Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

III. rész

x2 függvény. a) Számítsd ki az f függvény deriváltját! b) Határozd meg az f x 1 függvény monotonitási intervallumait! c) Igazold, hogy f ( x)  4 bármely x  1 esetén ! f ( x)  f (0) 2. Adott az f :  , f  x   e x  e  x függvény. a) Számítsd ki a lim határértéket! b) Igazold, hogy x 0 x az f függvény növekvő -en! c) Számítsd ki: S  g (0)  g (1)  ...  g (2009), ahol g :  , g ( x)  f ( x)  f ( x). ln x 2  ln x 3. Adott az f :  0,   , f ( x)  függvény. a) Igazold, hogy f   x   , bármely x  0;  esetén! 2x x x 1. Adott az f :

\ -1 

, f  x 

b) Határozd meg az f függvény monotonitási intervallumait! c) Igazold, hogy 3 5  5 3 . 4. Adott az f :  , f  x   x  e  x függvény. a) Számítsd ki: f ( x), x  . b) Igazold, hogy f csökkenő a

 ,0 intervallumon és növekvő a 0,  

intervallumon! c) Határozd meg az f függvény grafikus képe ferde

aszimptotájának egyenletét a  felé! 5. Adott az f :  , f  x   x 2009  2009( x  1)  1 függvény. a) Számítsd ki az f (0)  f (0) összeget! b) Határozd meg az f függvény grafikus képéhez az A  0;1 pontban húzott érintő egyenletét! c) Igazold, hogy az f

függvény konvex a 0,  intervallumon! x x 1 6. Adott az f : 0,   , f  x   függvény. a) Számítsd ki a lim f ( x) határértéket! a) Számítsd  x  x 1 x  2 1 ki a lim f ( x) határértéket! c) Bizonyítsd be, hogy  f ( x )  2 bármely x 0,  esetén! x  2 f ( x)  f (1) 7. Adott az f :  , f  x   e x  x 2 függvény. a) Számítsd ki a lim határértéket! b) Bizonyítsd be x 1 x 1 , hogy az f függvénynek nincs aszimptotája a  felé! c) Bizonyítsd be , hogy az f függvény konvex -en! 1  ln x 8. Adott az f :  0,  \ e  , f (x) = függvény. a) Számítsd ki a lim f  x  határértéket! b) Igazold, x1 1  ln x 2 hogy f ( x)  , bármely x   0;  \ e esetén! c) Határozd meg az f függvény grafikus képe vízszintes x(1  ln x)2 aszimptotájának egyenletét a  felé! 9. Adott az f :



, f ( x)  e x (ax 2  bx  c) függvény, ahol a, b, c

. a) Számítsd ki a lim f ( x) határértéket, ha x 

a  1, b  c  0 . b) Igazold, hogy f (0)  f (0)  b . c) Határozd meg az a, b, c  és f (0)  4 .

számokat, ha f (0)  0, f (0)  1

2   x  x, x  1 , f ( x)   függvény. a) Tanulmányozd az f függvény folytonosságát az 2    x  x, x  1 x0  1 pontban! b) Számítsd ki az f (0)  f (2) összeget! c) Igazold, hogy az f függvény konkáv a  ;1 intervallumon! 2 2 1 1 , bármely 11. Adott az f :  0,   , f ( x)  2  függvény. a) Igazold, hogy f   x    3  2 x  x  13 x ( x  1)

10. Adott az f :



x   0,   esetén! b) Igazold, hogy az f függvény csökkenő a

 0,   intervallumon! c) Számítsd ki a

lim x f   x  határértéket! 3

x

12. Adott az f :  0,   f függvény konvex a

,

 0,  

f ( x)  x  2ln x függvény. a) Számítsd ki: f ( x),

intervallumon! ) Igazold, hogy f  x   ln

x   0,   . b) Igazold, hogy az

e2 , bármely x  0,  esetén! 4

1

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi 13. Adott az f :

\ 1 

, f ( x) 

III. rész

ex xe x függvény. a) Igazold, hogy f ( x)  , bármely x \ 1 x 1  x  12

esetén! b) Határozd meg az f függvény grafikus képe aszimptotájának egyenletét a  felé! c) Bizonyítsd be, hogy f ( x )  1, bármely x  1 esetén. ln x 14. Adott az f :  0,   , f ( x)  függvény. a) Számítsd ki: f (e) . b) Határozd meg az f függvény x grafikus képe vízszintes aszimptotájának egyenletét a  felé! c) Bizonyítsd be, hogy xe  e x bármely x  0 esetén! 15. Adottak az f n :  , f0 ( x)  e x  1 , f n1( x)  f n ( x) függvények minden n esetén. a) Számítsd ki: f1( x) -et, ha x . b) Határozd meg az f 0 függvény grafikus képe vízszintes aszimptotájának egyenletét a  felé! f ( x)  x  1 c) Számítsd ki a lim 2 határértéket! x 0 x2 e x  1, x0  16. Adott az f :  , f ( x)   függvény, ahol a . a) Határozd meg a értékét úgy, hogy 2 x  x  a , x  0   az f függvény folytonos legyen az x0  0 pontban! b) Határozd meg az f függvény grafikus képéhez az

 1  A  1;  1 pontban húzott érintő egyenletét! c) Igazold, hogy az f  függvény csökkenő a  e  bármely a esetén! 17. Adott az f :

*



függvény csökkenő a

, f ( x) 

 0, 2

ex x2

függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x 

intervallumon! c) Igazold, hogy 2e

, f ( x)   x  1   x  1 2

3

 3e

2



 0; 

intervallumon,

. b) Bizonyítsd be, hogy az f

.

