Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

3. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí

Ostrava 6.-7. září 2006

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv Josef Volný 1

Abstrakt Příspěvek je věnován popisu a aplikaci metodiky Value at Risk při výpočtu integrované hodnoty Value at Risk lineárních sub-portfolií za předpokladu, že výnosy aktiv sub-portfolií se chovají dle vícerozměrného normálního rozdělení. Nejprve je představen přístup Value at Risk, poté je na základě vlastností vícerozměrného normálního rozdělení a vzorce pro analytický výpočet hodnoty Value at Risk odvozena formule pro určení integrované hodnoty Value at Risk. Integrace je ověřena na reálných datech českého kapitálového trhu. Výsledky jsou interpretovány. Klíčová slova Value at Risk, vícerozměrné normální rozdělení, integrovaná hodnota Value at Risk.

1 Úvod Potřeba řízení a eliminace finančních rizik je důsledkem značné proměnlivosti finančních trhů, jež se projevuje ve volatilitě potenciální ztráty nebo zisku spojených s vlastnictvím finančních aktiv a portfolií. Analýza a řízení finančních rizik se dnes opírá o velmi rozvinutou a prakticky využívanou metodu Value at Risk. Podstata tohoto přístupu již byla diskutována v publikacích řady autorů, blíže Jorion (2000), Dowd (1998), Holton (2003); tržní standard této metody uvedla banka J.P. Morgan přístupem RiskMetrics, blíže Longerstay and Spencer (1996). Metodologie RiskMetrics je založena na předpokladu, že výnosy aktiv portfolia mají vícerozměrné normální rozdělení. Tento přístup je vhodný pro lineární portfolia (akcie, obligace a komodity), kde relativní změny výnosů portfolia jsou lineární funkcí změn výnosů rizikových faktorů (cen finančních instrumentů). U velkých finančních institucí zpravujících řadu rozsáhlých portfolií je možné kvantifikovat riziko u každého dílčího portfolia na základě metodologie Value at Risk. Vzniká však požadavek, jak vyčíslit výši pravděpodobné ztráty pro celou finanční instituci, tzn. jak integrovat hodnoty Value at Risk držených portfolií. Zaměříme-li se pouze na lineární portfolia, pak vzhledem k charakteristikám statistického rozdělení výnosů aktiv a linearitě agregace výnosů aktiv portfolií, lze provést spojení lineárních portfolií různých finančních trhů a vypočíst integrovanou hodnotu Value at Risk tohoto globálního portfolia. Cílem příspěvku je odvodit vztah pro analytický výpočet integrované hodnoty Value at Risk za předpokladu vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv portfolia a ověřit možnost integrace na reálných datech českého kapitálového trhu.

1

Ing. Josef Volný, Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí, Sokolská třída 33, 701 21 Ostrava 1, [email protected]. 435


2


Integrace hodnot Value at Risk

2.1 Metodologie Value at Risk VaR lze definovat dvěma přístupy, jejichž podstata závisí na způsobu interpretace: (a) Ztráta z portfolia aktiv bude větší než předem stanovená hladina ztráty ( VAR ), na dané hladině významnosti α za určitý časový interval. Tvrzení lze zapsat tímto vztahem Pr ZTRÁTA ≥ VaR = α , graficky Obr. č. 1.

(

)

Obr. č. 1: Value at Risk v oboru ztráty P-st.

α

Distribuční funkce Funkce hustoty

VaRα = − ZISK

ZTRÁTA

(b) Zisk z portfolia aktiv bude menší než předem určená hladina zisku ( − VAR ), na stanovené hladině významnosti α za daný časový interval. Tvrzení lze zapsat takto Pr (ZISK ≤ −VaR ) = α , graficky Obr. č. 2. Obr. č. 2: Value at Risk v oboru zisku P-st. Distribuční funkce Funkce hustoty

