Inhoud
Introductie tot de cursus 1 2 3 4 5 6 7 8
Inleiding 7 Voorkennis 7 Het cursusmateriaal 7 Structuur, symbolen en taalgebruik 8 De cursus bestuderen 9 Studiebegeleiding 10 Huiswerkopgaven 10 Het tentamen 10
6
Introductie tot de cursus
INTRODUCTIE 1
Inleiding
De continue wiskunde bevat een groot aantal verschillende onderwerpen. Welke onderwerpen nu precies wel of niet tot de continue wiskunde gerekend worden, daarover bestaat geen eenstemmigheid onder wiskundigen, maar de basisbegrippen worden in deze cursus Continue wiskunde behandeld. Samen met de cursussen Discrete wiskunde A en B krijgt u zo een breed beeld van de wiskunde. Door de keuze van de onderwerpen vormen deze cursussen een basis voor een studie in de informatica of andere disciplines waar een zekere basiskennis wiskunde bekend wordt verondersteld. In deze introductie tot de cursus zetten we uiteen hoe het cursusmateriaal is samengesteld, hoe u de cursus kunt bestuderen en hoe u tentamen kunt doen. 2
Wiskundevoorkennis op havo/vwoniveau
Eerste blok herhaalt basiskennis
Om deze cursus met succes te kunnen bestuderen, wordt verondersteld dat u al enige voorkennis op het gebied van de wiskunde bezit. Enerzijds gaat het om het beheersen van concrete wiskundige vaardigheden, zoals het oplossen van vergelijkingen, anderzijds gaat het om algemene vaardigheden zoals abstraheren en redeneren. Hebt u havo met wiskunde, vwo met wiskunde of een andere opleiding van vergelijkbaar niveau afgerond, en is uw wiskundekennis nog redelijk paraat, dan kunt u ervan uitgaan dat uw voorkennis voldoende is om met de bestudering van deze cursus te kunnen beginnen. In het eerste blok van deze cursus wordt de basiskennis opnieuw behandeld, waarbij alle begrippen die later moeten worden gebruikt aan bod komen. Dat gaat in een redelijk hoog tempo, omdat de stof eigenlijk als bekend wordt verondersteld en de behandeling daarvan vooral als herhaling en opfrissing is bedoeld. 3
Drie blokken
Voorkennis
Het cursusmateriaal
Deze cursus bevat een kennismaking met de continue wiskunde. De onderwerpen van de cursus zijn verdeeld over drie blokken. In het eerste blok wordt de basiskennis behandeld. Het tweede blok bevat onderwerpen die het meest karakteristiek zijn voor de continue wiskunde: rijen, reeksen, limieten, differentiëren en integreren. Het derde blok behandelt kansrekening en statistiek.
7
Open Universiteit
Continue wiskunde
Alle blokken zijn steeds volgens een zelfde structuur opgebouwd. Het eerste onderdeel van ieder blok is een casus waarin een eenvoudige versie van een concreet probleem wordt geschetst dat aangepakt kan worden met de in de rest van het blok behandelde wiskunde. De onderwerpen uit deze casussen hebben zoveel mogelijk betrekking op informatica, zodat u ziet hoe continue wiskunde in de informatica wordt gebruikt.
