I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

Emelt szintű matematika érettségi feladatsor

Fazakas Tünde, 2005. november

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tünde; dátum: 2005. november I. rész 1. feladat a) Egymillió forint összegű jelzálogkölcsönt veszünk fel 20 évre 15%-os kamatra. Mennyi az évi törlesztőrészlet? (Kamatot mindig csak az aktuális adósság után kell fizetni; kezelési költséget nem számítunk.) b) Hány éven át kell évi 50000 forintot befizetni, ha az utolsó befizetés utáni év végén 1 millió forinttal akarunk rendelkezni? Az éves kamatláb12%. (12 pont) 2. feladat Három városban A-ban, B-ben és C-ben a felnőtt lakosság körében egészségügyi felmérést készítettek. Tudjuk, hogy A-ban az átlagos testmagasság 168 cm, B-ben 166 cm, végül C-ben 165 cm. Az is kiderült, hogy az A-beliekre és a B-beliekre együttesen kiszámolt átlagos testmagasság 166,5 cm, az A és a C város lakóié együttesen 166, míg C és B lakóit közösen vizsgálva az átlag 165,6 cm-nek mutatkozott. Mekkora a három város lakóinak közösen az átlagos magassága? (Feltételezzük, hogy semelyik két városnak nincsen közös lakója.) (13 pont) 3. feladat a) Ábrázolja a derékszögű koordináta-rendszerben az f ( x)

x 1

x 6 függvényt

a -10; 3 zárt intervallumon! b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! (p valós paraméter) x 1 x 6 p c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? x 1 x 6 mx (13 pont) 4. feladat Ez a feladat 1893-ból származik. Egy hajós egy gyorshajón éppen abban a pillanatban látja meg egy kör alakú sziget közepéből kinyúló hegy hófödte csúcsát, midőn a hegy a tengerből kibukkan; ettől fogva a hajósnak 1 nap 12 és fél órára van szüksége, hogy a szigethez érjen; a hajós ismeri hajójának sebességét, amely másodpercenként 1,5 méter; a sziget kerülete 7540 méter; a Földnek félátmérője 6360 km. a) Milyen hosszú hajóút választja el a hajóst a sziget legközelebbi pontjától, amikor megpillantja a hegycsúcsot? b) Mekkora a 7540 m kerületű kör sugara? Mekkora a sziget „sugara”? (A sziget „sugara” a Föld felszínén mérendő. Eltér-e lényegesen a körlap sugarától?) c) Milyen magas a hegy? (13 pont)

1



II. rész 5. feladat Az ABC hegyesszögű háromszög egy tetszőleges belső P pontján át párhuzamosokat húztunk az oldalakkal. Így három kisebb háromszögre és három négyszögre bontottuk az ABC háromszöget. a) Adja meg az ABC háromszög kerületét a kisebb háromszögek kerületének függvényében! b) A kisebb háromszögek területe t1, t2, t3, az ABC háromszög területe T. Igazolja, hogy t1 t2 t3 T! (16 pont) 6. feladat a) Oldja meg a sinx = cosx egyenletet! b) Tekintsük a 0; /2 intervallumon a sinx és a cosx függvények grafikonját! A két grafikon metszéspontjában mindkét grafikonhoz érintőt húztunk. Írja fel a két érintő egyenletét! c) A 0; /2 intervallumon megrajzoltuk a sinx és a cosx függvények grafikonját. Határozza meg a két függvény grafikonja és az y-tengely által határolt görbe oldalú „háromszög” területét! (16 pont) 7. feladat A H alaphalmaz az 1000-nél nem nagyobb pozitív egész számok halmaza. Az alaphalmaz három részhalmaza A, B és C, A a 3-mal, B az 5-tel, végül C a 7-tel osztható számok halmaza. a) Hány eleme van az A, a B illetve a C halmaznak? b) Hány elemű az A  B halmaz? c) Hány olyan 1000-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely 3-hoz, 5-höz és 7-hez is relatív prím? (16 pont) 8. feladat A könyvkötő üzemben egy nap 1000 db kötetet kötöttek be, amiből 40 db selejtes volt. A minőségellenőrzésnél véletlenszerűen kiválasztanak 20 darabot az 1000-ből. a) Hányféle kiválasztás lehetséges? b) Hány olyan kiválasztás lehetséges, amikor a 20 kiválasztottnak a fele selejtes? c) Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott könyvek közül legalább egynek selejtes a kötése? d) Jelöljük pn-nel annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott kötetek között n db selejtes van. Mely n értékre lesz pn maximális? (16 pont)

