HODNOCENÍ ZPŮSOBILOSTI KONTROLNÍCH PROSTŘEDKŮ DOC.ING. JIŘÍ PERNIKÁŘ, CSC Požadavky na přesnost měření se neustále zvyšují a současně s tím i požadavky na vyhodnocení kvantifikovatelných charakteristik měřicích systémů. Ve strojírenských oborech jsou nejvyšší požadavky kladeny na měřicí systémy v automobilovém průmyslu. Ve velkoseriové a hromadné výrobě se stále častěji používají specializovaná automatická kontrolní pracoviště pro vyhodnocování konkrétních parametrů přesnosti dané součásti. Příspěvek se zabývá definováním a vysvětlením základních pojmů z oblasti přesnosti měření a jejich aplikaci při hodnocení jakosti kontrolních prostředků Klíčová slova: Přesnost měření, chyby měření, opakovatelnost, reprodukovatelnost, shodnost, stabilita, stálost, nejistota měření.
1. ZÁKLADNÍ POJMY A DEFINICE V METROLOGII Základní pojmy a definice v oblasti metrologii jsou uvedeny v Mezinárodním slovníku základních a všeobecných termínů v metrologii v normě ČSN 01 0115 a v ČSN ISO 5725–1 Přesnost (správnost a shodnost) metod a výsledků měření-Část 1: Obecné zásady a definice. V praxi se často používá dokumentů pro americké dodavatele automobilového průmyslu ASTM a ASQC (American Society for Quality Control), jejichž filozofie, terminologie a definice některých termínů nejsou vždy komformní s uvedenými normami. Přesnost měření je těsnost shody mezi výsledkem měření a pravou hodnotou měřené veličiny (přijatou referenční hodnotou). Přesnost je kvalitativní pojem. Chyba měření (absolutní) je výsledek měření minus (konvenčně) pravá hodnota měřené veličiny. Chyba měření se skládá z chyby systematické a náhodné. Systematická chyba je střední hodnota, která by vznikla z nekonečného počtu měření téže veličiny uskutečněných za podmínek opakovatelnosti, od které se odečte pravá hodnota měřené veličiny. Poznámka: Definice nebere v úvahu praktické možnosti. Střední hodnotu můžeme pouze nahradit jejím odhadem a pravou hodnotu přijatou referenční hodnotou. Proto nelze systematickou chybu vyloučit pomocí korekce v plném rozsahu. Náhodná chyba je výsledek měření minus střední hodnota, která by vznikla z nekonečného počtu měření téže veličiny uskutečněných za podmínek opakovatelnosti. Celková chyba je součtem systematické a náhodné chyby: ∆c = ∆ + δ,
kde ∆ δ
je chyba systematická - chyba náhodná
Opakovatelnost (výsledků měření) je těsnost shody mezi výsledky po sobě následujících měření téže měřené veličiny provedených za stejných podmínek měření. Do podmínek opakovatelnosti se zahrnuje: - tentýž postup měření - tentýž pozorovatel - tentýž měřicí přístroj použitý za stejných podmínek
- totéž místo - opakování v průběhu krátké časové periody. Opakovatelnost může být kvantitativně vyjádřena charakteristikami rozptylu výsledků.
f(x) konvenčně pravá hodnota naměřená hodnota
µ
xp
∆
xm
δ
x
∆c Obr. 1.1 Grafické vyjádření chyb měření Směrodatná odchylka opakovatelnosti je směrodatná odchylka výsledků zkoušek získaných za podmínek opakovatelnosti. Je to míra rozptýlení výsledků zkoušek za podmínek opakovatelnosti. Mez opakovatelnosti je hodnota, o níž lze předpokládat, že s pravděpodobností 95% bude pod ní ležet nebo jí bude rovna absolutní hodnota rozdílu mezi dvěma výsledky zkoušek získanými za podmínek opakovatelnosti. Používá se značka r. Reprodukovatelnost (výsledků měření) je shodnost za podmínek reprodukovatelnosti Podmínky reprodukovatelnosti: podmínky, kdy výsledky zkoušek se získají stejnou metodou, na identických zkoušených jednotkách, v různých laboratořích, různými operátory používajícími různé vybavení. Poznámka: Definice v ČSN 01 0115 definuje reprodukovatelnost jako shodnost za změněných podmínek. Tato obecná definice nemá v praxi uplatnění, protože nelze srovnávat nesrovnatelné. Směrodatná odchylka reprodukovatelnosti je směrodatná odchylka výsledků zkoušek získaných za podmínek reprodukovatelnosti. Je to míra rozptýlení výsledků zkoušek za podmínek reprodukovatelnosti. Podobně lze jako míru rozptýlení výsledků zkoušek za podmínek reprodukovatelnosti definovat a užívat „rozptyl reprodukovatelnosti“ a „variační koeficient reprodukovatelnosti“. Mez reprodukovatelnosti je hodnota, o níž lze předpokládat, že s pravděpodobností 95% bude pod ní ležet nebo jí bude rovna absolutní hodnota rozdílu mezi dvěma výsledky zkoušek získanými za podmínek reprodukovatelnosti. Používá se značka R. Správnost je těsnost shody mezi průměrnou hodnotou získanou z velké řady výsledků zkoušek a přijatou referenční hodnotou. Míra správnosti se obvykle vyjadřuje pomocí strannosti. O správnosti se někdy hovoří jako o „přesnosti průměru“. Užívání tohoto výrazu se nedoporučuje. Strannost (vychýlení) je rozdíl mezi střední hodnotou výsledků zkoušek a přijatou referenční hodnotou. Strannost je celková systematická chyba .
