III. RÉSZ
HIDRAULIKAI SZÁMÍTÁSOK
1. A hidrosztatika alapjai Folyadékok és gázok nyomása 2. Folyadékok áramlása csővezetékben Hidrodinamika 3. Áramlási veszteségek 4. Bernoulli törvény és alkalmazása
108
_______________________________________________________ A HIDROSZTATIKA ALAPJAI FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK NYOMÁSA _______________________________________________________
1. A sűrűség és a fajtérfogat 2. A nyomás és mértékegységei 3. A Pascal tétel 4. A hidrosztatikai nyomás törvénye 5. Az U-csöves manométer 6. A felhajtóerő. A testek úszása
A HIDROSZTATIKA a nyugvó, álló folyadékok tulajdonságaival foglalkozik. Tárgyalja - a folyadékoszlop nyomását egy tartály, medence, csatorna, töltés, gát, stb. falára – kiinduló adatot szolgáltat a műtárgyak tervezéséhez, - a tartályokban, csövekben uralkodó nyomást a nyomástartó edények méretéhez és biztonságos működéséhez, - a vízbe merülő testekre ható felhajtó erőt és az úszás feltételeit.
109
1.1 A SŰRŰSÉG ÉS A FAJTÉRFOGAT A SŰRŰSÉG, A homogén anyag m tömegének és V térfogatának hányadosa. Mértékegysége: kg/m3 Megadja az 1 m3 anyag tömegét kg-ban. A gázok és a folyadékok hézagmentesen kitöltik a rendelkezésre álló teret. A folyadékok sűrűsége függ a hőmérséklettől. A gázoké még a nyomástól is. A TÉRFOGATTÖMEG, A szemcsés anyag m tömegének és V térfogatának hányadosa. Mértékegysége: kg/m3 Megadja a hézagokkal kitöltött 1m3 térfogatú szemcsés anyag tömegét kg-ban. A FAJTÉRFOGAT, A sűrűség reciproka. Mértékegysége: m3/kg Megadja 1kg tömegű anyag térfogatát m3-ben 1.2 A NYOMÁS ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEI A NYOMÁS, p Egy felületre merőlegesen ható nyomóerő (P) és a nyomott felület (A) hányadosa. Mértékegysége a pascal, Pa. 1 Pa nyomás akkor keletkezi, ha 1N erő egyenletesen és merőlegesen hat 1m2 felületre.
A LÉGNYOMÁS, po (ATMOSZFÉRIKUS vagy BAROMETRIKUS NYOMÁS) A levegőoszlop nyomása Függ a levegőoszlop magasságától és sűrűségétől a mérés helyén, a tengerszinten és 0°Con 760 mm magas higanyoszloppal tart egyensúlyt. A légnyomást TORRICELLI határozta meg.
Légnyomás a tengerszinten és 0°C-on: 760 mm Hg oszlop nyomása 110 10,33 m H2O oszlop nyomása
1,013·105 Pa 1,013 bar
VÁKUUM A TÚLNYOMÁS, pt
760 mm Hg Oszlop
Po
a légnyomásnál nagyobb nyomás. AZ ABSZOLÚT NYOMÁS pa a légnyomás és a túlnyomás összege: pa = po + pt A VÁKUUM, a légnyomás és a légnyomásnál kisebb nyomás különbsége a
Torricelli kísérlete
vákuum. (Ami hiányzik a légnyomásból) 1.3 A PASCAL TÉTEL A folyadékok összenyomhatatlanok A nyugvó folyadék vagy gáz által bármely felületre kifejtett
F2
F1
erő merőleges a felületre.
F3
F5
Zárt térben a folyadékra vagy gázra kifejtett nyomás min-
F4
den irányban egyenletesen terjed és a nyomóerők egyenlők. 1.4 A HIDROSZTATIKAI NYOMÁS TÖRVÉNYE F1 = F2 = F3
A folyadék szabad felületétől adott mélységben a nyomás függ a folyadékoszlop magasságától (h), a folyadék sűrűsé-
h
gétől ( ) és a gravitációs gyorsulástól (g): p=h g
Pa
h (m),
(kg/m3), g (m/s2)
A hidrosztatikai nyomás lineárisan nő a folyadékoszlop magasságával. Ha figyelembe vesszük a folyadék felszínére nehezedő légköri nyomást (po) is, h mélységben az abszolút nyomás: pa = po + h g A hidrosztatikai paradoxon: a hidrosztatikai nyomás független az edény alakjától, csak a folyadékoszlop magasságától és sűrűségétől függ.
111
p
1.5 AZ U-CSÖVES MANOMÉTER A manométer U-alakban meghajlított üvegcső, amelyben folyadék (alkohol, víz, higany) van. A manométer egyik ágát ahhoz a térhez kapcsoljuk, amelyben a nyomást mérjük, a másik ága nyitott, közvetlen kapcsolatban áll a légkörrel. Nyitott edényben a manométer folyadékra mindegyik ágban a légköri nyomás nehezedik: a manométer folyadék egyensúlyban van. Növeljük meg a levegő nyomását az edényben. A manomé-
po
po
terben víz van. A manométer bal ágában nagyobb nyomás nehezedik a vízre, mint a külső légnyomás a jobb ágban. Kialakul egy szintkülönbség a két ágban, amely arányos a nyomással. Legyen a „O” bázisszint a manométer folyadék alsó szintje. A bal ágban a bázisszintre nehezedik a pa és a H magasságú levegőoszlop hidrosztatikai nyomása: pa + H
po + pt
po
levg
A jobb ágban „O” szintre nehezedik a po légköri nyomás és a h magasságú vízoszlop nyomása: po + h
vízg.
A nyomás egyenlő a két ágban a „O” szinten: pa + H
levg
= po + h
H
vízg.
„O”
A túlnyomás : AZ U-CSÖVES MANOMÉTER ALKALMAZÁSA A manométer folyadékszint különbségének leolvasásával kiszámíthatjuk: -
a gázok (levegő) nyomását egy tartályban (1.9. példa)
-
a gázok nyomását a folyadék felszíne felett egy tartályban (1.10. példa)
-
a csőben áramló folyadék (gáz) nyomását (1.11. példa)
-
a cső két pontja között bekövetkező nyomáscsökkenést (1.12. példa)
1.6 A FELHAJTÓERŐ, A TESTEK ÚSZÁSA A felhajtóerő egyenlő a test által kiszorított víz súlyával. A vízbe merülő testtérfogat-középpontjában hat függőlegesen felfelé.
112
h
A felhajtóerő: Ahol V a kiszorított víz térfogata, m3 (a test vízbemerülő részének térfogaF=V
vízg
ta),
víz
a víz sűrűsége kg/m3
Az úszás feltétele: a felhajtóerő (F) egyenlő a súlyerővel (G): V
vízg
= mg
m az úszó test tömege, kg
Abszolút nyomás.
1.1 Példa
Egy edényben a túlnyomás h = 300 mmHg oszloppal tart po
egyensúlyt. A légköri nyomás 740 mmHg. Mekkora az edényben uralkodó abszolút nyomás Pa-ban és barban? h = 300 mmHg
ADATOK pt = 300 mmHg
1 mmHg = 133,3 Pa
po = 740 mmHg
1 bar = 105 Pa
MEGOLDÁS
=
Vákuum
1.2 Példa
Egy edényben a légköri nyomásnál kisebb nyomás van. A h = 600 mmHg. A légköri nyomás 740 mmHg. Mek-
po
kora az edényben uralkodó abszolút nyomás Pa-ban és Hány százalékos a vákuum?
bar-ban? h = 600 mmHg 113
ADATOK pv = 600 mmHg
1 mmHg = 133,3 Pa
po = 740 mmHg
1 bar = 105 Pa
MEGOLDÁS Az edényben „maradó” nyomás:
Az atmoszférikus nyomás:
Az atmoszférikus nyomás 0,986 – 0,187 = 0,799 bar-ral csökkent. Ez a nyomás „hiányzik” a légköri nyomásból -os vákuum lenne 0,799 bar
x%-os vákuum
A vákuum = 81%.
