítógépet használt, s meglepő színes képeket kapott eredményül. Először körvonalakat rajzoltatott ki. Ezekből alig tudta kivenni, mi történik. Azután diákat csinált, majd a képeket mozgófilmmé állította össze. Meglepő felfedezés volt. Ragyogó kék, piros és sárga színekben forgó örvények sakktáblaszerű mintázata egyesül egy oválisban, amely megdöbbentő módon emlékeztet a valóságról készített NASA-film nagy vörös foltjára. „Látod ezt a nagyméretű foltot; olyan, mint egy zárkózott ember a kis mérettartományban zajló kaotikus áramlás közepette; és a kaotikus áramlás szivacs módjára felszívja az energiát - mondta. - Látod ezeket a piciny kis szálas struktúrákat a káosz tengerében." A folt egy önszervező rendszer, amelyet ugyanazok a nemlineáris sodrások hoznak létre és szabályoznak, mint a körülötte kavargó megjósolhatatlan zűrzavart. Ez a stabil káosz. A doktori képzésben Marcus a szokványos fizikát tanulta, lineáris egyenletek megoldását, s olyan méréseket végzett, amelyek a lineáris analízis testére voltak szabva. Ez afféle minden veszélytől óvott létforma volt, no de minek is vesztegetni egy doktorandusz idejét, ha egyszer a nemlineáris egyenletek úgyis megoldhatatlanok? A fáradozás jutalma úgyszólván bele volt programozva a képzésébe. Ameddig a kísérleteket bizonyos határok között tartotta, a lineáris közelítések megfeleltek, és elégedett is lehetett, hiszen a várt választ kapta. Néha azért óhatatlanul betolakodott a valóságos világ is: Marcus így láthatta volna azt, amit évekkel később mint a káosz jeleit ismert fel. Ha erre megáll és azt mondja: „Jé, hát ez mi a szösz?", azt kapta volna: „Ó, hát mérési hiba, ne is törődjön vele!" De Marcus végül más utat követett, mint a fizikusok többsége: megtanulta Lorenz leckéjét, miszerint egy determinisztikus rendszertől a periodikus viselkedésnél sokkal több is kitelhet. Megtanult vad rendezetlenséget keresni, és tudta, hogy a rendezetlenségen belül strukturált szigetek bukkanhatnak fel. Ezzel a nagy vörös folt vizsgálatában olyan szemléletet honosított meg, amely szerint egy komplex rendszerben egyszerre lehet jelen a turbulencia és a koherencia. Egy olyan újonnan megjelenő tudományágban működhetett, amely saját hagyományt teremtett: kísérleti eszközként alkalmazta a számítógépet. És újfajta kutatónak látta magát, aki nem csillagász, nem is a hidrodinamika tudósa vagy alkalmazott matematikus, hanem legfőképpen a káosz szakembere.

Az élet viszontagságai

A matematikailag kapott eredményt folyamatosan össze kell vetnünk az ésszerű biológiai viselkedésről kialakult nézeteinkkel. Ha eközben ellentmondást találnánk, akkor a következő lehetőségeket kell számba vennünk: Hiba csúszott a formális matematikai levezetésbe; Az alapfeltevés hibás és/vagy túlzott egyszerűsítésre épül; Biológiai oldalról nincsenek megfelelően kidolgozott nézeteink; e. Egy mélyreható új elvre bukkantunk. a. b. c. d.

HARVEY J. GOLD Mathematical Modeling of Biological Systems (Wiley & Sons, 1977. p. 15.)

Éhes hal és ínycsiklandó plankton.1 Esőerdők nevesincs hüllőkkel, a lombkorona alatt suhanó madarakkal, gyorsítóbeli elektronok módjára zümmögő rovarokkal. Hideg éghajlati övek, ahol egerek és lemmingek szaporodnak és fogynak szabályos négyéves időközönként a természet véres harcában. A világ egyetlen összevissza laboratórium az ökológusok számára, ötmillió egymással kölcsönhatásban levő faj egyetlen katlanban.2 Vagy ötvenmillió? Az ökológusok csak becsülni tudják. A huszadik század matematikai hajlandóságú biológusai létrehoztak egy tudományágat, az ökológiát, amely megfosztotta a valódi életet a zajtól és színtől, dinamikai rendszerekként kezelte a populációkat. Az ökológusok a matematikai fizika elemi eszközeit használták az élet apályainak és dagályainak leírására. Egyetlen faj szaporodik el egy olyan helyen, ahol nincs akármennyi táplálék, több faj versenyez a létezésért, járványok terjednek a gazdapopulációkban - mindez különválasztható, ha nem a laboratóriumokban, hát az elméleti biológusok fejében. A káosz mint új tudomány létrehozásában - az 1970-es években - az ökológusok sajátos szerepre voltak kárhoztatva. Matematikai modelleket használtak, de mindig tudták, hogy a modellek csak halovány közelítései a valóságos világ kavargásának. Fonák módon, ez a szem elől sohasem tévesztett fogyatékosság segített nekik felismerni néhány olyan gondolat jelentőségét, amelyeket a matematikusok csak érdekes furcsaságoknak tartottak. Szabályos egyenletekből szabálytalan viselkedés származhat: az ilyesmi szemet szúr egy ökológusnak. A populációbiológiára alkalmazott egyenletek elemi megfelelői voltak a világegyetem fizikusokat megillető részeire felírt fizikai modelleknek. Az élettudományokban tanulmányozott valóságos jelenségek mindazonáltal bonyolultságukban felülmúltak mindent, ami egy fizikai laboratóriumban található. A biológusok matematikai modelljei a valóság karikatúrái voltak, akárcsak a közgazdászoké, a demográfusoké, a pszichológusoké és várostervezőké, amelyekkel ezeknek a kevésbé egzakt tudományoknak a művelői megpróbáltak szigorúságot vinni az időben változó rendszerek kutatásába.3 Ők máshoz voltak szokva. A fizikus szemében egy olyan egyenletrendszer, mint a Lorenz-féle, egészen egyszerűnek, szinte átlátszónak tetszett. Egy biológus viszont még a Lorenz-féle egyenleteket is félelmetesen bonyolultnak látta: háromdimenziósak, folytonosan változnak és analitikuMay híres áttekintő cikke a káosz tanulságairól a populációbiológiában: Simple Mathematical Models with Very Co mp licated Dynamics; Nature 261(1976), pp. 459-67. Továbbá: Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Po ints, Stable Cycles, and Chaos; Science 186 (1974), pp. 645-47, valamint May és George F. Oster: Bifurcations and Dynamic Co mplexity in Simple Eco logical Models; The American Naturalist 110 (1976), pp. 573-99. Kitűnő áttekintés a populációk matematikai modellezéséről a káosz előtt: Sharon E. Kingsland: Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology (University of Ch icago Press, Chicago 1985). Lényegében ugyancsak a káosz előtti biológiai alkalmazásokat foglalja össze röviden (magyarul is) Haken: Szinergetika c. könyvének 10. fejezete. 2 May és Jon Seger: Ideas in Ecology: Yesterday and Tomorro w. Preprint, Princeton University, p. 25. 3 May és George F. Oster: Bifurcations and Dynamic Co mplexity in Simp le Ecological Models; The American Naturalist 110 (1976), p. 573. 1

san kezelhetetlenek. A szükség másféle munkastílusra szorította a biológusokat: a matematikai leírást másféleképpen kellett összevetniük a valódi rendszerekkel. A fizikus ennek vagy annak a rendszernek (mondjuk rugóval összecsatolt ingapárnak) a vizsgálatát a megfelelő egyenletek kiválasztásával kezdi. Előbb felüt egy kézikönyvet; ha sem ott, sem másutt nem találja, akkor az alapelvekből származtatja az egyenleteket. Tudja, hogyan működnek az ingák, és ismeri a rugókat. Azután, ha tudja, megoldja az egyenleteket. A biológus viszont sosem tudhatja csupán gondolkodás útján felírni egy sajátos állati populációra vonatkozólag a megfelelő egyenleteket. Előbb adatokat kell gyűjtenie, majd igyekeznie kell olyan egyenleteket találni, amelyek hozzájuk hasonló eredményekkel szolgálnak. Mi történik, ha beleteszel ezer halat egy kis mesterséges tóba, és csak korlátozott mennyiségben adsz nekik táplálékot? Mi történik, ha még melléjük teszel ötven cápát, amelyek két ilyen halat esznek meg naponta? Mi történik egy vírussal, amely a populációsűrűségtől függően ilyen és ilyen gyorsasággal öl és ilyen meg ilyen sebesen terjed? A tudósok idealizálják ezeket a kérdéseket, hogy így bizonyos képleteket írhassanak fel rájuk. Ez gyakran eredményes is volt. A populációbiológia elég sokat tanult belőle az élet történetéről, arról, hogy a ragadozók hogyan állnak kölcsönhatásban zsákmányukkal, vagy hogyan befolyásolják az ország népességének esetleges változásai a betegségek terjedését. Ha ez vagy az a matematikai modell nekilódult vagy egyensúlyba jutott, netán elhalt, abból az ökológusok kideríthettek valamit arról, hogy milyen körülmények között tenne így egy valóságos populáció vagy éppen járvány. Az egyik hasznos egyszerűsítés az volt, hogy a világot diszkrét időintervallumokra támaszkodva kell modellezni: ahogyan az olyan óramutató teszi, amelyik nem folytonosan mozog, hanem csak másodpercenként ugrik egyet. A differenciálegyenletek időben simán változó folyamatokat írnak le, de nehéz őket megoldani. Az egyik állapotból a másikba ugró folyamatokra egyszerűbb egyenletek -,,differencia-egyenletek" - alkalmazhatók. Szerencsére az egyéves intervallumok, az évről évre történő változások számos állati populáció esetében fontosabbak, mint a folytonos változások. Az emberekkel ellentétben például jó néhány rovar csak egyetlen szaporodási időszakon át marad életben, így a nemzedékek nem keverednek egymással. Ha az ökológus a következő évi gyapjaslepke-népességet kívánná felbecsülni, vagy a következő téli kanyarójárványt, akkor csak az az évi számokat kell ismernie. Az évenkénti hasonlóság csak halvány visszfénye a rendszer bonyolultságának, de sok tényleges alkalmazásban mégis megad minden szükséges információt. Az ökológia matematikája a Steve Smale-féle matematikához képest olyan, mint a tízparancsolat a Talmudhoz képest: működő szabályok megfelelő gyűjteménye, híján minden nagyobb bonyodalomnak. A populáció évenkénti változásának leírásához a biológus olyan formalizmust használ, amelyet egy főiskolai hallgató is könnyedén követhet. Tegyük fel, hogy a következő évi gyapjaslepke-népesség nagysága egyes-egyedül az ez évi egyedszámtól függ. Elképzelhetjük, hogy egy táblázat feltünteti az összes lehetőséget: ebben az évben 31 000 gyapjaslepke mondjuk azt jelenti, hogy a következő évben 35 000 lesz, és így tovább. De az ez évi számok és a következő évi számok közötti összefüggéseket szabályként - függvényként - is megragadhatjuk. A következő évi népesség (x) valamilyen függvénye (F) az ez évi népességnek: xkov=F(x). Bármely függvény ábrázolható grafikonnal, s az rögtön érzékelhetővé teszi a függvény egész menetét. Az ilyen egyszerű modellekben az egyedszámok évenkénti alakulását követni nem más, mint venni egy kiindulási számot és ugyanazt a függvényt ismételten alkalmazni rá. Hogy megkapjuk a harmadik évi népességet, csak alkalmaznunk kell a függvényt a második évnek megfelelő számra, és így tovább. A népesség egész története megragadható ezzel a

függvény-ismételgetéssel avagy visszacsatolással: azzal, hogy a mindenkori évhez tartozó kimeneti érték bemenetül szolgál a következő évhez. A visszacsatolás esetenként el is szabadulhat, például ha egy hangszóró hangja egy mikrofonon át visszacsatolódik és egy szempillantás alatt kibírhatatlan sivítássá fajul. De a visszacsatolás stabilitáshoz is vezethet: ezt teszi a szobahőmérsékletet szabályozó termosztát is: a beállított érték feletti hőmérséklet hűtéshez vezet, az alatta álló pedig fűtéshez. Sok különböző típusú függvény lehetséges. Ha a lehető legegyszerűbbet gondoljuk a populációbiológiáról, talán olyan függvény jutna eszünkbe, amely évről évre egy bizonyos százalékkal növeli a népességet: xköv= rx. Ez az ún. lineáris függvény a népességnövekedés klasszikus Malthus-féle sémája, amelyet nem korlátoznak sem táplálékszerzési nehézségek, sem erkölcsi megfontolások. Az r paraméter a népességnövekedési arányt adja meg. Tételezzük fel, hogy r=1,1; ha tehát ebben az évben mondjuk 10 az egyedszám, akkor a következő évben 11 lesz. Vagy 20 000 a bemenet, akkor 22 000 lesz a kimenet. Az egyedszám egyre nő, mint a kamatos kamatra betett pénz, amelyből egy fillért sem vesz ki a betétes. Az ökológusok már több nemzedékkel ezelőtt rájöttek, hogy ezen a képen változtatni kell. Ha az ökológus valódi halakat képzel egy valódi tóba, akkor olyan függvényt kell találnia, amely megfelel az élet nyers valóságának - például az éhség vagy a versengés valóságának. Ha a halak nagyon szaporodnak, kezdenek majd kifogyni az élelemből. Egy kis halpopuláció még gyors növekedésnek indul, egy már túlságosan nagy populáció viszont csökkenni kezd. Vagy vegyünk valamilyen közönséges bogarat. Minden augusztus 1-jén menjünk ki a kertbe és számoljuk meg, hány lehet belőlük. Az egyszerűség kedvéért ne vegyük tekintetbe az őket irtó madarakat és betegségeket, és tegyük fel, hogy állandó mennyiségű táplálékuk van. Ha kevés volt belőlük, akkor majd sok lesz, ha sokan voltak, sokuk el is pusztul majd. A korlátlan növekedés malthusiánus forgatókönyve szerint a lineáris növekedési függvény örökké felfelé emelkedik. Valósághűbb képhez az ökológusnak még egy tagot be kell iktatnia az egyenletbe, amely tag majd korlátozza a növekedést, ha az egyedszám már naggyá válik. A választandó legtermészetesebb függvény meredeken emelkedik, míg a népesség kicsi, közepes értékeken szinte nullára csökkenti a növekedést, és letörik, ha a népesség nagyon nagy. A folyamat többszöri ismétlésével az ökológus megfigyelheti a népesség hosszú távú viselkedését - az egyedszám vélhetőleg elér majd valamilyen állandósult értéket. Ez a sikeres matematikai kalandozás a következőt mondatja az ökológussal: Itt van egy egyenlet; itt van egy változó, amely a szaporodási rátának felel meg; itt van egy változó, amely a természetes halálozási rátát adja meg; itt van egy változó, amely az éhezés és a ragadozók okozta pusztulás arányát írja le; és nézd: a népesség ezzel a sebességgel fog nőni, amíg el nem éri azt az egyensúlyi szintet. Hogyan találunk ilyen függvényt? Sokféle egyenlet szóba jöhet, de a legegyszerűbb talán a lineáris, malthusiánus változat következő módosítása: xköv = rx(1-x). Itt az r paraméter ismét a növekedési arány; ha kell, kisebb, ha kell, nagyobb értéket tulajdoníthatunk neki. Az új 1-x tag korlátok között tartja a növekedést, mivel ha x nő, akkor 1-x csökken.1 Aki1 A kényelem kedvéért ebben a nagyon elvont modellben a ,népesség" egy nulla és egy közötti tizedestört; a 0 a kihalást jelenti, az 1 pedig a tó elkép zelhető legnagyobb benépesítettségét. Akkor hát kezdjü k: Válasszunk egy tetszőleges r értéket, mondjuk 2,7-et, és 0,02es kezdeti népességet. 1 mínusz 0,02 az 0,98. Szorozzuk meg ezt 0,02-vel; 0,0196-ot kapunk. Ezt szorozzuk meg 2,7-tel; most 0,0529-et kapunk. A nagyon kis kezdeti egyedszám több mint kétszeresére nőtt. Ismételjü k meg a folyamatot, most az új egyedszámból kiindulva: ezúttal 0,1353-at kapunk. Egy olcsó programozható számo lógépen az ismételgetéshez csak egy gombot kell nyomkodni. A népesség 0,3159-re, azután 0,5835-re, majd 0,6562-re nő - a növekedés mértéke >>>folytatás50

nek van számológépe, vehet egy neki tetsző kezdeti értéket és valamekkora növekedési arányt, és kiszámolhatja a következő évi népességet.

Egy populáció emelkedés, túllépés és visszaesés után egyensúlyba kerül.

Az 1950-es évekre már sok ökológus vizsgálta ezt a logisztikus differenciaegyenletként ismert sajátos egyenletet. Ausztráliában például W. E. Ricker a halászati hozamokra alkalmazta. Az ökológusok megértették, hogy az r növekedési arány fontos paraméter a modellben. Fizikai rendszerekben, ahonnan ezek az egyenletek származnak, ez a paraméter a fűtés vagy a súrlódás mértékének, vagy valamilyen más, rendezetlenséggel kapcsolatos mennyiségnek felelt meg. Röviden: a nemlinearitás mértékének. Egy kis tóra alkalmazva, ez a halak termékenységének felelhet meg, vagy annak, hogy az egyedszám esetleg nemcsak fellendül, hanem netán hanyatlik is (erre a „szaporodási potenciál" a kellő súlyú szakkifejezés). A kérdés az volt, hogyan befolyásolják ezek a különféle paraméterek egy változó egyedszámú népesség végső sorsát. A nyilvánvaló válasz: ha ideális népességről van szó, és a paraméter kisebb, akkor alacsonyabb szinten állapodik meg az egyedszám, ha nagyobb, akkor magasabb szinten. Ez sok paraméter esetében igaznak bizonyult - de nem mindegyikében. A Rickerhez hasonló kutatók esetenként alighanem kipróbáltak még nagyobb paraméterértékeket is; s ha igen, akkor látniuk kellett a káoszt. A számok egymásutánja egyszer csak megbokrosodik, ami meglehetősen kellemetlen annak, aki tekerős számológéppel számol. A számok persze továbbra sem nőnek minden határon túl, de állandó szinthez sem tartanak. Ám az első ökológusok közül senkinek sem akaródzott tömegével gyártani olyan sorozatokat, amelyek nem látszanak valahol megállapodni. Hiába ugrált fel s le az egyedszám, az ökológusok akkor is feltették, hogy valamilyen egyensúlyi érték körül ingadozik. Az egyensúly volt a fontos. Az szóba sem jöhetett, hogy nincs egyensúly. A logisztikus egyenlettel és bonyolultabb rokonaival foglalkozó kézikönyvek és tankönyvek rendszerint egy szót sem szóltak arról, hogy az egyenlet megoldásaitól kaotikus viselkedés várható.1 J. Maynard Smith 1968-ban megjelent Matematikai gondolatok a biológiában c. klasszikus könyvében a szabványfelfogást adja vissza a lehetőségekről: az >>>folytatás49 tehát csökken. A zután, ahogy az éhhalál legyőzi a szaporodást, a népesség 0,6092 lesz. Azután 0,6428, 0,6199, 0,6362, majd 0,6249. Úgy tűnik, a számok fel-1e ugrálnak, de közelednek egy rögzített számhoz: 0,6328, 0,6273, 0,6312, 0,6285, 0,6304, 0,6291, 0,6300, 0,6294, 0,6299, 0,6295, 0,6297, 0,6296, 0,6297, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296,0,6296, 0,6296. Siker! A papír-ceru zás számo lgatás és később a mechanikus tekerős számológépek idejében a nu merikus kutatás sosem lépett sokkal tovább. 1 J. Maynard Smith: Mathematical Ideas in Biology (Cambridge Un iversity Press, Cambridge 1968), p. 18; Harvey J. Gold : Mathematical Modeling of Biological Systems.

egyedszámok gyakorta közelítőleg állandók maradnak vagy „elég szabályos periodicitással" ingadoznak egy feltehető egyensúlyi érték körül. S nem azért írt így, mert naivan azt képzelte volna, hogy a valóságos populációk sosem viselkedhetnek szabálytalanul. Szó sincs róla: csupán feltette, hogy a szabálytalan viselkedésnek semmi köze a könyvében ismertetett matematikai modellekhez. A biológusoknak kellő távolságot kellett tartaniuk ezektől a modellektől. Ha a modellek egyszer csak nem azt jósolták, amit a kutatók már tudtak a valódi populációk viselkedéséről, akkor mindig hivatkozhattak valamilyen figyelmen kívül hagyott tulajdonságra: a populáció kor szerinti megoszlására, bizonyos területi vagy földrajzi megfontolásokra vagy az ivar számításba vételének bonyodalmaira. A legfontosabb, hogy az ökológusok agyában mindig ott lappangott a feltevés: a szabálytalan számsor talán a számológépnek vagy csak a nem elégséges pontosságnak tulajdonítható. A stabil megoldások számítottak érdekesnek. A rendnek rend volt a jutalma. Megtalálni a megfelelő egyenleteket és végigvinni a számításokat: ez elég nehéz mesterség. Senki sem akarta az idejét olyan irány kidolgozására vesztegetni, amely - minthogy nem hozza a stabilitást - tévútra vezet. A túlzott egyszerűsítésnek egyes-egyedül a szabályosság modellezése volt a célja. Ugyan minek zavaros ügyekbe belevágni; csak hogy káosz süljön ki belőlük? Később az emberek azt mondták, hogy James Yorke fedezte fel Lorenzet és ő adott nevet a káosz tudományának. Ami a második megállapítást illeti, az valóban helytálló. Yorke matematikus volt, aki szerette filozófusnak hinni magát, ha az ilyesmit szakmailag nem is éppen veszélytelen bevallani. Ragyogó elme volt, barátságos természetű; enyhén zilált csodálója a szintúgy enyhén zilált Steve Smale-nek. Smale-t éppúgy nehezen kifürkészhetőnek találta, mint mindenki más, de - legtöbbjükkel ellentétben - azután rájött, mi ennek az oka. Yorke alig huszonkét esztendősen tagja lett egy interdiszciplináris intézetnek: a Marylandi Egyetem Fizikatudományi és Műszaki Intézetének; ennek később a vezetőjévé is vált. Az a fajta matematikus volt, aki törekedett gyakorlatilag is hasznossá tenni valóságról támadt gondolatait. Egy jelentése nyomán például, amelyben a gonorrhoea terjedését taglalta, az amerikai kormány megváltoztatta a betegség megfékezésére kidolgozott országos stratégiát.1 Az olajválság idején, még az 1970-es években Maryland államban hivatalos felmérést készített, s abban helyesen (ám sajnos eredménytelenül) amellett érvelt, hogy a benzinárusítás korlátozásának páros-páratlan rendszámos módja csak hosszabbá teszi a benzinkút előtti autósorokat.2 A háborúellenes tüntetések időszakában, amikor egyszer a kormány megjelentetett egy kémrepülőgép által készített fényképet, bizonyítandó, mily kevesen is vettek részt a Washington Emlékmű körül egy tiltakozó megmozduláson, Yorke az emlékmű árnyékát alaposabban megvizsgálva kiderítette, hogy a felvétel nem akkor készült, amikor a kormány állította, hanem egy fél órával később, már a tömeg szétszéledése idején.3 Az intézetben Yorke rendkívüli szabadságot élvezett a hagyományos területeken kívüli problémák kutatásában; gyakran lépett kapcsolatba a legkülönfélébb tudományágak műve1 Herbert W. Hethcote és James A. Yo rke: Gonorrhea Transmission Dynamics and Control (Springer-Verlag, Berlin 1984) 2 Számítógépes szimulációra támaszkodva Yorke arra jutott, hogy e rendszer bevezetése után az autósoknak többször kellett elmenniük a töltőállo másokra és több benzint kellett tartaniuk a benzintartályukban, mint korábban; tehát megnőtt az ország autóiban hasztalanul tárolandó benzin mennyisége. 3 A repülőtéri naplóból később kiderült, hogy Yorke-nak igaza volt.

lőivel. Ezek egyike, egy hidrodinamikai szakember 1972-ben ráakadt Lorenz 1963-as tanulmányára, a „Determinisztikus nemperiodikus áramlás"-ra, s valósággal beleszeretett; széltében-hosszában osztogatta róla a másolatokat, így jutott el a cikk Yorke-hoz is. Lorenz írása varázslatnak tűnt, olyan varázslatnak, amelyet Yorke már akkor is keresett, amikor még tudomása sem volt róla. Először is megrázkódtatást okozott matematikai szempontból: egy kaotikus rendszer, amely felrúgja Smale eredeti optimista osztályozási rendszerét. De nem csupán matematikailag volt érdekes, hanem mint eleven fizikai modell is, mint a mozgó folyadékról alkotott kép; Yorke nyomban rájött, hogy ez az, amit a fizikusoknak is látniuk kell. Smale az ilyen fizikai problémák irányába kormányozta a matematikát, de - s ezt Yorke jól átlátta - a matematika nyelvezete akadály maradt a kommunikáció útjában. Bárcsak akadt volna hely a tudományos életben a matematikus/ fizikus keveréknek - de nem volt. Smale működése a dinamikai rendszerek terén elkezdte ugyan közelíteni egymáshoz a két partot, de a matematikusok továbbra is a maguk nyelvén beszéltek, s nemkülönben a fizikusok. Mint azt a fizikus Murray Gell-Mann egyszer megjegyezte: „Az oktatók jól ismerik azt az embertípust, aki a matematikusokat jó fizikusoknak, a fizikusokat meg jó matematikusoknak tekinti. És nagyon helyesen nem tűrnek meg ilyesfajta egyént a közelükben."1 A két foglalkozásnak mások a kívánalmai. A matematikusok következtetések révén bizonyítják a tételeket; a fizikusok bizonyítékai súlyosabb eszközökre támaszkodnak. Más dolgokból áll a világuk, mások a jellegzetes példáik. Smale-t mondjuk egy ilyesfajta példa örvendeztette meg: vegyünk egy számot nulla és egy között, majd szorozzuk meg kettővel. Dobjuk el az egész részét, vagyis a tizedesponttól balra álló számokat. Azután tegyük meg vele újra ugyanezt, s így tovább. Mivel a legtöbb szám irracionális és finom részleteit tekintve megjósolhatatlan, ez az eljárás egy megjósolhatatlan számsort állít elő. Egy fizikus semmi érdekeset nem lát ebben, csak egy banális matematikai furcsaságot, amely tökéletesen értelmetlen, túl egyszerű és túl elvont ahhoz, hogy használható lehessen. Smale-nak azonban azt súgta az intuíciója, hogy ez a matematikai fogás még sok fizikai rendszer lényegének bizonyulhat. A fizikusok szemében az egyszerű formában felírható differenciálegyenlet volt az elfogadható példa. Amikor Yorke meglátta Lorenz cikkét, felismerte, hogy ezt a példát - bár egy meteorológiai folyóiratban van eltemetve - bizonyosan megértik majd a fizikusok. Adott egy példányt Smale-nek, amelyre ráragasztott egy címkét a saját nevével, csak azért, hogy Smale majd küldje vissza neki. Smale meglepődve látta, hogy ez a meteorológus - tíz évvel korábban - felfedezett egy olyasfajta káoszt, amilyet ő matematikailag lehetetlennek vélt. Számos másolatot készített a „Deterministic Nonperiodic Flow„-ról, innen származik tehát a legenda, hogy Yorke fedezte fel Lorenzet, hiszen a cikk Berkeleyben forgó példányain ott lehetett olvasni Yorke nevét. Yorke úgy sejtette, hogy a fizikusok megtanulták nem látni a káoszt. A hétköznapi életben ugyanis lépten-nyomon jelen van ez a lorenzi érzékenység a kezdőfeltételek iránt. Egy ember reggel harminc másodperccel később megy el hazulról, egy virágcserép csak milliméterekkel kerüli el a fejét, és azután elgázolja egy teherautó. Vagy, ami nem ennyire életbe vágó, lekési a tíz percenként közlekedő buszt, s ezzel elszalasztja a vonatát, amely viszont csak óránként jár. A napi menetrendben egy apró zavar is jelentős következményekkel járhat. A baseballban a dobást váró ütőjátékos jól tudja, hogy a csak közelítőleg jó ütés eredménye közel sem lesz olyan, mint a valóban jó ütésé, mert a baseball centimétereken múló játék. A tudomány azonban - nos, a tudomány az más lapra tartozott. Ami az oktatást illeti, a jó fizika és matematika nem volt, s ma sem egyéb, mint diffe1 Murray Gell-Mann: The Concept of the Institute; in: Emerging Syntheses in Science, a Santa Fe Institute alakuló ülésének kö zleményei (The Santa Fe Institute, Santa Fe, 1985), p. 11.

renciálegyenleteket felírni a táblára és megmutatni a hallgatóságnak, hogyan kell őket megoldani. A differenciálegyenletek a valóságot mint folytonost ragadják meg, amely simán változik helyről helyre és időről időre, s nem diszkrét rácspontok vagy időpontok között ugrál. Mint minden egyetemi hallgató tudja, a differenciálegyenleteket nehéz megoldani. Két és fél évszázad alatt azonban óriási ismeretanyag halmozódott fel róluk: differenciálegyenletekkel foglalkozó kézikönyvek és katalógusok, s különböző megoldási módszerek, vagy ahogy a tudósok mondják: „módszerek a zárt alakú integrálok megtalálására". Nem túlzás azt állítani, hogy a differenciálszámítással kapcsolatos roppant méretű munkán alapul az újkori tudomány győzelmeinek nagy része; s az sem, hogy ez az ember egyik legszellemesebb alkotása az őt környező változékony világ modellezésére. Úgyhogy mire egy tudós elsajátítja a természetről való gondolkodásnak ezt a módját, mire elboldogul az elmélettel és az igen-igen nehéz gyakorlattal, addigra valószínűleg szem elől veszít egy tényt: azt ugyanis, hogy a differenciálegyenletek legtöbbje egyáltalán nem oldható meg. „Ha fel tudod írni egy differenciálegyenlet megoldását - mondta Yorke -, akkor az az egyenlet szükségképpen nem kaotikus, mert ahhoz, hogy leírd, szabályos invariánsokat kell találnod, azaz megmaradó mennyiségeket, amilyen például az impulzusnyomaték. Ha elegendőt találsz belőlük, akkor felírhatod a megoldást. De éppen ezáltal szűnik meg a káosz lehetősége." A megoldható rendszerek a tankönyvekben is ott szerepelnek. Ezek mind jó magaviseletűek. Ha a kutatóknak nemlineáris rendszerekkel akadt dolguk, lineáris közelítésekhez vagy más, kétes kibúvóhoz kellett folyamodniuk. A tankönyvek megint csak azokat a nemlineáris rendszereket tárgyalták, amelyek kezelhetők voltak ezekkel a fogásokkal. Nem mutatták be a kezdőértékek iránti érzékenységet. A valóságos káoszt tartalmazó nemlineáris rendszerek csak ritkán kerültek szóba. S ha valaki véletlenül rábukkant valami ilyesmire - és ez időről időre mégiscsak megtörtént - egész neveltetése afelé vitte, hogy holmi rendellenességként hagyja figyelmen kívül. Csak alig néhányuknak rémlett fel, hogy éppen a megoldható, szabályos, lineáris rendszerek a rendellenesek. Vagyis csak néhányan értették meg, hogy a természet lényege szerint mennyire nemlineáris.1 Enrico Fermi egyszer így kiáltott fel: „A Biblia sehol sem mondja, hogy a természet összes törvénye lineárisan kifejezhető lenne!"2 A matematikus Stanislaw Ulam megjegyezte, hogy a káosz tanulmányozását „nemlineáris tudomány"-nak nevezni olyasvalami, mintha a zoológiát „a nemelefánt állatok tana"-ként emlegetnénk.3 Yorke megértette, hogy a természet lényegileg nemlineáris. „Az első üzenet az, hogy van rendezetlenség. A fizikusok és matematikusok szabályosságokat igyekeznek felfedezOlvasmányos írás a linearitásról, a nemlinearitásról és a számítógépek történeti felhasználásáról a kettő közötti különbség megértésében: David Campbell, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer és Erica Jen: Experimental Mathematics: The Ro le of Co mputation in Nonlinear Science; Communications of the Association for Computing Machinery 28 (1985), pp. 374-84. 2 A Fermi-idézet S. M. Ulamtól való: Adventures of a Mathematician (Scribners, New York 1976). Ulam leír egy másik fontos gondolatmenetet is a nemlinearitás megértéséhez, a FermiPasta-Ulam-féle tételt. Los Angelesben az új MANIA C számítógépen megoldható problémákat keresve a tudósok kipróbáltak egy dinamikai rendszert, a rezgő húr egy egyszerű modelljét, „amelyben ráadásul még szerepelt egy fizikailag helyénvaló, kicsiny nemlineáris tag is". Váratlan periodicitássá összerendeződő mintázatokat találtak. Ahogyan Ulam elbeszéli: „Az ered mények minőségileg mások voltak, mint amit Fermi a maga hullámmozgásokkal kapcsolatos hatalmas tudásával várt ... Meglepetésünkre a húr a zenés »székfoglaló« játékot kezdte játszani, ...". Fermi nem tartotta fontosnak ezeket az eredményeket, nem is igen publikálták őket, de néhány matematikus és fizikus végigcsinálta a számításokat, és azok a Los Alamos-i helyi tudományos folklór részévé váltak. Adventures, pp. 226-28. 3 Idézet az „Experimental Mathemat ics"-ból, p. 374. 1

ni. Az emberek azt mondják, ugyan mi haszna a rendezetlenségnek. De az embereknek tudniuk kell a rendezetlenségről, ha foglalkozni szándékoznak vele. Az autószerelő, ha nem ismeri fel a szelepek elszennyeződését, nem jó szerelő." Véleménye szerint a tudósok is, a nem tudósok is tévedhetnek a komplexitást illetően, ha nincsenek megfelelőképpen ráhangolva. Miért esküsznek rá a befektetők, hogy az arany- meg az ezüstárak ciklikusan változnak? Mert képtelenek a periodicitásnál bonyolultabb szabályos viselkedést elgondolni. A bonyolult áralakulást látva rögtön valami kis véletlenszerű zajba burkolt periodicitás után kutatnak. A fizikában, kémiában vagy biológiában kísérletező tudósok is épp ilyenek. „Az emberek már eddig is számtalan esetben láttak kaotikus viselkedést - jegyezte meg Yorke -. Elvégeznek egy fizikai kísérletet és szabálytalan viselkedést tapasztalnak. Erre vagy megpróbálják rendbe hozni, vagy feladják. A szabálytalan viselkedést azzal magyarázzák, hogy zaj van jelen vagy csak azzal, hogy a kísérlet egyszerűen rossz." Yorke úgy találta, hogy a fizikusok meg sem hallották Lorenz és Smale munkájának mondandóját. Így hát írt egy cikket American Mathematical Monthlyba (az Amerikai Matematikai Folyóiratba), amely széles körben ismert és feltehető volt, hogy el is fogadja majd. (Matematikusként úgy vélte, nem képes olyan formában kifejezni gondolatait, hogy azt egy fizikai folyóirat elfogadhatónak találja; csak évekkel később talált rá a fizikusokkal való együttműködés trükkjére.) Yorke tanulmányának több érdeme is volt, de végül rejtélyes és huncut címe bizonyult a leghatásosabbnak: „A hármas periódus káoszra utal".1 Kollégái valami mértékletesebb választásra intették, de Yorke nem tudott szabadulni ettől a szótól, amely utóbb az egész determinisztikus rendezetlenséggel kapcsolatos tevékenység jelképévé vált. Beszélt a dologról biológus barátjával, Robert Mayjel is.

May történetesen a hátsó ajtón át érkezett a biológiához. Egy kiváló ügyvéd fia volt, s elméleti fizikusként kezdte szülővárosában, az ausztráliai Sydneyben, majd a doktori fokozat megszerzése után alkalmazott matematikusként folytatta a Harvardon. 1971-ben egy évre Princetonba ment a Felsőbb Tanulmányok Intézetébe; s ott azon kapta magát, hogy nem azt csinálja, amiért oda került, hanem a Princetoni Egyetem biológusaival folytat eszmecseréket. A biológusoknak még ma sem igen fűlik a foguk az egyszerű számításokat meghaladó matematikához. A matematika iránt érdeklődést és fogékonyságot érzők inkább a matematika vagy a fizika, mintsem az élettudományok felé hajlanak. De Mayre ez nem állt. Először a stabilitás és komplexitás elvont problémái érdekelték: hogyan magyarázható meg az matematikailag, hogy a versengők megférnek egymással. De nemsokára már a legegyszerűbb ökológiai kérdésekre terelődött a figyelme: arra, hogyan viselkednek az időben az egyes populációk. A szükségképpen egyszerű modellekben mintha kevesebb lett volna a kényszerű megalkuvás. Mikor végleg csatlakozott a princetoni oktatói karhoz - utóbb az egyetem kutatási dékánja lett -, a matematikai analízisre és egy kezdetleges kézi számológépre támaszkodva már sok órán áttanulmányozta a logisztikus differenciaegyenlet egyik változatát. Ezt az egyenletet voltaképpen már Sydneyben is felírta egy folyosói táblára, a doktoranduszoknak szánt problémaként. Már ott kezdte a dolog foglalkoztatni: „Mi a csoda történik, ha lambda túlmegy az akkumulációs ponton?" 2 Azaz: mi történik, ha a népesség nö1 Tien-Yien Li nevű tanítványával írta: Period Three Implies Chaos; American Mathematical Monthly 82 (1975), pp. 985-92. 2 Ez a látszólag megválaszolhatatlan kérdés vezette el az analit ikus módszerektő l a numerikus kísérletezéshez.

vekedési rátája - hajlama a fellendülésre vagy a hanyatlásra - meghalad egy kritikus pontot. Ennek a nemlineáris paraméternek a különböző értékeit próbálgatva May arra jutott, hogy ezzel gyökeresen megváltoztatható a rendszer jellege. A paraméter növelésével az egyenlet egyre inkább eltért a lineáristól, s ez nemcsak az eredmény nagyságát, hanem a minőségét is megváltoztatta. Nemcsak a végső egyensúlyi egyedszámot befolyásolta, hanem azt is, hogy az egyedszám elér-e egyáltalán egy egyensúlyi állapotot. Amikor a paraméter értéke kicsi volt, May egyszerű modellje végül állandósult állapotba került. Ha viszont nagy értéket vett fel ez a paraméter, akkor az állandósult állapot mondhatni - kettétörött, és a rendszer váltakozva két érték között ingadozott. Amikor a paraméter értéke nagyon naggyá vált, akkor a rendszer - ugyanaz a rendszer - előrejelezhetetlennek látszó módon viselkedett. Miért? Mi történt voltaképpen az eltérő viselkedések közötti határoknál? May képtelen volt kideríteni. (Mellesleg a doktoranduszoknak sem sikerült.) May intenzív numerikus kutatási programmal kísérelte meg feltárni ennek a legegyszerűbb egyenletnek a viselkedését. Úgy fogott a dologhoz, mint Smale: megpróbálta mindenestül megérteni ezt az egyszerű egyenletet - nem lokálisan, hanem globálisan. Az egyenlet sokkal egyszerűbb volt a Smale által korábban tanulmányozottaknál. Hihetetlennek tetszett, hogy még senki nem fedezte fel, milyen lehetőségeket kínál a rend és rendezetlenség létrehozására. Pedig így történt. Sőt May programja csak a kezdet volt. Százával vizsgálta a paraméter különböző értékeit; beiktatott egy visszacsatolási hurkot, és figyelte, hol jut a számok sorozata egy rögzített pontba, ha ugyan eljut. Egyre jobban közeledett az állandósult állapot és az oszcilláció közötti kritikus határ felé. Mintha lett volna egy kis halastava, ahol hatalmában áll meghatározni a halak „fellendülését és hanyatlását". Továbbra is az xköv= rx(1-x) logisztikus egyenletet véve, olyan lassan növelte a paramétert, amennyire csak tudta. Amikor 2,7 volt a paraméter értéke, 0,6292 lett a népesség. A paraméter növekedtével valamelyest nőtt a végállapotbeli egyedszám is, úgy, ahogyan a vonal balról jobbra lassan emelkedik az ábrán. Ám amikor a paraméter elérte a 3-at, a vonal hirtelen kettőbe tört. May elképzelt halpopulációja nem egyetlen értéket vett fel, hanem két pont között váltakozott, ahogy teltek az évek. Ha kis értékről indult, akkor növekedni kezdett, majd hullámzani, míg végül fel- s lepattanni. A gombot kicsit továbbcsavarva - azaz megnövelve a paramétert - megint felhasad az oszcilláció: olyan számsor adódik, amely négyévenként ismétlődve négy különböző értéket vesz fel.1 A népesség tehát szabályosan, négyéves időszakonként emelkedik és süllyed. A ciklus ismét megduplázódott - korábban egy évről kettőre, most kettőről négyre. Az eredményül kapott ciklikus változás ezúttal is stabil volt; akármekkora volt is a kezdeti egyedszám, mindig ugyanahhoz a négyéves ciklushoz tartott. Amint már egy évtizeddel korábban Lorenz is felfedezte, csak egyetlen mód van rá, hogy megértsük az ilyen számokat és magunk előtt lássuk, mit jelentenek: grafikont kell készítenünk. May egy vázlatos ábrán összegezte azt, amit különböző paraméterértékeknél e rendszerről megtudott. A paraméter értékét a vízszintes tengelyre mérte fel, úgy, hogy balról jobbra nőjön, az egyedszámot pedig a függőlegesre. Minden paraméterértékhez fel1 Mondjuk 3,5-ös paraméterértékkel és 0,4-es kezdeti értékkel a következő számsort kapju k: 0,4000, 0,8400, 0,4704, 0,8719, 0,3908, 0,8332, 0,4862, 0,8743, 0,3846, 0,8284, 0,4976, 0,8750, 0,3829, 0,8270, 0,4976, 0,8750, 0,3829, 0,8270, 0,5008, 0,8750, 0,3828, 0,8269, 0,5009, 0,8750, 0,3828, 0,8269, 0,5009, 0,8750, stb.

rajzolta az egyensúlyban tapasztalható egyedszámot. Baloldalt, ahol a paraméter értéke még kicsi volt, egy-egy paraméterértékhez csak egyetlen ilyen pont tartozott; így e pontok egy vonalat rajzoltak ki, s az balról jobbra haladva enyhén emelkedett. Amikor a paraméterérték elérte az első kritikus pontot, Maynek már két népességet kellett bejelölnie: a vonal kettéhasadt: ezen a helyen villa alakú elágazás támadt. Ez a hasadás olyan populációnak felelt meg, amely az egyéves ciklusról áttér a kétéves ciklusra.

PERIÓDUS-KETTŐZŐDÉSEK ÉS KÁOSZ. A különböző termékenységű populációk viselkedésének bemutatására Robert May és más tudósok egyedi ábrák helyett „bifurkációs ábrát" használtak: egyetlen képbe sűrítették az összes információt. Az ábra azt mutatja, hogy egy paraméter változásai - ebben az esetben egy vadon élő állati populáció „fellendülése és hanyatlása" - hogyan változtatják meg ennek az egyszerű rendszernek a viselkedését a végállapotban. A vízszintes tengelyen a paraméter értékei sorakoznak, balró l jobbra növekedve; a függőleges tengely a végállapotbeli egyedszámot mutatja. A paraméter növelése bizonyos értelemben azt jelenti, hogy a rendszert „keményebben hajtjuk", foko zzu k a lineáristól való eltérését. Ahol a paraméter túl kicsi (balra), ott kipusztul a populáció. A paraméter növekedtével (középen) nő az egyedszám egyensúlyi értéke. Azután, ahogyan a paraméter tovább növekszik, az egyensúly kettéhasad, éppúgy, ahogyan a fűtés fokozása instabilitáshoz vezet az áramló fo lyadékban; az egyedszám elkezd két különböző szint között váltakozni. A kettéhasadások vagy - latin eredetű szóval - bifurkáció k egyre gyorsabban követik egymást. A rendszer később kaotikussá válik (jobbra), és az egyedszám végtelen sok különböző értéket vesz fel. (A kaotikus tartományt kinagyítva lásd a 92-93. oldalakon.)

A paraméterérték további növekedésével a pontok száma ismét megkétszereződött, majd

később is, újra meg újra. Megdöbbentő volt: ennyire bonyolult viselkedés, és mégis milyen kínosan szabályos. „A kígyó a matematikai fűben" - ahogy May kifejezte. A duplázódások bifurkációk voltak, és minden ilyen bifurkáció azt jelentette, hogy az ismétlődési mintázatok eggyel tovább töredeztek. Egy eredetileg stabil populáció kétévente két különböző szint között váltakozott. A kétéves ciklusban váltakozó populáció most a harmadik és negyedik évben megváltozik, s ezzel négyes periódusra kapcsol át. Ezek a bifurkációk egyre gyorsabban követik egymást, 4, 8, 16, 32, ..., majd hirtelen megszűnnek. Egy bizonyos ponton: az „akkumulációs ponton" túl a periodicitás utat nyit a káosznak, azaz olyan hullámzásoknak, amelyek soha nem állapodnak meg. Az ábrán egész tartományok jelennek meg fekete színben. Egy ilyen állati populációt végigtekintve, amelyet ez a legegyszerűbb fajtájú nemlineáris egyenlet kormányoz, azt gondolhatjuk, hogy a változások évről évre teljesen véletlenszerűek, mintha a környezeti zaj ide-oda rázná az egyedszámot. Ámde mindeme bonyolultság közepette egyszer csak stabil ciklusok bukkannak fel. Hiába nő a paraméter értéke s veszi át egyre inkább a nemlinearitás az uralmat a rendszer felett, hirtelen megnyílik egy szabályos, páratlan - például 3 vagy 7 - periódus jellemezte ablak. A népesség-változás alakulása ilyenkor három- vagy hétéves ciklusban ismétli önmagát. Azután egyre gyorsabb ütemben mindenütt periódus-kettőző bifurkációk indulnak meg, s gyorsan áthaladnak a 3, 6, 12, … -es vagy a 7, 14, 28, … -as ciklusokon, s végül ismét feloldódnak a megújult káoszban. Elsőre May nem láthatta ezt az átfogó képet. De a már kiszámítható részletek is elég nyugtalanítóak voltak. A valóságos világban a megfigyelő egyszerre mindig csak egyetlen paraméterhez tartozó függőleges szeletet észlelhet. Csak egyfajta viselkedést; lehet, hogy állandósult állapotot, lehet, hogy egy hétéves ciklust, lehet, hogy látszólagos véletlenszerűséget. Nem ismerheti fel, hogy egyazon rendszer valamely paraméter csekélyke változtatásával teljesen különböző típusú egyedszámalakulást mutathat. James Yorke matematikai szigorúsággal vizsgálta ezt a viselkedést „A hármas periódus káoszra utal" című cikkében. Bebizonyította, hogy ha valamely egydimenziós rendszerben feltűnik egy szabályos hármas periódusú ciklus, akkor abban a rendszerben bármilyen más hosszúságú szabályos ciklus is felbukkanhat. Ez a felfedezés szinte „áramütésként" érte a fizikusokat, például Freeman Dysont, mert olyannyira ellentmondott a szemléletnek. Egészen egyszerű lehet - gondolná az ember - olyan rendszert felépíteni, amely hármas periódusú oszcillációban ismétli önmagát, de soha nem válik kaotikussá. Nos, mint Yorke megmutatta, ez egyszerűen lehetetlen. Bármilyen meglepő volt is e felfedezés, Yorke azt gondolta, tanulmányának általános mondandója többet nyom a latban a matematikai lényegnél. Ez részben igaz is volt. Néhány évvel később egy kelet-berlini nemzetközi konferencián jutott egy kis ideje városnézésre, elment hát sétahajózni a Spreere. Egyszer csak hozzálépett egy orosz matematikus, és izgatottan mondani akart neki valamit. Yorke egy lengyel barátja segítségével végül megértette, hogy az orosz azt állítja: bebizonyította ugyanazt az eredményt. Az orosz vonakodott részletekkel szolgálni, csak annyit mondott, hogy majd elküldi a cikkét. Négy hónappal később csakugyan meg is érkezett. S mint ebből a „Ciklusok együttes létezése egy egyenes önmagára való folytonos leképezéseiben" címmel írott cikkből1 kiderült, valóban az orosz matematikusé, A. N. Szarkovszkijé volt az elsőség. Yorke azonban többet adott egy matematikai eredménynél. Azt üzente vele a fizikusoknak: a káosz mindenütt jelen van, sőt stabil és strukturált. S megalapozott reményt keltett a tekintetben is, hogy a bonyolult rendszereket, amelyeket addig nehezen kezelhető folytonos differenciálegyenletek1 Coexistence of Cycles of a Continuous Map of a Line into Itself; Ukrainian Mathematics Journal 16 (1964), p. 61.

kel modelleztek, kényelmesebb diszkrét leképezések1 révén meg lehet érteni. Ezeknek a frusztrált, gesztikuláló matematikusoknak a beszélgetése a városnézésen a szovjet és a nyugati tudomány közötti állandó kommunikációs szakadék jellegzetes tünete volt. Részben nyelvi okokból, részben a szovjet fél korlátozott utazási lehetőségei miatt a nyugati tudósok gyakran megismételtek a szovjet irodalomban már megjelent munkákat. A káosz Egyesült Államok-beli és európai felvirágzása hatalmas méretű párhuzamos munkát indított el a Szovjetunióban; másrészt viszont nem kis zavarodottságot is keltett, mert ez az új tudomány Moszkvában nem is volt olyan új. A szovjet matematikusoknak és fizikusoknak élő hagyományaik voltak a káosz kutatásban, amelyek még A. N. Kolmogorov ötvenes évekbeli munkásságával kezdődtek.2 S továbbélő hagyomány volt a matematikusok és fizikusok együttműködése is, ami más országokban már régen véget ért. A szovjet tudósokat megragadta Smale munkája; az ő lópatkója jelentős mozgolódást keltett a hatvanas években. Egy ragyogó matematikai fizikus, Jasa Szinaj gyorsan átfogalmazta a problémát a hőtan nyelvére. S amikor a hetvenes években Lorenz tevékenysége végül elérte a nyugati fizikát, egyszersmind ismertté vált a Szovjetunióban is. 1975-ben pedig, amikor Yorke és May a kollégák figyelméért küzdött, Szinaj és mások gyorsan összegyűjtöttek egy erős fizikus munkacsoportot Gorkijban. A legutóbbi években néhány nyugati káosz-szakértő fontosnak tartotta, hogy tájékozódásul rendszeresen elutazzon a Szovjetunióba; a többség azonban megelégszik tudományának nyugati változatával. Nyugaton Yorke és May volt az első, aki teljes erővel átérezte a periódus-kettőződés megrázkódtatását és továbbította a tudósok közösségének. Az a néhány matematikus, aki észrevette a jelenséget, tisztán technikai problémaként, a számok furcsaságaként, szinte egyfajta játékként tárgyalta. Nem mintha egyszerűnek vagy érdektelennek vélték volna a dolgot; csak úgy tekintettek rá, mint a maguk sajátos univerzumának jelenségére. A biológusok nem vették észre a káoszhoz vezető bifurkációkat, mert nem volt meg hozzá a matematikai felkészültségük és semmi sem motiválta őket a rendezetlen viselkedés felfedezésére. A matematikusok látták ugyan a bifurkációkat, de nem akadtak fenn rajta. May azonban, aki mindkét világban otthon volt, megértette, hogy bámulatba ejtő és rejtélyes területre lépett.

Leképezésen a káosz tudományában rendszerint olyan matematikai összefüggést értenek, amely egy változó jelenleg i és következő értéke kö zött áll fenn és segítségével kiszámítható ez a következő érték - a fordító. 2 Szinaj személyes közlése 1986. december 8-án. 1

A REND ABLAKA I A KÁOSZBAN. A káosz tartományának még a legegyszerűbb egyenlet esetében is bonyolult szerkezete van a bifurkációs ábrán - sokkal rendezettebb, mint azt Robert May elsőre sejthette. A bifurkációk először 2, 4, 8, 16, ...-os periódusokat hoznak létre. Azután elkezdődik a szabályos periódusok nélküli káosz. Később azonban, ahogyan a rendszert erősebben hajtjuk, páratlan periódus jellemezte ablakok jelennek meg. Kialakul egy stabil 3-as periódus (nagyítás, lenti ábra felső része), aztán megint periódus-kettőződés kezdődik: 6,12, 24, ... A szerkezet végtelen sok lépcsőben ismétlődik. Ha részleteket nagyítunk ki (például a 3-as periódusú ablak középső darabját, lenti ábra alsó része), kiderül, hogy hasonlítanak az egész ábrára.

Hogy a tudósok mélyebben is beleláthassanak ezekbe a legegyszerűbb rendszerekbe, nagyobb teljesítményű számítógépekre volt szükség. Frank Hoppensteadtnek a New York-i Egyetem Courant Matematikai Intézetében dolgozó matematikusnak olyan nagy teljesítményű számítógépe volt, hogy elhatározhatta: filmet készít ezekről a jelenségekről.

Hoppensteadt, akiben később erős érdeklődés alakult ki a biológiai problémák iránt, százmilliószor táplálta be a logisztikus nemlineáris egyenletet az egyetem Control Data 6600-asába. Ezer különböző paraméterértékére kapott ábrát a számítógép képernyőjén: ezer különböző beállításra. Megjelentek a bifurkációk, aztán a káosz, majd a káoszon belül a rend instabilitásuk folytán tiszavirág életű füzérei, a periodikus viselkedés felvillanásai. A maga készítette filmet bámulva Hoppensteadt úgy érezte, egy idegen táj felett repül. Az egyik pillanatban egyáltalán nem tűnt kaotikusnak, s a következő pillanatban már teljesen kitöltötte a megjósolhatatlan zűrzavar. Ezt a döbbenetet Hoppensteadt sosem felejtette el. May látta Hoppensteadt filmjét. És elkezdett hasonlókat gyűjteni más területekről, a genetikából, a közgazdaságtanból és a hidrodinamikából. A káosz „kisbírójaként" kettős előnnyel indult a matematikusokhoz képest. Egyrészt, az ő szemében az egyszerű egyenletek eleve nem ábrázolhatták tökéletesen a valóságot. Tudta róluk, hogy csak metaforák - s

A bifurkációs ábra vázlata, ahogyan May először látta, még mielőtt a hatékonyabb számítási eljárások felfedték volna gazdag szerkezetét.

elcsodálkozott, milyen széleskörűen alkalmazható metaforák. Másrészt, a káosz felfedezése nyomban heves vitákat keltett választott területén. A populációbiológia egyébként is már régóta viták melegágya volt. Feszültség támadt például a biológia tanszékeken a molekuláris biológusok és az ökológusok között. A molekuláris biológusok úgy gondolták, hogy ők valódi tudományt művelnek, élő, nehéz problémákkal, míg az ökológusok munkája meglehetősen homályos. Az ökológusok azt hitték, hogy a molekuláris biológia technikai mesterművei csupáncsak jól meghatározott problémák okos kidolgozásai. Az ökológián belül May felfogása szerint az 1970-es évek elejének központi vitája a népességváltozás természete körül forgott. Az ökológusok személyiségüknek megfelelően foglaltak állást ebben a kérdésben. Voltak, akik rendezettséget véltek kiolvasni a természet üzenetéből: a populációk szabályozottak és állandóak - némely kivétellel. Voltak, akik épp az ellenkező belátásra jutottak: a populációk szabálytalanul ingadoznak - szintén egynémely kivétellel. Nem véletlen, hogy ezek a szembenálló táborok eltérő nézeteket vallottak a kemény matematikának a zűrös biológiai kérdésekre való alkalmazását illetően is. A populációk állandóságában hívők azt hajtogatták, hogy az egyedszámot valamilyen determinisztikus mechanizmusnak kell szabályoznia. Akik meg szabálytalanoknak tudták a populációkat, azok azt, hogy az egyedszámot folyvást megjósolhatatlan környezeti tényezők lökdösik, s ezzel elmosódik minden determinisztikus jel, már ha egyáltalában létezett. Vagy a determinisztikus matematikából ered az állandósult viselkedés, vagy a véletlen külső zajból a véletlenszerű - ez volt a választék. E vitában a káosz meglepő fordulatot hozott: lám, egyszerű determinisztikus modellekből is fakadhat véletlenszerűnek látszó viselkedés! A viselkedésben voltaképp rendkívül finom szerkezet rejlik, mégis minden részlete mintha megkülönböztethetetlen lenne a zajtól. A felfedezés elvágta a további vitát. May mind több és több biológiai rendszert vizsgált meg ezekkel az egyszerű kaotikus modellekkel, és mindegyre olyan eredményeket tapasztalt, amelyek megsértették a gyakorló tudósok szokásos szemléletét. A járványtanban például jól ismert volt, hogy a járványok hajlamosak szabályos vagy szabálytalan ciklusokban jelentkezni. A kanyaró, a gyermekbénulás, a rubeola egytől egyig valamilyen ütemben terjed és esik vissza. May felismerte, hogy egy nemlineáris modellel leírhatja ezeket az ingadozásokat, és kíváncsi lett, mi törté-

nik, ha egy ilyen rendszer hirtelen lökést kap - valami olyasfajta zavart érzékel, amilyen egy oltási programnak felelne meg. A naív szemlélet azt sugallja, hogy a rendszer simán fog változni a kívánt irányba. May viszont úgy találta, hogy valószínűleg hatalmas oszcillációk kezdődnek. Még a hosszú távú trendek is határozottan gyengültek; az új egyensúly felé vezető utat meglepő csúcsok tarkították. És való igaz, a tényleges programokból származó adatokban, például a rubeola megszüntetésére irányuló nagybritanniai kampány adataiban, az orvosok éppen olyan oszcillációkat fedtek fel, amilyet May modellje jósolt. De a gonorrhoea vagy a rubeola hirtelen, rövid távú emelkedését látva mégis minden egészségügyi hivatalnok arra a belátásra jutna, hogy az oltási program sikertelen volt. A káosz tanulmányozása néhány esztendő múltán erős lendületet adott az elméleti biológiának, s tudományos téren közel hozta egymáshoz a biológusokat és a fizikusokat, holott az még egy-két esztendővel azelőtt is elképzelhetetlen lett volna. Az ökológusok és a járványtani szakértők előásták a korábbi kutatók által nehezen kezelhetőség miatt elvetett adatokat. Determinisztikus káoszt fedeztek fel a New York-i kanyarójárványokra vonatkozó feljegyzésekben, és a Hudson-öböl Társaság prémvadászainak feljegyzései alapján a kanadai hiúz populáció kétszáz éves ingadozásaiban is.1 A molekuláris biológusok kezdték mozgásban levő rendszernek tekinteni a fehérjéket. A fiziológusok nem statikus struktúrákként szemlélték a szerveket, hanem szabályos és szabálytalan oszcillációk együttesének. May tapasztalta, hogy a szakemberek a rendszerek komplex viselkedését látták és vitatták az egész tudományban. Minden tudományág különlegesnek tartotta a maga káoszát. A gondolat kétségbeesésbe torkollott. Mi minden jöhet még, ha a látszólagos véletlenszerűség egyszerű modellekből származtatható? És mi lesz, ha ugyanezeket az egyszerű modelleket alkalmazzuk a különböző területek bonyolult problémáira? May felismerte, hogy a meglepő struktúráknak, amelyeket éppen csak elkezdett feltárni, nincs belső kapcsolatuk a biológiával. Kíváncsi volt, hány másféle tudós érez majd emiatt az övéhez hasonló meglepetést. S belefogott abba a munkába, amelyről utóbb úgy gondolta, ez az ő „messiási" cikke: 1976-ban áttekintő tanulmányt írt a Nature-nek. A világ nem itt tartana, fejtegette ebben May, ha minden fiatal egyetemi hallgatónak adnának egy zsebszámológépet és arra bíztatnák, hogy játsszon a logisztikus differenciaegyenlettel.2 A cikkben teljes részletességgel közszemlére tett egyszerű számolás szerinte ellensúlyozhatná azt az eltorzult felfogást, amelyet a szokásos tudományos oktatás alakít ki a diákok fejében a világban lehetséges dolgokról. Ez az üzleti ciklusok elméletétől kezdve a hírek terjedéséig mindenről megváltoztathatná az emberek gondolkodását. A káoszt kéne tanítani, írta. Ideje lenne felismerni, hogy a tudósok szokásos oktatása rossz következményekkel jár. Nem érdekes, mit adhat a kimunkált lineáris matematika a maga Fourier-transzformációival, ortogonális függvényeivel és regressziós technikáival. May amellett tette le a garast, hogy ez óhatatlanul félrevezeti a tudósokat a maguk túlnyomórészt nemlineáris világában. „Az így kifejlesztett matematikai szemlélet nem készíti fel a hallgatókat arra, hogy szembenézhessenek a legegyszerűbb diszkrét nemlineáris rendszerekben is megmutatkozó különös viselkedéssel." - írta. „Nemcsak a kutatásban, hanem a politika és gazdaság mindennapi világában is mindnyájan előbbre tartanánk, ha több ember látná, hogy az egyszerű nemlineáris rendszerekWilliam M. Schaffer és Mark Kot: Nearly One-dimensional Dynamics in an Epidemic; Journal of Theoretical Biology 112 (1985), pp. 403-27; Schaffer: Stretching and Folding in Lyn x Fur Returns: Evidence for a Strange Attractor in Nature. The American Naturalist 124 (1984), pp. 798-820. 2 Simple Mathematical Models. p. 467. 1

nek nincsenek szükségképpen egyszerű dinamikai tulajdonságaik."

A természet geometriája

Aztán még itt, mi összefűz; Apró összefüggés, szétterül, mint felhő Árnya a homokon, rávetülve a domb oldalára..

WALLACE STEVENS Connoisseur of Chaos. The Collected Poems of Wallace Stevens (Alfred A. Knopf, 1967. p. 215.)

Benoit Mandelbrot tudatában az évek során kirajzolódott egy elképzelés a valóságról.1 A gondolatnak 1960-ban még csak a nyoma volt meg, gyenge, homályos kép alakjában. De Mandelbrot nyomban ráismert, amikor meglátta a táblán Hendrik Houthakker szobájában. Mandelbrot matematikai ezermester volt, akit szárnyai alá vett az IBM alapkutatási részlege. Belekapott a közgazdaságtanba; a gazdaság nagy és kis jövedelmeinek eloszlását tanulmányozta. Houthakker, a Harvard közgazdaságtan professzora meghívta Mandelbrotot előadást tartani, és amikor a fiatal matematikus megérkezett a tekintélyes Littauer Központba, a Harvard Kerttől északra, ijedten látta, hogy felfedezése már fel van rajzolva idősebb kollégájának táblájára. Mandelbrot megeresztett egy panaszos tréfát: Hogyan materializálódhatott az ábrám az előadásom előtt? - Houthakkernek azonban fogalma sem volt róla, mire céloz. A rajznak semmi köze sem volt a jövedelemeloszláshoz; a gyapotárak alakulását ábrázolta egy nyolcéves időszakban. Houthakker szempontjából is volt valami különös ebben a grafikonban. A közgazdászok általában feltették, hogy a gyapothoz hasonló cikkek ára két különböző ütemre táncol, egy szabályosra, meg egy véletlenszerűre: vagyis az árakat hosszú távon lényegileg a gazdaság valóságos erői - a New England-i textilipar virágzása vagy hanyatlása, új kereskedelmi útvonalak megnyitása - határozná meg, rövid távon pedig többé-kevésbé a véletlen kényekedve szerint ingadoznának, a hosszú távú hatások által megszabott szint körül. Sajnos Houthakker adatai nem feleltek meg ezeknek a várakozásoknak: túlságosan sok volt bennük a nagy ugrás. A legtöbb árváltozás persze kicsiny volt, de a kis változások aránya a nagyokhoz képest nem bizonyult olyan magasnak, mint várta. Az eloszlás nem csökkent elég gyorsan: hosszan elnyúló farka volt. Az ingadozások ábrájának szokásos modellje a haranggörbe volt (s az ma is). Ennek a közepére, az átlag tájékára esik az adatok legtöbbje: oda, ahol a harang leginkább kidomborodik. A széleken, a már nagyon kicsi vagy nagyon nagy értékeknél rohamosan esik a görbe. A statisztikus úgy használja a haranggörbét, mint a belgyógyász a sztetoszkópot: 1 A Benoit Mandelbrot-féle biblia: The Fractal Geo metry of Nature (Freeman, New York, 1977). Anthony Barcellosnak egy érdekes interjúja jelent meg a Mathemat ical People-ben, eds. Donald J. Albers and G. L. Alexanderson (Birkhauser, Boston, 1985). Mandelbrot két kevésbé ismert, de nagyon érdekes írása: On Fractal Geo metry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 16-24 August 1983, Warsaw, pp. 1661-75; és Towards a Second Stage of Indeterminism in Science, preprint, IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, New York. A fraktálo k alkalmazásairó l szóló áttekintő cikkek listája egyre hosszabb; csak kettő, mutatóban: Leonard M. Sander: Fractal Growth Processes, Nature 322 (1986), pp. 789-93; Richard Voss: Random Fractal Forgeries: Fro m Mountains to Music, Science and Uncertainty, ed. Sara Nash (IBM Un ited Kingdom, London, 1985). Benoit Mandelbrottal olvashatunk interjút Ahol a rész is egész címmel Staar Gyula: A megélt matematika. Beszélgetések c. könyvében (Gondolat 1990) pp. 259-288. A riport korábban megjelent a Természet Világa 1987/9-es számában pp. 349-356. Bevezető jellegű cikkek a fraktálo k megértéséhez magyarul: Tél Tamás: Törtdimenziós rendszerek: a fraktálo k. Természet Világa 1984 / 3 pp. 106-109.; Vicsek Mária - Vicsek Tamás: Fraktálok a fizikában I.-II. Fizikai Szemle 1993/2 pp. 41-47,1993/3 pp. 96-103. A fraktálok képei p l. az Élet és Tudomány több számában (1993. 6., 28., 38. szám) jelentek meg.

első vizsgálati eszközként. Ez az általános, az úgynevezett Gauss-féle eloszlás - vagy egyszerűen normális eloszlás. Mondhatjuk: egy kijelentés a véletlen természetéről. Azt fejezi ki, hogy amikor a dolgok változnak, igyekeznek egy átlagos érték közelében maradni és simán változtatni az ehhez az átlaghoz viszonyított szórásukat. De ha a gazdaság vadonában szeretnénk utat keresni, egyben-másban fogyatékosnak találjuk e szokásos fogalmakat. Ahogyan a Nobel-díjas Vaszilij Leontyev megfogalmazta: „Az empirikus kutatásnak egyetlen területén sem használtak erős és kifinomult statisztikai apparátust ilyen gyenge eredménnyel."1

Akárhogy rajzolta is fel Houthakker a gyapotárak változásait, nem tudta őket hozzáilleszteni a haranggörbéhez. Ehelyett olyan képet alkottak, amelynek körvonalait Mandelbrot egészen más helyeken látta. Ő a problémákat - a matematikusok többségétől eltérően a mintázatokról és formákról alkotott elképzeléseivel vetette össze. Nem bízott a matematikai analízisben, hanem inkább a fejében levő képekben. S már korábban felötlött benne, hogy a véletlenszerű, sztochasztikus jelenségeket talán másfajta, a megszokottaktól eltérő viselkedésű törvények irányítják. S az óriási IBM kutatóközpontba - a New York állambeli Yorktown Heightsba, az északi Westchester megye hegyei közé - visszatérve, egy lyukkártya-dobozban magával vitte Houthakker gyapotáradatait. Sőt a washingtoni Mezőgazdasági Minisztériumból további adatokat is kért, egészen 1900-ig visszamenőleg. Más területek tudósaival együtt a közgazdászok is átlépték a számítógépkorszak küszöbét, s lassacskán felismerték, hogy korábban elképzelhetetlen mennyiségben gyűjthetik, rendszerezhetik és kezelhetik a számukra fontos információkat. De nem minden fajta információ volt hozzáférhető, sőt a hozzáférhetőket is előbb használható alakra kellett hozniuk. Még éppen csak elkezdődött a lyukkártya-korszak. Az egzakt tudományokban a kutatóknak kisebb fáradságukba telt adatok ezreit vagy éppen millióit felhalmozni. A biológusokhoz hasonlóan a közgazdászok is szándék irányította élőlények világával foglalkoztak: talán nekik jutott feladatként a legnehezebben megfogható teremtmények tanulmányozása. De a közgazdász környezet legalább szakadatlanul ontotta a számszerű adatokat. Mandelbrot szempontjából a gyapot ára ideális adatforrás volt. A feljegyzésekben minden adat 1

Idézve a Fractal Geometryben, p. 423. A káoszelmélet gazdasági folyamatokra való mai alkalmazásairól magyarul is olvashatunk a Magyar Tudomány 1993/ 4-es számában és a következő könyvben: Fokasz Nikosz (szerk.): Rend és káosz -Fraktálok és káoszelmélet a társadalomkutatásban. Replika Kör, Budapest 1997.

megvolt, s már régtől: több mint egy évszázad óta. A gyapot beletartozott a központosított piacú - és ezáltal központosított adattárú - adás-vételi világba, hiszen a századfordulón New England-be menet az összes déli gyapot keresztüláramlott a New York-i tőzsdén, sőt a liverpooli árak sem voltak függetlenek a New York-iaktól. Ha a közgazdászok nem is jutottak lényegesen előbbre a kereskedelmi árak és a részvényárak elemzésében, alapjában véve voltak elképzeléseik az árváltozások működéséről. S mindnyájan osztoztak bizonyos hittételekben. Az egyik éppen az volt, hogy a kis, átmeneti változásoknak semmi közük a nagy, hosszú távú változásokhoz: a gyors ingadozások véletlenszerűen jönnek egymás után. Az egyazon napon kötött üzletekben kimutatható apróbb ármozgások csupán megjósolhatatlan és érdektelen zajnak tekintendők. A hosszú távú változások egészen más típusúak. Az árak hónapok, évek vagy évtizedek alatti nagy kilengéseit mély makroökonómiai erők határozzák meg - háború vagy gazdasági pangás -, olyan erők, amelyeknek magyarázattal kell szolgálniuk az elméletben. Egyfelől ott van tehát a rövid távú ingadozások dongása, másfelől a hosszú távú változások jeladása. Hogy, hogy nem, ennek a kettősségnek nem volt helye Mandelbrot valóságképében. Ez a kép nem határolta el egymástól az apró és a nagy változásokat, hanem éppenséggel egybefoglalta őket. Mandelbrot nem ebben vagy abban a mérettartományban - vagy ahogy gyakran mondák: skálán - keresett jellegzetes mintázatokat, hanem mindenben. Igazán nem volt nyilvánvaló, hogyan kellene lerajzolnia a fejében élő képet, de tudta, hogy abban lennie kell valamiféle szimmetriának: nem a bal és a jobb vagy az alsó és a felső szimmetriájának, inkább a nagy és kis méretek szimmetriájának. S amikor Mandelbrot az IBM számítógépeivel részletesen megvizsgálta a gyapotárakat, éppen azt a megdöbbentő eredményt találta, amit keresett. A normális eloszlást nem követő számok szimmetrikusak voltak a méretekre nézve. Az egyes árváltozások véletlenszerűek és megjósolhatatlanok voltak, egymásra következésük azonban függetlennek bizonyult a mérettől: a napi árváltozások és a havi árváltozások görbéi tökéletesen összeillettek. Mandelbrot elemzése szerint a változások mértéke szinte hihetetlen módon állandó maradt egy eseményekben nagyon is bővelkedő hatvan éves időszakon át, amelyre egyebek közt két világháború és egy pangás jutott. A legszabálytalanabb adathalmazokból váratlan fajtájú rend világlott ki. Ha egyszer önkényesen vett számokról van szó, miért kellene hát bármi törvényszerűségnek teljesülnie kérdezte magától Mandelbrot. És miért kellene annak egyaránt érvényesnek lennie a személyi jövedelmekre és a gyapotárakra? Mi tagadás, Mandelbrot csak annyira volt járatos a közgazdaságtanban, mint abban, hogy hogyan érthetne szót a közgazdászokkal. Felfedezését közreadó tanulmánya elé egyik tanítványának kellett bevezető cikket írnia, mintegy közgazda-angolra „fordítva" Mandelbrot mondandóját. Mandelbrot ezután más érdekes területekre tért át, de ettől kezdve határozottan törekedett a skálázás jelenségének feltárására. Ez a skálázás külön életet élő tulajdonságnak tetszett - szinte ismertetőjegynek.

Évekkel később, amikor egy előadása1 előtt bemutatták (,,... tanított közgazdaságtant a Harvardon, műszaki tudományokat a Yale-en, fiziológiát az Einstein Orvostudományi Egyetemen ..."), büszkén megjegyezte: „Eddigi foglalkozásaim sorát végighallgatva időnként eltűnődöm, hogy vajon létezem-e én egyáltalán; hiszen ezeknek a halmazoknak a közös része nyilvánvalóan üres." Csakugyan, Mandelbrot IBM-nél töltött első napjaitól kezdve rengeteg különböző területen nem létezett. Mindig megmaradt kívülállónak: nem a be1 Woods Hole Oceanographic Institute, 1985. augusztusa.

vett módon közelített a matematika egy nem divatos szegletéhez; olyan tudományágakban végzett kutatásokat, amelyekben ritkán látták örömmel; legnagyszerűbb ötleteit rejtegetnie kellett, csak hogy közöljék tanulmányait; a legmeglepőbb azonban, hogy - főleg munkaadóinak bizalmából - mindezt túlélte Yorktown Heightsban. Olyan területekre hatolt be, mint például a közgazdaságtan, majd - reményt keltő, de nem megvalósított ötleteket, néha pedig egy-két jól megalapozott munkát hátrahagyva - szedte a sátorfáját és odébbállt. A káosz történetében Mandelbrot megtette a magáét. S eközben a valóságról még 1960ban kialakított elképzelése furcsaságból érett geometriává terebélyesedett. A fizikusok szemében, akik Lorenz, Smale, Yorke és May munkáját vitték tovább, ez a barátságtalan matematikus mindvégig mellékszereplő maradt, de módszerei és nyelvezete elválaszthatatlan részévé vált új tudományuknak. Akik a későbbi években ismerkedtek meg e tiszteletet parancsolóan magas homlokú, címekben és kitüntetésekben nem szűkölködő férfival, esetleg furcsának találhatják ezt a jellemzést; pedig úgy érthetjük meg őt igazán, ha tudjuk róla, hogy menekült volt. Varsóban született 1924ben, egy litván zsidó családba; apja ruha-nagykereskedő volt, anyja fogorvos. A család a geopolitikai helyzettől megriadva, 1936-ban Párizsba költözött, részben azért, mert ott élt Mandelbrot nagybátyja, a matematikus Szolem Mandelbrojt. A háború kitörése után ismét menekülniük kellett a nácik elől: szinte az utolsó pillanatban, néhány kézitáskán kívül minden egyebet hátrahagyva mentek el Párizsból a dél felé menekülők áradatával. Végül Tulle városába jutottak. Benoit egy ideig szerszámkészítő inasként működött, nem kívánatos, sőt veszedelmes feltűnést keltve termetével és műveltségével. Ez a felejthetetlen tapasztalatok és félelmek ideje volt, de visszatekintve nem is személyes megpróbáltatásait tartotta fontosnak, inkább azt, hogyan segítették Tulle-ben és másutt a tanárok, némelyikük kiemelkedő tudós, akik maguk is megszenvedték a háborús körülményeket. Egy szóval, iskoláztatása szabálytalan és hézagos volt. Bevallása szerint sosem kérték tőle számon az ábécét, sőt az ötnél nagyobb számok szorzótábláját sem. De így is kiütközött belőle a tehetség. Párizs felszabadulása után sikeresen átment az École Normale és az École Polytechnique egy hónapon átfolyó szóbeli és írásbeli felvételi vizsgáin, pedig nem is tudott rájuk felkészülni. A vizsgán egyebek között meg kellett oldania valami gyengécske rajzfeladatot; ezen dolgozva Mandelbrot felismert egy rejtett lehetőséget a milói Vénusz lemásolására. A vizsga matematikai részeiben - a formális algebrai és analízisbeli példák megoldásában - geometriai szemléletére támaszkodott, így nem derült ki, mennyire gyakorlatlan. Rájött, hogy az analitikus problémákat szinte mindig képes úgy elgondolni, mintha valamilyen képzeletbeli alakzatról lenne szó. S az alakzat birtokában már megtalálja a módját, hogyan lehetne azt átalakítással, szimmetriáinak módosításával harmonikusabbá tenni. Átalakításai gyakran közvetlenül elvezették az analóg probléma megoldásához. Fizikából és kémiából, ahol nem tudta a geometriát bevetni, rossz jegyeket kapott. A matematikában viszont az alakzatokra támaszkodva könnyedén megoldott olyan problémákat, amelyeket a szokásos módszerekkel sohasem tudott. A párizsi École Normale is, az École Polytechnique is elitiskola, amelynek nincs megfelelője az amerikai oktatásban. Együttesen is kevesebb mint 300 hallgatót készítenek fel évente a francia egyetemi és polgári pályákra. Mandelbrot a kettő közül a kisebbet és tekintélyesebbet, az École Normale-t kezdte el, de alig néhány nap múltán átment az École Polytechnique-re. Ismét menekült: ezúttal Bourbaki elől. Bourbaki1 alighanem máshol nem is léphetett volna fel, csak Franciaországban, ahol 1 Még ma is keveset írnak Bourbakiról; egy játékos bevezetés: Paul R. Halmos: Nicholas Bourbaki. Scientific American 196 (1957), pp. 88-89.

közmegbecsülésnek örvendenek a tekintélyes akadémiák és a bevett oktatási módszerek. A Bourbaki klubként indult: Szolem Mandelbrojt és néhány más gondtalan fiatal matematikus alapította, még az I. világháború utáni zavaros időkben, a francia matematika újjáépítésének útját keresve. A háború életkori szakadékot nyitott az egyetemi tanárok és hallgatóik között, s ezzel megszűnt az addigi folyamatosság; ezek a ragyogó képességű fiatalemberek tehát elhatározták, hogy új alapokat teremtenek a matematika műveléséhez. A csoport elnevezése még csak afféle kevesek által tudott tréfa volt: utólagos magyarázat szerint egy görög származású, tizenkilencedik századi francia tábornoktól vették kölcsön ezt a furcsa és vonzó nevet. A kezdetben volt játékosságnak azonban nemsokára vége szakadt. A csoport tagjai titokban találkoztak; tulajdonképpen nem is tudjuk a tagok teljes névsorát. Létszámuk rögzített volt; ha valaki kilépett - ami 50 éves korban kötelező is volt - akkor a megmaradtak egy másikat választottak a helyébe. A legjobb, legragyogóbb matematikusok alkották ezt a közösséget, és hamarosan egész Európára kiterjedt a hatásuk. A Bourbaki-csoport létrejötte egyben kritika is volt a századvég nagy alakjának, Poincarénak a munkásságával szemben; e rendkívül termékeny gondolkodó és író ugyanis nem sokat törődött a matematikai szigorúsággal. Akár ezt is mondhatta volna: tudom, hogy helyesnek kell lennie, miért kellene hát bebizonyítanom? Bourbaki úgy vélte, Poincaré bizonytalan alapokat hagyott hátra a matematikában, ezért a csoport elkezdett, majd egyre megszállottabb felfogásban tovább folytatott egy hatalmas értekezést, mintegy a helyes útra akarván vele visszatéríteni ezt a tudományt. Munkájukban központi szerepet játszott a logikai elemzés. A matematikusnak szilárd alapelvekkel kell kezdenie, és minden továbbit ezekből kell levezetnie. A csoport szerint a matematika előbbre való a többi tudománynál és egyben független is tőlük. A matematika az matematika: nem az teszi értékessé, hogy mennyiben alkalmazható a valóságos fizikai jelenségekre. És legfőképpen: a Bourbakicsoport elutasította a képek használatát. A matematikus sohasem bízhat a látószervében. A geometria megbízhatatlan; a matematikának tisztának, formálisnak és szigorúnak kell lennie. De ez máshol is így alakult, nemcsak Franciaországban. Az Egyesült Államokban is eltávolodtak a matematikusok a fizikai tudományok igényeitől, éppoly határozottan, mint a képzőművészek és írók a közízléstől. Eluralkodott a bezárkózó érzékenység. A matematikusok témái elszakadtak mindentől, ami nem matematikai; a formális axiomatika lett az egyedüli módszerük. A matematikus büszke lehetett rá, hogy munkája semmit sem magyaráz meg a világból vagy a tudományból. Ez a felfogás sok eredményt hozott, és a matematikusok nagyra becsülték. Steve Smale még a matematika és a természettudomány újraegyesítésén fáradozva is sziklaszilárdan vallotta - mint minden más meggyőződését is -, hogy a matematikának csak önmagára szabad támaszkodnia. Ez adja meg a világosságát. A világosság pedig elválaszthatatlanul együtt jár az axiomatikus módszer szigorúságával. Minden igazi matematikus rájön, hogy a szigorúság e tudományág meghatározó ereje: olyan acélváz, amely nélkül minden összeomlana. Ennek a szigorúságnak a jóvoltából vehetik fel újra a matematikusok az évszázadokon átívelő matematikai gondolatok fonalát, s lehetnek biztosak abban, hogy jól értelmezik ezeket a gondolatokat. A szigorúság követelménye azonban előre nem látható következményekkel is együtt járt a huszadik század matematikájában. Ez a tudomány sajátos fejlődésen ment keresztül. A kutató megragad egy problémát és mindjárt kezdetben eldönti, mi módon haladjon tovább. Ez nemegyszer azt jelenti, hogy választani kell egy matematikai szempontból ígéretes és egy a természet megértése szempontjából érdekes út között. A matematikus szemében nyilvánvalónak tűnt, melyiket válassza: egy időre elhanyagolt minden látható összefüggést a természettel. Tanítványainak később ugyanilyen választásokkal kellett szembenézniük, s

ők is éppígy döntöttek. Ezek az értékek sehol sem voltak merevebben rögzítve, mint Franciaországban, ahol Bourbaki alapítóinak képzeletén is túltett a szigorúság. Elvei, stílusa és jelölésmódja kötelezővé váltak. A legjobb hallgatókra tett befolyása és a szakadatlan matematikai sikerek révén megtámadhatatlan helyzetbe került. Az École Normale-on kizárólagos volt a hatalma, és ez - Mandelbrot számára - teljességgel elviselhetetlennek bizonyult. Bourbaki miatt elmenekült az École Normale-ból, majd egy évtizeddel később Franciaországból is, és az Egyesült Államokban telepedett le. Néhány évtized elteltével azután ez a Bourbaki-féle könyörtelen elvontság lassan teret veszített, mert a matematikába is betört a számítógép, és a nyomában kialakult egy új felfogás: a „szem matematikája". Mindez azonban már túl késő volt Mandelbrotnak, aki képtelen volt Bourbaki formalizmusával élni és feladni geometriai szemléletét.

