" -ARK 01
WPA
Overdruk uit Metoolbewerking, Nr. 15 (joorgong 39), 10 jonuori 1974
WT 0315-1
Het begrip deformatie ire J. A. G. Kals THE, afdeling Werktulgbouwkunde, vakgroep Produktietechnologle
Het begrip deformatie Ir. J. A. G. Kals THE, afdeling Werkluigbouwkunde, vakgroep Produklielechnologie
Voor het onderzoek van problemen in de praktijk van de vervorm'ingstechniek is het onder meer van essentieel belong, dOlt men bij de desbetreHende beschouwingen kan s'teu'nen op een iuist begrip van het verschijnsel vervorming. Foutieve condus'ies zijn vaak het gevolg van het veronachtzamen van het feit, dot een plasfische vervorming wezenlijk een ruimtelijk karakter heeft. Voorts realiseert men zich in vele ge1vallen niet voldoende, dot de r'ekdefin'itie veel meer is dan aileen maar een wiskundilge abstractie of een zuiver arbitraire grootheid. Zij is de beschrijving van een fysische reaHteit. Vooral ten be'hoev'e van produktietechnici, die n'iet toeikomen aan een uitgebreidere studie van de theoretische achtergronden van de vervormingstechnologie, probeert de schrijver 'een beeld te geven van de wezenlijke betekenis van de begrippen IInatuurlijke rek" en lIeffectie,ve deformatie", waarvan de internationale vakliiteratuur zich nagenoe'g uitsluitenld bedient. De nadruk wordt hierbij vooral op praktische aspecten en voorstellingswijzen en minder op wiskundige vol'ledigheid gelegd.
Inleiding In tegenste,lling tot de gang van zaken in andere technische wetenschappen - zoals de elektrotechniek en de chemie - is de mechanische techniek gedurende vele eeuwen empirisch ontwikkeld in de praktijk. Pas veel later is men begonnen aan de wetenschappelijke analyse van doorgaans reeds bestaande methoden en processen. Het directe doel van de analyse is vergroting van kennis en inzicht, het verder liggende doel is een systematische verbetering van oude methoden en ontwikkeling van nieuwe. Hoewel de ontwikkeling van metalen werktuigen (machines) de kloof vernauwde, vindt men tot vandaag een zekere scheiding terug tussen het 'construeren' en het 'produceren'. De mechanica is voornamelijk op het eerste gericht geweest, omdat het tweede, althans voorzover het de plastisohe vervorming en de ondersteunende techno'iogie betreft, pas na 1940 goed tot ontwikkeling begon te komen. De 'elasticiteitsmechanica' en de 'plasticiteitsmechanica' zijn beide gebaseerd op dezelfde spanningstheorie,
maar hanteren onderling afwijkende definities van het beg rip rek. Eenerzijds is dit het gevolg van de historische ontwikkeling, anderzijds ook van uiteenlopende behoeften. Zoals in het volgende zal worden toegelicht, zijn beide rekdefinities echter minder verschillend dan vaak wordt gedacht.
Definities van het begrip "rek" Gemeenschappelijk in beide rekdefinities is dot men de lengteverandering van een lijnstukje zuiver geometrisch karakteriseert door mid'del van een dimensieloze grootheid - de 'rek' - die ontstaat door deling van de verlenging door de bijbehorende lengte. Verschillend denkt men over wat de 'bijbehorende' lengte is, namelijk de uitgangslengte dan wei de momentane lengte. De betekenis van de deling is zonder meer duidelijk. Bij uniform verdeelide verlenging van een lijns'lukje I, zal bij overigens gelijke omstandigheden de verlenging evenredig zijn met de lengte. Delen we beide op elkaar, dan verkrijgen we een dimensieloos getal, dat onafhankelijk is van de gekozen lengte. We bekijken nu een recht lijnstukje I, dat oorspronkelijk de lengte 10 had en uiteindelijk de leng'te Ie zal aannemen, tijdens het rekken. We laten de lengte I toenemen met een infinitesimaal bed rag en definieren:
(1 )
= dl = "rekincrement" 1
do
Hier blijken de wegen te splitsen, want in de elasticiteitsmechanica definieert men: d E;
dl = = '1"
II'
f"
.
~n ~n~tes~male
rek"
(2)
o
waarbij de infinitesimale verlenging i.h.a. niet door de bijbehorende beginlengte wordt gedeeld, maar door de beginlengte van een eindige verlenging 61 waarvan dl een willekeurige infinitesimaal deel is. Het is duidelijk, dat een voorkeur voor een van deze definities niet op zuiver geometrische gronden kan worden gefundeerd. In de plasticiteitsmechanica heeft men e'en voorkeur voor def. (1) op energetische gronden, die samenhangen met de niet-omkeerbaarheid van plastische vervorming. Op eenvoudige wijze kan dit als voigt duidelijk worden gemaakt: Stel, dat een cilindrische staaf met een lengte I en een loodrechte doorsnede 0 (beide zijn momen1tane waarden voor een willekeurige tussentoestand) onder invloed van een infinitesimale verandering van de kracht F, die in de lengterichting werkt, een infinitesimale verlenging dl ondergaat. Voor de infinitesimale arbeid geldt dan: dA = F dl
We kunnen deze uitdrukking onafhankelijk maken van het deshe'treffende materiaalvolume V: dA s
dA
Fdl
= V- = or- = ado
waarin dAB de specifieke infinitesimale arbeid VQor-
3
stelt. We zien dus, dat door het invoeren van def. (1) een relatie tussen de infinitesimale specifieke arbeid en de incrementele rek bestaat, waarvoor de oorspronkelijke geometrie niet bekend hoeft te zijn. Dit is een belangrijk voordeel bij het analyseren van grote en gecompliceerd verlopende deformaties, zoals deze bij plastische processen voorkomen. Omdat: As .. fdA s = jado
~ kracht F
Fig. 20. Gelijkmotige rekverdeling
r
ligt het voor de hand voor een eindige rek de volgende definitie in te voeren:
o
o
=f
Ie
1
do = f~l = In 1: = "logarithmische rek"
n.l o
(3)
LCD
1~
o
Dit houdt dus in, dat we per definitie stell en, dat de eindige rek (de meetbare grootheid) gelijk is aan de som van die opeenvolgende incrementele rekken. Dit geldt ook met betrekking tot def. (2): 1
1
e
1 -1 61 = dl = -Ie 0 = 1 ~ "proportionele 1
J
0
0
begintoestand "-..
rck"
0
tussentoestand
rek~ " - - s t u i k / III
r·eld:1H(·
(i)--:>0:
61::s 1n
III
l'?-
c
In n
(I
(4) Omkering en combinatie van de beide functies (3) en (4) levert de betrekking:
1
stuikfascQ)"G):
Tussen beide relatie:
rekdefinities
bestaat dus
de volgende
(5)
= e O_)
Grafisch is deze relatie in figuur 1 weergegeven. Opmerking: In het algemene geval is de rek niet gelijkmatig ve'rdeeld over een lijnstuk I (zie figuur 2a). Zander dat we dit steeds vermelden beschouwen we aile eerder gedefinieerde rekgrootheden als limieten: do " lim dl
(6)
1-"0 1
We bedoelen dus verder steeds een 'plaatselijke rek'. In mathematisch opzicht is het verschil tussen beide rekconventies gelegen in het feit, dat proportionele rekken een vervorming beschrijven ten opzichte van een vast coordinatenstelsel (zogenoemd Lagrange-coordinaten) en dat logarithmische rekken gebaseerd zijn op een meelopend coordinatenstelsel. De logarithmische rekdefinitie (3) is in 1909 door LUDWIK [1] inge,voerd en wordt tegenwoordig meestal met de naam 'natuur.lijke rek' aangeduid, omdat ze in
1-1
-2
01
.Er ~
/
~// / / / /
/
2 t:
52 = In n~
= -In
n
, 1
1 1
-2
f.
10 -nl" 2 = -n-)--
I-n
=n
0
het geval van grote (plostische) deformatie beter bleek aan te sluiten bij het fysisch-mechanisch gedrag van metalen.
Vergeliiking van de twee rekdefinities Symmetrie en eenduidigheid Een prima ire eis, aan een rekdefinitie te stellen is, dat ze eenduidig is met betrekking tot het vastleggen van een nieuwe lengte (of vorm). Hiermee wordt bedoeld, dot bij elke lengte slechts een totale eindige rekwaarde behoort en omgekeerd, ongeacht de wijze waarop ze bereikt werd. We kunnen dit aan de hand van een voorbeeld demonstreren (figuur 2b): We zien uit het voorbeeld, dat voor elke willekeurige tussenlengte nl o geldt:
dat wil zeggen de totale rek volgens de logarithmische definitie is eenduidig, want ze geeft waarden die onafhankelijk zijn van de doorlopen tussentoestanden, ze is weer nul als de uitgangstoestand weer bereikt wordt. We realiseren ons, dat een rekdefinitie altijd eenduidig is als ze symmetrisch is, dat wil zeggen als de rekwaarde behorend bij twee lengten - afgezien van het teken onafhankelijk is van de vraag welke lengte de beginlengte is en welke de eindlengte. In het geval van een symmetrische rekdefinitie maakt het namelijk niets uit als men de totale rek in een willekeurig aantal deelrekken verdeelt, elk met zijn eigen begin- en eindlengte. Mothematisch kunnen we dit als voigt formuleren: Ie 11 12 Ie In " In + In + ••••••••• + In 10 10 I) l e -)
-,
1 1
-1.-00
4
proportionele rek
//
/1
/
\
/.
II 1
Fig. 2b. Symmetrie von de notuurlijke rekdefinitie
o = In(£+I) e:
I 0 -1
II °
"
o
= 1 0 eO = 1 0 (£+1)
e
=
o
0
1
eindtoestand
Fig. 1. Het verband tussen de prof'ortionele en de logorothmische/ notuurlijke rek
(7)
Uit de grafiek van figuur 1 volgde reeds, dot de proportionele rekdefin,itie asymmetrisch is: Emin = 1 en Emax = + 00.
