PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
PEMBELAJARAN METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN BANYAK PENYELESAIAN DAN YANG TIDAK MEMPUNYAI PENYELESAIAN H.A Parhusip Center of Applied Science and Mathematics Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana
[email protected]
PENDAHULUAN Sistem persamaan linear banyak dijumpai dalam aplikasi matematika. Dalam regresi linear multivariat banyak dijumpai sistem persamaan linear. Contohnya, untuk indeksLQ45 sebagai fungsi nilai saham dari berbagai perusahaan pada saat penutupan (Pradhitya,dkk,2011), kepadatan penduduk Salatiga sebagai fungsi linear dari berbagai jenis kontrasepsi yang digunakan (Parhusip,dkk,2010). Parameter regresi dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode untuk mendapatkan parameter regresi ditunjukkan secara detaail oleh Parhusip (2012). Pemodelan total investasi dari kecamatan Sidomukti juga menyebabkan adanya sistem persamaan linear yang harus diselesaikan. Sistem persamaan linear juga dijumpai pada masalah titik setimbang untuk sistem persamaan diferensial yang dilinearkan misalnya pada masalah Beulosov Zabontinsky (Parhusip,2010). Kita juga menjumpai sistem persamaan linear fuzzy (web1). Untuk sistem linear yang tidak simetrik, maka pengembangan metode gradient dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang sparse yang
besar (banyak memuat 0 pada matriks) (Saad dan Schultz, 1986). Tidak selamanya sistem persamaan linear punya penyelesaian tunggal (konsisten), dapat pula punya penyelesaian banyak atau bahkan tidak punya penyelesaian (takkonsisten). Selain sistem persamaan linear takkosisten, dapat terjadi sistem persamaan linear konsisten tetapi mempunyai banyak penyelesaian (Underdertermined Linear system). Untuk itu kita perlu mempunyai penyelesaian yang terbaik. Hal inilah yang akan dibahas pada makalah ini. Contoh 1. Perhatikan sistem persamaan linear homogen
3x1 + 5 x 2 − 4 x3 = 0,
− 3 x1 − 2 x 2 + 4 x3 = 0, 6 x1 + x 2 − 8 x3 = 0. Dengan operasi baris elementer sistem ini mempunyai banyak penyelesaian dalam bentuk umum x = [43 a 0 a ] , a bebas. Dalam bentuk penyelesaian yang sudah dinormalkan (dibagi oleh besar vektor) maka penyelesaiannya adalah
v
278
T
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
3 4 v [3 a 0 a ]T = [54 xn = 5a
]
3 T 5
0
.
Jawaban inilah yang biasanya diberikan oleh komputer. Berdasarkan rank matriks A , rank(A) =2 (banyaknya vektor kolom yang bebas linear) yang lebih kecil dari variabel yang dicari (sebanyak 3). Oleh karena rank(A)=2 < 3 maka ada 1 variabel yang dapat dipilih bebas. Sehingga sistem mempunyai tak hingga banyak solusi. Secara geometri, hal ini ditunjukkan oleh suatu garis sebagai perpotongan antara ketiga bidang yang ditunjukkan pada Gambar 1.
yang mempunyai jarak terdekat dengan titik O. Jawab : Suatu titik (x,y,z) pada garis L jika hanya jika merupakan penyelesaian dari sistem persamaan x + y + z = 1, − x− y + z = 0. 8
6
4
2
0
−2
−4
6
5 −6 3
4
0 2
1
0
−1
−2
−3
−5
Gambar 2. Ilustrasi bidang dari sistem persamaan linear pada Contoh 3.
2
0
Perhatikan bahwa sistem dikatakan underdetermined (punya banyak penyelesaian) karena berikut ini . Kita susun matriks augmentednya adalah
−2
−4
−6 −4
−2
0
2
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
Gambar 1. Ilustrasi 3 bidang dari sistem persamaan linear dari Contoh 1.
