HYBRID MARS – TIME SERIES PADA PEMODELAN STATISTICAL DOWNSCALLING Studi Kasus: Stasiun Losarang 1
Bisyri Effendi, 2Sutikno, dan 3Bambang Widjanarko Otok 1 Mahasiswa S2 Jurusan Statistika FMIPA ITS 2,3 Dosen Jurusan Statistika FMIPA ITS e-mail : 1
[email protected],
[email protected] ,
[email protected] ABSTRAK Salah satu permasalahan utama pemodelan Statistical Downscaling (SD) luaran GCM adalah mendapat metode regresi yang bisa mengatasi adanya hubungan non-linear, dimensi variabel prediktor (GCM) cukup tinggi dan adanya kasus autokorelasi. Dalam penelitian ini digunakan metode principal component analysis (PCA) dan robust principal component analysis (ROBPCA) untuk mereduksi dimensi sebagai pra-pemrosesan data. Metode Hybrid Multivariate Adaptive Regression Splines dan Time Series (HTS-MARS) digunakan untuk menghubungkan variabel respon dan variabel prediktor dan mengatasi adanya autokorelasi, pengujian autokorelasi dengan uji Ljung – Box dan uji reset. Berdasarkan kreteria R2 dan RMSEP, pemodelan SD di Stasiun Losarang pada domain 8x8 dan 12x12 dengan pendekatan metode HTSMARS(ROBPCA) lebih baik dari pada dengan pendekatan metode HTS-MARS(PCA) maupun regresi berganda (PCR & ROBPCR). Life time model SD dengan pendekatan metode HTS-MARS (ROBPCA) dengan domain 8x8 dan domain 12x12 dapat diperoleh dengan melakukan validasi beragam yaitu, 3 bulan ,6 bulan dan 12 bulan dan hasil validasi menunjukkan bahwa pemodelan SD di Stasiun Losarang pada domain 8x8 dan 12x12 dengan pendekatan metode HTS-MARS(ROBPCA) baik digunakan pada validasi 3 bulanan. Hasil ini memberikan gambaran bahwa metode HTS MARS berpotensi meningkatkan akurasi ramalan dalam pemodelan SD Kata Kunci : GCM, SD, MARS, Time series, PCA, ROBPCA
ABSTRAC One major problem of Statistical Downscaling (SD) modelling outcome GCM is a regression method that can solve non-linear relationship, quite high dimension of predictor variables (GCM) and autocorrelation case. This study used principal component analysis (PCA) and robust principal component analysis (ROBPCA) method to reduce dimensions as pre-processing of data. Hybrid Multivariate Adaptive Regression Splines and Time Series (HTS-MARS) method used to relation response variable and predictor variables and solve the autocorrelation, autocorrelation test with Ljung – Box test and reset test. Based on the criteria R2 and RMSEP, SD Losarang Station modelling on the domains 8x8 and 12x12 approache with HTS-MARS (ROBPCA) method better than HTS-MARS(PCA) method and multiple regression (PCR & ROBPCR). Life-time SD modelling approache with HTS-MARS (ROBPCA) on the domains 8x8 and 12x12 can be obtained by performing a variety of validation that is, 3 months, 6 months and 12 months and the validation results show that SD Losarang Station modelling on the domain 8x8 and 12x12 approache with HTS MARS (ROBPCA) method used in both validation of three months. This result suggests that the method of HTS MARS potentially improve the accuracy of forecasts in the SD modeling.
Keywords: GCM, SD, MARS, Time series, PCA
1
1. Pendahuluan Global circulation models (GCM) adalah suatu model berbasis komputer yang terdiri atas berbagai persamaan numerik dan deterministik yang terpadu dan mengikuti kaidah-kaidah fisika. GCM merupakan alat prediksi utama iklim dan cuaca secara numerik dan sebagai sumber informasi primer untuk menilai pengaruh perubahan iklim (Wigena, 2006). Namun informasi GCM masih berskala global, sehingga untuk memperoleh informasi skala lokal dari GCM masih sulit, untuk itu upaya regionalisasi perlu dilakukan yaitu dengan menggunakan teknik downscalling. Teknik downscalling merupakan suatu proses perpindahan dari skala besar ke skala kecil. Salah satu teknik downscalling adalah statistical downscalling (SD). SD adalah suatu proses downscalling yang bersifat statik dimana data pada grid-grid berskala besar dalam periode dan jangka waktu tertentu digunakan sebagai dasar untuk menentukan data pada grid berskala lebih kecil (Wigena, 2006). Data iklim (seperti curah hujan) umumnya bersifat non-stasioner dalam ruang dan waktu, dinamik dan non linier, menyebar non-gausian atau mungkin tidak mempunyai sebaran baku, dan autokorelasi dalam deret waktu. Data GCM merupakan data spasial dan temporal dimana kemungkinan besar terjadi korelasi spasial antara data pada grid yang berbeda dalam satu domain, dan