.n het bovenstaande voorbeeld is de som van £1 en £2 dan ook ongelijk aan nul. Dat wil zeggen dat door optellen va,n deekekken de zaak niet eenduidig wordt. Bij het han/eren van de £-de,finitie moet dus streng de voorwaarde worden gesteld, dat aile deelrekken op dezelfde referentielengte betrokken moeten zijn, anders kan niet aan de eis van eenduidige vormbeschrijving worden voldaan. Ook in dit geval blijft de zaak nog enigszins onbevredigend, omdat aile aan tussenvormen toegevoegde rekwaarden afhankelijk zijn van een volkomen arbitraire referentieleng'te 10 , Welke vorm is de uitgangsvorm: het stafmateriaal uit het magazijn of de ingot voor deze in de s'taalwalserij de eerste wals ingaat, enz.? Het is duidelijk dat dit laatste probleem vooral een rol speelt bij pbstisch deforme'ren, waar de fe,ferentielengte niet door ontlasten kan worden terugverkregen, zodat er geen voor de hand liggende 'oerlengte' kan worden gedefinieerd. Ais besluit van de symmetrie beschouwingen zou het interessant zijn te weten of het materiaal bij grote deformatie een symmetrisch gedrag vertoont met betrekking tot omkering van het teken van de rek. Uit de metaa'lfysica is bekend, dat grate rekken tot stand komen door afschuiving van bepaalde roostervlakken in de kristalstructuur onder invloed van de schuifspanningen in die roostervlakken. (Het mechanisme van de afschuiving wordt genalyseerd in de dislocatietheorie, maar doet hier niet ter zake). Rekken of stuiken van een lichaam of een deel ervan betekent in dit opzicht niets anders dan afschuiven van dezelfde roostervlakken in tegengestelde richting. Afgezien van enige invloeden van ondergeschikt belang zoals bijvoorbeeld restspanningen - moet het gedrag van metalen bij rek en stuik gelijk zijn, omdat het mechanisme identiek is. Vele malen is dit feit inderdaad empirisch bevestigd, onder andere door TABOR [2] (zie figuur 3). Fysisch bekeken, houdt deze experimentele grafiek in dat de vervormingsarbeid onafhankelijk is van het teken van de rek onder de voorwaarde, dat de rek in de natuurlijke rekconventie wordt beschreven. We kunnen op basis van het voorgaande dus reeds concluderen, dat de trekkromme en de stuikkromme niet identiek zijn als ze in proportionele rekken worden uitgedrukt. Ter illustratie werd de kromme u als functie van 8 omgerekend naar £ (zie figuur 4): Dit betekent, dat in procesmodellen twee 'vloeikromFig. 3. De rekkromme en de stuikkromme, vitgedrukt in natuvrlijke rekken, vallen samen N mm,120
I
100 [
80
60 ~
'"c
.~ 40
materiaal: geg loeid aluminium
o CL
0-0
trekproef
x""':x stuikproef
D'---_l.--_----'"--_----'-_ _---'-_ _---L_ _-l
o
0,1
0,2
0,3
notuurlijke rek 161
0,4
0,5
0,6
~ 100 mm'
80
I:1Q,eriaa/: gegloeid aluminium
20
O'--_ _L -_ _L-_-----'L-_----'_ _----I_ _---1
°
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
proportionele rek Itl Fig. 4. De rekkromme en de stvikkromme (uitgedrvkt in proportionele rekken) vallen niet somen
men' tegelijkertijd moeten worden gesuhstitueerd, omdat een grote ruimtelijke vervorming steeds uit onderling loodrechte rekken met verschillend teken bestaat (zie paragraaf over volumeverandering). Dit zou uiteraard tot onoverkomelijke problemen leiden. We concluderen - aangezien overeenkomstige resultaten ook voor andere metalen werden verkregen - dat de natuur blijkbaar beter door de natuurlijke rekdefinitie beschreven wordt, zodat de naam 'natuurlijk' terecht is. De kl9ine rek Uit het voorgaande is de indruk gegroeid, dat de proportionele rekdefinitie grote nadelen bezit ten opzichte van de natuurlijke rekdefinitie. Desondanks weten we uit ervarin9, dat vele bruikbare theorieen uit de elasticiteitsmechanica op dit begrip gebaseerd zijn. Hoe zit dit nu? De oplossing is zeer eenvoudig, immers we kunnen schrijven (reeksontwikkeling):
= In(I+£) = £
£2
6 ..
£
-
2
£3
voor
+
e: «1
(8)
£4
3 - if + Deze reeks convergeert voor -I <£ 6
~
+ I. Er geldt dus ook:
(kleine rek)
(9)
Aan de voorwaarde £ < < I is in het algemeen voldaan binnen het elastisch gebied van aile metalen, die van technisch belang zijn, waar steeds geldt, dat E <0,001. De afwijking van beide rekdefinities ten opzichte van elkaar is dan minder dan 10-6 ofwei 10-40/0. Deze algemene conclusie volgde in feite ook al uit figuur l. We concluderen, dat - bij de huidige stand van zaken - de gelijkwaardigheid van beide rekdefinities voor kleine rekken interessant maar niet van groot belang is. Opmerkingen: 1e De kleine rek is iets we:z:enlijk anders dan een infinitesima Ie of incrementa Ie rek. Een kleine rek sluit namelijk steeds aan op de uitgangstoestand. 2e Met betrekking tot de keuze van symbolen zou men eigenlijk principieel onderscheid moeten maken tussen de volgende begrippen: - kleine rek ('small strain') - grote proportionele rek ('engineering sl,rain') (maatrek) - grote natuurlijke rek ('natural strain') In de literatuur wordt vaak in aile gevallen hetzelfde symbool gebruikt, hetgeen tot misverstanden kan leiden. 3e In de Duitsrolige literatuur wordt het symbool
5
over een doorsnede), die vaak een rol speelt in de elementaire analytische benadering van vervormingspmcessen. Volumeverandering We beschouwen sen oneindig klein rechthoekig volume-elementje met zijden Xl, X2 en X3. Voor he,t volume V geldt dan: v = XI Xz X3
(elastische) volumeverandering, die een materiaal ondergaat onder invloed van een belosting steeds evenredig is met de gemiddelde rek:
d~ ~ 3dom
(15)
of (onder de bekende voorwaardel: v Inye ~ 30m
Bij een oneindig kleine vervorming blijft het elementje i.h.a. bij benadering rechthoekig en kan een infinitesimale volumeverandering 015 voigt worden uitgedrukt:
£«
of voor IN
V
o
look
= 3Em
(17)
Het is nu zonder meer duidelijk, wat de fysische achtergrond is van het feit, dot men longs zuiver wiskundige weg kan aantonen, dot er een symmetrische eerstegraadsvergelijking in de rekcomponenten van iedere deformatie (de zogenoemde 'eerste invariant van de rektensor') bestaat, waarvan de woarde onafhankelijk is van de gekozen orientatie van het assenstelsel. Uitgedrukt in de hoofdcomponenten is deze waarde:
dV ~ ~ dx + ~ dx + ~ dx oX I I oX 2 2 oX 3 3
11 = £ I
(10) Indien de zijden gedurende een hele (eindige) deformatie loodrecht op elkaar blijven staan, dot wil zeggen 015 de zijden blijvend in de hoofdrichtingen georienteerd zijn, mogen we ook schrijven: v e v e In v ~ / dV ~ +' , , (11 ) o V ) " z + "3 ~ "I + °11 + °111
+
£
II +
E
III
Een volumeverandering is immers geen vectoriele grootheid en kon dus niet afhonkelijk zijn van de keuze van het assenstelsel. In het algemeen kunnen We een vormverondering von een volume-elementje opgebouwd denken uit een volumeverondering en een gedoanteverondering. De lootste wordt dus bepaald door: do'l
= dOl
z{
- dO m ~ 3
~}
°
V o
Hierin zijn 81 enz. de (eindige) hoofdrekken. Zoals eerde'r gezegd is komt plastische vervorm:ng u::sluitend door afschuiving tot stand. Dit betekent, dot het materiaalvolume hierbij constant blijft (denk bijvoorbeeld aan speelkaarten). Dit is experimenteel bevestigd. Men kon vaststellen, dot volumeveranderingen hoogstens ± 0,01 % bedroegen en het gevolg waren van elastische residuspanningen. Ten opzichte van de rekken is de gemiddelde rekdus verwaarloosbaar klein: 3 d Om ~ dOl + doz + d0 3
=0
(12)
Dit is een van de basisvergelijkingen van de plasticiteitsmechanica. In proportionele rekken uitgedrukt geldt nu voor de hoofdrichtingen: v :: In(l+s..J (1+8
do' z
~ doZ -
dO
do'3
~ d0 3 -
dO
+
£ {-
Voor kleine rekken, dot wil zeggen: << 1 geldt dus: IN
o
+ E III ~ 3E m
6
(10)
m
~} {
(do
Z
- d0 ) + (do - dO)} (18) Z 3
(d0 3 - dOl) + (d0 3 - dOZ)}
0' )
°3 - om
- Em
=} {(E 1 -
EZ) + (E) - £3)}
E'Z
EZ - Em
~ {- {(E Z -
E3 ) + (E Z -
E'3
E3 - Em
=} {(E 3 -
E1) + (E 3 - EZ)}
E'I
E1I Ell' Ern
(14)
en
~}{
(13)
De (grote) deviatorische rek Uit de vergelijkingen
m
Dit zijn de grote deviatorische rekken, die de gedaanteverandering bepalen. Tens'lotte ge'ldt voor de kleine rekken E << 1 nog:
If III + e: I I t I +
If III + 1
{ (dOl - doZ) + (dOl - d0 3 )}
De grootheden d8'J enz. noemen we 'deviatorische re'kincrementen'. In de plasticiteitsmechanica wordt dll m gelijk aan nul gesteld en zijn de deviatorische en totale incremente'le rek gelijk. Onder de voorwoorde, dot materiele lijntjes njet rateren ten opzichte van de hoofdrichtingen, dot wil zeggen blijvend in de hoofdrichtingen georienteerd zijn, geldt ook:
0' 3
£:
doz + d0 3 } 2
Z
It (I+e: III)
+ e: {' II +
dOl -
°'
In ,;.:: Or + <\1 + 0Ilr '" In(l+E:. ) + In(l+£n} + In(l+£UI) = r o
V " E 1+ Ell
(16)
o
(11), voigt, dot de
= E]
E
1)}
(19)
Hieruit voigt een bijzonder interessante conclusie: het rechter gedeelte van deze vergelijkingen bestaat uitsluitend - afgezien van constanten - uit hoekverdraaiingen, of wat fysisch gezien hetzelfde is (zie volgend~ paragraaf) uit afschuivingen. Dit voigt rechtstreeks Ult de rekcirkels van Mohr. Met andere woorden gezegd:
Een gedaanteverandering kan steeds worden beschouwd als het gevolg van een combinatie van hoekverdraaiingen of - wat hetzelfde is afschuivingen. Bovendien veroorzaken afschuivingen g~'en volumeverandering. We beschikken dus nu over een gesloten beschrijvingsmodel van rekken, dat ook in dit opzicht fysisch relevant is. In het volgende zullen we neg nader ingaan op de definities van hoekverdraaiing c.q. afschuiving.