1.3 Példa
Hidrosztatikai nyomás nyomóerő. Egy tengeralattjáró 50 méterre merül le. Ajtajának átmérője 1m.
Mekkora nyomás és nyomóerő hat az ajtóra? ADATOK MEGOLDÁS Az ajtóra nehezedő vízoszlop nyomása: Az ajtó felülete:
114
Az ajtóra ható nyomóerő: MEGJEGYZÉS: Mekkora tömeg nehezedik az ajtóra? A súlyerő: N 1 kg tömeg kb. 10 N erővel nyomja az alátámasztó felületet. Ha 10 N megfelel 1kg-nak, akkor
megfelel m kg-nak
Ha egy tengerész ki szeretné nyitni az ajtót, 41,6 tonnát kellene felemelni. 1.4 Feladat
Hidrosztatikai nyomás sűrűség.
Az U-csöves manométer alkalmas a különböző folyadékok sűrűségének meghatározására is a hidrosztatikai nyomás törvényének felhasználáho
sával.
hv
Az U-csöves manométerben higany van. Az U-cső egyik szárába olajat öntünk (ho), a másik szárába vizet (hv) a
hHg
higany fölé. Kialakul egy szintkülönbség a higany két szára közt (hHg) ADATOK = 13600 kg/m3
hHg = 20 mm = 0,02m, hv = 60 mm = 0,06 m,
v
Hg
= 1000 kg/m3
ho = 400 mm = 0,4 m Számítsa ki az olaj sűrűségét:
o
=?
MEGOLDÁS A feladatot a hidrosztatikai nyomások alkalmazásával számíthatja ki. Válassza ki a „O” szintnek a Hg alsó szintjét. Erre írja fel a hidrosztatikai nyomásokat az U-cső két szárában: Az egyenlőségből fejezze ki és számolja ki az olaj sűrűségét: (
830kg / m3)
115
1.5 Feladat
Pascal tétel – hidrosztatikai nyomás
Egy hasáb alakú tartály alapja 4x4 méter, magassága 4 méter. A tartály 3 méter magasságig vízzel van töltve. A folyadék mekkora erővel nyomja az edény alját és az oldalfalakat 1-2-3 méter mélységben? ADATOK: a = b = 4 m
g = 10 m/s2
h=3m
a/ A tartály aljára ható nyomás és nyomóerő p = h g = 3 m 1000 kg/ h
10
p = 30 000 Pa = 30 kPa = 30 kN/ F = pA = 30 kN/
4 m 4 m = 480 kN
b/ Az oldalfalakra ható nyomás és nyomóerő b
1 m mélységben:
a
=
ρg = 1
2 m mélységben : 3 m mélységben:
Mekkora nyomás nehezedik a tartály aljára és az oldalfalakra 3 m mélységben? A számítások melyik tételt igazolják?
1.6 FELADAT
A nyomásábra szerkesztése
Rajzolja meg az 1.5 feladatban szereplő víztároló medence aljára és oldalfalaira ható nyomás ábráját. Számítsa ki a falakra ható koncentrált erőt és a támadáspontot. a/ Nyomás a medence alján:
116
A nyomásábra: Lépték: A koncentrált erő: p (kPa)
h (m)
0
0
10
1
20
2
30
3
4
A koncentrált erő támadáspontja a 4x4 méteres fenéklemez súlypontjára esik. b/ Nyomás az oldalfalakon:
A nyomásábra:
Lépték:
h (m) A koncentrált erő a háromszög területével egyenlő.
0
(a négyzet területének a fele)
1 2
=
3 10
20
30
p (kPa)
A kN/m mértékegység azt jelenti, hogy az oldalfalak minden 1 m-es szakaszára 45 kN koncentrált erő hat. A koncentrált erő támadáspontja a felszínről számítva 2/3 mélységben van. A támadáspont :
mélységben van.
A nyomások és a nyomóerők ismeretében méretezhetjük a víztároló falának vastagságát. MEGJEGYZÉS A víz mélységét felülről lefelé ábrázoljuk a függőleges tengelyen. Így a folyadék felszínén az oldalfalakra nehezedő nyomás nulla. Az origóban ábrázoljuk a vízoszlop legmélyebb pontját. ( A példában a 3 m-t.) 117
1.7 FELADAT
Víznyomására ferde felületen.
Mekkora nyomás nehezedik egy csatorna ferde falára különböző mélységben? Mekkora a koncentrált erő? Ezekre a kérdésekre a nyomásábra megszerkesztésével adhatunk választ. ADATOK A vízmélység h = 3 m A fal rézsűhajlása 1:2 (A háromszög függőleges oldala 3 m, a vízszintes oldala 6 m) MEGOLDÁS A víznyomás h = 3 m mélységben:
A víznyomásábra:
R P 3m
A nyomás merőlegesen
30 kN/m2
hat a ferde fal lábánál:
l
A koncentrált erő a háromszög területével egyenlő:
mivel a rézsűhajlás
A koncentrált erő
6m
, a Pitagorász tételéből:
mértékegységre azt jelenti, hogy a csatorna falának minden 1 m
széles szakaszára 100,5 kN erő hat. A koncentrált erő támadáspontja a felszíntől számítva 2/3 mélységben van:
A csatorna falának 1 m széles szakaszára 100,5 kN erő hat, amelynek támadáspontja a felszíntől 4,46 m mélységben van a rézsűn.
118
Nyomómagasság
1.8 FELADAT
A kútban a víz szintje 17 méterre van a talaj felszíne alatt. A csőből egy szivattyúval kiszívják a levegőt. A légnyomás milyen magasra nyomja fel a vizet? Eléri a szivattyút? szivattyú H po
h
Írja fel a hidrosztatikai nyomás törvényét és fejezze ki a vízoszlop magasságát.
Milyen magasra emelkedik fel a víz a légritkított csőben? Eléri a szivattyút?
1.9 FELADAT
Nyomás egy gázzal töltött tartályban.
A tartály 1 kg/
sűrűségű gáz van. A manométer-folyadék víz, a szintkülönbség 500
mm. Határozza meg : a/ a túlnyomást a tartályban b/ a túlnyomást a tartályban, ha a gázoszlop nyomásával nem számolunk c/ az elhanyagolással elkövetett hibát.
pa
H
po
h
119
A MEGOLDÁS ÁLTALÁNOS ALGORITMUSA A manométer-folyadék egyensúlyban van. 1. Jelölje ki a bázisszintet: a manométer-folyadék alsó szintje: 1 2. Határozza meg a nyomást a bázisszinten: a bal ágban: a jobb ágban : 3. Írja fel az egyenlőséget:
4. Fejezze ki a keresett mennyiséget:
MEGOLDÁS a/ b/ ha a
( a gáz sűrűsége elhanyagolható)
c/ Az elkövetett hiba:
A hiba csupán 0,16%. Ezért a gázoszlop nyomását a gyakorlati számításokban elhanyagolhatjuk. ÁLTALÁBAN az abszolút nyomás: a túlnyomás : a manométer-folyadék sűrűsége, h a szintkülönbség a manométerben.
120
1.10 FELADAT
Csőben áramló közeg nyomása
A csőben levegő áramlik. A manométerfolyadék víz. A szintkülönbség a manométerben 200 mm vízoszlop. A külső légköri nyomás 750 mmHg. ADATOK LEVEGŐ Számítsa ki a túlnyomást és az abszolút nyomást a csőben
H
Pa-ban és bar-ban. A H magasságú levegőoszlop hidrosztatikai h
nyomását hanyagoljuk el. A túlnyomás: MEGOLDÁS a/ A túlnyomás: b/ Az abszolút nyomás: a légköri nyomás : (mmHg oszlopban van megadva!)
Az abszolút nyomás:
A levegő túlnyomása a csőben 0,02 bar, abszolút nyomás 1,02 bar.
1.11 FELADAT
Nyomáskülönbség a csővezeték két pontja között.
