Hoofdstuk De bundelstructuur van de laser...1. Enkele simulaties:...33 A. Zwevingen tussen 5 modes...33 B. Zwevingen tussen 9 modes

Hoofdstuk 3............................................................................................................................1 De bundelstructuur van de laser..................................................................................1 Inleiding ......................................................................................................................................... 1 A. Longitudinale modes.................................................................................................................... 1 B. De atomaire energiesprong.......................................................................................................... 4 a) De homogene (of "natuurlijke") lijnverbreding......................................................................................... 4 b) Inhomogene lijnverbreding ....................................................................................................................... 6 c) Opmerkingen ........................................................................................................................................... 11

C. De monochromatische laser ...................................................................................................... 13

a) Inleiding................................................................................................................................................... 13 b) Technieken voor monochromatische lasers............................................................................................. 13 c) Stabilisatie van de frequentie................................................................................................................... 15

D. Modekoppeling........................................................................................................................... 17 E. Spiegelsystemen voor lasers: stabiliteit en caviteitsstructuren............................................... 18 a) Inleiding................................................................................................................................................... 18 b) Stabiliteit van een spiegelsysteem ........................................................................................................... 18

F. De Gaussische bundel als eigenmode van de spiegelcaviteit................................................... 27 a) Afleiding en eigenschappen..................................................................................................................... 27

Wiskundige aanpak ........................................................................................................................ 31

Enkele simulaties:....................................................................................................................33 A. Zwevingen tussen 5 modes ..................................................................................................................... 33 B. Zwevingen tussen 9 modes ..................................................................................................................... 34

Appendix 3.B: Matrixvoorstelling van spiegel- en lenzensystemen ......................................36 3B.1 Equivalentie spiegel-lens........................................................................................................ 36 3B.2 Matrixtheorie voor de geometrische stralenoptiek ............................................................. 37

a) Eenvoudige lens....................................................................................................................................... 37 b) Een "lege ruimte" .................................................................................................................................... 38 c) Combinatie "lens + ruimte" ..................................................................................................................... 39 d) Eén rondgang door de caviteit: "lens1-ruimte-lens2-ruimte" .................................................................. 39

Hoofdstuk 3 De bundelstructuur van de laser

Inleiding We beginnen dit hoofdstuk met een nadere kijk op het mechanisme van de terugkoppeling in een laser en de veldverdeling, als een som van eenheidsveld– verdelingen (modes), die in een optische (open) caviteit te verwachten is. Een belangrijk onderscheid moet gemaakt worden tussen de longitudinale en transversale modestructuren. Verderop zullen we dan deze veldverdelingen detailleren. A. Longitudinale modes Uit de elektronica haalden we het idee om een versterker om te zetten in een oscillator door positieve terugkoppeling. De zeer-hoogfrequenttechniek (microgolven) brengt ons een tweede, interessante suggestie: het spiegelsysteem dat het actief midden omgeeft, kan aangezien worden als een trilholte (caviteit), zij het in ons geval met grote zijdelingse openingen. Geheel algemeen is het aantal resonanties of eigenfrequenties van een trilholte V bij benadering gelijk aan 3 waarin V het volume is van die trilholte en λ de

λ

golflengte van de hoogste toegelaten frequentie. Voor een gewone He-Ne laser met dwarsdoorsnede 1 mm2, lengte 50 cm en λ = 0,6 μm geeft dit als ordegrootte: V

λ3

≈

500mm3 10 modes 3 −9 3 = 250.10 (0,6) .10 mm

(3-1)

De meeste van die modes hebben echter veldverdelingen waarvoor weerkaatsingen nodig zijn op alle wanden van de caviteit. De langwerpige vorm van de laserstructuur en het ontbreken van spiegelende zijwanden beperkt drastisch het aantal modes dat over een redelijke kwaliteitsfactor beschikt. Ook het zeer beperkte golflengtegebied waarin optische versterking mogelijk is en het feit dat de diëlectrische spiegels zich maar in beperkt golflengtegebied als een spiegel gedragen (zie vorig hoofdstuk) maakt dat er uiteindelijk zeer weinig Optische communicatie v2008

Jan Engelen

3- 1

modes effectief zullen optreden. Wij kunnen de modes, die geen zijdelingse terugkoppeling nodig hebben (en dus ook geen spiegelende zijwanden), gemakkelijk vinden door de bedenking te maken dat de terugkoppeling van het spiegelsysteem positief zal zijn telkens een volledige rondgang tussen de spiegels een geheel aantal golflengten in beslag neemt1. Beperken we ons hierbij even tot vlakke golven. Noemen we L de lengte van de laser, meer bepaald de optische weglengte tussen de twee spiegels2, dan treedt een resonantie op telkens L = n.

λ0 2

(3-2)

Hierin is n een geheel getal [niet te verwarren met het symbool voor de brekingsindex] en λ 0 is de golflengte van het licht in vacuüm. Omdat de lichtsnelheid c = υ 0 . λ 0

geldt dus voor de toegelaten frequenties

υ n = n.

c 2L

(3-3)

De resonanties vormen een kamspectrum3 met frequentieafstand

Δυ =

c 2L

(3-4)

Dit zijn de zgn. "longitudinale" modes van de lasercaviteit. Voorbeeld: Voor een spiegelafstand L = 1 m geeft deze formule : c/2L = 150 MHz. Om de 150 MHz kan er dus een theoretisch een resonantiefrequentie gevonden worden. Zoals al herhaaldelijk gesteld, hangen de effectief optredende frequenties af van 1

2

3

Strict genomen geldt de voorwaarde slechts voor vlakke golven. We zullen ze later in termen van een cumulatieve faseverschuiving moeten preciseren omdat echte laserbundels vrij sterk afwijken van vlakke golven. De optische weglengte, in tegenstelling tot de fysische weglengte, is bij definitie de lengte in het vacuüm die door het licht doorlopen wordt in dezelfde tijd als de fysische weglengte. Voor een midden met homogene brekingsindex n is de optische weglengte gelijk aan n x (fysische weglengte). De resonanties ("tanden van de kam") zijn echter niet oneindig smal; hun breedte wordt bepaald door de optische kwaliteitsfactor (zie verder).

Optische communicatie v2008

Jan Engelen

3- 2

het samenspel tussen caviteitseigenschappen en versterking. Bijvoorbeeld, indien de inversie van het atomaire systeem versterking produceert over een brede frequentieband (relatief t.o.v. c/2L), dan kunnen een groot aantal modes energie ontvangen. Of ze ook gelijktijdig kunnen oscilleren, is een andere vraag!


Jan Engelen

3- 3

B. De atomaire energiesprong Theoretisch is een atomaire energiesprong oneindig scherp, althans voor een geïsoleerd atoom - wat natuurlijk in een laser niet het geval is4. Lijn-verbreding (5) kan te wijten zijn aan diverse oorzaken. Wij moeten onderscheid maken tussen twee fundamenteel verschillende mechanismen: homogene en inhomogene verbreding. In het eerste geval zal alleen die mode tot oscillatie komen, die het dichtst bij het centrum van de lijn ligt. Bij inhomogene lijnverbreding echter, kunnen een groot aantal modes gelijktijdig oscilleren. a) De homogene (of "natuurlijke") lijnverbreding We zullen de begrippen toelichten aan de hand van de He-Ne laser. Het neongas wordt, door tussenkomst van geëxciteerde heliumatomen, tot inversie gebracht. De leeftijd (= gemiddelde verblijftijd) van de neon-atomen in de bovenste energietoestand is van de orde van 10-9 sec (6). Deze korte leeftijd impliceert dat de beschouwde energiesprong een bandbreedte heeft van de orde van het inverse van die tijd, dus zowat 100 MHz. Men noemt dit de "natuurlijke" lijnverbreding. Onderstel dat we een zuiver monochromatische teststraal sturen door het geëxciteerde neongas. In functie van de frequentie van het licht zetten we de absorptie of – vermits het midden inversie vertoont– de versterking uit. Het resultaat is een kromme, in dit geval een LORENTZ profiel (fig. 3.1) waarvan de genormaliseerde vergelijking luidt : 1 1 g (υ)= . (3-5) π.Δ υ 1+ [ υ − υ0 ]2 Δυ

