Integral Agus Yodi Gunawan
1
Teknik pengintegralan. 1. Metode substitusi pada integral tak tentu. Misalkan g(x) suatu fungsi yang terdiferensialkan. Misalkan pula F (x) merupakan antiturunan dari fungsi f (x). Jika u = g(x), maka ∫ ∫ ′ f (g(x))g (x)dx = f (u)du = F (u) + C = F (g(x)) + C. 2. Integral parsial. Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing fungsi yang terdiferensialkan. Maka, ∫ ∫ ′ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u′ (x)dx. 3. Integral fungsi trigonometri. ∫ ∫ • Bentuk I: sinn x dx, cosn x dx . (a) Jika n bilangan bulat positif ganjil: Integran dituliskan sebagai perkalian fungsi trigonometri berpangkat genap dan fungsi trigonometri berpangkat satu, kemudian gunakan identitas sin2 x + cos2 x = 1. Contoh, ∫ ∫ ∫ 5 4 cos x dx = cos x cos x dx = (1 − sin2 x)2 cos x dx. (b) Jika n bilangan bulat positif genap: Integran disusun ulang dengan menggunakan identitas cos 2x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1. Contoh, )2 ∫ ∫ ( 1 + cos 2x 4 cos x dx = dx. 2 ∫ • Bentuk II: sinm x cosn x dx . (a) Jika m (atau n) bilangan bulat positif ganjil dan lainnya bilangan bulat: Integran berpangkat ganjil mengikuti aturan bentuk I(a). Contoh, ∫ ∫ ∫ 3 −4 2 −4 cos x sin x dx = cos x sin x cos x dx = (1−sin2 x) sin−4 x cos x dx. (b) Jika m dan n keduanya bilangan bulat positif genap: Masing-masing fungsi trigonometri pada integran disusun ulang dengan menggunakan aturan bentuk I(b). Contoh, )( )2 ∫ ∫ ( 1 − cos 2x 1 + cos 2x 2 4 sin x cos x dx = dx. 2 2 1
∫ ∫ ∫ • Bentuk III: sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx . Gunakan identitas: 1 (a) sin mx cos nx = [sin(m + n)x + sin(m − n)x]. 2 1 (b) sin mx sin nx = [cos(m + n)x − cos(m − n)x]. 2 1 (c) cos mx cos nx = [cos(m + n)x + cos(m − n)x]. 2 ∫ ∫ m • Bentuk IV: tan x dx, cotm x dx . Integran disusun ulang sehingga memuat salah satunya bentuk tan2 x (atau cot2 x), kemudian gunakan identitas 1 + tan2 x = sec2 x atau 1 + cot2 x = csc2 x sehingga integran yang baru mengandung suku sec2 x (atau csc2 x). Contoh, ∫ ∫ 4 cot x dx = cot2 x(csc2 x − 1) dx ∫
∫ 4
tan x dx = • Bentuk V:
∫
tanm x secn x dx,
∫
tan2 x(sec2 x − 1) dx
cotm x cscn x dx .