kemungkinan terdapat outlier. Untuk itu dalam penyusunan model SD perlu dilakukan pra-pemrosesan data GCM terlebih dulu. Prapemrosesan berupa reduksi dimensi data GCM. Metode yang sering digunakan untuk mereduksi dimensi data, khususnya data GCM adalah principal compenent analysis (PCA). Wigena (2006) menggunakan metode projection pursuit (PP). Di samping itu beberapa metode reduksi dimensi adalah metode robust principal compenent analysis (ROBPCA), wavelet transformasi diskrit (Anggraeni, 2009), kernel PCA (Manorang, 2009). Metode ROBPCA mampu mengatasi kemungkinan terdapat data outlier (Khotimah, 2009). Selama ini ada beberapa metode SD yang telah digunakan antara lain regresi linier berganda, regresi komponen utama, dan korelasi kanonik (untuk multi respon) (Wilby & Wigley 1997 dalam Wigena, 2006). Regresi komponen utama dapat mengatasi korelasi spasial atau multikolinearitas antar variabel prediktor (grid – grid) tetapi metode ini bersifat linier sehingga belum dapat mengatasi sifat data GCM yang non – linier dan belum mengatasi autokorelasi pada data deret waktu (temporal). Kombinasi regresi komponen utama dan ARIMA telah digunakan untuk mengatasi autokorelasi (Notodiputro et al.2004). Regresi komponen utama membutuhkan asumsi yang yang ketat, diantaranya sisaan model harus identik, independen dan berdistribusi normal. Namun demikian asumsi-asumsi tersebut seringkali terlanggar. Untuk itu perlu dilakukan pemodelan dengan asumsi yang tidak terlalu ketat (soft modelling). Salah satu metode yang tidak terlalu ketat asumsi adalah regresi adaptip splines berganda, yang serimg disebut multivariate adaptive regression splines (MARS). MARS adalah regresi nonlinier nonparametrik dan data-driven, tetapi belum mengatasi autokorelasi pada deret waktu (temporal). Algoritma metode MARS digunakan dalam pemodelan time series nonlinear yang dikenal dengan adaptive spline threshold autoregressive (ASTAR), dimana variabel prediktornya berupa nilai lag deret waktu (Lewis dan Stevens, 1991). Metode tersebut merupakan pemodelan data dengan atau tidak melibatkan variabel prediktor. Metode ini termasuk pendekatan non parametrik, sehingga tidak terlalu ketat dengan beberapa asumsi. Beberapa penelitian dengan menggunakan metode ASTAR menunjukkan kinerja yang cukup baik (Lewis dan Steven, 1991; Lewis dan Ray, 1997; Buana, 2001; Sutikno, 2005). Dengan demikian salah satu cara mengatasi kasus autokorelasi pada pemodelan SD menggunakan metode hybrid MARS – time series 2
(HTS-MARS) yaitu, dengan memodelkan error dari model MARS yang didapat dengan metode ASTAR atau ARIMA, berdasarkan karateristik kelinieran sisaan (error) model MARS yang telah didapatkan. Metode HTS-MARS berpotensi mengatasi masalah – masalah tersebut dan dapat menghasilkan dugaan dengan akurasi dan presisi yang tinggi. 2. MARS Model MARS merupakan kombinasi dari spline dan rekursif partisi. Pemodelan regresi spline diimplemetasikan dengan membentuk kumpulan fungsi basis yang dapat mencapai pendekatan spline orde ke-q dan mengestimasi koefisien fungsi – fungsi basis tersebut menggunakan least-squares (kuadrat terkecil). Secara umum persamaan model MARS dapat ditulis sebagai berikut : ∏
∑ ∑
.
(1)
,
dengan ∏
.
(2)
,
Sehingga dalam bentuk matrik dapat di tulis sebagai berikut : (3) dengan ,…,
,
,…,
∏
.
1 ∏ . . . 1 ∏
.
1
.
,
. . .
,
,
,
,…, ∏
.
… ∏ … … … … ∏
.
…
.
,
. . .
,
,
Pada pemodelan MARS, selain penentuan knots yang dilakukan secara otomatis dari data dan menghasilkan model yang kontinu pada knots, pemilihan model pada MARS juga menggunakan metode stepwise (forward dan backward). Forward stepwise dilakukan untuk mendapatkan fungsi dengan jumlah basis maksimum. Kriteria pemilihan fungsi basis pada forward stepwise adalah dengan meminimumkan Average Sum Of Square Residual (ASR). Untuk memenuhi konsep parsemoni (model yang sederhana) dilakukan backward stepwise dengan meminimumkan nilai Generalized Cross – Validation (GCV) (Friedman dan Silverman, 1989). Pada MARS, beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pemilihan model yang paling optimum (terbaik) adalah jika nilai GCV dari model tersebut mempunyai nilai yang paling rendah (paling minimum) diantara model – model yang lain. Fungsi GCV minimum didefinisikan sebagai berikut : ∑
(4)
dengan : variabel respon : variabel prediktor 3
N
: taksiran / prediksi : banyak data 1 = 2
4 (Friedman, 1991).