Mandelbrot - ezúttal sem szalasztva el az alkalmat önnön mitológiájának öregbítésére - a következőket fűzte a Ki Kicsodában róla közlendőkhöz: „A tudomány tönkremenne, ha (a sportokat követve) minden másnál többre tartaná a versenyt, és szűk értelemben vett tudományágakba zárkózva határozná meg a versenyszabályokat. Azok a kevesek, akik önként vállalják a tudományban a nomád létet, nagyon sokkal járulnak hozzá a megállapodott tudományágak szellemi jólétéhez." Ez az önszántából nomád tudós - máshol muszáj-úttörőnek1 is nevezi magát - hátat fordított az egyetemi életnek, s az IBM Thomas J. Watson Kutatóközpontjának menedékét elfogadva eltávozott Franciaországból. Az ismeretlenségtől a csúcsig vivő harmincéves úton sohasem tapasztalta, hogy munkáját befogadta volna a számos érintett tudományág. Még a matematikusok is azt mondták, láthatólag egyáltalán nem rosszindulatból, hogy bármi legyen is Mandelbrot, közéjük bizonyosan nem tartozik. Lassan találta meg a maga útját, mindig a tudománytörténet elfelejtett mellékútjairól szerzett különös tudástól indíttatva. Bemerészkedett a matematikai nyelvészet területére: megmagyarázott egy szóeloszlásra vonatkozó törvényt. (Elmondta, hogy a körülmények ugyan nem tekinthetők jelképesnek, de mi tagadás, a törvényről egy könyvismertetésből szerzett tudomást, amelyet metróra való olvasmányul „mentett ki" egy igazi matematikus szemétládájából.) Tanulmányozta a játékelméletet. Keresztülrágta magát a közgazdaságtanon. Írt a kis- és nagyvárosok eloszlásában megjelenő nagyságrendi szabályszerűségekről. A munkáját jellemző általános keret mindeközben - félig még kialakulatlanul - a háttérben maradt. Az IBM-nél töltött első időkben, nem sokkal a kereskedelmi árak tanulmányozása után, beleütközött egy gyakorlati problémába, amely élénken foglalkoztatta a céget. A mérnököket nagyon zavarta, hogy zajos telefonvonalakon át kell továbbítaniuk az információkat egyik számítógépből a másikba. Az elektromos áram különálló csomagokban hordozza az információt, és jóllehet a mérnökök tudták, hogy minél erősebb áramot használnak, annál jobban elnyomódik a zaj, de tapasztalataik szerint a spontán zajt így sem lehet egy bizonyos szint alá csökkenteni. Ez a zaj időnként kitörli a jel egy részét, ami hibát okoz. Ismeretes volt, hogy az átviteli zaj ugyan véletlenszerű, mégis csoportosan fordul elő: hibamentes időszakokra hibákkal teli időszakok következnek. Mandelbrot a mérnökökkel beszélgetve hamarosan megtudta, hogy a hibákról kialakult egyfajta szóbeli tudás, csak éppen sohasem írták le, mert nem felelt meg semelyik szokásos elgondolásnak: minél közelebbről vizsgálták ugyanis ezeket a hibacsoportokat, annál bonyolultabbnak tetszett a hibák lefutása. Mandelbrotnak sikerült olyan leírást adnia a hibák eloszlásáról, amely ponto1 Second Stage... p. 5.

san a megfigyelt mintázatokat jósolta. Ez a leírási mód azonban roppant különösnek bizonyult. Például nem tette lehetővé az átlagos hibaarány - az egy órára, percre vagy másodpercre eső átlagos hibaszám - kiszámítását. Ebben a Mandelbrot-féle képben a hibák átlagban a végtelen ritkasághoz közelítettek. A leírás a tiszta és a hibás átviteli időszakok egyre kisebb mérettartományokban való elválasztására támaszkodott. Osszunk fel például egy napot órás szakaszokra; mondjuk egy óra hibák nélkül telik el, azután a következő órában előfordulnak hibák, majd egy óráig megint nem. Most tegyük fel, hogy a hibáktól nem mentes órát húszperces kisebb időszakokra osztjuk fel. Újra csak azt találjuk majd, hogy egyes időszakokra most sem jut hiba, másokra viszont megint igen. Tulajdonképpen - vonta le a következtetést Mandelbrot - a szemlélettel ellentétben sosem akad majd olyan időszak, amelyben a hibák folytonosan lennének elszórva. Bármely „hibás" halmazon belül, ha mégoly rövid is, mindig lesznek időszakok, amelyekben teljesen hibátlan az átvitel. Ezenfelül mindig fennálló geometriai kapcsolatot fedezett fel a hibás halmazok és a tiszta átvitel tartományai között. A hibamentes és a hibás időszakok aránya állandó maradt az egy óra vagy az egy másodperc nagyságrendjében is. (Egyszer egy adatsor - Mandelbrot nem kis rémületére - ellentmondani látszott ennek az elméletnek, de azután kiderült, hogy a mérnökök nem rögzítették a legszélsőségesebb eseteket, gondolván: azok úgysem számítanak.) A mérnököknek nem volt meg a fogalmi rendszerük Mandelbrot leírásának megértéséhez, a matematikusoknak viszont igen. Mandelbrot voltaképpen újból létrehozta azt az elvont konstrukciót, amelyet Georg Cantor, tizenkilencedik századi matematikusról Cantorhalmaznak szokás nevezni. A Cantor-halmaz előállításához vegyük a számok nulla és egy közötti szakaszát; ezt itt egy vonaldarabbal ábrázoljuk. Metsszük ki belőle a középső harmadot. Két vonaldarab marad vissza; ezekből szintén távolítsuk el a középső harmadokat (egy kilencedtől két kilencedig és hét kilencedtől nyolc kilencedig). Marad négy vonaldarab; azokból is vegyük ki a középső harmadrészt - s így tovább a végtelenségig. Mi marad? Egy különös, végtelenül sok és mégis végtelenül ritka csoportból álló „por". Mandelbrot úgy gondolta el az átviteli hibákat, mint időben elrendeződő Cantor-halmazt.1 Ez a rendkívül elvont leírás gyakorlati jelentőségre tett szert azoknak a tudósoknak a kezében, akik stratégiákat igyekeztek kidolgozni a hibák visszaszorítására. A Mandelbrot-féle leírás azt sugallta, hogy nem erősíteni kellene a jelet - ha az csökkenti is a zajt -, hanem a hibák elkerülhetetlenségét tudomásul véve, gyengébb, de redundáns (az elméletileg szükségesnél „bőbeszédűbb") jeleket használva feltárni és kijavítani a hibákat. Mandelbrot a hibák okait illetően is megváltoztatta az IBM mérnökeinek gondolkodásmódját: addig a hibás halmazok láttán mindig valami okra gyanakodtak, például arra, hogy valaki csavarhúzót dugott valahová. Mandelbrot skálamintái ezzel szemben arra utaltak, hogy a zaj sosem magyarázható meg valamiféle sajátos helyi eseménnyel. Mandelbrot figyelme ezután más - a világ folyóit jellemző - adatok felé fordult. Az egyiptomiak évezredeken át vezettek feljegyzéseket a Nílus vízállásáról, s nem holmi szeszélyből; ez a folyó ugyanis nagyon változó vízállású: egyes években hirtelen megárad, másokban csaknem kifogy belőle a víz. Mandelbrot - akárcsak a gazdaságban - kétfajta hatásra támaszkodva osztályozta a változásokat: az egyiket Noé-hatásnak, a másikat Józsefhatásnak2 nevezte el. 1

Mandelbrot: Fractal Geometry..., p. 74; J. M. Berger and Benoit Mandelbrot: A New Model for the Clustering of Errors on Telephon Circuits. IBM Journal of Research and Development 7 (1963), pp. 224-36. 2 Fractal Geo metry..., p. 248.

A CANTOR-POR Kezdjük egy vonallal: távolítsuk el a középső harmadát, azután távolítsuk el a meg maradt vonaldarabok középső harmadát, és így tovább. A Cantorhalmaz a pontoknak az a pora, ami meg marad. Ezek a pontok végtelenül sokan vannak, de a teljes hosszuk 0. Az ilyen struktúrák paradox tulajdonságai zavarták a tizenkilencedik századi matematikusokat, Mandelbrot azonban az elektronikus átviteli vonalak hibaelőfordulásának modelljét látta a Cantorhalmazban. A mérnökök azt tapasztalták, hogy a vonalak működésében hibamentes átviteli időszakok figyelhetők meg, s ezeket hibák terhelte időszakok választ ják el egy mástól. Ha kö zelebbről megvizsgálták ezeket a h ibás szakaszokat, megint csak találtak bennük hibamentes időszakokat, s így tovább - ez a fraktál-idő egyik példája volt. Mandelbrot felfedezte, hogy a hibák és a tiszta átvitel viszonya az órás időtartamtól kezdve a másodpercesig minden időtartományban állandó marad. Azt állította, hogy az ilyen porok elengedhetetlenek az intermittencia modellezésében.

A Noé-hatás szakadást, ugrásszerűséget jelent: ha egy mennyiség megváltozik, akkor szinte akármilyen hirtelen változhat. A közgazdászok hagyományos elképzelése szerint az árak nem így, hanem simán, folyamatosan változnak; hogy gyorsan-e vagy lassan, az a konkrét esettől függ, de abban az értelemben mindenképp simán, hogy míg egyik szintről eljutnak egy másikra, áthaladnak minden közbülső szinten. A mozgásnak ezt a képét a fizikából kölcsönözték, ahogyan sok mást is a közgazdaságtanban használatos matematikai eszközök közül. Csakhogy ez a kép egyszerűen nem állta meg a helyét. Az árak pillanatszerűen is változhatnak, elég hozzá annyi idő is, amennyi alatt egy rövidke hír átcikázhat egy telexdróton, s máris ezernyi tőzsdeügynök meggondolhatja magát. Egy tőzsdei stratégia eleve kudarcra van ítélve, ha azt teszi fel, hogy egy részvényt egy bizonyos pillanatban 50 dollárért kellene eladni, míg 60 dollárról 10 dollárra esik le az ára. A József-hatás pedig folytonosságot jelent. Ímé hét esztendő jő, és nagy bőség lesz egész Egyiptomban. Azok után pedig következik az éhség hét esztendeje... Ha a bibliabeli legenda periodicitásra utal, akkor ez persze túlzott egyszerűsítés. De az áradások és aszályok valóban tartósak. Ha végül a véletlen műve is az aszály, minél hosszabb ideje sújt valamely területen, annál valószínűbb, hogy továbbra is sújtani fog. A Nílus vízállásának matematikai elemzése ezenkívül azt is megmutatta, hogy a folytonosság évszázados léptékben éppúgy érvényes, mint az évtizedesben. A Noé- és József-hatás más-más irányba törekszik, együttesen mégis ezt adják: a természeti tendenciák valóságosak, de éppoly gyorsan eltűnhetnek, ahogyan feltűnnek. Ugrásszerűség, zajok halmozódása, Cantor-porok - efféle jelenségeknek nem volt he-

lyük az elmúlt kétezer év geometriáiban. A klasszikus geometria alakzatai a vonalak és síkok, körök és gömbök, háromszögek és kúpok. Ezek a valóság hatásos absztrakciói, ezek sugallták a platóni harmónia szintén hatékony filozófiáját. Eukleidész olyan geometriát hozott létre belőlük, amely két évezreden át fennmaradt, és az emberek többségének szemében mindmáig az egyetlen geometria. A művészek ideális szépséget találtak ezekben az alakzatokban, s a Ptolemaioszt követő csillagászok belőlük építették fel a világegyetem elméletét. De lám, kiderült róluk, hogy a komplexitás megértéséhez nem megfelelő absztrakciók. A felhők nem gömbök - szereti hangoztatni Mandelbrot. A hegyek nem kúpok. A villám nem egyenes utat követ. Az új geometria olyan világegyetemet tükröz, amely egyenetlen, nincs legömbölyítve, nem sima, hanem érdes. Ez a ragyás és összetöredezett, a megcsavart, összekuszálódott és egybefonódott geometriája. A természet komplexitásának megértéséhez az a sejtés nyitott kaput, mely szerint a komplexitás nem csupán véletlen, nem holmi esetlegesség. Csak az a meggyőződés vezethet el a komplexitás megértéséhez, hogy például a villámcsapás nyomvonalában nem az irány az érdekes, hanem hogy hogyan következnek egymás után az irányváltozások. Mandelbrot munkája megfogalmazott egy állítást a világról, éspedig azt, hogy az ilyen szokatlan alakzatoknak jelentésük van. A ragyák és gubancok nem pusztán az euklideszi geometria klasszikus alakzatainak csúf eltorzításai; többek ennél: nemegyszer kulcsok a lényeghez. Mi a lényege például egy partvonalnak? Mandelbrot ezt a kérdést tette fel egyik cikkében, amely fordulópont volt gondolkodásában: „Milyen hosszú Nagy-Britannia tengerpartja?" Mandelbrot a partvonal problémára egy angol tudós, Lewis F. Richardson egy ismeretlen, posztumusz tanulmányában akadt rá. Richardsont furcsa mód több olyan téma is foglalkoztatta, amely később a káosz részévé vált. Az 1920-as években a numerikus időjáráselőrejelzésről írt; később egy zsák fehér paszternákot vetett a Cape Cod csatornába, hogy a folyadékturbulenciát tanulmányozza; egy 1926-os cikkében pedig azt a kérdést tette fel, hogy „van-e a szélnek sebessége?" („Ez az elsőre nevetséges kérdés alaposabban végiggondolva egyáltalán nem értelmetlen" - írja.) Richardson a partvonalakon és a tekergőző országhatárokon tűnődve, végigböngészte a spanyol és portugál, a belga és holland lexikonokat, és húsz százalékos eltéréseket fedezett fel a közös határok hosszának becslésében. Akiknek Mandelbrot feltette ezt a partvonalra vonatkozó kérdést, azok vagy kínosan nyilvánvalónak érezték az egészet, vagy teljesen képtelennek. Tapasztalatai szerint az emberek többsége vagy azt válaszolta, hogy „Nem tudom, nem értek hozzá", vagy azt, hogy „Nem tudom, de majd megnézem a lexikonban." Holott az ő felfogása szerint bármely partvonal végtelenül hosszú - legalábbis egy bizonyos értelemben. Egy másik értelemben viszont attól függ, milyen hosszú a vonalzó. Vegyünk egy kézenfekvő mérési módszert. A földmérő vesz egy körzőt, szétterpeszti a szárait egy méterre és végigsétál vele a partvonal mentén. Az eredményül kapott méterek száma csak közelítése az igazi hossznak, mert a körző átugorja a méteresnél kisebb kanyarokat, fordulókat; a földmérő mindazonáltal feljegyzi az így kapott számot. Ezután összébb húzza a körző szárait, - mondjuk a méter egyharmadára - és újra elvégzi a mérést. Ezúttal valamivel nagyobb hosszúságot kap, mert a körző többet fog át a részletekből, vagyis több mint három lépés kell majd ahhoz, hogy végigmenjen azon a távolságon, amelyen előzőleg - az egyméteres körzővel - egy lépésben is sikerült. Feljegyzi ezt az új számot is, azután megint egyharmadnyi távolságra állítja be a körző szárait, és kezdi elölről. Ez a képzeletbeli körzővel végzett gondolatkísérlet számszerűsíti, mi történik, ha egy tárgyat különböző távolságokból és különböző mérettartományokban figyelünk meg. Az a megfigyelő, aki Anglia

partvonalát egy mesterséges holdról igyekszik meghatározni, kisebb értékre fog jutni, mint az, aki megpróbálja rendre végigjárni minden kis öblét és kiszögellését, de ő is kisebb értéket kap majd mondjuk egy csigánál, amelynek végig kell vergődnie minden kis kavicson. Richard F. Voss

FRA KTÁLVONA LÚ TENGERPA RT Számítógép létrehozta partvonal: a részletek véletlenszerűek, de a fraktáldimen zió állandó, így az érdesség vagy szabálytalanság bármely nagyításban ugyanolyannak látszik.

A józan ész azt súgja, hogy bár ezek a becslések egyre nagyobbak lesznek, mégis közelíteni fognak valamilyen végső értékhez, a partvonal tényleges hosszához. Más szóval, a mérési értékeknek konvergálniuk kell. És való igaz, ha a partvonal valamilyen euklideszi alakzat - például egy kör - lenne, akkor az egyre finomabb egyenes vonalú távolságok összegzésén alapuló módszer konvergálna is. Mandelbrot azonban úgy találta, hogy ahogyan a mérés léptéke egyre kisebbé válik, a partvonal mért hossza minden határon túlnő: a kis öblökben és félszigetecskékben mind kisebb öblök és félszigetecskék tárulnak fel, legalábbis az atomi méretekig, ahol a folyamat azután véget ér. Ha ugyan véget ér. Minthogy az euklideszi mértékeknek - a hosszúság-, mélység-, és vastagságmértékeknek nem sikerült megragadniuk a szabálytalan alakzatok lényegét, Mandelbrot egy másik fogalomhoz fordult: a dimenzió fogalmához. A dimenzió olyan tulajdonság, amely sokkal gazdagabb a tudósok szemében, mint a kívülállókéban. Háromdimenziós világban élünk, ami azt jelenti, hogy három számra van szükségünk egy pont megjelöléséhez: ez a három lehet például a földrajzi hosszúság, a földrajzi szélesség és a magasság. A három dimenziót úgy képzeljük el, mint egymással derékszöget bezáró irányokat. Ez még az euklideszi geometria öröksége; ott a térnek három dimenziója van, a síknak kettő, a vonalnak egy, a pontnak

pedig nulla. Az elvonatkoztatás, amelynek révén Eukleidész egy- és kétdimenziós objektumokat gondolhatott el, lépten-nyomon felbukkan a mindennapok gyakorlatában. Az autóstérkép minden gyakorlati szempontból lényegében kétdimenziós valami, egy sík egy darabja. Ezt a két dimenziót kihasználva pontosan kétdimenziós típusú információt hordoz. A valóságban persze az autóstérképek is éppúgy háromdimenziósak, mint bármi más, de a vastagságuk oly csekély (és annyira lényegtelen is rendeltetésük szempontjából), hogy elfelejthető. Egy autóstérkép gyakorlatilag még akkor is kétdimenziós marad, ha összehajtogatjuk. Ugyanígy egy fonál gyakorlati szempontból egydimenziós, egy részecskének pedig egyáltalán nincs dimenziója. Akkor mi a dimenziója egy spárgagombolyagnak? Mandelbrot erre azt mondja, hogy attól függ, honnan nézzük. Messziről a gombolyag nem egyéb, mint egy nulla dimenziós pont. Közelebbről a gombolyag egy gömb alakú térrészt látszik kitölteni, amely három dimenziót foglal el. Még közelebbről előtűnik a spárga, és a tárgy gyakorlatilag egydimenzóssá válik, bár az az egy dimenzió mindenesetre önmaga köré gubancolódik, mégpedig a háromdimenziós térben. Továbbra is érdemes azonban megkérdezni, hogy most vajon hány szám szükséges egy pont helyzetének meghatározásához. Messziről egyre sincs szükség - csak egyetlen pont az egész gombolyag. Közelebbről nézve már három kell. Még közelebbről nézve viszont egy is elég: akár fel van gombolyítva a spárga, akár nincs, csak azt kell megmondanunk, hogy mekkora távolságot kell megtenni a spárga végétől a kérdéses pontig. A mikroszkopikus mérettartományban pedig háromdimenziós oszloppá válik a spárga, az oszlop egydimenziós szálakká bomlik, s a szilárd anyag nulladimenziós pontokká oldódik. Mandelbrot - nem követve a matematikusok felfogását - a relativitáselméletre hivatkozott: „Hogy egy számszerű eredmény függhet a tárgy és a megfigyelő viszonyától, az tökéletesen összeegyeztethető az e századi fizika szellemével, sőt annak példaszerű megnyilatkozása." De a filozófiát félretéve, egy tárgy gyakorlati dimenziója bizony különbözhet az evilági három dimenziójától. A Mandelbrot-féle gondolat kifejezésének, úgy tetszik, gyenge pontja, hogy olyasféle homályos és bizonytalan fogalmakra épül, mint a „messziről" meg a „kicsit közelebbről". És hogy áll a dolog közben, e két helyzet között? Kétségtelenül nincsen jól meghúzható határ, amelyen átlépve az addig háromdimenziós spárgagombolyagot egyszerre egydimenziósnak látnánk. Mindazonáltal ez egyáltalán nem gyenge pont ebben a felfogásban; éppen ezeknek az átmeneteknek a megfoghatatlansága vezetett egy új ötlethez a dimenziók problémájában. Mandelbrot túllépett a 0, 1, 2, 3, ... dimenziókon, mégpedig egy látszólag lehetetlen irányba: a tört dimenziók felé. Ez a fogalom a szellem csúcsteljesítménye. A nem matematikusoktól ugyan megkívánja, hogy legyűrjék hitetlenségüket, de látni való, milyen roppant hatékony. A törtdimenzió révén olyan tulajdonságok válnak mérhetővé - nevezetesen az érdesség, töredezettség avagy szabálytalanság -, amelyeknek egyébként nincs világos definíciójuk. Egy kanyargós partvonalnak a hossza például nem mérhető, érdességének azonban létezik jellemző mértéke. Mandelbrot számítási módszerrel is szolgált: megmutatta, hogyan számíthatjuk ki a valóságos objektumok tört dimenzióját, ha tudjuk, hogyan konstruálhatók meg ezek az objektumok vagy ismerjük bizonyos adataikat; ő maga pedig e számítási módszerek segítségével fontos megállapításra jutott: eszerint a természetben előforduló s általa tanulmányozott mintázatok szabálytalanságának mértéke ugyanakkora marad a különböző mérettartományokban. Meglepő, milyen sokszor igaz ez a megállapítás általában is. A vi-

lág szabálytalansága minduntalan szabályosnak bizonyul. Mandelbrot a fizikában felbukkanó hasonló próbálkozások láttán egy nagyobb szabású munka, egy könyv megjelentetése mellett határozott, s úgy gondolta, megfelelő nevet kellene találnia alakzataira, dimenzióira és geometriájára. Ezen töprengve 1975-ben, egy fagyos délutánon azon kapta magát, hogy iskolás fia latin szótárát lapozgatja. Szeme a fractus melléknévre tévedt, amely a „tör" jelentésű frangere igéből származik. A legfontosabb angol rokonszavak - fracture és fraction (törés, töredék) - jó hangzásúnak tűntek. Mandelbrot tehát megalkotta a fraktál szót (az angolban és a franciában a fractal szó főnév és melléknév is egyszerre).

A fraktál látásmódot kínál a képzeletnek, amellyel az beletekinthet a végtelenbe. Képzeljünk el egy háromszöget, amelynek mindegyik oldala 1 m hosszú. Képzeljünk most el egy átalakítást is - egy sajátos, jól meghatározott, könnyen ismételhető szabálysorozatot: vegyük minden oldalnak a középső harmadát és emeljünk rá egy ugyanilyen oldalhosszú (azaz az eredetihez képest harmad akkora) egyenlő oldalú háromszöget.

A KOCH-FÉLE HÓPEHELY. Mandelbrot szavaival: „A partvonal durva, de eleven modellje." A Koch-görbe előállítását kezdjük egy egységnyi oldalakkal rendelkező háromszöggel. M inden oldal közepére állítsunk egy 1/3 oldalú új hároms zöget, és így tovább. A határvonal hosszúsága 3 × 4/3 × 4/3 × 4/3 ... azaz végtelen. Így egy végtelenül hosszú vonal véges területet határol.

Az eredmény egy Dávid-csillag. Ennek a körvonala az eredeti három 1 méteres szakasz helyett tizenkét 1/3 méteres szakaszból áll, és három helyett 6 csúcsa van. Vegyük most ezt a tizenkét oldalt és ismételjük meg az átalakítást: emeljünk ismét háromszögeket az oldalak középső harmadára. Csináljuk ezt tovább, a végtelenségig. A körvonal részletekben egyre gazdagabbá válik - mint a Cantor-halmaz, amely egyre ritkábbá vált -, s egyre jobban hasonlít majd egy eszményi hópehely körvonalához. Ezt a vonalat Koch-görbének nevezik, mert Hege von Koch svéd matematikus írta le elsőként, még 1904-ben.

Alaposabban belegondolva beláthatjuk, hogy a Koch-görbének érdekes tulajdonságai vannak. Például az, hogy folytonos hurok, amely sosem metszi önmagát: az oldalak közepére szerkesztett új háromszögek ugyanis kisebbek, semhogy egymásba érhetnének. Minden átalakítás megnöveli valamennyivel a görbe körülfogta területet, de a teljes terület mégsem nő akármeddig; valójában sohasem lesz sokkal több, mint az eredeti háromszög területe. A Koch-görbe soha nem fog például kinyúlni az eredeti háromszög köré írt körön túlra. A görbe másfelől mégis végtelenül hosszú, olyan hosszú, mint egy euklideszi egyenes, amely végigfut a határtalan világegyetemen. Az első átalakítás egy 1 méteres szakasz helyébe négy 1/3 méterest állít, s a további átalakítások is mind négyharmadszorosára növelik a teljes hosszat. Ez a paradox eredmény - véges területen végtelen hossz - sokakat nyugtalanított a rajta gondolkodó századvégi matematikusok közül. A Koch-görbe egyszerűen borzasztó volt: fittyet hányt az alakzatokról felhalmozódott ésszerű elképzeléseknek, és kórosan eltérni látszott mindentől, ami a természetben fellelhető. Ezért azután ezeknek a matematikusoknak a munkája csekély visszhangot keltett akkoriban, de néhány nem kevésbé perverz gondolkodású matematikus kitalált további olyan alakzatokat, amelyek szintén mutatták a Koch-görbe egyik-másik bizarr tulajdonságát. Közéjük tartoztak például a Peano-görbék és a Sierpinski-szőnyegek. A szőnyegkészítéshez vegyünk egy négyzetet, osszuk háromszor három, azaz kilenc egyforma négyzetre, és a középsőt vágjuk ki. Azután ismételjük meg ugyanezt a megmaradt nyolc négyzeten: azokba is vágunk tehát egy-egy négyzet alakú lyukat. De négyzetek helyett vehetünk egyenlő oldalú háromszögeket; az ebből támadt alakzatnak az a nehezen elképzelhető tulajdonsága van, hogy bármely tetszőleges csúcsa elágazási pont, egy villa a struktúrában. Nehéz elképzelni, de gondoljunk csak az Eiffel-toronyra:1 Ez jó háromdimenziós közelítés a maga tartógerendáival, rácsszerkezetével, amely egyre vékonyabb, finomabb részekből álló csillogó hálózattá ágazik el. Eiffel természetesen nem tudta a szerkezetet a végtelenségig továbbvinni, de észrevette azt a körmönfont műszaki lehetőséget, amellyel a szerkezeti szilárdságot mit sem csorbítva csökkenthette a súlyt. Az értelem nem teheti szemléletessé ezt a végtelen sokszor önmagába ágyazott komplexitást. Ám ha valaki geométer módjára gondolkodik a formákról, az előtt új világot nyithat meg a szerkezetnek ez az ismétlődése az egyre finomabb méretek tartományaiban. Felfedezni ezeket az alakzatokat, minél mélyebben kitapintani a lehetőségek gumifalát: mindez egyfajta játék volt, és Mandelbrot gyermeki örömet talált a sokféle változatban, amelyeket korábban senki sem látott vagy értett. Ha nem volt nevük, elnevezte őket: kötelek és lapok, szivacsok és habok, túrók és tömítések. A fraktáldimenzió éppen a megfelelő méterrúdnak bizonyult. A szabálytalanság foka bizonyos értelemben annak felel meg, mennyire hatékonyan tölti ki a test a teret. Egy egyszerű euklideszi egydimenziós vonal egyáltalán nem tölt ki teret. A Koch-görbe viszont, amely végtelen hosszúságot zsúfol véges területbe, már igen. Már több mint vonal, de még kevesebb mint sík. Már több mint egydimenziós, de még kevesebb mint kétdimenziós forma. A század eleji matematikusoktól származó, szinte csaknem elfeledett technikákat felhasználva, Mandelbrot pontosan megadta a fraktáldimenziót. Ami a Koch-görbét illeti, a négyharmaddal való szorzás végtelen ismétlése 1,2618-et ad a dimenzióra.

1 Fractal Geometry..., p . 131; és On Fractal Geo metry... p. 1663.

CSUPA LYUK ÉPÍTM ÉNY. A huszadik század elején néhány matematikus rettenetes küllemű objektu mokat talált ki: ezek mind végtelen sok rész hozzáadásával vagy elvételével készültek. A z egyik ilyen alakzat a Sierpinski-szőnyeg; ez úgy szerkeszthető, hogy egy négyzet középső kilencedét kivágjuk, azután a maradék nyolc kisebb négyzet közepét megint ugyanígy kivágjuk, és így tovább. A szőnyegnek háromdimenzióban a Menger-szivacs a megfelelője: egy testnek látszó rácsozat, amelynek végtelen nagy a felszíne, de nulla a térfogata.

Ezt az utat követve Mandelbrot két szempontból is előnyre tett szert azzal a néhány matematikussal szemben, akik ilyen alakzatokkal foglalkoztak. Az egyik az volt, hogy hozzáfért az IBM név fémjelezte számítástechnikai erőforrásokhoz. Volt ugyanis egy másik feladat, amely a lehető legjobban illett a számítógép sajátos, nagy sebességű butaságához. Mandelbrotnak egy könnyen programozható transzformáció ismételgetése volt a feladata,

ahogyan a meteorológusoknak is ugyanazt a néhány számítást kellett elvégezniük millió és millió szomszédos légköri pontra. A számítógépek ezt le is rajzolták - néha váratlan eredményekkel. A huszadik század eleji matematikusok gyorsan elérkeztek a számítási nehézségek állította korlátig, ahogyan a régi biológus elődök sem tudtak mikroszkópok híján továbblépni egy bizonyos ponton. Egy olyan világot vizsgálva, amely egyre finomabb részleteket rejt, a képzelet nem juthat el akármeddig. Mandelbrot szavaival: „A rajzolás száz évre eltűnt a matematikából, mert a kéz, a ceruza és a vonalzó lehetőségei már kimerültek. Mindent tudni lehetett róluk, elvesztették minden érdekességüket. Számítógépek pedig még nem léteztek. Amikor belefogtam ebbe a játékba, nem volt benne semmi eleven intuíció. A semmiből kellett előteremteni. A szokásos eszközökön - a kézen, ceruzán és vonalzón - nevelkedett szemlélet ezeket az alakzatokat egészen szörnyűnek és elfajzottnak találta. A régi szemlélet félrevezető volt. Az első képeken nagyon meglepődtem; azután néhányat felismertem korábbi képek alapján, és így tovább. Az intuíció nem jön magától. Edzettem a szemléletemet, hogy nyilvánvalónak fogadjak el olyan alakzatokat, amelyeket eredetileg - mint lehetetleneket - elutasítottam, és úgy találtam, hogy ezt bárki megteheti." Mandelbrot másik előnye az a valóságfelfogás volt, amelyre a gyapotárakkal, az elektronikus átvitel zajával és a folyók áradásaival való találkozása révén tett szert. Ez a felfogás központi jelentőségűvé vált. A természeti folyamatok szabálytalan mintázatainak tanulmányozása és a végtelenül komplex alakzatok felfedezése az önhasonlóság tulajdonságában találkozott össze. A fraktál mindenekelőtt önhasonlóságot jelent. Az önhasonlóság a mérettartományok szimmetriája. Ismétlődést takar, mintázatot a mintázatban. Mandelbrot ár- és folyó-grafikonjai önhasonlóságot mutattak: azonfelül, hogy egyre finomabb skálájú részleteket bontakoztattak ki, ezeket a részleteket állandó mértékek is jellemezték. Ezek a rémes alakzatok hasonlóak voltak önmagukhoz, mert - mint például a Koch-görbe - ugyanúgy festettek minden nagyításban. Az önhasonlóság benne rejlik a görbe létrehozásának módszerében - egyazon transzformáció ismétlődik egyre kisebb mérettartományokban. Az önhasonlóság könnyen felismerhető tulajdonság. Lépten-nyomon találkozunk vele: ott van a két tükör közé álló ember végtelenül sok tükröződésében, vagy azon a rajzon, amelyen egy hal megeszik egy kisebb halat, az megeszik egy még kisebbet, az egy még kisebbet stb. Mandelbrot előszeretettel idézi Jonathan Swiftet: „Így hát a természettudósok megfigyelnek egy bolhát, / Amelyen kisebb bolhák élősködnek, / És ezeket kisebb bolhák csípik, / És így tovább a végtelenségig."

Az Egyesült Államok északkeleti részén a földrengések tanulmányozására a legjobb hely a Lamont-Doherty Geofizikai Obszervatórium, ez a New York Állam déli erdeiben elrejtett ellenszenves épületcsoport, a Hudson folyótól nyugatra. A Lamont-Dohertyben kezdett gondolkozni a fraktálokról Christopher Scholz, a Columbia Egyetemnek a szilárd Föld formáját és szerkezetét kutató professzora.1 Ha a matematikusok és elméleti fizikusok figyelmen kívül hagyták is Mandelbrot munkáját, Scholz éppen az a fajta gyakorlatiasan munkálkodó tudós volt, aki mindjárt kész volt alkalmazni a fraktálgeometria eszközét. Véletlenül találkozott Benoit Mandelbrot nevével még az 1960-as években, amikor Mandelbrot közgazdaságtannal foglalkozott, Scholz pe1

C. H. Scholz and C. A. Aviles: The Fractal Geo metry of Faults and Faulting, preprint, LamontDoherty Geophysical Observatory; C. H. Scholz: Scaling Laws for Large Earthquakes. Bulletin of the Seismological Society of America 72 (1982), pp. 1-14

dig az MIT doktoranduszaként egy földrengésekkel kapcsolatos nehéz kérdésnek szentelte ideje nagy részét. Már húsz évvel azelőtt is tudták, hogy a nagy és kis földrengések eloszlása sajátos matematikai mintázatot követ, ugyanazt a skálázható (azaz nagyítások és kicsinyítések után is önmagát adó) mintát, amelyet a személyi jövedelmek eloszlása is követni látszott a szabadpiaci gazdaságban. A Földnek bármely vidékén mérték és számlálták is a földrengéseket, mindenütt ezt az eloszlást kapták. Minthogy a földrengések más tekintetben teljességgel szabálytalannak és megjósolhatatlannak tetszettek, érdemesnek tűnt firtatni, miféle fizikai folyamatok magyarázhatják ezt a szabályosságot. Scholz legalábbis így gondolta; a szeizmológusuk többsége azonban beérte a puszta ténnyel és nem törődött tovább vele. Scholz emlékezett Mandelbrot nevére, és 1978-ban megvette a bőségesen illusztrált, egyenletekkel teletűzdelt, bizarr műveltségről tanúskodó Fraktálok: Forma, véletlen és dimenzió című könyvet. Olyan volt ez, mintha Mandelbrot egyetlen összefüggéstelen kötetbe gyűjtött volna mindent, amit a világegyetemről tudott vagy gyanított. Ebből a könyvből és bővített, javított változatából, A természet fraktálgeometriájából néhány év alatt több példány kelt el, mint bármely más felsőbb matematikai könyvből. A stílusa homályos volt, sőt idegesítő, hol szellemes, hol irodalmi, hol nehézkes; Mandelbrot maga „kiáltványnak és dokumentumgyűjteménynek" nevezte.1 Scholz - mint a más ismeretterületekkel, főleg természettudományokkal foglalkozók közül sokan - éveken át próbálta kitalálni, mit is kezdhetne ezzel a könyvvel, s ez a kérdés egyáltalán nem volt nyilvánvaló. A Fraktálok - ahogy Scholz jellemezte - „nem egy »hogyan csináljunk ...«, hanem egy »ejha!« könyv" volt. Scholzot azonban erősen foglalkoztatták a felületek, felületekből pedig sűrűn akadt ebben a könyvben. Belátta, hogy nem tud szabadulni Mandelbrot sokat ígérő ötleteitől, s elkezdte keresni a módját, hogyan használhatná fel a fraktálokat a maga tudományos világában az összetevő részek leírására, osztályozására és mérésére. Hamarosan tapasztalhatta, hogy nincs egyedül, pedig ez jóval azelőtt történt, hogy a fraktálkonferenciák és -szemináriumok szaporodásnak indultak volna. A fraktálgeometria egységesítő gondolatai összehozták azokat a tudósokat, akik a maguk megfigyeléseit közreadhatatlanul egyéninek gondolták és nem volt semmilyen módszerük ahhoz, hogy megérthessék őket. A fraktálgeometria szemléletmódja segített azoknak, akik a dolgok egybeolvadásának és elágazásának vagy széthasadásának módjait tanulmányozták. Másfajta nézetből mutatta az anyagokat: a fémfelületek mikroszkopikusan csipkézett felületeit, az olaj átitatta lyukacsos kőzet aprócska üregeit és csatornáit vagy egy földrengési övezet hasadozott vidékét. Scholz úgy tartotta, hogy a geofizikusok dolga leírni a földfelszínt, amelynek a sima óceánfelülettel vett metszete kirajzolja a tengerpart vonalát. A szilárd Föld felső részében másfajta felületek is vannak: a repedések felületei. A törések és vetődések annyira uralkodó jellegzetességek a földfelszínen, hogy kulcsszerepet kell játszaniuk minden szóba jöhető leírásban; az egyensúly szempontjából fontosabbak mint az anyag, amelyen keresztülfutnak. A törések három dimenzióban barázdálják a Föld felszínét; ők alakítják ki azt, amit Scholz a különös „skizoszféra" szóval illetett. Ezek a törések határozzák meg a folyadékok - a víz, az olaj - és a földgáz áramlását a talajban, s azt is, milyenek a földrengések. A felületek megértése mindennél fontosabb, Scholz mégis úgy vélte, szakmája szorult helyzetben van. Nem volt fogalomrendszere a felületek értelmezéséhez. A geofizikusok úgy tekintettek a felületekre, ahogyan bárki más: azaz mint alakzatokra. Egy felület lehet sík, vagy éppen lehet valamilyen sajátos alakja. Megnézhetjük például 1 Fractal Geo metry..., p. 24.

egy bogárhátú Volkswagen körvonalait, és lerajzolhatjuk ezt mint görbét, amely leírható az ismerős eukleidészi módszerekkel. Megadhatunk rá egy egyenletet. A Scholz-féle felfogás szerint azonban így csak egy szűk spektrumban látjuk a bennünket éppen érdeklő felületet. Olyan ez, mintha vörös szűrőn át néznénk a világegyetemet: csak azt fogjuk látni, ami a fénynek ebben a sajátos hullámhossz-tartományában zajlik; minden más, ami a többi szín tartományában megy végbe elvész, nem is beszélve arról a tömérdek jelenségről, amelyeknek a színkép vörösön inneni részéhez vagy a rádióhullámokhoz van közük. Hasonlatunkban a spektrum, a színkép a mérettartománynak felel meg. A Volkswagen felületéről az euklideszi geometria felfogásában gondolkodni azt jelenti, hogy csupán a tíz vagy száz méter távolságból láthatóval törődünk. De mi lesz azzal, ami egy vagy száz kilométer távolságból látszik? Vagy a léptékek ellenkező végéről: egy milliméterről vagy egy mikrométerről? Képzeljük el, hogy száz kilométeres magasságból, az űrből követjük nyomon a Föld felszínét. A nyomvonal fel s leugrál a fákon, dombokon, épületeken és - valahol egy parkolóban - a Volkswagen hátán. Ebben a mérettartományban a Volkswagen felülete csupán huppanó a sok más huppanó között, egy csipetnyi rendetlenség. Vagy képzeljük el, hogy egy kézi nagyítóval, majd egy mikroszkóppal egyre közelebbről nézzük a Volkswagent. Először a felület simább nak látszik, ahogy az ütközők és a motorház tetejének kereksége kikerül a látótérből. De azután kiderül, hogy az acél mikroszkopikus felülete is hepehupás, láthatólag véletlenszerűen. Akárcsak a káosz. Scholz úgy találta, hogy a fraktálgeometria hatékony eszköz a földfelszín jellegzetes hepehupásságának leírására, s a fémekkel foglalkozó kutatók ugyanerre jutottak a különböző acélfajták felületét illetően. Egy fémfelület fraktáldimenziója például gyakran felvilágosítást ad a fém szilárdságáról. Éppígy a földfelszín fraktáldimenziója is fontos tulajdonságokat jelez. Scholz egy hagyományos geológiai alakzaton gondolkodott, a hegyoldali lejtők hajlásán. Ez távolról szemlélve egy kétdimenziós euklideszi alakzat, áni ahogy a geológus közelebb megy, ráébred, hogy voltaképp nem is rajta, hanem benne sétál - a hajlás nagy, autónyi méretű sziklákká változik. Tényleges dimenziója körülbelül 2,7-re növekszik, mert a sziklafelület a geológus fölé hajlik, körbeveszi és majdnem kitölti a háromdimenziós teret, akár egy szivacs felszíne.1 A fraktálokra támaszkodva több olyan probléma is jól megfogható, amely egymással érintkező felületekkel kapcsolatos. Ilyen probléma például a kerekek futófelületének és a betonnak az érintkezése, az illesztési helyek a gépekben, vagy az elektromos érintkezések. A felületek közötti érintkezést jellemző tulajdonságok meglehetősen függetlenek a kérdéses anyagoktól: kiderült ugyanis, hogy főként a hepehupákon levő hepehupák hepehupáinak fraktáljellemzőitől függenek. A felületek fraktálgeometriájának egyik egyszerű, de fontos következménye, hogy a kapcsolódó felületek nincsenek mindenütt érintkezésben. Ezt ugyanis lehetetlenné teszi a valamennyi mérettartományban meglevő hepehupásság. Ha elegendően kis méreteket veszünk, még a hatalmas nyomás alatt lévő kőzetben is nyilvánvalóan maradnak hasadékok, s azok utat engednek a folyadékok vagy gázok áramlásának. Scholz szemében ez a Tojás Tóbiás2 hatás. Ezért nem lehet soha újra összerakni egy törött teáscsésze két darabját, még ha valamilyen nagyobb mérettartományban összeillőnek látszanának is: a kisebb méretek tartományában már nem fognak egymáshoz illeni a 1

Fraktál hegygerincek kialaku lásáról ld. p l. Vicsek Tamás cikkét aMagyar Tudomány 1994/1 számának 8-15. oldalán. 2 Angolul Hu mpty Dumpty. A róla szó ló vers Tótfalusi István átdolgozásában: „Tojás Tóbiás a falra ü lt, / To jás Tóbiás lependerült. / Hiába száz ló, száz katona, / nem rakják Tóbiást össze soha!", Lúdanyó meséi (Móra, 1966) – a fordító

szabálytalan hepehupák. Scholz a fraktáltechnikákat használó kevesek egyikeként vált ismertté a maga területén. Tudta, hogy ezt a kis csoportot csodabogarak gyülekezetének tekinti némely kollégája. Ha a fraktál szót használta valamelyik tanulmánya címében, úgy érezte, vagy olyannak tartják, aki tiszteletre méltóan lépést tart az eseményekkel, vagy kevésbé tisztelhető módon hozzácsapódott egy divatirányzathoz. Már maga a tanulmányírás sem volt éppen egyszerű kérdés, hiszen el kellett döntenie, kiknek szóljon: a fraktálrajongók kicsiny táborának, avagy egy szélesebb geofizikusi közönségnek, amely méltán megkívánhatta az alapfogalmak magyarázatát. Scholz azonban így is nélkülözhetetlennek tartotta a fraktálgeometriát. „Ennek az egy modellnek a birtokában megbirkózhatunk a Föld változó dimenzióival mondta. - Matematikai és geometriai eszközöket ad a leíráshoz és az előrejelzéshez. Ha egyszer túljutunk a nehézségeken és megértjük az alapokat, akkor elkezdhetjük a dolgok tényleges mérését és új módon gondolkodhatunk felőlük. Másként látjuk őket; új szemléletünk lesz. Egészen más mint a régi - sokkal átfogóbb." Milyen nagy? Meddig marad fenn? Ezek a legsarkalatosabb kérdések, amiket egy tudós feltehet valamivel kapcsolatban. Annyira alapvetőek az ember világfelfogásában, hogy nem könnyű észrevenni, milyen egyoldalúság jár velük. Hiszen azt sugallják, hogy a léptékhez viszonyított méret és időtartam jelentéssel bíró tulajdonságok és segíthetnek leírni vagy osztályozni egy objektumot. Ha a biológus az embert írja le vagy a fizikus a kvarkot, akkor a milyen nagy és mennyi ideig létezik valóban megfelelő kérdések. Fizikai szerkezetük egészét tekintve az élőlényekhez nagyon lényegesen hozzátartozik egy meghatározott méret. Képzeljünk el egy embert kétszeres életnagyságban, változatlan arányokkal; ez olyan teremtmény lenne, amelynek súlya alatt összeroppannának a csontjai. A méret fontos. A földrengések fizikája nagyjából független a méretektől: a nagy földrengés csupán felnagyított változata a kicsinek. Ez megkülönbözteti a földrengéseket az élőlényektől - egy két centis állatnak például más felépítésűnek kell lennie, mint egy húszcentisnek vagy mondjuk egy kétméteresnek, hiszen az előbbi nyomban összeroppanna a megnövekedett súly alatt. Ami viszont a felhőket illeti, azok éppúgy skálajelenségek, akár a földrengések. Jellegzetes - a fraktáldimenzió segítségével leírható - szabálytalanságuk egyáltalán nem változik, ha különböző mérettartományokban figyeljük meg őket. Ezért nem tudják megbecsülni a légiutasok, milyen messze van tőlük egy felhő. Ha nincs valamilyen egyéb fogódzó - mint mondjuk a párásság -, akkor egy öt méterre levő felhő esetleg megkülönböztethetetlen egy ötszáz méterre levőtől. És lám, a műholdfelvételek elemzéséből kiderült, hogy a felhőket egy változatlan fraktáldimenzió jellemzi, amely többszáz kilométeres távolságból is megfigyelhető. Nehéz meghaladni a szokást, hogy a dolgokról a „milyen nagy" és a „meddig tart" fogalmaiban gondolkodjunk. Pedig a fraktálgeometria ezt kívánja, hiszen bizonyos természeti jelenségek esetén a jellemző méretet keresni valósággal őrjítő lehet. Hurrikán. Meghatározása szerint bizonyos méretű szélvihar. Csakhogy a definíciót az ember húzza rá a természetre. A légkörkutatók ugyanis felismerték, hogy a légköri zavarok egy folytonos sorozatot alkotnak az utcasarki por kavargásától az űrből látható hatalmas ciklonrendszerekig. A fogalmak megtévesztőek. E folytonos sorozat szélei ugyanolyanok, mint a közepe. A folyadék-, vagy a gázáramlás egyenletei sok tekintetben történetesen dimenziótlanok, azaz méretektől függetlenül alkalmazhatók. A lekicsinyített repülőgépszárnyak és hajócsavarok vizsgálhatók szélcsatornákban és laboratóriumi medencékben. A kis viharok pedig -

bizonyos határok között - úgy viselkednek, mint a nagyok. Az erek a főütőértől a hajszálerekig szintén folytonos sorozatot képeznek. Elágaznak és szétosztódnak, azután megint elágaznak, amíg csak olyan szűkké nem válnak, hogy a vérsejtek kénytelenek libasorban haladni bennük. Az elágazások fraktáltermészetűek. Szerkezetük emlékeztet az egyik alakzatszörnyetegre, amelyet a századforduló környékén eszeltek ki azok a Mandelbrot-féle matematikusok. Fiziológiai szükségszerűség folytán az ereknek némi dimenziós bűvészmutatványt kell elvégezniük. A Koch-görbe módjára, amely végtelen hosszú vonalat zsúfol össze egy kis területre, a keringési rendszernek is óriási felületet kell egy korlátozott térfogatba sűrítenie. A test tartalékait tekintve, a vér igen drága és a tér roppant kelendő. A fraktálszerkezet olyan hatékony, hogy a testszövetek többségében nincsen olyan sejt, amely három-négy sejtnyinél távolabbra esne valamilyen értől. Mindazonáltal az erek és a vér kevés helyet foglalnak el, a testtérfogatnak alig öt százalékát. Ahogy Mandelbrot kifejezte, ez a velencei kalmár tünet:1 vérontás nélkül nemhogy egy font húst, de egy milligrammot sem lehet elvenni. És ez az igen finom szerkezet - voltaképpen a vénák és artériák két összefonódó, fára emlékeztető alakzata - egyáltalán nem kivételes. A test tele van ilyen bonyolult formákkal. Az emésztőrendszerben a szövetek féregszerűen gyűrűző mozgására további gyűrűző mozgások tevődnek. A tüdőnek is a lehető legnagyobb területet kell összetömörítenie a lehető legkisebb térbe. Egy élőlény oxigénfelvevő képességi nagyjából tüdejének felületével arányos. Egy átlagos emberi tüdő tenisz pályánál nagyobb felületet rejt magában. Még tovább bonyolítja a dolgot, hogy a légcsövek labirintusának hatékonyan kell érintkeznie a; artériákkal és vénákkal. Minden orvostanhallgató tudja: a tüdő arra való, hogy hatalmas felszínű felület legyen kis térfogatban. Az anatómusok mégis egyszerre csak egy mérettartományban tanulták meg vizsgálni - például a milliónyi léghólyag, az elágazó csövek sorának végén álló mikroszkopikus tömlők szintjén. Az anatómia nyelvezete homályban hagyja a mérettartományokon átívelő egységességet. A fraktálmegközelítés viszont - szerkezeti alapegység, az elágazás segítségével - az egész szerkezete felöleli: ezek az elágazások egyformán viselkednek a nagy és a kis mérettartományokban. Az anatómusok a vérrendszert vizsgálva méreten alapuló osztályokba sorolják az ereket: ütőerekre és kis ütőerekre, visszerekre és visszerecskékre. Bizonyos célokra ezek a kategóriák is megteszik, más helyzetekben azonban félrevezetők. Néha úgy tűnik, a tan könyvi megközelítés körültáncolja az igazságot: „Az egyik típusú artériáról a másikra való fokozatos átmenetben időnként nehéz besorolni köztes tartományt. Egyes közepes átmérőjű artériák fala olyan, mint nagyobbaké, egyes nagy artériák fala viszont a közepes méretűekére hasonlít. Az átmeneti tartományokat ... gyakran kevert típusú artériáknak nevezik."2

1 Shakespeare: A velencei kalmár IV. felv. 1. szín. A kifejezés - egy fontot követelni valaki húsából - az utolsó fillérig v isszakövetelt adósság szinonímájává vált az angol nyelvben – a fordító 2 William Bloo m and Don W. Fawcett: A Textbook of Histology (W. B. Saunders Philadelphia, 1975).

A MANDELBROT-HA LMAZ. Ha egyre tovább haladunk a kisebb és kisebb méretek felé, feltárul előttünk a halmaz foko zódó bonyolultsága: a tengericsikó-farkak és moleku la-szigetek, amelyek hasonlóak a teljes halmazho z. A z utolsó felvételen a nagyítás körülbelül milliószoros mindkét irányban.

A NEWTON-MÓDS ZE R BONYOLULT HA TÁ RVONALA I. A négy sötét lyukban levő négy pont vonzó hatása „vonzási medencéket" alakít ki; a medencék mind más színűek, s bonyolult fraktális határvonalak választják el őket. A kép azt ábrázolja, hogyan vezet el az egyenletek megoldásának ún. Newton-féle módszere különböző pontokból elindulva a négy lehetséges megoldás valamely ikéhez (ebben az esetbe az egyenlet: x4 - 1 = 0).

FRA KTÁLFÜRTÖK. A számítógép által létrehozott véletlenszerű részecskecsoportosulásban „perkolációs hálózat" alaku l ki: ezt a vizuális modellt is a fraktálgeo metria sugalmazta. A z alkalmazásokon dolgozó fizikusok felfedezték, hogy az ilyen modelleknek sokféle valóságos folyamathoz lehet közük, például a polimerek kialaku lásához, vagy ahhoz, hogy hogyan szivárog szét a kőolaj a kő zethasadékokban. Ebben a perkolációs (szivárgási) hálózatban minden szín egy-egy teljesen összefüggő csoportot jelenít meg.

A JUPITER NA GY VÖRÖS FOLTJA (képek a következő o ldalon). A távcsöves és műholdas felvételek a Jupiter felszínét tengerszerű, turbulens folyadéknak mutatják, amelyen egy kelet-nyugati áramlás vízszintes sávjai húzódnak keresztül. A nagy vörös foltot a bolygó egyenlítője feletti nézőpontból és a déli sark feletti nézetből is láthatjuk. Philip Marcus számítógépes szimulációval készült grafikája a déli sark felőli látványt jeleníti meg. A szín azt mutatja, merre forognak a folyadék részecskéi: az óramutató járásával ellentétes forgásirányt piros szín jelöli, az óramutató járásával egyezőt pedig kék szín. A kék részek a kiindulási helyzettől függetlenül felbomlanak, a pirosak azonban egyetlen foltba egyesülnek: ez a fo lt állandó és összefüggő marad a környező zűrzavar kö zepette.

Nem azonnal, de egy évtizeddel Mandelbrot fiziológiai elmélkedéseinek közlése után, egyes elméleti biológusok a testben mindenütt fraktál szerveződésű irányító rendszereket kezdtek felismerni.1 A légcsőelágazások szokásos „exponenciális" leírása hamisnak bizonyult; kiderült, hogy a fraktálleírás felel meg az adatoknak. A vizeletet gyűjtő rendszer fraktálnak bizonyult. Az epevezeték a májban úgyszintén. A szívbeli jellegzetes rostok hálózata is, amely az elektromos áram impulzusait vezeti az összehúzódó izmokhoz. Ez utóbbi struktúra, amit a szívspecialisták His-Purkinje-hálózatnak neveznek, különösen fontos kutatási irányt inspirált. Az egészséges és a beteg szív vizsgálatából nem csekély munka árán kiderült, hogyan hangolódik össze az időben a bal és jobb kamra izomsejtjeinek működése. A káosz fogalmaiban gondolkodó kardiológusok2 megállapították, hogy a szívverések üteme - akárcsak a földrengések és a gazdasági jelenségek - fraktáltörvényeket követ. Vélekedésük szerint a szívverés ütemének megértéséhez a His-Purkinje hálózat fraktális szerveződése - az egyre kisebb méretekben is önmaga mintájára szervezett elágazó ösvények labirintusa - adja meg a kulcsot. Hogyan fejleszthetett ki ennyire bonyolult szerkezetet a természet? Mandelbrot szerint a bonyodalmak csak a hagyományos euklideszi geometriából nézve léteznek. Az elágazó struktúrák fraktálként roppant egyszerűen, néhány bitnyi információval is leírhatók. A Koch, Peano és Sierpinski által kitalált formákat felépítő egyszerű transzformációknak talán megvan a maguk hasonmása a szervezet génjeinek kódolt utasításaiban. A DNS biztosan nem határozhatja meg azt a mérhetetlen sok hörgőt, hörgőcskét és léghólyagot vagy az általuk alkotott fa-szerkezet sajátos térbeli elhelyezkedését, de meghatározhatja a bifurkáció és a fejlődés ismétlődő folyamatát. Az ilyen folyamatok alkalmasak a természet céljaira. Az E. I. DuPont de Nemours és Társai, valamint az Egyesült Államok Hadserege annak a felismerésnek a jóvoltából kezdett a mesterséges lúdtoll-pehely gyártásába, mely szerint a természetes toll roppant levegőmegkötő képessége a tollat alkotó legfontosabb fehérje, a keratin fraktálszerkezetű csomópontjaiból és elágazásaiból következik.3 Mandelbrot a tüdő- és érrendszeri fákról csakugyan áttért a valódi botanikai fákra, amelyeknek fraktálágak és fraktállevelek segítségével kell felfogniuk a napsugarakat, kell ellenállniuk a szélnek. Az elméleti biológusok pedig azon kezdtek gondolkozni, hogy a fraktálra jellemző léptékfüggetlenség nem pusztán csak gyakori, hanem egyetemes a morfogenezisben. Véleményük szerint a biológia számára a legnagyobb kihívássá vált annak kiderítése, hogyan keletkeznek és hogyan vannak kódolva az ilyen mintázatok. „Elkezdtem ilyen jelenségeket keresni a tudomány szemétládáiban, mert gyanítottam, hogy amit megfigyeltem, az nem kivétel volt, hanem alighanem nagyon is általános. Előadásokat hallgattam és kevéssé divatos folyóiratokba néztem bele, legtöbbször szinte minden eredmény nélkül, bár egyszer-egyszer azért érdekes dolgot is találtam. Ez nem éppen elméEzeknek a gondolatoknak az áttekintéstét lásd: Ary L. Go ldberger: Nonlinear Dynamics, Fractals, Cardiac Physiology, and Sudden Death, in: Temporal Disorder in Human Oscillatory Systems, eds. L. Rensing, Van der Heiden, M. Mackey (Sprin ger-Verlag, New York, 1987). A káosz biológiai szerepéről magyarul is olvashatunk a a Magyar Tudomány 1993/4-es számában a következő két cikkben: Lábos Elemér: Káoszelmélet és neurobiológia (Kitekintéssel az o rvostudomány és a biológia egyéb területeire), Juhász-Nagy Pál: Némi „káosz-elmélkedés" a szünbiológia témakörében. 2 Mechanism of Cardiac Electrical Stability: The Fractal Hypothesis. Biophysics Journal 48 (1985), p. 525. 3 Barnaby J. Feder: The Army May Have Matched the Goose. The New York Times,1986. november 30. 4:16 1

leti megközelítés volt, sokkal inkább afféle természetbúvárra valló. De megérte." Mandelbrot a természetről és a matematika történetéről egész életében felgyűlt gondolatait könyvbe foglalva, meglepően nagy tudósi sikert aratott. Elmaradhatatlan diatáraival és vékony fehér hajával tudományos előadókörutak bevált szereplőjévé lépett elő. Kezdett díjakat és más szakmai kitüntetéseket nyerni, neve ismertebbé vált a laikus közvélemény előtt, mint bármely más matematikusé. Ez részben vonzó fraktálképeiből fakadt, részben abból, hogy sokezer számítógépkedvelő a saját erejéből kezdhette el maga is felfedezni Mandelbrot világát. De azért is, mert előtérbe helyezte magát. Neve ott szerepelt egy rövid listán, amelyet I. Bernard Cohen harvardi tudománytörténész állított össze.1 Cohen hosszú időre visszamenőleg végignézte a felfedezésekről szóló feljegyzéseket: olyan tudósok után kutatott, akik „forradalomnak" mondták a maguk munkáját. Mindent összevéve, alig tizenhatot talált: Robert Symmert, Benjamin Franklin skót kortársát, akinek az elektromosságról alkotott elképzelései valóban radikálisak voltak, csak éppen rosszak. Jean-Paul Marat-t, akit már csak a francia forradalomban játszott véres szerepéről ismernek. Von Liebiget. Hamiltont. Charles Darwint persze. Virchowot. Cantort. Einsteint. Minkowskit. Von Lauét. Alfred Wegenert - a földrészvándorlás felismerőjét. Comptont. Justot. James Watsont a DNS szerkezetének felfedezőjét. És Benoit Mandelbrotot. A tiszta matematika művelőinek szemében azonban Mandelbrot kívülálló maradt, aki elkeseredett harcot folytat a tudománypolitikával. Néhány kollégája, úgy gondolván, hogy Mandelbrot rögeszmés saját történelmi szerepét illetően, még sikerének tetőpontján is ócsárolta. Azt mondták, hogy kizsarolta az elismerést. Kétségtelen, hogy ezekben az években hivatásos eretnekként küzdött tudományos eredményeinek taktikai és lényegi méltánylásáért. Ha itt vagy ott fraktálgeometriai gondolatokra támaszkodó cikk jelent meg, telefonált vagy írt a szerzőnek, felróva neki, hogy nem hivatkozott rá, illetve a könyvére. A csodálók, látva, mekkora nehézségeket kellett legyőznie munkájának elismertetése érdekében, bocsánatosnak ítélték ezeket a személyiségvonásokat. „Hogyne, egy kicsit megalomániás, személyisége elég meglepő, de amit csinál, az gyönyörű, úgyhogy a legtöbb ember elnézi neki" - mondta az egyik. Egy másik vélemény: „Annyira meggyűlt a baja matematikus kollégáival, hogy egyszerűen a fennmaradás érdekében rá kellett fanyalodnia erre az önreklámozásra. Ha nem ezt tette volna, ha nem lett volna ennyire meggyőződve felfogásának helyességéről, akkor sosem ért volna el sikereket." Az érdemek elismerése és elismertetése rögeszmévé válhat a tudományban. Mandelbrot bőven kivette a részét mindkettőből. Könyve tele van egyes szám első személyben fogalmazott mondatokkal: állítom ..., kitaláltam és kidolgoztam ..., megcsináltam ..., bebizonyítottam ..., megmutatom ..., megalkottam ... Az újonnan megnyitott vagy újonnan megalapozott területeken tett utazásaim során sokszor éltem a mérföldkövek megjelölésének jogával. A tudósok közül sokan nem fogadták el ezt a fajta stílust. Az sem lágyította meg szívüket, hogy Mandelbrot ugyanilyen bőséggel idézte - némelykor teljesen ismeretlen - elődeit is. (Ha azok, jegyezték meg ellenlábasai, már bizonyosan nincsenek az élők sorában.) Úgy gondolták, ez csupán Mandelbrot mesterkedése, hogy a középpontba állítsa magát, s mint pápa áldást osszon mindenfelé. Ezért aztán ellenálltak. Nehezen tudták elkerülni a fraktál szót, de ha nem akarták Mandelbrot nevét említeni, akkor a fraktáldimenziót a HausdorffBesicovitch-dimenzió névvel is illethették.2 Zokon vették - kivált a matematikusok - azt a 1 I. Bernard Cohen: Revolution in Science (Belknap, Cambridge, Mass., 1985), p . 46. 2 Ahogyan később Mandelbrot is elkerülte Mitchell Feigenbaum nevének említését a Feigenbaumszámokról és a Feigenbaum-univerzalitásról szólva: Feigenbaum helyett ugyanis megrögzötten P. J. Myrbergre hivatko zott, egy matematikusra, aki a kvadratikus leképezések iterá- >>>folytatás94

módot is, ahogyan ki-bejárkált a különböző tudományterületekre, állításokat és feltevéseket fogalmazott meg, majd távozott, s másokra testálta a bizonyítás igazi munkáját. Ez jogos észrevétel. Ha egy tudós közreadja, hogy valami igaz lehet, ám a bizonyítás végül másvalaki érdeme, akkor melyikük tett többet a tudomány haladásáért? Egy feltevést megfogalmazni vajon már felfedezés? Vagy nem több vakmerőségnél? A matematikusok mindig is szembekerültek ezzel a kérdéssel, de méginkább azután, hogy színre léptek a számítógépek a maguk egészen új szerepkörében. A számítógéppel kísérletezők inkább a laboratóriumi tudósokhoz kezdtek hasonlítani, s olyan szabályok szerint dolgoztak, amelyek a matematikai munkákban szokásos, kötelező tételek és bizonyítások kikerülésével vezettek felfedezésekre. Mandelbrot könyve sok témát ölelt fel és hemzsegett a matematikatörténeti apróságoktól. Mandelbrotnak volt némi alapja azt állítani, hogy mindenütt, ahová a káosz egyáltalán elvezetett, ő járt először. Mindegy is volt, hogy a hivatkozásokat az olvasók többsége nem ismerte és nem is ment velük semmire. El kellett ismerniük, hogy Mandelbrot rendkívüli intuíciót árul el az alkalmazások iránt olyan területeken - a földrengéskutatástól kezdve a fiziológiáig -, amelyeket ténylegesen sosem tanulmányozott. Ez hol titokzatos volt, hol bosszantó. Még egy csodálója is kifakadt emiatt: „Mandelbrot nem találhatta ki mindenki gondolatát még azelőtt, hogy azoknak eszükbe jutott volna." De ez alig nyom valamit a latban. A zseni ábrázatán nincs szükségképpen ott folyvást Einstein emelkedettsége. Mandelbrot úgy tartja, hogy évtizedeken át csak játékokat kellett űznie munkájával. Szinte el kellett palástolnia eredeti gondolatait, nehogy megbotránkozást keltsenek. Ha nyomtatásban akarta viszontlátni a cikkeit, vissza kellett vonnia látomásos előszavait. Amikor könyvének 1975-ben megjelent francia nyelvű első változatát írta, úgy érezte, azt kell mímelnie, hogy a könyvben nincs semmi meglepő. Ezért is írta az utolsó változatot egyenesen „kiáltványnak és dokumentumgyűjteménynek". A tudománypolitikával kellett küszködnie. „A politika nyomására engedtem a stílusból, de utóbb ezt meg is keserültem. Így írtam: »Természetes, hogy ... Érdekes megfigyelés, hogy ...«, holott egyáltalán nem volt természetes, és az érdekes megfigyelés is valójában nagyon hosszú vizsgálódás, bizonyítékkeresés és önkritika eredményeként adódott. Filozófiai állásfoglalás rejlett mögötte, de azt eltüntettem, mert úgy éreztem, másképp nem fogják elfogadni. Ebben az volt a politika, hogy ha azt írtam volna: most valami gyökeresen új módszerről fogok beszélni, az olvasó nyomban elveszíti érdeklődését. A későbbiekben aztán megértem, hogy mások is így vélekedjenek az eredményeimről: »Magától adódó észrevétel, hogy ...« Nem erre számítottam." Utólag visszatekintve Mandelbrot látta, mennyire sajnálatosan kiszámítható volt, milyen állomásokon halad át majd a különböző tudományágak tudósainak véleménye az ő szemléletmódjáról. Az első állomás mindig ugyanaz volt: Kicsoda maga és miért érdekli a mi területünk? A második: Hogyan viszonyul ez ahhoz, amit mi csináltunk, és miért nem arra alapítja a magyarázatait, amit mi ismerünk? A harmadik: Bizonyos benne, hogy ez hiteles matematika? (Hogyne, biztos vagyok benne.) Akkor miért nem ismerjük? (Mert hiába hiteles, csak kevéssé ismert.) Ebből a szempontból a matematika különbözik a fizikától és a többi alkalmazott tudománytól. A fizika valamelyik ága, ha egyszer elavulttá vagy terméketlenné válik, akkor valószínűleg örökre elsüllyed. Legfeljebb afféle történeti különlegességként marad fenn, talán adhat némi ötletet egy mai fizikusnak, de rendszerint nem véletlen, hogy kihal. A matematikában viszont temérdek a csatorna és a mellékút, amelyek egy adott korban látszólag >>>folytatás93 cióit tanulmányozta az 1960-as évek elején, meglehetős ismeretlenségben.

sehová sem vezetnek, egy másikban meg a kutatás fő területeivé válnak. Egy elvont gondolat valamikor lehetséges alkalmazását sosem lehet előrelátni. Ezért van az, hogy a matematikusok esztétikai szempontból értékelik munkáikat: éppúgy az eleganciára és szépségre törekszenek, mint a művészek. Ebből fakad az is, hogy Mandelbrot a maga régiségbúvár hajlandóságát követve annyi jó matematikára bukkanhatott, amelyek mind csak leporolásra vártak. Ezért azután ez volt a negyedik állomás a tudósok reagálásában: Hogyan vélekednek a matematika ezen ágait művelő kutatók a munkájáról? (Nem törődnek vele, mert semmit sem ad a matematikához. Igazából meg vannak lepődve, hogy gondolataik a természetet ábrázolják.) A fraktál szó végül is a szabálytalan, csipkézett és töredezett alakzatok leírásának, számításának és a róluk való gondolkodásnak a megjelölésévé vált - s ezek az alakzatok a hópelyhek kristályrajzolataitól a galaxisok nem folytonos „poráig" terjedtek. A fraktálgörbe valamilyen szervező elv kifejeződése, amely elrejtőzik ezeknek az alakzatoknak a rettenetes bonyolultsága mögött. Az egyetemi hallgatók megértik a fraktálokat és játszani is tudnak velük; ezek ugyanolyan elemi alakzatok, mint Eukleidészéi. A személyi számítógépek rajongói egyszerű számítógépprogramokat készítettek fraktálképek rajzolására. Mandelbrot az alkalmazott tudományok művelői között, főleg az olajjal, ásványokkal vagy fémekkel dolgozó tudósok, és különösen a vállalati kutatóközpontok kutatói körében talált a leglelkesebb fogadtatásra. Az 1980-as évek közepére például az Exxon óriási kutatási lehetőségeinek jóvoltából rengeteg tudós dolgozott fraktál problémákon. A General Electricnél a fraktálok szervező elvvé léptek elő a polimerek és a nukleáris reaktorok biztonságának kutatásában - bár ez utóbbit nem verték nagydobra. Hollywoodban találtak a fraktálok legfurcsább alkalmazásukra, a látszólag valóságos földi és földön kívüli tájképek előállításában és számos filmtrükkben. Az 1970-es évek elején a Robert May, James Yorke és társaik által felfedezett mintázatok - jóllehet roppant bonyolult határt alkottak a rendezett és kaotikus viselkedés között váratlan szabályosságról tettek tanúbizonyságot, s ezt a szabályosságot csak a nagy mérettartományoknak a kicsikhez való viszonyával lehetett leírni. A szerkezet, amely kulcsot adott a nemlineáris dinamikához, fraktálnak bizonyult. A legközvetlenebb gyakorlat szintjén megint csak a fraktálgeometria szolgált eszköztárral a fizikusok, vegyészek, a földrengéseket, a fémeket vagy a valószínűségelméletet kutatók és a fiziológusok munkájához. Ezeknek a tudósoknak meggyőződésükké vált - sőt igyekeztek róla másokat is meggyőzni -, hogy Mandelbrot új geometriája a természet sajátja. Ők azután tagadhatatlanul hatással voltak a hagyományos matematikára és fizikára is, de maga Mandelbrot sosem nyerte el ezeknek a közösségeknek a teljes elismerését. Mindazonáltal méltányolniuk kellett a teljesítményét. Egy matematikus mesélte barátainak, hogy éjszaka remegve ébredt fel rémálmából. Azt álmodta, hogy halott, ám hirtelen egy hangot hall, s nyomban tudja, hogy az Isten hangját. „Tudod - mondja a hang - tényleg van valami ebben a Mandelbrotban."

Az önhasonlóság fogalma ősi húrokat pendít meg kultúránk világában. A nyugati bölcselet egy régi vonulata kedvelte ezt a gondolatot. Leibniz képzelete szerint egy csepp vízben egész világegyetem rejlik, s annak vízcseppjeiben újabb világegyetemek. „Meglátni a világot egy homokszemben" - írta Blake, és a tudósok gyakran hajlamosak voltak meglátni. Amikor a spermiumokat felfedezték, először homunculusnak: piciny, de teljesen kialakult embernek gondolták őket.

Tudományos elvként azonban feledésbe merült az önhasonlóság, éspedig jó okkal: mert nem felelt meg a tényeknek. A spermiumok ugyanis nem lekicsinyített emberek - sokkal érdekesebbek annál -, és az egyedfejlődés folyamata is sokkal érdekesebb, mint a puszta növekedés. Az önhasonlóság első megfogalmazásában a még csak korlátozott mérettartományra kiterjedő emberi tapasztalatokat tükrözte. Hogyan is lehetne elképzelni a nagyon nagyot és a nagyon kicsit, a nagyon gyorsat és a nagyon lassút, ha nem az addig megismert kiterjesztésével? A mítosz nagy nehezen kihalt, ahogy a távcső és a mikroszkóp kitágította az emberi látás határait. Az első felfedezések annak a felismerései voltak, hogy minden méretváltozással új jelenségek és újfajta viselkedésmódok járnak együtt. A modern részecskefizikusok számára ez a folyamat sosem ért véget. Az újabb és újabb gyorsítók a maguk még nagyobb energiájával és sebességével tovább terjesztik a tudomány látóterét a kisebb részecskék és rövidebb időtartományok felé, és minden ilyen kiterjesztés új ismeretekkel látszik szolgálni. Ha az új mérettartományokról úgy véljük, hogy ugyanolyanok, mint az addigiak, akkor legalábbis első látásra - kevesebb információhoz juthatunk. Ennek részben az az oka, hogy a tudományban megfogalmazódott egy ilyesfajta törekvés: a redukcionizmus irányába. A tudósok darabokra szedik a dolgokat és a különálló darabokat vizsgálják. Ha tanulmányozni akarják az elemi részecskék kölcsönhatását, akkor összeraknak kettőt vagy hármat belőlük. S az már éppen eléggé bonyolult. Az önhasonlóság hatóereje azonban a bonyolultságnak sokkal magasabb fokán kezdődik. Az az egész látásának kérdése. Bár Mandelbrot megadta a skálázás legátfogóbb geometriai feldolgozását, ez a gondolat az 1960-70-es években tért vissza a tudományba, mint egyszerre sokfelé ható szellemi áramlat. Az önhasonlóság rejtve jelen volt Edward Lorenz munkájában. Része volt az egyenletrendszeréből adódó leképezések finomszerkezetéről - a még csak megérzett, de az 1963-ban volt számítógépeken még nem látható finomszerkezetről - alkotott intuitív felfogásának. A skálázás részévé vált egy fizikai irányzatnak is, amely Mandelbrot munkájánál közvetlenebbül vezetett a káosz néven ismert tudományághoz. Még egészen más területeken is kezdtek a tudósok olyan elméleteken gondolkodni, amelyek a léptéktartományok hierarchiáján alapulnak. Ilyen volt például a fejlődésbiológia; ahol megértették, hogy egyetlen átfogó elméletnek kell felismernie a fejlődés mintázatait a génekben, az egyedek szervezetében, a fajokban és a fajok alkotta osztályokban. A skálázási jelenség felismeréséhez az emberi látásmódnak - ha ez netán paradoxul hat is - pontosan abban az irányban kell továbblépnie, mint korábban, az önhasonlóság naiv felfogásának elvetésekor. A huszadik század végére a felfoghatatlanul kicsiny és az elképzelhetetlenül nagy képei korábban elgondolhatatlan módon mindenki tapasztalatának részévé váltak. Az emberi kultúrában helyet kaptak a galaxisokról és az atomokról készült fényképfelvételek. Senkinek sem kellett már - Leibnizet követve - elképzelnie, milyen lehet a világegyetem a mikroszkopikus vagy a távcsővel látható mérettartományban: a mikroszkópok és távcsövek ezeket a képeket bevezették a mindennapi tapasztalatba. Minthogy a gondolkodás mindig mohón keresi az analógiákat a tapasztalatokban, törvényszerűek voltak a nagy és kicsi közötti újfajta összehasonlítások; s némelyik nagyon is termékenynek bizonyult. A fraktálgeometriához közel álló tudósok gyakran vontak érzelmi párhuzamot új matematikai esztétikájuk és a huszadik század második felében a művészetekben történt változások között. Úgy érezték, valami belső rajongás elvonta őket a tágabb kultúrától. Mandelbrot számára az eukleidészi felfogást a matematikán kívül leginkább a Bauhaus építészete foglalta össze. Ugyanezt a stílust képviselték a festészetben Josef Albers színes négyzetei:

takarékosak, szabályosak, vonalasak, redukcionisták, geometrikusak. Geometrikus - a szó itt azt jelenti, amit már évezredek óta: a geometrikusnak nevezett épületek egyszerű formákból állnak, már kevés számmal is leírható egyenes vonalakból és körökből. A geometrikus építészetnek és festészetnek egyszer csak letűnt a csillaga: az építészek nem igyekeztek többé olyan kocka-felhőkarcolókat építeni, mint a Seagram Building New Yorkban, hiába ünnepelték és másolták oly sokszor korábban. Mandelbrot és követői számára ez nagyon is érthető: az egyszerű formák embertelenek. Nem azt mutatják, hogyan szerveződik a természet vagy hogyan látja a világot az emberi érzékelés. Ahogyan Gert Eilenberger német fizikus mondta, aki a szupravezetésre szakosodva kezdett nemlineáris tudománnyal foglalkozni: „Miért van az, hogy a téli vihar által meghajlított kopasz fa körvonalai oly gyönyörűnek tetszenek az esti égbolton, a többfunkciójú egyetemi épületek körvonalai viszont - akárhogy kitett magáért az építész - egyáltalán nem? Nekem úgy tűnik, erre választ - meglehet, spekulatív választ - adhat a dinamikai rendszerek újfajta felfogása. A rend és rendezetlenség harmonikus egyensúlya kelti bennünk a szépségérzetet, ahogy ez a természeti tárgyakban - felhőkben, fákban, hegységekben vagy hókristályokban - megtestesül. Ezeknek az alakja fizikai formákba dermedt dinamikai folyamat, amelyben sajátos módon elegyedik a rend és a rendetlenség."1 A geometriai alakzatnak van egy skálája, mérettartománya: azaz jellegzetes mérete. Mandelbrot szemében az a művészet, amiben nincsen jellegzetes méret, hanem minden mérettartományban tartalmaz fontos elemeket. A Seagram Buildinggel szemben ő a párizsi Beaux-Arts építészetét ajánlja, szobraival és vízköpőivel, szegletköveivel és ablakdúcaival, csigadíszes pajzsaival, fogazott párkányaival. Egy Beaux-Arts alkotásnak - mondjuk a párizsi Operának - nincs jellemző mérettartománya, mert minden méret megjelenik rajta. A megfigyelő akármilyen távolságból nézi az épületet, mindig talál rajta valami szemet vonzó részletet. Ha közeledünk feléje, minduntalan változik a kompozíciója, és egyre újabb szerkezeti elemei válnak hangsúlyossá. Más méltányolni valamely építmény harmonikus szerkezetét, s megint más csodálni a természet vadságát. Ami az esztétikai értékeket illeti, a fraktálgeometria új matematikája összehangolta a szigorú tudományt a vad, zabolátlan természet iránti, sajátosan mai vonzalommal. Valamikor az őserdők, sivatagok, bozótosok és terméketlen területek a társadalom hódító szándékait hívták ki. Ha az emberek növényeken akarták legeltetni a szemüket, a kertet nézték. Ahogyan John Fowles írta a tizennyolcadik századi Angliáról: „E kornak nem tetszett a szabályozatlan és ősi természet. Az az agresszív vadság csúf világa volt, mely minduntalan emlékeztetett a bűnbeesésre, az Édenből való örökös száműzetésre.... Még a kor természettudománya számára is ... lényegében ellenséges volt a vad természet, csak olyasvalamit látott benne, amit megfékezni, osztályozni, hasznosítani, kitermelni kell."2 A huszadik század végére a kultúra megváltozott, és most vele változott a tudomány is. Így a tudomány végül megtanulta felhasználni a Cantor-halmaz és a Koch-görbe rejtélyes és szeszélyes unokatestvéreit. Ezek az alakzatok előbb - a századfordulón - tárgyi bizonyítékul szolgáltak a matematika és a fizikai tudományok válóperében, annak az együttélésnek a felbontásában, amely Newton óta meghatározó jelentőségű volt a tudományban. E matematikusok - mint Cantor és Koch - élvezték a maguk eredetiségét: azt gondolták, túljártak a természet eszén, holott voltaképp még nem érték utol a természet alkotásait. A fizika tekintélyes főáramlata is elfordult a mindennapi tapasztalat világától. Csak később, miután Steve Smale visszavitte a matematikusokat a dinamikai rendszerekhez, mondhatta 1 Freedom, Science, and Aesthetics. in: Schönheit im Chaos, p. 35. 2 John Fowles: A Maggot (Little, Brown, Boston, 1985), p. 11.

azt egy fizikus: „Meg kell köszönnünk a csillagászoknak és a matematikusoknak, hogy ezt a tudományterületet sokkal jobb állapotban adták át nekünk, mint amilyenben mi 70 éve rájuk hagytuk."1 Ámde működhetett Smale és Mandelbrot, végül mégis fizikusok hozták létre a káosz új tudományát. Mandelbrot megadta hozzá a nélkülözhetetlen nyelvet és egy katalógusnyi meglepő képet a természetből. Ahogyan Mandelbrot maga elismerte, az ő programja inkább leírt, mintsem magyarázott. Ő felsorolta a természet elemeit - a tengerpartokat, a folyóhálózatokat, a fakérget, a galaxisokat - és fraktáldimenziójukat, s a tudósok felhasználhatták ezeket a számokat előrejelzéseikhez. A fizikusok azonban többet akartak tudni.2 Voltak formák a természetben - nem látható formák, hanem a mozgás szerkezetében elrejtett alakzatok -, amelyek még felfedezésre vártak.

