6 ,
,0
1
,1
dan
(2.52) Berdasarkan persamaan (2.52), maka untuk 0 dan 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan , 0 ,0
0
, 1 ,1
0.
dan , 0 ,0
,0
dan , 1 ,1
,1 .
Sehingga menurut persamaan (2.51) dan persamaan (2.52) diperoleh bahwa fungsi
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai , ke . Dalam topologi, dari proses ini disebut deformasi.
III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas kegunaan metode homotopi untuk penyelesaian suatu masalah taklinear. Metode ini akan digunakan untuk menyelesaikan model yang akan dinyatakan dalam bentuk persamaan KdV. Suatu contoh kasus akan diberikan dan penyelesaian numeriknya akan dibandingkan berdasarkan orde-orde yang digunakan untuk menjamin validitas metode ini. Metode homotopi yang diterapkan dalam tulisan ini mengikuti pustaka ( Song & Tao, 2008 ).
3.1 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang diberikan pada persamaan (2.36). Masalah nilai awal tersebut dapat dinyatakan secara umum dalam bentuk persamaan (2.37). Perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang telah diuraikan pada landasan teori memerlukan fungsi , ; yang bergantung pada , , dan parameter . Tinjau persamaan taklinear berikut: ,
0,
, ;
, , ;
,
(3.2)
, ,
, ;0 , ;1
(3.3)
0.
(3.4)
Selanjutnya, karena parameter q bernilai dari 0 sampai 1, maka , ; memetakan dari penduga awal , ke penyelesaian eksak , . Dengan menggunakan teorema Taylor, , ; dapat diuraikan menjadi: ,
, ;
,
, (3.5)
dimana ,
(3.1)
dengan suatu operator turunan yang taklinear, , fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah dan t. Selanjutnya, , akan diperoleh dari penyelesaian persamaan deformasi orde nol berikut: 1
dengan 0,1 dan , ; adalah fungsi yang merupakan pemetaan dari , , , adalah penduga awal dari , , adalah parameter tak nol, dan adalah operator linear. Jika 0 dan 1, maka dari persamaan (3.2) akan diperoleh:
1
, ; !
|
. (3.6)
Selanjutnya, penurunan m kali persamaan (3.2) terhadap q, dengan 0 dan dibagi m! akan diperoleh bentuk persamaan orde ke-m berikut: ,
,
, , (3.7)
7 1 2
dimana , ;
1
,
|
1 !
,
(3.8) dan 0, 1,
.
Dengan demikian, diperoleh serangakaian penyelesaian
,
,…
Jika dipilih 1, maka penyelesaian masalah nilai awal (3.11) tersebut adalah:
1 , 1
(3.9) 1,
Jika persamaan (3.5) dengan maka diperoleh: .
,
,
1 2
1
(3.10) dengan , adalah dugaan awal dan , diperoleh dari penyelesaian persamaan (3.7). Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan suatu masalah yang dinyatakan dalam masalah nilai awal berikut:
1 2
1 2
3 4
…
(lihat lampiran 1) Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (3.11) secara eksak dan penyelesaian dengan metode homotopi diberikan pada Gambar 1. Pada Gambar 1, terlihat bahwa penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi cukup dekat untuk daerah t tertentu. Penambahan daerah kekonvergenan bergantung pada parameter h. uHt L eksak 0.4
homotopi
0.3
1
0, (3.11) 0.2
dengan syarat awal 0 0. Penyelesaian eksak masalah nilai awal (3.11) adalah: 1
√1
2 .
Berikut ini akan dicari solusi masalah nilai awal (3.11) dengan menggunakan metode homotopi. Misalkan
0.1
0.1
0.2
dan
0.6
t
3.2 Aplikasi Metode
6
sehingga dengan menggunakan persamaan (3.7), diperoleh: . (3.12) pada
diberikan dengan persamaan (3.8). u0 (t ) = φ (t;0) , dan dipilih Karena
,
0.5
Gambar 1. Perbandingan penyelesaian eksak dan metode homotopi dari masalah nilai awal (3.11)
,
u0 (t ) = t , maka
0.4
Persamaan KdV adalah persamaan diferensial parsial yang berbentuk taklinear berikut:
1
pendekatan awal 1 2
0.3
0,
(3.13)
dimana x dan t adalah koordinat ruang dan waktu. Persamaan (3.13) telah diturunkan pada landasan teori. Untuk menggunakan homotopi, maka misalkan dan
metode
,
sehingga persamaan (3.13) menjadi: 6
0,
(3.14)
8 dimana c dan a berturut-turut menyatakan kecepatan dan amplitudo gelombang. Misalkan untuk ∞, ~
,
√ .
(3.16)
0.(3.17)
(lihat lampiran 2) Kemudian asumsikan nilai awalnya berbentuk: 0
1,
0,
∞
0. (3.18)
Penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (3.18) menggunakan fungsi basis berupa fungsi eksponensial, dengan himpunan basisnya sebagai berikut: |
exp
exp
1,2,3, … ,
(3.19)
atau dinyatakan dalam bentuk: exp
,
adalah konstanta.
Selanjutnya, , dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan berikut: 1
Φ ;
Φ ;
Φ
6 Φ
Φ
Φ ;
, (3.24)
0, Φ
∞;
0 (3.25)
Berdasarkan persamaan (3.24), maka dan untuk 0 diperoleh ,0 0 yang masing-masing menunjukkan penyelesaian pendekatan awal dari dan . Selanjutnya, untuk 1, diperoleh ,1 dan 1 . Berdasarkan nilai awal (3.18)dan persamaan (3.20), dugaan awal yang dipilih berbentuk: 2 exp
exp
2 .