(a) Jika n bilangan bulat positif genap: Integran dituliskan sebagai perkalian fungsi-fungsi yang salah satunya memuat bentuk sec2 x, kemudian gunakan identitas sec2 x = 1 + tan2 x. Contoh, ∫ ∫ −3/2 4 (tan x) sec x dx = (tan−3/2 x) (1 + tan2 x) sec2 x dx. (b) Jika m bilangan bulat positif ganjil: Integran dituliskan sebagai perkalian fungsi-fungsi yang salah satunya memuat bentuk sec x tan x, kemudian gunakan identitas sec2 x = 1 + tan2 x. Contoh, ∫ ∫ 3 −1/2 (tan x) sec x dx = (tan2 x) (sec−3/2 x) sec x tan x dx. 4. Integran yang memuat akar. √ • Bentuk n ax + b . √ Gunakan substitusi u = n ax + b untuk menghilangkan bentuk akar. Contoh ∫ √ ∫ 5 2 x (1 + x) dx = (u5 − 1)u2 5u4 du, √ dimana u = 5 1 + x dan dx = 5u4 du. √ √ √ • Bentuk a2 − x2 , a2 + x2 , dan x2 − a2 . Gunakan substitusi berikut untuk menghilangkan bentuk akar, 2
√ a2 − x 2 √ a 2 + x2 √ x 2 − a2
x = a sin t , −π/2 ≤ t ≤ π/2 x = a tan t , −π/2 < t < π/2 x = a sec t , 0 ≤ t ≤ π, t ̸= π/2
Pembatasan nilai t dimaksudkan agar fungsi trigonometri di atas memiliki invers, sehingga kita dapat menyatakan kembali hasil integral dalam peubah x. Selain itu, untuk menyatakan hasil dari peubah t ke peubah x biasanya digunakan pula aturan fungsi trigonometri pada sebuah segitiga siku-siku. 5. Integran berupa fungsi rasional. Fungsi rasional adalah fungsi yang dibentuk sebagai hasil pembagian dua buah sukubanyak. Jika derajat sukubanyak pada pembilang lebih kecil dari derajat sukubanyak pada penyebutnya, maka fungsi rasional dikatakan fungsi rasional sejati. Gagasan: setiap fungsi rasional sejati dapat dituliskan (didekomposisi) sebagai penjumlahan fungsi-fungsi rasional sejati sederhana. Fungsi rasional sejati sederhana mempunyai penyebut berupa sukubanyak linear atau sukubanyak kuadratik yang tidak memiliki akar real (disebut sukubanyak kuadratik tak tereduksi). Untuk mendekomposisi suatu fungsi rasional f (x) = p(x)/q(x), proses yang dilakukan adalah sebagai berikut: (a) Jika derajat p(x) (pembilang dari f (x)) lebih besar atau sama dengan derajat q(x) (penyebut dari f (x)), maka p(x) dibagi q(x) menghasilkan pembagian dengan sisa sehingga diperoleh f (x) = suatu sukubanyak +
N (x) . D(x)
Sekarang N (x)/D(x) merupakan sukubanyak sejati. (b) Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linear dan faktor kuadratik tak tereduksi dengan koefisiennya bilangan real. (c) Untuk setiap faktor berbentuk (ax + b)k , pilih dekomposisinya berbentuk A2 Ak A1 + + ··· + . 2 (ax + b) (ax + b) (ax + b)k (d) Untuk setiap faktor berbentuk kuadratik tak tereduksi (ax2 + bx + c)m , pilih dekomposisinya berbentuk B1 x + C1 B2 x + C2 Bm x + Cm + + ··· + . 2 2 2 (ax + bx + c) (ax + bx + c) (ax2 + bx + c)m (e) Tuliskan N (x)/D(x) sebagai penjumlahan semua suku-suku yang diperoleh dari (c) dan (d). Banyaknya koefisien yang akan ditentukan harus sama dengan besarnya derajat sukubanyak D(x). 3
(f) Lakukan perkalian oleh D(x) terhadap kedua ruas persamaan yang diperoleh di (e), kemudian tentukan nilai koefisien-koefisien dengan cara: (i) menyamakan koefisien setiap derajat yang bersesuaian, atau (ii) mensubstitusikan nilai tertentu untuk peubah x. Contoh: Dekomposisikan f (x) = Proses yang dikerjakan:
1 . + + 2x2 + 2x + 1 Tulis D(x) = x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)2 (x2 + 1). A1 A2 Untuk faktor linear, tulis + . x + 1 (x + 1)2 B1 x + C1 Untuk faktor kuadratik tak tereduksi, tulis . x2 + 1 1 A1 A2 B1 x + C1 Diperoleh 4 = + + 2 . Sukubanyak 3 2 2 x + 2x + 2x + 2x + 1 x + 1 (x + 1) x +1 D(x) berderajat 4, koefisien yang akan ditentukan: A1 , A2 , B1 dan C1 .