2



9. feladat a) Írjon a 3 és a 5 közé két számot úgy, hogy egy számtani sorozat négy szomszédos tagját kapja! b) Írjon a 5 és a 7 közé két számot úgy, hogy egy mértani sorozat négy szomszédos elemét kapja! c) Mutassa meg, hogy a 3 , 5 , 7 számok nem lehetnek egy mértani sorozat elemei! (Még úgy sem, ha nem szomszédosak.) d) Igazolja, hogy nincs olyan számtani sorozat, amelynek a 3 , 5 , 7 számok mindegyike eleme! (Nem feltétlenül szomszédosak.) (16 pont)

3



Fazakas Tünde 2005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója 1. feladat a) x az évente kifizetendő részlet: 10

6

1,15

20

x 1,15

19

1,15

18

... 1

1,15 20 1 x 0,15

3 pont Ebből x

150000 1,15 1,15 20 1

20

. 2 pont

x 159761,5 forint a törlesztőrészlet. 1 pont a) részre: 6 pont b) 10 6

50000 1,12 1,12 2

.... 1,12 n

50000 1,12

1,12 n 1 1,12 1

2 pont 20 0,12 1 1,12 n 1,12

1 pont

lg n

2,4 1 1,12 lg 1,12

10,10 2 pont

11 éven át kell fizetni. 1 pont b) részre 6 pont Összesen: 12pont 2. feladat Az A városnak a, B-nek b, C-nek c lakója van. Az átlagokra vonatkozó ismereteink alapján a következő egyenletrendszer írható fel: 168a 166b 166,5 a b 168a 165c 166 (*) a c 166b 165c 165,6 b c 6 pont Ebből azt kapjuk, hogy b = 3a, c = 2a, 2b = 3c. (**) 3 pont

4



A legutolsó egyenlet (2b=3c) az előző kettő hányadosa. A (**) egyenletek azt is mutatják, hogy a (*) egyenletrendszernek van a pozitív egészek körében megoldása, léteznek a feladatnak megfelelő lakosságadatok.1 1 pont A három város lakóinak együttes átlagos magassága: 168a 166b 165c . a b c 1 pont 168a 498a 330a Behelyettesítve: 166 . 6a Tehát az átlagos magasság 166 cm. 2 pont Összesen: 13 pont 3. feladat a) A függvényt megadjuk az abszolút értékek felbontásával is: f ( x) x 1 ( x 6) 7, ha x 1 ; 1 pont

f ( x)

( x 1) ( x 6)

f ( x)

( x 1) ( x 6)

2 x 5, ha 6

x 1; 1 pont

7, ha x

6. 1 pont

(Ennek a felbontásnak az a) vagy a b) részben szerepelnie kell.)

6

4

2

-10

-8

-6

-4

-2

2 -2

-4

-6

2 pont b) p < -7 vagy p > 7 esetén nincs megoldás; 1 pont p = -7 esetén x 1 ; 1 pont p = 7 esetén x 6; 1 pont 1 p 2,5 . -7< p <7 esetén x 2 1 pont c) m 0 esetén 1 megoldás; 1 pont 7 / 6 m 0 esetén 3 megoldás; 1 pont m = -7/6 esetén 2 megoldás; 1 pont m <-7/6 esetén 1 megoldás van. 1 pont Összesen: 13 pont

1

A (*) egyenletrendszer bal oldalán lévő számokat könnyű úgy módosítani, hogy ne legyen megoldás. Az átszorzás után adódó lin. egyenletrendszernek ugyanis általában csak az a=b=c=0 triviális megoldása van.

