MINDENNAPI ÉLETÜNK Harangszó és veszélyes toronylengés – régebben elhanyagolt rezonanciaproblémák, mai megoldások Tárgyszavak: rezgés; rezgéselemzés; harangtorony; műemlék.
A rezonancia mint a „harangszó” alapja A harang hangszer, amely teljes értékű hangzását a zeneileg megkívánt módon végzett harangozásnak köszönheti. A keresztény liturgiába kb. a 6. században vezették be a harangot, amelynek eredeti kaptárformájából fejlődött ki a középkorban a ma is használatos gótikus harangok gerincprofilja (1. ábra). korona
bordaprofil
prímek mixtúrák kvintek
köpeny
kísérőhang terc felső oktáv és ütéshang
harangnyelv
1. ábra Harangkeresztmetszet hangfekvésekkel
A harangok hangja különösen a nagy, 2,5 m átmérőjűek mély zengése megérinti az emberi kedélyt, miközben kevesen gondolják, hogy a nyelv ütése a harang falán nem egyetlen hangot vált ki, hanem mint minden hangszer esetében ezt az ún. ütéshangot számos, különböző felhang kíséri. A nyelv ütésére a különböző falvastagságú, kehely alakú harang úgy reagál, mint egy egymáshoz kapcsolódó, különböző sajátfrekvenciájú rezgő gyűrűkből álló rendszer. Ezekben a gyűrűkben a harangnyelv, a rezgő húrhoz hasonlóan, az alapfrekvencia egész számú többszöröseit gerjeszti, s ezek együttese szólaltatja meg a jellegzetes zengést. Minden rezgésre alkalmas rendszernek van egy vagy több sajátfrekvenciája, amelyeknek lökésszerű vagy periodikus külső gerjesztése óriási mértékben megnövelheti ezek amplitúdóját és a kapcsolódó erőket. Ez a (hidakon akár katasztrofális következményekkel járó) rezonancia jelensége. A rezonancia, amely a telt harangszó meghatározó eleme, a vele rezgő toronyra veszélyes lehet.
A harang mint inga A harang fizikai értelemben inga, amelynek tulajdonságai – tömegétől (az ún. jármot beleértve), – súlypontjának a járomtól mért távolságától és – a kilengés szögétől függnek. A lengés frekvenciája (üteme) szintén a felsoroltaknak, nem pedig a harangozás hajtóerejének a függvénye. A folyamatos harangozás csupán a súrlódás által elfogyasztott energiát pótolja, maga a harang lengése csillapítottan szabad lengőmozgásnak tekinthető, amelynek ütésszáma csak a felsorolt tulajdonságok valamelyikének megváltoztatása által változhat. A harang lengőmozgása a szálon függő, ún. matematikai ingáéhoz hasonló módon írható le, amelyben a lengő tömeg egy, a szál végén levő pontban tömörül. Az analógiához a szál hosszát úgy kell meghatározni, hogy az inga lengésideje megegyezzék a harangéval, mint „testingáéval” (2. ábra). Ezt a redukált ingahosszat a tehetetlenségi nyomaték határozza meg mint annak a tehetetlenségnek a mértéke, amellyel a mozgó test, így az inga ellenáll a forgó mozgás megváltozásának. A harang tehetetlenségi nyomatékát a felfüggesztés pontján – a lengésidejének, – a tömegének, valamint – a súlypontja és a forgástengely közti távolságnak az ismeretében lehet meghatározni.
A ϕ ϕ s
dm S
IR
M
lR – redukált ingahossz, s – A forgástengely és S súlyponti tengely távolsága, r –dm tömegelem távolsága az S súlyponttól, dm – végtelenül kis tömegegység, A – lengéspont, M – tömeg, .ϕ – lengésszög
2. ábra Testinga és függőinga összehasonlítása A lengő harang a kellő mélységben felfüggesztett nyelv lengését is kiváltja, így a harang kettős ingát képez, amelyben a nyelv, a harang mozgását követve, kiszélesedő végével („labdájával”) pontosan a harang fordulásakor találja el az ütőgyűrűt. Az ütésnek nem szabad sem túl erősnek lenni (ettől már nem egy harang megrepedt), sem a nyelvnek a köpenyre „ragadnia”, ami gátolja a hang zengését. A jól méretezett nyelv éppen csak érinti a harang falát és már fordul is. A nyelv nagyságának, tömegének lengésszögének, és felfüggesztésének kényes megválasztása régen mindig rögtönzés volt.