2

függvény. a) Igazold, hogy f ( x)  4 x bármely x esetén! b) f  x f ( x) Számítsd ki a lim határértéket! c) Határozd meg a g :  , g  x   függvény monotonitási 2 x  x f  x intervallumait! ln x 19. Adott az f :  0,   , f ( x)  2 függvény. a). Számítsd ki f ( x) -et, ha x   0,   . b) Számítsd ki a x 1 lim f ( x) határértéket! c) Bizonyítsd be, hogy 0  f ( x )  , bármely x   e ,  esetén! x  2e 18. Adott az f :





ex függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x0,1 . b) Igazold, hogy az f x2 3 1 függvény növekvő a  0;1 intervallumon! c) Bizonyítsd be, hogy   2, bármely x0,1 esetén! e f ( x) 20. Adott az f : 0,1  , f ( x) 

x2  2 x  3 x2  x  2 , bármely x \ 1 függvény. a) Igazold, hogy f ( x)  x 1  x  12 esetén! b) Határozd meg az f függvény grafikus képe ferde aszimptotájának egyenletét  felé! c) Igazold, hogy 1 f  x   f    8 , bármely x  1 esetén!  x 22. Adott az f :  0,   , f ( x)  x  e ln x függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x   0,   . b) Számítsd ki a 21. Adott az f :

lim

xe

\ 1  ,

f ( x) 

f ( x) határértéket! c) Határozd meg az f függvény monotonitási intervallumait! f ( x)

2

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi 23. Adott az f :





III. rész



, f ( x)  x 2  2 x  1 e x függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x . b) Határozd meg az f

 f ( x)   1 határértéket! függvény szélsőértékpontjait! c) Számítsd ki a lim x  x  f ( x) 

x4  ln x függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x   0,   . b) Határozd meg 4 x2  1 az f függvény szélsőértékpontját! c) Bizonyítsd be, hogy ln x  bármely x  0,  esetén! 4 25. Adott az f :  , f  x   e x  x függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x . b) Bizonyítsd be, hogy f ( x)  1 , bármely x esetén! c) Írd fel az f függvény grafikus képe ferde aszimptotájának egyenletét  felé! 24. Adott az f :  0,  

, f ( x) 

26. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   e x  x  1 függvény. a) Számítsd ki az f függvény deriváltját! b) Határozd meg az 2

f függvény monotonitási intervallumait! c) Igazold, hogy e x  e x  x 2  x  2, bármely x

esetén!

ln x függvény. a) Számítsd ki f   x  -et, ha x   0,   . b) Határozd az f x függvény monotonitási intervallumait! c) Határozd meg az f függvény grafikus képe vízszintes aszimptotájának egyenletét! 1 x   e  1, x  1 28. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x    e függvény. a) Tanulmányozd az f függvény folytonosságát az  ln x , x 1

27. Adott az f :  0,   ˇ , f  x  

x0  1 pontban! b) Határozd meg az f függvény grafikus képe aszimptotájának egyenletét  felé! c) Igazold, hogy az f függvény konkáv az 1,   intervallumon!

29. Adott az f :  0,   ˇ , f  x   x  ln x függvény. a) Igazold, hogy f 1  f  1  1 . b) Határozd meg az f

f ( x)  x határéteket! x  x f  x   f  0 30. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   x 2  e x függvény. a) Számítsd ki a lim határértéket! b) Igazold, hogy az x 0 x f függvény konvex az ˇ -en! c) Oldd meg a valós számok halmazán az f   x   f   x   f  x   e x  3 egyenletet! függvény szélsőértékpontját! c) Számítsd ki a

lim

31. Adott az f :  0,    ˇ , f  x   x 2 ln x függvény. a) Igazold, hogy f   x   x  2ln x  1 , bármely x  0,    f ( x ) 1 esetén! b) Számítsd ki a lim határéteket! c) Bizonyítsd be, hogy f  x    , bármely x  0 esetén! x  x ln x 2e 1 32. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   x  x függvény. a) Számítsd ki az f  0  f   0 összeget! b) Számítsd ki a e f  x  f  x határértéket! c) Igazold, hogy az f függvény konkáv az ˇ -en! lim x x 2e x 1  x  2e x  f x  33. Adott az f : 0,    ˇ , f  x   1  függvény. a) Igazold, hogy , bármely   x 2 x  ex xe





x 0,    esetén! b) Határozd meg az f függvény grafikus képe vízszintes aszimptotájának egyenletét a  felé!

1 e , bármely x  0 esetén! 1 e 34. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   ( x 2  2 x  3)e x függvény. a) Számítsd ki f   x  -et, ha xˇ . b) Számítsd ki a

c) Igazold, hogy 1  f  x  

lim

x 0

f  x   f  0 x

határértéket! c) Bizonyítsd be, hogy az f  függvény növekvő az ˇ -en!

3

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

III. rész

35. Adott az f :  0,     ˇ , f  x   x x  3x függvény. a) Igazold, hogy f   x  

3 x 6 , bármely x  0;  2

 

esetén! b) Határozd meg az f függvény monotonitási intervallumait! c) Igazold, hogy 4  f  x   f x 2  0, bármely x   0;1 esetén!





36. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   x 2  3x  3 e x függvény. a) Számítsd ki f   x  -et, ha x . b) Határozd meg az f függvény grafikus képe vízszintes aszimptotájának egyenletét  felé! c) Igazold, hogy az f függvény grafikus

képéhez az

 2, f (2)  koordinátájú pontban húzott érintő párhuzamos az

37. Adott az f : 1,    ˇ , f  x  

f  x 

2  ln x  1

 x  ln x 2

Ox tengellyel!

x  ln x függvény. a) Számítsd ki a lim f  x  határértéket! b) Igazold, hogy x1 x  ln x

, bármely x1,   esetén! c) Határozd meg a g : 1,    ˇ , g  x  

f  x

 f  x   12

függvény

grafikus képének  felé mutató aszimptotájának egyenletét! x2  1 4x 38. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   2 függvény. a) Igazold, hogy f   x   , bármely xˇ esetén! 2 x 1 x2  1





b) Határozd meg az f függvény montonitási intervallumait. c) Számítsd ki a

   





g  x   g x2  g x3  K  g x2009  x2010

1 g x  f x  f  ˇ ,      . x0  x x2009 39. Adott az f :  0,    ˇ , f  x   ln x  x  1 függvény. a) Számítsd ki f   x  -et, ha x   0,   . b) Határozd meg

lim

határértéket, ha g : ˇ



az f függvény szélsőértékpontját! c) Igazold, hogy 2  e  f  2  0 . 40. Adott az f :  0,    ˇ , f  x   x 2 

