HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse §1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer handig, toont werking <-> niet altijd toe te passen systematische methode = opstellen van n vergelijkingen met n onbekenden altijd toe te passen doel netwerkgrootheden bepalen gegeven: gekende netwerkelementen en hun parameters gegeven: structuur (interconnecties) -> stromen in alle takken bepalen -> potentiaal op alle knopen bepalen (t.o.v. referentie) vereenvoudiging: lineaire netwerken geven lineair verband tussen netwerkgrootheden en bronwaarden <-> niet-lineaire netwerken ingewikkelder, meerdere oplossingen, … meestal werken rond werkpunt (schatting) + klein interval als lineair beschouwen = ‘incrementele analyse’
1 Tim De Backer 2009-2010
H3
§2. Manuele methode principe generiek analyseprobleem gegeven lineair weerstandsnetwerk selecteer willekeurig netwerkelement bepaal stroom erdoor en spanning erover (t.o.v. referentie) voor alle takken in netwerk => volledige analyse <-> meestal maar voor enkele gevraagd systeem knip de weerstand eruit + vervangen door 2 klemmen vereenvoudig netwerk tot Norton- of Thévenin-equivalent (steeds mogelijk) sluit beschouwde weerstand terug aan -> grootheden meteen af te lezen (vb. stroomdeler/spanningsdeler)
methode 1. knip de te beschouwen weerstand uit = vervang door twee klemmen 2. bepaal inwendige weerstand v/h resterend netwerk = alle bronnen op 0 + serie/parallel/driehoek-ster 3. bepaal openklemspanning van elke bron erin = alle bronnen behalve 1 op 0 zetten + reduceren 4. tel die openklemspanningen op (superpositie) dus stap 3 voor elke bron + optellen 5. combineer vergelijkingen = bepaal snijpunt
2 Tim De Backer 2009-2010
H3
bepalen inwendige weerstand systeem 1. zet alle bronnen op 0 -> spanningsbron 0V = kortsluiten -> stroombron 0A = openknippen gevolg: enkel nog weerstanden 2. vereenvoudig netwerk serieschakelingen parallelschakelingen ster-driehoektransformatie serieschakeling
met want wetten van Kirchoff moeten blijven gelden -> constant houden parallelschakeling
met
van
want wetten van Kirchoff moeten blijven gelden -> constant houden
3 Tim De Backer 2009-2010
H3
ster-driehoektransformatie beschouwd 3 weerstanden tegelijk
equivalente netwerken als geldt:
(= weerstanden tussen klemmenparen gelijk)
uitwerking stelsel naar
uitwerking stelsel naar
voorbeeld
4 Tim De Backer 2009-2010
H3
openklemspanning of kortsluitstroom bepalen netwerken met meerdere bronnen superpositiebeginsel ‘openklemspanning die volgt uit aanwezigheid van alle bronnen is de som van de openklemspanningen die resulteren uit alle bronnen afzonderlijk, dus met alle andere bronnen op nul’ praktisch beschouw methode netwerken met 1 bron voor alle bronnen afzonderlijk tel de openklemspanningen op netwerken met afhankelijke bronnen praktisch doe analyse alsof bronnen onafhankelijk zijn systeem netwerken met meerdere bronnen (voor elke bron apart + superpositie) elimineer afhankelijke bronnen in bekomen vergelijking = in superpositie van analyses vervangen door afhankelijkheidsvergelijking netwerken met één bron vereenvoudig opnieuw netwerk analoog bepaling interne weerstand op einde extra regels nodig verwaarloosbare weerstanden spanningsdeler en stroomdeler verwaarloosbare weerstanden spanningsbron + parallelle weerstand
stroombron + serieweerstand spanningsdeler
inwendige weerstand: (stel bron op 0V = kortsluiten) openklemspanning: (
en spanningsdeler) 5
Tim De Backer 2009-2010
H3
stroomdeler
inwendige weerstand: (stel bron op 0A = openknippen) kortsluitstroom: (
en stroomdeler)
nonsensnetwerken zinloze netwerken (analyse geen zin) twee verschillende spanningsbronnen in parallel twee verschillende stroombronnen in serie onbepaalde netwerken (antwoord onbepaald) kortsluitstroom ideale spanningsbron openklemspanning ideale stroombron voorbeeld
6 Tim De Backer 2009-2010
H3
§3. Systematische methode principe generiek analyseprobleem gegeven netwerk (lineair of niet-lineair, statisch of dynamisch) bepaal stroom door en spanning over alle netwerkelementen dus onbekenden stelsel van vergelijkingen opstellen numeriek laten uitwerken => waarden symbolische analyse => informatie over gedrag netwerk vergelijkingen opstellen vele methoden vb. knooppuntenmethode (universeel toepasbaar) knooppuntenmethode 1. kies referentieknoop (potentiaal 0) 2. groepeer knopen verbonden met ideale spanningsbron in ‘superknopen’ kies 1 knoop als hoofdknoop andere knopen in superknoop verschillen met gekende constante steeds meteen elimineren in vergelijkingen = vervangen door ‘hoofdknoop + constante’ 3. kies potentialen
op de onbekende (super)knopen als onbekenden
4. stel voor elke (super)knoop met onbekende potentiaal vergelijking op: * voor elke tak aan knoop toekomende stroom berekenen stroom in functie onbekende potentialen parameters netwerkelementen opm.: bij tak met stroombron waarde van stroombron nemen * som van alle toekomende stromen aan knoop is nul wegens knooppuntwet van Kirchoff 5. los stelsel van de verkregen vergelijkingen op => potentialen bekend 6. bepaal alle stromen door de componenten adhv gevonden potentialen + parameters netwerkelementen