3. Autoregresive Integrated Moving Average (ARIMA) ARIMA merupakan gabungan dari model auto regressive (AR) dan moving average (MA). AR merupakan model yang menyatakan bahwa kejadian sekarang berakaitan dengan kejadian waktu lalu. Sedangkan MA adalah model yang menyatakan bahwa kejadian sekarang berkaitan error waktu lalu. Model ARIMA merupakan model linear. Model ARIMA dapat dituliskan sebagai berikut : θ B Z (5) dengan : B = operator back shift = white noise dengan rata-rata 0 dan varians konstan = koefisien komponen AR dengan derajat p θ = koefisien komponen MA dengan derajat q (Wei ,1990) 4. Analisis Komponen Utama Analisis komponen utama adalah teknik mereduksi dimensi data dengan cara mentransformasi variabel asal ke variabel baru (komponen utama/skore) yang merupakan kombinasi linear dari variabel asal , ,…, sedemikian hingga varians komponen utama menjadi maksimum dan antar komponen utama tidak saling berkorelasi. Model analisis komponen utama dapat ditulis : ∑ ′
dengan
(11)
j ,u = 1, 2, …, p = komponen utama (komponen score) ke-u = variabel awal ke-j. = vektor eigen ke-u
5. Ukuran Kebaikan Model Kriteria model terbaik yang sering digunakan adalah koefisien determinasi, secara umum semakin besar nilai R2 suatu model, maka model tersebut semakin baik. Nilai 0
1
∑
(12)
∑
dengan R2 : Koefisien determinasi : Nilai rata - rata : Nilai aktual : Nilai prediksi 4
Kriteria lainnya yang digunakan untuk kebaikan model adalah root mean square error prediction (RMSEP), merupakan salah satu alat seleksi model berdasarkan pada error hasil estimasi. Error yang ada menunjukkan seberapa besar perbedaan hasil estimasi dengan nilai yang akan diestimasi. Definisi RMSEP dapat ditulis sebagai berikut : RMSEP dengan RMSEP N
∑
(13)
: Root Mean Square Error Prediction : Jumlah sampel : Nilai Aktual : Nilai Prediksi
6. METODOLOGI Data yang digunakan adalah data sekunder luaran GCM model CSIRO-Mk3, yang diperoleh melalui http://www-pcmdi.llnl.gov/ipcc/. Domain GCM yang digunakan adalah domain 8x8 (64 grid), yaitu 0.930-13.990 LS, 101.120 BT - 114.380 BT; dan domain 12x12 (144 grid), yaitu 2.790 LU-17.720 LS, 97.500 BT – 118.1250 BT. Lokasi grid yang diambil adalah ditengah-tengah lokasi penelitian yaitu stasiun losarang. Data curah hujan diperoleh dari Badan Meteorologi dan Geofisika (BMG) dengan periode 1967-2000. Sedangkan variabel prediktor yang digunakan pada penelitian ini adalah variabel luaran CSIRO Mk3, meliputi: precipitable water (prw), tekanan permukaan laut (slp), komponen angin meridional (va), komponen zonal (ua), ketinggian geopotensial (zg), dan kelembaban spesifik (hus). Ketinggian (level) yang digunakan dalam penelitian adalah 850 hPa, 500 hPa, dan 200 hPa. Untuk membangun model, terlebih dahulu dilakukan reduksi dimensi dengan metode PCA dan ROBPCA. Selanjutnya memodelkan dengan metode regresi berganda dan HTS-MARS. Dalam memodelkan HTS-MARS terlebih dahulu memodelkan MARS dengan menentukan maksimum jumlah basis fungsi (BF), maksimal interaksi (MI) dan minimum jumlah observasi antar knot (MO). Hasil error dari model MARS dilakukan pengujian autokorelasi dan pengujian linier. Tahapan selanjutnya adalah memodelkan error dengan metode ASTAR, jika pola error non-linier dan menggunakan ARIMA jika polanya linier. Untuk melihat kinerja metode HTS-MARS digunakan kriteria R2 dan RMSEP. 7. HASIL DAN PEMBAHASAN Langkah awal dalam pemodelan SD adalah reduksi dimensi, yang seringkali disebut sebagai pra-pemrosesan data. Reduksi dimensi dilakukan untuk mengatasi masalah multikolinieritas pada data luaran GCM yang akan digunakan untuk memodelkan SD dengan pendekatan metode PCA dan ROBPCA. Banyaknya komponen utama yang dipakai berdasarkan keragaman data yang mampu di jelaskan oleh komponen utama lebih besar sama dengan 85%, maka diperoleh jumlah komponen utama optimal dan keragaman kumulatif untuk setiap variabel luaran GCM pada pada domain 8x8, dan 12x12 dengan metode PCA dan ROBPCA yang disajikan pada Tabel 1 sebagai berikut.
