INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE 4 ⋅ 3 25 ⋅ 32 je roven číslu: 1 2 , b) 2, c) , d) 23 2 , e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 2

1. Součin a) 24

6

ŘEŠENÍ: 6

Počítání s mocninami 2 6

5 3

5 2

4 ⋅ 3 25 ⋅ 32 = 6 22 ⋅ 3 25 ⋅ 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2

=2

27 6

2 5 5 + + 6 3 2

=2

9 2

= 2 = 29 = 2 4 2

2 +10 +15 6

=

Využíváme tato pravidla: a) a s ⋅ a t = a s + t s

b)

t

as = a t

Správná odpověď je a) 2. Je dána přímka: 3 x − 2 y + 2m = 0 . Leží-li na této přímce bod A [ 2;1] , je hodnota parametru m: 1 a) – 3, b) 2, c) − , d) – 2, e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 3 ŘEŠENÍ: 3 x − 2 y + 2m = 0

Přímka v analytické geometrii

3 ⋅ 2 − 2 + 2m = 0 2m = −4 m = −2

Souřadnice bodu A dosadíme za x a y a dopočítáme hodnotu parametru m.

Správná odpověď je d)

3. Podíl

3− 3 + 3 3+3 +

3−3

je roven: a)

3 , b)

1 3 , c) 2 3 , d) , e) jiný výsledek. 2 3

ŘEŠENÍ: Platí:

Počítání s absolutní hodnotou

3− 3 > 0 ⇒

3− 3 = 3− 3

3 +3 > 0 ⇒

3 +3 = 3+3

3 -3< 0⇒

3 −3 = − 3 +3

a =a

⇔ a≥0

a = −a

⇔ a<0

3− 3 + 3 3 1 = = 3 +3− 3 +3 6 2 Správná odpověď je d)

Matematika k přijímacím zkouškám na VŠE, Petr Husar

www.zkousky-nanecisto.cz

Strana 2

Ukázková písemná práce

4. Počet všech reálných řešení rovnice sin 3 x = d) 5, e) jiný výsledek ŘEŠENÍ: 1 sin 3 x = 2

1 je na intervalu 0, 2π : a) 2, b) 3, c) 4, 2

Goniometrická rovnice

5π + 2kπ 6 6 π 2 kπ 5π 2kπ x1k = + x2 k = + 18 3 18 3 π 5 13 17 25 29 x1 = ; x2 = π ; x3 = π ; x4 = π ; x5 = π ; x4 = π 18 18 18 18 18 18 V zadaném intervalu má rovnice 6 kořenů a) 3 x1k =

π

+ 2 kπ

a) 3x2 k =

3x můžeme chápat jako nějaké y (substituce). Funkce sinus nabývá 1 π 5π a hodnoty pro argumenty a 6 6 2 správná perioda je 2π .

Správná odpověď je e) 5. Absolutní hodnota (resp. velikost) komplexního čísla z = ( 2i − 1)( 3i − 2 )( 4i − 3 ) je reálné číslo: a)

1 650 , b) 65 5 , c) 5 65 , d) 40 , e) jiný výsledek.

ŘEŠENÍ: z = ( 2i − 1)( 3i − 2 )( 4i − 3) = ( 6i 2 − 4i − 3i + 2 ) ( 4i − 3) = = ( −7i − 4 )( 4i − 3) = −28i 2 + 21i − 16i + 12 = 40 + 5i

Základní výpočty s komplexními čísly =

z = 1600 + 25 = 1625 = 5 65 Správná odpověď je c)

Platí: i = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1 atd.

z = a 2 + b 2 , pro z = a + bi Výsledek částečně odmocníme. Postup: 1625 = 25 ⋅ 65 = 25 ⋅ 65 = 5 65

6. Řešení rovnice: log log 3 x = 1 náleží intervalu: a) ( −∞;3 ) , b) 3;7 ) , c) 7; 11) , d) 50; ∞ ) , e) jiný výsledek ŘEŠENÍ: log log 3 x = 1

Logaritmická rovnice

Substituce: log 3 x = y

Definice logaritmu: log a u = v ⇔ a v = u

log10 y = 1 y = 101 = 10 Zpátky ze substituce: log 3 x = y = 10 x = 310

Správná odpověď je d)



Strana 3 7. V trojúhelníku ABC platí: a = 3 3 ; b = 3 ; α = velikost: a)

π

, b)

2

π 3

, c)

π 4

, d)

π 6

γ =π −

π 3

π

3

⋅

3 3 3

−

π 6

=

⇒ sin β =

3

. Úhel γ (gama) tohoto trojúhelníku má

, e) žádná z předchozích odpovědí není správná.

