GULYÁS JÁNOS RÁCZ MIHÁLY TOMCSÁNYI PÉTER VARGA ANTAL

GULYÁS JÁNOS • RÁCZ MIHÁLY TOMCSÁNYI PÉTER • VARGA ANTAL

J /////////////////////.

-F,

-F 2

Panem-Akkord

Gulyás-Rácz-Tomcsányi-Varga

FIZIKA Ennyit kell(ene) tudnod

Gulyás János-Rácz Mihály-Tomcsányi Péter-Varga Antal

F IZ IK A

Ennyit kell(ene) tudnod

A K K O R D • PANEM

Harmadik kiadás Lektorálta: dr. Honyek Gyula, dr. Fejős Csaba A borítót tervezte: Vaisz György Felelős szerkesztő: Koloszár Olga Műszaki szerkesztő: Érdi Júlia Gulyás János, Rácz Mihály, Tomcsányi Péter, Varga Antal, 1994 Ez a könyv az Akkord Kiadó Kft. és a Panem Kft. közö^ kiadásában készült A kiadásért felel a Panem Kft. ügyvezetője Budapest, 1995 A PANEM-könyvek megrendelhetők a 06-30/488-488 hívószámú W ESTEL 900 GSM mobiltelefonon, illetve az 1385 Budapest, Pf. 809 levélcímen is. Postacím: Panem Kft. 1385 Budapest, Pf. 809 ISBN 963 545 046 X

TARTALOM

1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. 1.2.6. 1.2.7. 1.3. 1.3.1. 1.4. 1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.4.4. 1.4.5. 1.5. 1.5.1.

Bevezetés................................................................. .......11 Mechanika.............................................................. .......13 A tömegpont kinem atikája .......13 A mozgások leírása .......13 Az egyenes vonalú egyenletes mozgás .......15 Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás . 18 A szabadesés .......20 N em nulla kezdősebességű, egyenes vonalú egyenletesen változó m ozgás ....... 22 A tömegpont dinam ikája....................................... .......24 Erőmérő készítése .......25 Newton I. törvénye .......26 Newton II. törvénye .......27 Newton III. törvénye .......29 Nevezetes eróliatások. .......30 Súrlódási jelenségek .......32 .......33 Az impulzus Összetett mozgások .......34 Az egyenes vonalú egyenletes mozgások összetétele .......34 Munka és az energia .......43 A munka fogalma .......43 Speciális munkavégzések .......46 A teljesítmény .......49 Az energia .......50 A hatásfok .......53 A pontrendszerek mozgásának leírása .......53 A pontrendszer........................................................ .......53

TARTALOM

1.5.2. A pontrendszer impulzusa, az impulzusmegmaradás té te le ............................. 1.5.3. A pontrendszer tömegközéppontja....................... 1.5.4. Ütközések................................................................ 1.5.5. Munkatétel a pontrendszerre................................. 1.6. A tömegvonzás........................................................ 1.6.1. Kepler törvényei..................................................... 1.6.2. A bolygómozgás dinamikai leírása....................... 1.6.3. Az általános tömegvonzás törvénye...................... 1.6.4. A tehetetlen és súlyos töm eg................................. 1.6.5. A gravitációs erőtérben mozgó test....................... 1.7. Merev testek egyensúlya........................................ 1.7.1. A merev test fogalma............................................ 1.7.2. A forgatónyomaték................................................ 1.7.3. Merev testre ható erők összegzése......................... 1.7.4. Merev test egyensúlyának feltétele....................... 1.7.5. Egyszerű g ép ek ...................................................... 1.7.6. Egyensúlyi helyzetek............................................... 1.8. A forgómozgás........................................................ 1.8.1. Rögzített tengely körül forgó merev te s t.............. 1.8.2. A forgómozgás alaptörvénye................................. 1.8.3. A forgási energia..................................................... 1.8.4. A perdület................................................................ 1.8.5. A haladó és a forgómozgás analógiája................... 1.9. Deformálható testek mechanikája......................... 1.9.1. Rugalmas nyújtás és összenyomás......................... 1.9.2. Hajlítás, nyírás, csavarás........................................ 1.10. Folyadékok és gázok m echanikája....................... 1.10.1. A nyomás egyenletes terjedése folyadékokban ... 1.10.2. A hidrosztatikai nyomás........................................ 1.10.3. A felhajtóerő és Arkhimédész törvénye................ 1.10.4. Folyadékok és gázok áram lása.............................. 1.10.5. A közegellenállás................................................... 1.11. A rezgőmozgás........................................................ 1.11.1. A rezgőmozgás kitérés-idő függvénye, kapcsolat a körmozgással....................................... 1.11.2. Egyirányú rezgések összetétele.............................. 1.11.3. Egymásra merőleges rezgések összetétele............

55 58 60 63 64 64 66 68

70 71 71 71 72 73 77 79 84 86 86

89 91 92 93 93 94 96 99 99 101 102 105 109 111 111

114 117

TARTALOM

1.11.4. 1.11.5. 1.11.6. 1.11.7. 1.12. 1.12.1. 1 .12 .2 . 1.12.3.

A rezgőmozgás dinamikai leírása .....119 A csillapított rezgés .....124 .....125 A kényszerrezgés és a rezonancia........... Csatolt rezgések .....128 Hullámok................................................................. .....128 .....128 Mechanikai hullámok ÁllóhuUámok .....142 A hang .....144

2. 2.1. 2.1.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.3.

Hőtan .....147 A hőmérséklet fogalma és mérése .....147 Hőmérők, hőmérsékleti skálák, hőtágulás .....148 Gáztörvények...............................................................149 Gay-Lussac első törvénye .....150 Gay-Lussac második törvénye .....151 Boyle-Mariotte törvény .....152 Általános gáztörvény, ideális gázok állapotegyenlete.. .... 153 Ideális gázok állapotváltozásai .... 156 A kinetikus gázelmélet .... 158 A hőmérséklet molekuláris értelmezése, a gázok belső energiája .......................................... .... 161 A termodinamika első főtétele .... 163 A hő mértéke, a hőmennyiség, a hőkapacitás .... 165 Halmazállapot-változások, fázisátalakulás .... 168 A hőfolyamatok iránya, a termodinamika második és harmadik főtétele..................................... 169

2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5. 3.1.6. 3.1.7. 3.2.

Elefctromágnességtan .....173 Az elektromos m ező 173 Alapjelenségek 173 Az elektromos tér és a térerősség............................. 178 Kapacitás, kondenzátorok .... 184 Az elektromos áram fogalma, az áramerősség — 190 A vezetők ellenállása, Ohm törvénye 192 Feszültségforrás, rövidzárási áram 196 Az elektromos munka és a teljesítmény 198 A mágneses m ező.............: ......................................... 200

TARTALOM

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5. 3.2.6. 3.3. 3.4. 3.4.1. 3.4.2.

A m ágnesség........................................................... .... 200 Mágneses törvények és összefüggések....................... 207 A váltakozó á ra m ................................................... .... 209 A feszültségrezonancia.......................................... .... 221 Az áramrezonancia................................................ ....223 A rezgőkörök vizsgálata........................................ ....224 A változó elektromos mező........................................226 Elektromágneses hullámok........................................228 Geometriai o p tik a .....................................................230 H ullám optika......................................................... ....246

4. 4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4. 4.1.5. 4.1.6. 4.1.7. 4.1.8. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.3. 4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.4. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.5. 4.5.1. 4.5.2.

Atom- és magfizika.....................................................252 Atomfizika.............................................................. ....252 Az atomos felépítésre utaló megfigyelések...............252 Az elektron felfedezése.......................................... ....254 Az energiakvantum megjelenése.......................... ....260 Az elektromágneses hullám adagossága....................262 Az elektron mint hullám...........................................265 A részecske-hullám kettősség............................... ....265 Atommodellek............................................................267 Kémiai kötések............................................................270 Magfizika.................................................................. ....272 Az atommag létezése............................................. ....272 Az atommag felépítése................................................273 Energiaviszonyok a m agban................................... ....277 A tömegdefektus.........................................................277 A héjmodell (1934)................................................ ....279 A cseppmodell (1936)............................................. ....280 A fajlagos kötési energia........................................ ....281 A radioaktivitás...................................................... ....282 A radioaktív sugárzás............................................. ....282 A radioaktív sugárzások jellemzői......................... ... 283 A természetes radioaktivitás.................................. ... 284 Az indukált radioaktivitás..................................... ... 286 A magenergia felhasználása................................... ... 287 A hasadásos re a k to r.................................................. 287 A fúziós energia...................................................... ... 288

TARTALOM

5. 5.1. 5.1.1. 5.1.2. 5.2. 5.3. 5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.3.5. 5.3.6. 5.4. 5.5. 5.6.

Részecskefizika...........................................................290 Az elemi részecskék természete............................ .....290 Hullám és részecske................................................ .....290 Vizsgálati eljárások................................................ .....291 A nagy energiák...................................................... .....292 Az első részecskék felfedezése...................................294 Az elektron és a fo to n .................................................294 A p ro to n ................................................................. .....294 A neutron................................................ .............. .....295 A kozmikus sugárzás............... -...................................295 Antirészecskék.............................................................296 M ezonok................................................................. .....297 Részecskegyorsítók................................................ .....298 A felfedezések sokasága........................................ .....300 A rendszerezés lehetősége..................................... .....303

6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6 .6 . 6.7.

Relativitáselmélet................................................... .....305 A klasszikus relativitás........................................... .....306 A fénysebesség állandóságának e lv e .................... .....307 Az egyidejűség relativitásának e lv e ...........................308 A speciális relativitás elmélete............................... .....311 A speciális relativitás néhány követelménye.............313 Az energia és a tömeg ekvivalenciája........................314 Az általános relativitáselmélet alap ja........................315

7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

Csillagászat.............................................................. .....319 A csillagászat rövid története......................................319 A Naprendszer.............................................................324 A Nap, a legközelebbi csillag......................................330 A csillagok keletkezése és fejlődése...........................335 Galaxisunk és szomszédai............................................338 A világegyetem kialakulásának elmélete.............. .....340

BEVEZETÉS

Ebben a könyvben a középiskolában oktatott fizikai ismeretanyag tömör összefoglalását kívánjuk közreadni. A szigorúan vett törzsanyag mellett kitérünk olyan kiegészítésekre, elméleti megfontolásokra is, amelyek a felsőfokú intézményekbe jelent­ kező, illetve az átlagosnál jobban érdeklődő diákok igényeit is kielégítik. Fontosnak tartjuk a középiskolai tananyagból való kitekin­ tést is, éppen az igényesebb olvasók érdekében. Az ismeretanyagot ugyanakkor a kísérleti fizika szemszögéből dolgozzuk fel, így olvasmányosabb, szemléletesebb, közérthetőbb a tár­ gyalás. Az elméleti levezetések főleg magyarázatként, hipoté­ zisként szerepelnek. A könyv segítséget kíván nyújtani mind a nappali, mind az es­ ti, illetve a levelező középiskolai tanulóknak az aktuális órai anyag megtanulásához, a korábban tanult ismeretek felfrissíté­ séhez, valamint az érettségi és felvételi vizsgára való felkészü­ léshez, sőt az elsőéves főiskolai és egyetemi hallgatók i§ hasznát vehetik. A kötet jellege megkövetelte, hogy a kísérleti és gyakorlati előzményeket, a hozzákapcsolódó definíciókat, törvényeket tö­ mören fogalmazzuk meg. A kísérleteket E, a definíciókat [5], a törvényeket [t ] , a pél­ dákat B, a levezetéseket B jelöléssel láttuk el. A definíciók, a tételek és a levezetések mellett függőleges vonal található.

1. MECHANIKA

13

1. MECHANIKA

A mechanika a mozgások jelenségeivel foglalkozik. Két fő ré­ sze a KINEMATIKA és a DINAMIKA. A kinematika a mozgások leírásával, a dinamika pedig a moz­ gások megvalósulásának feltételeivel foglalkozik. A statika, amely az egyensúly feltételeit tárgyalja, a dinamika speciális eseteként fogható fel. Először a pontszerű, majd a kiterjedt testek mozgását vizsgál­ juk.

I

® Egy testet pontszerűnek tekintünk, ha a mozgás leírásakor lényeges távolságokhoz képest a test mérete elhanyagolható.

[E A Föld pontszerűnek tekinthető, ha a Nap körüli keringé­ sét vizsgáljuk, saját forgása szempontjából viszont kiterjedt test­ ként kell kezelnünk. A pontszerű testet szokás tömegpontnak vagy anyagi pontnak is nevezni.

1.1. A TÖMEGPONT KINEMATIKÁJA 1.1.1. A MOZGÁSOK LEÍRÁSA A mozgások leírásához vonatkoztatási rendszert használunk, amelyben megadjuk a test helyét az időben. [H Mozgásról akkor beszélünk, ha a test helye változik az idő­ ben. Egy test mozgását akkor ismerjük, ha bármely pillanat­ ban meg tudjuk adni a helyét.

14

1. MECHANIKA

Mozgása során a test a vonatkoztatási rendszer különböző pontjaiban található. Ezek a pontok alkotják a test mozgásának pályáját.

I

a mozgás pályája az a görbe, amelyen a test mozgása so­ rán halad.

[d ]

Legyen a mozgás során a test egy adott pillanatban a pálya A pontjában, míg Aí idő múlva a pálya B pontjában.

I I

[U Az A pontból a B pontba mutató vektort a test As elmoz­ dulásának nevezzük. 1 ] A megtett út a pályagörbe egy adott darabjának í hosszú­ sága ( 1 .1 . ábra).

A mozgásokat a pálya alakjától, illetve időbeli lefolyásuktól függően különböző csoportokba soroljuk, pl.: egyenes vonalú, periodikus, egyenletes, harmonikus stb. mozgások. Az elmozdulás és az út hosszúság dimenziójú fizikai mennyi­ ségek. Mértékegységük nemzetközi megegyezések alapján a méter (m). A hosszúság mérésére - a nagyságtól függően - kü­ lönböző mérőeszközeink vannak. A legközismertebb a méter­ rúd, a mérőszalag, a tolómérő és a csavarmikrométer. Az idő a természetben szabályosan ismétlődő jelenségek alapján mérhető. Ilyenek például a Föld forgása vagy az inga lengése. Az idő alapegysége a másodperc (s), de használjuk a percet, az órát, a napot és az évet is.

1. MECHANIKA

15

1.1.2. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES MOZGÁS

’'T 7 7 7 7 7 7 ^ y7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 /

1.2. ábra

[k] a Mikola-cső vízzel töltött, megdöntött zárt üvegcső (1 .2 . ábra), amelyben egy légbuborék mozog. Ha megmérjük a bubo­ rék által megtett utat és a megté­ teléhez szükséges időt, azt tapasztaljuk, hogy hányadosuk állandó,, tehát egyenesen arányo­ sak. A Mikola-csőben a légbubo­ rék egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.

dl Egyenes vonalú egyenletes mozgást végez egy test, ha moz­ gáspályája egyenes, és az általa megtett út egyenesen arányos az út megtételéhez szükséges idővel. A megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa ál­ landó, amely a buborék mozgására jellemző adat.

I

® A megtett út (s) és a megtételéhez szükséges idő (t) hánya­ dosa a sebesség, jele v. s

Mértékegységét a hosszúság és idő alapmennyiségeiből szár­ maztatjuk, ezért dimenziója hosszúság/idő. A gyakorlatban használt néhány sebességmértékegység: 1 m /l 8 = 1 m /s

1 km /l h = 1 km/h

1 km /l s = 1 km/s

A sebesség mérőszáma megmutatja az egységnyi idő alatt megtett út hosszát. Egyik mértékegységből a másikba a követ­ kező példa szerint válthatunk át: 72 km/h = 72-1 km/h = 72(1000 m/3600 s) = = 72(1/3.6) m /s = 20 m /s

1. MECHANIKA

16

A mozgások matematikai leírásakor elengedhetetlenül fon­ tos, hogy ismerjük a test (testek) mozgásállapotát (helyét, se­ bességét) az időmérés kezdetén, a í = 0 időpontban.

I

® A kezdeti feltételek megadása azt jelenti, hogy megadjuk a test mozgásállapotát a í = 0 időpontban.

Ha a kezdeti feltételek szerint a v sebességű egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test a í = 0 időpontban az s = íq he­ lyen van, akkor mozgását áz S -

So +

vt

összefüggés íija le. Ennek speciális esete, ha az időmérés kezde­ tekor a test az origóban van, vagyis sq = 0- Ekkor az előbbi öszszefüggés az s — vt alakra egyszerűsödik. A fizikában éppúgy, mint a matematikában, a függvénykap­ csolatban lévő mennyiségek közötti viszony grafikus ábrázolás­ sal tehető szemléletessé. Egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén az út-idő grafikont az 1.3 .a ábra mutatja, míg a sebesség­ idő diagram az 1.3.b ábrán látható. Az út-idő diagram egyenesé­ nek meredeksége a test sebességének felel meg. A sebesség-idő diagramon látható, hogy a görbe és az időtengely által határolt terület a test által megtett út nagyságát adja meg. Érdemes megjegyeznünk, hogy ez a megállapítás bármely mozgás sebes­ ség-idő .diagramja esetén érvényes.

1.3. a ábra

1.3.b ábra

1. MECHANIKA

17

Az átlag- és a pillanatnyi sebesség A környezetünkben létrejövő mozgások gyakran nem egyen­ letesek, a sebességük változó. A nem egyenletes, változó moz­ gások indokolják az átlag- és a pillanatnyi sebesség bevezetését.

I

m A mozgást végző test t idő alatti átlagsebessége a t idő alatt megtett teljes út és a t idő hányadosa: ^ö; t

Az átlagsebesség az a sebesség, amellyel a testnek mozognia kellene ahhoz, hogy egy adott utat adott idő alatt, egyenletesen mozogva fusson be. Igen fontos kiemelni, hogy az átlagsebességet általában nem a sebességek átlaga adja. Mozgás közben a test sebessége változhat, ezért a fizikában használatos a pillanatnyi sebesség, mint a mozgás egyik jellemző mennyisége (ezt mutatja pl. az autó sebességmérő műszere). A pillanatnyi sebesség általánosságban a következő módon adható meg, nem csak egyenes vonalú mozgásokra szorít­ kozva. A változó mozgást végző test a t időpil­ lanatban pályájának A pontjában talál­ ható, míg Aí idővel később a B pontban. 1.4. ábra Ezen idő dlatt elmozdulása As (1.4. ábra). m Az A pontbeli pillanatnyi sebességet a As V = -7At hányados adja, ha a Aí tart 0-hoz. A definícióból következik, hogy a pillanatnyi sebesség vek­ tormennyiség, amely a pálya érintőjével párhuzamos.

18

1. MECHANIKA

1.1.3. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS [k] Vizsgáljuk egy lejtőn legördülő golyó mozgását! Ha nyu­ galmi helyzetből indítva, a különböző hosszúságú utakat és a megtételükhöz szükséges időket mérjük, azt tapasztaljuk, hogy a megtett út és a megtételéhez szükséges idő négyzetének há­ nyadosa állandó, tehát egyenesen arányosak. ^ =,áll, 111. s ~ Azt is megfigyelhetjük, hogy a golyó egyre gyorsabban mo­ zog. A lejtő hajlásszögét változtatva azt tapasztaljuk, hogy na­ gyobb hajlásszögnél gyorsabban változik a sebesség, és az s/f' hányados értéke is nagyobb. Változó mozgásról lévén szó, vizsgáljuk meg a pillanatnyi se­ bességet az idő függvényében! E Jelölje A az s / f hányados értékét! így a t és a t+At idő kö­ zötti elmozdulás nagysága; As = «2 —si = A(t — At)^ —At^ Ebből As = A(2í Aí + Aí^) A Aí/Aí nagysága: As V = — = A{2t + At) Mivel Aí tart nullához. v^2At Láthatjuk, hogy a pillanatnyi sebesség nagysága arányos az eltelt idővel. Ennek alapján könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a Av sebességváltozás és a közben eltelt idő is egyenesen arányosak:

1. MECHANIKA

19

Av ~ A t m Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásról beszélünk, ha a mozgás pályája egyenes és a sebességváltozás nagysága egyenesen arányos a közben eltelt idővel. Láttuk, hogy az egyenes vonalú egyenletesen változó moz­ gást végző test pillanatnyi sebessége változik az időben. A se­ bességváltozás gyorsaságának mértékéül vezetjük be a gyorsu­ lást. [H Az Av Aí hányados a gyorsulás. A definícióból következik, hogy a gyorsulás vektormennyi­ ség. Mértékegysége a sebesség és az idő mértékegységéből szár­ maztatható: m/s^. Alkalmazva a definíciót, a pillanatnyi sebességre kapott 2A állandó A v 2A(t + At) - 2 A t „ , a=— =— ^ -------- = 2A At At a test gyorsulásával egyenlő. A kapott eredményeket fölhasználva a megtett útra, a sebes­ ségre és a gyorsulásra, a következő összefüggésekhez jutunk: CL n s = - t ] V = at] a = konstans Megjegyzendő, hogy ezek az összefüggések csak akkor iga­ zak, ha a kezdeti feltételek a í 0 időpontban: í = 0 és v = 0 . A nem nulla kezdősebességű esettel később foglalkozunk. Az út-idő, sebesség-idő és gyorsulás-idő grafikonok az 1.5. ábrán láthatók.

20

1. MECHANIKA

1.5. ábra

A gyorsulás-idő grafikon görbéje és a t tengely által bezárt te­ rület a t idő alatt elért sebesség, míg a sebesség-idő grafikon gör­ béje és a t tengely által bezárt terület a t idő alatt megtett út számértékét adja (1.6. ábra).-A sebesség-idő grafikon egyenesé­ nek meredeksége a gyorsulás értékével egyezik meg.

1.6. ábra

1.1.4. A SZABADESÉS I Hl A nyugalmi állapotban elengedett testek tömegvonzás okozta mozgása a szabadesés. A szabadesés az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás speciális esete.

1. MECHANIKA

I

21

H] Ha nem lenne légellenállás, a különböző testek a Föld egy adott pontján azonos gyorsulással esnének a Föld felé.

Ma már tudjuk, hogy ez nemcsak a Földön, hanem minden égitesten igaz. A Földön szabadon eső test gyorsulását nehézsé­ gi gyorsulásnak nevezzük, jele: g. Értéke függ a földrajzi helytől és a tengerszint feletti magasságtól. Például Budapesten g = 9.808 m/s^. Feladatok megoldása során gyakran 10 m/s^-re kerekítjük, bár helyesebb lenne a g = 9.8 m/s^. Galilei foglalkozott először helyesen a szabadon eső testek mozgásával, és megállapította, hogy a szabadon eső testek által az egymást követő azonos időtartamok alatt befutott utak úgy aránylanak egymáshoz, mint az egymást követő páratlan szá­ mok. Ez kísérletileg könnyen igazolható egy ejtőzsínór se­ gítségével. 1 ] Az ejtőzsinór egy kb. 2 m hosszú vékony zsineg, amelyre egymástól egyszeres, háromszoros, ötszörös stb. távolságokra apró, nehéz tárgyakat kötöttünk (1.7. ábra). Ha az ejtőzsinórt úgy emeljük föl, hogy az alsó vége érintkezzék a talajjal, majd elengedjük, azt tapasztaljuk, hogy a leeső tárgyak egyenletes ritmusban kopognak, amikor a talajra esnek. Galilei ezen állítása igaz az összes nulla kezdősebességű egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végző testre. A sebesség-idő gra­ fikonnal kapcsolatban említettek alapján Galilei megállapítása egyszerűen ellenőrizhető ( 1.8 . ábra).

v=ot

V77777777777. 1.7. ábra

y \K / / / 1.8. ábra

22

1. MECHANIKA

A nehézségi gyorsulás mérésére különböző niódszereket dol­ goztak ki, amelyek közül az egyik nagyon szellemes módszert röviden ismertetjük. Mivel szabadesésnél nagyon rövid időtar­ tamokat kell mérnünk, ezért minden esetben az időmérés okoz problémát. Ebben a kísérletben egy lengő lécet, mint ingát használunk óraként. Megmérjük az inga lengésidejét, majd az 1.9. ábrának megfelelően összeállítjuk az eszközt. A lengő részre két papírt ragasztunk, közöt­ tük indigóval. A fonalat elégetve a golyó leesik, a lengő rész pedig ne­ kicsapódik, így a golyó nyomot hagy az indigós papíron. A golyó ál­ tal hagyott nyomból tudjuk megha­ tározni az általa megtett utat, míg az inga lengésidejének negyede ad- _________________ ja meg az esési időt, amelyekből g VZ77777777777777777Z^V/ értéke számítható. 1-9- ábra

1.1.5. NEM NULLA KEZDŐSEBESSÉGŰ, EGYENES VONALÚ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS Az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás vizsgálatá­ ra szolgáló kísérletben vegyük fel az út-idő diagramot általános kezdeti feltételek mellett úgy, hogy az órát akkor indítjuk, ami­ kor a test már sq utat megtett és már vq sebességgel mozog. Az út-idő és sebesség-idő diagram felvétele szempontjából ez azt jelenti, hogy a koordinátarendszer origóját illesztjük máshová ( 1 .10 . ábra). A mozgás fizikai lényegét tekintve ugyanaz, mint a nulla kez­ dősebességű, egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás, csak a megfigyelés kezdetének „eltolódása” miatt a vonatkozta­ tási rendszerben a görbék is „eltolódnak”.

1. MECHANIKA

23

1.10. ábra

Ennek megfelelő helyzettel a mindennapi gyakorlatban ak­ kor találkozhatunk, ha a megfigyelés kezdete nem az indulás pillanata, például, ha a gépkocsi előzésbe kezd vagy sportverse­ nyen ún. repülőrajttal indulnak. Ilyen esetekben a v -t diagram nem egyenes arányt, hanem li­ neáris függvénykapcsolatot mutat az 1.10. ábra szerint, ahol az egyenes meredekségének számértéke most is a gyorsulás ér­ tékével egyezik meg. Az ábráról leolvasható a sebesség időfüg­ gése. A megtett utat a sebességgrafikon egyenese és a í tengely ál­ tal bezárt terület adja ( 1.11. ábra):

A megtett utat és a sebességet megadó összefüggések tehát a következők:

24

1. MECHANIKA

a 9 s = Voí + - r ; v = Vo + aí A sebesség és a gyorsulás vektormennyiség. Az egyenes vo­ nalú mozgásoknál irányukat a megfelelő előjelek alkalmazásá­ val vesszük figyelembe az elólíbi egyenletekben.

1.2. A TÖMEGPONT DINAMIKÁJA A fizika által vizsgált kölcsönhatásokban rendszeresen ta­ pasztaljuk, hogy a testeket valamilyen eróTiatás éri. Két elektro­ mosan töltött test vonzza vagy taszítja egymást, a mágnesek esetében ugyancsak megfigyelhetünk vonzó- vagy taszítóerőt. Egy összenyomott rugó mozgásba hozhat egy tárgyat vagy egy mozgó tárgy összenyomhat egy rugót. Számtalan példát sorol­ hatnánk a fizikai jelenségek közül, amikor testek között vala­ milyen eróTiatás lép föl. Valahányszor egy testet eróTiatás ér, megfigyelhető, hogy a test alakja, mozgásállapota, esetleg mind­ kettő megváltozik. Az eróTiatás tulajdonképpen a kölcsönhatá­ sok kísérője, amelynek mértéke az erő. in Azt a fizikai hatást, amely a külcsönhatásban lévő test mozgásállapotát vagy alakját megváltoztatja, erőhatásnak nevezzük.'Az erő az erőhatás mértéke. Az erő jele; F A továbbiakban nem különböztetjük meg az erőt és az erőha­ tást, hanem csak erőről beszélünk. Ahhoz hogy az erőknek és a mozgásoknak a kapcsolatát leírhassuk, valamilyen módon mérnünk kell az erőt. Erre kétfé­ le lehetőség kínálkozik: a) A z erő hatására bekövetkező mozgásállapot-változásból definiálhatjuk az erő mértékét. b) A z erő hatására bekövetkező alakváltozást fölhasználva adhatunk mérési eljárást. Mi a második módszer szerint járunk el. Az erő vektormennyiség, mindkét hatása alapján erre követ­ keztetünk.

1. MECHANIKA

25

1.2.1. ERŐMÉRŐ KÉSZÍTÉSE Erőmérő készítéséhez valamilyen rugalmas anyagot haszná­ lunk, mely az erőhatás megszűnte után visszanyeri eredeti alak­ ját. Tapasztalatból tudjuk, hogy nagyobb erőhatással nagyobb alakváltozás idézhető elő. Ez a két tulajdonsága teszi alkalmas­ sá a rugalmas anyagokat az erő mérésére. Könyvünkben a ru­ gós erőmérő elvét ismertetjük, amelynek skálája lineáris. Ter­ mészetesen készíthető nem lineáris skálájú erőmérő is. [k] Felfüggesztünk egy spirálrugót és az al­ jára azonos méretű azonos anyagból készült testeket akasztunk. A rugó mellé egy skálát helyezünk, hogy mérni tudjuk a megnyúlást (1 .12 . ábra). Azt tapasztaljuk, hogy bármelyik testet akasztjuk föl, a rugó minden esetben ugya­ nannyit nyúlik meg. Az egy test által kifejtett erőt önkényesen erőegységnek választhatjuk. Ha két, három vagy több testet akasztunk föl, a rugó meg­ nyúlása mindig annyiszorosa az egy test által előidézett meg­ nyúlásnak, ahány testet a rugóra akasztottunk. Azt mondhat­ juk, hogy két test kétszer, három test háromszor, n db test nszer akkora erővel húzza a rugót. Itt az erőhatások függetlensé­ gének elvét használjuk ki, amellyel késól^b foglalkozunk részle­ tesen.

I

m Ha két különböző erő a rugót azonos mértékben nyújtja meg, a két erő nagysága megegyezik.

I

[d] Ha egy erő a rugót n-szer akkor mértékben nyújtja meg, mint az egységnyi erő, akkor az erő nagysága az egység n-szerese.

Az előzőek ismeretében már tudunk erőt mérni. Az erő mé­ résének definíciójából következik, hogy a rugót megnyújtó erő és a rugó megnyúlása egyenesen arányos, azaz hányadosuk ál­ landó. Ezen állandó jelölésére mind a k, mind a D betű haszná­

26

1. MECHANIKA

latos, és rugóállandónak vagy direkciós erőnek nevezik. A ru­ góállandó megmutatja, hogy egy adott rugó mennjdre kemény, milyen nehéz megnyújtani vagy összenyomni. E Az F = kx vagy F = D \ összefüggés a rugó erőtörvénye, ahol x a rugó megnyúlása az F erő hatására.

1.2.2. NEWTON I. TÖRVÉNYE [k] Végezzük el a következő gondolatkísérletet! Egy, a jégkorongozásban használt korongot lökjünk meg adott sebességgel, először egy park sétaútján, majd sima aszfaltúton, végül a Balaton tükörsima jegén. Mindenki érzi, hogy a korong leghamarabb a sétaúton fog megállni, míg a Balaton je­ gén jut a legmesszebb. Folj^atva ezt a gondolatmenetet: ha lét­ re tudnánk hozni olyan felületet, amelyen nem lenne súrlódás és légellenállással sem kellene számolnunk, akkor a korong nem állna meg, hanem egyenes vonalú egyenletes mozgást vé­ gezne. Ebből az következik, hogy az erő nem a mozgásállapot fenntartásához, hanem a megváltoztatásához szükséges.

I

[HA testeknek az a tulajdonsága, hogy mozgásállapotuk csak erő hatására változik meg, a testek tehetetlensége. E Newton I. törvénye, a tehetetlenség törvénye: Minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás állapotában mindaddig, amíg valamilyen erőhatás ennek elhagyására nem kényszeríti.

Mivel a bennünket körülvevő világban nincs olyan test, amelyre semmilyen erő nem hat, ezért ezt a törvényt kísérleti­ leg nem lehet igazolni. Ehelyett olyan körülményeket teremthe­ tünk, hogy a testre ható erólc eredője nagy pontossággal nulla legyen. Tapasztalataink szerint ekkor szintén nem változik a tö­ megpont mozgásállapota.

1. MECHANIKA

I

27

[d] A z olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyekben teljesül a tehetetlenség törvénye, inerciarendszereknek nevezzük.

Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer. Például a hirtelen induló vagy a fékező járművekben az az utas, aki nem kapaszkodik, „magára van hagyva”, nagyon könnyen eleshet, azaz a buszhoz mint vonatkoztatási rendszerhez képes változik a mozgásállapota. Az ilyen rendszereket gyorsuló vonatkoztatá­ si rendszereknek nevezzük. Az inerciarendszerek jelentősége az, hogy megadják a Newton-törvények érvényességi körét. A Newton-törvények csak inerciarendszerekben érvényesek. Könnyen belátható, ha egy vonatkoztatási rendszer inerciarendszer, akkor minden más, hozzá képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonat­ koztatási rendszer is inerciarendszer.

1.2.3. NEWTON II. TÖRVÉNYE [k] A z 1.13. ábra szerinti kísérleti összeállításban mérjük a kis­ kocsira ható erőt és a kiskocsi gyorsulását!

1.13. ábra

A mérési eredmények azt mutatják, hogy állandó erő állandó gyorsulást hoz létre. Változtatva az erő nagyságát, a gyorsulás is változik, mégpedig az erő nagyságával egyenesen arányosan. H] Newton II. törvénye: a dinamika alaptörvénye: A tömegpontot a fellépő erő a saját irányába gyorsítja, a lét­ rejövő gyorsulás egyenesen arányos az erővel. F~ a

28

1. MECHANIKA

A testre ható erő és a gyorsulás hányadosát a test tehetetlen tömegének nevezük, jele: m. A tömeg alapmennyiség, önkénye­ sen választott mértékegysége az 1 kg, amely a Párizs melletti Sevre-ben található platina-irídium ötvözetből készült minta­ henger tömege. A mindennapi életben megfigyelt mozgások esetén a testek tehetetlen tömege állandó, de a fénysebességhez közeli sebessé­ gének esetén a tömeg megnövekszik. Newton II. törvényéből kapjuk az erő fizikában használatos mértékegységét:

Az ^z erő mértékegysége a tömeg és a gyorsulás egységének rzata, 1 kg • 1 m/s = 1 N (newton) szorzata I m 1 N az az erő, amely az 1 kg tömegű testet 1 m/s^ gyorsu­ lással mozgatja.

A dinamika alapegyenlete Az erőmérő készítésénél láttuk, hogy az erő deformáló hatá­ sánál az egyes erők egymástól függetlenül hatnak. Hl Elvégezhető a következő kísérlet: gyorsítsunk egy testet különböző erőlckel különböző irányokba (1.14. ábra)!

1.14. ábra

1. MECHANIKA

29

Először az egyes erők külön-külön, majd egyszerre hassanak a testre. Megmérve az egyes erők által létrehozott gyorsuláso­ kat, majd azokat vektoriálisan összegezve azt a gyorsulást kap­ juk, amit akkor mérünk, amikor az erők egyszerre hatnak a testre. A kísérlet alapján mondhatjuk ki a következő törvénye­ ket.

I

[T] A testre ható erők egymástól függetlenül fejtik ki hatásu­ kat. [t]A tömegpontra ható erők eredője egyenlő a test tömegé­ nek és gyorsulásának szorzatával. A gyorsulás az eredő erő irányába mutat. SF = ma Ez a tétel a dinamika alapegyenlete. (A görög szigma: S jel, amit szummának ejtünk, az összegzést jelenti.)

1.2.4. NEWTON III. TÖRVÉNYE E Tegyünk mindkét végén alátámasztott hajlékony lemezre egy vízzel töltött léggömböt! A lemez lehajlik, a léggömb bela­ pul (1.15. ábra).

1.15. ábra

Nagyon sok hasonló kísérletet mutathatunk be annak szem­ léltetésére, hogy a kölcsönhatásban részt vevő mindkét test erő­ vel hat a másikra.

30

1. MECHANIKA

H] Newton III. törvénye, a hatás-ellenhatás törvénye Ha az egyik test erőt fejt ki a másikra, a másik is erőt fejt ki az előzőre, tehát az erők mindig párosával lépnek fel. Ezek az erők egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak. Az erő és az ellenerő mindig más-más testre hat. A törvényből következik, hogy erőhatás létrejöttéhez mindig két test és a közöttük létrejövő kölcsönhatás szükséges. Nem mindig nyilvánvaló azonban a másik test jelenléte, amint ezt kö­ vetkező példánk is mutatja. [p] Adjuk meg a talajon nyugvó ládára ható erőket és azok ellenerejeit! Az 1.16. ábrán N jelöli a nehézségi erőt, míg F a talaj által a ládára kifejtett nyomóerőt. Az F ellenereje az az erő, amivel a láda nyomja a talajt. Mi az ellen­ ereje a nehézségi erőnek? Az N erő a Föld vonzásából származik, tehát ellen­ ereje a Földre hat, ugyanis a test is vonz­ za a Földet. Az erő-ellenerő párokat, te­ hát mindig a kölcsönhatás természete alapján találhatjuk meg. 1.16. ábra

1.2.5. NEVEZETES ERŐHATÁSOK A nehézségi erő A szabadon eső test gyorsulását a testre ható nehézségi erő hozza létre, amely a test és a Föld között föllépő gravitációs erő következménye. Newton II. törvénye szerint a nehézségi erő F„e/t = mg A test tömege állandó, g értéke a földrajzi helytől függően változhat. Budapesten az 1 kg tömegű testre ható nehézségi erő közelítőleg 9,81 N.