Shodnost (preciznost) je těsnost shody mezi nezávislými výsledky zkoušek získanými za předem specifikovaných podmínek. Shodnost závisí pouze na rozdělení náhodných chyb a nemá vztah k pravé nebo specifikované hodnotě. Míra shodnosti se obvykle vyjadřuje pomocí neshodnosti a počítá se jako směrodatná odchylka výsledků zkoušek. Menší shodnost se odrazí ve větší směrodatné odchylce.
operátor A
operátor B
operátor C
reprodukovatelnost
Obr.1.2 Reprodukovatelnost sytému měření
x
xr
strannost
Poznámka: x - aritmetický průměr opakovaných měření xr - konvenčně pravá hodnota
shodnost
Obr. 1.3 Strannost a shodnost měření Odlehlá hodnota je prvek množiny hodnot, který není konzistentní s ostatními prvky této množiny. ČSN ISO 5725-2 vymezuje statistické testy a hladinu významnosti, které se mají používat k odhalení odlehlých hodnot v experimentech správnosti a shodnosti.
Experiment posouzení zúčastněných laboratoří je mezinárodní experiment v němž se hodnotí výsledek činnosti každé z laboratoří používajících stejnou normalizovanou metodu měření na identickém materiálu. Stabilita měření charakterizuje celkovou proměnlivost výsledků měření stejného rozměru – znaku jakosti – v delším časovém úseku.
čas 1
čas 2
stabilita
Obr 1.4 Stabilita měření
Normalizovaná metoda měření. Aby se všechna měření prováděla stejným způsobem, musí být prováděna normalizovanou metodou. To znamená, že musí existovat psaný dokument, který detailně stanovuje, jak se musí měření provést, nejlépe takový, který zahrnuje i popis, jak se má získat a připravit měřený vzorek. Experiment přesnosti Míry přesnosti (správnosti a shodnosti)se mají určit z řady výsledků zkoušek předloženými zúčastněnými laboratořemi, které zorganizovala skupina odborníků sestavená speciálně k tomuto účelu. Identické zkoušené jednotky Při experimentu přesnosti se rozesílají vzorky určeného materiálu nebo vzorky určeného výrobku z jednoho centra do řady laboratoří v různých místech, v různých zemích nebo dokonce v různých světadílech. Vzorky musejí být identické, když jsou odesílány do laboratoří, i v době, když se měření skutečně provádí. Krátké časové intervaly V souladu s definicí podmínek opakovatelnosti musejí být měření pro stanovení opakovatelnosti provedena při konstantních pracovních podmínkách, to znamená, že jednotlivé faktory mají být během času potřebného pro měření konstantní. Zejména nesmí být mezi jednotlivými měřeními prováděna rekalibrace, pokud to není podstatná část každého jednotlivého měření. V praxi se mají zkoušky za podmínek opakovatelnosti provést v nejkratším možném čase, aby se minimalizovaly změny takových faktorů, jako jsou okolní podmínky, pro něž nelze vždy zaručit, že budou konstantní. Časový interval mezi měřeními může být ovlivněn i z jiného důvodu, totiž tím, že se předpokládá, že výsledky zkoušek jsou nezávislé. Jsou-li obavy, že předchozí výsledky mohou ovlivňovat následné výsledky (a tím zmenšovat odhad rozptylu opakovatelnosti), může být nezbytné, označit jednotlivé vzorky kódy tak, aby operátor nevěděl, které vzorky se považují za identické. Tím je narušena podmínka krátkého časového intervalu. Problém se musí řešit racionální úvahou.
2. VYJADŘOVÁNÍ NEJISTOT MĚŘENÍ Účelem stanovení nejistot při měření je zjištění intervalu hodnot okolo výsledku měření, který lze přiřadit k hodnotě měřené veličiny. Nejistota měření zjištěná při kalibraci je základem pro zjištění nejistot měření ve výrobě, kontrole a zkušebně. Nejistoty měření se do běžné praxe kalibračních laboratoří dostaly poměrně nedávno, přibližně okolo roku 1990. V tomto roce byl vydán dokument WECC 19/90, který představoval jeden z prvních jednotících předpisů pro nejistoty, závazný pro akreditované laboratoře v rámci organizace WECC (Západoevropského kalibračního sdružení). Krátce poté je již výsledek bez uvedené nejistoty považován za naprosto nevyhovující. Vztah mezi chybou měření a nejistotou lze dokumentovat i na grafickém znázornění výsledku měření při kalibraci.
