Háromdimenziós (térbeli) geodéziai hálózatok kiegyenlítése 2. előadás
1
Tartalom • 3D geodéziai hálózatok kiegyenlítése • Szatellita geodéziai (GNSS) hálózatok kiegyenlítése • Fotogrammetriai mérések kiegyenlítése – sugárnyaláb-kiegyenlítés – direkt lineáris transzformáció
2
3D hálózatok kiegyenlítése • célja a pontok koordinátáinak meghatározása valamely térbeli koordináta-rendszerben – geocentrikus – topocentrikus
• mérés típusok (önállóan vagy kombinálva) – – – –
geodéziai (irány, távolság) fotogrammetriai szatellita geodéziai inerciális geodéziai
• lépései – előzetes kiegyenlítés – tényleges kiegyenlítés
3
3D kiegyenlítés geodéziai mérések alapján • mikor indokolt? – terepi viszonyok (magas hegyek) miatt az elkülönített magassági és vízszintes kiegyenlítés nem elég pontos – hagyományos és szatellitageodéziai mérések együttes feldolgozása
• mérés típusok – geodéziai (vízszintes és magassági szög, irány, távolság) – földrajzi helymeghatározás – szintezés
• koordináta rendszerek – műszerállásponthoz kötött helyi (topocentrikus) – magasabb rendű (pl. geocentrikus) 4
Geocentrikus és topocentrikus koordináta-rendszer • koordináta-transzformáció szükséges Z Z Q X P
é- sin F P cos L P R = êê - sin F P sin L P êë cos F P
ΛP
X
Y - cos F P sin L P cos F P cos L P 0
cos L P ù sin L P úú sin F P úû
ΦP
Y
5
Szatellitageodéziai hálózatok kiegyenlítése • Ádám et al. (2004): Műholdas helymeghatározás • GNSS rendszerek – – – –
NAVSTAR GPS (USA) GLONASS (orosz) GALILEO (EU) BEIDOU 1, 2/COMPASS (Kína)
• mérések – abszolút geocentrikus helyzet (navigációs, PPP /RTK) – relatív (koordináta különbségek, SD, DD, RTK /hálózati)
• lépései – előzetes feldolgozás (szűrések, fiktív mérések képzése) – hálózat kiegyenlítés (RTK/PPP-nél elmarad – Kálmán 6 szűrés)
A GNSS-mérések feldolgozása • áltávolság-mérések (P kód- vagy Φ fázistávolság) (nemlineáris) közvetítő egyenletei
L = f (X) • L a mérések vektora • X a paraméterek vektora – az álláspontok koordinátái – a műhold pályaszámításhoz szükséges paraméterek (perturbációk, földforgás paraméterek) – jelterjedést befolyásoló légköri és egyéb hatások – műhold és vevő paraméterek (óraállás, fáziscentrum külpontosság, ...) 7
GNSS-feldolgozó szoftverek • Bernese 5.0, 5.2 (AIUB, Berni Egyetem Csillagászati Tanszék, Svájc) • GIPSY-OASIS (JPL, Caltech, USA) • GAMIT-GLOBK (MIT, USA) • GPSTk (ARL, Texasi Egyetem, USA, www.gpstk.org) • RTKLIB (T. Takasu, www.rtklib.com) • gLAB (ESA, gAGE/UPC, gage.upc.edu/gLAB) 8
Bernese 5 szoftver • Berni Egyetem Csillagászati Tanszéke által fejlesztett, tudományos igényű GNSS feldolgozó program (v5.2: 432 326 programsor) • http://www.bernese.unibe.ch • LKN kiegyenlítés (GPSEST) • automatizált feldolgozás (BPE) • megoldások kombinálása (ADDNEQ2; szekvenciális kiegyenlítés) • hibaszűrési algoritmusok (RNXSMT, CODSPP, MAUPRP) 9
A közvetítő egyenletek linearizálása • az ismeretlenek előzetes X0 értékei helyén Taylor-sorba fejtéssel linearizálunk f ( X 0 + dx) = f ( X) X = X 0
æ ¶f ( X) ö + åç × dx + K ÷ è ¶X ø X = X0
• a magasabb rendű tagokat elhanyagoljuk • mátrixos alakban felírva a lineáris közvetítőegyenletek: b = A x+ v
n´1
n´m m´1
n´1
• minden esetben iteratív megoldás szükséges 10
Lineáris mérési kombinációk • két frekvencián mérünk: L1 és L2 (19 és 24 cm) • kombinálással mesterséges frekvenciát képzünk: fn,m = n f1 + m f2 λn,m = λ1 λ2 / (n λ2 + m λ1)
n
m
λ [cm]
név
hatása
1
-1
86,4
L5, wide lane
iono/tropo hatás min.