5
Tabel 1. Jumlah komponen utama Optimal dan nilai keragaman kumulatif komponen utama variabel Luaran GCM dengan Menggunakan Metode PCA dan ROBPCA Domain 8x8 Domain 12x12 NO Var PCA ROBPCA PCA ROBPCA JKU NKK JKK NKK JKK NKK JKK NKK 1 6 0.853 3 0.883 10 0.854 5 0.867 huss 2 1 0.864 1 0.850 2 0.917 2 0.902 hus200 3 hus500 2 0.926 2 0.935 2 0.856 2 0.858 4 2 0.903 2 0.881 3 0.884 3 0.869 hus850 5 2 0.876 2 0.884 3 0.899 3 0.899 prw 6 1 0.880 1 0.877 2 0.959 2 0.961 Slp 7 2 0.916 2 0.919 2 0.875 3 0.877 uas 8 1 0.911 1 0.914 3 0.973 2 0.973 ua200 9 2 0.887 2 0.868 3 0.903 3 0.900 ua500 10 ua850 1 0.859 1 0.854 2 0.858 2 0.857 11 vas 3 0.881 3 0.896 4 0.855 4 0.856 12 va200 2 0.941 2 0.941 2 0.881 2 0.885 13 va500 3 0.897 3 0.856 5 0.878 5 0.859 14 va850 3 0.915 3 0.896 4 0.854 4 0.850 15 zg200 1 0.949 1 0.946 1 0.889 1 0.889 16 zg500 1 0.964 1 0.965 1 0.899 1 0.899 17 zg850 1 0.936 1 0.936 1 0.900 1 0.900 Keterangan : JKU = Jumlah komponen utama NKK = Nilai keragaman kumulatif
Tabel 1 menunjukkan bahwa jumlah seluruh komponen utama (jumlah variabel yang akan digunakan sebagai variabel prediktor pada pemodelan SD) yang diperoleh dengan metode reduksi dimensi PCA pada domain 8x8 adalah 34 komponen utama (variabel prediktor) sedangkan pada domain 12x12 adalah 50 komponen utama (variabel prediktor). Jumlah seluruh komponen utama yang diperoleh dengan metode ROPCA pada domain 8x8 adalah 31 komponen utama (variabel prediktor) sedangkan pada domain 12x12 dengan metode PCA adalah 45 komponen utama. Penyusunan model SD merupakan tahap selanjutnya setelah dilakukan prapemrosesan data. Pemodelan SD dilakukan dengan pendekatan 3 metode yaitu, regresi berganda, MARS, dan HTS-MARS dimana variabel respon yang digunakan yaitu, data curah hujan bulanan stasiun Losarang dan variabel prediktor yang digunakan merupakan gabungan dari variabel hasil reduksi dimensi variabel – variabel GCM dengan metode PCA dan ROBPCA pada setiap domain yaitu, domain 8x8 dan 12x12. Salah satu model SD yang didapat dengan menggunakan metode regresi berganda dengan metode reduksi dimensi ROBPCA pada domain 8x8 sebagai berikut: = 126 + 4.54 huss_1 - 9.21 huss_2 - 2.87 huss_3 - 0.20 hus200_1 + 5.03 hus500_1 – 11.2 hus500_2 + 5.46 850_1 - 17.8 hus850_2 - 11.5 prw_1 + 20.3 prw_2 - 9.18 slp_1 + 0.87 uas_1 - 2.05 uas_2 + 3.34 ua200_1 - 2.24 ua500_1 – 1.79 ua500_2 + 2.68 ua850_1 + 8.93 vas_1 - 2.17 vas_2 + 3.98 vas_3 - 6.49 va200_1 - 7.16 va200_2 + 1.05 va500_1 - 3.26 va500_2 + 0.72 va500_3 + 1.05 va850_1 - 0.49 va850_2 - 0.92 va850_3 + 3.63 zg200_1 – 7.91 zg500_1 + 18.2 zg850_1
6
Salah satu model SD yang didapat dengan menggunakan metode MARS dengan metode reduksi dimensi ROBPCA pada domain 8x8 dilakukan dengan mengombinasikan BF, MI, dan MO. Pemilihan model MARS(ROBPCA) domain 8x8 terbaik mengunakan kreteria GCV yang paling minimum. Model MARS(ROBPCA) domain 8x8 terbaik yaitu, model dengan kombinasi BF = 93 ; MI = 3 ; MO = 5 dengan nilai GCV sebesar 6004.820 dan nilai MSE sebesar 3547.241. Model terbaik MARS(ROBPCA) domain 8x8 disajikan sebagai berikut : = 228.165 - 2.607BF2 - 14.505BF4 + 0.192BF8 + 4.863BF12 +- 2.429 BF15 + 0.858BF16 + - 0.018BF17 - 0.040BF18 - 0.059BF19 + 0.070 BF21 + 1.248BF23 + 8.068BF25 - 0.128BF26 + - 12.680BF28 - 16.919 BF30 + 6.704 BF31 + 9.948 BF32 - 0.163BF33 - 549.418BF35 + 0.367 BF39 + 35.142 BF41 - 2.482 BF43 + 2.949 BF46 - 0.038BF47 + 1.761 BF49 - 0.535 BF52 + 0.134 BF54 - 3.590 BF55 + 2.767BF57 + 2.257 BF60 - 0.283 BF62 + 7.258 BF66 + 0 .739 BF70 + - 1.273BF71 + 0.072 BF73 + 0.164BF74 + 0.613BF76 + 7.048BF77 + 558.977BF83 + 0.489 BF87 + 0.668 BF88