1 x2

függvény. a) Számítsd ki f   x  -et, ha x   0,    . b) Határozd meg az

f grafikus képéhez az A 1;0  pontban húzott érintő egyenletét! c) Számítsd ki lim

x

f ( x) határértéket! x

2x 1 41. Adott az f : 1,    ˇ , f  x   függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x 1;  . b) Igazold, hogy az x 1 f  x   f  2 lim  1 . c) Igazold, hogy az f függvény csökkenő az 1,   intervallumon! x 2 x2 42. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   x 2010  2010 x függvény. a) Határozd meg f   x  -et, ha xˇ . b) Igazold, hogy az

f függvény konvex az ˇ -en. c) Számítsd ki a lim

x 0

43. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x  

x2  x  1 x2  x  1

f   x   f   0 x

határértéket!

függvény. a) Határozd meg az f függvény grafikus képe  felé

mutató aszimptotájának egyenletét! b) Igazold, hogy f   x  



 , bármely xˇ 2  x2  x  1 2 x2  1

esetén! c) Bizonyítsd be,

 

2  f  x   f x 2  4 bármely xˇ esetén! 3 44. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   x 2  e x függvény. a) Igazold, hogy f   0  1 . b) Igazold, hogy az f függvény f ( x) konvex az ˇ -en! c) Számítsd ki a lim határéteket! x e x 45. Adottak az f , g : ˇ  ˇ , f  x    x  1 e x és g  x   x e x függvények. a) Igazold, hogy f   x   g  x  , bármely x esetén! b) Határozd meg a g függvény grafikus képe  felé mutató aszimptotájának egyenletét! c)

hogy

4

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

III. rész

Ha I  ˇ egy intervallum, akkor igazold, hogy a g függvény akkor és csak akkor növekvő az I intervallumon, ha az f függvény konvex az I intervallumon!

 x 2  x  1, x   0;1 46. Adott az f :  0;    ˇ , f  x    függvény. a) Tanulmányozd az f függvény x 1 1  ln x, f  x 3 folytonosságát az x0  1 pontban! b) Számítsd ki a lim határértéket! c) Igazold, hogy f  x   , bármely x  x 4 x  0 esetén! 47. Adott az f : 1,    ˇ , f  x   x  2ln x függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x 1,   . b) Igazold, hogy 2010 1  . c) Bizonyítsd be az x 2  x  2ln x egyenlőtlenséget, bármely x  1, 2  esetén, felhasználva, hogy   2009 2 1  x  x 2  2 bármely x  1, 2  esetén! 1 1 1 1 48. Adott az f :  0,    ˇ , f  x    függvény. a) Igazold, hogy f   x    2 , bármely x > 0 2 x x 1  x  1 x 1 1 esetén! b) Bizonyítsd be, hogy   f  x  , bármely x 1;  esetén! c) Számítsd ki a x x 1   1  lim  x f  x  f    határértéket! x    x  49. Adott az f :  0,    ˇ , f  x    x  2 ln x függvény. a) Számítsd ki f   x  -et, ha x   0,   . b) Számítsd ki a ln

lim

x 1

f  x   f 1 x 1

határértéket! c) Igazold, hogy az f  függvény növekvő a  0,   intervallumon!

1  x , x  0 50. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x    függvény. a) Tanulmányozd az f függvény folytonosságát az x x0  e , x0  0 pontban! b) Határozd meg az f függvény grafikus képe  felé mutató aszimptotájának egyenletét! c) Igazold, hogy az f függvény konkáv a  0,   intervallumon! 2 x  3, x  1 , f  x   függvény. a) Tanulmányozd az f függvény folytonosságát az x0  1 x 1 ln x, 2 2009  f e x  f e x  ...  f  e x  f  x   pontban! b) Számítsd ki a lim határértéket! c) Számítsd ki az lim x  x x x 2009 határértéket!  ax  6, x  4 52. Adott az f :  , f  x    függvény, ahol a valós paraméter. a) Számítsd ki az a valós számot   x, x  4

51. Adott az f :



 

 

úgy, hogy az f függvény folytonos legyen az x0  4 pontban. b) Számítsd ki f   9 -et! c) Határozd meg az f függvény grafikus képéhez az A 9,3 pontban húzott érintő egyenletét! 53. a) Számítsd ki a lim

3x 2  2 x  1

x 1 3 x 2

 4x  1

határértéket! b) Határozd meg az f :

függvény konvexitási és konkavitási intervallumait. c) Adott a g :  0,  



, f  x   x 4  6 x 2  18 x  12





, g  x   x 2  1 ln x függvény.

Igazold, hogy g  x   0, bármely x  0;  esetén!

5

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi , f  x 



54. Adottak az f , g :

x2  1 x 1 2

és g  x  

III. rész

x 1 e

függvények. a) Igazold, hogy lim

x

g  x   g  2

Számítsd ki az f függvény szélsőértékpontjának koordinátáit! c) Igazold, hogy g  x   f  x   1 

 0 . b)

x2

x 2

1 e2

, bármely x

esetén!

 3x  1 , x  1 , f  x   függvény. a) Határozd meg az a valós paramétert úgy, hogy az f ax  2 , x  1 függvény folytonos legyen az x0  1 pontban! b) Határozd meg az f függvény grafikus képe  felé mutató 55. Adott az f :



vízszintes aszimptotájának egyenletét! c) Számítsd ki a 56. Adott az f : lim

x 



 f  x   1  x 

határértéket!

