III. Funkce jedné proměnné 6
Definice a základní vlastnosti S funkcemi se setkáváme všude tam, kde zkoumáme závislost mezi dvěma nebo více veličinami, přičemž tyto veličiny se obecně mění a jsou mezi sebou vázány jistým vztahem. Pomocí funkcí se dá popsat každá situace, v níž jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny jinými jevy nebo veličinami. Funkce se užívají především v technických, přírodních, ekonomických3 i jiných vědách, ale také v běžném životě. Například obsah kruhu je funkcí jeho poloměru, teplota zahřívané vody v hrnci je funkcí doby ohřevu, dráha ujetá autem je funkcí rychlosti a doby jízdy atd. Závisí–li zkoumaný jev pouze na jedné veličině, hovoříme o funkci jedné proměnné. Tímto speciálním typem funkcí se budeme nyní zabývat.
Co budete umět po nastudování této kapitoly: – definovat a vysvětlit pojem funkce, – graficky znázornit jednoduché funkce, – definovat základní vlastnosti funkcí a určit tyto vlastnosti pro konkrétní funkci, – provádět algebraické operace s funkcemi, – vytvářet inverzní a složené funkce.
6.1
Základní pojmy
Nejdříve zavedeme pojmy funkce a graf funkce. Definice 6.1 Zobrazení f neprázdné množiny A ⊂ R do množiny R (zapisujeme f : A → R) se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné (zkráceně funkce). Skutečnost, že funkce f přiřazuje hodnotě x ∈ A hodnotu y ∈ R, zapisujeme jako y = f (x). Proměnná x ∈ A se nazývá argument funkce f nebo nezávisle proměnná. Proměnná y ∈ R se nazývá závisle proměnná. Číslo f (x) se nazývá hodnota funkce f v bodě x ∈ A (neboli funkční hodnota v bodě x). Definice 6.2 Nechť f : A → R je funkce. Množina A se nazývá definiční obor funkce f a značíme ji D(f ) nebo Df . Množina {y ∈ R; y = f (x), x ∈ A} (tj. množina všech funkčních hodnot funkce f ) se nazývá obor hodnot funkce f a značíme ji H(f ) nebo Hf . Funkcí f rozumíme předpis (pravidlo, tzv. funkční předpis), kterým je každé hodnotě nezávisle proměnné x ∈ Df ⊂ R přiřazena právě jedna hodnota y = f (x) ∈ Hf ⊂ R. Poznámka 6.1 Pro označení funkcí obvykle používáme písmena f, g, h, F, G, H, . . . nebo také písmena řecké abecedy, z nich nejčastěji ϕ a ψ. 3
viz např. [4]
64
Definice 6.3 Grafem funkce f nazýváme množinu {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ Df , y = f (x)} ⊂ R2 . Značíme ji G(f ) nebo Gf nebo graf f . Grafem funkce f je křivka v rovině o rovnici y = f (x), kde x ∈ Df .
y f f(x)
x
x
Obrázek 12: Příklad grafu funkce. Rovinou neboli reálnou rovinou R2 rozumíme kartézský součin R × R spolu se zavedenou kartézskou soustavou souřadnic. Kartézská soustava souřadnic je určena počátkem soustavy souřadnic („výchozímÿ bodem), dvěma na sebe kolmými souřadnicovými osami procházejícími tímto bodem a jednotkami, pomocí nichž vyjadřujeme hodnoty souřadnic. Jednotka se obvykle volí na obou osách stejně velká. Každý bod roviny je jednoznačně určen svými souřadnicemi a naopak. Vzdáleností bodů M = (x1 , y1 ) a N = (x2 , y2) y v rovině budeme vždy (pokud nebude řečeno jinak) N rozumět tzv. eukleidovskou vzdálenost d(M, N) day2 nou vztahem M p y1 d(M, N) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
x1
6.2
x2
x
Rovina R2 se proto často nazývá eukleidovskou rovinou. Na obrázku je d(M, N) délka úsečky s krajními body M a N.