Algemene definitie van (grote) hoekverandering c.q. afschuiving Uit de rekcirkels van Mohr of liever uit de afleiding daarvan - weten we, dat tijdens een deforrna tie stoffelijke lijntjes niet aileen langer of korter wo'rden (dat wil zeggen 'rekken'), maar dat ze i.h.a. bovendien roteren. Oat dit zo is, kan aan de hand van een zeer eenvoudig model worden gedemonstreerd. Daartoe ma'rke,ren we twee vie'rkantj,es op (een uniform deformerend gedeeHe van) een trekstrip ails g·eschetst in figuur 5. De in dit geval symmetrische hoekverdraaiing van richtingen, die niet evenwijdig zijn aan de hoofdrichtingen, blijkt duidelijk. Uit de rekcirkels van Mohr blijkt, dat de hoekverdraaiing van materiele lijntjes, die een hoek van 45' met de hoofdrichtingen maken het grootst is, of eigenlijk beter uitgedrukt: de grootste hoeksnelheid hebben. Ter wille van de overzichtelijkheid kunnen we de ongedeformeerde en de gedeformeerde vorm van het vlakje over elkaar leggen (figuur 6). Omdat een verplaatsing op zich geen arbeid vergt is het zinvol de situatie op deze wijze voor te stellen. ~efererend aan deze voorstellingswijze wordt
~,
We gaan hiertoe uit van een willekeurig,e tussentoestand bij zuivere afschuiving en brengen een incrementele afschuiving aan (figuur 8). We hebben nu uitsluitend te maken met de arbeid van de schuifkracht in het bovenvlak, immers de aangrijpingspunten van de schuifkrachtjes in de zijvlakken verplaatsen loodrecht op de richting .van de. schuifkracht en het aangrijpingspunt van de schulfkracht In het grondvlak wordt niet verplaatst. Voorts is de totale arbeid van de normaalkrachten - die voor schuinstaande vlakken natuurlijk aanwezig zijn - gelijk aan nul voor een homogeen belmt en dus homogeen deformerend blokje. De arbeid, behorend bij de incrementele nfschuiving is dus nu: dA = TOds
Betrekken we dit op het materiaalvolume, dan is: dA
s
= dAV =
TOds Oh
=
T
d(tan~)
= Tdy
(20)
We hehben zo een incrementele rekgrootheid dy = ds = .d (tan~) h
ingevoerd, die geschikt is voor h~t beschrijven van afschuiving op een zinvolle manler. We bedoelen verder steeds - zonder dit nog te vermelden - de plaatselijke incrementele afschuiving:
~ h
Per definitie beschouwen we een eindige afschuiving als de som van aile opeenvolgende incrementele afschuivingen:
JI' :..- 45° , I
Fig. 8. Schemalische weergave van een willekeurige incremenlele afschuiving
I De rolalie van de maleriele richlingen bii vervorming
,. ,
I
I
~
Zuivere afschuiving
vlakken van zuivere afschuiving zijn weggedraaid door richtingen waarin wEd rek optreedt. We benutten het geval van zuivere afschuiving om een eveneens zuivere definitie van afschuiving te formuleren. In eerste instantie is men namelijk geneigd ~e afsahuifhoek
dy = lim h+o
,
Fig. 5.
Fig. 7.
ds
..II· ::
l--:---~~' h I '/
I
tIl
S
Fig. 6. Schemolische we,ergave von de rolalies door een 'afschuiving'
_L_
Opp.O
~~;;;;;;;~~~"'3~~
~'/ 7
$
y
=
~ d(tan$) = tan$
(21 )
o
De kleine ofschuiving Er geldt de volgende reeksontwikkeling: y
$2 . $4 $6 . $ 1- 3T + 5T - 7T + •••••••• tan$ = ~ = $ --'-;;----"-;------'--7'-----cos$ $2 . ",4 ",6 1- 2T + 4T - 6T + ........
Voor zeer kleine hoekverdraaiingen geldt dus « 1 -, dat
rasterelementen uniform deformeert. Ter illustratie van het gezegde over de gebruiksmogelijkheden van rasters geeft de foto (figuur 10) een indruk van de verdeling van grote rekken over het oppervlak van een diepgetrokken rechthoekig bakje. Doorgaans worden echter fijnere rasters gebruikt. Zoals we eerder gezien hebben (zie verg. (11)) is bij grote plastische vervorming de som van de hoofdrekken gelijk aan nul. Door vergelijken van de ellipsassen met de oorspronkelijke cirkeldiameter kan men dus de rek van het oppervlaktemateriaal in de richting van de normaal op het oppervlak afleiden:
d.w.z. als
Y '" $
(22)
Dit is steeds het geval binnen het elastisch gebied van metalen. We kunnen dus concluderen, dot de aanduiding van afsichuiving in de elasti6teitmechanica (
Het meten van grote rekken Het is niet de bedoeling hier een uitputtende behandeling van meetmethoden te geven. In het geval van eindige rekken heboen we te maken met eindige en dus i.h.c. zichtbare en goed meetbare relatieve verplaatsingen. Behalve een oantal elektronische hulpmiddelen - zoals weerstandsmeting; inductieve, capacitieve en foto-optische meetopnemers bestaat de zeer iIIustratieve rostermethode. Hiertoe worden longs fotografische of chemische weg (etsen) nauwkeurige rasters op het materiaaloppervlak overgebracht. Beperking: uitsluitend geschikt voor oppervlakken en aileen in bijzondere gevallen voor deelvlakken, waardoor kwantitatieve toepassing tot de bewerking van dunne plaat beperkt blijft. Voordeel: onmiddellijk overzicht over grootte, verdeling en orientatie van de rekken. Voordeel: onmiddellijk overzicht over grooHe, verdeI,ing en orientatie van de rekken. Vroe-ger werden voornamelijk millimelerrasters gebruikt in ve'rband de mogelijkheid tot het nauwkeurig vervaardigen (tekenen) ervan. Tegenwoordig is men in staat zeer nauwkeurige en fijne cirkelraslers toe te passen met behu,lp van numeriek bestuurde tekenmachines, fotografische precisieapparatuur voor het verkleinen von grote rasteroppervlakken enzovoort. Cirkelrasters bieden het domineren,d voordeel, dar de hoofdinrichtingen onmiddellijk zichtbaar worden. Omdat de aanvankelijke rasterelementen van een cirkelraster geen orientatie hebben deformeren ze tot ellipsen. De eUipsossen zijn dan automatisch de hoofdassen van de vervorming, om dot in deze richtingen de rekken maximaal en minimaal zijn (zie rekcirkel van Mohr). De richtingen, waarin de (hoofd)rekken gemeten moeten worden zijn dus duidelijk herkenbaar, dit in tegenstelling tot orthogonale rasters [zie figuur 9). Strikt genomen is dit aileen waar als de hoofdrichtingen niet roteren ten opzichte van het materiaal. Doorgaans zijn de afwijkingen bij plaatbewerking niet 01 te groot en is de rastermethode bruikbaar voor het bepalen van bijvoorbeeld de grensvervormingskromme. Vanzelfsprekend goat een cirkel aileen in een zuivere ellips over als het gebied van de desbetreffende
8
--
f2
f2
O~
02\
~
t
t
0/01
=f>
\
/
t
cJ? f2
--0-
=i> - - ~~1
t
\t
0/
/
l~
--I
\
~
=f>
\'
/C(
/~ 0
Fig. 9, In tegenstelling tot orthogonale rasters zijn bij cirkclrasters de hoofdrichtingen van de deformatie direct zichtbaar Fig. 10. Een voorbeeld van een rekverdeling zoals die zicntboor wordt door middel van een cirkelraster
(In
~ + In r
£.) r
= - In ab 2 r
In het geval, dat men relatief dunne plaaf vervormt, neemt men vaak aan, dat de l10rmaalrek aan het oppervlak gelijk is aan de dikterek in elk punt onder het meetpunt. Inwendige rekverdelingen probeert men soms te achterhalen door gebruik te maken van het net van korrelgrenzen - dat door etstechn ieken zichtbaar kan worden gemaakt - als een soort raster. Dit lukt beter naarmate de korrels minder fluctueren in afmetingen en minder afwijken van de ronde vorm, Hoewel het behelpen blijft, is dit de enige manier om metingen uit te voeren bij massieve lichamen zonder be'invloeding sterk van het deformatieproces. In figuur 11 is vergroot, - de situatie geschetst zoals die gevonden wordt I~ oppervlaktelagen na plastische wrijving, Verplaatsmgsvelden probeert men vaak te achterhalen met speciale rasters, die afgestemd zijn op de aard van het coordinatenstelsel waarin een probleem het best beschreven kan worden, bijvoorbeeld een stelsel van concentrische cirkels doorsneden door stralen enz Een interessante meetmogelijkheid bij trekstaven res~ pec~ieveliik trekstrippe~ is. ten~lotte de volgende. Op baSIS van de volume-lnvanantJe geldt (voar e'en strip met breedte b en dikte d):
° =1
-f--=*=-t
Fig. 12. Plaatselijke waarden van de (o,er de door3nede) gemid. delde langsrek volgen uit de verandering von de diomeier
Omdat de arbitraire keuze van de orientatie van het assenstelsel de deformatietoestand natuurlijk niet kan be'invloeden, zal ook de rek in een bepaalde richting niet worden be'invloed door een rotatie van het assenstelsel. Er verschijnt dan aileen een nieuw stel rekcomponenten in de matrix van de incrementele rektensor. Evenals voor de spanningstoestand bestaan voor de rektoe'Stand een aantal invarianten, dat wil zeggen een aantal functies van de tensorcomponenten, waarvan de waarde niet door een draaiing van het assenstelsel wordt beinvloed. Enkele van deze invariante functies zijn bovendien symmetrisch in de indices en zijn dus geschikt als fysisch criterium voor de deformatietoestand. De eerste invariant 1, hebben we al leren kennen