A csőben áramló folyadék súrlódik a cső falán, csökken a mozgási energiája és a nyomása. A nyomáscsökkenést meghatározhatjuk a csővezeték két pontja közé bekapcsolt U-csöves manométerrel. Mekkora a nyomáscsökkenés ha a csőben víz áramp1
p2
lik? A manométerben higany van. A szintkülönbség h = 30 mm,
H2
H1 h
121
1. A „O” bázisvonalra nehezedő nyomás. a bal ágban: a jobb ágban: 2. A higany egyensúlyban van.
3. A nyomáskülönbség:
A nyomásesést kiszámíthatjuk a manométeren leolvasott szintkülönbségből: A képletben két sűrűség szerepel: az egyik a manométerfolyadék, a másik az áramló közeg sűrűsége. MEGOLDÁS
FELADAT Számítsa ki a nyomásesést ha az áramló közeg
sűrűségű levegő. A mano-
méterben higany van, a szintkülönbség 30 mm. Számítsa ki a nyomásesést, ha a levegő sűrűségét elhanyagoljuk. A NYOMÁSCSÖKKENÉS A CSŐ KÉT PONTJA KÖZÖTT ÁLTALÁBAN a manométerfolyadék sűrűsége, kg/
az áramló közeg sűrűsége, kg/
122
2.
FOLYADÉKOK ÁRAMLÁSA CSŐVEZETÉKBEN HIDRODINAMIKA
1. A térfogat – és tömegáram. 2. A viszkozitás 3. Az áramlás jellege. A Reynolds – szám 4. A folytonossági törvény
A HIDRODINAMIKA az áramló folyadékok tulajdonságaival foglalkozik. Néhány alapvető fogalma, mennyiséget és mértékegységet kell rögzíteni az áramlástan tanulmányozása előtt. Ki kell számítani - a csőben áramló folyadék vagy gáz térfogatát, tömegét, sebességét, -
a folyadék (gáz) előírt mennyiségének szállítására alkalmas csővezeték keresztmetszetét, átmérőjét,
-
az áramlás jellegét kifejező számokat és azt a kritikus sebességet, amelynél a „sima”, párhuzamos áramlás gomolygóvá válik,
-
a változó keresztmetszetű csövekben a keresztmetszetek s az áramlási sebességek viszonyát.
123
2.1 A TÉRFOGAT – ÉS TÖMEGÁRAM A TÉRFOGATÁRAM, , V A cső adott keresztmetszetén egységnyi idő alatt átáramlott folyadék vagy gáz térfogata.
v
v a folyadék (gáz) áramlási sebessége m/s A a cső keresztmetszete m2 d a cső belső átmérője m Megadja, hogy a cső adott keresztmetszetén hány m3folyadék vagy gáz áramlik át 1 s alatt. A TÖMEGÁRAM,
,m
A cső adott keresztmetszetén egységnyi idő alatt átáramlott folyadék vagy gáz tömege. kg/s a folyadék (gáz) sűrűsége, Megadja, hogy a cső adott keresztmetszeten hány kg folyadék vagy gáz áramlik át 1 s alatt. A térfogatáram képlete több feladat megoldására alkalmas._____________________ - Hány m3 folyadék áramlik át a cső keresztmetszetén 1 s alatt?
-
Adott a cső átmérője (d) és az áramlás sebessége (v). ______________________ Milyen sebességgel áramlik a folyadék? Adott a térfogatáram (qv) és a cső átmérője.
-
______________________ Milyen átmérőjűcső képes az előírt térfogatáramot adott sebességgel elszállítani? ______________________
-
A cső keresztmetszete az átmérő ismeretében: ______________________
124
2.2 A VISZKOZITÁS A VISZKOZITÁS, η,ν a folyadékok belső súrlódását fejezi ki. A nagyobb viszkozitású folyadékok kevésbé folynak meg. A viszkozitás függ a folyadék hőmérsékletétől: a nagyobb hőmérséklet csökkenti a viszkozitást. Két egymáson elcsúszó folyadékréteg között ellentétes erők, nyírófeszültségek lépnek fel. Az erő arányos a folyadékrétegek felületével (A) és az egymáshoz viszonyított relatív sebességükkel (v), fordítva arányos a folyadékrétegek távolságával (l):
A v l
η A DINAMIKAI VISZKOZITÁS Belső súrlódási együttható. Mértékegysége : KINEMATIKAI VISZKOZITÁS, ν A dinamikai viszkozitás és a sűrűség hányadosa Mértékegysége:
2.3 AZ ÁRAMLÁS JELLEGE. A REYNOLDS –SZÁM A folyadékok áramlása lehet lamináris vagy turbulens A lamináris áramlásban a folyadékrészecskék egy irányba, az áramlás irányába haladnak, párhuzamos folyadékrétegek mozognak egymás mellett. A turbulens áramlásban a folyadékrészecskék a csőfala felé is elmozdulnak, gomolygó mozgást végeznek. Az áramlás jellegét a Reynolds- számmal fejezzük ki.
125
A csőben áramló folyadékra:
Lamináris, párhuzamos rétegek
v a folyadék áramlási sebessége, m/s, d a cső átmérője, m Ha az áramlás - lamináris: a Re -
átmeneti : 2360
-
turbulens: a Re
Turbulens, gomolygó áramlás
Egy adott átmérőjű csőben a növekvő áramlási sebességgel a Re-szám is nő. Lamináris az áramlás a kisebb sebesség és kisebb csőátmérő tartományban. Az áramlás jellegének ismerete azért fontos, mert a lamináris tartományban kisebb az áramlási veszteség, a folyadékot kisebb energiával szállíthatjuk a csővezetékekben. A Reynolds-szám mindig tartalmaz egy jellemző sebességet és méretet (itt az áramlás sebességét és a cső átmérőjét). Megadja az áramló közegre ható tehetetlenségi és belső súrlódási erők arányát. Kifejezi az áramlás jellegét.
2.4 A FOLYTONOSSÁGI TÖRVÉNY A változó keresztmetszetű csőben az áramló folyadék térfogatárama állandó: A1 A2 v1 v2 Az áramlási sebesség fordítva arányos a cső keresztmetszetével. A kisebb átmérőjű (keresztmetszetű) csőben az áramlás sebessége nagyobb. Így tud az adott térfogatú folyadék azonos idő alatt átáramlani. A gázok összenyomhatók, ezért a gázok áramlásakor a tömegárammal kell számolni.
2.1. PÉLDA
Térfogat- és tömegáram Egy csővezetékben etilalkohol áramlik. Sebessége 1,5 m/s, sűrűsége 790 kg/m3. A csővezeték átmérője 35 mm. Mekkora az etilalkohol térfogat- és tömegárama? 126
ADATOK v = 1,5 m/s
d = 35 mm = 0,035 m
MEGOLDÁS A térfogatáram:
m3/s
A tömegáram:
kg/s
790
Az áramlás átmeneti a lamináris és a turbulens áramlás között. 2.2 PÉLDA
Térfogatáram buborékos áramlásmérés
A buborékos áramlásmérés kis térfogatáramok mérésére alkalmas. A folyadék egy átlátszó csőszakaszban áramlik. A folyadékba egy jelző buborékot nyomunk és mérjük a buborék sebességét, amely jó közelítéssel azonos a folyadék átlagsebességével. A buborék a 20 mm-es utat háromszor mérve 4,8 s, 5 s és 4,6 s alatt tette meg. A cső átmérője 10 mm. s Számítsa ki a térfogatáramot: ml/s ADATOK s = 200 mm = 0,2 m
v = s/t
m/s
t = 4,8 + 5 + 4,6/3 = 4,8 s
qv = vA
m3/s
d = 10 mm = 0,01 m
127
MEGOLDÁS
A Reynolds-szám:
2.3 PÉLDA
Dinamikai viszkozitás v
l
Az álló és a mozgó lemez között 60 os glicerin van. A lemezt 1 N erővel mozgatjuk, sebessége 10 mm/s, felülete 1 m2. Mekkora a 60 os glicerin viszkozitása?
ADATOK F=1N A = 1 m2 l = 1 mm = 0,001 m v = 10 mm/s = 0,01 m/s MEGOLDÁS
2.4 PÉLDA
Reynolds-szám Számítsa ki, hogy milyen sebességnél vált át az áramlás laminárisból turbulensbe adott csőátmérő esetében, ha a csőben a/ víz áramlik, b/ levegő áramlik.