7 Tim De Backer 2009-2010
H3
voorbeeld
8 Tim De Backer 2009-2010
H3
§4. Netwerken met spoelen en condensatoren niet-lineaire en dynamische netwerken oplossingsmethode niet-lineaire netwerken knooppuntenwet van Kirchoff blijft gelden <-> stromen naar knoop ifv onbekende potentialen zijn niet-lineaire functies gevolg: niet-lineair stelsel => complex + meerdere oplossingen mogelijk oplossingsmethode lineaire dynamische netwerken knooppuntenwet van Kirchoff blijft gelden <-> stromen op knoop ifv onbekende potentialen zijn lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten in de tijd spoelen en condensatoren in de systematische methode stroom-spanning-verbanden condensator
spoel met
cte beginwaarde stroom bij
opstellen vergelijkingen enkel condensatoren -> differentiaalvergelijking 1e graad enkel spoelen -> integraalvergelijking oplossen: afleiden -> differentiaalvergelijking 1e graad spoelen én condensatoren -> integro-differentiaalvergelijkingen oplossen: afleiden -> differentiaalvergelijking 2e graad beginvoorwaarden zeer belangrijk aanname alle bronnen op voor gevolg: stromen door spoelen op zijn 0 op gevolg: spanningen over condensatoren zijn 0 op + ook op
9 Tim De Backer 2009-2010
H3
voorbeeld RC-circuit
beginvoorwaarden we willen geen spanning over de condensator => bron maakt sprong van V naar V van net na 0 => (met de stapfunctie) gedrag 1. eerst volle spanning over weerstand want links en rechts nog 0 => grote stroom 2. spanning over condensator opgebouwd want door stroom door weerstand stijgt => spanningsverschil daalt over en stijgt over eerst snel, dan steeds trager (zie grafiek) => stroom daalt gelijklopend analyse systematische methode V (t) v1 (t) Cdv1 (t) 0 R dt V (t) V0U(t) v (0) 0 1
t v1 (t) V0U(t)(1 e RC ) t i(t) V0U(t) e RC R
tijdsconstante : hoe kleiner, hoe sneller circuit eindwaarde bereikt <-> bij RL circuit: energie om condensator op te laden V U (t ) i (t )dt CV 2 B
helft warmteverlies helft opgeslagen in condensator onafhankelijk van !!
0
0
0
1 0 2 1 R R i 2 (t )dt CV02 0 2
C v1 (t ) i (t )dt CV02
gedrag bij terugkeer naar vertrek van situatie en = stabiele situatie <-> eigenlijk maar bereikt in oneindig! energie bron geeft/neemt geen energie meer ( ) vrijgekomen energie uit condensator volledig weg in gevolg *op+ontladen van condensator kost bron energie *onafhankelijk van + alle energie warmteverlies 10 Tim De Backer 2009-2010
H3
§5. Lineaire netwerken in sinusregime eigenschap netwerken met sinusoïdale bron stelling alle netwerkgrootheden in een netwerk dat aangestuurd wordt met één sinusvormige stroom of spanning zijn: of: zelf sinusvormig, met zelfde frequentie als bron of: worden onbeperkt groot (enkel bij perfecte elementen <-> realiteit) uitbreiding door Fourierontbinding elke periodieke bron kan als superpositie van sinussen en cosinussen geschreven worden (Fourierreeks) => netwerkgrootheden aangestuurd door die bron bepalen: 1. voor elk van de sinusvormige signalen in bepalen 2. superpositie toepassen gevolg: Fourierontbinding van de netwerkgrootheden meteen gekend! gevolg sinusgrootheid met gekende frequentie heeft slechts twee onbekenden amplitude fase en bepalen gemakkelijk analoog met weerstandsnetwerken t.o.v. differentiaalvergelijkingen fasorvoorstelling situering wet van Euler toegepast
afleiding voorstelling van sinusoïdale spanning tijdsonafhankelijkheid en
is gekend en gelijk voor gans het netwerk => bepaalt gedrag
fasorvoorstelling sinusoïdale spanningsfunctie grafisch: vectoren in complexe vlak
voorstellen door fasor 11
Tim De Backer 2009-2010
H3
impedanties situering we werken met fasorvoorstelling => tijdsafhankelijkheid weggestoken in complexe getallen => ook bij dynamische elementen ‘constante’ (complexe) coëfficiënten algemeen verband tussen stroomgedrag en spanningsgedrag met statische componenten impedantie
de impedantie in constant i/d tijd (reëel + onafhankelijk van )
weerstand verband in sinusregime
fasorvoorstelling (spanning en stroom zelfde hoek) impedantie
condensator verband in sinusregime fasorvoorstelling (stroom ijlt 90° voor op spanning, want
)
impedantie
spoel verband in sinusregime
fasorvoorstelling
(stroom ijlt 90° na op spanning, want
)
impedantie
12 Tim De Backer 2009-2010
H3
netwerkvergelijkingen met fasoren eigenschap ‘fasor van som van sinusoïdale signalen met gelijke pulsatie is de som van hun fasoren’ gevolg Wetten van Kirchoff gelden ook voor fasorvoorstelling want werken met sommen van stromen en spanningen parallelschakeling van en serieschakeling van
en
netwerkanalyse met fasoren volledig analoog aan weerstandsnetwerken <-> met complexe getallen i.p.v. reële getallen volledige symbolische analyse mogelijk <-> voor numerieke analyse herevaluatie voor elke Bodediagram voorstelling voor gedrag van netwerkgrootheden ifv pulsatie of frequentie adhv hun twee parameters en amplitudediagram
op logaritmisch-logaritmiche schaal in dB relatief t.o.v. referentiewaarde fasediagram op linear-logaritmische schaal in graden
13 Tim De Backer 2009-2010
H3