Az első lengésszámítások A harangöntés elvi megközelítésére egy különleges esemény adott alkalmat. 1873-ban a Kölni Dóm tornyában felfüggesztették az új „császárharangot”, de az nem szólalt meg, nyelve a test lengése közben mozdulatlan maradt. A kínos „csend” okát egy három évvel az eset után megjelent tudományos közlemény tárta fel, amely a kettős inga mozgásegyenleteiből kiindulva meghatározta a nyelv haranghoz viszonyított elégtelen mozgásának feltételeit. Eszerint a nyelv akkor nem üti meg a harangot, ha a harang redukált ingahossza egyenlő a nyelv redukált in-
gahosszának és harang és a nyelv forgáspontja közötti távolságnak az összegével. Ebből az összefüggésből levezethetők a harangnyelv méretezésének szabályai: – A nyelv tömege az egész harangénak 3–5%-a. Anyaga kovácsolt vas, amelynek elég szilárdnak kell lennie, hogy a nyelv ne törjön el, ugyanakkor a harang zengése szempontjából előnyös a minél lágyabb szerkezeti anyag. – A nyelv tömegeloszlásának lehetővé kell tennie, hogy redukált ingahossza minél inkább megközelítse az ütőlabda középpontja és a nyelv felfüggesztési pontja közötti távolságot. A nyelv ütései ez esetben centrálisak és a felfüggesztési pontban nem ébrednek zavaró reakcióerők, a nyelv nem „imbolyog”. A nyelv nem megfelelő ütéseit korrigálni lehet – a harangozás szögének, – harang redukált ingahosszának (a forgástengely áthelyezésével), – a nyelv forgáspontja helyzetének és – a nyelv redukált hosszának megváltoztatásával. Ez azonban a paraméterek közül mindig csak egyet érinthet, hogy pozitív és negatív hatások ne oltsák ki egymást.
Jelenségek a harangtoronyban Harangtornyok stabilitásának és rendeltetésszerű használatra való alkalmasságának megítéléséhez a releváns statikus és dinamikus terheléseket egyaránt figyelembe kell venni. A dinamikus terhelésben meghatározó a torony lengése. Amikor kb. 1000 évvel ezelőtt elkezdték a harangokat elfordítható rúdra, az ún. járomra helyezni, hogy zengésük kiteljesedjék, egy statikai feladat átalakult dinamikai problémává, ti. az így időben változó támasztóerők vízszintes komponensei, ritmikus igénybevétel folytán, az alapozáson rendszerint túlnyúlva épült tornyok lengését idézik elő. Ennek amplitúdójából következtetni lehet a kialakuló hajlítónyomatékokra és a szerkezeti anyagok igénybevételére. Szabályosan ismétlődő dinamikus igénybevételről lévén szó, számítani kell fáradásos szilárdságcsökkenésre is. Harangtornyok építésekor az 1960-as évekig nem végeztek a mai értelemben vett dinamikai számításokat, a méretezés abból állt, hogy egyezményesen a harang nyugvó tömegének ötszöröséig terjedő növekedést tételeztek fel. Az építmények tényleges, a saját lengésszámmal jellemezhető lengésállapotát nem egyeztették a haranglengésből származó rezonanciatávolsággal megjeleníthető erőkkel.