ADATOK d = 10 mm
128
MEGOLDÁS a/ A víz áramlásakor
b/ A levegő áramlásakor
KÖVETKEZTETÉS A lamináris áramlás kis átmérő és kis sebességek mellett alakul ki. A szokásos áramlási sebességeknél az áramlás általában turbulens.
2.5 PÉLDA
Folytonossági törvény folyadékok áramlásakor Egy változó keresztmetszetű csőben 600 dm3 folyadékot szállítunk percenként. A keresztmetszet a cső elején 0,01 m2. A kilépő folyadék sebessége 4 m/s. Számítsa ki a folyadék sebességét a cső elején és a keresztmetszetet a cső végén.
ADATOK
A1 , v 1
v 2 , A2
a folytonossági törvény
a térfogatáram
MEGOLDÁS
129
ALKALMAZÁS A folytonossági törvényből kifejezhetjük bármelyik tagot, ha a másik hármat ismerjük. Kiszámíthatjuk - a változó keresztmetszetű csőben a megváltozott áramlási sebességet, -
az előírt sebességhez a szűkítés vagy bővítés keresztmetszetété (átmérőjét).
2.6 PÉLDA
Folytonossági törvény gázok áramlásakor Egy állandó keresztmetszetű csőben levegő áramlik. A cső elején az áramlás sebessége 15 m/s, a nyomás 2 bar. A cső végén a nyomás 14 bar. A levegő sűrűsége a légköri nyomáson 1,22 kg/ . Számítsa ki a kilépő levegő sebességét. ADATOK
A folytonossági törvény :
,
állandó keresztmetszeten: A levegő sűrűsége a különböző nyomáson eltérő. A Boyle-Mariotte törvény a sűrűséggel: A nyomások aránya egyenlő a sűrűségek arányával.
MEGOLDÁS A levegő sűrűsége 2 és 1,4 bar nyomáson:
A kilépő levegő sebessége:
130
3.
ÁRAMLÁSI VESZTESÉGEK
1. 2. 3. 4. 5. 6.
A veszteségmagasság A nyomásveszteség A csősúrlódási együttható A szerelvények ellenállása Az egyenértékű csőhossz Az egyenértékű átmérő
A vegyipari és környezetvédelmi üzemében nagy mennyiségű folyadékot (vizet) és gázt (levegőt) kell szállítani a csővezetékekben, csatornákban. Ki kell számítani -
a folyadékok, gázok (fluidumok) energiaveszteségét, amely azért keletkezik, mert az áramló közeg súrlódik a cső vagy a csatorna falán,
-
a cső minőségére jellemző csősúrlódási együtthatót,
-
a folyadékok, gázok energiájának veszteségét a csővezetékbe beépített idomokban, szerelvényekben, mert az áramló közeg ezekben irányváltoztatásra kényszerül,
-
az idomok, szerelvények ellenállására jellemző helyi ellenállás tényezőt.
131
3.1 A VESZTESÉGMAGASSÁG,
Az áramló gázok és folyadékok súrlódnak a cső falán, ami energiaveszteséget, nyomáscsökkenést okoz. Ha egy cső két végére egy-egy üvegcsövet szerelünk
hv
függőleges helyzetben, a folyadékszint különbsége közvetlenül megmutatja az áramló folyadék energiájának csökkenését, v
a „veszteségmagasságot.” Az energiaveszteség arányos a cső hosszával (l), az
l
áramlás sebességével (v) és fordítva arányos a cső átmérőjével (d).
v
d
A veszteségmagasság J/N (m) λ a csősúrlódási együttható l a cső hossza (m), d az átmérője (m), v az áramlás sebessége (m/s) A veszteségmagasság megadja a csőben áramló egységnyi súlyú folyadék energiaveszteségét a kijelölt hosszúságú egyenes csőszakaszon. Mértékegysége: joule/newton, J/N. A veszteségmagasság mértékegysége az alapegységekkel kifejezve : méter. Ezért beszélünk „magasságról”. 3.2 A NYOMÁSVESZTESÉG, P1 > P2
Az energiaveszteség nyomáscsökkenéssel jár a cső hossza mentén.
P1
P2
A cső két pontjához kötött manométeren a szintkülönbség arányos a nyomáscsökkenéssel. h
132
A nyomásveszteség megadja a csövekben, csatornákban áramló folyadék nyomásának csökkenését két kijelölt keresztmetszet között. Mértékegysége: pascal, Pa. A nyomásveszteség Pa
az áramló közeg sűrűsége, kg/m3
=λ
3.3 A CSŐSÚRLÓDÁSI TÉNYEZŐ, λ Értéke függ a Re-számtól és a cső falának relatív érdességétől. A relatív érdesség, δ a jellemző egyenetlenség (k) és a belső átmérő (d) hányadosa: δ=k/d
d
k
A csősúrlódási tényező meghatározása: -
a 3.1 diagramból a Re-szám és a δ ismeretében,
-
empirikus egyenletekkel
lamináris áramlásban
turbulens áramlásban
λ -
λ kísérleti úton (4.3 példa) Néhány cső érdességét a 3.1 táblázatban tüntettük fel.
3.4 A SZERELVÉNYEK ELLENÁLLÁS TÉNYEZŐJE,ζ A csőhálózatba beépített idomok (könyök, elágazás…) és szerelvények (szelep, csap, tolózár…) ellenállást fejtenek ki az áramlással szemben, ezért energiaveszteséget, nyomásesést okoznak. A veszteségmagasság:
A nyomásveszteség:
J/N
Pa
ξ az idom vagy szerelvény helyi ellenállás tényezője. 133
3.5 AZ EGYENÉRTÉKŰ CSŐHOSSZ, le Az egyenértékű csőhossz
csőben:
annak az egyenes csőszakasznak a hossza, amelyben ugyanakkora a nyomásveszteség, mint az adott idomban vagy szerelvényben:
szerelvényben: ξ az idomra vagy szerelvényre, λ és d a csőre vonatkozik.
A csőhálózatban bekövetkező veszteségmagasság kiszám tásakor az egyenes csőszakaszok és az idomok, szerelvények egyenértékű csőhosszának összegével kell számolni:
3.6 AZ EGYENÉRTÉKŰ ÁTMÉRŐ, de Ha a cső nem kör keresztmetszetű, az egyenértékű átmérővel kell számolni. Az egyenértékű átmérő:
a
a m
A= a a K=4a
A= a K= a + 2 m
A = (R2-r2) K=
Nem körkeresztmetszetű csövekben (csatornákban) a veszteségmagasság
a Re-szám
134
a csősúrlódási tényező, ha az áramlás lamináris a
b a
a/b = 0,5
a
PÉLDÁK, FELADATOK
3.1 PÉLDA
A csősúrlódási diagram
A betoncső belső átmérője 10 cm, érdessége 2 mm. A csőben vizet szállítunk, a térfogatáram 200 dm3 percenként. Határozza meg a csősúrlódási tényezőt a diagram segítségével. d= 10 cm = 0,1 m k
mm = 0,002 m
A 3.1 diagram a λ-t a Reynolds szám és a relatív érdesség függvényében ábrázolja: AΔ
nyomásveszteséget a cső két keresztmetszete között megmérjük:
A v áramlási sebességet kiszámítjuk a térfogatáram és a keresztmetszet ismeretében: MEGOLDÁS
A 3.1. diagramból:
135
3.1.ÁBRA
A csősúrlódási együttható
A lamináris áramlásban meredeken csökken a Re számmal. Ezt fejezi ki a hányados is. a λ = 0,03.
Pl: Re= 2000,
A turbulens áramlásban ( a nagyobb Re-számok esetén), az egyes relatív érdességű csövekben, nem függ a Re-számtól. Sima falú, kisebb relatív érdességű csövekben kisebb a súrlódási veszteség, kisebb a λ értéke. Példa: Ha a Re = 2 k/d = 0,001, a k/d = 0,05, a
~ 0,02 (sima fal) ~ 0,07
136
MEGJEGYZÉS Lamináris áramlásban a Re-szám növekedésével a λ csökken. Ezt mutatja a meredeken lefelé futó görbe, ezzel összhangban a λ=64/Re összefüggés is. Turbulens áramlásban – nagy Re-szám tartományban – a görbék vízszintesen helyezkednek el: a λ nem függ a Re-számtól.