α − VaRα = ZISK

ZISK

Je tedy zřejmé, že pro odvození hodnoty Value at Risk portfolia pro dané α je nezbytné určit rozdělení pravděpodobnosti přírůstku hodnoty portfolia aktiv. Hodnota Value at Risk může být stanovena analytickým způsobem nebo pomocí simulačních technik. Pro potřebu tohoto příspěvku se zaměřme na analytické řešení hodnoty Value at Risk portfolia, jež vychází ze dvou základních předpokladů: (i) výnosy aktiv portfolia se chovají jako náhodná proměnná dle vícerozměrného ~ normálního rozdělení R ∼ N n (Ε(R ), Σ ) , (ii) přírůstek hodnoty portfolia lze vyjádřit lineární kombinací náhodných výnosů ~ aktiv portfolia Rn a absolutní částky investované do každého aktiva δ n , ~ ~ ~ ∆Π = R1 ⋅ δ 1 + K + Rn ⋅ δ n . Poté hodnotu Value at Risk lze definovat následujícím vztahem ~ ~ VaRP = −Φ α−1 ⋅ σ ∆Π − E ∆Π , (1)

( ) ( )

436



kde Φα−1 je hodnota inverzní funkce k distribuční funkci normovaného normálního rozdělení ~ na hladině pravděpodobnosti α , E ∆Π je střední hodnota přírůstku hodnoty portfolia a ~ σ ∆Π je směrodatná odchylka přírůstku hodnoty portfolia.

( )

( )

2.2 Charakteristika statistického rozdělení výnosů aktiv portfolia Předpokládejme n × 1 rozměrný náhodný vektor spojitých výnosů aktiv portfolia ~T ~ ~ ~ ~ R = R1 , K , Rn , kde Rn = ln(S n ,t S n ,t −1 ) a Rn ∼ N E (Rn ), σ n2 . Dále uvažujme n × 1 ~ ~ ~ rozměrný vektor středních hodnot výnosů aktiv portfolia E T R = E R1 , K , E Rn a n × n

(

)

(

)

() (( )

( ))

rozměrnou kovarianční matici Σ , kde σ je n -tý diagonální prvek kovarianční matice, pak ~ ~ náhodný vektor výnosů aktiv portfolia má n -rozměrné normální rozdělení R ∼ N n Ε R , Σ , jehož funkce hustoty je definována takto ~ ~ ~ ~ T ~ ~ −1 2 −n 2 N R ; E R , Σ = (2π ) Σ exp − 0,5 R − E R Σ −1 R − E R , 2 n

(

{

() )

(

(() )

( ))

a distribuční funkce dle následujícího vztahu

(

)

~ R

{

~ R

( )) Σ (R~ − E (R~ ))}dr K dr .

(

n 1 ~ ~ ~ ~ −1 2 −n 2 exp − 0,5 R − E R F R1 ,K , Rn = ∫ K ∫ (2π ) Σ

−∞

( ))}

(

−∞

T

−1

1

n

Následující obrázek znázorňuje rozdělení náhodného vektoru výnosů aktiv pro případ normovaného dvourozměrného normálního rozdělení. Obr.č.3: Normované dvourozměrné normální rozdělení výnosů aktiv portfolia

Pdf . 0.15 0.1

2

0.05 0 0 -2

~ R1

0 -2 2

~ R2

Dále předpokládejme n × 1 rozměrný vektor absolutního množství peněz, investovaného do n -tého aktiva v portfoliu δ T = (δ1 , K , δ n ) . Má-li náhodný vektor výnosů aktiv portfolia ~ ~ ~ R ∼ N n E R , Σ , pak přírůstek hodnoty portfolia ∆Π , má normální rozdělení ~ ~ ~ ∆Π ∼ N E ∆Π , σ 2 ∆Π . Přírůstek hodnoty portfolia je definován vztahem ~ ~ ~ ∆Π = ∑ δ n ⋅ Rn = δ T R , (2)

(() ) ( ( ) ( ))

n

střední hodnota přírůstku hodnoty portfolia vzorcem 437


( )