A második világháború után vasbetonból épült, egyre karcsúbb harangtornyok a régi falazott, mélyen fekvő súlypontú konstrukcióknál sokkal inkább vannak lengésnek kitéve. Ennek ellenére mind több károsodás figyelhető meg az olykor századokat jó állapotban átvészelt öreg tornyokon is, ami legtöbbször a harangozási szög említett megnövekedésének tulajdonítható, következménye pedig a toronyfal húzószilárdságának túllépése vagy a templom merev részeihez, pl. a hajóhoz való kötés erejének, s ezáltal gyakran a torony saját lengésszámának csökkenése. Ha ilyen módon megegyezések jönnek létre a harangok lengésfrekvenciái és a torony sajátlengésszámai között, akkor fellép egy a tornyokban sohasem kívánatos rezonancia.
Tervezési szempontok A harangöntők és a harang majdani „szavát” meghatározó szakértők a harang hangfekvését, nagyságát és tömegét, kilengési szögét, valamint a percenkénti ütések számát adják meg. Ezek az adatok az alaktól függő tömegeloszlással együtt a harangnak azon jellemzői, amelyekből levezethető a nyelv lengésének ugyancsak jellemző és nehezen változtatható frekvenciája, egy periodikus, de nem harmonikus lengés. A Fourier-transzformáció segítségével minden periodikus rezgés (ill. lengés) felbontható harmonikus elemekre, azaz alaplengésekre és magasabb rendű részlengésekre. Ezeknek hatásaiból tevődnek össze a harangok támaszerői és gerjesztőerői is. Általában a támaszerőkkel méretezik a merevnek tekintett harangszéket, de a toronyra ható gerjesztőerők meghatározásához a támaszerők mellett ismerni kell a torony sajátlengésszámát, valamint a támaszerők (és gerjesztőerők) harmonikus részeinek rezonanciaállapotát. A harangtorony sajátlengésszáma – az építőanyag rugalmassági modulusától, – a torony keresztmetszetével meghatározott hajlító- vagy torziós nyomatéktól (P) – a torony magasságától, – tömegétől és annak eloszlásától, – a vele érintkező templomrészbe való bekötésétől és – az alapozás rugalmas tulajdonságaitól függ. Az e tényezőkben idővel bekövetkező változás a sajátlengésszám megváltozását okozhatja. Amennyiben egyezés alakul ki a torony sajátfrekvenciája és a gerjesztőfrekvencia vagy egy magasabb rendű részfrekvencia között,
előáll a rezonancia állapota. Mivel a tornyok sajátrezgésszáma 0,7 és 2,5 Hz között változik, ezeket az állapotokat általában a harangok harmadik részfrekvenciái váltják ki. Minél kisebb a különbség a torony sajátrezgésszáma és a részrezgésszámok egyike között, annál nagyobbak a toronyra ható gerjesztő erők. Ennek a távolságnak a 4178.sz. DINszabvány szerint a sajátrezgésszám-számítással való meghatározása esetén legalább 20%-nak kell lennie, ha pedig a meghatározás egyenetlen tömegeloszlással keltett nem lineáris mozgás alapján történik, akkor a rezonanciatávolság 10% is lehet. A rezonanciatávolság határozza meg – az építőanyagok kifáradási értékeinek beszámításával – a torony méretezésekor használt helyettesítő erőt.
A toronylengés mérséklésének módszerei Az építéstechnikai megoldások megtámogatással, azaz anyagbevitellel ritkán eredményesek, sőt nem kellő méretezés következtében már dinamikai balfogásnak is bizonyultak. A toronylengés amplitúdóját az „okozónál”, azaz a harangnál és felfüggesztésénél kell csökkenteni. A beavatkozás a sajátlengésszám kiszámításával kezdődik a hagyományos (még 1978-ban közzétett) energiamódszerrel vagy számítógépes programok felhasználásával. A sokkal karcsúbb építményekkel (kémény, antenna–árbóc) ellentétben, harangtornyoknál elég az ún. első sajátforma meghatározása az alapozás magasságában levő lengéscsomóponttal. Ez a sajátforma azonos a hordozórendszerre vízszintes helyettesítő (egyenértékű) erőként, esetenként egyedi pontokba tömörítve felvitt tömeg hajlítóvonalával. Így a sajátlengésszám és -frekvencia is kiszámítható az
ne =
300 ; 1/ min δ0
képletből, amelyben δ0 a lengő rendszer behajlása a támaszték peremén cm-ben. A talaj befolyása is fontos tényező. Nyomásnak, erőhatásnak engedő, talajon álló merev torony sajátlengésszáma akár 50%-kal kisebb lehet a szilárd alapra, pl. sziklára épített toronyénál. A számításban a modern szoftverek is nagy eltéréseket engednek meg a valós lengésszámhoz képest, ezért az idézett szabvány is – az „inkább mérjünk, mint számoljunk!” elvét követve – előírja a matematikai modellek kalibrálását mérési eredményekkel.
