INTERAKCE KŘEMÍKU A NIKLU ZA VYSOKÝCH TEPLOT

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

INTERAKCE KŘEMÍKU A NIKLU ZA VYSOKÝCH TEPLOT Jaromír Drápalaa, Monika Losertováa, Jitka Malcharczikováa, Karla Barabaszováa, Petr Kubíčekb a

VŠB - TU Ostrava,17.listopadu, 708 33 Ostrava - Poruba, ČR, E-mail: [email protected] b Ke Čtvrti 13, 703 00 Ostrava – Hrabůvka,ČR

Abstrakt Cílem práce bylo studium chování niklu a křemíku se silicidy niklu při dlouhodobém teplotním žíhání (72 hodin při teplotách 900 °C a 1000 °C). Pro tento účel byly vytvořeny difuzní spoje niklu se silicidy niklu (25, 33 a 39 at. % Si) pomocí odporového a elektronového svařování. Byly sledovány strukturní, chemické a mechanické vlastnosti spojených materiálů před a po žíhání. Po difuzním žíhání byl pozorován Kirkendallův jev. Jsou popsány postupy při určení difuzních charakteristik z naměřených koncentračních křivek rtg. mikroanalyzátorem po difuzi Si v systému Ni-Si. Jedná se o metodu MatanoBoltzmanovu a o použití Wagnerova vztahu. Dále jsou informativně prezentovány nově objevené metody, které vycházejí z použití tepelných potenciálů při řešení rovnice difuze s pohyblivým mezifázovým rozhraním. Studium interakce Si a Ni za vysokých teplot má značný význam v oblasti soudobé mikroelektroniky při metalizaci křemíkových substrátů, kde je pozorována tvorba řady intermetalických sloučenin na bázi silicidů niklu a dalších tranzitivních kovů. INTERACTION OF SILICON AND NICKEL AT HIGH TEMPERATURES The work objective was to study the behaviour of nickel and silicon with nickel silicides at long-term temperature annealing (72 hours at the temperatures of 900 and 1000 oC). For this purpose diffusion joints of nickel with nickel silicides (25, 33 a 39 at. % Si) were created by means of resistance and electron beam welding processes. Structural, chemical and mechanical properties of the joint materials were observed before and after the temperature annealing. Kirkendall phenomenon was observed after homogenization annealing. The procedures of determination of diffusion characteristics from concentration profiles measured by X-ray microanalyzer after Si diffusion in Ni-Si system used up to now are described in the paper. It concerns the Matano-Boltzmann method and the Wagner relation application. Moreover, newly developed methods based on the utilization of thermal potentials in the solution of diffusion equation with non-stationary interface boundary will be presented informatively. As we show, some of these methods are characterized by an extraordinary high accuracy of the diffusivity determination. The study of the Si and Ni interaction at high temperatures has a considerable importance in the area of contemporaneous microelectronics at the silicon substrates metallization when creation of a number of intermetallic compounds on the base of silicides of nickel and other transition metals is observed. 1. ÚVOD Tradiční zájem o silicidy vyplývá z jejich vysokoteplotních vlastností, jejich stálosti vůči oxidačním médiím, jakož i z jejich zajímavých elektrických vlastností. Vysoká kovová vodivost ve spojení se značnou tepelnou a chemickou stálostí mnoha těchto materiálů, stejně jako jejich poměrně snadná příprava ve formě tenkých vrstev v technologii výroby integrovaných obvodů na bázi křemíku otevírají nové důležité aplikační oblasti. 1

