Implikace – letitá, ale stále atraktivní dáma Jan Kábrt
Proč se zajímat o logiku a v ní právě o implikaci? Mimo jiné pro souvislost s takovými oblastmi lidského myšlení, jako jsou
matematika, ostatní přírodní vědy, filosofie, ale také přijímací zkoušky na vysokou školu.
O čem bude řeč 1. Současná logika (dvě hodnoty, dva operandy)
2. Trocha historie (implikace ve starověku) 3. Novověk (rozlišení světa a jeho popisu)
4. Intenze a modalita (R. Carnap) 5. Ontologická kolize (běžné školní úlohy) 6. Modální logika (D. K. Lewis)
7. Modalita a čas (teorie relativity, determinismus, neurčitost)
1. Současná logika jak ji známe ze středních škol. (Extrémně stručně.) Boolova algebra, 16 „logických spojek“. Binární operace v bivalentní logice.
2. Trocha historie
Aristotelés Nar. 384 př. n. l. ve Stageiře na poloostrově Chalkidiké, zemřel 322 př. n. l. v Chalkidě na ostrově Euboia. (Vyhnanství za „rouhání bohům“.)
Obr.: http://www.homeopatiecesky.cz/aristoteles/
Zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/Euboia
Aristotelés užíval „při filosofování“ (při myšlení o světě) prostředky
subjekt predikátové logiky. Tu používali středověcí scholastikové a ještě i Gottfried Wilhelm Leibniz na přelomu 17. a 18. století. (U Aristotela lze najít i výroky modální logiky.)
Subjekt a predikát Subjekty jsou individua, o nichž cosi vypovídáme. Subjektem může být skupina všech individuí určitého typu … při užití obecného kvantifikátoru skupina některých individuí (s alespoň jedním členem) … při užití existenčního kvantifikátoru
Subjekt a predikát Predikáty jsou vlastnosti nebo vztahy, které subjektům buď přisuzujeme nebo upíráme
Příklady Výroky typu S je P … Sókratés je moudrý. … (Každý) člověk je smrtelný.
Výroky typu S není P … Moucha není savec. … Existuje živočich, jenž nemá rohy.
Diodoros Chronos (asi 350 př. n. l. – kolem 307 př. n. l.) – lze jej považovat za spoluzakladatele dvouhodnotové výrokové logiky. Byl jedním z učitelů Zénóna z Kitia. (Zénóna z Kitia nezaměňujme se Zénónem z Eleje.)
Diodoros Chronos Slavný se stal tzv. argumentem či paradoxem „Mistr“. Podle některých výkladů se jedná o argumentaci pro determinismus, podle jiných o problematiku vztahu mezi
časovostí a modalitou.
(Zdroje: http://www.kfil.upol.cz/doc/mgrdipl/DP_Ryba%C5%99%C3%ADkov%C3%A1%20Zuzana.pdf, http://www.illc.uva.nl/Publications/ResearchReports/MoL-2008-01.text.pdf.)
Paradox „Mistr“ podle Diodora Chrona (1)
Všechno v minulosti pravdivé je nutné.
(2)
Nemožné nenásleduje možné.
--(3)
Co je teď nepravdivé a vždy nepravdivé bude, je přesto možné (?)
Zdroj: http://www.osel.cz/index.php?clanek=3980
Determinismus Neexistuje jiná možnost než nutnost. Objevuje se od stoiků přes mechanistické materialisty až do současnosti. Problematická slučitelnost s determinismem (1) Axiologie – hodnotové systémy (2) Etika – mravní hodnoty (3) Svoboda
(4) Riziko (5) Odpovědnost
Filón z Megary (žil na rozhraní 4. a 3 století př. n. l.) – byl pravděpodobně žák Diodora Chrona. (Pojem stoicko megarská škola. Eukleidés z Megary byl přítelem Sókrata.) Filón z Megary zanechal text, pro který se mu přisuzuje prvenství ve formulaci pravdivostní tabulky pro (materiální) implikaci. (Tohoto Filóna nezaměňujme s Filónem Alexandrijským. A Euklida z Megary nezaměňujme s geometrem Eukleidem.)
Filón z Megary: Kondicionál je tehdy pravdivý, když nezačíná pravdivým a nepravdivým končí. Tedy kondicionál je pravdivý třemi způsoby a jedním nepravdivý. Totiž když pravdivým začíná a pravdivým končí, je pravdivý. ...