~ ~ ~ Ε ∆Π = ∑ δ n ⋅ E Rn = δ T E R ,

()

(3)

rozptyl přírůstku hodnoty portfolia výrazem ~ σ 2 ∆Π = ∑∑ δ i ⋅ σ ij ⋅ δ j = δ T Σδ , pro i, j = 1, K , n ,

(4)

a směrodatná odchylka přírůstku hodnoty portfolia takto ~ pro i, j = 1, K , n . σ ∆Π = ∑∑ δ i ⋅ σ ij ⋅ δ j = δ T Σδ ,

(5)

( )

n

( )

i

j

( )

i

j

Pro integraci hodnot Value at Risk dále uvažujme rozdělení tohoto portfolia aktiv na dvě sub-portfolia tak, že náhodný vektor výnosů aktiv portfolia je možné rozložit na dvě ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ podmnožiny R T = R1 , R2 , kde ∀ R1 a R2 platí R1 ∼ N n E R1 , Σ 11 a R2 ∼ N n E R2 , Σ 22 ,

(

)

(( ) )

(( ) )

s vektorem absolutních částek investovaných do aktiv portfolia δ = (δ1 , δ 2 ) , s odpovídajícím ~T ~ ~ vektorem středních hodnot Ε R = E R1 , E R2 a n × n rozměrnou kovarinanční maticí výnosů aktiv portfolia Σ12 ⎤ ⎡Σ Σ = ⎢ 11 ⎥, T ⎣Σ12 Σ 22 ⎦ T

( ) ( ( ) ( ))

kde Σ11 je n1 × n1 rozměrná a Σ 22 je n2 × n2 rozměrná kovarianční matice sub-portfolií, pro n1 + n2 = n a Σ12 je n1 × n2 rozměrná kovarianční matice výnosů aktiv mezi sub-portfolií. Rozptyl přírůstku hodnoty portfolia skládajícího se ze dvou sub-portfolií je poté definován takto ~ σ 2 ∆Π ≡ δ T Σδ = δ1T Σ11δ1 + δ 2T Σ 22δ 2 + 2 ⋅ δ1T Σ12δ 2 , (6)

( )

kde výrazy δ1 Σ11δ a δ 2 Σ 22δ 2 představují rozptyly přírůstků hodnot sub-portfolií, výraz T

T

δ1T Σ12δ 2 je kovariance mezi sub-portfolií. 2.3 Odvození formule pro výpočet integrované hodnoty Value at Risk Pro výpočet integrované hodnoty Value at Risk portfolia skládajícího se ze dvou subportfolií vyjděme ze vztahu pro analytický výpočet, vzorec (1). Vzhledem k symetričnosti normálního rozdělení pro které platí, že Φα−1 = −Φ1−−1α , pak vzorec (1) lze zapsat takto ~ VaRP = Φ 1−−1α ⋅ δ T Σδ − δ T E R . (7) V některých aplikacích metody Value at Risk se předpokládá, že střední hodnota výnosu aktiv a tedy i portfolia se rovná nule. Empiricky byla tato skutečnost ověřena zejména u ~ krátkodobých výnosů, tj. denní, týdenní a měsíční, blíže Zmeškal (2004). Jestliže E Rn = 0 , ~ pak také Ε ∆Π = 0 a po úpravě výrazu (7), lze VaRP vypočíst takto

()

( )

( )

VaRP = Φ1−−1α ⋅ δ T Σδ ,

(8)

(Φ )

−1 2 1−α

Po následující úpravě VaRP =

(

)

⋅ δ T Σδ , je obdržen výraz

2

VaRP = Φ1−−1α ⋅ δ T Σδ , 2

(9)

Po dosazení do (9) za δ T Σδ vzorec (5) dostaneme

(

) ( 2

)

VaRP = Φ1−−1α ⋅ δ1 Σ11δ1 + δ 2 Σ 22δ 2 + 2 ⋅ δ1 Σ12δ 2 , 2

T

T

T

po roznásobení hodnotou (Φ1−−1α ) pak 2

(

)