1. MECHANIKA

31

A súly és a súlytalanság Ha egy testet felfüggesztünk vagy egy vízszintes felületre he­ lyezünk, akkor az egy függőlegesen ható erőt fejt ki a felfüg­ gesztésre, ill. az alátámasztásra. dl A test súlya az az erő, amellyel a test a hozzá képest nyu­ galomban lévő felfüggesztést húzza vagy a vízszintes alátá­ masztást nyomja. Jele: G Egy test súlya nem állandó. Például a liftben álló ember a lift fölfelé indulása­ kor nehezebb, míg lefelé indulásakor könnyebb. Ha az 1.17. ábrának megfele­ lően berajzoljuk a rá ható erőket és alkal­ mazzuk a dinamika alapegyenletét, a súly nagyságára a következő eredményt kap­ juk: G = m(g H- a) ha fölfelé indul, 1.17. ábra

G = m(g - a) ha lefelé indul.

Látható, hogy ha a test szabadon esik, akkor a súlya nulla. Ez az állapot a súlytalanság.

A kényszererő A kényszererők általános definíciója nagyon bonyolult, meg­ haladja ennek a könyvnek a kereteit, így csak néhány példát vizsgálunk. A felfüggesztett testre a felfüggesztés, az alátámasztott testre az alátámasztás fejt ki erőt. Ezek az erők mindig olyan nagysá­ gúak és irányúak, hogy megakadályozzák a testnek a felfüggesz­

32

1. MECHANIKA

téshez, ill. az alátámasztáshoz képesti elmozdulását. Minden ilyen típusú erőt kényszererőnek nevezünk. Kényszererő pél­ dául a kötélerő, ami mindig kötélirányú, az alátámasztás által kifejtett nyomóerő vagy a tapadási súrlódási erő. A kényszereró"knek van egy maximuma, pl. amit egy kötél szakadás nélkül kibír, és a legtöbb esetben nem lehet akármilyen az irányuk sem, mert pl. az alátámasztás nem tudja húzni a testet.

1.2.6. SÚRLÓDÁSI JELENSÉGEK A csúszási súrlódási erő A csúszási súrlódási erő két egymással érintkező, egymáshoz képest mozgó felület között lép föl. Iránya ellentétes a relatív sebességek irányával, nagysága a felületek simaságától és az őket összenyomó erő nagyságától függ. Nem függ az érintkező felületek és a relatív sebességek nagyságától. Jele: Fg. Nagyságát az ny

összefüggés adja meg, ahol fj. a csúszási súrlódási együttható, a felületek minőségére jellemző állandó. Az összefüggésből látha­ tó, hogy a |Udimenzió nélküli mennyiség.

A tapadási súrlódási erő A tapadási súrlódási erő két egymással érintkező, egjmáshoz képest nyugvó felület között lép föl abban az esetben, ha vala­ milyen erő a felületeket el akaija mozdítani. Iránya párhuza­ mos a felületekkel és ellentétes a felületeket elmozdítani akaró erő irányával, nagysága pedig azzal egyenlő. A tapadási súrló­ dási erő kényszererő. A tapadási súrlódási erő maximuma a fe­ lületek simaságától és a felületeket összenyomó erő nagyságá­ tól függ. Jele F jo , az Fso ~ összefüggés alapján számítható.

1. MECHANIKA

33

Ha az elmozdító erő nagysága meghaladja a tapadási erő ma­ ximumát, a felületek csúszni kezdenek, és ekkor már a csúszási súrlódási erő lép fel. Két feltilet között egys7erre nem léphet fel tapadási és csúszási súrlódási erő.

1.2.7. AZ IMPULZUS B Egy test sebességét a reá ható erólí t idő alatt változtassák vi-ről V2-re. A gyorsulás definíciója és a dinamika alapegyen­ lete miatt igazak a következők: a=

Av V2 - V 1 = — T---At At

. es

^ * = ma

Rendezés után az FAí = my^—rnyi egyelethez jutunk. Az egyenlet bal oldalán a testre ható erők eredőjének és az erőhatás idejének a szorzata áll, ami függet­ len a testtől és a pillanatnyi sebességtől, lévén más testektől származó erőhatás, míg a jobb oldalon az mv szorzat a testhez tartozó mennyiség, amelyre más testek erővel hatottak. [1 Az F Aí szorzatot erőlökésnek, az mv szorzatot impulzus­ nak (lendület) nevezzük. Az impulzus jele I vagy p. Mértékegysége kgm/s. Előző egyenletünket az impulzussal fölírva az

AI F= — At

^

egyenlethez jutunk. E A tömegpontra ható erőlc eredője és az erőhatás idejének szorzata egyenlő a tömegpont impulzusának megváltozásá­ val. Az impulzusváltozás iránya megegyezik az eredő erő irá­ nyával. Rövidebben: a test impulzusváltozása egyenlő az őt érő erőlökéssel. Ez az impulzustétel, ami Newton II. törvé­ nyének egy másik megfogalmazása. Az impulzus fogalmát ő

34

1. MECHANIKA

vezette be, és törvényét is annak segítségével fogalmazta meg: „...Az impulzus megváltozása arányos a mozgatóerővel és amaz egyenes irányában megy végbe, amelynek mentén ez az erő hat...”

1.3. ÖSSZETETT MOZGÁSOK 1.3.1. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES MOZGÁSOK ÖSSZETÉTELE El Egy csónak halad a folyóban a vízhez képest vi sebesség­ gel. A folyónak a parthoz képesti sebessége V2. Hogyan riiozog a csónak a parthoz képest? Az 1.18. ábra mutatja a Aí idő alatt bekövetkező elmozduláso­ kat, Si a csónaknak a vízhez ké­ pesti, S2 a víznek a parthoz ké­ pesti elmozdulása, míg a két elmozdulás s összege a csónak parthoz képesti elmozdulását ad­ 1.18. ábra ja: S = Si + S2 S Si

S2

Az egyenletet Aí-vel osztva a sebességeket kapjuk. Eredményünket a következő tételben foglalhatjuk össze: E Ha ismerjük az A test B testhez képesti sebességét és is­ mert B sebessége a C testhez képest, akkor A sebességét Chez képest két sebesség vektori összege adja. Az egyenletet átrendezve: Vi = V - V2

1. MECHANIKA

35

azt kapjuk, hogy ha ismerjük két test sebességét ugyanahhoz a testhez képest, akkor az egymáshoz viszonjatott sebességük a két sebességvektor különbségeként adódik.

A függőleges hajítás A függőleges hajítás a nem nulla kezdősebességű egyenes vo­ nalú egyenletesen változó mozgások egy speciális esete. így a mozgást leíró összefüggések ugyanazok, mint az 1.1.5. fejezet­ ben bemutatottak. Mutasson vonatkoztatási rendszerünk y ten­ gelye a hajítás egyenesében fölfelé, ha a hajítás fölfelé történik. A mozgást leíró összefüggések; y = yo + v o t - -9t ^2

v = vo-g-t

;

ahol yo az elhajítás magassága, vo a kezdősebesség. A függőleges fölfelé hajítás esetén szokás megadni az emel­ kedés idejét és magasságát, ami: í

h

•

Ha a hajítás lefelé történik, az Ekkor az összefüggések:

y

tengely mutasson lefelé.

g n

?/ = 2/o + i^oí + 2Ín

;

U=

Sebesség és gyorsulás görbe vonalú pályán Tartózkodjon a test a t pillanatban a pálya A pontjában, majd At idővel később a B pontban (1.19.a ábra). Az A pontba muta­ tó helyvektort jelölje ri, a B pontba mutatót t 2 . A test A pont­ beli sebességét úgy kapjuk meg, ha a At idővel tartunk nullához. Ekkor azonban a Ar vektor és ezáltal a Ar/At sebességvektor tart az A pontbeli érintőhöz (1.19.b ábra). Azt mondhatjuk, hogy:

36

I

1. MECHANIKA

H] Görbe vonalú pályán mozgó test sebessége a pálya érintő­ jének irányába mutat.

Jelölje a görbe vonalú pályán mozgó test sebességét az A pontban vi, és A t idővel később a B pontban V2 (1.20.a ábra). Mivel a két sebességvektor nem egyenlő, a Av = V2-V1 nem nul­ la (1 .20 .b ábra), tehát a test gyorsul.

V2 1.20. a ábra

A görbe vonalú pályán mozgó test gyorsulását két komponensre bontva adjuk meg ( 1 .21 . ábra).

1.20.b ábra

1.21. ábra

[H A pályára merőleges komponens a normális, míg a pálya érintőjének irányába mutató komponens a tangenciális gyor­ sulás. A normális gyorsulás a sebesség irányának, a tangenciális komponens pedig a'sebesség nagyságának megváltozását okoz­ za.

1. MECHANIKA

37

A vízszintes hajítás A vízszintesen elhajított test mozgását egy vízszintes, állandó sebességű mozgás és egy szabadesés összegeként íquk le. Ezt azért tehetjük meg, mert a függőleges nehézségi gyorsulás a vízszintes kezdősebesség nagyságát nem változtatja meg, a le­ eső golyónak pedig nincs kezdősebessége. Állításunk a követ­ kező kísérlet elvégzésével bizonyítható. IS Az 1.22. ábrán látható eszköz egyszerre indít egy golyót szabadeséssel, egy másikat pedig valamilyen Vq kezdősebesség­ gel vízszintes irányba.

Gumiszál —Lengő kar, amit meglökünk

i

Lyuk

1.22. ábra

A kísérletet elvégezve azt tapasztaljuk, hogy a két golyó egy­ szerre koppan a talajon. Ha a vízszintesen ellökött golyót kü­ lönböző sebességekkel indítjuk, ugyanúgy, egyszerre koppannak, csak a golyó más-más távolságokra repül. A leíráshoz koordináta-rendszerünket úgy vesszük fel, hogy az origó az elhajítás helye, míg az y tengely függőlegesen lefelé, az X tengely pedig a hajítás irányába mutasson (1.23. ábra). Ekkor a test helyét az

38

1. MECHANIKA

függvények adják meg. A sebesség vízszintes és függőleges komponense: V x = V0 ; Vy = gt A hely-idő függvényekből az időt kiküszöbölve, a hajítás pá­ lyáját kapjuk:

A pályát megadó másodfokú függvény egy parabola egyenle­ te, tehát a vízszintesen elhajított test pályája parabola.

A ferde hajítás A ferde hajításnál ugyanúgy járunk el, mint a vízszintes hajítás leírásánál. A mozgást egy vízszintes, állandó sebességű mozgásra és egy függőleges hajításra bontjuk. Kooidináta-rendszerünk kezdőpontja legyen az elhajítás helye, y tengelye mutasson fölfelé, X tengelye pedig az elhajítás irányába. A test kezdősebességét bontsuk fel vízszintes és függőleges komponensekre (1.24. ábra). Lefelé hajításnál ugyanígy járunk el, csak az összefüggések fölírásánál Vyo előjele negatív. A test helyét ‘ megadó függvények: ^ 24. ábra X = V{)COsa ' t

;

g «

y = t;oSÍna • t —- t Zi

A vízszintes és függőleges sebességek: Vx = Vocosa

Vy — uosina —gt^

A helyet megadó függvényekből az időt kiküszöbölve a pálya egyenletét kapjuk:

1. MECHANIKA

39

Eredményül ismét parabolapályát adó másodfokú függvényt kaptunk. Megjegyzés: a valóságban a légellenállás miatt a pálya ún. ballisztikus görbe, aminek leírása meghaladja e könyv kereteit. A ferdén elhajított test pillanatnjd sebességének nagyságát a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk:

irányát pedig a komponensek alkotta derékszögű háromszög szögei adják meg (1.25. ábra).

A körmozgás Hl Körmozgást végez egy tömegpont akkor, ha a pályája kör. Körmozgás esetén a megtett út a körpályán befutott ív.

ái

A görbe vonalú pályákkal kap­ csolatban már láttuk, hogy a se­ bességvektor minden pillanatban a pálya érintőjébe esik. Ez a kör­ pályán is teljesül. Körmozgás esetén ezt kerületi sebességnek nevezzük. A körmozgás jól jelle­ mezhető a mozgó ponthoz húzott sugár elfordulásának szögével, amelyet radiánban mérünk (1.26. ábra).

40

1. MECHANIKA

Ekkor a befutott ív Aj hosszúsága és az Aa szögelfordulás kö­ zött a következő egyszerű összefüggés érvényes: A i = rA a Az Aí időre vonatkozó átlagos kerületi sebesség a At idő alatt befutott Ai ívhossz és a megtételéhez szükséges idő hányadosa: Ai ^"^At Ha At elegendően kicsiny, akkor v a pillanatnyi kerületi se­ besség. Helyettesítsük a Ai ívhosszat a sugárral és a hozzátartozó kis szögelfordulással; r •Aa Aa = r At At [H A Aoí/At hányados a szögsebesség. Jele: co, dimenziója: l/idő, mértékegysége: l/s. Képlettel kifejezve; Aa Aí amivel a kerületi sebesség nagysága és a szögsebesség kapcso­ latára a V = r ■w összefüggés adódik. Mivel a körpályán mozgó test sebessége változik, ezért biz­ tos, hogy van gyorsulása. [U A körpályán mozgó test gyorsulásának normális kompo­ nense a centripetális (középpontba mutató), tangenciális gyor­ sulása a kerületi gyorsulás.

1. MECHANIKA

41

A kerületi gyorsulás a körmozgást végző test sebességének nagyságát változtatja, így a pillanatnyi sebesség és a kerületi gyorsulás kapcsolatát a v = vo±afc-í összefüggés adja. A negatív előjelet akkor használjuk, ha a se­ besség és az érintő irányú gyorsulás ellentétes irányú. [l] a centripetális gyorsulás meghatározásához tekintsük a ke­ rületi sebesség nagyságát állandónak. Az 1.27.a ábra alapján a vi vektorra merőleges sugár és a \ 2 vektorra merőleges sugár szöge Aa, ezért a vi és V2 vektorok szöge is Aa. A két vektort közös kezdőpontból fölrajzolva, (1.27.b ábra) a V1V2AV háromszög és az rir 2As háromszögek hasonlók. Ezért a megfelelő oldalak arányára igaz a V r

Av As egyenlet. Rendezve; A

^

A

Au = - As r Majd mindkét oldalt Aí-vel osztva, a Av As

V r

As At

összefüggést kapjuk. Mivel Af tart nullához a As/Aí a pillanatnyi sebesség, a Av/Aí pedig a gyorsulás nagyságát adja meg. így a centripetális gyor­ sulás nagysága: V2 acp = — r Iránya a kör középpontja felé mutat.

42

1. MECHANIKA

Az egyenletes körmozgás Hl Egyenletes körmozgásról beszélünk, ha a pálya kör, és a mozgó test által befutott ív arányos a befutáshoz szükséges idővel. A definícióból következik, hogy a kerületi sebesség, a szögse­ besség és a centripetális gyorsulás állandó, a kerületi gyorsulás pedig nulla. így a mozgást leíró összefüggések a következők: a = wt

i — vt

Az egyenletes körmozgás leírásához még két mennyiséget definiálunk;

I I

® A körpálya egyszeri teljes befutásához szükséges időt ke­ ringési időnek nevezzük és T-vel jelöljük. Az egységnyi idő alatt befutott körök száma a fordulatszám, jele: n. [d ]

A két definícióból következik, hogy e két mennyiség egymás reciproka: T =-

n

A szögsebességet a keringési idővel és a fordulatszámmal ki­ fejezve:

1. MECHANIKA

43

27T „ w = — = ZTrn T Mivel az egyenletes körmozgás során a test gyorsulása meg­ egyezik a centripetális gyorsulással, ezért a dinamika alap­ egyenlete szerint az egyenletes körmozgást végző testre ható erők eredője a kör középpontjába mutat, nagysága: SF =

m

—

r Ez az egyenletes körmozgás dinamikai feltétele,

I

[d] Azt az eredő erőt, amely a tömegpontot körpályára kény­ szeríti, centripetális erőnek nevezzük.

1.4. A MUNKA ÉS AZ ENERGIA 1.4.1. A MUNKA FOGALMA Hétköznapi értelemben munka, ha egész nap egy számítógép előtt íilve dolgozunk, ha egy nehéz szatyrot hazacipelünk a kö­ zértből, vagy amikor építkezés során már negyedszer rakjuk ar­ rébb a téglákat.

I

® A fizikában egy erő munkája az erő és az erő irányában történő elmozdulás szorzata.

E definíció szerint munkát végzünk, amikor fölemelünk egy testet, ha megnyújtunk egy rugót vagy amikor felgyorsítunk egy testet, de nem végzünk munkát, ha egy testet a kezünkben tar­ tunk. Munkavégzésünk nagysága attól függ, hogy mekkora erővel és milyen hosszú úton mozgatunk egy testet. Abban az esetben, ha az erő és a test elmozdulása egyirányú, a munkán az F erő és az s elmozdulás szorzatát értjük. W = Fs

44

1. MECHANIKA

ahol W a munka jele. Fontos megjegyezni, hogy ez a meghatáro­ zás - tulajdonképpen megállapodás - önkényes, de indokolt, mert célszerű. Természetesnek érezzük, hogy több munkát vég­ zünk, ha nehezebb tárgyat emelünk fel ugyanolyan magasra, il­ letve, ha ugyanazt a testet magasabbra visszük. B Ha vízszintes úton hazaviszünk egy teli bevá­ sárlószatyrot, hétköznapi értelemben munkát végez­ tünk, azonban a szó fizikai értelmében nem történt munkavégzés. Ez a művelet ugyanolyan erőkifejtést igényel, mintha a terhet egy helyben tartanánk (1.28. ábra).

á

. ^

mg

Mivel a test függőlegesen nem mozog, ezért az F = mg erő irányában nincs elmozdulás, tehát a függőleges F erő nem végez munkát, ha a test csak vízszintesen mozog. Mégis úgy érezzük, hogy dolgoztunk, izmaink munkát végeztek. A bioló­ giai munkavégzés magyarázata az, hogy miközben a terhet tart­ juk, izomkötegeink egymást váltva összehúzódnak és elemyednek. Az erő és az elmozdulás egyirányú, tehát van munka­ végzés. Ezért fáradunk el akkor is, ha az általunk kifejtett F erőnek fizikai értelemben nincs munkavégzése. Általánosítva kimondhatjuk, hogy az elmozdulásra merőle­ ges erő nem végez munkát. A munka mértékegysége a definíció alapján az erő és elmoz­ dulás ességének szorzata, 1 N • 1 m = 1 kg • m/s^ • 1 m = 1 kg • m^s^ = 1 joule (ejtsd; zsul), jele: J.

A munka definíciójának általánosítása Abban az esetben, ha az erő és az elmozdulás nem egyirányú, az erőt felbontjuk elmozdulás irányú és arra merőleges összete­ vőkre (1.29. ábra). A merőleges komponens munkája nulla, míg az elmozdulás irányú |Fi| = |F| cosa komponens munkája W = |F|cosa|s|

1. MECHANIKA

45

ahol a az erő- és az elmozdulásvektorok által bezárt szög. Mivel az erő és az elmozdulás is vektor, kifejezésünk nem más, mint a két vektor skaláris szorzata. M ^=|F||s| Ha a munkavégzés során az erő nem állandó, akkor a test mozgását olyan elemi s elmozdulásokra bontjuk, hogy azon az erőt már állandónak tekinthessük, és ezen elemi elmozduláso­ kon végzett munkák összegeként számítjuk a munkát. Eddig egy erő munkájával foglalkoztunk, a későbbiekben lát­ ni fogjuk, hogy több erő esetén különösen fontos az eredő erő munkájának kiszámítása. B H a egy tömegpontra több erő hat, akkor az eredő erő munkája egyenlő az egyes erők munkáinak algebrai összegé­ vel. Ugyanis Fe = Fi +F2 + . . . + F „ As elmozdulás esetén a munka W = FeAs = FiAs + FaAs + ... + FnAs Ha ismerjük az erő-elmozdulás függvényt (természetesen itt az erőn az elmozdulás irányú erólcomponenst értjük), akkor a függvénygörbe és az elmozdulástengely által határolt terület a munka mérőszámát adj a (1.30 ábra). Ebben az esetben az elmozdulástengelyen csak az elemi el­ mozdulások nagysága szerepelhet, algebrai összegük a megtett utat adja.

46

1. MECHANIKA

1.4.2. SPECIÁLIS MUNKAVÉGZÉSEK Az emelési munka Számítsuk ki, mennyi munkával lehet egy m tömegű testet lassan, egyenletesen h magasságba vinni (1.31. ábra)! Az egyenletes emelés azt jelenti, hogy a test gyorsulása nulla. Ebből viszont követke­ zik, hogy a testre ható erők eredője is nulla, azaz: F - mg.

mgl '/ / / / / / / 7 / / / / / / / 7 Z

így az F erő munkája már kiszámítható:

1.31. ábra

Wp = Fh — mgh Érdemes megvizsgálni a nehézségi erő munkáját is. Az mg erő iránya ellentétes az elmozdulással, így a = 180°, azaz cosa = -1 . Tehát: W^g = - mgh Ha a testet lefelé engedjük, ez előjelek felcserélésétől elte­ kintve ugyanerre az eredményre jutunk: Wp = —mgh ; Wmg = mgh

1. MECHANIKA

47

A súrlódási munka Vízszintes talajon gyakran mozognak a testek állandó erő ha­ tására állandó sebességgel. Ilyenkor a húzóerő a súrlódási erő ellenében végez munkát (1.32. ábra).

TTT^T^.TTTTTTTTTTTTTTTTTTZ^^/T/. y //////////////////////// S mg" 1.32. ábra

Állandó sebesség esetén a testre ható erők eredője nulla: mg = F„y és F — Fs — fimg így az F húzóerő munkája a következő alakban írható: Wp — Fs = fímgs A súrlódási erő munkája: W f, — — límgs Ha a pálya nem egyenes, a munka számításához a megtett utat kell használni, mivel a súrlódási erő ellentétes a pillanatnyi sebességgel, azaz az erő iránjm elmozdulás megegyezik a meg­ tett úttal.

A gyorsítási munka A testek gyorsításához a dinamika alaptörvénye szerint nullá­ tól különböző eredő erő szükséges. Állandó F erő hatására a test egyenletes gyorsulással mozog. Számítsuk ki, mennyi a test­ re ható erólc eredőjének munkája, amikor vízszintes talajon, egyenes úton, álló helyzetből v sebességre gyorsul a test (1.33. ábra). A dinamika alaptörvénye szerint: F = ma, további kinetikai összefüggésekből a gyorsítási munka:

1. MECHANIKA

48

h -í

M

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / A f// 5 /779' ^ 133. ábra

W f, = FeS ^ m a ^ t l =

= ^m vl

A kapott eredmény érdekessége, hogy a munkavégzés kizá­ rólag a test adataitól - tömegétől, sebességétől - függ, sem a hú­ zóerő sem az út nem szerepel a végső összefüggésben. Az kifejezés a test mozgási energiája (lásd bővebben a következő fejezetben). Érdemes még arra is figyelni, hogy a talaj által a testre kifej­ tett nyomóerő munkája nulla. Ezt a nyomóerőt kényszererőnek nevezzük. Általánosan érvényes, hogy az elmozdulásra merőle­ ges kényszererők nem végeznek a testen munkát.

A rugó megnyújtása során végzett munka A munka kiszámításához a rugó erőtörvényét és az erő-el­ mozdulás függvény grafikonjáról a fejezet első pontjában említetteket használjuk. Nyújtatlan helyzetből kiindulva, növel­ jük meg egy D rugóállandójú rugó hosszát x-szel! Ábrázoljuk a megnyújtóerőt a megnyúlás függvényében (1.34. ábra)!

1. MECHANIKA

49

Az ábra jelöléseit felhasználva a végzett munka: 1^9

D xx

1.4.3. ATEUESfTMÉNY A munkavégzés szempontjából fontos, hogy az mennyi idő alatt megy végbe. A munkavégzés gyorsaságát a teljesítmény méri. Jele: P [ d ] Valamely erő munkájának átlagos teljesítménye az erő munkájának és a munkavégzés idejének hányadosa.

Mértékegysége a munka és az idő mértékegységének hánya­ dosa, 1 J/l s = 1 watt, jele: W. Mivel a munkavégzés gyorsasága nem feltétlenül állandó, ezért definiálnunk kell a pillanatnyi teljesítményt is. [U A pillanatnyi teljesítmény az adott időpont környezetében nagyon rövid Aí időre számított átlagteljesítmény: „

AW

Aí |t] Számítsuk ki a pillanatnyi teljesítményt változó sebességű mozgás során! A test Aí idő alatti elmozdulása a gyorsítás során As. Az őt gyorsító F erő munkája ez alatt W" = FAs így a teljesítmény ,As Pá = F Aí

50

1. MECHANIKA

A pillanatnjd sebesség definíciójából ^

% így a

P=|F|M összefüggéshez jutunk. Azt mondhatjuk, hogy egy erő pillanat­ nyi teljesítménye az erő és a pillanatnyi sebesség skaláris szor­ zata.

1.4.4. AZ ENERGIA A megnyújtott vagy összenyomott rugó munkát végezhet, gyorsítva egy testet. A mozgó test viszont összenyomhat egy ru­ gót. A testek, ha megfelelő állapotba hozzuk ólcet, munkavég­ zésre képesek, azt mondjuk, hogy energiával rendelkeznek. Számtalan energiaformát ismerünk; az energia az egyik legálta­ lánosabb fizikai fogalom. Hl Az energia mint munkavégző képesség definiálható, az energia eltárolt munka, amely megfelelő körülmények mel­ lett ismét szabaddá válik. A munka és az energia nagyon szoros kapcsolatban lévő fo­ galmak, mégis lényegesen különböznek egymástól. Az energia a test egy adott állapotát jellemzi, míg a munka két állapot közti folyamatot ír le.

A mozgási energia Az állandó F erő gyorsítsa az m tömegű testet s úton! Az egy­ szerűség kedvéért az erő legyen mindig elmozdulás irányú! Ezalatt a test sebessége vi-ről V2-re változik. Vizsgáljuk az ere­ dő erő munkáját s úton. Az F = ma egyenletet és az ismert kine­ matikai összefüggéseket fölhasználva T iA= rn s = más = m — v \----- v \- = -mv% 1 ^ —-m l u í2 W 2s 2 ^ 2 ^ A végeredmény csak a test mozgásállapotától függő mennyi­ ségeket tartalmaz, tehát munkavégzésünk a test mozgásállapo­ tára jellemző mennyiség megváltozásával egyenlő.

1. MECHANIKA

61

mennyiség a test mozgási energiája. Mértékegysége: J. A mozgási energia a sebességet négyzetesen tartalmazza, ezért a sebesség irányától, előjelétől független, értéke nem le­ het negatív. Megjegyezzük, hogy egymáshoz képest mozgó vo­ natkoztatási rendszerekben a sebesség nagysága, így tehát a mozgási energia is különböző lehet. A mozgási energia fogalmának ismeretében előző eredmé­ nyünk a következőképpen foglalható össze; H] A testre ható erők eredőjének munkája egyenlő a test moz­ gási energiájának megváltozásával. Ez a tömegpontra vonatkozó munkatétel, amely röviden így is írható: = AEm

Megjegyzés: bár felhasználtuk, hogy a mozgás egyenletesen változó, belátható, hogy a munkatétel más mozgásoknál is érvé­ nyes.

A helyzeti energia A súrlódási erő munkája függ attól, hogy milyen úton mozog a test. A nehézségi erő munkája viszont független az útvonaltól, csak a test függőleges elmozdulásának nagyságától függ. [d] A z olyan erőket, amelyek munkája független az útvonal­ tól, konzervatív erőknek nevezzük. Ilyenek pl. a gravitációs erő, az elektrosztatikus erő vagy a ru­ góerő.

I

H a konzervatív erőtérben egy tömegpontot az A-hó\ a B pontba viszünk, munkavégzésünk csak a pontok elhelyezkedé­ sétől függ. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a test egy adott

52

1. MECHANIKA

állapotát jellemezzük azzal a munkával, amit akkor végzünk, ha a testet egy önkényesen megválasztott pontból (referenciapont) a tér egy tetszőleges pontjába visszük. [U A konzervatív erőtér egy pontjában a test potenciális (helyzeti) energiája egyenlő azzal a munkával, amivel a testet a referenciapontból az adott pontba juttattuk. Az m tömegű testet a talajról emeljük föl h magasságba (1.35. ábra)! Ha referenciapontnak a talajszintet vá­ lasztjuk, munkavégzésünk W = mgh, ami a test helyzeti energiájával egyenlő. Vízszintes elmozdulás esetén a munka­ végzés nulla, hiszen az F erő és az elmozdu­ lás egymásra merőlegesek. 'Rugó esetén a rugó megnyújtatlan állapo­ ta a referenciapont, így a rugó energiája x megnyúlás esetén Er

=

777^7^77777777?. 1-35. ábra

^Dx^

amit rugalmas energiának nevezünk. A konzervatív erőtérben mozgó testnek tehát van potenciális és mozgási energiája. Ha csak konzervatív erők hatnak rá, ak­ kor mozgása során, ha csökken a potenciáhs energiája, növek­ szik a mozgási energia, vagyis a potenciális és a mozgási ener­ giák megváltozásainak összege nulla: AEmozg + AEpot = 0 Ez a mechanikai energia megmaradásának tétele. U] Ha egy testre csak konzervatív erők hatnak, a test helyzeti és mozgási energiájának összege állandó.

1. MECHANIKA

53

1.4.5. A HATÁSFOK A valóságos jelenségeknél a végzett munka ill a teljesítmény egy része veszteségként jelentkezik, pl. a súrlódás és a közegel­ lenállás miatt. Egy ilyen folyamat - pl. egy test fölgyorsítása adott sebességre - hatékonysága a munkavégzés hatásfokával jellemezhető. [H A munkavégzés hatásfoka a hasznos és az összes befekte­ tett munka hányadosa Wh o

A hatásfok jele: r|. A definícióból látható, hogy dimenzió nélküU mennyiség; nulla és egy közé eső szám, amelynek 100-szorosa százalékban adja meg a hatásfok értékét.

1.5. A PONTRENDSZEREK MOZGÁSÁNAK LEÍRÁSA 1.5.1. A PONTRENDSZER A fizikán belül gyakran találkozunk olyan problémákkal, ahol egymással valamilyen kölcsönhatásban lévő tömegpontok mozgását kell leírnunk. Ilyen pl. két ütköző golyó, a Föld és a körülötte keringő Hold vagy az egész Naprendszer mozgásának leírása.

I

[d] A z egymással kölcsönhatásban lévő tömegpontokból álló rendszer a pontrendszer.

A pontrendszer mozgásának,leírásához vizsgáljuk meg a kö­ vetkező egyszerű elrendezést. E Vízszintes asztalon két játékautó áll, amelyeket hozzájuk képest elhanyagolható tömegű és nyújthatatlan fonál köt össze.

54

1. MECHANIKA

1^2 I-------------- 1

I--------

y ///y /^ ///////////^ //^ //////////A 1.36. ábra

Az 1.36. ábrának megfelelően az első autót a vízszintes F erővel húzzuk. Mekkora az autók gyorsulása? A megoldást az egyes autókra ható erők berajzolásával kezd­ jük, majd külön-külön alkalmazzuk ezekre a dinamika alaptör­ vényét. Csak a vízszintes irányú erőkkel foglalkozunk, mert nem lévén függőleges irányú gyorsulás, az egyes testekre ható függőleges erők összege nulla (1.37. ábra). F \ rn2 I------------ *--- 1 "’i I------- *■ ’T T^^^^TTTTTTTTPTTZt^T^TTTTTTTTTT/ Fs2 '^Sl 1.37. ábra

A következő mozgásegyenletek írhatók fel: F —K —Fsi = mi a i ; K - F s2 — m2a2

ahol 3 i az mi tömegű test, míg 82 az m 2 tömegű test gyorsulása. Megjegyezzük, hogy az 1.37. ábra jelölésében már felhasználtuk azt a tényt, hogy szabad, elhanyagolható tömegű fonalakban a feszítőerő állandó, így mindkét testre ugyanakkora K kötélerő hat. Mivel a fonalakat nyújthatatlannak tekintjük, ezért az autók együtt mozognak, azaz gyorsulásaik egyenlők: dl = Ci2 — CL Tehát a következő egyenletrendszerhez jutottunk: F -

K

-

Fsi — m i a i ;

K - Fs2= m2a2 ; ai = tt2 = a

1. MECHANIKA

55

Ez a két test mozgásegyenlet-rendszere. Az első az mi, a má­ sodik az ni2 , tömegű test mozgásegyenlete, míg a harmadik egyenlet a kényszerfeltétel matematikai megfogalmazása. Az egyenletrendszert megoldva az a = ---------------m i -I- m 2

eredményt kapjuk a gyorsulásra.

1.5.2. A PONTRENDSZER IMPULZUSA, AZ IMPULZUSMEGMARADÁS TÉTELE A pontrendszer tagjaira ható erőket két csoportba osztjuk. Vannak olyan erők, mint pl. az F húzóerő (1.37. ábra), amelyek a pontrendszerhez nem tartozó testekkel létrejött kölcsönhatá­ sokból származnak, míg az összekötő kötelek által a testekre ki­ fejtett eróTcet a rendszerhez tartozó testek kölcsönhatása ered­ ményezi.

I

n Azok az erők, amelyeket a pontrendszerhez nem tartozó testek fejtenek ki a rendszer tagjaira, a külső erők.

I [H A pontrendszer tagjai között fellépő erők a belső erők. A belső erők hatásának vizsgálatára tekintsük a következő példát! B Két korcsolyázó egymással szemben áll a jégen (a súrlódás elhanyagolható), és egy kötél végét fogják (1.38. ábra). Egyikük hirtelen - Aí ideig - megrántja a kötelet F erővel. Hogyan vál­ toztatja meg a korcsolyázók mozgásállapotát ez a rövid ideig tartó erőhatás? A hatás-ellenhatás törvénye alapján mindkét korcsonyázóra ugyanakkora erő hat, csak ellentétes irányban. Ennek alapján a mozgásegyenletük:

56

1. MECHANIKA

F = m\2í\ —

m2Sí2

Szorozzuk meg az egyenletek mindkét oldalát az erőhatás időtartamával! FAí = m iaiA í —FAí = m2^2^t A bal oldalon kapott FAí mennyiséggel az erőlökést, a jobb oldalon az aAí = Av összefüggés n^iatt a korcsonyázók lendüle­ tének megváltozását kapjuk. A két egyenletet összeadva, a kö­ vetkező eredménj^ kapjuk: 0 = miAvi + m2Av2 Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy a két korcsolyázóból és a köztük kölcsönhatást létesítő kötélből álló rendszer összes len­ dülete (impulzusa) nem változott meg az egymásra gyakorolt belső erők hatására. Eredményünket egy általános érvényű tételben foglalhatjuk össze:

I I

li] A pontrendszer összimpulziisát a belső erőit nem változtat­ ják meg. Az olyan pontrendszert, amelyben csak belső erők hatnak, zárt pontrendszernek nevezzük. [D]

1. MECHANIKA

57

Ezzel előző tételünk úgy is megfogalmazható, hogy: H] Zárt pontrendszer összlendülete állandó. Ez a tétel lendületmegmaradás vagy impulzusmegmaradás tétel néven is­ mert. Vizsgáljuk most meg a külső erólc hatását a lendületváltozá­ sokra, az előző pontban vizsgált probléma esetén! Használjuk a két test mozgásegyenletét: F —K —Fsi — miül K

—

Fs2 = Tn20,2

Szorozzuk meg mindkét egyenletet At-vel, majd adjuk össze ólcet! Ekkor az {F -

Fsi -

F s 2 )A t = m iA v i + m 2 ^ V 2

egyenletet kapjuk. Látható, hogy a belső erők nem szerepelnek az egyenletben. A bal oldalon a külső erólc erőlökéseinek össze­ ge (ami megegyezik a külső erők eredőjének erőlökésével), a jobb oldalon pedig a pontrendszer összlendületének megválto­ zása áll. Röviden így írhatjuk egyenletünket: SFkAí = SAI Ez a pontrendszerre vonatkozó lendülettétel, ami a követke­ zőképpen fogalmazható meg: B A pontrendszer összlendületének megváltozása egyenlő a rendszer tagjaira ható külső erők erőlökéseinek összegével. Ha ez az összeg nulla, akkor a pontrendszer összlendülete ál­ landó. A lendülettételben azért nem szerepelnek a belső erők, mert 'Newton III. törvénye szerint egy belső erő ellenerőpáija annak (-l)-szerese, így a lendületváltozás számításakor az erőösszeg­ zésben ezek rendre kiejtik egymást.