1
1
10,7
L6, narrow lane
mérési zaj min.
77
-60
5,4
L3, iono free
~ionoszf. mentes
60
77
∞
L4, geom. free
távolság mentes 11
Relatív helymeghatározás különbségképzéssel • egyszeres, kettős és hármas különbségek t mérési időpont
t mérési időpont a j jelű műhold pályája
a j jelű műhold pályája
egyszeres különbség
kettős különbség
műhold órahiba
vevő az A pontban
fázis többértelműség
vevő a B pontban
t1 mérési időpont
t2 mérési időpont
a j jelű műhold pályája
vevő az A pontban
t1 mérési időpont
vevő a B pontban
vevő órahiba
t2 mérési időpont a k jelű műhold pályája
hármas különbség vevő az A pontban
t mérési időpont a k jelű műhold pályája
vevő a B pontban
a véletlen hibák a különbségképzéssel növekednek! 12
A GPS-mérések kovariancia mátrixa • mérésekhez tartozó sztochasztikus modell (a priori kovariancia mátrix) lényeges a LKN kiegyenlítéshez • a különböző mérési típusokat (kód, fázis), az időben egymást követő méréseket általában jobb híján egymástól független azonos szórású vv-nek tekintjük:
é1 ù ú 2ê M =s ê O ú êë 1úû • ez a modell sem kellően pontos – vevőfüggő időbeli korreláció tapasztalható az egymást követő mérési epochák és mérési frekvenciák között (Bóna P. 2000) 13
Vevőfüggő korrelációk
Forrás: Peter Bona (2000): Precision, Cross Correlation, and Time Correlation of GPS Phase and Code Observations, GPS Solutions, 2000, Volume 4, Number 2, Pages 3-13
14
Ismétlés: hibaterjedés • A hibával terhelt mennyiségek (Λi , n db.) függvényei (fi , s db.) is hibával terheltek – A hibák terjedésének módját a hibaterjedés törvénye fejezi ki
• Ui = fi (Λ1, ..., Λn), i = 1, ..., s • Parciális deriváltak F mátrixa: ¶f1 ù é ¶f1 ê ¶L L ¶L ú nú ê 1 * F =ê M O M ú ( s ,n ) ê ¶f s L ¶f s ú ê ¶L1 ¶Ln ú ë û
• Függvények N kovariancia mátrixa a mérések M kovariancia mátrixából számítható:
N =F M F *
( s,s )
( s ,n ) ( n ,n ) ( n, s )
15
Lineáris kombinációk kovariancia mátrixa • hibaterjedéssel számítható • pl. a wide-lane kombinációra Μ WL
é1 ù é1 ù l +l ú =s 2 ê O ú * 2ê = D WL Μ D WL = s O WL ê 2 ê ú ú (l2 - l1 ) êë êë 1úû 1úû 2 1
ahol D WL
é l2 êl - l ê 2 1 =ê ê 0 ê ë
2 2
l1 L l2 - l1 O 0
L
0
l2 l2 - l1
ù ú ú ú l1 ú l2 - l1 úû 0
16
Egyszeres különbségek kovariancia mátrixa • hibaterjedéssel számítható Μ EK
é1 ù é1 ù ú 2 ê = D EK Μ D *EK = 2s 2 êê O úú = s EK O ê ú êë êë 1úû 1úû
ahol D EK
é1 - 1 L 0 0 ù ê ú =ê O ú êë0 0 L 1 - 1úû
• a kétszeres különbségek MKK kovariancia mátrixa már nem átlós mátrix 17
GNSS-hálózatok közvetett kiegyenlítése • mérési eredmény a két vevőállomás által vett jelek kiértékelése során meghatározott vektor (ΔX, ΔY, ΔZ) összetevői • a sztochasztikus modell az M kovariancia mátrix (és esetleg az m0v súlyegység középhiba
émxx ê M=ê êë
m yz m yy
mxz ù ú m yz ú mzz úû 18
Súlymátrix számítás • hálózati súlyegység m0h középhiba tetszőlegesen vehető fel az egész hálózatra egységesen • a P súlymátrix (Q súlykoefficiens mátrix) -1
P = m M = m ( m Q) 2 0h
2 0h
2 0v
-1
19
A vektormérések javítási egyenlete • vektor közvetítőegyenlete Δx = xV - x K • K: kezdőpont, V: végpont • az i-dik vektor javítási egyenlet mátrixa: é0 L 0 - 1 0 0 0 L 0 1 0 0 0 L 0 ù A i = êê0 L 0 0 - 1 0 0 L 0 0 1 0 0 L 0úú êë0 L 0 0 0 - 1 0 L 0 0 0 1 0 L 0úû