A když začíná nepravdivým a nepravdivým končí, je také pravdivý. Stejně pravdivý je, když nepravdivým začíná a pravdivým končí. Pouze tehdy je nepravdivý, když pravdivým začíná a nepravdivým končí. Zdroj: http://www.osel.cz/index.php?clanek=3980
Operace a relace Binární operace na množině R (třeba na množině reálných čísel) spočívá v přiřazování dvojicím čísel „výsledné“ číslo. Dvojice prvků z množiny R jsou prvky „kartézského součinu“ R x R. Binární operace je zobrazení z
RxR
do
R
… číslo operátor číslo = číslo
… např. 6 / 2 = 3.
Operace a relace Binární operace
RxR
R
Operace a relace Binární relace na téže množině je část R x R. To lze popsat jako přiřazování dvojicím čísel „výslednou“ pravdivostní hodnotu. Binární relace je zobrazení z R x R do dvouprvkové množiny {„pravda“, „nepravda“}, {1, 0} nebo jinak zapisované … buď číslo operátor číslo = „pravda“ nebo číslo operátor číslo = „nepravda“. … např. 6 > 2 = „pravda“.
Operace a relace Binární relace
RxR
{0, 1}
Operace a relace Je-li na místě R dvouprvková množina, zapisujme ji {0, 1}, {„falsum“, „verum“}, {„nepravda“, „pravda“}, rozdíl mezi operací a relací mizí.
{0, 1} x {0, 1}
{0, 1}
Filónův „kondicionál“ :
a … antecedent, předpoklad b … konsekvent, závěr
Chrýsippos ze Soloi (nar. 281 př.n.l.; zemřel 208 př.n.l.)
vytvořil dvouhodnotovou axiomatickou výrokovou logiku. (Nikoliv ale kalkul v novodobém slova smyslu.) Definoval konjunkci „a“, negaci „ne“, kondicionál „když“ a alternativu „buď ... anebo“. (Stoická nebo stoicko megarská škola.)
Zdroj: http://www.osel.cz/index.php?clanek=3980
Sedm logických spojek podle Chrýsippa doplněná o konstantu „verum“ :
Přidáním negací předchozích osmi relací či operací obdržíme všech šestnáct:
3. Novověk Bernard Bolzano (1781 – 1848) – pražský filosof a matematik. Rozlišoval abstraktní věty a jimi popisované konkrétní situace – jejich konkrétní realizace.
Obr.: http://www.corbisimages.com/stock-photo/rightsmanaged/42-34404955/portrait-of-johann-nepomuk-bolzano
George Boole (1815 – 1864) – irský matematik, „zakladatel moderní logiky“ – Boolovy algebry. (Logiky také Frege.)
Obr.: http://library.thinkquest.org/C0126120/boole.htm
August de Morgan (1806 – 1871) – anglický matematik,
přispěl k formalizaci logiky.
Obr.: http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=biomorgan
Gottlob Frege (1848 – 1925) – něm. matem., kon. 19. stol. „zakladatel moderní logiky“ (také Boole). Pojmy mají význam (k čemu se vztahují)
a smysl (jak se vztahují …pro to se ale intuitivně spíš používá označení „význam“). Obr.: http://cs.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege
Gottlob Frege Podle Fregeho má logika zkoumat především zákony pravdivosti.
U Fregeho studoval R. Carnap, s Fregem se trochu přátelil L. Wittgenstein. Frege byl introvert, mnohé věci psal a nezveřejňoval.
Obr.: http://cs.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege
Alfred North Whitehead (1861 – 1947) – amer. matematik a logik. S B. Russellem napsali Principia Mathematica (1910 – 1913), použili Peanovu symboliku a Fregeho pojetí logiky a jejího vztahu k matematice. („Matematika je pokračováním logiky.“)
Obr.: http://fi-lo-so-fa-ndo.blogspot.cz/2011/05/breves-caracteristicas-e-imagenesde.html
Bertrand Russell (1872 – 1970) – objevil Fregeho myšlenky. U Russella studoval na Fregeho radu Wittgenstein.
Obr.: http://bluedragonfly10.wordpress.com/category/international-poetry/page/3/
Rudolf Carnap (1891 – 1970) – něm. novopozitivistický filosof, studoval u Fregeho. 1. pol. 20. stol. – logický empirismus:
K čemu se pojem vztahuje Jak se vztahuje
= extenze. = intenze.