(3.26)
Pemilihan pendekatan awal tersebut menjamin adanya fungsi Φ , yang dapat diturunkan hingga m kali terhadap q. Turunan ke-m dari fungsi Φ , dan A terhadap q di 0 masing-masing dinotasikan sebagai berikut: ;
|
,
(3.27)
Φ !
(3.21) dan operator linear
,
1, Φ 0;
Φ 0;
!
Φ,
;
dengan 0,1 merupakan suatu parameter, ; adalah fungsi yang bergantung pada dan , A adalah fungsi yang bergantung pada dan nilai awal berikut:
(3.20) adalah koefisien yang akan dimana ditentukan. Berikut ini akan ditentukan penyelesaian dari masalah nilai awal (3.17), dengan menggunakan pendekatan metode homotopi. Operator taklinear yang dipilih adalah:
0,(3.23)
dimana , , dan (lihat lampiran 3)
, maka persamaan
6
0
exp
(3.15)
dengan 0 dan B adalah konstanta. Jika persamaan (3.15) dan turunan-turunannya disubstitusikan ke persamaan (3.14), maka diperoleh:
Misalkan (3.14) menjadi :
Jika metode koefisien tak tentu digunakan pada persamaan diferensial biasa untuk Φ ; , yaitu 0, maka diperoleh:
|
.
(3.28)
Deret Taylor dari fungsi Φ ; dan di sekitar 0 masing-masing adalah:
adalah: Φ ;
, (3.22)
Φ ;
Φ ,0 (3.29)
9 A
(lihat lampiran 4) Persamaan (3.35) dapat dinyatakan dalam bentuk:
0 (3.30)
,
Berdasarkan persamaan (3.29), (3.30) dan , Φ .1 , 1 , Φ ,0 0 1, diperoleh: , maka untuk
6 .
,
(lihat lampiran 5) Jika persamaan (3.38) disustitusikan ke persamaan (3.33) dan berdasarkan persamaan (3.22), maka penyelesaian persamaan (3.33) dapat dinyatakan dalam bentuk:
(3.31) dan . (3.32) Hal ini menunjukkan hubungan antara solusi persamaan KdV (3.14) dan solusi pendekatan awal dan . dan Berikut ini akan ditentukan . Jika kedua ruas persamaan (3.24) dan persamaan (3.25) diturunkan terhadap q hingga m kali dan dihitung di 1 kemudian dibagi m!, maka akan diperoleh bentuk persamaan orde ke-m berikut:
,
exp
exp ,
(3.39)
adalah penyelesaian khusus dimana akan dari persamaan (3.33) dengan ditentukan berikut. Jika persamaan (3.39) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.34), maka diperoleh: 0 , (3.40)
0, dan
, (3.33)
0
dengan nilai awal: 0
∞
0
1 1 ! Φ,
∂
0
0,
(3.41)
(lihat lampiran 6) Berdasarkan persamaan (3.40) dan persamaan (3.41), dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan (3.41). Untuk memahami penjelasan di atas, maka berikut ini diberikan suatu ilustrasi. Misalkan penyelesaian pendekatan awalnya
0, (3.34)
dimana ,
(3.38)
∂
2 exp
exp
2 ,
(3.35) maka dari persamaan (3.33) dengan persamaan (3.38), diperoleh:
dan ,
, ,
1 10
,
,…,
,
(3.36)
,…,
.
(3.37)
5 4
1 17920
1355
75 8
240
6
55 8
15
3325
5
50465 4
4
97575 8
3
pada
10 1 60800 8 1240050 7 8689968 6 25526375 48168960 4 3 118761335 3948945 22413405 2 5403720 4 8 1 60800 1240050 8689968 2940 2757 2940 118761335 3948945 22413405 25526375 4 8 5403720 8105580
5
Kemudian dari persamaan (3.41) diperoleh: dari persamaan iii. Menentukan (3.40) dan (3.41). iv. Menentukan penyelesaian persamaan (3.14) berdasarkan persamaan (3.31) dan (3.32). v. Penyelesaian persamaan KdV (3.13) diberikan dalam bentuk:
5 8 1055 14336 31151 5505024 (lihat lampiran 7)
dimana ,
3.3 Hasil Numerik Pada bagian ini akan ditentukan penyelesaian persamaan KdV (3.11) dengan menggunakan metode homotopi. Parameter yang dipilih adalah 1 dan misalkan gelombang yang ditinjau memiliki kecepatan 1. Berdasarkan persamaan (2.50) diperoleh penyelesaian persamaan KdV (3.13) dalam bentuk gelombang soliter, yaitu:
,
.
Gambar 2 berikut ini menunjukkan grafik fungsi , yang merupakan penyelesaian persamaan KdV untuk tertentu. U 0.5 Orde 1 0.4
,
2
2
.
Orde 2 0.3
Berdasarkan uraian pada bagian aplikasi metode, berikut ini algoritma untuk menentukan penyelesaian persamaan KdV: 1. Misalkan diberikan penyelesaian pendekatan awal dari persamaan KdV (3.11) sebagai berikut:
Orde 3
0.2
Eksak
0.1
2
2 exp
exp
2 .
2. Menentukan penyelesaian pendekatan untuk orde ke-m dari persamaan KdV (3.9) dengan menggunakan software Mathematica. , dari i. Menentukan persamaan (3.38). ii. Menentukan dari persamaan (3.33) dan (3.39).
4
6
8
10
x
Gambar 2. Grafik fungsi U terhadap x dengan orde yang berbeda Berdasarkan Gambar 2, diperoleh bahwa untuk kecepatan gelombang 1 satuan yang ditinjau memberikan amplitudo sebesar 0,5 satuan, sedangkan dengan metode homotopi juga menghasilkan amplitudo yang sama. Semakin tinggi orde yang digunakan, amplitudo dengan metode homotopi semakin mendekati amplitudo gelombang soliter.
