3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Bilangan Kompleks
Sistem bilangan kompleks dapat dinyatakan secara formal dengan menggunakan konsep pasangan terurut (ordered pair) bilangan riil (a,b). Himpunan semua pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai padanya dapat didefinisikan sebagai system bilangan kompleks (Wibisono, 1975).
Definisi 2.1.1 (Wibisono, 1975) Himpunan bilangan kompleks adalah keseluruhan besaran yang berbentuk a ib atau a bi ,
dengan a dan b bilangan-bilangan riil dan i 2 1 . Jika z (a, b) a ib merupakan suatu bilangan kompleks, maka a dinamakan bagian riil (real part) dari z dan b dinamakan bagian imajiner (imaginary part) dari z yang secara berturut-turut dinyatakan dengan Re(z ) dan Im(z ) . Lambang z yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan kompleks
dinamakan peubah kompleks.
4
Bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari himpunan bilangan kompleks dengan b 0 . Jika a 0 , maka 0 ib atau ib dinamakan bilangan imajiner murni (Spiegel, 1994).
2.2 Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks
Operasi penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.2.1 (Sardi, 2008) Jika z1 a1 ib1 dan z 2 a2 ib2 adalah bilangan kompleks, maka: i. z1 z 2 (a1 ib1 ) (a2 ib2 ) (a1 a2 ) i (b1 b2 ) ii. z1 z 2 (a1 ib1 )(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i (a1b2 a2b1 ) Pada bilangan kompleks juga diperkenalkan suatu operasi yang disebut kesekawanan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.2.2 (Sardi, 2008) Jika z (a, b) a ib , maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis z dan didefinisikan sebagai z (a,b) a ib . Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:
Teorema 2.2.3 (Sardi,2008) i. jika z bilangan kompleks, maka
5
1. z z 2. z z Re( z ) Im( z ) 2
2
ii. Jika z1 , z2 bilangan kompleks, maka 1. z1 z2 z1 z2 2. z1 z 2 z1 z2 z 3. 1 z2
z1 , z 2 0 z2
Bukti: i. Misalkan z a ib , maka z a ib , maka 1. z a ib a ib z 2. z z (a ib)(a ib) a 2 b 2 Re( z ) Im( z ) 2
ii. Misalkan z1 a1 ib1 dan z 2 a2 ib2 , maka 1.
z 1 z 2 ( a 1 ib 1 ) ( a 2 ib 2 ) (a1 a 2 ) i (b1 b2 )
(a1 a 2 ) i (b1 b2 ) (a1 ib1 ) (a 2 ib2 ) z1 z 2
2. z1 z 2 (a1 ib1 )(a 2 ib2 ) (a1 a 2 b1b2 ) i (a1b2 a 2 b1 )
(a1 a 2 b1b2 ) i (a1b2 a 2 b1 ) (a1 a 2 b1b2 ) i (a1b2 a 2 b1 ) (a1 ib1 )(a 2 ib2 )
2
■
6
z1 z 2
z 3. 1 z2
a1 ib1 a 2 ib2
(a ib1 )(a 2 ib2 ) 1 ( a ib )( a ib ) 2 2 2 2
(a a b b ) i ( a1b2 a 2 b1 ) 1 2 1 2 2 2 a 2 b2
(a1 a 2 b1b2 ) i ( a1b2 a 2 b1 )
(a1 a 2 b1b2 ) i (a1b2 a 2 b1 )
2
a 2 b2
2
a 2 b2
2
2
(a1 ib1 )(a 2 ib2 ) (a 2 ib2 )(a 2 ib2 )
(a1 ib1 ) (a 2 ib2 )
z1 z2
, z2 0
■
2.3 Geometri Bilangan Kompleks
Arti geometri dari bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami sebagai vektor di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut dinamakan sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks a ib pada bidang datar xy dapat diidentifikasikan berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik (a, b) (Wibisono, 1975).