Podle Carnapa by logika popisující empirický světa měla z roviny extenzí vystoupit do roviny intenzí. Obr.: http://www.wissen.de/lexikon/carnap-rudolf
4. Intenze a modalita Příklady extenze a intenze Jsem (budu) v Praze. Přijel jsem (přijedu) autem. …Výroky pouze v rovině extenzí. Je možné, abych byl v Brně. Mohl bych jet vlakem. …Výroky zahrnující také intenze
David Kellogg Lewis (1941 – 2001) – „zakladatel moderní modální logiky“ – 20. léta 20. stol. Původním záměrem Lewise nebylo vytvoření modální logiky, ale vytvoření „lepší než klasické implikace“.
Obr.: http://global.britannica.com/EBchecked/media/99991/David-Kellogg-Lewis
Paradoxy materiální implikace Pravda je implikována čímkoli …
A →(B → A)
Nepravda implikuje cokoli …
A → (¬A → B)
Lewisův návrh na vypořádání se s paradoxy materiální implikace: „Materiální implikaci“ P → Z lze přeformulovat jako ¬(P ∧ ¬Z) Namísto ní navrhl novou implikaci, která by odpovídala formulaci „není možné, aby (P ∧ ¬Z)“.
Zápis:
¬◊(P ∧ ¬Z)
Vztah mezi možností, nutností a realitou Determinismus: Co je (reálný svět), nemůže být jinak. (Vše se děje „nutně“.)
Rozlišení možného, nutného a reálného: Aristotelés, Tomáš Akvinský.
Zajímavý příspěvek k možnosti a nutnosti z českého prostředí 17. století:
Jan Caramuel z Lobkovic (1606 – 1682) – cisterciák, ve 40. letech 17. stol. přišel do Prahy. Roku 1650 jmenován generálním vikářem a vrchním dozorcem duchovenstva v Čechách.
Formuloval „důkaz boží neexistence“:
Jan Caramuel z Lobkovic Výrok „nic neexistuje“ je zřejmě nepravdivý. Může být nepravdivý nutně nebo možně. Kdyby nutně, bylo by možno vyvodit spor.
Ze záporného výroku nelze vyvodit kladný výrok, proto ten spor vyvodit nelze. Daný výrok je tedy pravdivý možně, tedy je možné, aby neexistovalo nic, ani bůh. Avšak bůh, který může nebýt, není pravý Bůh.
Jan Caramuel z Lobkovic Závěr „bůh neexistuje“ vede Jana Caramuela k formulaci „athesismu“ … nic nelze předpokládat.
Obr.: http://cs.wikipedia.org/wiki/Jan_Caramuel_z_Lobkovic
Aristotelés a Tomáš Akvinský
s aktuální existencí
reálná možná
Jsoucna pomyslná
kontradiktorní
Scotismus: Co je možné, to je (nějakým způsobem) „reálné“.
Jan Duns Scotus (1266 – 1308) – skotský mnich, františkán, teolog a filosof pozdní scholastiky.
Obr.: http://www.dunsscotus.nl/
Jan Duns Scotus
s aktuální existencí
reálná možná
Jsoucna pomyslná
kontradiktorní
5. Ontologická kolize při řešení běžných středoškolských úloh s aktuální existencí
reálná Jsoucna
možná pomyslná kontradiktorní
Příklady (1) Jestliže má Česká republika méně než 1000 obyvatel, má její hlavní město více než 2000 obyvatel? V Boolově algebře jde o implikaci pravdivou, protože předpoklad je nepravdivý. (A nepravda implikuje cokoli.) V Lewisově modální logice je ona implikace nepravdivá, protože je možné, aby na území ČR žilo méně než 1000 obyvatel a zároveň její hlavní město mělo méně než 2001 obyvatele.
Příklady (2) Pokud jel z Prahy směrem na Brno a Bratislavu automobil prvních 100 km rychlostí 70 km/h a dalších 100 km rychlostí 130 km/h, byla jeho průměrná rychlost na této dvou set kilometrové dráze 100 km/h?
V Lewisově modální logice jde o nepravdivou implikaci, protože není možné, aby platil současně předpoklad i závěr. (Průměrná rychlost je 91 km/h.) V Boolově algebře jde patrně o implikaci pravdivou, protože automobily jedoucí z Prahy po dálnici na Brno se asi nikdy nepohybují hodinu a 26 minut rychlostí 70 km/h a pak 46 minut rychlostí 130 km/h. (100 km relativně pomalu a pak 100 km maximální dovolenou – a někde i nedovolenou – rychlostí.)