Zadávání funkce
Funkci lze zadat několika různými způsoby: a) Analyticky, tj. vzorcem (funkčním předpisem; rovnicí nebo soustavou rovnic). 1. Explicitně, tj. rovnicí y = f (x) a definičním oborem Df . 2. Implicitně, tj. rovnicí F (x, y) = 0 a podmínkami pro x a y. 3. Parametricky, tj. soustavou rovnic x = ϕ(t), y = ψ(t), kde ϕ a ψ jsou funkce nezávisle proměnné t mající stejný definiční obor. 65
4. Místo kartézských souřadnic (x, y) bodu M ∈ R2 použijeme polární souřadnice r a ϕ bodu v rovině. Souřadnice r je vzdálenost bodu M od počátku M y 0 a ϕ je orientovaný úhel mezi kladným směrem osy x a průvodičem daného bodu (tj. por lopřímkou vycházející z počátku a procházející n bodem M). Funkci potom dostáváme například ve tvaru r = g(ϕ) a dodáváme podmínky (defi0 x niční obor) pro ϕ a r. b) Tabulkou, tj. zadání výčtem funkčních hodnot f (xi ) pro daná xi , i = 1, . . . , n. Pokud není definičním oborem konečná množina, tak není zadání funkce mimo body {x1 , . . . , xn } přesné a určuje se pouze přibližně (např. interpolací). Zadání funkce tabulkou se používá zpravidla při experimentálních měřeních. c) Grafem – používá se především v aplikacích a je nejméně vhodný pro další matematické zpracování, protože hodnoty odečítáme z grafu pouze přibližně. Tento způsob zadání však dává názornou představu o průběhu funkce. d) Kombinací výše uvedených možností. V případech a) 2–4. musíme přidat vždy podmínky pro funkce F, ϕ, ψ a g tak, aby tyto předpisy skutečně určovaly funkci. Například rovnice x2 + y 2 − 1 = 0 (tj. typ F (x, y) = 0) neurčuje funkci, jelikož jednomu x by mohly být přiřazeny dvě různé hodnoty y, ale pokud přidáme podmínku y ≥ 0, dostaneme předpis pro funkci. Analytický způsob zadávání funkce je pro matematické účely nejvhodnější, a proto se také užívá nejčastěji. Příklad 6.1 Funkci lze zadat více způsoby nebo i různě při stejném způsobu: • Explicitně
√ x pro x ≥ 0 2 f (x) = |x|, x ∈ R nebo f (x) = x , x ∈ R nebo f (x) = −x pro x < 0
• Implicitně
2 2 + y − |x| = 0, x ∈ R, y ∈ R+ 0 nebo x − y = 0, x ∈ R, y ∈ R0
• Parametricky
x=t y = |t|, t ∈ R
• V polárních souřadnicích
r∈
R+ 0,
ϕ∈
π 3π , 4 4
• Tabulkou (neúplné zadání) x −2 f (x) 2
−1 1 66
0 0
1 1
2 2
• Grafem
y f(x) 1
-1
0
1
x ❡
Funkce nemusí být zadána na celém svém definičním oboru jedním předpisem, jak je vidět z následujícího příkladu. Příklad 6.2 Uvažujme následující funkce a jejich grafy: x pro x ≤ −2 −1 pro x < 0 −1 pro − 2 < x < 0 0 pro x = 0 sgn x = g(x) = x2 pro 0 ≤ x ≤ 1 1 pro x > 0 x pro x > 1 2 y y 1 sgn(x) g(x) 1 -2 0
1
x
-1 0
x -2
-1 ❡
Poznámka 6.2 • Množiny Df a Hf mohou mít různé tvary – omezený interval, neomezený interval, sjednocení intervalů, diskrétní množiny aj. • I když je funkce zadána na celém √ Df jediným předpisem, může být Df dost složitý. Například pro funkci f (x) = sin x je definiční obor [ Df = {h2kπ, (2k + 1)πi ; k ∈ Z} . • Je-li funkce zadána explicitně a není-li udán Df , tak se definičním oborem rozumí maximální množina M ⊂ R taková, že pro každé x ∈ M existuje f (x) ∈ R. Při určování definičních oborů využíváme znalostí vlastností základních elementárních funkcí, pravidel o skládání funkcí, vytváření inverzních funkcí apod. (viz dále). Příklad 6.3 Určete definiční obory následujících funkcí: a) f (x) = log(x2 − x) Řešení: x2 − x > 0 ⇒ x(x − 1) > 0 ⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, ∞) = Df 67
√ √ b) f (x) = sin x + 25 − x2 Řešení: sin x ≥ 0 ∧ 25−x2 ≥ 0, tj. sin x ≥ 0 ∧ x ∈ h−5, 5i ⇒ Df = h−5, −πi∪h0, πi (viz obr. 13.)
5
-5 -2B
-B
0
B
Obrázek 13: Definiční obor funkce f (x) =
2B
3B
√
√
sin x +
x
25 − x2 .
❡
K úplnému (jednoznačnému) zadání funkce je nutný nejen funkční předpis, ale také definiční obor. Uvažujme například funkce f (x) = ln x, Df = (0, ∞) a g(x) = ln x, Dg = N. Obě funkce mají stejný funkční předpis, ale jiné definiční obory – proto jsou to dvě různé funkce. Grafy obou funkcí jsou znázorněny na obr. 14.
y
y
g
f
0
1
2
3
x
0
1
2
3
x
Obrázek 14: Grafy funkcí f (x) = ln x, Df = (0, ∞) a g(x) = ln x, Dg = N. Grafy některých funkcí nelze nakreslit. Například Dirichletova funkce je definována následujícím způsobem: 1 pro x ∈ Q, tj. pro x racionální, D(x) = 0 pro x ∈ R \ Q. Graf této funkce nelze nakreslit, protože nedokážeme na množině R graficky vyznačit množinu všech racionálních čísel Q. Častým případem, který budeme řešit, je situace, kdy bude zadán funkční předpis pro danou funkci a my se budeme snažit načrtnout graf této funkce – říkáme, že budeme vyšetřovat průběh funkce. Přitom budeme využívat znalostí grafů elementárních funkcí, případně si pomůžeme tabulkou několika funkčních hodnot. Dále budeme využívat znalost význačných bodů funkce (nulové body, body lokálních a globálních extrémů, inflexní body). Tyto body a také některé další vlastnosti (monotonie, konvexita) zkoumané funkce vyšetřujeme pomocí diferenciálního počtu, kterému se budeme věnovat v kapitole IV. V některých případech je situace opačná, kdy je funkce grafem přímo zadána – z grafu však zpětně (až na výjimky) funkční předpis nelze získat. 68
Při kreslení grafu funkce je nutné si uvědomit, jaká křivka může, resp. nemůže, být grafem nějaké funkce. y Křivka na obrázku nemůže být grafem žádné funkce, protože některým hodnotám proměnné x odpovídá více než jedna „funkční hodnotaÿ. Jednoduše řečeno, aby křivka mohla být grafem funkce, může každá přímka rovnoběžná s osou y protnout tuto křivku nejvýše jednou (tj. buď právě jednou nebo vůx bec).