Méréstechnika A saját lengésszám és a csillapodás mérésére a ma használatos igen érzékeny szeizmikus rezgés- (ill. lengés-) érzékelők aktiválhatók – széllel (mint véletlenszerű hatással), – harangozással (egy-egy haranggal vagy az összessel), – kézi mozgatással vagy – az egyensúlyt megbontó szerkezettel. A toronylengés módját a lengéskeltő erő is befolyásolja. Különösen falazott tornyoknál fontos, hogy ennek nagysága közelítsen a harangozás erejéhez. Ezt azonban csak „taszító-lökdöső” szerkezettel lehet elérni, mert csak ezzel határozhatók meg a torony kilengései változtatható lengéskeltő frekvencia mellett. A mérés eredménye a rezonanciagörbe, amelynek maximuma a kívánt pontossággal adja meg a torony sajátlengésszámát. A görbéről leolvasható a kilengések megváltozása is a rezonanciától eltérő viszonyok közt. A definiált erőkkel végzett mérés lehetővé teszi a harangozással kiváltott reakcióból, azaz a megváltozott ütésszámból mint gerjesztőfrekvenciából a következtetést a torony várható amplitudóváltozásaira. A rendszer kísérletileg meghatározott csillapodásának, valamint a lengéskeltő és a sajátfrekvencia viszonyának ismeretében ki lehet számítani a nagyítási tényezőt. A tornyokon a rezonancia okozta károk sokszor a benne levő harangok közül a legkisebbik tömegére vezethetők vissza, amelyből a legnagyobb vízszintes erők és a torony legerősebb kilengései indulnak ki. Ilyenkor célszerű a problémát a harangok ütésszáma felől megközelíteni. A harangnyelv frekvenciája, mint ismeretes, csak a tömegviszonyokéval együtt változtatható meg, aminek két módja van: – a harang felfüggesztési pontjának a járom tengelyéhez, azaz a forgásponthoz viszonyított áthelyezése, vagy – a lengést befolyásoló többlettömeg bevitele. A felfüggesztés meggörbített járommal történő megváltoztatása az egyenes járomhoz és a mélyebben fekvő súlyponthoz képest megrövidíti a lengés útját. Ezáltal gyengülnek a gyorsítóerők és megnő az ütések száma. Ugyanakkor csökken a harangnyelv lendülete és a „harangszó” intenzitása is. Tömegbevitellel a harangi ütések száma 15%-ig változtatható és elég a rezonancia megszüntetésére. A torony sajátlengésszámának kiszámításakor a 10%-os rezonanciatávolság betartásával, a torony vár-
ható lengésamplitúdójának, s ezáltal igénybevételének csökkenése leolvasható az előzőleg méréssel felvett rezonanciagörbéről. E módszer alkalmazása nagy mérnöki szakértelmet és harangöntői tapasztalatot igényel. A változtatást egyrészt egyeztetni kell a többi harang ütéseivel, hogy az együttes hangzás ne szenvedjen kárt, másrészt a tömeg bevitelével és a megváltozott ütésszámmal a harang felfüggesztését és tömegeloszlását úgy kell módosítani, hogy a nyelv ütése ne legyen se túl kemény, se „tapadó”, és a felső fordulópont tartományában érintse a harang falát.