58

1. MECHANIKA

1.5.3. A PONTRENDSZER TÖMEGKÖZÉPPONTJA lE Két korcsolyázó áll egjmással szemben súrlódásmentes jé­ gen, tömegük mi és m 2- Az egyik rövid ideig tartó F erővel meglöki a másikat. írjuk le a korcsolyázók mozgását (1.39. áb­ ra)!

x=0 -^1,0 ^2,0 1.39. ábra

Az ellökés után a korcsolyázókra ható erők eredője nulla, ezért egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. Legyen a mozgás egyenese az x tengely, a korcsolyázók helye az ellökés előtt x\Q, illetve X2 o- Határozzuk meg a helyüket az ellökés után t idővel! Az ellökés előtt a korcsolyázók álltak, ezért összimpulzusuk nulla volt. Mivel csak belső erólc hatottak (a rendszer zártnak tekinthető, mert a külső függőleges irányú erők eredője mindvégig nulla), ezért az ellökés után az impulzusmegmaradás törvénye miatt; miVi -t- m2V2 = 0 ; ahol Vi az mi, V2 az tömegű korcsolyázó sebessége. Szorozzuk meg ezt az egyenletet í-vel és használjuk fel, hogy vií = Xi-jci,o az mi tömegű, V2 Í = X2 ~X2 fl az ni2 tömegű korcsolyá­ zó elmozdulása az ellökés után í-vel (1.40. ábra). A műveleteket elvégezve egyenletünk új alakja: mi(xi - xifi) + ni2{x2 - X2,o) = 0 amit így rendezhetünk át:

1. m e c h a n ik a

O

o o

59

o

^1,0 ^2,0 1.40. ábra

m\Xi + m2X2 = miXifi + 7712X2,0 Arra az eredményre jutottunk, hogy zárt rendszer esetén a tö­ megek és a helykoordináták szorzata állandó mennyiség. Érde­ mes az egyenlet mindkét oldalát a teljes tömeggel (mi + m-^ el­ osztani, mert így matematikailag a helykoordináták tömegekkel súlyozott átlagához jutimk, amit tömegközéppontként szokás de­ finiálni. [d ] Az (miXi + m 2 X2 )l(mi + ni2 ) mennyiség által meghatáro­ zott pont tömegközéppont. Eredménytink azt mutatja, hogy a tömegközéppont mozgás­ állapota az eUökés után sem változott meg. Megállapításunkat egy általános érvényű tételben foglaljuk össze:

I

H] Belső erők egy pontrendszer tömegközéppontjának moz­ gásállapotát nem változtatják meg. Ez a tétel az impulzusmegmaradás törvényének következmé­ nye.

I

Megjegyzés: Két tömegpont tömegközéppontja a pontokat összekötő szakaszt a tömegekkel fordított arányban osztja, azaz m ih = 7712/2 Ezt az összefüggést úgy láthatjuk be egyszerűen, ha a koordi­ náta-rendszerünk origóját a tömegközéppontba helyezzük, vagyis az ún. tömegközépponti koordináta-rendszert használjuk. Ha több térbeli eloszlású tömegpont adott, a tömegközép­ pont helye a következő

60

1. MECHANIKA

Hruiri r = —---Hrrii összefüggés alapján számítható, ahol F| az i-edik tömegponthoz a vonatkoztatási rendszer origójából húzott helyvektor. Mivel egy vektoregyenlet a koordináták szerint skaláregyenletre bont­ ható, így azonnal látható, hogy az előző definíció az utóbbi álta­ lános tömegközéppont-meghatározásnak speciális esete.

1.5.4. ÜTKÖZÉSEK Az ütközések során két test között általában nagyon rövid ideig tartó, nagy deformációval, így nagy eróTiatással járó köl­ csönhatás lép fel. Ennek következtében az ütköző testek zárt rendszerként kezelhetők. Könyvünkben csak olyan esetekkel foglalkozunk, amelyek során az ütköző testek sebességei az üt­ közés előtt és után ugyanabba az egyenesbe esnek, vagyis kizá­ rólag egyenes ütközéseket tárgyalunk.

A tökéletesen rugalmatlan ütközés

I

[d] Tökéletesen rugalmatlan két test ütközése akkor, ha az üt­ közés után közös sebességgel haladnak tovább.

Az mi tömegű vi sebességű test tökéletesen rugalmatlanul üt­ közik az m 2 tömegű V2 sebességű testtel. Az ütközés utáni se­ bességüket jelölje c! Mivel az ütközés során a két test zárt pontrendszernek tekinthető, ezért alkalmazhatjuk az impulzus megmaradásának tételét. Az ütközés előtti és az ütközés utáni lendületek összege egyenlő. m ivi + m2V2 = (mi + 1 7 1 2 )0 Ebből az egyenletből az ütközés utáni sebesség: m ivi + ni2V2 mi +1712

c = ----------------------

1. MECHANIKA

61

Észrevehetjük, hogy a közös sebesség formulája nagyon hasonh't a tömegközéppontot definiáló egyenletre. Ez nem vé­ letlen, hiszen a vi =

AaJi

,

es

V2 =

A x2

egyenletek

felhasználásával formálisan is beláthatjuk, hogy c éppen a tö­ megközéppont sebessége, ami az ütközés után nyilvánvaló, mert a testek együtt mozognak. Ennek alapján kimondhatjuk a következő tételt:

I

d] A belső erők a tömegközéppont sebességét nem változtat­ ják meg.

Tökéletesen rugalmatlan ütközésnél a rendszer összes mozgá­ si energiája csökken. B Például két egyenlő tömegű, ellentétes irányú sebességgel mozgó kiskocsi az ütközés után állni fog. A kezdeti összes moz­ gási energia nem nulla, míg a végén nulla. Tehát a mozgási energia nem maradt meg. A hiányzó energia más energia for­ májában található meg (deformáció, hő stb.^,

A tökéletesen rugalmas ütközés [U Az olyan ütközés, amikor az ütközésben részt vevő testek együttes mozgási energiája az ütközés előtt és után megegye­ zik, a tökéletesen rugalmas ütközés. Ellentétben a rugalmatlan ütközéssel, kiterjedt testek esetén a valóságban ilyen nem fordul'elő, de az ütközések néhány eset­ ben jó közelítéssel tökéletesen rugalmasnak tekinthetők. Atomi méretekben azonban gyakran tökéletesen rugalmas ütközések játszódnak le. Két tömegpont rugalmas ütközésekor is csak belső eróTc lép­ nek fel, ezért a lendületmegmaradás törvénye most is használ­ ható: m i v i 4- m 2 V 2 = m i U i + m 2 U 2

62

1. MECHANIKA

ahol vi és V2 az ütközés előtti, ui és U2 pedig az ütközés utáni se­ bességek, továbbá mi és rri2 a két test tömege. Ebben az esetben a sebesség vektoijellegét csak előjele hor­ dozza, amit az adatok behelyettesítésénél veszünk figyelembe. A mozgási energiák összegének megmaradására vonatkozó egyenlet; +^rri2ul

^m ivf +^7712^2 Az egyenletrendszert megoldva, az 2m2V2 + (m i - m2)vi

ui = ---------------------------; m i +7712

2miVi + {rri2 - rrii)v2

U2 = --------------------------mi + rri2

eredményt kapjuk az ütközés utáni sebességekre.

Az ütközés lefolyása A legtöbb mechanikai ütközés sem nem tökéletesen rugal­ mas, sem nem tökéletesen rugalmatlan, vagyis részben rugal­ mas, illetve rugalmatlan. Ilyenkor a következő módszer alkal­ mazható. Az ütközést két szakaszra bontjuk: az első szakaszban a tes­ tek egészen addig hatnak egymásra, míg azonos sebességgel nem mozognak, majd a második szakaszban a testek szétlökik egymást. Ez a szakasz általában a testek érintkezésének meg­ szűnéséig tart, de pl. ha az ütközést egymást taszító mágnesek közvetítik, lehetséges, hogy a testek mechanikailag nem is érint­ keznek. Az első szakaszban a két test A ll

r n i { c - Vi);

A I 2 = m 2 (c - V2)

impulzusváltozást szenved, ahol c most is a tömegközéppont se­ bességét jelenti. Mivel a két test az ütközés során zárt rendszer­ nek tekinthető, ezért All = - A I 2 A második szakaszban

1. MECHANIKA

A ll = ?Tii(ui - c);

63

AI2 == m2(u2 - c)

ahol ui, U2 az ütközés utáni sebességek. Az impulzusmegma­ radás alapján AI'i - - A I '; tehát a lendületváltozások abszolút értéke a szétlökődés köz­ ben is megegyezik. A tapasztalat szerint: lAI'il < lAIil amiből:

lAIil

IAI2I

A k szám az ütközési szám. k = 0 esetén a tökéletesen rugalmatlan ütközés eredményét kapjuk. Ez azért van így, mert a közös sebesség elérése után a testek együtt mozognak, tehát hiányzik az ütközés második sza­ kasza, mert az ütközés az első szakasszal befejeződött. A i; r. AI^ = 0 A tökéletesen rugalmas ütközés esetén k - \ AIi = Ai;

és Al 2 = AI^,

vagyis a közös sebesség elérése és a szétlökődés azonos módon játszódik le. A valóságban lejátszódó, nem tökéletesen rugalmatlan ütkö­ zéseknél 0 < A: < 1.

1.5.5. MUNKATÉTEL A PONTRENDSZERRE Az előző részekben tárgyalt összefüggések felhasználásával határozzuk meg a pontrendszer teljes mozgási energiájának megváltozását, az egyes testekre ható erők munkája alapján! A tömegpont dinamikai leírásakor megállapítottuk, hogy a tömeg­

64

1. MECHANIKA

pont mozgási energiájának változását a külső erők munkája ad­ ja meg. Tekintsíink először egy olyan egyszerű rendszert, amelyben csak belső erők hatnak! Ilyen példával találkoztunk, amikor a korcsolyázók szétlökték egymást. Nyilvánvaló, hogy a korcso­ lyázók így energiára tettek szert. Megállapíthatjuk tehát, hogy a mozgási energia megváltozása szempontjából a külső és a belső erők szerepe nem különül el úgy, mint a pontrendszer lendüle­ tének megváltozásakor. A pontrendszer teljes mozgásienergia változását a fellépő külső és belső erők munkájának összege ad­ ja meg: Wk + Wb = AEössz-m I H] Ez az összefüggés a pontrendszerre vonatkozó munkatétel.

1.6. A TÖMEGVONZÁS 1.6.1. KEPLER TÖRVÉNYEI A bolygók Nap körüli mozgásának törvényeit először Kepler fogalmazta meg. Ezek a törvények, valamint az egyre ponto­ sabb mérések tették lehetővé Newton számára az általános tö­ megvonzás felismerését és leírását. E Kepler I. törvénye A bolygók ellipszispályákon mozognak a Nap körül; az ellip­ szisek egyik gyújtópontja (fókusza) közös térbeh pont, ebben található a Nap (1.41. ábra).

1. MECHANIKA

65

[T] Kepler n . törvénye A Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol (1.42. ábra). H] Kepler ü l. törvénye A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egy­ máshoz, mint a bolygópályák fél nagytengelyeinek köbei. Két bolygóra: : T | = a? : a:

ahol Ti és T2 a két keringési idő, a\ és ü2 a két fél nagyten­ gely. Vizsgáljuk meg közelebbről a három törvény jelentését! Az ellipszissel kapcsolatos elnevezések az 1.43. ábra szerint: - nagytengely (2a), felének jele: a - kistengely i2b), felének jele; b - excentricitás (az ellipszis középpontjának és egjdk fókusz­ pontjának távolsága), jele: c.

Az ellipszis lapultsága a c/a kifejezéssel jellemezhető, ez nu­ merikus excentricitás, jele e, értéke nulla és egy közé esik. Ha s < < 1, akkor az ellipszis megközelíti a kört. A legtöbb bolygónál e<0.1. A Föld esetén értéke 0.017, a Marsnál 0.093, a Vénusznál 0.007. Érdekes tény, hogy a Vénusz pályája annyira megközelíti a kört, hogy a két fókusz távolsága csak alig valamivel nagyobb, mint a Nap átmérője. A II. tör­ vény következménye, hogy a bolygók napközeiben gyorsabban mozognak, mint naptávolban.

1. MECHANIKA

A III. törvény szemléletesen annyit jelent, hogy a Naptól tá­ volabbi bolygók keringési ideje hosszabb. Kepler I. törvényéből az is következik, hogy a bolygók mind­ egyike síkmozgást végez, ez a sík az egyes bolygók esetében ahg tér el egymástól, tehát mindegyik közelítőleg egybeesik a Föld keringési síkjával, amit ekliptikának nevezünk. A bolygók mind ugyanolyan körüljárás szerint keringenek a Nap körül. Ezek a tények a Naprendszer kialakulásának alapján magyaráz­ hatók.

1.6.2. A BOLYGÓMOZGÁS DINAMIKAI LEÍRÁSA A bolygók mozgásának dinamikai leírását elsőként Newton oldotta meg. Tekintsük át az általa követett gondolatmenetet egyszerűsített formában! Newton feltételezte, hogy a Nap és a bolygók között vonzó­ erő működik, amely a bolygót és a Napot összekötő egyenesbe esik. Láttuk, hogy a legtöbb bolygó pályája csak kevéssé tér el a körtől. Ebből kiindulva a mozgásokat körmozgásoknak tekint­ jük. (Ellipszispályára számolva a végeredmény ugyanaz lenne, csak sokkal bolyolultabb számítás után.) Körpálya psetén a centripetális gyorsulás acp = ru

2

Hasonlítsuk össze a két bolygó lását: ai «2

4r2n^ és az centripetális gyorsu­

4riII^ 4r2ll^ n • T|

Kepler III. törvénye szerint: rp2 . rp2 _

3 . 3

-^l ■^2 - ^ 1 ■^2

Ezt felhasználva, a gyorsulások aránya kifejezhető a pályasu­ garakkal:

1. MECHANIKA

0.2

67

r\

Látható, hogy a centripetális gyorsulások aránya a Nap-boly­ gó távolságok négyzetével fordítottan arányos, tehát általában: c

J.2

Ebből Newton II. törvénye alapján az következik, hogy a bolygók gyorsulását létrehozó erő is a távolságok négyzetével fordítottan arányos. írjuk fel Newton II. törvényét egy bolygóra, amelynek töme­ ge m: r = m a = -rJ.2

Ezt az erőt a Nap fejti ki a bolygóra. A hatás-ellenhatás tör­ vénye miatt a bolygó is ugyanilyen nagyságú erőt fejt ki a Napra. Ezt az erőt azonban szimmetriaokok miatt a Nap töme­ gével arányosnak kell tekintenünk. Ezért a C arányossági té­ nyezőnek tartalmaznia kell a Nap M tömegét, vagyis: C -/M ahol/sem a bolygó, sem a Nap tömegét már nem tartalmazó ál­ landó. így a vonzóerő a következő alakban írható:

Ez a Nap és a bolygók közötti erőhatás törvénye. Óhatatlanul fölmerül a kérdés, vajon ilyen természetű-e a Föld és a Höld, vagy a Föld és egy tetszőleges test, ill. általában két tetszőleges test között fellépő erő, továbbá vajon az eső tes­ teket ugyanolyan jellegű erő gyorsítja-e a Föld felé, mint ami­ lyen erő a Holdat a pályáján tartja? Ha igen, akkor e két gyor­ sulás között is az

68

1. MECHANIKA

J.2

kapcsolat áll fenn. Számoljunk utána ennek! A test gyorsulása a Föld középpontjától R földsugárnyi távol­ ságban: a i = 9 ,8 1 “ /32 A Hold gyorsulása meghatározható a Hold keringési adatai­ ból. A Hold T = 21 nap 7 óra 43 perc keringési idővel a Föld kö­ zéppontjától 60 R távolságra kering; így a gyorsulása; 02 = 0,272 (A Föld sugara R = 6370 km) A két gyorsulás hányadosa: — = 3606; 0.2 míg a két távolság négyzetének hányadosa: 1

60i?2 “ 3600’ ami igen jó egyezést mutat az ^2 erőtörvénnyel. Ezek ismeretében az általános tömegvonzás megfogalmazása csak egy lépés.

1.6.3. AZ ÁLTALÁNOS TÖMEGVONZÁS TÖRVÉNYE Az előző részben láttuk, hogy a Nap és a bolygók, a Föld és a Hold, valamint a Föld és a földi testek között fellépő vonzóerő az anyagi testek egységes fizikai tulajdonságaként látszik meg­ jelenni. Ezt a felismerést általánosítva fogalmazta meg Newton az általános tömegvonzás törvényét.

1. MECHANIKA

H] Bármely két test között kölcsönös vonzóerő lép fel, amely pontszerű testek esetén a két test tömegével egyenesen, a kö­ zöttük lévő távolság négyzetével fordítottan arányos: mim2 F = f J.2 Ez a tömegvonzás, más néven gravitációs kölcsönhatás az anyagi testek egyik alapvető kölcsönhatási formája. I [U Az/arányossági tényező a gravitációs állandó. Hogyan határozható m eg/értéke? [k] Cavendish kísérlete. Az 1.44. ábrán látható, nagyon vé­ kony, rugalmas szálon függő súlyzóra a két nagyobb golyó erőt fejt ki. Megmérve a torziós szál elcsavarodását, meghatározható az erő nagysága, és igazolható, hogy az erő valóban a tömegek­ kel egyenesen és a távolság négyzetével fordítottan arányos. A mérést elvégezve, a gravitációs állandó értékére / = 6,7-10 - 1 1

N ■

ljg2

adódik.

■ 0

A leírt mérést Cavendish végezte el. A torziós szál nagyon kis erő hatására is elcsavarodik, rendkívül érzékeny eszköz, ezért lehetett vele megmérni a nagyon kis értékű gravitációs állan­ dót.

70

1. MECHANIKA

1.6.4. A TEHETETLEN ÉS SÚLYOS TÖMEG A gravitációs kölcsönhatás vizsgálatakor ugyanazon testek tömeggel kapcsolatos kétféle tulajdonságát vettük figyelembe. Az első tulajdonság a tehetetlenség, amely azt jelenti, hogy a test mozgásállapotának megváltoztatásához erőhatás szükséges. A második tulajdonság a gravitációképesség, amely azt jelenti, hogy két test kölcsönösen vonzza egymást. Felmerül a kérdés, hogy milyen összefüggés áll fenn e kétféle tulajdonság között? Átmenetileg különböztessük meg ezt a két tulajdonságot, a te­ hetetlenség mértékét jelöljük mt-vel, a gravitációképesség mér­ tékét pedig mg-vel. A köztük fennálló összefüggés kiderítése ér­ dekében vizsgáljuk meg a szabadesést! Szabadesés közben a testre ható erő jó közelítéssel a gravitá­ ciós erő. így Newton II. törvénye a szabadon eső testre:

ahol Mg a Föld gravitáló tömege, R a sugara és g a test gyorsulá­ sa. Átrendezve: mt ^ ^ Mg mg gB? A nehézségi gyorsulás értéke a Föld adott helyén minden testre ugyanaz, a kifejezés jobb oldala ezért állandó. Ez azt jelenti; hogy a tehetetlen tömeg arányos a gravitáló tö­ meggel. Ezt a fontos következtetést Eötvös Loránd nagy pon­ tosságú kísérletekkel igazolta. Az arányosság következménye, hogy ha azon test gravitáló tömegét választjuk egységnyinek, amely test tehetetlen tömege is egységnjd, akkor a két mértékszám bármely test esetén meg­ egyezik. Ez esetben viszont a mértékegység is ugyanannak választha­ tó, annak ellenére, hogy a test két egészen más tulajdonságáról van szó. A következőkben mindkét tömeg mértékegységéül a kg-t választjuk, és mindkét tömeget m-mel jelöljük.

1. MECHANIKA

71

1.6.5. A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN MOZGÓ TEST A gravitációs tér konzervatív erőtér, ezért bevezethető a po­ tenciális energia, és igaz a mechanikai energia megmaradásának tétele. A gravitációs térben, ha a referenciapontot (a nulla po­ tenciálú helyet) vegtelen távolra választjuk, a potenciális ener­ gia az Epot - - / — összefüggéssel adható meg, ahol M a teret keltő, m pedig a tér­ ben mozgó test tömege. Az energia azért negatív, mert ahhoz, hogy a testet végtelen távolra vigyük a teret keltő testtől, mun­ kát kell végeznünk. Az összenergia így: _ 1 E'ÓSSZ — 2

2

/

r

Ha az összenergia negatív, akkor a test kötött pályán (nevezetesen ellipszis-, esetleg körpályán) mozog, továbbá meg­ mutatható, hogy nem kötött rendszereknél, ha az összenergia pozitív, akkor a pálya hiperbola, ill. határesetben, ha az össz­ energia nulla, akkor a pálya parabola.

1.7. MEREV TESTEK EGYENSÚLYA 1.7.1. A MEREV TEST FOGALMA

I

[H Abban az esetben, ha a test méretei a kölcsönhatás során nem elhanyagolhatóak, kiterjedt testről beszélünk.

A kiterjedt testeket két n^^gy csoportba osztjuk: merev testek és deformálható testek csoportjára.

72

1. MÉCHANIKA

[U Merev testről beszélünk, ha a test a rá ható erők hatására elhanyagolható mértékű alakváltozást szenved. Ellenkező esetben a testet deformálható testnek nevezzük. Definíciónk értelmében minden test egyszerre merev és de­ formálható test, hiszen a legkeményebb acélrúd is meghajlítha­ tó megfelelő szerszámokkal, ugyanakkor egy szivacsgolyó alak­ ja nem változik meg jelentősen, amikor elgurítjuk, pedig na­ gyon könnjm összenyomni. Ebben és a következő fejezetben a merev testek mechanikájával foglalkozünk. A deformálható testek mechanikája az ezután következő fejezetben található. A merev testre erő hatása nemcsak az irányától és nagyságá­ tól függ, hanem attól is, hogy hol hat a testre. Ezért vezetjük be a következő két fogalmat:

I I

[d] Az az egyenes, amely mentén az erő hat, az erő hatásvona­ la. m Az a pont, ahol az erőhatás a testet éri, az erő támadás­ pontja.

I IDAz erő támadáspontja a hatásvonala mentén eltolható. 1.7.2. A FORGATÓNYOMATÉK Adott egy merev test, amely akadálytalanul elfordulhat egy rögzített tengely körül (1.45. ábra). Tapasztalatból tudjuk, hogy amennyiben a testre egy olyan F erő hat, amelynek hatásvonala nem megy át a tengelyen, a test gyorsulva forogni kezd. Ahhoz, hogy a test forgását megakadá­ lyozzuk, egy olyan F’ erőt kell kifejtenünk, amely ellentétes irányba forgatná a testet. Igaz az erőre, hogy nagyságát meg­ szorozva hatásvonalának a tengelytől mért távolságával, ugyan­ azt az eredményt kapjuk, mintha az F erő nagyságát szoroznánk a hatásvonalának a tengelytől mért távolságával (1.46. ábra). A merev testre ható erő forgató hatásának mértékéül vezessük be a következő két mennyiséget.

1. MECHANIKA

I I

73

n Az erő hatásvonalának a tengelytől mért távolsága az erő­ kar. [H Az erő adott tengelyre vonatkozó forgatónyomatéka az erő nagyságának és az erőkarnak a szorzata.

A forgatónyomaték jele: M, dimenziója: erő szorozva távol­ sággal, mértékegysége: l N l m = l N m. Megjegyzés: A forgatónyomaték vektormennyiség, de ebben a könyvben csak olyan problémákat vizsgálunk, ahol az erők és az erólcarok egy közös síkban fekszenek, tehát ekkor a forgatónyomaték-vektor merőleges a síkra, ezért számunkra elegendő, ha a forgatónyomatékot mint előjeles mennyiséget használjuk és összegezzük. A síkra nézve az óramutató járásával ellentéte­ sen forgatni szándékozó forgatónyomatékot tekintjük pozitív­ nak, az óramutatóval megegyező irányba forgatót negatívnak.

1.7.3. MEREV TESTRE HATÓ ERŐK ÖSSZEGZÉSE E könyvben csak olyan eseteket tárgyalunk, amelyekben a merev testre ható erők egy síkban hatnak.

74

1. MECHANIKA

Szöget bezáró erők összege Az 1.47.a. ábrának megfelelően a testre az Fi és a vele nem párhuzamos F 2 erő hat. Támadáspontjukat eltolhatjuk hatásvo­ nalaik metszéspontjába (1.47.b ábra), így n^ár összegezhetjük őket. Az erők eredőjét szintén eltolhatjuk a hatásvonala men­ tén. Ez akkor fontos, amikor a hatásvonalak metszéspontja a testen kívül van.

Párhuzamos, azonos irányú erők összegzése Az 1.48. ábrának megfelelően a testre az Fi és F 2 erőlí hat­ nak. Mivel az erólc hatásvonalaik mentén eltolhatok, az ábrákat már eleve úgy vettük fel, hogy a támadáspontokat összekötő szakasz merőleges legyen a hatásvonalakra. Mivel hatásvona­ laik nem metszik egymást, ezért az előző módszer nem alkal­ mazható.

1. MECHANIKA

75

Az 1.49. ábra szerint vegyük fel az F és - F párhuzamos se­ géderőket, így a test egyensúlyát nem befolyásolják. Az Fi + F és F 2 + (-F ) erők összegét már meghatározhatjuk. Az ábrán azonos módon vonalkázott háromszögek egybevágósága miatt az Fi + F 2 erő nagysága a két erő nagyságának összege és az áb­ ra jelöléseit felhasználva hatásvonalának helye is meghatároz­ ható a hasonló háromszögek oldalaira felírt arányokból. Az eredő erő hatásvonala párhuzamos az Fi és F 2 hatásvona­ lával, és az Fi/ui = ^2^2 összefüggés szerint metszik a két erő támadáspontja által meg­ határozott szakaszt. Eredményünket megvizsgálva láthatjuk, hogy az eredő erő hatásvonalának bármely pontjára az Fi és F2 erő forgatónyomatékának összege nulla.

Párhuzamos, ellentétes irányú erők eredője A párhuzamos, ellentétes irányú erők összegét hasonló mó­ don határozhatjuk meg. Az eredő erő nagysága az Fi és F 2 erő nagyságának különbsé­ ge. Hatásvonalára, az 1.50. ábra jelöléseit használva, az Fiki = F2k2

76

1. MECHANIKA

Összefüggés teljesül. Ebben az esetben is igaz, hogy az eredő erő hatásvonalának bármely pontjára az Fi és F 2 forgatónyomatékának összege nulla. Mind az azonos irányú, mind az ellenté­ tes irányú párhuzamos erők esetében, ha ismerjük az eredő erő nagyságát és helyét, egyensúlyban tudjuk tartani a testet az ere­ dő erővel közös hatásvonalú, azonos nagyságú és ellentétes irá­ nyú erővel. Abban az esetben, ha két egyenlő nagyságú, ellentétes irányú erőt összegzünk, az eredő erő nagysága nulla, de a test nem lesz egyensúlyban, mert gyorsuló forgást végez. Ebben az esetben tehát nem tudjuk egyetlen erővel egyensúlyban tartani a testet.

I

® A párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányú, egyenlő nagyságú erő neve erőpár.

Vizsgáljuk meg az erőpár forgatónyomatékát egy tetszőlege­ sen választott tengelyre (1.51.a,b ábra)!

Az F erő forgatónyomatéka Mi = Ffci a - F erőé M2 ^-F /c 2Összegük:

1. MECHANIKA

77

Ml - Ffci - Fk2 = Fd

m Erőpár forgatónyomatéka a forgástengely helyétől függet­ lenül M = Frf, ahol F az erők nagysága, d pedig a hatásvona­ laik távolsága. Megállapíthatjuk, hogy egy erőpár a legegyszerűbb módon egy másik erőpárral egyensúlyozható ki.

1.7.4. MEREV TEST EGYENSÚLYÁNAK FELTÉTELE A merev test végezhet haladó és forgó mozgást. Ahhoz, hogy haladó mozgásának sebessége ne változzék, az szükséges, hogy a rá ható eróTc eredője nulla legyen. Az egyensúlyhoz azonban ez a feltétel még nem elegendő, mert ha az erőlc forgatónyoma­ téka nem nulla - pl. erőpár esetén - a test gyorsulva foroghat. Az egyensúlyhoz az is szükséges, hogy a testre ható erólc bár­ mely pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak összege nul­ la legyen. Az egyensúly feltétele a következő tételben fogalmaz­ ható meg: E Merev test egyensúlyának a feltétele, hogy a rá ható erők eredője és az e r ^ valamely pontra vonatkozó forgatónyoma­ tékainak algebrai összege nulla legyen. Egyenlettel kifejezve: SF = 0 és EM = 0 Ha az eredő erő nem nulla, a test gyorsul. Ha a forgatónyomaték-összeg nem nulla, a test gyorsuló forgást végez.

Merev test tömegközéppontja és súlypontja A merev test minden egyes pontjára mint tömegpontra hat a nehézségi erő. Ezeknek a függőleges erőknek az összege a tes­ tet érő nehézségi erő. Ha valamely pontjában felfüggesztünk egy merev testet és az nyugalomban van, a rá ható nehézségi

78

1. MECHANIKA

erő és a felfüggesztés által kifejtett'erő hatásvonala egybeesik, azok egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak, mert a test csak így lehet nyugalomban. Ugyanezt mondhatjuk el akkor is, ha a testet egy másik pontjában függesztjük fel (1.52. ábra). Kísérletekkel és számításokkal egyaránt igazolható, hogy a különböző esetekben adódó hatásvonalak egy pontban metszik egymást. Ez a pont tehát rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a nehézségi erő hatásvonala a test bármely helyzetében át­ megy rajta. [U Az a pont, amelyen a merev testre ható nehézségi erő ha­ tásvonala a test bármely helyzetében átmegy, a test súlypont­ ja. A súlypont nem minden esetben esik a test belsejébe (pl. egy gyűrű esetén). Ha a testet a súlypontjában alátámasztjuk vagy felfüggeszt­ jük, akkor az bármely helyzetében egyensúlyban van. A merev test tömegközéppontját úgy határozhatjuk meg, hogy gondolatban olyan parányi részekre bontjuk a testet, ame­ lyek már pontszerűnek tekinthetők, és az így kapott pontrend­ szer tömegközéppontját határozzuk meg.

1. MECHANIKA

79

1.7.5. EGYSZERŰ GÉPEK Az egyszerű gépek a gyakorlati alkalmazások során lehetővé teszik, hogy erőkifejtésünket megsokszorozzuk, és ezáltal pl. olyan testeket tudunk felemelni, megmozdítani, amit izom­ erőnkkel képtelenek lennénk. Egyszerű gép az emelő, a henger­ kerék, a csiga, a lejtő, az éA: és a csavar.

Az emelő Az emelő olyan merev test, amely egy tengely köríil foroghat. Két fajtája az egykarú és kétkarú emelő (1.53.a,b ábra).

VZ777777777777777777777777777777777. 1.53.a ábra

1.53.b ábra

Mindkét típusra teljesül, hogy az erők tengelyre vonatkozó forgatónyomatékának összege nulla. Egyenlettel kifejezve: Fifci = F 2/U2 ;

80

1. MECHANIKA

ahol Fi az emelő erő és ki az erő kaija, F 2 a teher által az eme­ lőre kifejtett erő és k 2 az erőkar. Az emelő elvén működik az ol­ ló, a harapófogó, a feszítővas, a taliga és az emberi kar is.

A hengerkerék A hengerkerék a kétkarú emelő speciális esete. Az emelóTckel csak kis magasságú emelések végezhetőlc, míg a hengerkerék folyamatos munkavégzést tesz lehetővé. Alkalmazása esetén az Fi emelőerő az ri sugarú kerék érintőjének, míg a teher által kifejtett F2 erő a kerék­ kel közös tengelyen lévő T2 sugarú henger érintőjének irányába mutat (1.54. ábra). Az egyenletes emeléshez az szük­ séges, hogy az F 2 és az mg nehézsé­ gi erő nagysága egyenlő legyen, és az Fi, F 2 erő forgatónyomatékai megegyezzenek:

1-54. ábra

F m = F2T2 Hengerkerék a daráló karja, a kerékpár pedálja, a kerekes kút stb.

Csigák és csigasorok Az állócsiga (1.55. ábra) arra való, hogy az erő irányát meg­ változtassuk. Az Fi és F2 erő forgatónyomatékának a csiga tengelyére egyenlőnek kell lennie. Mivel a két erő eróTcaija egyenlő, a két erő nagysága megegyezik. A mozgócsiga (1.56. ábra) olyan egykarú emelőnek tekinthe­ tő, amelynek forgástengelye a csiga és a kötél O érintkezési pontja. Egyenletes emelésnél az O pontra a forgatónyomatékok összege nulla. Ebből

1. MECHANIKA

81

o -F ,

. rn^ 1.55. ábra

1.56. ábra

Fi =

Fz

Eredményünket úgy is magyarázhatjuk, hogy a testet két kö­ tél tartja, ezért egy-egy kötélben a teher által kifejtett erőnek a fele jelenik meg, az alkalmazott állócsiga viszont csak az erő irányát változtatja meg. A közönséges és arkhimédészi csigasor lehetséges megvaló­ sításai az 1.57. a,b ábrán láthatók. Egyenletes emelésnél, ha a teher emelkedése h, a kötél vége 4/í-val mozdul el. Mivel a két munka összegének ismét nullának kell lennie, ezért az Fi erő negyede a teher által kifejtett F 2 erő­ nek. Általános esetben az arkhimédészi csigasor n db mozgó csiga alkalmazása esetén: F=

G 2"

Közönséges csigasornál, ha 2n az álló- és mozgó csigák szá­ ma: F=

2n

82

1. MECHANIKA

Lejtő típusú egyszerű gépek A lejtő alkalmazása esetén a testet általában vagy a lejtővel vagy a lejtő alapjával párhuzamos erővel mozgatjuk (1.58. áb­ ra). Egyenletes mozgatás esetén a lejtővel párhuzamosan mozga­ tó F erő és a testre ható mg nehézségi erő között az F = mgsina a lejtő alapjával párhuzamos F mozgatóerő esetén pedig az F = mgtga összefüggés áll fenn. Ha a súrlódást is figyelembe vesszük, az összefüggések módosulnak, ugyanúgy, mint az eddig vizsgált öszszes egyszerű gép esetén. Tárgyalásunkban ideális (tehát súrló­ dásmentes) egyszerű gépeket írunk le.

1. MECHANIKA

83

A z ék a lejtő speciális alkalmazása. Az 1.59. ábrán lévő szim­ metrikus ék esetén az egyensúly feltétele - az ábra jelöléseit használva - a következő:

84

1. MECHANIKA

A csavar szintén a lejtőre vezethető vissza (1.60. ábra). Maga a csavar tulajdonképpen egy henger oldalába vágott lejtő, amin a mozgatás a lejtő alapjával párhuzamos erővel történik. így az erők közötti összefüggés: Fi = F2tgO! = F 2

2rn

1.7.6. EGYENSÚLYI HELYZETEK Ha egy merev testet egyensúljá helyzetéből kimozdítunk, az új helyzetben az eredő erő és a forgatónyomaték általában nem nulla. Ha ebben a helyzetben a testet magára hagyjuk, három dolog lehetséges: - a test visszatér egyensúlyi helyzetébe; - új egyensúlyi helyzet elérésére törekszik; - abban a helyzetben marad, amelybe elmozdítottuk. Hl Azt az egyensúlyi helyzetet, amelybe a test kismértékű kimozdítása után visszatér, stabil (biztos) egyensúljd helyzet­ nek nevezzük. A stabil egyensúlyi helyzetből kimozdított testet a fellépő erőit kimozdítása után a test eredeti helyzete felé mozdítják vagy forgatják (1.61. ábra).

1. MECHANIKA

85

mg

1.61. ábra

[U Azt az egyensúlyi helyzetet, amelyből a testet bármilyen kis mértékben kimozdítva, a test tovább mozog, új egyensúlyi helyzet elérésére törekedve, labilis (bizonytalan) egyensúlyi helyzetnek nevezzük. A labihs egyensúlyi helyzetből kimozdított testet a fellépő eróTc az egyensúlyi helyzettől elmozgatják vagy elforgatják (1.62. ábra).

mq

1.62. ábra

d] Azt az egyensúlyi helyzetet, amelyből a testet bármilyen mértékben kimozdítva, a test az új helyzetben szintén egyen­ súlyban lesz, indijferens (közömbös) egyensúlyi helyzetnek nevezzük.

