UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Kedua Sidang Akademik 1994195
April
1995
MAT 413 - Aliabar Moden
II
[Masa: 3.Jam]
Jawab SEMUA ketiga-tiga soalan. Soalan I (f-25) dan Soalan dengan kertas jawapan yang disediakan di belakang buku ini.
Soalan
I
II
(26-50) dijawab
U0A Markah)
Bagi setiap subsoalan berikut, pilih jawapan yang paling sesuai. Pilihan X bermakna semua jawapan yang diberi di hadapan tak sesuai.
I
Diberi o =
(a) (b)
(t 2 8) g 3J **" [i
lAl= :z
A3+A2=6
f,)
(c)
penyelesaian unik jika a+b+ c =O AX =l b lmempunyai
(d)
set vektor lajur
\c/
t
dariA adalah suatu
asas
bagi ft3
o ol [o o o)
f (e) b.e.b.t.A=10 I ll
2.
(t z
Diberi B =14
[z
5
B
3'\
6 I. Makasalah e)
satu pernyataanberikuttakbenar:
(a)
w={X e n'lrx =6}=dim(W)=1
(d)
B berpepenjuru hasiltanrbah nilaieigen B = 15 set vektor lajur dari B bersandar linear
(b) (c)
(e)
x
r+7
MAT
3.
Set vektor berikut tak bersandar linear:
(a)
r'
l, [el, [;]i t[?l v)(.s / '
(b) {.1(; zr z) ?l* = a} L l[r )
(c)
i(e ?
; B),(i
;),[?
(d) {A. Mr,rle uaa*t ortogon} (e) fA. Mr,rla ucututt singuhr] 4.
W
c Mrrr.
(a)
s
{^l^
serupa
0",**
{^1, (e)= (;)}
(e)
X
*
(l
(d)
{^1,
(l i)= (l ;)^}
, ={U, ':;:)1", u,.. ni a-
dim (UnI4z)
3
?
(b) {a I lal= o}
?)i
={(::,,;i ,l,_;i.)i", r, ,. n}
(a)
3)l
W adalah suatu subruang bagi Mt*2 jikaW =
(c)
Diberi
ro)(to
0 1,J' t0 o
-
dim (lt) =
(b)
4
Maka dirn (U + !I/) +
?
(c)
(d)
s
6
(e) x
0
-1 --t
6.
-2
(a)
I
(b)
2
+lti]1",..^] (c)
Maka dim (l{1 =
(d)
3
iqa
4
(e)
2
x
4I3
I,!AT 413
7.
(t9rq\ Diberio=ll
'rZ
[z o z
(a) (b) (c)
fr1,r"n", o)
lAl=2O 0 adalah salah satu nilaieigenA hasildarab semua nilaieigen ialah -20
(r)
(d) lr suatu vektoreigen dari A | O l"dA"n I
(e) 8.
Diberi
\0/
x
) [') ['')
t,')
[ t.o')=101, r=l0l f3) u=l-t ' l, v=lOl, w=lll l,p=l!l,q '[oJ-l.o/
roj [r./ [r.l
[tl
berikut adalah bersandar linear serta minimal.
(a) {u, r, p, q, r} (d) Iu, r, w, pI
g.
Diberi
1b) {u, r, p, (e) X
la*i,frl=-I3 +g* -Z)r.
q}
Maka
set
(c) {u,r, p}
Maka salah satu pernyataan berikut tak
benar:
(a) lAl = o (c) pangkat (e-l)
10.
(b) A - 3I aderlah tak singular (d)
A berpepenjuru
A adalah matriks 3 x 3 yang mempunyai set 3 vektoreigen yang tak bersandar linear. Maka:
(a)lAl*o (d)
(u)lal=o
(t 1 o) (c)A=lo l ol [0 0 2)
A mempunyai 3 nilaieigen yang berlainan
14e
(e) X
MAT
11.
Diberi matriks Soloman
(a)
(c)
t2.
[i il
7)
(d)
6 l. Maka A=?