6.3
Globální vlastnosti funkcí
V této části představíme nejdůležitější vlastnosti funkcí, jako je periodicita, omezenost, parita (sudost a lichost), prostota a monotonie. Definice 6.4 Bod c ∈ Df se nazývá nulový bod funkce f , jestliže f (c) = 0.
y f
0
c1
c2
x
Obrázek 15: Graf funkce se dvěma nulovými body c1 a c2 . Příklad 6.4 Určete nulové body funkce f (x) = x3 + 3x2 − 4. Řešení: Definičním oborem této funkce je množina R. Nulovými body jsou všechna řešení rovnice f (x) = 0 v množině R, tj. kořeny polynomu x3 + 3x2 − 4. Kořen x1 = 1 lze „uhádnoutÿ. Když vydělíme polynom x3 +3x2 −4 kořenovým činitelem (x−1), dostaneme polynom x2 + 4x + 4 druhého stupně. Kořeny tohoto polynomu určíme například pomocí známého vzorce √ −b ± b2 − 4ac . x2,3 = 2a Dosazením do vzorce získáme dvojnásobný kořen x2,3 = −2. Funkce f má tedy dva nulové body 1 a −2; její graf funkce je znázorněn na obr. 16.
y
3
2
f(x)=x +3x -4
-2 1
x
Obrázek 16: Graf funkce f (x) = x3 + 3x2 − 4.
69
❡
Definice 6.5 Funkce f se nazývá periodická, jestliže existuje číslo p ∈ R \ {0} takové, že a) x ∈ Df
x + p ∈ Df ;
⇔
b) f (x + p) = f (x)
pro každé x ∈ Df .
Číslo p se nazývá perioda funkce f . Nejmenší kladná perioda funkce f se nazývá primitivní perioda funkce f .
y
f
x
p Obrázek 17: Graf periodické funkce s periodou p.
f.
Je-li p perioda funkce f , pak každé číslo kp, kde k ∈ Z \ {0}, je také periodou funkce
Při zkoumání vlastností periodické funkce se stačí omezit jen na libovolný polouzavřený interval délky p, kde p je primitivní perioda. Takový interval se nazývá základní interval periodicity této funkce. Příklad 6.5 Sestrojte graf periodické funkce f , která je na základním intervalu periodicity h−1, 1) definována jako f (x) = |x|. Řešení: Protože je délka základního intervalu periodicity rovna 2, je funkce f periodická s primitivní periodou p = 2. Stačí tedy nakreslit graf jen na intervalu h−1, 1) a dále jej „kopírovatÿ vpravo a vlevo vždy po posunutí o 2 jednotky – viz následující obrázek.
y 1 -4
-3
-2
-1
f
0
1
2
3
4
x
p=2 ❡
Příklad 6.6 Najděte primitivní periodu funkce f (x) = cos(2x). Řešení: Protože Df = R, je první podmínka z definice periodické funkce splněna. Abychom našli primitivní periodu funkce f , hledáme nejmenší číslo p ∈ R+ takové, aby pro všechna x ∈ R = Df platilo f (x + p) = cos(2(x + p)) = cos(2x) = f (x).
70
Po úpravě této rovnosti dostáváme 0 = cos(2x + 2p) − cos(2x). sin a−b pak dostaneme Použitím vzorce cos a − cos b = −2 sin a+b 2 2 0 = −2 sin
2x + 2p + 2x 2x + 2p − 2x sin = −2 sin(2x + p) sin p. 2 2
Protože tato rovnost musí platit pro všechna x ∈ R, musí být sin p = 0. To nastává, ❡ pokud p = kπ, k ∈ Z. Primitivní periodou je nejmenší kladná perioda, tj. π. Příklad 6.7 Uvažujme konstantní funkci f (x) = a, a ∈ R, definovanou na R. Potom ale platí, že f (x) = a = f (x + p) pro všechna p ∈ R a všechna x ∈ R. To znamená, že každé číslo p ∈ R \ {0} je periodou konstantní funkce, přitom ale primitivní (nejmenší) perioda ❡ neexistuje. Definice 6.6 Nechť pro funkci f platí vztah x ∈ Df ⇔ −x ∈ Df . Funkce f se nazývá a) lichá, jestliže f (−x) = −f (x) pro každé x ∈ Df ; b) sudá, jestliže f (−x) = f (x) pro každé x ∈ Df . Definice požaduje, aby definiční obor sudé i liché funkce byl souměrný kolem počátku. Graf sudé funkce je osově souměrný kolem osy y a graf liché funkce je středově souměrný kolem počátku soustavy souřadnic (viz obr. 18).