• az egyenletrendszer hasonló a szintezési hálózatok javítási egyenletrendszeréhez • csak a P súlymátrixon keresztüli függés20
Az egyszerre mért vektorok kiegyenlítése • 2-nél több vevő dolgozik együtt • számítható vektorok száma: vevők száma
2
3
4
5
7
n
független vektorok száma
1
2
3
4
6
n-1
vektorok száma
1
3
6
10
21
n(n-1)/2
vektorok/vevők
0,5
1
1,5
2
3
(n-1)/2 21
Feldolgozandó vektorok kiválasztása • maximálisan lehetséges közös mérések száma alapján • legrövidebb lehetséges bázisvonalak alapján • előre definiált bázisvonalak • STAR stratégia (csillag elrendezés referencia bázissal) 22
GNSS hálózati dátum kérdése 1. • szabadhálózatként – semmilyen külső dátum kényszer, csak a fix GNSS pályák – nem befolyásolja a hálózat geometriáját egy hibás referencia koordináta – a koordináták nem vonatkoznak valamely jól definiált dátumra, naponként más és más lesz – Helmert transzformációval beilleszthető egy adott dátumba
• legkisebb kényszer alapján • kényszerített koordináták • rögzített koordináták 23
GNSS hálózati dátum kérdése 2. • szabadhálózatként • legkisebb kényszer alapján – Helmert-féle kényszerek az (egyes) állomások koordinátái alapján – optimális megoldás lehet – a becsült referencia koordináták súlypontja megegyezik az apriori koordináták súlypontjával – kismértékű apriori koordináta hibák nem rontják el a megoldást
• kényszerített koordináták • rögzített koordináták 24
GNSS hálózati dátum kérdése 3. • szabadhálózatként • legkisebb kényszer alapján • kényszerített koordináták – referencia pontok koordinátáit előre megadott értékekhez kötjük (szoros vagy gyenge kötés) – szorosan megkötött gyenge minőségű referencia koordináták esetén a hálózat alakja eltorzul – a szorosan kényszerített koordináták megmaradnak a normálegyenlet rendszerben (előny szekvenciális kiegyenlítésnél)
• rögzített koordináták 25
GNSS hálózati dátum kérdése 4. • • • •
szabadhálózatként legkisebb kényszer alapján kényszerített koordináták rögzített koordináták – ezek határozzák meg a hálózati dátumot – kockázatos, ha a referencia pontok gyengébbek mint a hálózat – eredmény: a hálózat alakja eltorzul – ha a referencia koordináták nagyon pontosak és a mérés gyengébb, javíthat a hálózat kiegyenlített eredményein 26
Pontosság, megbízhatóság meghatározása • kiegyenlített mennyiségek kovarianciamátrixa • abszolút és relatív hiba- ill. konfidencia ellipszoidok • kiegyenlítés eredményeinek statisztikai elemzése • durvahiba szűrés, súlyegység középhiba teszt, data-snooping 27
Hibaellipszoid 1. é m X2 ê = êc XY • P pont kovarianciamátrixa: (M 3,3) êc XZ ë
c XZ ù ú cYZ ú m Z2 úû
c XY mY2 cYZ
• főtengely-transzformáció M s =l s sajátérték probléma megoldásával (3,3) (3,1) (3,1) • karakterisztikus egyenlet gyökei a l1, l2, l3 sajátértékek 2 mX - l c XY c XZ
c XY m Y2 - l
c XZ cYZ
cYZ
m -l 2 Z
=0 28
Hibaellipszoid 2. • A főtengelyekhez tartozó él1 0 0 ù ê ú kovarianciamátrix M SZ = ê 0 l2 0 ú • hibaellipszoid egyenlete: êë 0 0 l3 úû
g 2 h2 i2 + + =1 l1 l 2 l 3
29
Ponthiba, közepes ponthiba • P ponthiba P = Sp M = mX2 + mY2 + mZ2 = l1 + l2 + l3 • K közepes ponthiba • D determináns
P K= 3
D = M = l1l2l3
30
Bernese kiegyenlítési eredmények • átfogó információ: statisztikák, állomás koordináták, 3D hibaellipszoid, 2D hibaellipszis ...