1. MECHANIKA

VTTT^WTTTTZ j/779

mg

1.63. ábra

A közömbös egyensúlyi helyzetből kimozdított testre ható erők eredője és forgatónyomatékainak összege az új helyzetben is nulla (1.63. ábra).

1.8. A FORGÓMOZGÁS A merev testek folj^athatnak haladó mozgást, foroghatnak egy rögzített tengely körül, valamint végezhetnek egyszerre ha­ ladó és forgómozgást. Abban az esetben, amikor a merev test csak haladó mozgást végez, minden pontjának egyenlő a sebessége. Ekkor tömeg­ pontként kezelhetjük és az 1.1. fejezetben leírt összefüggések segítségével írhatjuk le a mozgását. Ilyen mozgást végez pl. a domboldalon lecsúszó szánkó. Rögzített tengely körüU forgást végez a mennyezetre szerelt ventilátor forgó része, míg a jármű­ vek kerekei egyszerre végeznek haladó és forgómozgást.

1.8.1. RÖGZÍTETT TENGELY KÖRÜL FORGÓ MEREVTEST Egyenletes forgómozgás ® Egyenletes forgómozgás esetén a test szögelfordulása ará­ nyos a szögelfordulás idejével.

1

Egyenlettel kifejezve: Aa = o) Aí

1. MECHANIKA

87

ahol Aa a szögelfordulás, At a szögelfordulás ideje, co pedig a szögsebesség. Egyenletes forgómozgást végez pl. a lemezjátszó korongja. A forgó merev test minden pontja körmozgást végez és se­ bessége a V= tor összefüggéssel adható meg (1.64. ábra). Látható, hogy a távolabbi pontok sebessége nagyobb, ezért a forgó­ mozgás leírására a sebesség nem al­ kalmas. Helyette a szögsebességet használjuk, amely a test minden pontjára azonos. Használjuk még a periódusidőt, amelyet itt is T-vél je­ lölünk, valamint a fordulatszámot (jele: n vagy/). Teljesülnek a követ­ kező összefüggések is; 1.64. ábra

2n T — — ; üj — = 2IIn n ’ T

Az egyenletesen változó forgómozgás Az 1.65. ábrán látható kísérleti eszköz forgó részének mozgá­ sát vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy a rúd szögelfordulása ará­ nyos az idő négyzetével.

A 1.65. ábra

88

I

1. MECHANIKA

n Ha a test szögelfordulása arányos az idő négyzetével, ak­ kor mozgása egyenletesen változó forgómozgás.

Az alf' hányados állandó. Az egyenes vonalú egyenletes moz­ gásnál látottak szerint eljárva levezethető a pillanatnyi szögse­ besség, amely arányos lesz az idővel. Az arányossági tényezőt (ival jelöljük és szöggyorsulásnak nevezzük, dimenziója: l/idő a négyzeten, mértékegysége; 1/s^. Abban az esetben, ha a test álló helyzetből indul, az egyenle­ tesen változó forgómozgást leíró összefüggések a következőTc: a =

üj = (5t

;

;

(3 = állandó

Ha az időmérés kezdetén a test már forgott, a haladp mozgás­ hoz hasonlóan az a = üjQt ±

^

;

ui = ü jQ ± (5 t

;

^ = állandó

összefüggések állnak fenn, ahol coq a kezdeti szögsebesség. A pozitív előjel a gyorsuló, a negatív pedig a lassuló forgómoz­ gás esetén érvényes.

Merev test síkmozgása [ d ] Abban az esetben, ha a test egyes pontjai mozgásuk során egy síkban maradnak, és ezek a síkok egybeesnek vagy párhu­ zamosak, akkor síkmozgásról beszélünk.

Ilyen pl. a guruló labda vagy az egyenesen haladó járművek kerekének mozgása. H] Tekintsük egy autó kerekének mozgását! A kerék egy ten­ gely körül forog, miközben a tengely egyenes vonalú mozgást végez. A kerék pontjainak sebességét két sebesség összegeként adhatjuk meg (1.66. ábra). A V sebesség a tengely sebessége, Vk pedig a kerületi sebes­ ség.

1. m e c h a n ik a _______________________ TO

, 777777777777777Z 1.66. ábra

Abban az esetben, ha a kerék csak gördül és nem csúszik, a talajjal érintkező P pontja áll a talajhoz képest, sebessége tehát nulla. Alkalmazva a sebesség meghatározására az előbbi mód­ szert (1.67. ábra): Vp = V- Vk = Q Ez a tiszta gördülés feltétele, amely szerint a gördülő kerék tengelyének sebessége egyenlő a kerék szélső pontjainak kerü­ leti sebességével. Természetesen ekkor a sebességek nagyságát (abszolút értékét) kell figyelembe venni. Ebből az is követke­ zik, hogy gyorsuló mozgás esetén a tengely gyorsulása és a ke­ rék szélső pontjainak kerületi gyorsulása egyenlő. Egyenlettel kifejezve: V — ruj és a = r(3 A tisztán gördülő test mozgását vizsgálhatjuk úgy is, hogy az minden pillanatban a talajon lévő pontja körül fordul el. Ekkor a tengely pillanatról pillanatra változik. Az ilyen tengely a pilla­ natnyi forgástengely, amelynek vizsgálata sok esetben egyszerű­ síti a problémák megoldását.

1.8.2. A FORGÓMOZGÁS ALAPTÖRVÉNYE Az 1.65. ábrán látható kísérleti eszközzel különböző m töme­ gek mellett mérve a szöggyorsulást, és meghatározva a forgatónyomatékot, a következőt állapíthatjuk meg.

90

1. MECHANIKA

E A merev testre ható forgatónyomaték és az általa létreho­ zott szöggyorsulás egyenesen arányos. Ez a forgómozgás alaptörvénye. Egyenlettel: M =

e/3

ahol © a forgó test forgási tehetetlensége, amit tehetetlenségi nyomatéknak nevezünk; dimenziója: tömeg szorozva a távolság négyzetével; mértékegysége: kg • m^. A tehetetlenségi nyomaték skaláris mennjdség, a tehetetlen­ ség megfelelője a forgásra, de abban különbözik tőle, hogy érté­ ke a tengely helyétől is függ, azaz egy testnek különböző nagy­ ságú lehet a tehetetlenségi nyomatéka, a tengely megválasztásá­ tól függően. Tömegpont esetén 0 = vai^, ahol r a tömegpont tengelj^ől mért távolsága (1.68. ábra). P --------- oEgyéb testek esetén úgy számíthatjuk ki a tehetetlenségi nyomatékot, hogy a testet olyan m-i í ^ darabokra Ijontjuk, amelyek már ' ' pontszerűnek tekinthetóTc, és az ezekre számított tehetetlenségi nyo­ matékok összegét számítjuk: 1-68. ábra 0 = TiTUirj Az 1.1. táblázat a leggyakrabban előforduló testek tehetet­ lenségi nyomatékát foglalja össze, megadva a tengely helyét. A tehetetlenségi nyomaték meghatározását segíti a Steinertétel, amit bizonyítás nélkül mondunk ki: [t] Ha ismert az m tömegű test © tkp tehetetlenségi nyomaté­ ka valamely, a tömegközéppontján átmenő tengelyre, akkor a vele párhuzamos, tőle s távolságra lévő tengelyre a tehetet­ lenségi nyomaték: © = ©tkp +

1. MECHANIKA

91

1.1. táblázat Test

Tehetetlenségi nyomaték

m tömegű, r sugarú gyűrű

0 = rnr^

m tömegű, r sugarú gyűrű

A tengely helye O 0

m tömegű, r sugarú henger

0 = ^mr^

m tömegű, r sugarú gömb

0 = 1 mr^

m tömegű, l hosszúságú vékony pálca

0 = ^ fn r^

e c t)

t=l

m tömegű, l hosszúságú vékony pálca

Tételünk azt is jelenti, hogy a párhuzamos tengelyek közül a tömegközépponton átmenő tengelyre legkisebb a tehetetlenségi nyomaték.

1.8.3. A FORGÁSI ENERGIA A rögzített tengely körül forgó test mozgási energiáját úgy kapjuk meg, hogy a testet mj tömegpontokra bontjuk, és ezek mozgási energiáit összegezzük. Ekkor: E ^ E - n iiV i A sebességet a szögsebességgel és a sugárral megadva és et kiemelve: E — TXmi{riüjf‘ = ahol a energia:

a test tehetetlenségi nyomatéka. Tehát a forgási

alakban írható.

92

1. MECHANIKA

Abban az esetben, ha a test haladó mozgást és forgómozgást is végez, a test teljes mozgási energiáját a mozgási és a forgási energia összegeként kapjuk. Egy rögzített tengelyű hengert álló helyzetből indulva forgas­ son a rácsévélt fonál végére ható állandó F erő. Ha a szögelfor­ dulás a, a kötél végének elmozdulása s = rcL Mivel az F erő kö­ télirányú, munkája ezalatt W = Fs — Fra = M a Tehát a forgatónyomaték munkáját úgy számíthatjuk, hogy a forgatónyomatékot megszorozzuk a szögelfordulással. A hen­ ger forgási energiájának megváltozását kiszámítva, az ismert öszszefüggések fölhasználásával: W = Ma =

= ^ew ^

Azt kapjuk, hogy a forgó test energiájának megváltozása egyenlő a rá ható erő munkájával. Tehát a forgómozgásokra is igaz a munkatétel

1.8.4. APERDÜLET A haladó mozgáshoz hasonlóan, a forgómozgásra is bevezet­ hetünk egy impulzusnak megfelelő mennyiséget.

I

[d] a forgó test tehetetlenségi nyomatékának és szögsebessé­ gének szorzata a test perdülete (impulzusmomentuma): N

= 0uj

A perdület jele: N; mértékegysége: kg • m^/s. A perdülettel megfogalmazható a forgómozgás alaptörvénye: At At At At Látható, hogy abban az esetben, ha M = O, akkor S.N = 0. Ezt a következő tétel fogalmazza meg:

I

li] Ha a külső forgatónyomatékok összege nulla, a test perdü­ lete állandó. Ez a perdület megmaradásának tétele.

1. MECHANIKA

93

1.8.5. ANALÓGIA A HALADÓÉS A FORGÓMOZGÁS KÖZÖTT A haladó mozgás és a forgómozgás leírásánál használt menynyiségek és a leíráshoz használt összefüggések teljesen azonosak, csak más mennyiségek szerepelnek az egyes egyenletekben. Ezenkívül az érvényes tételek is analógiában állnak egymással. Az 1.2. táblázat ezt a kapcsolatot szemlélteti. 1.2. táblázat

Haladó mozgás

Forgómozgás

Megtett út, s

Szögelfordulás, a

Sebesség; v = ^

Szögsebesség, cü = ^

Gyorsulás, a = ^

Szöggyorsulás, P = ^

Tömeg: m

Tehetetlenségi nyomaték: 0

Erő: F

Forgatónyomaték: M

Dinamika alapegyenlege: F = ma

Dinamika alapegyenlete: M = 0 p

Munka: W = Fs

Munka: W =M (x

Mozgási energia: Em = ^ mv^

Forgási energia: E f = \

Munkatétel: F s = ^mv\ —\mv\

Munkatétel: M a = \ 9 íjüI - \ 9 ujI

Pillanatnyi teljesítmény: P = Fv

Pillanatnyi teljesítmény: P = M cú

Impulzus: I = mv

Perdület: N =

Impulzusváltozás: AI = FAt

Perdületváltozás: AN = MAt

1.9. DEFORMÁLHATÓ TESTEK MECHANIKÁJA A deformálható testek alakja a kölcsönhatások során megvál­ tozik. Az alakváltozás lehet rugalmas és rugalmatlan.

I

[d] Rugalmas alakváltozás esetén az erőhatás megszűnése után a test visszanyeri eredeti alakját.

94

I

1. MECHANIKA

[H Rugalmatlan alakváltozás esetén a test az erőhatás meg­ szűnése után nem nyeri vissza eredeti alakját.

Minden test egyszerre rugalmas és rugalmatlan, a testet érő erőhatás által létrehozott alakváltozástól függően. Ha egy testet egyre nagyobb mértékben deformálunk, egy bizonyos deformá­ ció után a test már rugalmatlan alakváltozást szenved.

I

Hl Az a deformáció, amelynél nagyobb esetén a test rugal­ matlan alakváltozást szenved, a rugalmasság határa.

A rugalmasság határát az egyes alakváltozásokra jellemző ru­ galmas feszíiltséggel adjuk meg (lásd későljb). Ebben a fejezet­ ben a rugalmas nyújtással és összenyomással, a csavarással és a nyírással foglalkozunk.

1.9.1. RUGALMAS NYÚJTÁS ÉS ÖSSZENYOMÁS A nyújtás Az 1.69. ábrának megfelelően összeállított kísérletben mér­ jük a huzal különböző nagyságú erők hatására bekövetkező megnyúlását! A kísérletet különböző hosszúságú és keresztmet­ szetű huzalokkal elvégezve, a következő megállapításra jutunk:

I .................................................................

v:^7777777777777777777777777777777777?, 'i 1.69. ábra

[t] Rugalmas megnyújtás esetén a huzal megnyúlása arányos a megnyújtó erővel és a huzal hosszával, és fordítottan arányos a keresztmetszetével.

1. MECHANIKA

95

Az arányossági tényezőt 1/E-vel jelölve, tételünk a követke­ ző egyenlettel fogalmazható meg: A

,

1

E A ahol A/ a megnyúlás, / a huzal eredeti hossza, F a megnyújtó erő, A a keresztmetszet, E a rugalmassági vagy Young-modulus. Ez a rugalmas nyújtás Hooke törvénye. Az egyenletet átrendezve l

A

és bevezetve az s = A l/l és a = F /A jelölést, a Hooke-törvény a következő alakban írható: = (7 I

[d ]

Az e = A/Warány a huzal relatív megnyúlása.

A definícióból látható, hogy sí, relatív megnyúlás dimenzió nélküli mennyiség. ^ A a — F /A a rugalmas feszültség. Dimenziója erő/felület, mértékegysége N/m .

1

Nyújtás esetén minden esetben föllép harántösszehúzódás is, ami egy gumicső megnyújtásával jól megfigyelhető. [Hl Egy gumicsőre olyan gyűrűt húzunk, amely szorul rajta. Ha a csövet függőleges helyzetben megnjoijtjuk, a gyűrű lecsú­ szik rajta, ami a cső keresztmetszetének csökkenését bizonyítja. A számításokban többnyire elhanyagoljuk a harántösszehúzó­ dást, vagyis az eredeti A keresztmetszettel számolunk. m A rugalmasság határát a rugalmas feszültség adja meg, amely azt a legnagyobb feszültséget jelenti, ameddig az alakváltozás még rugalmas. [D A szakítást szilárdság az a feszültség, amelynek elérésekor a huzal elszakad.

96

1. MECHANIKA

Az összenyomás Egyik végén rögzített rúd szabad végére merőlegesen F nagy­ ságú nyomóerő hat. Ekkor a rúd hossza csökken, átmérője pe­ dig megnövekszik. A nyújtásnál leírt törvények a rugalmas öszszenyomásra lényegében változatlan formában érvényesek. A nyújtásnál definiált o ^ F jA rugalmas feszültség helyett a F mennyiséget nyomásnak nevezzük. A nyomás skaláris mennyi­ ség, dimenziója erő/felület, mértékegysége N/m^=:Pa (pascal). m Ha a testet az egész felületén éri a nyomóerő, és a nyomás a felület minden helyén ugyanakkora, egyenletes térfogati öszszenyomásáról beszélünk. Egyenletes összenyomás esetén a test térfogatváltozása ará­ nyos a p nyomással AF A negatív előjel a negatív térfogatváltozás miatt szükséges. m Az anyagi minőségre jellemző k állandó neve kompresszibilitás. Dimenziója: l/nyomás, mértékegysége Pa'^.

1.9.2. HAJLÍTÁS, NYÍRÁS, CSAVARÁS A hajiítás Az egyik végén befogott vízszintes rúd a szabad végén ható függőleges F erő hatására lehajlik. Lehajlása (1.70. ábra) a 1 ^~3E

r. I

1. MECHANIKA

97

képlettel számítható, ahol E a Young-modulus, / a rúd hossza, / a rúd alakjára jellemző tényező, számítások és mérések alapján / értéke a szélességű b magasságú téglalap; r sugarú kör; kör­ gyűrű keresztmetszetnél (ri külső, belső sugár) esetén a kö­ vetkező: Iro = -I ^I r 4 A két végén alátámasztott rúd lehajlása (1.71. ábra) a köze­ pénél: s=

1 48E

2

V ////////. rF 1.71. ábra

A nyírás Rögzítsük egy téglalap egják lapját, amelynek szemközti lap­ ján érintő irányú, az oldalakkal párhuzamos F erő, lép fel (1.72. ábra)!

98

1. MECHANIKA

Az erő hatására a lap és a vele párhuzamos rétegek elcsúsz­ nak egymáson, mint egy kártyacsomag lapjai. így a lapra erede­ tileg merőleges oldalélek y szöggel elfordulnak. A rugalmasság határán belül y arányos az F erővel és fordítottan arányos a lap felületével. Az arányossági tényezőt 1/G-vel jelölve: 1 F ^~G~Á

I

[H A test anyagára jellemző G állandó a nyírást vagy torzió modulus, mértékegysége N/m^.

A csavarás Ha az egyik végén befogott kör ke­ resztmetszetű, l hosszúságú rúd szabad végén M forgatónyomaték hat, a rúd el­ csavarodik szimmetriatengelye körül (1.73. ábra). A rugalmasság határán belül az elcsavarodás (p szöge arányos a forgatónyomatékkal és a rúd hosszával, és fordítottan arányos a rúd sugarának negyedik hatvá­ nyával. Egyenlettel kifejezve: if =

ttG

ahol G a torzió modulus. Ha tehát egy rugalmas szál átmérőjét tizedére csökkentjük, akkor elcsavarodása tízezerszeres lesz. Ez a magyarázata a torziós szálak nagy érzékenységének.

1. MECHANIKA

99

1.10. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJA A folyadékok legszembetűnőbb tulajdonsága, hogy gravitá­ ciós térben mindig fölveszik a tárolóedény alakját, tehát önálló alakjuk nincs. Ez azért van, mert a folyadékokban egyensúlyi állapotban nem lép fel olyan nyírófeszültség, amely megakadá­ lyozná a folyadékrétegek elcsúszását. A folyadékok gyakorlati­ lag összenyomhatatlanok. Külső nyomás hatására természetesen szenvednek nagyon kis mértékű térfogatváltozást, amit a szilárd testek összenyomásá­ nak leírásakor megismert összefüggéssel megegyezően, a Ay — y=^P egyenlettel adhatjuk meg, ahol a negatív előjel a negatív térfo­ gatváltozás miatt szükséges, a k pedig most is a kompresszibiUtás. A továbbiakban azonban a folyadékokat összenyomhatatlannak tekintjük. A gázok a folyadékoktól merőben eltérő tulajdonságokkal rendelkeznek. A gázmolekulák között fellépő molekuláris erőlc nem képesek a gázt egyben tartani, ezért a gázok mindig kitöl­ tik a rendelkezésre álló teret. A gázokban sem lép fel nyírófe­ szültség. Lényeges különbség azonban az, hogy a gázok könynyen összenyomhatók, ennek ellenére mechanikai szempontból hasonlóan viselkednek, mint a folyadékok. Az e fejezetben ki­ mondott tételek ezért a gázokra is érvényesek vagy közelítőleg igazak.

1.10.1. A NYOMÁS EGYENLETES TERJEDÉSE FOLYADÉKOKBAN Az 1.74. ábrán látható „vízibuzogány” olyan apró lyukakkal ellátott üveggömb, amelyhez dugattyút tartalmazó henger csat­ lakozik. Ha vízzel megtöltjük az eszközt és a dugattyút hirtelen benyomjuk, a lyukakon át sugárirányban spriccel a víz, minden lyukon azonos mennyiség távozva el. Ez a Pascal-törvény egyik kísérleti szemléltetése.

100

1. MECHANIKA

H] Zárt térben lévő njoigvó folyadékban vagy gázban a külső erő által létrehozott nyomás minden irányban gyengítetlenül teljed. Pascal törvényének egjdk gyakorlati alkalmazása a hidrauli­ kus sajtó (1.75. ábra). Az A i keresztmetszetű dugattyúra ható Fi erő által létreho­ zott p nyomás az A 2 keresztmetszetű dugattyúra az F 2 = p A 2 erőt fejt ki. A p = Fi/Ai helyettesítést elvégezve az

egyenlethez jutunk. F2 Á2 ■ / // // /// 7 7 7 /

1.75. ábra

A hidraulikus sajtó az erőkifejtés megsokszorozásának eszkö­ ze. Ezen az elven működnek pl. a járművek fékberendezései és a hidraulikus emelők.

1. MECHANIKA

101

1.10.2. A HIDROSZTATIKAI NYOMÁS A nyugvó folyadék belsejében a nehézségi erő hatására ala­ kul ki a hidrosztatikai nyomás. Ennek értéke a folyadék sűrűsé­ gétől, a nehézségi gyorsulástól és a folyadék felszínétől mért függőleges mélységtől függ. Értékét a Ph = ggh összefüggés alapján számíthatjuk. Ez a nyomás csak a folyadék nyomása. A légnyomást is figyelembe véve, a nyomás p = Po + ggh. Fontos megjegyezni, hogy a nyomás egy adott helyen minden irányba hat, ami az 1.76. ábrán látható eszközzel mutatható ki. Ha ugyanolyan mélységben forgatjuk a szondát, a manométer végig ugyanazt a nyomást jelzi.

Az 1.77. ábrán látható eszköz egy olyan mérleg, amelynek bal oldali részébe különböző alakú, fenék nélküli edények csa­ varozhatok. A mérleg bal oldali serpenyője egyúttal az edény alja, amit a másik serpenyőben lévő súly az edény széléhez présel, megaka­ dályozva így a folyadék kifolyását. Ha az edénybe elegendő fo­ lyadékot töltünk, a mérleg lebillen, és a folyadék kifolyik. Kü­ lönböző alakú edényeket használva, a mérleg mindig ugyanan­ nál a folyadékmagasságnál billen le. Látszólag tehát különböző súljní folyadékokat azonos súljnínak mérünk.

102

1. MECHANIKA

A megoldást a nyomás egyenletes terjedése adja. Az edény alján a nyomás nem a folyadék mennyiségétől függ, hanem a fo­ lyadék szabad felszínének az edény aljától mért távolságától. A szélesedő edényben a többletsúlyt az edény fala tartja, míg a keskenyedő edényben az edény fala fejti ki azt az erőt, ami mi­ att ugyanolyan súlyúnak tűnik a folyadék (1.78. ábra). Ez a je­ lenség az ún. hidrosztatikai paradoxon.

(S

\

1.10.3. A FELHAJTÓERŐ ÉS ARKHIMÉDÉSZ TÖRVÉNYE Rugós erőmérővel mérve egy test súlyát, azt tapasztaljuk, hogy a test levegőben nehezebb, mint valamilyen folyadékba merítve.

1. MECHANIKA

103

E] Folyadékba merülő testekre hat egy felfelé irányuló erő, amely a folyadékban uralkodó hidrosztatikai nyomásból szár­ mazik. I

[d ]

Ez az erő a felhajtóerő.

E Határozzuk meg a felhajtóerő nagyságát egy hasáb alakú test esetében (1.79. ábra)! Mivel az oldallapok szemben lévő darabjaira azonos mélységben azonos nagyságú, ellentétes irányú erő hat, ezért ezek eredője nulla.

A fedőlapra Fi = gghiA nagyságú, lefelé irányuló erő, az alaplapra pedig F2 = ggh2A nagyságú, felfelé iránjoiló erő hat. Mivel /12 > h^, ezért F2 > Fi, tehát a testre ható felhajtóerő: F = F2 - Fi = ggA{h2 - hi) = ggV

;

ami megegyezik a test által kiszorított folyadék súlyával. A fel­ hajtóerő abból származik, hogy a test aljára ható nyomóerő fel­ felé iránjTil, és a nagyobb mélység miatt minden esetben na­ gyobb, mint a test tetejére ható, lefelé irányuló nyomóerő.

104

1. MECHANIKA

Ezen megállapításokat Arkhimédész törvénye foglalja össze:

I

E Folyadékba vagy gázba merülő testre a test által kiszorított folyadék vagy gáz súlyával egyenlő nagyságú felhajtóerő hat.

Arkhimédész törvényét a következő gondolatmenettel belát­ hatjuk tetszőleges alakú testre is. Válasszuk ki a nyugvó folya­ dék egy olyan darabját, amely alakra, méretre megegyezik a vizsgált szilárd testtel! Minthogy az egész folyadék njoigvó, ezért ez a rész is e^ensúlyban van, tehát a rá ható nehézségi erő és a felhajtóerő egyenlő nagyságú (l.SO.a, b ábra).

a)

b) 1.80. ábra

A környező folyadék hatása, nyomóereje, tehát felhajtó ereje nem változik, ha a folyadékdarabot kicseréljük szilárd testre (1.80.C ábra). Ezzel Arkhimédész törvényét tetszőleges alakú testekre be­ láttuk. Ha a folyadék belsejében tartott szilárd testet elengedjük, mozgásának irányát a ráható nehézségi és felhajtóerő eredője szabja meg (1 .8 1 . ábra). A test süllyed (l.Sl.a ábra), ha mg > F f,

lebeg (l.Sl.b ábra), ha mg = Ff

és emelkedik (l.Sl.c ábra), ha mg < Ff.

1. MECHANIKA

105

1.81. ábra

Mivel mg - QtVg,

a test és a folyadék sűrűségének ismeretében is megadható, hogy a test süllyed, ha Qt > Qf,

lebeg, ha Qt = Qf

és emelkedik, ha Qt < Qf-

Az emelkedő testtel érdemes külön foglalkozni. Elérve a felszínt, a test a folyadékból kiemelkedik, ekkor azonban a fel­ hajtóerő, és így a ráható erólí eredője is csökken. A test akkor lesz egyensúlyban, amikor a bemerülő részre ható felhajtóerő és az egész testre ható nehézségi erő eredője nulla lesz. Ilyenkor a test a víz felszínén úszik.

1.10.4. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK ÁRAMLÁSA A folyadékok és gázok tulajdonságainak tárgyalásakor lát­ tuk, hogy míg a nyugvó folyadék térfogata gyakorlatilag állan­ dó, addig a gáz viszonylag könnyen összenyomható. Érdekes, hogy a nem túl nagy sebességgel áramló gázok - a folyadékok­ hoz hasonlóan - szintén elegendő pontossággal írhatók le azzal

106

1. MECHANIKA

a közelítéssel, hogy sűrűségváltozásuk elhanyagolható. így a fo­ lyadékok és gázok áramlása egjóitt tárgyalható. Ez a jelenségkör rendkívül bonyolult, ezért itt csak a legegy­ szerűbb áramlási törvényekkel foglalkozunk. Az áramló anyagra vonatkozó egyszerűsítő feltevéseink: - sűrűsége nem változik; - súrlódásmentes, azaz nem ébrednek benne nyírófeszültségek; - hőmérséklete nem változik. Az áramlásról azt is feltételezzük, hogy időben állandó. Ez azt jelenti, hogy az áramlási tér mindeni pontjában az éppen ott levő részecske sebessége arra a pontra jellemző érték.

I

® Az időben állandó áramlást stacionárius áramlásnak ne­ vezzük.

[k] Az áramlás láthatóvá tehető a Pohl-féle áramlási készülék (1.82. ábra) segítségével.

Az egymástól egy-két mm-re lévő, függőleges síkú átlátszó üveglemezek között két tartályból, kettős lyukrendszeren folyik le a tiszta és kékre festett víz. Az áramlás sebessége szorítóval szabályozható. A kirajzolódó színes csíkok az áramló folyadék­ részecskék pályáját mutatják, amiket áramvonalaknak neve­ zünk.

1. MECHANIKA

107

A stacionárius áramlás áramvonalai időben állandó képet mutatnak. Egyenletes keresztmetszetű áramlási térben az áram­ vonalak párhuzamosak. E Helyezzünk az áramló folyadék útjába különböző akadá­ lyokat! A kisebb keresztmetszetű helyeken az áram vonalak sű­ rűbbek lesznek (1.83. ábra).

1.83. ábra

Észrevehetjük, hogy a szűkületben a folyadék gyorsabban mozog, tehát az áramvonalak sűrűsége a sebességgel kapcsola­ tos. Határozzuk meg, milyen matematikai összefüggés van az áramlási cső keresztmetszete és az áramlás sebessége között (1.84. ábra)!

I

1/2

1 1.84. ábra

Minthogy a folyadék összenyomhatatlan, Aí idő alatt mindkét keresztmetszeten azonos térfogatú folyadék jut át, tehát: Aí = A2V2AÍ mnen

;

108

1. MECHANIKA

A\\)i — A 2 V2 adódik. H] Ez a kontinuitási egyenlet vagy más néven a folytonossági törvény. Összenyomhatatlan folyadék stacionárius áramlására fennáll, hogy az áramlási cső keresztmetszetének és az ott fel­ vett sebességnek a szorzata a cső bármely helyén állandó. A kontinuitási egyenlet értelmében az eltérő keresztmetszetű helyek között a folyadéknak gyorsulnia kell. Vizsgáljuk meg, hogy ez a gyorsulás és a vele együttjáró mozgásienergia-változás milyen hatás következményeként lép fel? Egy áramlási cső különböző keresztmetszetű helyein mérjük az áramló folyadék vagy gáz nyomását! A kísérletek alapján megállapítható, hogy a nagyobb keresztmetszetű szakaszon na­ gyobb a nyomás, mint a szűkületben. E nyomáskülönbségből adódó erő gyorsítja a folyadékot. Vizsgáljuk meg a nyomás és sebesség közötti kapcsolatot, az egyszerűség kedvéért csak vízszintes áramlási csőben (1.85. ábra)!

l/l

1.85. ábra

A munkatétel az A1 és A2 keresztmetszeten átáramló folya­ dékra: W — Fi'S\ —F2 S2 = p iA iviA t —p2A2V2^t A E = ^ mvl —i muj

1. MECHANIKA

109

Mivel m = qY, V = AvíS.f, és a V térfogattal egyszerűsíthe­ tünk, így ^ 2 ^ 2

Pl - P 2 = ^ ^ 2 ~ 2 ^ 1

Rendezve az egyenletet, a Pl

1

+

2

2^2

1

= P

2

2 + 2 É^2

Összefüggés adódik, ami a következőt jelenti: [t] Az áramlási cső bármely helyén P+ ^

— állandó

Ez Bemoulli törvénye vízszintes áramlási csőre. A törvény ér­ telmében a nagyobb sebességgel áramló folyadékban a nyo­ más kisebb.

1.10.5. A KÖZEGELLENÁLLÁS Valamely légnemű vagy folyékony közeg a benne mozgó test­ re a relatív sebességgel ellentétes irányú erőt fejt ki. Ez a moz­ gást akadályozó erő a közegellenállás. E Légáramlatba helyezzünk az 1.86. ábrán látható módon azonos keresztmetszetű, különböző alakú testeket, és mérjük a rájuk ható erőt! Mérésünk eredménye, hogy a fellépő erő a testek b) ábrán feltüntetett sorrendjének megfelelően csökken, áramvonalas test esetén szinte nullává válik. E A Pohl-féle áramlási készülékben növeljük az áramlás se­ bességét kör, téglalap és áramvonalas idomok körül! A kör és téglalap alakú akadályok mögött örvények jönnek létre, míg az áramvonalas alaknál nem alakulnak ki örvények (1.87. ábra).

110

1. MECHANIKA

*’ ©

Üres félgömb

►0

Körlap

►O

Gömb

■■0

Üres félgömb Áramvonalas test b)

1.86. ábra

1.87. ábra

így arra a következtetésre jutunk, hogy a közegellenállási erő az örvényképződés miatt lép fel. Pontos mérések szerint a közegellenállás a szilárd test alak­ ján kívül annak A homlokfelületétől (az áramlásra merőleges keresztmetszet), a közeg sűrűségétől (^) és a v relatív sebesség­ től függ: F = kAgv^ Az összefüggésben k az alaki tényező. Megjegyzés: kis sebességű áramlásoknál nem az örvénykép­ ződés, hanem az egymáshoz képest különböző sebességgel moz­ gó rétegek közötti súrlódás miatt lép fel a közegellenállási erő, ami a sebesség első hatványával arányos. Ha a sebesség a kö­ zegbeli hangsebességhez tart, akkor a sebesség köbe jelenik meg a közegellenállási erő kifejezésében.

1. MECHANIKA

111

1.11. A REZGŐMOZGÁS [k] Egyik végénél felfüggesztett rugó másik végére erősítsünk egy testet! A test a rugót megnyújtva egyensúlyi helyzetben van. Függőleges irányba kitérítve a testet, azt tapasztaljuk, hogy az egyensúlyi állapothoz képest két szélső helyzet között fel-le mozog. Ez a mozgás a rezgőmozgás.

I

Hl A rezgőmozgást végző testnek a nyugalmi helyzettől mért maximális kitérése a rezgőmozgás amplitúdója, jele: A. [U Az az idő, amelynek elteltével a rezgő test kitérése és se­ bessége újra a kezdeti értékekkel egyezik meg, a rezgésidő, jele: T. [U Az egy másodpercre jutó rezgések száma a frekvencia, je­ le:/. A rezgésidő és a frekvencia között igen egyszerű kapcsolat van: ^=7

1.11.1. A REZGŐMOZGÁS KITÉRÉS-IDŐ FÜGGVÉNYE, KAPCSOLATA KÖRMOZGÁSSAL B Változtatható fordulatszámú motor tengelyén, arra merő­ legesen elhelyezünk egy pálcát, amelynek végén egy golyót rögzítünk. Oldalról megvilágítva a mozgó golyót, a golyó árnyé­ ka fel-le mozog. Függesszünk fel rugóra egy testet, és hozzuk rezgésbe függőleges irányban (1.88. ábra)! Legyen a rezgés amplitúdója a kör sugarával megegyező. A motor fordulatszámának változtatásával elérhetük, hogy a két test árnyéka egjóitt mozog a falon. Ha az időmérést abban a pil­ lanatban kezdjük, amikor a rezgőmozgást végző test az egyensúl)^ helyzeten halad keresztül (1.89. ábra), akkor a neki megfe-

112

1. MECHANIKA

lelő (ún. referencia) körmozgást végző test sugarának szög-el­ fordulása: a = Lűt. Ezzel a rezgőmozgást végző test kitérése: Y = Rsm{uft)

I

[H Harmonikus rezgőmozgásról beszélünk, ha a kitérés az idő szinuszos függvénye.

I

[1 Az a = coí. szög a rezgés fázisa.

Előfordulhat az is, hogy a í = 0 időpontban a körmozgást vég­ ző testhez húzott sugár nem vízszintes, hanem azzal ip szöget zár be (3. ábra). I [U Ez a

szög a kezdőfázis wagy fázisállandó.

1. MECHANIKA

113

Ennek felhasználásával egy tetszőleges - későbbi t időpont­ ban - a rezgés fázisa: a=

(f]

így a kitérés: Y =

-I -

cp).

A sebesség-idő függvény Mivel a két test árnyéka egjóitt mozog, ezért a körmozgást végző test sebességének függőleges vetülete megegyezik a rez­ gőmozgást végző test sebességével (1.90. ábra): V — R jjc o s { ü jt) .

Tekintettel arra, hogy R = A , ezért V —

A ü J C O s { ü jt).

Amennyiben a kezdőfázis (/?, akkor V =

I

A ü J C O S { ü jt . +

(p ).

® Az Aüj kifejezést sebességamplitúdónak is nevezzük, ez a rezgőmozgást végző test legnagyobb sebessége.

114

1. MECHANIKA

A gyorsulás-idő függvény A körpályán mozgó test gyorsulása = Ro?, iránya a kör középpontja felé mutat. Ennek a függőlegesre eső vetülete lesz a rezgőmozgás gyorsulása, amely mindig a test egyensúlyi hely­ zete felé mutat (1.91. ábra): üy -

—iíw^sin

( ü jt )

= —Acj^sin

(ű rt)

Vegyük észre, hogy Asin (cot) - y, így a = -uPy azaz a gyorsulás arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes.

I

[H Az Ao)^ kifejezést gyorsulásamplitúdónak is nevezzük, ez a rezgőmozgást végző test legnagyobb gyorsulása.

1.11.2. EGYIRÁNYÚ REZGÉSEK ÖSSZETÉTELE Készítsük el az 1.92. ábrán látható kísérleti berendezést! A két egyforma rugón két egyforma tömegű testet függesztettünk fel. A két testet vékony fonal köti össze, amelyen kis tömegű

1. MECHANIKA

/////.