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

Již v práci [1] byly získány výsledky, které významně přispívají k volbě složených systémů a dovolují posoudit teplotní stabilitu silicidů v rámci předpokládané doby životnosti a provozních podmínek. Taktéž model řešení difuzní rovnice umožňuje zobecnit výsledky i pro jiné podobné typy složených materiálů a tím predikovat jejich vlastnosti a chování v reálných podmínkách. 2. DIFUZNÍ SPOJE NIKL / SILICID NIKLU 2.1 Vytvoření difuzního spoje Rovnovážný diagram binárního systému Ni-Si se vyznačuje značnou složitostí. U systému Ni-Si vznikají postupně různé fáze s kubickou, hexagonální či ortorombickou mřížkou – viz obr. 1 a [2]. Spojením dvojice Ni-Si dochází v prvé etapě k tvorbě silicidu Ni2Si již při poměrně nízkých teplotách okolo 300 oC. Potom je spotřebován jeden z prvků a vzniká fáze, která obsahuje převládající komponentu. Tímto způsobem je možno vytvořit celou škálu sloučenin typu NixSiy ve shodě s binárním diagramem Ni - Si. Důležitou otázkou je jejich kompatibilita a stabilita v provozních podmínkách. Pro sledování interakce kovů se silicidy za vysokých teplot byla vybrána dvojice nikl silicid niklu s proměnlivým obsahem Si, a to cca 25, 33 a 39 at. % Si. Prvním krokem pro tento záměr bylo vytvořit pevný a kvalitní spoj dvou různorodých materiálů. Pro vytvoření spoje byly aplikovány dvě metody: a) Odporové svařování b) Vakuové svařování elektronovým svazkem Odporové svařování (na tupo) bylo provedeno přímým průchodem proudu oběma vzorky niklu a slitiny Ni-Si, které byly k sobě přitisknuty čelními metalograficky upravenými plochami. Největším problémem byla volba optimálního proudu vzhledem k tomu, že každá dvojice se chovala z hlediska elektrických vlastností jinak. Při nízkém elektrickém proudu nebyl vytvořen dostatečně pevný a kvalitní spoj, při vysokém proudu docházelo k značnému přehřátí v oblasti svaru a tím k roztavení materiálu, který byl při daném vnějším tlaku vytlačen směrem vně vzorku. V oblasti svaru byla změřena teplota 1025 až 1080oC. Při druhé technologii tvorby difuzního spoje byla využita vakuová elektronová pec pro zonální tavení kovů a přípravu monokrystalů. Do úchytu pohyblivých saní byly vertikálně umístěny dvě tyče, a to nikl na jedné straně a slitina Ni-Si na straně druhé, přičemž materiál s nižší teplotou tavení (v tomto případě silicid niklu) byl upevněn v horním držáku. Mezi oběma konci tyčí byla vzdálenost okolo 5 mm. Elektronovým svazkem se předehřály oba konce tyčí, pak se horní tyč natavila a mechanicky se přiblížila ke spodní nenatavené tyči. Během několika sekund došlo ke spojení obou konců tyčí s následným vypnutím ohřevu za účelem rychlého ochlazení vzniklého spoje. Ochlazování muselo probíhat poměrně vysokou rychlostí, aby se zamezilo natavení spodní tyče a aby v ní neproběhly procesy vzájemného rozpouštění obou typů materiálů. 2.2 Difuzní žíhání vzorků Podle programu experimentů byly navrženy dva režimy difuzního žíhání dvojic nikl silicidy niklu s různými obsahy Si a různými výchozími strukturami, a to při 1000 a 900 oC po dobu 72 hodin. Vzorky byly vloženy do křemenné ampule, která byla po evakuování vnitřního prostoru rotační olejovou a difuzní vývěvou sklářsky zatavena pod vakuem (tlak v ampuli řádově 10-2 Pa). Pro dlouhodobé žíhání byly použity dvě pece: a) Elektrická odporová pec b) Elektrická odporová komorová pec High Therm 1800 firmy Linn Vlastní dlouhodobé difuzní žíhání probíhalo při teplotě 1000 ± 5 °C v peci ad a) a při teplotě 900 ± 5 °C ad b).

2

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

Obr. 1. Binární diagram systému Ni-Si [2] Při vysokoteplotním difuzním žíhání v uzavřené evakuované ampuli došlo ve všech případech k mírné povrchové oxidaci silicidů niklu (žlutý povlak). Vodíková atmosféra nemohla být použita z bezpečnostních důvodů. U vzorků silicidů niklu s 25 at. % Si byl povrch pokryt tenkou nekompaktní vrstvičkou černého zbarvení způsobený pravděpodobně krakováním zbytků lihobenzínu, který zůstal uzavřený v ampuli před zatavením ampule. Dalším nepříznivým poznatkem po difuzním žíhání byla skutečnost, že se prakticky všechny vzorky s obsahem nad 33 at. % Si zcela rozpadly právě v oblasti difuzního spoje. Nebylo možno zpětně určit, ve kterém okamžiku tento jev nastal. I u vzorků svařovaných odporově s nízkým obsahem Si (25 at. % Si) byla po difuzi pozorována oblast vzniku trhlin, přes které difuze neprobíhala. Z těchto poznatků vyplývá nepříznivá kompatibilita mezi kovovým niklem a různými fázemi silicidů. Ni