(a) Diperoleh f (x) = x + (b) (c) (d) (e)
x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 . x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1
x4
2x3
(f) Diperoleh 1 = A1 (x + 1)(x2 + 1) + A2 (x2 + 1) + (B1 x + C1 )(x + 1)2 . Dengan cara (ii): Untuk x = −1 diperoleh A2 = 1/2. Untuk x = 0 diperoleh 1 = A1 + 1/2 + C1 . Untuk x = 1 diperoleh 1 = 4A1 + 1 + 4(B1 + C1 ). Untuk x = −2 diperoleh 1 = −5A1 + 5/2 + (−2B1 + C1 ). Akhirnya diperoleh A1 = 1/2, B1 = −1/2, C1 = 0.
Latihan 1. Hitung integral berikut: ∫1 2x ∫1 ∫ π/2 ∫ sin x e − e−2x dx tan x √ √ dx, dx, , dx. 2 2x −2x 2 e +e 16 + 16x − x sec2 x − 4 0 16 + cos x 0
2. Hitung
0
∫2π x| sin x| dx (gunakan substitusi u = x − π). 2 0 1 + cos x
3. Misalkan R daerah tertutup yang dibatasi oleh y = sin x, y = cos x, dan −π/4 ≤ x ≤ 3π/4. Hitung volume benda putar jika R diputar dengan sumbu putar x = −π/4. 4. Hitung integral∫berikut: ∫ ∫ ∫ ∫ ln x √ dx, cos(ln x) dx, (ln x)4 dx, x2 ln x dx. t arctan t dt, x 4
5. Gunakan teknik integral parsial untuk menunjukkan formula reduksi berikut: ∫ ∫ α βx xα eβx α (a) x e dx = − xα−1 eβx dx. β β ∫ ∫ α xα sin βx α (b) x cos βx dx = − xα−1 sin βx dx. β β ∫ ∫ α α (c) (ln x) dx = x(ln x) − α (ln x)α−1 dx. 6. Jika f ′ (x) kontinu di [−π, π], gunakan integral parsial untuk menunjukkan bahwa ∫π 1 lim f (x) sin nx dx = 0. n→∞ π −π
√ n (n + 1)(n + 2) · · · (n + n). Buktikan lim (Gn /n) = 4/e (tinjau
7. Misalkan Gn =
n→∞
ln(Gn /n), kenali masalah ini sebagai masalah jumlah Riemann). 8. Hitung integral berikut: π/2 √ ∫ ∫ ∫ ∫ sin6 t dt, (sin3 t) cos t dt, tan−3 t sec4 t dt, tan3 t sec−1/2 t dt 0
9. Misalkan f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + · · · + aK sin kx. 1 (a) Hitung π
∫π f (x) sin mx dx (perhatikan untuk m ≤ K dan m > K). −π
1 (b) Buktikan π
∫π f 2 (x) dx = a21 + a22 + · · · + a2k . −π
10. Buktikan lim cos(x/2) cos(x/4) · · · cos(x/2n ) = (sin x)/x, dengan mengerjakan langkahn→∞ langkah berikut: (a) cos(x/2) cos(x/4) · · · cos(x/2n ) = [cos(x/2n ) cos(3x/2n ) · · · cos((2n −1)x/2n )]/(2n−1 ). (b) Kenali masalah ini sebagai masalah jumlah Riemann, kemudin hitung integral tentunya. 11. Daerah R adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh y = sin x, x = 0, x = π, dan y = k, 0 ≤ k ≤ 1. Daerah R tersebut kemudian diputar dengan sumbu putar y = k. Tentukan k sehingga volume benda putarnya: (a) minimum, (b) maksimum. 12. Hitung integral berikut: ∫ ∫π ∫ ∫ ∫ x πx − 1 x 2x + 1 2x − 1 √ √ √ dx, dx, dx, dx, dx 2 2 2 2 2 2 x + 2x + 2 x − 6x + 18 1−x 4x − x π +x 0
5
13. Dekomposisikan fungsi rasional berikut, tanpa menghitung koefisien-koefisiennya: 3 − 4x2 3x + 1 (x + 1)2 f (x) = , f (x) = , f (x) = (2x + 1)3 (x2 + x + 10)2 (1 − x2 )2 (x2 − x + 10)2 14. Hitung integral berikut: ∫ ∫ 2 ∫5 ∫π/4 cos x x3 + x 2 x + 19x + 10 3x + 13 dx, dx, dx, dx 2 2 4 3 2 x + 5x + 6 2x + 5x x + 4x + 3 (1 − sin x)(1 + sin2 x)2 0
1
15. Hitung volume benda padat yang terbentuk jika daerah tertutup yang dibatasi oleh √ sumbu x dan y = 4x 2 − x diputar sepanjang sumbu y. 16. (Optional) Hitung panjang kurva y = x2 /16, 0 ≤ x ≤ 4. 17. Soal tambahan dari buku Calculus 9th edition, D. Varberg et al, Pearson int’l edition (2007): (a) Problem set 7.2: no. 74. (b) Problem set 7.4: no. 32, 33, 34, 35. (c) Problem set 7.5: no. 49 sd 54.