Zelftoets
Computeralgebra
In de leereenheden van ieder blok worden de begrippen en methoden geïntroduceerd en behandeld. Iedere leereenheid wordt afgesloten met een zelftoets. Deze zelftoetsen bevatten opgaven zoals die ook op het tentamen voor zouden kunnen komen. U kunt er dus zelf mee nagaan of u de stof voldoende beheerst. Ieder blok wordt afgesloten met een leereenheid waarin u werkt met een computeralgebrapakket. Met computeralgebra kunt u aanmerkelijk complexere en meer realistische problemen aanpakken dan u met de hand zou kunnen. Het vergroot dus uw mogelijkheden om wiskundige problemen op te lossen, maar het is wel noodzakelijk dat u een goed begrip heeft van de wiskundige methoden en technieken, zodat u de resultaten van de computeralgebra goed kunt interpreteren en gebruiken. 4
Introductie Leerdoelen Leerkern Samenvatting Zelftoets
Register
Structuur, symbolen en taalgebruik
De tekst in deze cursus is opgebouwd uit vele onderdelen. Een leereenheid bevat steeds een introductie, leerdoelen, de leerkern met de eigenlijke leerstof, een samenvatting en een zelftoets. De leerkern bevat naast de gewone ‘lopende tekst’ ook een groot aantal andere onderdelen, zoals opgaven, stellingen, bewijzen en voorbeelden. Steeds is in de marge aangegeven wanneer zulke onderdelen beginnen. Vaak hebben die onderdelen een nummer, zodat er makkelijk naar verwezen kan worden. Van een aantal onderdelen is het wenselijk het einde duidelijk te markeren. Zo wordt het einde van een voorbeeld aangegeven met een dubbel kleiner-dan-teken ‘«’ in de rechter marge. Als voorbeelden in de loop van de tekst worden behandeld, dan wordt het einde niet afzonderlijk aangegeven. Het einde van een bewijs wordt met een blokje ‘□’ aangegeven. Op plaatsen waar een nieuw begrip wordt behandeld of waar een begrip in een nieuwe context wordt behandeld, staat dit begrip ook in de meest linkse marge. Dit vergemakkelijkt het opzoeken als u later nog eens de precieze betekenis na wilt lezen. Al deze begrippen zijn bovendien opgenomen in de registers achter in de cursusdelen. In de wiskunde wordt een groot aantal symbolen gebruikt, zoals Σ en ∩. Al deze symbolen hebben een precies vastgelegde betekenis, wat de wiskunde een eigen ‘taal’ geeft. Er komen niet alleen bijzondere symbolen in de wiskunde voor, soms is ook het taalgebruik nogal speciaal. Zulke speciale uitdrukkingen hebben een eigen betekenis en worden gebruikt om zo nauwkeurig mogelijk aan te geven wat de bedoeling is. Met een uitdrukking als: ‘Zij n een element van de verzameling van de natuurlijke getallen’ wordt bedoeld dat er een verhandeling zal volgen over de natuurlijk getallen, uiteengezet aan de hand van een willekeurig element van die verzameling, dat voorlopig
8
Introductie tot de cursus
maar n genoemd wordt, maar waar in principe ieder natuurlijk getal voor ingevuld mag worden. Regelmatig worden zulke speciale uitdrukkingen in de cursus gebruikt. Gaandeweg leert u vanzelf met deze formuleringen omgaan en maakt u zich daarmee de ‘wiskundetaal’ eigen. 5 Zelfstudie
Studeeraanwijzingen
Opgaven
De cursus bestuderen
Deze cursus is gemaakt voor zelfstudie. Dat wil zeggen dat het in principe mogelijk is om deze cursus helemaal zelfstandig te bestuderen en om zonder hulp van anderen het tentamen voor te bereiden. In de cursus leert u enerzijds de theorie van de behandelde wiskunde, vaak geformuleerd in de vorm van definities en stellingen, en anderzijds praktische vaardigheden in het oplossen van problemen. Die praktische vaardigheden betreffen zowel het oplossen van problemen ‘met de hand’ als met het computeralgebrapakket. Om voor zelfstudie geschikt te zijn, zijn de teksten uitgebreid en wordt aan veel details van de theorie aandacht besteed. In de marge worden bovendien vaak ‘studeeraanwijzingen’ gegeven, dat zijn korte opmerkingen die het belangrijkste uit de betreffende alinea aanstippen. U hebt al een aantal van die aanwijzingen gezien. Tenzij er voor u specifieke redenen zijn daarvan af te wijken, bevelen we u aan om bij een eerste bestudering de cursus van voor tot achter door te werken. U komt dan vanzelf afwisselend wat meer theoretische en wat meer praktische onderwerpen tegen. Aan het begin van iedere leereenheid zijn na de introductie steeds ‘leerdoelen’ opgenomen. Ze