Contoh 2. Untuk sistem persamaan linear
x1 − 2 x2 + x3 = 0
2 x2 − 8 x3 = 8 − 4 x1 + 5 x2 + 9 x3 = −9 mempunyai penyelesaian tunggal (29,16,3) yang dicari dengan operasi baris elementer dan substitusi mundur. Berdasarkan ranknya, rank(A)=3=banyaknya variabel yang dicari. Oleh karena itu sistem mempunyai solusi tunggal. Kita akan mempelajari sistem persamaan linear yang diperoleh dari penerapan matematika khususnya regresi berganda. Karena ada tidaknya solusi berdasarkan rank matriks, maka untuk biasanya diselidiki dahulu rank(A). Contoh 3. Tentukan titik pada garis L yang merupakan perpotongan antara 2 bidang x + y + z = 1, − x − y + z = 0
⎛ 1 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ b2 + b1 ⎜ ⎟ ⎜ −1 −1 1 0⎟ ~ ⎜0 0 2 0⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Diperoleh dengan substitusi mundur dari persamaan kedua 2z = 0, sehingga z = 0. Dari persamaan pertama dengan z = 0 diperoleh 1x + 1y +1z =1 atau x + y = 1 atau x =1-y. Disini ada 1 variabel yang bebas dipilih (sebutlah y=a) sehingga penyelesaian umumnya adalah (x,y,z)=(1-a,a,0). Beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan memfaktorkan matriks A menjadi 2 faktor atau lebih. Metode QR menyusun matriks A menjadi A=QR dan metode SVD menyusun matriks A menjadi 3 faktor. Kedua metode itulah yang akan dibahas pada makalah ini dan penerapannya ditunjukkan pada Bab IV.
METODE PENELITIAN Cara penyelesaian sistem persamaan linear dilakukan dengan menyelidiki ada tidaknya solusi. Jika ada, maka digunakan metode yang standard yaitu metode kuadrat terkecil yang dikembangkan dengan metode QR. Matriks A dinyatakan dalam bentuk A=QR dengan Q adalah matriks yang 279
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW diperoleh dari ortogonalisasi Gram Schmidt dan R diperoleh dari hubungan R = Q T A . Metode SVD diterapkan untuk sistem persamaan linear yang sama dan membandingkan hasil yang diperoleh oleh kedua metode ini. Secara ringkas metode v v SVD disusun Jadi cara penjabaran Ax = b dengan SVD sebagai berikut. 1. Susun U 2. Susun V 3. Susun Σ +
−1
4. Susun Σ = (Σ Σ) Σ v v 5. x = V Σ + U T b 2.1 Metode QR Anggap A matriks mx n dengan vektor-vektor kolom adalah yang saling bebas v v linear a (1) ,…, a (m ) di R n . Metode ini pada dasarnya memfaktorkan matriks A menjadi 2 faktor yaitu Q dan R sehingga A=QR dimana Q sebagai matriks yang vektor-vektor v v kolomnya adalah u (1) ,..., u ( m ) yang diperoleh dari ortogonalisasi Gramm Schmidt matriks A. Karena Q merupakan matriks m x n yang saling ortonormal maka Q T Q = I . Lagipula, Q dapat kita pandang sebagai proses mereduksi kolom A menjadi Q dengan aturan Q=AL dengan L adalah matriks segitiga atas n x n. Matriks L adalah matriks yang mempunyai invers karena Q terdiri dari vektor-vektor kolom yang saling bebas linear). Selain itu kita dapat pula menyusun A= QR (1a) dengan R= L−1 merupakan martiks segitiga atas n x n atau R = Q T A (karena Q T Q = I ) (Peressini,et.all,1987). Kita dapat menyatakan bahwa QR merupakan dekomposisi A dengan Q mariks m x n dan R matriks segitiga atas n x n. Kita kembali pada masalah pada penyelesaian sistem persamaan linear T
A=QR dimana Q diperoleh dari proses GramSchmidt dan R = Q T A , sehingga diperoleh
v v x * = ( AT A) −1 AT b = v −1 (QR )T QR (QR )T b
(
menyesuaikan sehingga perkalian dibenarkan). Menurut metode kuadrat terkecil, maka penyelesaian dapat diperoleh yaitu
r v r v AT Ax = AT b atau x * = ( AT A) −1 AT b . (1b)
) R (Q Q ) v( R −1
T
v QT b
v ) −1 R T Q T b = R −1 I ⋅ IQ T b (karena Q T Q = I
= R −1 )
−1
T
T
v v x * = R −1Q T b .