1 Robert H. G. Helleman: Self-Generated Behavior in Nonlinear Mechanics. Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5, ed. E. G. D. Cohen (North-Holland, Amsterdam, 1980), p. 165. 2 Leo Kadanoff például azt a kérdést tette fel a Physics Today 1986. februári számának 6. oldalán, hogy „Hol van a fraktálok fizikája?", majd a folyóirat áprilisi számának 17. oldalán választ is adott rá egy új „multifraktálos" megközelítéssel. Mandelbrot a szeptemberi szám 11. oldalán közölte megszokott fullánkos észrevételét; egyebek között ezt írta Kadanoff elméletéről: „apai büszkeséggel tölt el - lehet, hogy nemsokára nagypapa leszek?"

Különös attraktorok

Forog, pörög a nagyobbja, A kisebbel sebesen, Azzal meg a még apróbbja, S önemésztve - pép leszen.

LEWIS F. RICHARDSON Weather Prediction (Cambridge University Press)

A turbulencia problémája gazdag múltra tekinthetett vissza. A nagy fizikusok - hivatalosan vagy sem - mind gondolkodtak rajta.1 A nyugodt, sima áramlás egyszerre forgókra és örvényekre bomlik. Vad mintázatok szabdalják a határt szilárd test és folyadékok között. Kis mozgások gyorsan energiát szívnak el a nagy mozgásoktól. Miért? A legjobb ötletek a matematikusoktól származtak; a legtöbb fizikus szemében túl kockázatosnak tűnt turbulenciával foglalkozni - félő, hogy csak hiába elvesztegetett idő. Egy történet szerint a kvantumfizikus Werner Heisenberg a halálos ágyán azt mondta, két kérdést akar feltenni Istennek: hogy miért van relativitás, és miért van turbulencia, majd hozzátette: „Valójában azt gondolom, az elsőre talán tudja a választ".2 Az elméleti fizika távol tartotta magát a turbulencia jelenségétől. A tudomány igazából húzott egy vonalat, és azt mondta, ezen a vonalon nem tudunk túllépni. Akadt bőven tennivaló a vonal innenső oldalán is, ahol a folyadékok még szabályosan viselkednek. Szerencsére egy simán áramló folyadék nem úgy tesz, mintha szinte számtalan független - a többitől függetlenül mozgó - molekulája lenne: az egymás közeléből induló folyadékrészecskék ugyanis együtt maradnak, mint a kocsi elé fogott lovak. A mérnököknek vannak használható módszereik az áramlás kiszámítására, ha feltehető, hogy a mozgás elég nyugodt marad. Ezek a módszerek a XIX. századból származnak, abból a korból, amelyben a fizikában élenjáró kutatási feladatnak számított a folyadékok és gázok mozgásának megértése. A modern korban azonban kikerült a kutatás frontvonalából. A komoly elméleti szakemberek már nem egyszerűen rejtélyesnek, hanem még a mennybéliek számára is megközelíthetetlennek látták. Ami a kérdés gyakorlati oldalát illeti, az kellően ismert volt ahhoz, hogy rá lehessen hagyni a műszakiakra. A folyadékmozgás már nem igazán a fizika része, tartották a fizikusok, hanem tisztán műszaki kérdés. A tehetséges fiatal fizikusoknak jobb dolguk is akadt. A hidrodinamikusok általában az egyetemek műszaki tanszékein dolgoztak. A turbulencia mindig érdekes volt a gyakorlat szempontjából, de rendszerint abból a meggondolásból, hogy hogyan lehetne tőle megszabadulni. Egyes alkalmazásokban azért persze kívánatos - például egy sugárhajtású motor belsejében, ahol a hatékony égés a gyors keveredéstől függ -, de a legtöbb esetben csak bajt okoz. A repülőgép szárnya körüli turbulens légáramlás akadályozza az emelkedést; az olajvezetékben a turbulens áramlás Sok áttekintés született a turbulencia különös attraktor megkö zelítésének történeti összefüggéseiről. Jó bevezetés például: John Miles: Strange Attractors in Fluid Dynamics, Advances in Applied Mechanics 24 (1984), pp. 189-214. Ruelle leg könnyebben hozzáférhető áttekintő cikke: Strange Attractors, Mathematical Intelligencer 2 (1980), pp. 126-37; mo zgósító hatású javaslata: David Ruelle és Floris Takens: On the Nature of Turbulence, Communications in Mathematical Physics 20 (1971), pp. 167-92; további lényeges írásai: Turbulent Dynamical Systems, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 16-24 August 1983, Warsaw, pp. 271-86; Five Tu rbulent Problems, Physica 7D (1983), pp. 40-44; és The Loren z Attractor and the Problem of Turbulence. Lecture Notes in Mathematics No. 565 (Springer-Verlag, Berlin, 1976), pp. 146-58. 2 Ennek a történetnek számos változata járja. Orszag például négy másik kutatóról tud: Neumannról, Lambrő l, So mmerfeldről és Kármánról, majd hozzáteszi: „Úgy gondolom, ha Isten csakugyan választ ad ennek a négy embernek, mind a négy esetben mást fog mondani." 1

igen nagy ellenállást kelt. A kormányok és vállalatok roppant pénzeket költenek repülőgépek, turbinahajtóművek, propellerek, tengeralattjáró-törzsek és más olyan formák tervezésére, amelyek folyadékokban mozognak. A kutatókat erősen foglalkoztatja a véredényekben és a szívbillentyűk körül zajló áramlás. Tisztázatlan a robbanások alakja és időbeli fejlődése. Rengeteg a nyugtalanító kérdés az örvényekkel, a lángokkal és a lökéshullámokkal kapcsolatban. A II. világháború atombomba-programja elvileg magfizikai probléma volt; a gyakorlatban viszont a magfizikai problémák nagyobbik részét már korábban megoldották, és a Los Alamosban összegyűlt tudósokra hidrodinamikai feladatok vártak. Mi hát a turbulencia? Rendezetlenség minden mérettartományban, kis örvények nagy örvényekben. Instabilitás. Nagyfokú disszipativitás: azaz a turbulencia elviszi az energiát, ellenállást kelt. Véletlenszerűségbe fordulás. De hogyan lesz a sima áramlásból turbulens? Tegyük fel, hogy tökéletesen sima a csövünk, tökéletesen egyenletes teljesítményű a vízforrás, és mindez tökéletesen védve mindenfajta rezgéstől; hogyan támadhat egy ilyen áramlásban véletlenszerűség? Mintha csődöt mondana minden szabály. Amikor az áramlás sima vagy lamináris,1 a kisebb zavarok elhalnak, ám ha felüti fejét a turbulencia, akkor katasztrofálisan megnőnek a zavarok. Ez a kezdet - az átmenet - válságot keltő rejtéllyé vált a tudományban. A patakban a szikla mögött az áramlás forgó örvénnyé válik, amely nő, leszakad és elpörög a folyás irányába. A cigarettafüst simán felszáll a hamutartóból, s addig gyorsul, mígnem egy bizonyos sebességet túllépve vad örvényekre bomlik. A turbulencia megjelenése laboratóriumi kísérletekben megfigyelhető és mérhető is: a szélcsatornában előidézhető bármely új szárny vagy propeller környezetében, mégis nehéz megragadni a természetét. Az így nyert tudás szinte óhatatlanul eseti, nem általános jellegű, a Boeing 707-es repülőgép szárnyaival végzett próba-szerencse kutatások egy cseppet sem könnyítik meg az F-16-os vadászgép szárnyaival végzendő próba-szerencse kísérleteket. A szabálytalan folyadékmozgás még a szuperszámítógépeknek is csaknem reménytelen feladat. Mondjuk rázkódás, zavar ér egy folyadékot. A folyadék viszkózus - tapadós -, az energia tehát elemésztődik benne, és ha megállítjuk a rázást, a folyadék persze nyugalomba kerül. A rázással kis frekvencián - másképpen szólva: nagy hullámhosszon - közlünk vele energiát; legelőször is azt kell észrevennünk, hogy a nagy hullámhosszak kicsikre bomlanak. Örvények jönnek létre, és bennük kisebb örvények, s mind csak fogyasztja a folyadék energiáját, s mindegyik jellemző ütemben. Az 1930-as években A. N. Kolmogorov kidolgozott egy matematikai leírást, amely valamiféle képet adott ezeknek az örvényeknek a működéséről. Energiatartományok sorozatát képzelte el, egyre kisebb és kisebb mérettartományokon át, mígnem végül az örvények olyan picinyekké válnak, hogy a viszkozitás viszonylag nagyobb hatása válik meghatározóvá. A tisztább leírás kedvéért Kolmogorov úgy képzelte, hogy ezek az örvények kitöltik az egész folyadékteret, s mindenütt egyformává teszik a folyadékot. Ez a feltevés2 - nevezetesen az, hogy a folyadék homogén lenne - nem bizonyult helyesnek, ahogyan azt már Poincaré is tudta negyven évvel korábban, látván egy folyó egyenetlen felszínén, hogy az örvények közelében mindig vannak sima áramlási tartományok is. Az örvényesség lokalizált. Az energia ténylegesen csak a tér egy részében disszipálódik. Ha egyre közelebbről és közelebbről vizsgálunk egy turbulens örvényt, minden mérettartományban újabb és újabb nyugalmas területek tűnnek fel. Így a homogenitás feltételezése utat nyitott az intermittenA turbulens áramlástól való megkülönböztetésül a fizikusok a szabályos - előre megadható áramlási képű (lényegében különböző sebességű rétegekből álló) - áramlást laminárisnak nevezik - a fordító. 2 Turbulent Dynamical Systems... p. 281. 1

cia1 feltevéshez. Az intermittencia képe, ha valamennyire idealizáljuk, nagyon fraktálszerű, egymást váltják az egyenetlen és a sima tartományok a nagytól a kicsiig érő mérettartományokban. De erről a képről is kiderült, hogy nem felel meg teljes egészében a valóságnak. Ezzel szorosan összefüggő, mindazonáltal más kérdés volt, hogy mi történik a turbulencia fellépésekor. Hogyan lépi át a folyadék a határt a sima és a turbulens között? Milyen köztes állapotok létezhetnek, még mielőtt a turbulencia teljesen kifejlődne? Ezekre a kérdésekre már egy kicsit erősebb elmélet létezett. Ez az ortodox paradigma a nagy orosz tudóstól, Lev. D. Landautól származik, akinek tankönyve2 mindmáig alapmű a hidrodinamikában. A Landau-féle kép versengő ütemes mozgásokból épül fel. Landau feltette, hogyha több energia jön a rendszerbe, akkor egyre újabb frekvenciák jelennek meg, s mindegyik összeegyeztethetetlen az őt megelőzővel, ahogyan a hegedűhúr is egy második, disszonáns hangrezgéssel válaszol a keményebb vonóhúzásra, majd egy harmadikkal, egy negyedikkel, mígnem a hang felfoghatatlan kakofóniába fullad. Minden folyadék és gáz kis egyedi részecskék összessége, olyan soké, hogy azok számát akár végtelennek is tekinthetjük. Ha minden ilyen összetevő a többitől függetlenül mozogna, akkor a folyadéknak végtelenül sok lehetősége lenne, ahogyan a fizikusok mondják: végtelen sok „szabadsági foka", és a mozgást leíró egyenleteknek végtelen sok változót kellene magukba foglalniuk. Csakhogy az egyes részecskék mozgása korántsem független - erősen függ ugyanis a szomszédos részecskék mozgásától - és egy sima áramlásban viszonylag kicsi a szabadsági fokok száma. A potenciálisan bonyolult mozgások nem válnak külön, hanem összekapcsolódnak egymással. A közeli alkotórészek egymás közelében maradnak vagy simán, egyenletesen sodródnak el egymástól, s ez a mozgás egyértelmű vonalakat rajzol ki a szélcsatornában felvett áramlási képeken. A cigarettából felkígyózó füstoszlopban a részecskék egy ideig együtt emelkednek. Azután megjelenik a zűrzavar, a rejtélyes vad mozgások tömkelege. Landau szerint ezek az instabil új mozgások egyszerűen egymásra torlódtak; a ritmusuk egymást fedi. Fogalmi tekintetben a turbulenciának ez az ortodox elgondolása megfelelni látszott a tényeknek, és ha az elmélet matematikailag hasznavehetetlen - aminthogy az - hát legyen hasznavehetetlen. Landau paradigmája példát ad arra, hogyan lehet a méltóságot megőrizve feladni a küzdelmet. A víz halkan surrogva átfolyik egy csövön vagy körülfolyik egy hengert. Gondolatban növeljük meg a nyomást. Megindul valami fel- s aláhullámzás, és lassan nekiütközik a csőnek. S most megint fordítsuk el a csapot. Valahonnan támad egy második frekvencia, s az nem tart lépést az előzővel. A ritmusok átfedik egymást, versenyeznek és egymás ellen fordulnak. Már olyan bonyolult mozgást keltenek - a hullámok nekiütköznek a falnak, interferálnak -, hogy alig tudjuk követni. Most megint fordítsuk el a csapot. Erre egy harmadik frekvencia is feltűnik, azután egy negyedik, egy ötödik, egy hatodik, s mind összemérhetetlenek. Az áramlás rendkívül bonyolulttá vált. Talán ez a turbulencia. A fizikusok elfogadták ezt a képet, de fogalmuk sem volt róla, hogyan jósolható meg, mikor ölt testet a növekvő energia egy újabb frekvenciában, és vajon mi lesz ez az új frekvencia. Senki sem figyelte meg kísérletileg ezeket a rejtélyesen érkező frekvenciákat, mert voltaképpen soha senki sem ellenőrizte Landau elméletét a turbulencia felbukkanásáról.

1 A szabályos és kaotikus viselkedés térbeli vagy időbeli váltako zása. Szerepé a káosz kifejlődésében magyarul ld. Gálfi László cikkét A káosz c. könyvben – a fordító. 2 L. D. Landau és E. M . Lifsic: Hidrodinamika (Tankönyvkiadó, 1980).

Az elméleti tudósok agyukban folytatják le a kísérleteket. A kísérletezőknek a kezüket is használniuk kell. Az elméleti kutatók gondolkodók, a kísérletiek mesteremberek. Az elméleti embernek nincs szüksége bűntársakra. A kísérletezőknek diplomamunkásokat kell verbuválniuk, technikusokat kell meggyőzniük, laboratóriumi asszisztenseknek kell hízelegniük. Az elméleti szakember egy zajtól, rezgéstől és piszoktól mentes régi épületben dolgozik. A kísérletező bensőséges viszonyba jut az anyaggal, szobrász módjára, aki megküzd vele, megformálja és megdolgozza. Az elméleti szakember olyannak képzeli a párját, mint egy naiv Romeo az ő eszményi Júliáját. A kísérletező szeretői izzadnak, panaszkodnak és szellentenek. Bár az elméleti és a kísérleti kutatóknak szükségük van egymásra, mégis hagyták, hogy bizonyos egyenlőtlenség támadjon közöttük, miután elmúltak azok a régi idők, amikor még minden tudós elméleti és kísérleti kutató is volt egy személyben. A legjobb kísérletezőkben még ma is van valami az elméleti tudósból, az elméletiekben azonban már vajmi kevés a kísérletiekből. A tekintély végül is az elméletiek oldalán halmozódott fel. Az elméletieknek jut ki a dicsőségből - különösen a nagyenergiájú fizikában -, a kísérletiek pedig erősen szakosodott technikusokká változtak át, és drága, bonyolult berendezéseket üzemeltetnek. A II. világháború utáni évtizedekben, ahogyan a fizikában egyre inkább eluralkodott az elemi részecskék tanulmányozása, a legjobb publikált kísérleteket a részecskegyorsítókkal végezték. Spin, szimmetria, szín, íz - ezek voltak az elbűvölő absztrakciók. A tudomány iránt érdeklődő kívülállók többségének és jó néhány tudósnak a szemében is egymagában az atomi részecskék tanulmányozása volt a fizika. Csakhogy a kis részecskéket mind nagyobb energiabefektetés árán lehetett egyre rövidebb időtartományokban tanulmányozni, így a jó kísérletekhez szükséges gépezetek is egyre hatalmasabbra nőttek az évek során, és emiatt a részecskefizikában egyszer s mindenkorra megváltozott a kísérletezés természete. Rengetegen működtek a kísérleti kutatásban, és a nagy kísérletek a csoportoknak kedveztek: a Physical Review Letters sűrűn megjelenő részecskefizikai cikkeiben rendszerint egy negyed oldalt tett ki a szerzők listája. Akadtak azonban kísérletezők, akik jobban szerettek egymagukban vagy legfeljebb másodmagukkal dolgozni. Ők kézközelibb anyagokkal dolgoztak. Azonközben, hogy egyes területek, például a hidrodinamika, hátrább szorultak, a szilárdtest-fizika új állásokat foglalt el, s végül akkorára terjesztette ki felségterületét, hogy átfogóbb nevet érdemelt ki: a „kondenzált anyagok fizikája" vált belőle, vagy egyszerűbben: anyagfizika. A kondenzált anyagok fizikájában minden egyszerűbb volt: nem tátongott olyan széles szakadék az elméleti és a kísérleti kutatók között; az elméleti szakemberek kicsit kevésbé voltak sznobok, a kísérletiek kicsit kevésbé védekezők. Itt másként mentek a dolgok: egyáltalán nem volt szokatlan jelenség, hogy egy elméleti kutató félbeszakítsa egy kísérleti szakember előadását, s azt kérdezze, hogy több mérési pont nem lenne-e meggyőzőbb, vagy nem kusza-e egy kissé az a grafikon, vagy nem lehetne-e azokat a számokat néhány nagyságrenddel kiterjeszteni fölfelé és lefelé? És fordítva, az sem keltett meglepetést, hogy Harry Swinney teljes - vagy 165 centiméteres - testhosszában kihúzta magát és a veleszületett louisianai bájt a felvett New York-i türelmetlenséggel keverve kijelentette: „Ez igaz, ha végtelen sok zajmentes adatunk van." Majd hátat fordított a táblának és így folytatta: „A valóságban persze csak véges sok, ámde zajos adatunk van." Swinney anyaggal kísérletezett. Neki az volt a fordulópont, hogy diplomamunkás lett a Johns Hopkins Egyetemen. A részecskefizikában ez időre szinte tapinthatóvá vált az izgalom. Murray Gell-Mann jött el lelkesítő előadást tartani és meghódította Swinneyt. De amikor közelebbről is látta, mit csinálnak a diplomamunkások, rájött, hogy vagy számíttó-

gépes programokat írnak, vagy szikrakamrákat forrasztanak. Ekkor történt, hogy többször is elbeszélgetett egy idősebb fizikussal, aki a fázisátalakulásokkal - a szilárdból a folyékony halmazállapotba, a nem mágneses állapotból a mágnesesbe, a vezetőből a szupravezetőbe való átmenetek problémájával - kezdett dolgozni. Swinneynek nemsokára lett egy üres szobája; csak egy apró fülke, de egyedül az övé. Volt egy műszerkatalógusa is, és elkezdett műszereket rendelni belőle. Azután hamarosan kapott egy asztalt és egy lézert, hűtőberendezést hozzá és néhány műszert. Megtervezett egy berendezést a szén-dioxid hővezetésének mérésére a kritikus pont környékén, ott ahol gőzből folyadékká válik. A legtöbben úgy gondolták, hogy a hővezető-képesség csak kicsit fog változni. Swinney ezzel szemben azt kapta, hogy a változás 1000szeres nagyságrendű. Ez igazán izgalmas volt: egy apró szobában, egyedül felfedezni valamit, amit addig senki sem tudott. Látta az opáléra emlékeztető, szinte nem is evilági fényt, amely a gőzben - bármely gőzben - felragyog a kritikus pont környékén. A fázisátalakulások - sok tekintetben a káoszhoz hasonlóan - olyan makroszkopikus jellegzetességeket mutatnak, amelyek bajosan jósolhatók meg a mikroszkopikus részletekből. Ha egy szilárd testet melegítünk, az energia a test molekuláinak rezgési energiáját növeli. A molekulák szembeszegülnek a kötéseikkel és tágulásra késztetik az anyagot. Minél nagyobb a hő, annál jelentősebb a tágulás, mígnem a változás egy bizonyos hőmérsékleten és nyomáson hirtelenné, ugrásszerűvé válik. Mintha egy kötelet nyújtanánk, s az egyszer csak elszakadna. Az anyag kristályszerkezete felbomlik, a molekulák eltávolodnak egymástól, s ettől fogva a folyadékokra érvényes törvényeknek engedelmeskednek, amelyeket nem lehet kikövetkeztetni a szilárd test semmilyen tulajdonságából. Az átlagos atomi energia alig változott, de az anyag - jelen állapotában már folyadék vagy mágnes vagy szupravezető mégis átlépett egy új birodalomba. Günter Ahlers az AT&T New Jersey-i Bell Kutatóintézetében a folyékony hélium úgynevezett szuperfolyékony átmenetét vizsgálta, amelynek során, a hőmérséklet csökkenése közben, az anyag egyfajta bűvös - érzékelhető viszkozitás és súrlódás nélküli - folyadékká válik. Mások a szupravezetést tanulmányozták; Swinney azt a kritikus pontot vizsgálta, ahol az anyag folyadékból gőzzé válik és viszont. Az 1970-es évek közepére Swinney, Ahlers, Pierre Berge, Jerry Gollub, Marzio Giglio és más kísérletezők az Egyesült Államokban, Franciaországban és Olaszországban - a fázisátalakulások kutatásának még új keletű hagyományaiból táplálkozva - új problémákat kerestek. Olyan közelről ismerték az anyagok sarkalatos állapotváltozásainak sajátos útjelzőit, mint a postás az átjárókat és a sikátorokat a maga körzetében. Kitapogatták a határokat, amelyeken belül az anyag még egyensúlyban marad. A fázisátalakulások kutatása az analógiák lépcsőfokain jutott egyre feljebb: a nemmágnes-mágnes fázisátmenet hasonlónak bizonyult a folyadék-gőz fázisátalakuláshoz; s a folyadék-szuperfolyadék fázisátmenet hasonlónak bizonyult a vezető-szupravezető fázisátalakuláshoz. Az egyik kísérletben bevált matematikai eszközök sok más kísérletben is alkalmazhatók voltak. Az 1970-es években a probléma már jórészt megoldódott, mindazonáltal továbbra is kérdéses volt, hogy mennyire lehet kiterjeszteni az elméletet. Milyen más változások bizonyulnak majd a behatóbb vizsgálatok során fázisátmenetnek? A fázisátalakulásokra használt módszereket a folyadékáramlásra alkalmazni nem volt a lehető legeredetibb ötlet, ámde éppenséggel a legkézenfekvőbb sem. Csakugyan nem volt igazán eredeti, mert már a hidrodinamika nagy úttörői, Reynolds, Rayleigh, valamint huszadik század eleji követőik is észrevették, hogy gondosan kézben tartott folyadékkísérletekben egyfajta változás - matematikai kifejezéssel: bifurkáció - figyelhető meg a mozgás minőségében. Egy folyadékcellában például az alulról melegített s egy ideig mozdulatlan

folyadék hirtelen mozgásnak indul. A fizikusok hajlottak arra a feltevésre, hogy ez a bifurkáció fizikai szempontból hasonlít az anyag fázisátalakulásként számon tartott változásaira. Ez nem mondható a legnyilvánvalóbb fajta kísérletnek, mivel a valóságos fázisátmenetektől eltérően ezek a folyadékbifurkációk nem okoztak változást magában az anyagban. Magukkal hoztak viszont egy új elemet: a mozgást. Miért felelne meg egy ilyen változás matematikai leírása a lecsapódó gőz matematikai tárgyalásának?

1973-ban Swinney a New York-i City College-on tanított. A komoly, kisfiús, Harvardot végzett Jerry Gollub is ezt tette a Haverfordban. Haverford azonban, ez a kissé vidékies bölcsészettudományi főiskola Philadelphia közelében, nem tűnt eszményi végcélnak egy fizikus szemében. Nem voltak diplomamunkások, hogy segítsenek a laboratóriumi munkában, s így nem volt aki betöltse a lejjebb álló fél szerepét a mindennél fontosabb vezetőpártfogolt társas viszonyban. Mindazonáltal Gollub szerette tanítani a hallgatókat, és a főiskola fizika tanszékét lassacskán központtá fejlesztette, amely egyre általánosabb megbecsülést és hírnevet szerzett kísérleti munkáival. 1973-ban kivette kutatószabadságát és New Yorkba ment, hogy együtt dolgozzon Swinney-vel. A fázisátalakulások és a folyadékinstabilitások analógiájától indíttatva elhatározták, megvizsgálják, hogyan viselkedik az a klasszikus rendszer, amelyben a folyadék két azonos tengelyű, egymásba illesztett függőleges henger közé van zárva. A belső henger forog, és forgásával mozgásba hozza a folyadékot is. A rendszer az áramlást felületek közé zárja, azaz a folyadék mozgása térben korlátozva van, nem úgy, mint a nyílt víz áramlatai. A forgó hengerek a Couette-Taylor-féle áramlás néven ismert jelenséget hozzák létre. A kényelem kedvéért általában a belső henger forog egy külső álló henger belsejében. Ahogy a forgás elkezdődik és felveszi a kellő sebességet, felbukkan az első instabilitás: a folyadékban tetszetős mintázat alakul ki, olyasféle, mint a szervizállomásokon az egymásra rakott gumiabroncsokból. Fánkszerű karikák jelennek meg egymás felett a henger körül. A folyadék részei nem csupán keletről nyugat felé köröznek a fánkban, hanem felfelé és befelé, valamint lefelé és kifelé is. Ez lényegében még nem volt újdonság, hiszen 1923-ban G. I. Taylor már megfigyelte és megmérte ezt a jelenséget. A Couette-áramlás tanulmányozásához Swinney és Gollub olyan berendezést épített, amely egy íróasztalon is elfért. A külső üveghenger akkora volt, mint egy teniszlabda-tartó: körülbelül 30 cm magas és 5 cm átmérőjű. A belső acélhenger szinte rés nélkül beleillett; alig 3 mm maradt köztük a víznek. „A spanyolviasz esete volt" - mondta Freeman Dyson, a következő hónapok előkelő, váratlan látogatóinak egyike. „Itt van ez a két úriember egy vacak kis laboratóriumban, s lényegében pénz nélkül csodálatos kísérletet végeztek. Ezzel kezdődött a turbulencia igazi kvantitatív kísérleti vizsgálata." A két kísérletező úgy gondolta, hogy szabályszerű tudományos témán dolgozik, s az meghozza nekik a szokásos kis elismerést, azután majd feledésbe megy. Azon igyekeztek, hogy igazolják Landau elgondolását a turbulencia megjelenéséről. Nem volt semmi okuk kételkedni benne. Tudták, hogy a hidrodinamikusok hisznek a Landau-képben. Mint fizikusok maguk is szerették, mert beleillett a fázisátalakulásokról alkotott általános elképzelésbe, és Landau maga adta az első alkalmas eszközöket a fázisátmenetek tanulmányozásához, abból a meggyőződésből kiindulva, hogy az ilyen jelenségek egyetemes törvényeknek eng edelmeskednek, s a szabályszerűségek túllépnek az egyes anyagok közötti különbségeken. Amikor Harry Swinney a folyadék-gőz kritikus pontot tanulmányozta a szén-dioxid esetében, ezt Landau szellemében tette: azzal a meggyőződéssel, hogy a kísérlet eredmé-

nyei átvihetők a xenon folyadék-gőz kritikus pontjára; és azok csakugyan átvihetőnek bizonyultak. Miért ne derülhetne ki a turbulenciáról is, hogy összeütköző ritmusok állandó felhalmozódása a mozgó folyadékban?

ÁRAMLÁS FORGÓ HENGEREK KÖZÖTT. A két henger közötti víz jellegzetes mintázatot mutató áramlása lehetővé tette, hogy Harry Swinney és Jerry Gollub megpillantsa a turbulencia felbukkanását. Ahogy nő a forgási sebesség, egyre bonyolultabbá válik a szerkezet. A víz először jelleg zetes, egymásra tett fánkokra emlékeztető mintázatot hoz létre. Azután a fánkok elkezdenek hullámzani. A fizikusok lézerrel mérték a víz válto zó sebességét, amint az újabb és újabb instabilitások feltűntek.

Swinney és Gollub mindent felvonultatott a mozgó folyadékok rendetlenségei ellen, ami hosszú évek alatt a legkényesebb körülmények között kialakult a fázisátalakulások tanulmányozására. Olyan laboratóriumi módszereik és mérőberendezéseik voltak, amilyet egy hidrodinamikus soha sem tudott volna elképzelni. A gördülő áramlatok mérésére lézerfényt használtak. A vízen átragyogó sugár elhajlott vagy szóródott, s azt a lézeres Dopplerinterferometriának nevezett módszerrel mérték. Az adatfolyamot egy számítógép tárolta és dolgozta fel: olyan eszköz, amelyet 1975-ben még ritkán lehetett látni asztali laboratóriumi kísérletekben. Landau arról beszélt, hogy az áramlás erősödésével új frekvenciáknak - egyszerre mindig csak egynek - kell megjelenniük. „Ezt olvastuk tehát - emlékezett vissza Swinney -, és azt mondtuk: nagyszerű, megvizsgáljuk az átmeneteket, hol lépnek be ezek a frekvenciák. Szóval néztük, és csakugyan ott volt egy jól meghatározott átmenet. Növeltük és csökkentettük a henger forgási sebességét, s ezzel mindkét irányból keresztül jutottunk az átmeneten. Nagyon is jól meghatározott volt." Amikor elkezdték közreadni az eredményeiket, szembekerültek egy szociológiai természetű fallal, amely a fizika és a hidrodinamika tudományterülete között húzódott. Ez a határ, meglehetősen eleven volt, s egyebek között meghatározta, hogy az Amerikai Országos Tudományos Alap (NSF) kebelén belül melyik apparátus tartja kézben e kísérletek pénz-

ügyi vonatkozásait. Az 1980-as évekre a Couette-Taylor-kísérlet megint fizika lett, de 1973-ban még tiszta hidrodinamika volt; és a hidrodinamikához szokott emberek szemében gyanúsan jónak tűntek az első számok, amelyek ennek a kisvárosi kollégiumnak a laboratóriumából származtak. Egyszerűen nem hittek nekik a hidrodinamikusok: nem voltak ugyanis hozzászokva a fázisátalakulások fizikájának pontos kísérleteihez. Azonfelül a hidrodinamika perspektívájából nehéz volt látni egy ilyen kísérlet elméleti lényegét. Legközelebb már, amikor Swinney és Gollub megpróbáltak pénzt szerezni az Országos Tudományos Alaptól, elutasították őket. Egyes bírálók nem tartották igaznak az eredményeiket, mások meg azt mondták, hogy semmi új sincs bennük. De a kísérlet sosem állt le. „Ott volt a nagyon jól meghatározott átmenet - mondta Swinney -, úgyhogy óriási volt. Azután továbbmentünk, kerestük a következőt." S ott megszakadt a várt Landau-sorozat. A kísérlet nem erősítette meg az elméletet.1 A következő átmenetnél az áramlás teljesen zavaros állapotba ugrott, minden megkülönböztethető ciklus nélkül. Nem voltak új frekvenciák, hiányzott a bonyolultság fokozatos felépülése. „Amit találtunk, az kaotikus volt." Néhány hónappal később egy sovány, rendkívül elragadó belga jelent meg laboratóriumuk ajtajában.

David Ruelle időről időre elmondta, hogy kétfajta fizikus van: az egyik rádiók szétszedésén nőtt fel - még a félvezető-korszak előtt, amikor látni lehetett a drótokat és a narancssárgán világító vákuumcsöveket, és valamiféle elektronáramlást lehetett beléjük képzelni -, a másik pedig „kis vegyész"-készletekkel játszott. Ruelle ez utóbbiakkal kezdte, bár nem a később szokásos amerikai készletekkel, hanem robbanó vagy mérgező vegyszerekkel, amilyeneket észak-belgiumi szülőföldjén a patikus árult könnyedén; s ő csak összeöntötte, megkeverte, melegítette, kristályosította és időnként felrobbantotta őket. Gentben született 1935-ben egy tornatanár és egy nyelvészprofesszor fiaként, és bár pályafutása az elvont tudomány birodalmán ívelt át, mindig volt érzéke a természet virágtalan gombákban vagy salétromban, kénben és faszénben rejlő veszélyes oldalaihoz. Ruelle mégis a matematikai fizikában elért eredményeivel adott hozzá maradandót a káosz kutatásához. 1970-ben az Institute des Hautes Études Scientifiques munkatársa lett, egy Párizs környéki intézeté, amelyet a princetoni Institute for Advanced Study mintájára hoztak létre. Ekkorra már szokásává vált, hogy időnként intézetét és családját otthagyva hetekig tartó magányos túrákra induljon, s mindössze egy hátizsákkal a hátán keresztül-kasul bebarangolja Izland üres pusztaságait vagy Mexikó tájait. Sokszor senki emberfia nem akadt az útjába. Ha emberekbe botlott és igénybe vette vendégszeretetüket - talán egy kukoricalisztből készült tortilla erejéig, amúgy zsír, hús és zöldség nélkül -, úgy érezte, kétezer évvel korábbi állapotában látja a világot. Amikor visszatért az intézetbe, hogy újból elkezdje a tudományos létet, éppen csak egy kicsit volt soványabb az arca, kerek homlokán és hegyes állán egy kicsit szorosabban feszült a bőr. Ruelle hallotta Steve Smale előadásait a lópatkó-leképezésről és a dinamikai rendszerek kaotikus lehetőségeiről. Gondolkodott a folyadékok turbulenciáján és a klasszikus Landau-képen is. Azt gyanította, hogy 1 J. P. Go llub és H. L. Swinney: Onset of Turbulence in a Rotating Fluid. Physical Review Letters 35 (1975), p. 927. Ezek az első kísérletek csak megnyitották az utat a forgó hengerek kö zötti áramlás paramétereinek változtatásával létrehozható bonyolult térbeli viselkedés észlelése előtt. A következő néhány évben „csigavonalú hullámo kat", „hullámos be- és kiáramlást", „egymásba hatoló spirálisokat", stb. ismertek fel. Összefoglalás: C. David Andereck, S. S. Liu és Harry L. Swinney: Flow Regimes in a Circular Couette System with Independently Rotating Cylinders. Journal of Fluid Mechanics 164 (1986), pp. 155-83.

ezek a fogalmak kapcsolatban - és ellentmondásban - állnak egymással. Ruelle-nek nem volt gyakorlata a folyadékáramlások kutatásában, de ez már nem bátortalanította el, mint sok sikertelen elődjét. „Mindig az amatőrök találják meg az új dolgokat - mondta. - A turbulenciának nincsen kézenfekvő mély elmélete. A turbulenciával kapcsolatban feltehető kérdések mind sokkal általánosabb természetűek, tehát hozzáférhetők az amatőrök számára." Könnyű volt átlátni, miért állt ellen a turbulencia a vizsgálatnak. A folyadékáramlás egyenletei nemlineáris, csak különleges esetekben megoldható parciális differenciálegyenletek. Mindazonáltal Ruelle a Smale által használt nyelvezettel létrehozta a Landau-kép elvont változatát, valami olyasfajta elképzeléssel, mintha a tér egy összenyomott, széthúzott és lópatkó formában hajtogatott képlékeny anyag volna. Floris Takensszel, az intézetébe látogató holland matematikussal írt egy cikket,1 ami 1971-ben meg is jelent. A stílusa - fizikusok, vigyázat! - összetéveszthetetlenül matematikai volt, azaz a bekezdések Definícióval, Tétellel vagy Bizonyítással kezdődtek, és az elengedhetetlen „Legyen ..."-nel folytatódtak. „Tétel (5.2). Legyen Xμ a H Hilbert-téren értelmezett Ck vektorterek valamely egyparaméteres családja, úgy, hogy ..." A címe, hogy valami köze mégis legyen a valóságos világhoz, „A turbulencia természetéről" lett, szándékosan utalva arra, hogy Landau a következő címet adta híres munkájának: „A turbulencia problémájáról". Ruelle és Takens gondolatmenete bevallottan túlmutatott a matematikán; a turbulencia megjelenéséről alkotott hagyományos kép helyébe ajánlottak valami mást. Az egymástól független, átfedő mozgások végtelen sokaságához vezető frekvenciahalmozódás helyett csak három független mozgást vettek fel, s azokkal előállították a turbulencia teljes bonyolultságát. Matematikai szempontból némely meggondolásuk homályos, rossz, másoktól kölcsönzött,2 vagy mindhárom egyszerre; így vélekedtek munkájukról még tizenöt évvel később is. De a lényeglátás, az értelmezés, a jegyzetek és a cikkbe szőtt fizika maradandó értéknek bizonyultak. A legcsábítóbb az a kép volt, amit a szerzők különös attraktornak neveztek. Ez a kifejezés pszichoanalitikusan „szuggesztív' - vélte később Ruelle. Az elnevezés olyan szerephez jutott a káosz elméletében, hogy Ruelle és Takens utóbb az udvarias látszat mögött a lovagiasság szabályai szerint megküzdöttek egymással az ügyben, hogy melyikük talált rá erre a szóra. Voltaképpen egyikük sem emlékezett biztosan, de Takens, a magas, pirospozsgás, heves északi ember elmondhatta: „Megkérdezték valaha is Istent, hogy ő teremtette-e ezt az átkozott világegyetemet? ... Nem emlékszem semmire ... Gyakran teremtek anélkül, hogy emlékeznék rá",3 Ruelle pedig, a tekintélyesebbik szerző, halkan megjegyezte: „Takens véletlenül meglátogatta az IHES-t. Az egyik ember így dolgozik, a másik úgy. Vannak, akik igyekeznek egyedül megírni egy cikket, így az összes érdem az övék." A különös attraktor a fázistérben, a modern tudomány egyik leghatékonyabb alkotásában jelenik meg. A fázistér módot ad arra, hogy a számokat képekké alakítsuk; kiveszi a lényeges információk valamennyi bitjét a mozgó részek alkotta mechanikai vagy folyadék-rendszerből, s rugalmas útitérképet ad az összes lehetőséghez. A fizikusoknak már akadt dolguk az „attraktorok" két egyszerűbb fajtájával: a fixpontokkal és a határciklusokkal: ezek az állandó állapotba jutott, illetve az önmagát folytonosan ismétlő rendszer 1 On the Nature of Turbulence... A turbulencia Ruelle-Takens-féle elméletéről magyarul ld. Tóth Bálint cikkét A káosz c. könyvben. 2 A szerző k hamarosan felfedezték, hogy némelyik ötletük már megvolt az orosz irodalo mban, „más részről a turbulencia általunk adott matematikai interpretáció ja, úgy tűnik, a mi felelősségünk marad" - írták. Ld.: Note Concerning Our Paper 'On the Nature of Turbulence'. Communications in Mathematical Physics 23 (1971), pp. 343-44. 3 Strange Attractors... p. 131.

viselkedését ábrázolták. A fázistérben egyetlen pont jeleníti meg mindazokat az ismereteket, amelyeket a dinamikai rendszer valamely időpillanatban felvett állapotáról tudunk. Az a pont maga a dinamikai rendszer a kérdéses pillanatban. A következő pillanatban azonban a rendszer már más állapotba jut, még ha egészen közelibe is: azaz a pont elmozdul. A rendszer időbeli történetét ezzel a mozgó, a fázistérben pályát leíró ponttal lehet ábrázolni. Hogyan sűríthető egyetlen pontba egy bonyolult rendszerre vonatkozó összes információ ? Ha a rendszernek csak két változója van, akkor egyszerű a válasz. A középiskolában tanult Descartes-féle koordinátarendszer vízszintes tengelyére mérjük fel az egyik változót, és a függőleges tengelyre a másikat. Ha a rendszer egy súrlódásmentesen lengő inga, akkor az egyik változó a helyzet lesz, a másik a sebesség, és ezek folytonosan változni fognak; a rendszer állapotait megjelenítő pont egy hurokszerű vonalat ír le, körbe-körbe, az örökkévalóságig. Ugyanaz a rendszer nagyobb energián - nagyobb sebességgel és távolabbra kilengve - az előzőhöz hasonló, de nagyobb hurkot rajzol a fázistérben. Egy kis realizmus - súrlódás képében - megváltoztatja a helyzetet. Nincs szükségünk a mozgásegyenletekre, hogy lássuk a súrlódásos inga végzetét. Minden pályának végül ugyanazon a helyen kell befejeződnie, nevezetesen a középpontban: kitérés 0, sebesség 0. Ez a középső fix pont „vonzza" a pályákat: azok már nem ugyanazt a hurkot írják le újra meg újra, hanem spirálisan befelé haladnak. A súrlódás elnyeli a rendszer energiáját, és a fázistérben ez a disszipáció a középpontba - a nagy energiájú külső területekről a kis energiájú belső területek felé - irányuló törekvés formájában mutatkozik meg. Az attraktor - lehető legegyszerűbb formájában - olyan, mint egy gumilepedőbe tett aprócska mágnes. Ha az állapotokat térbeli pontoknak gondoljuk, az egyebek között azzal az előnnyel jár, hogy könnyebb megfigyelnünk a változásokat. Egy rendszer, amelynek változói folytonosan nőnek vagy csökkennek, olyan mint a szobában röpködő légy. Ha a változóknak valamilyen együttese sosem fordul elő, akkor a tudós egyszerűen azt képzeli maga elé, hogy a szobának az a bizonyos része kívül esik a megengedett területen: hogy a légy sosem megy arra. Ha egy rendszer periodikusan viselkedik, körbe jár és újra meg újra ugyanabba az állapotba jut, akkor a légy egy hurkot ír le, s rendszeresen ugyanazokat a helyeket repüli be a fázistérben. A fizikai rendszerek képei a fázistérben megmutatják a mozgás mintázatait, amelyek másként láthatatlanok lennének, ahogyan az infravörös tájfelvétel is felfedhet olyan tereprajzolatokat és részleteket, amelyek egyébként észrevétlenek maradnának. Amikor egy tudós egy fázistérbeli képet néz, képzeletében felidézheti magát a rendszert: ez a hurok ahhoz a periodicitáshoz tartozik; ez a csavarodás annak a változásnak felel meg; ez az üres terület ezt és ezt a fizikai lehetetlenséget tükrözi. A fázistérbeli képek még két dimenzióban is sok meglepetéssel szolgálhatnak; némelyiket még asztali számítógéppel is be lehet mutatni, ha színes mozgó pályákká alakítjuk át az egyenleteket. Néhány fizikus film- és videofelvételek készítésébe fogott, kaliforniai matematikusok1 könyveket adtak ki zöld, kék és piros rajzfilmszerű ábrázolásokkal - „káosz képregény", mondta némely kollégájuk enyhe rosszmájúsággal. A két dimenzió nem bizonyult kellően tágasnak a fizikusok által érdekesnek tartott rendszertípusok felvonultatására. Kettőnél több változóra volt szükség, s ez egyben kettőnél több dimenziót jelent. Egy dinamikai rendszerben minden önálló mozgásra képes kis darab újabb szabadsági fok, s újabb változót kíván. És minden szabadsági fok másik dimenziót követel a fázistérben, hogy továbbra is elég legyen egyetlen pont a rendszer állapotának egyértelmű megjelenítéséhez. A Robert May által tanulmányozott egyszerű egyenletek egydimenziósak voltak 1 Ralph H. Abraham és Christopher D. Shaw: Dynamics: The Geo metry of Behavior (Aerial, Santa Cru z, 1984).

egyetlen szám is elég volt a hőmérséklet vagy a népesség leírására, és ez a szám meghatározta egy pont helyzetét egy egydimenziós vonal mentén. Lorenz levetkőztetett folyadékáramlásos rendszere háromdimenziós volt, de nem azért, mintha a folyadék három dimenzióban mozgott volna, hanem mert három különböző számra volt szükség ahhoz, hogy a folyadék állapotát bármely pillanatban le tudja írni. A lengés kezdetén nulla a sebesség. Az inga helyzetét negatív szám jellemzi: a kö zépponttól balra mért távolság.

A két szám meghatároz egy pontot a kétdimenziós fázistérben. A sebesség maximális értékűvé válik, amint az inga átlendül a nulla kitérés jellemezte helyzeten.

A sebesség ismét nullára csökken, majd negatívvá válik, hiszen az inga most bal felé mo zog.

Az INGA - MÁSFÉLE FELFOGÁSBAN. A fázistér (jobbra) egy-egy pontja megad minden információt a dinamikai rendszer állapotáról a megfelelő pillanatban (balra). Ha egy egyszerű ingáról van szó, mindössze két számot - a sebességet és a helyzetet - kell is mernünk.

A pontok egy pályát rajzo lnak ki: ez a pálya jelen íti meg előttünk a dinamikai rendszer hosszú távú viselkedését. Ha ez a pálya egy hurok, akkor olyan rendszerrel van dolgunk, amely szabályos időközönként ismétli ön magát. Ha ez az ismétlődő viselkedés stabil - ahogyan például egy ingaóráé -, akkor a rendszer kisebb zavaró hatások elmúltával mindig visszatér a pályájához. A fázistérben az e pálya kö zelében haladó trajektóriák ráhúzódnak erre a pályára: azaz a pálya egy attraktor.

Egy pont is lehet attraktor. Ha olyan ingát veszünk, amelyet súrlódás hátráltat a mozgásban, akkor az összes pálya spirálisan befelé tart egy ponthoz, amely egy állandósult - esetünkben éppen a nyugalmi - állapotnak felel meg.

A négy-, öt- vagy több dimenziójú terek még a legbuzgóbb topológus képzeletét is megterhelik. Pedig a bonyolult rendszereknek sok független változójuk van. A matematikusoknak el kellett fogadniuk a tényt, hogy a végtelen sok szabadsági fokú rendszerek - és ezeknek a zabolátlansága mutatkozik meg egy turbulens vízesésben vagy a megjósolhatatlanul működő agyban - megkövetelik a végtelen dimenziós fázisteret. Ez egy százfejű hidra, könyörtelen és ellenőrizhetetlen, ugyanaz, mint a turbulencia Landau-féle képe: végtelen sok módus, végtelen sok szabadsági fok, végtelen számú dimenzió. A fizikus okkal nem kedvelt egy olyan modellt, amely ennyire csekély áttekinthetőséget talál a természetben. A folyadékmozgás nemlineáris egyenleteire támaszkodva, a világ leggyorsabb szuperszámítógépei sem képesek néhány másodpercnél tovább megfelelő pontossággal követni egyetlen köbcentiméternyi folyadék turbulens áramlását sem. Ebben persze bizonyára a természet a ludas, nem Landau, de akárhogy s mint, a Landau-képet nemtetszés fogadta. Tudás híján a fizikus arra gyanakodhat, hogy még felfedezetlen egy fontos elv. A kvantumelmélet nagy mestere, Richard P. Feynman így fejezte ki ezt az érzést: „Engem mindig meglehetősen zavart az a tény, hogy a törvények - legalábbis amennyire ma ismerjük őket - úgy írják le a természetet, hogy egy számítógép csak végtelen számú logikai lépésben számíthatja ki a jelenségek lefolyását a tér és az idő egy akármilyen piciny tartományában. Hogy mehet ez végbe egy parányi térrészben? Miért kell végtelen számú logikai művelet annak leírásához, hogy mi történik a tér és az idő egy kicsiny tartományában?"1 David Ruelle, mint számos más kutató is, akik a káoszt tanulmányozni kezdték, azt gyanította, hogy a turbulens áramlás látható jellegzetességeit - az összekuszálódó áramvonalakat, a spirális örvényeket, a fel- majd eltűnő forgókat - még felfedezetlen törvények magyarázzák. Úgy gondolta, hogy az energiaveszteséggel járó turbulens áramlás a fázistér összehúzódásához kell hogy vezessen, az attraktor felé húzódáshoz. Az attraktor bizonyára nem valamiféle fixpont lesz, hiszen az áramlás sosem juthat nyugalomba. Az energia nemcsak elvész, hanem folyamatosan pótlódik is a rendszerben. Milyen más fajtájú attraktorról lehetne még szó? A dogma szerint csak egyetlen másik fajta merülhetett fel: a periodikus attraktor vagy határciklus - olyan körpálya, amely vonz minden más közeli körpályát. Ha 1 Richard P. Feynman: A fizikai törvények jellege (Magvető, 1983), 91. o.

egy inga energiát kap egy rugótól, a súrlódás következtében pedig energiát veszít - azaz ha az ingát hajtjuk is, meg csillapítjuk is -, akkor a stabil pálya a fázistérben az a zárt hurok lehet, amely nagyapáink órájának szabályos ingamozgását jeleníti meg. Mindegy, honnan indul az inga, rááll majd erre az egy pályára. De vajon biztos ez? Bizonyos kezdeti feltételek esetén - kis energiákon - az inga bizony megáll, úgyhogy a rendszernek valójában két attraktora van: az egyik egy zárt hurok, a másik egy fixpont. Mindegyiknek megvan a maga „medencéje", ahogyan két közeli folyónak is megvan a saját vízgyűjtő területe. Rövid távon a fázistérben bármely pont szóba jöhet a dinamikai rendszer lehetséges állapotaként, hosszú távon azonban csak az attraktorok. A többi mozgástípus csupán átmeneti. Definíció szerint az attraktoroknak megvan az a fontos jellegzetességük, hogy stabilak: azaz egy tényleges rendszerben, ahol a mozgó részek ki vannak téve a valóságos világ zajától származó lökéseknek és ingadozásoknak, a mozgás visszatér az attraktorhoz. Egy lökés kimozdíthatja a pályát egy rövid időre, de a fellépő átmeneti mozgások hamarosan kihalnak. Hiába lökné meg a macska az ingaórát, az nem tér át hatvankét másodperces percekre. A folyadékturbulencia azonban más jellegű viselkedés: sohasem fordul elő, hogy egyetlen ritmust eredményezzen és a többit kizárja. A turbulencia jól ismert jellegzetessége, hogy a lehetséges ciklusok széles spektruma van benne jelen egyszerre. A turbulencia olyan, mint a fehérzaj. Támadhat-e valami ilyesféle egy egyszerű determinisztikus egyenletrendszerből? Ruelle és Takens azon tűnődött, vajon nincs-e valami másfajta attraktor, amely éppen ilyen tulajdonságokat mutatna. Egyrészt stabil – a dinamikai rendszer végállapotát ábrázolná egy zajos világban. Másrészt nem túl nagy dimenziószámú - egy pálya néhány szabadsági fokkal, pl. egy négyzet vagy doboz alkotta fázistérben. Harmadrészt nem periodikus - sosem ismétli önmagát és sosem esik bele a nagypapa órájának állandó ritmusába. Geometriai szempontból a következő volt a feladvány: Miféle pályát kell felrajzolnunk egy határolt térrészben, ha azt akarjuk, hogy az soha se ismételje és keresztezze önmagát hiszen ha egyszer egy rendszer visszatér egy korábbi állapotába, akkor onnan ugyanazt az utat kell követnie, mint az előző alkalommal. Hogy minden ritmust létrehozzon, a pályának végtelen hosszú vonalnak kell lennie egy véges területen. Más szóval - csakhogy ez a szó akkor még nem volt kitalálva - fraktálnak kell lennie. Ruelle és Takens matematikai meggondolásokra támaszkodva azt állította, hogy ilyen dolognak igenis léteznie kell. Sosem láttak, nem is rajzoltak még ilyet, de elég volt annyi, hogy ilyesmi létezik. Ruelle később Varsóban, előadást tartva a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusán, már nyugodt szívvel jelenthette ki: „A tudományos közvélemény elég hűvösen fogadta javaslatunkat. Sok fizikus egyenesen eretnekségnek tekintette azt az elképzelést, hogy kevés számú szabadsági fokhoz is folytonos spektrum rendelhető."1 De voltak fizikusok - mi tagadás, csak maroknyian -, akik felismerték ennek az 1971-es cikknek a jelentőségét és elkezdték végiggondolni a következményeit.

Pedig 1971-re a szakirodalomban már megjelent egy kis vázlatrajz arról az elképzelhetetlen szörnyről, amelyet Ruelle és Takens megpróbált életre kelteni. Edward Lorenz 1963-as írásához2 csatolt egy ábrát is a determinisztikus káoszról: ennek mindössze két görbe volt a jobb oldalán és öt a bal oldalán. Ennek a hét huroknak a felrajzolása 500 egymást követő számítást követelt meg a számítógéptől. A fázistérben az e pálya mentén - a hurkok körül mozgó pont ábrázolta a folyadék lassú, kaotikus forgását Lorenz háromegyenletes konvek1 Turbulent Dynamical Systems... p. 275. 2 Deterministic Nonperiodic Flow... p. 137.

ció-modelljében. Mivel a rendszernek három független változója volt, ez az attraktor a háromdimenziós fázistérben helyezkedett el. Bár Lorenz csak egy részét rajzolta meg, többet látott meg benne: egy olyan kettős spirálist, amely két végtelen ügyességgel összefont lepkeszárnyra emlékeztetett. Amikor az emelkedő hőmérséklet egyirányú forgásra kényszerítette a folyadékot, a pálya a jobb szárnyon maradt; amikor a forgó mozgás megállt és megfordult, a pálya átlendült a másik szárnyra. Az attraktor stabil volt, kis dimenziószámú és nem periodikus. Sosem metszhette önmagát, mert ha ezt tette volna, akkor egy már érintett ponthoz visszatérve, periodikus hurokban meg kellett volna ismétlődnie a mozgásnak; ez azonban sohasem történt meg - ez volt a szép az attraktorban. Azok a hurkok és spirálisok végtelenül „ravaszak" voltak, sosem értek össze egészen, sosem metszették egymást. Mégis egy véges térrészen belül maradtak, egy doboz belsejében. Hogyan lehetséges ez? Hogyan fekhet végtelenül sok pálya egy véges térrészben? AZ ELSŐ KÜLÖNÖS ATTRA KTOR. Ed ward Lorenz 1963-ban egyszerű egyenletrendszere attraktorának csak első néhány szálát tudta kiszámítani. De már látta, hogy a két spirális szárny egymásba fonódása rendkívüli szerkezetet sejtet a láthatatlanul kis méretek tarto mányában.

Mielőtt Mandelbrot fraktálképei elárasztották volna a tudományos piacot, nehéz volt elképzelni egy ilyen alakzat megszerkesztésének részleteit; és Lorenz el is ismerte, hogy „látszólagos ellentmondás" van abban, ahogyan megkísérli leírni az alakzatot. „Nehéz úgy egybeolvasztani a spirálisokat tartalmazó két felületet, hogy a pályáknak nem szabad egybeolvadniuk."1 - írta. Látott azonban egy lehetőséget, amely túl finom volt ahhoz, hogy megjelenjen abban a néhány számításban, amelyre számítógépe képes volt. Ahol a spirálisok érintkezni látszanak, ott a felületeknek ketté kell oszlaniuk - ismerte fel -, s elkülönülő rétegeket kell alkotniuk, mint a pelyhes cickafark. „Látjuk, hogy minden egyes felület valójában egy felületpár; ahol tehát a látszat szerint összeolvadnak, ott ténylegesen négy felület van. Ezt egy másik körön folytatva már azt látjuk, hogy ott igazából nyolc felület van stb., végül tehát arra következtetünk, hogy felületek végtelen bonyolultságával van dol1 U.o. p. 140.

gunk, amelyek rendkívül közel vannak a két összeolvadó felület valamelyikéhez." Nem volt csoda, hogy a meteorológusok 1963-ban nem foglalkoztak ilyen spekulációkkal, és az sem, hogy Ruelle egy évtizeddel később meglepetést és izgalmat érzett, amikor végre megismerkedett Lorenz munkájával. A következő években egyszer elment meglátogatni Lorenzet, és némileg csalódottan távozott, mert alig beszélgettek közös tudományterületükről. Lorenz jellemző szerénységgel társadalmi eseménnyé változtatta a dolgot: feleségestül elmentek egy képtárba. A Ruelle és Takens által felvetett ötleteket két úton igyekeztek kidolgozni a kutatók. Az egyik az elméleti küzdelem volt a különös attraktorok megjelenítéséért. Tipikusnak tekinthető-e a Lorenz-attraktor? Milyen másfajta alakzatok lehetségesek? A másik kísérleti jellegű volt: igazolni vagy cáfolni azt a - matematikát teljesen nélkülöző - hitet, mely szerint a különös attraktorok alkalmazhatók a természetben előforduló káoszra. Japánban a mechanikai rugók viselkedését utánzó - csak azoknál sokkal gyorsabb elektromos áramkörök tanulmányozása a különös attraktorok egy rendkívül szép halmazának felfedezéséhez vezette el Yoshisuke Uedát. (O ugyanolyan fogadtatásra talált, csak éppen keleti változatban, mint Ruelle: „Eredménye nem több, mint egy majdnem periodikus oszcilláció. Ne alakítsa ki az állandó állapotok önző fogalmát."1) Németországban Otto Rössler, egy nem praktizáló orvos, aki a kémia és az elméleti biológia felől közelítette meg a káoszt, páratlan képességgel filozófiai tárgyaknak kezdte tekinteni a különös attraktorokat, maga mögött hagyva a matematikát. Rössler neve egy sajátos egyszerű attraktorhoz kapcsolódott, egy szalagszerű, egyszer meghajtott formához. Ezt sokat vizsgálták, mert egyszerű volt lerajzolni, de magasabb dimenziós attraktorokat is megjelenített -,,egy kolbász egy kolbászban, az is egy kolbászban, az is egy kolbászban, - mondta -, vedd ki, hajtsd össze, nyomd össze, tedd vissza." S valóban, a tér összehajtogatása és összenyomása volt a különös attraktorok készítésének kulcsa, és talán a valóságos rendszerek dinamikájának kulcsa is, amely létrehívta őket. Rössler érezte, hogy ezek az alakzatok egy önszerveződési elvet testesítenek meg a világban.2 Elképzelt valami olyasmit, mint egy szélzsák a repülőtéren „egy lyukas végű nyitott tömlő, amelybe belekényszerül a szél - mondta. - Azután a szél csapdába esik. Az energia akarata ellenére létrehoz valamit, mint az ördög a középkori történetben. Az elv az, hogy a természet saját akarata ellenére tesz valamit, és az önmagába gabalyodás révén szépséget hoz létre." A különös attraktorok ábráit előállítani nem volt egyszerű dolog. A pályák általában egyre bonyolultabban kanyarognak a három vagy több dimenzióban, és az egész képből egyre inkább sötét firkálmány lesz, amelynek térbeli belső szerkezetéből kívülről nézve semmi sem látszik. Ezeknek a háromdimenziós gombolyagoknak síkbeli ábrákká alakításához a tudósok először a vetítési módszert alkalmazták, amelyben az attraktor rajzát egy adott felületre vetett árnyéka képviseli. Egy bonyolult különös attraktor esetén azonban a vetítés csak kibogozhatatlan zűrzavarrá maszatolja el a részleteket. Sokkal áttekinthetőbb módszer visszatérési térképet vagy Poincaré-térképet készíteni: gyakorlatilag veszünk egy szeletet az attraktor összekuszált közepéből, és kiemeljük ezt a kétdimenziós metszetet, ahogy a patológus kivesz egy szövetmetszetet a mikroszkóp tárgylemezére. A Poincaré-leképezés elvesz egy dimenziót az attraktorból és a folytonos vonalat pontok Ueda az elektro mos áramkörök szempontjából tekinti át korai felfedezéseit a következő cikkben: Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the System Described by Duffing's Equation, International Journal of Non-Linear Mechanics 20 (1985), pp. 481-91, és egy utóiratban személyes beszámolót is ad indítékairó l, valamint kollégáinak hűvös reagálásáról. 2 A Rössler-féle és más attraktorokról, a nyújtásokról és hajtogatásokról közérthető cikket olvashatunk magyarul a Tudomány 1987. februári számában, James P. Crutch field, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard és Robert S. Shaw tollából. 1

halmazává változtatja. Az attraktort a Poincaré-térképre leszűkítve a tudós kimondatlanul is felteszi, hogy az így kapott kép sok mindent megőriz a mozgás lényegéből. Elképzeli például, hogy egy különös attraktor zümmög a szeme előtt, pályája fel és le, balra és jobbra halad, és ide- vagy odamenet átmegy a számítógép képernyőjén. Valahányszor a pálya keresztülvág a képernyőn, egy világító pontot hagy maga után, és ezek a pontok vagy egy véletlen foltot rajzolnak ki a képernyőn, vagy elkezdenek valamilyen alakzatot kijelölni rajta.

AZ ATTRAKTOR SZERKEZETÉNEK FELTÁRULÁSA. A fenti kü lönös attraktor - először egy körbehaladás, azután tíz, majd száz - egy rotor kaotikus viselkedését ábrázolja, egy teljes kört befutó ingáét, amely szabályos időközönként energiautánpótláshoz jut. 1000 egymás utáni körbehaladás után (alul), az attraktor áttekinthetetlen fonalköteggé válik. Hogy lássuk a belső szerkezetet, a számítógép egy síkkal át metszi az attraktort, és ezzel előáll az úgynevezett Poincaré-térkép. Ez a módszer kétdimenziósra szűkíti a háro mdimenziós képet. Valahányszor átmetszi a síkot a pálya, egy pontot hagy rajta, és így fokozatosan kialaku l egy igen sok részletet felfedő mintázat. Ez az ábra több mint 8000 pontból áll: mindegyik egy-egy teljes körbehaladásnak felel meg az attraktor mentén. Gyakorlat ilag az történik, hogy szabályos időközönként mintát veszünk a rendszerből. Egyfajta információt elveszítünk, egy másikat viszont alaposan kiemelünk.

Mindez annak felel meg, hogy a rendszer állapotát nem folyamatosan követjük nyomon, hanem időről időre mintát veszünk belőle. Hogy mikor veszünk mintát - azaz hol vesszük a metszetet a különös attraktorból - ez olyan kérdés, amely valamelyes szabadságot ad a ku-

tatónak. A legtöbbet mondó szakasz a dinamikai rendszer valamilyen fizikai tulajdonságának felelhet meg: például egy Poincaré-leképzés mintát vehet egy inga sebességéből, amint az újra meg újra átlendül a legalacsonyabb ponton. Vagy választhat a kutató valamilyen szabályos időtartamot, s ezzel egy képzeletbeli stroboszkóp villanásaiba fagyaszthatja be az egymás utáni állapotokat. Akárhogyan is, ezek a képek végül elkezdték feltárni az Edward Lorenz megsejtette finom fraktálszerkezetet.

Az egyszerűsége folytán leginkább megvilágosító erejű különös attraktor olyasvalakitől származott, aki nagyon távol állt a turbulencia és a hidrodinamika rejtélyeitől.1 Michel Hénon csillagász volt a nizzai obszervatóriumban, Franciaország déli tengerpartján. Bizonyos tekintetben persze a csillagászat indította el a dinamikai rendszerek tanulmányozását: a bolygók óraműszerű mozgása állt Newton diadala és Laplace elmélete mögött. Az égi mechanika azonban egy lényeges vonatkozásban eltért a legtöbb földi rendszertől, ugyanis a súrlódásnak kitett rendszerek disszipatívak, azaz veszítenek energiájukból, a csillagászati rendszerek viszont nem: azok konzervatív vagy Hamilton-féle rendszerek. Ténylegesen persze, igen kicsiny léptékben tekintve, még a csillagászati rendszerekben is mutatkozik némi energiaveszteség - a csillagok energiát sugároznak ki és az árapály-súrlódás is elvesz egy kis impulzust a keringő testektől, de gyakorlati szempontból a csillagászati számításokban elhagyható a disszipáció. Disszipáció nélkül pedig a fázistér nem hajtogatódik és húzódik össze úgy, ahogy az a végtelen fraktálrétegződéshez szükséges. Sosem jöhet létre különös attraktor. Lehetséges-e így káosz? Sok csillagász hosszú és sikeres pályát fut be anélkül, hogy egyszer is gondolna a dinamikai rendszerekre, de Hénont más fából faragták. Párizsban született 1931-ben, néhány évvel fiatalabb volt Lorenznél, de hozzá hasonlóan érzett valami beteljesületlen vonzódást a matematika iránt. Hénon szerette a kis, konkrét problémákat, olyanokat, amelyeket fizikai helyzetekhez lehetett illeszteni, de „nem azt a fajta matematikát, amit az emberek manapság művelnek" - mondta. Amikor a számítógépek méretei az amatőrök számára megfelelő nagyságúra csökkentek, Hénon vett egyet, egy Heathkit-et, otthon összerakta és játszani kezdett vele. Jóval korábban rágódott már egy különösen zavarbaejtő dinamikai problémán. Ez a gömbhalmazokkal volt kapcsolatos, azaz a csillagokkal - néha milliónyival - telezsúfolt golyókkal, amelyek a legkorosabb és talán a leginkább lélegzetelállító objektumok az éjjeli égbolton. A gömbhalmazokban meglepően sűrűn vannak a csillagok. Együttmaradásuk és időbeli fejlődésük problémája az egész huszadik század folyamán foglalkoztatta a csillagászokat. Dinamikai szempontból a gömbhalmaz egy hatalmas soktest-probléma. A kéttest-probléma könnyű, azt már Newton maradéktalanul megoldotta. A két test - például a Föld és a Hold - egy-egy tökéletes ellipszispályán kering a közös tömegközéppont körül. De vegyünk be kettejük rendszerébe csupán egy további számottevő gravitációjú testet és minden nyomban megváltozik. A háromtest-probléma nehéz, sőt igazából a nehéznél is nehezebb. Ahogyan Poincaré felfedezte, gyakran megoldhatatlan. A pályák numerikusan kiszámíthatók egy darabig, nagy teljesítményű számítógépekkel pedig hosszan követhetők, 1

Hénon felfedezését a következő cikkekben jelentette be: A Two-Dimensional Mapping with a Strange Attractor, Communications in Mathematical Physics 50 (1976), pp. 69-77, és Michel Hénon and Yves Pomeau: Two Strange Attractors with a Simple Structure, in: Turbulence and the Navier-Stokes Equations, ed. R. Teman (Springer Verlag, New York, 1977). Az HénonHeiles-modellrő l magyarul is olvashatunk A káosz c. könyvben és a Nemlineáris jelenségek: Struktúrák kialakulása és káosz c. kiadvány II. kötetében.

mindaddig, míg a bizonytalanságok el nem kezdenek felülkerekedni. Az egyenletek azonban analitikus módszerekkel nem oldhatók meg, s ez azzal jár, hogy a háromtest-rendszerrel kapcsolatos hosszú távú kérdéseket nem lehet megválaszolni. Stabil-e a Naprendszer? Rövid távon bizonyosan annak tűnik, de még ma sem tudja senki biztosan, hogy egyes bolygók pályája nem válhat-e egyre elnyúltabbá, s e bolygók nem távoznak-e el mindörökre a Naprendszerből. A gömbhalmazhoz hasonló rendszerek jóval bonyolultabbak, semhogy közvetlenül soktest-problémaként foghatnánk fel őket, de bizonyos kompromisszumok árán tanulmányozhatóvá válik a dinamikájuk. Ésszerű például feltenni, hogy az egyes csillagok egy sajátos tömegközépponttal bíró átlagos gravitációs térben végzik mozgásukat. Időről időre mindazonáltal megtörténik, hogy két csillag elég közel kerül egymáshoz, s ez esetben már külön tárgyalandó a közöttük működő kölcsönhatás. És a csillagászok felismerték, hogy a gömbhalmazok általában nem lehetnek stabilak. Kettőscsillag-rendszerek alakulhatnak ki bennük - csillagok párban, egymáshoz közeli pályán -, s amikor ezzel a kettőssel összetalálkozik egy harmadik csillag, az egyikük könnyen kaphat egy erős lökést. Elő-előfordul, hogy egy csillag kellően nagy energiát nyer egy ilyen lökéstől, eléri a szökési sebességet és örökre elhagyja a halmazt; a halmaz ilyenkor egy kicsit összébb húzódik. Amikor 1960-ban Párizsban Hénon megcélozta ezt a problémát doktori disszertációjában, egy meglehetősen önkényes feltevésre építette fel gondolatmenetét: arra, hogy amikor a halmaz összébb húzódik, továbbra is hasonló marad magához. A számításokat végigvíve, megdöbbentő eredményre jutott: a halmaz magja mozgási energiát nyerve, egy végtelenül sűrű állapot felé törekszik és összeomlik. Ezt nehéz volt elképzelni, és az addig megfigyelt halmazok sem mutattak semmi ilyesfélét. De lassacskán mégis elfogadták, s később már „gravotermális összeomlás" néven emlegették Hénon elméletét. Ezáltal megerősítve Hénon belefogott egy sokkal könnyebb csillagdinamikai problémába, igyekezvén régi problémákon kipróbálni a matematikát és folytatni a váratlan eredmények sorát. Ez idő tájt, 1962-ben, a Princetoni Egyetemre látogatva jutott először számítógéphez, éppen akkor, amikor Lorenz a Massachusettsi Műegyetemen elkezdett számítógépet alkalmazni a meteorológiában. Hénon a galaktikus központjuk körül keringő csillagok pályáját modellezte. A galaktikus pályákat elfogadhatóan egyszerű alakban úgy lehetett tárgyalni, mint a bolygópályákat a Nap körül, azzal a kivétellel, hogy a központi gravitációs forrás ezúttal nem egy pont, hanem egy mindhárom dimenzióban kiterjedő korong. Kompromisszumra jutott a differenciálegyenletekkel. „Hogy több szabadságunk legyen a kísérletezésben - írta -, egy időre felejtsük el a probléma csillagászati eredetét."1 Bár abban az időben nem így mondta, ez a „szabadság a kísérletezésben' azt is jelentette, hogy szabadon kísérletezhetett ezzel a problémával a maga kezdetleges számítógépén. Gépe lassú volt, és a memóriája is nagyon kicsi: talán ezredakkora, mint egy huszonöt évvel későbbi személyi számítógép egyetlen chipje. De ő is azt találta, amit a káosz jelenségével később kísérletezők, hogy a túlságos egyszerűsítés kifizetődő volt. Rendszerének csak a lényegére összpontosítva olyan felfedezéseket tett, amelyeket más - fontosabb - rendszerekre is alkalmazni lehetett. Évekkel később is folyt az elméleti játék a galaktikus pályákkal, de erőfeszítést és költséget nem kímélve - már olyanok vizsgálták ezen rendszerek dinamikáját, akiket a részecskék pályája érdekelt a nagy energiájú gyorsítókban vagy akik a mágneses plazmákat igyekeztek bezárni a magfúzió megvalósítása céljából. 1

Michel Hénon and Carl Heiles: The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments. Astronomical Journal 69 (1964), p. 73. Az égitestek kaotikus mozgásáról magyarulA káosz c. könyvben és aMagyar Tudomány 1993/4es számában olvashatunk.

A galaxisokban a csillagpályák - 200 millió éves időtartományban - háromdimenziós jellegűek, nem tökéletes ellipszisek. A háromdimenziós valódi pályákat éppoly nehéz megjeleníteni, mint ha képzeletbeli alkotások lennének a fázistérben. Hénon ezért a Poincaré-leképezéshez hasonló módszerhez folyamodott. Elképzelt egy „függőleges" elhelyezkedésű síklapot a galaxis egyik oldalán, olyat, amelyen minden pálya áthalad, mint a lovak a versenypálya célvonalán. Ezután megjelölte a pálya és a metsző sík találkozási pontjait és figyelte, hová esik a pálya és a sík következő találkozási pontja. Hénonnak ezeket a pontokat még kézzel kellett felrajzolnia, de később az a számos tudós, aki ezt a módszert használta, már a számítógép képernyőjén figyelhette megjelenésüket; úgy tűntek fel az ernyőn, ahogyan alkonyatkor egymás után felgyulladnak a távolban az utcai lámpák. A pálya mondjuk a lap bal alsó részére eső ponttal kezdődött; a következő találkozási pont már ettől jobbra esett néhány centiméterrel. Az ezutáni még ettől is jobbra volt, s már egy kicsit feljebb, s így tovább. Először nem látszik, kikerekedik-e ebből valami, de tíz vagy húsz pont kirajzolódása után egy tojásdad görbét vélünk felismerni a képernyőn. Az egymást követő pontok valójában csak kerülgetik a görbét, de mert nem pontosan ugyanarra a helyre érnek vissza, végül - pontok százai és ezrei után - mégis pontosan kirajzolják az alakját. Ezek a pályák nem teljesen szabályosak, mert sosem ismétlik pontosan önmagukat, de biztosan megjósolhatók, és egyáltalán nem kaotikusak. Sosem jut pont a görbe belsejébe vagy azon kívülre. A teljes háromdimenziós képre visszafordítva, a pályák egy tóruszt, egy középen lyukas, fánkszerű alakzatot vázoltak fel; az Hénon-leképezés ennek a tórusznak a keresztmetszete volt. Hénon mind ez idáig csupán azt ábrázolta, amit minden elődje is magától értetődőnek tekintett. A pályák periodikusak voltak. A koppenhágai obszervatóriumban ilyen pályák százait figyelte és számította ki fáradságot nem kímélve egy egész csillagászgeneráció, de csak azok a pályák érdekelték őket, amelyek periodikusnak bizonyultak. „Én is, mint mindenki abban az időben, meg voltam győződve arról, hogy minden pályának ilyen szabályosnak kell lennie." - mondta Hénon. Ő és princetoni doktorandusza, Carl Heiles azonban folytatta a különböző pályák kiszámítását, s eközben állandóan növelték absztrakt rendszerük energiáját. Ám hamarosan valami teljesen újat láttak. A tojás alakú görbe előbb valami bonyolultabbá csavarodott, nyolcas alakban keresztezte önmagát, és különálló hurkokra hasadt. De minden pálya továbbra is e hurkok valamelyikére esett. Azután még magasabb energián váratlanul egy másik változás következett be. „S itt jön a meglepetés"1 - írta Hénon és Heiles. Néhány pálya annyira instabillá vált, hogy a pontok véletlenszerűen szétszóródtak az egész lapon. Egyes helyeken még lehetett görbéket rajzolni; máshol semmilyen görbe sem illett a pontokra. A kép eléggé döbbenetessé vált: a szemmel láthatóan tökéletes rendezetlenség keveredett a rend kivehető maradványaival, s olyan alakzatokat alkotott, amelyek „szigetek" és „szigetláncok" képét idézték fel a csillagászokban. Kipróbálták ugyanezt két különböző számítógépen és két különböző integrálási módszerrel, de az eredmény mit sem változott. Kísérletezhettek és töprenghettek tovább. Csupán numerikus kísérleteikre támaszkodva, megfogalmaztak egy feltevést az ilyen ábrák finomszerkezetéről. Erősebb nagyításban feltehetőleg több sziget jelenik meg mondták -, egyre kisebb méretekben, talán egészen a végtelenségig. Matematikai bizonyításra lett volna szükség, „de a probléma matematikai megközelítése nem látszott könnyűnek."2 Hénon más problémákra tért át, de tizennégy évvel később, amikor végre tudomást szerzett David Ruelle és Edward Lorenz különös attraktorairól, már fel volt készülve a folyta1 U.o. p. 76. 2 U.o. p. 79.

tásra. 1976-ra már a nizzai obszervatóriumban dolgozott, a Földközi-tenger fölé magasodó Grande Corniche-on, és itt hallotta egy odalátogató fizikus előadását a Lorenz-attraktorról. A fizikus többféle módszert próbált ki az attraktor „mikroszerkezetének" megvilágítására, de nem sok sikerrel járt. Hénon, bár a disszipatív rendszerek nem az ő területe volt („a csillagászok néha félnek a disszipatív rendszerektől: azok olyan rendetlenek"), úgy érezte, van egy ötlete. PÁLYÁ K A GA LAKTIKUS KÖZÉPPONT KÖRÜL. A csillagok galaxisbeli pályájának megértéséhez Michel Hénon kiszámította egy pálya és egy sík metszéspontjait. Az eredményül kapott mintázatok függtek a rendszer teljes energiájától. A stabil pályától származó pontok fokról fokra egy folytonos, összefüggő görbét (balra) rajzoltak ki. Más energiaértékeken viszont a stabilitás és a káosz keverékét adták; a káoszt a szétszórt pontok tartománya jeleníti meg.

M ichel Hénon

Megint csak úgy döntött, hogy figyelmen kívül hagyja a rendszer fizikai vonatkozásait, és csak a feltárni kívánt geometriai lényeget veszi tekintetbe. Ahol Lorenz és a többiek elakadtak a differenciálegyenleteknél - áramlás folytonos térbeli és időbeli változásokkal -,

ott ő az időben nem folytonos differenciaegyenletekhez fordult. Meggyőződése szerint a kulcs a fázistér ismételt megnyújtásában és összehajtásában rejlik, abban a módban, ahogy a cukrász kinyújtja a tésztát, azután összehajtja, megint kinyújtja, megint összehajtja, s ezzel létrehoz egy struktúrát: egy vékony rétegekből álló köteget. Hénon felrajzolt egy lapos oválist egy darab papírra. A megnyújtásához kiszemelt egy rövid numerikus függvényt, amely az ovális bármely pontját átviszi egy bizonyos alakzat - egy a közepén felfelé megnyújtott ív - valamely pontjába. Ez egy pontot pontba vivő leképezés volt, így az egész ovális „leképeződött" az ívre. Ezután választott egy második leképezést, ezúttal egy összehúzást, amely befelé zsugorította és keskenyebbé tette az ívet. Azután egy harmadik leképezéssel oldalára fordította ezt a keskeny ívet, úgy, hogy az szépen beállt az eredeti ovális irányába. A három leképezést a számítások céljaira egyetlen függvénnyé lehetett összekapcsolni. Az eljárás lényegét tekintve Smale lópatkó-ötletének folytatása volt. Numerikusan az egész folyamat annyira egyszerű, hogy könnyen követhető egy számológépen. Bármely pontnak van egy x és egy y koordinátája: ezek jellemzik vízszintes és függőleges helyzetét. Az új x-et a következő szabály szerint számítjuk ki: vegyük a régi y-t, adjunk hozzá 1-et és vonjuk le belőle a régi x négyzetének 1,4-szeresét. Az új y-t pedig úgy, hogy a régi x-et megszorozzuk 0,3-del. Tehát: xúj = y + 1 - 1,4x2 és yúj = 0,3x. Hénon többé-kevésbé találomra kiválasztott egy kezdőpontot, vette a számológépét és elkezdett új pontokat rajzolni, több ezret egymás után. Azután igazi számítógépet használt, egy IBM 7040-et, és hamarjában felrajzolt ötmillió pontot. Bárki könnyen utána csinálhatja egy személyi számítógép és egy grafikus képernyő segítségével. A pontok először véletlenszerűen ugrálnak az egész képernyőn. Ez nem más, mint a képernyőn át véletlenszerűen oda- s visszakanyargó háromdimenziós attraktor Poincarémetszete. Hamarosan kezd kirajzolódni egy alakzat: egy banánszerű körvonal. Minél tovább fut a program, annál több részlet jelenik meg. A körvonalak egyes helyeken vastagnak tűnnek, de azután a vastag rész két különálló vonallá bomlik fel, azután a kettő néggyé, amelyek közül az egyik pár közel van egymáshoz, a másik távolabb. Erősebb nagyításban a négy vonalról kiderül, hogy mindegyik két további vonalból áll, s így tovább, a végtelenségig. Akárcsak a Lorenz-féle attraktort, Hénon attraktorát is végtelen visszatérés, végtelen leszállás jellemzi, mint az egymásba tett matrjoskababák végtelen sorozatát. A végül kialakuló egymásba ágyazott részletek - a vonalak a vonalakban - egy egyre erősebb nagyítású képsorozatból következtethetők ki. De a különös attraktor különössége aközben is érzékelhető, hogy az alakzat pontjai sorra, egymás után megjelennek a képernyőn. Az attraktor úgy rajzolódik ki belőlük, mint szellem a ködben. Az új pontok véletlenszerűen szóródnak a képernyőn, így hihetetlennek tűnik, hogy valamiféle struktúrát jelenítenének meg, kivált egy ennyire bonyolult és finom szerkezetet. Az egymást követő pontok tetszőleges távolságban lehetnek egymástól, éppúgy, ahogyan a kezdetben közeli pontok is eltávolodhatnak egymástól a turbulens áramlásban. Akár sok pontunk van már, akár csak kevés, lehetetlen kitalálni, hol tűnik majd fel a következő pont - csak annyit tudhatunk biztosan, hogy az attraktoron. A pontok annyira véletlenszerűen vándorolnak, a mintázat annyira légies módon jelenik meg, hogy nehéz elhinni: ez az alakzat egy attraktor. S az attraktor nem csupán a dinamikai rendszer egyik pályája - ez az a pálya, amelyhez az összes többi pálya tart. Ezért nem számít a kezdeti feltételek kiválasztása. Ha a kiindulási pont valahol az attraktor közelében fekszik, akkor az első pontok gyorsan közelednek az attraktorhoz.