2

(

)

2

(

)

2

VaRP = Φ1−−1α ⋅ δ1 Σ11δ1 + Φ1−−1α ⋅ δ 2 Σ 22δ 2 + 2 ⋅ Φ1−−1α ⋅ δ1 Σ12δ 2 . 2

T

T

438

T


(

)

2

(

)

2


Výrazy Φ1−−1α ⋅ δ1 Σ11δ1 a Φ1−−1α ⋅ δ 2 Σ 22δ 2 jsou vztahy pro výpočet hodnot Value at Risk sub-portfolií 2

T

VaR1 2

2

VaRP = VaR1 + VaR2 + 2 ⋅ Φ1−−1α tedy určena vztahem

(

2

a

(

2

T

)

2

)

2

VaR2 .

Po

substituci

obdržíme

⋅ δ1 Σ12δ 2 . Hodnota Value at Risk celkového portfolia je T

VaRP = VaR12 + VaR22 + 2 Φ1−−1α ⋅ δ1 Σ12δ 2 . T

(10)

Kovarianci celkového portfolia lze vyjádřit výrazem

δ1T Σ12δ 2 = φ ⋅ δ1T Σ11δ1 ⋅ δ 2T Σ 22δ 2 , kde po úpravě δ1T Σ12δ 2 , φ= δ1T Σ11δ1 ⋅ δ 2T Σ 22δ 2

(11) (12)

je parametr φ korelace mezi sub-portfolií, kde ∀ φ platí φ ∈ − 1;+1 . Dosadíme-li do (10) výraz (11) obdržíme

(

)

2

VaRP = VaR1 + VaR2 + 2 Φ1−−1α ⋅ φ ⋅ δ1 Σ11δ1 ⋅ δ 2 Σ 22δ 2 . Vzhledem k tomu, že výrazy 2

2

T

T

Φ1−−1α ⋅ δ1 Σ11δ1 = VaR1 , a

(13)

Φ1−−1α ⋅ δ 2 Σ 22δ 2 = VaR2 ,

(14)

T

T

po úpravě je integrovaná hodnota Value at Risk portfolia, označme ji VaRPI , vyjádřena takto VaRPI = VaR1 + VaR2 + 2φ ⋅ VaR1 ⋅ VaR2 . (15) Dosadíme-li zpět do vzorce (15) střední hodnotu přírůstků hodnoty portfolia ~ ~ E ∆Π = δ T E R , pak vzorec pro analytický výpočet hodnoty VaRPI je následující ~ 2 2 VaRPI = − E ∆Π + VaR1 + VaR2 + 2φ ⋅ VaR1 ⋅ VaR2 . (16) Z výše uvedeného rozkladu vyplývá, že lze integrovat dvě lineární sub-portfolia a určit integrovanou hodnotu Value at Risk globálního portfolia na základě dílčích hodnot Value at Risk sub-portfolií na dané hladině pravděpodobnosti dle vzorce (16) za předpokladu, že výnosy aktiv sub-portfolií mají vícerozměrné normální rozdělení. 2

( )

2

() ( )

3 Ověření integrace hodnot Value at Risk portfolia Cílem této kapitoly je ověření možnosti výpočtu VaRPI na základě hodnot Value at Risk sub-portfolií. Jak bylo uvedeno v předchozích odstavcích, mají-li výnosy dílčích aktiv ~ ~ portfolia vícerozměrné normální rozdělení R ∼ N n E R , Σ , vzhledem k lineární agregaci výnosů aktiv portfolia a absolutních částek investovaných do každého aktiva, má přírůstek ~ ~ ~ hodnoty portfolia normální rozdělení ∆Π ∼ N E ∆Π ; σ 2 ∆Π a je možné určit hodnotu Value at Risk portfolia VaRP na hladině pravděpodobnosti α . Je-li toto portfolio rozděleno na dvě sub-portfolia, pak hodnotu VaRPI lze odvodit na základě dílčích hodnot Value at Risk sub-portfolií VaR1 , VaR2 a koeficientu korelace φ pro φ ∈ − 1;+1 , přičemž musí platit

(() )

( ( ) ( ))

rovnost VaRP = VaRPI .