115

mozgócsiga függ. Figyeljük meg, hogyan mozog a csiga tengelyére függesztett test, ha a két testet rezgésbe hozzuk! Megfigyelése­ inkből a következők állapíthatók meg. HJKét azonos frekvenciájú harmonikus rezgésnek az eredője is harmonikus rez­ gés. Az eredő rezgés frekvenciája meg­ egyezik az összetevők frekvenciájával, de az amplitúdó különbözik. 1.92. ábra

Ezek után számítsuk ki az eredő rezgés amplitúdóját és kez­ dőfázisát! Legyen a két rezgést leíró függvény Y\ = A\ sin(u;í) Y

2=

A 2 s i n { u j t + (p ).

Keressük az eredő rezgést Y =

+ 6)

alakban. Az Fi + F 2 = .y összefüggés minden időpontban teljesül, azaz Aisin(a;í)

A2SÍn(o;í +

á).

(p) =

A B és ő állandók meghatározásához helyettesítsük a t válto­ zó helyére a í = 0 , illetve a í = értékeket, így A2sin(/? = 5sinŐ A i + >l2Cos(^ = BcosS

(t — 0) (t —

Osszuk el az első egyenletet a másodikkal:

116

1. MECHANIKA

tgb =

^2sin<^ Ai + A2C,os(p

Ezzel meghatároztuk az eredő rezgés kezdőfázisának tangensét. Az eredő rezgés amplitúdójának meghatározásához emeljük négyzetre a két egyenletet, majd adjuk őket össze. A számítá­ sok elvégzése után = A \ - [ - A ^ + 2 A iA 2 C o s ip

adódik. Eredményünk úgy is értelmezhető, hogy az azonos frekvenciájú rezgések amplitúdói vektorként összegezhetők (1.93. ábra).

Ezek szerint
illetve

I 2 = ^sin(u;2Í)-

Képezzük a két függvény összegét! Az ismert trigonometriai azonosságok felhasználásával: Y = Y i + ¥ 2 =^ 2A- cos

- í<^2) 0

sin

4- U2 )

.

1. MECHANIKA

117

Nagyon érdekes görbét kapunk abban az esetben, ha a két rezgés frekvenciája csak kismértékben különbözik. Az amplitúdó lassan, a különbségi frekvencia szerint válto­ zik, a összetett rezgés kitérésének burkológörbéit két ellentétes fázisú, kis frekvenciájú harmonikus görbe alkotja (1.94. ábra). Ez a lebegés jelensége.

1.94. ábra

1.11.3. EGYMÁSRA MERŐLEGES REZGÉSEK ÖSSZETÉTELE [Hl Hosszú fonálra függesszünk fel egy függőlegesen átfúrt testet, majd kössük ki négy rugóval az 1.95. ábrán látható mó­ don! Helyezzünk el egy filctollat a furatba, majd indítsuk el a rezgést különféle kezdeti feltételekkel! Figyeljük meg a test alá helyezett papíron kialakuló görbéket!

1.95. ábra

118

1. MECHANIKA

E Oszcilloszkóp X illetve Y bemenetelre kapcsoljunk hanggenerátort! Figyeljük meg a kialakuló görbéket! Akár a mechanikai, akár az elektronikai rendszerrel dolgo­ zunk, az X = y

^isin

{(jJit)

= A 2 sin

+ ¥?)

paraméteres egyenletrendszerrel megadott alakzathoz tartozó görbét rajzoltatjuk fel a papírra, illetve eiz oszcilloszkóp képer­ nyőjére. Vizsgáljunk meg néhány speciális esetet! Legyen először wi = a;2 és = 0. Ekkor X

y

A\

A2

Ez egy olyan egyenes egyenlete, amely­ nek meredeksége AxjA^ (1.96. ábra). Hasonló a helyzet ip = n esetén is. (1.97. ábra). 1.96. ábra

1.97. ábra

Érdekes a
Ai

— sin(a;<)

y = cos(u;í)

1. MECHANIKA

119

A két egyenletet négyzetre emelés után összeadva: — +^=1 középponti helyzetű ellipszis egyenletét kapjuk. Belátható, hogy tetszőleges 0 < <^ < tc esetén is ellipszishez jutunk, csak tengelyei nem lesznek párhuzamosak az x illetve y tengellyel. Érdekes speciális eset az = >Í2 és a 97 = nl2 eset is. Ekkor ugyanis a két rezgés eredője körmozgás. Különböző frekvenciájú egymásra merőleges rezgések eredő­ jét reprezentáló görbék analitikus alakját már igen nehéz meg­ adni. Könnyű belátni, hogy önmagába visszatérő görbét csak akkor kapunk, ha a két frekvencia aránya racionális. Az egy­ másra merőleges, különböző frekvenciájú rezgések eredőjeként kapott görbék a Lissajous görbék.

1.11.4. A REZGŐMOZGÁS DINAMIKAI LEÍRÁSA Már láttuk, hogy harmonikus rezgőmozgás esetén a = -( J y , azaz a gyorsulás arányos a kitéréssel, és mindig az egyensúlyi helyzet felé mutat. Ezt összevetve a dinamika alaptörvényével megállapíthatjuk: [H Egy pontszerű test harmonikus rezgőmozgást végez, ha a reá ható erők eredője a nyugalmi helyzettől mért távolsággal arányos és mindig a nyugahni helyzet felé mutat.

A rugón rezgő test rezgésideje Mozogjon egy m tömegű test vízszintes súrlódásmentes felü­ leten, D rugóállandójú rugó hatása alatt (1.98. ábra). Mozgásegyenlete:

120

1. MECHANIKA

W A V W ( W ~F> 1.98. ábra

ma — —Dx ebből a — —{Dfm)x Mivel a = —üj^x ezért u? — D /m adódik. Tekintettel az (ít-2%IT összefüggésre, a rezgésidő

Látható, hogy a rezgésidő csak a test tömegétől és a rugó erősségétől függ, és nem függ pl. a rezgés amplitúdójától.

Az ingamozgás 1] Függesszünk vékony fonálra kisméretű testet! Ha a test pontszerű és a fonál tömege elhanyagolható, akkor matemati­ kai ingáról vagy fonálingáról beszélünk. Számítsuk ki az inga lengésidejét! A testre két erő hat, a K fonálerő és a nehézségi erő. Bontsuk fel ezeket sugár- és érintőiránjoi összetevőkre! Mivel a K kötél­ erő mindig sugárirányú, érintőirányú összetevője csak a nehéz­ ségi erőnek van (1.99. ábra).

1. MECHANIKA

F=mg

121

sina

'mg 1.99. ábra

F = mgsina

Abban az esetben, ha a kitérés kicsi (a szöget radiánban mér­ jük), a szög szinusza kb. megegyezik a szöggel: F — mgsina;;

így a test mozgásegyenlete: moe = —mga;

hiszen a test a kitéréssel ellentétesen gyorsul. Az ábráról leol­ vasható, hogy a = j ezért a mozgásegyenlet m-mel való egysze­ rűsítés után a következő alakot ölti: aé = - x j Tehát a mozgás harmonikus rezgőmozgás, mert a gyorsulás a kitéréssel arányos, de azzal ellentétes. Mivel — J szert T = Megállapíthatjuk, hogy kis kitérés esetén a matematikai inga lengésideje sem a kitéréstől, sem a tömegtől nem függ.

122

1. MECHANIKA

A fizikai inga I [H A súlypontján kívül felfüggeszett, lengeni képes merev test ján kív &fizikai inga. I [H Adott fizik fizikai ingával együttlengő matematikai inga hossza a fizikai inga redukált hossza. Lengessünk együtt egy fizikai ingát a neki megfelelő matema­ tikai ingával (1.100. ábra)!

A fizikai inga tömege legyen m, az A felfüggesztési pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka O, az A felfüggesztési pont és S súlypont távolsága pedig s. Amikor az A S szakasz a függőlegessel a szöget zár be, a test­ re M = mgsina nagyságú forgatónyomaték hat, amely mg sin a /3 = . 0 szöggyorsulást hoz létre. A vele együtt lengő matematikai inga szöggyorsulása is ugyanekkora: 0

= f

1. MECHANIKA

123

A két kifejezést összehasonlítva a redukált hosszra 1

=

e ms

adódik. így a fizikai inga lengésideje:

A rezgő rendszer energiája [r]Ha az ideális rugóhoz kapcsolt testből és a rugóból álló rendszerre ható külső erólc eredője nulla, akkor a rendszer összenergiája állandó. Rezegjen egy m tömegű test vízszintes, súrlódásmentes aszta­ lon, D direkciós állandójú rugóhoz kapcsolva (1.101. ábra).

vw w w 1.101. ábra

Ekkor a pillanatnyi kitérés, ill. sebesség: X = >lsin(ü;í); illetve V

- Aw cos{ut).

íijuk fel a rugó helyzeti, ill. a test mozgási energiájának őszszegét: E = ^ Dx^ + ^ mv^ = ^ DA^ sin^ ( u t ) + ^ mA^ uP cos^ {uA) li li ~ li

124

1. MECHANIKA

Vegyük észre, hogy D — muP, így az | DÁ^ kiemelhető, tehát E = l-DA‘^(sín^{u)t) + cos^ (uit)). Zi A zárójelben lévő kifejezés értéke 1, így a rendszer összenergiája valóban állandó. 2

Mivel D = mco^ és Vmax = formában is felírható: ^

ezért az anergia a következő 1

2

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a rendszer mozgási energiája és rugalmas energiája a mozgás során egymásba alakul át, kétszer nagyobb frekvenciával, mint a rezgőmozgás frekvenciája.

1.11.5. A CSILLAPÍTOTT REZGÉS Amennyiben a testre a rugóerőn kívíil más (nem konzerva­ tív) erő is hat, akkor a rendszer energiája folyamatosan csök­ ken: a rezgés amplitúdója egyre kisebb lesz, a rezgés csillapo­ dik. Ha a testre a rugóerőn kívül csak a súrlódási erő hat, akkor megmutatható, hogy a test maximális kitérése minden félperió­ dusban ugyanannyival csökken, így az egymást követő amplitú­ dókra egyenes fektethető (1.102. ábra).

1. MECHANIKA

125

Ha a test mozgását a csúszási súrlódási erő helyett valamilyen sebességtől függő (pl. közegellenállási) erő csillapítja, akkor be­ látható, hogy a test maximális kitérése kezdetben rohamosan, későljb egyre kevésbé csökken, így az egymást követő amplitú­ dók egy exponenciális görbére illeszkednek (1.103. ábra). Nagy viszkozitású folyadékban (pl. méz) előfordulhat az is, hogy nem is jön létre egy teljes rezgés, hanem az 1.104. ábrán látható módon fog mozogni a test. Ezek az aperiodikus mozgá­ sok.

1.11.6. A KÉNYSZERREZGÉS ÉS A REZONANCIA Ha egy rezgőképes rendszert egyensúlyi helyzetéből kitérítve magára hagyunk, akkor ún. szabad rezgést végez, amely a kör­ nyezettől függően valamilyen mértékben csillapodik. Ha egy ilyen rezgőképes rendszerre periodikus erő hat, akkor ez az erő „gerjeszti” a rendszert. Állandó amplitúdójú harmonikus rezgés jön létre, amelynek frekvenciája megegyezik a gerjesztő rezgés vagy erő frekvenciájával, amplitúdója és kezdőfázisa viszont at­ tól eltér. [Hl A probléma vizsgálata kísérletileg igen egyszerű: kézbe ve­ szünk egy lehetőleg „laza” rugót és ráakasztunk egy testet. A rugó kézben tartott végét periodikusan .fel-le mozgatjuk. Változtassuk a frekvenciát! Megfigyelhetjük, hogy a frekven­ cia növelésével a létrejött rezgés amplitúdójú is nő, és égé-

126

I

1. MECHANIKA

szen nagy amplitúdó is kialakulhat. Ha tovább növeljük a frekvenciát, a gerjesztett rezgés amplitúdója csökkeni fog. [Ü Az egészen nagy amplitúdó létrejötte a rezonancia. Ekkor a kényszerítő rezgés frekvenciája közelítőleg megegyezik a rezgőképes rendszer szabad rezgésének a frekvenciájával, az ún. sajátfrekvenciával”.

Vízszintes súrlódásmentes asztalon elhelyezett D rugóállan­ dójú rugóhoz (a rugó húzó-nyomó rugó) kössünk m tömegű tes­ tet (1.105. ábra). A test csak a rugó egyenese mentén tud mozogni. Hasson a testre egy Fosinco t F = FoSÍn((uí) geijesztőerő, va­ -w V v W lamint a sebességtől függő csillapítóerő is. írjuk fel a test mozgásegyenletét! 1.105. ábra

ma — —D x — kv + i^osin(cjí) Kísérletünk alapján keressük a megoldást X =

Asin(a;í + (p)

alakban. Ekkor a sebesség- és a gyorsulásfüggvény: V = Au!cos{ijjt + íf); illetve a — —Ao/sin{üjt -1- (p) Helyettesítsük be ezeket a mozgásegyenletbe! Rendezés után a következő egyenletet kapjuk: A{D —mu^)sm{ut + y>) + kAu}cos{u)t + ^) = íosin(a;í) Az egyenlőségnek minden időpontban teljesülnie kell, így a í == 0, illetve í = ^ időpontokban is. Behelyettesítve: A{D —míJ^)sin(p -|- kAucos

(í = 0) (t — V 2uj/

1. MECHANIKA

127

A két egyenletet négyzetreemelve és összeadva, a kétszeres szorzatok kiesnek. Mivel a négyzetes tagok együtthatóinak öszszege 1 (sin^i^ + = 1), ezért rendezés után az {D - mw2)" + —küj tg(^

, illetve

összefüggésekhez jutunk. Az első egyenlet szerint az amplitúdó ott maximális, ahol a nevező minimális. Ehhez a következő függvény szélsőértékét kell meghatározni az aP' változó szerint: f{J^) = {D — A szélsőérték: ÜJr,

U , ü J2n = — ^ . = \ OJt, - * • ahol "ö 2m m

Amennyiben a csillapítás (A:) kicsi, akkor ^rezonancia ^

azaz a gerjesztő frekvencia közelítőleg megegyezik a rendszer saját frekvenciájával. A következő két ábráról az amplitúdó il­ letve a kezdőfázis frekvenciafüggése olvasható le (1.106 és 1.107. ábra).

1.106. ábra

128

1. MECHANIKA

1.11.7. CSATOLT REZGÉSEK [k] Függesszünk fel egjmiás mellé két azonos hosszúságú, azo­ nos tömegű intág (1.108. ábra)! Kössük őket össze egy fonallal, akasszunk a fonalra egy kis súlyt, majd lengessük meg az egyiket. Azt tapasztaljuk, hogy az első in­ ga lengése nemsokára megáll, a második viszont '/////////Y . nagy amplitúdóval fog lengem, majd a második áll le, és újra az első fog lengeni, egymás között periodikusan cserélgetik az energiát. A periódusi­ dő attól függ, hogy mekkora súlyt akasztottunk a fonálra, azaz mennyire erős a csatolás a két inga között. Két esetben nem tapasztalunk energiaván­ dorlást: ha a két ingát azonos, ill. ellentétes fázisbán indítjuk. ® ® 1.108. ábra

[d] Ezek a rezgések a csatolt rendszer normálrezgései (vagy alapmódusai) E két indítás két különböző, de közel azonos rezgésidőt pro­ dukál, így a rendszer két tagja között energialebegés áll fenn.

I

1.12. HULLÁMOK 1.12.1. MECHANIKAI HULLÁMOK Hl Hosszú (3...4 m), laza rugó egyik végét rögzítsük, a másik végét pedig hirtelen rántsuk meg hosszirányban! Azt tapasztal­ juk, hogy az így létrehozott deformáció végigfut a rugón, majd a rögzített végről visszaverődik. Ugyanezt tapasztalhatjuk akkor is, ha keresztirányban ráütünk. Ekkor egy „völgy” fut végig a rugón. Ha jobban megfeszítjük a rugót, akkor gyorsabban ter­ jed a deformáció, ha kevésbé feszítjük meg, akkor lassabban. [k] Vizsgáljuk meg a visszaverődés jelenségét. Indítsunk el egy keresztirányú deformációt, egy „völgyet”! Megfigyelhetjük, hogy ha a rugó másik vége rögzített, akkor a visszaverődés után

1. MECHANIKA

129

„hegy” alakú a deformáció, míg szabad vég (A rugó vége ke­ resztirányban szabadon mozoghat) esetén visszaverődés után is „völgy” alakú a deformáció. Az is megfigyelhető, hogy a rugó két végéről egyszerre indított deformációk mintegy „áthalad­ nak” egymáson. A találkozás helyén lévő pontok mind a két „utasításnak” eleget tesznek, azaz a két kitérés összeadódik, szuperponálódik. [E Határozzuk meg egy rugalmas rúdban a rúd irányú defor­ máció terjedési sebességét (1.109. ábra). /l = c f

------------------

1.109. ábra

Modellezzük a rudat olyan m tömegű tömegpontokkal, ame­ lyeket rugók kötnek össze! Húzzuk meg a rúd végét igen rövid ideig ható F erővel! Ennek az erőnek a hatása nem abban nyil­ vánul meg, hogy a rúd gyorsulni kezd, hanem abban, hogy azok a tömegpontok kezdenek el v sebességgel mozogni, amelyekhez a hatás eljutott. Nézzük meg, hogy Aí idő alatt mekkora tömegű darab jön mozgásba v sebességgel. Ha a hatás terjedési sebessé­ ge c, akkor Aí idő alatt a hatás li — cAt távolságig jut el, így a mozgásba jött A keresztmetszetű /i hoszszúságú darab tömege: m — gAcAt; az impulzusa: I = mv = gAcAtv. Az impulzus és az erő kapcsolata alapján: A/ F = — = gAcv.

130

1. MECHANIKA

Az F erő kifejezhető a Hooke-törvény alapján is: F =A E ^ Ah Mivel az AZ megnyúlás cAí-vel egyetilő, ezért F^AEc. így a két egyenlet jobb oldalát egyenlővé téve, rendezés után a hatás terjedési sebességére a következő kifejezést kapjuk:

[f] Határozzuk meg egy rugalmas fonálon kihajlással létreho­ zott deformáció terjedési sebességét!

Az egyszerűség kedvéért válasszunk olyan koordináta-rendszert, amely a deformáció terjedése irányában, azzal azonos se­ bességgel mozog. Ebben a koordináta-rendszerben a deformá­ ció „egy helyben áll”, míg a fonál -c sebességgel mozog (1.110. ábra). Szemeljük ki a kötél azon elemi Am tömegű darabját, amely a kiemelkedés tetején található! A deformáció tetejének a környezetét^ geometriailag körrel helyettesíthetjük, így azt mondhatjuk, hogy a kiszemelt darabka c sebességgel körmoz­ gást végez. A Am tömegű darabka körpályán tartásához szüksé­ ges centripetális erő: F = A m -;

1. MECHANIKA

131

ahol R jelenti a mozgást leginkább közelítő kör, az ún. simuló kör sugarát. Ez az erő csak a kötelet feszítő F eróljől származ­ hat. Az F erő a kiszemelt A/ hosszúságú Am tömegű kötéldarab végeire hat. Ennek a kötéldarabnak a tömege Am = ^ylA/ A A/ hosszúságú darabhoz tartozó középponti szög ip. Ha a kötéldarab végeire ható erő F, akkor a kör középpontja felé ha­ tó eredő erő: Fe = 2Fsin^ Mivel

kicsi, sinv?

<~p,

így

?

1

Fe =

—.

F (p =

Továbbá A l = R
QÁ

vagyis a deformáció terjedési sebessége a fonálban ható feszítőerő négyzetgyökével arányos. A qA szorzat a fonál egy­ ségnyi hosszúságú darabjának tömegét adja meg, aminek négy­ zetgyökével fordítottan arányos a terjedési sebesség. [U A terjedési irányra merőleges kitéréssel mozgó „zavar” transzverzális, míg a terjedési iránnyal megegyező kitéréssel mozgó „zavar” longitudinális.

132

1. MECHANIKA

1] Mozgassuk egy „laza”, hosszú rugó rögzítetlen végét üte­ mesen fel és le. Megfigyelhetjük, hogy a rugón hullámhegyek illetve völgyek futnak végig. Ha a fel-le mozgatás harmoni­ kus, akkor a rugó egyes pontjai is ugyanolyan frekvenciájú és amplitúdójú harmonikus rezgőmozgást végeznek, csak idő­ ben kissé kés61)b, mint a kezdőpont. Találhatunk olyan pon­ tokat a rugón, amelyek azonos ütemben mozognak.

I

[d] Két ilyen szomszédos, azonos ütemben mozgó pont távol­ sága a hullámhossz. m Ha a rezgésállapot terjedési sebessége c, ekkor a hullám­ hossz az a távolság, melyet a zavar pontosan a T rezgésidő alatt tesz meg, azaz \ = cT

szokásos még ezt a kifejezést az egyes pontok rezgésének frek­ venciájával ( / = is kifejezni: - 7

A hullám matematikai leírása Legyen a rezgéskeltés helyének kitérés idő függvénye y{t) — Asin(cjí) A tőle X távolságra lévő pont csak később kezd el rezegni, hi­ szen Aí = c idő kell ahhoz, hogy a rezgésállapot eljusson odáig, így a kisze­ melt pont kitérés-idő függvénye: Y{Xyt) — ylsin^tí;(í —- ) j

1. MECHANIKA

133

A kapott kétváltozós függvény hely és idő szerint periodikus, hiszen mind rögzített t, mind rögzített x esetén a másik változó szinuszos függvénye. Vegyük észre, hogy eredményünk egy­ aránt használható transzverzális és longitudinális hullámokra is!

A polarizáció [Hl Indítsimk egy rugalmas kötélen transzverzális hullámokat úgy, hogy a kezdőpont kitérésének irányát állandóan változtat­ juk. Ha a kötelet egy keskeny, függőleges helyzetű résen vezet­ jük keresztül, azt tapasztaljuk, hogy a rés után a kötél minden pontja függőleges irány mentén rezeg. A rés a sokféle rezgési irány közül egyet választott ki, polarizálta a hullámot. Ha a kötelet egy másik, keskeny, vízszintes helyzetű résen ve­ zetjük keresztül, azt tapasztaljuk, hogy a hullámjelenség meg­ szűnik, teljes kioltás következik be. Ha a kísérletet longitudiná­ lis hullámokkal végezzük el, változást nem tapasztalunk, hiszen a terjedési irány megegyezik a rezgés irányával. [H Ha egy megfigyelt pont rezgésének iránya mindig egyazon egyenesbe esik, lineárisan poláros hullámról beszélünk. Ha egy megfigyelt pont rezgésének iránya egyenletesen körben jár, akkor cirkulárisán poláros a hullám.

A felületi és térbeli hullámok terjedése E Csepegtessünk vizet egy nagy tálban lévő víz {hullámkád) felszínére! Azt tapasztaljuk, hogy a becsapódás helyéről induló deformáció minden irányban állandó sebességgel terjed, így egyre nagyobb sugarú kört látunk a víz felszínén haladni. Ha a víz felszínét egy pontjában periodikusan ütögetjük, akkor kör­ hullámok alakulnak ki. Az azonos fázisú pontok a forrással koncentrikus körök, ezek alkotják a körhullámok hullámfront­ jait. Ha a víz felszínét nem csak egy pontjában, hanem egy sza­ kasz mentén periodikusan ütögetjük, akkor vonalhullámok ala­ kulnak ki. Az azonos fázisú hullámfrontok egymással párhuza­ mos egyenesek. Térben gömbhullámokról, ill. síkhullámokról is beszélhetünk.

134

1. MECHANIKA

13 Helyezzünk a hullámkádba kör alakú lemezt, amelyen egyenlő távolságokban rések helyezkednek el, és indítsunk a középpontból körhullámokat! Azt tapasztaljuk, hogy a résekből mint forrásokból kis körhullámok indulnak ki, amelyek a le­ meztől „távol” olyan körhullámokká állnak össze, amelyek kö­ zéppontja az eredeti hullámforrás. [k] Ütögessük a vízfelszínt egy „fésűvel”! Azt tapasztaljuk, hogy a „fésűfogakból”, mint hullámforrásokból körhullámok indulnak ki, amelyek a „fésűtói” távol vonalhullámokká állnak össze. Ezekre a jelenségekre támaszkodik a Huygens-elv. E A hullámfront minden pontjából elemi körhullámok (térben gömbhullámok) indulnak ki. Ezen elemi hullámok burkolófelülete az új hullám front. A Huygens-elv segítségével nagyon egyszerűen magyarázha­ tó a visszaverődés és törés jelensége.

A hullámok visszaverődése

I

H] A beeső és visszavert hullámok teijedési iránya a beesési merőlegessel azonos szöget zár be (1.111. ábra).

A beeső síkhullám sebességének iránya zárjon be a szöget az ún. beesési merőlegessel, a hullámfront A pontja legyen éppen

1. MECHANIKA

135

a határfelületen. Ebben a pillanatban az A pontból elemi körhullám indul ki „visszafele”, míg a hullámfront B pontja még A s — cAt távolságra van a határfelülettől. A At időköz alatt, míg a hul­ lámfront B pontja is megérkezik a határfelületre, az A pontból induló elemi hullám frontja A s = cAt utat tesz meg. A hullámfront egy A középpontú sugarú kör. A Huygens-elv szerint az új hullámfront ennek a körnek a Bi pontból húzott érintője. Legyen az érintési pont az Ai. Az 1.112. ábráról leolvasható, hogy az AB Bi, illetve az A B iA i há­ romszögek egybevágóak, mert megegyezik két oldaluk és a na­ gyóbbikkal szemköztes szögük. így a visszavert hullám frontja szintén a szöget zár be a határfelülettel.

Ez a szög viszont ugyanakkora, mint a sebességnek a beesési merőlegessel bezárt szöge.

A hullámok törése \t\ Ha egy hullám új közegbe ér, akkor a beesési és törési szö­ gek szinuszai úgy aránylanak egymáshoz, mint a terjedési se­ bességeik. A beeső síkhullám sebességének iránya zárjon be a szöget az ún. beesési merőlegessel (1.113. ábra). A hullámfront A pontja

136

1. MECHANIKA

legyen éppen a határfelületen. Ebben a pillanatban az A pont­ ból elemi körhullám indul ki a másik közegben, míg a hullám­ front B pontja még Asi = ciA t távolságra van a határfelülettől. A Aí időköz alatt, míg a hul­ lámfront B pontja is megérkezik a hatáfelületre, az A pontból induló elemi hullám frontja A«2 = C2AÍ Utat tesz meg az új közegben, a hullámfront egy A középpontú As2 sugarú kör. A Huygens-elv szerint az új hullámfront ennek a körnek a B^ pontból húzott érintője. Legyen az érintési pont az A i. Az ábráról leolvasható, hogy az A B B i illetve az AB^Ai háromszögek alapjai megegyeznek. írjük fel mindkét három­ szögben az a, illetve jS szög szinuszát! At ABi At sin/3 = C2 a Fi

sma = Cl

1. MECHANIKA

137

A két egyenlőség hányadosát véve éppen a kívánt összefüg­ géshez jutunk: sina : sin/3 = ci : C2 [U A ^ hányados a törésmutató, jele: n. Ha Cl nagyobb, mint c^, vagyis n > 1, akkor a jS szög kisebb lesz mint a, azaz minden beesési szöghöz tartozik törési szög. A fordított irányú határátmenetre n értéke 1-nél kisebb, így a törés szöge lesz a nagyobb. A beesés szögét növelve elérhetjük, hogy a törés szöge eléije a 90°-ot. Ha tovább növeljük a beesés szögét, akkor a hullám már nem lép át az új közegbe, teljes viszszaverődés következik be, amelynek határszögének szinusza: 1 sma —— n

Az interferencia [D A hullámok találkozása az interferencia. Ha a hullámok azonos fázisban (hegy a heggyel) találkoznak, akkor erősítik, ha ellentétes fázisban (hegy a völggyel), akkor gyengítik egymást. E Indítsunk a hullámkád két, egymástól d távolságra lévő pontjából körhullámokat! Azt figyelhetjük meg, hogy az erősítések, ill. gyengítések szabályos görbéken helyezkednek el. Milyen görbék ezek? Ahhoz, hogy a hullámtér egy adott pont­ jában tartósan erősítés vagy gyengítés alakuljon ki, az kell, hogy a két forrástól mért útkülönbség a hullámhossz egész számú, il­ letve a hullámhossz felének páratlan számú többszöröse legyen, azaz n —V2 — kX, illetve ri —r 2 = {2k + 1)

Zi

Ezek a görbék hiperbolák, hiszen a hiperbola azon pontok halmaza a síkon, amelyek két ponttól mért távolságkülönbsége állandó.

138

1. MECHANIKA

Változtassuk meg a két hullámforrás távolságát! Ha ez a d tá­ volság A/2 alá csökken akkor, mint a háromszög-egyenlőtlenségből látható, egyáltalán nem lesz maximális gyengítés, ill. maxi­ mális erősítés, a 0. rend (k = 0) kivételével, ott ugyanis mindig maximális erősítés van. m Általában az interferencia észlelhetőségének feltétele az, hogy a két hullámforrás fáziskülönbsége időben állandó. Ez az ún. koherencia-feltétel. Az általunk vizsgált esetben a fáziskülönbség nulla volt, a ka­ pott összefüggés is csak erre az esetre érvényes. Nyilvánvaló, hogy a maximum- és minimumhelyek függenek a két hullámfor­ rás fáziskülönbségétől is. Ha pl. a fáziskülönbség n, akkor az előző formulák éppen a másik szélsőértéket szolgáltatják, va­ gyis, ha az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse, akkor lesz minimum, és a másik esetben lesz a maximum. [k] Indítsunk a hullámkádban körhullámokat, és tegyünk az útjába változtatható szélességi! rést (1.114. ábra)!

1.114. ábra

A rés fokozatos szűkítésével a hullámjelenség kiterjed az egész ámyéktérre. Ez az elhajlás jelensége. Azt is megfigyelhet­ jük, hogy a rés után a hullámfrontok „lukasak”, márpedig egy burkológörbe nem lehet lukas. A dilemmát Fresnel oldotta meg a Huygens-elv módosításával.

1. MECHANIKA

139

[D Huygens-Fresnel-elv A hullámfront minden pontjából elemi körhullámok (térben gömbhullámok) indulnak ki. Ezen elemi hullámok interferen­ ciája adja az új hullámfrontot. 1] Bocsássunk síkhullámot résre, és figyeljíik meg az áthala­ dó hullám frontj át! Tapasztalataink szerint bizonyos irányokban nem lesz hul­ lámterjedés (itt „lukas” a hullámfront), míg más irányokban maximum található (1.115. ábra).

\

\\ I I !

/

/

1.115. ábra

A jelenség magyarázatát a Fresnel-elv segítségével adjuk meg. A beeső síkhullám egyenlete: Y = ^sin

—-)^

Legyen a rés szélessége d, és osszuk a rést n részre. Tekintsük ezeket elemi hullámforrásoknak. Az ezekből kiinduló elemi hullámok egyenlete legyen

Vizsgáljuk meg, hogy az eredeti terjedési iránnyal a szöget bezáró irányban mekkora amplitúdó alakul ki (1.116. ábra)!

140

1. MECHANIKA

A két szélső elemi hullám közötti fáziseltérés; X

w d s in a

(f — w —= -------c c

Két szomszédos hullám között a fáziskülönbség ennek n-ed része, azaz ipln. Az amplitúdók vektorokként adódnak össze, esetünkben n darab egyenlő hosszú, egjmiással ípin szöget bezá­ ró vektort fűzünk egymás után (1.117. ábra).

A keresett amplitúdó ezek vektori összege. Ha finomítjuk a felosztást, akkor a sokszög egyre jobban megközelíti a körívet, amelynek A hossza a beeső hullám amplitúdója (1.118. ábra). Jelöljük a kör sugarát /?-rel! Ekkor A = R(p, ill. Aa = 2ifein(^) A két egyenlőségből a kör sugarát behelyettesítve

1. MECHANIKA

141

s in A , = 2 A ----^ adódik. Az intenzitás az amplitúdó négyzetével arányos, így az adott a irányban az intenzitás sin^^ 'T Ez akkor nulla, ha

-1 1 ) = » azaz (f/ 2 = 0 + fcTT Mivel (rt = ^

X 27rdsino! , _ ^ w - — —— ---- es I C — Á

c

Te

ezért rendezés után dsina —kA adódik a kioltási irányokra. A maximumirányokat jó közelítéssel ott kaphatjuk, ahol Sin azaz (p 7T 2 ^ 2 + "^ Az elózóvel azonos meggondolás alapján a maximumirá­ nyokra a következő összefüggést kapjuk dsina = (2k + 1) ^ Az 1.119. ábrán az intenzitáseloszlási görbe látható.

142

1. MECHANIKA

1.12.2. ÁLLÓHULLÁMOK [U Hosszú gumikötél egyik végét rögzítsük, másik végét pe­ dig rezegtessük változó frekvenciával. Megfigyelhetjük, hogy vannak olyan frekvenciák, amelyeknél a kötél egyes pontjai njoigalomban vannak {csomópontok), illetve vannak olyan pon­ tok, amelyeknek a kitérése maximális (duzzadó helyek). A kö­ tél egyes pontjai a haladóhullámokkal ellentétben, helytől füg­ gő amplitúdóval rezegnek (1.120. ábra).

1.120. ábra

A jelenség magyarázata a következő. A kötél rögzített végé­ ről visszaverődő hullám interferál a kötél vége felé haladó hul­ lámmal. Mindkét hullám terjedési sebessége és frekvenciája azonos, a visszavert hullám n fázisugrást szenved a rögzített végről történő visszaverődés miatt. Legyen a találkozás helye a kezdőponttól számított x távol­ ságra. A visszavert hullám útja ekkor 21- x . Az összeadandó két függvény:

1. MECHANIKA

143

Yi = A sin ^w(t — 21

(

—X

W { t ----------------) + 7T

Az eredő hullámot leíró függvény a megfelelő trigonometri­ kus azonosságok felhasználásával a következő: Y = Yi + Y2 — 2Asin^w^— ^ cos^w(í —-) Mint a formulából látható, a szorzat egyik tényezője csak a helytől, a másik tényező viszont csak az időtől függ. A helytől függő tényező határozza meg az ampHtúdót. Ahol ez nulla, ott lesz csomópont, ahol ez 1, ott lesz duzzadóhely; I —X

w ---------=

c

,

Aivr,

ill.

t — X

,

,

tt)---------- =(2fc

c

. 7T

+ l)

—.

2

így a csomópontok illetve duzzadóhelyek távolságára l — X — k ^ \ 111. l — X — {2k + 1)^ adódik. Látható, hogy mind a szomszédos csomópontok, mind a szomszédos duzzadóhelyek távolsága XI2. Ha egy / hosszúságú, mindkét végén rögzített húrt rezgetünk, akkor csak olyan hul­ lámhosszú állóhullámok alakulhatnak ki, melyeknél a kötél hossza a félhullámhossz egész számú többszöröse: 2

= ,

A= | : / = t k ■ ’ 21

A k = l értékhez tartozó frekvencia az ún. alapfrekvencia. Az összes többi ennek egész számú többszöröse, amelyeket felhar­ monikusoknak nevezünk. Vegyük még észre, hogy két szomszé­ dos csomópont között a kötél pontjai azonos fázisban rezegnek, míg egy csomópont két oldalán a fázis ellentétes, vagyis a fáziskülönbség éppen 71.

144

1. MECHANIKA

1.12.3. A HANG I 11 Általános értelemben m ben a rugalmas közegekben kö5 terjedő longitudinális hullámokat nevezzük hanghullámoknak. Ezen belül a 2 0 -------- 2 0 0 0 0 Hz közötti frekvenciájú hullá­ mok a hétköznapi értelemben vett hanghullámok. A hang terje­ déséhez közvetítő közeg szükséges. [k] Tegyünk légszivattyú burája alá elektromos csengőt, kap­ csoljuk be, majd szívjuk ki a levegőt. A csengő fokozatosan el­ halkul, jelezve, hogy légüres térben nem terjed a hang. Hogyan határozhatjuk meg a hang terjedési sebességét? E Egy hosszú, felül nyitott üvegcső alsó részét merítsük vízbe, fölé pedig tartsunk ismert rezgésszámú hangvillát (1.121. ábra)! A csövet kiemelve a vízből, egy bizonyos távolságnál fel­ erősödik a hang, továbbemelve elhalkul, majd ismét felerősö­ dik. A két erősítési hely távolsága XI2 (mind a kettő csomó­ pont) jól mérhető, így a hang terjedési sebessége: c = fX

1.121. ábra

1. MECHANIKA

145

[k] H osszú, néhány centim éter átm érőjű üvegcsőbe - Kundtcső - szórjunk parafa reszeléket, majd az egyik végét záijuk le egy m ozgatható dugattyúval! (1.122. ábra)!