y
y
sudá funkce
lichá funkce
f
x x
-x 0
-x
x
x
f
0
Obrázek 18: Graf sudé a liché funkce. Příklad 6.8 a) Příklady sudých funkcí: f (x) = x2 a g(x) = cos x f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), Df = R; g(−x) = cos(−x) = cos x = g(x), Dg = R
y 4
y f
1 g -B 0
1 -2
0
B
1
2
x 71
x
b) Příklady lichých funkcí: f (x) = x3 a g(x) = sin 2x f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x), Df = R; g(−x) = sin(−2x) = − sin 2x = −g(x), Dg = R
y
y f
1
g
-B 2
-2
0
1
x
2
x
B
0
2
c) Existují funkce, které jsou sudé i liché zároveň? Ano, je jich nekonečně mnoho. Jejich funkční předpis je vždy f (x) = 0, liší se pouze definičním oborem. Například f1 (x) = 0, Df1 = h−2, 2i nebo f2 (x) = 0, Df2 = (−3, −1) ∪ (1, 3). d) Funkce f (x) = x2 na h−1, 2i není sudá, protože není splněna podmínka z definice sudosti týkající se definičního oboru – ten musí být podle definice souměrný kolem ❡ počátku. V následujících definicích a větách budeme uvažovat neprázdnou množinu M ⊂ Df . Definice 6.7 Funkce f se nazývá prostá na množině M, jestliže pro všechny dvojice x1 , x2 ∈ M platí x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
y
y f
f(x2 )
g g(x1 )=g(x2 )
f(x1 ) 0
x1
x2
x
0
x1
x2
x
Obrázek 19: Graf prosté funkce f a funkce g, která není prostá. Požadavek prostoty lze ekvivalentně vyjádřit ve tvaru f (x1 ) = f (x2 )
⇒
x1 = x2 .
Jestliže je f prostá na množině M, potom každá rovnoběžka s osou x protíná graf funkce f nejvýše v jednom bodě - srovnejte s podmínkou, kdy je křivka grafem nějaké funkce. Příklad 6.9 Uvažujme funkci f (x) = −x + 2, Df = R. Funkce f je prostá na svém definičním oboru, protože ∀x1 , x2 ∈ Df , x1 6= x2 platí f (x1 ) = −x1 + 2 6= −x2 + 2 = f (x2 ) ❡ (viz také obr. 20). 72
Příklad 6.10 Uvažujme funkci f (x) = (x − 1)2 , Df = R. Funkce f není prostá na svém definičním oboru, protože například 2 6= 0, ale f (2) = f (0) = 1. Můžeme ale najít množinu M ⊂ Df tak, aby byla f na množině M prostá; například M = (−∞, 1 i nebo ❡ M = h 1, ∞) (viz také obr. 20).
y
y
f(x)=-x+2 2 2
f(x)=(x-1) x 0
x 0
2
1
Obrázek 20: Grafy funkcí f (x) = −x + 2 a f (x) = (x − 1)2 . Příklad 6.11 Ukažte, že funkce f (x) = ax2 + b, kde a, b ∈ R \ {0}, je prostá na množině M = h 0, ∞). Řešení: Musíme tedy ukázat, že ∀x1 , x2 ∈ M platí x1 6= x2
⇒
f (x1 ) 6= f (x2 ).
Důkaz provedeme sporem, tj. předpokládejme existenci bodů x1 a x2 takových, že x1 6= x2 a zároveň f (x1 ) = f (x2 ). Postupně tak dostáváme: ax21 + b x21 |x1 | x1
= = = =
ax22 + b x22 |x2 | x2 .
x1 , x2 ∈ M = h 0, ∞) ⇒
Tím jsme dostali spor s předpokladem x1 6= x2 . Pro každé x1 , x2 ∈ M, x1 6= x2 tedy platí ❡ f (x1 ) 6= f (x2 ) a funkce f je prostá na M.
f (x1 ) < f (x2 ) f (x1 ) > f (x2 ) Definice 6.8 Jestliže pro všechna x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 platí f (x1 ) ≥ f (x2 ) , f (x1 ) ≤ f (x2 ) rostoucí klesající pak se funkce f nazývá nerostoucí na množině M. neklesající Definice 6.9 Funkce, která je rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající na množině M, se nazývá monotonní na množině M. Funkce, která je rostoucí nebo klesající na množině M, se nazývá ryze monotonní na množině M.
73
y
y
M funkce rostoucí na M
y
x
y
x
M
M
funkce klesající na M
funkce nerostoucí na M
x
M
x
funkce neklesající na M
Obrázek 21: Příklady funkcí monotonních na M (na každém obrázku jsou znázorněny grafy dvou funkcí, jeden graf plnou čarou a druhý čárkovanou). Přímo z definic je zřejmé, že • každá rostoucí funkce je zároveň i neklesající, ale naopak to neplatí; • každá klesající funkce je zároveň i nerostoucí, ale naopak to neplatí. Příklad 6.12 Ukažte, že funkce f (x) = ax+b, kde a ∈ R+ , b ∈ R, je rostoucí na Df = R. Řešení: Musíme tedy ukázat, že ∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 platí f (x1 ) < f (x2 ). Platí x1 ax1 ax1 + b f (x1 )
< < < <
x2 ax2 ax2 + b f (x2 ).
/·a>0 /+b
Tím dostáváme, že f je rostoucí na Df = R.
❡
Příklad 6.13 Vyšetřete monotonii funkce f (x) = −x3 − 2x, Df = R. Řešení: Protože platí f (−x) = −(−x)3 − 2(−x) = x3 + 2x = −f (x), je funkce f lichá. Stačí ji tedy zkoumat na intervalu h0, ∞) = M. Protože f (0) = 0 a f (1) = −3, funkce f by mohla být klesající. Ověříme tedy, že pro všechna x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 platí f (x1 ) > f (x2 ). Postupnými úpravami pak dostáváme 0 ≤ x1 < x2 x21 < x22 x21 + 2 < x22 + 2.
|2 | +2
Podle pravidel o počítání s nerovnostmi dostaneme (vynásobením první a poslední nerovnosti) x1 (x21 + 2) x31 + 2x1 −x31 − 2x1 f (x1 )
< < > >
x2 (x22 + 2) x32 + 2x2 −x32 − 2x2 f (x2 ).
| · (−1)
Tím jsme ukázali, že funkce f je klesající na M. Protože je f lichá, je f klesající i na (−∞, 0i, neboť pro všechna x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 platí: 74
x1 −x1 f (−x1 ) −f (x1 ) f (x1 )
x2 ≤ 0 | · (−1) −x2 ≥ 0 | f je klesající na h0, ∞) f (−x2 ) | f je lichá −f (x2 ) | · (−1) f (x2 ).