(2)
Jadi persamaan (1b) diperbaiki dengan menggunakan persamaan (2). Komputasi (2) sangat mudah karena hanya menyelesaikan sistem persamaan linear v v v v x * = R −1Q T b atau R x * = Q T b yang dapat diselesaikan dengan subsitusi mundur karena R adalah matriks segitiga atas. 2.2 Metode SVD (Singular Value Decomposition) Teorema 1. SVD ( Watkins,1991,hal 392) A mempunyai rank r. Maka terdapat bilangan-bilangan real ≥ ≥...... ≥0 dan dapat dibuat basis ortonormal ortonormal hingga
v w v1 ,.........vm r v u1 ,.........um
r r Avi = σi ui
r r AT ui = σ i vi
r Avi = 0
dan
basis
, sedemikian
i = 1,...,r ; i = 1,...,r .
(3a)
r AT ui = 0
i = r +1,...,m ; i = r + 1,...,n .
(3b) Persamaan kedua dari (3a) berlaku
r r AT ui = σ i vi
i = 1,...,r .
Dengan mengalikan kedua ruas dengan A dari kiri diperoleh
r r r AAT ui = Aσ i vi = σ i Avi i = 1,...,r .
Dengan menggunakan persamaan (3a) yang pertama diperoleh
r r r AAT ui = Aσ i vi = σ iui i = 1,...,r atau r r AAT ui = σ i ui i = 1,...,r .
Penyelesaian ini kita gunakan pada metode QR dengan menggunakan dekomposisi
280
(
= R T Q T QR
T
r r Ax = b (dimana A tidak perlu persegi dan r r x dan b panjang vektor kolom
)
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
v
r
merupakan vektor
eigen dari
AA T .
Secara sama dapat
Sehingga u1 ,.........um diperoleh bahwa
v w v1 ,.........vm
Secara analog juga dapat dibuat diagram untuk AT (Watkints,hal 394) AT σ v 1 vv 1 uv ⎯⎯→ ⎯ ⎯ v1 ⎯⎯→ 1 1 A σ
merupakan
vektor eigen dari AT A . Yaitu Dari persamaan (3a) berlaku
r r Avi = σi ui
σ v 2 → uv ⎯σ⎯ 2 → vv ⎯ ⎯ v2 ⎯⎯ 2 2
i = 1,...,r .
M
Dengan mengalikan kedua ruas dengan AT dari kiri diperoleh
r r AT Avi = AT σ i ui
Dengan menggunakan diperoleh
v w v1 ,.........vm
merupakan vektor
T
eigen dari A A . σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ r ≥ 0 Nilai-nilai dikatakan nilai-nilai singular A. Pernyataan singular itu muncul karena pada i= r+1,...,m
r
v
ur +1 ,.........um maka vektor-vektor merupakan vektor-vektor nol, sebagaimana ditunjukkan pada skema berikut yang r r mengikuti hubungan Avi = σiui i = 1,...,r , yaitu A
⎡σ 0 L 0 ⎢ 1 0 σ L 0 ⎢ 2 ⎢ M M O M ⎢ 0 L σ ⎢0 r ⎢ ⎢ Σ = ⎢− − − − − − − − − − ⎢ ⎫ ⎢ ⎪ 0 0 L ⎢ ⎪ ⎢ M O M ⎪⎬n − r ⎢ L 0⎪ ⎢ 0142 4 3⎪ ⎢ ⎪⎭ r ⎣
M
Gambar 3 menjelaskan bahwa
{v
| | | | |
r
}
r v u1,.........um dan r v Ν ( A ) = {ur +1 ,.........um }
0 L 0⎫ ⎤ ⎥ 0 L 0⎪⎪ ⎥ ⎬r ⎥ M M M⎪ ⎥ 0 L 0⎪⎭ ⎥ 14243 ⎥ m−r ⎥ −− ⎥ ⎫ ⎥ ⎥ ⎪ 0 L 0⎪ ⎥ ⎪ M O M ⎬n − r ⎥ ⎥ 0 L 0⎪ ⎥ 1424 3⎪ ⎥ m − r ⎭⎪ ⎦
σj
terurut yaitu
σ1 ≥ σ 2 ≥ L ≥ σ r . Bukti: Berdasarkan persamaan (1a)-(1b) dapat ditulis kembali
v ⎧σ i uv v A i=⎨ ⎩
i
0
Yang menyebabkan matriks
adalah vektor –vektor
yaitu himpunan vektor-vektor pada domain yang dipetakkan oleh A ke vektor 0.
