Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ......................................................
- 205 -
Klas: ................
Hoofdstuk 8 : Ontbinden in factoren van veeltermen Een veelterm in factoren ontbinden wil zeggen die veelterm schrijven als een product van veeltermen van een lagere graad. Ontbinden in factoren
x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3) Uitwerken
1. Het buiten haken brengen van een gemeenschappelijke factor: Voorbeelden: (Opgave zie boek pag 164 nr. 1 en 2) a. b.
c.
d.
e.
xy 5 + x 2 y 2 = ...................................... 24a 2 b 2 − 12a 3b 3 = ................................. 1,2 x 3 y − 3,6 x 2 y 2 = .............................................. 12 x 5 y 2 − 16 x 4 y 4 + 8 x 6 y 3 − 10 x 3 y 4 = ...............................................
x ( x + 5 ) + y (− x − 5 ) = ................................................
2. Het samennemen van termen: Voorbeelden: (Opgave zie boek pag 166 nr. 3) a.
xy + xz + 5 y + 5 z = ............................................... = ................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... b.
- 206 -
Klas: ................
a 2 x + 3 x − a 2 y − 3 y = ............................................... = ...............................................
c.
3a 4 − 9a 3 + a 2 − 3a = ...................................................... = .......................................................
d.
12 x 4 − 18 x 3 + 12ax 2 − 8ax 3 = ................................................ = ..................................................
e.
x 3 y − 2 x 2 y 2 − 3 xy 2 + 6 y 3 = ................................................................. = ..................................................................
3. Het verschil van twee kwadraten A2 − B 2 = ( A + B ) ( A − B)
Voorbeelden: (Opgave zie boek pag 167 nr. 4 en 5) a.
b.
4a 2 − b10 = ...........................................
− x 2 + 25 = ..................................
c. 2 2 8 a − = ....................................... 3 3 d.
x2 − 5 = ............................. 5
e.
a4 − 18 = ................................................. 2
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... 4. Een som en verschil van twee derdemachten
- 207 -
Klas: ................
( ) A3 − B 3 = ( A − B ) ( A 2 + AB + B 2 )
A3 + B 3 = ( A + B ) A 2 − AB + B 2
Voorbeelden: Vul aan: (Opgave zie boek pag 169 nr. 6) a. b. c. d.
x 3 + 1 = (x + 1 ) (..........................................) 8 x 3 − 125 = (2 x − 5) (........................................) x 3 − y 3 = ( x − y )(...................................................) a 3 + 8 = ( a + 2 )(..............................................)
Ontbind in factoren (Opgave zie boek pag 169 nr. 7 en 8) a. b. c. d. e.
a 3 + 1 = ................................................ y 3 − 27 = ..................................................... x 3y 3 − 1 = ..................................... 0,027 x 3 + 0,125 = ........................... − 1 − 125 x 3 = ...............................................
f. 2t 3 +
1 = ............................................... 4
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... Klas: ................ 5. Twee kwadraten en het dubbel product van hun grondtallen A 2 + 2 AB + B 2 = ( A + B )2
Voorbeelden: (Opgave zie boek pag 171 nr. 9 en 10)
a. b.
9 x 2 + 30 x + 25 = ............................................. a 2 x 2 + 2ax + b 2 = ..........................................
c. x4 − d.
2 2 1 x y + y 2 = .............................................. 3 9
20 x 3 + 60 x 2 + 45 x = .................................................. = ...................................................
e. f. g.
− a 2 + 18a − 81 = ........................................ − 27 y 2 − 18 y − 3 = ................................................. b 7 − 16b 4 + 64b = .............................................. = ...............................................
h.
3x 2 − 2 x +
1 = ................................................... 3 = .....................................................
- 208 -
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... 6. Een volkomen derdemacht
- 209 -
Klas: ................
A3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3 = ( A + B )3 A3 − 3 A 2 B + 3 AB 2 − B 3 = ( A − B )3
Voorbeelden: (Opgave zie boek pag 172 nr. 11 en 12) a. b. c. d.
e. f.
a 3 + 125 + 75a + 15a 2 = ................................................. 27 x 27 − 135 x18 + 225 x 9 − 125 = ..................................................... x 9 + 3 x 6 + 3 x 3 + 1 = ................................................ 3 1 3 3 2 1 x − x + x − = ............................................... 125 50 20 8 27 a + 27 a 2 + a 4 + 9a 3 = ..................................................... 40 + 180 x + 270 x 2 + 135 x 3 = .............................................
7. Opsporen van een deler van de vorm x − a Voorbeelden: (Opgave zie boek pag 175 nr. 13 en 14) a.
5 x 2 + 7 x + 2 = ..........................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... b.
c.
3a 2 − 7 a − 10 = .......................................
5 x 2 − 23 x − 10 = ...........................................
- 210 -
Klas: ................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... d.
e.
- 211 -
Klas: ................
3 y 3 − 11 y 2 + 8 y + 4 = ...........................................
3 x 3 − 16 x 2 + 15 x + 18 = .......................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ......................................................
- 212 -
Klas: ................