= de som van de elementen op de hoofddiagonaal van de incrementele rektensor. Uitgedrukt ten opzichte van de hoofdassen van de deformatie is:
(ob + cd)
(23) (l
n
b
b
+ In
o
~) do
= _
bd
In b""';i = In 0
Ao
A
0
dat wil zeggen de langsrek voigt uit de verandering van d.e d.oorsnede Ao• --'> A en is met betrekking tot de I.angsnchtlng au~omatJsch een plaatselijke waarde. Dit IS vooral een Interessante mogelijkheid als de trekstGOf niet m~er unifo.rm deformeert, zoals het geval is na het begin van Insnoering. Voor bijvoorbeeld de (gemiddelde) langsrek ter plaatse van de kleinste d?orsnede van een ingesnoerde ronde trekstaaf geldt (frguur 12):
We hehben gezien, dat I, evenredig is met de infinitesima Ie volumeverandering. Men noemt (23) de voorwaarde van volume-invariantie als de vergelijking ge· lijk aan nul gesteld wordt. Op volkomen ana loge wijze als voor de spanningstensor kan ook de tweede of kwadratische invariant van de incrementele rektensor worden afgeleid. Deze is tevens de invariant van de deviatorische rektensor als het volume constant is. Uitgedrukt in de incrementele hoofdrekken luidt deze: 1
do 2 1 = In (d)
°
Om, een red~n. ~ie later. wordt verduidelijkt, gaat men In de plastJclteltsmechanlca niet uit van de kleine maar van de incrementele rektensor. Dit is ee; dolI
[
= ~ { (dOl - do 2 )2
+ (do
2 - do 3 )2 + (do 3 -
d~l)t
}
(24)
De (incrementele) effectieve rek
"'ij) -
2
dYil/2
dy
We voeren nu per definitie de zogenoemde incrementeIe 'effectieve rek' in
en we kunnen -
na omrekenen -
ook schrijven:
/2]
(25)
"12 /2
"22
',::/2
dY13/2
dy 23 /2
d0 33
symbolische schrijfwijze in matrixvorm van de deformatie in een stoffelijk punt (figuur 13):
a
De incrementele effeclieve rek eM is een scala ire grootheid, die representatief is voor de gedaanteverandering van een volume-elementje. Men zou kunnen zeggen: d'S is de grootte van de 'incrementele gedaanteverandering'. In het geval van een trekproef in richting 1 geldt om symmetrieredenen: d0 2 = d0 3 (= -
±
dOl)
Substitutie hiervan in (23) geeft (alle·en voor trekstaaf!) do = dOl Fig. 11, Inwendige rekverdelingen kunnen soms globaal worden achterhaald door gebruik te maken van de korrelgrenzan als taster
De overigens zuiver arbitraire keuze van de constante factor in verg. (24) resp. (25) berust op de wens deze eenvoudige relatie (uit de trekproef) vast te
9
y f ~f
leggen. We kunnen nu de afspraak maken, dat geldt:
6
J
d6
d6
" e ffectieve deformatie"
(26)
o
De deformatieweg Bij plastische vervorming is in tegenstelling tot elastisch vervormen van belong hoe elk volumeelement zijn eindtoe'stand bereikt. Dot wil zeggen voar een juiste kennis van een vervorming kunnen we niet volstaan met aileen de kennis van begin- en eindvorm, maar we moeten de zogenoemde ,deformc1tieweg' kennen ('stra in path') We kunnen dit begrip verduidelijken aan de hand van een hulpfiguur, die averigens geen enkele meetkundige betekenis heeft. Hiertae stellen we elke tussentoestand, die een volumeelemen1tje doorbopt voar, door middel van een beeldpunt in het assenstelsel van figuur 14. De drie ingetekende lijnen CD, ® en ® zijn dan bijv. mogelijkheden, waarop de eindtoestand kan worden bereikt. Ze stellen verschillende aaneenschakelingen van tussentoestanden voor. De volgende benamingen zijn ingeburgerd: lijn CD rechte deformatieweg lijn ® == kromme deformatieweg lijn ® == samengestelde deformatieweg In eerste instantie is de betekenis van deze figuur gelegen in het feit, dat uit (25) en (26) voigt, dat
=
o
Z
I
(do 1Z + doZ Z + d0 3 )
totale deformatie
dat wil zeggen dat de totale effectieve deformatie in de figuur wordt voorgesteld - op zekere schaal - door de lengte van de deformatieweg, dot wil zeggen door de afstand, die het beeldpunt heeft afgelegd. De deformatieweg behorend bij een incrementele vervorming kan i.h.a. worden bepaald door middel van een parameter a:
(27) (Deze vergelijking geldt voor vervorming bij constant volume). Elimi,neren we met be1hulp van de'ze uitdrukking dil2 en dil3 uit de vorige ve'rgelijking, dan verkrijg'en we de volgende uitdrukking voor de totale effectieve deformatie: 0)
~
.
~~(aZ+a+t)'dol
o- = -Z
(28)
o
Hierin is in het algemeen a een fundie van il" voor == constant hebben we met een rechte deformatieweg te maken. In dot geval kan (28) worden ge'integreerd en omgewerkt tot: a
_
o
=~Z3
(0)
Z
+ 0z
Z
z'
+ 03 )
als de rechte deformatieweg bovendien nog door de oorsprong gaat. Een voorbeeld van de rechte deformatieweg in beperkte zin is de trekproef: a == -1j2' Tenslolte gaan we ons in de laatste paragraaf bezighouden met een technisch belangrijk aspect van het begrip 'effectieve deformatie', dat voor de plasticiteitsmechanica van fundamenteel belang is.
3
Effectieve vloeikromme en verborgen deformatie Het is zonder meer duidelijk, dat voor de trekproef geldt: 2
1------
(= langsrek)
0)
Veor de trekproef geldt voorts spanning volgens von Mises:
Fig. 13. Schematische weergave van een incremenlele delormalie door middel van hel volledige slel rekcomponenlen behorend bij he! aangegeven assenslelsel (lei op de indexering)
Fig. 14.
6=
Verschillende deformaliewegen
_ _ beeldpunt eindloestand '_-_, I
t
no een grate vervorming
cr
~/)
=~
2
{(oi-oZ)
Z
+ (oZ- 0 3)
Z
+
veor
(0 -0
3
de
effectieve
z',zodat ) } 1
in verband met de lijnspanningstoestand (U2 U3 == 0) de effectieve spanning een bijzondere waarde aanneemt, namelijk:
cr = 0 1 Hierop berust in feite de keuze van de constante in de definitie van u. We concluderen, dot we langs de U1 -as en 8 1 -as van het stelsel waarin we de trel
10
spanningstoestand met toegevoegde rektoestand te herleiden tot een punt op de vloe·ikromme van het desbetreHende materiaal. De trekkromme kan als rekengegeven op verantwoorde wijze worden gebruikt bij de kwantitatieve behandeling van meerassige belasting- en rektoestanden. We volstaan hier met de mededeling, dat bewezen kan worden, dot de opgenomen arbeid (per volume-eenheid) bij een willekeurige vervorming kan worden weergegeven door het oppervlak onder het doorlopende gedeelte van de gegeneraliseerde trekkromme. Vaak denkt men, dat het wezenlijke ve'rschil tussen een elastische en een plastische vervorming gelegen is in het feit, dat het elastisch materiaalgedrag lineair is en het plastisch Lh.a. niet. Veel wezenlijker is echter, dat een elastische vervorming omkeerbaar is en een plastische niet. Bij een plastische vervorming ('blijvende' vervorming) wordt uitsluitend arbeid toegevoerd en nooit afgevoerd, dat wi) zeggen bij omkering van de deformatie blijft de vervormingsarbeid een positief teken houden. Hierop berust een problematiek die karaktedstiek is voor de plasticiteitsmechanica en die we kunnen illustreren met figuur 14, deformatieweg ®. Het tweede gedeelte van deize defo'rmatieweg volt samen met het eerste, maar is tegengesteld gericht. Dit houdt in, dot in een later stadium van de vervorming het desbetreffende volume-elementje of lichaam opnieuw een vorm aanneemt, die het vroeger ook heeft gehad. Was de vervorming elastisch dan zal de arbeid na de omkering (dus bij het 'terugveren') ook van teken wisselen zodat bij elke vorm €len bepaalde (potentiele) arbeid behoort. Het beeldpunt op de rechte van Hooke is dan ook weer hetzelfde als vroeger. Was echter de vervorming een plastische, dan moet ook no de omkering arbeid worden toegevoerd (positief). Dit betekent, dat de vervormingsarbeid geen toestandsgrootheid meer is met betrekking tot de vorm van het volume-element. Ais in een later stadium de oude (tussen)vorm weer wordt aangenomen, blijkt uit de geometrie niet meer daf een hoeveelheid arbeid is 'gedissipeerd'. De be nodigde arbeid kan dus ook niet aan de vorm worden gekoppeld. We kunnen het nog anders uitdrukken: bij plastisch vervormen kan het beeldpunt van de spanninglrektoestand langs de vloeikromme uitsluiterid van links naar rechts verplaatst (figuur 15) worden. Mathematisch geformuleerd: (voor
plastis~he
deformatie)
(29)
In verg. (25), (26), (28) enz. zijn "8 en ds steeds positief vom plas.tische vervorming. Bij het experimenteel onderzoek van vervormingsprocessen is vaak aileen de begin- en eindvorm bekend. De rekken en de effectieve deformatie worden dan hieruit afgeleid op basis van de stilzwijgende (vaak Fig. 15. Ket oppervlak onder de effectie'le 'Iloeikromme is eee meat de plastische gedaanteveranderingsorbeid
'Ioor
--_-..