Az HÉNON-ATTRAKTOR. Az összehajtás és nyújtás egyszerű összekapcsolása olyan attraktort eredményezett, amelyet könnyű kiszámolni, mégis nehezen értik a matematikusok. Ahogyan a pontok ezrei, majd milliói megjelennek, egyre több részlet tűnik elő. Ami egyetlen vonalnak látszik, az a nagyításban vonalpárnak, majd vonalnégyesnek bizonyul. De hogy az egymást követő pontok egymás kö zelében vagy egymástól távol bukkannak-e fel, az megjósolhatatlan.

Évekkel korábban, 1974-ben, amikor David Ruelle megérkezett Gollub és Swinney City College-beli laboratóriumába, a három fizikus létrehozott valami gyenge kapcsolatot az elmélet és a kísérlet között. Egy kis gondolatilag merész, de gyengén megalapozott matematika - hengerek közé zárt turbulens folyadék -, semmi különös, csak nyilvánvalóan nincsen összhangban a régi elmélettel. A férfiak beszélgetéssel töltötték a délutánt, majd Swinney és Gollub szabadságra utazott a feleségével az Adirondack-hegységbe, Gollub víkendházába. Nem láttak különös attraktort és nem végeztek sok kísérletet a tekintetben, hogy mi történhet valójában a turbulencia fellépésekor. De tudták, hogy Landau tévedett, és feltették, hogy Ruelle-nek igaza van. A különös attraktor puszta lehetőségként indult, mint a számítógép feltárta világ egyik eleme, s egy olyan helyet jelképezett, ahol sok nagyszerű elképzelés bukott meg a huszadik században. De amikor a kutatók felismerték, hogy mit kell a számítógépnek mutatnia, a

különös attraktor egyszerre olyan arcnak tűnt fel, amely mindenütt elébük kerül, a turbulens áramlásoktól kezdve az égen fátyolként szétszórt felhőkig. A természetet kényszer korlátozta. A rendezetlenség, úgy tűnt, néhány közös alapelv révén mintázatokba szorult. Később a különös attraktorok megismerése továbbvitte a káosz forradalmát: világos programot nyújtott ugyanis a „numerikus" felfedezőknek. Ezek a felfedezők mindenütt különös attraktorokat kerestek, ahol a természet véletlenszerűen látszott viselkedni. Sokan a földi időjárás működésében is egy különös attraktort sejtettek. Mások milliószámra gyűjtötték a tőzsdei adatokat és azokban kezdtek különös attraktort keresni, a számítógép állítható optikáján át meredve a véletlenszerűségekre. Az 1970-es évek közepén azonban mindezek még felfedezésre vártak. Senki sem látott még különös attraktort a kísérletekben, és egyáltalán nem volt világos, hogyan lehetne ilyet keresni. Elméletben a különös attraktor megadhatta a káosz alapvető új tulajdonságainak matematikai lényegét. Az egyik az érzékenység volt a kezdőfeltételek iránt, a másik a „keverés' - abban az értelemben, ahogyan a sugárhajtású motorok tervezőjének fontos az üzemanyag és az oxigén hatékony keveredése. Senki sem tudta azonban, hogyan kell mérni ezeket a tulajdonságokat, hogyan kell számokat rendelni hozzájuk. A különös attraktorok fraktálnak tűntek - eszerint tehát törtszám a dimenziójuk -, de akkor még senki sem tudta, hogyan mérje a dimenziót vagy hogyan végzendők ilyesféle mérések műszaki problémákban. S a legfontosabb: senki sem tudta, vajon mondhatnak-e valamit a különös attraktorok a nemlineáris rendszerek legmélyebb problémájáról. A nemlineáris rendszerek - a könnyen kiszámítható és osztályozható lineáris rendszerektől eltérően - lényegileg változatlanul osztályozhatatlannak tűntek, mindegyik különbözött az összes többitől. A tudósok hiába kezdték már gyanítani, hogy vannak közös tulajdonságaik: amikor mérésekre és számításokra került a sor, mindegyik nemlineáris rendszer külön világnak tetszett. Úgy látszott, hogy ennek vagy annak a rendszernek a megértése semmit sem segít a következő megértésében. Az attraktorok - például a Lorenz-féle attraktor - olyan rendszerek stabilitását és rejtett szerkezetét fedték fel, amelyekben különben nem látszott semmi jellegzetesség; de hogyan segíthetné ez a különös kettős spirál a kutatókat a nem rokon rendszerek feltárásában? Senki sem tudta. Mára az izgatottság behatolt az egzakt tudományba is. A tudósok ezeknek az alakzatoknak a láttán időlegesen túltették magukat a tudományos értekezések szabályain. Ahogyan Ruelle írja: „Nem beszéltem a különös attraktorok esztétikai vonzerejéről. Ez a görberendszer, ezek a pontokból álló felhők hol tűzijátékra vagy galaxisokra emlékeztetnek, hol különös, nyugtalanító növényi osztódásokra. A formák egész birodalma vár felkutatásra, a harmóniák sora vár felfedezésre."1

1 Strange Attractors... p. 137.

Univerzalitás

E sort olvasva arany lesz jutalmad, Ha meg e kört a földre rajzolod, Villámlás, dörgés, forgószel, vihar lesz.

MARLOWE Dr. Faustus tragikus története (Franklin, 1917. p. 37-38)

A simán folydogáló áramlás néhány tucat méterrel a vízesés előtt mintha „megérezné' a közelgő lezúdulást. A víz gyorsulni kezd és felborzolódik. Különváló patakok rajzolódnak ki rajta, mint kidudorodó, lüktető erek az ember kezén. Mitchell Feigenbaum áll az áramlás mentén. Kicsit megizzadt a dzsekiben és a kordnadrágban, s most rágyújt egy cigarettára. Barátaival jött, de azok előrementek, felfelé, a csendesebb vizekhez. Hirtelen, mintha egy teniszszurkoló őrült gyorsított paródiája lenne, elkezdi jobbra-balra forgatni a fejét. „Az ember összpontosíthat valamire, egy kis tajtékra vagy ilyesmire. Ha elég gyorsan mozgatja a fejét, hirtelen érzékelheti a felszín egész szerkezetét, és érezheti még a gyomrában is." Megszívja a cigarettáját. „De ha valaki megfelelő matematikai háttér birtokában nézi ezt az egészet, vagy a felhőgomolyagokat, vagy egy tengerparti védőgáton áll a viharban, az ráébredhet, hogy valójában nem tud semmit."1 Rend a káoszban. Ez volt a tudomány legrégibb közhelye. A természet rejtett egységének és közös alapformájának gondolata eredendően igen vonzó volt, és sajnálatosan hosszú időn át tartotta fogva az áltudósokat és a hóbortos elméket. Amikor Feigenbaum 1974-ben - egy évvel harmincadik születésnapja előtt - a Los Alamosi Nemzeti Laboratóriumba érkezett, tudta, hogy ha a fizikusok ezzel a gondolattal végre kezdeni akarnának valamit, akkor gyakorlati eszközökre lenne szükségük, módszerre, amellyel számítássá alakíthatók a gondolatok. A legkevésbé sem volt nyilvánvaló, hogyan kellene ehhez hozzálátni. Feigenbaumot Peter Carruthers alkalmazta, egy csendes, megtévesztően barátságos fizikus, aki 1973-ban jött a Cornellről, hogy átvegye az Elméleti Osztályt. Első tette az volt, hogy elbocsátott egy féltucat idősebb tudóst - Los Alamos nem szolgál az egyetemeken megszokott végleges kinevezéssel - és a helyükre felvett néhány, saját maga által kiválasztott, ragyogó fiatal kutatót. Nagyratörő tudományos menedzser volt, ám tapasztalatból tudta, hogy a jó tudomány nem mindig tervezhető. „Ha az ember összehívott egy bizottságot a laboratóriumban vagy Washingtonban és azt mondta, hogy »A turbulencia tényleg az utunkban áll: meg kell értenünk, különben számos területen csökkennek az esélyeink az előrehaladásra«, akkor nyilvánvalóan alkalmaznia kellett volna egy kutatócsoportot, szereznie egy óriási számítógépet, és terjedelmes programokat futtatnia rajta. És a végén nem sült volna ki belőle semmi. Ehelyett itt van nekünk ez az okos, csendesen üldögélő fickó; kétségtelen, beszélget az emberekkel, de legtöbbször egymagában dolgozik." Beszélgettek egymással a turbulenciáról, de ahogyan telt-múlt az 1

Feigenbaum döntő fontosságú tanulmányai az univerzalitásról a következők: „Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations," Journal of Statistical Physics 19 (1978), pp. 2552, és „The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations," Journal of Statistical Physics 21 (1979), pp. 669-706; valamivel érthetőbb ismertetés, ami még mindig megkíván némi matematikát, a következő áttekintő cikke: ,Universal Behavior in Nonlinear Systems," Los Alamos Science 1 (Summer 1981), pp. 4-27. Felhasználtam kiadatlan visszaemlékezéseit is, amelynek címe: „The Discovery of Universality in Period Doubling." - Magyar ismertetéseket olvashatunk a fejezet témáiról Gnádig-Györgyi-Szépfalusy-Tél cikkében A káosz c. tanulmánygyűjteményben, Szépfalusy Péter akadémiai székfoglalójában és a Nemlineáris jelenségek: Struktúrák kialakulása és káosz c. kiadvány II. kötetében.

idő, már Carruthers sem volt biztos benne, merre is halad Feigenbaum. „Azt gondoltam, abba kell hagynia és egy másik probléma után kell néznie. Nem tudtam, hogy ez a másik probléma ugyanaz a probléma. Úgy tűnik, ezzel a témával - a rendszerek nemlineáris viselkedésével - a tudomány sok különböző ága foglalkozott. Senki sem gondolta volna, hogy e problémában a részecskefizikai és a kvantumtérelméleti tudás a megfelelő elméleti háttér, meg az a felismerés, hogy a kvantumtérelméletben renormalizációs (újranormálási) csoport néven már ismeretesek ezek a struktúrák. Senki sem tudta, hogy a sztochasztikus folyamatok általános elméletének és egyúttal a fraktálstruktúráknak a megértésére lenne szükség. Mitchellnek megvolt a szükséges háttere. Az tette, amit kellett, pontosan akkor, amikor kellett; és nagyon jól csinálta. Semmi részeredmény: tisztázta az egész problémát." Feigenbaumnak Los Alamosba érkezésekor már meggyőződése volt, hogy tudománya nem érti a nehéz problémákat: jelesül a nemlineáris problémákat. Jóllehet fizikusként szinte semmit sem hozott létre, nem mindennapi szellemi tőkét halmozott fel. Jól hasznosítható ismeretei voltak a matematikai analízis legizgalmasabb területén és az új típusú számítástechnikában, amely szinte áthatolhatatlan akadály volt a legtöbb tudós előtt. Sikerült megóvnia magában néhány látszólag tudománytalan gondolatot a tizennyolcadik századi romantikából. Valóban új tudományt akart létrehozni. Azzal kezdte tehát, hogy félretett minden olyan gondolatot, amely a valóságos komplexitást vette célba, és inkább a legegyszerűbb nemlineáris egyenletek felé fordult, amit csak találni tudott.

A világegyetem titkozatossága a Silvertone rádió képében mutatkozott meg először az alig négyéves Mitchell Feigenbaum előtt, amint - nem sokkal a háború után - szüleinek nappalijában ült a brooklyni Flatbush negyedben. Beleszédült a gondolatba, hogy a zene bármi megfogható hordozó nélkül jut el a készülékig. A lemezjátszót viszont már érteni vélte, s nagymamája külön engedélyével egyedül is feltehette a 78-asokat. Apja vegyész volt a New Yorki Kikötői Hatóságnál, majd később a Clairolnál. Anyja a városi iskolákban tanított. Mitchell előbb villamosmérnök akart lenni, mert Brooklynban az biztos megélhetésnek számított, de utóbb rájött, hogy amit a rádióról tudni akart, azt inkább a fizikában találhatja meg. Ahhoz a tudósnemzedékhez tartozott, amely New York külső kerületeiben felcseperedve, a nagy városi középiskolákban - Feigenbaum esetében a Samuel J. Tildenben -, majd a City College-ban indult el ragyogó pályáján. Brooklynban eszesnek felnőni annyit tett, mint keskeny ösvényen haladni az értelem világa és a többi ember világa közti senki földjén. Feigenbaum nagyon fiatal korában tíz körömmel ragaszkodott a társasághoz: úgy érezte, másképp aligha úszhatja meg, hogy elverjék. De valami megváltozott benne, amikor rájött, hogy képes egyet s mást megtanulni. Egyre inkább elszakadt barátaitól; nem érdekelték a mindennapi beszélgetések. A City College-ban töltött utolsó évben időnként úgy érezte, eltékozolta az ifjúságát, és tervszerűen igyekezett újra kapcsolatba kerülni az emberiséggel. Kávéházban ücsörgött, s szótlanul hallgatta, hogyan társalognak a diákok egymás között a borotválkozásról vagy az ételekről, és lassacskán sok mindent újra megtanult az emberekkel való beszélgetés tudományából. 1964-ben diplomát kapott és tanulmányait a Massachusettsi Műegyetemen folytatta: itt 1970-ben részecskefizikából doktorált. Ezután eltöltött négy terméketlen évet a Cornellen és a Virginiai Műegyetemen - terméketlent a tekintetben, hogy fiatal egyetemi tudósként megoldható problémákról kellett volna sűrű egymásutánban publikációkat megjelentetnie: az egyetemi doktoroktól tanulmányáradatot vártak. Egyszeregyszer egy tanácsadó megkérdezte Feigenbaumot, hogyan is áll ezzel vagy azzal a problémával; ő mindig azt válaszolta:

„Ó, megértettem." A Los Alamosba újonnan érkezett Carruthers, az okkal félelmetes hírű tudós, büszke volt rá, hogy nyomban felismeri a tehetséget. Nem az intelligencia érdekelte őt, hanem egyfajta, szinte titkos belső működésből fakadó alkotókészség. Mindig Kenneth Wilsont látta maga előtt, egy másik barátságos fizikust a Cornellről, aki látszólag az égvilágon semmit sem produkált. Aki azonban hosszasabban beszélgetett vele, az láthatta, hogy rendkívüli tehetsége van a fizikai kutatásokhoz. Így hát Wilson véglegesítése körül nem kis viták dúltak. Végül azok a fizikusok kerekedtek felül, akik bizonyosságot akartak szerezni Wilson érzékelhető, mégis bizonyítatlan képességei felől - és ebből nagy meglepetésre valóságos gátszakadás lett. Nem egyetlen tanulmány, hanem tanulmányok özöne került ki Wilson asztalfiókjából, köztük az a munka, amelyért 1982-ben a Nobel-díjat kapta. Wilson e kiemelkedő fizikai műve - két másik fizikus: Leo Kadanoff és Michael Fisher munkájával együtt - lényeges előzménye volt a káoszelméletnek. E három kutató - egymástól függetlenül, ki-ki a maga útját követve - azt feszegette, vajon mi történik a fázisátalakulásokban. Az átalakulási pontok közelében tanulmányozták az anyag viselkedését: ott, ahol az anyag egyik állapotából a másikba - folyadékból gázba vagy mágnesezetlenből mágnesezettbe - lép át. A fázisátalakulások - a létezés két birodalma közötti szinguláris határként - matematikai tekintetben erősen nemlineáris tulajdonságukkal tűntek ki. A fázisokon belül tapasztalható sima és előre látható viselkedés nem sokat segít az átmenetek megértésében. A tűzhelyen egy kanna víz szabályosan melegszik fel egészen a forráspontig. Ott azonban megáll a hőmérsékletváltozás és valami nagyon érdekes történik a folyadék és gáz közötti molekuláris határfelületen. Kadanoff intellektuális rejtvénynek fogta fel a fázisátalakulásokat az 1960-as években. Gondoljunk mondjuk egy mágnesezett fémtömbre. A rendezett állapot felé haladva döntésre kell jutnia: mint mágnesnek vagy erre, vagy arra kell mutatnia. A választás szabad, de a fém minden egyes piciny darabjának ugyanazt kell választania. Vajon hogyan csinálja ezt? A választás folyamatában a fém atomjainak valamiképpen információt kell közölniük egymással. Kadanoff arra a belátásra jutott, hogy ezt a kommunikációt legegyszerűbben skálázással lehetne leírni. Közelebbről: úgy gondolta, hogy a fém dobozokra van felosztva, s ezek a dobozok a közvetlen szomszédaikkal kommunikálnak. Ez a kommunikáció ugyanúgy írható le, mint az atomok - a közvetlenül szomszédos atomok - közötti kommunikáció. Ezért alkalmazható a skálázás: a fémet legokosabb fraktálszerű modellként elképzelni, amelyben mindenféle méretű doboznak helye van. E skálázásra támaszkodó gondolat használhatóságának megalapozásához nem kevés matematikai analízisre és valóságos rendszerekkel kapcsolatos tapasztalatra volt szükség. Kadanoff úgy érezte, hogy nehéz vállalkozásba fogott, s egy rendkívül szép, az öntartalmazásra épülő világot alkotott. Ez a szépség részben az univerzalitásból fakadt. Kadanoff gondolata vált a gerincévé a kritikus jelenségek legmegdöbbentőbb tényének, annak ugyanis, hogy ezek a látszólag független átmenetek - a folyadékok forrása, a fémek mágnesezése - valamennyien ugyanazokat a szabályokat követik. Wilson azután mindezt belegyúrta a renormalizációs csoport elméletébe, s ezzel hatékony eszközt adott a valóságos rendszerekre vonatkozó számításokhoz. A renormalizáció az 1940-es években bukkant fel a fizikában: ez a konstrukció tette lehetővé a kvantummechanikában az elektronok és fotonok kölcsönhatásának kiszámítását. Ezekkel a számításokkal - akárcsak a Kadanoffot és Wilsont foglalkoztató számításokban - az volt a baj, hogy bizonyos pontokon végtelen mennyiségeket kellett kezelni, ami zűrzavaros és kellemetlen dolog. A rendszer renormalizálása révén - ahogyan azt Richard Feynman, Julian Schwinger, Freeman Dyson és más fizikusok kidolgozták - mindezt el lehetett kerülni.

Csak jóval később, az 1960-as években sikerült azonban leásni - Wilson jóvoltából - a renormalizáció sikerének alapjaiig. Kadanoffhoz hasonlóan Wilson is a skálázási elveken gondolkodott. A fizikában bizonyos mennyiségeket, például a részecskék tömegét, hagyományosan rögzítettnek vettek - minthogy a mindennapi tapasztalat szerint a tárgyak tömege állandó. A renormalizáció azért volt sikeres, mert a tömeget és a hozzá hasonló mennyiségeket nem tekintette egyszer s mindenkorra rögzített értékűnek. Ezek a mennyiségek nőttek vagy csökkentek, aszerint, hogy milyen mérettartományról volt éppen szó. Ez persze tökéletes képtelenségnek látszott, ámde pontosan megfelelt annak, amit Benoit Mandelbrot felismert a geometriai alakzatokkal és Anglia tengerpartjával kapcsolatban. Ezeknek az alakzatoknak a hosszát sem lehetett skálától függetlenül mérni. Egyfajta viszonylagosság - a megfigyelő helyzete: hogy közel van-e vagy távol, a tengerparton ül-e vagy egy űrhajón - befolyásolta a mérést. Mint azt Mandelbrot is látta, a mérettartományról mérettartományra megfigyelhető változás nem tetszőleges volt, hanem bizonyos szabályszerűségről tanúskodott. Az addig állandónak tartott mennyiségek (a tömeg vagy a hosszúság) helyébe más mennyiségek léptek: a fraktálok körében például a fraktáldimenzió - egy kiszámítható állandó, amely eszközként szolgált további számításokhoz. Az a tény, hogy a tömeg megszűnt állandónak lenni, s mérettartományonként más-más értéket vehetett fel, azt jelentette, hogy a matematikusok felismerték a mérettartományok hasonlóságát. Ilyenformán Wilson renormalizációs csoportról alkotott elmélete más utat nyitott a fáradságos számításokban a végtelen sűrűség problémájának kezeléséhez. Addig csupán egyféle módszer volt ismeretes a lineáristól erősen eltérő esetek kezelésére: az úgynevezett perturbációs elmélet. Ebben az elméletben felteszik, hogy a megoldandó nemlineáris probléma viszonylag kevéssé tér el egy megoldható lineáris problémától - éppen csak annyira, hogy a különbséget akár zavarként (perturbációként) is fel lehessen fogni. Ezek után megoldják ezt a bizonyos közel eső lineáris problémát, s a fennmaradó részt bonyolult eljárásnak vetik alá: úgynevezett Feynman-diagramok formájában sorba fejtik. Minél nagyobb pontosság szükséges, annál több ilyen - keservesen meghatározható - diagramot kell tekintetbe venni. Ezek a számítások némi szerencsével tartanak is valamilyen megoldáshoz, ámde a különösen érdekes problémákban rendszerint hiányzik ez a kis szerencse. Feigenbaum, mint az 1960-as években minden fiatal részecskefizikus, egyszer csak azon kapta magát, hogy mást sem tesz, csak Feynman-diagramokat gyárt. S arra a belátásra jutott, hogy a perturbációs elmélet unalmas, érthetetlen ostobaság. Így hát megszerette Wilson renormalizációs csoportról szóló új elméletét. Ez az elmélet az önhasonlóság felismerésével utat nyitott a komplexitás rétegről rétegre való csökkentéséhez. A gyakorlatban azonban egyáltalán nem volt egyszerű a renormalizációs csoportot használni. Az önhasonlóságot jól megragadó számításokra csak nagy leleményességgel lehetett rátalálni. Mindazonáltal a módszer elég jól működött és időről időre arra bátorított egyes fizikusokat, köztük Feigenbaumot is, hogy szegezzék neki a turbulencia problémájának is. Végül is úgy tetszett, az önhasonlóság a turbulencia - a fluktuáció hátán fluktuáció, örvény hátán örvény - kézjegye. De mit lehetne kezdeni a turbulencia felbukkanásával: azzal a rejtélyes pillanattal, amikor egy rendezett rendszer kaotikussá válik. Semmi sem utalt arra, hogy a renormalizációs csoportnak bármi köze volna ehhez az átmenethez. Semmi sem szólt amellett például, hogy az átmenet eleget tenne a skálatörvényeknek.

Az MIT doktoranduszaként Feigenbaum sok éven át megmaradó tapasztalatokat szerzett. Sétált barátaival a Lincoln Víztároló körül Bostonban. Szokásává vált négy-öt órán át sétálni; s e séták alatt teljesen ráhangolódott a tudatán átáramló benyomásokra és gondola-

tokra. Ezen a napon leszakadt a csoporttól és egyedül sétált. Elment néhány piknikező mellett, és távolodva gyakran visszanézett, figyelte beszélgetésük hangjait, nézte mozdulataikat, amint gesztikuláltak vagy az ételért nyúltak. Hirtelen úgy érezte, hogy ez a csoportkép túlkerül a felfoghatóság határán. Az alakok már kivehetetlenül kicsivé lettek, cselekedeteik összefüggéstelennek, önkényesnek, véletlenszerűnek tetszettek. A füléig jutott gyenge hang elvesztette minden jelentését. Az élet szakadatlan mozgása és felfoghatatlan sürgés forgása.1 Feigenbaumban felidéződtek Gustav Mahler szavai arról az érzésről, amit Második Szimfóniájának harmadik tételében igyekezett megragadni. Akár a táncoló alakok mozgása egy ragyogóan kivilágított bálteremben, ahová a sötét éjszakából pillantunk be, messziről, ahová már nem hallik el a zene... Az élet értelmetlennek tűnhet fel a szemünkben. Feigenbaum Mahlert hallgatott és Goethét olvasott, elmerült erősen romantikus világlátásukban. Goethe Faustjában lelte leginkább kedvét, magába szívta a világról támadt legszenvedélyesebb és legintellektuálisabb gondolatok kombinációját. Romantikus hajlandóság nélkül nemigen fogták volna el olyan érzések, mint ez a zavarodottság ott a víztárolónál. Végül is miért nem veszítik el értelmüket a jelenségek, ha messzebbről nézzük őket? Ami a méretcsökkenést illeti, arra a fizikai törvények nyilvánvaló magyarázattal szolgáltak. Az összezsugorodás és az értelemvesztés közötti kapcsolat azonban már korántsem volt olyan nyilvánvaló. Miért kellene a dolgoknak méretük csökkenésével mindjárt érthetetlenebbé is válniuk? Megpróbálta egészen komolyan elemezni ezt a tapasztalatot az elméleti fizika eszköztárával, kíváncsi lévén arra, mit mondhatna az agy érzékelési mechanizmusáról. Az ember látja mások cselekedeteit, és abból bizonyos következtetésekre jut. Dekódoló berendezésünk vajon hogyan válogatja ki ezt az érzékeinket érő töméntelen információból? Világos legalábbis minden arra vall -, hogy az agyban nincsen semmiféle másolat a világban levő dolgokról. Nincsen benne könyvtár a formákról és gondolatokról, amelyből hasonmásokat kereshetne az érzékelt képekhez. Az információt alighanem valamilyen rugalmas módon tárolja, amely lehetővé teszi a képzetek fantasztikus elegyítését és egyik képzetről a másikra ugrást. Valamiféle káosz uralkodhat felette, és mintha nagyobb rugalmassággal lenne megáldva, mint a klasszikus fizika, amely rendet keres benne. Feigenbaum mindeközben a színekről is gondolkodott. A tizenkilencedik század első éveiben a színek természetét illetően kisebb tudományos csetepaté folyt Newton angliai követői és a német Goethe között. A newtoni fizika szemszögéből Goethe gondolatai csupán áltudományos tévelygésnek tűntek. Goethe ugyanis nem állandó - színképelemzővel megmérhető s aztán szinte pillangóként kartonlapra tűzhető - mennyiségeknek fogta fel a színeket, hanem olyasvalamiknek, amik az érzékelés körébe tartoznak. „A fény rezgéseivel és ellenrezgéseivel a Természet oszcillál a számára megszabott határok között - írja -, ezáltal keletkeznek a jelenségek mindazon változatai és feltételei, amelyek megnyilvánulnak előttünk a térben és időben."2 Newton elméletének próbaköve a nevezetes prizmakísérlet volt. A prizma a fehér fénysugarat színek szivárványává töri: szétszórja az egész látható színképen; Newton ezekben a tiszta színekben ismerte fel azokat az elemi összetevőket, amelyek együttesen fehéret adnak. Ezen lényegesen túllépve feltette továbbá, hogy a színek frekvenciáknak felelnek meg: úgy gondolta, hogy alighanem valamilyen rezgő testek - akkori kifejezéssel szólva: korpuszkulák - állítják elő a színeket, arányosan a rezgések gyorsaságával. Minthogy mindezt igen kevés bizonyíték támasztotta alá, ötlete éppoly igazolhatatlan volt, mint amilyen ragyogó. Mi a piros? A fizikusnak nem egyéb, mint méterenként 620-800 milliárd 1 Gustav Mahler levele Max Marschalkhoz. 2 Goethe Zur Farbenlehre c. műve sok német és angol nyelvű kiadást ért meg.

hullámot vető fénysugárzás. A newtoni optika sokezerszer helyesnek bizonyult, Goethe tanulmánya pedig elmerült a könyörületes feledésben. Feigenbaum szeretett volna hozzájutni e tanulmányhoz, de kiderült, hogy a Harvard könyvtárának egyetlen darabja is eltűnt. Végül Feigenbaum csak szerzett egy példányt, melyből megtudta, hogy Goethe voltaképpen roppant sok kísérletet végzett a színek tanulmányozása során. Newtonhoz hasonlóan ő is prizmával kezdte. Newton a fény útjába állította a prizmát, majd a részeire bomlott sugarat fehér felületre vetítette. Goethe viszont a szeme elé tette a prizmát és azon át nézte a világot. Egyáltalán nem érzékelt színekre bomlást: sem szivárványt, sem színárnyalatokat. Ha tiszta fehér felületre vagy a tiszta kék égre tekintett a prizmán keresztül, mindig egyformának, egyszínűnek látta őket. De elég volt, hogy csak egy jelentéktelen foltocska megtörje a fehér felületet vagy egy felhő bukkanjon fel az égen, nyomban valóságos színáradat tűnt fel a szeme előtt. Ez a „fény és árnyék váltakozása" kelti a színeket - vonta le a következtetést Goethe. Ezután elkezdte vizsgálni, hogyan érzékelik az emberek az árnyékokat, ha azok különböző színű fényforrásoktól származnak. Hosszú kísérletsorozatot végzett gyertyák és ceruzák, tükrök és színes üvegek, holdfény és napfény, kristályok, folyadékok és színkerekek felhasználásával; például szürkület idején meggyújtott egy gyertyát egy darab fehér papír előtt és közéjük tartott egy ceruzát. S a ceruza árnyéka ragyogó kék volt a gyertyafényben. Miért? A fehér papír önmagában fehérnek látszik, a gyengülő nappali fényben éppúgy, mint a melegebb gyertya járulékos fényében. Hogyan oszthatja fel az árnyék a fehéret egy kék és egy vörösessárga tartományra? „A szín az árnyék velejárója: a sötétségnek egy bizonyos foka" - állította Goethe. A szín - modernebb nyelven megfogalmazva - legfőképpen határfeltételekből és szingularitásokból ered. Amiben Newton redukcionista nézeteket vallott, abban Goethe holista volt. Newton felbontotta a fényt és megtalálta a színek legalapvetőbb fizikai magyarázatát. Goethe ezzel szemben virágoskertekben sétált, festményeket tanulmányozott, s mindeközben a nagy, mindent átfogó magyarázatot kereste. Newton az egész fizikában érvényes matematikai rendszerbe illesztette a maga fényelméletét. Goethe viszont - akár szerencsés dolog ez, akár nem - ki nem állhatta a matematikát. Feigenbaum arra a következtetésre jutott, hogy a színek dolgában Goethének volt igaza. Goethe gondolatai talán arra a pszichológusok körében népszerű könnyed vélekedésre emlékeztethetnek bennünket, amely kettéválasztja a rideg fizikai valóságot és annak változékony, szubjektív érzékelését. Az általunk érzékelt színek időről időre és személyről személyre változnak - ezt nyugodtan megkockáztathatjuk. Ám ezek a gondolatok Feigenbaum értelmezésében valami magvasabbat, tudományosabbat mondanak: megállapításai szigorúan meghatározottak és tapasztalati jellegűek. Goethe újra és újra hangsúlyozza, hogy kísérletei mind megismételhetők. Goethe szemében nem maguk a színek, hanem a színek érzékelése volt egyetemes és objektív. Miféle tudományos bizonyíték hozható fel amellett, hogy a vörösség a valóságos világban is létező minőség, a mi emberi érzékelésünktől függetlenül? Feigenbaumot az a kérdés kezdte foglalkoztatni, hogy vajon miféle matematikai formalizmus felelne meg az emberi érzékelésnek, közelebbről annak, amely a tapasztalat rendezetlen sokféleségét átszűrve egyetemes minőségeket ismer fel. A vörösség nem szükségképpen a fény egy jellegzetes hullámsávja, ahogyan a Newtont követők tartják. Ez a kaotikus univerzum bizonyos tartománya, amelynek határait nem éppen könnyű megjelölni másfelől viszont kétségtelen, hogy tudatunk szabályos és igazolható következetességgel felismeri a vörösséget. Ezek a gondolatok jártak a fiatal fizikus fejében, s általuk minden látszat szerint jócskán eltávolodott az olyasféle problémáktól, mint a folyadékturbulencia.

Holott ha meg akarjuk érteni, hogyan igazodik el az emberi tudat az érzékelés káoszában, nyilván meg kell értenünk, hogyan teremthet a rendezetlenség egyetemeset: univerzalitást.

Amikor Feigenbaum a nemlinearitáson kezdett gondolkodni Los Alamosban, rájött, hogy iskolái semmi használhatót nem tanítottak meg neki. Lehetetlen volt nemlineáris differenciálegyenlet-rendszereket megoldani, hacsak nem a tankönyvekben bemutatott különleges példákat. A perturbációs módszer, amely egy megoldható problémából kiindulva, egymás utáni módosításokkal igyekszik eljutni a valóságos feladathoz, és felteszi, hogy a kettő elég közel esik egymáshoz, egyszerűen nevetségesnek tűnt. Nemlineáris áramlásokról és oszcillációkról szóló könyveket végigszenvedve arra jutott, hogy nemigen akad közöttük olyan, amelyik segíthetne egy ésszerűen gondolkodó fizikuson. Mivel a ceruza és papír volt minden számítóberendezése, úgy döntött, hogy egyszerű egyenlettel kezdi, ahhoz hasonlóval, amilyet Robert May tanulmányozott a populációbiológiával kapcsolatban. Ez történetesen a parabola y = r(x - x2) egyenlete volt, amelyet már a középiskolás diákok is ismernek a koordináta-geometriából. Minden x értékhez tartozik y-nak egy értéke, s az így kapott görbe a két szám kapcsolatát fejezi ki az értelmezési tartományban. Ha x (populációbiológiai értelmezésben: az ez évi népesség) kicsi, akkor y (a következő évi népesség) is kicsi, de nagyobb x-nél; a görbe meredeken növekszik. Ha x a tartomány közepén van, akkor y nagy. A parabola azonban lassan vízszintessé válik, majd visszafordul, úgyhogy ha x nagy, akkor y megint kicsi lesz. Ez felel meg a népesség visszaesésének az ökológiai modellezésben, gátat szabva a valóságos körülmények között soha nem tapasztalható korlátlan növekedésnek. May, majd Feigenbaum azonban nem egyszer használták ezt az egyszerű képletet, hanem az eredményt visszacsatolva vég nélkül folytatták a számítást: az éppen elvégzett számítás kimenő adata lett a következő számítási ciklus bemenő adata. Az eredmények alakulásának grafikus ábrázolásában nagy segítségükre volt a parabola. Vegyünk fel egy kezdőértéket az x tengelyen. Húzzunk egy egyenes vonalat felfelé, egészen a parabolával való találkozásig. Olvassuk le az eredményt az y tengelyről, majd ezzel az eredménnyel mint újabb x értékkel ismételjük meg a számítást, s így tovább. A sorozat először ide-oda ugrál a parabolán, azután talán nyugalomra talál egy stabil egyensúlyban, ahol x és y egyenlők, így az értékük tovább már nem változik. Mindez roppant távol áll a szokásos fizika komplex számításainak szellemétől. Az egy időben megoldandó szövevényes rendszer helyett ez csupán egy újra és újra végrehajtandó egyszerű számítás volt. A numerikus kísérletező meg is figyelhette, mint a vegyész, aki ott látja a reakciót kísérő pezsgést a lombikban. A kimenet itt csak egy számsor volt, ám az nem tartott mindig valamilyen állandósult végállapothoz. Esetleg két érték közötti ide-oda ingadozás lett a numerikus kísérlet végeredménye - ahogyan May magyarázta a populációbiológusoknak: kaotikusan változott, bármeddig tartott is a megfigyelése. Hogy miképpen viselkedett, az a hangoló paraméter értékétől függött. Feigenbaum elvégezte ezeket a - valamelyest a kísérleti munkára emlékeztető - számításokat, egyszersmind végigpróbált több hagyományos elméleti módszert is, amelyeket a nemlineáris függvények elemzésére alakítottak ki. De még így sem tárult fel előtte minden, amit ez az egyenlet tud. Az azonban már ennyiből is látszott, hogy a lehetőségek jóval többrétűek, semhogy könnyen elemezni lehessen őket. Feigenbaum azt is tudta, hogy három Los Alamos-i matematikus - Nicholas Metropolis, Paul Stein és Myron Stein - 1971ben már tanulmányozott ilyesféle „leképezéseket", és most Paul Stein figyelmeztette is őt az egészen ijesztő mértékű bonyolultságra. Ha már a legegyszerűbb ilyen egyenletek enge-

detlennek bizonyultak, mi várható azoktól a sokkalta bonyolultabbaktól, amelyeknek a valóságos rendszereket kellene leírniuk? Feigenbaum ekkor félretette az egész problémát. A káosz rövid történetében ez az ártatlannak látszó egyenlet mutatja meg a legcsattanósabban, mennyire eltérően közelítették meg ugyanazt a problémát a különböző típusú tudósok.1 A biológusoknak ez az egyenlet azt mondta: lám, egyszerű rendszerektől is milyen bonyolult dolgok telnek ki. Metropolis, Stein és a másik Stein szemében ez a probléma katalógus volt a topológiai mintázatok tárházához, mindenfajta számértékre való hivatkozás nélkül.2 Bárhol elindíthatták a visszacsatolási folyamatot, és megfigyelhették, hová pattannak az egymás után kapott értékek a parabolán. A jobbra-balra mozgásnak J-k és B-k sorozatát feleltették meg. Egyes számú mintázat: 1; kettes számú mintázat: JBJ; 193-as számú mintázat: JBBBBBJJBB. Ezek a sorozatok a matematikusok szemében érdekesek voltak, mert láthatólag mindig ugyanabban a jellegzetes sorrendben ismétlődtek, a fizikusoknak azonban érthetetlennek és unalmasnak tűntek. Akkor ezt még senki sem tudta, de tény, hogy Lorenz 1964-ben ugyanezt az egyenletet vizsgálta, egy éghajlattal kapcsolatos mélyen fekvő kérdés metaforájaként. Ez a kérdés annyira mélyenszántó, hogy szinte senki sem tette fel korábban: Létezik-e éghajlat? 3 Más szóval: van-e a földi időjárásnak hosszú távú átlaga? A legtöbb meteorológus magától értetődőnek vette a választ - éppúgy, mint ma: bizonyosan minden mérhető viselkedésnek, a fluktuációk módjától függetlenül, kell hogy legyen átlaga. Alaposabban meggondolva azonban a kérdést, ez korántsem nyilvánvaló. Ahogyan Lorenz kimutatta, az utolsó 12 ezer év átlagos időjárása jócskán eltér a megelőző 12 ezer évétől, amikor is ÉszakAmerikát nagyobbrészt jég fedte. Lett volna valamiféle időjárás, amely valamilyen fizikai okból megváltozott? Vagy létezne egy még hosszabb távú időjárás, amelyen belül csupán ingadozások ezek az időszakok? Vagy lehet, hogy egy ilyen rendszer, mint az időjárás, sosem tart valamiféle átlaghoz? Lorenz feltett még egy kérdést. Tegyük fel, mondta, hogy megvan az időjárást meghatározó teljes differenciálegyenlet-rendszer, avagy más szóval: birtokunkban van az isteni törvénykönyv. Használhatnánk-e ezeket az egyenleteket a hőmérséklet- vagy csapadékátlagok statisztikáinak kiszámítására? Ha az egyenletek lineárisak lennének, akkor könnyedén igennel válaszolhatnánk. Csakhogy az egyenletek nemlineárisak. Minthogy Isten nem tette hozzáférhetővé a valódi egyenleteket, Lorenz a kvadratikus differenciaegyenletet vette szemügyre helyettük. Mayhez hasonlóan először Lorenz is azt vizsgálta, mi történik, ha rögzíti a paraméter értékét és így iterálja az egyenletet. Látta, hogy ha a paraméter értéke kicsi, akkor az iteráció stabil fixpontot ér el. Ilyenkor a rendszer csakugyan szolgált „éghajlattal", a lehető legegyszerűbb értelemben: az „időjárás" sosem változott. Ha megnövelte a paraméter értékét, akkor az iterációval kapott értékek két pont között váltakoztak, s a rendszer ilyenkor is egyszerű átlag felé tartott. Egy bizonyos paraméterértéken túl azonban Lorenz azt tapasztalta, hogy eluralkodik a káosz. Mivel az éghajlatról gondolkodott, nemcsak az érdekelte, hogy származhat-e periodikus viselkedés a folytonos visszacsatolásból, hanem az is, hogy mi lesz az átlagos eredmény. És felismerte a választ: az átlag szintén instabil módon ingadozik. Elég volt, hogy a paraméter értéke egy hajszálnyit megváltozzon, s az átlag máris je1 Egy ponton Ulam és Neu mann ennek az egyenletnek a kaotikus tulajdonságait használta fel a véletlen számok véges digitális számítógéppel való előállítása problémájának megoldására. 2 Ez a tanulmány - az egyetlen út Stanislaw Ulamtól és Neumann Jánostól James Yorke-hoz és Mitchell Feigenbaumhoz - a következő: „On Finite Limit Sets for Transformations on the Unit Interval," Journal of Combinatorial Theory 15 (1973), pp. 25-44. 3 The Problem of Deducing the Climate fro m the Governing Equations," Tellus 16 (1964), pp. 111.

lentősen módosult. Ez a földi éghajlatra megfogalmazva úgy hangzana, hogy a földi éghajlat voltaképpen sohasem igazodhat valamilyen átlagos hosszú távú viselkedéshez. Mint matematikai tanulmány, Lorenz éghajlattal kapcsolatos munkája kudarcnak minősülne: axiomatikus értelemben semmit sem bizonyított be kijelentéseiből. Fizikai írásként pedig az vethető ellene, hogy egyáltalán nem indokolta meg, miért lehetne következtetéseket levonni a földi időjárásra nézve egy ilyen egyszerű egyenletből. Lorenz azonban tudta, mit beszél. „A szerző úgy véli, hogy ez a hasonlóság nem holmi véletlen: ez a differenciaegyenlet sok mindent megragad az egyik áramlási képből a másikba való átmenet, sőt az instabilitás egész jelenségének matematikájából, ha a fizikájából netán nem is." Még húsz évvel később sem értette senki, miféle belátás adott okot erre a vakmerő állításra, amelyet szerzője egy svéd meteorológiai folyóiratban, a Tellusban közölt. („Tellus! - fakadt ki egy fizikus. - Ugyan ki olvas Tellust?!") Lorenz egyre mélyebbre látott a kaotikus rendszerek sajátos lehetőségeibe - mélyebbre, semhogy azt a meteorológia nyelvén kifejezhette volna. Ahogyan egyre világosabban mögé látott a dinamikai rendszerek változékony álarcainak, felismerte, hogy a kvadratikus leképezésnél alig hajszálnyival bonyolultabb rendszerek másfajta váratlan mintázatokat is adhatnak. Némely rendszerben több stabil megoldás is rejtőzhet. A megfigyelő esetleg nagyon hosszú időn át csupán egyfajta viselkedést tapasztal, holott a rendszerben éppannyira helye van egy teljesen másfajta viselkedésnek is. Az ilyen rendszert intranzitívnak nevezik: vagy ebben vagy abban az egyensúlyi állapotban van, de mindig csak egyben, s csak külső ráhatás késztetheti állapotának megváltoztatására. A közönséges ingaóra például nyilvánvalóan ilyen intranzitív rendszer. Állandóan energia áramlik belé egy felhúzható rugóból vagy egy elektromos elemből, ám a súrlódás miatt állandóan távozik is tőle energia. A nyilvánvaló egyensúlyi állapot a szabályos ingamozgás. Ha egy mellette elhaladó ember meglöki az órát, akkor az inga ettől felgyorsulhat vagy lelassulhat, de hamarosan visszatér egyensúlyi állapotához. Az órának azonban van egy második egyensúlyi állapota is - mozgásegyenleteinek egy másik érvényes megoldása: nevezetesen az az állapot, amelyben az inga függőlegesen lefelé lóg és nem mozdul. Egy bonyolultabb rendszer - alighanem számos különálló, eltérő viselkedésnek megfelelő tartománnyal - talán az éghajlatot is leírja. A földi légkör és az óceánok hosszú távú viselkedésének szimulálására globális számítógépmodelleket használó éghajlatkutatók már évek óta tudják, hogy modelljeik legalább egy gyökeresen más egyensúlyi állapotnak is teret hagynak. Ez az alternatív éghajlat ugyan soha sem létezett a geológiai múltban, de szintén megoldása a Földet kormányzó egyenletrendszernek. Ezt néhány kutató Fehér Föld éghajlatnak nevezi: ez egy olyan Föld időjárása, amelynek földrészeit hó, óceánjait jég borítja. Ez az eljegesedett Föld a beeső napsugárzás hetven százalékát visszaverné, és így rendkívül hideg maradna. A légkör legalsó rétege, a troposzféra sokkal vékonyabb lenne, a fagyott felszínen végigvonuló viharok pedig sokkal kisebbek lennének az általunk ismerteknél. Az éghajlat általában véve kevésbé kedvezne az életnek, mint a mostani. A számítógépes modellek annyira hajlamosak a Fehér Föld (egyensúlyi) állapotába jutni, hogy az éghajlatkutatók csodálják, miért nem következik be mindez a valóságban. Talán csak a véletlenen múlik. A földi éghajlat csak egy külső eredetű hatalmas lökés révén kerülhet ilyesfajta eljegesedett állapotba. Lorenz azonban leírt egy másik kézenfekvő viselkedéstípust, amelyet „majdnem nemtranzitívnak" vagy „majdnem intranzitívnak" neveztek el. A majdnem intranzitív rendszer hosszú időn át egyfajta átlaghoz igazodó viselkedést mutat, bizonyos korlátok között akörül ingadozik. Azután egyszerre minden látható ok nélkül áttér egy másik viselkedésre, s továbbra is valamilyen átlag körül ingadozik, de nem akörül, mint addig. A számítógépes modellek tervezői ismerik Lorenz felfedezését, de mindenáron megpróbálják

elkerülni ezt a majdnem intranzitivitást, mert az túlságosan megjósolhatatlan. Ők olyan modellekre hajlanak, amelyek erőteljesen igyekeznek vissza a bolygónkon napról napra mérhető egyensúlyhoz. A nagy éghajlati változásokra azután külső okokat keresnek magyarázatul: például a Föld Nap körüli pályájának megváltozásait. Pedig nem kell nagy képzelőerő ahhoz, hogy belássák, a „majdnem intranzitivitás" kifogástalan magyarázat lehet arra, miért fordul a földi éghajlat hosszú jégkorszakokba, s rejtélyes, szabálytalan időközönként miért kerül ki mégis belőlük. S nem kell fizikai okot keresni arra, hogy miért éppen akkor, s nem máskor: a jégkorszakok talán csak a káosz melléktermékei. Ahogyan a fegyvergyűjtő az automata fegyverek korában reménytelenül áhítja vissza a 45ös Coltot, a modern tudós is táplál magában némi nosztalgiát a HP-65-ös programozható kézi számológépek iránt. Ez a gép uralmának évei alatt visszafordíthatatlanul megváltoztatta számos tudós munkastílusát. Feigenbaum számára ez a számológép volt az átmenet a papír-ceruza módszer és az akkoriban még egyáltalán nem általános, számítógéppel végzett munka között. Feigenbaum semmit sem tudott Lorenzről, 1975 nyarán azonban Aspenben (Colorado állam) egy összejövetelen hallotta Steve Smale előadását ugyanannak a kvadratikus differenciaegyenletnek bizonyos matematikai tulajdonságairól. Smale láthatólag úgy gondolta, vannak érdekes nyitott kérdések azzal a ponttal kapcsolatban, ahol a leképezés periodikusból kaotikussá válik. Smale-t most sem hagyta cserben érzéke a kutatásra érdemes problémák iránt. Feigenbaum elhatározta, hogy még egyszer megvizsgálja a dolgot. Számológépén az analitikus algebrát és a numerikus kutatás módszerét elegyítve elkezdte összeépíteni a kvadratikus leképezésről tudottakat, főleg a rend és a káosz közötti határtartományra összpontosítva. Metaforikus - de csakis metaforikus - értelemben tudta, hogy ez a tartomány hasonlít a folyadékok sima áramlása és turbulenciája közötti rejtélyes határhoz. Ez volt az a tartomány, amelyre Robert May hívta fel a populációbiológusok figyelmét, akik korábban nem vették észre, hogy az állati populációk változásában a rendezett ciklusokon kívül más lehetőségek is vannak. A káoszhoz vezető úton egymást követték a perióduskettőződések: a kettős ciklusok négyesekké hasadtak fel, a négyesek nyolcasokká, és így tovább. Ezek a hasadások izgalmas mintázatot hoztak létre. Ezek voltak azok a pontok, amelyekben például a termékenység csekély változása a gyapjas lepkék négyéves populációs ciklusát nyolcévesre állította át. Feigenbaum elhatározta, hogy a hasadással járó értékek pontos kiszámításával kezdi. Végül a számológép lassúsága augusztusban elvezette egy felfedezéshez. Nagyon hosszú ideig - vagyis percekig - tartott egy-egy ilyen perióduskettőződés kiszámítása, s annál tovább, minél tovább ment a láncolatban. Ha gyors gépe és nyomtatója lett volna, talán nem is bukkan rá semmiféle mintázatra. De kézzel kellett leírni a számokat, azután várakozás közben gondolkoznia kellett rajtuk, s később már - időtöltésként - találgatta is, mi lesz a következő válasz. Azután egyszerre rájött, hogy nem kell találgatnia. Váratlan szabályosságra lett figyelmes: a számok geometriailag egyetlen pont felé tartottak, ahogyan távlati ábrázolásban az egyforma telefonpóznák is a látóhatár egy pontjához tartanak. Ha tudjuk, milyen nagyra rajzoljunk kettőt a telefonpóznák közül, akkor mindent tudunk; a másodiknak és az elsőnek az aránya ugyanakkora, mint a harmadiknak és a másodiknak az aránya és így tovább. A perióduskettőződések nem egyszerűen egyre gyorsabban jöttek, hanem állandó arányban váltak egyre szaporábbá.

Miért kell ennek így lennie? Normális esetben a geometriai konvergencia azt jelzi, hogy valami valahol különböző méretekben ismétli önmagát. De ha volt egyáltalán skálázási mintázat ebben az egyenletben, azt még soha senki nem látta. Feigenbaum a géptől telhető legnagyobb pontossággal - három tizedesjegyig - kiszámította a konvergencia arányát, és 4,669-et kapott. Jelent-e valamit ez a különös arány? Feigenbaum azt tette, amit bárki más is tett volna, aki számokkal bajlódik: a nap hátralevő részét azzal töltötte, hogy megpróbálta összekapcsolni ezt a számot az összes szokásos állandóval – a π-vel, az e-vel és így tovább. De nem sült ki belőle semmi. Furcsa módon Robert May később rájött, hogy ő is látta ezt a geometriai konvergenciát. De ahogy észrevette, ugyanolyan gyorsan el is felejtette. May ökológiai nézőpontjából ez csak numerikus érdekesség volt, semmi több. Az általa vizsgált valóságos világbeli rendszerekben - állati populációkban, vagy akár a gazdasági modellekben - az elkerülhetetlen zaj bármely pontos részletet elnyomna. Az a nagy rendetlenség, ami idáig elvezette, megállította őt a döntő ponton. Mayt az egyenlet nagybani viselkedése izgatta; sosem képzelte volna, hogy a numerikus részletek fontosnak bizonyulhatnak. Feigenbaum tudta, mit talált, hiszen a geometriai konvergencia azt jelentette, hogy ebben az egyenletben skálázás van jelen, s tudatában volt annak is, hogy a skálázás fontos. Minden renormalizálási elmélet erre épített. Egy látszólag szabálytalan rendszerben a skálázás azt jelenti, hogy valamilyen tulajdonság megőrződik, ha közben minden egyéb megváltozik is. Valamilyen szabályosság rejtőzik az egyenlet turbulens felszíne alatt. De vajon hol? Nehéz volt eldönteni, mi legyen a következő lépés. A nyár gyorsan őszbe fordul a ritka Los Alamos-i levegőben, és már alig volt hátra valami az októberből, amikor Feigenbaumnak szokatlan ötlete támadt. Tudta, hogy Metropolis és a két Stein más egyenleteket is megvizsgált és úgy találta, hogy bizonyos mintázatok egyaránt jelen vannak az egymástól különböző függvények esetében: a J-k és B-k ugyanabban az egymásutánban tűntek fel.1 Az egyik függvény tartalmazta egy szám szinuszát, és ez a fejlemény feleslegessé tette a parabola egyenletének Feigenbaum által gondosan kidolgozott megközelítését. Újra kellett kezdenie az egészet. Ismét vette a HP-65-öst, és elkezdte kiszámítani a perióduskettőződéseket az xt+l = r sin nxt egyenletre. A trigonometrikus függvény kiszámítása borzasztóan lelassította a folyamatot; Feigenbaum erre kíváncsi lett, választhatna-e valamilyen rövidebb utat, mint az egyenlet egyszerűbb változatával tette. És ahogyan a számokat áttekintette, látta, hogy azok megint geometriailag konvergálnak! Csak egy kis számolás kellett, s megállapíthatta a konvergencia arányát erre az új egyenletre vonatkozólag is. Az eredmény - megint korlátozott pontossággal - három tizedesjegyig kiszámítva 4,669 lett. Újra ugyanaz a szám! Ez a trigonometrikus egyenlet hihetetlen módon nemcsak állandó, geometriai szabályosságot mutatott, hanem még számszerűen is azonosat a sokkal egyszerűbb kvadratikus egyenletével. Nem volt olyan matematikai vagy fizikai elmélet, amely megmagyarázta volna, miért kell két ennyire különböző formájú és jelentésű egyenletnek ugyanarra az eredményre vezetnie.

1

On Fin ite Limit Sets, pp. 30-31. A döntő utalás: „Az a tény, hogy ezek a mintázatok ... sajátjai négy látszólag független transzformációnak ... azt sugallja, hogy a mintázatsorozat általános jellegzetessége a leképezések egy széles osztályának. Ezért ezt a mintázatsorozatot U-sorozatnak neveztük el, ahol az U (némi túlzással) az »univerzálist« jelöli." E matematikusok azonban sosem gondolták, hogy az univerzalitás kiterjedne a tényleges számokra; készítettek egy táblázatot 84 különböző paraméterértékkel - mindegyiket hét tizedesjegy pontossággal - anélkül, hogy észrevették volna a bennük rejlő geometriai viszonyokat.

Feigenbaum felhívta Paul Steint. Öt ez a szegényes bizonyíték nem győzte meg az egybeesésről; a pontosság végül is elég kicsi volt. Feigenbaum mindenesetre felhívta a szüleit is New Jerseyben, hogy elmondja, rábukkant valami rejtélyre. Azt mondta a mamájának: ez híressé fogja tenni őt. Ezután elkezdett más függvényekkel próbálkozni, bármivel, amiről azt gondolhatta, hogy bifurkációkon fog keresztülmenni a rendezetlenséghez vezető úton. S mind, egytől egyig ugyanazt a számot adta. Feigenbaum egész életében számokkal játszott. Tizenéves korában tudta, hogyan kell kiszámítani a logaritmus- meg a szinuszértékeket, amelyeket az emberek többsége táblázatokból néz ki. De nem tanult meg kézi számológépénél nagyobb számítógépet használni ebben a fizikusok és matematikusok azon típusához tartozott, akik hajlamosak voltak lenézni a számítógépes munkában meglevő mechanikus gondolkodást. Most azonban eljött a váltás ideje. Megkérte egy kollégáját, hogy tanítsa meg a Fortran nyelvre, és mire vége lett a napnak, több függvénynek is kiszámította öt tizedesjegyre az állandóját: mindig 4,66920et kapott. Éjjel olvasott a kézikönyvben a kétszeres pontosságról; ezzel a következő napon 4,6692016090-ig jutott: ez a pontosság már elegendő volt Stein meggyőzéséhez. Feigenbaum azonban nem volt egészen biztos benne, hogy saját magát sikerült-e meggyőznie. A szabályosságot kereste - ezt jelentette a matematikai értelmezés -, de tudta, hogy az egyes egyenletek, akárcsak az egyes fizikai rendszerek, sajátos, csak rájuk jellemző módon viselkednek. Végül is ezek egyszerű egyenletek voltak. Feigenbaum értette a kvadratikus egyenletet, értette a szinuszos egyenletet - ezeknek nagyon egyszerű volt a matematikája. És mégis ezeknek a differenciálegyenleteknek a mélyén valami - újra és újra megismételve - ugyanazt a számot adta eredményül. Rábukkant valamire: talán csak egy különlegességre, talán egy új természeti törvényre. Képzeljük el, hogy egy történelem előtti zoológusnak az az ötlete támad, hogy bizonyos dolgok nehezebbek másoknál - van valamiféle elvont minőségük, amit ő súlynak nevez -, és tudományosan szeretné vizsgálni ezt a teóriát. Ténylegesen sosem mért súlyt, de úgy gondolja, van valami fogalma róla. Megjelennek előtte a nagy kígyók meg a kis kígyók, a nagy medvék és a kis medvék, és úgy véli, hogy ezeknek az állatoknak a súlya valahogyan kapcsolatban állhat a méretükkel. Felépít egy skálát és elkezdi mérni a kígyókat. Meglepetésére minden kígyó ugyanannyit nyom. Majd megdöbbenve tapasztalja, hogy a medvék is mind egyforma súlyúak. Az pedig végleg elképeszti, hogy a medvék ugyanannyit nyomnak, mint a kígyók: mind 4,6992016090 súlyúak. Világos, hogy nem ilyennek gondolta a súlyt: az egész fogalmat kénytelen lesz újragondolni. Hömpölygő folyamok, lengő ingák, elektronikus oszcillátorok - sok fizikai rendszer megy át átalakuláson a kaotikus viselkedésig vezető útán, és ezek az átmenetek túl bonyolultak ahhoz, semhogy elemezni lehessen őket. Mind-mind olyan rendszerek voltak, amelyeknek a mechanikáját a látszat szerint tökéletesen kiismerték már a kutatók. A fizikusok ismerték az összes helyes egyenletet; s mégis lehetetlennek látszott eljutni az egyenletektől az átfogó, hosszú távú viselkedés megértéséig. Sajnos a folyadékokra, de még az ingára vonatkozó egyenletek is sokkal erősebben ellenálltak a kutatásnak, mint az egyszerű egydimenziós logisztikus leképezés. Feigenbaum felfedezéséből azonban következett, hogy azok az egyenletek nem számítanak: ahol megjelent a rend, hamarosan érdektelenné vált, mik voltak az eredeti egyenletek. Egyre ment, hogy kvadratikusak-e vagy trigonometrikusak, az eredmény ugyanaz volt. „A fizika hagyományosan egyebet sem mond, mint hogy ismerd fel és válaszd el a mechanizmusokat, abból már minden egyéb következik - mondta Feigenbaum. - Ez a felfogás tökéletesen megbukott. Itt pontosan ismerjük a helyes egyenleteket és azok mégsem segítenek semmit. Összeadjuk az összes mikroszkopikus darabkát és arra jutunk, hogy képtelenek vagyunk őket hosszú távra kiterjeszteni. Nem ők a fonto-

sak a problémában. A valamit tudni jelentése teljesen megváltozik." Habár a számítások és a fizika között nem volt igazán erős a kapcsolat, Feigenbaum megtalálta a bizonyítékot, amelyre szüksége volt ahhoz, hogy új módszert alkothasson a komplex nemlineáris problémák kiszámítására. Minden addigi módszer a függvényekkel kapcsolatos részleteken alapult. Ha a függvény szinuszfüggvény volt, akkor Feigenbaum gondosan kidolgozott számításai a szinuszfüggvény tulajdonságaira épültek. Az univerzalitás felfedezése azt jelentette, hogy mindezek a módszerek kidobandóvá váltak. A szabályosságnak semmi köze a szinuszfüggvényhez, semmi köze a parabolákhoz, semmilyen más egyedi függvényhez. De vajon miért? Ez bizony kiábrándító volt: a természet egy pillanatra félrerántotta a függönyt és váratlanul rendet villantott fel. De mi volt még ott a függöny mögött?

A KÁOSZ BEÁ LLÍTÁSA. Egy egyszerű egyenlet, sokszor ismételve: Mitchell Feigenbaum egyszerű függvényeket választott; bemenetként vett egy számot és kimenetként kapott egy másikat. Állati populációkra vonatkoztatva ez a függvény az ez évi és a következő évi népesség közötti kapcsolatot fejezheti ki. Az ilyen függvényeket például olyan rajzzal ábrázolhatjuk, amelyen a bemeneti értéket a vízszintes tengelyen, a kimeneti értéket pedig a függőleges tengelyen jelöljü k. Minden lehetséges x bemenethez pontosan egy y kimenet tartozik: ezeket az összetartozó párokat a vastagon kihúzott vonal mutatja. Á rendszer hosszú távú viselkedésének ábrázolására Feigenbaum egy pályát rajzolt fel, amely valamilyen tetszőleges x értéktől indult. Mivel mindig a kapott y értéket írta be soron következő beme-

netként, egészen egyszerű módon szemléltethette, mi is történik voltaképp: a pálya ide-oda pattog a 45 fo kos meredekségű x = y egyenes és a választott függvény grafikonja kö zött. Az ö kológus szemében a népességnövekedésre a lineáris függvény tetszik a legkézenfekvőbbnek - ez az állandó, korlátlan növekedés malthusi forgatókönyvének felel meg, azaz minden évben ugyanolyan arányú a növekedés (balra fent). Már közelebb áll a valósághoz egy olyan függvény, amelynek egy visszahajló ív a grafikonja: ez visszaszorítja a populációt, ha az túl népessé válna. Az ábrán a „logisztikus leképezés" látható, egy tökéletes, y = rx(1- x) egyenletű parabola; az r értéke - a logisztikus leképezésben ez 0 és 4 kö zé esik - a parabola meredekségét határozza meg. Feigenbaum azonban felfedezte, hogy mindegy is, milyen fajta ívet használunk; az egyenletbeli részletek nem számítanak, csak az a fontos, hogy a függvény „púpos" legyen. A tapasztalt viselkedés azonban érzékenyen függött a meredekségtől - azaz a nemlinearitás fokától, attól, amit Robert May „fellendülés és hanyatlás"-nak nevezett. Ha túl lapos a függvény, akkor kihal a populáció: bármekkora is az induló populációméret, az végül a nullában állapodik meg (középen, balra). Á meredekség növekedésével áll elő az, amit a hagyományos felfogású ökológus vár az állandósult egyensúly; az ennek megfelelő pont, amely az összes pályát behúzza, egy egydimenziós „attraktor" (középen, jobbra). Egy bizonyos r értéken túl bifurkáció révén kettős periódusú oszcilláló populációk alakulnak ki (lent, balra). Még nagyobb r értékeken áthaladva több perióduskettőződés megy végbe, és végül a pálya egyáltalán nem kerü l nyugalomba (lent, jobbra). Ilyen képek szolgáltak kiindulópontul Feigenbaumnak elmélete kiépítéséhez. Ismétlődő műveletekben kezdett gondolkodni: függvények függvényei, függvények függvényeinek függvényei, és így tovább; kétpúpú leképezések, azután négypúpúak...

Feigenbaum képzeletét egy kép ihlette meg: két kicsi és egy nagy hullámszerű alakzat látomása. Ez volt az egész - egy ragyogó, éles kép vésődött a tudatába, talán csak a tudatosság vízvonala alatt zajló lelki folyamat hatalmas jéghegyének csúcsa. A skálázásra utalt és kijelölte Feigenbaum számára a továbblépés irányát. Feigenbaum az attraktorokat tanulmányozta. A leképezései által elért állandósult egyensúlyi állapot egy fixpont, amely maga felé vonz minden más pontot: bármi legyen is a kezdő „populáció", az mindig attraktor felé fog ugrálni. Azután az első perióduskettőződéssel az attraktor kettéhasad, mint egy osztódó sejt. Először ez a két pont gyakorlatilag ugyanoda esik, azután a paraméterérték növekedtével egyre távolabb jutnak egymástól. Következik a második perióduskettőződés: az attraktor minden pontja újból - és egyszerre - kettéosztódik. A Feigenbaum-szám ismeretében megjósolhatta, mikor (azaz mely paraméterértéknél) történik majd meg a perióduskettőződés. Sőt rájött, hogy előre és pontosan tudhatja az egyes pontok elhelyezkedését is ezen az egyre bonyolultabb attraktoron - két pontét, négy pontét, nyolc pontét... Megjósolhatja az éves oszcillációkban kialakuló tényleges populációk nagyságát. És mindebben volt még egy geometriai konvergencia: ezek a számok eleget tettek a skálázási törvénynek is. Feigenbaum egy elfeledett tartományt tárt fel a matematika és fizika között. Munkáját nehéz volt ide vagy oda besorolni. Mert nem volt matematika; nem bizonyított be semmit. Kétségtelenül számokat tanulmányozott, de a számok olyasvalamik a matematikusok szemében, mint a pénzeszsákok a befektető bankáréban: névleg ezzel a nyersanyaggal dolgoznak, de ez a nyersanyag túlságosan körülhatárolt és részleges, semhogy időt vesztegessenek rá. A matematikusok igazi valutája a gondolat. Feigenbaum egy fizikai programot hajtott végre: sőt - ha furcsának tűnik is - szinte kísérleti fizikai programot. Nem mezonokat és kvarkokat vizsgált, hanem számokat és függvényeket, amelyekhez pálya is tartozott. Ki kellett nyomoznia a viselkedésüket. Ahogyan később mondták - s ez a kifejezés valóságos közhelyévé vált az új tudománynak - intuíciót kellett szereznie. A szá-

mítógépe szolgált gyorsítójául és ködkamrájául. Az elmélettel párhuzamosan módszertant is kiépített. A szokásos utat követő számítógépfelhasználó megszerkeszti a problémát, betáplálja a gépbe, és vár, amíg a gép kiszámítja a megoldást - azaz egy probléma, egy megoldás. Feigenbaumnak és az őt követő káosz-kutatóknak többre volt szükségük. Azt kellett tenniük, amit Lorenz tett: miniatűr világegyetemeket felépíteni és megfigyelni a fejlődésüket. Azután megváltoztatni e világegyetem egyik-másik tulajdonságát és megfigyelni az emiatt módosult fejlődési útvonalakat. S mindehhez megvolt az a friss meggyőződésük, hogy bizonyos tulajdonságok csekély megváltozása is jelentősen módosíthatja az általános viselkedést. Feigenbaum hamarosan rájött, milyen rosszul illeszkednek Los Alamosban a számítógépes lehetőségek ahhoz a számítási stílushoz, amelyet ki kívánt fejleszteni. Hiába voltak Los Alamosban hatalmas - az egyetemieknél sokkal nagyobb - gépek, kevés termináljuk volt ábrák és képek megjelenítésére, és az a néhány is a Fegyverek Osztályán működött. Feigenbaumnak számokra volt szüksége és azokat térképi pontokként akarta ábrázolni. Az elképzelhető legegyszerűbb módszerhez kellett hát folyamodnia: hosszú papírtekercsekre szinte csupa szóközből álló sorokat nyomtatott, s néhol egy-egy csillagot vagy pluszjelet. A Los Alamos-i hivatalos felfogás szerint a nagy számítógép sokkal inkább megérte, mint sok kicsi - ezt sugallta az egy probléma, egy megoldás hagyománya. A kis számítógépektől elriasztották az embereket. És ha valamelyik osztály számítógépet akart vásárolni, szigorú kormányzati előírásoknak és egy formális szemlének is eleget kellett tennie. Csak az Elméleti Osztály költségvetési „bűnsegédletével" juthatott hozzá később Feigenbaum egy 20 ezer dolláros „asztali számológéphez". Azon már futás közben is megváltoztathatta egyenleteit, megcsavarhatta és beállíthatta a képeit, s egyáltalán, úgy játszhatott rajta, mint egy hangszeren. Akkoriban csak a szigorúan titkos területeken - ahogyan Los Alamosban mondták: a kerítés mögött - voltak igazán komoly grafikus megjelenítők. Feigenbaum kénytelen volt olyan terminált használni, amely egy telefonvonal révén volt összekötve egy központi számítógéppel. A munkakörülmények elfedték, mekkora teljesítménnyel dolgozik a számítógép a vonal túlsó végén. Még a legegyszerűbb feladat is percekig tartott. Egy-egy programsort csak úgy lehetett beadni, hogy a felhasználó leütötte a Return billentyűt, és kivárta, míg a központi számítógép - a terminál serény működése közepette - eljátszotta a maga elektronikus körjátékát a többi felhasználóval. Feigenbaum e számítások közben sem tétlenkedett: azon gondolkodott, hogy miféle új matematikai leírást kívánnak meg ezek az általa megfigyelt többszörös skálamintázatok? Ezekben a függvényekben valaminek újra és újra visszatérőnek (rekurzívnak) kell lennie, ismerte fel, önmagára hivatkozónak, amelynek a viselkedését egy benne megbúvó másik irányítja. Az ihlet diktálta hullámzó kép olyasvalamit fejezett ki, hogy hogyan skálázódhat egy függvény a másikhoz illeszkedve. Feigenbaum a renormalizációs csoport elméletének matematikáját alkalmazta: a skálázás révén kezelhető mennyiségekké alakította a végteleneket. 1976 tavaszán minden addiginál intenzívebb létezési módra tért át. Úgy koncentrált, mintha transzba esett volna: vadul programozott, firkált a ceruzájával, s megint programozott. Nem hívhatta fel segítségért a C osztályt, mert ahhoz le kellett volna kapcsolnia a telefonvonalról a számítógépet, s félt tőle, hogy esetleg nem sikerül újra kapcsolatba lépnie vele. Egyfolytában legfeljebb ha öt percig gondolkodhatott, mert öt perc állás után a számítógép automatikusan megszakította volna a telefonkapcsolatot. A számítógép még így is elég gyakran leállt, rútul cserbenhagyva a megugrott adrenalinszintű Feigenbaumot. Két hónapig dolgozott megállás nélkül, napi huszonkét órán át. Megpróbált aludni valamennyit a gép zümmögése mellett, de két óra múlva felébredt, pontosan azokkal a gondolatokkal, amelyekkel elaludt. Étrendje egyes-egyedül kávéból állt. (Feigenbaum egészséges és nyu-

godt állapotában is a lehető legvörösebb húson, vörösboron és kávén élt. Barátai arra következtettek, hogy nyilván a cigarettákból jut hozzá a vitaminokhoz.) Az egésznek az orvos vetett véget. Mérsékelt Valium-kúrát1 és kényszerszabadságot írt elő, ám addigra Feigenbaum megalkotta az univerzalitási elméletet.

Az univerzalitás elválasztotta a szépet a hasznostól. A matematikusok egy bizonyos ponton túl nem törődnek azzal, hogy módszereket adjanak a számításokhoz. A fizikusoknak viszont - ugyancsak egy bizonyos ponton túl - számok kellenek. Az univerzalitás reményt kínált arra, hogy a fizikusok egy könnyű probléma megoldása révén sokkal nehezebb problémákat is megoldhassanak. A válaszoknak ugyanazoknak kell lenniük. És mert Feigenbaum a renormalizációs csoport keretében fogalmazta meg elméletét, a fizikusok szinte megszokott számítási eszközre ismerhettek benne. Mindazonáltal a fizikusoknak éppen az nehezítette meg az univerzalitási elmélet elfogadását, ami ezt az elméletet igazán hasznossá tette. Az univerzalitás annyit tesz, hogy egymástól különböző rendszerek azonosan viselkednek. Feigenbaum persze csak egyszerű numerikus függvényeket vizsgált, de hitt benne, hogy elmélete a rendszerek természeti törvényét fejezi ki a rendezett és turbulens közötti átmeneti pontban. Mindenki tudta, hogy a turbulencia különböző frekvenciák folytonos spektrumát jelenti, és mindenki kíváncsi volt, honnan jönnek a különböző frekvenciák. Egyszerre csak láthatták sorban jönni a frekvenciákat. Az univerzalitás fizikai következménye az volt, hogy a valóságos világban a rendszerek felismerhetően ugyanúgy viselkednek, sőt mérhető módon egyformák. Feigenbaum univerzalitása nem csak kvalitatív, hanem kvantitatív is volt: nem csupán szerkezeti, hanem mérhető univerzalitás. Nemcsak a mintázatokra terjedt ki, hanem a pontos számértékekre is. Mindez bizalmatlanná tette a fizikusokat. Feigenbaum még évekkel később is a keze ügyében - az íróasztalfiókjában - tartotta a neki küldött visszautasító leveleket. Addigra már megkapott minden elismerést, amire csak szüksége volt. Los Alamos-i munkájával díjakat és kitüntetéseket,2 tekintélyt és pénzt szerzett. De továbbra is megkeserítette az életét, hogy a legjobb tudományos folyóiratok szerkesztői közlésre alkalmatlannak ítélték a munkáit, két évvel azután is, hogy elkezdte őket beküldeni. Hiszen már kissé megkopottnak tűnt az a nézet, hogy a tudományos áttörés (eredetisége és váratlansága miatt) alkalmatlan a publikálásra. A modern tudomány - gondolhatnánk - a maga mérhetetlen információáramlásával és pártatlan, alapos bírálati rendszerével nem lehet továbbra is az ízlésnek alárendelve. Az egyik szerkesztő, aki visszaküldte Feigenbaum kéziratát, évekkel később felismerte, hogy ezzel a tudományterületen fordulatot hozó tanulmányt utasított vissza; továbbra is azt hozta fel érvül azonban, hogy Feigenbaum cikke nem felelt meg a folyóiratát olvasó alkalmazott matematikusi közönségnek. Mindeközben Feigenbaum nevezetes eredményei publikálás nélkül is fortyogó újdonsággá váltak egyes matematikai és fizikai körökben. Az elmélet magva úgy terjedt szét, ahogyan a legtöbb tudományos eredmény manapság: előadások és preprintek révén. Feigenbaum konferenciákon ismertette munkáját, és tucat-, majd százszámra érkeztek hozzá a kérések cikkeinek másolatai iránt.

A modern közgazdaságtan nagymértékben támaszkodik a hatékony piac elméletére. A közgazdák felteszik, hogy a tudás szabadon áramlik egyik helyről a másikra: véleményük sze1 Nálunk, Magyarországon inkább Seduxen néven ismert nyugtatószer - a fordító. 2 A MacArthur ösztöndíjat; az 1986-os fizikai Wolf-díjat.

rint a fontos döntéseket hozó emberek többé-kevésbé ugyanahhoz az információhalmazhoz férnek hozzá. Itt-ott persze maradnak fehér foltok vagy megrekedhetnek információk, de egészében véve, ha egyszer a tudás nyilvános, akkor a közgazdászok feltevése szerint mindenütt jelen van. A tudománytörténészek is sokszor magától értetődőnek tekintik a maguk elméletét a hatékony piacról. Ha felfedezés született, ha felmerült egy ötlet, akkor az - vélekedésük szerint - a tudományos világ közös tulajdonává válik. Minden felfedezés és minden új felfogás az előzőre épül. A tudomány úgy növekszik, mint egy épület: tégláról téglára. A eszmetörténetek gyakorlati szempontból lineárisnak tekinthetők. Ez a tudományfelfogás akkor áll a legközelebb a valósághoz, ha egy jól meghatározott tudományágról van szó, amely egy jól meghatározott probléma megoldására vár. Senki sem értette félre például a DNS molekuláris szerkezetének felfedezését. Az eszmék története azonban nem mindig ilyen egyenes vonalú. Amikor különböző tudományágak eldugott sarkaiban létrejött a nemlinearitás tudománya, a gondolatok áramlása nem követte a történészek szokásos logikáját. A káosznak mint önálló fogalomnak a színrelépése nemcsak új elméleteket és új felfedezéseket hozott, hanem régi gondolatok utólagos, megkésett megértését is. Az összerakós játék sok darabját látta már Poincaré, Maxwell, sőt Einstein is, csak mindez feledésbe merült. Számos új darabot előbb csak néhány beavatott ismert fel. A matematikai felfedezést csak matematikusok értették, a fizikai felfedezést fizikusok, a meteorológiait meg senki. A gondolatok terjedésének módja éppoly fontossá vált, mint keletkezésüké. Minden egyes tudósnak megvoltak a maga szellemi felmenői. Mindegyiknek megvolt a maga gondolati tájképe, és mindegyik kép korlátozott volt, az egyik így, a másik úgy. A tudás tökéletlen. A tudósokon nyomot hagytak tudományáguk bevett szokásai vagy neveltetésük esetlegességei. A tudományos világ meglepően korlátolt lehet. Semmilyen tudós bizottság nem adott új irányt a történelemnek - egy maroknyi egyén viszont igen, egyéni nézetekkel és egyéni célokkal. Később bizonyos egyetértés kezdett kialakulni afelől, hogy mely újítások és adalékok voltak a legmeghatározóbbak. Ebben az egyetértésben azonban bizonyos revizionista elemek is rejlettek. A felfedezés hevében, különösen az 1970-es évek végén, a fizikusok és a matematikusok ahányan voltak, annyiféleképpen értelmezték a káoszt. Aki hozzászokott a súrlódás vagy disszipáció nélküli klasszikus rendszerekhez, az az orosz A. N. Kolmogorov és V. I. Arnold eszméi folytatójának tarthatta magát. A klasszikus dinamikai rendszerekhez szokott matematikus úgy vélhette, hogy a Poincarétól Birkhoffig, Levinsonig és Smale-ig vezető vonalat követi. Később már Smale, Guckenheimer és Ruelle állhatott a matematikus csillagzat középpontjában. De szóba kerülhettek a számítástechnikai hajlandóságú Los Alamos-i elődök: Ulam, Metropolis, Stein. Az elméleti fizikus gondolhatott Ruelle-re, Lorenzre, Rösslerre és Yorkera, a biológus Smale-re, Guckenheimerre, Mayre és Yorke-ra. Se szeri, se száma a lehetséges kombinációknak. Anyagokkal dolgozó tudós - geológus vagy szeizmológus - elismerhette Mandelbrot közvetlen hatását; elméleti fizikus azonban nemigen vallhatta be, hogy ismeri a nevét. Feigenbaum szerepe sajátos viták forrásává vált. Sokkal később, félhírességének csúcsán, néhány fizikus odáig ment, hogy több kutatót is felemlegetett, akik néhány évnyi eltéréssel pontosan ugyanezen a problémán dolgoztak. Egyesek azzal vádolták Feigenbaumot, hogy a kaotikus viselkedés széles spektrumából egy túlságosan szűk, kicsiny darabkát szemelt csak ki. A „Feigenbaumológiá"-t túlbecsülték - mondta egy fizikus -, csodálatos munka, nem vitás, de nem olyan hatású, mint például Yorke-é. 1984-ben Feigenbaumot meghívták előadni Svédországba, a Nobel-szimpóziumra, és ott igen hevessé vált a vita. Benoit Mandelbrot tartott egy gonoszul csipkelődő előadást, amelyet később

a hallgatóság csak „Antifeigenbaum-előadás"-ként emlegetett. Mandelbrot valahonnan előásta egy Myrberg nevű finn matematikus húszéves cikkét a perióduskettőződésről, és ezért a Feigenbaum-sorozatot minduntalan „Myrberg-sorozat"-nak titulálta. De Feigenbaum valóban felfedezte az univerzalitást és elméletet is alkotott a magyarázatára. Ez volt az a tengely, amely körül az új tudomány forgott. Mivel képtelen volt publikálni ezt a megdöbbentő és a bevett szemlélet ellen szóló eredményt, előadássorozatokkal terjesztette igéit, előbb egy New Hampshire-i konferencián 1976 augusztusában, majd szeptemberben Los Alamosban egy nemzetközi matematikai találkozón, s novemberben a Brown Egyetemen. A felfedezés és az elmélet meglepetést, hitetlenséget és izgatottságot keltett. Minél többet gondolkodtak a kutatók a nemlinearitásról, annál inkább érezték a Feigenbaumféle univerzalitás erejét. Egyikük ezt így fejezte ki: „Nagyon boldogító és megrázó felfedezés volt, hogy vannak struktúrák a nemlineáris rendszerekben, amelyek mindig ugyanazok, ha a megfelelő módon szemléljük őket." Néhány fizikus nem csupán a gondolatokat tette magáévá, hanem a módszereket is. Már a leképezésekkel való játék is megborzongatta őket. A maguk számológépei révén megtapasztalhatták azt a meglepetést és elégedettséget, amelyet Feigenbaum élt át Los Alamosban. Sőt tovább finomították az elméletet. A részecskefizikus Predrag Cvitanovic, meghallgatván Feigenbaum előadását a princetoni Felsőbb Tanulmányok Intézetében, segített Feigenbaumnak egyszerűbbé tenni az elméletét és kiterjeszteni univerzalitását. Cvitanović azonban egész idő alatt úgy tett, mintha ez csupán szórakozás lenne; nem tudta rávenni magát, hogy elmondja kollégáinak, mivel foglalkozik. A matematikusokra szintén inkább a tartózkodás volt jellemző, jórészt azért, mert Feigenbaum nem adott eredményeire szigorú bizonyítást. Oscar E. Lanford 1979-es munkája előtt nem is volt rá matematikai értelemben vett bizonyítás.1 Feigenbaum gyakran felidézte, mi történt Los Alamosban szeptemberben, amikor előkelő közönség előtt számolt be elméletéről. Alig kezdett bele a mondandójába, felállt Mark Kac, a kiváló matematikus és nekiszegezte a kérdést: „Uram, számokkal kíván foglalkozni vagy bizonyítással?"2 Számoknál többel, bizonyításnál kevesebbel - válaszolta Feigenbaum. „Nevezheti ezt egy ésszerűen gondolkodó ember bizonyításnak?" Feigenbaum erre azt felelte, hogy ezt a hallgatóságnak kell megítélnie. Miután befejezte az előadást, meg is kérdezte Kacot, aki gúnyosan így reagált: „Hogyne, ez egy ésszerűen gondolkodó ember bizonyítása. És hogy igaz-e, amit bizonyít: azt döntsék el a matematikusok." Megindult egy mozgalom, és az univerzalitás felfedezése továbblendítette ezt a mozgalmat. 1977 nyarán két fizikus, Joseph Ford és Giulio Casati megszervezte az első konferenciát egy káosznak nevezett tudományágban. A helyszín egy barátságos villa volt az olaszországi Comóban, egy aprócska városban a Comói-tó déli nyúlványának partján. Ebben a kék színű, meglepően mély tóban gyűlik össze az olasz Alpok vízzé olvadt hava. Száz ember jött el - főleg fizikusok, de más területek kíváncsi kutatói is. „Mitch meglátta az univerzalitást, kitalálta, hogyan kell skálázni, és roppant intuitív utat talált a káoszhoz - mondta Ford. - Először volt világos, mindenki által érthető modellünk. És ez azok közé a dolgok közé tartozott, amelyeknek eljött az idejük. Az emberek 1

A bizonyítás még akkor sem volt hagyományos, mert hatalmas mennyiségű numerikus számításon alapult, úgyhogy nem lehetett megcsinálni vagy ellenőrizni számítógép használata nélkül. Oscar E. Lanford, „A Co mputer-Assisted Proof of the Feigenbaum Conjectures," Bulletin of the American Mathematical Society 6 (1982), p. 427; és P. Collet, J.-P. Eckmann, and O. E. Lanford, ,Universal Properties of Maps on an Interval," Communications in Mathematical Physics 81 (1980), p. 211. 2 The Discovery of Universality," p. 17.

ugyanazokat a dolgokat csinálták a csillagászattól az állattanig, csak éppen a maguk elszigetelt szakfolyóirataiban adták közre az eredményeiket és fogalmuk sem volt a többiekről. Azt hitték, egyedül vannak, és a maguk szakterületén rendszerint kissé különcnek is számítottak. A végére jutottak az egyszerű kérdéseknek, és elkezdték őket foglalkoztatni a kicsit bonyolultabb jelenségekkel kapcsolatban felvethető kérdések. És ezek az emberek a könnyekig meghatódtak, látván, hogy mindenki más is ott van."