7
2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks Untuk sebarang bilangan kompleks z a ib , modulus (nilai mutlak) dari bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.3.1.1 (Sardi, 2008) Jika z a ib bilangan kompleks, maka modulus dari z , ditulis z didefinisikan sebagai z a ib a 2 b 2 . Definisi ini menunjukkan bahwa z merupakan bilangan riil positif atau nol. Arti geometri
z
menyatakan panjang vektor (a, b) , yaitu jarak dari titik asal
O (0,0) terhadap titik z (a, b) .
Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks, yaitu:
Teorema 2.3.1.2 (Sardi, 2008) i. jika z bilangan kompleks, maka 2
1.
z (Re( z )) 2 (Im( z )) 2
2.
z z
3.
z zz
2
ii. Jika z1 , z2 bilangan kompleks, maka 1.
z1 z 2 z1 z 2
8
2.
z1 z1 , z2 0 z2 z2
Bukti: i. Misalkan z a ib , maka 1.
2
z
a
2
b2
a 2
2
b 2 (Re( z )) 2 (Im( z )) 2
2. z a ib , sehingga z a 2 (b) 2 a 2 b 2 z 3.
2
z a 2 b 2 (a ib)(a ib) z z
■
ii. Misalkan z1 , z2 bilangan kompleks, maka 1.
z1 z 2
2
2
( z1 z 2 )( z1 z 2 ) z1 z 2 z1 z 2 ( z1 z1 )( z 2 z 2 ) z1 z 2
Jadi, z1 z 2 z1 z 2 2.
z1 1 z1 , sehingga: z2 z2 z1 z2
2
1 z1 z2
2
1 z1 z2 z1
1 z2
z 1 z2
z1 z1 z2 z2
z z 1 1 z2 z2
z1
2
z2
2
1 z1 z2
2
9
Jadi,
z1 z1 , z2 0 z2 z2
■
2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen Dalam koordinat polar, bilangan kompleks z (a, b) dinyatakan dalam r dan yaitu z (r , ) . Pada gambar 2.1 diperoleh hubungan sebagai berikut: a r cos ; b r sin , dengan: r a 2 b 2 z
: sudut antara sumbu x positif dengan Oz . y z ( a, b)
b
r
O
a
x
Gambar 2.1
Untuk z 0 , sudut dihitung dari tan
b dan untuk z 0 maka r 0 dan a
dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks z a ib dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu: z r (cos i sin )
Definisi 2.3.2.1 (Sardi, 2008) Diberikan bilangan kompleks z r (cos i sin ) . Sudut disebut argumen dari z , ditulis arg z . Sudut dengan 0 2 atau disebut
10
argumen utama dari z , ditulis arg z . Pembahasan untuk a r cos tersebut dipilih salah satu saja. Dengan menggunakan rumus Euler e i cos i sin ,
maka bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi z r (cos i sin ) re i
Penulisan z re i merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z . Selanjutnya bilangan kompleks sekawan dari z adalah: z r (cos i sin ) r (cos( ) i sin( )) re i
2.4 Limit Fungsi Kompleks
Secara formal definisi limit untuk suatu fungsi kompleks f (z ) ditulis sebagai berikut:
Definisi 2.4.1 (Sardi, 2008) Diberikan fungsi f : C C dan misalkan fungsi w f (z ) terdefinisi pada daerah D kecuali di z 0 (titik z 0 di dalam D atau batas D). Limit dari f (z ) adalah w0 untuk z menuju z 0 , jika untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga
f ( z ) w0 , apabila 0 z z 0 ditulis lim f ( z ) w0 . z z0
11
Teorema 2.4.2 (Saff, 2003) Diketahui lim f ( z ) A dan lim g ( z ) B , maka z z0
z z0
1. lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) lim g ( z ) A B z z0
z z0
z z0
2. lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) lim g ( z ) A B z z0
z z0
z z0
3. lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) lim g ( z ) AB z z0
4. lim z z0
z z0
z z0
f ( z) A f ( z ) zlim z 0 , jika B 0 g ( z ) lim g ( z ) B z z0
Bukti: 1. Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka
2
adalah positif.