439



3.1 Charakteristiky portfolia Předpokládejme akciové portfolio českého kapitálového trhu o 12 aktivech. Charakteristiky portfolia určené na základě 252 denních časových řad cen titulů portfolia uvádí Tab. č. 1. Data v tabulce jsou uspořádány do dvou podskupin, představující dílčí subportfolia. První sub-portfolio obsahuje tituly následujících emitentů: ČEZ, a. s., Český telecom, a. s., ErsteBank, a. s., Komerční banka, a. s., Zentiva, a. s., Unipetrol, a. s. Druhé sub-portfolio poté tituly emitentů: Philip Morris ČR, a. s., Severočeské doly, a. s., Severočeská energetika, a. s., Stavby silnic a železnic, a. s., Paramo, a. s.

( )

δn

Aktivum

Kč 7 260 5 225 13 500 34 430 11 220 2 323 175 050 18 610 31 600 27 360 42 000 9 300

ČEZ Český telecom ErsteBank Komerční banka Zentiva Unipetrol Philip Morris ČR Severočeské doly Severočeská energetika Středočeská energetika Stavby silnic a železnic Paramo

~ E Rn % -0,35 -0,15 -0,09 -0,05 -0,22 -0,32 -0,07 -0,08 -0,08 -0,09 -0,28 -0,08

Tab.č.1: Charakteristiky aktiv portfolia

Kovarianční matici denních výnosů uvádí následující tabulka. n n

ČEZ

ČT

Erste b.

KB

Zentiva

Unip.

Phil. M.

Sev. d.

S. en.

St. en.

Stav. s.

Par.

ČEZ

0,0004

0,0001

0,0001

0,0002

0,0002

0,0003

0,0001

0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

ČT

0,0001

0,0002

0,0000

0,0001

0,0001

0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0001

Erste b.

0,0001

0,0000

0,0002

0,0001

0,0001

0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

KB

0,0002

0,0001

0,0001

0,0003

0,0002

0,0002

0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0001

Zentiva

0,0002

0,0001

0,0001

0,0002

0,0003

0,0002

0,0001

0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

Unip.

0,0003

0,0001

0,0001

0,0002

0,0002

0,0010

0,0000

0,0001

0,0000

0,0000

-0,0001

0,0001

Phil. M.

0,0001

0,0000

0,0000

0,0001

0,0001

0,0000

0,0003

0,0000

0,0000

0,0000

0,0001

0,0000

Sev. d.

0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0001

0,0001

0,0000

0,0008

0,0000

0,0000

0,0001

0,0001

S. en.

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0002

0,0000

0,0001

0,0001

St. en.

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0004

0,0000

0,0000

Stav. s.

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

-0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

0,0000

0,0004

0,0001

Par.

0,0000

0,0001

0,0000

0,0001

0,0000

0,0001

0,0000

0,0001

0,0001

0,0000

0,0001

0,0008

Tab.č.2: Kovarianční matice

3.2 Algoritmus výpočtu i. Výpočet hodnot VaRP analytickým přístupem, dle vzorce (1), na základě níže ~ ~ definovaných vstupních parametrů ( E ∆Π dle vztahu (3), σ ∆Π dle vztahu (5) a Φ1−−1α na hladině pravděpodobnosti 5%). Rozklad kovarianční matice Σ na sub-matice Σ11 , Σ 22 , Σ12 . ii.

( )

440

( )


iii. iv. v.


Určení hodnot VaR1 a VaR2 , dle vzorců (13) a (14), za předpokladu, že střední hodnota přírůstků hodnot sub-portfolií je rovna nule. Výpočet koeficientu korelace φ mezi sub-portfolii podle vztahu (12). Dopočet hodnoty VaRPI podle vzorce (16).