Feigenbaum később szinte csupasz falak közt élt: az egyik szobában egy ágy volt, a másikban egy számítógép, a harmadikban pedig három fekete hifi-torony, amelyeken kizárólag német lemezgyűjteményének darabjait játszotta le. Egyszer megpróbálta kicsit berendezni a lakást: olaszországi tartózkodása alatt vett egy drága márvány kávézóasztalt; de kísérlete balul ütött ki, mert mire megérkezett a csomag, dirib-darabra tört benne a márvány. A falak mellett mindenütt papír- és könyvrakások sorakoztak. Gyorsan beszélt, homlokából hátravetett hosszú hajában már szürke is keveredett a barnához. „Valami drámai történt a húszas években. A fizikusok minden különösebb alap nélkül rábukkantak a körülöttük levő világ lényegében helyes leírására - mert a kvantummechanika bizonyos értelemben lényegében helyes. Megmondja, hogyan csináljunk a földből számítógépet. Ez az a módszer, amit elsajátítottunk világegyetemünk kezelésére. Ezen az úton készülnek a vegyszerek, a műanyagok és egyáltalán minden. Tudjuk, hogyan kell vele számolni. Rendkívül jó elmélet - eltekintve attól, hogy egy bizonyos szinten nincs is értelme. A képből hiányzik egy rész. Ha azt kérdezed, mit jelentenek valójában az egyenletek és mi a világ leírása e szerint az elmélet szerint, akkor ez nem az a leírás, amely megfelelne a világról alkotott képednek. A részecskéről nem gondolhatod azt, hogy valamiféle pályán mozog; nem jelenítheted meg magad előtt ezen a módon. Ha elkezdesz egyre mélyebb kérdéseket feltenni - mit is mond neked ez az elmélet arról, milyen a világ? - ez az elmélet végül olyan távolinak mutatkozik majd a dolgok elképzelésének normális módjától, hogy mindenféle konfliktusba kerülsz. Lehet persze, hogy a világ csakugyan ilyen. De voltaképpen nem tudod, nem lehetne-e ezeket az információkat valahogyan másként, úgy is összerakni, hogy ne kelljen a dolgok szokásos felfogásától olyan nagyon eltávolodnod. A fizikában van egy alapvető feltevés: eszerint a világot úgy értheted meg, ha elszigetelten tartod a részeit, míg meg nem érted az igazán sarkalatosnak tartott dolgokat. Azután arra számítasz, hogy a nem értett többi dolog csupán részletkérdés. Az a kiindulási alap, hogy létezik néhány - kevés számú - elv, amelyek feltárulnak a dolgok tiszta állapotában (ez a megfelelő analitikus kifejezés), és ha azután piszkosabb problémákat akarunk megoldani, valahogy bonyolultabb úton-módon rakjuk össze ezeket az elveket. Persze, ha tudjuk. A végső megértéshez azonban sebességet kell váltani. Újra össze kell rakni elképzeléseinket a lezajló fontos dolgokról. Megpróbálhatsz egy folyadékrendszer-modellt szimulálni a számítógépen. Ez mostanában lassan lehetségessé is válik. De jelentős erőfeszítést kíván, mert ami eközben valójában történik, annak semmi köze sem folyadékhoz, sem ilyen vagy olyan egyenlethez. Annak általános leírásához, hogy mi történik rendszerek széles sokaságában, amikor a dolgok újra és újra magukban működnek, ahhoz más módon kell gondolkodni a problémáról. Ma az a kívánalom irántad, hogy amikor körülnézel ebben a szobában - ott látsz némi szemetet, itt egy embert, amott meg az ajtókat -, akkor a szoba leírásaként vedd az anyag elemi részecskéit és add meg a hullámfüggvényüket. No hát, ez megvalósíthatatlan elgondolás. Isten talán megtehetné, de a mi problémánk megértéséhez nem vezet analitikus gondolat.

Többé már nem akadémikus kérdés, hogy mi történik egy felhőben. Az emberek nagyon sokat akarnak tudni - és ez azt jelenti, hogy pénz is van rá. Ez a probléma nagyon is beletartozik a fizika birodalmába és kellően fontos is. Valami bonyolultat vizsgálunk, és erre ma az a módszer, hogy igyekszünk minél több pontban megvizsgálni, hol a felhő, hol a meleg levegő, mi a sebesség, és így tovább. Azután bedugva az egészet a hozzáférhető legnagyobb gépbe, megpróbálunk becslést kapni arra, vajon mi következik ezután. Csakhogy az eredmény nem tükrözi a valóságot." Elnyomott egy cigarettát és rágyújtott egy másikra. „Az embernek más módszerekkel kell vizsgálódnia. Skálaszerkezeteket kell keresnie - hogyan viszonyulnak a nagy részletek a kicsikhez. Nézd a folyadékban megjelenő zavarokat: ezek bonyolult struktúrák, amelyeknek egy szakadatlan folyamat tartja fenn a a komplexitását. Bizonyos vonatkozásban nem igazán érdekes, mi a folyamat mérettartománya; lehet borsószemnyi vagy kosárlabdányi. Az sem számít, hogy hol zajlik ez a folyamat, az pedig még kevésbé, hogy mennyi ideig. Egyes-egyedül a skálázó dolgok lehetnek bizonyos értelemben valaha is univerzálisak. A művészet egyfajta elmélet arról, milyennek tűnik a világ az emberi lények számára. Teljesen nyilvánvaló, hogy az ember nem ismeri részleteiben a körülötte lévő világot. A művészek annyit tettek, hogy tudatosították magukban: a dolgoknak csak egy kis része fontos, és ezt felismerve csak azt nézték, mi is a lényeges rész. Így a kutatások bizonyos hányadát elvégezték helyettem. Ha megnézed Van Gogh korai munkáit, iszonyú sok részlet van rajtuk, mindig tömérdek információt tartalmaznak. Később nyilvánvalóan ráébredt, mi az a már nem csökkenthető mennyiségű tartalom, amit bele kell tennie a képbe. Vagy tanulmányozhatjuk a látóhatárokat az 1600 körüli németalföldi tusrajzokban, a piciny fákkal és tehenekkel, amelyek nagyon valóságosnak látszanak. Ha közelről nézzük, a fáknak egyfajta leveles határa van, de ettől még nem lenne hiteles az egész - vannak ott még kicsiny ágszerű tünemények is. Erős kölcsönhatás van a lágyabb textúrák és a határozottabb körvonalakkal rendelkező dolgok között. Talán ez a kombináció adja meg a helyes érzékelést. Ha megnézzük, hogyan szerkeszti meg Ruysdael és Turner a bonyolult vizet, világosan látszik, hogy iterációs módszert alkalmaztak. Indultak a látvány valamilyen alapszintjéről, azután ráfestettek mintákat, és végül arra is módosításokat tettek. Az ő számukra az örvénylő folyadékokban mindig benne rejlett a skála ideája. Tényleg tudni akarom, hogyan kell leírni a felhőket. De azt mondani, hogy itt van ez a darab ilyen sűrűséggel, mellette meg az a darab olyan sűrűséggel - ennyi részletes információt összegyűjteni: azt hiszem, ez így nem jó. Bizonyosan nem ez az a mód, ahogyan az emberi lény érzékeli ezeket a dolgokat, és az sem, ahogyan egy művész érzékeli őket. A parciális differenciálegyenletekkel való leírás mintha nem oldaná meg a problémát. Mintha az volna a Föld csodálatos ígérete, hogy vannak rajta gyönyörű dolgok, csodálatos és csábító dolgok, és a szakmád révén meg akarod érteni őket." Letette a cigarettát. Füst szállt fel a hamutartóból, először vékony oszlopban és azután (az univerzalitást ünnepelve) a mennyezet felé örvénylő ágakra bomolva.

A kísérletező

Ez olyan tapasztalat, amelyet nem hasonlíthatok semmi egyébhez. Tudósnak mindennél többét jelent azt látni, hogy valami, ami a fejében lejátszódott, pontosan megfelel valaminek, ami a természetben zajlik. Ez mindig megdöbbentő élmény. Az embert meglepi, hogy elmeszüleménye csakugyan megvalósulhat odakint, a tényleges világban. Nagy megrázkódtatás ez és nagy-nagy öröm.

LEO KADANOFF

„Albertnek lassan nő be a feje lágya" - mondták a párizsi École Normale Supérieure-ön, a francia oktatás École Polytechnique-kel vetekvő fellegvárában. Arra gondoltak, talán az életkora követel ekkora áldozatot Albert Libchabertől, hiszen korábbi munkái révén, amelyekben a szuperfolyékony hélium által az abszolút nulla fok közvetlen közelében mutatott kvantumos jelenségeket vizsgálta, már kitűnő nevet szerzett magának mint alacsonyhőmérséklet-fizikus. Tekintélye és biztos helye volt a karon. És erre 1977-ben nem átallotta egy egészen nyilvánvalónak tűnő kísérletre vesztegetni a drága időt és az egyetem erőforrásait. Ő maga is félt ezzel kockára tenni valamelyik diákjának jövendő karrierjét, ezért inkább egy hivatásos mérnökkel dolgozott. Libchaber öt évvel a német megszállás előtt született Párizsban lengyel zsidók gyermekeként; egyik nagyapja rabbi volt. Ugyanúgy vészelte át a háborút, mint Benoit Mandelbrot: vidéken rejtegették, szüleitől elválasztva, mivel a szülők kiejtése gyanúra adott okot. Szülei is életben maradtak, a család többi része azonban áldozatul esett a náciknak. A sors furcsa fintoraként Libchaber a Pétain-féle titkosrendőrség egyik helyi vezetőjének köszönhette az életét, aki heves jobboldali volt, de még hevesebb antirasszista. A háború után a tízéves Libchaber meghálálta ezt a jótéteményt: félig-meddig felfogva csak, miről is van szó, tanúskodott egy háborús bűnöket vizsgáló bizottság előtt, és ezzel megmentette a megmentőt. Libchaber egyre előrébb és előrébb jutott a francia tudományos életben; éleselméjűségét ugyan soha senki nem vonta kétségbe, de a kollégái néha azt gondolták, hogy egy kicsit őrült: zsidó misztikus a racionalisták között, egy gaulle-ista a többségükben kommunista tudósok között. Tréfálkoztak történelemfelfogásán: hogy mekkora szerepet tulajdonít a nagy embereknek a történelemben, meg azon is, mennyire csügg Goethén, s hogy mennyire vonzzák a régi könyvek. Százával voltak eredeti kiadású tudományos könyvei, némelyik még az 1600-as évekből. Nem történeti érdekességként olvasta őket, hanem mint gondolatok forrását a valóság természetéről, amelyet ő már lézerekkel és csúcstechnikájú hűtőtekercsekkel vizsgált. Mérnökében, Jean Maurerban hasonszőrű franciára talált, aki csak akkor dolgozott, ha kedvet érzett hozzá. Libchaber úgy gondolta, Maurer szórakoztatónak fogja találni új munkáját - ilyen visszafogottan fejezik ki a gallok az érdekeset vagy izgalmasat, esetleg mélyenszántót. 1977-ben nekifogtak egy kísérletnek, amellyel a turbulencia megjelenését szándékoztak feltárni. Kísérletezőként Libchaber tizenkilencedik századi stílusáról volt nevezetes: leleményes értelem, ügyes kéz, inkább találékonyság, mintsem nyers erő. Nem szeretett súlyos technikai eszközöket bevetni és nehéz számításokba bonyolódni. Ugyanazt gondolta a jó kísérletről, mint a matematikusok a jó bizonyításról. Az elegancia ugyanannyit számított a szemében, mint az eredmények. Néhány kollégája még így is azt gondolta, túl messzire ment a turbulencia megjelenését vizsgáló kísérletével. Nem kellett hozzá sok hely, csak egy gyufásdoboznyi; Libchaber időnként úgy kezelte, mintha valamilyen koncept art1 műalko1

Conceptual art: az egyik legfrissebb művészeti irányzat ebben az időszakban; eszerint a művet nem fontos a maga valóságában létrehozni, csupán a befogadó képzeletét kell megmo zgatni - a gondolkodás a lényeg, amit már a tervrajz is megindíthat - a fordító.

tásról lenne szó. Csak így nevezte: „hélium egy kis dobozban'.1 A kísérlet lényegi része még kisebb helyet foglalt el: egy citrommagnyi cellát, amelyet rozsdamentes acélba véstek bele, a lehető leghibátlanabb élekkel és oldalfalakkal. A cellába az abszolút nulla feletti négy fokra hűtött folyékony héliumot töltöttek; szinte meleg volt tehát Libchaber korábbi szuperfolyékonysági kísérleteihez képest. A laboratóriumi helyiség csupán száz méternyire volt Louis Pasteur egykori laboratóriumától, és az egyetem fizikai épületének második emeletét foglalta el. Mint minden jó, általános célú fizikai laboratóriumban, Libchaberében is állandó volt a felfordulás: festékes vödrök és kéziszerszámok hevertek szanaszét a padlón és az asztalokon, mindenütt szabálytalan méretű fém- és műanyagdarabok. A rendetlenség közepette meglepően célszerűnek tetszett a miniatűr folyadékcellát magába foglaló berendezés. A rozsdamentes acélcella alatt egy nagy tisztaságú rézből készített alaplap volt, felette pedig egy zafírkristály fedőlap. Az anyagokat a hővezetőképességük szerint válogatták össze. Piciny elektromos fűtőtekercsek és teflon tömítések is voltak rajta. A folyékony hélium egy egy centiméteres kocka alakú tartályból áramlott lefelé. Az egész rendszer egy tartály belsejében helyezkedett el, igen nagy vákuumban, a vákuumos tartályt pedig folyékony nitrogén vette körül: azzal tartották állandó értéken a hőmérsékletet.

„HÉLIUM EGY KIS DOBOZBAN" Albert Libchaber kísérlete: A le lke egy folyékony héliumot tartalmazó gondosan megmunkált derékszögű cella volt; piciny zafír hőérzékelők mérték a folyadék hőmérsékletét. A pici cellát egy burkolatba rejtették, amely megvédte a zajtól és rezgéstől, továbbá lehetővé tette a fűtés pontos szabályozását.

A rezgések mindig aggasztották Libchabert. A kísérleteket, akárcsak a valóságos nemli1

Albert Libchaber: Experimental Study of Hydrodynamic Instabilities. RayleighBenard Experiment: Heliu m in a Small Bo x, in: Nonlinear Phenomena at Phase Transitions and Instabilities, ed. T. Riste (Plenum, New York 1982), p. 259. A differenciálegyenlettel leírható rendszereket vizsgáló számítógépes és laboratóriumi káoszkísérletekről magyarul Gnádig-GyörgyiSzépfalusy-Tél cikkében olvashatunk A káosz c. kötetben.

neáris rendszereket, állandó háttérzaj zavarta: gátolta a mérést és elrontotta az eredményeket. Az érzékeny áramlásokat – és Libchaber olyan érzékennyé tette a magáét, amilyenné csak tudta - erősen megzavarhatja a zaj: könnyen átlökheti egy másfajta viselkedéssel járó állapotba. A nemlinearitás azonban nemcsak bizonytalanná teheti, de stabilizálhatja is a rendszereket: a nemlineáris visszacsatolás szabályozza és ezáltal sokkal ellenállóbbá teszi a mozgást. Egy lineáris rendszerben a zavarnak állandó hatása van. Nemlineáris viszonyok közepette azonban a zajok teljesen felemészthetik magukat, és ennek jóvoltából a rendszer automatikusan visszatér egy stabil állapotba. Libchaber úgy gondolta, hogy a biológiai rendszerek nemlinearitásukat zaj elleni védelmül használják. A fehérjék energiaszállítása, a szív elektromosságának hullámmozgása és az idegrendszer is megőrzi rugalmasságát a zajjal teli világban. Libchaber azt remélte, akármilyen struktúra rejtőzik is a mélyben, a folyadékáramlás elég ellenálló lesz ahhoz, hogy kísérletével mérhető legyen. Eltervezte, hogy az alaplap hőmérsékletét nagyobbra állítja a fedőlapénál és ezzel konvekciót indít a folyékony héliumban. Ez pontosan az Edward Lorenz által leírt konvekciós modell: a Rayleigh-Bénardféle konvekció néven ismert klasszikus rendszer. Libchaber azonban nem tudott Lorenzről - egyelőre. Mitchell Feigenbaum elméletéről sem volt tudomása. Feigenbaum 1977-ben kezdte tudományos előadókörútját, és felfedezései csak ott hagytak nyomot maguk után, ahol a tudósok tudták, hogyan értelmezzék őket. De a legtöbb fizikus véleménye szerint a feigenbaumológia mintázatai és szabályosságai nem álltak kétségbevonhatatlan kapcsolatban a valóságos rendszerekkel. Feigenbaum mintázatai egy digitális számológépből származtak, a fizikai rendszerek azonban sokkal-sokkal bonyolultabbak. További bizonyítékok nélkül legfeljebb annyit lehetett megkockáztatni, hogy Feigenbaum felfedezett egy matematikai hasonlóságot, amely úgy festett, mint a turbulencia kezdete. Libchaber tudta, hogy amerikai és francia kísérletek megrendítették Landau elméletét a turbulencia megjelenéséről: kimutatták ugyanis, hogy a turbulencia hirtelen átalakulásban bukkan fel, s nem különböző frekvenciák folytonos egymásra épülésével. A kísérletezők, mint például Jerry Gollub és Harry Swinney, a forgó hengerben megfigyelt áramlással bebizonyították, hogy új elméletre van szükség, de nem tudták teljes részletességgel feltérképezni a káoszba való átmenetet. Libchaber látta, hogy a laboratóriumban nem alakult ki világos elképzelés a turbulencia megjelenéséről, és úgy határozott, hogy csöppnyi folyadékcellájával a lehető legáttekinthetőbb képet fogja adni. A látás beszűkülése segít mozgásban tartani a tudományt. A hidrodinamikusok a maguk szemszögéből nézve helyesen jártak el, amikor kétségbe vonták, hogy Swinney és Gollub csakugyan olyan nagy pontosságot ért el a Couette-áramlás vizsgálatában. Saját szemszögükből a matematikusok is jogosan nehezteltek Ruelle-re, mert Ruelle megszegte a szabályokat. Nagyravágyó fizikai elméletet dolgozott ki, szigorú matematikai állításnak álcázva. Nem volt könnyű eldönteni, hogy mit feltételezett és mit bizonyított. A matematikus, mindaddig elutasítván a gondolatokat, amíg azok meg nem felelnek a tétel, bizonyítás, tétel, bizonyítás szabványnak, azt a szerepet tölti be, amit tudományága előír neki: tudatosan vagy nem tudatosan útját állja a csalásnak és a misztikának. A folyóirat-szerkesztőről, aki szokatlan megfogalmazásuk miatt elutasítja az új gondolatokat, a dologban kellemetlenül érintettek azt gondolják, hogy ezzel csak befutott kollégáinak érdekeit védi, pedig a szerkesztőnek egyebek között az is dolga, hogy ésszerű határok között óvakodjon mindentől, ami még kipróbálatlan. „A tudomány egy csomó lehetetlenség ellenében épült fel" - vélekedett maga Libchaber is. Amikor kollégái misztikusnak nevezték, nem feltétlenül valami szeretetre méltóra céloztak vele. Libchaber kísérletező volt, gondos és fegyelmezett kísérletező, köztudomásúlag szigorú

és pontos az anyag vizsgálatában; s mégis: vonzódott az áramlásnak nevezett elvont, felében-harmadában meghatározott, kísérteties dologhoz. Az áramlás alak és változás, mozgás és forma. A differenciálegyenlet-rendszereket felfogó fizikus áramlásnak nevezhetné az egyenletek matematikai mozgását. Az áramlás platóni idea volt: arra épült, hogy a rendszerek változása mögött az adott pillanattól független valóság húzódik meg. Libchaber magáévá tette Platón felfogását, mely szerint a világegyetemet rejtett formák töltik ki. „De hiszen tudjuk, hogy így van! Láttuk már növények leveleit. Ha sokat megnézünk, lehetetlen nem észrevennünk, hogy általános formáik száma véges. Könnyen lerajzolhatjuk a fő formát. Érdekes lenne ezt egyszer megérteni. Vagy más formákat. Egy kísérletben folyadékba hatoló folyadékot láttunk." Íróasztala tele volt ilyen kísérletek fényképeivel, folyadékok kövér fraktálujjaival. „Nos, ha a konyhánkban meggyújtjuk a gázt, látjuk, hogy a láng megint csak ilyen alakú. Ez a forma nagyon elterjedt, mondhatni egyetemes. Nem érdekel, hogy lángról van szó, vagy folyadékról a folyadékban, vagy növekvő kristályról: engem a forma foglalkoztat." „A tizennyolcadik században merült fel annak az ábrándképe, hogy a tudománynak mondania kellene valamit a formák fejlődéséről a térben és időben. Ha áramlásra gondolunk, számos lehetőségünk van rá: gondolhatunk gazdasági áramlatra vagy például történelmire. Az áramlás lehet előbb lamináris, azután kettéválhat és bonyolultabb állapotba juthat, esetleg oszcillációktól is kísérve. S ezután még lehet kaotikus is. A formák egyetemessége, az eltérő mérettartományokban mutatkozó hasonlóságok, az áramlásokon belüli áramlások visszatérítő ereje már túl van a változás hagyományos, differenciálhányadosokkal felírható egyenleteinek tartományán. De ezt nem volt könnyű észrevenni. A tudományos problémákat az éppen használatos tudományos nyelven fejezik ki. Libchaber áramlásról alkotott elképzelései a huszadik században leginkább a költészet nyelvén fejezhetők ki. Wallace Stevens például olyan benyomásokat fogalmazott meg a világról, amelyek előtte jártak a fizikusok számára felfogható tudásnak. Rejtélyes sejtelem volt ez az áramlásról, hogy változva hogyan ismétli mégis önmagát: „... a foltos folyóról, Mely egyre folyt, de sosem ugyanúgy, átszelt Számos helyet, mintha egésze állna, ..."1 Stevens költészete többször is elénk tárja a légkörben és a vízben látható zűrzavar látomását. S gyakran közvetít egy hitet azokban a láthatatlan formákban, amelyet a rend hoz létre a természetben: azt a hitet, „hogy a légben, hol nincsen árny, Ha észrevétlen is, ott a dolgok tudása." Amikor az 1970-es években Libchaber és néhány más kísérletező elkezdte vizsgálni a folyadékok mozgását, valahogy ez a felforgató költői szándék kelt életre bennük. Kapcsolatot gyanítottak a mozgás és az egyetemes forma között. Az egyetlen lehetséges módon gyűjtötték az adatokat: leírták a számokat vagy digitális számítógépben rögzítették őket. Később viszont már azt keresték, hogyan szervezhetnék úgy az adatokat, hogy feltáruljanak mögöttük a formák. Remélték, hogy a mozgással kifejezhetik a formákat. Meggyőződésükké vált, hogy a dinamikus formák, mint például a lángok és a szerves formák, például a levelek, az erők valamilyen még meg nem értett összekapcsolódásától nyerik alakjukat. Ezek a kísérletezők, akik a legkönyörtelenebbül üldözték a káoszt, azzal értek el sikereket, 1 Wallace Stevens: Zuhatagok magánya [This Solitude of Cataracts], in: Pasziánsz a tölgyek alatt, ford. Tandori Dezső (Európa, 1981), p. 102

hogy nem voltak hajlandók elfogadni semmiféle mozdulatlanságba dermedt valóságot. Még Libchaber sem ment volna odáig, hogy ezt ilymódon fejezze ki, mindazonáltal elképzelésük közel jutott Stevens érzeteihez „a szilárd nem szilárd hullámzásá"-ról: „Diadalmas erő, erek tündöklése, Ahogy születtek, sürögtek, s enyésztek a létezők, A térben, a mozgásban, vagy a semmiben, A nyári éj látható átváltozásai, Ezüstös elvontság, már-már alakot öltve, És hirtelen megtagadva önmagát."1 Libchabernek nem Stevens, hanem Goethe adta a misztikus ihletet. Feigenbaum a Harvard könyvtárában kereste Goethe Színelméletét, Libchaber viszont gyűjteményében tudhatta A növények átalakulásáról című még kétesebb hírű monográfia eredeti kiadását. Ez volt Goethe oldalvágása a fizikusok felé, akik - mint hitte - kizárólag a statikus jelenségekkel törődtek, s nem azokkal az életerőkkel és áramlásokkal, amelyek a pillanatról pillanatra látható formákat létrehozzák. Goethe örökségének - az irodalomtörténészek szerint elhanyagolható - részét alkotta az a németországi és svájci áltudományos irányzat, amelyet olyan filozófusok tartottak elevenen, mint Rudolf Steiner és Theodor Schwenk. Libchaber őket is csodálta, amennyire az egy fizikustól telhetett. „Érzékeny káosz" - Das sensible Chaos - ezt a kifejezést használta Schwenk az erő és a forma kapcsolatára. Címéül adta egy furcsa kis könyvének, amelyet először 1965-ben adtak ki, azután hol kapható volt, hol nem. A könyv először is a vízről szólt. Az angol kiadás Jacques Y. Cousteau kapitány elragadtatott előszavával jelent meg, és további ajánlásokkal a Water Resources Bulletintől (Közlöny a vízkészletekről) és a Journal of the Institute of Water Engineerstől (Vízmérnöki Intézet Folyóirata). A tudomány kevéssé befolyásolta Schwenk fejtegetéseit, a matematika pedig még annyira sem. Mindazonáltal tökéletes megfigyeléseket tett. A művész szemével mutatta be a természeti áramlások formáinak sokaságát. Fényképeket gyűjtött össze és több tucat pontos rajzot készített, amelyek az először mikroszkópba néző sejtbiológus vázlataira hasonlítottak. Nyitottságára és naivitására Goethe is büszke lett volna. Könyvének oldalai csupa áramlással vannak tele. A Mississippihez fogható nagy folyók kígyóznak széles kanyarokkal a tengerbe, vagy a franciaországi Arcachoni-öböl. Magában a tengerben pedig a Golf-áramlás kanyarog, s nagy hurkokat vet kelet és nyugat felé. Ez egy óriási melegvizű folyó a hideg vízben; ahogyan Schwenk mondta: folyó, amely „magából a hideg vízből építi fel partjait".2 Ha az áramlás maga megszűnik vagy láthatatlan, a nyomai akkor is láthatók maradnak. A levegőtenger folyói is otthagyják nyomukat a sivatagi homokon, s hullámokat formálnak. Az apálykor visszahúzódó áramlat erek hálózatát rajzolja a tengerpartra. Schwenk úgy vélte, ez nem véletlen egybeesés. Egyetemes elvekben hitt, és az egyetemességen túl valamiféle természeti szellemben is, ami kellemetlenül antropomorffá tette prózáját. A következő „archetipikus elvet" vallotta: „az áramlás a környező anyagtól függetlenül igyekszik megvalósítani önmagát".3 Tudta, hogy az áramokon belül léteznek másodlagos áramok. A kanyargó folyóban lefelé mozgó víz másodlagosan a folyó tengelye körül áramlik az egyik part felé, lefelé a folyóágyban, a másik part felé, fel a felszínre, akár egy spirálisan mozgó részecske egy gyű1 Reality Is an Activity of the Most August Imagination, The Palm at the End of the Mind, ed. Holly Stevens (Vintage, New Yo rk 1972), p. 396. 2 Theodor Schwenk: Sensitive Chaos (Schocken, New Yo rk 1976), p. 19. 3 U.o.

rűsfánk körül. Bármely vízrészecske pályája más fonalak köré csavarodó fonalat ír le. Schwenk szinte egy topológus képzeletével látta az ilyen mintázatokat. „A spirálba csavarodó szálak képe csak a tényleges mozgásra vonatkoztatva pontos. Gyakran beszélünk »vízfonalakról«, holott ezek valójában nem elkülönült fonalak, hanem egész felületek, amelyek térbelileg összefonódnak és elfolynak egymás mellett."1 Versengő ritmusokat látott a hullámokban, egymást legyőző hullámokat, elválasztó felületeket és határrétegeket. Forgókat, örvényeket és örvénysorokat látott, amelyeket az egyik felületnek a másikon való „gördüléseként" fogott fel. Itt olyan közel került a turbulencia dinamikájának fizikus elképzeléséhez, amennyire egy filozófus egyáltalán közel kerülhet. Művészi meggyőződése megkívánta az egyetemességet. Schwenknek az örvények az instabilitást jelentették, az instabilitás pedig azt, hogy az áramlás szembeszáll a magába foglalt egyenlőtlenséggel és hogy ez az egyenlőtlenség „archetipikus". A forgók gördülése, a páfrányok kibomlása, a hegyláncok gyűrődése, az állati szervek üregesedése az ő szemében mind ugyanazt az utat követték. Ennek semmi köze nem volt semmilyen sajátos közeghez vagy egyedi különbséghez. Az egyenlőtlenségek megtestesülhettek a lassú és a gyors, a meleg és a hideg, a sűrű és a ritka, a sós és az édesvíz, a sűrűn folyós és a hígan folyós, a sav és a lúg közötti különbségben. És a határon az élet virágzik.2

MEANDEREZŐ ÉS SPIRÁ LBAN MOZGÓ Á RAMLÁSOK. Theodor Schwenk a természet i áramlásokat mint másodlagos mozgásokkal összekapcsolódott fonalakat írta le. „... ezek való jában nem elkü lönült fonalak-írta-,hanem egész felületek, amelyek térbelileg összefonódnak...".

Ami viszont az életet illeti, az D'Arcy Wentworth Thompson felségterülete volt. Ez a 1 U.o. p. 16. 2 U.o. p. 39.

rendkívüli természettudós 1917-ben a következőket írta: „Lehetséges, hogy az energia valamennyi törvénye, az anyag minden tulajdonsága és a kolloidok egész kémiája éppoly kevés a test megmagyarázására, mint a lélek megértésére. Magam azonban úgy vélem, hogy nem az."1 D'Arcy Thompson éppen azt hozta meg az élet tanulmányozásában, ami Schwenk munkáiból oly nagyon hiányzott: a matematikát. Schwenk analógiával érvelt. Az ő lélektől áthatott, virágzó, enciklopédikus látomása végül nem lépett túl a hasonlóságok feltárásán. D'Arcy Thompson mesterneve, az On Growth and Form (A növekedésről és a formáról) stílusában és módszerében azért követte valamelyest Schwenket. A mai olvasó eltűnődik rajta, mit gondoljon a kanyargós indákban aláhulló sokágú folyadékcseppek aprólékosan kimunkált képeiről, amelyeket D'Arcy Thompson a hozzájuk meglepően hasonló élő medúza képe mellé állít. Talán csak véletlen egybeesés? Ha két forma hasonlít egymásra, kell-e e mögött mindjárt hasonló okokat keresnünk? D'Arcy Thompson bizonyára a legnagyobb befolyású biológus azok között is, akik rajta hagyták kezük nyomát a hivatalos tudományon. A biológia huszadik századi forradalma már jócskán zajlott életében, de őt ez a legkevésbé sem érintette meg. A kémiát figyelmen kívül hagyta, félreértette a sejtet, és egyáltalán nem látta előre, milyen robbanásszerű fejlődés vár a genetikára. Munkája már megírásának idején is túl klasszikusnak és irodalminak - túlontúl szépnek - tűnt, semhogy megbízhatóan tudományos legyen. Egyetlen mai biológusnak sem kell elolvasnia D'Arcy Thompsont. Mégis valahogy a legnagyobbak vonzódnak ehhez a könyvhöz. Sir Peter Medawar „az angol nyelvű tudományos irodalom minden egyéb fölött álló legjobb művének" nevezte.2 Stephen Jay Gould sem talált jobb gondolati előzményt nála, amikor egyre határozottabb benyomásává vált, hogy a természet kikényszeríti a dolgok formáját. D'Arcy Thompsonon kívül nem sok modern biológus tanulmányozta az élő szervezetek eltagadhatatlan egységét. Mint Gould megállapítja: „Kevesen kérdezték meg, hogy vajon minden mintázatot vissza lehet-e vezetni csupán az azt létrehozó erők rendszerére. És mintha kevesen érezték volna át, milyen jelentőségű lehet a szerves formák tudományában, ha ez a próbálkozás sikerrel jár."3 Ez a klasszikussá vált, több nyelven beszélő matematikus és egy személyben zoológus megpróbálta az életet egészben látni, éspedig éppen akkor, amikor a biológia oly sokat termően kanyarodott el a szervezetet alkotórészeire visszavezető módszerek felé. A redukcionizmus győzelmet aratott, legfölényesebben a molekuláris biológiában, de máshol is, mindenütt, az evolúciótól az orvostudományig. Hogyan érthetnénk meg másképpen a sejteket, ha nem a membránok és sejtmagok, végső soron pedig a fehérjék, enzimek, kromoszómák és bázispárok jóvoltából? Amikor végül a biológia előhozta az üregek, a recehártyák, az idegek, az agyszövet belső működését, egyszerre unalmasan ósdi dologgá vált a koponya alakjával törődni. D'Arcy Thompson volt az utolsó, aki ezzel foglalkozott. És ő volt az utolsó nagy biológus, aki - sok éven át - energiát szentelt az okok gondos tárgyalásának, főként a cél-okok és a ható- vagy fizikai okok megkülönböztetésének. A cél-ok szándékon vagy terven alapuló ok: a kerék kerek, mert ez a forma ad lehetőséget a szállításra. A fizikai ok mechanikus: a Föld gömbölyű, mert a gravitáció gömbszerűvé húzza össze a forgó folyadékot. A megkülönböztetés azonban nem mindig ilyen egyszerű. A pohár kerek, mert magától is ezt az alakot ölti az agyag a fazekaskorongon vagy az üveg az üvegfúvó pipa végén. A tudomány egészét tekintve a fizikai ok uralkodik. Amikor ugyanis a csillagászat és a 1 D'Arcy Wentworth Thompson: On Growth and Form, J. T. Bonner, ed. (Cambridge University Press, Cambridge 1961), p. 8. 2 U.o. P. viii. 3 Stephen Jay Gould: Hen's Teeth and Horse's Toes (Norton, New Yo rk 1983), p. 369

LESZÁLLÓ CSEPPEK. D'Arcy Wentworth Thompson bemutatta a vízbe hulló tintacseppek által keltett lehajló fonalakat és oszlopokat (balra) és a medúzát (jobbra). „Rendkívül különös eredmény ... amely arra utal, milyen érzékenyek ezek ... a cseppek a fizikai körülményekre. Végig ugyanazt a zselatint használva és csupán a folyadék sűrűségét változtatva (a harmadik tizedesjegyben), egész sorozatra való alakzatot kapunk a szokásos csüngő csepptől a bordás mintájú ig..."

fizika kilépett a vallás árnyékából, minden nehézség nélkül szakíthatott a mindig előretekintő teleológiával - a Föld csupáncsak Föld, az emberiség tehát megteheti, amit tesz. A biológiában viszont - Darwin keze nyomán - a teleologikus felfogás uralkodóvá vált az okról való gondolkodásban. A biológiai világ talán nem teljesít be isteni eredetű terveket, de bizonyosan beteljesíti a természetes kiválogatódás kialakította terveket. A természetes kiválogatódás nem a génekre vagy az embriókra hat, hanem arra, ami végül is előáll. Ilyenformán a szervezetek formájára vagy a szervek működésére adandó adaptációs magyarázat mindig az okra figyel: nem a fizikai, hanem a cél-okra. A cél-ok mindenütt fennmaradt, ahol szokássá lett a darwini gondolkodásmód. A mai antropológus, ha mondjuk a kannibalizmuson vagy az emberáldozaton mint szokáson gondolkodik, akkor - okkal vagy ok nélkül - csak azt firtatja, hogy az vajon mi célt szolgál. D'Arcy Thompson előre látta ezt. Úgy tartotta, hogy a biológusnak gondolnia kell a fizikai okokra is, vagyis a mechanizmusra éppúgy, mint a teleológiára. Elszánta magát az életben működő matematikai és fizikai erők megmagyarázására. Mivel akkoriban az adaptációs felfogás uralkodott, haszontalannak tűnt az efféle magyarázat. Ez időben az tetszett sokrétű és gyümölcsöző problémának, hogy vajon hogyan formálta a természetes kiválasztódás hatékony napelemmé a növények levelét. Csak jóval később kezdett néhány tudós megint a természet megmagyarázatlanul hagyott oldalán tépelődni. A levelek bizonyos formákat öltenek fel az összes elképzelhetőből, és a levelek formáját nem a működésük szabja meg. D'Arcy Thompson a rendelkezésére álló matematikával nem bizonyíthatta be azt, amit

szeretett volna. Többet nem tehetett, mint hogy lerajzolta például a rokon fajok koponyáját, koordinátákat jelölt meg rajtuk és megmutatta azt az egyszerű geometriai transzformációt, amely egyiket a másikba viszi. Az egyszerű szervezetekkel kapcsolatban - amelyeknek az alakja oly kínosan emlékeztet a folyadéksugarakra, a cseppek fröcskölésére és az áramlás más megnyilvánulásaira – fizikai okokat feltételezett, mint például a gravitációt és a felületi feszültséget, azok azonban nem fejthetik ki azt a hatást, amelyet tulajdonított nekik. Miért gondolkozott hát Albert Libchaber az On Growth and Farmon, amikor elkezdte folyadékkísérleteit? D'Arcy Thompson intuitív nézetei az életet formáló erőkről olyan közel jutottak a dinamikai rendszerekhez, mint semmi más a biológia fő áramlatában. Az életet életnek képzelte el, valami olyannak, ami mindig mozgásban van, ami az egyetemes formák létrehozóiként feltételezett ritmusoknak - a „növekedés mélyen gyökerező ritmusainak"1 - a hatása alatt áll. Nem a dolgok anyagi formáit tekintette voltaképpen vizsgálatra érdemesnek, hanem a dinamikájukat: „az erő hatása, az Energia működése szerinti értelmezést".2 Eléggé matematikus lélek volt ahhoz, hogy tudja: a formák katalogizálása semmit sem bizonyít. Másfelől viszont eléggé költői lélek is ahhoz, hogy hihesse: sem véletlen, sem szándék nem magyarázhatja, miért olyan megdöbbentően egyetemesek a természetkutatásban hosszú esztendők alatt összegyűjtött formák. Erre fizikai törvényeknek kell magyarázattal szolgálniuk: az erőket és a növekedést meghatározó fizikai törvényeknek, csakhogy azok működése kívül esett a már megértett dolgok tartományán. Ismét Platónhoz jutottunk: az egyes, a látható anyagformák mögött láthatatlan mintaként kísérteties formáknak kell meghúzódniuk. Mozgásban levő formáknak.

Libchaber a folyékony héliumot választotta kísérletének céljaira. A folyékony héliumnak rendkívül kicsi a belső súrlódása, úgyhogy a legkisebb lökéstől is arrébb gördül. Ha közepes belső súrlódású folyadékot - például vizet - vagy levegőt választ, sokkal nagyobb dobozt kellett volna vennie. A kis belső súrlódás jóvoltából a kísérlet sokkal érzékenyebb lett a fűtésre. Ebben a milliméteres cellában elég volt ezredfoknyi hőmérséklet-különbség a felső és az alsó felület között, s máris megindult a konvekció. Ezért kellett tehát a cellának olyan picinek lennie: nagyobb dobozban, ahol a folyékony héliumnak több helye lett volna az odébb gördülésre, még gyengébb - sokkal-sokkal gyengébb - fűtés is ugyanilyen mozgást keltett volna. Egy minden irányban tízszer ekkora, vagyis szőlőszem nagyságú dobozban - tehát ezerszer akkora térfogatban - a konvekció már egymilliomod foknyi hőmérséklet-különbségnél is megindult volna. Ilyen kis hőmérséklet-különbséget nem lehet beállítani. A tervezés és a megépítés során Libchaber és mérnöke igyekezett teljesen kiküszöbölni a lehetséges zavarokat. Igazán mindent megtettek, hogy megszüntessék azt a mozgást, amelyet tanulmányozni akartak. A folyadékmozgást - a sima áramlástól kezdve a turbulenciáig - térbeli mozgásnak gondoljuk. Komplexitása térbeli komplexitásként, zavarai, örvényei térbeli káoszként jelennek meg. Libchaber azonban olyan ritmusokat keresett, amelyek időbeli változások alakját öltik. Az idő volt a játéktér és a mérőrúd. A teret szinte egy egydimenziós pontba sűrítette. A szélsőségig fokozta azt a technikát, amelyet már elődei is alkalmaztak a folyadékkísérletekben. Mindenki tudta, hogy a bezárt áramlás - a dobozba szorított Rayleigh-Bénard konvekció vagy a henger belsejére korlátozott Couette-Taylorféle forgás - mérhetően jobban viselkedik, mint egy nyílt áramlás, mint a hullámok az óce1 On Growth and Form, p. 267. 2 U.o. p. 114.

ánban vagy a levegőben. A nyílt áramlásban szabad marad a határfelület, és ettől megsokszorozódik a komplexitás. Mivel egy szögletes dobozban a konvekció virslihez, vagy ez esetben inkább szezámmaghoz hasonló folyadékhengereket hoz létre, gondosan úgy választotta meg a cellája méretét, hogy abban éppen két henger férhessen el. A folyékony hélium középen felemelkedik, majd balra és jobbra fordul és leereszkedik a cella külső oldalai mentén. A geometria határt szabott a lehetőségeknek: kordában tartotta az ingadozásokat. A sima vonalak és a gondosan kialakított arányok kiküszöbölték a nem kívánatos fluktuációkat. Libchaber befagyasztotta a teret, hogy játszhasson az idővel. A kísérlet megindulása után a folyékony hélium a nitrogénfürdőbe merülő vákuumtartályba tett cella belsejében görgött, Libchabernek tehát valahogyan bele kellett látnia a cellába, hogy tudja, mi történik benne. Két mikroszkopikus hőmérséklet-érzékelőt épített a cella zafír fedőlapjába, s egy rajzgéppel folyamatosan rögzítette az általuk adott kimeneti értékeket. Így a folyadék tetején két helyen figyelhette a hőmérsékletet. Ez olyan érzékeny, olyan ügyes módszer volt, hogy Libchabernek - mint egy másik fizikus mondta - sikerült rászednie a természetet. Két évbe telt, mire ez az aprócska precíziós mestermű mindent feltárt, de Libchaber szerint ez volt a megfelelő ecset az ő festészetéhez: nem túl nagy és nem túl bonyolult. Végre mindent látott. Óráról órára, éjjelnappal folytatta a kísérletet, s végül kiderült, hogy a turbulencia megjelenését bonyolultabb viselkedési mintázat kíséri, mint amilyenre valaha is számított. Megjelent a teljes perióduskettőződési sorozat. Libchaber korlátozta és finomította egy melegítésre felemelkedő folyadék mozgását. A folyamat az első bifurkációval kezdődik, a mozgás megindulásával, amint a nagy tisztaságú réz alaplemez eléggé felmelegszik ahhoz, hogy legyőzze a folyadék hajlamát a mozdulatlanságra. Néhány fokkal az abszolút nulla fok felett ehhez egyezred fok is elég. Alul a folyadék felmelegszik, kitágul és könnyebb lesz a felső hideg folyadéknál. A hideg folyadék erre lesüllyed és helyet ad a melegebbnek. Hogy a kétirányú mozgás lehetővé váljon, a folyadék azonnal forgó hengerpárrá szerveződik. A gördülés sebessége állandósul: a rendszer egyensúlyba jut, mozgó egyensúlyba, amelyben a hőenergia folyamatosan mozgássá alakul át, majd a súrlódás révén hővé disszipálódik és a hideg fedőlemezen át eltávozik. Ez idáig Libchaber egy jól ismert hidrodinamikai kísérletet ismételt meg, s ezért próbálkozását haszontalannak is tartották. „Klasszikus fizika volt - mondta -, ami sajnos azt jelentette, hogy régi, következésképpen érdektelen." Ráadásul ez éppen az az áramlás volt, amelyet háromegyenletes rendszerével Lorenz is modellezett. A valóságos világban - valódi folyadékkal, egy technikus által kivágott dobozzal, a párizsi közlekedés által okozott rezgéseknek kitett laboratóriumban - végzett kísérletben azonban sokkal fáradságosabb volt az adatgyűjtés, mint a számok előállítása egy számítógéppel. A Libchaber-féle kísérletezők egyszerű rajzgépet használtak a fedőlapba rögzített érzékelő által mért hőmérséklet rögzítésére. Az első bifurkáció utáni egyensúlyi állapotban a hőmérséklet minden pontban többé-kevésbé állandó marad, és a rajztoll egy egyenest ír le. Erőteljesebb fűtésre szaporodnak az instabilitások. Egy-egy hurok fejlődik ki a hengerekben, és ezek a hurkok előre-hátra mozognak. Hullámzásuk két érték között emelkedő és süllyedő hőmérsékletként jelenik meg: a toll hullámos vonalat rajzol a papírra. Egy egyszerű hőmérsékletgörbéből, amely állandóan változik és rázkódik a kísérleti zaj miatt, lehetetlen kiolvasni az új bifurkációk pontos idejét vagy kikövetkeztetni természetüket. A vonalon véletlen hegyekvölgyek következnek egymás után, minden látszat szerint éppoly véletlenszerűen, mint a tőzsdei árak lázgörbéjén. Libchaber spektrum-ábrán elemezte ezeket az adatokat, s az kimutatta a változó hőmérsékletekben rejlő fő frekvenciá-

kat. Kísérleti adatokból spektrum-ábrát készíteni olyasvalami, mint felrajzolni egy szimfónia bonyolult akkordját alkotó hangfrekvenciákat. Az ábra alján mindig borzas, egyenetlen vonal fut végig: a kísérleti zaj. A fő hangszínek kiugró csúcsokként jelennek meg: minél hangosabb a kérdéses hang, annál magasabb a csúcs. S ha az adatok valamilyen uralkodó frekvenciára utalnak - például egy másodpercenként egyszer tetőző ritmusra -, akkor az a frekvencia a spektrumábrán csúcsként fog feltűnni.

KÉT LEHETŐSÉG A BIFURKÁ CIÓ SZEM LÉLTETÉSÉRE. Ha egy kísérletben, mint például Libchaber konvekciós cellájában állandó oszcilláció alaku l ki, akkor a fázistérbeli ábrán egy szabályos időközönként ismétlődő hurok látható (balra, fent). Az adatokban mutatkozó frekvenciákra kíváncsi kísérletező ilyenkor erős csúcsot lát a spektrum-ábrának ehhez a ritmushoz tartozó helyén (balra, lent). Egy perióduskettőző bifurkáció után a rendszer kettős hurkot ír le, s a továbbiakban ezt ismételgeti (középen, fent); a kísérletező pedig új rit must figyelhet meg az eredeti frekvencia felénél, azaz a kétszeres periódusidőnél (középen, lent). Az újabb és újabb perióduskettőződések további csúcsokkal tűzdelik tele a spektrumot (jobbra).

Libchaber kísérletében az első megjelenő hullámhossz történetesen nagyjából két másodpercnek felelt meg. A második bifurkáció rejtélyes változást hozott. A henger továbbra is hullámzott, s a hőérzékelő által mutatott hőmérséklet továbbra is egyetlen uralkodó ritmusban emelkedett és süllyedt, ám a hőmérséklet a páratlan ciklusokban elkezdett a korábbinál egy kicsit magasabbra szökni, a páros ciklusokban pedig egy kicsit lejjebb szállni. A maximális hőmérséklet lényegében kettéhasadt, úgyhogy két különböző maximum és két minimum volt. A rajztoll, bár ezt nem volt könnyű észrevenni, a hullámra újabb hullámot metahullámot - rajzolt. A spektrum-ábrán mindez világosabban látszott. A régi frekvencia még mindig erősen jelen volt, mivel a hőmérséklet két másodperces időközönként továbbra is emelkedett. Felbukkant azonban egy újabb frekvencia, éspedig a régi frekvencia felénél, mivel a rendszerben kialakult egy minden négy másodpercben ismétlődő összetevő.1 Ahogyan a bifurkációk folytatódtak, kitűnt egy különösen szilárd mintázat: az új frekvenciák kétszer akkorák voltak, mint a régiek, úgyhogy az ábra csúcsokkal népesült be a negyed-, nyolcad-, tizenhatod távolságoknál, s mindinkább egy rövidebb-hosszabb lécekből összerótt kerítéshez kezdett hasonlítani. Még annak az embernek is, aki kereste a rejtett formákat a zűrzavaros adatokban, több tucat, majd több száz kísérletet kellett végeznie, míg végre látni kezdte ennek a pici cellának a viselkedésmódját. Minden pillanatban várható volt, hogy valami különös történik, amint 1 Libchaber és Maurer, 1980 és 1981. Cv itanović bevezetése is világos összegzést ad.

AZ ELM ÉLETET M EGERŐSÍTŐ VA LÓSÁ GOS VILÁ GBELI ADATOK. Libchaber spektrum-ábrái életszerűen megmutatták az elmélet által meg jósolt perióduskettőződés pontos mintázatait. Az új frekvenciák csúcsai világosan kiemelkednek a kísérleti zajból. Feigenbaum skálázási elmélete nem csak azt jósolta meg, mikor és hol tűnnek fel az új frekvenciák, hanem azt is milyen erősek lesznek vagyis a nagyságukat.

Libchaber és mérnöke lassan növelte a hőmérsékletet és a rendszer egyik egyensúlyból átkerült egy másikba. Időnként átmeneti frekvenciák bukkantak fel, lassan átsiklottak a spektrum-ábrán, s aztán eltűntek. Időnként az ügyes geometriai szerkezettel mit sem törődve nem két, hanem három henger alakult; és valójában honnan is tudhatták volna, mi történik abban a pici cellában?

Ha Libchaber ismerte volna Feigenbaum felfedezését az univerzalitásról, akkor pontosan tudta volna, hol keresse a bifurkációit és mit tartson felőlük. 1979-re mind több matematikus és matematika iránt vonzódó fizikus figyelt fel Feigenbaum új elméletére. A valódi fi-

zikai rendszereket ismerő tudósok többsége azonban úgy gondolta, jó oka van még várni a véleménynyilvánítással. Más dolog volt a komplexitás az egydimenziós rendszerekben, May és Feigenbaum leképezéseiben, és megint más a mérnök által megépíthető mechanikai eszközöket jellemző két-, három- vagy négydimenziós rendszerekben. Ezekhez súlyos differenciálegyenletek kellettek, az egyszerű differenciaegyenletek már nem voltak használhatók. Úgy tetszett, egy másik szakadék is elválasztja a kis dimenziószámú rendszereket a folyadékáramlási rendszerektől, amelyeket a fizikusok potenciálisan végtelendimenziós rendszereknek gondoltak. Tulajdonképpen még Libchaber gondosan megszerkesztett cellája is szinte végtelen sok folyadékrészecskét tartalmazott. S elvileg minden részecskének lehetősége van a független mozgásra, bizonyos körülmények között bármelyikük megindíthat egy új kanyart vagy örvényt. „Az elképzelést, hogy a lényeget jelentő, hús-vér mozgás egy ilyen rendszerben leképezésekre egyszerűsödik, senki sem fogadta el." - mondta Pierre Hohenberg az AT&T Bell Laboratórium (New Jersey állam) munkatársa. Hohenberg azon kevesek közé tartozott fizikus körökben, akik az új elméletet és az új kísérleteket is figyelemmel kísérték. „Feigenbaum talán ábrándozott róla, de mondani biztosan nem mondta. Az ő munkája a leképezésekről szólt. Miért érdekelték volna a fizikusokat a leképezések; hiszen az csak egy játék? És ameddig csupán a leképezésekkel folyt a játszadozás, úgy tűnt, mindez eléggé távol esik attól, amit meg akartunk érteni." „Amikor azonban látni lehetett kísérletekben, akkor tényleg izgalmassá vált. Igazán csodálatos. Az benne a csoda, hogy még az érdekes rendszerek viselkedését is részletesen megérthetjük egy ilyen kevés szabadsági fokú modell alapján." Végül is ő, Hohenberg hozta össze az elméleti kutatót a kísérletivel. 1979 nyarán tudományos szemináriumot vezetett Aspenben, s azon Libchaber is részt vett. (Négy évvel korábban, ugyanazon a nyári tudományos szemináriumon hallotta Feigenbaum Steve Smale-t egy számról - egyetlen egy számról - beszélni, amely akkor bukkant fel, amikor egy matematikus egy bizonyos egyenletben megvizsgálta a káoszba való átmenetet.) Hohenberg felfigyelt Libchaber beszámolójára a héliumos kísérletekről. Hazafelé menet Hohenberg véletlenül megállt új-Mexikóban és felkereste Feigenbaumot. S nem sokkal később Feigenbaum meglátogatta Libchabert Párizsban. Ott álltak Libchaber laboratóriumának szanaszét heverő alkatrészei és műszerei között. Libchaber büszkén mutatta piciny celláját, és meghallgatta Feigenbaum magyarázatát legutóbbi elméletéről. Azután sétáltak Párizs utcáin, és keresték, hol adják a legjobb kávét. Libchaber később felemlegette, mennyire meglepte, hogy ilyen fiatal és - ahogy mondta: eleven - elméleti embert látott.

Az ugrás a leképezésektől a folyadékáramlásig akkorának tűnt, hogy még a dologban legilletékesebb kutatók is időről időre úgy érezték: talán csak álmodnak. A legkevésbé sem volt nyilvánvaló, hogyan kapcsolhat a természet ilyen komplexitást ilyen egyszerűséghez. Ahogyan Jerry Gollub mondta: „Ebben inkább csodát kell látnunk, mintsem az elmélet és kísérlet közötti szokásos kapcsolatot." A csoda néhány éven belül többször is megismétlődött a laboratóriumi rendszerek nagy bestiáriumában: nagyobb folyadékcellákban s vízzel meg higannyal is, elektronikus oszcillátorokban, lézerekben, sőt kémiai reakciókban.1 Az elméleti kutatók felhasználták Feigenbaum módszerét és más matematikai utakat is talál1

Az irodalo m ugyanolyan nagy terjedelmű. A különböző rendszereken végzett kísérletek és az elmélet egyesítését összegzi például: Harry L. Swinney: Observations of Order and Chaos in Nonlinear Systems, Physica 7D (1983), pp. 3-15; Swinney kategóriák szerinti forráslistát ad az elektronikától és a kémiai oszcillátoroktól az egészen különös fajta kísérletekig.

tak a káoszhoz, a perióduskettőződés unokatestvéreit: olyan mintázatokat, mint az intermittencia és a kváziperiodicitás. Ezek szintén univerzálisnak bizonyultak, elméletileg éppúgy, mint kísérletileg. A kísérletezők felfedezései elősegítették a számítógépes kísérletezés kibontakozását is. A fizikusok felismerték, hogy a számítógépek ugyanazokat a kvalitatív képeket adják, mint az igazi kísérletek, csak milliószor gyorsabban és megbízhatóbban. Sokak számára még Libchaber eredményeinél is meggyőzőbb volt az a folyadékmodell, amelyet Valter Franceschini készített Olaszországban, a Modenai Egyetemen: ez az öt differenciálegyenletből álló rendszer attraktorokat és perióduskettőződést produkált.1 Franceschini mit sem tudott Feigenbaumról, komplex, sokdimenziós modellje ugyanazokat az állandókat adta, amelyeket Feigenbaum talált az egydimenziós leképezések körében. Egy európai csoport 1980ban meggyőző matematikai magyarázattal állt elő: a disszipáció „elvérezteti' a sok ellentétes mozgás komplex rendszerét és a sokdimenziós viselkedést végül egydimenzióssá teszi.2 Nem számítástechnikai módszerrel - például folyadékkísérletben - továbbra sem volt könnyű dolog különös attraktort találni. Ez még a 80-as években is sok munkát adott a kísérletezőknek, például Harry Swinney-nek. És mikor a kísérletezők végül sikerrel jártak, eredményeiket az újsütetű számítógépszakértők nemegyszer lekicsinyelték, mint kezdetleges, megjósolható visszfényeit az ő grafikus terminálokon kikevert pazar részletességű képeiknek. Mire a számítógépes kísérletekben kirajzolódik az ezernyi vagy milliónyi adatnak megfelelő pont, többé-kevésbé feltárulnak a mintázatok is. A laboratóriumban viszont, akárcsak a valóságos világban, a használható információt el kell választani a zajtól. A számítógépkísérletben szüntelenül zúdulnak az adatok, mint kehelyből a bor, de a laboratóriumi kísérletben minden kis cseppért meg kell küzdeni. A számítógépes kísérletek azonban önmagukban aligha lettek volna elegendők ahhoz, hogy Feigenbaum és mások új elméletei ilyen széles körben felkeltsék a kutatók érdeklődését. A módosítások, a kompromisszumok, a közelítések, amelyek a nemlineáris differenciálegyenlet-rendszerek digitalizálásához szükségesek voltak, túl sok gyanúra adtak okot. A szimulációk nagy darabokra tördelték a valóságot, olyan sokra, amennyire csak lehetett, de még így is túl kevésre. A számítógépes modell csupán a programozók által önkényesen kiválasztott halomnyi szabály. Nem is lehet vitás, hogy a tényleges folyadéknak - még egy teljesen lecsupaszított milliméteres cellába zárva is - minden lehetősége megmarad a természeti rendezetlenségre jellemző szabad, akadálytalan mozgásra. Bármikor meglepetést okozhat. Nehéz elhinni, hogy a számítógépes szimuláció korában, amikor a sugárhajtóművektől kezdve a szívbillentyűkig minden áramlást szuperszámítógépeken modelleznek, milyen könnyen zavarba hozhatja a természet a kísérletezőt. Hiszen voltaképp ma nincsen olyan számítógép, amely tökéletesen szimulálhatna egy mégoly egyszerű rendszert is, mint Libchaber folyékony hélium cellája. Valahányszor egy jó fizikus megvizsgál egy szimulációt, mindig eltűnődik rajta, vajon a valóságnak mely darabja maradt ki, milyen lehetséges meglepetés maradt a háttérben. Libchaber gyakran mondogatta, hogy nem szeretne szimulált repülőgépen repülni: folyton az járna a fejében, hogy vajon mi minden hiányozhat belőle. Azonfelül szerinte a számítógépes szimulációk hasznosak ugyan a szemléletmód kialakításában és a számítások finomításában, de nem vezetnek eredeti felfedezésekre. Leg1

Valter Franceschini and Claudio Tebaldi: Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a Five-Mode Truncation of the Navier-Stokes Equations, Journal of Statistical Physics 21 (1979), pp. 707-26. 2 P. Co llet, J.-P. Eckmann, and H. Koch: Period Doubling Bifurcations for Families of Maps on R°, Journal of Statistical Physics 25 (1981), p. 1.

alábbis ez a kísérletező hitvallása. Kísérlete annyira hibátlan volt, tudományos célját tekintve pedig annyira elvont, hogy továbbra is akadtak fizikusok, akik inkább filozófiának vagy matematikának tekintették, semmint fizikának. Ő meg azt hitte, hogy területén túltengnek a redukcionista kívánalmak, amelyek az atomok tulajdonságait állítják előtérbe. „Egy fizikus megkérdezhetné tőlem, hogy ez az atom ugyan honnan került ide és tapadt meg? És mi az, hogy felületre való érzékenység? Meg hogy: fel tudja írni a rendszer Hamilton-függvényét?" „És ha azt válaszolom, hogy ezzel nem törődöm, engem a forma érdekel, a forma matematikája és fejlődése, a bifurkáció ebből a formából egy másik formába, majd onnan egy harmadikba, akkor azt fogja mondani nekem, hogy amit te csinálsz az nem fizika, az matematika. Még ma is ez lesz a véleménye. Mit mondhatnék erre? Persze, matematikát csinálok. De ez fontos a körülöttünk levő világ szempontjából. Ez is a természet része." A mintázatok, amelyekre rátalált, absztraktak voltak csakugyan, matematikai jellegűek. Semmit sem mondtak a folyékony hélium, a réz tulajdonságairól vagy az atomok viselkedéséről az abszolút nulla fok közelében. De pontosan azok a mintázatok voltak, amelyeket Libchaber misztikus elődei megálmodtak. Újabb tartományt nyitottak meg a kísérletezés előtt, s ebben a tartományban a mozgás új elemeit kutatva sokan hamarosan felfedezővé is váltak, a vegyészektől a villamosmérnökökig. A mintázatok nyomban láthatóvá váltak, amint sikerült eléggé megemelni a hőmérsékletet az első, majd a következő és az azutáni perióduskettőződés elkülönítéséhez. Az új elmélet szerint a bifurkációknak pontos skálázás jellemezte geometriát kellett alkotniuk, és Libchaber pontosan ezt látta: az univerzális Feigenbaum állandókat, amik ettől matematikai képzetből mérhető és megismételhető fizikai valósággá váltak. Sokkal később is élénken élt benne, milyen hátborzongató érzés volt látni, ahogy egymást követték a bifurkációk, és ráébredni, hogy egy gazdag szerkezetű, végtelen sorozat bukkan fel a szeme előtt. Ez - az ő szavaival élve - igen szórakoztató volt.

A káosz képei

Miként is lehetne másképp, ha a káosz Így összpontosítja minden erejét, Hogy megformáljon egyetlen levelet?...

CONRAD AIKEN Collected Poems (Oxford University Press, 1970.)

Michael Barnsley oxfordi matematikus 1979-ben, egy korzikai konferencián találkozott Mitchell Feigenbaummal. Barnsley ekkor hallott először az univerzalitásról, a perióduskettőződésről és a bifurkációk végtelen sorozatáról. Jó ötlet, gondolta, éppen az a fajta, amelyet nyilván azért ismertetnek a tolongó tudósokkal, hogy ki-ki lekanyaríthassa belőle a maga darabját. Barnsley úgy vélte, hogy ő meg is látott benne egy olyan darabot, amelyet más senki. Honnan származnak ezek a 2, 4, 8, 16-os ciklusok, ezek a Feigenbaum-sorozatok? Varázslat révén bukkantak elő valamilyen matematikai űrből, vagy valami még mélyebben fekvőre utalnak? Barnsley felfogása szerint ezeknek valamilyen mesés, addig rejtve maradt fraktálobjektum részeinek kell lenniük. Ehhez az ötlethez megvolt a megfelelő közeg is: a komplex síkként ismert számtartomány. A komplex síkon a mínusz végtelentől végtelenig egymás után sorakozó számok azaz minden valós szám - egy egyenesen fekszik, amelynek a nulla van a közepén, és nyugat s kelet felé, végtelen távolig nyúlik el. Ez a vonal azonban csak egyenlítője egy nagyobb világnak, amely északi és déli irányában is a végtelenig terjed. Minden szám két részből áll: egy valós részből, amely a kelet-nyugati hosszúságnak felel meg, és egy képzetes részből, amely az észak-déli irányú magasságnak. Megegyezés szerint ezeket a komplex számokat a következőképpen írjuk: 2 + 3i, ahol az i jelöli a képzetes részt. Ez a két rész minden számhoz egyértelmű címet rendel a kétdimenziós síkon. A valós számok eredeti egyenese itt csupán különleges eset: azoknak a számoknak a halmaza, amelyeknek a képzetes része nullával egyenlő. Ha a komplex síkon csak a valós számokat - csak az egyenlítőn levő pontokat - nézzük, akkor a formáknak csupán esetlegesen kiválasztott metszeteire korlátozzuk a látványt, pedig az két dimenzióban vizsgálva további titkokat is felfedne. Ez motoszkált Barnsley fejében. A valós és képzetes nevek abból a korból erednek, amikor a rendes számok valóságosabbnak tűntek ezeknél az új keverékeknél; ma viszont már meglehetősen önkényesnek tűnik az efféle megkülönböztetés, hiszen mindkét fajta szám éppoly valós vagy képzetes, mint bármelyik másik típusú. A képzetes számokat annak idején annak a fogalmi űrnek a kitöltésére találták ki, amely a „Mi a négyzetgyöke egy negatív számnak?" kérdés nyomában támad. A -1 négyzetgyöke megállapodás szerint i lett, a -4 négyzetgyöke 2i, és így tovább. Innen már csak egy kis lépés volt felismerni, hogy a valós és képzetes számok együttese új lehetőségeket ad a polinom alakban felírható egyenletekkel végzett számításokban. A komplex számok körében is elvégezhető az összeadás, a szorzás, az átlagképzés, a tényezőkre bontás vagy az integrálás. A valós számokkal végzett számításokat komplex számokkal is megpróbálhatjuk elvégezni. Amikor Barnsley elkezdte kiterjeszteni a Feigenbaum-féle függvényeket a komplex síkra, egy fantasztikus formacsalád körvonalait látta kirajzolódni; ez a család láthatólag a kísérleti fizikusokat érdeklő dinamikai fogalmakhoz kapcsolódott, ám matematikai konstrukcióként sem volt érdektelen. Felismerte, hogy ezek a ciklusok végül is nem csak úgy a levegőből bukkannak fel, hanem a komplex síkból kerülnek a valós egyenesre, amely komplex síkon garmadával fordulnak elő a mindenféle nagyságrendű ciklusok. Mindig volt egy kettős ciklus, egy hármas ciklus, egy négyes ciklus, éppen csak valamivel a látótéren kívül, amíg végre el nem jutot-

tak a valós egyenesig. Barnsley Korzikáról hazasietett a Georgia Műegyetemre, a dolgozószobájába, ott megírt egy cikket, s közlésre elküldte a Communications in Mathematical Physics (Matematikai Fizikai Közlemények) című folyóiratnak. Szerkesztőként történetesen David Ruelle kapta kézhez a cikket, és néhány kellemetlen hír kíséretében vissza is küldte Barnsley-nak. Barnsley ugyanis tudtán kívül újra felfedezte egy francia matematikus ötven éve eltemetett munkáját. „Ruelle visszatolta nekem, mint valami kínos ügyet és azt mondta: »Michael, te a Julia-halmazokról beszélsz«" - emlékezett vissza Barnsley. De adott azért egy jótanácsot is: „Lépj kapcsolatba Mandelbrottal!"

A Barnsley-val történtek idején John Hubbard, egy amerikai matematikus, aki szerette a divatos, feltűnő ingeket, már három éve tanított elemi matematikai analízist elsőéves egyetemi hallgatóknak a franciaországi Orsay-ben. Szokásos témakörei között ott szerepelt a Newton-módszer is: egy klasszikus egyenletmegoldó módszer, amely egyre jobb és jobb közelítést ad a megoldandó egyenlet gyökeire. Hubbard azonban kissé unta a szokásos témákat, és egyszer csak úgy döntött, hogy olyan utat választ a Newton-módszer bevezetésére, amellyel gondolkodásra késztetheti hallgatóit.1 A Newton-módszer régóta ismert, és az volt már akkor is, amikor Newton feltalálta: egy változatában az ókori görögök is használták a négyzetgyökök kiszámítására. A módszer egy becsléssel kezdődik, ez a becslés egy újabb és jobb becsléshez vezet, s így tovább: ez az iterációs folyamat egyre inkább „ráhúzódik" a válaszul adódó számra, éppúgy, ahogyan egy dinamikai rendszer „megkeresi' a maga állandósult állapotát. Ez a gyökkereső eljárás meglehetősen gyors: lépésenként rendszerint megkétszereződik a pontos tizedesjegyek száma. Manapság persze analitikusabb módszerekkel határozzák meg a négyzetgyököket és általában a másodfokú egyenletek gyökeit: azokét az egyenletekét, amelyekben a keresendő szám legfeljebb a második hatványon szerepel. A Newton-módszer azonban a magasabbfokú egyenletekre is használható, amelyeket nem lehet közvetlenül megoldani. A módszer igen sok számítógépes algoritmusban is kitűnően működik, hiszen az iteráció nagy erőssége a számítógépeknek. A Newton-módszerben némi kényelmetlenséget szül azonban, hogy az egyenleteknek rendszerint egynél több megoldásuk van, különösen ha a komplex síkon meghatározandó megoldásokról van szó. Hogy melyik megoldást találja meg a módszer, az a kezdeti becsléstől függ. A hallgatók általában úgy ítélik meg, hogy ez egyáltalán nem olyan nagy baj: az embernek többnyire van valami épkézláb ötlete, hol is kezdje, és ha a becslés nem megfelelő megoldáshoz látszik közelíteni, akkor valahol máshol újrakezdhető az egész. Megkérdezhetjük, hogy pontosan milyen utat is jár be a Newtonmódszer, amikor egy másodfokú egyenlet gyöke felé kanyarog a komplex síkon. Geometriai szempontból azt válaszolhatjuk erre, hogy a módszer a két gyök közül azt veszi célba, amelyik közelebb esik a kezdeti becsléshez. Ezt mondta Hubbard a hallgatóinak Orsay-ben, amikor egyszer felvetődött ez a kérdés. „De, mondjuk a harmadfokú egyenletek esetében már bonyolultabbnak tűnik a dolog tette hozzá magabiztosan. - Gondolkodom rajta és a következő héten elmondom Önöknek." Változatlanul úgy vélte, hogy a dologban az iteráció műveletének elvégzése az igazi nehézség, a kezdeti becslés voltaképpen gyerekjáték. Minél többet gondolkodott azonban raj1

Adrien Douady: Julia Sets and the Mandelbrot Set. in: The Beauty of Fractals pp. 161-73. A The Beauty of Fractals főszövegében megtalálható a Newton-módszer matematikai összefoglalása, akárcsak az e fejezetben tárgyalt komplex dinamika más alapjai is.

ta, annál kevésbé tudta, mit is értsen értelmes becslésen vagy mit is csinál voltaképpen a Newtonmódszer. Geometriailag az lenne kézenfekvő, ha három egyenlő tortaszeletre osztanánk a síkot, úgy, hogy mindegyikben legyen egy-egy gyök; ámde Hubbard rájött, hogy ez az ötlet hasznavehetetlen: furcsa dolgokat tapasztalt ugyanis a határok közelében. Azután felfedezte, hogy nem is ő az első matematikus, aki belebotlott ebbe a meglepően bonyolult kérdésbe. 1879-ben már Arthur Cayley is megpróbált áttérni az engedelmes másodfokú esetről az ijesztően engedetlen harmadfokúra. Hubbardnak azonban egy évszázaddal később már a kezében volt valami, ami Cayleynek még nem. Hubbard azok közé a szigorú felfogású matematikusok közé tartozott, akik megvetették a találgatásokat, közelítéseket, az inkább szemléletre, mintsem bizonyításra épített féligazságokat. Az a fajta matematikus volt, aki - húsz évvel azután is, hogy Edward Lorenz attraktora megjelent az irodalomban - rendületlenül kitartott amellett, hogy senki sem tudja igazán, különös attraktort adnak-e meg azok a bizonyos egyenletek. Ez továbbra is bizonyítatlan feltevés volt. Az ismerős kettős spirális - mondta - nem bizonyítás, csupán bizonyíték, valami, amit a számítógépek rajzoltak. De ez alkalommal, szinte önmagát megtagadva, mégis elővette a számítógépet, hogy megtegye vele azt, amire a bevett módszerek nem voltak képesek. A számítógép semmit sem bizonyít ugyan, de leleplezheti az igazságot, s ezzel a matematikus tudtára adhatja: mi az, amit be kellene bizonyítania. Hubbard tehát elkezdett kísérletezni. A Newton-módszerben nem problémamegoldási módszert látott már, hanem megoldandó problémát. A legegyszerűbb harmadfokú egyenletet választotta: x3 - 1 = 0, azaz meghatározandó az 1 köbgyöke. A valós számok között természetesen nincs más megoldás, mint a nyilvánvaló megoldás: az 1. Ám ennek a polinomiális egyenletnek van két komplex megoldása is: -1/2 + i 3 /2, és -1/2 - i 3 /2. Ez a három gyök a komplex síkra felrajzolva egy egyenlő oldalú háromszöget jelöl ki: e háromszög egyik csúcsa a három óra felé mutatna az óra számlapján, a másik a hét óra felé, a harmadik pedig a tizenegy óra felé. Mármost az volt a kérdés, hogy ha kiindulásul adva van egy tetszőlegesen választott komplex szám, akkor e három csúcs közül vajon melyikhez vezet el a Newton-módszer? Szinte mintha a Newtonmódszer valamiféle dinamikai rendszer lett volna, a három megoldás pedig három attraktor; vagy mintha a komplex sík egyébként sima felülete három mély völgy felé lejtene: a síkon valahonnan elinduló játékgolyó belegurul az egyik völgybe - de vajon melyikbe? Hubbard nekifogott mintát venni a síkot alkotó végtelen sok pontból. Egyik pontról a másikra állítgatta a számítógépét, s mindenütt kiszámította, hová vezet el a Newton-módszer, majd a kiindulópontot a végeredménytől függően más-más színnel jelölte meg: az egyikhez tartókat kékkel, a másihoz tartókat pirossal, a harmadikhoz tartókat pedig zölddel. Az első, igen elnagyolt közelítés azt mutatta, mintha a Newton-módszer dinamikája valóban három tortaszeletre osztaná a síkot: az egyes megoldások közelében fekvő pontok hamarosan eljutottak ehhez a hozzájuk legközelebbi megoldáshoz. A további rendszeres és alapos számítógépes vizsgálat azonban egy igen bonyolult alapszerveződésre derített fényt, olyanra, amilyet addig még nem láthattak a mindig csak néhány, itt-ott kiválasztott pont sorsát figyelemmel kísérő matematikusok. Egyes kezdőbecslések gyorsan eljutottak az egyik gyökhöz, mások viszont minden látszat szerint véletlenszerűen ide-oda ugráltak, s csak azután vették célba valamelyik megoldást. Időnként egy-egy pont mintha végtelen, örökké ismétlődő ciklusba esett volna, s örökre elkerülni látszott a megoldásokat. Ahogy Hubbard a tér egyre finomabb részleteinek feltárására ösztökélte a számítógépét, hallgatóival egyetemben mindinkább zavarba jött a lassan kirajzolódó kép láttán. A kék és piros völgyek között például tiszta gerinc helyett ékszerszerűen felfűzött zöld foltokat láttak. Úgy festett, mintha a játékgolyó, nem tudván dönteni a két szomszédos völgy egymás-

sal ellentétes vonzása között, a harmadik és egyben legtávolabbi völgyben fejezné be pályafutását. Semelyik két szín között sem alakul ki zavartalan határ.1 És a még behatóbb vizsgálat újabb meglepetéssel szolgált: a zöld folt és a kék völgy közötti vonal piros foltokat tartalmaz. És így tovább: a határvonal végül is olyan különös tulajdonságról tett tanúbizonyságot, amely még a Mandelbrot rettenetes fraktáljait ismerők szemében is meghökkentőnek tetszhet: nem akadt egyetlen olyan pont sem, amely csupán két szín között lett volna határ. Ha két szín „megpróbálna összejönni", a harmadik is mindig odatolakszik egy sor új, önmagához hasonló beékelődés alakjában. A határpontok a lehető leglehetetlenebb módon soha nem két, hanem mindig három különböző színű tartomány határán állnak.

VÉGTELEN BONYOLULTSÁ GÚ HATÁROK. Ha egy tortát három szeletre vágnak, azo k egyet len pontban találkoznak, és bármely két szelet közötti határok egyszerűek. Az elvont matematikának és a valóságos világ fizikájának sok folyamatáról kiderült, hogy majdnem elkép zelhetetlenül ko mplex határokat hoznak létre. Fent a -1 köbgyökének meghatározására alkalmazott Newton-módszer a síkot három azonos részre osztja, amelyek közü l az egyiket a fehér szín mutatja. Az összes fehér pontot az a gyök „vonzza", amelyik a legnagyobb fehér terület belsejében van; az összes fekete pontot pedig a másik két gyök valamelyike vonzza. A határ azzal a sajátos tulajdonsággal rendelkezik, hogy minden pontja mindhárom tarto mányt határolja. És ahogy a képek mutatják, a kinagyított részletek egy fraktálszerkezetet tárnak fel, amely egyre kisebb méretekben ismét li meg az alapvető mintázatot.

Hubbard tehát belevágott ezeknek a bonyolult formáknak és matematikai következményeiknek a vizsgálatába. Az általa és kollégái által végzett munka csakhamar új frontszakaszt nyitott a dinamikai rendszerek problémáival vívott küzdelemben. Hubbard felismer1 The Beauty of Fractals; Peter H. Richter and Hein z-Otto Peitgen: Morphology of Comp lex Boundaries. Bunsen-Gesellschaft für Physikalische Chemie 89 (1985) pp. 575-588.

te, hogy ez a Newton-módszer révén felismert leképezés csak magányos hírmondó a valóságos világ erőinek viselkedésére utaló képek még feltáratlan családjából. Michel Barnsley a család más tagjait vizsgálta. Mint Hubbard és Barnsley nemsokára megtudta, Benoit Mandelbrotnak volt szerencséje mindeme formák nagypapáját felfedezni.

A Mandelbrot-halmaz - mint csodálói előszeretettel hangoztatják - a matematika legbonyolultabb objektuma.1 Az örökkévalóság sem lenne elég az egészet átlátni: a szúrós tövisekkel díszített tárcsákat, a kifelé és körbe csavarodó spirálokat és szálakat, amelyekről kimeríthetetlen változatosságban csüngnek alá a gumós molekulák: így festhetnek a szőlőszemek Isten szőlőtőkéjén. Ha számítógép képernyőjén, színesben vizsgáljuk a Mandelbrothalmazt, az fraktálszerűbbnek tűnik a fraktáloknál, annyira sokrétűen bonyolult a különféle mérettartományokban. A benne rejlő képeket csak végtelen mennyiségű információ megadásával lehetne felsorolni, s ez éppígy igaz a halmaz körvonalainak számszerű leírására is. Ezek után paradoxonnak hat, hogy a halmaz teljes leírásához alig néhány tucat jelet kell csak továbbítani, mondjuk egy vezetéken. Egy rövid számítógépes program már elegendő információt adhat a teljes halmaz előállításához. Akik elsőkként szembesültek vele, hogyan vegyíti ez a halmaz a bonyolultságot az egyszerűséggel, azokat bizony váratlanul érte ez a felismerés - még Mandelbrotot is. A Mandelbrot-halmaz a káosz közkeletű emblémájává vált: felbukkant konferenciakiadványok és műszaki folyóiratok fényes borítóin, s központi szerepet játszott a számítógépes művészet nemzetközi vándorkiállításán 1985-ben és 1986-ban. Szépségét könnyű volt átérezni e képek láttán, de jelentését már korántsem volt ilyen egyszerű kibogozniuk a lassanlassan a megértéséig eljutó matematikusoknak.