2
Bentuk tak tentu dan integral tak wajar 1. Aturan L’Hˆ opital untuk bentuk 0/0. Misalkan lim f (x) = 0 = lim g(x). Jika x→c
lim[f ′ (x)/g ′ (x)] ada (dalam arti hingga atau −∞ (+∞), maka
x→c
x→c
f (x) f ′ (x) = lim ′ . x→c g(x) x→c g (x) lim
2. Aturan L’Hˆ opital untuk bentuk ∞/∞. Misalkan lim |f (x)| = ∞ = lim |g(x)|. x→c
Jika lim[f ′ (x)/g ′ (x)] ada (dalam arti hingga atau −∞ (+∞), maka
x→c
x→c
f (x) f ′ (x) = lim ′ . x→c g(x) x→c g (x) lim
3. Bentuk tak tentu lainnya: 0 · ∞, ∞ − ∞. Gagasannya: mentransformasikan bentuk tersebut menjadi bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, kemudian menerapkan aturan L’Hˆopital pada bentuk tak tentu ini. 1 ln(sin x) x x ln x − x + 1 Contoh: lim tan x·ln(sin x) = lim , lim+ − = lim+ . x→π/2 x→π/2 x→1 x − 1 ln x x→1 cot x (x − 1) ln x
6
4. Integral dengan batas tak hingga. Integral tak wajar dari fungsi f (x) dengan salah satu batas integralnya tak hingga didefinisikan oleh ∫b ∫b f (x) dx = lim f (x) dx −∞ a→−∞ a ∫∞ ∫b f (x) dx = lim a f (x) dx a b→∞
Jika nilai limitnya ada dan bernilai hingga, maka integral tak wajar ini dikatakan konvergen ke nilai tersebut. Jika limitnya tidak ada, maka integral tak wajar ini dikatakan divergen. ∫∞ ∫∞ ∫c f (x) dx konverf (x) dx dan f (x) dx masing-masing konvergen, maka Jika −∞
gen dan
∫∞
c
f (x) dx =
−∞
∫c
f (x) dx +
−∞
∫∞
−∞
f (x) dx.
c
5. Integral dengan integrannya bernilai tak hingga. Misalkan f (x) kontinu di selang [a, b) dan misalkan lim− |f (x)| = ∞. Maka x→b
∫ a
∫
b
f (x) dx = lim− t→b
t
f (x) dx a
asalkan nilai limitnya ada dan hingga (integral tersebut dikatakan konvergen). Misalkan f (x) kontinu di [a, b] kecuali di titik c, a < c < b dimana lim |f (x)| = ∞. x→c Maka ∫b ∫c ∫b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx a
a
c
asalkan masing-masing integral di ruas kanan konvergen. 6. Contoh penggunaan integral tak wajar. Fungsi Padat Peluang f (x) (FPP) dari suatu peubah acak kontinu X mempunyai sifat (a) f (x) ≥ 0, ∫∞ (b) f (x) dx = 1. −∞
Dengan mengetahui FPP dari suatu peubah acak maka peluang suatu kejadiannya dapat ditentukan melalui proses pengintegralan. Nilai peluang ini biasa disajikan dalam bentuk Fungsi Distribusi Kumulatif F (x) = P (X ≤ x) (FDK), yaitu 0, x < 0; F (x) = P (X ≤ x) = ∫ x f (t) dt, x ≥ 0. −∞
7
Nilai rataan µ dan variansi σ 2 dari peubah acak ditentukan oleh ∫∞ µ = E(X) = −∞ xf (x) dx ∫∞ σ 2 = V (X) = −∞ (x − µ)2 f (x) dx Variansi σ 2 dapat dihitung pula melalui σ 2 = E(X 2 ) − µ2 .