4 5

6

Dit komt wel voor bij atoomklokken op basis van strontium, maar die dienen niet om laserenergie op te wekken! Het begrip lijnverbreding komt uit de spectroscopie: een spectrum uit zich als een aantal lijnen op een scherm (filmplaat, lineaire CCD camera). Dit is een gevolg van de constructie van de spectroscoop, die aan zijn in- en uitgang een smalle spleet heeft. Binnenin zit er een prisma of een raster dat het licht van verschillende golflengten ook verschillende richtingen uit stuurt. Licht dat een zekere bandbreedte heeft, wordt waargenomen als een streep met een zekere dikte. Bandbreedte en lijnbreedte zijn dus synoniem. Indien men de nadruk wil leggen op het feit dat een lijn door een of andere oorzaak niet oneindig fijn is, spreekt men van "lijnverbreding". Deze leeftijd is voor de gebruikelijke drukwaarden (1 Torr) nagenoeg omgekeerd evenredig met de druk van het gas. Zie. P.W. Smith, "Mode selection in lasers", Proc. IEEE 60, 422 (April 1972).AANVULLE


Jan Engelen

3- 4

1

2Δν

0

I

ν0

Fig. 3-1:

ν

De genormaliseerde versterking van een atomaire energieovergang (Lorentzkurve)

Dit verloop is precies hetzelfde als bij de resonantiekromme van een elektronische L-C trilkring met resonantiefrequentie νo en 3 db bandbreedte gelijk aan 2 Δν. De kromme van fig. 3.1 geeft de probabiliteit aan, dat een atoom zou aangesproken worden door de straling. Voor een gegeven monochromatisch licht is deze probabiliteit dezelfde voor alle atomen; vandaar de naam "homogene" lijnverbreding. Laten we even aannemen dat de zopas besproken "natuurlijke" lijn-verbreding de enige is die tussenkomt. Dit vereist o.m. stilstaande atomen. We gaan nu na of er al dan niet meerdere longitudinale modes gelijktijdig kunnen oscilleren. Om dit te weten te komen, vergelijken we de verliezen van de modes met de beschikbare versterking. Het spectrum van de modes is discreet omwille van de caviteit: op afstanden c/2L treffen we resonanties aan. Onderstel dat we L voldoende groot maken om 2.Δ υ meerdere modes binnen één homogene lijn te krijgen. De relatieve breedte

υO

van de lijn is uiterst klein (100 MHz : 5 THz = 0,2. 10-6), zodat we mogen aannemen dat alle modes die binnen de lijn vallen, dezelfde verliezen hebben. We zetten deze verliezen uit in het diagram dat de versterking geeft in functie van de frequentie (fig. 3-2).


Jan Engelen

3- 5

Versterking niveau van de verliezen

c/2L

ν νo Fig. 3-2: Lorentz profiel voor verschillende waarden van de inversie. De resonanties van de modes liggen op afstanden c/2L. Zodra de verliezen van één mode gedekt zijn door de versterking, begint ze te oscilleren.

Laten we nu de inversie geleidelijk opvoeren vanaf nul. De kromme van de versterking stijgt. Haar LORENTZ karakter en haar bandbreedte blijven behouden. Op een gegeven ogenblik zullen voor de mode, die het dichtst bij het maximum van de lijn ligt, de verliezen gedekt worden door de versterking. Oscillatie vangt aan op die frequentie (fig. 3-2). Deze oscillatie spreekt alle atomen aan op dezelfde wijze. Indien wij trachten de inversie nog verder op te voeren, zal de amplitude van de oscillatie stijgen, bij zover dat de beschikbare atomen gestimuleerd worden hun energie af te staan aan die ene oscillatie. De vorm van de kromme ligt vast. Een van haar punten kan niet verder stijgen. Dus ligt de ganse kromme vast. Geen enkele andere mode krijgt gelegenheid tot oscilleren. De laserwerking is monochromatisch. Tengevolge van de thermische agitatie (bewegende atomen) is dit echter een vrij theoretische situatie (zie volgende paragraaf). b) Inhomogene lijnverbreding Het neongas wordt door de thermische agitatie voortdurend in beweging gehouden en dit geeft aanleiding tot inhomogene lijnverbreding. Immers, de snelheid van de atomen op microscopische schaal is van de orde van Optische communicatie v2008

Jan Engelen

3- 6

1 km/s bij kamertemperatuur7. Wanneer een elektron in een bewegend atoom een energiesprong maakt en een foton afgeeft, zal dit foton van het atoom een zekere hoeveelheid van beweging (momentum ) meekrijgen, waardoor zijn golflengte λ krachtens de wet van DE BROGLIE :

λ=

h p

(3-6)

gewijzigd wordt. Men kan dit verschijnsel op zeer eenvoudige wijze verklaren door het als een DOPPLER effect te beschouwen. Een stilstaande waarnemer zal het uitgezonden foton observeren bij een frequentie υ O − Δυ met

Δυ =

vz .υ c o

(3-7)

Hierin is vz de componente van de snelheid van het atoom in de richting z, weg van de waarnemer. Omgekeerd, een atoom dat beweegt in de z-richting met een snelheid vz (positief of negatief), zal licht met frequentie ν dat zich in de positieve z-richting voortplant, "waarnemen" alsof het een frequentie had gegeven door:

υ door atoom waargenomen = υ − Δ υ = υ −

vz v . υ = υ.(1− z ) c c

(3-8)

Voor het mechanisme van de gestimuleerde emissie is dit verschijnsel zeer belangrijk, want de atomen in de plasmabuis van een gaslaser bewegen zich in allerlei richtingen. Sommige atomen gaan het licht tegemoet en zij nemen dit licht waar alsof het een hogere frequentie had. Andere gaan met het licht mee en "voelen" een verlaagde frequentie. De frequenties waaraan een atoom zijn energie wil afstaan, worden door de beweging niet gewijzigd: het atoom voert met zich de hogervermelde Lorentz distributie mee en het laat zich volgens deze distributie aanspreken. Wij bevinden ons echter niet in het referentieframe van het atoom. Als stilstaande waarnemer zien wij de invloed van het DOPPLER effect.

7

G.François, "De Laser en zijn toepassingen", cursusnota's KULeuven, appendix p.60 (1994)


Jan Engelen

3- 7

Lagere lichtfrequenties die ver beneden het Lorentz profiel liggen, worden door atomen die met voldoende snelheid naar het licht toe gaan, waargenomen bij de resonantiefrequentie υo van die atomen, zodat zij die atomen toch kunnen stimuleren. Eveneens kunnen hogere frequenties atomen aanspreken, die toevallig tegen de juiste snelheid met het licht mee bewegen. De snelheidsverdeling van de atomen in één welbepaalde richting (bv. in de richting van een lichtstraal die we door het actief midden laten schijnen) is Gaussisch. Hieruit volgt dat ook de lijnverbreding te wijten aan het DOPPLER effect een Gaussisch profiel krijgt :

g( υ )=

⎡ υ−υ0 ⎤ 2 ⎥ Δυ ⎦

−⎢ 1 .e ⎣ π .Δυ

waarbij Δυ =

υ 0 2kT m

c

(3-9)

(3-10)

en k = de constante van Boltzmann = 1,38 x 10-23 J/K T = absolute temperatuur in K m = massa van een bewegend atoom (kg) Het centrum van de Doppler-verbrede lijn valt samen met de eigenfrequentie van het atoom. De breedte van de lijn, gedefinieerd als de frequentieafwijking waarbij haar waarde nog slechts de helft bedraagt van deze in het centrum, is gegeven door : 2( υ − υ 0 ) = 2 ln 2 .Δυ (3-11) of 2( υ − υ 0 ) = 2 ln 2

υ0 2kT

c m Voor de He-Ne laser (bv. het isotoop Ne20) met λ = 0,6 μm geeft dit bij

(3-12)

kamertemperatuur :