, f  x   e x  x  1 függvény. a) Számítsd ki a f ( x) -et, ha x . b) Számítsd ki a

f  x határértéket! c) Igazold, hogy e f   x 

57. Adott az f :

lim

x

2009

 2010  e

2010

 2009.

f  x   e x  ex  1 függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x



. b) Igazold, hogy az f

függvény konvex az -en! c) Határozd meg az f függvény grafikus képéhez az O  0, 0 pontban húzott érintő egyenesnek az x  1 egyenletű egyenessel való metszéspontjának koordinátáit. 58. Adott az f :  0,   , f  x   x  ln x függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x  0,  . b) Határozd meg az f függvény monotonitási intervallumait! c) Igazold, hogy 59. Adott az f : lim

\ 1 

f  x   f  1

x 1 aszimptotáját! x  1



amelyre lim

x a

x 3

\ 1 . b) Számítsd ki a



x 1 , x  1 , f  x   függvény folytonosságát az x0  1 pontban! b) Számítsd 2 x  1 , x  1

, g  x   2 x3  15 x 2  24 x  1 függvény deriváltját! c) Határozd meg azt az a pozitív valós számot, x2  a2  32 . x a

61. Adott az f : lim

x 1 függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x  x 1

határértéket. c) Határozd meg az f függvény grafikus képe  felé mutató vízszintes

60. a) Tanulmányozd az f : ki a g :

, f  x 

x  ln x  1 bármely x   0,   esetén!

f  x   f  3 x3

62. Adott az f :



, f  x   2 x  x ln 2 függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x . b) Számítsd ki a

határértéket! c) Határozd meg az f függvény szélsőértékpontját! \ 3 

, f  x 

x 1 függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x \ 3 . b) Számítsd ki a x3

f ( x)  f (4) határértéket! c) Határozd meg az f függvény grafikus képének vízszintes aszimptotáját a  felé! x4 x 1 63. Adott az f : 1,    , f  x   e x  függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x 1,    . b) x Tanulmányozd az f függvény monotonitását az 1,    intervallumon! c) Határozd meg az f függvény grafikus lim

x 4

képéhez az A1, e  pontban húzott érintő egyenletét! x 2x 64. Adottak az f , h : 0,   , f  x   és h  x   f 2  x  függvények. a) Igazold, hogy h  x   , 2 2 2 x 1 x 1





bármely x  0 esetén! b) Határozd meg az f függvény grafikus képea  felé mutató aszimptotájának egyenletét! c) Igazold, hogy a h függvény növekvő a 0,   intervallumon!

6

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi , f  x 



65. Adott az f :

2x 1  x2

III. rész

függvény. a) Számítsd ki f   x  -et, ha x . b) Határozd meg az f

 

függvény szélsőértékpontjait! c) Bizonyítsd be, hogy f  x   f x3  2 bármely x 

esetén!

 2x  3 , x0   66. Adott az f :  , f  x   x  2 függvény. a) Tanulmányozd az f függvény folytonosságát az 3  x , x0  2  x0  0 pontban! b) Határozd meg az f függvény grafikus képe  felé mutató vízszintes aszimptotájának egyenletét!

3  f  x    , 2  , bármely x  0,   esetén! 2   67. Adottak az f , g :  , f  x   x3  3 x 2  4 és g  x   x3  5 x 2  8 x  4 függvények. a) Számítsd ki az c) Igazold, hogy

f ( x)  g ( x) különbséget, ha x . b) Számítsd ki a lim

x 2

f  x

g  x

határértéket! c) Bizonyítsd be, hogy f  x   0,

bármely x   0 ,    esetén! 

68. Adott az f : függvény növekvő

, f  x   x3  3 x függvény. a) Számítsd ki az - f   x  -et, ha x . b) Igazold, hogy az f f ( x) -en! c) Számítsd ki a lim határértéket! x   x3

69. Adott az f :  0,   

, f  x   ln x 

x2 függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x   0,   . b) Számítsd ki a 2

f  x   f 1 határértéket! c) Határozd meg az f függvény konvexitási és konkavitási intervallumait! x 1 x 1 70. Adott az f :  0,     , f  x   x  x függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x   0,    . b) Igazold, hogy lim

az f függvény növekvő a  0,   intervallumon! c) Határozd meg az f függvény grafikus képén található azon 3 pont koordinátáit, amelyben a grafikus képhez húzott érintő iránytényezője . 2 71. Adottak az fn :  0,    , bármely n * függvények, ahol f0  x   ln x és fn  x   f 'n1  x  . a) Határozd meg az f1 függvényt! b) Határozd meg az f 2 függvény grafikus képe  felé mutató aszimptotájának egyenletét! 1  1 , bármely x   0,   esetén! c) Igazold, hogy az f0  x   f1  x  72. Adott az f : lim

x 1

f  x   f 1 x 1





, f  x   x3 

3 függvény. a) Számítsd ki f ( x) -et, ha x  x



. b) Számítsd ki a

határértéket! c) Határozd meg az f függvény monotonitási intervallumait!

 x2  3 , x 1  2  73. Adott az f :  , f  x    x  1 függvény, ahol a . a) Határozd meg az a valós számot úgy,  2x  a , x  1  x 2  2 hogy az f függvény folytonos legyen az x0  1 pontban! b) Határozd meg az f függvény grafikus képe  felé mutató vízszintes aszimptotájának egyenletét! c) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy a grafikus képhez a  2; f  2   pontban húzott érintő iránytényezője 1 legyen.

7

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi  x2  e x , x  0

1. Adott az f :  , f  x   

  x  1,

x0

III. rész

függvény. a) Igazold, hogy az f függvénynek van primitív

0

függvénye

-en! b) Számítsd ki

 x f ( x) dx. c) Számítsd ki a

g : 0;1  , g  x   f  x  függvény grafikus

1

képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! 2. Adottak az f , F :  , f ( x)  xe x és F ( x)  ( x  1)e x függvények. a) Igazold, hogy az F függvény az f függvény-nek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az f függvény grafikus képe, az Ox tengely, valamint az x  0 és x  1 egyenesek által határolt síkidom területét! c) Bizonyítsd be, hogy x



f (t ) f (t )   f (t ) 

1

2

2

dt 

f (t )

x 1  2 bármely x  1 esetén! x e  e x , x  1 függvény. a) Igazold, hogy az f függvénynek van primitív 2  x, x  1

3. Adott az f :  , f  x   

-en. b) Számítsd ki a g : 0,2  , g ( x)  f ( x) , x0,2 függvény grafikus képének Ox

függvénye

0

koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! c) Számítsd ki az

x f ( x) dx e 2



integrál értékét! 1

, g  x   ( x  1)3  3x 2  1 függvény. a) Számítsd ki  g ( x)dx . b) Számítsd ki az a  1 valós

4. Adott a g : 

0

a

számot, ha

  g  x  x

1

3

  e xdx  6e a . c) Számítsd ki  3x

2



 3  g 2009 ( x)dx .