3.2 Példa
Veszteségmagasság
csősúrlódási tényező
Egy csővezeték két pontjához egy-egy üvegcső csatlakozik. A csőben víz áramlik. A két üvegcsőben a vízszint különbség közvetlenül a veszteségmagasságot adja. Számítsa ki a csősúrlódási tényezőt. L = 2 m, h
h=
qv D L
λ=?
MEGOLDÁS
137
D = 17 mm = 0,017 m
A csősúrlódási tényező 0,011. Ez a kis érték simafalú, jó minőségű csőre utal.
3.3 FELADAT
A csősúrlódási tényező kísérleti meghatározása 4
Az acélcső (4) hossza 2 m, átmérője 17 mm. A szivattyúval (1) vizet szállítunk. A szelep (2) és a rotaméter (3) segítségével beállítunk 800 dm3/h térfogatáramot. A Hg töltésű manométeren (5) leolvasunk 20 mm szintkülönbséget. Számítsa ki az acélcső csősúrlódási tényezőjét.
3 h 2 5 1
ADATOK l = 2 m, d = 17 mm = 0,017 m
MEGOLDÁS
Az acélcső csősúrlódási együtthatója 0,045.
FELADAT
Ellenőrizzük az acélcső minőségét.
Feltételezzük, hogy az acélcső használt, rozsdás, az érdessége k~0,3mm (3.1. táblázat) Számítsuk ki a Re-számot a relatív érdességet. 138
Határozza meg a λ-t a diagramból is. Jó volt a feltételezés? Ismételje meg a mérést 400 dm3/h térfogatárammal. A manométerben a szintkülönbség 10 mmHg.
FELADAT
Számítsa ki a csősúrlódási együtthatót. Ábrázolja a λ-t a Re-szám függvényében. Hogyan változik a λ a növekvő Re-számmal (áramlási sebességgel)? Lamináris vagy turbulens tartományban mér?
3.4 PÉLDA
Egyenértékű csőhossz - veszteségmagasság
A csővezetéken vizet szállítunk. A víz energiát veszít az egyenes csőszakaszokban, a 3
2
szelepben, a könyökben és a kiömléskor. Mekkora a veszteségmagasság s csővezetékben?
D
Az egyenes csőszakaszok hossza: l = 120 m, átmérője: d = 0,2 m
1
A veszteségtényezők: 1. kilépés a csőből 2. 90o –os könyök 3. szelep nyitva
2,5 Σ ξ = 3,8
Számítsa ki: -
az egyenértékű cső hosszát: le
-
az egyenes és az egyenértékű csőhossz összegét: lö
-
az áramlási sebességet: v
-
a veszteségmagasságot: hv
-
a nyomásveszteséget, 139
MEGOLDÁS A csőidomok és csőszerelvények egyenértékű csőhosszúsága:
A víz kiömlésekor, a könyökben és a szelepben akkora energiaveszteség keletkezik, mint 30,4 m hosszú egyenes csőben. A cső keresztmetszete: A víz áramlási sebessége: A veszteségmagasság: A nyomásveszteség: Δ A folyadék nyomásvesztesége 23764 Pa (0,2376 bar) az adott csővezetékben. MEGJEGYZÉS A nyomásveszteséget másik összefüggéssel is kiszámíthatjuk a h v ismeretében:
3.5 FELADAT
Veszteségmagasság
Vizet szállítunk a felső tartályból az alsóba. A csőátmérő 150 mm, csősúrlódási együttható 0,01. 1
1
2
Az egyenes csőszakaszok hossza 14 m. A térfogatáram 234 m3/ h.
2
2
3
Számítsa ki a veszteségmagasságot.
J/N
ADATOK d = 150 mm, l = 14 m, λ =0,01 qv = 234 m3/h = 0,065 m3/s be- és kiömlés: ξ1 = 1 könyök:
2
= 0,3 (háromszor) 140
szelep:
ξ3 = 2,3
Számítsa ki: a/ az áramlás sebességét: b/ az egyenértékű csőhosszat: c/ a veszteségmagasságot:
FELADAT
Határozza meg a veszteségmagasságot úgyis, hogy külön kiszámolja az egyenes csőben és a szerelvényekben bekövetkező veszteségeket: és
Az eredmény azonos?
3.6 PÉLDA
Egyenértékű átmérő - veszteségmagasság A csatornában víz áramlik. Határozza meg az áramlás jellegét, a veszteségmagasságot és a nyomásveszteséget. l = 120 m a = 180 mm = 0,18 m m = 135 mm = 0,135 m
m
20°c a
l
v = 1,5 m/s λ = 0,03 de = ?
Re = ?
hv = ?
Δpv = ?
MEGOLDÁS A=a
m 0,135 m = 0,0243 m2
K = a + 2 m = 0,18 m + 2 0,135 m = 0,45 m de = 4A/K = 4 0,0243 m2/0,45 m = 0,216 m Re = turbulens
141
A veszteségmagasság
Egységnyi súlyú (1 N) víz 1,92 J energiát veszít a csatornában. A nyomásesés: Δ A nyomásveszteség a hv ismeretében: Δ
3.7 PÉLDA
Egyenértékű átmérő – veszteségmagasság
A „cső a csőben” hőcserélő gyűrű keresztmetszetében 800 kg/m3 sűrűségű, 1,6 10-2 Pa s viszkozitású folyadék áramlik 1,5 m/s sebességgel. A körgyűrű külső sugara 0,05 m. A cső hossza 10 m. = 800 kg/m3
R = 0,06 m r
R
r = 0,05 m
η = 1,6 10-2 Pa s
l = 10 m
v = 1,5 m/s
Számítsa ki a/ az egyenértékű csőátmérőt, b/ az áramlás jellegét, c/ a veszteségmagasságot. MEGOLDÁS A körgyűrű keresztmetszete : A nedvesített kerület: Az egyenértékű átmérő:
Az áramlás jellege: lamináris A csősúrlódási együttható: A veszteségmagasság:
142
A hőcserélő gyűrű alakú keresztmetszetében áramló 1 N súlyú víz 3,67 J energiát veszít 10 m hosszú úton. A szelep ellenállás tényezőjének kísérleti meghatározása
3.8 FELADAT
A szabályozó- és záró szerkezetek (szelepek, csapok, tolózárak) ellenállást fejtenek ki az áramlással szemben. Csökken az áramló folyadék mozgási energiája és a nyomása. Ha megmérjük a szerelvényekben bekövetkező nyomásesést (Δ p v), meghatározhatjuk az ellenállás mértékét, kifejező helyi ellenállás tényezőt.(ξ). A szivattyú (1), a szelep (2) és a rotaméter (3) segítségével beállítuk egy térfogtáramot. A szelephez (4) kötött manométeren (5) leolvassuk a szintkülönbséget (h). A nyomásveszteség a szerelvényeken:
A Δpv-t a manométerrel megmérjük: Δpv =hg( Az áramlási sebességet kiszámítjuk: v = qv/A 4 A cső átmérője: d = 17 mm = 0,017 m A térfogatáram: qv = 800 dm3/h = 0,00022 m3/s
3 h
Mekkora a szelep ellenállás tényezője?
2 víz
1
A szintkülönbség: h = 9,8 mm = 0,0098 mHg
5 Hg
MEGOLDÁS A cső keresztmetszete: A víz áramlási sebessége: v= A nyomásveszteség: Az ellenállás tényező: ξ= A szelep zárásával egyre nagyobb akadályt állítunk a víz áramlásának útjába, egyre nagyobb lesz a nyomásesés és az ellenállás tényező. Más szerelvények helyi ellenállás tényezőjét is meghatározhatjuk, ha ezeket a szelep helyére beépítjük. 143
MEGJEGYZÉS A szelepek (csapok, tolózárak) ellenállás tényezője függ attól, hogy milyen mértékben van nyitva. A nyitottság mértéke, η
Az ellenállási tényező ζ=
FELADAT
a teljesen nyitott szelep ellenállás tényezője
Számítsa ki a szelep ellenállási tényezőjét, ha 70 %-ig van nyitva. A nyitottság mértéke: η = 0,7 Teljesen nyitott szelepre:
= 2,5
( = 5)
FELADAT
Ismételje meg a mérést félig zárt szeleppel: zárja a szelepet addig, amíg a rotaméter 400 dm3/h térfogatáramot mutat. Ekkor a szintkülönbség a manométerben 18 mmHg.