Ni a)

Ni

Ni

b)

c)

d)

Obr. 2. Mikrostruktura oblasti difuzního spoje vzorku Ni – Ni + 25 at. % Si a) odporově svařený, po difuzním žíhání 1000 °C/ 72h (zvětšení 200 x) b) odporově svařený, po difuzním žíhání 900 °C / 72h (zvětšení 200 x) c) elektronově svařený, po difuzním žíhání 1000 °C/72h (zvětšení 100 x) d) elektronově svařený, po difuzním žíhání 900 °C / 72h (zvětšení 200 x)

3

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

3. VÝPOČET DIFUZIVIT Si a Ni V SYSTÉMU Ni - Si 3.1 Metoda Matano - Boltzmannova Tato metoda umožňuje stanovit koncentrační závislost difuzivity D(c) i na oborech s pohyblivým mezifázovým rozhraním. Předpokladem je dostatečně přesné experimentální stanovení koncentrace difundujícího materiálu ve vzorku. Na obr. 3a je schematicky uvedeno rozložení koncentrace před difuzí, na obr. 3b po difuzi při teplotě T po dobu t. Z obrázku je zřejmé, že po difuzi dochází k posuvu mezifázového rozhraní χ(t) a na tomto mezifázovém rozhraní se objeví v čase t konstantní koncentrační skok o velikosti c1 – c2, kde koncentrace c1, c2 odpovídají fázovému diagramu příslušného binárního systému. Výpočet hodnoty difuzivity D(c) pro koncentraci c se provede podle vztahu [3,4]: c

1 D(c) = − 2t

ò x dc 0

(1)

dc dx

Počátek pro souřadnici x=0 nám udává polohu roviny Matano a platí: c10

cM

x dc = − 0

c10

x dc = 0

x dc cM

(2)

0

Ze vztahu (2) plyne, že množství difundovaného materiálu vlevo a vpravo od roviny Matano (x = 0) je stejné. Od této roviny se určuje velikost posuvu mezifázového rozhraní χ(t). Na obr. 2b jsou šrafovaně zakresleny plochy, které prezentují integrály ve vztahu (2). Při malých hodnotách c - c20 a také při hodnotách c blízkých koncentraci c10, je stanovení těchto ploch z experimentálních dat obvykle málo přesné. Metoda Matano-Boltzmannova vyžaduje velice přesné hodnoty experimentálně stanoveného koncentračního profilu po difuzi. 3.2 Wagnerův vztah V praxi nastávají často případy, že pomocí metody Matano-Boltzmannovy stanovíme difuzivitu D2 ve fázi α, ale stanovení difuzivity D1 ve fázi β je velice nepřesné nebo ji prakticky nelze stanovit. K stanovení této difuzivity D1 je možné použít Wagnerův vztah. Tento vztah byl odvozen na základě zákona zachování difundující hmoty, tj. materiálové bilance na mezifázovém rozhraní. Jedná se o rovnost hustoty toků Ji difundující hmoty na tomto rozhraní: ∂c , i = 1, 2. (3) ∂x x = χ (t ) K tomuto účelu předpokládal Wagner, že rozložení koncentrace difundujícího materiálu při difuzi s pohyblivým mezifázovým rozhraním lze popsat pomocí funkcí [4]: x C i ( x, t ) = Ai + Bi erf ( ), (4) 2 Di t kde Ai, Bi jsou konstanty, které se určí z okrajové podmínky na mezifázovém rozhraní, koncentrace c1, c2 jsou konstantní a nemění se s časem. Posuv mezifázového rozhraní χ(t) s časem se řídí parabolickým zákonem:

J1 = J2,

J i = − Di

4

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

χ(t) = α t , (5) kde α charakterizuje rychlost pohybu mezifázového rozhraní. Hodnota tohoto parametru je charakteristická pro daný systém a závisí na teplotě T. Zde je nutno rozlišovat, zdali se mezifázové rozhraní při difuzi pohybuje směrem vpravo nebo směrem vlevo od roviny Matano. Matano rovina se nachází na pozici x = 0, tedy ve vzdálenosti χ(t) od mezifázového rozhraní nově vzniklého. Na obr. 3b se rozhraní pohybuje směrem vpravo, tj. difuzní obor pro fázi α se tímto pohybem zvětšuje, difuzní obor ve fázi β se zmenšuje. Mezi difuzivitami platí D1 = κ D2, kde κ je konstanta.