ŘEŠENÍ: a sin α b = ⇒ sin β = sin α ⋅ b sin β a sin β = sin

π


Sinová věta

π 3 1 1 ⋅ = ⇒β = 2 6 3 2

π 2

Správná odpověď je a)

a sin α = b sin β a sin α = c sin γ b sin β = c sin γ

⎛ n + 1⎞ 8. Všechny kořeny rovnice ⎜ ⎟ = 5 + 2n patří do intervalu: a) ( −4 ; 1) , b) 1; 3 , ⎝ n − 1⎠ c) ( 3 ; 8 ) , d) 8 ; 12 , e) jiný výsledek

Rovnice s kombinačním číslem

ŘEŠENÍ: ⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟ = 5 + 2n ⎝ n − 1⎠

Využijeme pravidlo: ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝k ⎠ ⎝n−k ⎠

⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟ = 5 + 2n ⎝ 2 ⎠ ( n + 1) n = 5 + 2n 2 2 n + n = 10 + 4n

n 2 − 3n − 10 = 0 3± 7 / n1,2 = = 2 2

−2 nelze 5

Zkouška: ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ 6⋅5 L ( 5) = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = = 15 2 ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ P ( 5 ) = 5 + 10 = 15 K = {5}

Správná odpověď je c)



Strana 4 9. Všechna řešení rovnice

Ukázková písemná práce 3 x + 7 = 2 + x + 1 patří do intervalu: a) ( −15 ; −3 ) ,

b) −3 ; 3 , c) ( 3 ; 15 ) , d) 15 ; 35 , e) jiný výsledek

ŘEŠENÍ:

Rovnice s odmocninami 3x + 7 = 2 + x + 1

/

2

3x + 7 = 4 + 4 x + 1 + x + 1 2x + 2 = 4 x +1 x +1 = 2 x +1 /2

Pozor! V průběhu řešení musíme dvakrát umocňovat. A na závěr je povinná zkouška. To vyplývá z toho, že umocnění rovnice patří mezi důsledkové úpravy.

x2 + 2 x + 1 = 4 x + 4 x2 − 2 x − 3 = 0 2±4 / = x1,2 = 2 2

−1

3

Zkouška: L(– 1) = 2; P(– 1) = 2 ; L(3) = 4; P(3) = 4 K = {– 1; 3} Správná odpověď je b) x −1

⎛1⎞ 10. Nerovnice ⎜ ⎟ < 1 platí právě pro všechna x ∈ R, pro která ⎝ 3⎠ a) x ∈ (– ∞; 0), b) x ∈ (1; ∞), c) x ∈ R, d) x ∈ (0; ∞), e) jiný výsledek

ŘEŠENÍ:

Exponenciální funkce y

1

Vycházíme z grafu, který je pro základ v intervalu od nuly do jedné klesající. Funkční hodnoty jsou menší než jedna od bodu nula až do nekonečna.

x

x −1

⎛1⎞ ⎜ ⎟ < 1 ⇒ x −1 > 0 ⇒ x > 1 ⎝3⎠ x ∈ (1,∞)

Správná odpověď je b)



Strana 5

(

log 1 x 2 − 12

)


1 náleží intervalu: a) ( −15 ; −8 ) , 25 b) −8 ; −5 , c) ( −5 ; 5 ) , d) 5 ; 20 , e) jiný výsledek 11. Všechna reálná řešení rovnice 5

ŘEŠENÍ:

(

log 1 x 2 −12

)

2

=

Exponenciální rovnice

1 = 5 −2 25 2 log 1 ( x − 12 ) = −2 5

2

=

Potřebujeme získat na levé i pravé straně jednu mocninu se stejným základem. Potom porovnáme exponenty.

2 −2

⎛1⎞ x − 12 = ⎜ ⎟ = 22 = 4 ⎝2⎠ x 2 = 16 x = ±4 Zkouška: 2

L ( −4 ) = 5 L ( 4) = 5

log 1 4 2

log 1 4 2

Dále potřebujeme znát definici logaritmu. Definice logaritmu: log a u = v ⇔ a v = u

1 = P ( −4 ) 25 1 = 5−2 = = P ( 4) 25 = 5−2 =

Správná odpověď je c)

12. Uvažujme reálnou funkci f jedné reálné proměnné definovanou předpisem f ( x ) = ( x + 1) − x . Množina všech reálných čísel a, pro která platí f ( a + 1) − f ( a ) < f ( 2 ) , je rovna množině: 5⎞ 1 5 5 7 ⎛ ⎛7 ⎞ a) ⎜ −∞; ⎟ , b) − ; , c) ⎜ ; ∞ ⎟ , d) − ; , e)jiný výsledek 2⎠ 2 2 2 2 ⎝ ⎝2 ⎠ 2

ŘEŠENÍ: 2 f ( a ) = ( a + 1) − a = a 2 + a + 1

Kvadratická funkce

f ( a + 1) = ⎡⎣( a + 1) + 1⎤⎦ − ( a + 1) = a + 3a + 3 2

Místo x dosadíme a a (a + 1)!