Számítsa ki az ellenállás tényezőt. Ábrázolja ζ-t a Re-szám (az áramlási sebesség) függvényében. Hogyan változik a vizsgált Re-szám tartományban?
144
3.1 TÁBLÁZAT Különböző csövek érdessége
A cső anyaga
Húzott
vagy
sajtolt
Belső felülete
réz,
Érdesség, k, mm
Új
bronz, alumínium, műanyag,
0,0013 – 0,0015
Használt 0,0015 – 0,03
üveg Húzott vagy hengerelt acél-
Új
0,02 – 0,05
Horganyzott
0,10 – 0,16
Rozsdás
0,10 – 0,3
Új
0,05 – 0,15
Rozsdás
0,25 – 0,3
Vízvezetéki lerakódás
1,5 – 3,0
cső, varrat nélkül
Hegesztett acélcsövek
Öntöttvas csövek
Új
0,2 – 0,6
Használt Beton csövek
1,5 – 4,0
Új, sima
0,3 – 0,8
Új, érdes
1,0 – 3,0
Különböző közegek közepes áramlási sebességei
Közeg
Vköz
Közeg
m/s
Vköz m/s
Víz
1–3
Kisnyomású gáz
3 – 10
Forró víz
2–3
Nagynyomású gáz
5 – 15
Viszkózus folyadék
1–2
Nedves gőz
10 – 25
Sűrített levegő
3 - 10
Túlhevített gőz
30 - 80
145
4. BERNOULLI TÖRVÉNY ÉS ALKALMAZÁSA
Az áramló folyadékokra három különböző energia jellemző. -
Helyzeti (potenciális) energia. Az m folyadéktömeg helyzetének magasságga
határozza meg egy bázisszinthez (tengerszinthez, talajszinthez stb.) viszonyítva. -
Nyomási energia. Áramlás közben a folyadék nyomásából származó erők
munkát végeznek. A V térfogatú folyadéktömeg elmozdulásából származó nyomás munkavégző képessége jelenti a nyomási energiát. -
Mozgási (kinetikus) energia. A mozgó testek, fluidumok (folyadékok, gázok)
munkát végeznek. A munkavégző képességükben jelenik meg a mozgási energiájuk. A Bernoulli törvény azt mondja ki, hogy az áramló folyadék három energiájának összege állandó marad a csővezeték minden keresztmetszetében, miközben az egyes energiák egymásba átalakulhatnak.
146
A BERNOULLI TÖRVÉNY
v2
Az áramló folyadékok helyzeti, nyomási és mozgási energiájának összege a csővezeték minden pontján egyenlő:
P2 v1 P1 h1
h2
Minden tag egységnyi súlyú (1 N) folyadék energiáját (J) jelenti. Mértékegysége:
A helyzeti energia Eh = mgh N : kg
Egységnyi súlyra
Mértékegysége az alapegységekkel kifejezve m, ezért az egyes tagokat „magasságnak” nevezzük: h– a geometriai magasság p/ρg – a nyomásmagasság v2/2g – a sebességmagasság A „magasságok” fajlagos (egységnyi súlyra eső) energiákat fejeznek ki. A Bernoulli törvény az energiamegmaradás törvényét alkalmazza az áramló folyadékokra. A Bernoulli törvénynek ez az alakja veszteségmentes áramlásra vonatkozik. Ha a veszteségeket nem hanyagoljuk el, a jobb oldalt ki kell egészíteni a hv veszteségmagasággal.
A BERNOULLI TÖRVÉNY ALKALMAZÁSA
A Bernoulli törvényt sok feladat megoldására alkalmazhatjuk. Az áramlás két különböző pontjára írja fel a folyadék magasságát (h1 és h2) az alapszinthez viszonyítva, a nyomást (p1 és p2) és az áramlás sebességét (v1 és v2). Ezek közül mindegyiket kifejezhetjük az egyenletből, miután az egyenletet egyszerűsítettük egyik-másik tényező elhanyagolásával. Kiszámíthatjuk: -
a kiömlés sebességét (v2) és térfogatáramát (qv) egy adott átmérőjű csőből (4.1 – 4.3) feladat,
-
az állandó kifolyási sebességet biztosító cső átmérőjét (4.4 feladat) 147
-
a szelepre (csapra) nehezedő nyomást (p2) a cső végén (4.5 feladat)
Ha a folyadék útja csővezetékben rövid, néhány m, az áramlási veszteségeket elhanyagolhatjuk. PÉLDÁK, FELADATOK
4.1 PÉLDA
A kifolyás sebessége a nyomópalackból. A palackban a víz felszínére nyomás nehezedik.
Mekkora sebességgel áramlik ki a víz a cső végén? Hány m3 (dm3) vizet kapunk 1 s alatt? ADATOK túlnyomás a palackban: pt = 2 bar légköri nyomás: po = 1 bar h = 0,2 m d = 10 mm = 0,01 m a veszteségeket elhanyagoljuk
Számítsa ki a kiömlő víz sebességét és térfogatáramát:
?
A Bernoulli egyenlet: Meg kell határozni a rendszer célszerűen kiválasztott két pontján a h, p és a v mennységeket és ki kell fejezni az ismeretlent. A MEGOLDÁS ÁLTALÁNOS ALGORITMUSA 1. Jelölje ki a vonatkoztatási szintet. 2. Jelöljön ki két célszerű vizsgálati pontot. 3. Rögzítse a két ponton az ismert és az elhanyagolható h, p, és v értékeket. 4. Írja fel a Bernoulli egyenletet: az elhanyagolható mennyiségeket nullával helyettesítve. 5. Fejezze ki keresett mennyiséget.
148
MEGOLDÁS 1.
A vonatkoztatási szint: „O” Célszerű a folyadék felszínét kijelölni: az 1. pont magassága ezzel nulla, mert rajta van az alapszinten.
2.
A két vizsgálati pont : 1 és 2
A 2. pont a kiömlés helye legyen, mert itt keressük a kiömlés sebességét (v2). 3. Mennyiségek az 1. pontban: h1= 0 (mert rajta van az alapszinten) p1 = pt = 2 bar v1 = 0 a folyadékfelszín süllyedésének sebességét elhanyagolhatjuk, mert a palack átmérője (keresztmetszete) lényegesen nagyobb, mint a kiömlés helyének átmérője (keresztmetszete). Mennyiségek a 2. ponton: h2 = 0,2 m,
p2 = po = 1 bar,
v2 = ?
4. A Bernoulli egyenlet
mivel a v1 = 0, a
is nulla.
5. A keresett mennyiség : v2
A kiömlés térfogatárama = 0,001 A nyomópalackból pt = 2 bar túlnyomás hatására 1 dm3 víz áramlik ki 1 s alatt.
4.2 FELADAT
A pipacső visszaállítása Hogyan lehet egy folyóból vizet kiemelni szivattyú nélkül? (A vödröt
felejtsük el). „Pipacsővel”! Határozza meg a 15 m/s sebességgel áramló vízbe merülő pipacső vízszállítását. 149
P
v2
2
1
h=2m
h2
o
„O”
v1
d = 60 mm = 0,06 m v = 15 m/s po = 1 bar
v A Bernoulli törvény:
MEGOLDÁS 1. A vonatkoztatási szint: „0” 2. A vizsgálandó pontok: 1 és 2 3. Ismert adatok:
4. Elhanyagolható adatok: 5. Bernoulli egyenlet:
mivel a p1 = p2, a p1-p2/ g tag nulla. 13,63 m/s FELADAT Számítsa ki a pipacső vízszállítását. m2
a cső keresztmetszete: m3/s
a térfogatáram:
Hogyan alkalmazná a pipacsövet a víz kiemelésére egy állóvízből (tóból)? FELADAT
Számítsa ki a pipacső vízszállítását.
a/ ha a folyó sebessége 18 m/s, a pipacső vízből kiemelkedő része 2 m, b/ ha a folyó sebessége 15 m/s, a pipacső vízből kiemelkedő része 1 m. Hogyan változik a pipacső vízszállítása?