(6)

c c10

t= 0

a. c 20 0

x

c c 10

č. 2.

c1

fáze α

č. 1.

fáze β

t>0

c2 cM

b. c 20 0

χ (t)

x

T (oC)

c. c (at.%) c20

c2

c1

c10

Obr. 3. Schéma k výpočtu D(c) pomocí metody Matano - Boltzmannovy.

5

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

Dále se používá velice důležitý parametr βi: α βi = , β 2 = κ β1 . 2 Di

(7)

3.3 Nové řešení difuze s pohyblivým mezifázovým rozhraním Původní řešení této problematiky bylo realizováno pomocí tepelných potenciálů. V našem případě se jedná o řešení rovnice difuze dle 2. Fickova zákona: ∂ci ( x, t ) ∂ 2 c i ( x, t ) = Di ∂t ∂x 2

(8)

s počáteční a okrajovou podmínkou: ci (x,t = 0) = ci0 ci [x = χ(t), t] = ci

x > 0, t > 0, x < 0,

… …

i = 1, 2 (9)

Je zřejmé, že okrajová podmínka v rovnicích (9) je definována na pohyblivé mezifázové hranici χ(t) = α t . Řešení těchto úloh se provádí pomocí tepelných potenciálů, v tomto případě pomocí tepelného potenciálu dvojvrstvy. Tepelný potenciál dvojvrstvy W(x,t) je definován pomocí integrálu:

1 W ( x, t ) = 2 πD

t

0

[ x − χ (τ ) ]2

x − χ (τ ) − 4 D (t −τ ) e µ (τ ) dτ (t − τ ) 3 / 2

,

(10)

kde µ (τ ) je neznámá funkce, kterou musíme určit z řešení Volterrovy integrální rovnice II. druhu:

µ (t ) 1 + 2D 4 π

t

x(t ) − χ (τ )

[D(t − τ )]

3/ 2

0

−

e

[x (t ) − χ (τ ) ]2 4 D (t −τ )

µ (τ ) dτ = µ (t )

(11)

Funkce µ (t ) v pravé straně vztahu (11) představuje okrajovou podmínku definovanou na pohyblivém mezifázovém rozhraní χ(t), která je v našem případě konstantní, tj. platí µ(t) = ci, i = 1, 2. Řešení Volterrovy integrální rovnice (9) se provádí pomocí metody iterovaných jader [5]. Vlastní řešení rovnice difuze (8) je pak dáno: c(x,t) =

1 W ( x, t ) 2D

(12)

3.4 Bilanční rovnice I. druhu Důsledkem výše uvedených analýz bylo odvození materiálových bilančních rovnic I. a II. druhu. Tyto rovnice nám umožní nalézt vztah mezi difuzivitami D1, D2 v obou částech vzorku, tj. umožní nalezení hodnoty parametru κ - viz (6). K tomuto účelu je nutná znalost

6

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

přesných hodnot koncentrací c1, c10, c2, c20. Bilanční rovnice I. druhu popisují vztah mezi množstvím materiálu P1(t), P2(t) ve vzorku po difuzi a pohybem mezifázového rozhraní χ(t). Pak platí c10 − c1 Φ1 (β 2 / κ )

c 2 − c 20 − π (c10 − c 20 ) . Φ 2 (β 2 )

=

(13)

3.5 Bilanční rovnice II. druhu Ze zákona o zachování difundující hmoty přes mezifázové rozhraní byly v práci [6] odvozeny bilanční rovnice II. druhu pro stanovení hodnoty parametru β1,, resp. difuzivity D1, při znalosti hodnoty β2 resp. D2: κψ 1 (β 2 / κ ) =

(c 2 − c 20 )ψ 2 ( β 2 ) − π (c1 − c 2 ) β 2 c10 − c1

.