(r z 3)
1l l2 3 | 2)
hro)hro) o olelr o ol
lr p 0 r) p 0 r) (t
o
3|)d*A-'BA=F
3
o)
A=B
(c) set nilaieigen dari
Br
iatah {1,
v,
6+|
(e) x
?j "*" (b) In-ul=le-ul (d) le (ao.; n)l* o
x (z
13.
[s |
[3
A-t
Diberio=[3
(e)
2')
8
(b)
?r
(a o
(a)
(g 4
A=13
Diberi o =
2r)
3 lldan
[l 2 z)
diketatrui
la-Ul=-(1.-5)
(t-1)'.
serupa dengan:
(a)
(d)
14.
4I3
(s A
lo 0r [0
13)
ol r)
(t 1 1) 14 4 4l
\5 s
s)
Diberi I:Ra
+
(b) (e)
l0 I 0l [00s)
(c)
(t
o
l0 s [00
o) 1l
s)
x
ft-r-rr) 1 -2 I lX.
7(X) =l
1
Maka:
(b) Iadalatr menyeluruh (d) dim (R, ) = +
(e) X
R3 sedemikian
(a) Tadalahl-1 (c) dim (lrr)= s
(r I o)
u I I
4i5o
o)
Maka A
MAT
+ R3 suatu transformasi linear fo) [r) [s') rl o l= rl t l= rl o l=l g l. Maka: (.ol [oj (stj
15. Diberi
[t) trj
16.
T:R3
(a)
?adalah 1-
tc)
f'.) f') rls l:ls I
1
t8,l [8]
(b)
Tadalahmenyelurutr
tal
dim(nr)=t
t[i)=f:
Diberi r:Rz -+R2 sederniki*
u/ [x
(e)
4I3
sedemikian
x
-l). **asalah satupernyataan -v)''
berikut tak benar:
1b) Nr = Rr (e) X
(a) Nr = Rr (d) dim (nr, )= t
(c)
oim (lrr, )= z
L7. Diberi Z:R' -+ R" sedemikian Zi.X)= AX; A={v1, ..., v,}
t = {, (r, ),
.
.., r (r) }.
Oan
vrur.u,
(a) Atbl+8tbl (b) Bbl=rAbl (c) [t(r,), ..., T(u,)] singular => [u,, ..., vn] singular (d) B tbl =+ T adalah 1-l (e) x
,8
Diberi r:R3 -+ R2 sedemi.(,
r.\ r(X)=U ;h i)*
(a)
I
(b)
3
,
'[i]=(3) '[jj=(?) '[s]=G)
Makaa+b+c+d+e+f -?
(c)
s
1El
(0) t
(e) X
.*
MAT 413
19.
Fungsi Tberikut bukan transformasi linear:
(a)
(b) (c)
T;
+
Mr,,
R3 sedemiki
t
ffi
T (X) = 3X
Mz,zsedernikian
r:R2 +R2 sedemiki*
t,"l =(l
r(|,)=(;),
'o)*
.*
'(?)=(?)o*
(d)
vektor lain dari R2 T; Mr,, 1 Mz,z sedemikian T (A) = A+
Diberi
rR3 +
(e)
20.
T:.R3
'(;)=(;)r*'
Ar
x
R3 sedemiki
i 3lt ^rr*r=17 t0 0 r)
u*
B adalah suatu asas
tertib bagi R3, Maka:
(zzo) (a) frl, =[A t, ?)
(b) ltrl, - ul = {r-
1)
r (}.-4)
(c) [rl, uerpePenjuru
I (d) [r]u serupau""r*[? (s | (e)
zr.
?l 7)
x
f(o I1 z)f')l I ll yllr,r,z€RfI dan
Diberi u=11-1
L[o -1
-z)\r)l
I z.\ -l 1 lx =01;
I lt'o 1 w=lxll-r I l(.0 -r A dan B
adalah asas
-2)
)
T:U -+W adalahsuatutransformasiiinear;
)
tertib bagi IJ dan IVmasing-masing. Maka saizlTf *
ialah:
(a) IxZ
(b) 2xl
(c) ZxZ
a52
(d) 2x3
(e) 3x2
I,IAT
22.