...... / ..... -lineaire versteviging
--
..........
procesrichting ~
crv F----~'77'"------
~dAs (pos.)
onbewuste) aanname, dat de deformatieweg recht is. Het verschil tussen de (gemeten) arbeid van de uitwendige belasting en de (bekende) opgenomen arbeid blijkt dan soms zeer aanzienlijk te zijn en staat bekend onder de naam 'verborgen arbeid' ('redundant work'). Vermoed'elijk ligt hier bijvoorbeeld een belang'rijke oorzaak van het praktijkprobleem, dot de rektoestand bij begin insnoering onder testcondities afwijkt van die in de produktiesituatie. Men leidt de kritische waarden van de rek namelijk af uit de begin- en e·indafmetingen van de rasterelementen. De meestal aanwezige verschillen in de deformatieweg blijven zodoende onapgemerkt. Effectieve vervorming die met inachtneming van (29) vit (28) voigt, maar niet uit de hoofdrekken blijkt (die als zuiver geometrische grootheden wei van teken kunnen omkeren) noemt men 'verborgen ve·rvorming'. Een praktisch voorbeeld levert het plastisch heen en weer buigen van plaat. Men zou kunnen stellen, dat de totale eindige gedaanteveranderingsarbeid uit twee gedeelten bestaat: ,
=A
11
) w waarin A' := arbeid, die zou worden gedissipeerd in een lichaam als aile volume-elementjes een zelfde rechte deformatieweg volgen van begingeometrie tot ei ndgeometrie. A" := additione'le 'verborg-en arbeid' ten ge'vol'ge van afwijkingen van de enkelvoudige rechte deformatieweg. (A w = wrijvingsarbeid). De arbeid A' voigt doorgaans uit elementaire berekeningsmodellen, waarbij uitsluitend begin- en eindgeometrie verantwoord wardt. De betekenis hiervan is gelegen in het feit, dot we niet een maar twee extreme gevallen kunnen onderscheiden, namelijk voer A' = 0 en voor A" = O! A" = 0 i,s ~onder meer duidelijik, dit is bijvoorbee,ld het geval bij de trekproef. A' = 0 betekent, dat de e'indgeomekie van het lichaam en van elk volume-elementje erin gelijk is aan de beg ingeometrie. Belangrijk is de vaststelling, dat aile tussengeometrieen in principe slechts infinitesimaal zouden kunnen afwijken van de begintoestand, terwijl A" toch een eindige waarde aanneemt. Hierdoor zou het bijvoorbeeld mogelijk worden te verklaren, waarom bij explosief vervormen het materiaal soms aanzienlijk harder wordt, dan op grond van de globale deformatie verklaarbaar is. Het zal tens lotte duidelijk zijn, dat bij vermoeiingsverschijnselen de gelijkblijvende macrogeometrie geen enkel bewijs vormt voor de vaak gehoorde bewering, dot vermoeiing geen plastisch proces zou zijn! A tot
+ A
(+ A
Nawoord De voorgaande voorstellingswijze van het be,grip deformatie, meer aangepast aan de praktijkbehoeften, is voor een belangrijk deel ontstaan en gegroeid tijdens discussies met Prof. Dr. P. C. Veenstra. De auteur wenst zijn erkentelijkheid hiervoor tot uitdrukking te brengen. Voorts is hij dank verschuldigd aan aile collega's en medewerkers, in het bijzonder Dr. Ir. J. A. H. Ramaekers, Dr. J. Smit, L. J. A. Houtackers en M. van der Meulen, die in enigerlei vorm hebben bijgedragen aan het tot stand komen van deze publikatie.
~I
L1TERATUUR
d6
ludwik, P.: 'Elemente der Technologischen Mechanik'. Springer Verlag Berlin (1909) [2] Tabor, D.: 'The Hardness of Metals'. Oxford CI·arendon Press (1951)
L------"=-----__ 6
[1]
11
WT 0315-2
TE'H~IS(.Hc
MECHANI'R.:III:'
ENIGE NOTITIES OVER tiEr BE:GR»IP PE'FORt1ATIE.
Bf1'!~k(I'1Qt
'n
d.e.
r(k ~~,·ni+it~
~OQ.I~ 'tOf'3!i'!QSt
~lo.,tjC!jtejhMe
..
RRK 01
WPR bsw B I BL. TECHN I SCHE UNIVERSITEIT
IIU IIII III In
*9342709* EINDHOVEN
..
1.
~.
IN L.EIOIN~.
~ t'1tt'\\tatiM~
~~~
tOt ott.
11Qv.A.
~~rl. ~ ~olue tt~kn-i~d.c.
(Wc.tC.lI\~(.h.aIo~C.11. - n,oo.t~ (,~v. oU t-ttldM:>ta¢kklelt (n. cie CZhamlt ~ cit Ma~ha..~~e ttekVlltk. ~(QlM\t~Q(e vdt .~lNJ. ~pWise" DMAw-ikkd« )M all. ~TlOkt~k.. 'P
~olM.A~ ott ~~cU
;~""d PMa.t~Ic.~1c.
1IOV1, lA21.4.
at ftWt~iM5tf~ .,bW(~kkt~i9 ~~)tOlAo(ll.1
e..t~
~Ol.MNklMo1Q(t
d..t
L1.ci.&WI~e
"MA~qel1.) io\.c:MA~t 1ca..tht.o<Mteen, ~Ic$(.. 1-¢rnJod~ £ft.) .L-\A. oU. ~a:.ta4iXotW
t VQ.M ole. f~) ~\,'oU~uotk.~yt, IJQ(otM~h-1(.LollGLAM$t..,
L
k« o(ic.pt\CkklM-
vw.~h Cll.~
VG\M
.Ioow.~ ~e.)
Kotwd d..t. CNVtwilc.lc.aw.o
(~
,u..
rn~
lc.to-D$-t.u~
tWtMttw~w.
"*,
t.,. v.
hu-
lrY\O-4£k~t~)
Idcot VLlVL-1~cPluo{t G/ViMG(t '""~ ~~ V~D .~ ".l.Ltt\( I' ..4a~o t~ iAA-sSl-vz.. htt " "O~ ~tM.c.~ £AA,h«~, rw)<MA.a~. ~ Mac!~aa. ~ i,( voo~~ ep ~ ws-f't ~c2M ~twu.~ OAMolot hLt twU4Lt, lU~(M.<.J VG?O~IMA- ku (J...c. ~a.fJti)a.c. . V~l.lO\,,"I.:c..U? .(M. cU ~~st~€Mo(.c.. tw"INOWeeu ht.tAtjt If:xl..S '0(',(. tot DDwt wi let U Jo ~M, t (. k:o""'t~ .""4 tej it.o.
a.r.
I
vw:
J)L
"U().~t;.ti+Ukj,1A,t~~t~ LeA. 1/
Q(.(.
'?-+/ot.i.ott ~ a,~tUti. ,of, atu. t.tt ott ~~
,c~~
Jo~/o !\1k. ~lMA~ot1
~~I<:~
4,lA
~t().&hetiftit4VtAt<£"
I I
~ ~ ~W~
~ ().MM ~ +kow J vwuu.
ottj~+~ VClM. <X..c.
lt~
W
L« Stb~ &~
,oANt wi~k.dW~ (AMot.u-~o(.~ olrlc. \b.v.,J ~ tMA..to~lM.oU. htJaoejt-f.M,. flJ~ ~ W lIo<.o~ Jl4t P-01l.~ -hK~~ ~ 10~ ~lMihu UUv. ~Q(.u. vu~~~ol ~ Vaa-k W'V~ ~
t.
{)SFItJITlES VAt! Her
~~LtM.4~Io~
Vu)t,lM~o(
...-.. " .......- . .
BeaBIPIc ~Ek' "
iM "'~ ~JiAM+~ i.,..( ~ ,«.4e/,.\ ott. }.w.ft. V~tM~ Y(U.l (,UA. 1tftMc.i<J1M,4v« 'FMd'~~(M Ka..\okt:tM~U\t cJ..(YJ.l/. ,L(M o.MM.«.c.~l.c~t ~t"t.i,ol - oLe. II~ 11otU. DMt1ff-oot QWo'\ ott£~~ VQM. Q(.(. Vt.\1.£M1!M~ oLoO'\ 0lL .£p'1~tl..6?~ott UM~it
'+
CJlu.\U ~~ )..)
blJtA. wa.t r).A. JI~1 dJ. ,lMA.1Q1M.~LcMr-c
,Lw.1tt .
r
bt-kO\L4A.dt./ UM~
..of au
,4.twOi+l~~QM.t
(jS_:=r_~e_=_I/_f\tk_V\;1_'
1_({_) t;(A.i.t ~k.fM
~~ ott.
QU
~~~ cU\.