31
3D fotogrammetriai kiegyenlítés • sugárnyaláb-kiegyenlítés – képkoordinátákon alapuló térbeli hálózatmeghatározás
• független modelleken alapuló (anblock) kiegyenlítés – egymást átfedő mérőképekből előállított térmodellekből mért vagy számított koordinátákon alapul 32
Koordináta-rendszerek • • • • •
geodéziai koordináta-rendszer tárgytér koordináta-rendszere képtér koordináta-rendszere modelltér koordináta-rendszere mérőműszerek koordináta rendszere
33
Geodéziai koordináta rendszer és a tárgytér koordináta-rendszere • kapcsolatuk: 2D síkbeli hasonlósági transzformációval és Z irányú eltolással æ X gP ö æ X gK ö æ cos a ç ÷ ç ÷ ç YgP ÷ = ç YgK ÷ + çç sin a è ø è ø è æ X P ö æ cos a çç ÷÷ = çç è YP ø è - sin a
- sin a ö æ YP ö ÷÷ ÷÷ çç cos a ø è X P ø
sin a ö æ X gP - X gK ö ÷ ÷÷ çç ÷ cos a ø è YgP - Y34 gK ø
A tárgytér és képtér koordinátarendszere • ω, φ, κ forgatási szögek • O vetítési középpont X0, Y0, Z0 koordinátái • külső tájékozási elemek 35
Belső tájékozási elemek • H képfőpont koordinátái (ξ0, η0) • c = z képsík pontjainak z koordinátája • (ξ0, η0, c): belső tájékozási elemek 36
Modelltér koordináta-rendszere • Ω, Φ, A forgatási szögek • origó X0, Y0, Z0 koordinátái • P′ modellpont, P tárgypont 37
Előzetes kiegyenlítés • sugárnyaláb eljárás – mérési eredmények: műszerkoordináták – képkoordináták: síkbeli Helmert v. affin transzformációval – korrekciók: objektívelrajzolás, refrakció, földgörbületi hatás
• független modellekkel történő kiegy. – kiinduló adatok: modellkoordináták – korrekciók figyelembe vétele szükséges lehet 38
Modellkoordináták előállítása • térkiértékelő műszeren • képkoordináták mérése alapján – két kép relatív tájékozásához szükséges 5 ismeretlen meghatározása – relatív tájékozás ismeretében a független modellekkel történő kiegyenlítésbe bevont pontok modellkoordinátáinak számítása • módszer: pl. sugárnyaláb-kiegyenlítési algoritmus két kép képkoordinátái alapján • ismeretlenek: jobb kép vetítési középpontja, relatív elfordulási szögek: Y , X ,w ,j ,k 02 02 2 2 2 • iterációs megoldás
39
Sugárnyaláb kiegyenlítés • kapcsolat a tárgy- és képkoordináták között é X P' - x 0 ù é r11 ê ú êr Y h = k 0 ú ê P' ê 12 ê -c ú êë r13 ë û
r21 r22 r23
r31 ù r32 úú r33 úû
éX P - X 0 ù ê Y -Y ú 0 ú ê P êë Z P - Z 0 úû
• forgatási mátrix é r11 R * = êêr12 êë r13
r21 r22 r23
r31 ù r32 úú r33 úû
é cos j cos k R * = êê- cos j sin k êë sin j
cos w sin k + sin w sin j cos k cos w cos k - sin w sin j sin k - sin w cos j
sin w sin k - cos w sin j cos k ù sin w cos k + cos w sin j sin k úú úû cos w cos j
40
Közvetítő egyenletek • P tárgytérbeli és P′ képkoordinátáinak a kapcsolata = a sugárnyaláb kiegyenlítés közvetítő egyenletei: X P' = x 0 - c
r11 ( X P - X 0 ) + r21 (YP - Y0 ) + r31 ( Z P - Z 0 ) S = x 0 - c XP r13 ( X P - X 0 ) + r23 (YP - Y0 ) + r33 ( Z P - Z 0 ) NP
YP ' = h 0 - c
r12 ( X P - X 0 ) + r22 (YP - Y0 ) + r32 ( Z P - Z 0 ) S = h 0 - c YP r13 ( X P - X 0 ) + r23 (YP - Y0 ) + r33 ( Z P - Z 0 ) NP