+V
Diberi T:V bagi V. Maka:
(a) lrl* (x)n (c) [r] o = lr)
=(x),
Matriks A berikut mewakili suatu putaran jika
,_\ (a)
(-t o)
H5 (.-t J7) r
1_)
,,.{\ (sin 0 (d)
[*i0
cos0) (e) /sin0 0 -cos 0/ [sin
-cos^0') sin o-J
Pantulan Ms (s:I7y+49x=O) diwakili dengan
a*b-c+d =? (a)
25.
0
asas tertib
A=2
,L\ ! (b)
[o r) t (t I ) (c) E [i :r)
24.
A dan.B adalah
(b) [r]n (x)o =(r(x)), (d) [r]n [r]* = [r] , [11 oo
"
(e) x
23.
adalah suatu transformasi linear:
4I3
(b) 1
(c)
z
(d)
e il
3
Maka
(e) X
Diberi A(4,
5)
B(2,3)
tl D(o,
-3)
c(1, l)
Maka luas imej dari
empatsegi
p(?)
[l
(a)
RxQ) K,(4)
140
M,o1o,rl r
(b) 160
?)"1@) E,(5) iarah:
(c) 180
L53
z
ABCD di bawah
(d)
200
(e) X
fungsi
MAT
Soalan
llQ00
4I3
Marlcah)
Arahan setrrcrti Soalan I.
26.
Salah satu pernyataan berikut adalah benar.
(a)
R* (4) Kr (5) mengekalkan luas
(b)
I (r -1\ {E [-1 -iJaoatan
(c) t(;)=(;ll) panjang
(d)
n[to, r),
(a)
28.
suatu rransformasi linear yans mensekatkan
""*
ri.X) = AXdengan Ar = A mengekalkan panjang
(e) .f
27
suatu isometri
/r\
"l
=(l ?)" *"nrekalkan sudut (?)= ? (s:
;]r,
[6]
cu)
fo\
l.;J
]=x+r)
(c)
(o
)
[iJ
(d) Gr\ tr
(e) x
]
Salah satu pernyataan berikut adalah salah:
(a)
MsMt--Ir
r\ ( r\ = * (, n) (b) R ([0, ;JR [.0, ;J [0, t,,| (c)
MrM^ = R (0, r) jikagdanft adalahpaksiXdan
(d)
( n\ *P' ;)*
(e)
x
r = M r^
f n\ [o' ;J,
8
s adalahpaksi
154
x
Ymasing-masing
MAT
(t
2e. [t l)*"**** y-Zx=lkey-mx-c=0. (a)
I
(b)
1l
(c)
t
c,/ - ,t Maka /m-' 1
(d)
3
(e) x
;+
Diberi S={v,,..., u,,}cR', 0e SdanS adalah
suatu set ortogen. Maka
salah satu pernyataan berikut tak benar:
(a)
S adalah suatu asas bagi
(b) matriks [u, , ..., v,] tak singular (d) ,9 menentangkan R'
R'
(c) ,t tbl (e) x
31.
f(z 4 z
Diberi
Maka dim
(a)
32.
r)
* tl. i z [\-2 4 -2 7)
n=llt
=
^'l
(wr nw) + oim (w +W)=7
1
?:R3 -+ R3
(b) 2
(c)
kian ?(X) = sedemi
semu,ajadidan B,
={#
(d) 4
3
| (l
-1
17[?
?
[{] + t{j
0
-l0 I ^12
(a) fTf adalah ortogon (b) lTf ".,r, u, = B, (c) lTlr, =lT)r, (d) set vektor lajur dari [/] u,* adalah ortogon (e) x
r
lrJtJ
4I3
(e) x
')
,8, adalah suatu
).
(o)l Maka:
rJJI
MAT 4I3
33.