NÉHÁ NY JULIA-HA LMAZ. 1 Olvasható bevezetést ad útmutatóval egy önállóan is megírható számítógép programhoz: A. K. Dewdney: Észjáték. A számítógép mint mikroszkóp behatolhat a matematika legbonyolultabb területeire. Tudomány 1985 / 2 pp. 8-13. Peitgen és Richter a The Beauty of Fractals-ban részletesen bemutatják a matematikáját és néhány látványos képet. A Mandelbrot-halmaz előállítását magyarul tárgyalja (néhány képet is bemutat) Borsa Béla cikke az Élet és Tudomány 1993 / 28as számában.

Iterált folyamatok révén sokféle fraktálalakzat hozható létre a komplex síkon, Mandelbrot-halmazból azonban csak egy van. Ez akkor kezdett homályosan, mondhatni kísértetiesen felderengeni, amikor Mandelbrot megkísérelte általánosítani a Julia-halmazok néven ismert formacsaládot. Ezeket a formákat az I. világháború idején fedezte fel Gaston Juha és Pierre Fatou francia matematikus, és ők voltak első tanulmányozói is, persze még nélkülözve a csak számítógéppel kirajzolható képeket. Mandelbrot húszéves korában látta egyszerű rajzaikat és elolvasta addigra már elfeledett munkájukat. Éppen ezek a különféle alakban feltűnő Julia-halmazok voltak azok az objektumok, amelyek iránt Barnsley érdeklődött. Némelyikük körszerű volt, becsipkedve és eltorzítva a fraktálszerkezet miatt. Mások tartományokra töredeztek szét, megint mások meg porszerűek voltak. De nem lehet leírni őket sem szóval, sem az euklideszi geometria fogalmaival. Adrien Douady francia matematikus ezt mondta róluk: „A Julia-halmazok hihetetlenül sokfélék: némelyikük kövér felhő, mások sovány szederbokrok, de van, amelyik olyan látványt nyújt, mint a levegőben lebegő szikrák petárdarobbanás után. Akad, amelyiknek nyúl alakja van, és közülük sokan a tengeri csikóéhoz hasonló farokban végződnek."1 Mandelbrot 1979-ben felfedezte, hogy a komplex síkon létrehozható egy olyan kép, amely felöleli valamennyi Julia-halmazt: mindegyikhez útikalauzul szolgál.2 Bonyolult folyamatok - négyzetgyökös, szinuszos és koszinuszos kifejezéseket tartalmazó egyenletek iterációját tárta fel. Jóllehet Mandelbrot a köré a tétel köré építette ki a maga gondolatrendszerét, mely szerint az egyszerűség bonyolultságot szül, de így is időbe telt felfognia, milyen rendkívüli az objektum, amely az IBM és a Harvard számítógépeinek képernyőin megjelenő látvány mögött meghúzódik. Keményen hajszolta programozóit, hogy még több részletet csikarjanak ki a látványból, és azoknak megállás nélkül küszködniük kellett a már amúgy is kizsigerelt memória még hathatósabb kiosztásával, meg a pontok új interpolációjával, s mindezt egy olyan IBM nagyszámítógépen kellett megtenniük, amelynek silány felbontású fekete-fehér képernyője volt. Tetejébe mindig szem előtt kellett tartaniuk a számítógépes kutatás mindennapos csapdáját, a „műtermékeket", vagyis azokat a jellegzetességeket, amelyek pusztán a géptől erednek, és nyomban eltűnnek, mihelyt másképpen írjuk meg a számítógépes programot. Mandelbrot figyelme ekkor egy egyszerű leképezés felé fordult, amelyet különösen könnyű volt programozni. Elég volt egy durva rácson csak néhányszor egymás után alkalmazni ezt a leképezést, máris korongok körvonalai jelentek meg a képernyőn. És néhány sorban, papíron is kiszámítható volt, hogy valóságos matematikai alakzatokról van szó, nem valamiféle számítástechnikai „délibábról". A fő korongoktól jobbra és balra további alakzatok nyomai bukkantak fel. Mandelbrot később azt mondta, hogy a képzeletében még több merült fel: formák hierarchiája, egyre kisebb és kisebb atomokat sarjadzó atomok. És ahol a halmaz metszette a valós egyenest, az egyre kisebb korongok geometriai szabályossággal jelenítették meg a mind kisebb mérettartományban azt, amit a dinamikával foglalkozók ma a bifurkációk Feigenbaum-sorozataként ismernek. Mindez arra serkentette Mandelbrotot, hogy tovább végeztesse a számításokat, az első, durva képeknél jobb felbontással, és csakhamar felfedezte, hogy a korongok széle elmosódott, s hogy ez a homályosság szétterül a közeli helyeken. Ahogy egyre kisebb részleteket igyekezett kiszámítani, egyszer csak azt érezte, hogy véget ért a szerencsesorozat.3 A kép ahelyett, hogy élesebbé vált volna, csak egyre kuszább lett. Mandelbrot visszament az 1 Julia Sets and the Mandelbrot Set. p. 161. 2 Mandelbrot első személyben írt beszámoló ja: Fractals and the Rebirth of Iteration Theory. in: The Beauty of Fractals. pp. 151-60. 3 The Beauty of Fractals.

IBM Westchester megyei kutatóközpontjába, mert ott olyan számítástechnikai teljesítmény állt rendelkezésére, amilyennel a Harvard nem büszkélkedhetett. Meglepetésére a növekvő zűrzavarban megjelent a realitás. Hajtások, kacsok fordultak ki lustán a főszigetből. Mandelbrot láthatta, amint a látszólag sima határ spirálisok tengeri csikó farkára emlékeztető láncává bomlik fel. Az irracionális megihlette a racionálist.

MEGJELENIK A MANDELBROT-HA LMAZ. Benoit Mandelbrot első számítógéppel kinyomtatott nyers ábráin megjelent egy durva szerkezet, amely aztán sok részlettel gyarapodott, ahogy a számítások minősége javult. Vajon a rovarszerű, lebegő „mo lekulák" különálló szigetek? Vagy megfigyelhetetlen finomságú szálak kapcsolják őket a fő részhez? Lehetetlen volt meg mondani.

A Mandelbrot-halmaz pontok összessége; a komplex sík minden pontja - tehát minden komplex szám - vagy belül van a halmazon, vagy kívül. Ezt a halmazt például úgy adhatjuk meg, hogy minden ponton elvégzünk egy egyszerű iterációs számításon alapuló próbát. Ez a próba legyen a következő: vegyük a kipróbálandó komplex számot, emeljük négyzetre, adjuk hozzá az eredeti számot, az eredményt emeljük megint négyzetre, adjuk hozzá az eredeti számot, az összeget is emeljük négyzetre, s így tovább, vég nélkül. Ha az összeg elfut a végtelenbe, akkor a pont nincsen benne a Mandelbrot-halmazban; ha azonban véges marad (megállapodik valahány iteráció után vagy kaotikusan vándorol), akkor a pont benne van a Mandelbrot-halmazban. Ez a végtelenségig nyúló ismételgetés, meg az a kérdés, hogy vajon végtelen-e az eredmény, a mindennapi világ visszacsatolási folyamataira emlékeztet. Képzeljük el, hogy mikrofont, erősítőt és hangszórókat állítunk fel egy előadóteremben, s nyugtalanít bennünket, hogy pokoli zaj támad majd a hangvisszacsatolás („begerjedés") miatt. Ha a mikrofon kellően erős zajt vesz fel, a hangszórókból jövő, már felerősített hang egy végtelen ciklus révén egyre nagyobb hangerővel jut vissza a mikrofonba. Ha viszont a hang elég kicsi, akkor nem erősödik fel, csak elhal. E visszacsatolási folyamat számokkal való modellezésére válasszunk egy kezdőszámot, szorozzuk meg önmagával, az eredményt megint szorozzuk meg önmagával, és így tovább. Láthatjuk, hogy a nagy számok gyorsan a végtelenbe vezetnek: 10, 100, 10 000, ... A kis számok viszont a nullához tartanak: 1/2, 1/4, 1/16, ... Szemléltetésül készítsünk ábrát: határozzuk meg azoknak a pontoknak az összességét, amelyeket ebbe az eljárásba helyettesítve, nem futunk ki a végtelenbe. Vegyük a számegyenes 0tól jobbra eső (0-nál nagyobb számoknak megfelelő) pontjait; ha valamely pont „begerjed" a visszacsatolástól, akkor színezzük fehérre, egyébként pedig feketére. Hamarosan meg is kapjuk a keresett alakzatot: egy feketére színezett szakaszt a 0 és az 1 között. Az egydimenziós folyamatokkal nem is kell ténylegesen elvégezni a kísérletet, hiszen elég könnyű megállapítani, hogy az egynél nagyobb számok a végtelenbe vezetnek, a többi viszont nem. A komplex síkon, két dimenzióban azonban már nem ilyen egyszerű a dolog: az egyenlet ismeretében rendszerint még nem tudjuk felrajzolni, milyen alakzatot ad meg egy-egy iterációs folyamat. A geometria hagyományos alakzataitól: a köröktől, ellipszisektől és paraboláktól eltérően, a Mandelbrot-halmaz nem engedi meg az egyszerűsítéseket. Az egyenletekből származó alakzatok láthatóvá tételére nincs más út, mint a próba-szerencse módszer, ami az új terület felfedezőit inkább Magellán, mint Eukleidész szelleméhez közelítette. A formák világát így összekötni a számok világával: ez szakítást jelentett a múlttal. Az új geometriák mindig azzal kezdődnek, hogy valaki megváltoztat egy alapszabályt. Tegyük fel, hogy a tér ezentúl görbült is lehet, jelenti ki egy geométer, és az eredmény egy furcsa, görbült Eukleidész-paródia, ám éppen megfelelő alkotmány az általános relativitás elméletéhez. Vagy tegyük fel, hogy a térnek négy, vagy öt, vagy hat dimenziója is lehet. Vagy tegyük fel, hogy a dimenzió törtszám is lehet. Vagy tegyük fel, hogy az alakzatok ki- és összecsavarhatók, nyújthatók, összebogozhatók. Vagy éppenséggel tegyük fel, hogy az alakzatok nemcsak valamilyen egyenlet egyszeri megoldásával definiálhatók, hanem iterációs hurokkal (ciklussal) is. Julia, Fatou, Hubbard, Barnsley és Mandelbrot mind megváltoztatták a geometriai formák előállításának szabályait. Az egyenletek görbékké alakításának eukleidészi és descartes-i módszere mindenkinek ismerős, aki tanult középiskolai geometriát, vagy valaha is megtalált a térképen egy pontot két koordinátája alapján. A szokásos geometria egy egyenletről azt kérdezi, hogy mely számhalmaz tesz eleget annak. Az olyan egyenletek, mint az x2 +y2=1, valamilyen alakzatot írnak le, ez esetben éppen egy kört. Más egyszerű

egyenletek más alakzatokat adnak meg, kúpszeleteket: ellipszist, parabolát vagy hiperbolát, vagy náluk is bonyolultabb alakzatokat, amilyeneket a fázistérbeli differenciálegyenletek határoznak meg. De ha a geométer megoldás helyett iterálja az egyenletet, akkor az statikus leírásból dinamikus folyamattá válik. Egy szám bekerül az egyenletbe, s egy újabb szám kerül ki belőle; ez az új szám megint belekerül, és így tovább; a pontok egyik helyről a másikra ugrálnak. Nem akkor kell a pontok helyét megjelölni, amikor kielégítik az egyenletet, hanem akkor, amikor egy bizonyos fajta viselkedést mutatnak. Ilyen viselkedés lehet például az állandósulás, vagy éppen az állapotok periodikus ismétléséhez való közeledés, vagy akár az észveszejtő száguldás a végtelenbe. A számítógépkorszak előtt Julianak és Fatou-nak nem voltak meg az eszközeik arra, hogy tudománnyá tegyék ezt az újfajta formaalkotást, jóllehet átlátták milyen lehetőségeket rejt. A számítógépek megjelenése után megnyílt az út a próba-szerencse geometria előtt. Hubbard - pontról pontra kiszámítva, melyik gyök lesz a célpont - feltárta a Newtonmódszert, és Mandelbrot is így pillantotta meg először a maga halmazát: számítógépet használva a sík pontjainak módszeres végigpásztázására. Persze nem jutott el minden pontra, hiszen az idő éppúgy véges, mint a számítógépek; az efféle számításokban ezért pontrácsot használnak. Sűrűbb rács - hosszabb számítási idő árán - élesebb képet ad. A Mandelbrot-halmaz esetében a számítás egyszerű volt, mert az volt maga a folyamat is: a z→z2+c leképezés iterációja a komplex síkon. Végy egy számot, szorozd meg önmagával és add hozzá az eredeti számot. Ahogy Hubbard előrehaladt a formák feltárásának ezzel az új számítógépes stílusával, a komplex analízis módszereit alkalmazva egy új matematikai stílust is meghonosított, hiszen a komplex analízist addig nem használták fel a dinamikai rendszerek vizsgálatára. Érezte, hogy minden egyfelé tart: különböző matematikai tudományágak találkoztak a keresztutaknál. Tudta, hogy kevés lenne csak látnia a Mandelbrot-halmazt, előbb még meg is akarta érteni; és valóban, végül azt állította, hogy sikerült is megértenie. Ha a határ csupán fraktál lenne - fraktálon Mandelbrot századforduló környéki szörnyeit értve -, akkor már az első kép többé-kevésbé úgy festett volna, ahogyan az utolsó. A különböző mérettartományokra érvényes önhasonlóság elve alapján meg lehetett volna jósolni, mit lát az elektronikus mikroszkóp a nagyítás következő szintjén. A Mandelbrot-halmazba való behatolás ezzel szemben egyre újabb és újabb meglepetéseket hozott az egymást követő szinteken. Mandelbrot kezdett aggódni, hogy túlságosan szűk meghatározást adott a fraktálra: szerette volna, hogy erre az új objektumra is kiterjedjen az érvénye. Annyi bebizonyosodott a halmazról, hogy elég erős nagyításban kivehetők benne nagy vonalakban rá hasonlító másolatok: apró, rovarszerű objektumok, amelyek mintegy „leúsznak" a fő részről, de még erősebb nagyításban az is kiderült, hogy ezeknek a molekuláknak egyike sem felel meg pontosan a többinek. Mindig újabb fajtájú tengeri csikók bukkantak fel: újszerűen csavarodó üvegházi fajták. A halmaznak nincs olyan része, amely valamilyen nagyításban pontosan megegyezne egy másik résszel. Ezeknek az úszó molekuláknak a felfedezése felvetett egy sürgősen megoldandó kérdést is, éspedig azt, hogy vajon összefüggő-e a Mandelbrot halmaz, azaz egyetlen kontinens-e csupán, messze ágazó félszigetekkel, vagy inkább porszerű valami: egy fő sziget apróbbaktól övezve? Ez egyáltalán nem volt nyilvánvaló. A Julia-halmazokkal folytatott kísérletek e tekintetben nem adtak útbaigazítást, mert a Julia-halmazok mindkét formában jelentkeztek, egészet alkotó alakzatokként is, és porszerű formában is. A poroknak, fraktálok lévén, megvolt az a jellegzetes tulajdonságuk, hogy semelyik két darabjuk nem volt „együtt" mert minden darabot egy üres tértartomány választott el a többitől -, de egyik sem volt „külön': mert minden darabhoz tetszőleges közelségben akadt valamilyen másik darab.

Mandelbrot a képeit vizsgálgatva rájött, hogy ezt a sarkalatos kérdést nem is lehet számítógépes kísérletezéssel megválaszolni. Jobban odafigyelt a fő test körül lebegő foltokra. Némelyikük eltűnt, mások viszont majdnem tökéletes másolattá rukkoltak elő. Függetleneknek látszottak, mindazonáltal nem tűnt lehetetlennek, hogy roppant finom - a tekintetbe vett pontok hálóján soha fent nem akadó - vonalak kapcsolják őket egymáshoz. És Douady meg Hubbard az új matematikára támaszkodó, ragyogó okfejtéssel be is bizonyította, hogy az úszó molekulákat valóban igen finom függeszték köti össze egymással: egy a főhalmazból kinyúló apró nyelekből szőtt leheletvékony háló; ahogyan Mandelbrot nevezte, „az ördög polimerje". A matematikusok bebizonyították, hogy a számítógéppel mint mikroszkóppal felnagyítva minden darab - bárhol van és bármily kicsi - újabb és újabb molekulákat fog ontani magából, s azok mind hasonlítani fognak a főhalmazra, de mégsem egészen ugyanolyanok. Minden új molekulát körülvesznek a maga spirálisai és lángszerű nyúlványai, s azok szükségszerűen még kisebb molekulákat tartalmaznak majd, mindig hasonlókat, de sosem azonosakat, valami küldetésszerű végtelen változatosságban, egyszersmind a miniatürizálás csodájában, amelyben minden új részlet önmagában is sajátos és teljes univerzum.

„Minden nagyon geometriai, egyenes vonalú felfogásban készült" - mondta Heinz-Otto Peitgen. A modern művészetről beszélt. „Josef Albers például, aki a színek kapcsolatát igyekezett kifürkészni, lényegében csak különböző színű, egymásra tett négyzeteket alkotott. Ezek a dolgok nagyon népszerűek voltak. De ha ma rájuk nézünk, idejétmúltnak tűnnek. Az embereknek már egyáltalán nem tetszenek. Németországban nagy bérházakat építettek a Bauhaus stílusában, de az emberek ma kiköltöznek belőlük, mert nem szeretnek ott élni. Úgy tűnik nekem, nagyon mély társadalmi okok játszanak közre abban, hogy természetfelfogásunk bizonyos szempontjait most nemigen szeretik." Peitgen segített egy látogatónak kiválogatni néhány képet a Mandelbrot-halmaz különböző tartományairól, Juliahalmazokról és más komplex iteratív folyamatokról készült gyönyörű színes nagyítások közül. Diaképeket, írásvetítő fóliákat, sőt még Mandelbrot-halmazos naptárt is ajánlgatott aprócska kaliforniai dolgozószobájában. „Mély rajongásunk alighanem a természetszemléletnek ezzel a másmilyen távlatával függ össze. Mi az igazán fontos a természeti tárgyban? Mondjuk, mi fontos egy fában? Mi a fa: egyenes vonal, vagy inkább fraktálobjektum?" Mindeközben John Hubbard a Cornell Egyetemen a kereskedelem igényeivel igyekezett megbirkózni. Levelek százai érkeztek a matematikai tanszékre, s íróik mind a Mandelbrothalmazról kértek képeket; Hubbard tehát arra jutott, hogy kénytelen lesz mintákat és árjegyzékeket készíteni. Doktoranduszai közreműködésével - akik mind ismerték a technikai részleteket - tucatjával számították ki a képeket, és számítógépeken tárolták őket, hogy pillanatok alatt megjeleníthetők legyenek. A leglátványosabb, legjobb felbontású és legelevenebb színű képek azonban két némettől, Peitgentől, Peter H. Richtertől és a Brémai Egyetemen dolgozó kutatócsoportjuktól származtak, ők egy helyi bank lelkes támogatását élvezhették ez irányú munkájukban. Peitgen és Richter - egyikőjük matematikus, másikuk fizikus - a Mandelbrot-halmaznak szentelték egész pályájukat. Ötletek valóságos univerzumával szolgált nekik: modern művészetfilozófiával, bizonyítékkal az iránt, hogy a kísérletezés újfajta jelentőségre tett szert a matematikában, sőt módszerrel is, amellyel nagyközönség elé tárhatták a komplex rendszereket. Fényes katalógusokat és könyveket adtak ki, számítógépes képeik kiállításával bejárták az egész világot. Richter a kémián, majd a biokémián át, a biológiai oszcillációk tanulmányozása révén jutott el a fizikától a komplex rendszerekig. Több cikket is írt olyan

jelenségekről, mint az immunrendszer, és arra jutott, hogy az oszcillációkat gyakran a folyamatok dinamikája szabályozza, jóllehet ezek a folyamatok rendszerint statikusnak minősültek, mivel az élő rendszerekhez nem éppen egyszerű valós idejű vizsgálatokkal hozzáférni. Richter az ablakpárkányára erősített egy jól olajozott kettős ingát, „kedvenc dinamikai rendszerét", amely egyenesen az ő céljaira készült az egyetemi gépműhelyben. Időnként ritmustalan, kaotikus forgásba hozta, s ezt a forgást számítógépen is utánozta. Az inga olyannyira érzékeny volt a kezdeti feltételek iránt, hogy egy kilométeres távolságban lehulló esőcsepp gravitációs vonzása is összezavarta a mozgását alig ötven-hatvan fordulaton belül, nagyjából két perc alatt. Ennek a kettős ingának a fázisteréről készített színes ábrák láthatóvá tették a periodicitás és a káosz egymásba vegyült tartományait. Richter ugyanezt a grafikai módszert használta a fémbeli ideális mágnesezettségi tartományok megjelenítésére, valamint a Mandelbrot-halmaz feltárására. Kollégájának, Peitgennek a komplexitás tanulmányozása - a szokásos problémamegoldás helyett - új tudományos hagyományok kialakítására kínált lehetőséget. „Egy vadonatúj területen, mint amilyen ez is, az ember azon nyomban elkezd gondolkodni, és ha jó tudós, akkor néhány napon vagy héten, esetleg egy hónapon belül már elő is állhat érdekes megoldásokkal" - mondta. Még strukturálatlan az egész. „Egy strukturált dologban ismert, hogy mit tudunk, mit nem, s mi az, amivel mások már megpróbálkoztak, de nem vezetett sehová. Ilyenkor olyasvalamin kell dolgozni, amit problémaként ismertek el, különben elvész az ember. De az e célra szóba jöhető problémák csak nehezek lehetnek, hisz másképpen már megoldották volna őket." Peitgen nemigen osztotta a matematikusok aggályait a számítógépek kísérletezésre való felhasználása iránt. Az eredményeket végül is a bizonyítás szokásos módszereivel szigorúvá kell tenni, különben nem válhatnak a matematika részévé. Ha egy kép feltűnik a monitoron, abból még egyáltalán nem következik, hogy az a kép a „tétel és bizonyítás" nyelvén is létezik. Mindazonáltal egy-egy ilyen kép feltűnése elegendő volt a matematika fejlődési irányának megváltoztatásához. Peitgen úgy vélekedett, hogy a számítógépes felfedezés természetesebb utakat is elfogadhatóvá, sőt járhatóvá tett a matematikusoknak. Átmenetileg, egy-egy pillanatra a matematikus túlteheti magát a szigorú bizonyítás követelményein; mehet arra, amerre a kísérletek vezetik, akár egy fizikus. A roppant számítási teljesítmény és az intuíciót „bujtogató" látvány ígéretes sugárutakat nyit meg a matematikus szemei előtt, és elkerülhetővé teszi a gondolati zsákutcákat. Az új utak megalapozása és az új objektumok elkülönítése után a matematikus már visszatérhet a szokásos bizonyításokhoz. „A szigorúság erőssége a matematikának – mondta Peitgen. - Ha meggondolásunk tökéletesen szavatolt gondolatmenetre épül, akkor azt a matematikusok soha sem fogják elvetni. Ámde vizsgálhatunk olyan helyzeteket is, amelyeket ma még csak részben lehet megérteni, teljes szigorral csak talán a következő nemzedékeknek fog sikerülni. Hogyne, legyen szigorúság, de nem olyan mértékben, hogy el kelljen dobnom valamit, csak mert most még nem tudom megcsinálni." Az 1980-as évekre az otthoni számítógépek kellő pontossággal dolgoztak már ahhoz, hogy színes képeket állítsanak elő a halmazról,1 és az amatőrök gyorsan rájöttek, hogy 1

A Mandelbrot-halmaz programja csupán néhány lényeges részt tartalmaz. A fő eszköz egy utasításciklus, amely veszi a kezdőértékként szolgáló ko mplex számot és alkalmazza rá a megfelelő arit metikai szabályt. A Mandelbrot-halmaz esetében a szabály: z→z 2 +c, ahol z nullával kezdődik, c pedig a kipróbálandó ponthoz tartozó ko mplex szám. Szóval, vegyük a 0-t, szorozzuk még önmagával és adjuk hozzá a kiindulási számot; vegyük az eredményt - a kiindulásként szolgáló számot - szorozzuk még önmagával és adjuk hozzá a kiindulási számot; vegyük az új eredményt, szorozzuk még önmagával és adjuk hozzá a kiindulási számot. A komplex számok arit metikája egyszerű. A komp lex számot két rész segítségével írjuk fel: például 2+3i (ez an- >>>fo lytatás174

ezeknek a képeknek a mind erősebb nagyításban történő feltárása elevenen képes érzékeltetni a kiterjedő skálát. Ha az egész halmazt bolygó méretű tárgynak tekintjük, akkor a személyi számítógépek bemutathatják az egész tárgyat, de elénk hozhatják a városok méretét, vagy az épületekét, a szobákét, a könyvekét, a betűkét, a baktériumokét, sőt az atomokét is. Az emberek a képeket böngészve láthatták, hogy a mintázatok minden léptéktartományban hasonlóak, de azért el is térnek egymástól. S ezeket a mikroszkopikus tájképeket ugyanaz a néhány számítógépes programsor hozta létre.

A határ az a hely, ahol a Mandelbrot-halmazt előállító program a legtöbbet időz, és itt kényszerül kompromisszumokra. Hiába nem szakad meg ugyanis az iteráció 100, 1000 vagy 10 000 ismétlés után sem a komplex síknak ezen vagy azon a pontján, ebből még nem tudni, hogy csakugyan hozzátartozik-e a halmazhoz. Ki tudja, mit hozna a milliomodik iteráció? Így azután a halmazról a legnagyobb hatású, legerősebben nagyított képeket előállító programok nagy, központi számítógépeken futnak vagy olyanokon, amelyekben párhuzamos feldolgozás folyik, azaz egyedi agyak ezreivel, amelyek mind ugyanazt a zárt eljárást hajtják végre. A határon szöknek el a pontok a leghosszadalmasabban a halmaz vonzásából. Mintha egyensúlyoznának a két versengő attraktor között: a nullában levő meg aközt, amelyik voltaképpen végtelen távolban övezi a halmazt. >>>folytatás173 nak a pontnak a neve, amely a ko mplex síkon 2 egységnyire keletre és 3 egységnyire északra helyezkedik el). Két ko mplex szám összeadásához csak össze kell adni a valós részeket, hogy megkapjuk az ú j valós részt, és a képzetes részeket, hogy megkapjuk az új képzetes részt:

2 3i 9 2i 11 5 i Két komplex s zám szorzásakor az egyik szám minden részét meg kell szorozn i a másik minden részével, és a négy eredményt össze kell adni. Mivel az i önmagával szoro zva, a képzetes számo k eredeti definíciója szerint -1-et ad, az eredmény egyik tagja átváltozik a másikká.

Ennek a ciklusnak a megszakításához a programnak figyelnie kell az egymás után következő összegeket. Ha az összeg a végtelenbe vezet, egyre távolabb kerülve a sík kö zéppontjától, akko r az eredeti pont nem tartozik a halmazhoz, márpedig ha a soron következő összeg akár valós, akár képzetes része nagyobb lesz mint 2 vagy kisebb mint -2, akkor bizonyosan a végtelenbe tart - a program továbbléphet. Ha viszont a program sokszor megis métli a számítást, anélkül, hogy a szám nagyobb lenne 2-nél, akkor a pont része a halmaznak. Hogy mennyiszer is mételje, az a nagyítás mértékétől függ. A személy i számítógép számára elérhető tartományokban 100 vagy 200 gyakran elég, 1000 pedig biztosan. A programnak ezt a folyamatot kell megismételnie egy rács pontjainak ezreire, egy a nagyításhoz illeszthető skálán. A halmaz pontjait feketére lehet színezni, a többi pontot fehérre. Még vonzóbb kép készíthető a fehér pontok színes árnyalatokkal való helyettesítésével. Ha az iteráció megszakad például tíz ismétlés után, a program rajzolhat egy píros pontot; húsz ismétlés után egy narancssárga pontot, negyven ismétlés után egy sárga pontot és így tovább. A színek és a határok megválasztása igazodhat a programozó ízléséhez. A színek éppen a valódi halmaz szélén tárják fel a terü letek körvonalait.

Amikor a tudósok áttértek a Mandelbrot-halmazról a valódi fizikai jelenségeket leíró problémákra, előtérbe kerültek a halmaz határainak tulajdonságai. A két vagy több attraktor közötti határ mintegy küszöbként szolgált a dinamikai rendszerben, s láthatólag sok hétköznapi folyamatot vezérelt az anyagok eltörésétől a döntéshozatalig. Ezekben a rendszerekben minden attraktornak megvan a maga medencéje, mint a folyónak a maga vízgyűjtő területe, s minden medencének megvan a maga határa. Az 1980-as évek elején egy tekintélyes csoport számára a fraktális medencehatárok tanulmányozása volt a legígéretesebb új terület a matematikában és a fizikában.1 A dinamikának ez az ága nem magának a végső, stabil viselkedésnek a leírásával foglalkozott, hanem azzal, hogyan választ a rendszer a versengő lehetőségek közül. A Lorenz-féle, ma már klasszikusnak számító modellhez hasonló rendszereknek csak egy attraktoruk van - ezekben a rendszerekben csak egyetlen viselkedés lehetséges -, s ez az attraktor kaotikus attraktor. Más rendszerekben létezhetnek nemkaotikus állandó állapotok, de ezek száma mindig több mint egy. A fraktális medencehatárokat mindig ilyen, nemkaotikus végállapotba eljutni képes rendszerekben vizsgálták a kutatók, s az érdekelte őket, hogy vajon melyik végállapotba kerül majd a rendszer. James Yorke, aki egy évtizeddel azután, hogy a káosznak nevet adott, úttörő szerepet játszott a fraktális medencehatárok kutatásában. Egy képzeletbeli flipper gondolatát vetette fel. Mint a flipper-automatának általában, ennek is volt egy kihúzható rugós indítófogantyúja. A játék kezdetén kihúzzuk ezt a fogantyút, majd elengedjük, s ezzel belőjük a golyót a játéktérre. A játéktér megint csak a szokásos módon meg van döntve, és gumi- meg elektromos ütközők lökdösik rajta ide-oda a golyót. A lökés fontos: azt jelenti, hogy az energiának nem kell szükségképpen egyre csak csökkennie. Az egyszerűség kedvéért ennek a gépnek az alján nincsenek flipperek, csupán két lejtős kijárat. A golyónak a két lejtő valamelyikén kell távoznia.

FRA KTÁLIS M EDENCEHATÁROK. Ha egy dinamikai rendszer hosszú távú viselkedése nem kaotikus is, az állandó viselkedéstípusokat elválasztó határon felbukkanhat a káosz. A dinamikai rendszereknek gyakran több egyensúlyi állapotuk van, ahogyan az ingának is, amely az állványában elhelyezett két mágnes egyikénél állapodik meg. Mindegyik egyensúly egy-egy attraktornak felel meg, és a két attraktor közötti határ lehet bonyolult, mégis sima (balra). Más esetben a határ meg ismét bonyolult, de nem sima. Az erősen fraktálszerűen összevegyülő fehér és fekete (jobbra) egy inga fázistérbeli képéről való. Bizonyos kezdőfeltételek esetén az eredmény jól megjósolható: a fekete fekete és a fehér fehér. A határ kö zelében azonban már képtelenség jósolni.

Ez egy determinisztikus flipper - azaz nem rázkódik. Csak egyetlen paraméter szabá1 A technikailag jártasabbak számára jó bevezetés: Steven W. MacDonald, Celso Grebogi, Edward Ott, and James A. Yorke: Fractal Basin Boundaries. Physica 17D (1985), pp. 125-83.

lyozza a golyó végzetét, éspedig a fogantyú kezdőhelyzete. Képzeljük el, hogy a gép olyan felépítésű, hogy ha csak kicsit húzzuk ki a fogantyút, akkor a golyó mindig a jobb oldali lejtőn gurul ki, ha meg nagyon kihúzzuk, akkor a baloldalin. A köztes hosszokon bonyolulttá válik a rendszer viselkedése: a golyó a maga szokásos erőteljes, zajos és szeszélyes módján ide-oda pattog az ütközők között, mielőtt az egyik vagy másik kijáratot választaná. S most képzeljük el: grafikont készítünk arról, hogy a fogantyú lehetséges kezdőállapotaiból milyen eredmény fakadt. A rajz csupán egy vonal. Ha a fogantyú valamely helyzetéből az adódott, hogy a golyó a jobb oldali kijáraton át távozott, akkor oda egy piros pontot teszünk, ha a bal oldalin, akkor zöldet. Mit várhatunk, mi adódik majd ezeknek az attraktoroknak és a helynek az összefüggéseként? Mint kiderül, a határ egy fraktálhalmaz: nem feltétlenül önhasonló, de végtelen sok részletet tartalmaz. A vonal bizonyos tartományai tiszta pirosak vagy zöldek lesznek, míg másokban a nagyítás új piros tartományokat tár fel a zöldön belül vagy zöldeket a piroson belül. Bizonyos fogantyúállásoknál tehát kis eltérés még nem okoz változást, más esetekben viszont tetszőlegesen kicsi elmozdulás is (szín)változáshoz vezet. Ha a meglevő egy dimenzióhoz egy újabbat csatolunk, akkor ez a második paraméter egyről kettőre növeli a szabadsági fokok számát; ilyen újabb dimenzió lehet például a flipper játékterének dőlésszöge. Ebből egyfajta átmeneti bonyolultság adódik majd: valóságos lidércnyomás a több paramétertől függő érzékeny, valóságos energetikai rendszerek szabályozásával foglalkozó mérnököknek; ezek az energetikai rendszerek - a villamosenergiahálózatok és az atomerőművek - a káosz által ihletett kutatások tárgyává is váltak az 1980as években. Az A paraméter valamely adott értéke mellett a B paraméter bíztató, szabályos viselkedést adhat összefüggő stabilitási tartományokban. Így a mérnökök a linearitás iránti hajlandóságuknak megfelelő vizsgálatokat végezhetnek és ennek megfelelő grafikonokat rajzolhatnak. De a közelben könnyen ott leselkedhet az A paraméternek valamilyen más értéke, amely megváltoztatja a B paraméter jelentőségét. Yorke szerette a konferenciákon a fraktális medencehatárok képeit mutogatni. Egyes képek a külső erő hatása alatt álló inga viselkedését idézték fel, amely két lehetséges végállapot valamelyikében végződhetett, mivel - mint a hallgatóság is jól tudta - az inga alapjában véve oszcillátor, amely gyakori a mindennapi életben. „Senki sem mondhatja, hogy tisztességtelenül jártam el, amikor egy ingát választottam - szokta Yorke kedélyesen mondani. Ez olyasvalami, ami mindenütt felbukkan a természetben. A viselkedése azonban elüt mindattól, amit az irodalomban fellelhetünk. Ez bizony egy féktelen fraktál-viselkedés."1 A képeken rendszerint a fekete és fehér fantasztikus kavargása vehető ki, mintha egy konyhai keverőtálból keverés közben néhányszor kifröccsent volna a még külön maradt vanília- és csokoládépuding. Ezeknek a képeknek az elkészítéséhez számítógépének egy ezerszer ezres pontrácson kellett végigszáguldania, ahol az egyes pontok az inga más-más kiinduló helyzetének feleltek meg, s a számítás elvégzése után le kellett rajzolnia az eredményt: egy fekete vagy fehér pontot. Ezek voltak a vonzási medencék, a newtoni mozgás ismerős egyenletei által összekeverve és összehajtogatva; az eredmény leginkább határ volt, mintsem valami más. A felrajzolt pontoknak több mint háromnegyede rendszerint a határra esett. A kutatók és a mérnökök tanulságot meríthettek ezekből a képekből - tanulságot és figyelmeztetést. A komplex rendszerek lehetséges viselkedési tartományait túl gyakran kell egy kis adathalmazból kitalálni. Amikor valamely rendszer a paraméterek egy szűk tartományán belül normálisan működött, a mérnökök a megfigyelések végeztével abban bíztak, 1 Megjegyzések a Biológiai Dinamika és Elméleti Orvostudomány Konferencián, National Institutes of Health, Bethesda, Maryland, 1986. április 10.

hogy ezeket a megfigyeléseket többé-kevésbé lineárisan kiterjeszthetik a kevésbé megszokott viselkedés tartományára is. A fraktális medencehatárokat tanulmányozó tudósok azonban nyilvánvalóvá tették, hogy a határ a nyugalom és a katasztrófa között sokkal komplexebb lehet, mint azt bárki álmodhatta volna.1 „A Keleti Part egész villamosenergia-hálózata egy oszcilláló rendszer, amely a legtöbbször stabil, de szeretnénk tudni, mi történik, ha megzavarjuk - mondta Yorke. - Tudnunk kell, hol a határ. Tény, hogy fogalmuk sincs, milyen ez a határ." A fraktális medencehatárok mélyen fekvő kérdéseket vetettek fel az elméleti fizikában. A fázisátalakulásokban minden a küszöbökön fordult meg, Peitgen és Richter tehát az egyik legjobban vizsgált fázisátalakulást vette célba: az anyagok fel- és lemágneseződését. Az ezekről a határokról készített képeik különösen szép, később már teljesen természetesnek tetsző komplexitást mutattak: karfiolformákat fokozatosan bonyolódó nyúlványokkal és barázdákkal. Ahogyan változtatták a paramétereket és fokozták a részletek nagyítását, az egyik kép egyre inkább véletlenszerűnek látszott, de azután hirtelen, váratlanul, egy zavaros tartomány közepébe ágyazva felbukkant egy ismerős bimbókkal díszített ellipszoid forma: a Mandelbrot-halmaz, amelyben minden inda és minden atom a helyén volt. Ez újabb jele az univerzalitásnak. „Talán hinnünk kellene a csodákban"2 - írta Peitgen és Richter.

Michael Barnsley más utat követett: ő a természet önnön képeiről gondolkodott, különösen az élő szervezetek által létrehozott mintázatokról. A Julia-halmazokkal kísérletezett és más eljárásokat is kipróbált, mindig azt keresve, hogyan fokozhatná tovább a változékonyságot. Végül a véletlenszerűség felé fordult, ezt tette meg új alapnak a természeti formák modellezésében. Írásban így nevezte a maga új módszerét: „általános módszer fraktálok létrehozására iterált függvényrendszerek segítségével", de ha beszélt róla, csak így mondta: „káosz-játék".3 A gyors káosz-játékhoz grafikus képernyővel és véletlenszám-generátorral felszerelt számítógép szükséges, bár elvileg egy darab papír és egy pénzérme éppily jól megtenné. Kiválasztunk valahol a papíron egy kezdőpontot, mindegy is, hogy hol, majd megadunk két szabályt, egyet a fejre, egyet az írásra. A szabály rögzíti, hogyan rakjuk egyik pontot a másik után. „Menj öt centiméternyit északkeletre!" vagy „Menj 25 százaléknyival közelebb a középponthoz!" Ezek után elkezdjük dobálni az érmét, ha fej jött ki, akkor a fejre vonatkozó szabály szerint, ha írás, akkor az írásra vonatkozó szerint jelöljük be a következő pontot. Az első ötven dobás után már látni fogjuk, hogy ez a káosz-játék nem véletlenszerű pontmezőt ad, hanem valamiféle alakzatot, s az egyre élesebben rajzolódik ki, ahogy előrehaladunk a játékban. Egy mérnököknek szánt káoszelméleti bevezetőben H. Bruce Stewart és J. M. Thompson a következőképpen figyelmeztetik olvasóikat: „A buzgó elemző vagy kísérletező a lineáris rendszernek egyetlen válaszát ismerve, s látva, hogy a szimuláció állandó ciklusú egyensúlyba jut, valami hamis biztonságérzettől vezérelve így kiált : »Heuréka, ez a megoldás«. Teszi ezt anélkül, hogy türelmesen végigvizsgálná a különböző kezdeti feltételekből származó ered ményeket. Az esetleges veszélyes hibák és katasztrófák elkerülésére, az ipari tervező knek erőfes zítéseik nagyobb részét kell a dinamikus válaszok egész tartományának felderítésére szánniuk." Nonlinear Dynamics and Chaos (Wiley, Chichester, 1986) p. xiii. 2 The Beauty of Fractals. p. 136. 3 Pl. Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals. Proceedings of the Royal Society of London A 399 (1985), pp. 243-75. 1

A KÁOSZ-JÁTÉK. Az ú jabb és újabb pontok véletlenszerűen esnek le, mégis foko zatosan egy páfrány képe rajzo lódik ki belőlük. A szükséges információk mind benne vannak néhány egyszerű szabályban.

Barnsley alapötlete a következő volt: bár a Julia-halmazokat és más fraktálalakzatokat joggal - determinisztikus folyamatok eredményeinek tekintik, éppily joggal úgy is felfoghatók, mint véletlen folyamatok határértékei. Hasonlatképpen, mondta, képzeljük el NagyBritannia térképét krétával felrajzolva egy szoba padlóján; ha kíváncsiak lennénk ennek a fraktál-partvonalú kellemetlen alakzatnak a területére és egy földmérőt kérnénk fel rá, hogy a maga szokásos eszközeivel mérje meg ezt a területet, alighanem kissé bonyolultnak találná a feladatot. De ha ehelyett rizsszemeket dobálunk a levegőbe és számon tartanánk, hogy azok közül (véletlenszerűen aláhullva) hány esik a térképen ábrázolt szigetek belsejébe, akkor az eredmény az idő múltával - mint ennek a véletlenszerű folyamatnak a határértéke - egyre közelebb jut majd a meghatározandó területhez. Dinamikai szempontból Barnsley alakzatai attraktoroknak bizonyultak. A káosz-játék bizonyos képek fraktáltulajdonságait használta ki: azt, hogy azok a fő kép kis másolataiból épültek fel. A véletlenszerűen iterált szabályhalmaz bizonyos általános információt foglalt magába az alakzatról, és a szabályok mérettartománytól független, egymás utáni alkalmazása mindig „visszaforgatta" ezt az információt. Minél fraktálszerűbb volt az alakzat ebben a tekintetben, annál egyszerűbbek lehettek a megfelelő szabályok. Barnsley hamarosan látta, hogy Mandelbrot könyvéből az összes (ma már klasszikus) fraktált előállíthatja ezen a módon. Mandelbrot módszere végtelen számú egymás utáni építő és finomító lépésből állt: a Koch-féle hópehely vagy a Sierpinski-féle alakzatok elállításá-

ra vonaldarabokat távolítunk el és helyettesítünk sajátos formákkal. Barnsley a káosz-játékkal azonban olyan képeket csinált, amelyek határozatlan körvonalú gyenge utánzatokkal kezdődtek, majd fokról fokra mind élesebbé váltak. Nem volt szükség finomításra: elég volt egyetlen szabályhalmaz, amelyben benne rejlett a végső alakzat. Barnsley és munkatársai azonnal hozzákezdtek egy képeket vég nélkül előállító programhoz. A kulcskérdés az volt, hogyan lehet megfordítani a folyamatot: azaz hogyan válasszuk meg a szabályhalmazt, ha ilyen vagy olyan alakzatot kívánunk végeredményül. A válasz, amelyet „kollázs-tétel"-nek nevezett, annyira együgyűnek tűnt, hogy az előadások hallgatósága nemegyszer valamiféle cselt sejtett mögötte. Pusztán a reprodukálandó alakzat rajzából kell kiindulni. Barnsley első kísérleteihez egyebek közt egy fekete fodorkapáfrányt szemelt ki, mert mindig is kedvelte a páfrányokat. Ezután egy számítógép és egy egér segítségével kis másolatokat helyezhetünk az eredeti alakzatra; ha kell, azok lazán át is fedhetik egymást. Az erősen fraktális alakzatok könnyen kicsempézhetők a tulajdon másolatukkal, a kevésbé fraktálisak már nehezebben, de jobb-rosszabb közelítéssel minden alakzat kirakható ezen a módon. „Ha a kép bonyolult, a szabályok is bonyolultak lesznek - mondta Barnsley. - Másrészt azonban ha az objektumban megbújik valamilyen fraktális rend (és ez Benoit legfőbb megfigyelése: hogy a természet nagy részében megvan ez a rejtett rend), akkor azt már kis számú szabály is visszaadhatja. Ez esetben a modell érdekesebb, mint az euklideszi geometria segítségével készült modell, hiszen tudjuk, hogy egy levél szélén sohasem találunk egyenes vonalakat." Az első páfrány, amelyet egy kis asztali számítógéppel készített, tökéletesen megegyezett a gyermekkori páfrányos könyvéből ismert képpel. „Megdöbbentő kép volt: minden szempontból kifogástalan. Nincs biológus, aki ne ismerte volna fel benne a páfrányt." Bizonyos értelemben, jelentette ki Barnsley, a természetnek a saját káosz-játékát kell játszania. „A spórában csak annyi információ van, amennyi egy páfrányt leír - mondta. Úgyhogy a páfrány növekedése csak bizonyos részletességgel van előre kidolgozva. Nem meglepő tehát, hogy csak szűkös, ennek megfelelő mértékű információra támaszkodhatunk a páfrányok leírására. Az lenne a meglepő ha nem így volna." De szükségszerű volt-e a véletlen felbukkanása? Hubbard szintén a Mandelbrot-halmaz és az információ biológiai kódolása közti párhuzamokon gondolkodott, de ő elutasította, hogy az ilyen folyamatok a valószínűségtől függhetnének. „A Mandelbrot-halmazban nincs véletlenszerűség - állította. - Semmiben nincs, amit csinálok. És nem gondolnám, hogy a véletlenszerűség lehetőségének bármiféle közvetlen jelentősége volna a biológiában. A biológiában a véletlenszerűség és a káosz maga a halál. Minden erősen strukturált. Ha növényeket klónozunk, az elágazások megjelenésének rendje hajszálra ugyanaz. A Mandelbrot-halmaz rendkívül pontos tervnek engedelmeskedik, s az nem hagy helyet a véletlennek. Erős bennem a gyanú, hogy ha majd valaki csakugyan kitalálja, hogyan van megszervezve az agy, felismerik majd, hogy az agy felépítése egy rendkívül pontos kódolási sémát követ. A véletlenszerűség gondolata csak reflex a biológiában." Barnsley módszerében azonban csupán eszköz a véletlen. Az eredmények determinisztikusak és előre megjósolhatók. Azt senki sem lenne képes megjósolni, hogy hol villan fel majd a következő pont a számítógép képernyőjén, hiszen az a gép belső érméjének forgásától függ, a fényáram mindazonáltal mégis mindig belül marad azokon a határokon, amelyek között alakzat rajzolódhat ki a foszforon. Ebben a tekintetben a véletlen csupán illuzórikus szerepet játszik. „A véletlenszerűség csak köntörfalazás - vallotta be Barnsley. - A lényeg az, hogy megkapjuk egy bizonyos invariáns mérték képeit, mert ezek éltetik a fraktális objektumot. Az objektum maga azonban egyáltalán nem függ a véletlenszerűségtől.

Egységnyi valószínűséggel mindig ugyanaz a kép rajzolódik ki. A fraktális objektumok véletlen algoritmussal végzett vizsgálata beható információkat ad. Éppúgy behatókat, mint amilyenekkel a szemünk szolgál egy ismeretlen szobába léptünkkor, amikor valamilyen - szintén véletlenszerűnek vehető - rendszer szerint körbejár a látnivalókon. A szoba egyszerűen az, ami. Az objektum létezik, függetlenül attól, amit véletlenül teszek." A Mandelbrot-halmaz ugyanilyen módon létezik. Azelőtt is létezett, hogy Peitgen és Richter elkezdték volna művészi formába öltöztetni, vagy hogy Hubbard és Douady megértette volna a matematikai lényegét, sőt már azelőtt is volt, hogy Mandelbrot felfedezte volna. Nyomban létrejött, mihelyt a tudomány megteremtette a szükséges közeget: a komplex számokat és az iterált függvények fogalmát. S attól kezdve várta a leleplezést. Vagy talán már korábban is létezett, attól fogva, hogy a természet elkezdte végtelen türelemmel ismételgetett, egyszerű és mindenütt egyforma fizikai törvények révén kialakítani önmagát.

A Dinamikai Rendszerek Csoport

A forradalmi vízválasztón keresztül szükségképpen csak részleges az érintkezés.

THOMAS S. KUHN A tudományos forradalmak szerkezete (Gondolat, 1984. p. 200.)

Santa Cruz volt a legfrissebb a Kaliforniai Egyetem épületegyüttesei közül: egy órányira esett San Franciscótól, s olyan mesés táj ölelte körül, hogy nemegyszer mondták is: inkább természetvédelmi területre hasonlít, mintsem egyetemre.1 Az épületek megbújtak a kaliforniai szikvójafenyők között, és az építők a kor szellemének megfelelően igyekeztek minden fát megőrizni. Kis ösvények futottak egyik helyről a másikra. Az egyetemi negyed egy domb tetején terült el, s dél felé nézve, látni lehetett a Montereyi-öböl szikrázó hullámait. Santa Cruz 1966-ban nyílt meg, és alig néhány év alatt az egyetem egyik legigényesebb részévé lépett elő. Az egyetemi hallgatók szemében egyet jelentett a szellemi avantgarde megannyi bálványával; itt tanított Norman O. Brown, Gregory Bateson és Herbert Marcuse, s itt énekelt Tom Lehrer. A semmiből emelt épületekben létesült egyetemi tanszékek elég kétséges kilátásokkal indultak, és ez alól a fizika sem volt kivétel. Az oktatói kar - vagy tizenöt tettre kész, jórészt fiatal fizikus - jól illett a Santa Cruz által idevonzott sok okos nonkonformista közé. Nem voltak érzéketlenek a kor szabadgondolkodó ideológiája iránt, de fizikusok lévén, délre, a Kaliforniai Műegyetem (Caltech) felé is tekintettek, és felismerték, hogy nem engedhetnek a színvonalból, bizonyítaniuk kell, hogy komolyan veendők. Az egyik doktorandusz, akinek szellemi súlyát senki sem vonta kétségbe, Robert Stetson Shaw volt, egy bostoni születésű és a Harvardon végzett szakállas fiú, a legidősebb egy orvos és egy ápolónő hat gyermeke közül. 1977-ben már harmincegyedik évébe lépett, ilyenformán valamivel idősebb volt a doktoranduszok többségénél, ugyanis pályafutását a Harvard Egyetemen többször is megszakította a katonai szolgálat, aztán egy kommunában eltöltött idő, és más ötletszerű események e két szélsőség között. Nem is tudta, miért jött Santa Cruzba. Sosem látta az egyetemet, csak egy brosúrát a szikvójafenyők képével és abban egy ismertetést az új oktatási módszerek kipróbálásáról. Shaw csendes volt, voltaképpen roppant félénk természetű. Jól haladt, és - bár még hónapjai voltak szupravezetéssel foglalkozó doktori disszertációjának befejezésére - már jutott valamire. Senkit sem érdekelt különösebben, hogy a fizikai épület alagsorában egy analóg számítógéppel játszva tékozolja az idejét. A fizikusok oktatása a témavezető és egyetemi hallgató rendszertől függ. A véglegesített professzoroknak kutatási segéderőkre van szükségük a laboratóriumi munkához vagy a fárasztó számításokhoz. Viszonzásul a doktoranduszok és ösztöndíjasok részt kapnak professzoraik pályázatok révén kapott anyagi forrásaiból és valamelyest a publikációikkal szerzett elismerésből is. A jó vezető segíti a hallgatót, hogy kezelhető és eredményekkel kecsegtető kutatási témát válasszon. Ha a kapcsolat jól alakul, a professzor befolyása ré1

Robert Shaw e fejezet szempontjából döntő írásai, amelyek az információelméletet alkalmazzák a káoszra a The Dripping Faucet as a Model Chaotic System (Aerial, Santa Cru z 1984), valamint a Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Theory, Zeitschrift für Naturforschung 36a (1981), p. 80. A néhány Santa Cruz-i egyetemi hallgató rulett körüli kalandozásáról számo l be és sokat átad azoknak az éveknek a hangulatából Thomas Bass: The Eudemonic Pie (Houghton Mifflin, Boston 1985) c. könyve. A csoport négy tagjának egy - a csöpögő vízcsap problémáját is érintő - cikkét magyarul olvashatjuk a Tudomány 1987/ 2-es számában.

vén álláshoz juttathatja tanítványát. Nevük gyakran össze is fonódik. De ha olyan tudományról van szó, amely voltaképpen még nem létezik, akkor ennek a tudománynak a tanítására még nem sokan vállalkoznak. A káosz 1977-ben nem kínált témavezetőket. Nem voltak káosz-előadások, sem nemlineáris és komplex rendszereket célzó kutatások, káosztankönyvek, sőt még káosszal foglalkozó folyóirat sem. William Burke Santa Cruz-i kozmológus, egy bostoni szálloda halljában éjjel egy órakor összefutott barátjával, Edward A. Spiegel asztrofizikussal. Mindketten egy konferencián vettek részt, amely az általános relativitáselmélettel foglalkozott. „Szevasz! - mondta üdvözlésképpen Spiegel. - Éppen a Lorenz-attraktort hallgatom." Spiegel egy hi-fi készülékre kapcsolt rögtönzött áramkörrel átalakította a káosznak ezt a jelképét egy ide-oda csúszkáló, fütyülő antimelódiává. Meginvitálta Burke-öt egy italra a bárba és magyarázni kezdett. Spiegel személyesen ismerte Lorenzet, és már az 1960-as évek óta tudott a káoszról. Azért foglalkozott vele, hogy a csillagmozgás-modellekben feltárhassa a szabálytalan viselkedés lehetőségét, és állandó kapcsolatban maradt a francia matematikussal. Végül mint a Columbia Egyetem professzora, a világűr turbulenciáját - a „kozmikus aritmiát" - helyezte csillagászati kutatásainak középpontjába.1 Ösztönös tehetsége volt ahhoz, hogy új gondolatoknak nyerje meg kollégáit, és ezen az éjszakai beszélgetésen Burke érdeklődését is sikerült felkeltenie. Burke eleve fogékony volt az ilyesféle dolgokra. Hírnevét az Einstein által ránk hagyott egyik legkülönösebb fizikai eredménynek, a téridő szövetét fodrozó gravitációs hullámoknak a témakörében szerezte. Ez erősen nemlineáris probléma volt, éppoly kellemetlen természetű, mint a hidrodinamika nemlinearitásai. De Burke nemcsak az efféle elvont, elméleti kérdésekhez vonzódott, hanem a valósághoz közelebb álló fizikához is: egyszer például a sörösüvegek optikájáról írt cikket: legfeljebb milyen vastag lehet az üveg fala - tette fel s válaszolta is meg a kérdést -, ha azt akarjuk, hogy telinek lássék a palack. Ahogyan időről időre elmondta: ő egy atavisztikus visszaütés, aki valóságnak tekinti a fizikát. Ezenfelül olvasta Robert May Nature-ben megjelent írását, amelyben kárhoztatja az oktatást, amiért olyan kevés időt szán az egyszerű nemlineáris rendszerek megismertetésére, és maga is eltöltött néhány órát May egyenleteivel egy számológép mellett. A Lorenz-attraktor tehát érdekesnek hangzott számára; csakhogy nem hallgatni akarta, hanem látni. Amikor visszatért Santa Cruzba, odaadott Robert Shaw-nak egy papírlapot, amelyen ott volt felfirkantva a három differenciálegyenlet. Fel tudná-e vinni őket Shaw az analóg számítógépre? A számítógépek fejlődésében az analóg gépek zsákutcának bizonyultak. A fizika tanszékeken nem is tartottak ilyesmiket, merő véletlen volt, hogy Santa Cruzban mégis akadt belőlük egy. A Santa Cruzra vonatkozó tervekben eredetileg szerepelt egy műszaki kar is, s bár ezt az ötletet később elvetették, egy buzgó beszerző addigra már vásárolt néhány oda szánt berendezést. A digitális számítógépek, amelyek ki- vagy be-, nullára vagy egyre, nemre vagy igenre kapcsoló áramkörökből álltak, pontos válaszokat adtak a programozók által feltett kérdésekre, és sokkal alkalmasabbnak bizonyultak a számítógépes forradalom technológiájának miniatürizálására és gyorsítására. Amit egyszer megtettünk egy digitális számítógépen, azt ugyanazzal az eredménnyel akárhányszor megismételhetjük, elvileg bármely más digitális számítógépen is. Az analóg számítógépek eleve nem ilyen szigorúan meghatározottak. Igen-nem kacsolók helyett olyan elektronikus áramköri elemekből - például ellenállásokból és kondenzátorokból - épülnek fel, amelyeket mindenki ismer, akinek 1 Edward A. Sp iegel: Cosmic Arrhythmias. in Chaos in Astrophysics, J. R Buchler et al., eds. (D. Reidel, New York 1985), pp. 91-135.

Shaw-hoz hasonlóan, már a tranzisztorkorszak előtt is volt köze a rádiókhoz. A Santa Cruz-i analóg gép Systron-Donner típusú volt, nehéz, szürke színű monstrum; az elején egy dugaszolótábla állt, olyan mint a régi telefonközpontokban. Az analóg számítógép programozása az elektronikus alkatrészek kiválasztásából és vezetékeknek az említett kapcsolótáblába való bedugásából állt. A programozó egy-egy ilyen áramkör kialakításával műszaki problémákat leíró differenciálegyenlet-rendszereket szimulál. Mondjuk egy rugókkal és lengéscsillapítókkal felszerelt autó felfüggesztését szeretnénk modellezni, hogy simán futó kocsit tervezzünk. Az analóg gép áramköreiben lejátszódó oszcillációk megfeleltethetők a modellezendő fizikai rendszer oszcillációinak. A rugók helyébe kondenzátorok lépnek, az alkatrészek tömege helyébe tekercsek s így tovább. Az így végezhető számítások nem lesznek pontosak, kikerülik a numerikus eljárásokat: csak egy fémből és elektronokból álló modellre támaszkodnak, de ez a modell meglehetősen gyors, azonfelül - és ez a leglényegesebb - könnyen szabályozható. Egyszerűen gombok forgatásával beállíthatók a változók: legyenek mondjuk erősebbek a rugók vagy csökkenjen a súrlódás. Sőt egy oszcilloszkóp képernyőjén azonnal - ahogy mondani szokás: valós időben - meg is figyelhetjük az eredmények változását. Az emeleti szupravezető laboratóriumban Shaw a maga rendszertelen módján lassan közeledett disszertációjának befejezéséhez. Mind több és több időt töltött azonban a SystronDonner mellett. Elég messze jutott: látta már néhány egyszerű rendszer fázistérbeli portréját - periodikus pályákat vagy határciklusokat. Bár különös attraktorok formájában látta a káoszt, alighanem felismerte. A papírlapon kapott Lorenz-egyenletek nem voltak bonyolultabbak, mint azok a rendszerek, amelyekkel korábban már bíbelődött. Mindössze néhány órába telt, mire a megfelelő helyre dugta a vezetékeket és beállította a gombokat. De alig néhány perccel azután, hogy elkészült vele, már tudta, hogy soha sem fogja befejezni szupravezetéssel foglalkozó disszertációját. Jó néhány éjszakán át figyelte, amint az alagsori oszcilloszkóp képernyőjén végigfutó zöld pont újra meg újra kirajzolja a Lorenz-attraktor jellegzetes, bagolyábrázatra emlékeztető alakját. Az alakzat kavargása megmaradt a retinán, s ez a villogó, remegő valami semmire sem hasonlított, ami Shaw elé került korábbi kutatásaiban. Úgy tetszett, külön életet é1. Fogva tartotta az elmét, mint a lobogó láng a maga soha nem ismétlődő formáival. Az analóg számítógép pontatlansága és tökéletlen ismétlőképessége Shaw-nak most hasznára vált. Hamarosan látta a kezdőfeltételek iránti érzékenységet, amely meggyőzte Edward Lorenzet a hosszú távú időjárási előrejelzés reménytelenségéről. Beállította a kezdőfeltételeket, megnyomta az indítógombot, s erre megjelent az attraktor. Aztán újra beállította amennyire fizikailag egyáltalán lehetséges volt - ugyanazokat a kezdőfeltételeket; a pálya most csintalanul eltávolodott az előzőtől, ám mégis ugyanazon az attraktoron fejeződött be. Shaw gyermekkori ábrándjaiban úgy látta a tudományt, mint romantikus száguldást az ismeretlenbe. S ez most valamiképpen tényleg felfedező út volt, olyan, mint egykori álmaiban. Az alacsony hőmérsékletek fizikája a barkácsolást kedvelő szemében remek szórakozás volt: sok csővezeték, nagy mágnesek, folyékony hélium és műszerek. Shaw azonban úgy érezte, őt sehova sem vezeti el. Az analóg számítógépet hamarosan felköltöztette az emeletre, és ezt a földszinti szobát sosem használták többé szupravezetés-kutatásra.

„Csak rá kell tenned a kezed ezekre a gombokra, és nyomban felderítővé válsz ebben a másik világban, ahol te vagy az egyik első utazó és nem is akarsz visszatérni" - mondta Ralph Abraham matematikaprofesszor, aki még az elején leugrott megnézni a mozgásban

lévő Lorenz-attraktort. Együtt volt Berkeley-ben Steve Smale-lel a legdicsőségesebb kezdeti időkben, és így azok közé a kevesek közé tartozott a Santa Cruz-i oktatói karban, akik előismereteik jóvoltából egyáltalán felbecsülhették Shaw játékának jelentőségét. Abraham első reakciója a csodálkozás volt: meglepődött, milyen gyorsan rajzolódik ki az attraktor; Shaw erre megmutatta neki, hogy - külön kondenzátorokkal - még lassítja is a futást. Az attraktor stabil is volt: ezt az analóg áramkörök pontatlansága bizonyította, minthogy a gombok állítgatása és csavargatása nem tüntette el az attraktort, nem változtatta át valami véletlenszerűvé, hanem elfordította vagy elhajlította, mégpedig egyre inkább érthető útonmódon. „Robnak spontán tapasztalatai voltak arról, hogy hol fedhető fel egy kis kutatás árán az összes titok - mondta Abraham -. Természetes módon kerülnek elő a fontos fogalmak: a Ljapunov-szám, a fraktáldimenzió. Megfigyelheted és elkezdheted a kutatást." Tudomány volt-e az, amit Shaw űzött? Matematika aligha lehetett ez a képletek és bizonyítások nélküli számítógépes munka, és ezen a tényen az Abrahamtől és a hozzá hasonló kutatóktól kapott mégoly sok együtt érző bíztatás sem változtathatott. A fizikai kar sem látott okot arra, hogy Shaw munkáját fizikának gondolja. De akármi lett légyen is, közönséget vonzott maga köré. Shaw rendszerint nyitva hagyta az ajtaját, éppen átellenben a fizikai tanszék bejáratával. Jókora volt a gyalogosforgalom. Shaw hamarosan társaságban találta magát. E csoportnak, amely kezdte Dinamikus Rendszerek Csoportnak nevezni magát - habár mások időnként Káosz Szövetségnek titulálták - Shaw afféle hallgatag központjává vált. Eléggé feszélyezte, ha elő kellett állnia gondolataival a tudományos piacon, szerencséjére azonban újdonsült társai nem szenvedtek ilyesmitől. Ők időközben gyakran visszatértek Shaw állandó látomásához: ahhoz, hogyan végezze el egy nem ismert tudomány a maga meg sem tervezett kutatási programját. Doyne Farmer, egy magas, esetlen, vörösesszőke texasi lett a csoport szóvivője.1 1977ben huszonnégy éves volt, csupa energia és lelkesedés, valóságos gondolkodógép. Akik találkoztak vele, elsőre néha azt hitték, hogy az egész ember csak üres fecsegés. Egy gyermekkori barátja, az ugyanabban az új-mexikói városban, Silver Cityben felnőtt, nála három évvel fiatalabb Norman Packard, éppen ezen az őszön érkezett Santa Cruzba, akkor, amikor Farmer egy évre szabaddá tette magát, hogy minden energiáját a mozgástörvények rulettre való alkalmazásának szentelhesse. Ez a vállalkozás roppant komoly volt, s nem kevésbé erőltetett. Farmer - fizikustársaktól, hivatásos játékosoktól és kibicektől övezve több mint tíz éven át üldözte ezt a rulett-álmot. Farmer még azután sem hagyta abba, hogy bekerült a Los Alamos-i Országos Kutatóintézet Elméleti Osztályára. Lejtőkre és pályákra végeztek számításokat, egyedi szoftvereket írtak, majd átírták őket, számítógépet rejtettek a cipőjükbe és feszült idegzettel léptek be velük a játékkaszinókba. De semmi sem úgy működött, ahogy eltervezték. Időről időre a csoport valamennyi tagja - Shaw kivételével minden energiáját a rulettnek szentelte, és meg kell mondani, hogy ez a törekvés meglehetősen gyakorlottá tette őket a dinamikai rendszerek gyors elemzésében, másfelől azonban nemigen szolgált bizonyítékkal a Santa Cruz-i fizikus karnak arról, hogy Farmer komolyan venné a tudományt. A csoport negyedik - legfiatalabb, s egy személyben egyetlen kaliforniai születésű - tagja James Crutchfield volt. Alacsony, erős testalkatú, kiváló széllovas, és ami a csoportra nézve a legfontosabb: ösztönösen mestere a számításoknak. Crutchfield egyetemi hallgatóként jött Santa Cruzba, laboratóriumi asszisztensként dolgozott Shaw káosz előtti szupravezetési kísérleteiben, eltöltött egy évet a San Jose-i IBM kutatóközpontban - „a dombon 1 Farmer a főszerep lője és Packard egy mellékszerep lő a The Eudemonic Pie-ban, amely a rulett tervről szól, és szerző je korábban tagja volt a csoportnak.

túl", ahogy Santa Cruzban mondták -, és mint doktorandusz nem is tartozott a fizika tanszékhez egészen 1980-ig. Ám addigra már két évet töltött Shaw laboratóriumában, és gyorsan megtanulta azt a matematikát, amire szüksége volt a dinamikai rendszerek megértéséhez. A csoport többi tagjához hasonlóan ő sem a tanszéken szokásos pályán haladt. 1978 tavasza volt, amikor a tanszék végleg belátta, hogy Shaw soha sem fogja befejezni szupravezetéssel foglalkozó disszertációját. Hiszen olyan közel állt volna a befejezéshez. Akármennyire unja is már, gondolta az oktatói kar, gyorsan áteshet a szükséges formaságokon, megkaphatja a doktorátust, és kiléphet a valódi világba. Ami másfelől a káoszt illeti, ott bizony bajok voltak. Santa Cruzban senkinek sem volt olyan minősítése, hogy ezen a még csak el sem nevezett területen folytatandó kutatásokat bírálhasson el. Ebből még soha senki sem szerzett doktorátust, sőt végzetteknek sem írtak ki ilyesféle pályázatokat. No meg a pénz. Santa Cruzban, mint minden amerikai egyetemen, a fizikát leginkább az Országos Kutatási Alap (NSF) és a szövetségi kormány más szervei pénzelték, az oktatói kar tagjai által elnyert kutatási pályázatok révén. A Tengerészet, a Légierő, az Energiaügyi Hivatal, a Központi Hírszerző Ügynökség (CIA), mind-mind óriási összegeket osztott szét alapkutatásra, anélkül, hogy különösebben törődtek volna a közvetlen hidrodinamikai, aerodinamikai, energetikai vagy hírszerzési felhasználással. Egy egyetemi fizikus elég pénzt szerezhetett a laboratóriumi berendezésekre és a kutatási személyzet - a doktoranduszok fizetésére, akik az ő pályázati pénzén haladtak előre. Ebből tellett e doktoranduszok másolási költségeire, konferenciákra való elutazásukra, sőt nyári, szünidei létfenntartásukra is. Hiszen különben a hallgatók anyagilag ellehetetlenültek volna. Ez volt az a rendszer, amelytől Shaw, Farmer, Packard és Crutchfield ezennel elvágta magát. Amikor bizonyos típusú elektronikus berendezések kezdtek éjszaka eltünedezni, kiderült, hogy legvalószínűbben Shaw korábbi alacsonyhőmérsékleti laboratóriumában lehet a nyomukra bukkanni. Esetenként a csoport egy tagja nem átallott száz dollárt kikunyerálni a doktoranduszok egyesületétől, másszor a fizikai tanszék adott ekkora összegeket. Kezdtek összegyűlni a rajzgépek, transzformátorok, az elektronikus szűrők. Egy részecskefizikai csoportnak lent az előtérben volt egy kis digitális számítógépe, amelynek már a leselejtezés lett volna a sorsa; ez is odatalált Shaw laboratóriumába. Farmernek különleges készsége fejlődött ki a számítógépidő szerzésére. Az egyik nyáron meghívták Boulderbe (Colorado állam), az Országos Légkörkutatási Központba, ahol hatalmas számítógépek segítették a kutatást, például olyasféle feladatokban mint a globális időjárásmodellezés. Farmer olyan tökélyt ért el a drága gépidő „elszivattyúzásában", hogy az éghajlatkutatóknak egyszerűen leesett az álluk. Most jó szolgálatot tett a Santa Cruz-iak barkácsoló hajlama. Shaw bizgentyű-rajongóként nőtt fel; Packard gyermekként televíziós készülékeket javított Silver Cityben, Crutchfield pedig azoknak a matematikusoknak az első nemzedékéhez tartozott, akiknek a számítógép-processzorok logikája természetes nyelvnek számított. A fizikai épület az árnyékos szikvójafenyők között olyan volt, mint általában a fizikai épületek a maguk cement padlóburkolatával és az örökösen újrafestésért kiáltó falaival, de a káoszos csoport által elfoglalt szobában egészen sajátos légkör alakult ki: mindenütt papírhalmok, a falon tahiti szigetlakók fényképei és különös attraktorok kinyomtatott ábrái. Az idelátogató a napnak szinte bármely órájában - de éjszaka mégis valószínűbben, mint délelőtt - találkozhatott a csoport tagjaival, akik hol áramkörök átrendezésével voltak elfoglalva, hol dugaszolókábeleket rángattak ki, a tudatról vagy az evolúcióról vitatkoztak, beállították az oszcilloszkóp képernyőjét vagy csupán bámulták, hogyan rajzol ki rajta görbét egy fénylő zöld pont, remegve és kavarogva, mintha csak élőlény lenne.

„Ugyanaz vonzott valamennyiünket: az az elképzelés, hogy van ugyan determinizmus, de még sincs igazán - mondta Farmer. - Hogy azokban a klasszikus determinisztikus rendszerekben, amelyekről tanultunk, valamiféle véletlenszerűség gyökerezhet, ez roppant érdekes volt. Meg kellett értenünk, hogy mitől van ez így. Aki nem esett át a szokásos fizikai kurzusok hat vagy hét éves agymosásán, nem is tudhatja, micsoda meglepetés volt ez. Bennünket arra tanítottak, hogy vannak klasszikus modellek, amelyekben mindent meghatároznak a kezdeti feltételek, és vannak kvantummechanikai modellek, amelyben ugyan meg vannak határozva a dolgok, de rád marad, hogy megküzdj a kezdeti információk megszerzésének akadályaival. A nemlineáris szóval csak a tankönyv végén találkozhattál. A fizikus hallgató foghatott egy matematikai kötetet, de abban is csak az utolsó fejezet szólt a nemlineáris egyenletekről. Az ember ezt általában átugrotta, és ha netán mégsem, akkor rendszerint csak azt láthatta, hogy veszik ezeket a nemlineáris egyenleteket és lineáris egyenletekre redukálják őket, tehát mindenképpen csak közelítő megoldással szolgálnak. Ebből csak a kudarc élményét lehetett elsajátítani. Fogalmunk sem volt róla, hogy a nemlinearitás mennyire mássá teszi a modelleket. Hogy egy egyenlet látszólag véletlenszerűen körbetáncolhat: ez meglehetősen izgalmas gondolat volt. Eszedbe juthatott: »Honnan származik ez a véletlenszerű mozgás? Nem látom az egyenletekben.« Úgy látszott, mintha ok nélkül, vagy a semmiből jött volna létre." Crutchfield így beszélt erről: „Felismertük, hogy itt a fizikai tényeknek egy egészen új birodalma terül el, csak éppen sehogy sem illik bele a jelenlegi keretbe. Miért nem szerepelt ez a tanulmányainkban? Esélyt kaptunk rá, hogy körülnézzünk közvetlen - csodálatos, földi - világunkban, és megértsünk valamit." A maguk gyönyörűségére és professzoraik rémületére rávetették magukat a determinizmus kérdéseire, az intelligencia természetére, a biológiai evolúció irányára. „Egy hosszú távú vízió forrasztott össze bennünket - emlékezik vissza Packard. - Jókora meglepetés volt, amikor az ember vett egy szabályos fizikai rendszert - amelyet a klasszikus fizika már keresztül-kasul átvizsgált -, és egy kis lépéssel arrébb menve a paramétertérben, olyan eredményt kapott, amire ez a roppant tömegű elemzés a legkevésbé sem vonatkozik. A káosz jelenségét már nagyon régen felfedezhették volna. S hogy mégsem így történt, azt részben az indokolja, hogy a szabályos mozgás dinamikáját vizsgáló tömérdek munka nem ebbe az irányba vezetett. Holott csak oda kell nézni, mert ott van. Ez világossá tette, hogy csak a fizikai megfigyelésekre kellene hagyatkoznunk, hogy lássuk, milyen elméleti képeket fejleszthetünk ki. Úgy láttuk, a bonyolult dinamika kutatása lehet az a kezdőpont, amely hosszabb távon elvezethet az igazán bonyolult, valóságos dinamika megértéséhez." Farmer a következőket mondta: „Filozófiai szempontból az tűnt fel nekem, hogy ez egy működőképes eljárás a szabad akarat meghatározására, éspedig olyan eljárás, amely összeegyeztethetővé teszi a szabad akaratot a determinizmussal. A rendszer determinisztikus, mégsem tudhatod, mit fog tenni. Egyszersmind úgy éreztem, hogy ott kint a világban a fontos problémák azzal függnek össze, hogyan teremtődött meg a szervezettség az életben vagy a tudatban. De hogyan vizsgáltuk ezt? Amit a biológusok műveltek, az túlságosan részlegesnek látszott, a vegyészek nyilvánvalóan nem ezt vizsgálták, a matematikusok egyáltalán nem foglalkoztak vele, a fizikusok pedig egyszerűen nem csináltak semmi ilyesmit. Mindig gyanítottam, hogy az önszerveződés spontán megjelenése a fizika tárgykörébe vág. Megvolt az érme két oldala. Egyik oldalon a rend a megjelenő véletlenszerűséggel, és egy lépéssel odébb a véletlenszerűség az alapjául szolgáló renddel."

Shaw és munkatársai kiforratlan rajongásukat tudományos programmá alakították. Olyan kérdéseket kellett feltenniük, amelyekre lehetett és érdemes is volt választ találni. Lehetőségeket kerestek az elmélet és a kísérlet összekapcsolására; azt érezték ugyanis, hogy a kettő között mindenképpen kitöltendő rés húzódik. Még mielőtt egyáltalán belekezdhettek volna, ki kellett deríteniük, mi az, ami már ismeretes, és mi az, ami még nem - s ez már önmagában sem volt tréfadolog. Akadályozta őket az a publikációs szokás, amely szerint a tudományban - különösen akkor, amikor valamely új tárgykör átugrik a megalapozott résztudományágakon - lépésről lépésre illik haladni. Gyakran fogalmuk sem volt róla, hogy új területen haladnak-e vagy régin. Tudatlanságukra Joseph Ford volt az egyik felbecsülhetetlen értékű ellenszer. Ford, a káosz szószólója a Georgiai Műegyetemen arra a belátásra jutott, hogy a nemlineáris dinamika lesz - és csak az lesz - a fizika jövője, és a folyóiratcikkek információs gyűjtőhelyévé képezte ki magát. Megvoltak már hozzá a kellő ismeretei a nemdisszipatív káosz, a csillagászati rendszerek káosza vagy a részecskefizika káosza területén. Ritka jól ismerte a szovjet iskola által végzett munkát, és szakadatlanul kereste a kapcsolatot mindenkivel, aki valamennyire is osztozott ennek az új vállalkozásnak a nézetein. Mindenütt voltak barátai. A nemlineáris tudomány területén cikket megjelentető kutatók munkái egytől egyig bekerültek Ford növekvő számú összegzései és cikk-kivonatai közé. A Santa Cruz-i hallgatók felfedezték Ford listáját és a szóba jöhető kutatóknak előre nyomtatott levelezőlapot küldtek szét, amelyben előzetes, még megjelenés előtti példányt kértek tőlük a munkáikról nemsokára tömegével érkeztek a preprintek. A Santa Cruz-iak látták, hogy sokféle kérdés tehető fel a különös attraktorokkal kapcsolatban. Milyen a jellemző formájuk? Milyen a topológiai szerkezetük? Mit árul el a geometria a dinamikai rendszer fizikájáról? Az első megközelítési mód a manuális kutatás volt, amivel Shaw kezdte. A matematikai irodalomban sokan foglalkoztak közvetlenül a struktúrával, de a matematikai megközelítést Shaw túl részletezőnek találta - túl sok fa, mégsem elég erdő. Ahogy beleásta magát az irodalomba, egyre inkább úgy érzete, hogy a matematikusok - az új számítási módszerekkel kialakult szokások súlya alatt - beletemetkeztek a pályaszerkezetek sajátos komplexitásaiba, egyszer a végtelenekbe, másszor meg a megszakítottságokba. S a legkevésbé sem törődtek az analóg gépes kísérletekben látható életlenséggel - pedig a fizikus szemszögéből nyilvánvalóan ez az életlenség vezérli a valóságos világ rendszereit. Shaw nem az egyedi pályákat látta az oszcilloszkópján, hanem egy burkolót, amely magába foglalta ezeket a pályákat. És ez a burkoló változott, amikor finoman elcsavarta a gombokat. Nem tudott szigorú, a matematikai topológia nyelvén megfogalmazott magyarázatot adni az összehajtásokra és csavarásokra, lassan mégis érteni vélte őket. A fizikus mindig mérésekre törekszik. De mi volt mérni való ezeken a tünékeny mozgó képeken? Shaw és a többiek megpróbálták elkülöníteni azokat a sajátos tulajdonságokat, amelyek olyan elbűvölővé tették a különös attraktorokat. Érzékenység a kezdőfeltételek iránt - a közeli pályák hajlama az egymástól való eltávolodásra. Ez volt az a tulajdonság, amelyről Lorenz felismerte, hogy lehetetlenné teszi a determinisztikus hosszú távú időjárás-előrejelzést. De mi lehet a mérce egy ilyesfajta tulajdonságra? Egyáltalán, mérhető-e a megjósolhatatlanság? A válasz erre a kérdésre egy oroszoktól eredő fogalmon alapult: a Ljapunov-számon.1 Ez a szám éppen az olyasfajta topológiai tulajdonságokra kínált mértéket, mint a megjósolhatatlanság. A Ljapunov-számok összemérhetővé tették az egymás ellenében ható nyújtást, 1 A Ljapunov-féle kitevő két egymás melletti fázistérbeli pontból induló pálya széttartásának mértékét jellemzi. A fázistér különböző irányaiban a Ljapunov-exponens különböző lehet. - a fordító

összehúzást és összehajtást a kérdéses rendszer attraktorának fázisterében. Képet adtak a rendszer stabilitásában vagy instabilitásában szerepet játszó tulajdonságokról. A nullánál nagyobb Ljapunov-szám nyújtást jelent - a közeli pontok eltávolodnak egymástól -, a nullánál kisebb pedig összehúzódást. Az egyetlen (fix)pontból álló attraktorhoz csupa negatív Ljapunov-szám tartozik, mivel a vonzás iránya befelé, az állandó végállapot felé mutat. A periodikus pálya alakú attraktornak egyetlen nulla Ljapunov-száma van, a többi mind negatív. A különös attraktornak pedig, mint kiderült, legalább egy Ljapunov-száma pozitív kell hogy legyen.

KAOTIKUS KEVEREDÉS. Az egyik fo lt gyorsan elkeveredik; a másik folt, amely csak egy kicsit van közelebb a kö zépponthoz, majdnem egyáltalán nem keveredik. Julio M. Ottino és mások valódi folyadékokkal végzett kísérleteiben a keveredés - a természetben és az iparban mindenütt megtalálható, mégis ez idáig alig értett - folyamatáról bebizonyosodott, hogy szoros kapcsolatban van a káosz matematikájával. A mintázatok nyújtást és hajtogatást mutattak, és Smale lópatkó leképezéséhez vezettek vissza.

A Santa Cruz-i diákok nem jöttek rá erre - bosszankodtak is eleget miatta -, mégis a le-

hető leggyakorlatiasabban kiaknázták, megtanulván, hogyan mérhetik ezeket a Ljapunovszámokat és hozhatják kapcsolatba őket más fontos tulajdonságokkal. A számítógépre támaszkodva filmeket készítettek a rend és a káosz együttes térnyeréséről a dinamikai rendszerekben. Elemzésük érzékletesen mutatta be, hogyan válhatnak egyes rendszerek rendezetlenné az egyik irányban, s maradnak ezalatt „jól fésültek" egy másikban. Az egyik ilyen film azt mutatta be, hogy mi történik az idő előrehaladtával egy különös attraktor eredetileg egymáshoz közeli pontjaival. A csoport egyre széjjelebb szóródik és felbomlik: előbb egy pöttyé alakul át, aztán folttá. Egyes attraktorokon a folt az egész attraktorra kiterjed: az ilyesfajta attraktorok hatékony keverők. Más attraktorokon azonban csak bizonyos irányokban terül szét: a foltból sáv lesz, az egyik tengely mentén kaotikus, a másik mentén rendezett. Mintha a rendszernek a rendezettségre és a rendezetlenségre is lenne hajlama, csak a kettő elszakadna egymástól: az egyik véletlenszerű megjósolhatatlansághoz vezet, a másik óraműéhez hasonló pontossághoz. Mindkét irányultság meghatározható és mérhető.