(14)

Ke všem výše uvedeným metodám, které byly získány s použitím tepelného potenciálu, je nutno ještě uvést, že platí pro βi ≤ 1, i = 1, 2. Pro větší hodnoty βi přesnost všech odvozených vztahů klesá. 4. APLIKACE METOD VÝPOČTU DIFUZIVIT 4.1 Aplikace metody Matano-Boltzmannovy 16 14 Si (at.%)

12 10 8 6 4 2 0 -150

-100

-50

0 x (µm)50

100

a) Mikroanalýza EDAX b) Vyhlazená křivka Obr. 4. Koncentrační křivky c(x,t), po difuzi při T=1000 °C Na obr. 4 je uveden koncentrační profil Si v oblasti Ni / Ni3Si získaný mikroanalýzou na EDAXu (obr. 4a) a tentýž profil po vyhlazení nepravděpodobných hodnot (obr. 4b). Poloha roviny Matano, tj. velikost χ (t ) = α t , byla určena pomocí vztahu (2) a hodnoty χ(t), α jsou uvedeny v tab. 1. Vpravo od mezifázového rozhraní byla koncentrační křivka aproximována konstantní hodnotou c10 ≅ 0,24. Koncentrační závislost D2(c) byla vypočtena z rovnice (1) a výsledky výpočtů jsou v semilogaritmických souřadnicích na obr. 5. Z obrázku je zřejmé, že hodnoty D2(c) se liší více než o jeden řád (cca 15x). Se vzrůstem koncentrace Si tyto hodnoty D2 rostou věrohodně až po c(Si) ≈ 12%. V blízkosti mezifázového rozhraní v oblasti c(Si) ≈ 12 ÷ 14 at. % Si není vzrůst a průběh D2(c) již věrohodný a je zřejmě způsoben převážně nepřesnostmi v experimentálním určení koncentračního gradientu dc/dx a vlivem svarového spoje vzorků i dalších faktorů. Zde je nutno poukázat, že tyto závislosti D2(c) byly získány 7

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

z hlazených koncentračních křivek, obr. 4b. Pokud by nebylo použito hlazení křivek, rozptyly v hodnotách D2(c) by byly podstatně větší. Ze všech určených hodnot D2(c) pro každý vzorek byly vypočteny průměrné hodnoty, které jsou uvedeny rovněž v tab.1. Porovnáme-li hodnoty χ(t), α, β2, D2 v tab.1 u sledovaných tří vzorků, zjistíme, že rozptyly hodnot těchto fyzikálních parametrů nejsou příliš velké. Tabulka 1: Shrnutí výsledků difuze v systému Ni - Ni3Si, T = 1000 °C, t = 2,592.105 vzorek 1

vzorek 2

vzorek 3

průměr

MatanoBoltz.

Tepel. potenc.

MatanoBoltz.

Tepel. potenc.

MatanoBoltz.

Tepel. potenc.

MatanoBoltz.

Tepel. potenc.

χ (t) (µm)

51

47,3

66

66,2

56

62,7

57,7

58,7

1/2 ιαι (cm/s )

1.10-5

0,93.10-5

1,3.10-5

1,3.10-5

1,1.10-5

1,23.10-5

1,13.10-5

1,15.10-5

0,5

0,39

0,45

0,42

0,44

0,49

0,454

0,433

ιβ

2

D 2 (cm2/s)

1,4.10-10 1,42.10-10 2,1.10-10

Vzorekč.č.11 Vzorek Vzorekč.č.22 Vzorek Vzorekč.č.33 Vzorek

1.E-09 1.E-09

2

DD22(c) (cm2/s) /s) (c) (cm

1.E-08 1.E-08

2,4.10-10 1,54.10-10 1,6.10-10 1,68.10-10 1,76.10-10

1.E-10 1.E-10

1.E-11 1.E-11 00

55

10 10

15 15

(at.% %Si) Si) cc (at.