2( υ − υ 0 ) = 2 ln 2

5.1014 3.108

2. 1,38.10 -23 . 300 20 .1,67.10 -27

= 2.( 700 MHz) Optische communicatie v2008

Jan Engelen

3- 8

Bij de normale bedrijfstemperatuur is de lijnbreedte iets groter, nl. 1700 MHz. De DOPPLER lijnverbreding, in tegenstelling tot de natuurlijke lijnbreedte, is inhomogeen. Dit volgt uit het mechanisme dat aan haar basis ligt: een bepaalde, monochromatische lichtstraal spreekt alleen die atomen aan, waarvan de snelheid toevallig binnen bepaalde nauwe grenzen ligt. De andere atomen blijven onaangeroerd, wat meteen betekent dat zij hun energie aan andere lichtfrequenties, dus voor andere modes (als die er zijn) kunnen afstaan. Onderstel nu dat we opnieuw de versterkingscurve van het gas als functie van de frequentie willen opnemen ditmaal rekening houdend met de Doppler verbreding. De schaal van de frequenties is nu verschillend – steeds in het geval van de He-Ne laser – vermits de Doppler kurve zowat 15 maal breder uitvalt dan de Lorentz kurve. Het blijft wel waar dat alle modes nagenoeg gelijke verliezen ondergaan. We verhogen geleidelijk opnieuw de inversie. De mode die het dichtst bij het midden van de Dopplerkurve ligt, begint op een gegeven ogenblik te oscilleren. Zij put haar energie uit de atomen die in de z-richting nagenoeg stilstaan. Haar oscillatie spreekt de andere atomen, die in de positieve of de negatieve z-richting bewegen, niet aan. We verhogen nog de inversie. De bevolking van stilstaande atomen kan niet toenemen. De oscillatie belet dit ('gain saturation'). De bewegende atomen nemen echter wel in aantal toe. Naburige modes zien hun oscillatiedrempel overschreden worden en gaan op hun beurt de verdere groei van de Doppler kurve lokaal beletten. Uiteindelijk komen we tot een toestand waarin zowat alle modes die binnen de Doppler curve liggen, tegelijkertijd oscilleren. Elke mode houdt de versterking bij haar oscillatiefrequentie vast op het niveau van de verliezen. Indien we nu met een uitwendige lichtbron de versterking van het actief midden zouden opmeten in functie van de frequentie (zoals hoger bij de homogene lijnverbreding), dan zouden we het Gaussisch profiel van de Doppler verbreding niet meer terugvinden. In de plaats daarvan komt de kromme van fig. 3-3. Men zegt dat er in het Doppler profiel "gaten gebrand werden" door de oscillaties. De breedte en het verloop van elk "gat" stemt overeen met die van het Lorentz profiel van de natuurlijke (homogene) verbreding.


Jan Engelen

3- 9

Versterking g (ν)

1700 MHz niveau van de verliezen

c/2L

c/2L

c/2L

c/2L

Fig. 3-3: Dopplerprofiel van de versterking van neongas waarin laserwerking met vier longitudinale modes optreedt. Er zijn 8 gaten in "gebrand" .

Zoals de figuur aantoont, worden er door elke mode in feite twee gaten gebrand. Deze liggen symmetrisch t.o.v. het midden van de Doppler lijn. Dit is een gevolg van het "dubbel gebruik" van het actief midden door de laserstraal: de laserstraal doorkruist het midden tweemaal : éénmaal van links naar rechts en éénmaal van rechts naar links. De Doppler kromme is bij definitie het verloop van de versterking die we meten wanneer we een monochromatische lichtstraal in één richting (bv. van links naar rechts) door het actief midden sturen. Onderstel dat de oscillatiefrequentie van de laser beneden het centrum van de Doppler lijn ligt. Dan zal het laserlicht alleen die atomen aanspreken, die het licht met verhoogde frequentie waarnemen, d.w.z. alleen atomen die het laserlicht met een zekere snelheid tegemoet komen zullen gestimuleerd worden. Er zijn echter twee groepen atomen waarvoor dit geldt: zij die voldoend snel naar links toe gaan worden aangestoten door het laserlicht dat naar rechts gaat, en – dit is belangrijk – ook de atomen die voldoend snel naar rechts gaan worden aangesproken, ditmaal door het laserlicht dat terugkeert. De monochromatische straal waarmee we de Doppler curve aftasten, zal het ontbreken van de eerste groep atomen waarnemen als een "gat" dat gebrand werd aan de zijde van de lage frequenties. De tweede groep atomen die ontbreekt, zal met de teststraal meevliegen en dit wordt waargenomen als een "gat" aan de zijde van de hoge frequenties, symmetrisch gelegen t.o.v. het eerste gat.


Jan Engelen

3- 10

Kort samengevat: door het feit dat het laserlicht de caviteit in de beide richtingen doorloopt, brandt elke lasermode niet één maar twee gaten in het Doppler profiel. Ze put dus energie uit twee categorieën bewegende atomen. c) Opmerkingen 1) Inhomogeen vs homogeen De scheiding tussen homogene en inhomogene verbreding is niet zo scherp te bepalen als men zou kunnen vermoeden uit wat vooraf gaat: atomen zitten niet voor eeuwig vast in het vakje vz, vz + d vz. Door botsingen in het gas worden zij weggeslagen naar andere "vakjes". De gemiddelde tijd tussen twee opeenvolgende botsingen bepaalt de snelheid van de uitwisseling van energie tussen de verschillende delen van de Doppler kurve. Indien deze uitwisseling zeer snel plaats grijpt (veel botsingen) maakt zij de lijn homogeen! Het criterium waarmee de tijd tussen twee botsingen moet beoordeeld worden, is de verblijftijd van de atomen in het bovenste laserniveau. Indien de oscillatie de atomen aanspreekt zodra ze beschikbaar gesteld worden, en nog voor ze de tijd vinden een botsing te maken, dan is het midden inhomogeen verbreed en meerdere oscillaties worden gelijktijdig gevoed. Ondergaan de atomen echter veel botsingen vooraleer ze gestimuleerd worden om af te dalen (langere verblijfstijd in het hoogste niveau), dan wordt de Gaussische snelheidsdistributie van de atomen voortdurend hersteld en de lijn zal zich voordoen als homogeen verbreed. Voor de He-Ne laser geldt dit laatste niet8: de inhomogene lijnverbreding is de belangrijkste en verschillende longitudinale modes zullen gelijktijdig optreden. De totale lijnbreedte, tweemaal 850 MHz, laat toe dat, zelfs in kleine lasers (minder dan 1 m lang) meerdere longitudinale modes gelijktijdig oscilleren. Voorbeeld: in een He-Ne laser met lengte 70 cm komen zowat 6 à 7 modes gelijktijdig op gang. (c/2L = 215 MHz).

8

Daarom namen wij deze laser als voorbeeld bij de uitleg van de inhomogene lijnverbreding.


Jan Engelen

3- 11

2) De LAMB dip Korte tijd na de ontdekking van de HeNe laser toonde Willis E. Lamb Jr. (9) aan dat in het midden van de Dopplerkurve van de versterking, bij een inhomogeen verbrede laserlijn, een kleine "lokale inzinking" te verwachten was. Zonder op alle details in te willen gaan, kunnen we toch aantonen waarom dit zo is. Zoals hoger aangegeven put een lasermode energie uit twee categorieën van bewegende atomen (één groep met snelheid v en één groep met snelheid -v). Voor stilstaande atomen is er echter maar één groep met snelheid nul (de "gaten" overlappen elkaar) en de oscillatie doet tweemaal beroep op dezelfde atomen. Ook al zijn die stilstaande atomen het talrijkst, het resultaat is een lokaal minimum in het verloop van het laservermogen in functie van de frequentie. M.a.w., het vermogen van een laserlijn precies in het centrum van de Dopplercurve is lager dan dat van een lijn die iets uit het midden oscilleert. Dit fenomeen noemt men gewoonlijk de LAMB DIP. 1

Lamb dip

0

Fig. 3-4:

9

De LAMB dip in de versterkingskurve van een Doppler verbrede laserlijn

W.E.Lamb Jr., R. A. McFarlane and W. R. Bennett Jr., "Single Mode Tuning Dip in the Power Output of an He-Ne Optical Maser," Appl. Phys. Lett. 2, 189-190 (1963). W.E.Lamb Jr., "Theory of Optical Masers", Physical Review, 134, p. A1429-A1450, June 1964 [Reprinted in "Laser Theory", edited by F. S. Barnes (IEEE Press, New York, 1972), pp. 219-240].