1.122. ábra

Ha a másik végéhez hanggenerátorhoz kapcsolt hangszórót teszünk, a dugattyú mozgatásával elérhetjük, hogy a cső egyes helyein a parafa reszelék élénk mozgásba jön, más helyeken pe­ dig teljesen mozdulatlan. A csőben állóhullám alakul ki, amely a hangszórótól elinduló és a dugattyúról visszaverődő hanghul­ lám interferenciájának eredménye. Az élénken mozgó parafa reszelék jelzi a dvizzadóhelyeket, míg a mozdulatlanul maradó részek a csomópontokat. [k] Megfeszített húrt pendítsünk meg, majd egy libatollal érintsük meg a közepét! Ezzel az ún. alapfrekvenciát szüntetjük meg, hiszen ennek (is) van duzzadóhelye a húr felénél. Csak azok a frekvenciák maradnak meg, amelyekre a húr felezőpont­ ja csomópont. Magasabb hangot fogunk hallani, éspedig az alapfrekvencia kétszeresét. Ezután próbáljuk a harmadánál, ne­ gyedénél stb. A hallott alaphangnak a felharmonikusait kaphat­ juk meg sorban. Ezek a felharmonikusok mind jelen vannak az alaphangban, ezek határozzák meg az ún. hangszínt. [k] Helyezzünk két azonos frekvenciájú hangvillát egymás kö­ zelébe! Az egyiket hozzuk rezgésbe, majd fogjuk meg kézzel, hogy elhallgasson. Azt tapasztaljuk, hogy a másik hangvilla szól. Ennek az az oka, hogy az első hangvilla által kibocsátott hullám „gerjeszti” a másik hangvillát, és - mivel a frekvenciája azonos - a rezonancia révén rezgésbe jön. [K] Helyezzünk két azonos frekvenciájú hangvillát egymás kö­ zelébe! Az egyikre erősítsünk egy kis testet, majd hozzuk rez­ gésbe mindkettőt! Azt tapasztaljuk, hogy a hallott hang periodi­

146

1. MECHANIKA

kusan erősödik, majd elhalkul: lebegés jön létre. Az egyik hang­ villa frekvenciája kismértékben megváltozott a ráerösített test miatt, így a két hullám frekvenciája közel azonos. Ezek interfe­ renciája okozza a hanglebegés jelenségét. E Húzzunk egy sípra kb. 1 m hosszúságú gumicsövet! A cső másik végébe fújva a síp megszólal. A sípot a gumicsőnél fogva és a fejünk fölött körbeforgatva, a síp hangját hol magasabb­ nak, hol mélyebbnek hallja a megfigyelő, aszerint, hogy a síp közeledik vagy távolodik. Ez a Doppler-effektus. Az észlelt frekvencia: / = / o -cÍ — ± Ví , ha az észlelő u sebességgel közeledik, illetve c —u f = foc-\-v ha az észlelő u sebességgel távolodik. A forrás sebessége v.

2. HŐTAN 2.1. A HŐMÉRSÉKLET FOGALMA ÉS MÉRÉSE A hőmérséklet a hét Sl-alapmennyiség közé tartozik, az egyik legfontosabb fizikai állapotjelző. A mindennapi életben a hőmérséklet változását Celsíus-skálán adjuk meg, a fizikusok azonban legtöbbször a Kelvin-féle skálát használják. Ezen a ská­ lán a testek hőmérséklete elméletileg mindenféle felső határ nélkül növekedhet, viszont nem csökkenhet nulla kelvin alá, amely megfelel a -273,2 Celsius-foknak. Ezt a kitüntetett hő­ mérsékletet abszolút nulla foknak (0 K) nevezzük, mivel igen fontos szerepet tölt be a fizikai jelenségek leírásában. Számítások alapján a világegyetem hőmérséklete a kezdet kezdetén 10^® K körül lehetett, és csak a tágulása közben hűlt le a jelenlegi, közelítőleg 2,7 K átlaghőmérsékletre. A fizikusok - elméleti és gyakorlati jelentősége miatt egy­ aránt - sokat fáradoznak azon, hogy minél jobban megkö­ zelítsék az abszolút nulla hőmérsékletet. Az eddigi „leghide­ gebb”, amit 1988-ban produkáltak, 2 • 10“* K volt. A hőmérséklet köznapi, jelentését mindannyian ismerjük. Ebben a fejezetben a tudományos értelmezésére is szükségünk lesz, ezt azonban csak később vezethetjük be. Valahányszor el akarjuk dönteni két testről, hogy hőmérsék­ letük azonos vagy különböző, a termodinamika nulladik főtéte­ le szerint járunk el: Hl Ha két test külön-külön termikus egyensúlyi állapotban van egy harmadik testtel, akkor a két test egymással is termi­ kus egyensúlyban van. Ez a tétel nem vezethető le elméletileg, alapvető természeti törvény, amelyet a kísérletek igazolnak. A törvény alkalmas a testek hőmérsékletének megha­ tározására.

148_________________________ HŐTAN_____________________________

[U A hőmérséklet a testek termikus egyensúlyi állapotának meghatározó fizikai tulajdonsága. Két test hőmérsékletét ak­ kor tekintjük egyenlőnek, ha hőegyensúlyi állapotban vannak.

2.1.1. HŐMÉRŐK, HŐMÉRSÉKLETI SKÁLÁK, HŐTÁGULÁS

I

H A hőmérséklet az a fizikai alapmennyiség, amely a testek hőállapotának számszerű jellemzésére használható.

A hőmérséklet-változás a legtöbb test fizikai tulajdonságait is többé-kevésbé megváltoztatja: pl. térfogat-, elektromos ellenál­ lás-, halmazállapot-változást okoz. Ezek közül bármelyik könynyen reprodukálható és mérhető változás alkalmas a hőmérsék­ let-változás mérésére (léteznek ellenállás- és színhőmérólc is). A legelterjedtebb hőmérőkben a folyadékok hő okozta térfo­ gatváltozását használják fel a hőmérséklet-változás jelzésére. Az általában higanyt vagy alkoholt tartalmazó tartály egy kapil­ lárisban folytatódik, amit megfelelő skálával ellátva, az aktuáhs hőmérsékletnek megfelelő szint leolvasható. A nálunk leggyakoribb Celsius-skálán az egyik hőmérsékleti alappont a normál légköri körülmények között olvadó jég hő­ mérséklete (0 °C), a másik pedig a normál nyomáson forrásban lévő víz hőmérséklete (100 °C). A két hőmérséklet közötti in­ tervallum 100 egyenlő részre, azaz fokra van felosztva. Használatosak más fokbeosztással ellátott folyadékhőmérólc (Fahrenheit-, Reaumur-skála) is. Ezeknek az eszközöknek a skáláját szintén tapasztalati (ún. empirikus) úton alakították ki, egy kiválasztott alsó és egy másik felső hőmérsékleti érték kö­ zött, meghatározott számú, egyenlő skálaosztást alkalmazva. Ez a beosztás egyébként tetszőleges is lehetne, csupán az egyszerű­ ség kedvéért alkalmazzák az egyenlő közű skálát. Annak isme­ retében, hogy a hőmérsékleti skálán leolvasott érték a hőmérő­ ben lévő folyadék hőtágulásával egyenes arányban van, egyáltalán nem meglepő, hogy más folyadékok, sőt a szilárd tes­ tek hőtágulásának mértéke is egyenesen arányos a hőmérsék­ let-változással. Képletben kifejezve:

HŐTAN

149

A F = /3VbAT ahol Vo a 0 °C-on mért kezdeti térfogat. A T a hőmérséklet vál­ tozása a 0 °C-hoz képest. f3 az ún. térfogati hőtágulási együttha­ tó, amelynek mértékegysége 1/°C, az anyagi minőségre jellemző állandó.

2.2. GÁZTÖRVÉNYEK Különböző gázokkal kísérletezve azt tapasztaljuk, hogy azo­ nos körülmények között a hőtágulás mértéke - jó közelítéssel nem függ az anyagi minőségtől. Emiatt a gázok hőtágulásán ala­ puló hőmérsékleti skála nem függ a gáz anyagától, ezért is ne­ vezzük ezt a skálát termodinamikai vagy abszolút hőmérsékleti skálának. A tényleges kísérlet a 2.1. ábrán látható összeállításban vé­ gezhető el.

2.1. ábra

A vékony vízszintes csóljen higanycsepp zárja el a gázt, és tartja a belső nyomást állandó értéken. Használhatunk külön­ böző gázokat és más-más térfogatú edényeket, eredményünk jó közelítésben a következő: a tágulás mértéke független az anya­ gi minőségtől, csak a kezdeti térfogat- és hőmérséklet-változás határozza meg.

150

HŐTAN

2.2. ábra

A mérési eredményeket grafikonon ábrázolva, a kapott gör­ be mindig egyenes lesz, és ezek az egyenesek mind egy közös pontból indulnak ki (2.2. ábra). A mérési pontok által meghatározott egyenesek - a mérési hibán belül - a negatív hómérsékleti tartomány felé meghoszszabbítva, a -273 °C-nál (0 °K) metszik a T tengelyt. Ezt a hő­ mérsékletet természetesen nem érhetjíik el egyetlen gázzal sem, hiszen ez nulla térfogatot jelentene, a valóságban azonban a gáz már sokkal előbb cseppfolyósodna.

2.2.1. GAY-LUSSAC ELSŐ TÖRVÉNYE H] Állandó mennyiségű gáz térfogata és a Keliin-skálán mért hőmérséklete egymással egyenesen arányosak, ha közben a nyomás nem változik. Ez Gay-Lussac első törvénye, amely képletben a következő: Yl = Yi Ti T2 Ha a gáz állapotváltozása folyamán a nyomás és a tömeg nem változik, a térfogat-hőmérsékletgrafikon az origóból kiin­ duló egyenes lesz (2.3. ábra). [U Azokat a gázokat, amelyekre az elmondott törvény érvé­ nyes, ideális gázoknak (jó közelítésben ilyenek pl. a nemesgázok).

HŐTAN

151

l/,

2.3. ábra

2.2.2. GAY-LUSSAC MÁSODIK TÖRVÉNYE Rögzített mennyiségű gázt állandó térfogaton melegítve, a nyomása emelkedni Icezd. Az ábrán látható eszközzel, különbö­ ző hőmérsékleteken megvizsgálhatjuk a bezárt gáz nyomását.

~W ~

ü

2.4. ábra

A gázt a gumicsőben levő higany zárja el a külvilágtól (2.4. ábra). Ha melegítés közben a jobb oldali csövet fölfelé mozgat­ juk, a kitáguló gáz visszaszorítható eredeti térfogatára. A hi­ ganyszintek közti különbség megadja a külső és belső nyomás közötti kapcsolatot, amelyből P — PHg

Plevegő

A nyomás és a kelvinben mért hőmérséklet között most is egyenes arány van (2.5. ábra).

152

HŐTAN

H] Gay-Lussac második törvénye szerint állandó mennyiségű gáz nyomása és Kelvin-skálán mért hőmérséklete egymással egyenesen arányosak, ha közben a gáz térfogata nem válto­ zik. Pl P2 ¥ r% ' p — cT\ ahol c = Po 273’ vagyis a 0 °C-on mért nyomás 273-ad része.

2.2.3. BOYLE-MARIOTTE-TÖRVÉNY Mindenféle mérés vagy kísérletezés nélkül is világos, hogy egy adott mennyiségű gáz térfogatát csökkentve nő a nyomása, ha a hőmérsékletét állandó értéken tartjuk. A pontos függvény­ kapcsolat felismeréséhez használhatjuk az előzőekben már megismert egyszerű eszközt is. Melegítés nélkül, a mozgatható üvegcső helyzetét lassan változtatva, leolvashatjuk az összetar­ tozó nyomás- és térfogatértékeket. E Állandó hőmérsékleten egy adott mennyiségű gázzal dol­ gozva, a nyomás fordítottan arányos a térfogattal: pV — állandó

________________________________ HŐTAN_____________________________ 1M

Ez a Boyle-Maríotte-törvény, amely szintén csak ideális gá­ zokra érvényes. A gáz két állapotát állandó hőmérsékleten összehasonlítva, a következő kifejezést kapjuk: P iV i

=

P 2V 2

2.3. álta U n o s Gá z t ö r v é n y , id e á l is GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETE Amikor egy bizonyos minőségű gázzal dolgozunk, a tömeg, a térfogat, a nyomás és a hőmérséklet egyértelműen meghatároz­ zák a gáz egyensúlyi állapotát. Ezek a fizikai mennyiségek az ál­ lapotjelzők vagy állapothatározók. Az állapothatározók közül a hőtani folyamatok során kiegyenlítődóTc (pl. p, T) az intenzív, az összeadódó^ (pl. m, V) pedig az extenzív állapotjelzők. Bárme­ lyik állapotjelző megváltozása - pl. hűtés esetén - legalább egy, de inkább több állapotjelző változását vonja maga után. E A z általános vagy egyesített gáztörvény - amely az elő­ zőekben tárgyalt tapasztalati törvények összefoglalása - meg­ adja a kapcsolatot egy adott mennyiségű ideáUs gáz állapotjelzői között, két különböző állapotban: piVi P2 V2 ,, — —= —— = aiiando Ti T2 Látható, hogy az általános gáztörvény tartalmazza a többi speciális állapotváltozást leíró gáztörvényt, és egyszerűen leve­ zethető azokból. Jegyezzük meg, hogy csak az ideális gázok (ilyenek az egyatomos nemesgázok) követik pontosan a gáztör­ vényt, és ezek is csak nem túl magas nyomásig. A reális, több­ atomos gázokban a molekulák között a nyomás emelkedésével nő a vonzóerő, és ezért a mérhető térfogat kisebb az elméleti értéknél. A reális gázok viselkedését a Van dér Waais-féle álla­ potegyenlet íija le. Az általános gáztörvényben szereplő állandó értékét a ké­

154_________________________ HŐTAN_____________________________

miából ismert Avogadro-törvény alapján határozhatjuk meg az ún. normálállapotban. [t] Avogadro törvénye szerint, minden gáz moláris tömegének ugyanannyi a térfogata normálállapotban, azaz 0 °C hőmér­ sékleten és 0,1 MPa nyomáson, mégpedig 22,41 liter, így a p V n értéket erre az állapotra kiszámíthatjuk: 1 mól gáz esetén; o _ Po^o _ 1,013 • lO^Pa • 22,41 ■lO^^mVmol _ 273,2 K “ = 8,31 J/(mol • K) A z ideális gázok állapotegyenlete így kifejezhető az R gázál­ landó segítségével, és tetszőleges állapotában megadja az össze­ függést az állapotjelzőit között: pV = nRT, ahol n jelenti a molok számát. B A z Avogadro-törvény alapján a molekulák számával is felírható az állapotegyenlet. Avogadro törvénye szerint a gá­ zok 1 mól anyagmennyisége ugyanannyi, L = 6,02 . lO^^b molekulát tartalmaz. így az m tömegű gázban a molok száma n - m/M, azaz a mo­ lekulák száma; N = n ■L. A z állapotegyenletben n helyett N/L írható. E Az állapotegyenlet kifejezése a részecskeszámmal; pV = NkT, ahol k - R/L = 1,38 • 10“^^ J/K állandó. Ez a nevezetes állan­ dó a Boltzmann-állandó. [f] Nézzük meg, hogyan használhatjuk fel az általános gáztör­ vényt egy egyszerű eszköz segítségével a légnyomás mérésére! Vegyünk egy vékony, egyik végén zárt, állandó A keresztmet-

HŐTAN

155

2.6. ábra

szetű, 50 cm hosszúságú üvegcsövet, amelybe vízszintes helyzet­ ben zárjunk el 20 cm hosszú levegöoszlopot egy 20 cm hosszú higanyoszloppal. (2.6. ábra). Az eszköz neve Melde-cső. Ha a csövet lassan, a nyílásával lefelé függőleges helyzetbe fordítjuk, a higany nem folyik ki, viszont 2 cm-re megközelíti az alsó nj^ást. (Ez a 2 cm természetesen függ az aktuális légköri nyo­ mástól.) Határozzuk meg az adatokból a külső légnyomást! A külső és a belső hőmérsékletet tekintsük végig állandónak! Mivel a hőmérséklet nem változik, használhatjuk a BoyleMariotte-törvénj^: P\Vl =P2V2

Az első helyzetben a bezárt levegő nyomása megegyezek a külső nyomással: Pi=Pk

A második helyzetben a belső nyomás kisebb a külsőnél, a különbség éppen a higanyoszlop nyomása: P 2 = P k - Png

A térfogatokat a levegőoszlopok hosszával és a keresztmet­ szetével számíthatjuk ki. Ezeket, valamint a nyomásokat behelyettesítve, az egyenletből kifejezhetjük a külső légnyo­ mást: hh = 93391,2 Pa h -h

156

HŐTAN

2.4. IDEÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTVÁLTOZÁSAI A gázok állapotváltozásai állapotsíkon ábrázolhatok, az első, pozitív síknegyedet használva. A leggyakrabban a p-V síkon dolgozunk, mint látni fogjuk, nincs szükség a térbeli p-V-T felü­ letre. A vízszintes tengelyen jelöljük a térfogatot, a függőlege­ sen pedig a nyomást.

Izobár folyamatok

I

[d] Izobár folyamat alatt a gáz térfogata és hőmérséklete vál­ tozik, miközben a nyomása állandó marad.

Egyszerűen valósíthatunk meg izobár tágulást, egy könnyen mozgó dugattyúval elzárt gáz lassú melegítésével. A gáztörvény szerint az összefüggés állandó nyomáson: Ti

T2

Az energetikai viszonyok vizsgálatánál fontos szerepe lesz a gáz által végzett munkának, amely A W = FAs. Izobár tágulás­ nál, azaz állandó nyomás mellett az állapotjelzőkkel is kifejez­ hetjük a végzett munkát: = F A s = pA A s = pA V Észrevehetjük, hogy a gáz által végzett munkát megadja előjelesen - a p - V grafikon alatti terület. Izobár tágulást szem­ léltet a 2.7. ábrán áz AB szakasz.

HŐTAN

157

Izochor folyamatok [ d ] Izochor állapotváltozás során a gáz térfogata marad állan­ dó, a nyomás és a hőmérséklet a Gay-Lussac-törvénynek megfelelően változik (2.8. ábra);

Ti

T2

co

40

2.8. ábra

Az ábrán az szakasz egy izochor melegítést jelöl; a végál­ lapotban magasabb a hőmérséklet és a nyomás. A grafikonról is látható, hogy mechanikai munkavégzés nincs, hiszen nincs elmozdulás, mert állandó a térfogat.

Izoterm állapotváltozás m Az állandó hőmérsékleten végbemenő folyamat az izoterm állapotváltozás, amelyet a Boyle-Mariotte-törvény ír le (2.9. ábra); P lV l = P 2 V l

A p-V síkon a görbe egy hiperbolaív lesz. Könnyen belátha­ tó, hogy magasabb hőmérséklethez szintén hiperbola tartozik (az ábrán szaggatott vonallal jelölve). A görbe alatti terület most is megadja a végzett munka szám­ értékét, amivel később még részletesebben foglalkozunk.

158

HŐTAN

2.5. A KINETIKUS GÁZELMÉLET Minden fizikai és kémiai kísérlet azt mutatja, hogy az anya­ gok - szilárd, folyadék és gáz halmazállapotban egyaránt - pa­ rányi részecskékből, molekulákból épülnek fel. A legkisebb mo­ lekulaméret 10“^° m nagyságrendű, az „óriásmolekulák” átmé­ rőjének nagyságrendje pedig 10“^ m. Az anyagi szerkezet szempontjából nagyon fontos a moleku­ lák között ható, ún. intermolekuláris erő. A szilárd testekben és a folyadékokban ez az erő főként elektromos természeti!, amely mellett a gravitációs vonzóerő teljesen elhanyagolható. A von-

________________________________ HŐTAN_____________________________ 1TO

zóerő taszításba vált, ha a részecskéket túl közel akarjuk vinni egymáshoz - ez az egyik oka a folyadékok összenyomhatatlanságának. A 2.10. ábra az erő változását mutatja két folyadékmo­ lekula között, a távolság függvényében. Az /*o távolság az egyensúlyi helyzetet jelöli, amely a külön­ böző anyagokra más és más. Az egyensúlyban levő molekula a környezetében levő többi molekula hatására egy adott értékű potenciális energiával ren­ delkezik. Ezenkívül a részecskék állandó rendezetlen mozgás­ ban vannak, kinetikus energiájuk sem elhanyagolható. A mole­ kulák átlagos kinetikus energikája a tapasztalat szerint a hőmérséklet emelkedésével növekszik, és elég magas hőmér­ sékleten túllépheti a kötéshez szükséges potenciális energiát. Ez a forráspont, ahol az anyag folyadékból gáz halmazállapotú lesz. Hűtéskor, ha az átlagos kinetikus energia elég kicsi értéket vesz fel, a részecskék mozgása megváltozik, rezegni kezdenek, a folyadék megfagy: szilárd halmazállapotú lesz. A molekulák viselkedését tanulmányozva legegyszerűbb módon a gázokra kaphatjuk meg a makroszkopikus fizikai tu­ lajdonságokat. A gázok esetében az is szerencsés, hogy a mole­ kulák átlagos kinetikus energiája viszonylag nagy, ezek a ré­ szecskék elég távol vannak egymástól, elhanyagolható közöttük a vonzóerő. A z ideális gázok kinetikus modellje, amely a tapasztalatok szerint jól leírja a gázok viselkedését, a következőképpen fog­ lalható össze. A molekulák mérete elhanyagolható a közöttük levő üres térrészhez képest. A részecskék egjmiással is és az edény falával is tökéletesen rugalmasan ütköznek, az egyes ütközések között pedig egyenes vonalú egyenletes mozgással haladnak. Ezt úgy kell érteni, hogy a gázmolekulák rendezetlenül, összevissza mo­ zognak, és kizárólag az ütközések ideje alatt - amely időtartam szintén elhanyagolható - van közöttük kölcsönhatás. Ezekkel a feltételezésekkel élve, egy adott állapotban levő gáz fontos fizikai jellemzői kifejezhetők a molekulák adataival. Első célkitűzésünk meghatározni a tartály falára kifejtett nyo­ mást, mint a molekulák időegységenkénti lendületváltozását egységnyi falfelületen.

160

HŐTAN

Jelöljük Vx-szel a molekulák sebességének x irányú kompo­ nensét, amelyet tekinthetünk átlagosan egyenlőnek az egyes molekulákra. A 2.11. ábrán egy olyan képzeletbeli henger látha­ tó, amely azokat a molekulákat tartalmazza, amelyek A t idő alatt ütköznek a kiszemelt fallal. Ezért lesz a henger alapterüle­ te A, a magassága pedig VxAí. Egyetlen részecske lendületváltozása a fallal történő ütközés során 2moVx', állandó molekulasűrűséget feltételezve (N/V), a kiszemelt hengerben levő molekulák száma: Avy^AtN/V, ame­ lyeknek a fele mozog az adott fal felé. Mindezeket figyelembe véve, a falra kifejtett nyomást a következő alakban kapjuk meg: _ F _ NA2vxAt2moVx _ Nrriovl ~ 2A A tV V Tekintettel kell még lennünk arra a tényre, hogy a gáztartály minden egyes falán ugyanolyan nyomást mérhetünk, azaz a mo­ lekulák ugyanúgy mozognak a tér mindhárom irányában. Ez a következő egyenleteket jelenti: 2

2

2

^x = '^y = V, = v l + vl + vl Mindez azt eredményezi, hogy minden sebesség-összetevő így írható: 2

2

2

3 így a tartály falára kifejtett belső nyomás:

_____________________ __________ HŐTAN_____________________________

2 ^“ 3

2F

Nm l? “ 3

2 N

A gáznyomásnak ez a kifejezése azért lesz a következőkben különösen fontos, mert az e = tényező éppen egyetlen mo­ lekula átlagos kinetikus energiája, amely kapcsolatot létesít a makroszkopikus adatok (nyomás, hőmérséklet) és a mikroszko­ pikus jellemzők (átlagos kinetikus energia) között.

2.6. A HŐMÉRSÉKLET MOLEKULÁRIS ÉRTELMEZÉSE, A GÁZOK BELSŐ ENERGIÁJA Az ideális gázok nyomására két fontos kifejezést ismerünk. Az egyik a tapasztalati úton nyert, mérési eredményeket tartal­ mazó állapotegyenlet: N kT A másik egyenlet az elméleti úton, a kinetikus gázmodell segítségével kapott: ^

2 N rriQ • 3 > " ^

alak. A nyomásnak ezt a kétféle kifejezését egyenlővé téve, ki­ fejezhetjük a gáz hőmérsékletét a Kelvin-skálán: ^ 2 molP ^ 2é 6 k ~3k ahol é a gázmolekulák átlagos kinetikus energiája. Látható, hogy az egyatomos ideális gázok molekuláinak hala­ dó mozgásából származó átlagos kinetikus energiája a gáz ab­ szolút hőmérsékletével arányos:

162_________________________ HŐTAN_____________________________

Ez az okoskodás ad lehetőséget a hőmérséklet mélyebb, tu­ dományosabb értelmezésére, amelynek alapján a hőmérséklet­ tel a gázmolekulák rendezetlen hőmozgásának erőssége jelle­ mezhető. A hőmérséklet megváltoztatása mindig a molekulák átlagos mozgásállapotának változását jelzi. Természetesen csak nagyon sok molekula rendezetlen mozgása határozza meg a gáznak mint rendszernek a hőmérsékletét. m A gáz teljes belső energiája a molekulák kinetikus energiá­ jának összege, amely egyatomos ideális gázra kizárólag a ha­ ladó mozgásból származó kinetikus energiát jelenti:

E = Neo^^NkT [E Fejezzük ki a gáz sűrűségét a gáz állapotjelzővel! Az ideá­ lis gázok állapotegyenletéből az m/l^ hányadost közvetlenül ki­ fejezhetjük:

m

pM

[E Határozzuk meg, hogyan függ a gázmolekulák átlagos se­ bessége a hőmérséklettől, ill. a nyomástól! A hőmérséklettől való függést azonnal megkaphatjuk a hő­ mérséklet kinetikus értelmezéséből:

A nyomás hatása az átlagos molekulasebességre az állapot­ egyenletből következik;

_____________ p V

HŐTAN__________________________163

= NkT

c=

mo

2.7. A TERMODINAMIKA ELSŐ FŐTÉTELE A kinetikus gázmodellből kiindulva már megállapítottuk, hogy az egyes gázmolekulák haladó mozgásából származó kine­ tikus energiája kifejezhető a gáz hőmérsékletével: 1

_2

^ 1 rp

A gáz teljes belső energiája, amely független az egész gáztar­ tály helyzetétől, ill. mozgásállapotától, szintén egyenesen ará­ nyos a hó'mérséklettel: E = Neo = ^ N k T = ^ n R T Itt nem részletezett elméleti megfontolásokkal vagy kísérle­ tileg kapott eredmények felhasználásával belátható, hogy az egyatomos gázok belsőenergia-kifejezésében szereplő „bűvös” 3-as tényező a kétatomos gázokra 5, a többatomosokra pedig 6. Ugyanis az egyatomos gázok atomjai rendezetlen mozgásuk so­ rán csak haladó mozgást végeznek, a kétatomos gázmolekulák viszont - bár parányiak - a haladó mozgáson kívül forognak is, mégpedig két fő szimmetriatengely körül. Ezért hordoznak ezek a molekulák átlagosan több energiát, mint az egyatomos gázok részecskéi. (Megjegyezzük, hogy az itt elmondottak a klasszikus mechanika törvényei szerint érvényesek, szobahő­ mérséklet körüli értéken.) Ez az /-fel jelölt szám a szabadsági fokok száma, amely tehát egyatomos gázokra / = 3, kétatomos gázokra/ = 5, többatomos gázokra/ = 6. Mindezek figyelembevételével a gázok belső energiája általá­ nosan a következő alakban adható meg:

164

_____________________HŐTAN

E = Ne^^NkT Zi [T] Az ekvipartídó tétele szerint, amely az energia egyenletes eloszlásának törvénye, a gázmolekula minden egyes szabad­ sági fokára \ kT átlagos kinetikus energia jut. A kinetikus gázmodell a belső energia nullszintjét is megha­ tározza, amit a r = 0 K állapothoz rendelünk. Természetesen a gázok nagy része elegendően alacsony hőmérsékleten cseppfolyósodik, és ezért 0 K hőmérsékletet, a 0 energiaállapotot már megközelíteni is nehéz gázállapotban. Vizsgáljuk meg, hogyan változtathatjuk meg a gázok hőmér­ sékletét? A molekulák hőmozgását legegyszerűbben melegítés­ sel, hőközléssel növelhetjük. A hőközlés mértékét, a hőmennyi­ séget a fizikában ö-val jelöljük. A hőközlésen kívül a belső energiát - nem csak gázokra, hanem más testre is - külső, me­ chanikai munkavégzéssel (W) is változtathatjuk. Példa erre egy hőszigetelt tartályban levő gáz ún. adiabatikus összenyomása. Egy ilyen folyamatban a gáz hőmérséklete jelentősen növeked­ het anélkül, hogy a környezettel bármilyen hőcsere fennállna. Ezeket a megfontolásokat fogalmazza meg a termodinamika első főtétele, amely általános természeti törvény, lényegében az energia megmaradásának egjdk megfogalmazása. HJA termodinamika első főtétele szerint egy anyagi rendszer belső energiájának megváltozása egyenlő a közölt hő és a rendszeren végzett mechanikai munka előjeles összegével: AE = Q + W A tétel azt fejezi ki, hogy egy rendszeren belül semmiféle energia nem keletkezhet vagy tűnhet el. Tlilajdonképpen ez a tétel zárja ki az ún. elsőfajú örökmozgó létezésének lehetősé­ gét, amely úgy adna le környezetének energiát, hogy közben a saját belső energiája nem csökkenne.

________________________________ HŐTAN___________ _________________

2.8. A HŐ MÉRTÉKE, A HŐMENNYISÉG, A HŐKAPACITÁS A termodinamika első főtételéből kiindulva először megvizs­ gáljuk egy zárt gáztartályban levő ideális gáz melegítését. Az ál­ landó térfogat miatt mechanikai munkavégzés nincs, az összes bevezetett hő a belső energiát növeli: Qy = AE = ^ n R A T = Mivel egy adott minőségű ideális gázra a tényező a tömeg­ től és a hőmérséklet-változástól függetlenül állandó, ezért az ál­ landó térfogaton felvett hő a következő alakban adható meg: Qv = cvmAT ahol az anyagra jellemző Cv = | ^ állandó a fajlagos hőkapacitás. Gázok esetében ugyanazt a hőmérséklet-változást különböző folyamatokban, különböző mértékíí hólíözléssel érhetjük el. Minden esetben az első főtétel adja meg a kulcsot a szükséges hő kiszámításához. Növeljük egy bizonyos mennyiségű (m) egyatomos ideális gáz hőmérsékletét állandó (p) nyomáson AT-vel! Állandó nyo­ más mellett természetesen a térfogat növekedni fog. A térfogatváltozást AV^-vel jelöljük. Vizsgáljuk meg ezt az állapotváltozást az energiaközlés és a hőkapacitás szempontjából! Az első főtétel szerint {AE = Q + W) a belső energia növe­ kedése /S.E —1^ i?AT. A munkavégzés negatív, hiszen a tágu­ ló gáz a környezetén végez munkát a külső, állandó nyomás el­ len: W = - p A V Mindezek alapján a szükséges hő, amelyet állandó nyomáson be kell juttatni a rendszerbe: *\nryi Qp = ^ R A T + p A V Figyelembe vehetjük még, hogy az állapotegyenlet alapján: m P A V ^-R A T;

166

HŐTAN

behelyettesítés után az állandó nyomáson szükséges hőre a kö­ vetkező összefüggést kapjuk:

= i?

+S

=5 S

Látható, hogy az állandó nyomáson vett Cp = | ^ hőkapacitás értéke nagyobb, mintha állandó térfogaton melegítjük a gázt. A két, speciális állapotváltozáshoz tartozó hőkapacitás kifejezését összevetve megkapjuk az ún. Róbert Mayer-egyenleteket; R Cp 5 Cp-Cv=Yl'^ lU^ = ö3 M Cy A Cp/Cy arányt a görög ( k) betűvel jelölik, a nevo. fajhőhányados, amely a szabadsági fokok számával kifejezve így adható meg: / Tehát pl. kétatomos gázokra a fajhőhányados: k — 7/5. Szólnunk kell még egy korábban már említett, de nem részle­ tezett speciális állapotváltozásról, az adiabatikus folyamatról. Adiabatikus állapotváltozás alatt eltekinthetünk a hóTcözléstól, amit vagy jó hőszigeteléssel, vagy a folyamat gyors lefolyásával érhetünk el. I m Adiabatikus egy állapotváltozás, ha Q = 0. Alkalmazva a termodinamika első főtételét az adiabatikus fo­ lyamatra, (<5 = 0) : A E = W, ami azt jelenti, hogy a belső ener­ gia növekedését csak külső munkavégzés okozhatja, ill. a gáz kizárólag a belső energiájának rovására végezhet tágulási mun­ kát. Itt nem részletezett számítás szerint az ideális gázok esetén az adiabatikus állapotváltozásra a következő összefüggés érvé­ nyes: PlVl = P2 V2 ahol K a már bevezetett Cp/Cy fajhőhányados.

HŐTAN

167

A p -V diagramon ábrázolva egy adiabatikus állapotváltozást, a kapott görbe neve adiabata. Mivel a k értéke minden gázra nagyobb egynél, az adiabatikus állapotváltozás egy, az izoter­ mánál meredekebb görbével adható meg (2.12. ábra). Érdemes megjegyezni, hogy az adiabatikus folyamatokhoz tartozó hőkapacitás zérus, mivel mindenféle hőcsere nélkül lép föl hőmérsékletváltozás; pl. adiabatikus összenyomással felme­ legíthetünk egy gázt. [F] Vizsgáljuk meg egy bizonyos mennyiségű ideális gáz izoterm {T = áll.) tágulását Vi-ről V2-re. Bár a hőmérséklet nem emelkedik, ehhez a táguláshoz a gáztartályba hőt kell bevezet­ ni. Számítsuk ki, ill. a gáz állapotjelzőivel fejezzük ki ezt a hőt! Mivel a hőmérséklet nem változik, ezért a belső energia ál­ landó, tehát A E = 0. Alkalmazva az első főtételt, Q = \W\.

168

HŐTAN

_________________

Semmiféle cm AT összefüggés nem használható a hőmennyiség kiszámolására, hiszen AT = 0, ezért a gáz által a környezeten végzett munkát számoljuk ki. A 2.13. ábrán a már ismert izoter­ ma látható, ahol a grafikon alatti, vonalkázott terület megadja a munka számértékét. Tehát a nyomást mint térfogatfügvényt kell integrálni, Fi-től Fa-ig- A nyomást az állapotegyenletből kapjuk meg. p^^nRT Q = \Wl = J p d V = J n R T ^ d V = n K n n y

2 .9 .

HALMAZÁLLAPOT-VÁLTOZÁSOK, FÁZISÁTALAKULÁS

Hétköznapi tapasztalataink alapján jól ismert tény a homo­ gén anyagok halmazállapot-változása, a fagyás, olvadás,, párol­ gás, forrás és a lecsapódás, de talán kevésbé ismert a szublimá­ ció. Ezek az állapotváltozások az ún. elsőrendű fázisátalaku­ lások. Ez azt jelenti, hogy egy - az anyagra jellemző - hőmér­ sékleten hirtelen, ugrásszerűen változnak meg az anyag fizikai tulajdonságai. Ezek az anyagra jellemző hőmérsékletek - olva­ dáspont, fagyáspont - nagyban függnek bizonyos külső hatások­ tól, elsősorban a nyomástól. A tapasztalat szerint a halmazállapot-változásokhoz minden esetben állandó hőmérsékleten történő hőfelvétel - olvadás, pá­ rolgás, forrás - vagy hőleadás - fagyás, lecsapódás - szükséges. A fázisátalakuláshoz szükséges hő mindig az átalakulást szenve­ dő anyag tömegével arányos! Q = Lm Az anyagra jellemző L állandó, a folyamattól függően olva­ dáshő, párolgáshő, illetve forráshő néven ismert, és számértéke

________________________

HŐTAN_________________

189

megadja az egységnjd tömegű anyag halmazállapotának meg­ változtatásához szíikséges hőmennyiséget. Ha a termodinamika első főtétele szempontjából vizsgáljuk a halmazállapot-változásokat, akkor olvadásnál és fagyásnál a hő úgy változtatja a belső energiát, hogy közben a hőmérséklet nem változik, és a mechanikai munkavégzés is elhanyagolható. Párolgásnál és forrásnál viszont a kíilső légnyomás ellen végzett munka már számottevő, hiszen a térfogatváltozás nem hanya­ golható el. Zárt térben párolgó vagy forrásban levő folyadék fölött álta­ lában a folyadék telített gőze van jelen, ami azt jelenti, hogy azonos időközökben a folyadékból kilépő és oda visszatérő mo­ lekulák száma megegyezik. A telített gőzökre általában nem ér­ vényesek a gáztörvények, pl. a folyadékával érintkező telített gőz térfogatváltozása nem befolyásolja a gőz nyomását, hanem halmazállapot-változást okoz. Általában érvényes, hogy egy adott anyag telített gőzének nyomása növekszik a hőmérséklet emelkedésével. A forráspont éppen az a hőmérséklet, amelyen a telített gőz nyomása megegyezik a külső nyomással. Minden anyaghoz tartozik egy jól meghatározott hőmérsék­ let, amely felett az adott anyag csak gáz halmazállapotú lehet, és bármilyen nagy nyomással sem cseppfolyósítható. Ez a hő­ mérséklet az anyag kritikus hőmérséklete. Az éppen kritikus hő­ mérsékleten levő gáz lecsapódásához szükséges nyomás a kriti­ kus nyomás.

