Induksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna Oleh: Sutopo Jurusan Fisika FMIPA UM
[email protected]
Ditulis pada sekitar bulan Februari 2011. Diunggah pada 3 Desember 2011
BILANGAN BERPOLA YANG MERUPAKAN BENTUK KUADRAT SEMPURNA Problem 1. Tunjukkan bahwa bilangan 1 . . . 1 2 . . . 2 5 merupakan bentuk kuadrat 2. Tentukan A jika
= 1. . .15. . .56
3. Tentukan A jika
= 4. . .48. . .89
4. Tentukan A jika
= 4. . .462. . .24
5. Tentukan A jika
= 1 . . . 1 2 8 . . . 8 96
6. Jika
= 1 . . . 1 dan
7. Tentukan A jika
Jawab
= 10 . . . 05 perlihatkan bahwa AB + 1 merupakan bentuk kuadrat
= 1. . .1− 2. . .2
Untuk menyelesaikan soal-soal tersebut, hal-hal berikut sangat membantu. (1) 1000 = 999 + 1 → 103 = 999 + 1
Jika
→ 10 = 9 . . . 9 + 1 = 9 1 . . . 1 + 1
≡ 1 . . . 1 maka 10 = 9 + 1
(2) 1111 = 1100 + 11 = 11 x 102 + 11 (3) 102 – 11 = 89;
Sutopo, Fisika UM
→ 1 . . . 1 = 1 . . . 1 × 10 + 1 . . . 1
103 – 111 = 889;
1
→ 10 − 1 . . . 1 = 8 . . . 8 9
Induksi
1. Tunjukkan bahwa bilangan 1 . . . 1 2 . . . 2 5 merupakan bentuk kuadrat Jawab Beberapa kasus: 2
A
1225 112225
35 335
11122225
3335
Konjektur : 1 . . . 1 2 . . . 2 5 = 3 . . . 3 5
Bukti: 1 . . . 1 2 . . . 2 5 = 1 . . . 1 2 . . . 2 × 10 + 25 =
1 . . . 1 10
+ 2 × 10
1 . . . 1 + 25
= 10 ( . 10 + 2 ) + 25 = 10 ( (9 + 1) + 2 ) + 25 = 10 (9
+ 3 ) + 25 = 900
= 30(1 . . . 1) + 5
=
+ 300 + 25 = (30 + 5)
3. . .30+ 5
= 3 . . .35
= 1. . .15. . .56
2. Tentukan A jika Jawab Beberapa kasus:
A2 16 1156 111556 11115556
Konjektur : 1 . . . 1 5 . . . 5 6 =
4 34 334 3334
3. . .34
dengan n = 0, 1, 2, . . .
Bukti 1 . . .15 . . .56 = 1 . . .15 . . .5 + 1 = =
. 10
1 . . . 1 10
+ 5 + 1 dengan
+ 5 1 . . .1 + 1
≡ 1. . .1
= (9 + 1) + 5 + 1 = 9 + 6 + 1 = (3 + 1) = 3(1 . . . 1) + 1
Sutopo, Fisika UM
=
3. . .3+1
2
=
3 . . .4
=
3 . . .34
Induksi
= 4. . .48. . .89
3. Tentukan A jika Jawab Beberapa kasus:
2
A
49 4489 444889 44448889
7 67 667 6667
konjektur : 4 . . . 4 8 . . . 8 9 = 6 . . . 6 7 dengan n = 0, 1, 2, . . . Bukti 4 . . . 4 8 . . . 8 9 = 4 . . . 4 8 . . . 8 + 1 = 4 1 . . . 1 10 = 4 . 10
+ 8 + 1 dengan
≡ 1 . . .1
= 4 (9 + 1) + 8 + 1 = 36 = 6(1 . . . 1) + 1
4. Tentukan A jika
=
+ 8 1 . . .1 + 1
+ 12 + 1 = (6 + 1)
6 . . .6 + 1
=
6 . . .7
=
6. . .67
= 4. . .462. . .24
Jawab Beberapa kasus:
A2 4624 446224 44462224 4444622224
68 668 6668 66668 2
konjektur : 4 . . . 4 6 2 . . . 2 4 =
6. . .68
dengan n = 1, 2, . . .