T:R3
+R3
sedemikian
(t z r)
T(X)=la 5 6lX
v
ortonormal bagi R3. Maka:
Z (t 4 7') (c) lrl"=12 5 s 6 e)|
(a)
dim
8
(b)
(lrr)=
e)
dan
Tadalah
B
adalah suatu
ilsas
l-l
(d) [71" adahnorbSon
(3
(e) [fl" tat singular
34.
Ae M,,,,o (a)
[j)=(f,).*^ [i)=(i)=
pangkat (A)
(t r\ (d) o=[i
(b)
=z
(") (i)=(1) ^
Diberi A dan B adalahmatriks 3 x 3 dan AB adalah ortogon. Maka:
(a)
p*sk1(ar)
<
(b)
N{ =l f; l,*
konsistenj ika a+b*c< 0
(c) (d)
set vektor lajur dari B bersandar linear
(e)
36.
I
(e) x
4)
35.
pangkat (e) =
Diberi
r
['J
AB serupa dengan BA
x
(t o) O e=l4 -i -1 o 2)l.
[o
(a) Aa*3A3 (c) (at * 2A2 -rca\ x
Maka salah satu pernyataan berikut tak benar:
= 6 =+ x =
0
(e) x
rl56
(b) la-rl=o (d) Aberpepenjuru
},IAT
37.
Diberi {u,
4I3
,, rv} tbl. Maka:
(a) {u+v-2w, u-v-w, u+w}bl (b) {u+v-3v,, u*3v-w, 2v+Zw} tAl (c) {u-Zv+w,2u-v-3w, u+v-+w} tVl (d) {u+3v+4w, -2u+4v+2w, 3u-5v-Zw}bt (e) {2u,3v+w, u-w}at 38.
A dan B adalah matriks n x n. Maka salah satu pernyataan berikut tak benar:
(a) (b) (c)
A+ Ar berpepenjuru
secara ortogon
A berpepenjuru secara ortogon
A dan
+
I +A berpepenjuru
secara ortogon
I berpepenjuru secara ortogon + AB berpepenjuru secara
ortogon
(d)
(e) 39"
Diberi
A dan Bberpepenjuru secaraortogon
+ A+ B berpepenjuru
secara
ortogon
x
'
(8- |'
a=* l-.J3 16[o
4')
J|l . -z Jr)
Maka salah satu pernyataan berikut tak
benar:
(a) (e' L'e')'*' - (A'A' A'\"0' (b) set vektor lajur dari A adalah suatu asas ortonormal bagi R3 (c) T:ft3 -+ R3 sedemikian T(X) = A-lX mengekalkan sudut (d) A berpepenjuru secara ortogon (e) x
15 7,,
MAT 4I3
40
Diberi
"'
,,=li[.i] +[,,l [i]i
|''ft) 'It)j' 'fl']l 1#[;,J' c[; ;61,jl
=
dan
adala}r asas tertib bagi R3. Maka salah
satu pernyataan berikut adalah salah:
(a)
fI\o,r,
(b)
(ul*,, )'
adalah ortogon
= [/]",,,
v,
(c)
flfr,r,
=
-/r, 2/-
/40
/, -/a
/no
/ta
/tt
(d) T:R3 -> R3 sedemikian f(X) =fl|",",(X). 171",
(e)
41.
Maka
=lr7r, (trlr,r, )'
x
DiberiA matriks simetri 3 x 3; It, v, w*6;Au=2u,Av = 3v dan Aw=4w; T:R3 -> R3 sedemikianT(X)=
l" v
A)(i, =t6i' i;i,
wl
Maka salah suatu
itl
pernyataan berikut tak benar:
(b) B adalatr suatu asas ortonormal bagi R3 (a) u.v = 0 (c) [T]u berpepenjuru (d) B adalah ortogon (e) set nilaieigen bagi [f]" iatatr {2, l, +l
42.
Diberi T:V
+V
(a) (b) (c) (d)
(n')+dim (ry')= dim (R" * Nr)
suatu transformasi linear dan Rr suatu pernyataan berikut tak benar:
dim (R, + Nr)= dim (V)
r'(v)=6c+ve N, 7 adalah 1-1
oim
(e) x i5B I2
ANr
=
{6}.