0

1

5. Adott az f :  , f  x   x  e x függvény. a) Számítsd ki az f függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  0 és x  1 egyenesek által határolt síkidom területét! b) Ismertnek tekintjük az x  e 2

 x2

1

 1,  x 

egyenlőtlenséget. Ennek felhasználásával igazold, hogy  e x dx  0

2

2 . c) 3

Számítsd ki a g : 0,1  , g  x   f  x   f  x  függvény grafikus képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! 6. Adott az f :  , f  x   x 2  e x  1 függvény. a) Igazold, hogy az f függvény bármely primitív 1

függvénye növekvő

-en. b) Számítsd ki  x f  x  dx . c) Igazold, hogy 0

7. Adott az f : 1,  

e

 1

1 , f ( x)  függvény. a) Számítsd ki az x(1  ln x)

f  ln x  1 dx  e  . x 3 e

 f ( x)dx 1

értékét! b) Igazold, hogy

 

az f függvény bármely primitív függvénye növekvő az 1,  intervallumon! c) Határozd meg az a  1, e2 valós számot úgy, hogy az f függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  a és x  e2 3 legyen. 2 1 8. Adottak az f , g :  0,   , f  x   e x és g ( x)  függvények. a) Határozd meg az f  g függvény x

egyenletű egyenesek által határolt síkidom területe ln

primitív 8

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

III. rész

2

függvényeinek halmazát. b) Igazold, hogy



( f 2 ( x)  g 2 ( x)) dx 

1

e4  e2  1 . c) Ismertnek tekintjük az 2

2ab  a  b , 2

2

2

a, b  ˇ egyenlőtlenséget. Esetleg ennek felhasználásával igazold, hogy  e x  1 1

9. Adottak az I n   0

xn x 1 2

dx integrálok, ahol n 

*

1 e4  e2  1 dx  . x 4

a) Számítsd ki az I1 integrált! b) Igazold, hogy I 2  I1 ,

felhasználva esetleg, hogy x 2  x , bármely x0,1 esetén! c) Bizonyítsd be, hogy I n1  I n  bármely n 

*

1 +2ln2 , n 1

esetén!

10. Adottak az f , g :  , f  x  =

e2 x  1 ex

és g  x  

e2 x  1 ex

függvények. a) Igazold, hogy a g függvény az f

1

függvénynek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki

 f  x  g( x) dx . c) Igazold, hogy 0

1

1

 f '  x  g '  x  dx   f  x  g  x  dx . 0

0

11. Adott az f :  0,   e

hogy

 f ( x ) dx  1

, f ( x) 

ln x +x függvény. a) Számítsd ki az x

2

e . c) Igazold, hogy az I n  2

e

 ( f ( x)  1

ln x ) dx értékét! b) Igazold, x

en 1

  f ( x)  x  dx, n  1

e

általános taggal meghatározott sorozat

n

egy olyan számtani haladvány, amelynek állandó különbsége 1. 12. Adottak az fm : 0,1  , f m ( x)  m2 x 2  (m2  m  1) x+1 függvények, ahol m . a) Számítsd ki



1

f1 ( x) dx . b) Számítsd ki az  e x f 0 ( x) dx értékét! c) Határozd meg az m * paramétert úgy, hogy 0

1

3

 fm ( x) dx  2

legyen!

0

e2

13. Adottak az I n 

 e

ln n x dx , integrálok minden nĄ esetén. a) Igazold, hogy I 0  1 . b) Számítsd ki az I1 x

integrált! c) Ismert, hogy 1  ln x  2 , bármely x  e, e2  esetén. Esetleg ennek felhasználásával igazold, hogy 1

2n1  1 n  2 , bármely nĄ esetén! n 1

14. Adott az f :  4,4  ,

4

f ( x)  16  x2 függvény. a) Számítsd ki

f

2

( x) dx . b) Igazold, hogy

0 5



 5

m

x dx  0 . c) Igazold, hogy 0   f ( x) dx  8 , bármely m0,2 esetén! f ( x) 0

9

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi 15. Adott az f :

III. rész

, f ( x)  e x x2  1 függvény. a) Igazold, hogy



1

f ( x)



x2  1

0

g:

dx  e  1. b) Számítsd ki a

 , g  x   xe  x f  x  függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  0 és x  1 1

egyenesek által határolt síkidom területét! c) Számítsd ki



x 2  1  f  x  dx .

1 3

16. Adottak az I n   2

x

n

x 1 2

dx, n 

c) Bizonyítsd be, hogy I n2  I n 

1 2

integrálok. a) Igazold, hogy I 0  ln

3 . b) Számítsd ki I1. 2

3n1  2n1 bármely nĄ esetén! n 1

17. Adott az f :  0,   , f ( x)  ln x  x függvény. a) Számítsd ki az

2

 ( x  f ( x)  ln x)

2

dx értékét! b)

1

Igazold, hogy az f függvény bármely F primitív függvénye konkáv az (1,  ) intervallumon! c) Számítsd ki a h : 1, e  , h( x)  f ( x)  x függvény grafikus képe, az Ox tengely, valamint az x  1 és x  e egyenesek által határolt síkidom területét! 18. Adott az f :  0;    , f  x   e x  ln x függvény. a) Igazold, hogy  g  x  dx  g  x   C, x  0 , ha g :  0;  

, g  x   f  x   ln x . b) Számítsd ki

e



f  x  dx . c) Igazold, hogy

1

19. Adott az f :  0,  

, f ( x) 

1 x2



1 ( x  1)2

e

 

2

2  xf x dx  1 e



1

 

függvény. a) Számítsd ki az  x  f  x  

ee  e 2  e  1 . 2

  dx értékét!  x  12  1

b) Igazold, hogy az f függvény bármely primitív függvénye növekvő a  0,   intervallumon! c) Igazold, 2

hogy

22

 f ( x) f ( x)dx   81 . 1

x

 , f ( x)  e x és F ( x)   f (t )dt függvények. a) Igazold, hogy F ( x)   f ( x)  1

20. Adottak az f , F :

0

bármely x

esetén! b) Bizonyítsd be, hogy a h : 1

 , h( x)  F ( x)  f ( x) függvény konkáv az

-en. c)

 