A sikeres beavatkozás példái 1. Harangtorony, Singen
A 41 m magas, karcsú, trapéz alakú vasbeton torony 1958-ban épült, öt, egymás fölött acélszékre felfüggesztett, 420 kg összsúlyú haranggal. A torony sajátfrekvenciáját, az akkori szokás szerint nem számították ki, a statikai számítások során a harangok és a fegyverzetek súlyának egynegyedét mint helyettesítő terhet, a front- és a hátsó oldal közt megfelezve, hozzáadták a szél okozta igénybevételhez. A görbült jármon való felfüggesztés ellenére a harangozás a torony erős lengését váltotta ki. Az 1975. évi első mérések alkalmával – a torony sajátlengéseinek száma a haranglengés irányában percenként 86, – arra merőlegesen 69, – a lengés útja ± 7 mm, – a számított vízszintes terhelés 78 kN-nal egyenértékű volt. Elégtelen rezonanciatávolságot állapítottak meg a 3.és 4. harang harmadik részlengéseire. A vasbeton elemek méretezésével való összehasonlítás alapján a terhelést 30 kN-ra kellett csökkenteni, ami egyenértékű a lengésamplitúdók csökkentésével ±2,7 mm-re. E követelményt teljesítendő, öt új harangot öntöttek, de a torony kilengései ismét erősödtek, emellett az acél harangszékek lábánál korróziót észleltek. Ekkor döntött a város egy mannheimi mérnöki iroda helyreállítási tervének megvalósítása mellett. A meglevő mérési eredmények alapján először felülvizsgálták a sajátlengésszám, a harangozáskor fellépő erők és a torony alakváltozásai közötti összefüggéseket, amihez egy egyszerű I alakú, statikus helyettesítő rendszert használtak. Az ugyancsak meglevő rezonanciagörbe segítségével ezután megbecsülték az egyes harangokban a nyelv ütés-
számának szükséges megváltoztatását úgy, hogy az összes lengéskeltő erő ne haladja meg a 30 kN-t. A harangokat két emeleten osztották el, a falakon a jobb és tömör hangkiáramláshoz további nyílásokat vágtak, és acél helyett fa harangszékeket rögzítettek hangtompító gumitalpakra. A harangok együttese is lényeges átalakításon ment át. Két harangot újraöntöttek. A torony lengésamplitúdójának eredetileg legnagyobb részét okozó 1-es harang ütésszámát a percenkénti 50-ről 45-re csökkentették, a 3. és 4. számúakét 10%-kal megnövelték. A kontrollmérések szerint a haranglengés irányú toronykilengések ±1,6 mm-rel megrövidültek, ami felülmúlta a kezdeti célt. 2. Konstanz plébániatemplomának tornya
A 35 m magas, 1955-ben épült torony 1,90 m átmérőjű központi részből áll, amelyet kívül egymástól egyenlő távolságra levő vasbeton oszlopok támasztanak meg. A „harangszoba” és a harangszékek maszszív födémen nyugszanak, ennek magasságában a támaszokat keret fogja össze. A torony három harangja acélszéken, görbült jármon függ. A számított rezonanciagörbék alapján – a torony 88/min, azaz 1,47 Hz sajátfrekvenciája mellett – a 3. részlengésszám rezonanciatávolsága az 1. harangnál 6,4%, a 2. és 3. esetében 1,6%. Harangozáskor a lengés sebessége 52 mm/s volt. A szakértői javaslat a lengések átlagosan 10%-os lassítását ítélte szükségesnek, mégpedig túlsúlyos jármok segítségével. A rezonanciagörbék alapján ezáltal eredeti értékük egyharmadára csökkenhettek a lengéskeltő erők. A beavatkozás eredményeképpen – minden harangnál beállt a kívánt rezonanciatávolság, – a toronylengés amplitúdója az összes harang megszólaltatásakor 6,33-ról 1,96 mm-re, – a lengési sebesség 12 mm/s-re csökkent. 3. Oftersheim, a templom különálló harangtornya
Az 1893-ban homokkőből épült 18 m-es torony magasságát az 1950-es években 28,5 m-re növelték olyan módon, hogy a 13 m-ig lebontott csonkra 3,90x3,90 m keresztmetszetű, elvékonyodó, belül üreges téglával falazott vasbeton konstrukciót emeltek. A kőcsonkhoz képest a lengésirányban így is kiálló építmény a szél és a harangozás erejének van kitéve. Ezt csökkentendő, szállították le a tervezett 30 m-es magasságot, és nyitották meg a falakat lengésirányban három emeleten.