-Uind
+Uind
-Us
+Us
Indikace přístroje
Konvenčně pravá hodnota
xs
xind -Uc
Rozšířená nejistota měření
x
+Uc
∆x
-uc
+uc Chyba měření
∆x = xind − x S 2 u C = u xind + u xs2
Pojmy: Uind - rozšířená nejistota indikace zkoušeného měřidla, Us - rozšířená nejistota konvenčně pravé hodnoty, Uc - rozšířená nejistota měření, ∆x - chyba měření, xind - indikace zkoušeného přístroje, xs - konvenčně pravá hodnota, uc - standardní kombinovaná nejistota chyby měření (2.uc = Uc), uxind - standardní nejistota hodnoty xind, uxs - standardní nejistota hodnoty xs. Obr 2.1 Znázornění nejistoty měření při kalibraci Postup vyhodnocení nejistot při měření a kalibraci Na počátku jakéhokoliv vyhodnocení nejistot stojí detailní porozumění podstatě prováděného měření, popsaného (nebo popsatelného) modelem měření. To samozřejmě neznamená nutnost detailní znalosti principů, funkcí a konstrukčních detailů každého měřicího přístroje, ale znalost metody měření a schopnost rozhodnout, jaké vlivy mohou působit v průběhu měření jako zdroje nejistoty a ovlivnit výsledek. Mnohdy jsou tyto informace obsaženy v návodu k použití konkrétních přístrojů, nebo v popisu již prověřených metod měření. Model měření tedy musí být schopen popsat nejen vlastní měření, ale též i to, jak se do výsledku promítají ovlivňující vlivy z okolí, které představují jednotlivé zdroje výsledné nejistoty. Někdy
jde o naprosto triviální modely, s jednoduchými vazbami, jindy může mít i zdánlivě jednoduché měření velice komplikovaný model a vazby ovlivňujících veličin se ani nemusí podařit přesně popsat. V takových případech je nutné se uchýlit k odhadům na základě zkušeností, nebo z dostupných informací z literatury, dřívějších měření a podobných zdrojů. Dělení nejistot •
Existuje základní rozdělení nejistot pole způsobu, kterým byly získány, a to na nejistoty: typu A
•
typu B
Z matematické statistiky byla jako míra nejistoty zvolena směrodatná odchylka příslušného rozdělení pravděpodobnosti pro jednotlivé zdroje nejistot. Nejistoty typu A a typu B se liší jen způsobem, jakým je tato směrodatná odchylka získána. Výpočet nejistoty typu A Definice pro nejistotu typu A říká, že tato je stanovena výpočtem z opakovaně provedených měření dané veličiny. Každý se již zřejmě setkal se skutečností, že pokud provede opakovaný odečet hodnoty neměnné měřené veličiny a má k dispozici měřicí přístroje s dostatečným rozlišením, bude v takto
provedených
odečtech
patrný jistý rozptyl. Přitom se
n 1 předpokládá, že během tohoto u = ( xi − x ) 2 opakovaného odečtu se nemění ∑ A n(n − 1) i =1 ani měřená veličina, ani ovlivňující podmínky, které mohou na měření
působit. Je uvedeno, že mírou nejistoty typu A je výběrová směrodatná odchylka výběrového průměru. (Výběrová proto, že naměřené hodnoty představují určitý malý výběr z prakticky nekonečného množství hodnot, kterých by mohla měřená veličina nabývat. Výběrového průměru proto, že hodnota, která se uvádí jako výsledek měření, se získá výpočtem průměrné hodnoty jako opakovaně provedených odečtů, tedy sečtením všech hodnot a vydělením součtu počtem provedených odečtů). Tomuto matematickému názvu též odpovídá příslušný vztah, podle kterého se standardní nejistota typu A vypočte.
kde
x=
1 n ∑ xi n i =1
Aby však tento vztah platil, předpokládá se provedení alespoň 10 odečtů, ze kterých je pak nejistota typu A vypočtena. Není-li možné dodržet tuto podmínku, je nutno provést doplňkovou korekci, která zohlední malý počet opakovaných měření. Pokud je počet opakovaných měření n < 10 a není možné učinit kvalifikovaný odhad na základě zkušeností, lze standardní nejistotu typu A stanovit ze vztahu:
u A = kS . S x
kde ks je koeficient, jehož velikost závisí na počtu měření n, viz tabulka. n ks
9 1,2
8 1,2
7 1,3
6 1,3
5 1,4
4 1,7
3 2,3
2 7,0
Při větším počtu měření než 9 je ks = 1 (doporučuje se volit počet měření > 10, v krajním případě > 5).
Výpočet nejistoty typu B Na rozdíl od nejistoty typu A, která byla stanovena z opakovaných měření, pro složky nejistoty typu B platí, že jsou stanoveny jinak než opakovaným měřením. Rozdíl mezi typem A a typem B je tedy jasný, problém však je v tom, jak jinak je tedy nejistota typu B stanovena. Zde je nutné nejprve najít všechny možné zdroje těchto nejistot. Možné zdroje nejistot typu B Pro většinu případů měření elektrických veličin, nebo ostatních veličin, které jsou vhodnými převodníky převedeny na elektrické signály (což je v poslední době případ většiny měření), je možné vybírat z následujících zdrojů: vlivy vázané na použité přístroje, etalony a vybavení - nejistoty kalibrace nebo ověření, - stabilita (časová specifikace) přístrojů, - dynamické chyby přístrojů, - zanedbané systematické chyby, - vnitřní tření v přístrojích, - rozlišitelnost/ rozlišení odečtu z přístrojů (v některých případech může nahradit nejistotu typu A), - hystereze, mrtvý chod, - specifikace výměnných částí přístrojů. vlivy okolního prostředí a jejich změny - tlak, změna tlaku, - relativní vlhkost, - magnetické pole, - elektrické pole, - osvětlení, příp. jeho frekvence a tepelné vyzařování, - hustota vzduchu, - čistota prostředí, ovzduší, prašnost, - napájecí napětí, stabilita, frekvence, harmonické zkreslení, - zemní smyčky. vlivy metody - ztráty, svodové proudy, - interakce s měřeným předmětem, - nejistoty použitých konstant, - vlivy reálných parametrů, oproti ideálním uvažovaných v modelech, - vlastní ohřev, - odvod či přestup tepla. vlivy operátora - nedodržení metodik, - paralaxa, - elektrostatické pole, - tepelné vyzařování, - osobní zvyklosti. ostatní vlivy - náhodné omyly při odečtech nebo zápisu hodnot,
-
těžko postihnutelné globální vlivy (vliv Měsíce, vlivy ročních období, vlivy denní doby,vliv polohy ionosféry apod.).