Számítsd ki  x  f x 2 dx értékét! 0

21. Adott az f :  , f ( x)  3x  3 x függvény. a) Számítsd ki az

1



f ( x)dx értékét! b) Számítsd ki a

1

g :  0,1 

x

, g ( x)  3

függvény grafikus képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! c) Igazold, hogy az f függvény bármely F primitív függvénye konkáv a  ,0 intervallumon és konvex a 0,   intervallumon! 22. Adott az f :  2,  

e

1  1 1  dx értékét! b) , f ( x)   függvény. a) Számítsd ki az   f ( x)  x  1  x x 1 2

Igazold, hogy az f függvény bármely F primitív függvénye konkáv a  2;  intervallumon! c) Határozd meg az a  2 valós szám értékét úgy, hogy az f függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  2 és x  a egyenletű egyenesek által határolt síkidom területe ln3 legyen! 10

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi 23. Adottak az f , F : 1,   , f  x   ln x 

III. rész

1 és F  x    x  1 ln x  x  1 függvények. a) Igazold, hogy az x 2

F függvény az f egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az



 

f e x dx értékét! c) Igazold, hogy

1

2



f ( x) F  x  dx 

 3ln 2  12 . 2

1 2

24. Adott az I n   x n e x dx , n 1



integrál. a) Számítsd ki I0 értékét! b) Igazold, hogy I1  e2 . c) Igazold,



hogy  n  1 I n  I n 1  e 2n 1 e  1 bármely n

esetén!

25. Adott az f :  , f  x   x3  mx 2  nx  p függvény, ahol m, n, p  . a) Számítsd ki az

1

 f ( x)dx 0

értékét, ha 1

m  0, n  3, p  2 . b) Határozd meg m, n, p 

, ha f (1)  f (1)  0 és



f ( x)dx  4. c) Számítsd ki a

1

lim

x 

1 x4

x

 f (t )dt

határértéket!

0

26. Adottak az f , g :  0,    ˇ , f  x   1  ln x és g  x   x ln x függvények. a) Igazold, hogy a g függvény az e

f függvény egy primitív függvénye! b) Számítsd ki

 f  x   g  x  dx

értékét! c) Számítsd ki a g függvény

1

grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  1 és x  e egyenesek által határolt síkidom területét! 27. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   x1004  2009 x függvény. a) Számítsd ki  f  x  dx értékét! b) Igazold, hogy az 1

f függvénynek minden primitív függvénye növekvő az ˇ -en! c) Számítsd ki az

 x f x

2

 dx értékét!

0

28. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   1



x  2x  1 2

x 1 2

f  x  dx  ln  2e  . c) Igazold, hogy

1

függvény. a) Számítsd ki:

 f  x e

f  x

x

2



 1  f  x  dx . b) Igazold, hogy

dx  e(e  1) .

0

0

1

29. Adott az I   0

1

x

e xe x dx és a J   dx integrál. a) Igazold, hogy I  J  e 1. b) Ismert az e x  x  1 x 1 x  1 0

egyenlőtlenség bármely xˇ esetén. Esetleg ennek felhasználásával igazold, hogy J 

1 . c) Igazold, hogy 2

1

e2 ex I  dx . 2 2 0  x  1 1

30. Adottak az I n   x 1  x  dx integrálok, bármely n természetes szám esetén. a) Számítsd ki I1 értékét! b) n

0

Ismert az 1  x   1  x  n

n1

, n  , x 0,1 egyenlőtlenség. Esetleg ennek felhasználásával igazold, hogy

11

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi I 2009  I 2008 . c) Ismert az x 1  x   1  x  n

felhasználásával igazold, hogy I n 

n1

III. rész

 1  x  , n  , x  n

n  2n1  1 .  n  1 n  2 

31. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   xe x függvény. a) Számítsd ki 1



f   x  dx  2e  1. c) Számítsd ki

0

2

 1

azonosság. Esetleg ennek

  dx értékét!

f x

1

 f  xe

x

dx értékét! b) Igazold, hogy

0

2

x

32. Adottak az f , g : 0,1  ˇ , f ( x)  1  x , g  x   1  x  x 2  x3  ...  x 2008  x 2009 függvények. a) Határozd meg az f függvény primitív függvényeinek halmazát! b) Határozd meg az f függvény grafikus képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! c) Igazold, hogy 1

  x  1 g  x  dx  1 . 0 1

xn dx integrál, minden n  x 1 0

33. Adott az I n  

*

természetes szám esetén. a) Számítsd ki I1 értékét! b)

xn xn 1 , bármely n  Ą esetén! c) Ismert az   xn n  * , x 0,1 n 1 2 x 1 1 egyenlőtlenség. Esetleg ennek felhasználásával igazold, hogy  2010  I 2009  1 . 2 2 34. Adottak az f , g :  0,     ˇ , f  x   x  x ln x és g  x   2x  ln x  1 függvények. a) Igazold, hogy az f

Igazold, hogy I n1  I n 

e

függvény a g függvénynek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az

 f  x   g  x  dx

értékét! c) Határozd

1

meg az f függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  1 és x  e egyenletű egyenesek által határolt síkidom területét! 35. Adottak az f , F : ˇ  ˇ , f  x   e x  3 x 2  2 és F  x   e x  x3  2 x  1 függvények. a) Igazold, hogy az F 1

függvény az f függvénynek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az

 f  x   F  x  dx

értékét! c) Igazold,

0 1

hogy

  x f  x   F  x   dx  F 1 . 0

 x  2, x  0 függvény. a) Igazold, hogy az f függvénynek van primitív x e  1, x  0

36. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   

1

függvénye az



-en! b) Számítsd ki az

f  x  dx értékét! c) Igazold, hogy

1





37. Adottak az f , g : ˇ  ˇ , f  x   ln x  1 és g  x   1

 0

f   x  dx  ln 2 . b) Bizonyítsd be, hogy

2

1

 x f x 0

2x x2  1

2

 dx  2e .

függvények. a) Igazold, hogy 2

 g  x  dx  f  x   C. c) Számítsd ki az  1

g  x f 2  x

dx értékét!