< > < < >
Funkce f je tedy klesající na Df = R.
❡
Příklad 6.14 Uvažujme funkci f danou na Df = h−2, 1i předpisem x + 2 pro x ∈ h−2, −1i , 1 pro x ∈ (−1, 0i , f (x) = 2 −x + 1 pro x ∈ (0, 1i .
(11)
Na Df není f monotonní, ale lze nalézt intervaly, na nichž monotonní je, jak je vidět z obr. 22.
y f
-2
0
-1 rostoucí, ryze mon.
konst., nerost., nekles.
1
x
klesající, ryze mon.
neklesající nerostoucí
Obrázek 22: Graf funkce f definované předpisem (11). ❡
Poznámka 6.3 Pokud je definiční obor tvořen sjednocením intervalů, je obzvlášť nutno dávat pozor na tvrzení týkající se monotonie této funkce na Df , tj. na tomto sjednocení intervalů: y Df = M1 ∪ M2 f je rostoucí na M1 f je rostoucí na M2 f je rostoucí také na M1 ∪ M2
M1
M2
x
75
y Df = M1 ∪ M2 f je rostoucí na M1 f je rostoucí na M2 f není rostoucí na M1 ∪ M2 !
M1
x
M2
Věta 6.1 Funkce, která je ryze monotonní (tj. rostoucí nebo klesající) na M, je prostá na M. Důkaz: Důkaz plyne přímo z definic.
Obrácená věta neplatí, stačí uvažovat například následující funkci: y
b a
x
Funkce je prostá na intervalu ha, bi, ale není na tomto intervalu monotonní.
Věta 6.2 Je-li funkce f rostoucí (resp. klesající) na množině M, pak je rostoucí (resp. klesající) na každé podmnožině množiny M obsahující alespoň dva různé body. Důkaz: Důkaz plyne přímo z definic.
Definice 6.10 Funkce f se nazývá konstantní na M, jestliže pro každé x1 , x2 ∈ M platí f (x1 ) = f (x2 ). Je-li f konstantní na M, pak existuje konstanta a ∈ R tak, že pro každé x ∈ M platí f (x) = a. Z definice funkce konstantní na M plyne, že pro každé x1 , x2 ∈ M, x1 < x2 platí zároveň f (x1 ) ≤ f (x2 ) a f (x1 ) ≥ f (x2 ), tzn. že funkce konstantní na M je na M zároveň neklesající i nerostoucí. Speciálním případem konstantní funkce je funkce nulová. Definice 6.11 Funkce f definovaná pro každé x ∈ M předpisem f (x) = 0 se nazývá nulová na M. Další důležitou vlastností, se kterou se setkáváme u funkcí, je omezenost. Definice 6.12 Funkce f se nazývá • omezená shora na M, jestliže existuje k ∈ R tak, že f (x) ≤ k pro každé x ∈ M; • omezená zdola na M, jestliže existuje l ∈ R tak, že f (x) ≥ l pro každé x ∈ M; • omezená na M, jestliže je na M omezená shora i zdola zároveň. 76
Věta 6.3 Funkce f je omezená na M právě tehdy, když existuje K ∈ R+ tak, že |f (x)| ≤ K pro každé x ∈ M, tj. právě tehdy, když −K ≤ f (x) ≤ K pro každé x ∈ M. Důkaz: Důkaz se provede analogicky jako důkaz věty 2.1 z kapitoly 2.5, kde klademe M = Hf . Příklad 6.15 Příklady (ne)omezených funkcí: y -1
0
x f (x) = −(x + 1)2 − 2, Df = R f je omezená shora : f (x) ≤ −2 ∀x ∈ Df f není omezená zdola
-2 -3
y
1
0
g(x) = e2x , Dg = R g je omezená zdola : g(x) > 0 ∀x ∈ Dg g není omezená shora
x
y 1 x -1
h(x) = cos x, Dh = R h je omezená (shora i zdola) : |h(x)| ≤ 1 ∀x ∈ Dh
y
-B 2
0
B 2
x
q(x) = tg x, Dq = R \ { π2 + kπ; k ∈ Z} q není omezená (ani shora ani zdola)
❡ 2
Příklad 6.16 Zjistěte, zda je funkce f (x) = x2x+1 omezená na Df = R. Řešení: Zřejmě ∀x ∈ Df platí x2 ≥ 0 a x2 + 1 > 0 a odtud pak také f (x) = znamená, že f je omezená zdola. 77
x2 x2 +1
≥ 0. To
Dále také ∀x ∈ Df platí x2 + 1 ≥ x2
| : (x2 + 1) > 0
x2 = f (x), x2 + 1
1≥
tj. f je omezená shora. Celkem tedy ∀x ∈ Df dostáváme 1 ≥
x2 x2 +1
≥ 0, tj. funkce f je omezená (na Df ).