dengan BF33 = max(0, va850_2 - 8.763)BF13 BF35 = max(0, huss_2 - 3.862) BF36 = max(0, 3.862 – huss_2) BF39 = max(0, vas_1 - 7.456)BF29 BF41 = max(0, ua500_2 - 1.833) BF43 = max(0, ua500_ - 1.551)BF2 BF46 = max(0, -7.020 – ua500_1)BF43 BF47 = max(0, prw_1 + 12.883)BF16 BF49 = max(0, vas_3 - 2.628)BF5 BF52 = max(0, -2.197 – va500_3)BF14 BF54 = max(0, 4.427 – prw_2)BF43 BF55 = max(0, vas_3 - 3.213)BF43 BF57 = max(0, ua200_1 - 10.313)BF4 BF60 = max(0, - 3.321 – va500_2)BF4 BF62 = max(0, 1.855 – va500_2)BF14 BF66 = max(0, 0.086 – hus500_2)BF60 BF70 = max(0, -3.097 – va850_3)BF43 BF71 = max(0, va500_3 + 4.836)BF36 BF73 = max(0, va500_3 + 1.133)BF16 BF74 = max(0, -1.133 – va500_3)BF16 BF76 = max(0,-2.705 – hus850_2)BF71 BF77 = max(0, vas_1 - 12.744)BF5 BF83 = max(0, huss_2 - 4.009) BF87 = max(0, - 8.274 –huss_1 )BF24 BF88 = max(0, huss_2 - 1.132)BF24
BF1 = max(0, huss_1 + 14.947) BF2 = max(0, ua850_1 + 15.468) BF4 = max(0, hus850_2 + 9.304) BF5 = max(0, uas_2 + 3.693)BF2 BF6 = max(0, - 3.693 – uas_2 )BF2 BF8 = max(0, - 0.014 – huss_2)BF5 BF11 = max(0, vas_1 + 11.288) BF12 = max(0, zg500_1 - 15.293)BF11 BF13 = max(0, 15.293 – zg500_1)BF11 BF14 = max(0, hus850_2 + 3.325)BF11 BF15 = max(0,-3.325 – hus850_2)BF11 BF16 = max(0,va850_1 + 12.110)BF11 BF17 = max(0, hus200_1 + 8.222)BF16 BF18 = max(0,-8.222 – hus200_1)BF16 BF19 = max(0, va500_2 + 2.880)BF16 BF21 = max(0, hus500_1 + 0.858)BF16 BF23 = max(0, hus850_2 - 0.258)BF2 BF24 = max(0, 0.258 – hus850_2)BF2 BF25 = max(0, prw_2 - 1.891)BF24 BF26 = max(0, 1.891 – prw_2)BF24 BF28 = max(0, - 5.126 – hus850_1)BF6 BF29 = max(0, ua850_1 + 13.212)BF1 BF30 = max(0, -13.212 – ua850_1)BF1 BF31 = max(0, uas_2 + 2.837)BF30 BF32 = max(0, - 2.837 – uas_2)BF30
Pemodelan SD dengan pendekatan metode HTS-MARS dilakukan dengan cara mengabungkan model MARS dengan model errornya. Sebelum dilakukan pemodelan pada error model MARS akan dilakukan beberapa uji untuk mengetahui karateristik dari error MARS dan metode yang akan digunakan. Uji Ljung-Box dilakukan untuk melihat adanya autokorelasi pada error mars, bila error mars mengindikasikan adanya autokorelasi selanjutnya dilakukan uji reset untuk mengetahui kelinieran error mars, jika tidak mengindikasikan adanya autokorelasi ,uji reset tidak dilakukan. Adapun hasil Uji LjungBox disajikan pada tabel 2 sebagai berikut :
7
Tabel 2. Nilai F_hitung & P_value Uji Ljung-Box berdasarkan domain Domain F_hitung MARS(PCA) 4.209 8x8 7.7241 12x12 MARS(ROBPCA) 24.8624 8x8 8.8562 12x12
P_value
Kesimpulan
0.6484 0.259
tidak terjadi autokorelasi tidak terjadi autokorelasi
0.0004 0.1818
terjadi autokorelasi tidak terjadi autokorelasi
Tabel 2 menunjukkan bahwa error model MARS yang mengindikasikan adanya kasus autokorelasi adalah error model MARS(ROBPCA) domain 8x8, hal ini dapat dilihat dengan nilai p_value = 0.0004 < α = 0.05. Untuk mengetahui kelinieran error model MARS(ROBPCA) domain 8x8 dilakukan uji reset. uji reset dari error MARS(ROBPCA) domain 8x8 dengan df1=2, df2=392 didapatkan nilai uji reset = 0.2259 dan p_value=0.7979 > α = 0.05. Uji reset tersebut menunjukkan bahwa error MARS(ROBPCA) domain 8x8 bersifat linier sehingga pemodelan error MARS(ROBPCA) domain 8x8 menggunakan pendekatan metode ARIMA. Model akhir dari model error MARS(PROBPCA) domain 8x8 adalah ARIMA(0,0,[1,2,8]) adalah sebagai berikut : 0.11220 0.15764 0.14191 Penyusunan model SD dengan pendekatan metode HTS–MARS didapatkan dengan menggabungkan model MARS dengan model errornya. Secara umum model HTS-MARS dapat di tulis sebagai berikut : dengan Y = model HTS-MARS = model MARS = model time series (error model MARS) Dari hasil Uji Ljung Box dan Uji Reset, untuk error model MARS yang tidak mengalami kasus autokorelasi, maka model error MARS dapat di definisikan sebagai berikut : Dengan = model time series (error MARS) = error model time series (error MARS) Pemodelan SD dengan pendekatan metode HTS-MARS di sajikan pada tabel 3 sebagai berikut :