Jan Engelen

3- 12

C. De monochromatische laser a) Inleiding De meervoudige oscillaties die we hoger gevonden hebben, doet afbreuk aan de populaire voorstelling van de laser als de ideale monochromatische lichtbron. Bovendien liggen opeenvolgende longitudinale modes in feite relatief dicht bij elkaar, zodat zij twee per twee zwevingen met frequentie c/2L, 2c/2L, enz... (grootteorde 100 MHz en veelvouden) gaan voortbrengen. Indien we de uitgang van een gewone He-Ne laser met een fotocel (kwadratische detector) opnemen en het frequentiespectrum van het resulterend signaal onderzoeken, krijgen we veeleer de indruk een bron van (nauwbandige) ruis te bestuderen dan een lichtbron met hoge coherentie! De proef met de interferometer van Michelson geeft een analoog resultaat: de interferentiestrepen van een He-Ne laser vervagen zodra het weglengteverschil 10 cm overtreft. Vele toepassingen van de laser, in het bijzonder deze in de metrologie, vereisen een grote coherentielengte. Om dat te bereiken en een echte monochromatische laser te bouwen, moeten we door een of ander middel beletten dat meerdere longitudinale modes gelijktijdig tot oscillatie zouden komen. b) Technieken voor monochromatische lasers 1) Korte caviteiten De meest voor-de-hand liggende methode is het drastisch verkorten van de lasercaviteit. Indien we de spiegel-afstand verkleinen tot 15 cm of minder, wordt de modeafstand c/2L zo groot (> 109 Hz), dat er maar één mode meer onder de Doppler kurve valt. Het resultaat is verbluffend: de coherentielengte springt van ≈ 10 cm omhoog naar een waarde die tientallen, zoniet honderden meter bedraagt. De laser straalt nu echt monochromatisch10 licht uit en hij kan aanzien worden als een elektromagnetische oscillator met één optische frequentie. Voor deze prestatie betalen we echter een prijs: niet alleen heeft de

10

Het monochrome karakter wordt nog wel beperkt door de Lorentzverbreding en de kwaliteitsfactor van de caviteit (zie verder).


Jan Engelen

3- 13

monochromatische laser, als gevolg van zijn beperkte lengte, een zeer kleine versterking (ongeveer 1% van spiegel tot spiegel), maar hij heeft ook een klein uitgangsvermogen, typisch 0,1 mWatt. Wanneer men dit vermogen vergelijkt met dat van gewone He-Ne lasers, stelt men vast dat het niet meer in verhouding is tot de lengte van de laser. Het valt merkelijk lager uit. Het verschil ligt hierin dat de ene mode die tot oscillatie komt, slechts een zeer klein deel van de Doppler verspreide atomen aanspreekt. Dit is een mooie bevestiging van het inhomogeen karakter van de Doppler verbreding. 2) Interferentiefilter Het gebruik van een korte laser is niet de enige techniek om monochromatisch licht voort te brengen. Andere methodes gebruiken een lange laser met een interferentiefilter in de caviteit. Dit filter is niets anders dan een paar spiegels die samen weer een korte lasercaviteit vormen (fig. 3-5). Alleen de modes die gemeenschappelijk zijn aan de lange en de korte caviteit11, kunnen tot oscillatie komen.

Fig. 3-5: Monochromatische laser met één lange en één korte caviteit.

Net zoals bij de korte lasers blijft het nuttig vermogen van deze opstellingen beneden dat van gewone lasers met dezelfde lengte.

11

Om n x c/2L en n' x c/2L' precies gelijk te maken moet de lengte van één van beide caviteiten variabel en instelbaar gemaakt worden. Dit kan door één van de spiegels op piëzo-elementen te monteren en een terugkoppelmechanisme in te bouwen.


Jan Engelen

3- 14

3) Gebruik van frequentiemodulatie Wenst men toch te beschikken over het volle laservermogen, dan moet men op een of andere wijze energie overhevelen van de flanken van de Doppler curve naar het centrum. Dit kan gebeuren door gebruik te maken van een frequentiemodulatiesysteem (12). Hierop ingaan zou ons te ver leiden, temeer daar de korte laser, omwille van zijn eenvoud, in commerciële uitvoeringen algemeen de voorkeur krijgt boven de meer ingewikkelde schema's. c) Stabilisatie van de frequentie 1) grofregeling Indien we geen voorzorgen nemen zal de lengte van een laser in bedrijf langzaam driften, als gevolg van de thermische uitzetting van het frame dat de spiegels draagt. Voor een aluminium frame en een spiegelafstand van 10 cm stemt een verlenging met één golflengte overeen met een temperatuurstoename van 1,5 °C. Door gebruik te maken van een frame uit invar13 of kwarts kan dit effect verkleind worden. Een andere techniek bestaat erin compenserend te werken. Men kan narekenen dat per graad Celsius een staaf van 10 cm invar evenveel uitzet als 0,5 cm koper. Monteert men de spiegels zoals in fig. 3-6 dan compenseert de uitzetting van het invar deze van het koper en blijft de spiegelafstand gelijk bij veranderlijke temperatuur. spiegel

Cu

invar Fig. 3-6: Uitzettingscompensatie om de spiegelafstand gelijk te houden bij temperatuurswisselingen.

Men kan ook de elementen die de spiegelafstand bepalen, in een thermostatisch gecontroleerde oven onderbrengen. Dit heeft dan weer het nadeel dat de laser bij het in bedrijf nemen een redelijk lange opwarmtijd vraagt. 12

13

S.E.Harris & O.P.McDuff, "F.M.Laser Oscillation", Appl.Phys.Letters, 5, p. 205, Nov. 1964. S.E.Harris & R.Targ, "F.M.Oscillation of the He-Ne Laser", Appl.Phys.Letters, 5, p. 202, Nov. 1964. "Invar is basically steel with 36% nickel, and other smaller amounts of other elements for machinability (and because a pure mixture is hard to obtain!)" http://asuwlink.uwyo.edu/~metal/invar.html


Jan Engelen

3- 15

2) Fijnregeling In elk geval moet er een servomechanisme voorzien worden dat toelaat één van de modes – in principe om het even welke – te fixeren ten opzichte van het midden van de Doppler lijn. Vermits het niet mogelijk is een mechanisme te bedenken dat stabiliserend werkt in de onmiddellijke omgeving van een maximum, stellen de meeste constructeurs hun monochromatische lasers in op één van de flanken van de Doppler kromme. Stabilisatie kan dan gebaseerd zijn op vasthouden van het laservermogen op een bepaald percentage van het maximum vermogen. Andere constructeurs houden het bij een stabilisatie op de flank van de "Lamb dip" (zie hoger). Een zeer nauwkeurige stabilisatie kan bereikt worden als men de voortgebrachte laserlijn – althans een gedeelte ervan – door een selectief absorberende stof stuurt en de verzwakking ervan maximaliseert door de frequentie van de invallende golf te wijzigen. Uiteraard heeft men hiervoor een materiaal nodig met een sterke nauwbandige absorptie en dit bij een frequentie die onder de Dopplerkurve (en bij voorkeur dicht bij het maximum) van de laser valt14. Een andere techniek bestaat erin gebruik te maken van twee isotopen van neon (Ne20 en Ne22): de natuurlijke frequentie van de laserovergang is dan lichtjes verschillend. Men kan een laser bouwen die gelijke hoeveelheden gas van beide isotopen bevat en daarom op de gemiddelde frequentie (die nauwkeurig bekend is) zal gaan werken. Bij een gedetailleerde studie van de He-Ne laser (hoofdstuk 5 dat wegens tijdsgebrek niet kan behandeld worden) zouden we nog een andere oplossing ontmoeten (de H.P. Interferometer) die gebruik maakt van het Zeeman effect. Hiermee kunnen twee laserfrequenties opgewekt worden die altijd precies symmetrisch liggen (bv. νo+700 kHz en νo-700 kHz) tegenover de gekende top van de Dopplerkurve. 14

Bij 633 nm biedt een iodium absorptiecel de hoogste precisie. In een vergelijkende test vond men max. 12 kHz afwijking (2.5 delen op 1011 ) tussen verschillende, onafhankelijk van elkaar gestabiliseerde lasers. De frequentie bij de top van de Dopplerkurve bedraagt 473 612 436.5 MHz. Dit komt overeen met een golflengte in vacuüm van : 632,990577 nm (zie aanvullende teksten bij dit vak via http://kuleuven.be/optische_communicatie)

Bij de 3,39 μm lijn van de HeNe laser wordt een methaanabsorptiecel gebruikt. Hiermee wordt de IR laserlijn precies op 88 376 182 599 937 Hz (d.i. ongeveer 88 THz) afgeregeld. Optische communicatie v2008