Ezeket az intézkedéseket számítással nem támasztották alá. Annak sem szenteltek kellő figyelmet, hogy az alapozással együtt kb. 31,5 m magas, roppant karcsú torony alapkeresztmetszete csupán 5,05x5,05 m. A rezonancia jelentőségét alábecsülték akkoriban. Még egy 1962. évi szakközlemény szerint is a harangtornyok méretezésekor a harang(ok) tömegének 20-szorosával helyettesítendő a vízszintes statikus erőhatás, amennyiben rezonanciával kell számolni. A torony 1. sajátfrekvenciája és a harangok mértékadó részlengésszáma közötti rezonanciatávolság betartásának követelménye gyakorlatilag csak a 4178.sz. DINszabvány hatályba lépésével (1978) vált előírássá. A torony erős kilengései rögtön használatba vétele után feltűntek, az illetékesek ennek okaként felismerték az „örökölt” alapozás elégtelenségét. 1964-ben mégis felfüggesztettek benne egy negyedik harangot. A lengéskeltő erők ellensúlyozására az immár négy haranghoz „elleningákat” szereltek fel, hogy semlegesítsék a toronyra ható vízszintes lengéskeltő erőket. A harangszékeken, -jármokon és az „elleningákon” már 1977-ben észlelték az 1985-ben az ellenőrző szerv részéről már tarthatatlannak bizonyult korróziót, ill. az általa előidézett helyzet döntést provokált: az acél szerkezeti elemeket fára cserélték ki, ezenkívül az egész torony dinamikai állapotát felülvizsgálandó számításokat és lengésméréseket végeztek. A mérések igazolták azt az előzőkben már többször említett alapvető hibát: a valamennyi harang 3. részlengésszáma és a torony sajátfrekvenciája közötti túl csekély rezonanciatávolságot. A számítások és a közben elvégzett talajvizsgálat eredménye segítségével felállított modell alapján három lehetőség merült fel: – a meglevő lebontása és új torony építése, – helyreállítás, azaz – az alapozás megnövelése 9 m x 7 m-re, – a vasbetonon fröccsbetonnal kellő takarás létesítése és – a felső „harangszobában” új harangszék beépítése tölgyfából, mind a négy harang megtartásához. A választás anyagi okokból a helyreállításra esett. Ennek során az alapozást gyűrűszerűen megnagyobbították úgy, hogy az új betont a meglevőhöz feszített tagok beépítésével csatlakoztatták. Az erők átviteléről acél keresztcsapokkal gondoskodtak. Az alapozás megnövelése után a bővítés alatti talajt tömörítéssel tették hasonlóvá a régi torony hosszú évek alatt szilárddá tömörült altalajához, hogy elkerüljék a különbségből származó statikai problémákat.
A munkák végeztével megismételték a torony sajátlengésszámának meghatározását mesterséges egyensúlybontó „ingatással”, és 24%-kal nagyobb értéket mértek annál, amit előzőleg egyszerű összehasonlító számítással találtak. Ezen információk birtokában végezték el a harangok összehangolását és megállapították, hogy nincs szükség a jármok megváltoztatására ahhoz, hogy csökkenjen az ütések száma, s ezáltal nagyobb legyen a rezonanciatávolság. Az alapozás kibővítésének összköltsége 90 000 EUR, a többi építési jellegű műveleté 12 000 E volt, és meghozta a kívánt eredményt: a harangok egyenes jármon függve szólnak teljes zengéssel. 4. A luxemburgi Szent Pius templom
A templom harangtornyán végzett munka azt bizonyítja, hogy a javítások eredményének megbízhatóságát a torony modellezése és a modell minősége döntően befolyásolja. A számítással nyert információk és a mérési adatok összekapcsolása ezt még fokozhatja. A luxemburgi torony esetében a végeselemek módszerével állították fel a dinamikai és lengésvizsgálati modellt, amelyet valósághű funkcionálása érdekében kalibráltak. Enélkül a számítás akár ellentétbe is kerülhet a vizsgálati eredményekkel, kalibrálással viszont kiválóan kiegészíti azokat.