Bukti 4 . . . 4 6 2 . . . 2 4 = 4 . . . 4 6 × 10
+ 2 . . .24
= 4 . . . 4 + 2 × 10
Sutopo, Fisika UM
+ 2. . .2+2
3
Induksi
= (4 + 2). 10
+ 2 + 2 dengan
≡ 1 . . .1
= (4 + 2) (9 + 1) + 2 + 1 = 36
+ 24 + 4 = (6 + 2)
= 6(1 . . . 1) + 2
5. Tentukan A jika
=
6. . .6+2
=
6 . . .8
=
6 . . .68
= 1 . . . 1 2 8 . . . 8 96
Jawab Beberapa kasus:
2
A
1296 112896 11128896 1111288896
36 336 3336 33336 2
konjektur: 1 . . . 1 2 8 . . . 8 96 =
3. . .36
dengan n = 0, 1, 2, . . .
+1
Bukti 1 . . . 1 2 8 . . . 8 96 = 1 . . . 1 + 1 × 10 = ( + 1). 10
+ 8. . .8+8
+ 8 + 8 dengan
= ( + 1) (9 + 1) + 8 + 8 = 9 = 3(1 . . . 1) + 3
Sutopo, Fisika UM
=
3 . . .3 + 3
4
≡ 1 . . .1 + 18 + 9 = (3 + 3) =
3 . . .6
=
3 . . .36
Induksi
6. Jika
= 1 . . . 1 dan
= 10 . . . 05 perlihatkan bahwa AB + 1 merupakan bentuk kuadrat
Jawab Beberapa kasus: A 1 11 111 1111
B
AB+1
15 105 1005 10005
16 1156 111556 11115556
+
√
4 34 334 3334
2
konjektur: 1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1 = 1 . . . 1 5 . . . 5 6 = 3 . . . 3 4 dengan n = 0, 1, 2, . . . Bukti: Konjektur pertama: 1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1
?
1 . . . 1 5 . . . 5 6 dengan n = 0, 1, 2, . . .
1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1 = 1 . . . 1 × (10 + 5) + 1 = 1 . . . 1 × 10 + 5 . . . 5 + 1 = 1 . . . 1 5 . . . 5 + 1 = 1 . . . 1 5 . . . 6 , dengan n = 1, 2, 3 … = 1 . . . 1 5 . . . 5 6, dengan n = 0, 1, 2, . . . terbukti 2
Konjektur kedua: 1 . . . 1 5 . . . 5 6
?
3 . . .34
dengan n = 0, 1, 2, …
Bukti: 1 . . . 1 5 . . . 5 6 = 1 . . . 1 × 10
+ 5 . . .5 + 1
= 1 . . . 1 × (9 . . . 9 + 1) + 5 . . . 5 + 1 +1
+1
+1
= (9 + 1) + 5 + 1 dengan A =1 . . . 1 dan n = 0, 1, 2, … =9
+ 6 + 1 = (3 + 1)
= 3 1 . . .1 + 1 +1
Sutopo, Fisika UM
= 3 . . . 34
= 3 . . .34
terbukti
+1
5
Induksi
2
?
Konjektur ketiga: 1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1
3. . .34
dengan n = 0, 1, 2, . . .
Bukti: 1. 10 . . . 05 = 10 + 5 = 9 . . . 9 + 1 + 5 = 9 + 6 dengan 2.
1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1 = (9 + 6) + 1 = 9
= 3 . . . 34
≡ 1 . . . 1 dan n = 0, 1, 2, . . .
+ 6 + 1 = (3 + 1)
= 3 . . .34
terbukti
+1
= 1. . .1− 2. . .2
7. Tentukan A jika Jawab. Beberapa kasus:
A2
. . .
. . .