CXlJll'lo1 t..£M-
MU1;
*'
,
1
_(!hq._m_t_V\._t1
teitt'" ~
LJ<MA-t L
Q(.t
do. *t e.i re.iH ~
\ wa.G1JI41
Gk ~~ 'kslM"a..u VcMLlA~w.o
~ ~11l (J4 kH."tM~~k )ou.c. L\. .o~lMA.o(o(c.~ vo-nc:l.r~~) 1Nlne:a..t" ~oU.ttd ~o.o.A. <:U>O't olt ~~te V'~ ~. ~oc.c:~ N-U~tn~ ~l W~ClAA ct( tt.M IlJ'\ t1Lk~~ '\M~,k.S'tMa.a-t oUU fd ~
a.L
,(,t,,,,,,
A.t .0..
HfA' M ~~k. QCAt u.v. V01>,", ~ /l1l"IIl< UM ~ <Jtu..t
~.li) 0} tlM.u~U·HW ~~ au ~~~~~ ~ ~ - Q\Molc..f.tM,OI.CMW-c:ot V~ pta.~s~t VelIlOO\K4.J,. UMvaw:J.ig.c. ,w'1%t /c<;Wt. ~ 4.,u lJotr ~~ W'z;lc\c:t~'1. ~!,,"C2Q.k-t-:
Cf
~t£(, ~
t..t.tA
~~~ s~
.Q.cootuak.tt.. okJOA Y\.-\(..O(L
V~
~
U
~t~ tfM.d"'" ~gt( L tM. .(.U.c, 0 l (? tMM. ~ VKCCM.«Mlf~ ~~~
~,,~~ t"')1tA.odO(,,~!) D~ ~U
iM~ite~Q.tl. V~o(..(AM...~
~ ote.. ~
ole
au
.o~G
V~ dJ..
,UA.A.
VC\M dt
.
k'\'o'~ F I ~
~rV\.\k~~lt ~~~ £l.\kLio(. ~ ~ .
)MjM i k~a4.
3
dA
c
F de
~~ wQ. t(..1~tM. a.u. VQ.M, M~Q. o"<,tt k~ 1.iV1 VtAwCU)hfo'lUl.. Wt. j(.""Vllo1tlll.. c:;(.cA.(. .u.A.k~k.&M.O A?tA.~lke¥ ~okt4.A. VtMA.
kt.t JottA..Olc¥..tvt. LtIA.a:t~\lotu.~e.:
A~=,(aA~ i
!<'f ~
<JJ.. ~ !rD1Jl, ~ cu~ l kL ~ tl. Ifo~t~:
------
n",.
---------------------------.-----
----_._--------
it.
,....------------ - - - - - - -
s = ttl l f. H)
(;)
8 e • e-I
va ~ CSl
2
~
-..>
...s:
~ o.A
'i c.$
~ ~
i
<$
en
...2
-2
21
I CI
/
dV // /
/
//
/
/
/
~ro~Ol-t lonelt t-elc E.
/
.-0.
~I /
2-
i
I ~I
-1
,/1
I
I
I I I
I
I
(-1,-00)
l~)
li$=
~ dtr:lll.De J) (at)
I""---_ _
f~o
.£t~.
]
_
J. VER4ELlJklNGJ 3.1.
J)E TWEe.
VAN
$~Mm~tw.
(..(...\
~EICJ)EFltJITIES
UM.~ht.c:O<
((Lv\. p~a.V\.c. W) ~ 1tM- ru.r..d.L[Wtitli. it 2ftttfLu/~) ~ l~ UM.~~,l..( /WI. to.t. k« tv-
INt
~~ ~~O'\.<M Io~~oo~
itM. fota.(f.
lJ~cr~~/.\t
Q(.(
lc.lA.NWt~
~1ze. ~
~ ~
Q(.f.
~
l,~k-t
~ ..o~'ftUhaI
/W-UO(.
ha.'-tol \I~ UM.
(1I-oo\.4~
~1M.o1\A.~~ :
b~intot~tar1ol
"-hZk /
reqa~e.
8) ... ®
d'J-u'lk t(1)(
@ ~@
:
.fuSStn:roilla~d
e"n~tot)tat1d
"'-5fuik/ ~=
£. ~
t'2'D -ll>
lo
• a-I
12:...Qfo = I~ n.lo
n.
------------,----
11.
110 mm~
LOO
-
80
b 0""
bO
mQ.t~riaa{: qt~letjcj
C
t!
c.lumi r.ll
C!
~ t/')
.!to
0-0
~tuik.~roet·
X-)\,
tWc.ProeJ.
10 -
o o
I
I
0,1
0.1
0,3 n.(AtuUH~lc.€.
O,l4 ,..ek.
0,5'
(51
um
8.
&0
~a.~¢rlCl€M
:
~(~oe;Gt (.U(..u"i ni Utl'!·
10
o
L....-_ _...L-._ _--L.
o
0, 1
0, I
0, ~
pro/:>ortione.le ~~
f,tkc,lw.~~. ~
~
he.(j~(.
q4 rek. If, I
"1\.O't~VWOd.t~
u~k.t(,r1lt AMcU(..V1. WOI\~
'fOte.
l-
~l
tt.J~
o,b
vtot.i k\OLN'Wi~~
~f~~t~~)
.tI-""aaA- jJ..I.A p~~" Loool-
~t~ IIUIIO-\IM~~ ~"u.U l\.tkV'.£~ ~ f'V"'U4<:BM; tltM 0(, ttk~ ~42 ~
/D~
()JU
vo~('v~.M19). ~lit \"l.oM
.(>M--O~""'~OlM~ pw~~
~~
O.,.(..UL4Ak.o{..v\.~~
~L\.c~o\ ~
l\L~tAAtM ~ V017\ ~etu.t. ~~ w-u.~ t1"<4kM~ oLu at&. (lI\~~ ~tjk.h~ ~ VOO"'tM-\ ~ V'lTh" (U~~~ M.kaU.fiMi~J 1M. (jJ. MaQC.1A II h~L.<MAcr I, t~~ J.l.
Wt.-
QoMltwkt~ -
lLiJ.'AA.
t 2. ~
-----~~._._._
... ~----_._----
------,
IC 8 1
I
£« i
voo""
(q)
t:l~ «.t VDM~a..\~ £. <<: ~ t'\ J.M. l-La ~
r+, 6 W:u.t. ~u.t;ll) v~ b~Gl.z, ~ikU
-tetl.lA~~ to~ t)(.
4tw1k.1MC'
MMMau ~
~-Io
~twd aoMa!.<.4 ~ vo<~oLt. ~ t
lob. -4.
10- 4 ~
.() Cfk
a..(
~~
e.
~ ~lM.~
~ oU.
Wt, ¢C''''a~) ~ - ~ opjt""~o~
,4Mtuc.~Sa.wt
,tM.4aA.
Va.M.
<
QlOA:' £. 0 .. 00 I . i.o.~. UkGUU ..4 ~
~~ ~
OCt ~~ ~ol lX.lM Wtw - Q/.A. bf.4ett ~lMl'kt.l I/~ jd.t.it1(. rat.Jc.k.w
~ V~ ~ot
~ ~~ ~.
Dp", (,1,1;
;~
(
&0
.
: \ l!
C1e k.~'r1(' UM.
1\.Q,k,.
0
~ ~V1~ ~ ~
".<MKW in'V1MAatL Df
(lM. ~li2w. ~ ~t rJ..t,
'J.'=
~6
~ k:~WHLVl.te.<.t ~.
It\~4 ~
a4M
of»
8t<.,{ h~\tk;,,~l.9 to{ QU. kw-u.. I/a.,v.. Sr~o
~ S~(,( )f l\a4t'1
- ~tt t'~. uk. lmaat~t~ -
- reet not. 7t.tk.
... S
II )
A lfe~inWLM~ )t'Ul~()
~ naA LAM1 M' r~,,~,/)
- - -----J ~ I)
JVl.
~=
J0/ iff.
=
s~, + SX + S~3 = b, ~ 8. 1
t
&)
I/o
_J
12.
in ~
= LYl (It!.. ) en (I t ~z. \
= b, + bL + D3 =
t
trl (I+-~j) :
.en. ll+Z:,)ll+ i:~)(.1+ 'i.~)
£1 ,
.......
_ Ve
.j-
~:I' .....zJ ~ 1. ~
o{M..I :
c
(0
lYbl
or
t'\rvn
[~11
~. :. .-~_~_~_fm
l
13.
bt« loA
(\MA.
~olc..t~ k. " wa.t d.J.. t 1Vi ~~ a.
l).,oV\Ot.U (\M tU
&/~lA.(). ,.A 1l00M.
!tu..t
7'i.tAt~~t}, ~:
Q.t4A. V01A.A.lMc.vU.'""'~j ~otwQt. ~ ~ ~ ~ W
a..to.tl.4A~
~ lJOt<.A~t~t.vd-r
*
W1'~olt ~
:
~
V~ ott.. l<:~
we. ~ \lO""""'vu~'S ~~f}M.Wot ~lM. ~ .ttM.
VQc.M
k..1N1.1.1-1e.1'2.
VO(M.,"1A.('I1~oLu4
W,.oJ
!
het o..~StM~,h~
V<1M,
~ ~~ ~aVJ., ve.k:.to-'\.\e4
a.~~~
w
i..t.M
"~a.(ol
~111 - ciZm
~(,V(.A.,~((. GfoO.\. t
•
! totS"l -
k
~,nz.+-ct$llJ
~ j {~O.I-ca.l) i- (dS.. ·'MI'dJ c1S~l
H(~,- ~~)
+ (a.lAI.-
ol£:3 = ~.l - otS", •
J f lllbtl-dS.
d.olS":l .;to.u)]
c
I
dS",
t)e, Q('oOoH\t<1-.uz.
l)
.ts~I)J
II
Uf. ~~ !.IK II~tVio.fOl\.ll~
~ ~ ~ ~"\LLMc.V\it(..(.c. oc.e.vi~OM~~
1\.fk.!c('t'1. ""'" Ql4
pea.rh~t"~"'lM.l~I.4LM
~~
~ ~)S~~~~a;tCt,~)
,tM.tA-
IJ/-Ad..v.. ole. VOQ,\.W~, ~ lMa.:~~kklM~ J ~.W.l.. (gllf~ jj... eu ~-
~~~ ~~twot' ~
~
DOi1c.~
I
0,: SI-Sm &;, = s~ -SIM OJ' = b3 - Sf), LliJ ~ d..r..