150
4.3 FELADAT
A szivornya vízszállítása
Egy hordóból, ha nincs rajta csap, gumicső segítségével tudunk bort áttölteni egy másik edénybe, amely mélyebben helyezkedik el, mint a bor szintje a hordóban. A szivornya alkalmas a folyadékok áttöltésére egyik edényből egy másikba. Mennyi folyadékot tudunk átfejteni időegység alatt? ADATOK h=2m
po
d = 10 mm = 0,01 m
1
po = 1 bar h po
„O” 2 Számítsa ki a szivornya vízszállítását.
1. A vonatkoztatási szint: „0” (a kifolyás szintje) 2. A vizsgált pontok: 1. és 2. 3. Mennyiségek: h1 = h, p1 = po v1 = 0 ( a folyadékszint süllyedésének sebességét elhanyagoljuk, mert a tartály keresztmetszete lényegesen nagyobb, mint a kifolyás keresztmetszete). h2 = 0,
p2 = po, v2 = ?
4. A Bernoulli egyenlet 0= mivel a v1 = 0 és a p1 =p2 Fejezze ki a v2-t az egyenletből. Számítsa ki a szivornya vízszállítását: m3/s, dm3/s Mennyi idő alatt tölthetünk meg egy 20 literes demizsont?
4.4 FELADAT
Állandó kifolyási sebesség és vízszint
Egy csörgedeztető hűtő csöveire hidegvizet folyatunk egy tartályból. A hűtővíz lehűti a csőben áramló folyadékot. Az állandó kifolyási sebességet az állandó vízszint (a vízoszlop hidrosztatikai nyomása) biztosítja, amit egy túlfolyóval állíthatunk be a tartályban. 151
Mekkora vízszint szolgáltatja a hűtővíz állandó térfogatáramát.
ADATOK A hűtőre 21 m3 vizet kell folyatni óránként. A kiömlő csonk átmérője 50 mm.
A feladatot a Bernoulli egyenlettel oldhatják meg.
A h1-et (az 1. pont magasságát) kell meghatározni. 1. Az alapszint: a kifolyás szintje. 2. Az 1. pont: a víz felszíne. A 2. pont: a kifolyás szintje. 3. A p1 = p2 = po, ezért a p1/ q = p2/ g. A két hányados kiesik az egyenlet két oldalán. A v1 = 0, a
hányados is nulla, mert a vízfelszín magassága állandó.
A h2 = 0, mert rajta van az alapszinten. 4. Írja fel a Bernoulli egyenletet és fejezze ki a h1-et, a víz szintjének magasságát, amely biztosítja a hűtővíz állandó térfogatáramát. Ismerni kell a v2-t, a hűtővíz kifolyásának sebességét, amit az előírt térfogatáram (qv = 0,0055 m3/s és a cső átmérőjéből (d = 0,05 m => A ) határozhat meg: v = qv/A. Számítsa ki a hűtővíz állandó térfogatáramát biztosító vízszintet. (v =2,9 m/s, h = 0,43 m) 4.5 FELADAT
Egy településen a tűzcsapokat a víztorony vizével tápláljuk. A
hidrosztatikai nyomás milyen magasra nyomja fel a vízsugarat a tüzek oltásához? A víztoronyból (1) vizet szállítunk a tűzcsaphoz (2).
p1
A csővezeték hossza 8 km, átmérője 400 mm. A csősúrlódási együttható 0,03. A vízhozam 120 dm3/s.
1 v1
Az áramlás sebességét tekintsük egyenlőnek a cső 60 m
P2 v2
2
mentén: v1 =v2.
152
A víztoronyban a nyomást hanyagoljuk el: p1 = 0. A veszteség is elhanyagolható a 60 m-es csőszakaszon. Számítsa ki a/ a veszteségmagasságot a 8 km-es csővezetékben, b/ a folyadék nyomását a tűzcsapnál.
ADATOK l =8 km = 8000 m,
d = 400 mm = 0,4 m,
λ = 0,03
qv =120 dm3/s = 0,12 m3/s a/ A veszteségmagasság J/N
v=?
A=?
b/ A nyomást a Bernoulli egyenlettel számolhatjuk ki a 2. pontban. A bázisszint: a hosszú csővezeték szintje 1. A két pont: 1. és 2. 2. Adatok:
h1 = 60 m,
p1 = 0,
v1
h2 = 0,
p2 = ?,
v2 (a v1 = v2)
3. A Bernoulli egyenlet
Fejezze ki a p2 nyomást. (N/m2) Számítsa ki a nyomásmagasságot: H =
m
Milyen magasra ér fel a vízsugár? MEGJEGYZÉS A nyomásmagasságot úgy is kiszámíthatjuk, ha a szintkülönbségből levonjuk a veszteségmagasságot. Ellenőrizze!
A szivornya vízszállítása a veszteségekkel is számolva.
4.6 PÉLDA
A szivornyával vizet „emelünk” ki a csatornáh1,p1,v1
ból a töltésen át. 1. Δh
h2, p2, v2 153 2.
Adott területet vízzel kell elárasztani. A/ Mennyi vizet emelhetünk ki időegység alatt? B/ Mennyi idő alatt áraszthatjuk el a kijelölt területet? ADATOK A szivornya (a csővezeték) hossza:
l = 8,8 m
átmérője:
d = 200 mm = 0,2 m
A csősúrlódási együttható:
λ = 0,017
Az 1. és a 2. pont szintkülönbsége:
Δh = h1 – h2 = 1,15 m
A helyi ellenállás tényezők:
ζbe = 0,5,
ζki = 0,65
ζk = 0,14
Az elárasztandó terület: 100 ha A víz mennyisége hektáronként: 100 m3 MEGOLDÁS Az áramlási veszteségeket nem hanyagolhatjuk el a szivornya hosszában, a be- és kilépéskor és a két könyökben bekövetkező veszteségek miatt. A Bernoulli egyenlet
1. Az alapszint: a tengerszint 2. A két pont, amire felírjuk a Bernoulli egyenletet, a víz belépésének és kömlésének helye: 1. és 2. 3. Ismert mennyiségek: h1 és h2 => Δh = h1 –h2 4. Elhanyagolható mennyiségek: p1 = p2 = po => p1 – p2 / g = 0 (légköri nyomás van az 1. és a 2. pontban).
(Az áramlás sebessége a csőben mindenhol egyenlő és megegyezik a kiömlés sebességével: a v-t a veszteségmagasság hozza be az egyenletbe). 5. A Bernoulli egyenlet
154
A/ A szivornya vízszállítása: qv = vA Az egyenértékű csőhossz: =16,82 m
A kiömlés sebessége: =
=3, 22 m/s
A vízhozam: qv =vA =3,22 0,0314 = 0,1 m3/s
B/ Az elárasztás időtartama Az elárasztáshoz szükséges vízmennyiség V = 100 ha 100 m3/h = 10000 m3 Az időtartam: t = V/qv = 10000 m3/0,1 m3/s = 100 000 s = 27,7 h 4.7 PÉLDA
A víztartály vízhozama nagyobb szintkülönbség esetén.
Adott magasságban (fennsíkon, dombtetőn, víztoronyban) elhelyezett víztárolóból a víz csővezetékeken jut el a mélyebben elhelyezkedő fogyasztóhoz a gravitáció hatására. Mekkora a vízhozam? Hány m3 vizet kapunk időegység alatt a fogyasztó szintjén? A víztároló 160 m, a fogyasztó helye 100 m magasságban van a tengerszint felett. A csővezeték hossza 1500 m, átmérője 200 mm, a csősúrlódási együttható 0,02. A csővezeték végén a víz szabadon folyik ki.
1.
1500 m
160 m
Számítsa ki a kiömlő víz sebességét és térfogatáramát ( a vízhozamot).
.