Postup při určování nejistot typu B 1) vytipují se možné zdroje nejistot Z1, Z2, …, Zn, 2) určí se standardní nejistoty typu B uBZj každého zdroje nejistot (převzetím hodnot z technické dokumentace /kalibrační listy, technické normy, údaje výrobce atd./ nebo odhadem), Postup: • odhadne se maximální rozsah změn ±zmax (např. od měřené hodnoty). Velikost ∆zmax se volí tak, aby její překročení bylo málo pravděpodobné, • uváží se které rozdělení pravděpodobnosti nejlépe vystihuje výskyt hodnot v intervalu ±zmax a z tabulky rozdělení pravděpodobnosti odečteme konstantu K – někdy se používá označení χ. Je-li pravděpodobnost výskytu hodnot v okolí středu intervalu vyšší než výskyt hodnot v krajním intervalu, použijeme normální rozdělení, V případě, že rozdělení pravděpodobností odchylek v intervalu ±zmax je přibližně stejné nebo je není možné zodpovědně posoudit, předpokládá se stejná hodnota pravděpodobnosti pro všechny odchylky, tzn. Volíme rovnoměrné rozdělení. •
určí se nejistoty typu B z jednotlivých zdrojů Zj ze vztahu:
u Bz =
∆zmax
χ
kde K (χ) se zvolí dle rozdělení. Tato konstanta udává poměr maximální hodnoty ∆zmax ku směrodatné odchylce normálního rozdělení. 3) celková nejistota typu B je dána geometrickým součtem nejistot jednotlivých zdrojů.
Kombinovaná standardní nejistota Kombinovaná standardní nejistota výsledku měření je geometrickým součtem nejistoty typu A a nejistoty typu B. Rozšířená standardní nejistota U Standardní kombinovaná nejistota u byla určena s pravděpodobností P = 68%, tj. pro koeficient rozšíření k = 1. Pro jinou pravděpodobnost se nejistota přepočte vynásobením koeficientem rozšíření k zvoleným dle níže uvedené tabulky.
V praxi se uvádí nejistota výsledku
U = k .u
měření rozšířená koeficientem k = 2, což pro
normální rozdělení odpovídá pravděpodobnosti pokrytí asi 95%. Pro zajištění přehlednosti je doporučeno uvádět všechny údaje analýzy nejistot tabulkou. Tento postup stanovení nejistot vychází z předpokladu, že vstupní veličiny nejsou korelované a jedná se o přímé měření.
Výklad - standardní a rozšířená nejistota Jak již bylo v textu uvedeno, výše popsaným postupem se získá standardní kombinovaná nejistota. Standardní znamená, že při skládání byly použity hodnoty směrodatných odchylek. Při splnění jistých předpokladů je možné považovat rozdělení takto určené nejistoty za přibližně normální. Z toho pak vyplývá, že takto vypočtená nejistota pokrývá asi 67% možných výsledků, jinak řečeno, že asi 1/3 výsledků může padnout mimo takto stanovené pole nejistot. Jelikož z metrologického hlediska je takováto situace dosti těžko přijatelná, přistupuje se k vynásobení standardní nejistoty rozšiřujícím koeficientem, který umožní získat pokrytí možných výsledků s vyšší pravděpodobností. K rozšiřování nejistoty lze přistupovat několika způsoby.
Buď se rozšiřující koeficient stanoví poměrně komplikovaným postupem tak, aby odpovídal požadované pravděpodobnosti pokrytí výsledku (např. 90%, 95% nebo 99,7%), přičemž se vychází z určení efektivního počtu stupňů volnosti měření a tabulek koeficientu Studentova rozdělení . Jinou možností je určení rozšiřujícího koeficientu dohodou pro určitou hrubě odhadovanou pravděpodobnost pokrytí výsledku. Tento druhý postup je obvyklý v běžné praxi a z paralely s normálním rozdělením jsou vžité dva základní koeficienty 2 a 3 pro pravděpodobnosti pokrytí přibližně 95% resp. 99,7%. Příklady standardní a rozšířené nejistoty je možno ilustrovat pro normální rozdělení. pásmo ±σ představuje standardní nejistotu, pásmo ±b představuje rozšířenou nejistou pro k = 2, pásmo ±a představuje rozšířenou nejistotu pro k = 3. 3.3 Odhad rozdělení pro složky nejistoty typu B
Pokud se již podařilo k seznamu možných zdrojů nejistoty typu B stanovit meze, kterých tyto mohou nabývat, ještě stále není možné pustit se do vlastního vyhodnocení souhrnné nejistoty typu B z těchto zdrojů. Je to proto, jak již bylo uvedeno dříve, že k tomuto vyhodnocení potřebujeme mít směrodatné odchylky odpovídající rozdělení pravděpodobnosti příslušného těmto zdrojům. Je třeba se tedy rozhodnout, jak bude rozdělena pravděpodobnost, se kterou mohou tyto zdroje nejistoty či ovlivňující veličiny nabývat jednotlivých hodnot mezi svými již známými krajními mezemi. Předpokládá se vesměs, že tyto meze jsou symetrické, tj. nulová nebo ustálená hodnota zdroje nejistoty leží uprostřed mezi oběma krajními mezemi (viz. následující grafy). Například tedy vliv rozlišení odečtu na stupnici nebo displeji přístroje bude uvažován jako ±1/2 hodnoty rozlišitelnosti nebo digitu. V nabídce možných rozdělení, která lze použít, se také nejvíce liší jednotlivé materiály uvedené v přehledu dostupné literatury. Zatímco dokument EA4/02 pro zdroje nejistoty typu B předpokládá