Jan Engelen

3- 16

D. Modekoppeling Het voorkomen van meerdere relatief dicht bij elkaar gelegen frequenties in een laser kan effecten oproepen verwant aan het "aanzuigen" van elektronische oscillatoren15. Dit fenomeen in lasers met meerdere longitudinale modes noemt men modekoppeling. De zwevingsfrequenties tussen naburige modes beantwoorden alle aan de uitdrukking c/2L. De optische weglengte L verschilt echter (lichtjes) van mode tot mode omdat het midden tussen de spiegels dispersief16 is. De brekingsindexen van het gas en van de Brewster vensters hangen immers af van de golflengte. Hoe weinig ze ook verlopen over de Doppler bandbreedte, toch volstaat dit om de zwevingen tussen modes meerdere tientallen kHz uiteen te spreiden17. Onder bepaalde omstandigheden kunnen de modes van de laser met elkaar gekoppeld worden op zo'n wijze dat de opeenvolgende zwevingsfrequenties onderling gelijk worden en in een vast faseverband staan. De samenstelling van een aantal modes dat aan deze opgave voldoet, geeft, door interferentie, een uitgangsignaal dat uit periodische pulsen bestaat18. De herhalingsfrequentie van de pulsen is de (nu vaste) modeafstand c/2L. Alles doet zich voor alsof er binnen de lasercaviteit een prop licht met een lengte (voor de He-Ne laser) van 20 cm heen en weer kaatst. Telkens die prop aan de uitgangsspiegel verschijnt, komt er uit de laser een lichtpuls. Hoe langer de laser, des te groter is de tijd tussen twee pulsen. Hoe groter de lijnbreedte van de atomaire inversie, des te korter is de puls. Op deze wijze worden bij kleurstof- en titanium-saffier lasers pulstijden bekomen in het femtosecondengebied. Uit de Fourier-analyse weten we dat dit soort korte pulsen zich dan in het frequentiedomein als een frequentiekam voordoen waarin extreem hoge frequenties met een nog eindige energie-inhoud kunnen gevonden worden. Met dergelijke kammen kan dan, door interferentie, de (optische) frequentie van allerlei fysische verschijnselen gemeten worden, zonder deze rechtstreeks te moeten tellen (wat nog steeds niet mogelijk is).19 15

16 17 18 19

Aanzuigen is de term die uitdrukt dat de normale frequentie van een oscillator door externe omstandigheden gewijzigd wordt. In de elektronica uit zich dit door het feit dat twee oscillatoren bij licht verschillende frequentie, die bv. uit eenzelfde voeding energie krijgen, toch op dezelfde frequentie gaan oscilleren. Dispersief betekent dat de brekingsindex varieert met de golflengte. In die zin zijn alle bestaande materialen in meer of mindere mate dispersief. Experimentele gegevens hierover vindt men in de practicumnota's over de Fabry Pérot interferometer. Dit is uitgewerkt in het appendix bij dit hoofdstuk. Deze kam-meettechniek is het levenswerk van Th. Hänsch, Nobelprijswinnaar Natuurkunde 2005. Op de webpagina's van zijn Max Planck instituut in Garching (Duitsland) is hierover een schat aan informatie te vinden.


Jan Engelen

3- 17

E. Spiegelsystemen voor lasers: stabiliteit en caviteitsstructuren a) Inleiding De voortdurende weerkaatsing van een lichtstraal tussen twee spiegelende oppervlakken is een essentieel kenmerk van een laser vermits het de positieve terugkoppeling veroorzaakt die nodig is om van de versterker een oscillator, en dus van een optische versterker een laser, te maken. Tot nu toe namen we aan dat we met vlakke spiegels de vereiste terugkoppeling zouden kunnen realiseren. Nochtans is het duidelijk dat we deze spiegels slechts een beperkte afmeting kunnen geven zodat we eigenlijk ook geen vlakke golven (die oneindig uitgebreid zijn) kunnen verwachten. De eerste lasers hadden wel degelijk vlakke spiegels. Maar het bleek snel dat gekromde spiegels een veel beter alternatief vormden, voornamelijk omdat zij minder verliezen (kunnen) vertonen ten gevolge van stralen die over de rand van de spiegels verdwijnen. Het gebruik van gekromde spiegels kan dit verlies immers sterk verminderen20. Aan welke voorwaarden qua afstand en kromming de spiegels moeten voldoen om een stabiele21 caviteit te bekomen, is de eerste belangrijke vraag die we hierna zullen beantwoorden. Daarna kunnen we de precieze veldverdelingen in een laser met gekromde spiegelcaviteit onderzoeken en komen zo tot de Gaussische straal, die omwille van zijn groot praktische belang in het volgende hoofdstuk verder toegelicht wordt. b) Stabiliteit van een spiegelsysteem Een doorgedreven analyse van zo een spiegelsysteem werd al in 1961 uitgevoerd

20 21

Een van hun onderzoekstopics is het zoeken naar betere klokken. Zoals in hoofdstuk 1 aangegeven zijn de huidige klokken op cesium gebaseerd. In het Max Planck instituut wordt onderzocht of men met eenvoudiger atomen (waterstof of helium) geen grotere nauwkeurigheid en betere stabiliteit kan halen. http://www.mpq.mpg.de/~haensch/comb/index.html http://www.mpq.mpg.de/~haensch/ of vermeerderen bij onoordeelkundige keuze van afstanden en kromtestralen! met stabiel is hier bedoeld is dat er een permanente golfverdeling mogelijk is in de caviteit


Jan Engelen

3- 18

door Goubau en Schwering22. Het basisartikel van Kogelnik23 uit 1966 geeft, naast een overzicht van de te verwachten modepatronen, ook aan welke verliesfactoren men bij de gekromde caviteiten mag verwachten ten gevolge van straling die over de rand van de spiegels weglekt.

1) Analyse van Goubau en Schwering. Inleiding We trachten de stabiliteit van een gekromde caviteit te achterhalen door gebruik te maken van geometrische- of stralenoptiek. We gaan na hoe een straal door de beide spiegels omgeplooid wordt en onder welke voorwaarden deze straal in de caviteit blijft, ook na herhaaldelijke weerkaatsingen. Uit de natuurkunde zijn ons de wetten voor beeldvorming en straalbreking van spiegels en lenzen bekend. Voor onze studie moeten we echter enkele benaderingen invoeren en zullen we overgaan op de matrixvoorstelling van optische systemen. De principes hiervan zijn in het appendix B bij dit hoofdstuk uitgelegd. Herhaalde heen-en-weer-doorgangen door de caviteit In het appendix 3B is de optische matrixtheorie voor de lenzen en vrije ruimtes uitgewerkt. We richten onze aandacht nu terug op de lasercaviteit. Indien een lichtstraal m maal de rondgang door de caviteit maakt, dan geldt nog steeds het basisprincipe: de resulterende matrix bekomt men uit het m-maal met zichzelf vermenigvuldigen van de matrix voor één rondgang. Om deze machtsverheffing uit te werken steunen we op het feit dat de m-de macht van een matrix wordt bepaald met het theorema van

22 23

G.Goubau & F.Schwering, "On the guided propagation of electromagnetic wave beams", IRE Transactions on Antennas and Propagation, 9, p. 248 e.s., May 1961. Kogelnik H. & Li T., "Laser beams and resonators", Proc. IEEE, vol. 54, no 10, pp 13121329, 1966 Een kopie voor gebruik binnen K.U.Leuven is beschikbaar op http://kuleuven.be/optische_communicatie


Jan Engelen

3- 19

Sylvester24 De uitgewerktemachtsverheffing interesseert ons echter nu niet. De belangrijkste wat we immers met onze stralenstudie willen bereiken, is dat de straal niet uit de caviteit weg divergeert. In wiskundige termen betekent dit dat de hoek θ die in de formule van de machtsverheffing staat, effectief moet bestaan. Omdat θ gelijk is aan de cosinus van helft van A+D moeten we dus eisen dat: (A+D) /2 tussen -1 en +1 ligt. Dit geeft:

(A + D) / 2 = 1 2 [− L / f 1 + (1 − L / f 1 )(1 − L / f 2 ) + 1 − L / f 2 ] ⎡ L.L ⎤ = 1 2 −2L / f 1 + 2 − 2L / f 2 + ⎢⎣ f 1 . f 2 ⎥⎦ 2.L. L = 1− 2L / R1 − 2L / R2 + R1 .R2

(3-13)