2

f ( 2 ) = 32 − 2 = 7 f ( a + 1) − f ( a ) < f ( 2 ) a 2 + 3a + 3 − a 2 − a − 1 < 7 2a + 2 < 7 2a < 5 5 a< 2 5⎞ ⎛ a ∈ ⎜ −∞; ⎟ 2⎠ ⎝

Správná odpověď je a)



Strana 6 Ukázková písemná práce 2 2 2 2 13. Středy kružnic k1 : x +y − 2 x + 4 y = 0 a k: k2 : x +y − 10 x + 2 y + 1 = 0 leží oba: a) v 1. kvadrantu, b) ve 2. kvadrantu, c) ve 3. kvadrantu, d) ve 4. kvadrantu, e) jiný výsledek

ŘEŠENÍ: k1 : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y = 0

Kružnice a úsečka v analytické geometrii

k1 : ( x 2 − 2 x + 1) − 1 + ( y 2 + 4 y + 4 ) − 4 = 0

Rovnici kružnice převedeme na středový tvar. Určíme souřadnice středu a zakreslíme je do kartézské soustavy os.

k1 : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 5 2

2

S1 [1; −2]

y

k2 : x 2 +y 2 − 10 x + 2 y + 1 = 0

k2 : ( x 2 − 10 x + 25 ) − 25 + ( y 2 + 2 y + 1) − 1 + 1 = 0 k2 : ( x − 5 ) + ( y + 1) = 25 2

2

S2 [5; −1] Oba leží ve 4. kvadrantu. Správná odpověď je d)

2. kvadrant

1. kvadrant

3. kvadrant

4. kvadrant

14. Počet všech reálných řešení rovnice 2 sin x = 3 ⋅ tg x je na intervalu 0, 2π číslu: a) 2, b) 3, c) 4, d) 5, e) nic z předchozího.

ŘEŠENÍ: 2sin x = 3 ⋅ tg x sin x 2sin x = 3 ⋅ cos x 2sin x ⋅ cos x = 3 ⋅ sin x

sin x

Goniometrická rovnice

π

0 2π

0 −1

)

b)

sin x = 0

cos x =

x1k = kπ

x2 k =

π

3 2 + 2 kπ

6 11π x3k = + 2 kπ 6 π 11π x1 = 0 ; x2 = ; x3 = π ; x4 = ; x5 = 2π 6 6 Na intervalu 0, 2π je 5 kořenů.

Vytvoříme výhodný součinový tvar s nulou na pravé straně.

Pozor! Nesmíme zapomenout na kořeny 0 a 2π. Oba patří do zadaného intervalu.

sin x 2 cos x − 3 = 0 a)

roven

1

2sin x cos x − 3 sin x = 0

(

x

π 6 −1

0

3 2 1 cosx 11π 6

Správná odpověď je d) Matematika k přijímacím zkouškám na VŠE, Petr Husar


Strana 7

Ukázková písemná práce 3 x −1

⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ 15. Všechna reálná řešení rovnice ⎜ ⎟ ⎝7⎠ ⎝ 49 ⎠ b) −5 ; −1 , c) ( −1; 0 ) , d) 0 ; 1 , e) jiný výsledek

ŘEŠENÍ: ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝7⎠

3 x −1

(7 )

−1 3 x −1

x+3

náleží intervalu: a) ( −10 ; −5 ) ,

Exponenciální rovnice

⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 49 ⎠ = ( 7 −2 )

x +3

x +3

Potřebujeme získat na levé i pravé straně jednu mocninu se stejným základem. Potom porovnáme exponenty.

71−3 x = 7 −2 x −6 1 − 3 x = −2 x − 6 − x = −7 x=7 Zkouška: 20

⎛1⎞ L ( 7 ) = ⎜ ⎟ = 7 −20 ⎝7⎠

P ( 7 ) = ( 7 −2 ) = 7 −20 10

Správná odpověď je e)

STRATEGIE PRO PSANÍ PÍSEMEK Z MATEMATIKY: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Nejdříve řeším ty příklady, které jasně umím Mám-li problém a dost nevyřešených příkladů, přeskočím na jiný výpočet Vše po sobě kontroluji a překontrolované úlohy si odškrtnu Hlídám si čas a snažím se vytvořit i časovou rezervu Počítám trpělivě, pečlivě a pozorně Mám-li čas, dělám u všech rovnic zkoušky dosazením Dávám si pozor na chytáky a chytáčky



INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

Recommend Documents