281
| | | |
Catatan : Nilai –nilai
ℜ ( A ) = u1 ,.........um artinya range A (daerah hasil pemetaan A)
M
Teorema 2. SVD ( Watkins, th. 1991,hal 394) Diketahui A mempunyai rank r. Maka terdapat ∈ ,∑ ∈ , dan ∈ dimana U dan dalam V adalah ortogonal (artinya vektor-vektor kolom yang berbeda dalam U dan dalam V saling tegak lurus) dengan Σ berbentuk
v σr v vr ⎯⎯ ⎯→ u r
Gambar 3. Hasil pemetaan A
M
Gambar 4. Diagram hasil pemetaan A dan AT
r σ1 r v ⎯⎯→ ⎯ u1 1 r σ1 r v ⎯⎯→ ⎯ u 2 2
v v r + 1 ⎫⎪ ⎪ M ⎬→0 r ⎪ v m ⎪⎭
σ
v v u v ⎫ r + 1 ⎫⎪ r + 1⎪ ⎪ ⎪ M ⎬ → 0M ⎬→0 v v ⎪ ⎪ u u n ⎭⎪ m ⎭⎪
(3b)
r r r AT Avi = σ i AT ui = σ ivi i = 1,...,r atau r r AT Avi = σ i vi i = 1,...,r .
Sehingga
M
σ
v r → uv ⎯⎯ r → vv ⎯ v ⎯⎯ ⎯ r r r
i = 1,...,r . persamaan
M
i =1.......r i = r + 1,......, m dapat
dituliskan
1
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW
[
r v v w v v v A[v1,......... vr | vr+1,......vm] = u1,......., ur | ur+1,.....un
0 L 0 ⎡σ ⎢ 01 σ L 0 ⎢ 2 ⎢ M M O M ⎢ 0 L σ ⎢0 r ⎢− − − − − − − − − − ⎢ ⎢ 0 L 0 ⎢ M O M ⎢ ⎢ 0 L 0 ⎢ ⎣
]
| 0 L 0⎤ ⎥ | 0 L 0⎥ | M M M⎥ ⎥ | 0 0 0⎥ . −− ⎥ | ⎥ | 0 L 0⎥ | ⎥ M O M⎥ | 0 L 0⎥ ⎥ | ⎦
Akan tetapi U T U = I sehingga
v v V ΣT ΣV T x = AT b . Dengan menggunakan T
persamaan (5b) diperoleh A
Karena AT A adalah persegi dan dapat diinverskan maka:
( AT A)−1 AT = (VΣT ΣV T )−1 AT = V (ΣT Σ) −1V T (VΣTU T ) = V (ΣT Σ) −1 (ΣTU T )
Dengan kata lain AV = U ∑
= VΣ+U T
dimana VV = I sehingga A = U ∑V T . (4) Kolom-kolom U adalah vektor eigen dari AAT . Sedangkan V adalah matriks dengan kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen ATA.