vesměs použití pouze rovnoměrného rozdělení, u kterého je stejná pravděpodobnost výskytu libovolné hodnoty, ležící mezi krajními mezemi, předpis
TPM 0051-93 uvádí tabulku s šesti
různými rozděleními, z nichž některá umožňují i více variant. Dokument ISO/ IEC se této otázce věnuje více z teoretického hlediska a uvádí několik možností,jak použít dostupné informace k odhadu tohoto rozdělení. Nejčastěji používaná rozdělení jsou uvedena v tabulce 1 v TPM 0051-93. Z této tabulky byla též převzata grafická znázornění jednotlivých rozdělení uvedená dále. Pro každé z nich je zde koeficient v, sloužící k přepočtu mezní hodnoty ovlivňující veličiny na směrodatnou odchylku příslušného vybraného rozdělení. Přepočet se provádí podle jednoduchého vztahu:
u Bi =
zmax
κ
f(∆z)
zmax = a zmax = b
−∆z
−σ
κ=3 κ=2
+∆z
+σ +b
−b −a
+a
Obr.2.2 Normální (Gaussovo) rozdělení
f(∆z)
κ = 6 ~ 2,45
1/a
zmax = a
−σ −∆z
−a
+σ +a
Obr. 2.3 Trojúhelníkové (Simpsonovo) rozdělení
+∆z
Normální (Gaussovo) rozdělení s κ = 3, trojúhelníkové (Simpsonovo) rozdělení sκ= 2,45 a normální rozdělení s κ = 2 dávají možnost volby pro takové případy, kdy je pravděpodobnost malých či velmi malých odchylek značná, zatímco pravděpodobnost velkých odchylek, rovných mezím, je zanedbatelná (pak κ = 3) nebo velmi malá (pak κ = 2). Normální rozdělení se též předpokládá pro výsledek výpočtu nejistoty typu A, případně pro výsledek výpočtu kombinované standardní nejistoty (kdy podle centrální limitní věty má rozdělení vzniklé složením několika obecných rozdělení charakter normálního rozdělení). Simpsonovo rozdělení lze použít například u specifikace stability v době mezi kalibracemi, pokud je dlouhodobým sledováním potvrzeno, že skutečné chyby jsou prakticky stále podstatně nižší, než výrobcem uváděné hodnoty. f(∆z)
κ = 2 ~ 1,41
1/a
zmax = a
−σ −∆z
+σ +∆z
+a
−a
Obr.2.4 Bimodální - trojúhelníkové rozdělení
lim 1/2ε
f(∆z)
ε→ 0
zmax = a
−∆z
κ=1
ε
ε −a
+∆z
+a
Obr.2.5 Bimodální – Diracovo rozdělení V opačném případě, kdy je buď pravděpodobnost odchylek blízký mezím velká a klesá ke správné hodnotě, nebo prakticky vždy dosahují některé z mezních hodnot, se volí Bimodální (trojúhelníkové) rozdělení κ = √2, resp. Bimodální (Diracovo) rozdělení κ = 1. Diracovo rozdělení lze použít například pro ohodnocení pravděpodobnosti vlivu hystereze měřicího přístroje, která se prakticky vždy uplatní jako zdroj nejistoty v plné výši, tj. směrodatná odchylka je přímo rovna krajní mezi. Bimodální (trojúhelníkové) rozdělení lze použít pro hodnocení pravděpodobnosti chybného odečtu na noniu posuvného měřítka či mikrometru (pokud jsou rysky pevné a pohyblivé části proti
sobě, je pravděpodobnost omylu nulová, zatímco čím blíže je ryska pohyblivé části ke středu mezi dvěma ryskami na pevné části, tím je pravděpodobnost omylu vyšší).
f(∆z)
κ = 3 ~ 1,73
1/2a
zmax = a
+σ
−σ −∆z
+∆z
+a
−a
Obr.2.6 Rovnoměrné (pravoúhlé) rozdělení
Ve většině běžných případů lze uvažovat, že hodnota ovlivňující veličiny může ležet kdekoli mezi oběma mezními hodnotami, aniž by byla kterákoli hodnota upřednostňována. Tehdy volíme rovnoměrné rozdělení κ = √3. f(∆z)
1/(a+b)
zmax = a při b = a/3 κ = 2,32 zmax = a při b = a/2 κ = 2,19 zmax = a při b = 2a/3 κ = 2,04
−σ −∆z
+σ −b
−a
+∆z
+b +a
Obr.2.7 Lichoběžníkové rozdělení Pokud se v určité oblasti hodnot chová ovlivňující veličina podle rovnoměrného rozdělení, ale i mimo tuto oblast se též mohou vyskytovat hodnoty ovlivňující veličiny, ovšem s klesající pravděpodobností směrem k mezním hodnotám, může se zvolit některé z uvedených lichoběžníkových rozdělení κ = 2,04 až κ = 2,32. (Praktickým příkladem může být například teplota v laboratoři, při použití klimatizační jednotky dimenzované na běžné teploty venkovního prostředí, ale nepostačující pokrýt teplotní extrémy). Shrnutí postupu výpočtu nejistoty Při výpočtu nejistot lze postupovat dle následujících kroků: 1. provedou se opakovaná měření (pokud je to možné) a zaznamenají se hodnoty ovlivňujících veličin (teplota, tlak, vlhkost,…), které jsou složkami nejistoty typu B, 2. na odečtené hodnoty se aplikují veškeré nutné korekce (např. známých systematických chyb měřicích přístrojů), 3. stanoví se průměrná hodnota korigovaných odečtů a nejistota typu A,