5



4. feladat a) 1 nap 12 és fél óra = 131400 másodperc 1 pont A sziget legközelebbi pontja 131400·1,5 = 197100 méterre van. 1 pont b) A kör sugara 7540 / 2 , körülbelül r = 1200 méter = 1,2 km. 1 pont Tekintsük a Föld egy főkörét! Az 1200 méter sugarú kör átmérőjéhez mint húrhoz tartozó középponti szög 2 . 6360sin =1,2, ebből = 0,00019 radián. A sziget R „sugara” a középponti szöghöz tartozó ívhossz, R = 6360 1,2 km, alig tér el a lap sugarától. 3 pont Megjegyzés: Utóbbi 3 pont akkor is jár, ha a jelölt „fizikus” megközelítéssel arra hivatkozik, hogy kis (pozitív) szögekre a szög szinusza jól közelíthető a szög radiánban kifejezett nagyságával, ezért a sziget „sugara” lényegében megegyezik a kör sugarával. c) A hegy magasságát m-mel jelöltük, a hajót H-val, a Föld középpontját K-val. 2 pont C CHK derékszögű háromszögben (6360 + m)·cos = 6360, 2 pont m ahonnan m-et meg fogjuk tudni határozni, ha a szögeket s ismerjük. Az középponti szöget a hajó útja és a sziget sugara alapján kaphatjuk meg. Mivel a hajó és a sziget középpontjának H földi távolsága s = 197,1 + 1,2 = 198,3 (km), így m k 198,3 . K 2 2 6360 2 pont = 0,031 radián 1 pont Visszahelyettesítve a magasságra körülbelül 3093 méter adódik. 1 pont Összesen c) rész: 8 pont A 4. feladatra összesen: 14 pont km

km

R r

6



II. rész 5. feladat a) Ábra készítése: 1 pont A négyszögek paralelogrammák, mert van két párhuzamos oldalpárjuk. H G 1 pont A paralelogramma szemköztes oldalai egyenlőek, ezért P I F 1 pont IP = AD; PF = EB, PE = BF, PH = GC, GP = CH, PD = IA. 1 pont B Így a kis háromszögek kerületének összege pontosan az ABC D E háromszög kerületével egyezik meg. 2 pont a) rész: 6 pont b) DEP háromszög hasonló ABC-hez, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak. A területük aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével. t1 DE C

A

AB

T

2 pont Ugyanígy IPH és ABC is hasonló egymáshoz. Oldalaik aránya megegyezik a területük négyzetgyökének arányával. Továbbá ADPI paralelogrammában IP = AD. t2 IP AD

T

AB

AB 2 pont

Hasonlóan kapjuk, hogy t 3 PF EB . AB AB T 2 pont A három egyenletet összeadjuk: t3 t1 t2 1 T T T 3 pont Átszorzás után kapjuk a bizonyítandó állítást. 1 pont b) rész: 10 pont Összesen: 16 pont

7



6. feladat a) x = /4 + k , ahol k egész. 2 pont b) A metszéspont: P

4

;

1

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

Az érintő egyenlete: y

1

0.8

0.6

2

.

1 pont A sinx függvény grafikonjához húzott érintő meredekségét a deriváltból kapjuk: 1 cos . 4 2 2 pont Az érintő egyenlete: 1 1 y x . 2 4 2 2 2 pont A cosx grafikonjához húzott érintő meredeksége a (cosx)’= - sinx deriváltból: 1 1.5 . 2 1 pont 1 1 x . 2 4 2 2 1 pont b) rész: 7 pont c) A területet úgy kapjuk, hogy a cosx függvénygörbéje alatti területből kivonjuk a sinx görbéje alatti területet a megfelelő intervallumban. 1 pont A területet integrálással határozzuk meg. 1 pont 4

0.4

cos xdx 0

sin

sin 0

4

1 2

0.2

2 pont 4 0.2

0.4

0.6

0.8

sin xdx

1

0

cos

4

cos0 1

1 2

2 pont A keresett terület:

2 1.