A káosz-kutatáson a Santa Cruz-iak a némi filozófiával átitatott, s információelméletnek nevezett matematikai eszköztárral hagyták a legjelentősebb nyomot. Ezt az elméletet az 1940-es évek végén alkotta meg Claude Shannon,1 a Bell Telefon Kutatóintézet egyik kutatója, s bár ő „A kommunikáció matematikai elmélete" címmel adta közre munkáját, az a benne szereplő sajátos mennyiség, az információ révén mégis információelmélet néven vált ismertté. Ez az elmélet az elektronikus korszak terméke. A rádióátvitel és a hírközlési vonalak továbbítanak valamit, amit a számítógépek - lyukkártyákon vagy mágneses lemezeken - hamarosan tárolni is tudtak, és ez a valami nem volt sem tudás, sem jelentés. Alapelemei nem gondolatok vagy fogalmak, sőt nem is szavak vagy számok. Ez a valami lehetett értelmes vagy értelmetlen - de az volt vagy sem, a mérnökök és matematikusok megmérhették, egyik helyről a másikra továbbíthatták és ellenőrizhették az átvitel pontosságát. Az információ már bevett szóvá vált, mindazonáltal nem szabad elfelejtenünk, hogy amit értünk rajta, annak nincs feltétlenül köze a szokásos értelemben vett tényekhez, tudáshoz, bölcsességhez, értelemhez vagy felvilágosításhoz. A hardver megszabta az elmélet formáját. Mivel az információt bináris - újabban biteknek nevezett - ki- és bekapcsolók tárolták, az információ alapegysége a bit lett.2 Műszaki szempontból az információelmélet azt tisztázta, hogy milyen kölcsönhatásban áll a véletlen hibákként megnyilatkozó zaj a bitek áramlásával. Az információelmélet révén meghatározhatóvá vált, hogy mekkora hordozókapacitású hírközlési vonal, kompakt lemez vagy más információhordozó eszköz szükséges, ha emberi nyelvet, hangokat vagy képeket kívánunk kódolni. Elméleti eszközzel szolgált a különböző hibajavító módszerek hatékonyságának kiszámítására is: hogyan használhatók például bizonyos bitek a többi helyességének ellenőrzésére. Szigorú értelmet adott a „redundancia" (bőség, feleslegesség, terjengősség) központi jelentőségű fogalmának. Shannon információelmélete szerint a természetes nyelvet több mint ötven százalékos redundancia jellemzi: ilyen mértékben tartalmaz olyan hangokat vagy betűket, amelyek már nem feltétlenül szükségesek az üzenetek megfejtéséhez. Ez jól ismert dolog: a motyogó emberek és nyomdai hibák világában a hétköznapi kommu1

A még ma is olvasható klasszikus szöveg: Claude E. Shannon and Warren Weaver: The Mathematical Theory of Communication (University of Illinois, Urbana 1963), Weaver eligazítást nyújtó bevezetésével. 2 A „bit" szó az angol „binary digit", vagyis „kettes számrendszerbeli számjegy" rövidítése, ez annak az információnak a mennyisége, amit egy ilyen kétállású kapcsoló, illetve a kettes számrendszer 0-ja vagy 1-e ad számunkra. - a fordító

nikáció a redundanciára épül. A gyorsírásoktatás híres reklámja - ha 1 tdd Ivsn zt z zntt...1 - jól szemléltette ezt, az információelmélet pedig mérhetővé tette ezt a redundanciát. A redundancia megjósolható kimenetelű elindulás a véletlentől. Ami a természetes nyelveket illeti, azoknak a redundanciája részben a jelentésben rejlik, s ezt a részt bajos számszerűsíteni, mivel az embereknek a nyelvükkel és a világgal kapcsolatos közös ismereteitől függ. Ezen a jelentésben rejlő redundancián alapul például a keresztrejtvény-fejtés. A redundancia más fajtáit viszont nem ennyire nehéz mérni. A statisztikák szerint az angolban a 26 betű közül az „e gyakoribb, mint a többi: gyakorisága jóval nagyobb, mint egy huszonhatod. Ha például tudjuk, hogy egy angol szövegben valahol egy „t" szerepel, akkor abból arra juthatunk, hogy a következő talán „h" vagy „o" lesz, s ha már két betűt ismerünk, akkor könnyebb a továbbiak kitalálása s így tovább. A különböző két- és hárombetűs kombinációk előfordulásának gyakorisága nagyban elősegíti a nyelv bizonyos lényegi jellemzőinek felismerését. Ha egy számítógéppel - a három betűből álló sorozatok egymáshoz viszonyított gyakoriságát betartatva, egyébként azonban véletlenszerűen - állíttatunk elő szavakat, akkor értelmetlen szöveget, halandzsát kapunk ugyan, de felismerhetően angol halandzsát! A rejtjelszakértők régóta felhasználják már az ilyesfajta statisztikai mintákat az egyszerű titkosírások megfejtésében. A híradástechnikai mérnökök manapság az adatok tömörítésére, az átviteli vonalak vagy a tárolólemezek kapacitásának kímélésére, a redundancia csökkentésére kieszelt módszerekben használják őket. Shannon úgy gondolta, hogy ezeket a mintákat a következőképpen kell felfogni: a természetes nyelvi adatsor nem egészen véletlenszerű; az újabb és újabb biteket részben már meghatározzák az előző bitek, s így valamennyivel mind kevesebbet ad, mint a bit valódi információs értéke. Ebben a megformulázásban utalás rejlett egy lehetséges paradoxonra. Minél véletlenszerűbb egy adatsor, annál több információt szállítanak az egyes új bitek. Shannon információelmélete a kezdődő számítógépkorszak műszaki szükségleteinek kielégítésén túl bizonyos filozófiai tekintélyt is szerzett; a nem ezen a területen működőket legfőképpen egy jól megválasztott szóval vonzotta magához: az entrópiával. Mint azt Warren Weaver az információelmélet klasszikus kifejtésében megfogalmazta: „Amikor valaki a kommunikációelméletben találkozik az entrópia fogalmával, joggal válhat izgatottá, joggal gyanakodhat, hogy olyasvalamit ragadott meg, amiről később kiderülhet, mennyire sarkalatos és fontos."2 Az entrópia fogalma a hőtanból származik, s ott a világegyetemben működő, s a hőtanban második főtételként ismert kérlelhetetlen irányultságot szolgálja: azt, hogy minden zárt rendszer a növekvő rendezetlenség állapota felé tart. Osszunk ketté például egy úszómedencét valamilyen gáttal, töltsük fel az egyik felét vízzel, a másikat tintával, azután várjuk meg, míg minden megnyugszik, majd emeljük fel a gátat: s lám, csupán a molekulák véletlenszerű mozgása folytán a tinta és a víz végül össze fog keveredni. A keveredés sosem fordul vissza, még ha a világ végéig várunk is; ezért mondják el gyakran, hogy a második főtétel a fizikának az a része, amely egyirányú utcává teszi az időt. Az entrópia a rendszereknek azt a tulajdonságát jelöli, amely egyre nő a második főtétel szerint: a keveredést, a rendezetlenséget, a véletlenszerűséget. Intuitíve könnyebb felfogni ezt a fogalmat, mint ténylegesen meg is mérni valamilyen élethelyzetben. Mivel lehetne megbízhatóan ellenőrizni, mennyire keveredett el egyik anyag a másikkal? Esetleg eszünkbe jut megszámolni a kétfajta molekulát valamilyen mintában. De mit tennénk az esetben, ha történetesen egyik-másik-egyik-másik-egyik-másik-egyik-másik alakzatban volnának el1 A reklámszöveg eredetileg „if u cn rd ths msg ...", ami az „if you can read this message azaz a „ha el tudod olvasni ezt az üzenetet ..." szövegből betűk (főleg magánhangzók) elhagyásával keletkezett. - a fordító 2 ld. 25. o ld. lj.

rendezve? Aligha tulajdoníthatnánk nagy értéket az entrópiának. Számolhatnánk csak minden második molekulát, de akkor meg mihez kezdenénk az egyik-másik-másik-egyik-egyik-másik-másik-egyik elrendezéssel? A rend olyan úton-módon férkőzik be, hogy az az egyszerű számítási módszereket eleve kizárja. Az információelméletben pedig a jelentés és megjelenítés kérdése külön bonyodalmakat kelt. A 01 0100 0100 0010 111 010 11 00 000 0010 111 010 11 0100 0 000 000 ... sorozat csak olyan megfigyelő szemében tűnhet rendezettnek, aki ismeri a morzejeleket és Shakespeare-t. És akkor mit mondjunk egy különös attraktor topológiailag elfajzott mintázatairól? Robert Shaw szemében a különös attraktorok az információ hajtóművei voltak. Első és legnagyszerűbb elképzelése szerint a káosz természetes módot kínál arra, hogy az információelmélet által a hőtantól kölcsönvett gondolatok - megújultan és megerősödve - visszakerülhessenek a fizikai tudományokhoz. A különös attraktorok, a rendet és a rendezetlenséget egybeforrasztva, fordulatot keltettek az entrópia mérésének kérdésében. A különös attraktorok hatékony keverőként szolgáltak; megjósolhatatlanságot teremtettek és növelték az entrópiát. Ahogy Shaw látta, információt állítottak elő ott, ahol az korábban nem létezett. Norman Packardnak egy nap a Scientific Americant olvasva megakadt a szeme egy pályázaton. Eléggé képtelen pályázat volt, egy francia pénzember, bizonyos Louis Jacot írta ki - róla is nevezték el -, aki saját elméletet dédelgetett a világegyetem szerkezetéről, a galaxisokban létező galaxisokról. A szóban forgó hirdetés olyan cikkek írására hívta fel a kutatókat, amelyek valamiképpen összefügghetnek Jacot témájával. („Mintha egy kötetre való hóbortos levelet olvasna az ember" - mondta Farmer.) De a bíráló bizottság imponáló módon a francia tudományos élet tagjaiból volt összeválogatva, és a pénzdíj sem volt éppen megvetendő. Packard tehát megmutatta a hirdetést Shaw-nak. 1978 újévének napját tűzték ki határidőnek. A csoport ekkorra már rendszeresen összejött egy túlméretezett öreg Santa Cruz-i házban, a tengerpart közelében. A házban bolhapiacról származó bútorok és számítógépes berendezések halmozódtak fel, ez utóbbiak többségét a rulett-problémára szánták. Shaw egy zongorát is őrzött itt, s barokk zenét játszott rajta vagy klasszikust és modernt elegyítő saját improvizációkat. Itteni összejöveteleiken a fizikusok kifejlesztettek egy munkastílust, amely gondolatok felvetéséből és gyakorlati szempontú megrostálásából, meggondolások szűrőjén keresztüli kiválogatásából, a szakirodalom olvasásából és saját cikkeik megfogalmazásából állt. Végül megtanultak elég hatékonyan - kézről kézre adva - együtt dolgozni folyóiratcikkeken, az első cikk azonban Shaw-é volt. Egy, abból a néhányból amit megírt, de ennek megírását jellemző módon megtartotta magának. Nem kevésbé jellemző módon el is késett vele. 1977 decemberében Shaw elutazott Santa Cruzból, hogy részt vegyen a New York-i Tudományos Akadémia káosznak szentelt első konferenciáján. Szupravezetéssel foglalkozó professzora fizette az útját, és Shaw minden meghívás nélkül odament, hogy személyesen is lássa és hallhassa azokat a tudósokat, akiket addig csak írásaikból ismert. David Ruelle, Robert May, James Yorke. Ezek az emberek, no meg a Barbizon Szálloda 35 $-os csillagászati szobaárai megfélemlítették Shaw-t. Az előadásokat hallgatva állandóan két érzés között ingadozott: aközött, hogy tudatlanságában olyan dolgokat fedezett fel, amelyeket ezek az emberek már beható részletességgel kidolgoztak, és aközött, hogy az ő fontos új szempontja hozzájárulás lehet az egész témához. Elhozta magával egy irattartóban információelméleti cikkének befejezetlen, cédulákra firkált fogalmazványát, és megpróbált egy írógépet szerezni, először a szállodában, majd a helyi javítóműhelyekben, de nem járt sikerrel. Végül is az irattartóba tett változatot vitte magával. Később, amikor barátai a részletek fe-

lől faggatták, azt mondta, hogy a csúcspont az Edward Lorenz tiszteletére adott ebéd volt, ahol Lorenz végül megkapta az őt sok évig elkerülő, méltó elismerést. Amikor Lorenz bátortalanul, felesége kezét fogva belépett a szobába, a tudósok felálltak és lelkesen ünnepelték. Shaw-t szíven ütötte, mennyire ijedtnek tűnt a meteorológus. Néhány héttel később, szüleinek Maine állambeli nyaralóját felkeresve, Shaw végre elküldte cikkét a Jacot-pályázatra.1 Újév ugyan már elmúlt, de a helyi postás nagylelkűen visszadátumozta a borítékot. A cikk - a csak beavatottaknak érthető matematika és spekulatív filozófia keveréke, Shaw bátyjának, Chrisnek karikatúraszerű rajzaival fűszerezve dicséretben részesült. Shaw elég nagy pénzdíjat kapott, így kifizethette az utat Párizsba és személyesen vehette át a kitüntetést. Nem volt túl nagy eredmény, de éppen jókor jött, a csoport és a tanszék viszonyának egyik nehéz pillanatában. Rendkívül nagy szükségük volt bármilyen külső jelre, ami a hitelüket bizonyíthatta. Farmer feladta az asztrofizikát, Packard a statisztikus mechanikát hagyta oda, Crutchfield pedig továbbra sem mondhatta magát doktorandusznak. A tanszék úgy érezte, az ügyek kikerültek az ellenőrzése alól. A „Különös attraktorok, kaotikus viselkedés és információáramlás" abban az évben végül ezres példányszámú preprint kiadásban keringett, mint az első alapos kísérlet az információelmélet és a káosz összekapcsolására. Shaw feltárta benne a klasszikus mechanika néhány előfeltevését. Az energia a természeti rendszerekben két szinten létezik: a makrotartományokban, amelyekben a mindennapi tárgyak mérhetők és számlálhatók, és a mikrotartományokban, ahol számtalan atom mozog véletlenszerűen, s csak egy átlagérték mérhető: a hőmérséklet. Ahogy Shaw megjegyezte, a mikrotartományokba szorult teljes energia meghaladhatja a makrotartományok energiáját, de a klasszikus rendszerekben ez a hőmozgás lényegtelen - elszigetelt és használhatatlan - volt. A tartományok nem érintkeztek egymással. „Az embernek nem kell ismernie a hőmérsékletet egy klasszikus mechanikai probléma megoldásához" - fejtegette Shaw. Mindazonáltal az volt a véleménye, hogy a kaotikus és közel kaotikus rendszerek hidat vertek a makrotartományok és a mikrotartományok között. A káosz információt teremtett. Képzeljük el mondjuk az akadály mellett elfolyó vizet. Mint minden hidrodinamikához értő ember és vadevezős tudja, ha a víz elég gyorsan folyik, akkor örvények támadnak benne a folyásirányban. Egy bizonyos sebességnél az örvények helyben maradnak, valamivel nagyobb sebességnél pedig elmozdulnak. A kísérletező különféle módszereket választhat arra, hogyan jusson adatokhoz egy ilyen rendszerből, például sebességmérőkkel és egyebekkel dolgozhat, de miért ne próbálkozhatnánk valami egyszerűvel: szemeljünk ki egy pontot közvetlenül az akadály alatt, és egyenlő időközökként jegyezzük fel, hogy az örvény jobbra van-e ettől a ponttól vagy balra. Ha az örvények állnak, akkor az adatsor a következőképpen fog festeni: bal-bal-bal-balbal-bal-bal-bal-bal-bal-bal-bal-bal-bal-bal-bal-bal-balbal-bal. Egy idő után a megfigyelőnek az a gyanúja támad, hogy az új bitek nem adnak újabb információt a rendszerről. Máskor az örvények például periodikusan előre-hátra mozoghatnak: bal-jobb-bal-jobbbal-jobb-bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb. A rendszer - bár elsőre egy fokkal érdekesebbnek látszik - hamarosan ismét csak nem okoz már semmilyen meglepetést. De mihelyt kaotikussá válik a rendszer, éppen az előreláthatatlanság folytán egyre újabb és újabb információval szolgál. Minden új megfigyelés egy teljesen új bit. Ez nehézzé teszi a megfigyelő dolgát, ha tökéletes leírást szándékozna adni a rendszerről. „Sosem hagy1 Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Flow.

hatja el a mérőszobát - mondta róla Shaw. - Az áramlás folyamatos információforrássá válik." Honnan támad ez az információ? A mikrotartományok hőtartályából, a molekulák milliárdjainak véletlenszerű termodinamikai táncából. Ahogy a turbulencia a nagy mérettartományokból elviszi az energiát az örvények láncán át a viszkozitás disszipáló hatású kis tartományaiig, az információ is visszaszáll a kis tartományokból a nagyba - legalábbis Shaw és munkatársai így kezdték leírni a dolgot. Az információt felvivő csatorna pedig nem más, mint a különös attraktor, amely felnagyítja a kezdeti véletlenszerűséget, ahogyan a pillangó-hatás is felnagyítja a kis határozatlanságokat nagyléptékű időjárási mintázatokká. A kérdés csak az volt, hogy mennyire. Shaw arra a belátásra jutott, hogy ebben is a szovjet fizikusoké volt az elsőség, hiszen akaratlanul is csak megismételte némely munkájukat. A. N. Kolmogorov és Jasa Szinaj átütő erejű matematikai eredményeket kapott arra nézve, hogyan alkalmazható a rendszer „időegységre eső entrópiája" a fázistérben megnyújtott és összehajtott felületek geometriai képeire. A módszer lényege az volt, hogy egy tetszőlegesen kicsiny dobozt rajzoltak a kezdőfeltételek valamilyen halmaza köré - mintha aprócska négyzetet rajzoltak volna egy léggömb falára - és azután kiszámították, milyen hatása van a különböző tágulásoknak vagy csavarásoknak erre a dobozra. Például a dobozt az egyik irányban meg lehet úgy nyújtani, hogy a másik irányban keskeny maradjon. A területváltozás a rendszer múltjára vonatkozó határozatlanság bevezetésének felel meg, információnyereségnek vagy -veszteségnek. Amíg az információ nem volt több, mint egy kissé talán furcsa szó a megjósolhatatlanságra, ez az elképzelés sem ment túl a Ruelle-hez hasonló tudósok által kigondolt ötleteknél. Az információelméleti keret azonban olyan matematikai érvrendszert adott a Santa Cruz-iak kezébe, amelyet a kommunikációelméleti szakemberek már alaposan végiggondoltak. Például a külső zaj hozzáadása egy különben determinisztikus rendszerhez, újszerűnek számított a dinamikában, a hírközléselméletben viszont már eléggé ismert volt. De egyáltalán nem csak a matematika ragadta meg ezeket az ifjú tudósokat. Információkeltő rendszerekről beszélve, tényleges, valóságos világbeli mintázatok spontán keletkezésére gondoltak. „A bonyolult dinamika csúcsán a biológiai evolúció vagy a tudat folyamatai állnak - mondta erről Packard. - Intuitíve világos értelmezésnek tűnik, hogy ezek a végletesen bonyolult rendszerek információt állítanak elő. Milliárd évekkel ezelőtt csak protoplazmacseppek léteztek, s most, milliárd évek elteltével már mi is jelen vagyunk. Egyszóval az információ a struktúránkban keletkezett és tárolódott. Ahogyan tehát a gyermekkortól kezdve fejlődik az ember tudata, nemcsak kész információ halmozódik fel benne, hanem új is keletkezik, éspedig korábban nem létezett kapcsolatok révén." Az effajta szöveg hallatára egy józan fizikussal forogni kezdett a világ.

Mindenekelőtt azonban barkácsolók voltak, és csak azután filozófusok. Az volt a kérdés, hogy sikerül-e hidat verniük az általuk oly jól ismert különös attraktorok és a klasszikus fizika kísérletei között. Más dolog azt mondani, hogy a jobb-bal-jobb-jobb-bal-jobb-bal-balbal-jobb megjósolhatatlan információt állít elő, s megint más vermi egy igazi adatsort és megmérni a Ljapunov-számát, entrópiáját, dimenzióját. A Santa Cruz-i fizikusoknak ezekkel az ötletekkel mindazonáltal kényelmesebb helyzetbe sikerült jutniuk, mint bármelyik idősebb kollégájuknak. Éjjelüket és nappalukat a különös attraktorokkal töltve, arra a meggyőződésre jutottak, hogy felismerték ezeket az attraktorokat mindennapi életük hánykolódó, rázkódó, doboló, billegő jelenségeiben. Volt egy szokásos kávéházi játékuk. Feltették a kérdést: milyen messze van a legköze-

lebbi különös attraktor. A zörgő lökhárító azon az autón? Az a zászló ott, amelyik szabálytalanul csattog az állandó szélben? Egy reszkető levél? „Semmit sem látsz, amíg nincs meg a látásához szükséges metaforád" - mondta Shaw, Thomas S. Kuhnt visszhangozva. Relativitáselmélettel foglalkozó barátjuk, Bill Burke hamarosan egészen biztosra vette, hogy autójának sebességmérője nemlineáris módon zörög, pontosan úgy, ahogyan egy különös attraktortól telik. Shaw pedig, egy a következő évekre elfoglaltságot adó kísérleti program mellett döntve, otthonra egy olyan dinamikai rendszert szemelt ki, amilyet bármely fizikus elképzelhet: egy csöpögő vízcsapot. A legtöbb ember a csöpögő csapot következetesen periodikusnak gondolja, holott nem feltétlenül az, - egy-két percnyi kísérletezés bárkit meggyőzhet erről. „Ez egyszerű példa olyan rendszerre, amely megjósolható viselkedésűből megjósolhatatlanba megy át - fejtegette Shaw. - Ha egy kicsit jobban kinyitod a csapot, láthatsz egy tartományt, ahol a csöpögés szabálytalan. Kiderül, hogy egy rövid időn túl már képtelen vagy megjósolni, mi lesz a minta. Tehát még egy csaphoz fogható egyszerű valami is létrehozhat örökké megújuló mintázatot." A csöpögő vízcsaptól nemigen várhatunk szerveződést, csak cseppek telnek tőle, és a cseppek nagyjából olyanok, mint az előzők. A káosz kezdő kutatójának mégis kínál bizonyos előnyöket. Kinek-kinek van már róla valamilyen belső képe. Az adatsora annyira egydimenziós, amennyire csak lehet: időben elkülönült pontok ritmikus dobütése. Ezek a tulajdonságok egyáltalán nem találhatók meg azokban a rendszerekben, amelyeket a Santa Cruz-i csoport később vizsgált - például az emberi immunrendszerben, vagy abban a kellemetlen nyaláb-nyaláb kölcsönhatásban, amely érthetetlenül lecsökkentette az összeütköző részecskenyalábok teljesítményét a Santa Cruztól északra fekvő Stanfordi Lineáris Gyorsítóban.1 Libchaber, Swinney és más kísérletezők, egy valamelyest bonyolultabb rendszer egyetlen tetszőleges pontjába helyezett műszer révén kapták egydimenziós adatsoraikat. A csöpögő csapban nincs is más ezen az egyetlen adatsoron kívül. És az adatok nem valamilyen folytonosan változó sebesség vagy hőmérséklet értékei, hanem csupán a cseppek egymás utáni lehullásának időpontjai. Ha egy hagyományos módon dolgozó fizikust arra kérnek, hogy próbáljon feltárni egy ilyesfajta rendszert, akkor az kiindulásul készít egy lehetőség szerint teljes fizikai modellt. A cseppek keletkezését és leszakadását vezérlő folyamatok érthetők, bár nem olyan egyszerűek, amilyennek látszanak. Az egyik fontos változó a folyássebesség. (Ennek a legtöbb hidrodinamikai rendszerrel összehasonlítva lassúnak kell lennie. Shaw általában másodpercenkénti 1-10 cseppes sebességet vizsgált, ami 240-2400 liter/hónap kifolyási sebességnek felelt meg.2 ) A többi változó a folyadék viszkozitása és a felületi feszültség. A csapról lecsüngő, leszakadni készülő vízcseppnek bonyolult háromdimenziós alakja van, Shaw szerint már az alak kiszámítása is „művészi számítógépes számolás" volt. És ez az alak egyáltalán nem állandó. Az egyre hízó csepp olyan, mintha vízzel telne meg egy felületi feszültség összetartotta kis rugalmas zsák; ez a zsák pedig valamilyen módon oszcillál, egyre nagyobb tömeget fogad magába, egyre széjjelebb feszül, mígnem túlkerül egy küszöbön és leszakad. A fizikus, aki megpróbálja tökéletesen modellezni ezt a csepp-problémát - előbb felírja a megfelelő kezdeti feltételekkel a csatolt nemlineáris parciális differenciálegyenletek rendszerét, és megpróbálja megoldani -, nagyon sűrű és kiúttalan bozótban fogja találni magát. 1

Az immunrendszer dinamikai megközelítését, amely az emberi test képességét modellezte a mintázatra alkotó módon való „visszaemlékezés"-re és felismerésre J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, and Alan S. Perelson: The Immun System, Adaptation, and Machine Learning, (preprint, Los Alamos National Laboratory, 1986) c. cikkben körvonalazták. 2 The Dripping Faucet, p. 4.

De felvetődhet egy másik módszer is: felejtsük el a fizikát és nézzük csak az adatokat, mintha egy fekete dobozból jönnének. Találhat-e a káosz-dinamikai szakértő valami használhatót a cseppenések közötti időtartamok listájában? Mint kiderült, igenis megadhatók módszerek az ilyesfajta adatok rendszerbe foglalására és a fizikába való visszajuttatására, és ezeknek a módszereknek a segítségével válhat alkalmazhatóvá a káosz tudománya a valós világ problémáira. Shaw azonban valahol félúton kezdte e két szélsőség között: elkészítette a teljes fizikai modell valamiféle karikatúraszerű utánzatát. Elhanyagolta a cseppformákat, a háromdimenziós komplex mozgásokat, és egy elnagyoltan összegzett cseppfizikából indult ki. Egy rugóról lelógó súlyt képzelt el, amely egyre nehezedik az idő múlásával. A nehezedés miatt a rugó egyre hosszabbra nyúlik, a súly tehát egyre lejjebb ereszkedik, és amikor elér egy bizonyos pontot, valamekkora rész kiszakad belőle. A leváló hányad nagyságáról Shaw önkényesen feltette, hogy az attól függ, mekkora a leereszkedő súly sebessége a leváláskor. A súly megmaradt részét persze a rugó felrántja, ahogyan az tőle el is várható, és rezegni kezd, amit a doktoranduszok már modellezhetnek a tanult egyenletekkel. A modellnek érdekes tulajdonsága - sőt egyetlen érdekes tulajdonsága, hiszen ez az a nemlineáris csavarintás, ami a kaotikus viselkedést lehetővé teszi -, hogy a következő csepp a rugózás és az állandóan növekedő súly kölcsönhatásától függ. A lefelé mozgás a leválás felé segíti a súlyt, a felfelé mozgás pedig kissé hátráltatja a leválást. A valódi csap végén nem mind egyforma méretűek a cseppek. Méretük függ a kifolyás sebességétől és a mozgás irányától. Ha a csepp már lefelé mozogva kezdi az életét, akkor hamarabb leesik, ha felfelé mozogva, akkor valamelyest nagyobbra hízik. Shaw modellje megfelelőképpen elnagyolt volt ahhoz, hogy már három differenciálegyenletben is összegezhető legyen, ez pedig éppen a káoszhoz szükséges minimum, amint azt Poincaré és Lorenz bebizonyította. De szolgál-e akkora komplexitással, mint a valódi vízcsap? És ugyanolyan fajtájú lesz-e ez a komplexitás? Shaw tehát ott csücsült a fizikai épület egyik laboratóriumában, egy nagy, vízzel teli műanyagkád alatt, amelyből cső kígyózótt ki egy elsőosztályú vas- és edényboltból való rézcsapig. A vízcseppek esés közben megszakítottak egy fénynyalábot, és a szomszéd szobában egy mikroszámítógép rögzítette ennek az időpontját. Közben az analóg számítógépen beállította és futtatta három önkényes egyenletét, s ezzel képzelt adatok sorozatát állította elő. Egyik nap valami „mondd-és-mutasd"-ot tartott a karon - egy „álszemináriumot", ahogy Crutchfield mondta -, mert a doktoranduszoknak nem engedték meg, hogy hivatalos szemináriumokat tartsanak. Shaw lejátszotta a csap csöpögéséről készült egyik magnetofonszalagját (a felvételkor konzervdobozt tett a csap alá, hogy azon doboljanak a cseppek). Elindította a számítógépet is: az egymás utáni kattanások éles szinkópáit, hogy a hallgatók kivehessék a mintázatokat. Megoldotta a problémát, hogy a két hang egyidejűleg előlről és hátulról szóljon, közönsége pedig hallhatta ennek a látszólag rendezetlen rendszernek a mélystruktúráját. A továbblépéshez azonban a csoportnak szüksége volt valamilyen módszerre, amellyel bármilyen kísérletből kiszedheti a nyers adatokat és visszakövetkeztethet a káoszt jellemző egyenletekre és különös attraktorokra. Ha bonyolultabb rendszerről van szó, a változók egymás függvényében is felrajzolhatók, például a hőmérséklet vagy a sebesség változás az időhöz képest. A csöpögő csap azonban mindössze egy idősort adott. Shaw tehát megpróbálkozott valamivel, ami alighanem a Santa Cruz-i csoport legleleményesebb és legmaradandóbb gyakorlati eredménye a káosztudomány előbbre vitelében. Ez egy bármely adatsorra alkalmazható módszer volt, amellyel láthatatlan különös attraktorú rendszer fázistere is rekonstruálhatóvá vált. Shaw kétdimenziós grafikont készített a csöpögő csapról: az x tengelyre két csepp lehullása kö-

zötti időt mérte fel, az y tengelyre pedig a következő csepp lehullásáig eltelt időt. Ha tehát az egyes és kettes számú csepp lehullása között 150 ezredmásodperc telt el, a kettes és a hármas lehullása között pedig megint 150 ezredmásodperc, akkor felrajzolt egy pontot a 150,150 helyre. Ennyi volt az egész. Ha a csöpögés szabályos volt - ahogy az lenni szokott, ha lassan folyt a víz - és a rendszer a maga „vízóra-tartományában" időzött, akkor eléggé unalmas ábra rajzolódott ki: minden pont ugyanoda került, azaz a kép egyetlen pontból állt. Vagy majdnem egyetlenből. A számítógépes csöpögő csap és a valódi között elsősorban az volt az eltérés, hogy a tényleges csap zaj hatásának volt kitéve, és erre rendkívül érzékeny is volt. „Kiderült, hogy ez a csöpögő csap kitűnő földrengésjelző - mondta Shaw némi gúnnyal. - Nagyon hatékonyan emeli át a zajt a kis tartományokból a nagyokba." Shaw főleg éjjel dolgozott, mert akkor nemigen volt járás-kelés a fizikai épület folyosóin. A zaj azzal járt, hogy az elméletileg jósolt egyetlen pont helyett egy kissé elmosódott foltot látott. Az áramlási sebesség növekedtével a rendszer perióduskettőző bifurkáción ment át. A cseppek párba álltak. Az egyik időköz mondjuk 150 ezredmásodperc volt, a rá következő 80. Az ábrán tehát két elmosódott foltot lehetett kivenni, az egyiknek 150,80-ban volt a központja, a másiké 80,150-ben. De az volt az igazi próbatétel, amikor kaotikussá vált a mintázat. Ha csakugyan véletlenszerű lett volna, akkor a pontoknak szét kellett volna szóródniuk az egész ábrán: nem maradt volna kapcsolat az egymást eggyel követő időtartamok között. Ha azonban az adatok különös attraktort rejtettek, akkor az jelt adhatott magáról elmosódottság és kirajzolódó szerkezet elegyeként. Nemegyszer három dimenzió kellett a szerkezet feltárásához, de ez sem okozott semmi nehézséget. A módszer könnyen általánosítható volt magasabbdimenziós ábrák készítéséhez. Nem az (n + 1)-ik időtartamot kellett az n-ik időtartam függvényében ábrázolni, hanem az (n + 2)-iket az (n + 1)-ik függvényében, az (n + 1)-iket pedig az n-ik időtartam függvényében. Ez ügyes fogás volt - egy csel. Egy háromdimenziós ábra többnyire a rendszer három független változójának ismeretét követeli meg, s ez a fogás három változót csiholt ki az egyből. Mindez tükrözte ezeknek a tudósoknak a meggyőződését, mely szerint a rend olyan mélyen beleivódik a látszólagos rendezetlenségbe, hogy még azoknak a kísérletezőknek is megnyilatkozik, akik nem tudják, melyik fizikai változót kellene mérniük, vagy esetleg közvetlenül nem is mérhetik meg ezeket a változókat. Ahogy Farmer mondta: „Bármilyen változóra gondolsz, annak a fejlődését mindig befolyásolni fogja a vele kölcsönhatásban álló összes többi változó. Az értékeiknek benne kell lenniük ennek a változónak a történetében. Ott kellett hogy hagyják rajta a nyomukat." Shaw csöpögő csapjának esetében a képek tanúskodtak erről. Különösen a háromdimenziós ábrák: a kialakuló mintázatok úgy hurkolódtak, mintha egy füstcsíkot húzó, irányíthatatlan repülőgép hagyta volna őket maga után. Shaw folyamatosan összehasonlítgatta az analóg számítógépen kialakított modell eredményeinek ábráit és a kísérleti adatok alapján megrajzolt ábrákat; a legfontosabb különbség az volt közöttük, hogy a valódi adatok mindig elmosódottabbak voltak, mert a zaj szétmaszatolta őket. A szerkezet azonban így is félreismerhetetlen volt. A Santa Cruz-i csoport elkezdett együttműködni - az éppen Austinban, a Texasi Egyetemen dolgozó - Harry Swinney-vel és más tapasztalt kísérletezőkkel, így ezek a kutatók is megtudták, hogyan csalogathatók elő a különös attraktorok bármilyen fajtájú rendszerből. A dolog azon állt vagy bukott, hogy elegendően nagy dimenziójú fázistérbe ágyazzák-e be az adatokat. Floris Takens, David Ruelle társa a különös attraktorok felfedezésében, nem sokkal később tőlük függetlenül matematikai alapokra helyezte ezt a hatékony módszert, amellyel valódi adatsorokból származó attraktorok fázisterét lehetett rekonstruálni.1 Mint hamaro1 Ezeket a módszereket, amelyek sok területen a kísérlet i technika fő erősségévé >>>fo lytatás198

san igen sok kutató felfedezte, a módszer különbséget tesz a puszta zaj és az új értelmet nyert káosz - vagyis az egyszerű folyamatok által teremtett rendezett rendezetlenség - között. Az igazán véletlenszerű adatok meghatározatlan zűrzavarrá esnek szét, a determinisztikus - mintázattal jellemzett - káosz azonban felismerhető alakzatokba rendezi az adatokat. A lehetséges rendezetlenség közül a természet csak bizonyosakat tüntet ki kegyeivel. A lázadókból csak lassacskán lett fizikus. Gyakran megtörtént, hogy a kávéházban ülve vagy a laboratóriumukban dolgozva egyik-másik diáknak még napirendre kellett térnie afölötti meglepetéséből, hogy változatlanul dolgozik bennük a tudományos fantázia. Istenem, még mindig ezt csináljuk, és még mindig van értelme, mondogatta Jim Crutchfield. Még mindig itt vagyunk. Meddig fog ez még tartani? Fő támogatójuk a karon a Smale-tanítvány Ralph Abraham volt a matematika tanszékről, és Bill Burke a fizika tanszékről, aki „az analóg számítógép cárjává" tette meg magát, hogy legalább ezt a berendezést megvédje a csoportnak. A fizikai kar többi része bonyolultabb helyzetben volt. Pár évvel később néhány professzor elkeseredetten tagadta, hogy a csoportnak küzdenie kellett a tanszék közönyével és ellenállásával. A csoport pedig éppily keserűséggel reagált arra, ahogyan a káoszhoz utóbb pártoltak szerintük megmásították a történelmet. „Nem volt tanácsadónk, senki sem mondta meg, mihez kezdjünk - mondta Shaw. - Évekig ellenfélnek számítottunk, és ennek máig sincs vége. Soha nem támogattak minket anyagilag Santa Cruzban. Mindegyikünk hosszú időszakokon át dolgozott fizetés nélkül, és végig a saját erőnkből működtünk, minden szellemi vagy más természetű segítség nélkül." A kar tudomása szerint viszont hosszú időn át eltűrtek, sőt segítettek is egy kutatást, amely nem vágott semmilyen tekintélyes tudomány témakörébe. A szupravezetéssel foglalkozó professzor, a volt témavezető körülbelül egy évig fizetést adott Shaw-nak még azután is, hogy az hátat fordított az alacsonyhőmérsékleti fizikának. Soha senki sem rendelte el a káosz-kutatás teljes leállítását. A kar legfeljebb - puszta jóindulatból - elkedvetlenítette őket. Időnként félrehívták a csoport egy-egy tagját egy bizalmas beszélgetésre. Figyelmeztették őket, hogy még ha találnának is módot doktorátusuk megvédésére, senki sem tud majd nekik állást szerezni egy nem létező területen. Ez csak egy hobbi, mondták a karon, mire mész vele? A Santa Cruz-i dombok oltalmazó szikvójaerdein túl a káosz mégis megteremtette a maga tudományos intézményrendszerét, és a Dinamikai Rendszerek Csoportnak csatlakoznia kellett ehhez. Az egyik évben arra járt Mitchell Feigenbaum, aki előadókörúton magyarázta el úttörő eredményeit az univerzalitás témájában. Előadásai, mint mindig, nehezen érthető matematikára épültek; a renormalizációs csoport elmélete csak a kondenzált anyagok fizikájában jártasaknak volt érthető, azt azonban ezek a hallgatók nem tanulták. Ám a csoportot jobban érdekelték a valódi rendszerek, mint a kifinomult egydimenziós leképezések.1 Doyne >>>folytatás197 váltak, a Santa Cru z-i kutatók, más kísérlet i és elméleti szakemberekkel együtt, nagymértékben fino mították és általánosították. Az egyik leglényegesebb Santa Cruz-i javaslat: Norman H. Packard, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, and Robert S. Shaw: Geo metry fro m a Time Series. Physical Review Letters 47 (1980), p. 712. A tárgykörben a legnagyobb hatású cikk Flo ris Takensé volt: Detecting Strange Attractors in Turbulence, in Lecture Notes in Mathematics 898, D. A. Rand and L. S. Young, eds. (Springer-Verlag, Berlin 1981), p. 336. Egy korai, de elég széles körű áttekintés a fázistér képek rekonstruálásának módszereirő l: Harold Froehling, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, and Robert S. Shaw: On Determining the Dimension of Chaotic Flows. Physica 3D (1981), pp. 605-617. 1 Ez nem azt jelenti, hogy a hallgatók teljesen elhanyagolták volna a leképezése- >>>fo lytatás199

Farmer közben hírét vette, hogy Berkeley-ben egy matematikus, Oscar E. Lanford III., a káosz kutatásával foglalkozik, és elutazott hozzá. Lanford udvariasan végighallgatta, majd ránézett és azt mondta neki, hogy nincs semmi közük egymás témájához. Ő Feigenbaumot próbálta megérteni. Milyen szörnyű! Hát nem szorult ebbe a fickóba semmi érzék a lehetőségek iránt? gondolta Farmer. -,,Ezeket a kis pályákat vizsgálgatta. Eközben mi mélyen elmerültünk az információelméletbe, darabjaira szedtük szét a káoszt, láttuk, hogy mi működteti, megpróbáltuk a metrikus entrópiát és a Ljapunov-számokat statisztikusabb mértékekkel összekapcsolni." Lanford a Farmerral folytatott beszélgetésben nem hangsúlyozta az univerzalitást, és Farmer csak később ismerte fel, hogy nem értette meg a lényeget. „Naivitás volt részemről - mondta Farmer. - Az univerzalitás gondolata nem csupán nagy eredmény. Mitchell egyben módszert is adott a kritikus jelenségeket tanulmányozók egész munkanélküli hadseregének foglalkoztatására. Egészen odáig úgy tűnt, hogy a nemlineáris rendszereket esetenként kell tárgyalni. Mi megpróbáltunk felvetni egy számszerűsítésre és leírásra alkalmas nyelvet, de továbbra is csak úgy festett a helyzet, mintha mindent esetről-esetre kellene tárgyalni. Nem láttunk módot a rendszerek osztályozására és olyan megoldások felírására, amelyek az egész osztályra érvényesek lennének, mint a lineáris rendszerek körében. Az univerzalitás olyan tulajdonságok megtalálását jelentette, amelyek számszerűsíthetően ugyanazok abban a teljes osztályban. Megjósolható tulajdonságokat. Ezért volt igazán fontos. Azután ott volt egy szociológiai körülmény, ami rátett még egy lapáttal. Mitchell a renormalizáció nyelvén hozta ki az eredményeit. Azt a gépezetet használta, amelynek a kezelésében már gyakorlatuk volt a kritikus jelenségekkel foglalkozóknak. Ezekre a fickókra éppen nehéz idők jártak, mert úgy tűnt, már semmi feldolgozni való kérdés sem vár rájuk. Kerestek valami mást, amire felhasználhatták eszközeiket. És akkor hirtelen feltűnt Feigenbaum, egy rendkívül fontos alkalmazási lehetőséggel. Ez teljes résztudományt fialt." Mindettől teljesen függetlenül azonban a Santa Cruz-i diákok maguk is kezdtek nagy hatást elérni. A tanszéken azután emelkedett a csillaguk, hogy 1978-ban meglepetésszerűen megjelentek Laguna Beachen egy a kondenzált anyagok fizikájával foglalkozó konferencián, amelyet a Xerox Palo Alto Kutatóközpontból és a Stanfordi Egyetemről szervezett Bernardo Huberman. A csoportot nem hívták meg, de ők azért elmentek, bezsúfolódva Shaw 1959-es nagy Ford kombijába, egy Cream Dreambe (Krémálomba). Minden eshetőségre készen magukkal vittek bizonyos berendezéseket, többek között egy óriási televíziós képernyőt és egy videoszalagot. Amikor az egyik meghívott előadó az utolsó pillanatban lemondta az előadását, Huberman Shaw-t kérte fel, hogy lépjen a helyébe. Tökéletes volt az időzítés. A káosz szó már felkeltette az emberek figyelmét, de a konferencián részt vevő fizikusok közül csak kevés tudta még, hogy mit jelent. Úgyhogy Shaw a fázistérbeli attraktorok magyarázatával kezdte: először a fixpontokkal (ahol minden megáll); azután a határciklusokkal (ahol minden oszcillál); aztán pedig a különös attraktorokkal (ahol minden más). A videoszalagról lejátszotta a számítógépes grafikát. („Az audiovizuális illusztráció igen jó hatást keltett - mondta. - A villogó fények valósággal hipnotizálták őket.") Megvilágította a Lorenz-attraktort és a csöpögő vízcsapot. Elmagyarázta a geometriát - hogyan nyúlnak és hajtogatódnak össze a formák, és mit jelent mindez az információelmélet nagy fogalmaival kifejezve. Ráadásként a végén szólt még néhány szót a paradigmaváltásokról. >>>folytatás198 ket. Crutchfield, May munkája által indíttatva, sok időt töltött 1978-ban bifurkációs ábrák készítésével, amelyek miatt kizárták a s zámítókö zpont rajzgépének használatából. Túl sok rajztollat tett tönkre a pontok ezreinek felv itelével.

Az előadás sikeres és győzelmes lett; a hallgatóság soraiban ott ült a Santa Cruz-i kar számos oktatója is. Ők ez alkalommal. láthatták először a káoszt kollégáik szemszögéből.

1979-ben az egész csoport elment a New York-i Tudományos Akadémia második káoszkonferenciájára, ekkor már valamennyien mint résztvevők, és ez alkalommal szinte robbanásszerűen tágult a kör. Az 1977-es konferencia Lorenz konferenciája volt, és csak alig néhány tucat szakember volt jelen rajta. Ez a konferencia Feigenbaum konferenciája lett, és százával érkeztek rá a kutatók. Ahol két éve Rob Shaw még szégyenlősen írógépet igyekezett keríteni, hogy mindenki ajtaja elé tehessen egy-egy példányt a cikkéből, ott most lényegében nyomdává változott át a Dinamikai Rendszerek Csoport, és - közös név alatt egymás után írták a cikkeket. A csoport azonban már nem sokáig maradhatott együtt. Minél közelebb került a tudomány igazi világához, annál közelebb jutott a felbomláshoz. Egy napon Bernardo Huberman telefonált. Rob Shaw-val akart beszélni, de történetesen Crutchfieldet kapta telefonvégre. Hubermannak szerzőtársra volt szüksége egy káoszról szóló tömör, egyszerű cikkhez. Crutchfieldet, a csoport legfiatalabbját bántotta, hogy benne csupán a csoport programozóját látják, és kezdte felismerni, hogy egy szempontból a Santa Cruz-i karnak végig igaza volt: egy szép nap a csoport minden egyes tagjának egyénileg is meg kell méretnie. Azonkívül Hubermanban megvolt mindaz a fizikusi kifinomultság, ami az egyetemi hallgatókból még hiányzott, és azt is tudta, hogyan lehet a legtöbbet kihozni egy-egy munkából. Crutchfieldnek a csoport laboratóriumán végignézve megvoltak a maga kétségei: „Tudod, minden nagyon bizonytalan volt; heverők és babzsákok; mintha egy időgépbe léptél volna, virággyerekek és újra az 1960-as évek." Szüksége volt azonban egy analóg számítógépre, és órákon belül sikerült is elindítania a maga kutatási programját. Ámbár a csoport miatt támadtak bizonyos nehézségei. „Az összes srác benne akar lenni" - mondta Crutchfield együttműködésük egy pontján, de Huberman határozottan nemet mondott. „Nemcsak a hírnévről van szó: a felelősségről. Tegyük fel, hogy a cikk rossz - lejáratnál vele egy egész csoportot? Én nem vagyok része egy csoportnak." Egyetlen társat akart, egy tiszta munkára. Az lett az eredmény, amit Huberman kezdettől remélt: ez volt az első leközölt káoszcikk a jelentős fizikai eredményekről beszámoló vezető amerikai folyóiratban, a Physical Review Lettersben.1 Tudománypolitikai fogalmak szerint ez több volt holmi közönséges sikernél. „Számunkra elég nyilvánvaló dolog volt - mondta Crutchfield -, de Bernardo jól látta, hogy óriási hatása lesz." Ez egyben kezdete is volt a csoport beolvadásának a valódi világba. Farmer dühös volt: Crutchfield hűtlenségében a csoportszellem aláásását látta. De nemcsak Crutchfield távolodott a csoporttól. Nemsokára maga Farmer és Packard is együttműködött megállapodott fizikusokkal és matematikusokkal: Hubermannal, Swinneyvel, Yorke-kal. A Santa Cruz-i üstben kiforralt ötletek támpontokká váltak a dinamikai rendszerek modern vizsgálatában. Ha valaki meg akarta vizsgálni egy adatsor dimenzióját vagy entrópiáját, legfőképpen azokhoz a meghatározásokhoz és munkamódszerekhez volt érdemes fordulnia, amelyek a Systron-Donner analóg számítógép vezetékeinek ide-oda dugdosása és az oszcilloszkópbámulás éveiben alakultak ki. Az éghajlatkutatók arról vitatkoztak, vajon a Föld légkörének és óceánjainak káosza végtelen dimenziós-e, ahogy a hagyományos dinamikai szakértők feltételezték, vagy valamiképpen egy kisdimenziójú külö1 Bernardo A. Huberman and James P. Crutchfield: Chaotic States of Anharmonic Systems in Periodic Fields. Physical Review Letters 43 (1979), p. 1743.

nös attraktort követ.1 A tőzsdét tanulmányozó közgazdászok 3,7 vagy 5,3 dimenziójú attraktorokat igyekeztek találni. Minél kisebb ugyanis a dimenzió, annál egyszerűbb a rendszer. Sok matematikai sajátosságot kellett különválogatni és megérteni. Fraktáldimenzió, Haussdorff-dimenzió, Ljapunov-szám, információ dimenzió - ezeknek a kaotikus rendszereket jellemző mértékeknek a finomságait Farmer és Yorke világította meg a legjobban.2 Az attraktor dimenziója „a tulajdonságainak jellemzéséhez szükséges tudás első szintjét"3 jelentette. Ez a sajátosság azt mondta meg, hogy „mennyi információval adható meg ilyen vagy olyan pontossági határon belül - az attraktor valamely pontjának a helyzete". A Santa Cruz-i diákok és idősebb munkatársaik módszerei összekapcsolták ezeket a fogalmakat a rendszerek más fontos mértékeivel: a jósolhatóság romlásának sebességével, az információáramlás sebességével, a keveredési hajlammal. Időnként az ezeket a módszereket alkalmazó tudósoknak adatokat kell rajzolniuk, kis dobozokat szerkeszteniük vagy adatpontokat számlálniuk az egyes dobozokban. Mégis ezek a látszólag durva módszerek tették először érthetővé a tudomány szempontjából a kaotikus rendszereket. A tudósok, megtanulván észrevenni a különös attraktorokat a csattogó zászlókban és a zörgő sebességmérőkben, az egész kortárs fizikai irodalomban determinisztikus káoszra utaló tüneteket találtak. Megmagyarázatlan zajok, meglepő fluktuációk, szabálytalansággal keveredő szabályosság - ilyen és hasonló jelekre bukkantak a kísérletezők cikkeiben, bármiről szóltak is - a részecskegyorsítóktól kezdve a lézereken át a Josephson-átmenetekig. A káoszszakértők magukévá tették ezeket a tüneteket, tudtára adva a meg nem térteknek, hogy problémáik valójában közös problémák. „A Josephson-átmenetes oszcillátorokkal folytatott kísérletekben jó néhányszor meglepő zajnövelő jelenségek bukkantak fel mondta egy cikk már az első mondatában -, amelyek nem írhatók a termikus fluktuációk számlájára." Mire a csoport széthullott, a Santa Cruz-i karban is a káosz felé fordult néhány kutató figyelme. Más fizikusok viszont visszatekintve úgy érezték, hogy Santa Cruz elszalasztotta a lehetőséget, amellyel a nemlineáris dinamikai kutatás valamiféle országos központjává válhatott volna, mint nemsokára váltak is egyes egyetemek. Az 1980-as évek elején a csoport tagjai megszerezték a doktori fokozatot és szétszóródtak. Shaw 1980-ban fejezte be disszertációját, Farmer 1981-ben, Packard 1982ben. Crutchfieldé 1983-ban jelent meg, nem kevesebb mint tizenegy - fizikai és matematikai folyóiratokban már leközölt - cikkből tipográfiailag is zagyva módon összeállítva. Crutchfield egyébként Berkeley-ben folytatta, a Kaliforniai Egyetemen, Farmer a Los Alamos-i Elméleti Osztályon, Packard és Shaw pedig a princetoni Felsőbb Tanulmányok Intézetében. Crutchfield a video visszacsatolási hurkokat tanulmányozta, Farmer „kövér fraktálokkal" foglalkozott és az emberi immunrendszer komplex dinamikáját modellezte, Packard pedig a térbeli káoszt és a hópelyhek kialakulását kutatta. Láthatólag csak Shaw vonakodott csatlakozni a főáramlathoz. Nagyhatású öröksége mindössze két cikkben öltött testet; az egyik az volt, amellyel a párizsi utat elnyerte, a másik a csöpögő csapokról szóló, amely összegezte egész Santa Cruz-i kutatómunkáját. Nemegyszer közel állt ahhoz, hogy teljesen felhagyjon a tudományos munkával. Oszcillált, ahogyan egyik barátja mondta.

1 Ez egy folyamatos vita volt p1. a Nature c. folyóiratban. 2 J. Doyne Farmer, Edward Ott, and James A. Yorke: The Dimension of Chaotic Attractors. Physica 7D (1983), pp. 153-80. 3 U.o. p. 154.

Belső ritmusok

... a tudomány nem magyarázni próbál, alig próbál interpretálni - a tudomány főként modelleket állít fel. Modellen olyan matematikai konstrukciót értünk, amely - bizonyos szóbeli értelmezést hozzáadva - leírja a megfigyelt jelenségeket. Az ilyen matematikai konstrukciót kizárólag és pontosan az igazolja, hogy működik.

NEUMANN JÁNOS A fizika módszere Válogatott tanulmányok (Gondolat, 1977.)

Bernardo Huberman végigpillantott válogatott kísérleti és elméleti biológusokból, matematikusokból, orvosokból, pszichiáterekből álló hallgatóságán, és konstatálta, hogy kommunikációs nehézségei vannak.1 Éppen egy szokatlan előadás végén tartott, egy 1986-ban szokatlannak számító összejövetelen, az első nagy konferencián, amely a biológiai és az orvostudomány körébe vágó káoszról szólt, s a New York-i Tudományos Akadémia, az Országos Elmeegészségügyi Intézet, meg a Tengerészeti Kutatások Hivatala támogatásával jött létre. A Washington melletti Országos Egészségügyi Intézet barlangszerű Masur-előadótermében sok ismerős arcot - régi káosz-szakértőket - látott, de ugyanannyi ismeretlent is. Tapasztalt előadóként számíthatott már némi türelmetlenségre a hallgatóság részéről, hiszen a konferencia utolsó napján voltak és vészesen közelgett az ebéd ideje. Huberman, az Argentínából áttelepült fekete hajú kaliforniai, nem vesztette el érdeklődését a káosz iránt a Santa Cruz-i csapat tagjaival való együttműködése óta. A Xerox Palo Alto Kutatóközpontjának munkatársa volt. Néha azonban belekapott olyan programokba is, amelyek nem tartoztak a cég megbízásai közé, és itt a biológiai konferencián éppen egy ilyennek az ismertetését fejezte be: a skizofréniában szenvedők szabálytalan szemmozgásának modelljéről beszélt. A pszichiáterek már több nemzedék óta küszködnek a skizofrénia meghatározásával és a skizofrének osztályozásával, de ezt a betegséget csaknem olyan nehéz leírni, mint kezelni. Tüneteinek többsége a tudatban és a viselkedésben jelenik meg; 1908 óta azonban a kutatók ismerik e betegség fizikai megnyilatkozását is, amely egyébként nemcsak a skizofrénekre, hanem a rokon betegségekben szenvedőkre is jellemző. Amikor a beteg megpróbál egy lassan lengő ingát figyelni, képtelen szemmel követni ezt a sima mozgást. A szem általában roppant ügyes szerszám. Az egészséges ember szeme bármiféle tudatos gondolkodás nélkül kíséri a mozgó céltárgyat; a mozgó képek rögzülnek a retinán. A skizofrének szeme azonban ugrásszerűen mozog, hol elébe szalad a céltárgynak, hol lemarad tőle, s feleslegesen cikázik. Senki sem tudja, miért. A fiziológusok tömérdek adatot gyűjtöttek össze az évek során, s táblázatokat, ábrákat készítettek, hogy jellegzetes alakzatokat fedezhessenek fel ebben a szabálytalan mozgásban. Általában feltették, hogy a szemmozgás fluktuációi a szemizmokat irányító központi idegrendszer jeleinek fluktuációiból származnak. A zajos kimenet zajos bemenetet sejtet, és talán a skizofrének agyát érintő ilyen vagy olyan zavar mutatkozik meg a szemükben gondolták. A fizikus Huberman mást gyanított, és kidolgozott egy egyszerű modellt. A szem mechanikájának modellezésére a lehető legdurvább működési módot választotta, és felírt egy egyenletet. Abban szerepelt egy tag a lengő inga amplitúdójának figyelembevételére, és egy másik a frekvenciájára. Egy újabb tag a szem tehetetlenségét írta le, s megint egy a csillapítást vagy súrlódást. Végül voltak az egyenletben hibajavító tagok is, amelyek lehetővé tették, hogy a szem rajta maradhasson a céltárgyon. Ahogy Huberman elmagyarázta hallgatóságának, az eredményül kapott egyenletet történetesen egy mechanikai rendszer egyenleteként is fel lehetett fogni: ez a rendszer egy go1 Bernardo A. Huberman : A Model for Dysfunctions in Smooth Pursuit Eye Movement, preprint, Xero x Palo Alto Research Center, Palo Alto, Califo rnia.

lyóból és egy görbe vonalú vályúból áll, a vályú oldalt leng, miközben a golyó gördül benne. Az oldalmozgás az ingának felel meg, a vályú falai pedig a hibajavító tulajdonságnak, hiszen a falak visszatérítik a golyót a középpont felé. Huberman az ilyen egyenletek kutatásában már szokásos módon járt el: számítógépen órákon át futtatta modelljét, változtatta a különböző paramétereket és lerajzolta az eredményeket. Rendet és káoszt egyaránt talált. Bizonyos tartományokban a szem simán kísérő mozgást végez, azután, ahogy a nemlinearitás fokát növelte, a rendszer gyors perióduskettőződési sorozaton ment át és olyan rendezetlenség alakult ki benne, amely hajszálra olyan volt, mint az orvosi irodalomban ismertetett rendezetlenség. E modellben a szabálytalan viselkedés egyáltalán nem valamiféle külső jelből fakad, hanem a túl erős nemlinearitás elkerülhetetlen következménye. Az előadáson megjelent orvosok közül némelyek úgy vélték, hogy Huberman modellje kézenfekvő genetikai modellnek vehető a skizofréniára. A nemlinearitás külön genetikai jellemvonás lehet, ami - aszerint, hogy gyenge-e vagy erős - stabilizálja, vagy szétszakítja a rendszert. Egy pszichiáter összevetette ezt a felfogást a köszvény genetikájával: ennek a betegségnek a tüneteit a túl magas húgysavszint okozza. Mások, akik Hubermannál jobban ismerték a klinikai irodalmat, azt hangsúlyozták, hogy a skizofrének nincsenek egyedül: különböző típusú neurológiai betegek körében rengetegféle szemmozgással kapcsolatos rendellenességet tapasztaltak. Periodikus oszcillációk, nem periodikus oszcillációk, a dinamikai viselkedés minden fajtája megtalálható az adatok között, ha valaki gondosan visszakeresi őket és alkalmazza a káosz eszközeit. Azok mellett azonban, akik Huberman modelljében egy új kutatási irány elindítóját látták, akadtak olyanok is, akik szerint Huberman túlságosan egyszerű modellt alakított ki. Mikor az előadáson a kérdésekre került a sor, csak úgy dőlt belőlük a bosszúság és a csalódottság. „Nem látom, hogy mi vezeti Önt a modellezésben - mondta az egyik közülük. Miért keresi a nemlineáris dinamikának ezeket a különleges elemeit, ezeket a bifurkációkat meg kaotikus megoldásokat?" Huberman eltűnődött egy pillanatra. „Igen. Akkor alighanem elfelejtettem erről beszélni. A modell egyszerű. Valaki odajön hozzám és azt mondja: ezt és ezt látjuk; mit gondolok, szerintem mi történik. Én erre azt felelem: lássuk csak, mi lehetne a magyarázat. Erre azt válaszolja: nemigen lehet másra gondolni csak olyan valamire, ami igen rövid idő alatt is fluktuálhat a fejben. Erre én azt mondom: akkor nézzük, én afféle káoszos volnék, és tudom, hogy a leírható legegyszerűbb nemlineáris követési modellnek mik a sarkalatos tulajdonságai, függetlenül attól, hogy az adott probléma részleteiben milyen. Szóval, én ezt teszem, és az emberek erre azt mondják: nahát, ez roppant érdekes, sose gondoltuk, hogy ez valami belső, rendszeren belüli káosz. A modellben nincs semmilyen neurofiziológiai adat, amit egyáltalán megvédhetnék. Csupán annyit mondok: a legegyszerűbb követési módszert nyilván az jellemzi, hogy hibázva tart a nullához. Így mozgatjuk a szemünket, és a radar is így követi a repülőgépet. Ezt a modellt bármire alkalmazhatják." Az ülésteremben ezután egy másik biológus kapta kézbe a mikrofont, akiben még nagyobb csalódást keltett, hogy Huberman modellje szinte már a pálcika-emberkéhez közelít az egyszerűsítésben. Kifejtette, hogy a szemben ténylegesen egyszerre négy izomvezérlőrendszer működik. Roppant szakszerűen kezdte elmagyarázni, mit tekint realista modellezésnek, s kitért például arra, hogy Huberman modelljéből elvetendő a tömeggel kapcsolatos tag, minthogy a szem erősen túl van csillapítva. És van még egy nehézség: az ugyanis, hogy a tekintetbe veendő tömeg függ a forgás sebességétől, mert a tömeg egy része lemarad, ha a szem nagyon hirtelen gyorsul. A szem belsejében levő kocsonyás állomány kép-

telen átvenni a mozgást, ha a külső burkolat nagyon gyorsan forog." Szünet. Huberman holtpontra jutott. Végül a konferenciaszervezők egyike, a pszichiáter Arnold Mandell, aki régóta érdeklődött a káosz iránt, elvette tőle a mikrofont. „Nézzék, röviden szeretném értelmezni az eseményeket. Most láthatták, mi történik, amikor egy kis dimenziószámú globális rendszerekkel dolgozó nemlineáris dinamikus eljön előadást tartani egy biológusnak, aki matematikai eszközöket használ. Mindnyájan idegenkedünk attól a gondolattól, hogy a rendszereknek voltaképpen vannak univerzális, a legegyszerűbb reprezentációkba beépített tulajdonságaik. A kérdéskör tehát kezd részeire bomlani: »Mi a skizofrénia altípusa?«, »Négy szemmozgató rendszer létezik« és »Mit jelent a modellezés a tényleges fizikai szerkezet szempontjából?« Lényegében arról van szó, hogy mint orvosok és tudósok, miután végigtanultuk ennek mind az 50 ezer részletét, kikérjük magunknak a feltételezést, hogy a mozgásnak vannak univerzális elemei. Erre Bernardo előjön eggyel és láthatjuk, mi történik." Huberman azt válaszolta: „Ugyanez történt a fizikában öt évvel ezelőtt - a fizikusokat mostanra már sikerült meggyőzni."

Mindig ugyanaz a választás. Modelledet készítheted bonyolultabbra és valósághűbbre, vagy egyszerűbbre és könnyebben kezelhetőre. Csak a legnaivabb tudósok hiszik, hogy az a tökéletes modell, amelyik tökéletesen ábrázolja a valóságot. Egy ilyen modellnek ugyanazok a hátrányai, mint annak a térképnek, amely ugyanolyan nagy és részletes, mint maga a város: megjelenít minden parkot, utcát, épületet, fát, kátyút, lakost, sőt minden térképet is. Ha lehetséges lenne ilyen térkép, sajátosságai ellentmondanának a térképkészítés céljának: az általánosításnak és elvonatkoztatásnak. A térképészek szándékosan kiemelik, hangsúlyossá teszik a megrendelők által megjelölt tulajdonságokat. Bármi legyen is a céljuk a térképeknek és modelleknek, szükségképpen egyszerűsíteniük kell, ha utánozni akarják a világot. Ralph Abraham Santa Cruz-i matematikus szemében jó modell James E. Lovelock és Lynn Margulis „margaréta-világa". Ők ketten az úgynevezett Gaia-hipotézis kidolgozói, amely szerint az élethez szükséges feltételeket maga az élet teremtette és őrzi is meg, egy önfenntartó dinamikus visszacsatolási folyamatban. A margaréta-világ a Gaiának talán a legegyszerűbb elképzelhető változata, olyan egyszerű, hogy szinte már bárgyúnak tűnhet. „Három dolog létezik - foglalja össze Abraham a modell lényegét -, fehér margaréták, fekete margaréták és növénytelen sivatag. És három szín: fehér, fekete és vörös. Hogyan tanulhatunk ebből valamit is bolygónkra nézve? A modell megmagyarázza, hogyan történik a szabályozás. Elmagyarázza, miért megfelelő a hőmérséklet ezen a bolygón az élet számára. A margaréta-világ modellje rémes modell, de megmutatja, hogyan jött létre a Földön a biológiai homeosztázis."1 A fehér margaréták visszaverik a fényt, s ezzel hűtik a bolygót. A fekete margaréták elnyelik a fényt, csökkentik az albedót, azaz a fényvisszaverést, és ezzel melegítik a bolygót. De a fehér margaréták a meleg időt „kedvelik", azaz jobban teremnek, ha nő a hőmérséklet. A fekete margaréták éppen ellenkezőleg, hidegkedvelők. Mindezek a tulajdonságok kifejezhetők egy differenciálegyenlet-rendszerrel és a margarétavilág nyomban mozgásba hozható egy számítógépen. A kezdeti feltételek széles tartománya egyensúlyi attraktorhoz vezet - nem szükségképpen statikus egyensúlyhoz. 1

A Gaia-hipotézisbe - amely egy képzeletgazdag dinamikai elmélet arró l, hogyan szabályozzák magukat a Föld ko mplex rendszerei - megfontolt antropomorfizmusával némileg szándékosan elrontva vezet be J. E. Lovelock: Gaia: A földi élet egy új nézőpontból (Göncöl 1990).

„Ez csupán egy fogalmi modell matematikai modellje és pontosan ezt is akartuk, nem valamiféle igen hű mását a biológiai vagy szociális rendszereknek - mondta Abraham. Csak bevisszük az albedókat, veszünk valamilyen induló növényzetet, és figyeljük, mire jut az evolúció évmilliárdok alatt. És arra neveljük vele a gyerekeket, hogy jobb tagjai legyenek a bolygó igazgatóságának." A komplex dinamikai rendszer mintapéldánya éppen az emberi test, és ezért sok tudós szemében próbaköve a komplexitás bármely megközelítésének. A fizikusok által tanulmányozható objektumok között még csak hasonló sincs, amelyben ilyen hangzavarrá olvadnának össze a különböző ritmusú mozgások, a makroszkopikus skálától kezdve a mikroszkopikusig: az izmok, a folyadékok, az áramok, a rostok, a sejtek mozgása. Nincs még egy olyan fizikai rendszer, amely ennyire magán viselné a redukcionizmus gyötrő bélyegét: hiszen minden szervnek meg van a maga mikroszerkezete és külön kémiája - a fiziológus hallgatók éveket töltenek el csak a részek nevének megtanulásával. És mégis milyen érthetetlenek lehetnek ezek a részek! A legkézzelfoghatóbb esetekben például látszólag jól elhatárolható szervről van szó, mondjuk a májról. Máskor egy térben kiterjedt szilárd és folyékony hálózatról, olyanról, mint a véredényrendszer. Vagy éppen egy láthatatlan sokaságról, olyasfajta meglehetősen elvont dologról, mint „közlekedés" vagy „demokrácia", ahogyan az az immunrendszerben fennáll: nyiroksejtek sokaságáról és T4-es hírvivőkről, egy miniatürizált titkosírás-fejtő gépről, amely adatokat kódol és fejt meg a behatoló szervezetek ellenében. Az ilyen rendszereket hiábavaló lenne anatómiájuk és kémiájuk részletes ismerete nélkül tanulmányozni, ezért a szívspecialisták ismereteket szereznek a szívkamra izomszövetében folyó iontranszportról, az agykutatók megtanulják a neuron kisülésének elektromos jellegzetességeit, a szemészek pedig minden egyes szemizom nevét, helyét és rendeltetését. A káosz az 1980-as években új típusú fiziológiát hívott létre, arra a gondolatra építve, hogy a matematikai eszközök a mindenkori részletektől függetlenül is segíthetik a kutatókat a globális komplex rendszerek megértésében. A kutatók egyre inkább felismerték, hogy a test mozgások és oszcillációk színtere, és módszereket fejlesztettek ki változatos dobbanásainak figyelésére.1 Ritmusokat találtak, amelyek felfedhetetlenek voltak a holt mikroszkóp-tárgylemezeken vagy a napi vérmintákon. Tanulmányozták a káoszt a légzési zavarokban. Visszacsatolási mechanizmusokat tártak fel a fehér és vörös vérsejtek szabályozásában. A rákkutatók a sejtnövekedés ciklusának periodicitásán és szabálytalanságán elmélkedtek. A pszichiáterek többdimenziós megközelítést kerestek a depresszióellenes szerek előírására. De egyetlen szervvel kapcsolatban születtek olyan meglepő felfedezések, amelyek fellendítették ezt az új fiziológiát, s ez a szerv a szív volt, amelynek stabil vagy instabil, egészséges vagy beteg ritmusaiban oly pontosan megmutatkozott a különbség élet és halál között.

1

Kissé önkényes válogatás a fiziológiai témákból (mindegyik maga is használható hivatkozásokat ad): Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava, and Bruce J. West: Nonlinear Dynamics of the Heartbeat. Physica 17D (1985), pp. 207-14. M ichael C. Mackay and Leon Glass: Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems. Science 197 (1977), p. 287. M itchell Lewis and D. C. Rees: Fractal Surfaces of Proteins. Science 230 (1985), pp. 1163-65. Ary L. Go ldberger, et al.: Nonlinear Dynamics in Heart Failure: Imp licat ions of Long-Wavelength Cardiopulmonary Oscillations. American Heart Journal 107 (1984), pp. 612-15. Teresa Ree Chay and John Rinzel: Bursting, Beating, and Chaos in an Excitable Membrane Model. Biophysical Journal 47 (1985), pp. 357-66. Kü lönösen használható és széles körű gyűjteménye más ilyen cikkeknek a Chaos, Arun V. Ho lden, ed. (Manchester University Press, Manchester 1986). Magyarul olvashatjuk H. E. Stanley, S. V. Bu ldyrev, A. L. Goldberger, S. Havlin, S. M. Ossadnik, C.-K. Peng, M. Simmons: Fraktál tájképek bio lógiai rendszerekben. Fizikai Szemle 1994/ 2 pp. 64-73.

Még David Ruelle is elkalandozott a formalizmustól, hogy eltöprengjen a szív - mint írta, „e mindnyájunknak életbe vágóan fontos dinamikai rendszer"1 - káoszán. „A normális szív periodikus működésű, de sok olyan, nem periodikus betegsége van (például a kamrai fibrilláció is), amely állandósult állapothoz: a halálhoz vezet. Úgy tűnik, orvostudományi szempontból igen hasznos lenne számítógépen olyan realisztikus matematikai modellt vizsgálni, amely számot ad a szív különböző dinamikai tartományairól." Egyesült Államok-beli és kanadai kutatócsoportok elfogadták ezt a kihívást. A szívverések szabálytalanságait az orvostudomány már régen felfedezte, vizsgálta és csoportokba sorolta. A gyakorlott fül több tucatnyi szabálytalan ritmust ismer fel. Az elektrokardiogram tüskéi a hozzáértő szem előtt feltárják a szabálytalan ritmus forrását és súlyosságát. A kívülállónak már a tömérdek aritmia-elnevezés is adhat némi képet ezeknek a szabálytalanságoknak a sokrétűségéről: léteznek rendellenes ütések, elektromos alternansok és csavarodó pontok. Vannak nagymértékben blokkoló és kiszökő ritmusok. Van paraszisztolé (pitvari vagy kamrai, tiszta vagy modulált). Vannak (egyszerű vagy komplex) Wenckebach-periódusok. Van tachycardia (túl gyors szívverés).2 Az életben maradás szempontjából mind közül a fibrilláció a legveszedelmesebb. A ritmusoknak ez az elnevezése, akárcsak a részeké, támaszt ad az orvosoknak. Ezzel megállapíthatják, hogy pontosan melyik szívbetegségről van szó, és valamelyes képet kaphatnak a követendő kezelési módszerekről. A kutatók azonban a káosz eszközeivel felfedezték, hogy a hagyományos szívgyógyászat rossz általánosításokra jutott a szabálytalan szívverésekkel kapcsolatban, és óvatlanul felszínesen osztályozta a mélyebben fekvő, ismeretlen okokat. Ezek a kutatók felfedezték a dinamikus szívet. Szinte mindegyikük szokatlan módon kezdte ebbéli pályafutását. Leon Glass (McGill Egyetem, Montreal) azelőtt, hogy a szabálytalan szívverések problémája felé fordult volna, fizikát és kémiát tanult, közben azonban hódolt a számok és a szabálytalanság iránti érdeklődésének is. Doktori disszertációját folyadékokban lezajló atomi mozgásokról írta. A specialisták sokféle aritmiát állapítanak meg, az elektrokardiogram rövid szalagjáról - mondta. „Az orvosok ezt mintázatfelismerési kérdésnek tekintik: azokat a mintázatokat igyekeznek felismerni, amelyekkel már korábban is találkoztak a tankönyvekben és a gyakorlatban. Részleteiben nem elemzik ezeknek a ritmusoknak a dinamikáját. A dinamika sokkal gazdagabb, mint ahogy a tankönyveket olvasva gondolni lehetne." A Harvard Orvostudományi Karán Ary L. Goldberger, a bostoni Beth Israel Kórház aritmia-laboratóriumának társigazgatója úgy gondolta, hogy a szívkutatás lehetséges kiindulópont a fiziológusok, matematikusok és fizikusok együttműködésében. „Új határokig jutottunk, és azokon a határokon túl a fenomenológiának egy új osztálya terül el - vélekedett. - Ha bifurkációkat látunk, hirtelen változásokat a viselkedésben, akkor olyasmibe ütközünk, amire semmi sem utal a hagyományos lineáris modellekben. Világos, hogy a modellek új osztályára van szükségünk, és úgy tűnik, a fizika szolgál is ezzel." Goldbergernek és más tudósoknak le kellett győzniük a tudományos nyelv és az intézményi besorolás határait. Goldberger úgy tapasztalta, hogy számos fiziológus részéről komoly akadályt jelentett a matematika iránti erős ellenszenv. „1986-ban fiziológiai tárgyú könyvben aligha találtad volna meg a fraktál szót - mondta. - De azt hiszem, 1996-ban meg olyat nem fogsz 1 Ruelle: Strange Attractors. p. 48. 2 Elektro mos alternans - az egymást követő szívverések szabályszerűen váltakoznak egy erősebbet egy gyengébb követ, és így tovább. Csavarodó pontok (torsades de pointes) - a túl gyors szívverés egyik formája, amikor az elektrokardiogramon lévő hullámok mintha egy tengely körül elcsavarodnának. Blokkolás - az ingerületterjedés akadályozott a szívizo mban. Szö kés - egy másodlagos ütemszabályzó kikerü l a fő szabályozás ellenőrzése alól. Paraszisztolé - rendellenesen hosszú szünet az összehúzódás és elernyedés között. - a fordító

majd találni, amelyikben ne lenne benne." A szívverést figyelő orvos hallja, amint folyadék folyadékon, folyadék szilárdon surrog, amint szilárd kopog ugyancsak szilárdon. A vér kamráról kamrára áramlik, mert erre késztetik a mögötte összehúzódó izmok, majd nekifeszül az előtte levő falaknak. A rostos billentyűk hallható csattanással zárják el a visszaáramlás útját. Az izomösszehúzódások az elektromos tevékenység komplex háromdimenziós hullámától függenek. A szívműködés bármely kis részletének modellezése egy szuperszámítógépet is próbára tenne; a teljes, összefonódásokkal teli ciklus modellezése pedig egyszerűen lehetetlen. Az a fajta számítógépes modellezés, amely természetesnek tűnik a hidrodinamikai szakértő szemében, aki a Boeingnek tervez repülőgépszárnyakat vagy hajtóművet az Országos Légügyi és úrhajózási Hivatalnak (NASA), tökéletesen idegen egy orvostechnikus gyakorlatától. A próba-szerencse módszer jellemezte például a mesterséges fém és műanyag szívbillentyűk tervezését; ezek a billentyűk ma meghosszabbítják azok életét, akiknek elkoptak a természetes billentyűik. A műszaki tudományok krónikáiban külön hely illeti meg a természet által kialakított szívbillentyűt, ezt a három ejtőernyőszerű, kehely formájú valamiből álló, hártyás, rugalmas, áttetsző szerkezetet. A billentyűnek könnyedén össze kell csukódnia, hogy ne legyen útban: hogy beengedhesse a vért a szív pumpáló kamráiba. De hogy a vér ne áramolhasson vissza, amikor a szív előrepumpál, a billentyűnek szét kell nyílnia és zárat alkotnia a nyomással szemben, mindezt szivárgás vagy szakadás nélkül, összesen két-hárommilliárd alkalommal. Az emberi mérnököknek nem sikerült ennyire jól. Nagyjában-egészében a vízvezetékszerelőktől kölcsönözték a mesterséges billentyűket: a szokásos forma afféle „golyó kalitkában"; és ezt a szerkezetet nagy költséggel állatokon ellenőrizték. Elég nehéz volt olyan szerkezetet előállítani, amelyik állta a nyomás- és szivárgáspróbákat. Kevesen gondolták volna, mennyire meggyűlik majd a bajuk egy másik nehézséggel. A szívben a folyadékáramlási minta megváltozásakor a mesterséges billentyűk turbulens és pangó tartományokat hoznak létre. Ha pang a vér, akkor rögök keletkeznek benne, ha ezek a rögök széttöredeznek és a darabkáik eljutnak az agyba, akkor ott szélütést okoznak. Ez a rögösödés végzetes akadályként állt a mesterséges szív létrehozásának útjába. A szívbillentyű-tervezésbe csak az 1980-as évek közepén kezdhettek bevetni minden műszakilag lehetségeset, azután, hogy a New York-i Egyetem Courant Intézetében a matematikusok új számítógépes modellt alkottak a szívbillentyűkre.1 A szívverésről a számítógép kétdimenziós, mindazonáltal világosan felismerhető mozgóképeket készített. A vérrészecskéket képviselő pontok százai áramlottak keresztül a billentyűn, megnyújtották a rugalmas szívfalakat és forgó örvényeket keltettek. A matematikusok felfedezték, hogy a szív a bonyolultság újabb szintjével tetézi a szokásos folyadékáramlási problémát, mert bármely realisztikus modellnek figyelembe kell vennie maguknak a szívfalaknak a rugalmasságát. A vér nem szilárd felület felett áramlik, mint a levegő a repülőgépszárny fölött, hanem dinamikusan és nemlineáris módon megváltoztatja a szívfalat. Még szövevényesebb és sokkal rettenetesebb volt az aritmiák kérdése. A szívkamrai fibrilláció csak az Egyesült Államokban több százezer halálos áldozattal jár évről évre. Ezeknek az eseteknek nagy részében a fibrillációt sajátos, jól ismert ok kelti: az ütőerek elzáródása, amely a pumpáló izom elhalásához vezet. A kokainélvezet, az idegi feszültség, a rendesnél alacsonyabb hőmérséklet - mind-mind olyan tényező, amely valószínűbbé teszi a fibrillációt. Sokszor azonban nem is tudni, mitől lépett fel a fibrilláció. Ha az orvos fibrillációs rohamot átélt beteggel találkozik, elsősorban a károsult részt szeretné látni - vala1 David M . McQueen and Charles S. Peskin: Co mputer-Assisted Design of Pivoting Disc Prosthetic Mitral Valves. Journal of Thoracic and Cardiovascular Surgery 86 (1983), pp. 12635.

mit, ami utalhatna a kiváltó okra. A látszólag egészséges szívű betegnek tulajdonképpen nagyobb az esélye egy új rohamra. Van egy klasszikus hasonlat a fibrilláló szívre: egy zsák kukac. A szívizom szövete az összehúzódás és elernyedés, összehúzódás és elernyedés periodikus ismétlődése helyett vonaglik, elveszíti korábbi összehangoltságát, nem képes a vér pumpálására. Egy normálisan verő szívben az elektromos jel összehangolt hullámként terjed a háromdimenziós szövetszerkezetben. A jel megérkezésekor minden sejt összehúzódik. Azután minden sejt elernyed egy jellegzetes refrakter fázisra: ez idő alatt nem képes újra összehúzódni. A fibrilláló szívben a hullám szétszakad: a szív sosem húzódik össze teljesen, és nem is ernyed el igazán. A fibrillációnak érthetetlen velejárója, hogy a szív számos egyedi alkotórésze normálisan működik tovább. Sokszor a szív ütemszabályozó csomópontjai zavartalanul folytatják a szabályos elektromos jelek kiküldését. Az egyes izomsejtek megfelelően válaszolnak. Minden sejt megkapja az ingerét, összehúzódik, továbbadja az ingert és elernyed, egészen a következő ingerig. Az izomszöveten sokszor nem is lehet rongálódást észrevenni. Egyebek között ezért gondolták úgy a káosz szakértői, hogy itt új, globális megközelítésre van szükség: a fibrilláló szív részei működni látszanak, holott egészként végzetesen rosszá vált. A fibrilláció egy komplex rendszer rendezetlensége, ahogyan a szellemi rendezetlenségek - akár van kémiai gyökerük, akár nincs - szintén egy komplex rendszer rendezetlenségei. A szív magától nem keveredik ki a fibrillációból. A káosznak ez a fajtája stabil. Csak egy defibrilláló eszközből származó elektromos lökés térítheti vissza az eredeti, összehangolt állapotába - ezt a lökést a dinamikai szakértők erős perturbációnak fogják fel. A defibrillátorok általában véve hatékonyak, tervezésükhöz azonban, akárcsak a mesterséges szívbillentyűkéhez, sok próbálgatásra volt szükség. „A lökés erősségének és alakjának meghatározása szigorúan tapasztalati úton folyt - idézi fel a korábbi helyzetet Arthur T. Winfree elméleti biológus. - Egyszerűen nem volt róla semmi elmélet. Most úgy tűnik, hogyha gyökeresen áttervezzük a defibrillátorokat, többszörösére növelhetjük a hatásukat és vele a siker esélyeit is." Másféle szívritmus-rendellenességekre többféle gyógyszeres kezeléssel igyekeztek hatni, nagyrészt szintén a próba-szerencse módszer szerint, amit Winfree csak „fekete művészetnek" titulált. A szív dinamikájának alapos elméleti megértése nélkül bajos megjósolni, hogyan hat majd ez vagy az a szer. „Csodálatos munkát végeztek az utóbbi húsz évben a membránfiziológia minden részletének feltárásával, s azzal, hogy teljes részletességgel, pontosan feltérképezték a szív valamennyi részének belső komplexitását. A munkának ez a lényeges része jól halad. Amire kevesebb figyelem fordult, az a dolog másik oldala: hogy megpróbáljunk átfogó képet kapni az egész működésének módjáról."