• 9 paraméter • külső tájékozás, j-edik kép X 0 j , Y0 j , Z 0 j , w j , j j , k j • tárgypont koordinátái X h , Yh , Z h
41
Javítási egyenletek • v=Ax–l • sorbafejtéssel linearizáljuk • a paraméterek célszerű csoportosítása: 1. kép
s. kép
XO1,YO1,ZO1, ω1, φ1, κ1
XOs,YOs,ZOs, ωs, φs, κs
1. új pont
r. új pont
X1, Y1, Z1
Xr ,Yr ,Zr 42
Normálegyenletek éN11 N12 ù N=ê ú ëN21 N22 û képek külső tájékozási elemei é N1 ê( 6,6 ) ê 0 N11 = ê êL ê 0 êë
0 N2 ( 6,6)
L 0
0 ù ú L 0 ú ú L Lú L Ns ú (6,6) ú û
pontok koordinátaváltozásai
L
N 22
~ é N1 0 ê ( 3, 3 ) ~ ê0 N 2 ê ( 3, 3 ) = êL L ê 0 ê0 ë
0ù ú L 0ú ú L Lú ~ ú L Nr ú ( 3, 3 ) û L
43
Különleges szempontok • a sugárnyaláb-kiegyenlítés iterációt igénylő eljárás • minden iterációs lépésben kell hibaszűrést végezni – data-snooping módszerrel – robusztus kiegyenlítéssel – iteratív robusztus becsléssel (RANSAC) 44
A sugárnyaláb-kiegyenlítés speciális esetei • térbeli hátrametszés (s = 1, r ≥ 3) • térbeli előmetszés (s = 2, ismert külső tájékozású képen t számú ismeretlen pont meghatározása) • térbeli kettős pontkapcsolás (s = 2 kép 2·6=12 ismeretlen külső tájékozási paramétereinek és t számú ismeretlen pontnak a meghatározása r ≥ 4 számú illesztőpont kép- és tárgytérbeli koordinátái alapján) 45
Szoftverek • SBA (Sparse Bundle Adjustment, http://users.ics.forth.gr/~lourakis/sba/) • Apero/MicMac (UAV/UAS) (logiciels.ign.fr/?-Micmac,3-)
46
Direkt lineáris transzformáció (DLT) • nem kalibrált kommersz digitális kamerák – belső tájékozás ismeretlen • minden pontra 2 lineáris egyenlet írható fel 11 ismeretlen L1, …, L11 paraméterre L1 X + L2Y + L3 Z + L4 - xL9 X - xL10Y - xL11 Z - x = 0 L5 X + L6Y + L7 Z + L8 - yL9 X - yL10Y - yL11 Z - y = 0 x, y: képkoordináták; X, Y, Z: tárgykoordináták 47
A DLT megoldása • minimum 6 illesztőpont szükséges a kalibrációhoz (az L1, …, L11 11 db. DLT paraméter meghatározásához) • LKN / robusztus kiegyenlítés • durva hiba szűrés • tárgypont rekonstrukció m ≥ 2 kép alapján • az L1, …, L11 paraméterekből a hagyományos belső és külső tájékozási ismeretlenek is kiszámíthatók • a DLT gyakran az első lépés az egyes képek tájékozási ismeretlenei közelítő értékének meghatározására, amit sugárnyalábkiegyenlítés követ (Bundler, Insight3D) 48
2D - 3D objektum rekonstrukciós szoftverek • • • •
EOS PhotoModeller 2011 (1145 USD) 3DSOM (1149 USD) Digicad 3D (560 USD) WebDLT (http://dlt.fmt.bme.hu, Molnár Bence) • Insight3d (http://insight3d.sourceforge.net/) • VisualSFM (http://ccwu.me/vsfm/) 49
WebDLT (http://dlt.fmt.bme.hu)
50
Alkalmazási példa: 3D objektum rekonstrukció nem kalibrált képekből sugárnyaláb-kiegyenlítés
automatikus pontazonosítás texturált modell létrehozása
Insight3d http://insight3d.sourceforge.net 51
a folytatásban: szekvenciális kiegyenlítés, robusztus becslés, durvahiba szűrés … a jövő héten gyakorlat: A hálózatkiegyenlítés különböző módszereinek összehasonlítása
52