8
Tabel 3. Model SD dengan HTS-MARS Menurut domain Domain 8x8
12x12
8x8
12x12
Model HTS- MARS(PCA) = -12.684 +5.146BF1 -62.434BF6 - 7.258BF7 - 44.143BF11 - 0.038 BF12 + 0.400BF14+ 5.322BF18 - 1.222BF19 - 2.430BF21 + 0.048BF23 + 68.630BF24 - 0.191BF28 - 0.061BF29 + 1.174BF33 + 0.470BF34 + - 5.026BF35 - 0.020BF36 + 0.612BF37 - 69.591BF38 - 37.031BF41 + 99.672BF43 + 0.085BF46 - 7.194BF48 + 3.930BF49 - 18.646BF50 + - 8.085BF52 - 0.090BF55 - 0.186BF56 - 0.303BF59 + 5.481BF61 + 2.860BF62 + 6.276BF63 + 9.337BF64 + 2.357BF67 + 0.243BF69 + 0.636BF70 - 12.220BF74 + 10.447BF76 + 1.135BF82 + 2.626BF83 + 1.052BF84 + 0.618BF87 - 4.945BF90 - 0.555BF92 + 0.772BF94 + 0.121BF96 + 1.606BF98 + 0.062BF100 - 0.186BF101 + 0.497BF107 + - 0.752BF116 + 5.796BF118 - 0.518BF119 - 25.294BF126 + 10.475BF134 +at = 156.426 + 58.560BF3 + 1.879BF5 + 18.922BF6 - 3.380BF8 - 1.967BF9 + 18.011BF12 + 1.366BF14 - 0.938BF15 + 2.709BF18 - 23.871BF21 + 0.999BF22 - 2.325BF24 - 1.072BF25 + 36.446BF27 + 1.891BF28 + - 9.675BF30 + 4.879BF33 - 2.235BF35 - 0.260BF36 - 0.252BF38 + 0.928BF42 - 0.443BF43 - 0.234BF45 - 0.372BF47 - 0.157BF49 + 2.251BF50 + 38.501BF52 - 0.146BF54 - 0.167BF55 - 12.051BF56 - 39.744BF57 + 1.434BF58 - 8.844BF59 - 11.541BF60 + 0.183BF62 + 0.976BF63 + - 10.748BF65 - 3.523BF67 + 2.603BF69 + 0.132BF70 + 0.105BF71 + - 0.413BF74 - 0.264BF76 - 0.796BF77 - 0.792BF79 - 1.381BF80 + - 4.982BF85 - 0.339BF90 - 0.131BF94 - 0.628BF96 - 0.251BF98 + - 0.043BF102 - 0.611BF107 - 0.465BF116 + 1.372BF118 - 5.236BF122 + - 2.161BF124 - 4.415BF125 - 0.214BF130 + 0.125BF140 +at HTS- MARS(ROBPCA) = 228.165 - 2.607BF2 - 14.505BF4 + 0.192BF8 + 4.863BF12 -2.429BF15 + 0.858BF16 - 0.018BF17 - 0.040BF18 - 0.059BF19 + 0.070BF21 + 1.248BF23 + 8.068BF25 - 0.128 BF26 - 12.680BF28 - 16.919BF30 + 6.704BF31 + 9.948BF32 - 0.163BF33 - 549.418BF35 + 0.367BF39 + 35.142BF41 + - 2.482BF43 + 2.949BF46 - 0.038BF47 + 1.761BF49 - 0.535BF52 + 0.134BF54 - 3.590BF55 + 2.767BF57 + 2.257BF60 - 0.283BF62 + 7.258BF66 + 0.739BF70 - 1.273BF71 + 0.072BF73 + 0.164BF74 + 0.613BF76 + 7.048BF77 + 558.977BF83 + 0.489BF87 + 0.668BF88 + 0.11220 0.15764 0.14191 = 360.133 - 7.574BF1 + 23.113BF3 + 40.635BF4 - 1.261BF6 + 0.917BF8 + 5.831BF12+ 0.711BF15 - 13.769BF17 - 4.632BF18 + 3.060BF24 + - 1.433BF26 + 3.710BF30 - 5.837BF36 + 2.315BF38 - 6.626BF40 + 1.873BF42 - 0.928BF44 - 2.792BF51 - 1.024BF54 - 2.013BF63 - 2.801 BF64 + - 6.497BF68 + 4.691BF69 - 2.123BF72 + 0.470BF74 + 0.216BF75 + - 1.701BF86 + 1.040BF87 +at
Penyusunan model SD dengan pendekatan metode Regresi berganda, MARS, dan HTS-MARS dengan metode reduksi dimensi PCA dan ROBPCA diperoleh nilai R2 untuk melihat seberapa besar model tersebut mampu menjelaskan total varians variabel curah hujan dan nilai RMSEP untuk melihat ketepatan model pada masing – masing model dengan domain 8x8 dan domain 12x12 pada Stasiun Losarang, dimana validasi pada masing – masing model dilakukan dengan menggunakan data 12 bulan yaitu, bulan Januari sampai bulan Desember pada tahun 2000. Hasil uji Ljung_box menunjukkan bahwa hanya error model MARS(ROBCA) dengan domain 8x8 yang mengalami kasus autokorelasi, sehingga model HTS-MARS yang terbentuk adalah model HTS-MARS(ROBPCA) dengan domain 8x8. Hasil uji Ljung box mennilai R2 dan RMSEP untuk model MARS dan model 9
HTS-MARS adalah sama selain model MARS(ROBPCA) dan model HTSMARS(ROBPCA) dengan domain 8x8. Adapun nilai R2 dan RMSEP masing – masing model disajikan pada Tabel 4 sebagai berikut : Tabel 4. Nilai R2 dan RMSEP PCR, ROBPCR, MARS(PCA), MARS(ROBPCA), HTS-MARS(PCA) dan HTS-MARS(ROBPCA) Domain
8x8
12x12
Metode Reduksi
Metode SD
PCA
in-sample 2
out-sample 2