Winfree olyan családból származott, ahonnan senki sem járt egyetemre. Azt szokta mondani, hogy szinte nem is részesült tényleges oktatásban. Apja, aki az életbiztosítási üzlet legaljáról jutott az alelnökségig, majdnem évente költöztette családját fel és le a Keleti parton, és Winfree több mint egy tucat iskolába járt a középiskola befejezése előtt. Az volt a benyomása, hogy a világ érdekes dolgai a biológiához és a matematikához kapcsolódnak, de úgy érezte, hogy ennek a két tárgynak semmiféle szokásos társítása sem tarthat számot érdeklődésre. Elhatározta tehát, hogy nem a szokásos utat követi. Választott egy ötéves mérnökfizika tanfolyamot a Cornell Egyetemen, s ott alkalmazott matematikát és teljes körű laboratóriumi módszertant tanult. A katonai-ipari komplexum felé készülődve, doktorátust szerzett biológiából, új típusú kombinációra törekedve a kísérlet és elmélet között. A

Johns Hopkins Egyetemen kezdte, de azt otthagyta, mert összekülönbözött az oktatói karral, Princetonban folytatta a tanulást és a tanárokkal való összeveszést is, elért fokozatát végül távollétében adták meg neki, amikor már a Chicagói Egyetemen tanított. Winfree a biológia világának azon ritka gondolkodói közé tartozik, akik jó geometriai érzékkel megáldva foglalkoznak fiziológiai problémákkal. A biológiai dinamika kutatását a hetvenes évek elején kezdte a biológiai órák - a huszonnégyórás ritmusok - tanulmányozásával. Ezen a területen a hagyományos természetkutatói felfogás volt az irányadó: egy adott ritmus egy adott élőlényhez tartozik, és így tovább. Winfree nézetei szerint a huszonnégyórás ritmusok megfeleltek a matematikai gondolkodási stílusnak.1 „Telve voltam nemlineáris dinamikával és rájöttem, hogy a problémát ezekkel a fogalmakkal lehet és kell végiggondolni. Senki sem tudta, milyenek a biológiai órák mechanizmusai. Két választás volt tehát: vagy várni, amíg a biokémikusok kitalálják az óramechanizmust és azután megpróbálni levezetni valamiféle viselkedést az ismert mechanizmusokból, vagy elkezdeni tanulmányozni az órák működését a komplex rendszerelmélet, valamint a nemlineáris és topológiai dinamika fogalmaival. Én ebbe fogtam bele." Volt egy laboratóriuma tele üvegkádakban tartott szúnyogokkal. Aki táborozott már valaha, az tudja, hogy a szúnyogok alkonyatkor mindig felélénkülnek. A laboratóriumban állandó hőmérsékleti és fényviszonyok között tartotta őket, kizárta a nappalok és éjszakák változásait, és így kiderült, hogy a szúnyogoknak belső ciklusuk van, amely nem huszonnégy, hanem huszonhárom órás. Minden huszonharmadik órában igen erőteljes zümmögésbe kezdtek. A szabadban a napi fényváltozás tartja meg őket a szokott kerékvágásban; lényegében ez igazítja be az órájukat. Winfree mesterséges fénnyel világította meg szúnyogjait, gondosan szabályozott adagolásban. Ez az inger vagy siettette vagy késleltette a következő ciklust, ő pedig felrajzolta a hatást a fénylökés időzítésének függvényében. Azután nem a dolog biokémiáját igyekezett kitalálni, hanem topológiailag szemlélte a problémát: azaz az adatok minőségi jellemzőit vizsgálta, s nem a mennyiségi részleteket. Meglepő következtetésre jutott: a geometriában szingularitás bukkant fel - egy olyan pont, amely különbözik az összes többitől. A szingularitást szem előtt tartva megjósolta, hogy egy különleges, jól időzített fénylökés teljesen összezavarhatja a szúnyogok biológiai óráját vagy bármely más biológiai órát. A jóslat meglepő volt, de - mint Winfree kísérletei bebizonyították - bevált. „Éjfélkor odamész egy szúnyoghoz és adsz neki bizonyos számú fotont, ez a sajátos, jól időzített lökés kikapcsolja a szúnyog óráját. Ezután álmatlanságban fog szenvedni: szendereg, egy ideig zümmög, mindezt véletlenszerűen, és addig folytatja, ameddig megfigyeled vagy ameddig ki nem rukkolsz egy másik lökéssel. Örökös fáziseltolódásra kárhoztattad." A hetvenes évek elején nem keltettek szélesebb körű érdeklődést Winfreenek ezek a huszonnégyórás ritmusokra vonatkozó matematikai meggondolásai, és akkor még nehéz lett volna a laboratóriumi technikát más, szintén hónapokon át üvegkádban tartandó fajokra kiterjeszteni. Az emberi fáziseltolódás (az átállás egyik időzóna idejéről egy másikra) és álmatlanság ott maradt a biológia által még meg nem oldott kérdések listáján. Mindkettő táptalaja volt a legsötétebb sarlatánságnak: hasznavehetetlen pirulákat és csodaszereket termett. A kutatók egyénekről halmoztak fel adatokat, rendszerint egyetemi hallgatókról, nyugdíjasokról, 1

Winfree nézeteit a geometriai időről a bio lógiai rendszerekben egy provokatív és gyönyörű könyvben fejti ki: When Ti me Breaks Down: The Three-Dimensional Dynamics of Electrochemical Waves and Cardiac Arrhythmias (Princeton University Press, Princeton 1987); egy áttekintő cikk a szív rit musra történő alkalmazásról Arthur T. Winfree: Sudden Cardiac Death: A Problem in Topology. Scientific American 248 (May 1983), p. 144.

vagy művük befejezéséhez közeledő drámaírókról, akik néhány száz dollárhoz juthattak, ha vállaltak egy hét „időelszigeteltséget": hogy ne legyen se nappal, se éjszaka, se hőmérsékletváltozás, se órák, se telefonok. Az embereknek van valamilyen alvás-ébrenlét ciklusuk és testhőmérsékleti ciklusuk is, mindkettő olyan nemlineáris oszcillátor, amely helyreáll, ha csak kevéssé zavarják meg. Elszigeteltségben, a napi beállító inger híján a hőmérsékleti ciklus nagyjából huszonöt órásnak adódik, s a testnek alvás idején legalacsonyabb a hőmérséklete. Német kutatók kísérletei azonban azt mutatták, hogy néhány hét után az alvás-ébrenlét ciklus elkülönül a hőmérsékleti ciklustól és szabálytalanná válik. Az emberek egyszer csak húsz vagy harminc órán át ébren maradnak, aztán tíz-húsz órán át alusznak. A kísérleti alanyok mit sem tudnak a napnak erről a meghosszabbodásáról, sőt nem is igen hiszik el, amikor elmondják nekik. Csak az 1980-as évek közepén kezdték a kutatók alkalmazni Winfree rendszeres megközelítését az emberekre; az első alany egy idősebb hölgy volt, aki csipkét horgolt este a bankok épülete előtti ragyogó fényben. Ciklusa határozottan megváltozott, ő maga pedig különös érzésről számolt be: mintha egy fejjel lefelé álló autót vezetett volna.1 Ami Winfreet illeti, ő átnyergelt a szívritmusokra. Magáról persze nem mondta volna, hogy „átnyergelt". Az ő szemében ez ugyanaz a téma volt: kémiailag más, de dinamikailag ugyanaz. Különös érdeklődéssel fordult azonban a szív felé, miután tehetetlen szemtanúja volt két ember hirtelen szívhalálának: az egyik a rokona volt, és nyáron, vakáció idején halt meg, a másik egy idegen az uszodában, ahol Winfree úszni szokott. Miért kell egy ritmusnak, amely egy életen át ugyanabban a kerékvágásban haladt, két milliárd vagy még több cikluson, ernyedésen és feszülésen, gyorsuláson és lassuláson túl, hirtelen ellenőrizhetetlen, végzetes rohamban kitörnie?

Winfree elmesélte egy korábbi kutató történetét, George Minesét, aki 1914-ben huszonnyolc éves volt. A montreali McGill Egyetem laboratóriumában olyan eszközt készített, amely pontosan szabályozva kis villamos impulzusokat adott a szívnek. „Amikor úgy határozott, hogy most már emberekkel kellene folytatni, a legkönnyebben elérhető kísérleti alanyt választotta: önmagát - írta Winfree. - Úgy este hat óra felé egy portás lépett be a laboratóriumba, mivel furcsállta a nagy csendet. Minest ott találta fekve a laboratóriumi munkaasztal alatt, egy felborult elektromos berendezés mellett. Törött szerkezet volt a mellkasához erősítve a szíve fölött, és a közelben egy készülék még mindig rögzítette bizonytalan szívdobogását. Mines azután meghalt anélkül, hogy visszanyerte volna öntudatát."2 Gyanítható, hogy egy kicsiny, de jól időzített lökés fibrillációba taszíthatja a szívet, és Mines is alighanem erre gondolhatott még nem sokkal halála előtt. Más lökések siettethetik vagy késleltethetik a következő ütést, akárcsak a huszonnégyórás ritmusokban. A szívek és a biológiai órák között azonban egyebek mellett az a különbség - és erről még egy leegyszerűsített modellnek is számot kell adnia -, hogy a szívnek térbeli kiterjedése van. A kezünkbe vehetjük, három dimenzióban nyomon követhetjük rajta az elektromos hullámot. Ehhez azonban nem kis leleményesség kell. Raymond E. Ideker (Duke Egyetem Orvosi Központja) 1983-ban olvasta Winfree egyik cikkét a Scientific Americanben, és felfigyelt négy speciális, a nemlineáris dinamikára és a topológiára alapozott előrejelzésre a fibrillá1

Charles A. Czeisler, et al.: Bright Light Resets the Human Circadian Pacemaker Independent of the Timing of the Sleep-Wake Cycle. Science 233 (1986), pp. 667-70. Steven Strogatz: A Co mparative Analysis of Models of the Human Sleep-Wake Cycle, preprint, Harvard University, Cambridge, Massachusetts. 2 Sudden Card iac Death.

ció keltéséről és megszüntetéséről. Ideker nem igazán hitt bennük. Túl spekulatívnak tűntek, és - egy szívgyógyász szempontjából - valahogyan elvontnak is. Három éven belül mind a négyet kipróbálták és igazolták; ez idő tájt Ideker egy előrehaladott programot vezetett, azzal a szándékkal, hogy minél több adatot gyűjtsön a szívműködés dinamikai szemléletének céljaira. Ahogy Winfree mondta, ez „a ciklotron szívgyógyászati megfelelője" volt.

KÉMIAI KÁ OSZ. Koncentrikus körökben kifelé terjedő hullámok és spirálisok jelezték a káoszt egy széleskörűen tanulmányozott kémiai folyamatban, a Belouszov-Zsabotyinszkij reakcióban. Hasonló mintázatokat figyeltek meg amőbamillió kat tartalmazó tálcákon. Arthur Winfree elmélete szerint ezek a hullámo k hasonlóak a szívizmokon szabályosan vagy szabálytalanul keresztülhaladó elektro mos tevékenységhez.

A hagyományos elektrokardiogram csak durván, egydimenziósan rögzíti az adatokat. A szívműtét alatt az orvos ide-oda teheti a szíven az elektrokardiográf elektródját, akár ötven vagy hatvan helyről is mintát vehet tíz perc alatt, és így egyfajta összetett képet alkothat. A

fibrilláció felléptekor ez a módszer egyszerűen hasznavehetetlen. A szív túl gyorsan változik és remeg ilyenkor. Ideker technikája, amely nem kis részben az egyidejű számítógépes feldolgozáson alapult, egy 128 elektródból álló hálót alkalmazott, s azt rá lehetett húzni a szívre - szinte mint a zoknit a lábra. Az elektródok érzékelték, hogy mekkora a feszültségmező, amint az egyes hullámok végigfutottak az izmon, és ebből a számítógép szívtérképet készített. Ideker közvetlen szándéka egyrészt az volt, hogy ellenőrizze Winfree elméleti gondolatait, másrészt - és nem kevésbé - pedig az, hogy tökéletesítse a fibrilláció megállítására használt elektromos eszközöket. A mentőorvosok a defibrillátorok szokásos változatait használták, s szükség esetén erős egyenáramú lökést adtak velük a beteg mellkasán át. A szívgyógyászok kísérletileg kifejlesztettek egy kis beültethető eszközt, amelyet aztán bevarrtak azoknak a betegeknek a mellüregébe, akikről úgy vélték, hogy erősen hajlamosak lehetnek a fibrillációra, bár nem volt tisztázva, hogy kiket is fenyegetne ilyesfajta veszély. A beültethető defibrillátor - méretre kicsit nagyobb, mint egy szívritmus-szabályozó - figyeli az állandó szívverést, s ha kell, villamos lökést ad a szívnek. Ideker elkezdte összeszedni azokat a fizikai alapokat, amelyek ismeretében drága kitalálós játékból végre tudományossá válhat a defibrillátorok tervezése. Miért kellene a káosz törvényeit a szívre alkalmazni, erre a sajátos szövetű szervre, a kálcium-, kálium- és nátriumionokat szállító, összekapcsolódott és elágazó rostokból álló sejtjeire? Ezen a kérdésen tépelődtek a tudósok a McGill Egyetemen és a Massachusettsi Műegyetemen (MIT). A McGillen Leon Glass valamint kollégái, Michael Guevara és Alvin Schrier végezték a nemlineáris dinamika rövid történetének legvitatottabb kutatását. Hétnapos csirkeembriók szívsejtjeinek kicsiny csoportjával kísérleteztek. Ezek a tizedmilliméter átmérőjű sejtgolyók, ha tálcára tették és összerázták őket, maguktól elkezdtek verni, nagyságrendben másodpercenkénti egy ütés sebességgel, minden külső ritmusszabályozó nélkül. A lüktetés világosan kivehető volt a mikroszkópban. Következő lépésként külső ritmust kényszerítettek rájuk, az egyik sejtbe vezetett vékony - a végén egészen pontszerűvé kihúzott - üvegcsövön, mint mikroelektródán keresztül. A cső elektromos feszültséget vitt a sejtre, s így tetszés szerint szabályozható erősséggel és ritmussal ingerelte az egész csoportot. 1981-ben a Science című folyóiratban a következőképpen összegezték felfedezéseiket: „Az eddig csak matematikai tanulmányokban és fizikai kísérletekben látható különleges viselkedés általánosan fellelhető a periodikusan megzavart biológiai oszcillátorokban."1 Látták a perióduskettőződést: olyan szívverési mintázatokat, amelyek az inger változtatásával újra és újra bifurkáción estek át. Poincaré-térképeket és körtérképeket készítettek. Tanulmányozták az intermittenciát és a módusztartást. „Sok különböző ritmus jöhet létre egy inger és egy kis darab csirkeszív között - mondta Glass. - Nemlineáris matematikára támaszkodva egészen jól megérthetjük a különböző ritmusokat és azok szabályszerűségeit. Ma még a szívgyógyászi gyakorlatban szinte alig van matematika, de ahogyan mi ezekre a kérdésekre tekintünk, annak a szemléletnek egy bizonyos idő múlva általánossá kell majd válnia." Közben egy közös Harvard Egyetem-MIT orvostudományi és -technikai programban a szívgyógyász és fizikus Richard J. Cohen perióduskettőződési sorozatok tartományára ta1

Michael R. Guevara, Leon Glass, and Alvin Schrier: Phase Locking, Period-Doubling Bifurcations, and Irregular Dynamics in Periodically Stimu lated Cardiac Cells. Science 214 (1981), p. 1350.

lált kutyákon végzett kísérletekben. Számítógépes modellre támaszkodva ellenőrzött egy kézenfekvőnek tűnő eseménysorozatot: azt, hogy az elektromos tevékenység hullámfrontja megtörik a szövet szigetein. „A Feigenbaum-jelenség nyilvánvaló esete - mondta -, egy szabályos jelenség, amely bizonyos körülmények között kaotikussá válik, és kiderül, hogy a szívbeli elektromos tevékenység sok mindenben párhuzamos más, kaotikusan is viselkedő rendszerekkel." A kutatók a McGillen szintén visszanyúltak a különböző abnormális szívverés-fajtákról felhalmozott régi adatokhoz. Az egyik jól ismert tünetegyüttesben az abnormális, rendkívüli ütések keverednek a normális, szinuszos ütésekkel. Glass és kollégái megvizsgálták a mintázatokat, s megszámlálták a szinuszos ütéseket a rendkívüli ütések között. Volt, akinek a szívverésében változtak ezek a számok, de ha változtak is, valamiért mindig páratlanok maradtak: 3, 5 vagy 7. Mások szívverésében a normális ütések mindig a 2, 5, 8, 11, ... sorozat elemeiből álltak. „Az emberek megfigyelték ezeket a misztikus számokat, de magát a mechanizmust egyáltalán nem könnyű megérteni - mondta Glass. - Gyakran van némi szabályosság ezekben a számokban, de sűrűn fordul elő nagy szabálytalanság is. Ebben az ügyben az egyik jelszó: rend a káoszban." A fibrillációról két nézet alakult ki. Az egyik, immár klasszikus gondolat szerint a szívizomban levő abnormális központokból jönnek a másodlagos ütemszabályozó jelek, s összeütközésbe kerülnek a fő jellel. Ezek a rosszul működő kis központok kellemetlen időközökben küldenek ki hullámokat, és a kutatók úgy gondolták, hogy a kölcsönhatás, az átfedés szétforgácsolja a koordinált összehúzódás-hullámot. A McGill tudósai által végzett kutatás valamelyest igazolta is ezt a gondolatot, mert megmutatta, hogy a szívszövetben dinamikai viselkedési hibák egész tartománya keletkezhet a külső lüktetés és a belső ritmus kölcsönhatásából. De hogy miért fejlődnek ki másodlagos ütemszabályozó központok, azt továbbra is bajos volt megmagyarázni. A másik, szintén hagyományosnak mondható felfogás nem az elektromos hullámok gerjesztését vette célba, hanem azt, ahogyan földrajzilag terjednek a szívben; a Harvard-MIT kutatói ennek a hagyománynak a közelében maradtak. Arra jutottak, hogy a hullám rendellenességei - forgás szűk körökben - „újra-belépéssel" járhatnak: vagyis azzal, hogy egyes területek túl hamar kezdenek el egy újabb ütést, megakadályozva a szívet abban, hogy megfelelő időtartamú, nyugodt szünetet tartson, ami szükséges az összehangolt pumpálás fenntartásához. A nemlineáris dinamika módszereit bevetve, mindkét kutatócsoport hasznosította azt a felismerést, mely szerint egy csekélyke változás az egyik paraméterben - valamilyen időzítésbeli változás vagy az elektromos vezetőképesség apró módosulása - egy bifurkációs ponton keresztül, minőségileg új viselkedés felé tolhat el egy egyébként egészséges rendszert. Kezdtek közös elvi alapokat találni a szívproblémák globális tanulmányozásához is: korábban függetlennek tekintett rendezetlenségeket kapcsoltak össze. Winfree pedig úgy gondolta, hogy az irányultságok közötti eltérések ellenére a „rendkívüli ütés" iskolának is, és az „újra-belépés" iskolának is igaza van. Topológiai szemlélete azt sugallta, hogy a két gondolat esetleg ugyanaz. „A dinamikai dolgok általában nem szemléletesek, és ez alól a szív sem kivétel" mondta Winfree. A szívgyógyászok remélték, hogy a kutatás elvezet a fibrillációra hajlamosak azonosításához, a defibrilláló eszközök tervezésének és a gyógyszerek előírásának tudományos módjához. Winfree pedig abban bízott, hogy az ilyen problémák globális, matematikai szemlélete megtermékenyít majd egy - az Egyesült Államokban alig létező - tudományágat: az elméleti biológiát.

Manapság némely fiziológus dinamikai betegségekről beszél: rendszerzavarokról, az összehangolás vagy a szabályozás elromlásáról. „Normális esetben oszcilláló rendszerek oszcillációja leáll, vagy új és váratlan módon folytatódik, más rendszerek pedig, amelyek normális esetben nem oszcillálnak, oszcillálni kezdenek"1 - szólt az egyik megfogalmazás. Ezek a tünetek felölelik a légzési zavarokat is: a lihegést, a sóhajtást, a Cheyne-Stokes légzést és a csecsemőkori légzésszünetet - a hirtelen csecsemőhalál előidézőjét. Vannak vérrel kapcsolatos dinamikai betegségek; ilyen például a fehérvérűség egyik fajtája, amelyben megváltozik a fehér és vörös vérsejtek, a vérlemezkék és nyiroksejtek egyensúlya. Néhány tudós azt gondolja, hogy maga a skizofrénia is ebbe a kategóriába tartozik, bizonyos fajta depressziókkal együtt.

KAOTIKUS HARM ÓNIÁK. A különböző rit musok - mint a rád iófrekvenciák vagy a bolygópályák - kölcsönhatása létrehozza a káosz térbeli változatát. Lent és a szemben lévő oldalon olyan „attraktorok" számítógépes rajza látható, amelyeket háro m rit mus összekeveréséből kaptak. 1 Leon Glass and Michael C. Mackay: Pathological Conditions Resulting from Instabilities in Physiological Control Systems. Annals of the New York Academy of Sciences 316 (1979), p. 214.

A fiziológusok azonban elkezdték egészségesnek is tekinteni a káoszt. Azt már régen értették, hogy a visszacsatolási folyamatokban a nemlinearitás a szabályozást és ellenőrzést szolgálja. Egyszerűen kifejezve, ha a lineáris folyamatot gyengéden oldalba lökjük, akkor hajlamos egy kicsit letérni az útról. A nemlineáris folyamatok viszont ugyanilyen oldalba lökés után hajlamosak visszatérni a kiindulási pontra. Christian Huygens tizenhetedik századi holland fizikus, akinek nagy szerepe volt az ingaóra feltalálásában és a klasszikus dinamika tudományának létrehozásában, véletlenül rábukkant e szabályozási forma egy jelentős példájára, legalábbis így szól a fáma. Huygens egy nap észrevette, hogy egy seregnyi, falra akasztott ingaóra éppen tökéletes összhangban leng. Tudta, hogy az órák nem le-

hetnek ilyen pontosak. Az akkor elérhető matematikai eszközökkel nem lehetett megmagyarázni, hogyan terjedhet ez a rend egyik ingáról a másikra. Huygens - helyesen - feltette, hogy az órákat a fa közvetítette rezgések hangolták össze. Ezt a jelenséget, amelyben egy szabályos ciklus bezáródik egy másikba, manapság sodródásnak vagy móduszbezárásnak nevezik. A móduszbezárás magyarázza meg, miért fordítja a Hold a Föld felé mindig ugyanazt a felét, vagy általánosabban, miért hajlamosak a holdak a keringési idejükkel egész számú - 1 az 1-hez, 2 az 1-hez vagy 3 a 2-höz - arányban álló forgási idővel forogni. Amikor az arány közel esik egy egész számhoz, akkor azt a hold árapály-vonzásának nemlinearitása hajlamos bezárni. A móduszbezárás lépten-nyomon felbukkan az elektronikában: ezért állhat rá a rádióvevő egy bizonyos adó jelére, még akkor is, ha kisebb fluktuációk vannak az adás frekvenciájában. A móduszbezárás ad magyarázatot az oszcillátorcsoportok - egyebek között a biológai oszcillátorok, például a szívsejtek és idegsejtek - együttes, szinkronizált működésére. Látványos természeti példája ennek az egyik délkelet-ázsiai szentjánosbogár-fajta, amelynek az egyedei párzási időszakokban ezrével lepik el a fákat, és fantasztikus színharmóniában hunyorognak. Minden ilyen szabályozási jelenségben döntő jelentőségű a stabilitás: mennyire áll ellent a rendszer a kis lökéseknek. A biológiai rendszerekben éppígy sarkalatos a rugalmasság is: mennyire képes a rendszer egy egész frekvenciatartományban működni. Az egyetlen móduszba való bezáródás rabszolgaságba döntheti a rendszert: hiszen az képtelen lesz alkalmazkodni a változásokhoz. A szervezeteknek gyorsan és megjósolhatatlanul változó körülményekre kell választ találniuk; a szívverést vagy a légzés ritmusát nem lehet bezárni a legegyszerűbb fizikai modellek szigorú periodicitásaiba, és ugyanez igaz a test többi részének kényesebb ritmusaira. Egyes kutatók, köztük Ary Goldberger (Harvardi Orvosi Kar) azt feltételezik, hogy az egészséges dinamikát a fraktális fizikai szerkezetek jellemzik, olyanok, mint a légcsövek elágazó hálózata a tüdőben és a vezető rostok a szívben, amelyek a ritmusok széles skálája előtt nyitnak teret. Robert Shaw érvein gondolkodva Goldberger megjegyezte: „A skálázott, széles spektrumokkal járó fraktálfolyamatok »információban gazdagok«. A periodikus állapotokhoz viszont keskeny sávú spektrum tartozik; ezeket a folyamatokat egyhangú, ismétlődő sorozatok határozzák meg, híján minden információnak."1 Ahogy ő és más fiziológusok felvetették, az ilyen betegségek kezelése a rendszer spektrális tartományának szélesítésén, a sokféle, különböző frekvenciájú rezgésre való hajlandóság fokozásán állhat vagy bukhat, mert ez a készség megakadályozza, hogy a rendszer bezárt periodikus csatornába ragadjon bele. Arnold Mandell San Diegó-i pszichiáter és dinamikakutató, aki Bernardo Huberman védelmére kelt a skizofrén szemmozgások ügyében, még tovább ment a tekintetben, hogy milyen szerep juthat a káosznak a fiziológiában. „Lehetséges, hogy a matematikai kór, tehát a káosz, maga az egészség? És hogy a matematikai egészség, vagyis ennek a fajta szerkezetnek a megjósolhatósága és megkülönböztethetősége, voltaképpen a betegség?" Mandell már 1977-ben a káosz felé fordult, amikor az agy bizonyos enzimjeiben „sajátos viselkedésre" bukkant, olyan természetűre, amelyet csak a nemlineáris matematika új módszereivel lehetett megmagyarázni. Ezen felbátorodva a fehérjemolekulák oszcilláló, háromdimenziós gombolyagjait is ezzel a módszerrel tanulmányozta. A biológusoknak statikus szerkezetek rajzolása helyett - fejtegette - fázisátalakulásokra képes dinamikai rendszerként kellene felfogniuk az ilyen molekulákat. Saját megítélése szerint ő fanatikus, és fő érdeklődési területe a mind közül legkaotikusabb szerv maradt. „Ha a biológiában egyensúlyba kerülsz, akkor halott vagy - mondta. - Ha megkérdezem, vajon az agyad egy egyen1 Ary L. Go ldberger, Valmik Bhargava, Bruce J. West, and Arnold J. Mandell: Some Observations on the Question: Is Ventricular Fibrillation „Chaos", preprint.

súlyi rendszer-e, csak arra kell hogy kérjelek, ne gondolj néhány percig elefántokra; s rögtön rá fogsz jönni, hogy az agy bizony nem egyensúlyi rendszer."

KAOTIKUS ÁRAMLÁSOK. A viszkózus folyadékban végighúzott rúd egyszerű, hullámos formát idéz elő. Ha többször húzzuk végig, akkor bonyolultabb formák keletkeznek.

Mandell úgy gondolta, hogy a káosz adta felfedezések változtatást tesznek szükségessé a lelki betegségek kezelésének klinikai felfogásában. Tárgyilagosan megítélve, a „pszichofarmakológia" modern üzletét - hogy gyógyszereket használunk mindennek a kezelésére a szorongástól és az álmatlanságtól kezdve egészen a skizofréniáig - csak kudarcnak láthatjuk. Ezzel a módszerrel csupán néhány beteget gyógyítottak meg, ha egyáltalán meggyógyítottak valakit. A lelki betegségek leghevesebb megnyilvánulásai kordában tarthatók, de hogy hosszú távon mekkora lesz ennek az ára, azt senki sem tudja. Mandell a legáltaláno-

sabban használt szerek józan megítélését ajánlotta kollégái figyelmébe.1 A skizofrénekkel szedetett fenotiazinok csak tovább rontották az alapbetegséget. A triciklusos depresszióellenes szerek „gyakoribbá teszik a kedélyállapot-változásokat, és így hosszú távon felszaporítják a pszichopatológiai eseményeket." És így tovább. Csak a lítiumnak van tényleges orvosi sikere, mondta Mandell, és annak is csak bizonyos betegségek esetén.

Úgy látta, hogy fogalmi jellegű nehézségekről van sző. Ennek a „legtöbbször instabil, 1

Arnold J. Mandell: Fro m Molecular Bio logical Simplification to More Realistic Central Nervous System Dynamics: An Opinion, in Psychiatry: Psychobiological Foundations of Clinical Psychiatry 3:2, J. O. Cavenar, et al, eds. (Lippincott, New York 1985).

dinamikus, végtelendimenziós gépnek" a hagyományos kezelési módszerei lineárisak és redukcionisták voltak. „Az alapul szolgáló paradigma mit sem változik: egy gén → egy peptid → egy enzim → egy ingerületátvivő anyag (neurotranszmitter) → egy receptor → egy állati viselkedés → egy klinikai tünetegyüttes → egy gyógyszer → egy klinikai osztályozási skála. Ez jutott érvényre szinte minden pszichofarmakológiai kutatásban és kezelési módban. Több mint 50 ingerületátvivő anyag, ezernyi sejttípus, komplex elektromágneses fenomenológia, és az önálló viselkedésen alapuló állandó instabilitás minden szinten, a fehérjéktől az elektroenkefalogramig - és ennek ellenére, még az agyat is kémiai pontok közötti kapcsolótáblának gondolják." Aki előtt feltárult a nemlineáris dinamika világa, az csak azt gondolhatja: Micsoda naivitás. Mandell az áramlási geometriák megértésére ösztökélte kollégáit, mert azok tartják fenn a tudathoz hasonló komplex rendszereket. Sok más tudós is alkalmazni kezdte a káosz formalizmusát a mesterséges intelligencia kutatásában. A vonzási medencék között vándorló rendszerek dinamikája például magára vonta azok figyelmét, akik a szimbólumok és emlékek modellezésére kerestek módszert. Egy fizikus, ha úgy gondolkodik az eszmékről, mint elmosódott határral rendelkező területekről, amelyek elkülönülnek, de mégis fedésben vannak, mágnesként vonzanak, de mégis elengednek, akkor képes természetes módon fordulni a „vonzási medencék"-kel rendelkező fázistér képe felé. Az ilyen modelleknek, úgy tűnt, megvannak a szükséges tulajdonságaik: stabilitási és instabilitási pontok váltakoztak bennük, s mozgékony határok választották el őket egymástól.1 Fraktálszerkezetük felkínálta a végtelen önhivatkozás tulajdonságát, amely oly központinak látszik a tudat gondolatokat alkotó képessége, a döntések, az érzelmek és az összes többi tudati termék szempontjából. Káosszal ide vagy oda, kognitív tudománynyal foglalkozó komoly tudósok többé nem modellezhették a tudatot statikus szerkezetként. Felismerték a neurontól felfelé a mérettartományok hierarchiáját, amely lehetőséget biztosít a mikrotartomány és a makrotartomány - a folyadékturbulenciára és más komplex dinamikai folyamatokra annyira jellemző - kölcsönhatására. A mintázat formátlanság közepette születik - ez a biológia alapvető szépsége és alapvető rejtélye. Az élet kiszívja a rendet a rendezetlenség tengeréből. Erwin Schrödinger, a kvantumelmélet úttörője és azon fizikusok egyike, akik nem specialistaként törtek be a biológiai gondolkodásba, ezt a következőképpen fejezte ki negyven évvel ezelőtt: „Az élő szervezet bámulatos adománya, hogy képes a »rendezettség áramlását« önmagára koncentrálni, s így megmenekülni az atomi káoszba való hanyatlástól."2 Schrödingernek mint fizikusnak világos volt, hogy az élő anyag szerkezete különbözik attól a fajtától, amelyet kollégái tanulmányoztak. Az élet építőköve - akkor még nem hívták DNS-nek - aperiodikus kristály. „A fizikában mindeddig csak periodikus kristályokat tanulmányoztunk. Az egyszerű fizikus elméje számára ezek nagyon érdekes és bonyolult tárgyak. A kristály az egyik legizgalmasabb és legösszetettebb anyagi struktúra, amely töprengésre készteti a fizikust. Az aperiodikus kristályokhoz képest azonban a periodikus kristályok igen egyszerűek és érdektelenek."3 Akkora volt köztük a különbség, mint a tapéta és a gobelin között: egyazon mintázat szabályos ismétlődése és a műalkotás gazdag, összefüggő változatossága között. A fizikusok csak a tapétát tanulták meg megérteni. Nem csoda, hogy csak kevéssel sikerült hozzájárulniuk a biológia előrehaladásához. Schrödinger nézetei eltértek a megszokottól. Hogy az élet rendezett és komplex is egy1

Bernardo A. Huberman and Tad Hogg: Phase Transitions in Artificial Intelligence Systems, preprint, Xero x Palo Alto Research Center, Palo Alto, California, 1986. Továbbá Tad Hogg and Bernardo A. Huberman: Understanding Biological Co mputation: Reliable Learning and Recognition. Proceedings of the National Academy of Sciences 81 (1984), pp. 6871-75. 2 Erwin Schrödinger: Mi az élet? in: Válogatott tanulmányok (Gondolat 1970) p. 202. 3 U.o. P. 119.

szerre, az elcsépelt közhely volt, de sajátos tulajdonságainak forrásaként az aperiodicitást megjelölni: ez már a misztikum határát súrolta. Schrödinger idejében sem a matematika, sem a fizika nem adott tényleges támaszt ehhez a gondolathoz. Nem voltak eszközök a szabálytalanságnak mint az élet építőkövének elemzésére. Ma azonban már léteznek ilyen eszközök.

Káosz és ami túlmegy a káoszon

„A káosz alkotóelemeinek osztályozása, nem kevesebbre történik itt kísérlet."

HETMAN MELVILLE Moby Dick

Két évtizeddel ezelőtt Edward Lorenz a légkörről, Michel Hénon a csillagokról, Robert May a természet egyensúlyáról gondolkodott. Benoit Mandelbrot ismeretlen matematikus volt az IBM-nél, Mitchell Feigenbaum hallgató a New York-i Városi Főiskolán, Doyne Farmer gyerek Új-Mexikóban. A gyakorló tudósok többsége közös hiedelmeket táplált a komplexitást illetően. Ezek olyan erősen hatottak a gondolkodásukra, hogy nem is kellett szavakba önteniük. Csak később nyílt lehetőség arra, hogy kimondják és firtatni kezdjék őket. Az egyszerű rendszerek egyszerűen viselkednek. Példa rá valamilyen mechanikai szerkezet - mondjuk egy inga -, egy kis elektromos áramkör, egy tó idealizált halpopulációja; mindaddig, ameddig ezekre a rendszerekre ráhúzható volt néhány tökéletesen megértett, tökéletesen determinisztikus törvény, stabil és megjósolható volt a hosszú távú viselkedésük. A komplex viselkedés komplex okokra utal. Egy mechanikai eszközt, egy elektromos áramkört, egy állati populációt, egy folyadék áramlását, egy biológiai szervet, egy részecskesugarat, egy légköri vihart, egy nemzetgazdaságot - azaz olyan rendszert, amely láthatóan instabil, megjósolhatatlan viselkedésű vagy zabolázhatatlan, vagy több egymástól független összetevőnek kell vezérelnie, vagy véletlenszerű külső hatásoknak. A különböző rendszerek különbözően viselkednek. A neurobiológus, aki egész életét az idegsejt kémiájának tanulmányozására szánja, s mindeközben mit sem tanult az emlékezetről vagy az érzékelésről, a repülőgéptervező, aki szélcsatornát használt aerodinamikai problémák megoldására, de a legkevésbé sem ártotta bele magát a turbulencia matematikájába, a közgazdász, aki a vásárlási döntések pszichológiáját elemezte, de semmit sem látott előre a hosszú idő alatt kibontakozó tendenciákból - tudván, hogy tudományáguk összetevői különböznek egymástól, mind természetesnek vette, hogy a komplex rendszereknek, amelyek milliárdnyi ilyesfajta összetevőből állnak, szintén el kell térniük egymástól. Mára minden megváltozott. A közben eltelt húsz évben a fizikusok, matematikusok, biológusok és csillagászok felállítottak egy másfajta gondolatsort. Az egyszerű rendszerek komplex viselkedésűvé válhatnak; a komplex rendszerek meg viselkedhetnek egyszerűen. És ami a legfontosabb: a komplexitás törvényei egyetemes érvényűek, és egyáltalán nem függnek a rendszert alkotó atomok sajátosságaitól. A gyakorló tudósok tömegére - részecskefizikusokra, neurológusokra, sőt matematikusokra - mindez nem hatott azonnal. Ki-ki kutatott tovább a maga tudományágában. De felfigyeltek erre a káosznak nevezett valamire. Tudták, hogy néhány komplex jelenségre sikerült magyarázatot találni, s hogy más jelenségekről egyszerre kiderült: új magyarázatot kívánnak. A laboratóriumban kémiai reakciókat tanulmányozó, vagy hároméves, terepen folytatott kísérletben rovarpopulációkat nyomon követő, vagy az óceán hőmérsékletváltozásait modellező tudós már nem tehetett úgy, mint korábban, ha váratlan fluktuációkkal vagy oszcillációkkal került szembe: azaz nem hanyagolhatta el őket többé. Néhányuknak ez bizony nehézségeket okozott. Másrészt viszont, gyakorlatiasan felfogva a dolgot, azt is tudták, hogy erre a csak valamelyest matematikai jellegű tudományra pénzt lehet szerezni a szövetségi kormánytól vagy a vállalati kutatási alapokból. Egyre többük ismerte fel, hogy a káosz új utat kínál a régi, túl szabálytalannak bizonyult, s ezért az íróasztalfiókok-

ban rekedt adatok feldolgozására. Mind többen érezték gátnak a tudomány ágazatokra bomlását, s látták az egésztől elszakított részek tanulmányozásának hiábavalóságát. Az ő szemükben a káosz a tudomány redukcionista programjának végét jelentette. Értetlenség, ellenállás, ingerültség, elfogadás. A káoszt kezdettől fogva előremozdítók láthatták mind a négy stációt. Joseph Ford a Georgiai Műszaki Egyetemről emlékezett előadására, amelyet az 1970-es években tartott egy termodinamikai csoportnak: ezen megemlítette, hogy a Duffing-egyenlet - a súrlódásnak kitett egyszerű oszcillátor tankönyvekből is jól ismert modellje - kaotikus viselkedésnek nyit teret. A Duffing-egyenletnek ez a sajátossága Ford szemében már csupán jól ismert, érdekes tény volt, hiszen több év is eltelt azóta, hogy a Physical Review Letterben erről szó esett, mégis olyan hatást keltett vele, mintha egy őslénykutatói tanácskozáson azt mondta volna, hogy a dinoszauruszoknak toll nőtt a hátukon. A hallgatóság tagjai jobban tudták. „Nahát, amikor ezt kiejtettem a számon! Atyaúristen - teljesen felbolydult mindenki. Ilyesmiket vágtak a fejemhez: »A papám Duffing-egyenlettel játszott, sőt már a nagypapám is Duffing-egyenlettel játszott, és senki az égvilágon nem látott semmi olyasmit, amiről itt beszél.« Tényleg ellenállásba ütközik az ember, ha azt mondja, hogy a természet bonyolult. Képtelen voltam megérteni ezt az ellenségességet." Kint lenyugodott a téli nap, és Ford atlantai dolgozószobájában kényelmesen ülve szódát kortyolt egy hatalmas bögréből, amelyre ragyogó színekkel a KÁOSZ szó volt felfestve. Fiatalabb kollégája, Ronald Fox mesélt egy beszélgetéséről, amely nem sokkal azután történt, hogy vett a fiának egy Apple II számítógépet; az idő tájt egy magára valamit is adó fizikus nem használt ilyesmit a munkájához. Fox hallotta, hogy Mitchell Feigenbaum egyetemes törvényeket fedezett fel a visszacsatolt függvények viselkedésében, elhatározta tehát, hogy ír egy rövid programot, amely láthatóvá tehetné ezt a viselkedést az Apple képernyőjén. Látta is rajta az egészet - a villás bifurkációkat, a kettőbe, majd négybe, azután nyolcba széttöredező stabil vonalakat, magának a káosznak a megjelenését, és a bámulatos geometriai szabályosságot a káoszon belül. „Néhány nap alatt újra meg lehetett csinálni az egész Feigenbaum-dolgot" - mondta. Ezzel a számítástechnikára támaszkodó egyéni tanulási módszerrel meggyőzte önmagát és másokat arról, amit csak írott érvek alapján esetleg kétkedéssel fogadtak volna. Néhány tudós egy ideig eljátszott az efféle programokkal, de azután felhagytak velük. Másokon talán nem segítettek, magukon azonban igen. Fox azok közé tartozott, akik nem feledkeztek meg többé a szokásos lineáris tudomány korlátairól. Tudta, hogy a nehéz nemlineáris problémákat valahogyan mindig félreteszi. A gyakorlatban a fizikusok mindig feladják, mondván, hogy Ez olyan probléma, amelyhez elő kellene szednem a speciális függvények kézikönyvét, márpedig semmit sem szeretek kevésbé, mint az ilyesmit, abban meg halálbiztos vagyok, hogy nem fogom az egészet gépre vinni és azon megcsinálni, mert ahhoz meg túl finnyás vagyok. „A nemlinearitásról kialakult általános kép sokak figyelmét felkeltette; először csak lassan, de azután egyre gyorsabban - mondta Fox. - Mindenkinek eredményt hozott, aki hozzányúlt. Előveheted bármelyik korábbi problémádat, mindegy, hogy milyen tudományágból. Volt egy hely, ahol abbahagytad a vizsgálódást, mert ott nemlineárissá vált. Most viszont már tudod, hogyan kell vizsgálnod, és visszatérsz hozzá." Ford mondta: „Ha egy terület növekedésnek indul, annak az az oka, hogy sokan gondolják azt: ott valami kínálkozik nekik - nagy lehet a jutalom, ha módosítják kutatásukat. A káosz nekem olyan, mint egy álom. Azt a lehetőséget kínálja, hogy ha ráállsz és játszod ezt a játékot, rábukkanhatsz az ércforrásra."

Mégsem tudnak a kutatók egyetérteni még abban sem, hogy mit jelent maga a szó.1 Philip Holmes, egy fehér szakállú matematikus és költő az Oxfordi Egyetemről, most éppen a Cornell Egyetemen: Bizonyos (rendszerint kisdimenziós) dinamikai rendszerek bonyolult, aperiodikus, vonzó pályái. Hao Bai-Lin kínai fizikus sok történeti értékű káosz-cikket gyűjtött össze egy kötetben: Egyfajta rend periodicitás nélkül. Egy gyorsan szélesedő kutatási terület, amelyhez matematikusok, fizikusok, hidrodinamikusok, ökológusok és sok más terület képviselői mindmind fontos munkákkal járultak hozzá. A természeti jelenségek egy újonnan felfedezett és mindenütt jelenlevő osztálya. H. Bruce Stewart alkalmazott matematikus a Long Island-i Brookhaven Országos Kutatóintézetből: Látszólag véletlenszerű visszatérő viselkedés egy egyszerű determinisztikus (óraműszerű) rendszerben. Roderick V. Jensen, a Yale Egyetem elméleti fizikusa, aki felfedezte a kvantumkáosz lehetőségét: A determinisztikus, nemlineáris dinamikai rendszerek szabálytalan, megjósolhatatlan viselkedése. James Crutchfield a Santa Cruz-i csoportból: Dinamika pozitív, de véges, metrikus entrópiával. A matematikából lefordítva: nem teljesen megjósolhatatlan információtermelő (a kis bizonytalanságokat felerősítő) viselkedés. Végül Ford, a káosz önjelölt evangélistája: A rend és megjósolhatóság bilincseitől végre megszabadult Dinamika.... Minden dinamikai lehetőségük véletlenszerű felderítésére kész, felszabadult rendszerek.... A választás izgalmas változatossága, gazdagsága, a lehetőségek bőségszaruja. John Hubbard, aki az iterált függvényeket és a Mandelbrot-halmaz végtelen fraktális zabolátlanságát kutatja, a káoszt nem tartotta helyénvaló kifejezésnek a maga munkájára, mert az véletlenszerűséget sugall. Ő azt vélte mindennél fontosabbnak, hogy a természetben egyszerű folyamatok véletlenszerűség nélkül hozhatnak létre komplexitást. A nemlinearitásban és a visszacsatolásban benne van minden szükséges eszköz az emberi agy gazdagságával felérő struktúrák kódolására, majd feltárására. Más tudósoknak, például Arthur Winfreenek úgy tűnt, hogy a káosz túl keveset mondó elnevezés a biológiai rendszerek globális topológiájának felderítésére. Ez a név egyszerű rendszerekre utalt, a Feigenbaumféle egydimenziós leképezésekre és Ruelle két- vagy három- (meg tört-) dimenziós különös attraktoraira. A kisdimenzós káosz Winfree benyomásai szerint csupán speciális eset. Őt a sokdimenziós komplexitás törvényei érdekelték, és meg volt győződve róla, hogy léteznek is ilyen törvények. A világegyetem túl nagy része látszott kívül esni a kisdimenziós káosz hatókörén. A Nature című folyóirat vitát közölt arról, hogy vajon különös attraktort követ-e a Föld időjárása. A közgazdászok felismerhető különös attraktort kerestek a tőzsdei trendekben, de eddig nem találták meg. A dinamikusok azt remélték, hogy a káoszt eszközként használhatják a teljesen kifejlett turbulencia magyarázatára. Albert Libchaber (most a Chicagói Egyetemen) a turbulencia szolgálatába állította elegáns kísérleti stílusát, és ezerszer akkora folyékony héliumos dobozt készített, mint 1977-es piciny cellája volt. Hogy az ilyen kísérletekben, amelyek térben és időben is felszabadítják a folyadék rendezetlenségét, találnak-e majd a kísérletezők egyszerű attraktorokat, azt senki sem tudta. Ahogy a fizikus Bernardo Huberman mondta: „Ha beleteszel egy turbulens folyóba egy szondát és azt mondod: »Nézd, itt egy kisdimenziós különös attraktor« akkor mindnyájan kalaplevéve 1

Holmes) SIAM Review 28 (1986), p. 107; (Hao) Chaos (World Scentific, Singapore 1984), p. i; (Stewart) The Geo metry of Chaos, in The Unity of Science, Brookhaven Lecture Series, No. 209 (1984), p. 1; (Jenen) Classical Chaos. American Scientist (April 1987); (Crutchfield ) magánközlés; (Ford) Book Reviews. International Journal of Theoretical Physics 25 (1986), No. 1.

fogjuk azt bámulni." A káosz volt az a gondolategyüttes, amely meggyőzte mindezeket a tudósokat, hogy mindannyian egy közös vállalkozás részesei. Fizikusok, biológusok vagy matematikusok mind hittek abban, hogy egyszerű, determinisztikus rendszerek komplexitást hozhatnak létre, hogy a hagyományos matematikának már túl komplex rendszerek is egyszerű törvényeknek engedelmeskedhetnek, és hogy akármi legyen is kinek-kinek a szűkebb területe, magának a komplexitásnak a megértése a feladatuk.

„Nézzük megint a termodinamika törvényeit - írta James E. Lovelock, a Gaia-hipotézis szerzője. - Elsőre csakugyan úgy festenek, mint a felirat Dante poklának kapuján..."1 Elsőre... A második főtétel kellemetlen tudományos hír, amely mélyen beleépült a tudományon kívüli kultúrába. Minden a rendezetlenség felé tart. Minden folyamat, amely egyik formából a másikba alakít át energiát, valamennyit hő formájában el kell hogy veszítsen belőle. A tökéletes átalakítás lehetetlen. A világegyetem egyirányú utca. Az entrópiának mindig növekednie kell a világegyetemben, és azon beül is minden feltételezett zárt rendszerben. Akárhogyan fogalmazódik is meg, a második főtétel olyan szabály, amely ellen nincs apelláta. A termodinamikában ez kétségtelenül helyt is áll. A második főtételnek azonban megvolt a maga élete a tudománytól távol eső szellemi birodalmakban: összefüggésbe hozták a társadalmak szétesésével, gazdasági romlásával, a szokások felbomlásával, és a hanyatlás számos más jelével. A második főtételnek ezek a másodlagos, metaforikus megtestesülései most különösen félrevezetőnek tűnnek. Világunkban virágzik a komplexitás, és azokat, akik a tudományhoz fordulnak a természet viselkedésének átfogó megértéséért, jobban szolgálják a káosz törvényei. Végül is, bárhogy süllyed a világegyetem a maga végső egyensúlya, a maximális entrópia tulajdonságok nélküli hőtartálya felé, mégis létrehoz érdekes struktúrákat. A termodinamika működésével foglalkozó, elmélkedésre hajlamos fizikusok felismerik, mennyire zavaró az a kérdés, amelyet egyikük így fogalmazott meg: „hogyan moshatja bele egy céltalan energiaáramlás a világba az életet és a tudatot".2 A baj itt az entrópia kényes fogalma körül van: az termodinamikai célokra megfelelően van definiálva a hő és hőmérséklet révén, viszont pokolian nehéz a rendezetlenség mértékeként megragadni. A fizikusoknak már az is jókora gondot okoz, hogy megmérjék a rend fokát a vízben, amely a jéggé váláskor állandó energiavesztés közepette alkot kristályszerkezetet. Akkor pedig már csúfosan megbukik ez a termodinamikai entrópia, ha az aminosavak, a mikroorganizmusok, az önreprodukáló növények és állatok, az agyhoz hasonló komplex információs rendszerek keletkezésére próbálnánk alkalmazni, mint mértéket a forma és a formátlanság közötti arány eltolódására. A rend e kifejlődő szigeteire bizonyosan érvényes a második főtétel, ám a fontos törvények, a teremtő törvények máshol keresendők. A természet mintázatokat hoz létre. Némelyikük térben rendezett, időben rendezetlen, mások fordítva: időben rendezettek, térben azonban nem. Némely mintázat fraktálszerkezetű: ezek különböző mérettartományokban is egymáshoz hasonló struktúrájúak. Mások1 Gaia. p. 166. 2 P. W. Atkins: The Second Law (W. H. Freeman, New York 1984), p. 179. Ez a kitűnő új könyv egyike a második főtételről szóló néhány beszámo lónak, mely feltárja a disszipáció teremtő erejét a kaotikus rendszerekben. Egy másik nagyon személyes filo zófiai vélemény a termodinamika és a dinamikai rendszerek viszonyáról: Ilya Prigogine: Order Out of Chaos: Man's New Dialogue With Nature (Bantam, New Yo rk 1984).

ban állandó vagy oszcilláló állapotok lépnek fel. A struktúrálódás a fizika és az anyagtudomány egyik ágává vált, s modellezhetővé tette a részecskék csomókba gyűlését, az elektromos kisülések ide-oda szökellését, és a jég- vagy a fémötvözet-kristályok növekedését. A dinamika annyira alapvetőnek látszik, hiszen térben és időben változó formákról van szó, mégis csak most állnak rendelkezésre eszközök a megértésükhöz. Ma már nem tisztességtelen dolog azt kérdezni egy fizikustól, hogy „miért különböző minden hópehely?"

ELÁ GAZÁSOK ÉS FELHA LMOZÓDÁSOK. A fraktálmatematika által bátorított mintázatkialaku lási vizsgálatok olyan természeti mintázatokat hoztak össze, mint az elektro mos kisülés villámszerű nyomvonalai és a véletlenszerűen mozgó részecskék szimulált felhalmo zódása (a kisebb képen).

A turbulens levegőben jégkristályok alakulnak ki, s nevezetesen keveredik bennük a szimmetria és a véletlen: a hatszögű határozatlanság teszi őket különlegesen széppé. Ahogy a víz megfagy, a kristályokból csúcsok nyúlnak ki; ezek a csúcsok egyre nőnek, határuk instabillá válik, és oldalt új csúcsok bukkannak elő. A hópelyhek meglepő bonyolultságú matematikai törvényeknek engedelmeskednek, és lehetetlen volt pontosan megjósolni, milyen gyorsan fog valamely csúcs nőni, milyen keskeny lesz, vagy hányszor fog elágazni. Tudósok nemzedékei rajzolták le és csoportosították a különböző mintázatokat: lemezeket és oszlopokat, kristályokat és polikristályokat, tűket és dendriteket. Értekezéseik jobb értelmezés híján osztályozási kérdésként tárgyalták a kristályok kialakulását. Az ilyen csúcsok, dendritek növekedése ma az erősen nemlineáris, instabil szabad határ problémájaként ismeretes, ami azt jelenti, hogy a modellnek egy komplex, izgő-mozgó határt kell követnie, amint az dinamikusan változik.1 Amikor a víz kívülről befelé szilárdul meg, ahogyan egy jégkockatartóban, akkor a határ általában stabil és sima marad, sebességét a falak hőelvezető képessége határozza meg. De ha a kristály egy kezdeti magtól indulva, kifelé szilárdul meg - mint a hópehely is, amely magával ragadja a vízmolekulákat, ahogyan lehull a párát tartalmazó levegőben -, akkor a folyamat instabillá válik. Ha a határnak valamely kis darabja elébe vág a szomszédainak, akkor előnyösebb helyzetből tehet szert újabb vízmolekulákra, ezért sokkal gyorsabban nő - ez a „villámhárító-hatás". Új elágazások jönnek létre, majd azok is elágaznak. Nem volt könnyű dönteni abban a kérdésben, hogy melyik fontos a számos fizikai hatás közül, és melyiket lehet nyugodt lélekkel elhanyagolni. A legfontosabb - s ezt a tudósok már régtől fogva tudták - a víz fagyásakor felszabaduló hő szétterjedése. A hődiffúzió fizikája azonban nem ad mindenben magyarázatot a laboratóriumban növesztett vagy a kutatók által mikroszkóp alatt vizsgált hópelyheken megfigyelt mintázatokra. Mostanában a tudósok kidolgoztak egy módszert egy másik tényező: a felületi feszültség figyelembevételére. Az új hópehely-modell középpontjában a káosz lényege áll: a stabilitás és instabilitás erőinek kényes egyensúlya, az atomi és a mindennapi mérettartományok erőteljes kölcsönhatása. Ahol a hődiffúzió instabilitást keltene, ott a felületi feszültség stabilitást teremt. A felületi feszültség előnyösebbé teszi a sima, a szappanbuborék falához hasonló határokat, a durva felületek kialakítása viszont energiát emészt. Ezeknek a tendenciáknak a kiegyensúlyozódása a kristály méretétől függ. A diffúzió ugyanis főleg nagyléptékű, makroszkopikus folyamat, a felületi feszültség viszont a mikroszkopikus mérettartományokban a legerősebb. Mivel a felületi feszültség hatásai nagyon kicsik, a kutatók korábban mindig elhanyagolhatónak tekintették őket. Pedig nem ez a helyzet. A legkisebb mérettartományok ugyanis döntőnek bizonyultak, s azokban a felületi hatások roppant érzékenyek a megszilárduló anyag molekuláris szerkezetére. A jég esetében a természetes molekuláris szimmetria eleve előnyt kínál hat növekedési iránynak. A tudósok, meglepetésükre, arra a belátásra jutottak, hogy a stabilitás és instabilitás elegye felfokozza ezt a mikroszkopikus előnyt, és ennek tulajdonítható a hópelyheket jellemző, fraktálokhoz közel álló csipkés szerkezet. Az idevágó matematika azonban nem a légkörkutatóktól eredt, hanem az elméleti fizikusoktól és nemkülönben a fémkutatóktól, akik szintén érdekelve voltak ez ügyben. A fémekben 1

A dinamikus hópelyhekről szóló jelenlegi irodalo m igen terjedelmes. A leghasználhatóbb írások a következők: James S. Langer: Instabilities and Pattern Formation. Reviews of Modern Physics (52) 1980, pp. 1-28; Johann Nittmann and H. Eugene Stanley: Tip Splitting without Interfacial Tension and Dendritic Growth Patterns Arising from Molecular Anisotropy. Nature 321 (1986), pp. 663-68; David A. Kessler and Herbert Levine: Pattern Selection in Fingered Growth Phenomena. megjelenés alatt az Advances in Physicsben.

más a molekuláris szimmetria, és így mások az ötvözet szilárdságát meghatározó jellegzetes kristályok is. A matematika mindazonáltal ugyanaz: a mintázatok keletkezésének törvényei egyetemes érvényűek.

A STABILITÁS ÉS INSTA BILITÁS EGYENSÚLYA. Ahogy a folyadék kristályosodik, növekvő csúcsot alkot (ezt egy többszörösen exponált fényképen mutatjuk be) olyan határral, amely instabillá válik és oldalágakat bocsát ki (fent). A kényes termodinamikai folyamatok számítógépes szimu lációja az igazi hópelyheket utánozza (következő képen).

A kezdeti feltételek iránti érzékenység nem a rombolás kezére játszik, hanem a teremtésére. Ahogyan a növekvő hópehely esik a föld felé - és rendszerint legalább egy órát, ha nem többet tölt el a levegőben táncolva -, az elágazó csúcsokat minden pillanatban érzékenyen befolyásolják választásukban az olyan környezeti változók, mint a hőmérséklet, a páratartalom vagy a légkör esetleges szennyezettsége. Az apró hópehely hat csúcsa ugyanabba az egymilliméteres térrészbe esik, vagyis ugyanazt a hőmérsékletet érzékeli; s mert a

növekedés törvényei tisztán determinisztikusak, a csúcsok megtartják közel tökéletes szimmetriájukat. A turbulens levegő azonban olyan természetű, hogy minden hópehely más úton jut a földre. A végső forma rögzíti az általa tapasztalt változó időjárás egész történetét, ezért a lehetséges változatok száma végtelen. A hópelyhek nem egyensúlyi jelenségek, hangoztatják a fizikusok. Annak a termékei, hogy a természet egyik darabjáról a másikra átáramló energia nincs egyensúlyban. Az áramlás csúccsá változtatja a határt, a csúcsot ágak sorává, e sort pedig korábban sohasem látott komplex struktúrává. Miután a tudósok felfedezték ezt a káosz egyetemes törvényeinek alávetett instabilitást, sikerrel alkalmazták ugyenezt a módszert egy sereg fizikai és kémiai problémára, s nyilvánvalóan azt várták, hogy most már a biológia jön. A dendritnövekedés számítógépes szimulációit nézve, tudatuk mélyén ott látták az algákat, a sejtfalakat, a sarjadzó és osztódó organizmusokat. Úgy tűnik a mikroszkopikus részecskéktől a mindennapi komplexitásig sokféle út vezet. A matematikai fizikában Feigenbaumnak és társainak bifurkációs elmélete továbbfejlődik az Egyesült Államokban és Európában is. Az elméleti fizika elvont tartományában a tudósok más, új témákkal próbálkoznak, például a kvantumkáosz megoldatlan kérdésével: Bebocsátja-e a kvantummechanika a klasszikus mechanika kaotikus jelenségeit? A mozgó folyadékok kutatásában Libchaber megépíti óriási folyékony héliumos dobozát, mindeközben Pierre Hohenberg és Günter Ahlers a konvekció furcsa alakú haladóhullámait tanulmányozza.1 A csillagászatban a káosz-szakértők váratlan gravitációs instabilitásokra támaszkodnak a meteoritok eredetének - a jóval a Marson túli aszteroidák szinte érthetetlen kihajítódásának - magyarázatában.2 A tudósok a dinamikai rendszerek fizikáját használják a milliárdnyi összetevőjű - tanulásra, emlékezésre és mintázatok felismerésére képes - emberi immunrendszernek a tanulmányozására. Egyszersmind az evolúciót is bonckés alá veszik, abban a reményben, hogy egyetemes alkalmazkodási mechanizmusokra fognak találni. Akik ilyen modelleket készítenek, hamarosan olyan struktúrákkal találkoznak, amelyek ismétlik magukat, versengenek, és a természetes kiválasztódás révén fejlődnek.3 „Az evolúció: káosz, visszacsatolással"4 - mondta Joseph Ford. Igen, a világegyetem véletlenszerűség és disszipáció. A véletlenszerűség azonban irányítással meglepő komplexitáshoz vezet. És ahogyan Lorenz már jó ideje felfedezte, a disszipáció a rend ügynöke. „Isten kockázik a világegyetemmel - ezt a választ adja Ford Einstein híres kérdésére - de a kocka hamis. A fizika fő feladata az, hogy kitalálja, milyen szabályokat követ ez a hamisság és hogyan használhatnánk fel a magunk céljaira."

Az ilyen gondolatok segítenek előrevinni a tudomány közös vállalkozását. Még sincs filo1 Érdekes példa a mintázatkialakulás tanulmányozásának erre á módjára: P. C. Hohenberg and M. C. Cross: An Introduction to Pattern Formation in Nonequilibriu m Systems, preprint, AT&T Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey. 2 Jack Wisdom: Meteorites May Follow a Chaotic Route to Earth. Nature 315 (1985), pp. 731-33, és Chaotic Behavior and the Origin of the 3/1 Kirkwood Gap. Icarus 56 (1983), pp. 51-74. 3 Ahogy Farmer és Packard megfogalmazta: „A z alkalmazkodó viselkedés egy kialaku ló tulajdonság, amely magától jelenik meg az egyszerű alkotórészek kölcsönhatása révén. Ezek az alkotórészek lehetnek neuronok, aminosavak, hangyák vagy bitsorok, az alkalmazkodás csak akkor történhet meg, ha az egész ko llektív viselkedése minőségileg különbözik az egyes részek összességének viselkedésétől. Ez pontosan a nemlineáris definíciója." Evolution, Games, and Learning : Models for Adaptation in Machines and Nature, bevezetés a Center for Nonlinear Studies, Los Alamos National Laboratory, May 1985. konferenciájának kö zleményeibe. 4 What Is Chaos? p. 14.

zófia, sem bizonyítás, sem kísérlet, amely uralma alá hajthatná az egyes kutatót, akinek a tudomány mindig és legfőképpen munkalehetőséggel kell hogy szolgáljon. Egy-egy kutatóhelyen elbizonytalanodtak a hagyományos módszerek. Az elfogadott tudomány utat téveszt, ahogy Kuhn megfogalmazta: egy berendezés nem a várt módon viselkedik, „a szakmabeliek már nem hagyhatják figyelmen kívül az anomáliákat."1 Egyetlen tudóson sem győzedelmeskedtek a káosz gondolatai, amíg a káosz-módszer szükségszerűséggé nem vált. Minden területnek megvannak erre a maga példái. Az ökológiában például William M. Schaffer, aki utolsó tanítványa volt az ötvenes és hatvanas években Robert MacArthurnak, a tudományág doyenjének. MacArthur olyan természetfelfogást dolgozott ki, amely szilárd alapokat adott a természeti egyensúly fogalmának. Az ő modelljei szerint léteznie kell egyensúlyoknak, a növényi és állati populációknak pedig közel kell hozzájuk maradni. MacArthur felfogásában a természeti egyensúly már szinte erkölcsi minőséggé magasztosult: modelljeiben az egyensúlyi állapotokból következett az élelemforrások leghatékonyabb felhasználása, a legkisebb pazarlás. A természet rendesen viselkedik, ha magára hagyjuk. Két évtizeddel később a MacArthur-tanítványnak rá kellett döbbennie, hogy az egyensúly fogalmára alapozott ökológia alighanem csődöt mondott. A hagyományos modelleknek a linearitáshoz való ragaszkodásuk miatt befellegzett. A természet bonyolultabb. Schaffer inkább a káosz felé fordul, amely „üdítő is, de kicsit vészjósló is".2 A káosz alááshatja az ökológia legidőtállóbb feltevéseit, mondja kollégáinak. „Ami az ökológia alapvető fogalmait illeti, azok olyanok, mint a homály a vihar - ez esetben egy ízig-vérig nemlineáris vihar - tombolása előtt."3 Schaffer különös attraktorokat használ a gyermekkori betegségek - például a kanyaró és a bárányhimlő - járványtanának feltárására.4 Adatokat gyűjtött, először New Yorkból és Baltimore-ból, azután a skóciai Aberdeenből, valamint egész Angliából és Walesből. Készített egy dinamikai modellt, amely egy kényszerek lengette csillapított ingára hasonlított. A betegségeket minden évben a fertőzés terjeszti az iskolába visszatérő gyerekek között, a természetes ellenállás pedig csillapítja a terjedésüket. Schaffer modellje meglepő módon azt jósolja, hogy ezek a betegségek egymástól eltérően viselkednek. A bárányhimlőnek periodikusan kellene változnia, a kanyarónak pedig kaotikusan. Az adatok tökéletes pontossággal azt mutatják, amit Schaffer jósol. A hagyományos képzésű járványtani szakértőnek a kanyaró évi változásai érthetetlennek - véletlenszerűnek és zajosnak - tetszettek. Schaffer, a fázistér-rekonstrukció módszerével megmutatja, hogy a kanyaró egy különös attraktort követ, körülbelül 2,5-es fraktáldimenzióval. Schaffer Ljapunov-számokat számított ki és Poincaré-térképeket készített. „Ami a lényeget illeti - mondta Schaffer -, ha ránézel a képekre, szinte lerí róluk, és azt mondod: »Istenem, ez ugyanaz a dolog.«" Bár a különös attraktor kaotikus, mégsem teszi lehetetlenné az előrejelzést, mivel a modell determinisztikus természetű. Az erősen kanyarójárványos évet a járvány visszaszorulása követi; ha valamely évben csak közepes volt a járvány, akkor a következő évben sem fog túlságosan változni a helyzet. A gyenge járvány utáni évről lehet a legkevesebbet tudni. Schaffer modellje előre jelezte, hogyan változik majd a 1 A tudományos forradalmak szerkezete. p. 23. 2 William M. Schaffer: Chaos in Eco logical Systems: The Coals That Newcastle Forgot. Trends in Ecological Systems 1 (1986), p. 63. 3 William M . Schaffer and Mark Kot: Do Strange Attractors Govern Ecological Systems? BioScience 35 (1985), p. 349. 4 Pl.: W illiam M. Schaffer and Mark Kot: Nearly One Dimensional Dynamics in an Epidemic. Journal of Theoretical Biology 112 (1985), pp. 403-27.

járvány dinamikája, ha tömeges oltásokkal igyekeznek gátat szabni neki; s ezeket a következményeket a szokásos járványtan képtelen volt megjósolni. Közösségi és egyéni léptékben más-más módon és okokból haladt előbbre a káosz gondolatköre. Schaffer életében, és sok más kutatóéban is hirtelen. jött az átmenet a hagyományos tudományból a káoszba. Ő tökéletes célpontja volt Robert May 1975-ös evangéliumi kérelmének; el is olvasta May cikkét, de aztán eldobta. Úgy gondolta, a matematikai ötletek képtelenségek a gyakorló ökológus által tanulmányozott rendszerek szempontjából. Furcsa talán, de túl sokat tudott az ökológiáról, hogysem elfogadhassa May véleményét. Ezek egydimenziós leképezések, gondolta, mi közük lehetne a folyamatosan változó rendszerekhez? Egy kollégája ezért azt mondta neki: „Olvasd Lorenzet." S ő felírta a cikk adatait egy cédulára, de sosem nézett utána. Évekkel később Schaffer az arizonai Tucson melletti sivatagban élt, a nyarakat a kissé északabbra fekvő Santa Catalina hegységben töltötte, a bozótszigetekben, ahol még akkor is elviselhető volt a forróság, amikor a sivatag talaja már sütött.1 Júniusban és júliusban már a tavaszi virágzás után, de még a nyári esők előtt - Schaffer és doktoranduszai különböző fajtájú méheket és virágokat követtek a sűrű bozótban. Ezt az ökológiai rendszert könnyű volt mérni, ha változott is egyik évről a másikra. Schaffer minden száron megszámolta a méheket, pipettával mérte a kiszívott virágport, és matematikailag elemezte az adatokat. A poszméhek versenyben álltak a mézelő méhekkel, a mézelő méhek meg a vadméhekkel, Schaffer pedig meggyőző modellt készített a populáció ingadozásainak magyarázatára. 1980-ra már látta, hogy valami baj van. A modell összeomlott. Történetesen egy olyan faj volt benne a kulcsszereplő, amelyet észre sem vett: a hangyák. Néhány kollégája a szokatlan téli időjárásra gyanakodott, mások a szintén szokatlan nyári időjárásra. Schaffer azt fontolgatta, hogy újabb változók felvételével bonyolítja a modellt, de nagy csalódás érte. A doktoranduszok között ugyanis híre ment, hogy kemény dolog volt Schafferrel a nyár, ott 1500 méter magasan. És ekkor minden megváltozott. Ráakadt egy preprintre, amely egy bonyolult laboratóriumi kísérletben megnyilatkozó kémiai káoszról szólt, és úgy érezte, hogy a szerzők éppen az ő nehézségeivel kerültek szembe: egy edényben több tucat fluktuáló reakciót figyelemmel kísérni éppoly képtelen dolog, mint több tucatnyi fajt az arizonai hegyekben. S lám, nekik mégis sikerült, ami neki nem. Olvasott a fázistér-rekonstrukcióról. Végül elolvasta Lorenzet, Yorke-ot és másokat. Az Arizonai Egyetem támogatásával előadássorozat indult „Rend a káoszban" címmel. Harry Swinney jött el, és ő tudta, hogyan kell beszélni a kísérletekről. A kémiai káoszt magyarázva, egy különös attraktort mutatott az írásvetítő fóliáján. Amikor megjegyezte, hogy „ezek valódi adatok", Schaffernek borsódzni kezdett a háta. „Hirtelen belém nyilallt, hogy ez a végzetem" - mondta Schaffer. Kutatóéve következett. Visszavonta az Országos Tudományos Alaphoz (NSF) benyújtott pályázatát és Guggenheim-ösztöndíjért folyamodott. Tudta, hogy fenn a hegyekben a hangyák változnak az évszakokkal. Méhek lebegnek és repülnek erőteljes zümmögéssel. Felhők úsznak keresztül az égen. Többé nem tudott a régi módon dolgozni.

1 William M. Schaffer: A Personal Hejeira, publikálat lan.

Köszönetnyilvánítás Ez a könyv körülbelül kétszáz tudós nyilvános előadásokban, szakcikkekben és leginkább az 1984 áprilisa és 1986 decembere között készített interjúkban megfogalmazott gondolataiból merít. A tudósok egy része káosz-szakember volt, más része nem. Többen hónapokon keresztül, soksok órán át álltak rendelkezésemre, olyan bepillantást engedve a tudomány történetébe és gyakorlatába, amit nem lehet eléggé értékelni. Néhányan ideadták meg nem jelent írásbeli visszaemlékezéseiket is. Van néhány a káoszról szóló használható másodlagos forrás, így a laikus - további olvasnivalókat keresve - talál néhány helyet, ahova fordulhat. Talán az első általános bevezetés a káoszba, amely ékesszólóan közvetíti a tárgy zamatát és vázolja az alapvető matematikát, Douglas R. Hofstadter 1981. novemberi cikke volt a Scientific Americanben, amit aztán újra kiadtak a következő könyvben: Metamagical Themas (Basic Books, New York 1985). A legnagyobb hatású szakcikkekből összeállított két hasznos gyűjtemény: Hao BaiLin: Chaos (World Scientific, Singapore 1984) és Predrag Cvitanovic: Universality in Chaos (Adam Hilger, Bristol 1984). Válogatásaik meglepő módon kevés átfedést tartalmaznak, az első egy kissé történelmibb beállítottságú. Aki a fraktálgeometria eredete iránt érdeklődik, annak számára nélkülözhetetlen, enciklopédikus és bosszantó forrás: Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature (Freeman, New York 1977). Heinz-Otto Peitgen and Peter H. Richter: The Beauty of Fractals (Springer-Verlag, Berlin 1986) c. könyve a káosz matematikájának sok területébe hatol be európai-romantikus stílusban, tartalmazza Mandelbrot, Adrien Douady és Gert Eilenberger felbecsülhetetlen értékű írásait és sok pazar színes valamint fekete-fehér képet, amelyek közül néhányat ez a könyv is átvett. Mérnökök és egyéb a matematikai gondolatok gyakorlati alkalmazását kereső olvasók számára jól illusztrált könyv: H. Bruce Stewart and J. M. Thompson: Nonlinear Dynamics and Chaos (Wiley, Chichester 1986). Ezeknek a könyveknek egyike sem alkalmas azonban olyan olvasók számára, akik nem rendelkeznek valamilyen szakmai háttérrel. A könyvben található eseményeknek, a tudósok indítékainak és felfogásának leírásánál, ahol csak lehetséges, kerültem a tudományos nyelvet, feltételezve, hogy a szakmailag képzettek tudni fogják, mikor olvasnak az integrálhatóságról vagy a komplex analízisről. A matematikai kidolgozást vagy speciális hivatkozásokat igénylő olvasók meg fogják találni ezeket az egyes fejezetek első mondatához, illetve a további szövegéhez adott jegyzetekben. A rendelkezésre álló cikkek ezreiből azt a néhányat választottam ki, amelyek vagy a legközvetlenebbül befolyásolták a könyvben említett eseményeket, vagy pedig a leginkább széleskörűen felhasználhatók azon olvasók számára, akik az őket érdeklő gondolatok további összefüggéseire kíváncsiak. Az egyes helyszínek leírása általában ottani látogatásom élményein alapul. A következő intézmények tették lehetővé, hogy kapcsolatba lépjek kutatóikkal, könyvtáraikkal és egyes esetekben számítógépeikkel: Bostoni Egyetem, Cornell Egyetem, Courant Matematikai Intézet, Középtávú Időjárási Előrejelzés Európai Központja, Georgiai Műszaki Egyetem, Harvard Egyetem, IBM Thomas J. Watson Kutatóközpont, Felsőbb Tanulmányok Intézete, Lamont-Doherty Geofizikai Obszervatórium, Los Alamosi Nemzeti Laboratórium,

Massachusettsi Műszaki Egyetem, Országos Légkörkutatási Központ, Országos Egészségügyi Intézet, Országos Meteorológiai Központ, New York-i Egyetem, Nizzai Obszervatórium, Princetoni Egyetem, Kaliforniai Egyetem - Berkeley, Kaliforniai Egyetem - Santa Cruz, Chicagói Egyetem, Woods Hole óceánkutató Intézet, Xerox Palo Alto Kutatóközpont. Az egyes idézeteket és gondolatokat illetően a jegyzetek megadják fő forrásaimat. A könyvekre és cikkekre vonatkozó adatokat teljes egészében közlöm, ahol pedig csak a szövegben említem a nevet, ott a következő tudósokra hivatkozom, akik különösen segítőkészek voltak kutatásaim során: Günter Ahlers, F. Tito Arecchi, Michael Barnsley, Lennart Bengtsson, William D. Bonner, Robert Buchal, William Burke, David Campbell, Peter A. Carruthers, Richard J. Cohen, James Crutchfield, Predrag Cvitanović, Minh Duong-van, Freeman Dyson, Jean-Pierre Eckmann, J. Doyne Farmer, Mitchell J. Feigenbaum, a Fereydoon család, Joseph Ford, Ronald Fox, Robert Gilmore, Leon Glass, James Glimm, Ary L. Goldberger, Jerry P. Gollub, Ralph E. Gomory, Stephen Jay Gould, John Guckenheimer, Brosl Hasslacher, Michel Hénon, Douglas R. Hofstadter, Pierre Hohenberg, Frank Hoppensteadt, Hendrik Houthakker, John H. Hubbard, Bernardo Huberman, Raymond E. Ideker, Erica Jen, Roderick V. Jensen, Leo Kadanoff, Donald Kerr, Joseph Klafter, Thomas S. Kuhn, Mark Laff, Oscar Lanford, James Langer, Joel Lebowitz, Cecil E. Leith, Herbert Levine, Albert Libchaber, Edward N. Lorenz, Willem Malkus, Syukuro Manabe, Benoit Mandelbrot, Arnold Mandell, Philip Marcus, Paul C. Martin, Robert M. May, Francis C. Moon, Jürgen Moser, David Mumford, Michael Nauenberg, Norman Packard, Heinz-Otto Peitgen, Charles S. Peskin, James Ramsey, Peter H. Richter, Otto Rössler, David Ruelle, William M. Schaffer, Stephen H. Schneider, Christopher Scholz, Robert Shaw, Michael F. Shlesinger, Jasa G. Szinaj, Stephen Smale, Edward A. Spiegel, H. Bruce Stewart, Steven Strogatz, Harry Swinney, Tomas Toffoli, Felix Villars, William M. Visscher, Richard Voss, Bruce J. West, Robert White, Gareth P. Williams, Kenneth G. Wilson, Arthur T. Winfree, Jack Wisdom, Helena Wisniewski, Steven Wolfram, J. Austin Woods, James A. Yorke Az illusztrációk forrása: (ezen elektronikus formátumban nem egyeznek az itt megadott lapszámok) p. 30 - Edward N. Lorenz/Adolph E. Brotman; p. 40 - Adolph E. Brotman; p. 42 - Adolph E. Brotman; p. 45 - James P. Crutchfield/Adolph E. Brotman; p. 66 - Irving R. Epstein; p. 67 - H. Bruce Stewart és J. M. Thompson, Nonlinear Dynamics and Chaos (Chichester; Wiley, 1986); p. 80 - Adolph E. Brotman; p. 88 - James P. Crutchfield/ Adolph E. Brotman; pp. 92, 93 - James P. Crutchfield/Nancy Sterngold; p. 95 - Robert May; p. 102 - W. J. Youden; p. 111 - Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (New York: Freeman, 1977); p. 114 - Richard F. Voss; p. 118 - Benoit Mandelbrot; p. 120 - Benoit Mandelbrot; p. 129 - Heinz-Otto Peitgen [Lorenz-attraktor], Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (New York: Freeman, 1977) [Koch-görbe]; pp. 130-133 Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, The Beauty of Fractals (Berlin: Springer-Verlag, 1986) [Mandelbrot-sorozat]; p. 134 - Scott Burns, Harold E. Benzinger, Julian Palmore [Newton-módszer]; p. 135 - Richard F. Voss [perkolációs hálózat]; p. 136 - National Aeronautic and Space Administration [Jupiter], Philip Marcus [a vörös folt szimulálása]; p. 158 - Jerry Gollub, Harry Swinney; pp. 164,165 - Adolph E. Brotman; p. 169 - Edward N. Lorenz; p. 172 - James P. Crutchfield/Adolph E. Brotman; p. 178 - Michel Hénon; p. 180 - James P. Crutchfield; p. 204 - H. Bruce Stewart, J. M. Thompson/Nancy Sterngold; p. 221 - Albert Libchaber; p. 227 - Theodor Schwenk, Sensitive Chaos, Copyright ©1965 by Rudolf Steiner Press, by permission of Schocken Books Inc.; p. 229 - D'Arcy

Wentworth Thompson, On Growth and Form (Cambridge: Cambridge University Press, 1961); p. 234-Predrag Cvitanovié/Adolph E. Brotman; p. 235 - Albert Libchaber; p. 248 Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter; p. 250 - Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, The Beauty of Fractals (Berlin: Springer-Verlag, 1986); pp. 252, 253 - Benoit Mandelbrot; p. 263 - James A. Yorke; p. 266 - Michael Barnsley; p. 284 - Julio M. Ottino; p. 320 - Arthur Winfree; pp. 326, 327 - James A. Yorke; pp. 330, 331 - Theodor Schwenk, Sensitive Chaos, Copyright © 1965 by Rudolph Steiner Press, by permission of Schocken Books Inc.; p. 344 - Oscar Kapp, inset: Shoudon Liang; pp. 346, 347 - Martin Glicksman/Fereydoon család, Daniel Platt, Vicsek Tamás

Név- és tárgymutató Az elektronikus változatból kihagyva. Egyrészt mert az oldalformátum változása miatt nem jók az oldalszámok, másrészt elektronikus szövegben könnyű rákeresni a szavakra.