:= A+
T
Teorema 3. SVD (Watkins, th.1991,hal.395) A mempunyai rank r. Maka terdapat , ∑ , dan di T mana U dan V adalah isometrik (artinya T = I dan VV = I) dengan ∑ adalah matriks diagonal utama ≥ ≥...... ≥0. Sehingga A= ∑ . Kolom-kolom U adalah vektor eigen dari AAT . Sedangkan V adalah matriks dengan kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen dari ATA. Selanjutnya kita menggunakan SVD untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. SVD untuk sistem persamaan linear Masalah yang dibahas adalah penyelesaian v v Ax = b
A∈ R
nxm
dengan
= U ΣV T sehingga v v V ΣT UT U ΣV T x = AT b
Menurut SVD, maka A
Penyelesaian sistem persamaan linier dari regresi berganda Pada regresi berganda diberikan 2 data variabel prediktor ( X 1 dan X 2 ) dan 1 variabel respon (Y) . Pada regresi, kita mengasumsikan Y sebagai fungsi linear X 1 dan X 2 yaitu
Yi = β0 + β1 Xi1 + β2 Xi2 , untuk semua i.
Dalam notasi vektor-matriks , dapat ditulis dalam bentuk ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1.
123.5
1. 1.
146.1 133.9
1.
128.5
1. 1.
151.5 136.2
1.
92.
2.108 ⎤ ⎡ 141.5 ⎤ ⎢ 168.9 ⎥ 9.213 ⎥⎥ ⎢ ⎥ 1.905 ⎥ ⎡ β 0 ⎤ ⎢ 154.8 ⎥ . ⎥ ⎢ ⎥ 815. ⎥ ⎢⎢ β1 ⎥⎥ = ⎢ 146.5 ⎥ 1.061 ⎥ ⎢⎣ β 2 ⎥⎦ ⎢ 172.8 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 8.603 ⎥ ⎢ 160.1 ⎥ ⎢ 108.5 ⎥ 1.125 ⎥⎦ ⎣ ⎦
(P1)
Matriks dan vektor dalam sistem tersebut disimbolkan r Amxnbnx1 = Ymx1 . (a) Dengan menggunakan operasi baris elementer, diperoleh matriks augmented
282
Σ+ = (ΣT Σ)−1 ΣT .
Berikut ini akan diberikan contoh penggunakan QR dan SVD untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dari regresi berganda.
(5a)
(5b)
, dengan Σ+ = (ΣT Σ) −1 ΣT
x = ( A A) A b = A b = VΣ U b
cara
diperoleh A = U ∑ V T dengan kolom-kolom U adalah vektor eigen dari AAT . Sedangkan V adalah matriks dengan kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen ATA. Dengan mengalikan tiap ruas dengan AT pada persamaan (5) diperoleh
, ingat V TV = I
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear (5a) adalah v v v r T T T −1 + +
r r , x ∈ R m , b ∈ R n Dari Teorema 3
v v ( AT A)x = AT b .
A = V ΣT ΣV T .
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW ⎡1.0000 123.5000 2.1080 41.5000 ⎤ ⎥ ⎢ 0 22.6000 7.1050 27.4000 ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 - 3.4726 0.6912 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ r 0 0 0 0 ⎥ Amxn | bnx1 = ⎢ 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 160.4168 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 - 4.6073 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 3.7007 ⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 6.9656 ⎥⎦
Sistem persamaan linear memuat persamaan yang tidak logis (persamaan 4-7). Jadi sebenarnya sistem tidak punya solusi. Kita berusaha mendapatkan solusi terbaik. Penyelesaian dengan metode QR Kita akan membahas sistem persamaan linear yang sama dengan menggunakan metode QR. Dengan menggunakan algoritma QR pada Bab II, maka hasil QR sebagai berikut : ⎡ 0.3779645 - 0.1417368 - 0.1618785 ⎢ 0.3779645 0.3333218 - 0.1357662 ⎢ ⎢ 0.3779645 0.0768742 - 0.1544897 ⎢ Q = ⎢ 0.3779645 - 0.0366354 0.9250444 ⎢ 0.3779645 0.4468314 - 0.1426524 ⎢ ⎢ 0.3779645 0.1252209 - 0.1438702 ⎢ 0.3779645 - 0.8038761 - 0.1863875 ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
dan ⎡ 2.6457513 344.59021 317.11786 R = ⎢⎢ 1.221D - 15 47.573072 - 26.292267 ⎣⎢ - 2.776D - 17 - 1.776D - 14 750.4261
⎤ ⎥. ⎥ ⎦⎥
Dari persamaan (2) maka dapat diperoleh ⎡6.3956361 ⎤ v ⎢ r*= −1 T x = R Q b = ⎢1.1086134 ⎥⎥ . ⎢⎣- 0.0028513⎥⎦ Hasil tersebut memberikan error sebesar 0.9137572%.