Helyreállító munkák általános szempontjai Korrekciós beavatkozások tervezésekor és kivitelezésekor feltétlen figyelmet kíván néhány szempont: – Minden régi épület, a maga megtartottsági állapotában egyedi eset, és egykori építési szabványok hiányában, nem szemlélhető és értékelhető szabványok alapján. Ez harangszékekre és -jármokra is érvényes. – A helyreállítás meghatározó adatait – „sarokpontjait” – gyakran műemlékvédők jelölik ki, akik számára a konstrukciós szempontok alárendelt jelentőségűek, az építészmérnököt ezért már a helyreállítási tervek készítésébe be kell vonni. – Az épületek évek alatt kialakult alakváltozásai és feszültségei okozta károk felismerése nagy mérnöki „éberséget” kíván. A toronylengés gondjának enyhítéséhez nélkülözhetetlenek a biztos dinamikai és anyagismeretek, a szokásos statikusi jártasság nem elegendő.
– A tapasztalt mérnök áttekinthető számítások alapján meg tudja ítélni az épület aktuális állapotát. A számításokból levont következtetések gyakran segítenek abban, hogy a „tünetek megszüntetése” ne fedje el a kiváltó okokat. – A példák igazolják, hogy a lengő harangtornyok problémája az épületbe való beavatkozás nélkül, viszonylag kis költséggel megoldható. Összeállította: Dr. Boros Tiborné Irodalom Steiner, J.: Resonanz: der Glocke Wohl, des Turmes Leid. = Bautechnik, 82. k. 10. sz. 2005. p. 678–688. Bisswurm, A.: Schwache Basis – die dynamische Instandsetzung Glockenturms. = Bautechnik, 82. k. 10. sz. 2005. p. 710–715.
eines
Kuhlmann, W.; Mistler, M.: Simulationen und Messungen von Glockentürmen – Widerspruch oder Ergänzung? = Bautechnik, 82. k. 10. sz. 2005. p. 716–723. További irodalom Swan, I. P.; Reid, D. B.; Fairfield, C. A.: Modelling highway bridge vibrations: the effect of support conditions. = Insight, 47. k. 7. sz. 2005. p. 409–413. Bauer, B.; Shan, J.: Funksertsorik im Praxiseinsatz zur Schwingungsdiagnose von Antrieben. = VDI-Berichte, 2001. 1630. sz. p. 455–466. Weyh, B.: Schwingungserscheinungen durch Zusammenwirken von Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan am Beispiel Flachwalzen. = VDI-Berichte. Schwingungen in Verarbeitungsmaschinen, 2005. 1887. sz. p. 3–24. Dresig, H.; Rockhausen, L.: Zur Klärung von Schwingungsursachen in schnell laufenden Verarbeitungsmaschinen. = VDI-Berichte. Schwingungen in Verarbeitungsmaschinen, 2005. 1887. sz. p. 83–100. Bauer, B.: Schwingungsdiagnostische Überwachung von Druckmaschinen. = VDIBerichte. Schwingungen in Verarbeitungsmaschinen, 2005. 1887. sz. p. 181–188. Pietsch, O.; Scheer, C. stb.: Zustandsbeurteilung von Schmiedehämmern durch Schwingungsanalysen. = VDI-Berichte. Schwingungen in Verarbeitungsmaschinen, 2005. 1887. sz. p. 189–212. Reamer, S. K.: Auswertung von Schwingungsmessungen zur Untersuchung der dynamischen Stabilität des Untergrundes. = Eisenbahningenieur, 51. k. 12. sz. 2000. p. 34–37.