De voorwaarde kan herwerkt worden tot:

24

−1 ≤ 1− 2 L / R1 − 2L / R2 +

2. L. L ≤1 R1 .R2

−2 ≤ − 2L / R1 − 2L / R2 +

2.L.L ≤0 R1 . R2

−1 ≤ − L / R1 − L / R2 +

L. L ≤0 R1 .R2

0 ≤ 1 − L / R1 − L / R2 +

L.L ≤1 R1 . R2

Algemeen is dit: m

⎡a b ⎤ 1 ⎡a.sin nθ − sin(n − 1)θ = . ⎢⎣ c d ⎥⎦ sinθ ⎢⎣ c.sin nθ

(3-14)

b.sin nθ

⎤ d.sin nθ − sin(n − 1)θ ⎥⎦

waarbij 2.cosθ = a + d Het theorema wordt in verschillende wiskundeboeken bewezen. Een kort bewijs door inductie is ook gegeven in: Milonni & Eberly, "Lasers", ISBN 0-471-62731-3, ed. Wiley, 1988, pp. 476-477. Optische communicatie v2008

Jan Engelen

3- 20

en leidt dan tot het criterium voor de stabiliteit van een caviteit:

0 ≤ (1−

L L ).(1 − ) ≤ 1 R1 R2

(3-15)

We herhalen dat R1 en R2 de kromtestralen van de spiegels zijn en L de afstand ertussen. Als aan de voorwaarde hierboven niet voldaan is, worden de coëfficiënten van de m-de macht van de matrix steeds groter (hyperbolische functies) en de lichtstraal wandelt na enkele doorgangen weg uit de caviteit. Deze situatie (een "onstabiele resonator ") heeft desondanks een aantal merkwaardige en nuttige eigenschappen die echter slechts bij hoogvermogen pulslasers tot hun recht kunnen komen.


Jan Engelen

3- 21

2) Het diagramma van Kogelnik De g-parameters en de grafische voorstelling Deze dubbele ongelijkheid kan grafisch voorgesteld worden in een orthogonaal assenstel met L/R1 en L/R2 als assen. Indien we stellen: 1 - L/R1 = g1 en 1 - L/R2 = g2 dan zijn de twee vergelijkingen voor de randvoorwaarde respectievelijk: g1.g2 = 1 (een hyperbool) en g1.g2 = 0 (twee rechten) Mits enig denkwerk kunnen tussen deze curven de toegelaten en verboden R1, R2 combinaties aangegeven worden. Het resultaat vormt het stabiliteitsdiagramma van Kogelnik. Omwille van hun praktisch belang worden g1 en g2 de g-parameters van een caviteit genoemd. We ontmoeten ze later nog bij de studie van frequentieverschuivingen in de laser.


Jan Engelen

3- 22

Het diagramma van Kogelnik Om de stabiliteit van de verschillende resonatortypes te kennen, gaan we even wat dieper in op het stabiliteitsdiagramma (fig. 3-7).

L/R 2

1

L/R 1

0 1

Fig. 3-7: Het stabiliteitsdiagramma van Kogelnik. L is de afstand tussen de twee caviteitsspiegels, R1 en R2 zijn de kromtestralen van die spiegels. In het gearceerde gebied liggen de onstabiele resonatoren.

Voorbeelden van resonatoren In de figuren 3-8 en 3-9 zijn respectievelijk een aantal stabiele en onstabiele resonatoren getekend. Dit kan gemakkelijk aangetoond worden door hun karakteristieke punten op het diagramma van Kogelnik te tekenen.


Jan Engelen

3- 23

Enkele bijzondere gevallen: a) één vlakke spiegel Als spiegel 1 een vlakke spiegel is, geldt R1 = ∞ en dus L/R1= 0. R2 mag dan alle waarden aannemen tussen L en ∞. b) planparallelle caviteit (R1 = R2 = ∞) De caviteit is marginaal stabiel want het karakteristiek punt ligt in de oorsprong. c) symmetrische structuur (R1 = R2 ) Alle karakteristieke punten liggen op de bissectrice van het eerste kwadrant. Stabiliteit vereist dat zowel R1 als R2 gelijk aan of groter dan L/2 zijn. •

Voor R1 = R2 = L/2 vindt men de sferische ("bolvormige")

•

caviteit. Voor R1 = R2 = L geldt dat het kromtemiddelpunt van elke spiegel op het oppervlak van de andere ligt. Dit impliceert dat de twee brandpunten ("foci") samenvallen. Daarom heet deze caviteit een confocale caviteit.

In fig 3-8 zijn enkele van deze types voorgesteld. De lezer kan hun karakteristieke punten op het Kogelnik diagramma intekenen en zo hun stabiliteit verifiëren.


Jan Engelen

3- 24

Fig. 3-8: Stabiele lasercaviteiten (naar Milonni & Eberly, "Lasers")

Praktische lasercaviteiten Zoals hoger vermeld kunnen ook onstabiele resonatoren voor (puls)lasers ingezet worden maar daar zullen we hier niet verder op ingaan (toch enkele voorbeelden in fig. 3-9).

Fig. 3-9: Enkele voorbeelden van onstabiele lasercaviteiten (naar Milonni & Eberly, "Lasers")


Jan Engelen

3- 25

Bij de stabiele resonatoren zijn zowel de hemisferische als de zgn. long radius caviteit (R >> L) populair. De redenen hiervan hangen samen met hun bundeleigenschappen (zie fig. 3-10) die we echter pas in het volgende hoofdstuk zullen kunnen verklaren25.

Long radius caviteit Fig. 3-10:

Hemisferische caviteit

Het door een laserstraal ingenomen volume bij de lasercaviteit met de lange kromtestralen en bij de hemisferische resonator.

Vuistregel Tot slot geven we nog een vuistregel die toelaat stabiele en onstabiele caviteiten zonder berekeningen uit elkaar te kennen26: Een structuur is stabiel als de twee geometrische figuren, gevormd door de spiegels en een paar stralen naar hun kromtecentrum, elkaar moeten doorkruisen.

De constructie moet wel mogelijk zijn voor alle afmetingen van beide spiegels. Enkele voorbeelden zijn in de hiernavolgende figuur 3-11 gegeven.

stabiele resonatoren

onstabiele resonatoren

Fig. 3-11: Stabiele en onstabiele resonatoren gesorteerd met de vuistregel (zie tekst).

25

26

De hemisferische heeft aan de vlakke spiegel een kleine bundeldiameter waardoor modeselectie mogelijk is. De "long radius" lijkt wat op een caviteit met vlakke spiegels en de erin opgewekte bundel "vult" de caviteit goed op, vandaar een goed rendement voor de laser. (zie figuur) Naar G. François, "De Laser en zijn toepassingen", Leuven 1994, p. 74


Jan Engelen

3- 26

F. De Gaussische bundel als eigenmode van de spiegelcaviteit a) Afleiding en eigenschappen De golven in een lasercaviteit met gekromde spiegels kunnen niet vlak zijn [27]. Toch mag men er vanuit gaan dat in de meeste praktische caviteiten de kromming meestal beperkt is en dat de bundel zich grosso-modo volgens de verbindingslijn tussen de twee spiegels zal voortplanten (paraxiale benadering). Er zijn in de loop der jaren minstens vier manieren uitgewerkt om deze grondige studie aan te pakken [28]. De hierna volgende uitwerking 29 is vrij wiskundig maar levert snel een volledige beschrijving van de bundel. Elke veldcomponent van een coherent (en dus monochromatisch) veld voldoet aan de scalaire golfvergelijking: 2

2

∇ u+k u = 0

(3-16)

met k de golfconstante in het medium, d.i.

k = 2. π / λ

(3-17)

Vermits we verwachten dat de golf in de caviteit zich in de lengterichting ( zrichting) zal voortplanten, mogen we aannemen dat de oplossing van volgende vorm zal zijn:

u = Ψ(x,y,z).e (− j kz)

27

28

29

(3-18)

Opdat een permanente toestand (staande golf) zou mogelijk zijn in een caviteit moet ter plaatse van de spiegels het equifase oppervlak (d.i. het vlak van gelijke fase) samen vallen met het gekromde oppervlak van de spiegels. Bovendien zouden echte vlakke golven oneindig uitgebreid moeten zijn. Ze zijn opgesomd in [Siegman "Lasers", Univ. Science Books, ISBN: 0935702113, p. 641]. In G. François, "De Laser en zijn toepassingen", p. 85 ev., is een methode uitgewerkt gebaseerd op de ontbinding van een golf in vlakke golven en de daarmee samenhangende Fouriertransformatie. Naar Kogelnik & Li (cf. supra); ook bij Siegman, op.cit., p. 626