❡
Některé typy funkcí omezených shora nebo zdola nulou mají speciální názvy: • f (x) < 0 pro každé x ∈ M
. . . funkce záporná na M,
• f (x) ≤ 0 pro každé x ∈ M
. . . funkce nekladná na M,
• f (x) > 0 pro každé x ∈ M
. . . funkce kladná na M,
• f (x) ≥ 0 pro každé x ∈ M
. . . funkce nezáporná na M.
Definice 6.13 Nechť c ∈ M. • Číslo f (c) se nazývá globálním maximem funkce f na M, jestliže f (x) ≤ f (c) pro každé x ∈ M. Zapisujeme f (c) = max f (x) = max{f (x); x ∈ M}. x∈M
• Číslo f (c) se nazývá globálním minimem funkce f na M, jestliže f (x) ≥ f (c) pro každé x ∈ M. Zapisujeme f (c) = min f (x) = min{f (x); x ∈ M}. x∈M
Globální maxima a globální minima funkce f na M nazýváme souhrnně globálními (absolutními) extrémy funkce f na M.
y f(c)
glob. minimum
y
glob. maximum
f
f f(c) 0
M
c
x
0
M
c
x
Obrázek 23: Funkce nabývající na M globální maximum, resp. globální minimum.
78
Příklad 6.17 Uvažujme funkce z příkladu 6.15: f (x) = −(x + 1)2 − 2 . . . gl. maximum –2 v bodě c = −1 g(x) = e2x . . . nemá gl. extrémy h(x) = cos x . . . gl. maximum 1 v bodech c = 2kπ, k ∈ Z . . . gl. minimum –1 v bodech c = (2k + 1)π, k ∈ Z q(x) = tg x . . . nemá gl. extrémy
❡
Poznámka 6.4 Některé vlastnosti funkcí jsme vztahovali jen k určité množině M ⊂ Df (monotonie, prostota), jiné k celému Df (sudost, lichost, periodicita). Pokud M = Df , uvádíme pouze danou vlastnost funkce, aniž dodáváme „na množině Mÿ, například výrokem „f je rostoucíÿ rozumíme „f je rostoucí na Df ÿ.
6.4
Algebraické operace s funkcemi
V této části připomeneme základní operace s funkcemi. Definice 6.14 Říkáme, že funkce f a g si jsou rovny na M ⊂ Df ∩ Dg , jestliže f (x) = g(x) pro každé x ∈ M. Jestliže navíc M = Df = Dg , říkáme, že f a g si jsou rovny. Značíme f = g (na M). Jestliže pro funkce f a g platí f = g, potom Df = Dg , Hf = Hg a graf f = graf g. Příklad 6.18 Rozhodněte, zda jsou si rovny následující funkce: a) f (x) = xx2 a g(x) = x1 Df = R \ {0} = Dg , Hf = R \ {0} = Hg , f (x) = g(x) ∀x ∈ Df ⇒ f =g √ b) f (x) = x a g(x) = x2 √ Df = R = Dg , ale g(x) = x2 = |x| 6= x = f (x) ∀x ∈ R ⇒ f 6= g na R ⇒ f = g na R+ 0 c) Uvažujme funkce f a g zadané grafy na následujícím obrázku:
y 1
f g 1
0 Df = h0, 1i = Dg , Hf = h0, 1i = Hg , graf f 6= graf g ⇒ f 6= g
x
❡
79
Definice 6.15 Nechť M = Df ∩ Dg . Potom • součtem funkcí f a g nazveme funkci f + g takovou, že (f + g)(x) = f (x) + g(x) pro každé x ∈ M; • rozdílem funkcí f a g nazveme funkci f − g takovou, že (f − g)(x) = f (x) − g(x) pro každé x ∈ M; • součinem funkcí f a g nazveme funkci f · g takovou, že (f · g)(x) = f (x) · g(x) pro každé x ∈ M; • podílem funkcí f a g (v tomto pořadí) nazveme funkci
f g
takovou, že
f f (x) (x) = pro každé x ∈ M \ {x ∈ M; g(x) = 0}; g g(x) • absolutní hodnotou funkce f nazveme funkci |f | takovou, že |f |(x) = |f (x)| pro každé x ∈ Df . √ Příklad 6.19 Uvažujme funkce f (x) = sin x a g(x) = x. Určete následující funkce: f + g, f · g a fg . + Řešení: Protože Df = R√a Dg = R+ 0 , položíme M = Df ∩ Dg = R0 . Potom (f + g)(x) =√sin x + x ∀x ∈ M (f ·g)(x) = x · sin x ∀x ∈ M f ❡ √x ∀x ∈ M \ {0} = R+ . (x) = sin g x Příklad 6.20 Pro funkci f (x) = (x − 1)3 sestrojte graf f a graf |f |. Řešení: y 3 (x-1) |f |(x) = |f (x)| = |(x − 1)3 | = |(x-1)3| −(x − 1)3 pro x < 1 = (x − 1)3 pro x ≥ 1
0
1
x
❡
Máme-li již nakreslený graf funkce f , potom graf funkce |f | sestrojíme tak, že části grafu funkce f , které leží pod osou x, „překlopímeÿ souměrně kolem osy x; viz následující dva grafy:
80
y
y
|sin(x)|
|f(x)| x
sin(x)
6.5
f(x)
x
Složená funkce
Další operací, kterou s funkcemi často provádíme, je jejich skládání. Definice 6.16 Nechť funkce y = f (u) má definiční obor Df a nechť funkce u = g(x) má definiční obor Dg . Jestliže Hg ∩ Df 6= ∅, můžeme proměnnou y považovat za závislou na proměnné x, tj. za funkci y = f (g(x)) = (f ◦ g)(x) s definičním oborem Df ◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df } . Funkce f ◦ g se nazývá funkce složená z funkcí f a g (v tomto pořadí!). Funkce f se nazývá vnější funkce a g se nazývá vnitřní funkce složené funkce f ◦ g.