)o«.p46M.
'f'Ok
~~~S~
~tt.c ~ ott ~Q~t.~
I~.
e: = f l- ~m . (l~)
f~.;-
c:
fz.-f m =
f.~ = ~3- f m
1,1
Ht..U~ vo~r UM. WlIMU ~ ~ II~
-
~
tl
£1 - f
1)
~ (£1 - f.J) to- (f z - (,)
j { (t2.- f l ) j r(tj- £,) ~
UJlI1o(..U.
d.1..JL
LtJ-
1
J
E.z.)J
M-d~~V\'fe (k)li1C!f.4A.~u..: h~
\I'-U,~I<.'-~W
Jo4~ ~sl..<..v.
~ va.- "'~~'dt4~W- ~ ~1c.~Qt\Qa\~ltAA.£ ~ bk1~'~ Q~ kd'-tef(h M ('l..U. VO<~oU p
teV1Ol-
Of
)M~ ~~~ lMlltM~~. ~ Vl)(f l\.tal.r8i"-MtIGfl ;.J.iJ, ~ nc"'a,. tW ~ ~ ~Tol:
<;U
h.tl'~ t«
vtAN STEe05 WORJ)EkJ ·~£sc::.HOUWO HEr 4e\loj..~ \fAN tEEN lcor-iBIIISAT'IE fAN HOEICVERbRARlIN4E~ OF - W~T HET 2E.l.FDE 15 - AF~l-/UI"tN4etJ. ~OIlEtJ~iEN HEB6fN AFSCHUlv'i!JycN N1Er~ TE HI-)K.eN KET VOl.Ut1E vE,z-
EEN
4 EDAAl'JTE \jEQ.ANr>E~'Nq
Al-~
RNO& RtN 4·
~.
Ql 4EttEWE. ~eFINITla AF~I1UtVI~§ °
VAN
l ~R.ore)
HOEk"ere~(N4
Cos.
°
----------
~
I
"
,
1~rk-
W "!NAt V~ JUM-lMM: a.~
WI.
VQ.M. (J..c.
t.'
\I(A.VC"IM~~
~
~i""~ ~~i.t
~~\lWlP
+t
Kwavvt(rC1~. ~e
~ ot...v.~ k~ ~ .~ Q.
J)t
J'1vi\eJU
1).A.D)
~q
v~
0r:oo
lol\AM"~~
aJ1 ~
P'(o
oU,Fitu,
f..tM,
~Oe
/..A ~u a-.-tC::Mo",aAVS~ OQII\ 1.Jof~2.e Q..Lt ~ ~ ~lI"(M Uk
~~~akt. kQ.~ '~\1'V1.
~oa.VI- ~ ~ t l)(, ,AM.+ \QA.A. tWo tWi. u,. k ~C' t
\Jq,
t..~~~t~~« ~~t
~v~ 0{1~~ vv....~ tM. ~JtlM.r>tM J.cM, ~~ u -
~tit 0 ot'e~vlM~
~.
o.A • 1:" 0 do) ~\.ttkU4
fw.(.
~ ~jo ka
d~.
WL wt,t«
10
aR
7
~
~u4.a.a.tvoturn~) ~
rOol~
(
)
o~ = 1: d tQMt\f ::. t'
~ ~lc'\t,-~~lh ~~t.c:Dt
ol·r
i./:
J
I"--_(~_)__C1_t_·_t_::_d._t_·~_"fJ_~
1_('l_1)_ _f_ft0p
l f\V_1l_
1 )
[
ie ~M ~ w ~~ kM.-.\.1.IU1. ~ Uo.ri-i~
0'::.
~l ac.. V\I\ • v. t~ Af j.M ~ trlo.&i-i&tMM~~eA.
V~~oU~
v-(
k.LAMNl~ tW<
'!11~iMlD ~a \I~ tNcAcU ~
f,,- vtot4 v~
V().M ~ ~~.
7.
~ ~ VeAM f\I
j1.rYh
,1M)iP
;1.Pq.
~tM<.Wl
eo"ke.
\klM.
~Q1MOI\MW-
QW.;t ~ \K\.t
~~ ~A
~ at "(UJ~(
0
HEr MErE~ VAN 9l
~ . ~~K,t- vYlf} ~ ~ J.-.. aJlu.-'A. ~ J.o~~~ ~~ If)'n dM.£~lc:etl2J D~ t~lI-<
W"M.A.c(dn
+~a..U-..A..O
+-n.
04 .
,Lo~~~ V~ ~(, ~ ~#.(Nk;t h~ft. Voo~:
.p~ ~~~ Po«2i~ /:)\)04 Fot1( J l1<-UU~1 ~ ,0 A,U..v,+ d;t (.(, VCUA. 0(.( ~ki.M..
VA.ct.o('" /k.~1JA ~ ""o~~
MM- ~ ~ u ~a i'fL4J '}Ck~lct
/..11. Ilk· «.t ,.(M.o0f¥~ t~ h.(;t- ~wlC~1 vl-.tJ~~ (}Q."C..... ,~) ,uvQ.M . L~ ~!" AA ftM£~ ~ h1'Q.Q-t . Ilu.\. ~W1c.~<. ~ <2kA~tl "a,f,tu-s +(M.. -ttL. pe;a.fa~ oLn1.
~~
r &1-&
VC1..M.
.M--lN' ~
,bt.i't~04
JOh~t-ibaM. ~"-t¢,&~
1.411)..
(.tc:n~A""""'~ VcrtKQ(.ut
¥
(M4~4Q.GlA,
Qtot
tUc.e.L.1 ".,aG~
/
~ If'<..Ik~ V~ ~l:tl:-a'f~ ~ ~
Vlm.
a.c. h'n6dAA.ai.4LMOtM
--J----,
Ow
IM-I~-
ts,.
ct> -- L,.~'~
.]-l
t
? o
..b•
'l0
LUcUA.
~,JA~ ~u,{,fM,
L nu.
~I))
(V-Uo.
loA
.4~
rQ.
pt~~h~
tJ+
~tA, W~IMU~ ~ VI.1Q.t1. ~ ch n.tlc W\Q;(tM,o.t;l€ iM cU h.4~cM~ 1Ia.~ o
~~1'1:
010
h~ DtoP£h/ea.k...
.
=0 53=- {SitS,):. -t £t1~ R(1~J=
~I ~:
+ S2 +-
.s.3
l'
~ W ~wo.t) ~ ,1M.en r....(.la,ht~oUcM."'t. kt~ ,,(Mt.v\
ket o~~t.t v(aJGK. ...
\I(M.4
V~
ota.t
Q4l.1.
~l M ~k,
fk
J
a(,,(.
no~wIc, <1a.",
a.c:"k~ ~ .t£k F-t.lMt
vt,tVOMtlt)
e,,,t-
.oH.o(.u
ntuur
I!>jo~.(AITtQ~
~«" ~~lMItt.
~w..<M,~~lc.lJ-.(A,ltU~~ ptWJ,£tht
IfN'tu )oLAA.~ te. o..,dd.aVaa~ aoo~ ~(h f~ mQ.k.~ ~ ~« 'net v'Q.~ koMUO\.(~ulA. - ~ (toCl-\, cz.t~t£(ik""ie~t1. ~ b<:lo.&. k:.ov.a. lA.n>\.c:Un &'ttrng,ofa-o.fS UM- Xro1.t ,\a~t~. 1>U iM.k,t h.e.:
\coN\.Qh ~ !~t~ ~ ~1IIo-\e.-ti.4...0L"'" t.lA. ~o(ek o.(l.J'~"l4A ~ dt. /~~t VOlm. HO(.We.{ t"ti L.d.tt.~t4A. ,y) f.A otM ~ ~ ~l9e. . IM.O-I.1.L.o OI1M. NkC2-t IA...CJ ~ ~ t.c vr.>W.J.A. ,(0 ~ ,MML ~ S lotI."<.
IMW2\11.1W
Q.o~ ~ ~ III \I"Co.~ ~ If~ ~e.t- o<.eJCH-
~P~te.>. ~ ott. VL)(~ ?=tM.(;( jJ. rk ~tMa"Ut. ~aL.1.tht flo~ ~ ~ o<.tu ~t'~fCM. !k()., ~/a.~ti~~ ~ ~.
-
~tc11c.
Wbl\.a.t
ve.tf0(,)j-}M. e,~(,(-
e.JM.
~+~~t ftM-U.'l W\oC7~k.h~ .b~ t.uk.&f
*
t\Uc.~M.P~t.u ~ tt.u~Ht
JO~IMa.IMV~~
ctL VO<,~. IoavVt L(4c au ~U,o(k LVim J.tU ~t~io lM~ b~e 10 1M oL'ld(~):
Sj:: - ( 8~ + SQl)
~
--M-- .
-lint
_.
i"
~~J=- k
_ . --11--
21 ~. ~r (IN''~EMeNtEL.E.) l)MA-
.(.(.M.
EFFEkTIEVe
REK
~ otU aa.t~ w-of\Gtt ~~k.~ QOQ.(-
/1M"'" jM. ol&. (0 to.. ~~t M tY\e.~ Me Gt ~ .A:4A. k ltVw. ~c..cu V<M.A,.d..t iM,kl\.£lMtvv1«.t t1.Ut tW')oo1- :
d'&l1
d.t2.Jl
d~J1
cL6J1/1
(JS~t
cL~/1
oln3/t
d6~&
(1
~1 /,.
li'aM.
0(.....
~,tn.aM.t teMAt I/().N.. ott. ~t~ IJ(M,I, ~ a.htu)4d)tl a4 olt4o~-tot~al M4it~~ ~ ~"" A1~~~, J.O,.( oo1c.. cb ~ ~ lLvk>*~ Jtt ~eua!MID,tkt,," /Wl)~ Ic~ ~
JO.w.GUJ,.t aA.l
oLo~
fLu. 7\-OtotU VQM {,u-f
a..)~LU.&t.u~c.t.