12

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

III. rész

e2

38. Bármely nĄ esetén adott az I n   x ln n x dx integrál. a) Számítsd ki I0 értékét! b) Igazold, hogy e

I n  I n1 , bármely n

esetén! c) Igazold, hogy az I n 



nI

e 2 e 2  2n  1 2

2

n1

összefüggés teljesül, bármely

n  Ą esetén!  x  1, x  1 39. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x    függvény. a) Számítsd ki az   x  1, x  1

meg az a   0,1 számot, ha

a



f  x  dx  1 . c) Számítsd ki:

a

1

 x f e

x

2

 f  x  dx

értékét! b) Határozd

1

 dx .

0

1 40. Adottak az f , F :  0,    ˇ , f  x   1  és F  x   x  ln x függvények. a) Igazold, hogy az F x 2

függvény az f függvénynek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az  F  x   f  x  dx értékét! c) Határozd 1

meg az F függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  1 és x  e egyenletű egyenesek által határolt síkidom területét! 41. Adottak az f , g :  0,    ˇ , f  x   4



f  x  dx  ln 4  2 . b) Igazold, hogy

1

4

 1

. b) Számítsd ki az

 f  x  dx

 f x e

3 g  x  dx  ln 4  . c) Számítsd ki: 4

42. Adottak az f , g :  0,    ˇ , f  x   e

1 x 1 és g  x    ln x függvények. a) Igazold, hogy 4 x



1



x x2  1

és g  x  

2

  g  x2  dx .

1

1 függvények. a) Igazold, hogy x

értékét, felhasználva az f  x   g  x  

1

e

 g  x  dx  1 1

x , x  0 azonosságot! c) Igazold, x 1 2

e 1 e 1 1 , felhasználva az f  x   2 egyenlőtlenséget, mely igaz bármely x 1, e esetén!  2 e 2x 2

hogy ln

1 43. Adott az f :  0,    ˇ , f  x   x  függvény. a) Számíts ki az x

e

 f  x  dx

integrált! b) Igazold, hogy

1

az f függvény bármely primitív függvénye konvex a  0,   intervallumon. c) Bizonyítsd be, hogy a 1 g , h : 1, e  ˇ , g  x   f  x  és h  x   f   függvények grafikus képeinek Ox koordinátatengely körüli  x

forgatása által meghatározott forgástestek térfogatai egyenlők! 44. Adott az f : ˇ  ˇ , f  x   e x  x függvény. a) Igazold, hogy

1

3  f  x  dx  e  2 . b) Számítsd ki az 0

1

 x  f  x  dx

értékét! c) Igazold, hogy ha F : ˇ  ˇ az f függvénynek egy primitív függvénye, akkor

0 e2

 e

f  ln x  dx  F  2   F 1 . x

13

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi 45. Adottak az f , g : 1,    ˇ , f  x  

1  ln x ln x és g  x   függvények. a) Igazold, hogy f egy primitív x x2

e

 f  x   g  x  dx

függvé-nye a g -nek! b) Számítsd ki az

III. rész

értékét! c) Határozd meg az a  1;   valós számot,

1

a

ha

 f  x  dx  2 . 1

46. Adottak az f , g : 1,    ˇ , f  x   x 2  2

 1

7 f  x  dx  2ln 2  . b) Igazold, hogy 3

f  x0   g  x0   3 . 3

47. Adottak az I n   2

xn x 1 2

2

3

 g  x  dx  2ln 2  4 . c) Igazold, hogy létezik

3



dx integrálok, bármely nĄ esetén. a) Igazold, hogy

1

1

x

n

 x  1

meg I1 -et, felhasználva az hogy I n  I n2 

2



x0  1;2 úgy, hogy

1

ki: I1 . c) Bizonyítsd be, hogy I n  2  I n  48. Adottak az I n 

2 és g  x   x ln x függvények. a) Igazold, hogy x

1 3 I 0  ln . b) Számítsd 2 2

3n 1  2n 1 , bármely nĄ esetén! n 1

dx integrálok, ahol nĄ . a) Igazold, hogy I 0  I 2 

1



x x 1 2



3 1 . b) Határozd 3

1 x  2 azonosságot, mely igaz bármilyen x  0 esetén! c) Igazold, x x 1

1 , bármely nĄ , n  2 esetén! n 1

49. Adottak az f , g :  0,    ˇ , f  x   x  ln x és g  x  

x 2 függvények. a) Igazold, hogy az f 2x 4

függvény a g függvénynek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az

 f  x   g  x  dx

értékét! c) Bizonyítsd

1

4

be, hogy  g  x   f   x  dx  1 . 1

50. Adottak az f , g : ˇ  ˇ , f  x   e x és g  x   x függvények. a) Számítsd ki: 2

1

ki az



f  x   g  x  dx értékét! c) Igazold, hogy

1



 

f x50  g 99  x  dx 

0

0

51. Adottak az f , F : 

, f  x   e x  x 2  2 x és F  x   e x 

 f  x  dx . b) Számítsd

e 1 . 100

x3  x 2  1 függvények . a) Igazold, hogy az 3 1

F függ-vény az f függvénynek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az

 f  x  dx

értékét! c) Számítsd ki a

0

h : 0,1 

, h x 

f  x   x  2x 2

ex  1

függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az

x  0 és x  1 egyenletű egyenesek által határolt síkidom területét!

14

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

III. rész x

52. n

esetén értelmezzük az fn : 0,   , f0  x   1 és f n1  x    f n  t  dt függvényt. a) Számítsd ki 0

f1  x  -et, ha x0 ,   . b) Bizonyítsd be, hogy

1

 f1  x   ln x dx  0

e 1 . c) Számítsd ki g : 0,1  4 2

,

g ( x )  f 2 ( x ), x  0,1 függvény grafikus képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott

forgástest térfogatát! , f  x 

64. Adott az f : 0,   1

  x  1 x  2 f  x  dx  0

1 1   1 függvény. a) Bizonyítsd be, hogy x 1 x  3 1

22 . b) Számítsd ki az 3

 f  x  dx

értékét! c) Határozd meg a k pozitív valós számot

0

úgy, hogy az f függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  0 és x  k egyenletű egyenesek által határolt síkidom területe k  ln k legyen! 65. Adott az f :  , f  x   x  2 függvény. a) Számítsd ki az