Karena lim f ( z ) A , maka terdapat suatu bilangan positif 1 sedemikian z z0
sehingga 0 z z0 1 f ( z ) A
2
Karena lim g ( z ) B , maka terdapat suatu bilangan positif 2 sedemikian z z0
sehingga 0 z z0 2 g ( z) B
2
Pilih min{ 1 , 2 } ; yaitu pilih sebagai yang terkecil di antara 1 dan
2 , maka 0 z z 0 menunjukkan f ( z ) g ( z ) ( A B) ( f ( z ) A) ( g ( z ) B) f ( z) A g ( z) B
12
2
2
Jadi, lim f ( z ) g ( z ) A B lim f ( z ) lim g ( z ) z z0
z z0
z z0
2. Berdasarkan bukti 1, maka dapat ditunjukkan
lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) (1) g ( z )
z z0
z z0
lim f ( z ) lim (1) g ( z ) z z0
z z0
dengan sifat bahwa lim kg ( z ) k lim g ( z ) ; k konstanta yang dapat z z0
z z0
dibuktikan sebagai berikut: Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka
k 1
adalah
positif. Karena lim g ( z ) B , maka terdapat suatu bilangan positif 1 sedemikian z z0
sehingga
0 z z0 1 g ( z ) B
k 1
Dengan demikian terdapat suatu sedemikian sehingga 0 z z 0 yang menunjukkan
kg ( z ) kB k ( g ( z ) B) k ( g ( z ) B) k
k 1
Jadi, lim kg ( z ) kB k lim g ( z ) ; k konstanta. z z0
z z0
13
Oleh karena itu,
lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) (1) lim g ( z )
z z0
z z0
z z0
lim f ( z ) lim g ( z ) z z0
z z0
A B
3. Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka
1 adalah 2 g ( z) 1
positif. Karena lim f ( z ) A , maka terdapat suatu bilangan positif 1 z z0
sedemikian sehingga
0 z z0 1 f ( z ) A
1 2 g ( z) 1
Karena lim g ( z ) B , maka terdapat suatu bilangan positif 2 sedemikian z z0
sehingga
0 z z0 2 g ( z) B
1 2 A 1
Pilih min{ 1 , 2 } , maka 0 z z 0 menunjukkan
f ( z ) g ( z ) AB f ( z ) g ( z ) Ag ( z ) Ag ( z ) AB g ( z ) f ( z ) A Ag ( z ) B g ( z ) f ( z ) A Ag ( z ) B g ( z) f ( z) A A g ( z) B
g ( z)
2
g ( z) 1
2
2
A
2 A 1
14
Jadi, lim f ( z ) g ( z ) AB lim f ( z ) lim g ( z ) z z0
z z0
z z0
4. Berdasarkan bukti 3, maka dapat ditunjukkan
lim
z z0
f ( z) 1 lim f ( z ) g ( z ) z z0 g ( z ) lim f ( z ) lim z z0
Dengan lim
z z0
maka
z z0
1 g ( z)
1 1 , yaitu dengan diberikan bilangan positif , g ( z ) lim g ( z ) z z0
1 g ( z ) B adalah positif. Karena lim g ( z ) B , maka terdapat z z0 2
suatu bilangan positif 1 sedemikian sehingga 0 z z0 1 g ( z) B
1 g ( z) B 2
Dengan demikian terdapat suatu sedemikian sehingga 0 z z 0 yang menunjukkan
1 1 B g ( z ) g ( z ) B g ( z) B g ( z)B g ( z)B
g ( z) B g ( z)B g ( z) B g ( z)B
1 1 g ( z) B 2 g ( z) B
2
15
Jadi, lim
z z0
1 1 1 g ( z ) B lim g ( z ) z z0
Oleh karena itu, lim
z z0
f ( z) 1 lim f ( z ) g ( z ) z z0 lim g ( z ) z z0
A B
■
2.5 Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks
Fungsi pangkat didefinisikan sebagai: w e z e a ib e a (cos b i sin b) ,
dengan e 2,71828 adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a bilangan riil positif, maka didefinisikan a z e z ln a , dengan ln a adalah logaritma natural (asli) dari a. jika a=e maka direduksi kembali menjadi w (Spiegel,1994).