PCR MARS(PCA) HTS-MARS(PCA)
R 50.70% 85.70% 85.70%
R 23.84% 34.03% 34.03%
RMSEP 93.645 87.157 87.157
ROBPCA
ROBPCR MARS(ROBPCA) HTS-MARS(ROBPCA)
49.90% 80.10% 83.31%
21.45% 95.105 52.43% 74.013 56.86% 70.482
PCA
PCR MARS(PCA) HTS-MARS(PCA)
53.90% 88.20% 88.20%
10.32% 101.621 46.67% 132.429 46.67% 132.429
ROBPCA
ROBPCR MARS(ROBPCA) HTS-MARS(ROBPCA)
52.30% 68.80% 68.80%
19.97% 95.996 80.52% 47.367 80.52% 47.367
Pemodelan SD dengan pendekatan metode HTS-MARS menaikan nilai R2 insample maupun R2 out-sample serta menurunkan nilai RMSEP pada out-sample dari model MARS. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 4 bahwa nilai R2 in-sample pemodelan SD dengan pendekatan HTS-MARS(ROBPCA) dengan domain 8x8 mengalami kenaikan dari 80.10% menjadi 83.31 % sedangkan pada out-sample mengalami kenaikan dari 52.43% menjadi 56.86% serta menurunkan nilai RMSEP dari 74.013 menjadi 70.482 dari model MARS(ROBPCA) domain 8x8. Tabel 4 menunjukkan bahwa Pemodelan SD dengan pendekatan HTS-MARS baik digunakan pada domain 8x8 dan 12x12 dengan metode reduksi dimensi ROBPCA dengan nilai R2 in-sample = 83.20% ; R2 out-sample = 56.86% ; RMSEP = 70.482 pada domain 8x8 dan pada domain 12x12, nilai R2 in-sample = 68.80% ; R2 out-sample = 80.52% ; RMSEP = 47.367. Selanjutnya untuk melihat life time model SD dengan pendekatan metode HTSMARS (ROBPCA) dengan domain 8x8 dan domain 12x12, validasi dilakukan beragam yaitu, 3 bulan ,6 bulan dan 12 bulan. Adapun nilai R2 out-sample dan RMSEP hasil validasi 3 bulan, 6 bulan, dan 12 bulan disajikan pada Tabel 5 sebagai berikut : Tabel 5. Nilai R2 dan RMSEP HTS-MARS(ROBPCA) domain 8x8 dan 12x12 Domain
Metode Reduksi
8x8 ROBPCA 12x12
Metode SD HTSMARS(ROBPCA) HTSMARS(ROBPCA)
Validasi 3 bln R2 RMSEP 62.38% 24.925
Validasi 6 bln R2 RMSEP 69.40% 35.799
Validasi 12 bln R2 RMSEP 56.87% 70.468
60.15%
79.25%
80.52%
25.653
10
29.479
47.376
Tabel 5 menunjukkan bahwa pemodelan SD dengan pendekatan HTSMARS(ROBPCA) pada domain 8x8, nilai RMSEP terkecil = 24.925 pada validasi 3 bulan sedangkan nilai R2 out-sample terbesar = 69.40% pada validasi 6 bulan dan Pemodelan SD dengan pendekatan HTS-MARS(ROBPCA) pada domain 12x12 nilai RMSEP terkecil = 25.653 dan R2 out-sample terbesar = 80.52% pada validasi 12 bulan. Dari hasil validasi model SD dengan pendekatan metode HTS-MARS(ROBPCA) ,maka dapat diperoleh nilai aktual dan nilai prediksi yang disajikan pada Tabel 6 sebagai berikut : Tabel 6. Nilai aktual dan nilai prediksi metode HTS-MARS(ROBPCA), domain 12x12 dan domain 8x8 di Stasiun Losarang tahun 2000. Bulan
Nilai Aktual 397 59 81 115 93 139 12 0 10 29 220 140
Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agst Sept Okt Nov Des
Nilai prediksi HTS-MARS(ROBPCA) Domain 8x8 Domain 12x12 240.85 485.14 19.56 1.21 142.25 87.45 157.39 134.81 108.53 120.34 69.38 74.15 48.86 42.53 36.25 38.72 82.46 0.00 32.90 98.69 238.58 170.27 261.47 116.18
Curah Hujan (mm)
Tabel 6 menunjukkan bahwa nilai aktual dan nilai prediksi pemodelan SD di Stasiun Losarang dengan pendekatan metode HTS-MARS(ROBPCA) dengan domain 8x8 dan domain 12x12 sudah menunjukkan hasil yang cukup bagus karena nilai prediksi tidak terlalu jauh dari nilai aktual. Nilai aktual dan nilai prediksi pemodelan SD dengan pendekatan metode HTSMARS(ROBPCA) dengan domain 8x8 dan domain 12x12 di stasiun losarang pada tahun 2000 pada Tabel 6 dapat diilutrasikan dengan grafik yang disajikan pada gambar 1 - 3 sebagai berikut : 300 250 200 150 100 50 0
Nilai Aktual Losarang
Nilai prediksi domain 8x8 HTS‐ MARS(ROBPCA) Okt
Nov
Des
Bulan (2000)
Nilai prediksi domain 12x12 HTS‐ MARS(ROBPCA)
Gambar 1. Plot nilai aktual Losarang dan nilai prediksi pada domain 8x8 dan domain 12x12 dengan validasi 3 bulan.