2.10.

A HŐFOLYAMATOK IRÁNYA, ATERMODINAMIKA MÁSODIK ÉS HARMADIK FŐTÉTELE A hőfolyamatok, állapotváltozások között számos olyan van, amely fordított irányban is lejátszódik, különösen, ha mindeh­ hez külső segítséget is kap a rendszer. Ahogyan egy adott álla­ potban levő víz megfagy, ha hűtjük, a keletkezett jég hővel meg­ olvasztható. Gondolhatunk a só oldására vízben, illetve a sós oldat lepárlására, miközben különválasztjuk a sót és az oldó-

170

________

HŐTAN

szert. Ezek a folyamatok mind valamilyen változást okoznak a környezetben: a rendszer nem magától jut vissza az eredeti álla­ potba. Azt viszont még soha senki nem tapasztalta, hogy a talaj­ ra leeső és közben kissé fölmelegedő test hűtés hatására vissza­ repülne az eredeti magasságába. Az sem történik meg soha, hogy egy adott hőmérsékletű keverék magától szétválik két kü­ lönböző hőmérsékletű összetevőre. Az ilyen folyamatok az irre­ verzibilis vagy megfordíthatatlan folyamatok, szemben a reverzi­ bilis vagy megfordítható folyamatokkal. Reverzibilis hőfolyamat pl. egy gáz izoterm összenyomása (amely csak ideahzált körül­ mények között mehet végbe). |T| A termodinamika második főtétele szerint a természetben külső behatások nélkül mindig a hőmérséklet kiegyenlítődé­ sére irányuló folyamatok zajlanak le: azaz hő magától nem kerülhet az alacsonyabb hőmérsékletű helyről a magasabb hőmérsékletű helyre. A tétel egy másik, Max Planck által adott megfogalmazása szerint ez azt fejezi ki, hogy nem lehet készíteni és működtetni \m. másodfajú örökmozgót. Ez egy periodikusan működő hő­ erőgép lenne, amely minden ciklus végén visszajuttatná a rend­ szert az eredeti állapotába, és közben még hasznosítható mun­ kát is végezne. Ugyanennek a tételnek létezik egy harmadik megfogalmazá­ sa is, aminek megértéséhez viszont be kell vezetni egy újabb fontos termodinamikai állapotjelzőt, az entrópiát. Ez a fiziká­ ban 5-sel jelölt állapotjelző az adott anyagi rendszer részecskéi­ nek a rendezettségére, azaz a mozgásállapotra és az energia­ eloszlásra jellemző, amely rendezettség egy-egy állapotváltozás alatt szintén változik. E könyvben csak az entrópiaváltozás definícióját adjuk meg, majd néhány kidolgozott példán keresz­ tül megmutatjuk, hogyan jelzi a rendszer entrópianövekedése a hőfolyamatok lehetséges irányát. [3

- í r

________________________________ HŐTAN_____________________________ - m

I

ahol AQ jelenti a hőmérsékleten a rendszerbe bevitt hőmenynyiséget.

[p] Mennyi az entrópiaváltozása 1 kg tömegű, 0 °C hőmérsék­ letűjégnek, mialatt teljesen megolvad? Az olvadás állandó hőmérsékleten történik, ezéií; a teljes ent­ rópiaváltozás kiszámításához nincs szükség integrálszámításra.

Az adatok behelyettesítésével US = 1223 J/K Jegyezzük meg, hogy ez egy megfordítható, reverzibilis folya­ mat, amelyben az adott rendszer entrópiája elég jelentősen nö­ vekedett. Természetesen a környezetnek, ahonnan a hőt felvet­ te, ugyanennyivel csökkent az entrópiája. [E Mennyi az entrópiaváltozása egy adott gázmennyiségnek, ha adiabatikusan tágul? A válasz zérus, hiszen az adiabatikus folyamatban nincs hő­ csere a rendszer és környezete között ( g = 0), azaz a rendszer entrópiája állandó marad. [p] Keverjünk össze 1 kg tömegű, 0 °C hőmérsékletű és 1 kg tömegű, 100 °C hőmérsékletű vizet egy hőszigetelt tartályban! Számítsuk ki az entrópiaváltozást! Ne felejtsük el, hogy ez egy tipikus irreverzibilis folyamat: a keverék soha nem fog magától szétválni az eredeti összetevólíre! Az entrópia változását külön-külön számoljuk ki a lehűlő és a felmelegedő vízre, majd előjelesen összegezzük: A lehűlő víz entrópiaváltozása: 323

A 5 i=

I 373

323

c m i d r = 4200

J 373

172

HŐTAN

= 4200 ln(323 - 373) ^ = -604,5 ~ K

K

A felmelegedő víz entrópiaváltozása: 323

323

Í c m id T = 4200 í ^ d T = 273

273

= 4200 ln(373 - 323) ^ = 706,4^ K

K

A környezettől termikusán elszigetelt rendszer teljes entró­ piája tehát növekedett: AS

- A 5i + A S 2 = 706,4 ^ - 604,5^ =

Az eredmény, az entrópia növekedése általános természeti törvény; a spontán, irreverzibilis folyamatok mindig a rendszer entrópiájának növekedésével járnak együtt. Ez a termodinamika második tételének harmadik megfogalmazása. HJA termodinamikailag zárt rendszerek entrópiája az ideális, reverzibilis folyamatokban állandó marad, a valóságos, spon­ tán folyamatokban viszont növekszik. Egy rendszer entrópiá­ ja az egyensúlyi állapotban lesz maximális. Ez az entrópiama­ ximum elve. Végezetül megemlítjük még a termodinamika harmadik fő­ tételét, amely azt a tapasztalati tényt rögzíti, hogy az abszolút zérus hőmérséklet, a nulla Kelvint véges sok lépésben egyetlen anyagi rendszer sem érheti el. Ugyanis az anyagok entrópiája 0 K közelében nagyon kicsi, közelít a nullához, ezért a hőkapa­ citás is tart a nullához, ami azt jelenti, hogy egészen kicsi Q hő már végtelen nagy hőmérséklet-változást eredményezne.

I

H] A termodinamika harmadik főtétele szerint az abs2olút zé­ ruspont (0 K) nem érhető el (Nernst-tétel).

3. ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

3.1. AZ ELEKTROMOS MEZŐ 3.1.1. ALAPJELENSÉGEK 1] Újságpapírral megdörzsölt plexirudat vi­ gyünk cémaszálra függesztett kis bodzabél go­ lyó közelébe! Azt tapasztaljuk, hogy a rúd vonzza, ha viszont a golyót hozzáérintjük, ak­ kor eltaszítja. (3.1. ábra) Ehhez hasonló jelenségeket már az ókorban is megfigyeltek (Thalész i. e. 600), pl. hogy a gyapjúval megdörzsölt borostyánkő magához 3.1. ábra vonz apró, könnyű tárgyakat. Az ókori görö­ gök nevezték el ezt az állapotot elektromos állapotnak, a boros­ tyánkő görög neve alapján. 13 Tűs tengelyre helyezzünk egy posztóval megdörzsölt mű­ anyag csövet, és közelítsünk hozzá egy ugyanilyen, szintén posz­ tóval dörzsölt csövet (3.2. ábra)! Azt tapasztaljuk, hogy ta­ szítják egymást. Ha viszont egy újságpapírral megdörzsölt plexirudat közelítünk hozzá, akkor vonzást tapasztalunk.

174________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN _________________

Általánosan is igaz, hogy dörzsölés hatására kétféle elektro­ mos állapot jöhet létre, és ez az állapot attól is függ, hogy mivel dörzsöljük az illető anyagot.

I

m Az elektromos állapotban lévő test elektromosan töltött, illetve a testnek elektromos töltése van.

B Dörzsöljünk meg műanyag csövet posztódarabbal, és a tűs tengelyen levő, ugyancsak posztóval megdörzsölt műanyag cső­ höz közelítsük először a műanyag csövet, majd a posztódarabot. (3.3. ábra). Első esetben taszítás, második esetben vonzás ta­ pasztalható. Ez azt jelenti, hogy dörzsöléskor a két test más­ más elektromos állapotba kerül. Dörzsölés hatására az addig semleges anyagdarabon elektromos töltés jelenik meg.

Hl Az azonos töltésű anyagok taszítják, az ellentétesek pedig vonzzák egymást. A bőrrel dörzsölt üvegrúd töltését pozitívnak, a posztóval dörzsölt ebonitrúdét negatívnak ne­ vezzük. Dörzsöléskor csak szétválasztjuk a töltéseket.

I

H] Töltés a semmiből nem keletkezik, nem is tűnhet el. Zárt rendszer töltése állandó.

Vezetők és szigetelők E Próbáljunk egy kezünkben tartott fémrudat dörzsöléssel feltölteni, azaz elektromos állapotba hozni! Ez csak akkor sike­ rül, ha a fémrudat egy műanyag vagy üvegnyélhez erősítjük, és így dörzsöljük. Ekkor a fémrúd az egész felületén töltött lesz, de ezt a töltést azonnal el is veszti, ha valamelyik pontjában

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

175

hozzáérünk az ujjunkkal. Ezzel szemben nem veszíti el töltését egy feltöltött plexirúd, ha egy ponton megérintjük. Joggal feltételezhetjük, hogy a töltések a fémekben igen moz­ gékonyak, de pl. a plexirúdban már nem. Az elektromos állapo­ tot a fémek nagyon jól tudják közvetíteni, azaz jó vezetők. A plexirúd pedig jól szigetel, azaz rossz vezető. Ennek megfelelő­ en a vezetés és a szigetelés nem határolható el élesen egymástól. Az anyagok csak a vezetőképességük mértékében különböznek egymástól. Jó vezetőknek tekinthetők a fémek, az emberi test, a grafit, a föld, az elektrolitok stb. Jó szigetelő, azaz rossz vezető pl. a plexi, az üveg, a porcelán, a desztil­ lált víz stb. Az eddigiek alapján egy igen egyszerű eszköz szalmaszál elektroszkóp - készíthető az elektromos állapot kimutatására. Szigetelőlapra helyezett vé­ kony fémrúd tetejéről lógassunk le két szalmaszálat, amelyek vízszintes tengely körül elfordulhatnak (3. 4. ábra)! Ha töltést adunk a fémrúdnak, akkor a szal­ maszálaknak is ugyanilyen töltésük lesz, így a taszí­ tás miatt alul eltávolodnak egymástól, azaz szétágaz­ nak. [Hl Töltsürik fel egy szalmaszál elektroszkópot megdörzsölt plexirúddal, egy másik ugyanilyet pedig ebonitrúddal! Ha a két elektroszkópot szigetelőnyéllel ellátott fémrúddal összekötjük, a szétágazás pillanatszerűen megszűnik, jelezve, hogy a kétféle töltés közömbösíti egymást (3.5. ábra).

176

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

E Vegyünk két egyforma, szigetelőnyélre szerelt fémgolyót. Töltsük fel az egyiket, majd érintsük hozzá a másikat, ezután érintsük hozzá az egyiket egy elektroszkóphoz! Az elektroszkóp töltést jelez. Vezessük le az elektroszkóp töltését, majd érintsük hozzá a másik golyót. Észrevehetjük, hogy az elekt­ roszkóp mutatója ugyanannyira tér ki, mint az előbb. Eszerint, ha két egyforma golyót összeérintünk, akkor a rajtuk lévő töltés megfeleződik.

Coulomb törvénye Vizsgáljuk meg, hogy a töltött testek közötti erőhatás mitől és hogyan függ! E Méról^erendezésünk a 3.6. ábrán látható. Egy vékony tor­ ziós szálra erősítsünk egy szigetelőnyélre szerelt golyót! Egy ugyanilyen, szintén szigetelőnyélre szerelt golyónak adjunk töl­ tést! Érintsük össze a két golyót! Ekkor az előzőek értelmében a két golyó töltése azonos lesz. Vigyük a másik golyót ismert tá­ volságokra a torziós szálon lévőhöz képest, és figyeljük meg, hogy a torziós szálon elhelyezett tükörről visszaverődő fénysu­ gár (fénymutató) mennyire mozdul el a skálán! A torziós szál tetején levő tárcsával mindig visszaállíthatjuk az eredeti helyze­ tet, és a tárcsáról leolvasható az elfordulás szöge is, amely ará­ nyos a két golyó közötti taszítóerővel. Eredményeinket elemez

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ 177

ve azt látjuk, hogy a két pontszerű testen elhelyezkedő töltés között ható erő fordítottan arányos a közöttük mért távolság négyzetével. Hogyan tudnánk változtatni a töltéseket? Vezessük el a töltést az egyik golyóról, majd érintsük őket is­ mét össze! Ekkor az előző töltés fele marad csak rajtuk. Ismé­ teljük meg így is a mérést! Kellően pontos mérések alapján megállapíthatjuk, hogy két pontszerű töltés között fellépő erő arányos a két töltés szorzatával. [t] Eredményeinket Coulomb törvénye fogalmazza meg, amely szerint két pontszerű és töltés között ható erő egyene­ sen arányos a két töltés szorzatával, és fordítottan arányos a közöttük lévő távolság négyzetével, azaz

A törvény felállításához nem kellett a töltéseket mérőszá­ mokkal jellemezni. A törvény most lehetőséget ad a töltés egységének definiálására. Gyakorlati szempontok miatt (SIrendszer) azonban a töltés egységét a Coulomb törvénytől füg­ getlenül választották meg. Ezt a töltésegységet coulombnak ne­ vezzük, jele C. így a k arányossági tényező értéke közelítőleg: fc = 9 ■10® N • mVC^ Eszerint 1 C a töltése annak a pontszerű testnek, amely egy másik, ugyanakkora töltésű pontszerű testet 1 méter távolság­ ból 9 • 10 N erővel taszít. A valóságban ekkora töltést kis mére­ tű testeknek nem adhatunk, csak annak töredékét. Ha egy ponttöltésre egyszerre több erő hat, akkor a tapaszta­ lat szerint érvényes a szuperpozíció elve, azaz a Coulomb tör­ vény segítségével kiszámított erőTc vektori összege adja az adott ponttöltésre ható eredő erőt. Vigyázni kell azonban arra, hogy az új töltés megjelenése egy kiterjedt vezetőn megváltoztathatja a töltéseloszlást.

178

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

3.1.2. AZ ELEKTROMOS TÉR ÉS A TÉRERŐSSÉG E Adjunk töltést egy kiterjedt testnek, pl. egy van de Graaf szalaggenerátornak! Vékony selyemszálra függesztett bodzabél golyóval jáijuk körül a feltöltött testet! Azt tapasztaljuk, hogy mindenhol „beáll” valamilyen irányba a selyemszál, amely jelzi az erő irányát is (3.7. ábra). Egy érzékeny erőmérővel az erő nagyságát is meg tudnánk mérni. A töltött testek környezeté­ nek ez a sajátossága azt jelenti, hogy az elektromosan töltött testeket elektromos erőtér (mező) veszi körül, és ez hat az oda helyezett próbatöltésre. Mérések szerint az elektromos tér egy adott helyén az oda helyezett próbatöltésre ható erő és a próba­ töltés hányadosa független a próbatöltés nagyságától, így csak az elektronios tér adott helyére jellemző. Ez a jellemző az elektromos térerősség:

A térerősség vektormennyiség, iránya a pozitív próbatöltésre ható erő irányával egyezik meg, egysége ^ Az elektromos térerősségre is érvényes a szuperpozíció elve: H] Ha egy pontban egyszerre több töltés erőtere is jelen van, akkor az eredő térerősség az egyes térerősségek vektori öszszege.

c

L 3.7. ábra

___________ _______ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ 179

Igen egyszerűen számíthatjuk ki e definíció alapján egy pont­ töltés elektromos terének térerősségét. Legyen az erőteret kel­ tő töltés ö , a próbatöltés pedig q. Ekkor a közöttük ható erő nagysága a Coulomb törvény szerint: kQq A térerősséget ebből úgy kapjuk, hogy az erőt osztjuk a pró­ batöltéssel; q A térerősség mindenütt sugárirányú, előjelét a töltés előjele határozza meg.

Az elektromos tér szemléltetése erővonalakkal [Dl Az erővonalak olyan elképzelt görbék, amelyek a pozitív töltésből indulnak, a negatív töltésen végződnek, és az erővo­ nal érintője minden pontban a térerősségvektor. Minden pon­ ton csak egy erővonal halad át. Nyilvánvaló, hogy két erővonal nem metszheti egymást, hi­ szen akkor azon a helyen nem lenne egyértelmű a térerősség­ vektor iránya. Ha minden erővonalat megrajzolnánk, akkor semmiféle szemléltetés sem adódna, hiszen csak egyenletesen „befestenénk” a teret. Próbáljuk ritkítani az erővonalakat úgy, hogy számuk legyen arányos a térerősséggel! Állapodjunk meg abban, hogy egy négyzetméteres felületen át egy erővonalat húzunk, ha a térerősség a felület minden pontjában egységnjd és a felületre merőleges. Ha a térerősség nem egységnyi, hanem E nagyságú, akkor E erővonalat rajzo­ lunk. Ha a felület nem egységnyi, hanem A , akkor a felületet metsző erővonalak száma ■^ = EA

j [U_ Ez

ai mennyiség fluxus, jele; 'íf, egysége mennviséa az elektromos ( Nm^/C.

180

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

Az elektromos fluxus természetesen nem csak homogén tér­ ben értelmezhető. Inhomogén térben tetszőleges felület esetén az eljárás a következő. Bontsuk fel a felületet olyan kicsiny A A felületdarabokra, amelyeken a térerősség már homogénnek te­ kinthető (3.8. ábra). Az itt mérhető E térerősség felületre merő­ leges komponense legyen Az elektromos fluxus úgy számít­ ható ki, hogy összegezzük a teljes felületre az E^/^A szorzatokat;

Nézzük meg, hogy mekkora a fluxus egy pontszerű Q töltést körülvevő, vele koncentrikus zárt gömbfelületre! Mivel a térerősség a gömbfelület minden pontjában ugyan­ olyan nagyságú és a felületre merőleges irányú, a fluxust úgy számítjuk ki, hogy a térerősséget megszorozzuk a gömb felüle­ tével: = AirkQ, vagyis független a gömb sugarától. Eredményünk a következő­ képpen általánosítható. [T] Zárt felületre az elektromos fluxus egyenlő a bezárt össztöltés 4A:7r-szeresével. ^ = AkivQ Ez a Gauss-tétel avagy Maxwell első törvénye.

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

181

Ennek segítségével egyszerűen számolható egy Q töltésű, nagy kiterjedésű fémlemez elektromos terének térerőssé­ ge. Legyen a fémlemez területe A , és vigyünk fel rá Q töltést (3.9. ábra). Ekkor a felületi töltéssűrűség: <7 = ^ , hiszen a töltés a fémlemez két oldalán oszlik el. Sze­ meljünk ki egy A i területű darabot, és gondolatban építsünk rá mindkét irányban egy-egy d magasságú hasábot. Alkalmazzuk a Gauss-tételt erre a zárt felületre! Szimmetriaokokból a térerős­ ség merőleges a felületre, így fluxus csak a két fedőlapon van:

A bezárt össztöltés: Qi = 2Ai R 2A így a következő egyenlet írható fel: 2FA i = ikTvQi = 4fc7r2Ai R . 2A

Egyenletünket 2^i-gyel egyszerűsítve

adódik a nagy kiterjedésű Q töltésű fémlemez terének térerős­ ségének.

182

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

Munkavégzés elektromos térben, a feszültség Az elektromos tér F = QE erőt fejt ki a benne lévő Q töltésű próbatestre, ezért a próbatest mozgatásakor általában munkát végzünk. Az egyszerűség kedvéért foglalkozzunk először azzal a munkával, amelyet akkor végzünk, amikor egy Q töltést a 3.10. ábra szerinti A pontból a B pontba viszünk. A töltésre ható erő és az elmozdulás ekkor azonos iránjoi, ezért a tér mun­ kája: W ab

EQs

Mozgassuk most a töltést az AC útvonalon! A végzett munka ekkor: W ac = Fd cos a — EQd cos a. Vegyük észre, hogy d cos a = s, azaz W a b = W a cMekkora munkát végeztünk a CB útvonalon? Mivel a CB >elmozdulásvektor merőleges az E térerősségvek­ torra, ezért WcB = 0. Tehát W acb = W ab Eredményünket általánosítva kimondhatjuk, hogy ha a nyug­ vó töltések által keltett elektromos térben egy rögzített A pont­ ból egy B pontba viszünk Q töltést, akkor a végzett munka füg­ getlen az A-ból a B-be vezető útvonaltól, és csak az A és B pont helyétől függ, azaz W ab

Q

= állandó.

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________

Ezt az állandót az A, B pontra vonatkozó feszültségnek ne­ vezzük, és C/AB-vel jelöljük: Ua b = - ö ~ A feszültség egysége a volt, jele V. Az elektromos tér két pontja között 1 V a feszültség, ha 1 C töltést 1 J munkával vihe­ tünk át egyik pontból a másikba. Homogén térben a térerősséggel megegyező irányú elmozdu­ lás esetén; jr

^AB

QEs

Az elmondottakból következik, ha visszavisszük a töltést a B pontból az A pontba, akkor Wba = -W ab amiből U

ba

=

-U

ab

H] Zárt görbe mentén a Q töltésen végzett összes munka zé­ rus, azaz zárt hurokra a körfeszültség liulla. Ez az elektrosztatika II. alaptörvénye, avagy Maxwell II. tör­ vénye.

Potenciái Az elektromos térben egy Q töltésen akkor végzünk munkát, ha van térerősség irányú elmozdulás. Ha az elmozdulás mindig merőleges a térerősségre, akkor munkavégzés nincs. így az ilyen felületen elhelyezkedő pontok közötti feszültség nulla. Ha a tér homogén, akkor ezek a felületek egymással párhuzamos síkok, amelyek a térerősségvektorra merőlegesek (3.11. ábra). Ponttöltés esetén ezek a felületek koncentrikus gömbök, hi­ szen az elektromos tér gömbszimmetrikus, a térerősségvektor sugárirányú (3.12. ábra). Ezek a felületek úgy is jellemezhetők, hogy egy általunk kivá­ lasztott nullaszinthez képest megadjuk azt a munkát, amelyet

184

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

3.12. ábra

3.11. ábra

végeznünk kell a tér ellenében ahhoz, hogy a töltést a kérdéses felületre juttassuk. Ekkor azt mondjuk, hogy Q töltés helyzeti energiája egy adott szinten W, így a W/Q hányados erre a szint­ re jellemző érték, neve potenciál, jele: U:

Az ilyen szintfelületeken a potenciál állandó, ezért ezeket ekvipotenciális felületnek nevezzük. A nullaszintet vagy nullpotenciált általában a végtelen távoli pontban választjuk. Itt nem részletezett számítások szerint a ponttöltés által keltett elektro­ mos tér potenciálja a töltésrtől r távolságra: U=

kQ

A potenciál definíciójából következően két pont közötti fe­ szültség a két pont potenciáljának különbsége, azaz Uab = Ua - U b

3.1.3. KAPACITÁS, KONDENZÁTOROK Ha egy fémtestre töltést viszünk, akkor a test potenciálja a rávitt töltéssel arányosan nő, feltéve, hogy a fémtest környezete közben nem változik.

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

185

A magányos vezetőre jellemző a rávitt töltés és a létrejött po­ tenciál hányadosa, neve töltésbefogadó képesség vagy kapacitás, Q A nagy kapacitás azt jelenti, hogy a testre sok töltés vihető fel úgy, hogy a potenciálja kicsi marad. A kapacitás egysége a farad, jele F. Egy r sugarú vezetogömb kapacitását könnyen meghatároz„ _ 0 _ Q _ r U kQ k Ezek szerint egy 1 F kapacitású vezetőgömb sugara: r = A;C = (9 -10® NmVC^) • IC /V = 9 -10® m = 9 ■10® km amely a Föld sugarának kb. 1400-szorosa. Az 1 F egység tehát igen nagy kapacitást jelent, a gyakorlatban ennek csak tört ré­ szei fordulnak elő. Érdekességként jegyezzük meg, hogy a Föld közel félmillió coulomb eredő negatív töltéssel rendelkezik. [k] Szigetelőállványon lévő fémlapot kapcsoljunk elektroszkóphoz, majd adjunk neki Q töltést! Közelítsünk hozzá föl­ delt fémlapot. A megosztás miatt a földelt fémlapon - Q töltés jelenik meg. így az elektromos tér a két lemez közé szorul, oda „sűrűsödik”. Az így kapott elrendezést síkkondenzátornak, és általában a + Q - Q töltésű két fémtestből álló rendszert síkkon­ denzátornak nevezzük (3.13. ábra). +Q

3.13. ábra

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

186

3.14. ábra

Vizsgáljuk meg, mitől és hogyan függ a síkkondenzátor kapa­ citása (3.14. ábra). A síkkondenzátor lényegében két azonos kiterjedésű párhu­ zamos fémlemez, amelyeket + Q, illetve - Q töltéssel látunk el. A két lemez három tartományra bontja a teret. Az egyes leme­ zektől származó térerősségek a két szélső tartományban ellen­ tétes irányúak, ezért ott az összegük nulla, a középső tarto­ mányban pedig azonos irányúak, így az összegük; E =2

2knQ

ákTvQ

Ha a lemezek távolsága d, akkor a feszültség:

így a kapacitás

A Ankd

A síkkondenzátor kapacitása tehát egyenesen arányos a felü­ lettel és fordítottan arányos a lemezek távolságával.

Kondenzátorok kapcsolása Soros kapcsolás Kapcsoljunk össze két kondenzátort úgy, hogy fémesen össze­ kötjük egy-egy lemezüket (más néven fegyverzetüket)! Az így kapott közös pont a 3.15. ábrán a B pont. H a+Ö töltést adunk

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

187

3.15. ábra

az A felőli lemeznek, és a C pontot leföldeljük, akkor a két kon­ denzátor a megosztás révén azonos töltésre töltődik. A feszült­ ség A és C között a két kondenzátor feszültségének összege, azaz U^U

ac

= Uab + Ub c -

A kondenzátorrendszer Q töltést tárol. A rendszer helyette­ síthető olyan C kapacitású kondenzátorral, amelyen Q töltés szintén U feszültséget hoz létre. Felhasználva, hogy U = Q/C, a feszültségre az alábbi összefüggés írható fel: Q_ Q . Q C ~ Cl

C2

A kifejezést <2-val egyszerűsítve megkapjuk a soros kapcsolá­ sú kondenzátorok eredő kapacitására vonatkozó összefüggést: 1 C

1 1 Cl C2

Az így nyert összefüggés általánosítható: tetszőleges, sorosan kapcsolt kondenzátorok esetén az eredő kapacitás reciproka az egyes kapacitások reciprokainak összege.

Párhuzamos kapcsolás Kapcsoljunk össze most két kondenzátort úgy, hogy fegyver­ zeteiket páronként összekötjük. (3.16. ábra) és vigyünk a rend­ szerre Q töltést! A helyettesítő kondenzátor C kapacitása a kö­ vetkezőképpen határozható meg. A kondenzátorok feszültsége azonos kell hogy legyen, úgy, hogy a helyettesítő kondenzátor

188

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

töltése egyenlő a párhuzamosan kapcsolt kon­ denzátorokon tárolt töltések összegével: Q — Qi + Q2 azaz

C U ^ C i U + C2U. A közös feszültséggel osztva, a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitását kap­ juk;

3.16. ábra

C = Cl + C2 . Ez az összefüggés is általánosítható: a- párhuzamosan kap­ csolt kondenzátorok kapacitásai összeadódnak.

A kondenzátor energiája Gondolatban töltsünk fel egy kondenzátort úgy, hogy az egyik lemezről fokozatosan elveszünk AQ töltést, és azt visszük át a már kialakult elektrosztatikus tér ellenében a másik lemez­ re. Legyen egy adott pillanatban a lemezek közötti feszültség U'. Ekkor a AQ töltés átviteléhez szükséges munka: A W - U'AQ Ábrázoljuk az U' - Q függvényt! Láthatjuk, hogy az elemi munka éppen a megjelölt sáv területe (3.17. ábra), így az U fe­ szültség eléréséig az összes munka: W ^-UQ. A képlet a kondenzátor kapacitásának felhasználásával átír­ ható: 2

2 ákán

Fejezzük ki a feszültséget a térerősséggel:

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

189

3.17. ábra

2

í -kU

Egyszerűsítsünk d-vel, és osszuk mindkét oldalt Aá-vel, ami nem más, mint a kondenzátor térfogata; W Ad

1 2 4:irk

Eredményünk úgy értelmezhető, hogy a kondenzátor feltöl­ téséhez befektetett munka az elektrosztatikus tér energiájaként tárolódik. A w = ^ mennyiség az egységnyi térfogatban talál­ ható energiát, azaz az elektrosztatikus tér energiasürűségét adja meg. A kapott kifejezés általánosan érvényes. Tetszőleges elektro­ mos tér energiasűrűsége az E térerősségű helyen: 1 w=2 4Tvk

Az ^ = £o azaz a vákuum dielektromos állandója behelyet. tesítésével w = mértékegysége: J/m •

Kondenzátor szigetelőkkel [Hl Töltsünk fel egy kondenzátort Q töltéssel, majd tegyünk lemezei közé egy üveg- vagy plexilapot! Azt tapasztaljuk, hogy a feszültség csökken. Ha az üveg- vagy plexilapot eltávolítjuk, akkor a feszültség az eredeti értékre áll vissza, azaz a kondenzá­

190

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

tor töltése nem változott meg. A jelenséget azzal magyarázhat­ juk, hogy a szigetelőanyag behelyezésével megváltozik a kon­ denzátor kapacitása. Mivel a feszültség változatlan töltés mel­ lett csökkent, a kapacitás megnőtt. Megállapodás szerint az

c a hányados értékét, ami csak a behelyezett szigetelőanyagra jel­ lemző, az anyag relatív permittivitásának nevezünk. Számértéke megmutatja, hogy hányszorosára nő a kondenzátor kapacitása az üres kondenzátoréhoz képest. A jelenség magyarázata a következő. A szigetelőanyag mole­ kulái vagy poláros vagy nempoláros (más néven apoláros) mo­ lekulákból állnak. Az első esetet tekintve külső elektromos tér hiányában az apró kis dipólusok teljesen rendszertelenül helyezkednek el (3.18. áb­ ra). Ha külső elektromos teret kapcsolunk rá, akkor a dipólusok láncokká alakulnak, és a két határfelületen ún. polarizációs tölté­ sek ielennek meg. Ezeken a polarizációs töl­ téseken végződik a fémlemezből kiinduló erővonalak egy része. így a szigetelő belse­ jében a térerősség lecsökken, ami viszont a feszültség csökkenésében, azaz a kapacitás növekedésében nyilvánul meg. 3. I 8. ábra Apoláros molekulájú szigetelőanyagok esetén a külső tér ha­ tására először töltésszétválasztás jön létre, azaz először polari­ zálódnak a molekulák, és azután alakulnak ki az előlsb említett dipólusláncok.

3.1.4. AZ ELEKTROMOS ÁRAM FOGALMA, AZ ÁRAMERŐSSÉG B Állítsunk egymással szembe, függőleges helyzetbe egy semleges és egy elektromosan feltöltött fémlemezt! Függeszszünk közéjük cérnaszálon egy kisméretű fémtárgyat vagy grafit-

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

3.19. ábra

191

porral bevont pingponglabdát a 3.19. ábra szerint. Azt tapasztaljuk, hogy a labda lengésbe jön, és a két lemez érintése során töltéseket „szállít át” a nagyobb potenciálú lemezről a nulla potenciálú lemezre. A töltésszállítás mindaddig tart, amíg a két lemez kö­ zött elegendően nagy a potenciálkü­ lönbség. Az ilyen töltésáramlást konvekciós áramnak nevezzük, ami azt jelenti, hogy a töltések mozgása anyag­ árammal jár együtt.

[k] a feltöltött és a semleges B elektroszkópokat a 3.20. áb­ rán látható módon kössük össze farúddal! A potenciálkülönb­ ség kiegyenlítődése most szinte szemmel is követhető, hiszen a rossz vezetőben lassú a töltések áramlása. A kísérletek alapján arra következtethetünk, hogy két pont között tartósan észlelhe­ tünk töltésáramlást, azaz elektromos áramot, ha a pontok kö­ zött tartósan potenciálkülönbséget biztosítunk.

[ d ] Az elektromos töltések adott helyen való áthaladása az elektromos áram. Az áram intenzitását az áramerősség jellem­ zi, amely megmutatja, hogy mennyi töltés halad át az adott helyen egységnjd idő alatt. Jele I, nagysága:

192

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

AQ At ’ ahol AQ jelenti a vezető teljes keresztmetszetén A t idő alatt átáramló töltés mennyiségét. [U Az elektromos áramerősség egysége az amper, jele: A. Az 1 A erősségű áram esetén a vezető minden keresztmetszetén 1 s alatt 1 C töltés halad át.

I

[D Egyenáram (stacionárius áram) esetén az / = A Q /A t há­ nyados állandó értéket ad, függetlenül a A t nagyságától.

Abban az esetben, ha ez a hányados nem állandó, akkor érté­ ke az adott időtartamra vonatkozó átlagos áramerősséget adja meg. Az áram iránya megállapodás szerint a pozitív töltések mozgási iránya. Ez az önkényes megállapodás azt jelenti, hogy az áram iránya a fémekben ellentétes irányú az elektronok tényleges mozgási irányával.

3.1.5. A VEZETŐK ELLENÁLLÁSA, OHM TÖRVÉNYE [k] Vizsgáljuk meg, hogy egy hosszú fémes vezetőn hogyan függ az áram erőssége a két végpont közötti feszültségtől! Mé­ rési eredményeink egyenes arányosságot mutatnak: y = állandó. Az állandó értéke független a fogyasztóra kapcsolt feszült­ ségtől vagy a rajta átfolyó áramtól, így kizárólag az adott fo­ gyasztóra jellemző. Neve elektromos ellenállás, jele: R. Az ellenállás egysége az ohm. Jele: ü. Egy vezeték ellenállá­ sa akkor 1 Í7, ha 1 V feszültség hatására 1 A erősségű áram ha­ lad benne. Állandó Uo feszültségű telep esetén az áramkörben bárhol ugyanakkora az áramerősség. Ez azt jelenti, hogy a töltések

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ 193

mozgása a vezetőben egyenletes, pedig az állandó feszültség mi­ att kialakuló homogén elektromos tér gyorsítja a töltéseket. Fel kell tételeznünk tehát egy belső fékező erőt, amelynek hatására a töltések mozgása a fémben a súrlódásos áramláshoz hasonló­ an megy végbe. Ez a belső, anyagszerkezeti jelenségekre vissza­ vezethető hatás jellemezhető a vezető ellenállásával.

Fémes vezetők ellenállása, fajlagos ellenállás E Méljük meg különböző hosszúságú, keresztmetszetű, ill. anyagi minőségű fémhuzalok ellenállását! Állandó feszültség esetén a következő arányosság állapítható meg:

ahol A a huzal keresztmetszete, l a hossza. Ezt felhasználva, a huzal ellenállására a következő összefüggés írható fel:

ahol g az anyagi minőségtől függő arányossági tényező, a fajla­ gos elektromos ellenállás, egysége Om.

Az ellenállás hőmérsékletfüggése E Csavarszerűen föltekert huzalt kössünk be az áramkörbe! Válasszuk meg úgy az áramkör adatait, hogy az izzó éppen csak világítson, majd melegítsük a huzalt izzásig! Az áramerősség a melegítés közben csökken, végül az izzó már nem is világít. Te­ hát a fémes vezetők ellenállása növekszik, ha növeljük a hőmér­ sékletet. E Kísérletünkben a fémspirált cseréljük ki grafitrúdra! Most válasszunk olyan feszültséget, hogy az izzó még éppen ne vilá­ gítson! A grafitrúd melegítésekor az izzó világítani kezd, azaz a grafit ellenállása melegítéskor csökken.