Teorema 2.5.1 (Wibisono, 1975) i. Untuk setiap peubah kompleks z1 dan z 2 berlaku sifat-sifat berikut: 1. e z1 z 2 e z1 e z 2 2. e z1 z 2
e z1 e z2
ii. Jika z a ib , maka 1. e z e z 2.
e z e a dan arg(e z ) b
16
Bukti: i. Misalkan z1 a1 ib1 dan z 2 a2 ib2 maka e z1 e a1 (cos b1 i sin b1 ) dan e z 2 e a2 (cos b2 i sin b2 )
1. e z1 e z 2 e a1 e a1 (cos b1 i sin b1 )(cos b2 i sin b2 ) e a1 a2 (cos b1 cos b2 sin b1 sin b2 ) i (cos b1 sin b2 cos b2 sin b1 ) e a1 a2 cos(b1 b2 ) i sin(b1 b2 ) e z1 z 2
2. z1 z 2 (a1 a2 ) i (b1 b2 ) , maka e z1 z 2 e a1 a2 cos(b1 b2 ) i sin(b1 b2 )
e a1 (cos b1 cos b2 sin b1 sin b2 ) i(cos b1 sin b2 cos b1 sin b2 ) e a2
e a1 (cos b1 i sin b1 ) cos b2 (cos b1 i sin b1 )i sin b2 e a2
e a1 (cos b1 i sin b1 )(cos b2 i sin b2 ) e a2
e a1 ib1 ib2 a2 e e e
e a1 e ib1 e a2 e ib2
e a1 ib1 e a2 ib2
e z1 z2 e
ii. Misalkan sehingga:
z a ib ,
■ maka
e z e a (cos b i sin b) e a cos b ie a sin b ,
17
1. Karena z a ib maka z a ib , sehingga:
e z e a ib e a e ib
e a (cos b i sin b) e a cos b ie a sin b
e a cos b ie a sin b
e a (cos b i sin b) ez
2.
e z (e a cos b) 2 (e a sin b) 2 (e a ) 2 (cos 2 b sin 2 b) e a , dan
e a sin b arctan(tan b) b arg(e z ) arctan a e cos b
■
2.6 Fungsi Analitik
Jika turunan f z ada di semua titik z dari suatu daerah , maka f z dikatakan analitik dalam dan dinyatakan sebagai fungsi analitik dalam . Istilah regular (teratur) dan holomorphic (holomorfik) seringkali digunakan sebagai pengganti istilah analitik. Suatu fungsi f z dikatakan analitik di suatu titik z0 jika terdapat suatu lingkungan z z0 sehingga f z ada di setiap titik pada lingkungan tersebut (Spiegel, 1987).
18
2.7 Persamaan Cauchy Riemann
Suatu syarat perlu agar w f z u x, y ivx, y analitik dalam suatu daerah adalah u dan v memenuhi persamaan Cauchy Riemann u v , x y
u v y x
Jika turunan parsial diatas kontinu dalam , maka persamaan Cauchy Riemann adalah syarat cukup agar f z analitik dalam . Fungsi u x, y dan vx, y seringkali dinamakan fungsi sekawan. Jika salah satu dari padanya diberikan maka kita dapat menentukan yang lainnya (terlepas dari suatu konstanta penjumlahan sebarang) sehingga u iv f z analitik (Spiegel, 1987).