ADATOK l = 1500 m
λ = 0,02
d = 200 mm = 0,2 m h1 = 160 m
2.
h2 = 100 m
A feladatot a Bernoulli egyenlet alkalmazásával oldhatjuk meg: 155
100 m
v=
A Bernoulli egyenletben a v2 a víz sebessége a kiömléskor (ezt kell kiszámítani). A veszteségmagasság képletében a v a víz áramlási sebessége a csőben. A két sebesség egyenlő: v2 = v. A Bernoulli egyenlet egyszerűsítése érdekében v2 értékét válasszuk meg nullának. A keresett sebességet a veszteségmagasság képlete adja. A MEGOLDÁS ALGORITMUSA a/ Bázisszint: a tengerszint b/ A csővezeték két pontja: 1. pont a felső, 2. pont az alsó tároló szintje c/ Az ismert adatok: h1 = 160 m, h2 = 100 m a bázisszinthez viszonyítva. d/ Az elhanyagolható adatok -
A felső tárolásban a vízszint állandó, a felszín süllyedésének sebessége v 1 = 0, ezért a v1/2g is 0.
-
A csővezetékből kifolyó víz sebességét elhanyagolhatjuk: v2 = 0 => v2/2g = 0.
-
A víz felszínén a felső tartályban és a kiömlés helyén a nyomás: p 1 = p2 = po, ezért a p1/ρg =p2/ ρg. A két nyomásmagasság az egyenlet két oldalán egyenlő, ezért kiesnek az egyenletből. e/ A Bernoulli egyenlet
A kiömlés sebessége: v =
=2,8 m/s
A vízhozam:qv = vA =2,8 0,0314 0,0879 m3/s ~ 88 dm3/s A = d2 A felhasználó helyén 88 dm3 vizet kapunk másodpercenként. FELADAT v2-et helyettesítse a
Az áramlás sebessége v = qv/A. Az áramlási veszteség képletében a /
hányadossal és fejezze ki a q v-t. Ezzel egy lépést kihagyva közvet-
lenül a vízhozamot számíthatja ki.
156
A víztároló vízhozama nagyobb szintkülönbség esetén, nagyobb nyomá-
4.8 PÉLDA
son A víztároló 160 m, a fogyasztó helye 100 m magasságban van a tengerszint felett. A csővezeték hossza 1500 m, átmérője 0,2 m, a csősúrlódási együttható 0,02. A kifolyás helyén a víz nyomását 1 bar túlnyomásra állítjuk be egy végszeleppel. A víztároló nyitott, a vízfelszínre 1 bar légközi nyomás nehezedik. Számítsa ki a kiömlő víz térfogatáramát. ADATOK p1 = po = 1 bar = 105 Pa
pt = 1 bar = 105 Pa
p2 = po + pt = 105 +105 Pa = 2 105 Pa h1 =160 m
l = 1500 m
h2 =100 m
d = 0,2 m
λ=0,02
A Bernoulli törvény:
hv =
=
A p1 nem egyenlő a p2-vel. A nyomásmagasságok nem ejtik ki egymást az egyenlet két oldalán. A két nyomómagasságot kiszámíthatjuk (p/
és az értéküket beírhatjuk a
Bernoulli egyenletbe. Nyomás a tárolóban a víz felszínén p1 = 105 Pa,
=
Nyomás a kifolyás helyén p2 = 2 105 Pa,
=
1. Bázisszint: a tengerszint 2. A csővezeték két pontja: 1. pont a felső, 2. pont az alsó tároló szintje 3. Az ismert adatok: h1 = 160 m, h2 = 100 m a bázisszinthez viszonyítva, ~ 4. Elhanyagolható adatok -
a vízszint süllyedésének sebessége a felső tárolóban: v 1 = 0,
-
a kifolyás sebessége: v2 = 0, 157
5. A Bernoulli törvény: 160 m + 10 m + 0 = 100 m + 20 m + 0 +
Q=
= 0,08 m3/s = 80 l/s
MEGJEGYZÉS A 4.4 példában a víz szabadon folyik ki a cső végén. Itt a végszeleppel a víz egy részét visszatartjuk a csőben, ezért kisebb a térfogatáram. A vízoszlop hidrosztatikai nyomása megnő, ami biztosítja a 20 m-es nyomásmagasságot (pl. a tűzoltáshoz).
4.5 PÉLDA
Adott vízhozamot biztosító csőátmérő
Vizet vezetünk 60 m magasságban található tárolóból 1500 m csővezetéken. A csősúrlódási együttható 0,02. A fagyasztó helyen a vízhozam Q = 40 l/s, a víz túlnyomása 2 bar legyen. Milyen átmérőjű csövet kell alkalmazni? ADATOK h1 = 60 m
Q = 40 l/s = 0,04 m3/s
l = 1500 m
p1 = po = 1 bar = 105 Pa
pt = 2 bar = 2 105 Pa
p2 = po + pt = 3 105 Pa
hv =
Az áramlási (kiömlési) sebességet nem tudjuk kiszámítani, mert nem ismerjük az átmérőt (a d-t keressük!) a keresztmetszet meghatározásához. A v 2-t helyettesíteni kell a Q2/A2 hányadossal, ahol az A2 = (
)2. Ezután a d-ket összevonhatjuk. =
158
MEGOLDÁS 1. Bázisszint: a fogyasztó szintje. 2. A rendszer két pontja: 1. pont a tároló, 2. pont a fogyasztó szintje 3. Ismert adatok: h1 = 60 m,
h2 = 0 m
p1 = 105 Pa
p1/
=
p2 = 3 105 Pa
p1/
=
4. Az elhanyagolható adatok: -
a vízszint a tárolóban állandó: v1 = 0,
-
a kiömlés sebessége elhanyagolható: v2 = 0
5. A Bernoulli törvény: 60 + 10 + 0 = 0 + 30 + 0 + A d-t fejezzük ki az egyenletből: (60 + 10 – 30)
= =
d = 0,158 m = 158 mm ~ 160 mm A 160 mm átmérőjű csővezeték szolgáltat 2 bar túlnyomású 40 dm 3 vizet másodpercenként.
159
A FELHASZNÁLT IRODALOM 1. WISNOVSZKY IVÁN – ZSUFFA ISTVÁNNÉ Vízgazdálkodás. Műszaki Könyvkiadó. 1982 2. MADARASSY László Területi vízgazdálkodási példatár és segédlet. Typotex Kft. 1990 3. URBANOVSZKY István Hidrológia és hidraulika. Vituki Kft. 2004 4. KONTÚR I. - -KORIS K. – WINTER J. Hidrológiai számítások. Akadémiai Kiadó. 1993
160
TARTALOMJEGYZÉK I.
II.
III.
RÉSZ. VÍZGAZDÁLKODÁS. TESZTEK
3 oldal
1.
Vízháztartás
2.
A vízfolyások alaktana
10 oldal
3.
Vízállás, vízmélység
16 oldal
4.
Jellemző vízállások
22 oldal
5.
Felszín alatti vizek
26 oldal
6.
A felszíni víz biológiai minősége
32 oldal
7.
A vízhozam mérése
39 oldal
8.
A csapadék intenzitása, hozama
48 oldal
9.
A csapadék lefolyása
57 oldal
4 oldal
RÉSZ. HIDROLÓGIAI SZÁMÍTÁSOK
64 oldal
1.
A csatornák vízszállítása
65 oldal
2.
A csatornák méretezése
77 oldal
3.
A folyadékok kifolyása tartályból
81 oldal
4.
A zsilipek vízhozama
85 oldal
5.
A bukóélek vízhozama
88 oldal
6.
Az úszás
90 oldal
7.
A kutak vízhozama
96 oldal
8.
A vízmozgások energetikai vizsgálata
RÉSZ. HIDRAULIKAI SZÁMÍTÁSOK 1.
108 oldal
A hidrosztatika alapjai Folyadékok és gázok nyomása
2.
103 oldal
109 oldal
Folyadékok áramlása csővezetékben Hidrodinamika
123 oldal
3.
Áramlási veszteségek
131 oldal
4.
A Bernoulli törvény és alkalmazása
146 oldal
A FELHASZNÁLT IRODALOM
160 oldal
161
162