Vtatca salah
I'{AT 413
43"
Diberi A dan B matriks n x n sedemikian AB adalah ortogon. Maka:
(a) (b)
8A adalah ortogon A dan B adalah ortogon
(c) ATBTAB=l (d) len -ul (e) x
44.
= lra
- ul
0\ R-r AR =(4'.'.a^] tvtuuasalahsuatu Diberi R (n x n) tak singular dant R-'AR=[d pernyataan berikut tak benar:
(a)
{Re,, Rer, "..
R€n,
i
adalatr suatu asas bagi rR" , {e, adalah
vektorunit
yang berlainan)
(b) (c) (d) (e) 45.
Re, adalah vektoreigen dari A
sepadan dengan nilaieigen d,
set vektor lajur dari A tbl
lAl= d, ... d, Atut beqpepenjuru
Salah satu pernyataan berikut adalah benar:
(a) A2=6=+A=0 (b) A dan B simetri + AB simetri (c) A ortogon dan B simetri = AB ortogon atau simetri (d) wujud matriks yang simetri, simetri pencong dan ortogon (e) x 46.
Salah satu pemyataan berikut adalah benar:
(a) (b) (c) (d)
(e) 47.
B= Pr AP, P' = P-t, A' = A+ B berpepenjuru A simetri dan simetri pencong AAr adalah ortogon A+ Ar adalah ortogon
+
A2 =
secaraortogon
I
x
A adalah matriks ortogon dan simetri (3 x 3). Maka:
(a) le-+|:o
(r o o) [ooo)
16)
le'*tl=s
(d) A=10 2 0l (e) X
1fir)
(c) Az+A=I
MAT
48.
/\
C=1r,,) adalahrnatriks3x3, cii=a, o,,=U*0jika ortogon. Maka hasil tambah semua ci = ?
(a)
49.
(b) -2
2
T:R3
+
(c)
(d)
-3
R3 adalahtransformasi linear sedemikian
S adalah satu asas tertib bagi
(a)
T adalah
(c)
ltrl" -Ml = f, dim (lr,)= z
(b)
3
i* j
f *6
4I3
dan Cadalah
(e) x dan T2
=6
.
R3. Maka:
1-l -31J +31'+1
(t o o) o (d) [rl, =lo -1 o [o r)
I
(e) x
50.
T:Rz ->R2 sedemiktanT(x) = AXi7adalah 1-1 dan AzX = Ax V
(a) (b) (c) (d) (e) Soalan
le' -/l=
x e R2
o
h2) o=[.o 4)
la - Ul =7'] +2?,] +l AX = 0 mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian dim (lrr)=z
lll(ru0
Markah)
Jawab SEMUA bahagian.
(a) (b)
u
wadalah subruang bagi (UnI4f + dim (U + lry). dim dan
Buktikan dim (u) + dim (IV) = (40/100)
A adalah matriks 2 x2. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut adalah
(i) (ii) (c)
R'.
setara:
Ar=A A berpePenjuru secara ortogon
T:V+ V adalah suatu transformasi linear sedemikian w ={, I rCrl = u}. Buktikan N. +W =V '
,i60
(40/100) Tz
=7.
Katakan
(20/100)
MAT Bil. Tempat Duduk: Angka Giliran: (gunal
(gunakan hurufl
Tajuk Kertas:
Kod Kertas; (sebagaimana yang dicemk di atas kertas soalan)
Tempat (Pusat Peperiksaan)
pagi
Tarikh:
:
-Ikat kertas jawapan ini di atas kulit skrip Peperiksaan bersama dengan jawapan
SOALAN
III. SOALAN
(a)
(b)
(c)
I
SOALAN (d)
(e)
(a)
I
26
2
27
1
28
4
29
5
30
o
3l
7
32
8
33
9
34
t0
35
il
36
12
37
t3
38
l4 l5
39
40
t6
4L
t7
42
18
43
19
44
20
45
2l
46
22
47
48 24
49
,){
50
i.61
''
(b)
II
(c)
(d)
(e)
4I3