Obr. 5. Závislost difuzivity D2(c) křemíku v niklu vypočtené podle metody Matano Boltzmannovy v semilogaritmických souřadnicích (T = 1000 °C). 4.2 Aplikace Wagnerova vztahu a bilančních rovnic Parametry β1, D1 resp. κ ve fázi β1 nelze stanovit z experimentálně určených koncentračních křivek metodou Matano-Boltzmannovou pro velice úzký interval koncentrací. Výpočty byly provedeny pro koncentrace, zjištěné pro T = 1000 °C z fázového diagramu a současně byla použita střední hodnotu α = 1,15.10-5 cm/s1/2, β2 = 0,433 z posledního sloupce tab. 1 a aplikována bilanční rovnice II. druhu (14), která nahrazuje Wagnerův vztah, protože je přesnější. Po výpočtu je zřejmé, že v tomto případě dává Wagnerův vztah méně přesné hodnoty v porovnání s výsledky z bilanční rovnice II. druhu. Z výsledku D1 = 3,3.10-11 cm2/s vyplynulo, že difuzivita ve fázi β1, dle fázového diagramu obr. 1, je asi 5,4x menší než

8

METAL 2002

14. – 16. 5. 2002, Hradec nad Moravicí

difuzivita D2 = 1,76.10-10 cm2/s v oblasti Si koncentrací c2 ÷ c20. Vzhledem k tomu, že rozdíl koncentrací c10 – c1 ≅ 1,2% je velice malý a tato veličina nemusí být zcela přesná, je hodnota D1 pouze informativní. Velikost rozdílu c10 – c1 má totiž podstatný vliv na vypočtené hodnoty β1 resp. D1. Výsledky výpočtů jsou uvedeny v tab. 2. Tabulka 2: Srovnání výsledků dle Wagnerova vztahu a dle bilanční rovnice II. druhu T = 900 °C

T = 1000 °C

Wagner. vztah

Bilanční rovnice II.druhu

Wagner. vztah

Bilanční rovnice II.druhu

κ

0,11

0,12

0,053

0,185

β1

1,2

1,14

1,88

1,0

4,8.10-12

9,4.10-12

3,3.10-11

D 1 (cm2/s) 4,34.10-12

5. ZÁVĚR Z experimentů byly získány koncentrační křivky ze vzorků při teplotách difuzního ohřevu 900 °C a 1000 °C. Difuzní charakteristiky, které byly z těchto křivek vyhodnoceny, se vyznačují vysokou přesností. Největší přesnosti lze dosáhnout pomocí nové metody, kde se vyhodnocení koeficientů α, β2 a difuzivity D2 provádí z plochy pod koncentrační křivkou. Stanovená hodnota D2 se blíží střední hodnotě koncentračně závislé difuzivity. Pro výpočet difuzivit D1 ve fázi β1 (cca 23 ÷ 26 at. % Si) byl využit Wagnerův vztah a nová rovnice pro bilanci difundujícího materiálu na mezifázovém rozhraní, která byla odvozena pomocí tepelných potenciálů, tj. bilanční rovnice II. druhu. Tato rovnice je přesnější než Wagnerův vztah. Při teplotě 900 °C byly výsledky z obou rovnic prakticky stejné, pro teplotu 1000°C byla hodnota D1, vyhodnocená z Wagnerova vztahu, nepřesná. Tato práce byla řešena s finanční podporou GAČR v rámci vědecko–výzkumného projektu No. 106/99/0905 „Interakce prvků ve složených kovových systémech za vysokých teplot“.

LITERATURA [1] DRÁPALA, J., KURSA, M., MALCHARCZIKOVÁ, J. a KUBÍČEK, P. Interakce prvků v systému nikl – křemík. {Interaction of elements in nickel – silicon system}. In Metal 2001. 15.17.5.2001, Ostrava, Tanger, spol. s r.o. Ostrava, Sborník abstraktů, s. 67, text na CD ROM (5 str.). ISBN 80-85988-56-9. [2] MASSALSKI, T.B. Binary Alloy Phase Diagrams. ASM Metals Park, Ohio, 1987, Vol. 2, p. 17551756 and 1997, on CD ROM.

[3] TICHONOV, A.N. a SAMARSKIJ, A.A. Rovnice matematické fyziky. ČSAV, Praha, 1955. [4] GERCRIKEN, S.D. a DECHTJAR, I.J. Diffuzija v metallach i splavach v tvěrdoj faze. Gos. Izd. Fiz. Mat. Lit., Moskva, 1960. [5] MICHLIN, S.G. Integrální rovnice. Přírodovědné nakladatelství, Praha, 1952. [6] KUBÍČEK, P. Evaluation of experimental data of diffusion in semiinfinite two-phase systems with non-stationary interphase boundary by means of thermal potentials I. Czechoslovak Journal of Physics, 1999, 49, No. 12, pp. 1653-1668.

9