Jan Engelen

3- 27

d.w.z. ongeveer een vlakke golf (alle afwijkingen zijn in Ψ samengebracht). Het invoeren van de functie (3-18) in (3-16) levert:

∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂Ψ =0 2 + 2 − 2 jk ∂x ∂y ∂z

(3-19)

Hierbij is er van uitgegaan dat de tweede afgeleide naar z (de voortplantingsrichting) mag weggelaten worden. De voorwaarde hiertoe is:

∂ 2Ψ ∂Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ << 2k en ook << en << ∂z 2 ∂z ∂z 2 ∂ x2 ∂ z2 ∂ y2

(3-20)

Hieraan is meestal wel voldaan [30]. Vermits de vergelijking (3-19) analoog is aan de Schrödinger vergelijking kan een analoge oplossing bedacht worden. Omdat de bundel omwille van de symmetrie van de caviteit ook axiaal symmetrisch zal zijn, kunnen we postuleren dat voor Ψ een exponentiële van de volgende vorm kan gebruikt worden: − j( P +

Ψ=e

k 2 r ) 2q

(3-21)

waarbij r2 = x2 + y2 en P en q voorlopig als onbekende (en dus nog te bepalen) parameters aanzien worden. Door het invullen van (3-21) in (3-19) kan men de voorwaarden vastleggen waaraan P en q moeten voldoen. Dit geeft q' = 1

(3-22)

P'= - j / q

(3-23)

en

waarbij de accenten differentiëring naar z aangeven. 30

Uitzonderingen zijn zeer sterk convergente bundels (bv. in de focus van een lens met korte brandpuntsafstand). Voor een meer kwantitatieve bespreking verwijzen we naar [Siegman, op. cit., p. 630] en Marcatili E. & Someda C., "Gaussian Beams are fundamentally different from Free-Space Modes", IEEE J. Quantum Electronics, QE-23, No. 2, pp. 164-167, 1987.


Jan Engelen

3- 28

Tot hiertoe zijn P en q nog steeds louter mathematische begrippen. Omdat we er kunnen van uit gaan dat zowel fase als amplitude in de dwarsrichting zullen afhangen van r is het logisch aan te nemen dat q op zijn beurt een complex getal moet zijn. Het complexe deel van q levert dan, samen met de voorafgaande j- factor, een reëel getal en houdt dus verband met amplitudewijziging, het reële deel van q wijst, omwille van de voorafgaande j- factor, op faseverschuivingen. Een relatief eenvoudige bestudering van de bundel is mogelijk door de opsplitsing van q in reëel en imaginair deel als volgt door te voeren: 1 λ 1 = − j q R π w2

(3-24)

Het invullen van (3-24) in (3-21) geeft immers in de exponent een term: − jk

r2 2R

(3-25)

die precies het faseverschil tussen een sferische golf (met straal R) en een vlakke golf weergeeft [31]. Vandaar dat R de lokale kromtestraal van de bundel voorstelt. We vinden als reële term: r2 − 2 w

(3-26)

die het dwarsverloop van de amplitude aangeeft. We hebben dus te doen met een 31

De afstand tussen A en A' (voor punten dicht bij de x-as) kan eenvoudig berekend worden. De vergelijking van de cirkel met straal R is: (x - R)2 + r2 = R2 Oplossing naar x (met verwaarlozing van x2 ) geeft: - 2 xR = - r2 en dus: r2 x = -2R


r A

A'

Jan Engelen

R x

3- 29

gaussisch verloop van de amplitude in de x en y richting. De factor w wordt de bundeldiameter [32] genoemd. Het is evident dat R noch w constant zullen zijn naar z !! Gebruik makend van (3-22) en (3-23) kunnen hun formules bepaald worden. Men vindt voor w(z): w2(z) = wo2 [ 1 + (z / b)2 ] (3-27) (wo is de integratieconstante: het is de diameter als z = 0. Gezien de tweede term van (3-27) altijd positief is, is wo ook de minimumdiameter. ) Voor R(z) vindt men:

2 R(z) = z [ 1 + (b/z) ]

(3-28)

In de beide formules is de confocale parameter b= kowo2/2 ingevoerd waarvan de fysische betekenis later toegelicht wordt. Om de bundelbeschrijving af te ronden, moeten we nog de juiste waarde van P uitwerken. Omdat we hoger al het verband tussen P en q zagen, kan (3-23) nu opgelost worden. Het resultaat is een extra z-afhankelijke faseverschuiving tussen de gaussische bundel en een vlakke bundel, terwijl P ook de intensiteitsvariatie op de as in de richting van de lichtvoortplanting levert. Het globale resultaat van onze berekeningen, bv. voor de veldsterkte in een gaussische bundel is dan: r 1

U(x,y,z)

=

U • 0

1+(z/b)

-----------w

---------

2

2 0

• e

2 [1+(z/b) ]

z -jk z + jbgtg (z/b)- j 0 b

r

2

•-----------w

2 0

2 2 (1+ z /b )

• e

2

(3-29)

Op deze manier hebben we nu, eindelijk, de formule bij de hand die op een zeer nauwkeurige wijze het veld in een lasercaviteit beschrijft. In het volgende hoofdstuk wordt dit resultaat verder geanalyseerd en uitgewerkt. 32

De betekenis van w is: die afstand r tot de z-as waarbij de exponentiële als exponent - 1 -2 heeft. Dit betekent dat op die plaats de intensiteit een waarde heeft gelijk aan e (d.i. 13% ) van de maximumwaarde (= 1) op de as.


Jan Engelen

3- 30

Appendix 3.A: Modekoppeling Wiskundige aanpak

Bestuderen we wiskundig het effect van het samenstellen van een reeks modes met een vaste frequentieafstand. We doen dit voor het benaderend geval waarin alle modes dezelfde amplitude Eo zouden hebben. Het totale elektrische veld is dan: +N

∑E e [ ω

E(t) =

j (

0

0

+ l.Δω ).t ]

l=−N

met

ω 0 = centrale frekwentie

en

Δ ω = zwevingsfrekwentie = π .c / L (bij een laser omdat Δ υ = c / 2L)

Deze sommatie geeft (via een berekening gebaseerd op de som van een meetkundige reeks33):

E(t) = A(t).e j[ω 0 t ] met

[

E 0 sin 12 (2N + 1)Δω .t A(t ) = sin 12 Δω .t

[

]

]

2

De intensiteit A(t) vertoont een gepiekt verloop in de tijd en bereikt een maximum als de noemer nul wordt. Dit is indien:

[

]

sin 1 2 Δω .t = 0 en dus als 1 2 Δ ω .t = nπ 2L waaruit volgt:tn = 2n. π / Δ ω of t n = n. ⎡ ⎤ ⎣ c ⎦ De grootte van dit maximum blijkt eindig te zijn (aan te tonen via een limietberekening) en gelijk aan:

E02 (2 N + 1) 2

33

Zie bv. formule 420.3 in H. Dwight, "Tables of Integrals and other Mathematical Data", MacMillan Company, 1961, 335 pp. Of nog op de website van Mathematica: http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/23/01/


Jan Engelen

3- 31

Dit kon eigenlijk wel verwacht worden: de maximum amplitude is de som van de amplitudes van de componenten. De lengte van de gevormde pulsen kan bepaald worden als volgt. Bekijken we de eerste puls (met maximum in de oorsprong) en zoeken we het eerste nulpunt van de amplitudefunctie A(t). Dan vinden we:

[

]

sin 1 2 (2N + 1)Δ ω .t = π

π π 1 en dus t 0 = 1 =1 = 2 (2N + 1)Δ ω 2 (2N + 1).2π .Δ υ B met B = de totale bandbreedte van de pulsen. We mogen stellen dat de pulsduur (gemeten op halve hoogte van de puls) ongeveer gelijk is aan t0. Het is dus duidelijk dat een korte pulsduur bekomen wordt als vele modes, over een grote bandbreedte gespreid, met elkaar gekoppeld worden. We illustreren dit met een paar simulatievoorbeelden.