4. určí se všechny zdroje nejistoty typu B, 5. pro každý zdroj nejistoty typu B se určí jeho krajní meze, mezi nimiž by se měla nacházet jeho skutečná hodnota, 6. pro každý zdroj nejistoty typu B se určí předpokládané rozdělení pravděpodobnosti výskytu jeho hodnot mezi krajními mezemi, 7. pomocí koeficientu v pro určená rozdělení se přepočtou krajní meze na hodnoty směrodatných odchylek, jako míry nejistoty, 8. pro jednotlivé složky nejistoty typu B (případné též nejistoty typu A u nepřímých měření) se určí převodní (citlivostní) koeficienty vyjadřující vazbu mezi zdrojem nejistoty a měřenou veličinou, 9. posoudí se vzájemná vazba mezi jednotlivými zdroji nejistot a pokud je významná, určí se korelační (vazební) koeficienty pro každý pár vzájemně se ovlivňujících se složek, 10. pomocí Gaussova (příp. rozšířeného) zákona šíření nejistot se vypočítá kombinovaná nejistota typu B a obdobně i kombinovaná standardní nejistota, 11. určí se koeficient rozšíření požadovanou pravděpodobnost pokrytí a určí se rozšířená nejistota, 12. do protokolu se uvede výsledek měření, nejistota, koeficient rozšíření a další doplňující údaje s respektováním výše uvedených zásad pro desetinná místa, platné cifry a zaokrouhlování. Zdroje nejistoty měření Nejistota výsledku měření odráží omezenou možnost znalosti hodnoty měřené veličiny. Kompletní znalost by vyžadovala nekonečné množství informace. Jevy přispívající k nejistotě a způsobující, že výsledek měření nemůže být charakterizován pouze jedním číslem, jsou nazývány zdroji nejistot. V praxi existuje mnoho možných zdrojů nejistot měření, zahrnující např.: • nekompletní definici měřené veličiny, • nedokonalou realizaci definice měřené veličiny, • nereprezentativní vzorkování – naměřené hodnoty nemusí reprezentovat definovanou měřenou veličinu, • nedostatečnou znalost vlivů okolního prostředí nebo jejich nedokonalé měření, • vliv lidského faktoru při odečítání z analogových měřidel, • omezené rozlišení měřicího přístroje nebo práh rozlišení, • nepřesné hodnoty měřicích etalonů a referenčních materiálů, • nepřesné hodnoty konstant a dalších parametrů získaných z externích zdrojů a použitých při výpočtu, • aproximace a zjednodušení obsažené v měřicí metodě a postupu, • změny v opakovaných pozorováních měřené veličiny, která jsou prováděna za zjevně shodných podmínek.
Příklad Stanovení nejistot měření při kalibraci POSUVKY 0,01 Nejistota je stanovena pro měření vnějších rozměrů v rozsahu měření do 110 mm.
A/ Standardní nejistota typu A (uA) Pro zjištění nejistoty uA bylo provedeno měření koncové měrky jmenovitého rozměru 110 mm, které bylo 20x opakováno.
číslo měření naměřená. hod.(mm) číslo měření naměřená. hod.(mm)
1
2
Tabulka naměřených hodnot 3 4 5 6
7
8
9
10
110,01 110,00 110,00 110,01 110,00 110,00 110,00 109,99 110,00 110,00 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 110,00 110,01 110,00 110,00 110,00 110,00 110,00 110,00 110,00 110,01
x=
u A = sx =
uA =
1 n ∑ xi n i =1
n 1 ∑ ( xi − x) 2 n(n − 1) i =1
20 1 ( xi −110,0015) 2 ∑ 20(20 − 1) ) i =1
u A = 1,1 µm kde
n - počet měření,
x - výběrový průměr,
s x - výběrová směrodatná odchylka výběrového průměru, xi - jednotlivá měření (i = 1÷20). Standardní nejistota typu A uA = 1,1 µm byla zjištěna pro měření vnějších rozměrů do rozsahu 110 mm.
B/ Standardní nejistota typu B (uB) a)
Koncové měrky: Etalonové koncové měrky byly kalibrovány ve středisku kalibrační služby SKS. Mezní chyba koncových měrek ± 0,2 + 2L (µm, délka L v m). Mezní chyba pro měrky rozměru 110 mm je ± 0,8 µm. Při normálním rozdělení je nejistota koncových měrek uBE = ∆zmax/χ = 0,8/3 ≈ 0,26 µm.
b)
Teplotní odchylka: Teplota prostředí metrologického střediska se může pohybovat mezi 18 °C a 22 °C. Při rovnoměrném rozdělení této úchylky za předpokladu, že koeficient délkové roztažnosti (α1) je stejný jak pro koncové měrky, tak pro posuvné měřítko (tzn. 11,5.10-6)
je nejistota teplotní odchylky pro rozsah měření 110 mm uBT = ∆zmax/χ = 2 x α1 x L (délka měrky v mm) = 2 x 11,5.10-6 x 110/√3 ≈ 1,5 µm. c)
Chyba odečítání: Nejistota odečtení údaje posuvky se odhaduje na ± 0,005 mm s rovnoměrným rozdělením, takže uBR = ∆zmax/χ = 0,005/√3 ≈ 2,9 µm.
d)
Měřicí síla (vč. Abbého chyby): Měřicí síla závisí na obsluze, Abbého chybě a vztahem mezi měřítkem a pohyblivou čelistí. Chyba byla odhadnuta na základě měření různých koncových měrek v různých vzdálenostech od měřítka. Pozorované chyby se pohybovaly v rozmezí –0,01 až 0,01 mm. Při normálním rozdělení je nejistota chyby způsobené měřicí silou uBM = ∆zmax/χ = 0,01/3 ≈ 3,3 µm.
kde
∆zmax - maximální rozsah změn (např. od měřené hodnoty), χ - konstanta pro zvolené rozdělení pravděpodobnosti.