(1)
(2)
(1)-(2)
2 22 222 2222
9 1089 110889 11108889
11 1111 111111 11111111
3 33 333 3333
Konjektur: 1 . . . 1 − 2 . . . 2 = 1 . . . 1 0 8 . . .89 = 3 . . . 3 Bukti konjektur pertama: 1 . . . 1 − 2 . . . 2
?
1 . . . 1 0 8 . . .89
1 . . . 1 = 1 . . . 1 10 + 1 . . . 1
……………….. (1) Lihat catatan no (2) di box
2 . . . 2 = 2(1 . . . 1)
……………….. (2)
(1) − (2) =
=
1 . . . 1 10 − 1 . . . 1
1 . . . 1 0 + 1 10 − 1 . . . 1 =
= 1 . . . 1 10
Sutopo, Fisika UM
+ 8 . . 89
1 . . . 1 10
+ 10 − 1 . . . 1
Lihat catatan no (3) di box 6
Induksi
= 1 . . . 1 0 10 + 8 . . 8 9 = 1 . . . 1 0 8 . . 8 9 terbukti
Bukti konjektur kedua: 1 . . . 1 0 8 . . .89
?
3 . . .3
Bukti: 1 . . . 1 0 8 . . .8 9 = 1 . . . 1 0 10 + 8 . . .8 + 1
= 1 . . . 1 − 1 10 + 8 . . .8 + 1 = ( − 1)(9 + 1) + 8 + 1, dengan
Sutopo, Fisika UM
=9
+
=9
= (3 ) = 3 . . . 3
≡1 . . .1
−9 −1+8 +1
Terbukti
7
Induksi
Menemukan pola pada deret matemika PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA Misalkan (n) merupakan pernyataan dalam bilangan asli n yang memenuhi: (1) benar, dan jika (k) benar maka (k+1)
maka (n) benar untuk sebarang bilangan asli n.
Contoh: Buktikan bahwa: 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n2 Jawab:
(1) = 1 = 12, benar Diassumsi benar untuk n = k, maka (k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k -1) = k2. o Dibuktikan bahwa benar untuk n = k + 1 o Bukti: (k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k -1) + {2(k+1) -1} = k2 + 2k + 2 – 1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2, terbukti Kesimpulan Karena terbukti bahwa (1) benar dan juga terbukti benar untuk sebarang n = k + 1, maka benar bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n2.
Problem 1. Hitung
=∑
2. Hitung
=∑
= 1 + 2 + ⋯+
3. Hitung
=∑
= 1 + 2 + ⋯+
4. Hitung
=∑
5. Hitung
=∑
6. Hitung
=∑
7. Hitung
=∑
8. Hitung
=∑
Sutopo, Fisika UM
= 1 +2 +⋯+
(
)
=
+
.
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
=
+
+ …+
.
= = =
.
.
.
+
+ + +
.
.
.
+ + +
(
.
.
.
+ …+
)
…+ …+ …+ ,
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
≠1 8
Induksi
9. Hitung
=∑
10. Hitung
=∑
= + + + …+ (
=
)
+
. .
+
. .
…+
. .
(
)
Jawab 1.
Soal 1: Hitung
=∑
= 1+ 2+ ⋯+
Jawab =∑ =
= 1 +2 +⋯+
adalah deret aritmatika dengan U1 = 1, n = n, dan Un = n, maka
( + 1) 2
Bukti: (i)(1): Sn benar untuk n = 1, sebab 1(1+1)/2 = 1
(
=
bahwa (k+1), yaitu
)(
)
(
=
(ii) Diasumsikan bahwa (k) benar: Sn benar untuk n = k, yaitu
)
benar. Akan dibuktikan
juga benar.
Bukti
=
(
)
(
+ ( + 1) =
+
=
Kesimpulan:
=∑
= 1+ 2+ ⋯+
2. Soal 2: Hitung
=∑
=
(
)
)
(
)
=
(
)(
)
→ Benar
benar untuk sebarang n asli.