⎡ V = ⎢⎢ ⎢⎣ ⎡ ) ⎢ ;Σ = ⎢ ⎢⎣
0.0014532 0.0073526 0.9999719 ⎤ 0.1880912 0.9821230 - 0.0074947 ⎥⎥ 0.9821505 - 0.1880968 - 0.0000442 ⎥⎦ 827.69765 0. 0. ⎤ ⎥; 0. 316.73876 0. ⎥ ⎥⎦ 0. 0. 0.3602842
0.3817121 0.2061858 -0.5286144 -0.1837105 -0.3019799 -0.637553⎤ ⎡0.0305680 ⎢0.0441346 0.4475694 0.2648146 0.1686863 0.5346409 0.2449700 0.594391⎥⎥ ⎢ ⎢0.0326905 0.4140803 -0.0101316 0.8226025 -0.1571499 -0.1850500 -0.302905⎥ ⎥ ⎢ U =⎢0.9962863 -0.0855238 0.0024050 0.0021617 0.0067902 -0.0052185 -0.003935⎥ ⎢0.0356885 0.4691545 -0.3761456 -0.0954090 0.7742618 -0.1455160 0.085882⎥ ⎥ ⎢ 0.4172344 -0.0587986 -0.0699509 -0.1135946 0.8906679 -0.098376⎥ ⎢0.0411611 ⎥ ⎢0.0222433 0.2846228 0.8615738 0.0378964 0.208044 -0.0079334 0.3624974 ⎦ ⎣
. Untuk menguji A = UΣV T dilakukan dengan mengurangkan A − UΣV T sehingga diperoleh matriks nol(setiap komponen 0). Dari pemograman diperoleh setiap komponen dekat ke 0. Hal ini dianggap sudah cukup bagus. Selanjutnya kita perlu menghitung
v ⎡ cˆ ⎤ v T ⎢ dv ⎥ = c = U b . Diperoleh ⎣ ⎦ )v c = [177.96641 359.92784
2.3011884
]T
Karena rank (A)=r=3 maka kita tidak perlu r mendefinisikan d . Sehingga komponen cˆ adalah dari komponen pertama hingga ketiga. Untuk menghitung yˆ , maka kita
r ˆ cˆ diperoleh menggunakan yˆ = Σ r v yˆ = Σˆ cˆ = [0.2150138
sehingga
1.1363555
v y = [0.2150138 1.1363555
6.3871479 ]
T
6.3871479 0 0 0 0]
T
v
Vektor y mempunyai komponen sebanyak m dengan r<m dan untuk komponen ke-1 hingga ke-r merupakan komponen dari vektor yˆ . =3. Pada akhirnya kita dapat menentukan v x = V yˆ yaitu )r r x = Vy = [ 6.3956361
1.1086134
- 0.0028513
]T .
Hasil
tersebut merupakan vektor r T b = [β 0 β1 β 2 ] pada sistem persamaan
linier (P1). Jadi
Yi = 6.3956361 + 1.1086134Xi1 + -0.0028513 Xi2
Penyelesaian dengan menggunakan SVD Diketahui rank(A) = 3. Dengan menggunakan algoritma SVD kita dapat menyusun matriks U, S dan V berturut-turut adalah
untuk semua i. Akan diselidiki apakah ruas kanan pada (P1) dipenuhi yaitu menghitung ruas kiri (P1). Diperoleh 283
v v b − Ax = 3.6691515. 2
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW Kesalahan ini cukup kecil karena dalam prosentase relatif berarti
v v b − Ax v 2 × 100% = 0.9137572 % . b
tidak berbeda secara signifikan dengan error yang diperoleh jika sistem persamaan linear dikerjakan dengan QR tidak berbeda secara signifikan dengan error yang diperoleh jika sistem persamaan linear dikerjakan dengan QR. Gambar 3 dengan tinggi histogram menyatakan nilai data dan pendekatan untuk r Ax .
r Gambar 3. Ilustrasi perbandingan data b dan pendekatan untuk A xr .