Tabulka analýzy nejistot měření při kalibraci Zdroj nejistoty Nejistota typu A
Odhad odchylek
Rozdělení pravděpodobnosti (χ) rovnoměrné (√3)
Koeficient citlivosti 1 1
Koncové měrky normální (3) 0,5 µm Teplotní 110 mm 2 °C rovnoměrné (√3) odchylka 1 rovnoměrné (√3) 5 µm Chyba odečítání normální (3) 1 10 µm Měřicí síla Standardní kombinovaná nejistota u pro k = 1 [u = √(u2A + u2B)]
Nejistota 1,1 µm 0,26 µm 1,5 µm 2,9 µm 3,3 µm 5 µm
Standardní rozšířená nejistota U: U = k . u = 2 . 0,005 mm = 0,01 mm Rozšířená nejistota výsledku kalibrace U = ± 0,01 mm pro rozsah měření do 110 mm byla stanovena pro k = 2, což při normálním rozdělení odpovídá pravděpodobnosti pokratí přibližně 95%. Rozšířená nejistota byla stanovena v souladu s dokumenty EA-4/02 a TPM 0051-93.
3. NÁVRH SYSTÉMU HODNOCENÍ JAKOSTI MĚŘIDEL
Jakost měřidel lze hodnotit z mnoha různých hledisek. Za základní hledisko je ovšem považováno hledisko přesnosti. Přesnost měřidla je přitom nutno vždy přísně oddělit od pojmu „ přesnost měření“. Pro hodnocení přesnosti měřidla je třeba vyloučit všechny vlivy, které nemají s hodnoceným měřidlem žádnou souvislost. Přesnost měřidla je jeho schopnost udávat za stanovených podmínek výstupní signály blízké pravé hodnotě měřené veličiny ( přesnost je kvalitativní pojem). Hodnocení přesnosti měřidel pomocí postupů cg, cgk a R&R
Obecné zásady a definice Jedná se o postupy,které hodnotí nejen měřidlo samotné, ale v případě metody R&R jde o posouzení jakosti celého měřicího systému. Tyto postupy jsou založeny na sledování měřidel v čase, tzn. Sledované měřidlo se kontroluje v daném časovém okamžiku. V tomto okamžiku se vyhodnotí dané statistické charakteristiky naměřených dat, porovnají se s charakteristikami z jiných okamžiků a provede se grafické vyjádření. Hodnocení grafického průběhu umožňuje odhadnout další trendy parametrů jakosti daného měřicího systému. Na základě tohoto principu je možno upravovat kalibrační interval sledovaného měřidla. Pomocí postupů cg, cgk a R&R lze kvantifikovat následující statistické veličiny jakosti měřidla: - Strannost, - Opakovatelnost, - Reprodukovatelnost, - Stabilitu, - Linearitu. Při hodnocení měřidla je třeba zabývat se především následujícími vlastnostmi: -
Rozlišovací schopností indikačního zařízení, Stabilitou v čase, Rozsahem statistických charakteristik.
V celém systému měření existuje určitá variabilita, která ovlivňuje naměřené hodnoty a je proto třeba znát jednotlivé vlivy a jejich váhu. Analýza vlivů Účelem analýzy vlivů je rozbor zdrojů variability, které následně umožní definovat a kvantifikovat omezení měřicího systému. Při vlastní analýze je základní podmínkou dostatečná rozlišitelnost měřidla, která umožní detekovat a věrohodně znázorňovat změny měřeného znaku. V případě nedostatečné rozlišitelnosti je bezpodmínečně nutné použít měřidlo s větší rozlišitelností. Strannost Je rozdíl mezi přijatou referenční hodnotou a střední hodnotou výsledků zkoušek. Strannost je míra systematické chyby. Pro kvantifikaci strannosti je třeba získat konvenčně pravou hodnotu znaku, která se získá zpravidla pomocí referenčního etalonu. Jestliže je strannost výsledků měření příliš velká, je nutno prověřit potenciální příčiny: -
chyba etalonu, opotřebení měřidla, měřidlo není vyrobeno pro daný rozměr, nesprávná kalibrace, vliv operátora, vliv prostředí.
Opakovatelnost Před hodnocením opakovatelnosti je konzistentní variabilita vlastního systému (systém je zvládnut). Zdrojem neopakovatelnosti bývá obvykle měřidlo a variabilita polohy měřeného objektu v měřidle. Tyto skutečnosti nejvíce ovlivňují velikost rozpětí výsledků opakovaných měření za stejných podmínek. Opakovatelnost se kvantifikuje pomocí parametru rozptylu výsledků měření. V případě příliš velkého rozptylu je nutno provést rozbor příčin a jejich následné odstranění.
Reprodukovatelnost Při hodnocení jakosti měřicího zařízení se reprodukovatelnost hodnotí z hlediska variability výsledků měření způsobené operátory. Z tohoto hlediska lze na reprodukovatelnost pohlížet jako na strannost, která je spojena s každým operátorem. Stálost Znalost stálosti umožňuje předvídat chování měřidla v budoucnosti. Měřidlo a měřicí systém musí být odolné proti všem vlivům, které způsobují nestabilitu (teplotní změny, opotřebení, koroze, atd.). V některých případech je eliminace těchto vlivů složitým problémem a je zvláště těžké kontrolovat všechny tyto vlivy současně. Linearita Linearita se analyzuje na základě výběru hodnot v celém rozsahu měřidla. Zjišťuje se na základě porovnání hodnot průměrů výsledků měření jednotlivých kusů s konvenčně pravou hodnotou. Pokud je měřidlo nelineární, je několik potenciálních zdrojů příčin: ¾ ¾ ¾ ¾
měřidlo není kalibrováno pro celý rozsah, chyba ve vzorových kusech, opotřebování měřidla, konstrukční znaky měřidla. Hodnocení pomocí cg, cgk
Tento postup slouží pro hodnocení měřidel, u kterých nedochází k ovlivňování výsledků měření obsluhou, jedná se zejména o měřicí automaty a absolutní měřidla. Hodnocení pomocí cg, cgk posuzuje měřidlo z hlediska strannosti a opakovatelnosti. Tento postup je založen na opakovaném měření kontrolního etalonu, který představuje konvenčně pravou hodnotu. Tato hodnota by měla být totožná s průměrnou hodnotou výsledků měření. Předpokládá se přitom, že náhodná veličina – výsledky měření se řídí zákonem normálního rozdělení. Při aplikaci této metody je nutné dodržet následující podmínky: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
minimálně 30 opakování měření kontrolního etalonu, měření provádí jedna osoba, měření se realizuje jedním měřidlem, měření se realizuje jedním postupem, během měření jsou zajištěny stejné podmínky, měření probíhá v relativně krátkém časovém intervalu.