= 1 + 2 + ⋯+
Suku-suku pada =∑ = 1 + 2 + ⋯ + mirip dengan soal nomor 1, yaitu mengandung dereten bilangan asli 1, 2, 3, …, n. Maka jumlahan tersebut dapat diduga memuat factor n(n+1). Ambil beberapa kasus pertama untuk mendapatkan pola: =
S1 = 1 = 1(1+2)/2 →diduga:
→diduga:
=
(
.
=
S2 = 1+4 = 5. →dugaan: )(
)
=
(
)(
)
= 3…(
ℎ). Ungkapan baru yang prospektif:
=
. .
=5
. Dugaan baru ini cocok dengan S1. =
S3 = 1+4+9 = 14. →dugaan: Dugaan terbaik:
(
)
. .
= 14 … (BENAR).
selanjutnya diuji dengan prinsip induksi matematika (PIM).
(1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k. Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar.
Sutopo, Fisika UM
9
Induksi
Bukti:
= =
+ (
=
(
)(
)(
)
=
)
(
(
+ ( + 1) =
)(
)(
)
(
)(
){ (
)
(
)}
= Sn untuk n = k+1
Kesimpulan
=∑
= 1 +2 + ⋯+
=
3. Soal 3: Hitung =∑ = 1 + 2 + ⋯+ Suku-suku pada =∑ = 1 + 2 +⋯+ tersebut dapat diduga memuat factor n(n+1).
)
benar untuk semua n asli.
mirip dengan soal nomor 1 dan 2. Maka jumlahan
Ambil beberapa kasus pertama untuk mendapatkan pola:
=
S2 = 1+8 = 9. →dugaan: (
=
)
(
=
S1 = 1 = 1(1+2)/2 →diduga:
.
)
= 3…(
ℎ). Dugaan: perlu diuadratkan. →diduga:
. Dugaan baru ini cocok dengan S1.
S3 = 1+ 8 + 27 = 36 = 62. →cocok dengan dugaan: =∑
Dugaan terbaik
= 1 +2 +⋯+
.
= (
=
)
=6 . selanjutnya dibuktikan dgn PIM
(1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k. Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar. Bukti:
= =
+ (
=
) (
(
)
)
=
+ ( + 1) =
(
) (
)
=
(
(
)(
)
(
)
)(
)
= Sn untuk n = k+1
Kesimpulan
=∑
Sutopo, Fisika UM
= 1 +2 + ⋯+
=
( +1)( +2)
2
10
benar untuk semua n asli.
Induksi
4.
=∑
Soal 4. Hitung
(
)
=
+
.
+ …+
.
(
)
=∑
Faktor 1/(n+1) lebih dominan daripada factor 1/n pada
(
)
=
+
.
.
+ …+
(
)
.
Oleh sebab itu, jumlahan tersebut diduga sangat ditentukan oleh factor 1/(n+1) Ambil beberapa kasus pertama untuk mendapatkan pola: S1 = = =
.
=
= →diduga:
+ = . →dugaan:
=
=
→X = 2 →diduga:
. Dugaan baru ini cocok
dengan S1. =
+ +
= =∑
Dugaan terbaik
= .. →cocok dengan dugaan: (
)
=
+
.
+ …+
.
(
= . )
=
. selanjutnya dibuktikan dgn PIM
(1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k. Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar. Bukti:
=
+
=(
)
+(
)(
)
=(
(
) )(
)
=(
)(
)
=
=(
)
= Sn untuk n = k+1 Kesimpulan =∑
=∑
5. Hitung
(
(
)
=
)(
.
+
)
+ …+
.
=
.
+
.
+
(
)
.
=
…+
benar untuk semua n asli.
(
)(
==
Faktor (2n+1) lebih dominan daripada (2n-1) pada
)
.
+
.
+
.
…+
(
)(
)
. Oleh
sebab itu, jumlahan tersebut diduga sangat ditentukan oleh factor 1/(2n+1) Ambil beberapa kasus pertama untuk mendapatkan pola: S1 = =
=
.
+
= . Berdasar dugaan:
Perlu ditunjukkan bahwa
=
= →diduga:
=
=
=
.