3.3 Řešení příkladu, interpretace výsledků a analýza citlivosti Veškeré vstupní parametry jsou vypočteny ve třech variantách, tzn. pro celé portfolio, 1. sub-portfolio a 2. sub-portfolio. Nezbytný rozklad kovarianční matice na sub-matice je proveden takto ⎡ σ 12 K σ 1,6 σ 1,7 K σ 1,12 ⎤ ⎢ ⎥ M N M ⎥ ⎢ M O M Σ12 ⎤ ⎢ σ 6,1 K σ 62 σ 6,7 K σ 6,12 ⎥ ⎡Σ Σ = ⎢ 11T =⎢ ⎥. 2 ⎥ ⎣Σ12 Σ 22 ⎦ ⎢ σ 7 ,1 K σ 7 ,6 σ 7 K σ 7 ,12 ⎥ ⎢ M N M M O M ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢σ 12,1 K σ 12,6 σ 12,7 K σ 12 ⎦⎥

( ) ( )

~ ~ Vstupní parametry výpočtu hodnot Value at Risk, E ∆Π , σ ∆Π a Φ1−−1α na hladině pravděpodobnosti 5%, uvádí Tab. č. 3.

( )

~ E ∆Π Kč -407,84 -93,52 -314,31

Ukazatel

Portfolio celkem 1. sub-portfolio 2. sub-portfolio

σ 2 (∆Π )

σ (∆Π )

Kč 15 027 853,86 996 098,82 12 397 781,91

Kč 3 876,58 998,05 3 521,05

~

~

−1 Φ 95 % 1,65 1,65 1,65

Tab.č.3: Vstupní parametry k výpočtu hodnot Value at Risk

Nejprve jsou vypočteny hodnoty VaRP dílčích portfolií, tzn. u celého portfolia, u 1. subportfolia a 2. sub-portfolia. Poté jsou určeny hodnoty VaR1 a VaR2 za předpokladu, že střední hodnota přírůstků hodnot sub-portfolií je rovna nule. Koeficient korelace je determinován ve výši φ = 0,23 . Výsledky shrnuje Tab. č. 4. Ukazatel

Portfolio celkem 1. sub-portfolio 2. sub-portfolio 1. sub-portfolio 2. sub-portfolio Portfolio po integraci

( )

~ E ∆Π Kč -407,84 -93,52 -314,31 0 0 -407,84

VaR Kč 6 784,24 1 735,16 6 105,92 1 641,64 5 791,61 6 784,24

Tab.č.4: Výsledné hodnoty Value at Risk

Hodnota denní ztráty portfolia na hladině pravděpodobnosti 5% bude vyšší než 6 784,24 Kč. Je-li toto portfolio rozděleno na dvě sub-portfolia, poté hodnota denní ztráty 1. subportfolia na hladině pravděpodobností 5% bude vyšší než 1 735,16 Kč a 2. sub-portfolia vyšší než 6 105,92 Kč. Integrujeme-li zpět tato sub-portfolia na základě výše uvedené procedury,

441



obdržíme hodnotu ztráty integrovaného portfolia na hladině pravděpodobností 5% ve výši 6 784,24 Kč, čímž je ověřena integrovatelnost portfolií. Výše ztráty integrovaného portfolia je ovšem závislá na míře korelace výnosů aktiv napříč portfolií, tzn. na výši koeficientu korelace φ . Důkaz uvádí Tab. č. 5 a Obr. č. 4, prezentující analýzu citlivosti hodnoty ztráty integrovaného portfolia VaRPI v závislosti na míře korelace mezi výnosy sub-portfolií φ , na hladině pravděpodobnosti 5%.