Opakovatelnost je dána vztahem:
cg = kde
T sg
0 , 2.T 6. s g
- je tolerance měřeného rozměru, - je výběrová směrodatná odchylka výsledků měření kontrolního etalonu,
a jsou dány vztahy: T = HMR – DMR, kde
HMR DMR
,
- je horní mezní rozměr, - je dolní mezní rozměr,
1 n 2 ∑ ( xi − x g ) , n − 1 i =1
sg =
kde
n xi
xg
- je počet měření za podmínek opakovatelnosti (min 25), - je výsledek i-tého měření, - je výběrový průměr výsledků měření kontrolního etalonu.
xg
=
1 n ∑ xi n i =1
(4.4)
Strannost je dána vztahem:
c gk =
0,1.T − x g − x m 3. s g
(4.5)
Indexy cg , cgk určují, zda výsledek měření kontrolního etalonu leží pravděpodobností 99,73% ve zvoleném pásmu tolerance měřidla. Šířka tolerance měřidla je stanovena na 20% šířky tolerance měřeného rozměru. Hodnoty těchto indexů určují způsobilost měřidla pro daný účel, ke kterému má sloužit. Tabulka 6.1 určuje mezní hodnoty pro schválení, nebo zamítnutí měřidla na základě velikosti tolerance měřeného rozměru.
Tolerance T ≤ 50 µ T > 50
Mezní hodnoty Cg, cgk ≥ 1 Cg, cgk ≥ 1,33
Pro praktické vyhodnocování vhodnosti měřidla se používá vyhodnocovací protokol.
DMR
HMR
xm T
strannost
xg ±3Sg 0,2T
Obr. 3.1 Znázornění cg, cgk vzhledem k toleranci
4. ZÁVĚR Hodnocení měřidel, jejich charakteristiky přesnosti, opakovatelnosti, reprodukovatelnosti a další ukazatele jakosti není možno provádět bez závislosti na měřicí úloze. Obecně platné charakteristiky, jako třeba reprodukovatelnost, mají při hodnocení jakosti měřidel svůj osobitý význam. Práce je zaměřena na detailnějším objasněním základních charakteristik měřicích prostředků, jako je největší dovolená chyba, rozlišitelnost, citlivost, opakovatelnost atd. se zaměřením na jejich konkrétním použití. Je zde proveden rozbor možných vlivů, které mohou způsobit nevhodnost použití daného měřicího prostředku pro konkrétní účel použití. Tento model vychází ze statistického zpracování dat, získaných jako výsledky měření kontrolního etalonu. U charakteristik cg, cgk je nutno konstatovat skutečnost, že z jejich definice vyplývá, že: cg ≥ cgk. Zatím co výrobce měřidla dělá vše proto, aby v prvé řadě dodržel charakteristiku cg, a teprve následně cgk, uživatele měřidla zajímá výhradně dodržení parametru cgk. Závěrem je třeba zdůraznit, že k zajištění výroby velmi přesných rozměrů nestačí zabývat se pouze technologickými aspekty tohoto problému, ale se stejnou pečlivostí je třeba zajistit spolehlivé měření přesných rozměrů. Náklady na vybavení měřicími prostředky a samotné měření a vyhodnocování tvoří poměrně značnou část celkových nákladů, a proto je třeba volit optimální prostředky i postupy.
Literatura
[1]
Čech,J.- Pernikář,J.- Janíček,L.: Strojírenská metrologie, skriptum FSI-VUT v Brně, 189 stran, Akademické nakladatelství CERM s.r.o.Brno, 1998. ISBN 80-214-2252-1
[2]
Vačkář,J.-Pernikář,J. – Tykal,M.: Jakost a metrologie, část metrologie, skripta VUTFSI, 151 stran, Akademické nakladatelství CERM s.r.o.Brno, 2001. ISBN 80-2141997-0 Způsobilost kontrolních procesů. Management jakosti v automobilovém průmyslu. 112 stran, Česká společnost pro jakost, 2004. ISBN 80-02-01656-4 Analýza systémů měření (MSA). 224 stran. Česká společnost pro jakost, 2004. ISBN 80-02-01562-2
[3] [4] [5]
[6] [7]
ČSN 01 0115:1996, Mezinárodní slovník základních a všeobecných termínů v metrologii ČSN ISO 5725-1 Přesnost (správnost a shodnost) metod a výsledků měření Část 1: Obecné zásady a definice ČSN ISO 5725-2 Přesnost (správnost a shodnost) metod a výsledků měření Část 2: Základní metoda pro stanovení opakovatelnosti a reprodukovatelnosti normalizované metody měření
Kontakt: Doc.Ing. Jiří Pernikář, CSc, VUT v Brně, Fakulta strojního inženýrství, Ústav metrologie a zkušebnictví, Technická 2, 616 69
