Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk 3) két egyenes párhuzamos, ha egy síkba esnek és nincs közös pontjuk 4) két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban 5) két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van 6) két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk 7) egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha az egyenes minden pontja illeszkedik a síkra 8) egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van 9) egy egyenes és egy sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk Bizonyítás nélkül elfogadott állítások (euklédeszi geometria axiómái): a) két különböző pontra pontosan egy egyenes illeszkedik b) ha három különböző pont nem illeszkedik egy egyenesre, akkor a három pont meghatároz egy síkot c) ha egy egyenes két különböző pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes minden pontja illeszkedik a síkra d) egy egyenesre és egy rá nem illeszkedő pontra pontosan egy sík illeszkedik e) egy adott pontra pontosan egy olyan egyenes illeszkedik, amely párhuzamos egy adott egyenessel II. Néhány alapvető geometriai fogalom 1) egy egyenest egy pont két félegyenesre bont 2) egy egyenest két pont egy szakaszra és két félegyenesre bont 3) a síkot egy egyenes két félsíkra bont 4) egy teret egy sík két félsíkra bont 5) két közös kezdőpontból induló félegyenes a síkot két szögtartományra bontja a) pozitív forgásszög: az óra járásával megegyező irányú b) negatív forgásszög az óra járásával ellentéte irányú 6) Szögek csoportosítása: a) nullszög: α=0°
d) tompaszög: 90°<α<180°
b) hegyesszög: 0°<α<90°
e) egyenesszög: α=180°
c) derékszög α=90°
f) homorú szög: 180°<α<360°
Almási István
1/5
g) teljesszög: α=360°
[email protected]
7) Nevezetes szögpárok a) ha két szög csúcsa közös, és szögszáraik páronként egymás meghosszabbításai, akkor csúcsszögeknek nevezzük őket a csúcsszögek egyenlőek b) ha két szög egy-egy szára közös, másik pedig egy egyenesre illeszkedik, akkor mellékszögeknek nevezzük őket. a mellékszögek összege 180° c) ha két szög összege 180° akkor kiegészítőszögeknek nevezzük őket d) ha két szög összege 90°, akkor pótszögeknek nevezzük őket e) ha két szög szárai páronként egyező irányúak, akkor egyállású szögeknek, ha páronként ellentétes irányúak, akkor váltószögeknek nevezzük őket az egyállású szögek és a váltószögek egyenlőek f) ha két szög szárai páronként merőlegesek egymásra, akkor merőleges szárú szögeknek nevezzük őket ha a merőleges szárú szögek mindegyike hegyesszög vagy tompaszög, akkor a két szög nagysága egyenlő ha az egyik hegyesszög, a másik tompaszög, akkor kiegészítő szögek 8) Távolság a) két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza jelölés: d(A;B) dAB |AB| b) egy pont és egy egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges talppontjának és az adott pontnak a távolsága c) két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenesen választott tetszőleges pont másik egyenestől vett távolsága d) két metsző egyenes távolsága: 0 e) pont és sík távolsága a pontból a síkra állított merőleges talppontjának és az adott pontnak a távolsága f) két párhuzamos sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolsága 9) Merőlegesség a) két elem merőleges, ha 90° fokos szöget zárnak be b) egy egyenes merőleges egy síkra, ha a sík összes egyenesére merőlegesek c) két kitérő egyenes merőleges egymásra, ha az egyik egyenes tetszőleges pontjára illeszkedő másik egyenessel párhuzamos egyenesek merőlegesek egymásra Almási István
2/5
[email protected]
d) ha egy egyenes merőleges a síkkal vett metszéspontjára illeszkedő két különböző síkbeli egyenesre, akkor az egyenes merőleges a síkra III.
A háromszögekről tanultak ismétlése 1) A háromszögek csoportosítása szögeik alapján: a) hegyesszögű: minden szöge hegyesszög b) derékszögű: egyik szöge derékszög c) tompaszögű: egyik szöge tompaszög 2) Összefüggések a háromszög szögei között a) A háromszög belsőszögeinek összege: 180° = 180° b) A háromszög egyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belsőszögeinek összegével
' = +
IV. Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között 1) Egy háromszög egyértelműen megadható, ha adott a) három oldala b) két oldal és a közbezárt szöge c) egy oldal és a rajta fekvő két szöge d) két oldal és nagyobb oldallal szemközti szöge 2) Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak 3) Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor az ezekkel szemközti oldalak egyenlő hosszúságúak 4) Bármely háromszögben két oldal közül a hosszabbikkal szemben nagyobb belsőszög van. 5) Bármely háromszögben két belsőszög közül a nagyobbal szemben hosszabb oldal van. V. Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között 1) Pitagorasz-tétel: Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével 2) Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű VI.