Latihan 1. Hitung limit berikut: √ ln(sin x)3 ex − ln(1 + x) − 1 7 x−1 sin x + tan x √ lim , lim , lim , lim x→0 x→π/2 −x + π/2 x→0+ 2 x − 1 x→0− ex + e−x − 2 x2 ∫x √ 2. Hitung: lim
∫x √
1 + sin t dt
0
x→0
, lim+
x
t cos t dt
0
x2
x→0
3. Problem set 8.1: no. 27, 28 [Calculus 9th edition, D. Varberg et al]. ln x x ̸= 1; f (x) = x−1 c, x = 1.
4. Misalkan
Tentukan nilai c agar f (x) kontinu di x = 1. ax4 + bx3 + 1 = c. x→1 (x − 1) sin πx
5. Tentukan nilai konstanta a, b, dan c sehingga lim (
6. Hitung: lim (sin x)
cos x
x→π/2
1 , lim 1 + x→∞ x
)x
(
∫x
)
1 x , lim − , lim+ x→1 x − 1 x→1 ln x
sin t dt
1
x−1
.
7. Misalkan c1 , c2 , · · · , cn konstanta-konstanta positif dengan c1 + c2 + · · · + cn = 1. Misalkan pula x1 , x2 , · · · , xn bilangan-bilangan positif. Buktikan ( lim
t→0+
n ∑
)1/t = xc11 · xc22 · · · xcnn
cj xtj
j=1
. ∫∞ 8. Hitung e
ln x dx, x
∫∞ xe 1
−x
∫∞ dx, −∞
dx , 2 (x + 16)2
∫∞ −∞
x e2|x|
∫∞ dx,
ex dx e2x + 1
0
9. Hitung luas daerah di bawah kurva y = 1/(x2 + x) dan di sebelah kanan garis x = 1.
8
∫3 10. Hitung −3
x dx √ , 9 − x2
∫−1 −3
x
√
dx ln(−x)
∫4 , 2
dx √ , 4x − x2
∫2 1
x dx √ , x2 + x − 2
∫π/2
tan x dx (ln cos x)2
π/3
11. Perlihatkan bahwa fungsi-fungsi berikut sebuah FPP, kemudian cari nilai rataan µ, variansi σ 2 , dan FDK-nya. { λe−λx , x ≥ 0; (a) λ > 0 dan f (x) = 0, x lainnya. Fungsi ini merupakan PDF dari distribusi eksponensial yang biasa digunakan untuk model waktu hidup suatu komponen mekanik/elektrik. 1 , a < x < b; b−a (b) f (x) = 0, x ≤ a atau x ≥ b. Fungsi ini merupakan PDF dari distribusi uniform/seragam. ( ) β x β−1 −(x/θ)β e , x > 0; (c) β > 1 dan f (x) = θ θ 0, x≤0. Fungsi ini merupakan PDF dari distribusi Weibull yang biasa digunakan untuk model waktu hidup suatu komponen mekanik/elektrik. 12. Diketahui PDF Pareto mempunyai bentuk CM k , x ≥ M; f (x) = xk+1 0, x < M. dimana k dan M masing-masing konstanta positif. (a) Tentukan nilai C agar f (x) suatu PDF. (b) Untuk nilai C tersebut, tentukan kebergantungan µ terhadap k. (c) Untuk nilai C tersebut, tentukan kebergantungan σ 2 terhadap k 13. Berdasarkan teori elektromagnetik, potensial magnetik u di suatu titik pada sumbu suatu kumparan melingkar diberikan oleh ∫∞ u = αβ
(β 2
dx , + x2 )3/2
a
dimana α, β, dan a suatu konstanta. Hitung u. 14. Perhatikan suatu kawat yang sangat panjang yang berhimpit dengan sumbu x positif, dengan rapat massa δ(x) = (1 + x2 )−1 . Hitung total massa kawat, kemudian tentukan pusat massanya (jika ada).
9