g
f Hg
x Dg
u Df
y Hf
f g Příklad 6.21 Mějme dány funkce f (x) = cos x a g(x) = x3 . Určete obě složené funkce f ◦ g a g ◦ f. Řešení: Nejdříve určíme definiční obory a obory hodnot: Df = R, Hf = h−1, 1i, Dg = R, Hg = R. f ◦ g: Zde je g vnitřní a f vnější funkce, skládat opět můžeme, protože Hg ⊂ Df : (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x3 ) = cos(x3 ) x ∈ R = Dg g ◦ f : Zde je f vnitřní a g vnější funkce, skládat můžeme, protože Hf ⊂ Dg : (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(cos x) = (cos x)3 = cos3 x x ∈ R = Df Příklad 6.22 Určete, ze kterých funkcí jsou složeny následující funkce p a q: r x+1 p(x) = q(x) = (ln(x − 1))2 x−1 Řešení: √ p : funkce f (x) = x+1 je vnitřní a g(x) = x je vnější funkce; x−1 p(x) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x); Dp = (−∞, −1 i ∪ ( 1, ∞) 81
❡
q : funkce q je složena ze tří funkcí f (x) = x − 1, g(x) = ln x a h(x) = x2 , kde ❡ q(x) = h(g(f (x))) = (h ◦ g ◦ f )(x); Dq = (1, ∞)
Jak snadno poznáme, která funkce je vnitřní a která vnější? Představme si, že chceme do složené funkce dosadit nějakou konkrétní hodnotu za proměnnou x. Při dosazování totiž vždy postupujeme od funkce, která je „nejvíc uvnitřÿ, a postupujeme až k té vnější. Například u funkce q v předchozím příkladu při dosazení x = 2 postupně počítáme x − 1 = 2 − 1 = 1 ⇒ ln(1) = 0 ⇒ 02 = 0,
tj. skutečně postupujeme „zevnitř směrem venÿ.
6.6
Inverzní funkce
Další možností, jak získat nové funkce, je vytvoření inverzní funkce. Definice 6.17 Nechť je funkce f prostá na Df . Potom funkci f −1 nazýváme funkcí inverzní k funkci f , jestliže každému y ∈ Hf přiřazuje číslo x ∈ Df tak, že y = f (x). Předpoklad, aby f byla prostá, je pro existenci inverzní funkce nezbytný. Pro funkce f a f −1 platí, že Df = Hf −1 a Hf = Df −1 .
f
Df
Hf
x
y
H
f
D
-1
Příklad 6.23 Určete funkci inverzní k funkci f (x) = 3x + 5 a nakreslete grafy obou funkcí. Řešení: Nejdříve určíme definiční obor a obor hodnot: Df = R, Hf = R, f je na Df prostá, existuje tedy inverzní funkce. Funkci f zapíšeme ve tvaru y = 3x + 5. Inverzní funkci lze určit například tak, že zaměníme označení proměnných a opět vyjádříme y jako funkci proměnné x, tj. 1 1 x = 3y + 5 ⇒ y = (x − 5) ⇒ f −1 (x) = (x − 5). 3 3 Grafy obou funkcí jsou znázorněny na následujícím obrázku. y 5
f(x)=3x+5 y=x
1
-1
f (x)= 3 (x-5) - 35 5
0
x
- 35 ❡
82
Poznámka 6.5 Grafy funkcí f a f −1 jsou osově souměrné podle přímky y = x, tj. podle osy prvního a třetího kvadrantu (viz také předchozí příklad). Uvažujme nyní graf funkce f , která není prostá. Souměrné podle přímky y = x vytvoříme křivku „graf funkce f −1 ÿ. Tato křivka ale nemůže být grafem žádné funkce – viz konec kapitoly 6.2 a také obr. 24. Pokud není funkce f prostá na celém svém Df , ale pouze na M ⊂ Df , inverzní funkci hledáme pouze na M, a ne na Df .
y
f
-1
y
y=x
f
f 0
-1
y=x
f 0
x
x
f není prostá
f prostá
Obrázek 24: Sestrojování grafu inverzní funkce a nutnost prostoty funkce pro existenci funkce inverzní.
6.7
Dodatek – transformace grafu funkce
V následující kapitole uvedeme grafy základních elementárních funkcí. Z nich pak lze pomocí jednoduchých pravidel vytvářet i grafy některých složitějších funkcí. Proto si tato pravidla připomenene. Uvažujme tedy funkci f proměnné x, x ∈ Df , a konstantu k ∈ R. Pomocí grafu této funkce lze sestrojit i grafy následujících funkcí (viz také obr. 25): • g1 (x) = −f (x) Df = Dg1 ; grafy funkcí f a g1 jsou osově souměrné podle osy x. • g2 (x) = f (−x) Dg2 = {x ∈ R; −x ∈ Df }; grafy funkcí g2 a f jsou symetrické kolem osy y. • g3 (x) = f (x) + k, k 6= 0 Dg3 = Df ; graf funkce g3 získáme tak, že graf funkce f posuneme o |k| jednotek ve směru osy y, a to v kladném směru (nahoru) pro k > 0 a v záporném směru (dolů) pro k < 0. • g4 (x) = f (x − k), k 6= 0 Dg4 = {x ∈ R; x − k ∈ Df }; graf funkce g4 vznikne posunutím grafu f o vzdálenost |k| ve směru osy x, a to v kladném směru (doprava) pro k > 0 a v záporném směru (doleva) pro k < 0.