Problém Úlohy typu (1) a (2) se mohou vyskytnout u přijímacích zkoušek na vysoké školy. Dokonce i obě tyto úlohy při jednom konkrétním přijímacím řízení. V případě (1) se (často implicitně) vyžaduje, aby uchazeč chápal implikaci jako „materiální“. Ve smyslu „pozitivistického“ vidění světa. Uchazeč má považovat za pravdivé (jen?) to, je evidováno jako empirický fakt. Otázkou je, kdo a jak má fakta evidovat – co jsem zažil, četl, slyšel, co je relevantní zdroj informací o faktech.
V případě (2) se naopak chce, aby uchazeč použil „scotistický“ pohled na svět – možná jsoucna patří mezi jsoucna reálná. (Možné věci jsou nějakým způsobem reálné.) Uchazeč má k zadání úlohy přistoupit jako k implikaci „modální“.
6. Modální logika Rozdělení soudů podle modality: Soudy (výroky, tvrzení) se dělí na kategorické a modální.
Kategorické soudy pouze něco konstatují. (V aristotelské logice třeba S je P nebo S není P.) Modální soud navíc říká, zda S je (resp. není) P nutně, možná, náhodou, nyní, případně zda ona skutečnost je známa, je dobrá, je špatná…
Modální logika Kategorická tvrzení konstatují nějaký fakt. Že něco je (či není) pravda. Modální soudy navíc říkají, jakým způsobem to je (či není) pravda.
Způsoby (mody) pravdivosti: Aletická modální logika …
možnost a nutnost
Epistemická logika
…
je známo, je prokázáno, osoba x je
Deontická logika
…
je zakázáno, je přikázáno, je dovoleno,…
Temporální logika
…
bylo pravda, bude pravda, vždy bylo, je a bude,…
Hodnotová logika
…
je dobré, je špatné,…
přesvědčena,…
Aletická modální logika K výrokům klasické logiky přidává dva modální operátory (◊, □) nejčastěji interpretované jako: ◊p
…… Je možné, že p platí
□p
…… Je nutné, že p platí
p
…… Platí p
Aletická modální logika Mezi těmito dvěma operátory je podobný vztah jako mezi kvantifikátory v predikátové logice (Jednu z obou modalit můžeme definovat pomocí druhé): □p↔¬◊¬p
(tvrzení p platí nutně právě tehdy, když není možná neplatnost p)
◊p↔¬□¬p
(tvrzení p je možné, právě když není nutná neplatnost p)
Aletická modální logika V systémech, které odpovídají běžné intuici, kterou máme o nutnosti a možnosti, platí mezi modalitami vztahy: Co platí nutně, to také platí (je to pravdivé). Když něco platí, je to také možné. □p
→
p
p
→
◊p
Epistemické modální logiky Základními modalitami těchto systémů jsou modality: Kxp
…… x ví, že platí p (z anglického know = vědět)
Uxp
…… x neví, že platí p (z anglického unknown = neznámé)
Bxp
…… x věří, že platí p (z anglického believe = věřit)
Deontická modální logika Rozlišují se tři většinou modality: Op
…… Je přikázáno p (z anglického ordered = přikázáno)
Fp
…… Je zakázáno p (z anglického forbidden = zakázáno)
Pp
…… Je povoleno p (z anglického permitted = povoleno)
Deontická modální logika Vztahy: Op↔F¬p Fp↔O¬p
Pp↔¬Fp O p → P p (Co je přikázáno, je také povoleno)
Deontická modální logika Ale zajisté neplatí Op→p
(Co je přikázáno, to že by i platilo, že by se to i dálo)
Nebývá pravda, že se normy a příkazy vždy dodržují.
Temporální modální logika Základní časové modality tedy jsou: p
…… (právě nyní) platí p
Fp
…… (někdy v budoucnu) bude platit p
Gp
…… vždy (v budoucnu) bude platit p
Pp
…… (někdy v minulosti) platilo p
Hp
…… vždy (v minulosti) platilo p
Temporální modální logika Vztahy: F p ↔ ¬G ¬ p (p bude někdy platit právě tehdy, když není pravda, že bude vždy platit ¬ p) G p ↔ ¬F ¬ p (p bude vždy platit právě tehdy, když není pravda, že někdy platit nebude) P p ↔ ¬H ¬ p (p někdy platilo právě tehdy, když není pravda, že vždy neplatilo)
Temporální modální logika Vztahy: H p ↔ ¬P ¬ p (p vždycky platilo právě tehdy, když není pravda, že někdy neplatilo) Gp→Fp
(když tvrzení bude platit vždy, tak bude (někdy) platit)
Hp→Pp
(když tvrzení vždy platilo, tak (někdy) platilo)