beschrijven zo precies mogelijk wat u moet weten en kunnen. Bij een eerste lezing van die leerdoelen zult u vele onbekende begrippen zien, die gaat u immers nog bestuderen. Maar tijdens de bestudering van de leereenheid kunt u steeds bij de leerdoelen lezen wat u met deze begrippen moet: hoeft u ze alleen maar te kennen, of moet u ze ook kunnen toepassen, bewijzen of gebruiken? Sommige onderwerpen van de cursus komen u wellicht bekend voor of hebt u in een ander verband al eens eerder bestudeerd. U kunt dan de betreffende leereenheden doorlezen en nagaan of alles u al bekend is. U kunt ook direct de zelftoetsopgaven aan het einde van de leereenheid maken en op die manier vaststellen of u de stof al dan niet beheerst of nog geheel of gedeeltelijk moet bestuderen. In het geval dat u de zelftoetsopgaven al goed kon maken, is het toch nog verstandig de leereenheid globaal door te nemen en aandacht te besteden aan definities, notaties en dergelijke. Die kunnen immers van boek tot boek nogal eens verschillen (binnen deze cursus is een en ander natuurlijk wel consistent). Tijdens de bestudering van de cursus komt u zeer frequent opgaven tegen. De opgaven zijn bedoeld om direct te oefenen met wat is behandeld en u zo in staat te stellen de stof beter op te nemen. Hoewel u zeker niet alle opgaven bij een eerste bestudering van de stof hoeft te maken, is het niet verstandig alle opgaven over te slaan. Door het maken van opgaven zult u beter de mogelijkheden en onmogelijkheden van de wiskunde leren kennen en allerlei aspecten ontdekken die anders onopgemerkt zouden blijven. Wiskunde is wat dat betreft vooral een doe-vak. Maak ook alle zelftoetsopgaven nadat u een leereenheid hebt bestudeerd om vast te stellen of u de stof op een voldoende niveau beheerst.
9
Open Universiteit
Continue wiskunde
Als u een opgave gemaakt hebt, kunt u nagaan of uw uitwerking goed is, door bij de uitwerkingen van de opgaven te kijken, die steeds aan het einde van het blok zijn opgenomen. Vaak zijn opgaven op verschillende manieren uit te werken, dus een afwijkende uitwerking wil nog niet zeggen dat die fout is. Het uiteindelijke antwoord moet natuurlijk wel hetzelfde zijn. 6
Cursussite
Bijeenkomsten
Hoewel de cursus ontworpen is voor zelfstudie, kan het zijn dat u behoefte hebt aan begeleiding en eens over de stof wilt praten met medestudenten en docenten. Het kan ook zijn dat u met vragen zit waar u zelf niet uit komt. Door de Open Universiteit wordt daarvoor op een paar manieren begeleiding bij deze cursus aangeboden. U kunt daar desgewenst gebruik van maken. U kunt de cursussite raadplegen voor informatie bij de cursus, aanvullingen en vragen en antwoorden in de discussiegroepen. In de discussiegroepen kunt u ook zelf vragen voorleggen aan medestudenten en de docent, die overigens ook per e-mail bereikbaar is. Eenmaal per jaar worden er (online) bijeenkomsten georganiseerd waarin u met een groep studenten en een docent nader op de stof ingaat, gezamenlijk problemen behandelt, extra opgaven maakt, enzovoort. De bijeenkomsten zijn afgestemd op het direct daaropvolgende tentamen. Kijk voor precieze informatie over de bijeenkomsten op de cursussite. 7
Bonuspunt
Studiebegeleiding
Huiswerkopgaven
Bij deze cursus kunt u huiswerkopgaven maken. Dat is niet verplicht, maar het helpt bij de bestudering van de cursus. De eerste serie opgaven treft u aan op de cursussite. Als u een serie huiswerkopgaven heeft gemaakt, dan stuurt u uw uitwerkingen naar de docent. Deze zal ze bekijken en u terugkoppeling geven. Ook krijgt u commentaar op de formulering van uw antwoorden, zodat u niet alleen leert opgaven te maken, maar ook om deze zodanig op te schrijven dat een ander ze kan begrijpen. Bij de terugkoppeling ontvangt u ook de volgende serie huiswerkopgaven. Hebt u alle series huiswerkopgaven voldoende gemaakt, dan verdient u daarmee een bonuspunt op het tentamen. Kijk voor alle informatie over de huiswerkopgaven op de cursussite. 8
Het tentamen
U sluit deze cursus af door deel te nemen aan het tentamen. De tentamenopgaven zijn van een zelfde niveau en stijl als de zelftoetsopgaven. Het tentamen wordt verschillende malen per jaar afgenomen. Raadpleeg voor inschrijving en precieze data de cursussite of vraag het na op het studiecentrum.
10