83
• g5 (x) = k · f (x), k > 0 Dg5 = Df ; graf funkce g5 vznikne deformací grafu fukce f ve směru osy y, konkrétně pro k > 1 jde o k-násobné protažení a pro 0 < k < 1 o k-násobné smrštění ve směru osy y. • g6 (x) = f (k · x), k > 0 Dg6 = {x ∈ R; kx ∈ Df }; graf funkce g6 vznikne deformací grafu fukce f ve směru osy x, konkrétně pro k > 1 jde o smrštění a pro 0 < k < 1 o roztažení ve směru osy x. y
y f(-x)
f(x)
f(x)
x
x
-f(x)
y
y
f(x) }1
f(x+2)
f(x-1)
f(x)
3
}
x f(x)-3
}
}
f(x)+1
2
1
x
y y 2 f(x) f(x) f(x)
f(3x) f(x)
1 2
f( 32 x) x
x
Obrázek 25: Příklady transformací grafu funkce. Pojmy k zapamatování: – reálná funkce jedné reálné proměnné – graf funkce – periodická funkce, primitivní perioda – funkce sudá a lichá – prostá funkce – monotonní funkce – omezená funkce 84
– globální extrémy funkce – složená funkce – inverzní funkce Příklady k procvičení: 1. Nakreslete grafy následujících funkcí a rozhodněte o sudosti/lichosti a monotonii těchto funkcí: 1 pro x ∈ (−∞, −1) −1 pro x < 0 b) g(x) = −x pro x ∈ h−1, 1i a) f (x) = 2 pro x ≥ 0 −1 pro x ∈ (1, ∞) c) h(x) = |x| 2. Určete, zda je funkce sudá/lichá: a) f (x) = 3x2 + 1
b) g(x) = x2 + x
c) h(x) = −1
d) k(x) =
5x 2x2 +1
3. Rozhodněte o monotonii následujících funkcí: a) f (x) = x2 + 1, x ∈ h0, ∞) d) k(x) = |x − 1|
b) g(x) = x1 , x ∈ (−∞, 0) c) h(x) = 2 − 5x
4. Nakreslete graf periodické funkce s periodou 2, jestliže b) pro x ∈ (−2, 0 i platí g(x) = −x2
a) pro x ∈ h−1, 1) platí f (x) = 2x
5. Nakreslete grafy funkcí:
a) f (x) = |x| + 1 b) g(x) = |x + 1| d) k(x) = −(x − 1)2 + 3 6. Ověřte, že k funkci f (x) =
x+2 x−3
c) h(x) = 2(x + 3) − 2
existuje inverzní funkce, a najděte ji.
7. Jsou dány funkce f (x) = x2 + 1 a g(x) = 3x23 . Vytvořte funkce f + g, f − g, fg , f g, f ◦ g a g ◦ f a určete jejich definiční obory. Výsledky příkladů k procvičení: 1. a) f není sudá ani lichá, je neklesající na R, konstantní na R− , konstantní na R+ b) g je lichá, nerostoucí na R, konstantní na (−∞, −1 i a h1, ∞), klesající na + h−1, 1i c) h je sudá, není monotonní na R, je klesající na R− 0 a rostoucí na R0 y
y
f(x)
y g(x)
2
1
1
1 -1
x
-1 -1
h(x)
x -1
1
x
2. a) sudá b) ani sudá ani lichá c) sudá d) lichá 3. a) rostoucí b) klesající c) klesající d) klesající na (−∞, 1 i, rostoucí na h1, ∞), není monotonní na Df 4. Grafy periodických funkcí jsou na následujícím obrázku: 85
y 2 -1
y
-2
f(x)
2 x
1 -2
g(x)
x -4
5. Grafy kreslíme postupně, jak je naznačeno:
y
iii ii
1
a)
y
i x ii |x| iii |x|+1
iii i
4 3
c)
y
ii iii
6
x
ii
i y
-1
b) x
i x+3 ii 2(x+3) iii 2(x+3)-2
i
iii
i (x-1)2 2 ii -(x-1) iii -(x-1)2+3
i
3 d)
i x ii x+1 iii |x+1|
1 x
-2
x ii
6. Df = R \ {3}, Hf = R \ {1}; funkce je prostá, stačí ověřit, že pro f (x1 ) = f (x2 ) platí x1 = x2 ; inverzní funkci vypočítáme postupně: f :y=
y+2 3x + 2 x+2 ⇒ f −1 : x = ⇒ f −1 : y = , Df −1 = R \ {1}. x−3 y−3 x−1
7. Df = R, Hf = h1, ∞), Dg = R \ {0}, Hg = R; (f + g)(x) = x2 + 1 +
2 3x3 2 3x3
, x ∈ R \ {0}
, x ∈ R \ {0} (f − g)(x) = x2 + 1 − 3 2 f (x) = 3x (x2 +1) , x ∈ R g 2 , 3x3 = 9x46
(f · g)(x) = (x2 + 1) · (f ◦ g)(x) = f (g(x))
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) =
x ∈ R \ {0}
+ 1 , Hg ⊂ Df , x ∈ R \ {0}
2 3(x2 +1)3
, H f ⊂ Dg , x ∈ R
86