Jan Engelen

3- 32

Enkele simulaties: A. Zwevingen tussen 5 modes De eerste figuur hieronder geeft het resultaat van: y= sin(t*π*0.9)+sin(t*π*0.95)+sin(t*π*1)+sin(t*π*1.05)+sin(t*π*1.1) d.i. 2

∑ sin[(3,14(1 + l.0,05).t ]

l = −2

In termen van de wiskundige uitwerking hierboven is dit:

ω 0 = 3,14 s−1 en Δ ω = 0,05* 3,14 = 0,157 s

−1

De herhalingsfrekwentie van de pulsen is dus: t = 2. π / Δ ω = 2.3,14 / 0,157 = 40 s en de pulsduur: Δt =

π 1

2

(2N + 1).Δω

=

π 1

2

(2.2 + 1).0,157

=

20 =8s 2,5

5

0

-5

0 Fig. 3A-1:

50 Zwevingen tussen 5 modes (zie tekst)


Jan Engelen

3- 33

B. Zwevingen tussen 9 modes In het tweede voorbeeld zijn er meer modes (en dus een grotere totale bandbreedte) aangenomen. y = sin(t*π*0.8)+sin(t*π*0.85)+sin(t*π*0.9)+sin(t*π*1)+sin(t*π*1.1) +sin(t*π*0.95)+sin(t*π∗1.05)+sin(t*π*1.15)+sin(t*π*1.2) Dit is: 4

∑ sin[(3,14(1+ l.0,05).t ]

l = −4

De herhalingsfrequentie van de modegelockte pulsen blijft dezelfde, maar de pulsduur wordt nu:

Δt =

π 1

2

(2N + 1).Δω

=

π 1

2

(2.4 + 1).0,157

=

20 = 4,4 s 4,5

9

-9

0

50

Fig. 3A-2: Het verloop van de somfunctie voor 9 modes (zie tekst)


Jan Engelen

3- 34

100

0 0

50

Fig. 3A-3: Verloop van de intensiteit van de omhullende (A(t))2

Voor een HeNe laser kunnen er longitudinale modes voorkomen over de Dopplerbandbreedte van 1700 MHz. Bij modekoppeling bekomt men dan een pulsduur van de ordegrootte to = 1/B = 1/1,7.109 Hz = 0,6 ns. De lichtprop die hiermee overeenkomt, heeft een lengte van: c.to = 3.108. 0,6. 10-9 m = 0,2 m.


Jan Engelen

3- 35

Appendix 3.B: Matrixvoorstelling van spiegel- en lenzensystemen

3B.1 Equivalentie spiegel-lens Figuur 3B-1 illustreert de werking van een spiegel: invallende lichtstralen worden teruggekaatst in een richting die symmetrisch ligt met de invalsrichting ten opzichte van de normale op het spiegeloppervlak. Deze normale vormt dus de bissectrice van invallende en gebroken straal. Een concave, gekromde spiegel met kromtestraal R heeft een brandpunt F gelegen op een afstand f = R/2 van de top.

O

R

α

F

F

F

f

f Fig. 3B-1:

β

Equivalent gedrag van een spiegel en een lens met dezelfde brandpuntsafstand.

Nemen we nu een positieve lens met dezelfde brandpuntsafstand dan leren ons de lenswetten dat de straal die onder dezelfde hoek invalt als bij de spiegel (hoek α), onder dezelfde hoek (hoek β met β = α) weerkaatst wordt, zij het in de tegenovergestelde richting.

Fig. 3B-2:

Geometrie van een eenvoudige caviteit met twee gekromde spiegels.

Een lasercaviteit wordt gewoonlijk gevormd door twee gekromde spiegels. Een straal zal volgens de spiegelwetten tussen deze twee oppervlakken weerkaatsen. Omdat het tekenen van de stralengang vrij snel tot een onoverzichtelijke warboel


Jan Engelen

3- 36

leidt, is het aangewezen de twee spiegels door een oneindige rij lenzen met gelijke brandpuntsafstanden te vervangen. Daarna hebben we nog een techniek nodig om het effect van de herhaalde brekingen in die lenzenrij te kunnen berekenen. Deze techniek vindt men in de matrixtheorie. 3B.2 Matrixtheorie voor de geometrische stralenoptiek Een straal in een optisch systeem kunnen we kenmerken door op een bepaalde plaats zijn afstand tot de as te bepalen alsmede de richtingscoëfficiënt (= hoek) t.o.v. die as. We noemen deze grootheden resp. rin en r'in (Het accent verwijst naar het feit dat de richtingscoëfficiënt in feite een afgeleide naar de plaats is, dus: r'in = dr/dz). We willen nu het effect op rin en r'in kennen voor verschillende optische componenten. a) Eenvoudige lens Stellen we dat het vlak waar de straal toekomt, onmiddellijk links van een lens met brandpuntsafstand f is, dan kunnen we het effect van den lens zien als: rlens = rin r'lens = r'in- ( rin / f ) (3B-1) Dit is zo omdat volgens de lenswet (zie figuur 3B-3) geldt: 1/a + 1/b = -1/f met a en b de afstanden (tot de lens) van de snijpunten van de straal met de as. Hier is nu r'in = rin / a en r'lens = rin / b waaruit de formule voor r'lens kan gedistilleerd worden.


Jan Engelen

3- 37

r'in

f

f

F

r'

F

a

lens

-b

Fig. 3B-3: Hoekverandering veroorzaakt door een lens

De tweede formule is slechts geldig in paraxiale benadering, dit wil zeggen voor kleine hellingen r'in waarbij het verschil tussen de hoek gevormd door de lichtstraal en de as van het lenzensysteem en de tangens van die hoek voldoende klein zijn om te mogen stellen: α = tang α Men kan deze formule in een matrixvorm schrijven als:

ruit r' uit

=

1 −1/ f

0 rin . 1 r' in

(3B-2)

b) Een "lege ruimte" Een tweede optisch element waarvan we de matrixvoorstelling moeten kennen, is de "lege ruimte". Indien een straal, met haar weg door een stukje lege ruimte met lengte L aflegt (Fig. 3B-4) , dan geldt tussen ingangsvlak (index 2) en uitgangsvlak (index 3):

r' 3 r'

r

2

r

3

2

L Fig. 3B-4: Bepaling van de matrixcomponenten van een stuk "lege ruimte" Optische communicatie v2008

Jan Engelen

3- 38

r3 r'3 of opnieuw in matrixvorm:

= r2 + L.r'2 = r'2

r3 1 L r2 = . r' 3 0 1 r' 2

(3B-3)

c) Combinatie "lens + ruimte" Men kan ook narekenen wat de combinatie één lens/één vrije ruimte oplevert. Men vindt een resultaat dat de algemene matrixwet voor optische systemen bevestigt, n.l. de matrix van een gecombineerd systeem bestaat uit het product van de deelmatrices, maar genomen in omgekeerde volgorde. In het geval lens/ruimte moeten we dus het matrixproduct maken van de vrijeruimte-matrix en de lens-matrix. Dit levert:

1 r3 = r' 3 0

L 1 . 1 −1/ f

0 r1 . 1 r' 1

=

1 − L/ f −1/ f

L r1 1 r' 1

(3B-4)

d) Eén rondgang door de caviteit: "lens1-ruimte-lens2-ruimte" De caviteit bestaat uit twee, over het algemeen, verschillende spiegels. Een volledige "rondgang" van een straal door de caviteit, kan dus beschreven worden als: spiegelbreking_1 – vrije_ruimte – spiegelbreking_2 – vrije ruimte. Het effect van deze elementaire rondgang vindt men dan door vier matrices te vermenigvuldigen. De resulterende matrix is :

⎡− L / f1 + (1 − L / f1 )(1− L / f2 ) L(2 − L / f2 ) ⎤ ⎡ A B ⎤ ⎢⎣ −1/ f − 1/ f + L / f f ⎥⎦ = ⎢⎣C D⎥⎦ 1 − L / f 1 2 1 2 2

(3B-5)

De zgn. ABCD matrix voldoet aan de voorwaarde A.D - B.C = 1. Deze eigenschap vindt haar oorsprong in de reciprociteit van de stralendoorgang.


Jan Engelen

3- 39

Hoofdstuk De bundelstructuur van de laser...1. Enkele simulaties:...33 A. Zwevingen tussen 5 modes...33 B. Zwevingen tussen 9 modes

Recommend Documents