Négyszögekről tanultak ismétlése 1) konvexitás: a) konvex: egy síkidom bármely két belső pontját összekötő szakasz minden pontja a síkidom belső pontja b) konkáv (nem konvex): van a síkidomnak két olyan belső pontja, amelyeket összekötő szakasz kilép a síkidomból.
Almási István
3/5
[email protected]
2) A négyszögek belsőszögeinek összege 360° 3) A konvex négyszög külső szögeinek összege 360° 4) Négyszögek csoportosítása: a) trapéz: olyan négyszög, melynek van párhuzamos oldalpárja b) paralelogramma: olyan négyszög, melynek oldalai páronként párhuzamosak c) rombusz: olyan paralelogramma, melynek minden oldala egyenlő d) deltoid: olyan négyszög, melynek szomszédos oldalai egyenlőek e) téglalap: olyan olyan négyszög melynek minden szöge derékszög f) négyzet: olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő, és minden szöge derékszög VII.
Sokszögek
1) egy konvex sokszög egy csúcsból húzható átlóinak a száma: n−3 2) egy konvex sokszög átlóinak a száma:
n⋅(n−3) 2
3) egy konvex sokszög belsőszögeinek összege: (n-2) 180° 4) egy konvex sokszög külső szögeinek összege: 360° 5) egy szabályos konvex sokszög egyetlen belsőszöge:
(n−2)⋅180 n
megjegyzés: a) szabályos sokszög minden oldala és minden szöge egyenlő b) az „n” oldalak számát jelöli, valamint n≥3 és n N VIII.
Nevezetes ponthalmazok
1) szakaszfelező merőlege: azon pontok halmaza a síkban, melyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak; ezen pontok egy egyenest alkotnak 2) szögfelező: azon pontok halmaza a síkban mely a szögszáraktól egyenlő távolságra vannak; ezen pontok egy félegyenest határoznak meg. 3) körvonal: azon pontok halmaza a síkban melyek, egy adott O ponttól egy adott r távolságra vannak (Megjegyzés: köznapi értelemben, illetve általában a feladatokban a körön a körvonalat értjük) 4) zárt körlap: azon pontok halmaza a síkban melyek, egy adott O ponttól egy adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak 5) nyílt körlap: azon pontok halmaza a síkban melyek, egy adott O ponttól egy adott r távolságnál kisebb távolságra vannak Almási István
4/5
[email protected]
6) a kör részei: a) sugár: a kör középpontját és a körvonal egy pontját összekötő szakasz b) húr: a körvonal két pontját összekötő szakasz c) átmérő: a leghosszabb húr d) szelő: olyan egyenes, amelynek pontosan két közös pontja van a körvonallal e) érintő: olyan egyenes, amelynek pontosan egy közös pontja van a körvonallal f) körív: a körvonal tetszőleges hosszúságú darabja g) körszelet: egy húr és a húr két végpontját összekötő körív által határolt síkidom h) körcikk: két sugár és a sugarak végpontjaihoz tartozó körív által határolt síkidom i) körgyűrű: két koncentrikus (közös középpontú) körvonal által határolt síkidomból 7) gömb (felület): azon pontok halmaza a térben melyek, egy adott O ponttól egy adott r távolságra vannak IX.
A háromszög beírt köre 1) A háromszög belsőszögeinek felezői egy pontban metszik egymást, ez a háromszög beírható körének középpontja. 2) A háromszög beírható körének sugara a szögfelezők metszéspontjából az oldalra bocsátott merőleges szakasz
X. A háromszög köré írt köre 1) A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, ez a háromszög köré írt körének középpontja 2) a háromszög köré írt körének sugarak az oldalfelező merőlegesek metszéspontja és valamely csúcsot összekötő szakasz XI.
Thalész-tétel 1) Thalész-tétel: Ha egy kör átmérőjét összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogó a kör átmérője 2) Thalész-tétel: megfordítása: egy derékszögű háromszög köré írt körének középpontja az átfogó felezési pontja 3) egy adott külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő
Almási István
5/5
[email protected]