φ I P

VaR (v Kč)

-1,00 4 557,80

-0,50 5 577,94

0,00 6 427,61

+0,50 7 171,37

+1,00 7 841,08

Tab. č.5: Výsledné hodnoty závislosti VaRP na φ , na hladině pravděpodobnosti 5% I

Z tabulky je zřejmé, že roste-li míra korelace mezi aktivy napříč sub-portfolií (roste koeficient korelace φ ), roste výše denní ztráty integrovaného portfolia na dané hladině pravděpodobnosti. Pro hodnotu φ = +1 je výše denní ztráty integrovaného portfolia rovna součtu ztrát sub-portfolií na dané hladině pravděpodobnosti. Obr.č.4: Závislost hodnoty VaRP na koeficientu korelace φ , na hladině pravděpodobnosti 5% I

4 Závěr V příspěvku byla popsána problematika výpočtu ukazatele Value at Risk portfolia analytickým přístupem za předpokladu vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv portfolia. Dále bylo demonstrováno odvození formule pro výpočet integrované hodnoty Value at Risk portfolia na základě dílčích hodnot Value at Risk lineárních sub-portfolií, jež je možné aplikovat na základě charakteristik vícerozměrného normálního rozdělení. Integrace ukazatelů Value at Risk byla ověřena na reálných datech akciového portfolia českého kapitálového trhu na hladině pravděpodobnosti 5%. Z výsledků vyplynulo, že mají-li výnosy aktiv portfolia vícerozměrné normální rozdělení, lze na základě lineární agregace výnosů a absolutních částech investovaných do aktiv určit přírůstky hodnoty portfolia, jež mají normální rozdělení a poté určit hodnotu Value at Risk. Je-li toto portfolio rozděleno na dvě sub-portfolia, pak integrovanou hodnotu Value at Risk lze vypočíst na základě dílčích hodnot Value at Risk sub-portfolií (za předpokladu nulové střední hodnoty přírůstku hodnot sub442



portfolií) a koeficientu korelace mezi sub-portfolií. Je zřejmé, že výši integrované hodnoty Value at Risk ovlivňuje koeficient korelace mezi sub-portfolií. S rostoucí mírou korelace, roste integrovaná hodnota Value at Risk. Tento přístup je vhodný pouze pro lineární portfolia, skládající se např. z akciových, komoditních a měnových pozic, kde relativní změna výnosů portfolia je lineární funkcí změny výnosů rizikových faktorů (cen finančních instrumentů). Tuto integraci lze využít zejména v případě, kdy kapacitní možnosti hardwaru finanční instituce neumožňují zpracování velkého množství dat simultanně na jednom počítači a tudíž je nezbytné kvantifikaci rizika provést odděleně a poté hodnoty integrovat.

Literatura [1]

CAROL, A.: Risk Management and Analysis, Measuring and Modelling Financial risk. New York: John Wiley & Sons. 1999. 275 p.

[2]

CHOUDHRY, M.: An Introduction to Value-at-Risk. Chichester: John Wiley & Sons. 2006. 171 p.

[3]

KAMDEM, S. J.: Value at Risk and Expected Shortfall for Linear Portfolios with Elliptically Distributed Risk Factors. Working paper. 2004.

[4]

LONGERSTAEY, J., Spencer, M.: RiskMetricsTM Technical Document. New York: J.P. Morgan/Reuters, 1996. 283 p.

[5]

RACHEV, S. T., MENN. CH., FABOZZI, J. F.: Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions, Implications for Risk Management, Portfolio Selection, and Option Pricing. New Jersey: John Wiley & Sons. 2005. 369 p.

[6]

TONG, Y. L.: The Multivariate Normal Distribution. New York: Springer-Verlag. 1990. 271 p.

[7]

ZMEŠKAL, Z. et al.: Financial models. Ostrava: VSB-Technical University of Ostrava, 2004. 254 p.

Summary This paper is devoted to the description and the application of Value at Risk methodology for estimation of integrated value of Value at Risk, which is based on Value at Risk of the linear sub-portfolios. The basic assumption is multivariate normal distribution of underlying assets return. First, Value at Risk approach is presented. Next, there is derived formula for estimation integrated value of Value at Risk. Integration is verified on model sample of equity portfolio of the Czech capital market. Results are interpreted.

443

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Recommend Documents