1

 f  x  dx

értékét! b) Számítsd ki

0 1

x  e f  x  dx értékét! c) Határozd meg a

p valós számot úgy, hogy a h : 0,1 

, h  x   f  px  , x 0,1

0

függvény grafikus képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogata minimális legyen! 2

66. a) Számítsd ki az

 1

f  x 

1 x  2x 2

1

dx értékét! b) Bizonyítsd be, hogy

 0

x dx  1. c) Adott az f :  0 ,   x 1

1 függvény és az a , b és c szigorúan pozitív valós számok. Igazold, hogy ha az x

b

c

1

1

 f  x  dx ,  f  x  dx

,

a

 f  x  dx , 1

számok egy számtani haladvány három egymás utáni tagja, akkor az a , b , c számok

egy mértani haladvány egymásutáni tagjai! 67. Adottak az f , F :  0 ,  

, f  x  ex 

x 1 és F  x   e x  x  ln x függvények. a) Igazold, hogy az F x 2

függvény az f függvénynek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az

 x  F  x   x  ln x  dx

értékét! c)

1

Határozd meg a m valós paramétert úgy, hogy az f függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  1 és x  e egyenletű egyenesek által határolt síkidom területe em  2 legyen! 68. Adott az f : 

 x 1 , x    ,1 

, f  x   x  2

ln x  2, x  1,    

függvény. a) Igazold, hogy az f függvénynek van

1

primitív függvénye

-en! b) Számítsd ki az  ( x  2) f ( x)dx értékét! c) Számítsd ki a lim 0

x 

x

1  f t   2  dt x 1

határértéket!

15

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi 69. Adott az f : 0,   , f  x   1  x  , n  n



III. rész 2

függvény. a) Számítsd ki n  2 esetén az

 1

integrált! b) Határozd meg n  1 esetén az a0;  számot, ha

1 f   dx x

a

 f  x  dx  0 . c) Számítsd ki az 0

1



f ( x) f  x  dx értékét!

0

70. Adott az f : 0,   , f  x  

1 1 függvény. a) Igazold, hogy  x 1 x  2

1

ha x  0 . b) Számítsd ki az

 f  x  dx

  x  1 x  2  f  x  dx  x

2

értékét! c) Számítsd ki a h : 0 ,1  , h  x   f  x   f  x  1 

0

 3x  C ,

1 x 1

függvény grafikus képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! 71. Adott az f :

, f  x 



2x 1  x2

e 1

függvény. a) Számítsd ki az

 f  x  dx értékét! b) Bizonyítsd be, 0

hogy az f függvény bármely primitív függvénye növekvő a  0 ,    intervallumon! c) Bizonyítsd be, hogy 1



f  x  dx 

0

2



3

4

2

3

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .

1

72. Adott az f : 0,1 

, f  x   x 2  x 2 függvény. a) Számítsd ki az f függvény grafikus képének Ox 1

koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! b) Számítsd ki az



f ( x) dx

0

értékét! x

 f (t )dt

c) Számítsd ki a lim 0 x0

x2

határértéket!

73. Adott az f :  , f  x   e x függvény. a) Igazold, hogy 2

1

f



x dx  e  1 . b) Számítsd ki az

0

1

1

 x f  x  dx értékét! c) Bizonyítsd be, hogy 1   f  x  dx  e . 0

0

 x  1 függvény. a) Számítsd ki a h : 1, 3  , h  x   f  x   x 2009  1 74. Adott az f :  , f  x   x függvény grafikus képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! b) Határozd meg az f függvény azon F :  primitív függvényét, amelyre F (0)  1. c) Számítsd ki a 2009

x

 f t  dt lim

x

0

x 2010

határértéket!

16

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi 75. Adottak az fn :  e

 f1 

, fn  x  

1

 x  1 2



x  1 dx  1 . b) Határozd meg a g :

n

függvények, bármely n * esetén. a) Igazold, hogy

 , g  x 

1

amelyre teljesül a G 1 

III. rész

1

f2  x 

13 egyenlőség! c) Számítsd ki az 15

függvény azon G primitív függvényét,

1

 x  fn  x  dx

értékét n  , n  2 esetén!

0

2   x  x  2, x  1 függvény. a) Igazold, hogy az f függvénynek van primitív x  1 ln x , x  1    

76. Adott az f :  , f  x   

1

függvénye az

-en! b) Igazold, hogy

7

 f  x  dx   6 . c) Számítsd ki a h : 1; e 

, h x 

0

f  x x 1

függvény

grafikus képének Ox koordinátatengely körüli forgatása által meghatározott forgástest térfogatát! 77. Adottak az F , f : R  R , F  x   x  e x és f  x    x  1 e x függvények. a) Igazold, hogy az F függvény az f függvénynek egy primitív függvénye! b) Számítsd ki az F függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  0 és x  1 egyenletű egyenesek által határolt síkidom területét! c) 1

Számítsd ki az

 0

F  x  f  x ex  1

dx értékét!

78. Adottak az f , g : 0,1  R , f  x   2 x és g  x   x  2 x függvények. a) Számítsd ki

 f  x  dx . b) Határozd

meg a g függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  0 és x  1 egyenletű egyenesek x

 f (t )dt

által határolt síkidom területét! c) Számítsd ki a lim 0 x0

79. Adottak az fn : 0,1  R , f n  x  

x

határértéket!

xn függvények, bármely n * esetén. a) Számítsd ki x 1

1 2

  x  1  f 2  x  dx értékét! b) Határozd meg az

f1 függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint

1

az x  0 és x  1 egyenletű egyenesek által határolt síkidom területét. c) Igazold, hogy

1

 f2009  x  dx  ln 2 . 0

80. Adottak az fn : R  R , f n  x  

e e

nx

x

1

függvények, bármely n

esetén. a) Számítsd ki

 f0  x  dx , ha

xR . b) Határozd meg az f1 függvény grafikus képe, az Ox koordinátatengely, valamint az x  0 és x  1

egyenletű egyenesek által határolt síkidom területét! c) Igazold, hogy

1

1

0

0

 fn1  x  dx   fn  x  dx , bármely nN

esetén!

17