Analisa dengan uji statistik dengan bantuan R Pendekatan regresi berganda juga dapat dilakukan dengan software R. Selain kita dapat memperoleh koefisien regresi, maka kita juga dapat memperoleh keputusan signifikansi tiap variabel bebas terhadap regresi. Keluaran R yang berkaitan dengan nilai koefisien ternyata tidak ada perbedaan secara signifikan. Tabel 1. Keluaran R --------------------------------------------------------------------Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 6.395636 5.091881 1.256 0.277 x1 1.108613 0.038587 28.730 8.74e-06 *** x2 -0.002851 0.002445 -1.166 0.308 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.835 on 4 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9952, Adjusted R-squared: 0.9928 F-statistic: 415.1 on 2 and 4 DF, p-value: 2.299e-05
Dari keputusan statistik yang diperoleh, nampak bahwa variabel X 2 tidak berkontribusi secara signifikan terhadap sifat linear (ditandai dengan tidak adanya tanda ***). Jadi dengan SVD dapat ditunjukkan
bahwa regresi linear berganda dapat memberikan penyelesaian sekalipun dari operasi
KESIMPULAN Sistem persamaan linear dapat mempunyai penyelesaian dan tidak punya penyelesaian. Dengan metode QR dan SVD maka sistem persamaan linear selalu dapat mempunyai penyelesaian. Kasus untuk memjelaskan hal ini adalah dengan regresi linear berganda yang diselesaikan dengan QR dan SVD. Sekalipun error kecil, dengan pengujian signifikansi secara statistik maka salah satu variabel independen tidak signifikan. Materi ini ditujukan kepada mahasiswa dan pengajar matematika pendidikan dan guru-guru matematika SMA agar adanya penajaman materi sistem persamaan linear. Daftar Pustaka Parhusip, H.A, 2012, Various Applications of Linear Algebra, 2012. will appear on proceeding of SEMINAR ALJABAR 2012, oleh HPA dan IndoMS di UNDIP 14 April 2012 (keynote speaker). Parhusip, H.A.,2010. Stability Of BeulosovZhabotinsky Reaction, presented proceeding The 2nd International Conference on Chemical Science (ICCS) 2010 Universitas Gadjah Mada Parhusip, H. A., Evi, K., dan Dyah K., 2010. Uji Normalitas dan Fungsi Linear Kepadatan Penduduk Salatiga tahun 2008, Prosiding Seminar Nasional dan Pendidikan Sains FSM ISSN: 20870922, Vol.1 No.1, hal. 643-654. Parhusip H. A., 2009. Modelling o Total Investment and Its Efficiency in the District of Sidomukti, Proceeding of IndoMS International Conference on Mathematics and Its Applications (IICMA), ISBN:978-602-96426-0-5, 0353-0352. Peressini, A.L, Sullivan, F.E., Uhl,J. 1988. The Mathematics of Nonlinear 284
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VII UKSW Programming, Springer Verlag, New York, Inc. Pradhitya, K.A.S., Bambang Susanto, B., dan Parhusip,H.A.2012. Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri, Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012, ISBN : 978-979-99314-6-7,M131M13. Watkins,D.S, 1991. Fundamentals of Matrix Computations, John Wiley & Sons, New York. Web1.http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1107/1 107.2126.pdf (diunduh pada 17 September 2012) Saad, Y., Schultz, M.H., 1986. GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm For Solving Nonsymmetric Linear Systems Vo|. 7, No. 3, Siam J. Sci. Stat. Comput.
285