11
Curah Hujan (mm)
300 250 200 150 100 50 0
Nilai Aktual Losarang
Nilai prediksi domain 8x8 HTS‐ MARS(ROBPCA) Jul
Agst Sept
Okt
Nov
Des
Bulan (2000)
Nilai prediksi domain 12x12 HTS‐ MARS(ROBPCA)
600 500 400 300 200 100 0
Nilai Aktual Losarang
Nilai prediksi domain 8x8 HTS‐ MARS(ROBPCA) Jan Feb Mar Aprl Mei Jun Jul Agst Sept Okt Nov Des
Curah Hujan (mm)
Gambar 2. Plot nilai aktual Losarang dan nilai prediksi pada domain 8x8 dan domain 12x12 dengan validasi 6 bulan.
bulan (2000)
Nilai prediksi domain 12x12 HTS‐ MARS(ROBPCA)
Gambar 3. Plot nilai aktual Losarang dan nilai prediksi pada domain 8x8 dan domain 12x12 dengan validasi 12 bulan. PENUTUP Berdasarkan kreteria R2 dan RMSEP, pemodelan SD stasiun losarang pada domain 8x8 dan 12x12 dengan pendekatan metode HTS-MARS(ROBPCA) lebih baik dari pada dengan pendekatan metode HTS-MARS(PCA) maupun Regresi berganda (PCR & ROBPCR).Berdasarkan kreteria RMSEP dan hasil validasi model dengan ragam varidasi yaitu, 3 bulan, 6 bulan, dan 12 bulan, Pemodelan SD dengan pendekatan metode HTSMARS(ROBPCA) pada domain 8x8 dan 12x12 baik digunakan pada validasi 3 bulanan. Hasil ini member gambaran bahwa metode HTS-MARS berpotensi meningkatkan akurasi ramalan dalam pemodelan SD. DAFTAR PUSTAKA Anggraeni, S., (2009), “ Pra-Pemrosesan Data Luaran GCM (General Circulation Models) CSIRO-Mk3 dengan Metode Transformasi Wavelet Diskrit”, Tugas Akhir, Surabaya : Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Budiantara, I N., Suryadi, F., Otok, B.W., dan Guritno, S. (2006), Permodelan B-Spline dan MARS Pada Nilai Ujian Masuk Terhadap IPK Mahasiswa Jurusan Disain Komunikasi Visual UK. Petra Surabaya; Jurnal Teknik Industri, vol 8 No.1, Universitas Petra. Breiman, L., Friedman, J.H., Olshen, R.A., dan Stone, C.J (1993), Classification and Regression Trees, Wasdswoth, Belmont, C.A. 12
Friedman, J.H., (1990), “Multivariate Adaptive Regression Splines”, Tech Report 102 Rev,Department of Statistics Stanford University Stanford, California. Johnson, R.A and Wichern, D.W. (2002). Applied Multivariate Statistical Analysis. 5th Ed. New Jersey: Prentice Hall Khotimah, K., (2009), “Reduksi Dimensi Robust Dengan Estimator MCD Untuk PraPemrosesan Data Pemodelan Statistical Downscaling” Tugas Akhir, Surabaya : Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Makridakis, S., Wheelwright,S.C. dan McGee, V.E. (1999), jilid 1 edisi kedua. Terjemahan Ir Hari Suminto, Metode dan Aplikasi peramalan,Jakarta, Bina Rupa Aksara. Manorang, J., (2009), “Analisis Komponen Utama Kernel Untuk Pra Pemrosesan Pemodelan Statistical Downscaling”, Tugas Akhir, Surabaya : Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Nash, M.S. dan Bradford, D.F. (2001), Parametric and Non Parametric Logistic Regression for Prediction of Precense/ Absence of an Amphibian. Las Vegas: Nevada. Notodiputro K.A, Wigena A.H, dan Fitriadi. (2004). Pendekatan Regresi Komponen Utama dan ARIMA dalam Statistical Downscalling. Forum Statistika dan Komputasi. Edisi Khusus Seminar Nasional Statistika. Sutikno. (2008). “Statistical Downscaling Luaran GCM dan Pemanfaatannya untuk Peramalan Produksi Padi” Disertasi. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Wigena, A.H. (2006). “Pemodelan Statistical Downscaling dengan Regresi Projection Pursuit untuk Peramalan Curah Hujan Bulanan” Disertasi. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Zorita, E. dan von Storch, H., (1999): “The analog method as a simple statistical downscaling technique: comparison with more complicated method”, Journal of Climate, 12, 2474-2489.
13
14