JAM. ~w ~tt MkkciM.y,OVl.a..NtLvt ~ ~ k.'\Lvtd.14 t1t ~k.t tM ~ .
d
au.
~~~~
~¥."
QlQM
c..tlUM
lfc1M otc.
ctv~o.R.c VDOo\ ~ ~iAlA~t-().eftf~ k~~V\ Ann au, U1c.,,"~ ~ ~ AM-VaM4MtLu.> ,a.W.2.. J.L4.!.. aac ...t o.l [l.(..C.4k.'tU-4 II~ ott t.tM.)O~lco~~tu" ~GAUOt-u ate. ~ ~ atoot, ..tf.c.4 ~'~"'~ v().M, w.t Q..~w.~.u.xl Ml'~o(t k ~ ~. (~,dt, V~
~ AAvaM~(, fw-'i.d-IL( ~ bov£JJ(/.A'1.M SXt'km~~e"" ~ ch.. ~ae.) LeA, ~ ~ ~~lc.t a.t4 f "(Yi ~ ~i-f.p.Mw« V8" tt cKLJ0M«a1U tOt~~ be LUik JM.,.llaiM ~~~ lu,4,~ ~
Ct10
*.
ljl
&
olSlt
:
t
~t?, .. ~> • oLb~~
)oli\,;t. V<:A.M.
olt.
~~ ~ VG\M.
~~..L<J.MMc. r ol4.vt 4~:
1..0. II.
d.t.
~~ ~ Gi.A. ~ol atL j.MM. rlJ.AMllvrlt.J.L htJd t4A )'o'V •
~o(,o. )1u.c. II~
ott. dJz.fo ~ M
1
~~_t?_)_ _~_-=_J_! ~_:_"'_~_)l._) (_
1
~¢~ ~tl~?'tev'~}~Lt +.whttA (.24) (M. UIi) ttw~. ~ ~et 1~J ~ iM (J.'l ) ~1 ~ t4jtc. ottv'i tvtoM SC!.k t n.c,kkevt. ~tCLovz. ; ~Wo(.O( ~ k.l1Vl~aV1t vO~VYte ~DtM. ou.w. do1n. etA. tbto-<. 6 ~lc~ W'O~ V~v~f~""d Ci
~l~4.MtZn.t(lte.
t}t4lc.t~ ~ cL6 ,:t ~ ~~
IA~, (JJ.I. ~TI.t~wt~ie~ ~ IIDC>\. d..l. Q.eM,
().J.
\/O/W.\I\11 WV\I1<Wlt'ls'" qr..oc:Jt'k 110.-. d.c.
. I
).4A"'L.eWl~+~
~44W1~ "(A<;l.Vtaa~" .
~ t.&t- ~wa-( .VCA.M. 'p.(M. tu.kp"-Ott ~ ~csMw..~ p}.).A. ~ y 1M 1M Q,'h4.,"" ~....eII! :
~? = ~~ ~~t.uAu. ~V'(MA
AM.
r*-
~V1t'e\f~IM~_ \OM ~ ~ k""""",c"" 1)..(.1't.c.t ~ d..6 ~
L
~
&-i ~, ) l~~) ~utr
Co.tl~ VLm
t'\tk~t
f):
~ .. O~I:Jw.l 5l.c.M.~ ~i1~ - k~ v~ ~ k:olA~+e ~o.L ~ l'lJ.) M~, (2.~) k7.tM-'n- ...q.. QLc. ~J (J..uL L(M.v~~g ~ i.L va. ~. w~ kWh~""
(lK-'?
~
ol&.
ot'ioR.Q.Gk
Q
~eV).) ~
~: In
H\.t;t.to(, ~~ lAX. £elc:e, 1.(A55~+~ rJ..U. ~ I/Otv.Me.Jltwt4.wt~ Ql(}ontoC'~r ~.VYI·I. 1JAA~U1~~MMK ~ W l1~tMo{.(, o..s~QM~,h~~d
:
L.eelQtjount Viol cZl·noltOf.~tOIo1Q\
't1O.
hw.o.folAMi ~·ot bes ~+Ot~ta""ol
CSI::' Sz.:' ~
Un
~rote. (etvo"'~in~.
",.,-----+-----:7"-
=0)
I
I / I //
,(r 51 1"3
/
- - -----..J/
~V\
~
0 == 1~~ ® -
1U
~iV\
~<1MtMl9f~+~
@
ottJo~iLlN'e{).
d
k 1U:>a.tlM t. aU.Je~wel?
=r
d ~~Qtl£4'
LU ~
,iM. IM.t
M.,. 'it~~ u, M GiL h t-t u,
t
-
"&
J I~~LdJl~ rJ.&~ t~:)
=D
rJ.f, "
tota4 'Ltc.
t
.
01·..,. , .
""*
1~.
t)~
~
;. t~. W1)~
Joe.flJ..
*ll+oI+
ki
LC.M
~. V\It. v.
~ Ie; \(AM ~ W LfM
f1.'.U.lJOI\IM 14.f
P()..C.4~tu
<X :
&
l2B)
E::
I) doS,
o
~ \)::1
(t4.A,
M
IIoot\ku..t« V
j.,"V4lAQ.QM.
~~~e. q~
~
"l-I(&1. tb 2. +S~ ) J\l
3
1
04 Uewta. ~~~ ~ 104f:.u.k.tL Q.~
~. 2'1
We. PMoS
~
~(~evtt.vl:
. 0(.(,
l.04tlYk
C(, :: -
i.
~~~aaf k~
~4Ad4V.. ~ /.AAA. "tl2.Gt~~€k kcJ.AM~
~~~ul Jod4- f'if.
10 EFFEKTIEIJE
,(M,~ ~tt aM::tw OO~ p~ ott \iOo~
\fDIJIl.
o.t
f~\Ot~
VER.~OR4EN
EoN
IfLOEIl
h 0 Ut,u ~taalA<:U
V'''-O.
~~:
w.. -t"l.tkt--'l.Oat ~dd.t
VOD!\'1 U01S\.
- l!~ ~t~-(Ji [f( )1.t~l.- (3) +~-f. I
(5:1
~EFO~HRTtE
f
1.
Vo-t'tt,) ~
a,J~j(,t~v~ ~~V' ~ ~~
.,
lilt
-
{f=Gj b\~,,;p . lo.~$t ~ f~ d.t.
lGoV1.~tQ.~e ~ (JJ... ~\M~1"'" .1/fM.A, \f. W~ "ol,l4ok~ ~ cz(Q.t ~~,~) c/.J. cr;- (;.~' ~ 6to.~ VQM. I~ 1S1.t£s.t.e ~ w.<. ()lc. i\.U«'\.OI.UMt ~ t~ I.... ~ LM,Q.Q..t a.( b.u.kt. teA ,) LCM. \I~ l-.Mg cX.t, Q4"'d::4aA~r0':," tu '1
/,
S,"
1'Ceu..u v(.4.c. ttl
L.Vt>~
iho\Oot«A,
I
V~~"'" a.o~
(f I,
..(.n,.
S i. ~
1;1"
if. olotM ()€M~~ ~ <J,Jl.. -\~e.:.WlAo4~ m ~" "eo""lcwlMlM.e /I ~ V~ he'" \l&A.a:ttMG.Qt. VO~ W o.~I;t..ow. t.A.A" sta>..- p(a.. Sati ,~~ rka;t~a.Q.t 1:l. W ~ Ll. ~ ~s V.,.t~ Do~'\. M
,u.U- lM~
W~
-
W-(.
CX·\J.~. Q..e..v..
lGo~otlM..4.~+e.v-i~~S ,hM4t"e.k 1/
lolto.~ -
,.,. , pr~t~ .. _/~
..
·.e"'·';"e
- -...
~
Pf(2.~h~~"
~t.)<ekC14~~
~145 Q.QKvte~ezlt1:
18.
2.g.
']hmt/t,kiMl9 . ...;.I"_-~ .
~1 ~(,t Q,)(.~t.M,WleV1.tut t9\A.oLu'Loelc. ~~ VU~O-llM~ ~ ~tah(ltSltn Ait J().g"k ~ olt Io~ ... tM .t.cNto(I.ot.lc:.tvlo(.
VOMAA.
l>~
hLkK£IA W
oLe.
~kf\4\K.
~~~ W1]~ ~ MtMM-k- at~dtAol
Op loa.~ V~ au. ~t~~~~ l v~~ o"""e·
~¥t~
!)
M~
Q.aN1V1GlMt)
M. l7tQk
~
dtL Ol.tfo~W
~~~ tM~~ ate.
C~tIMLtC+t)
9Jvb~ol VOlM 0{.(. ~,,~~~ ..
n..e..u.
$0 w. &
~'1.-U.- Q.61.. te. "2,.;' "" ~ ~.( ,(, t.k~ -cr'" U II (. II \(~o'W>~ ~~ci .." ~~
pudM ott ~a.lM
WV~d)
Q
tUtkt~~
('l~)
VUIJOhWW,j
w,~ ~)
~ IMt-t ~(1Q~k(~~~ ~
v~t, ~c:l.ot~ w..U ~ f~ lc~~ktM ot.t4k~) . ,IlM)QAAAt ~ .' vtAho-\.(;l(M VUlJo.\...... ~'. (t"""
pf\,~l·~ VOO/~.cdol J, IN-UA.
10 ,u.1.~ tM.
~~ b(9f ~(,IJU~ J.<M.
%or
V<1M
.~
rta'&ti~b.~
e...u..v, LeA
plOAA'.
M<1W'L
oLt.JaM«~we.~Wt ~
l~lAM)~ UM ~~twJlt) f.u:k~to.at (l.lMdi.UA.stt
J-~k.441
1', ~w ule. Or ~a4t iA rk ~4M.1al.cA.Wt~ ci = -~ Q(,(.c,
~o b(..u-
b.u.L4tMNt- VOoM aU ~~Q( ~ ~ Ji~
1/.
~ l,o~k£V-< o.~~.
Wa.czM11M ~!