1 pont c) rész: 7 pont Összesen: 16 pont

8



7. feladat a) Rendre 333, 200, 142. 3 pont b) A-nak és B-nek együtt 533 eleme van, de ekkor a közös elemeket kétszer számoltuk, 1 pont ezért a metszet elemszámát le kell vonni. 15-tel osztható szám 66 van. 1 pont Így az uniónak 467 eleme van. 1 pont b) rész: 3 pont c) Az A B C halmaz komplementerében találhatóak a 3-hoz, 5-höz és 7-hez relatív prímek. 2 pont Először az unió elemeinek számát határozzuk meg. A b) részhez hasonlóan járunk el. 1 pont A B C A B C A B B C C A A B C 333

200 142

66

28 47

9

543

6 pont A komplementernek 1000 – 543 = 457 eleme van. 1 pont c) rész: 10 pont Összesen: 16 pont 8. feladat 1000 a) 20 1 pont b) 10 jót és 10 hibásat választunk:

960

40

10

10 2 pont 960

c) Annak, hogy nincs selejtes a kiválasztottak között

20 a valószínűsége. 1000 20

2 pont Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott könyvek közül legalább egynek selejtes a 960 20 kötése 1 . 1000 20 1 pont

9

Emelt szintű matematika érettségi feladatsor d) 0

pn


n 20 egész 40 960 n 20 n 1000 20 2 pont

Belátjuk, hogy p n

pn 1 .

1 pont Mivel a nevezők megegyeznek, elég csak a számlálókat vizsgálni. 1 pont 40! 960 ! n! (40 n)! (20 n)! (940

n)!

40! 960 ! (n 1)! (41 n)! (21 n)! (939

n)!

1 pont A számlálókkal egyszerűsítünk, a nevezőkkel keresztbe szorzunk. Rögtön a faktoriálisokból is egyszerűsítünk. 41 n 21 n n 940 n 3 pont Beszorzás után a négyzetes tag kiesik. 861 62n 940n 1 pont Ez minden pozitív egész n-re teljesül, tehát annak a legnagyobb a valószínűsége, hogy nem vettünk ki selejtet. 1 pont d) rész: 10 pont Összesen: 16 pont 9. feladat 5

a) A szokásos jelölésekkel: d

3 3

. 1 pont

A négy szám:

5

3,

2 3 2 5 , 3 3

3

, 5.

1 pont b) q

3

7 5

6

7 . 5 1 pont

A négy szám:

6

2

6

2

5, 7 5 , 7 5, 7 .

1 pont c) Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, van ilyen mértani sorozat. Ekkor léteznek 5 7 és q k olyan k és n pozitív egészek, melyekre q n . 3 5 1 pont

10



A két egyenlőséget k-adik illetve n-edik hatványra emelve:

q

nk

5 3

k

n

7 . 5 1 pont

Rendezés és négyzetre emelés után: 5k + n = 3k˙7n. 1 pont Mindkét oldalon egész szám áll, a bal oldalon egy 5-tel osztható, a jobb oldalon viszont egy 5-tel nem osztható. 1 pont Ellentmondás, tehát a feladat állítása igaz. 1 pont c) rész: 5 pont d) Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van olyan k és n pozitív egész, melyekre 5 3 7 5 d . n k 1 pont 5 3 Tehát a hányados egyenlő lenne egy r racionális számmal. 7 5 1 pont 3 r 7. Ebből 1 r 5 2 pont 2 2 3 7r 2r 21 . Négyzetre emelünk: 5 1 r 1 pont A bal oldalon racionális, míg a jobbon irracionális szám áll, hiszen r 0 és 21 gyöke irracionális. 1 pont Ellentmondást kaptunk, tehát a feladat állítása igaz. 1 pont d) rész: 7 pont Összesen: 16 pont

11

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

Recommend Documents