(BENAR).
benar untuk sebarang n.
(1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k. Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar.
Sutopo, Fisika UM
11
Induksi
Bukti:
=
+
=
+(
=
(
)(
)
(
=(
) )(
)
(
=(
)(
)
)(
=(
)
)(
)
= Sn untuk n = k+1
)
Kesimpulan =∑
7.
(
=∑
Hitung
)(
)
(
)(
=
+
.
)
.
=
+
.
+
.
.
Faktor n2 dan (2n+1) dominan dalam
+⋯+
+
.
=∑
(
…+
)(
)
(
(
=
)(
)(
benar untuk semua n asli.
)
)
=
+
.
+
.
…+ (
.
)(
)
. Oleh
karena itu, kedua factor tersebut dapat digunakan sebagai acuan pendugaan pola. Ambil beberapa kasus pertama untuk mendapatkan pola: S1 = =
=
.
+
= . Berdasar dugaan:
=
Dugaan terbaik:
(
=
→dugaan baru:
=
= →diduga:
)
(
(
) )
(
)
=
=
.
=
sehingga
(SALAH, ada selisih ).
(
)
( .
(benar)dan
=
)
(benar).
=
selanjutnya diuji dengan PIM.
(1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k. Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar. Bukti:
=
+
(
= =
(
)
+( )
( (
){ ( (
) )(
)
(
)(
(
= ) )}
=
)
)
)( (
(
)
(
)( (
(
) )
)
=
)
(
= )
(
){ ( (
=
(
)} )(
)( (
) )
) )
(
= Sn
untuk n = k+1 Kesimpulan =∑
(
Sutopo, Fisika UM
)(
)
=
.
+
.
+
.
+⋯+
(
12
)(
)
=
( (
) )
benar untuk semua n asli.
Induksi
=∑
8. Hitung
=
Jumlahan
=∑
= a, maka
=
+
+
=
+
+ …+ +
,
≠1
+ …+
merupakan jumlahan deret geomeri dengan a0 = r
. Pembuktian dengan PIM:
(1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k. Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar. Bukti:
=
+
=
(
)
+
(
(
=
)
=
)
(
=
)
=
= Sn untuk n = k+1
Kesimpulan =∑
9.
=
+
=∑
Hitung
+
+ …+
, dengan
≠ 1, benar untuk semua n asli.
= + + + …+
dapat diubah menjadi 1 −
Bentuk
=
. Maka
=∑
=
.
1−
=
−∑
=
−
.
Kesimpulan =∑
= + + + …+
=∑
10. Hitung
(
)
=
+
. .
Faktor 2k paling dominan dalam
. .
=∑
+ (
−
…+
. .
=
)
(
)
+
. .
. .
+
. .
…+
(
)
. Maka, Sn
diduga memuat bentuk 2n. Ambil beberapa kasus pertama untuk mendapatkan pola: S1 = =
=
+ =
→dugaan baru:
=
. →diduga: = + =
=
. Berdasar dugaan: +
(
)
=1−
(
)
(SALAH, ada selisih
=
(
)
).
. Dugaan ini benar untuk n = 1 dan n =2.
Dugaan terbaik tsb selanjutnya perlu diuji dengan PIM.
(1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k. Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar.
Sutopo, Fisika UM
13
Induksi
Bukti:
=
+
= 1−(
2 +1)2 +1
(
=1−( =1−
+(
) ( )(
(
)( )
)
)
=1−(
=1−(
)
)
(
)( )(
) )
= 1−(
)
= Sn untuk n = k+1
Kesimpulan =∑
(
)
=
. .
+
. .
+
. .
…+
(
)
=1−
(
)
benar untuk semua n asli.
Mohon maaf jika ada salah-salah, karena sangat mungkin terjadi kesalahan akibat teknik copy & paste Tulisan tersebut hanya sekedar pemikiran. Jika ada salah … mungkin saja … penulis hanya penggemar dan pengguna matematika
Sutopo, Fisika UM
14
Induksi