8. Ontbinden in factoren van een veelterm van de vorm ax 2 + bx + c
Eventjes herhalen : Oplossen van een vierkantsvergelijking : ax 2 + bx + c = 0 D = b 2 − 4ac en D ≥ 0
⇔ x1 =
−b + D 2a
en x 2 =
−b − D 2a
Som van de wortels : S = x1 + x 2 = − Product van de wortels : P = x1 .x 2 =
b a
c a
We gebruiken deze informatie om een veelterm van de vorm ax 2 + bx + c te ontbinden in factoren :
Geval 1: D > 0 We weten dat x1 en x2 bestaan en redeneren als volgt : b c ax 2 + bx + c = a x 2 + x + a a
a buiten haken brengen
( ( ) ) = a ( x 2 − x1 x − x2 x + x1 x 2 )
= a x 2 − x1 + x 2 x + ( x1 ⋅ x 2 ) = a [ x ( x − x1 ) − x2 ( x − x1 )] = a ( x − x1 )(x − x 2 ) Geval 2: D = 0
We weten dat x1 = x2 en krijgen dus als ontbinding in factoren: ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )2 Geval 3: D < 0 We weten dat er geen oplossingen zijn voor de vierkantsvgl dus kunnen we de veelterm van die vorm niet verder ontbinden in factoren.
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... Voorbeelden: (Opgave zie boek pag 178 nr. 15) a.
b.
c.
d.
2 x 2 − 7 x − 4 = .............................................
9a 2 − 18a + 8 = ..................................................
3 y 2 + 5 y + 3 = ....................................................
10 z 2 + 11z + 3 = ................................................
- 213 -
Klas: ................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... e.
f.
g.
11 y − 2 − 12 y 2 = ..............................................
− 6 x 2 + 7 x + 3 = ..........................................
6 x 2 − 11x − 10 = .................................
- 214 -
Klas: ................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ......................................................
- 215 -
Klas: ................
Samenvatting:
Tweetermen
•
Gemeenschappelijke factor buiten haken brengen
•
A2 − B 2 = ( A + B ) ( A − B)
•
A3 + B 3 = ( A + B ) A 2 − AB + B 2
•
Delers van de vorm x – a opsporen
•
Gemeenschappelijke factor buiten haken brengen
•
A 2 + 2 AB + B 2 = ( A + B )2
•
ax 2 + bx + c : Discriminant en de wortels ( x1 en x2) bepalen van de corresponderende vierkantsvgl D > 0 ⇒ a ( x − x1 )( x − x2 )
Drietermen
( ) A3 − B 3 = ( A − B ) ( A 2 + AB + B 2 )
D= 0 D<0
Viertermen
⇒ a ( x − x1 )2 ⇒ ontbinden gaat niet
•
Delers van de vorm x – a opsporen
• •
Een gemeenschappelijke factor buiten haken brengen Samennemen van termen
•
A3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3 = ( A + B )3
•
A3 − 3 A 2 B + 3 AB 2 − B 3 = ( A − B )3 Delers van de vorm x – a opsporen
Vijftermen, • zestermen,...... •
Gemeenschappelijke factor buiten haken brengen Delers van de vorm x – a opsporen
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... Gemengde oefeningen:
- 216 -
Klas: ................
Nr. opgave
1.
2.
3.
4.
Toegepaste eigenschap/werkmethode
2a 5 − 16a 3 + 32a = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
= ......................................................
...........................................
6ax − 9ay − 4bx + 6by = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
a 5 − 16a = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
= ......................................................
...........................................
(x − 2 y ) (a − 3b ) + (a + 3b )(2 y − x ) = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
= ......................................................
...........................................
= .....................................................
............................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... 5.
6.
- 217 -
Klas: ................
b 2 −1 − a 2 + 2a = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
= ......................................................
...........................................
9 x 3 + 24 x 2 + 13 x + 2 = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
= ......................................................
...........................................
......................................................................................
...........................................
......................................................................................
...........................................
......................................................................................
........................................... ...........................................
7.
2 x 6 − 128 = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
= ......................................................
...........................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ...................................................... 8.
9.
2
Klas: ................
25 x 2 − 9 ( x + 3) = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
= ......................................................
...........................................
x 3 + 75 x − 125 −15 x 2 = .....................................................
10.
- 218 -
......................................... ..........................................
5 x 3 + 25 x 2 + 20 x = ....................................................
.........................................
= .....................................................
..........................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 8: Ontbinden in factoren van veeltermen Naam: ......................................................
Klas: ................
Toets jezelf : Ontbinden in factoren
a.
Opgave (boek pag 164 nr. 1) 3 x + 12
b.
7y − 7
c.
4 x − 3 xy
d.
2a + 6ab
x (4 − 3 y ) 2a (1 + 3b )
e.
x3 − 6x2
x 2 (x − 6)
f.
xy 5 + x 2 y 2
xy 2 y 3 + x
3 x − 27 x y
h.
24a 2 b 2 − 12a 3b 3
i.
28 x 7 y 3 − 21x 6 y 2 + 35 x 4 y 4
j.
− 9 p 4 + 3 p 2 q + 6q 2
k.
1,2 x 3b + 3,6 x 2 y 2
l. m. n. o.
2
3 (x + 4 ) 7 ( y − 1)
(
g.
2
2
- 219 -
)