194________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

A kísérletek magyarázata nagy vonalakban a következő: a fé­ mes vezetőkben állandó hőmérsékleten és állandó feszültség esetén az ún. vezetési elektronok állandó átlagos sebességgel szállítják az elektromos töltést. A hőmérséklet növekedésével az elektronok egyre gyakrabban ütköznek a hőmozgást végző ionokba, emiatt átlagos sebességük lecsökken, így a fém ellenál­ lása megnő. Az elektronok átlagos sebessége (amellyel a vezetésben részt vesznek) lényegesen növelhető - azaz lényegesen csökkenthető az ellenállás -, ha a fémrács ionjainak hőmozgása lecsökken. 0 K-hez közeli hőmérsékleten, minden idegen szennyező atomtól mentes, tiszta fémes vezető ellenállása nullához tart (szuprave­ zetés). Grafit esetén viszont kevés elektron vesz részt a vezetés­ ben alacsony hőmérsékleten. A hőmérséklet emelésével jelen­ tősen megnő a vezetésben résztvevő elektronok száma, vagyis ilyenkor a hőmozgás „delokalizálja” a grafit kristályrácsának elektronjait, ami oda vezet, hogy az áram megnő, tehát az elekt­ romos ellenállás csökken.

Ellenállások soros kapcsolása

I

[H Egy áramkörben az ellenállások kapcsolása két pont kö­ zött soros, ha a két pont között nincs semmiféle elágazás. [H Egy sorosan kapcsolt ellenállásokat tartalmazó áramkör eredő ellenállásán azt az ellenállást értjük, amelyet ugyanarra az Uo feszültségű telepre kapcsolva, ugyanaz az I áramerősség jön létre.

Egyenáram esetén a sorba kapcsolt ellenállásokon ugyanjíz az áram folyik át (3.21. ábra). Az egyes ellenállásokra jutó fe­ szültségek összege a telep feszültségével egyenlő, azaz U ab + U bc + UcD — U

Alkalmazzuk az utóbbi egyenletre Ohm törvényét, azaz fe­ jezzük ki az áramerősséggel és a megfelelő ellenállással a fe­ szültségeket: R il + R2I + R3I = R e I

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

/?1

/?2

195

Rj

3.21. ábra

Osztva az áramerősséggel, megkapjuk az eredő ellenállásra vonatkozó összefüggést: R e = R i + R2 + R í Az előbbi feszíiltségekre vonatkozó egyenlet alapján láthat­ juk tehát, hogy soros kapcsolás esetén az egyes ellenállásokra jutó feszültségek az ellenállások arányában oszlanak meg.

Ellenállások párhuzamos kapcsolása

I

[d] Párhuzamos az ellenállások kapcsolása, ha a csatlakozási pontok egy-egy oldalon azonos potenciálon vannak. H] Kírchoff I. törvénye, a csomóponti törvény: Egy hálózat minden elágazási pontjára (csomópontjára) igaz, hogy a beérkező és a kifolyó áramok előjeles összege zérus T.Ik = 0

A csomóponti törvény a töltésmegmaradás tételének követ­ kezménye. 1] Kapcsoljunk párhuzamosan három ellenállást a 3.22. áb­ rán látható módon! Alkalmazzuk az adott áramkörre Kirchoff I. törvényét, a csomóponti törvén)^. I = I \ ^ I 2 + h-

196

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

h

C /?1 I h R2 R3

3.22. ábra

Az áramerősségekre kapott egyenletet alakítsuk át az Ohm­ törvény felhasználásával, így meghatározhatjuk az eredő ellen­ állás értékét: r

r

r

r

U

U

U

U

tehát J _ _ J_

J_

Re

i

Rl

?2

^3

Ez azt mutatja, hogy párhuzamos kapcsolás esetén az egyes ellenállásokon folyó áramok az ellenállások értékével fordítot­ tan arányosak.

3.1.6. FESZÜLTSÉGFORRÁS, RÖVIDZÁRÁSI ÁRAM [Hl Kapcsoljunk a 3.23. ábra szerint változtatható ellenállást az áramkörbe! Az ideális feszültségmérő belső ellenállása na­ gyon nagy. így, ha a műszert ellenállás nélkül, a K kapcsoló nyi­ tott helyzetében közvetlenül a telepre kapcsoljuk, akkor na­ gyon kicsi áram folyik az áramkörben. Ebben az esetben a telep

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

197

terheletlen, a mérhető feszültség csak a feszültségforrásra jel­ lemző. I [U A feszültségforrás feszültsége a forrásfeszültség vagy elekt­ romotoros erő Jele: Uq, IS Csökkentsük a telepre kapcsolt ellenállás értékét, azaz a csúszka mozgatásával növeljük a telep terhelését! Azt tapasztal­ juk, hogy az áramerősség növekedésével az ellenálláson mért feszültség kisebb lesz, mint a telepre jellemző Uq! A jelenség oka, hogy a telep és a rákapcsolt ellenállás által ki­ alakított áramkörban az áram a telepen is átfolyik. A töltések mozgásával szemben azonban a telepnek is van ellenállása, amelyet belső ellenállásnak nevezünk. A külső ellenállás a Rb belső ellenállással együtt határozza meg az áramkörben ki­ alakuló áram erősségét: Uq —I{Rb + Rk) —IRb + IRk Ez a kifejezés az Ohm-törvény teljes áramkörre vonatkozó alakja, amelyben R^ az összes külső ellenállás eredőjét jelenti. Eredményünk alapján Kirchoff II. törvénye, a huroktörvény is megadható általános alakban.

198________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

B Egy hálózat bármely zárt hurkot alkotó részében az ellen­ állásokra jutó feszültségek összege egyenlő a körben levő elektromotoros erólc összegével: EL

Rj =

SC/o

ahol Rj a telepek belső ellenállását is tartalmazza. Egészítsük ki a törvényt Kirchhoff I. törvényével! Egy háló­ zat bármely csomópontjába „befutó” áramok előjeles összege nulla, azaz: = 0 Az eddigiekből kitűnik, hogy az R^ fogyasztóra csak IR^ = Uk feszültség jut, amelynek a neve kapocsfeszültség. A kapocsfe­ szültség a terheléstől függően jóval kisebb is lehet a forrásfe­ szültségnél, ugyanis:

Eredményünkből az is látszik, hogy a telepből Rk esetén ve­ hető ki maximális áram. Ez az ún. rövidzárási áram: I Ekkor azonban a kapocsfeszültség nulla.

3.1.7. ELEKTROMOS MUNKA ÉS A TELJESÍTMÉNY E Kapcsoljunk sorba a 3.24. ábra szerint különböző anyagok­ ból készült huzalokat! Az áram hatására a különböző anyagi minőségű vezetők különböző mértékben melegszenek. Azonos keresztmetszetű és hosszúságú huzalok esetén a legnagyobb faj­ lagos ellenállású drót melegszik a legjobban. Az elektromos áram hőt termel, amelynek nagysága a fogyasztó adataitól is függ. Ez a Joule-féle hő. írjuk fel a munkavégzést, amelyet az

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

199

3.24. ábra

elektromos tér végez az áramkör A és B pontjai között, miköz­ ben összesen Q töltés halad át t idő alatt: W = [/ab Q Ez a kifejezés az Ohm-törvény segítségével átalakítható: W = UABlt = U l B ^ = I^Rt Az elektromos munkára kapott kifejezésből definiálható az R ellenállású fogyasztó által felvett teljesítmény: P =— = U I^fR =^ t R A z elektromos hálózatokra jellemző adat a munkavégzés hasznosságára vonatkozó hatásfok: 7/ = — ; ahol ^'Ó Pr a fogyasztó által felvett teljesítmény: Pr = I^R =

R ’

Pö a feszültségforrás által leadott összes teljesítmény: C/2 Pö = I^Re

= Re

Vizsgáljunk meg egy nem ideális telepből kivehető teljesít­ ményt a külső ellenállás függvényében! Tudjuk, hogy a telep kapocsfeszültsége:

200

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

5.25. ábra

Uk

RrUo Rb +

R

k

A kivehető teljesítmény: P

ul Rk

RkUl {Rb + R kf

Kimutatható, hogy a függvénynek (3.25. ábra) ott van maxi­ muma, ahol Rb = Rk. Azt mondhatjuk, hogy akkor vehetünk ki egy telepből maximális teljesítményt, ha a külső és belső ellen­ állás megegyezik, vagyis „illesztve” vannak. Minden más (ki­ sebb) teljesítményértékhez két Rk tartozik. Érdekes, hogy bár­ mely összetartozó Rk értékpár mértani közepe az Rb ellenállást adja meg; R\ = RuRb

3.2. A MÁGNESES MEZŐ 3.2.1. AMÁGNESSÉG Alapjelenségek [Hl Fonálra felfüggesztett mágnesrudat egy másik mágnesrúd aszerint vojiz vagy taszít, hogy melyik végével közelítünk hoz­ zá. Ha ezt a rudat feldaraboljuk, minden darabjának megmarad a két pólusa, tehát mágneses monopólus nem létezik (3.26. áb­ ra).

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

201

Y/ / / / / / Z

D E

E

D 3.26. ábra

E Közelítsünk oszcilloszkóp képernyőjéhez rúdmágnest! Megfigyelhetjük, hogyan torzul a kép. A mozgó elektronokra a rúdmágnes erőt fejt ki. IS Feszítsünk ki egy vezetéket egy iránytű fölött, az iránytű­ vel megegyező irányban (3.27. ábra)! Ha a vezeték két végére feszültséget kapcsolunk, az iránytű kitér a drótra merőleges irányba (Oersted-kísérlet). E Feszítsünk ki egymással párhuzamosan két drótot! Ha a két drótban áram folyik, aszerint vonzzák vagy taszítják egy­ mást, hogy az áram iránya a két drótban azonos vagy ellentétes (3.28. ábra). [k] Tengely körül forogni tudó körvezetőre kapcsoljunk fe­ szültséget, majd vigyük egy mágnesrúd közelébe! A körvezető úgy viselkedik, mint egy iránytű, amely merőleges a körvezető síkjára. Az irányt az ún. jobbkéz-szabállyal határozhatjuk meg; jobb kezünk ujjait az áram irányában begörbítve, az északi irányt kinyújtott hüvelykujjunk jelzi (3.29. ábra).

n'

3.28. ábra

3.29. ábra

202

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

Kísérleteinkből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy akár permanens mágnest, akár áramjárta vezetőt használunk, mág­ neses mező alakul ki körülöttük, amely közvetíti az erőhatást a mágnesek, illetve az áramjárta vezetők között. Ez a mező akkor is jelen van, ha nincs ott másik mágnes vagy áramjárta vezeték. A mágneses térre jellemző mennyiséget - amit történeti okok­ ból mágneses indukciónak nevezünk - kicsit bonyolultabb mó­ don mérhetjük ki, mint a sztatikus elektromos tér esetén, hiszen nincs mágneses egypólus, így egyszerű erőméréssel nem érhe­ tünk el eredményt. A felsorolt kísérletek bármeljdke alapján dolgozhatunk, a legelterjedtebb azonban a következő eljárás.

A mágneses indukció mérése magnetométerrel A mágneses indukció méréséhez az úgynevezett torziós mér­ leg használható (3.30. ábra). Két nagy átmérőjű sorba kapcsolt tekerccsel homogén mágneses mezőt hozunk létre a nagy teker­ csek belsejében. A gerjesztő áram erősségét egy tolóellenállás segítségével állítjuk be. Mivel mágneses monopólus nincs, ezért nem erőt mérünk, hanem a torziós szálra helyezett lapos te­ kercsre ható maximális forgatónyoraatékot. A lapos tekercset úgy helyezzük el, hogy síkja párhuzamos legyen a mágneses tér irányával, ugyanis így kapjuk a maximális forgatónyomatékot. A torziós szálra erősített tükörről a ráeső fénynyaláb visszave-

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________203

rődik, és a visszavert fény egy skálára esik. A fénj^olt elmozdu­ lása arányos a torziós szál szögelfordulásával, az pedig a forgatónyomatékkal. Legyen a tükör és a skála távolsága s. Ekkor, ha a tükör szögelfordulása a, akkor a fénymutató szögelfordulása 2a, így a fényfolt elmozdulása 2as, így ha s elég nagy, bármilyen kicsiny a szögelfordulás is kimutatható. Változtassuk a lapos tekercs áramát, és mérjük a fényfolt el­ mozdulását! Méréseink szerint a fényfolt elmozdulása arányos a lapos tekercs áramával, azaz a mágneses tér egy adott helyén az odahelyezett lapos tekercsre ható maximális forgatónyoma­ ték arányos a tekercs áramával. Ugyanilyen arányosság mutat­ hatók! a forgatónyomaték és a lapos tekercs területe között. Ennek megfelelően a mérőkeretre ható M maximális forgató­ nyomaték arányos a mérőkeret áramának és felületének szorzatával. így a B mágneses indukcióvektor nagysága: B = Mjnax Afnlm. Eredményünk másképpen is értelmezhető. Kísérleteink ta­ nulsága szerint a mágneses tér nem fejt ki erőt a vele párhuza­ mos áramjárta vezetőre. Ezek szerint a lapos tekercsben folyó áramnak csak a lapos tekercs függőleges darabjában folyó ré­ szére hat erő, a vízszintes részre nem. Legyen a függőleges rész hossza l, a vízszintes rész hossza pedig d. Ekkor a forgatónyo­ maték: Mmax = Fá (erőpár) a méróTceret területe pedig:

Ennek felhasználásával Idl az egyszerűsítés és rendezés után

204

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

F = B // adódik. Általánosítva ezt a formulát, az erőhatás nagysága csak a Bre merőleges vezetékdarab hosszának függvénye, iránya pedig /-re és B-re merőleges, velük jobbrendszert alkot. Ez azt jelenti, hogy jobb kezünk hüvelykujját I irányába, mutatóujját B irá­ nyába tartva a középső ujj irányában hat az erő (3.31. ábra).

F = BIl sin a, ahol a a vezető és a B indukcióvonalak által bezárt szög. Kísérletben már láttuk (oszcilloszkóp), hogy a mágneses tér­ ben mozgó töltésre erő hat. Vizsgáljuk meg a mozgó töltésre ha­ tó erőt az előző eredmény figyelembevételével! Mozogjanak töltött részecskék a mágneses tér indukciójára merőlegesen v sebességgel. Legyen egy részecske töltése Q, az általa t idő alatt megtett út l — vt

Ez egy olyan áramjárta vezetőnek felel meg, amelynek hoszsza /, és benne /= o t áram folyik. Helyettesítsük ezt be az imént kapott formulába. Az egyszerűsítések elvégzése után F = QvB sin a

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

205

adódik, ahol a a B indukcióvonalaknak a sebességvektorral be­ zárt szöge. A mágneses térben v sebességgel mozgó Q töltésű részecskére ható erő eszerint merőleges v-re és B-rc, velük jobbrendszert alkot. Ez a mágneses LORENTZ-erő. Fontos megjegyezni, hogy a Lorentz-erő - merőleges lévén a sebesség­ re - csak a sebesség irányát változtathatja meg, a nagyságát nem.

Mágneses indukcióvonalak E Helyezzünk patkómágnesre és mágnesrúdra üveglapot, majd szóljuk meg vasreszelékkel! A vasreszelék szemcséinek rendeződéséből következtethetünk a tér szerkezetére (3.32. ábra). \

/ /

:e

yv\ ! I / / 3.32. ábra

E Az előző módszer felhasználásával vizsgáljuk meg az egye­ nes vezető, ill. a szolenoid mágneses terét (3.33. ábra)!

206________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

Igen lényeges különbség az elektrosztatikus térhez képest, hogy az indukcióvonalaknak nincs kezdetük és végük, hanem önmagukban záródnak. Az indukcióvektor az indukcióvonal bármely pontjában érintő irányú. Célszerű annyi indukcióvona­ lat rajzolni, hogy számuk arányos legyen az indukcióvektor nagyságával. Ezért 1 m^ felületen 1 indukcióvonalat rajzolunk, ha B nagysága egységnyi. A B indukcióvektorra merőleges A felületet döfő indukcióvonalak száma a $ mágneses fluxus:

ha a mágneses mező homogén. Ha ez nem teljesül, akkor fel kell osztani a felületet apró A^4 darabokra, és ezeket kell szo­ rozni a B A ^-ra merőTeges komponensével, majd ezeket össze kell adni. $ = SB„AA Mivel az indukcióvonalak önmagukban záródó görbék, zárt felületre vonatkozóan az indukciófluxus nulla, ami azt fejezi ki, ha egy indukcióvonal a zárt felületen bement, akkor valahol ki is jön belőle.

Tekercs mágneses tere B Vizsgáljuk meg a magnetométer segítségével, hogyan függ a tekercs belsejében kialakuló mágneses tér indukciója a te­ kercs I áramától, N menetszámától és a tekercs l hosszúságától! A mérések szerint B értéke egyenesen arányos mind az áram­ mal, mind a menetszámmal és fordítottan arányos a tekercs hoszszával, nem függ viszont a keresztmetszettől, így

ahol /xo a vákuum permeabilitása, értéke; /ío = 47t - 10

_7

s ----A ■m

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

207

Egyenes vezető mágneses tere A tekercshez hasonlóan vizsgálható a hosszú egyenes vezető mágneses tere is. Az eredmények szerint Ho

2rn

ahol I jelenti a vezetékben folyó áramot, r pedig a vizsgált pont vezetőtől mért távolsága.

3.2.2. MÁGNESES TÖRVÉNYEK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK Mozgási indukció Mozgassunk l hosszúságú fémrudat B indukciójú mágneses térben úgy, hogy l, B és v páronként merőlegesek egymásra. (3.34. ábra).

Ekkor a fémrúd belsejében lévő szabad töltésekre rúdirányban hat a Lorentz-erő, és töltésmegosztást eredményez. Az így létrejövő E elektromos tér által a töltésekre kifejtett erő a Lorentz-erővel eltentétes. A töltésszétválasztás addig tart, amíg ez a két hatás egyensúlyba kerül: QvB = QE amiből

208

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

E = vB. vagyis a rúdban homogén indukált elektromos mező jön létre, tehát a feszültség az l hosszúságú rúd végei között U = vBl Amennyiben v és 5 nem merőleges egymásra, hanem a szö­ get zárnak be, akkor a sebességnek csak a B-re merőleges kom­ ponensét kell figyelembe venni, tehát a feszültség ekkor az l hosszúságú rúd végei között U — vBl sin a

Lenz-törvény A 3.35. ábrán látható összeállításban a B mágneses indukció a lap síkjára merőlegesen befelé mutat, az l hosszúságú fémrudat jobbra v állandó sebességgel húzzuk. Mekkora erő szüksé­ ges ehhez?

X

X

X

X

X

X

X X

3.35. ábra

Az imént láttuk, hogy ha B indukciójú mágneses mezőben egy l hosszúságú rudat B-re és /-re egyaránt merőleges irányban Vsebességgel mozgatunk, akkor végei között U = Bvl feszültség indukálódik. Esetünkben áram is folyik Bvl ~ R~ R ’

r U

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ ^

mivel zárt az áramkör. Alkalmazva a jobbkéz-szabál)^, megállapíthatjuk, hogy a rúd felső végén lesz a pozitív pólus, így az áramköri ellenálláson felülről lefele folyik az áram, a mozgó rúdon pedig felfelé. Még egyszer alkalmazva a jobbkézszabályt, megállapíthatjuk, hogy a mágneses mező által a rúdra kifejtett erő balra hat, azaz a húzóerő irányával ellentétesen. F = BIl^

^ R

E Az indukált feszültség által létrehozott áram iránya olyan, hogy hatásával gátolja az őt létrehozó mozgást. Ez Lenz tör­ vénye. Ez a törvény voltaképpen az energiamegmaradás törvényét fejezi ki, hiszen fordított áramirány esetén csak meg kellene lökni a rudat, és már gyorsulna is a mágneses tér hatására, egy­ re nagyobb sebességet érve el.

3.2.3.

A VÁLTAKOZÓ ÁRAM

Váltakozó feszültség előállítása A 3.36. ábrán látható összeállításban a B mágneses indukció a lap síkjára merőlegesen befelé mutat, az l hosszúságú fémrúd harmonikus rezgőmozgást végez A amplitúdóval, uj körfrekven­ ciával. Ekkor a sebesség-idő függvény V

= A o;

c o s ( ü; í

).

így az indukált feszültség értéke U = BlAüj c o s { u á ) ahol a BlAüj kifejezés a feszültség maximuma. Ezzel a feszült­ ség-idő függvény a következő alakban is felírható: U

=

U m ax

COs{üüt)

Az ilyen, időben periódikus feszültség a váltakozó feszültség.

210

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

1

X X

X

X

X X

X

X

X X

3.36. ábra

A váltakozó feszültség effektív értéke E Kapcsoljunk váltakozó feszültséget ellenállásdrótra! A drót ugyanúgy melegszik, mintha egyenfeszültséget kapcsoltunk vol­ na rá: az áram munkát végez. [H A váltakozó feszültség effektív értéke az az egyenfeszültség, amely egy periódusidő alatt, ugyanazon az ellenálláson, ugyanakkora munkát végez. Itt nem részletezett számítások szerint a szinuszosan váltako­ zó feszültség effektív értéke U e ff =

UmjlX V2

Kondenzátort tartalmazó áramkör vizsgálata [Hl Kapcsoljunk kondenzátorra váltakozó feszültséget! Uo sin(a;í) = ^ Fejezzük ki egyenletünkből a kondenzátor töltését: Q = CU q sm{üüt)

A rezgéseknél már láttuk, ha a kitérés szinuszosan változik, akkor a sebesség koszinuszosán, és a sebességamplitúdió Aw.Mivel a töltés, és az elektromos áram között ugyanolyan a kapcso­ lat, mint a kitérés és a sebesség között, ezért

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

211

I — C ujUocos{üüt) Láthatjuk, hogy a szinuszos feszültséghez koszinuszos áram tartozik, tehát az áramerősség 90 fokkal „siet” a feszültséghez képest. Az áram maximális értéke: lo = CUoui A kondenzátor váltakozó áramú ellenállását a feszültség és az áram maximális értékének a hányadosaként definiáljuk, és Xc-vel jelöljük.

A kondenzátor váltóáramú ellenállása fordítottan arányos mind a kapacitással, mind a frekvenciával.

Nyugalmi indukció E Közös vasmagra teg 3óink két tekercset, majd az egyik te­ kercsre kapcsoljunk telepet, a másikra pedig árammérő műszert (3.37. ábra)!

3.37. ábra

Ha a telepet ki-be kapcsolgatjuk, akkor a másik tekercsre kapcsolt árammérő áramot jelez a ki- és bekapcsoláskor, egyéb­ ként nem. A ki- és bekapcsoláskor keletkező áramok iránya pe­ dig ellentétes. (Hl Készítsük el az előző kapcsolást azzal a változtatással, hogy a telepet tolóellenálláson keresztül kössük a tekercsre (3.38. ábra)!

212

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

3.38. ábra

Ha a tolóellenállás csúszkáját ide-oda húzogatjuk, akkor a másik tekercsre kapcsolt árammérő áramot jelez. [k] Tegyünk most a másik tekercs helyére egy alumíniumgyűrűt! Ha a tekercset nagy egyenfeszültségre kapcsoljuk, akkor a gyűrű valósággal „elszáll” (Thompson ágyú). Ha viszont válta­ kozó feszültséget kapcsolunk a tekercsre, akkor az alumínium­ gyűrű „lebeg”. Összegezzük tapasztalatainkat! 1. kísérlet: a be- ill. kikapcsoláskor keletkező áramok iránya ellentétes. 2. kísérlet: az első tekercs áramának növelésekor a második tekercsben keletkező áram iránya ellentétes az első tekercs ára­ mának csökkenésekor keletkező áram irányával. A jelenséget csak úgy magyarázhatjuk, hogy az első tekercs váltakozó árama változó mértékben mágnesezi a vasmagot. így a második tekercs belsejében is változik a mágneses tér. Ez a változó mágneses tér maga körül elektromos teret hoz létre, és ez az „indukált” elektromos tér okozza az áramot a másik te­ kercsben, ill. a gyűrűben. Mitől függ a keletkező indukált feszültség nagysága? Végez­ zük el újra a második kísérletet úgy, hogy más és más sebesség­ gel mozgatjuk a tolóellenállás csúszkáját! Azt tapasztaljuk, hogy minél gyorsabban mozgatjuk a csúszkát, annál nagyobb fe­ szültséget jelez a másik tekercsre kapcsolt műszer. Kísérletünk szerint a tekercsben indukált feszültség nagysága arányos a tekercs menetein áthaladó mágneses fluxus változásá­ nak sebességével. Tegyünk ezután zárt vasmagra N = 600 menetes tekercset, és kapcsoljunk rá váltakozó feszültséget (kb. 100 V)! Vegyünk egy

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________213

hosszú röpzsinórt, tekerjük rá a vasmagra egyszer, majd kap­ csoljuk érzékeny feszültségmérő műszerhez a zsinór két végét! Ismételjük meg a mérést úgy, hogy egyre több menetet teke­ rünk a vasmagra! A mért feszültségek azt mutatják, hogy minél többször járjuk körbe a változó mágneses fluxust, annál na­ gyobb lesz az indukált feszültség. Kísérleti tapasztalatainkat öszszegezve elmondhatjuk, hogy az indukált feszültség nagysága egyenesen arányos a mágneses fluxus változási sebességével és a változó fluxust körülvevő menetek számával, iránya pedig mindig olyan, hogy az általa létrehozott áram mágneses hatása akadályozza az öt keltő hatást:

A negatív előjel a LENZ-törvényt, tehát voltaképpen az energiamegmaradás törvényét fejezi ki. Gondoljuk csak végig: ha egy kicsit megváltoztatva a fluxust az indukált áram mágne­ ses tere erősíthetné ezt a változást, akkor így egyre nagyobb és nagyobb áramok jöhetnének létre, ami lehetetlen. Az indukált elektromos mező szerkezete lényegesen külön­ bözik a sztatikus mezőétől: ugyanis a sztatikus elektromos tér erővonalai - mint már láttuk - a pozitív töltésekről indvilnak, és a negatív töltéseken végződnek, továbbá két pont között a fe­ szültség nem függ az útvonaltól. Az indukált elektromos mező erővonalai ezzel szemben önmagukba záródó görbék, amelyek az ún. balkéz-szabály szerint veszik körül a változó mágneses fluxust. Ha bal kezünk hüvelykujját a B mágneses indukcióvek­ tor változásának megfelelően állítjuk be, akkor az elektromos tér iránya a begörbített ujjaink irányába mutat. Természetesen az így létrejött elektromos mező akkor is je­ len van a változó mágneses fluxus körül, ha nem teszünk oda vezetőt. A változó fluxust körülvevő zárt görbe mentén pedig á feszültség nem nulla, hanem A $/A í.

Kölcsönös és önindukció E Vasmagos tekercsre kapcsoljunk váltakozó feszültséget (3.39. ábra), és vigyünk a közelébe egy másik tekercset, amely­ re feszültségmérő műszert kapcsoltunk! A műszer által muta-

214

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

AM AAA^

~

3.39. ábra

tott értékek erősen függenek a másik tekercs térbeli elhelyezke­ désétől. A legnagyobb értéket akkor jelzi, ha közös vasmagra kerül az első tekerccsel, ilyenkor ugyanis gyakorlatilag a vas­ magban haladó valamennyi indukcióvonal áthalad rajta. A két tekercs közötti kapcsolatot az úgynevezett kölcsönös indukciós együtthatóval jellemezhetjük. Az első tekercs mág­ neses fluxusa arányos az első tekercs áramával, tehát a fluxus változási sebessége is arányos az áram változási sebességével. A kapcsolatot kifejező összefüggés, így az indukciótörvény alapján

alakban írható, ahol L 12 csak a két tekercs geometriai adataitól, illetve a két tekercs egymáshoz viszonyított térbeli elhelyezke­ désétől függ. A kölcsönös indukciós együttható mértékegysége az 1 Vs/A, neve henry, jele: H. Ezek szerint 1 H egy rendszer kölcsönös in­ duktivitása, ha a rendszer egyik tagján 1 s alatt végbemenő 1 A áramváltozás a rendszer másik tagján 1 V feszültséget hoz létre. Bizonyítás nélkül említjük meg, hogy pl. az / hosszúságú, A keresztmetszetű közös tekercstestre csévélt ill. N 2 menetszá­ mú tekercsekből álló rendszer kölcsönös indukciós együttható­ ja: , N 1N 2 A — Mo-----j—

Ha a tekercseket nem levegő, hanem pl. vas tölti ki, akkor az együttható az illető anyag relatív permeabilitásával is szorzódik.

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

215

Önindukció B Kb. 600 w 1200 menetes tekercsre kössünk ködfénylámpát és egy laposelemet (3.40. ábra)! Ha a laposelemet ki-be kap­ csolgatjuk, akkor a ködfénylámpa felvillan.

Nyilvánvaló, hogy egy tekercs számára közömbös, hogy hon­ nan származik az a változó mágneses mezó", amely miatt benne feszültség indukálódik. Esetünkben a tekercs saját árama válto­ zik, és ennek következtében változik a tekercsen áthaladó flu­ xus. [H Az a jelenség, amikor a saját mágneses fluxus változása miatt keletkezik indukált feszültség, az önindukció. Az önin­ dukciós feszültséget a kölcsönös indukcióhoz hasonlóan az U ^-L

A/ At

egyenlettel definiáljuk. - L = 1 henry az önindukciós együtthatója (öninduktivitása) annak a tekercsnek, amelyen ha 1 s alatt 1 A-t változik az áram, akkor 1 V feszültség indukálódik. Bizonyítás nélkül említjük meg, hogy pl. egy l hosszúságú N menetszámú egyenes tekercs (szolenoid) önindukciós együttha­ tója: L = fio

N^A

216

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

3.41. ábra

Ha a tekercset nem levegő, hanem pl. vas tölti ki, akkor az együttható az illető anyag relatív permeabilitásával is szorzódik. [S Készítsük el a 3.41. ábrán látható kapcsolást! Az ábra szerint egy izzót és egy vele sorba kapcsolt tolóellen­ állást párhuzamosan kapcsoltunk egy tekerccsel és azzal sorba kapcsolt izzóval. Először kapcsoljuk rá a rendszerre a telepet, majd a tolóellenállással állítsuk be az izzó fényét a másikkal azonos erősségűre. Ezt követően kapcsolgassuk ki-be az ára­ mot! Azt tapasztaljuk, hogy a tekercset tartalmazó ágban az iz­ zó lényegesen később kezd világítani, mint a másik. Bekapcsoláskor tehát a tekercset tartalmazó áramkörben az áram mintegy „késik” a feszültséghez képest. A jelenséget az okozza, hogy bekapcsoláskor megváltozik az áram erőssége: a kezdeti nulláról Aí idő alatt A7-re növekszik. Ez pedig U — ~ L ^ önindukciós feszültséget eredményez a te­ kercsen, aminek a nagysága a í = 0 időpontban éppen a telepfe­ szültséggel egyenlő, így a kezdő pillanatban nem folyik áram. Ezután bizonyos idő elteltével az áram erőssége elér egy állan­ dó értéket, amelyet az áramkör eredő ellenállása és a telepfe­ szültség határoz meg: I A kikapcsolási jelenséget már tanulmányoztuk, tehát tudjuk, hogy kikapcsoláskor nagy feszültség jelenik meg a tekercs két kivezetése között, ami nagy szikrát okozhat (pl. autók gyújtóbe­ rendezése stb.) A kikapcsolási jelenségek egyúttal arra utalnak, hogy az árammal átjárt tekercs mágneses terének energiája van. Az energia a mágneses tér „felépülésekor”, azaz az áram kiala­ kulásával kerül a térbe, és a kikapcsoláskor alakul át más ener­ giává.

ELEKTROMAGNESSEGTAN

217

Tekercs mágneses terének energiája Számítsuk ki, hogy mekkora munkát végez a telep, amíg kiéptil a tekercs mágneses tere (3.42. ábra)!

A W W W V v \A /V

3.42. ábra

3.43. ábra

íijuk fel a tekercs által felvett pillanatnyi teljesítményt: P = UI = L . % I írjuk fel a Aí idő alatt végzett munkát a pillanatnyi teljesít­ mény segítségével; A/ A W = PAt = L ~ I A t ^ L I A I At Ábrázoljuk ezután az L I mennyiséget az I függvényében (3.43. ábra)! Vegyük észre, hogy a A W elemi munka éppen a bejelölt sávnak a területe, így az állandó I áram eléréséig vég­ zett teljes munka a görbe alatti megfelelő terület, azaz

Ez a munka a mágneses tér kiépítéséhez szükséges energiát -fedezte, ezért ezzel megkaptuk a tekercs mágneses tere által tá­ rolt energiát. Próbáljuk meg kifejezni ezt a térjellemzőkkel is! Helyettesítsük az L önindukciós együttható helyére az elő­ zőekben kiszámított értékét, majd csoportosítsuk át a szorzatot:

218

____________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

Eredményünk első tényezőjében felismerhetjük a B mágne­ ses indukció kifejezését. A második tényezőt is ilyen alakra hozhatjuk, ehhez csak egy /xo-as szorzó, ill. egy /-es osztó hiány­ zik. Ezeket a bővítéseket elvégezve, a kifejezés az 2/xo alakot ölti. Vegyük észre, hogy Al a tekercs térfogata. A kifejezést a tér­ fogattal elosztva az egységnyi térfogatra eső energiát, azaz a mágneses energiasűrűséget kapjuk: <JÜ— ■

2fio

Eredményünk általánosan is igaz: a mágneses tér energiasű­ rűsége egy adott pontban arányos a mágneses indukció négyze­ tével.

Tekercs váltakozó áramú ellenállása [Hl Kapcsoljunk hanggenerátorra zárható vasmagos tekercset és vele sorba árammérő műszert! Állandó frekvencián változ­ tassuk a vasmag helyzetét, ill. pl. zárt vasmag esetén változtas­ suk a frekvenciát! Megfigyeléseink szerint: a) Állandó frekvencián minél zártabb a vasmag (nőtt az önin­ dukciós együttható), annál kisebb az áram erőssége, azaz annál nagyobb a váltóáramú ellenállás. b) Zárt vasmag (állandó önindukciós együttható) esetén mi­ nél nagyobb a frekvencia, annál kisebb az áram erőssége, azaz annál nagyobb a váltóáramú ellenállás. Pontos mérések szerint a tekercs váltóáramú ellenállása egyenesen arányos az áramkör frekvenciájával és a tekercs önindukciós együtthatójával.

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________^

I

Hl A tekercs váltóáramú ellenállása az impedancia. Jele: X l mértékegysége ohm.

A tekercs váltakozó áramú ellenállását a követkéző módon számíthatjuk ki. Alkalmazzuk a huroktörvényt az iménti áram­ körre! — IR.

C/o sin(wí) —

Tételezzük fel, hogy az áramkör ohmikus ellenállása nulla. Ekkor egyenletünk a következő alakot ölti: Uo sin(a;í) =

^

A rezgéseknél már láttuk, hogy ha a sebesség szinuszosan vál­ tozik, akkor a kitérés-idő függvény - cos(o>í)-vel arányos. Eh­ hez hasonlóan, legyen I — locosiívt). ekkor az / változási gyorsasága: A/ Aí Eszerint a feszültség és az áram között 90 fok a fáziskülönb­ ség. Ezzel: C/oSÍn(u;í) = LIoU}SÍa{ijt). tehát az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha Uq = L I qu. Ha a tekercs váltóáramú ellenállását az lo kifejezéssel definiáljuk, akkor

220________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

Y =— ^0 = L(jü r X/, h ami igazolja előzetes megfigyeléseinket, tehát a tekercs váltako­ zó áramú ellenállása egyenesen arányos az önindukciós együtt­ hatóval és a frekvenciával.

Az RLC-kör Készítsük el a 3.44. ábra szerinti kapcsolást! Kapcsoljunk az áramkörre 30 V váltakozó feszültséget, majd méijük meg az áramkör egyes tagjainak feszültségét! Azt tapasztaljuk, hogy az egyes elemeken mért effektív feszültségek összege nagyobb, mint a körre kapcsolt feszültség effektív értéke. Ez annak a kö­ vetkezménye, hogy az effektív feszültségek nem adnak számot az egyes kapcsolási elemeken eső pillanatnjd feszültségek egy­ máshoz képesti fázisáról. A huroktörvény alkalmazásához azonban a pillanatnyi feszültségek fázisát is figyelembe kell vennünk. Hogyan összegezhetjíik a pillanatnjd feszültségeket? A rezgésekkel foglalkozó fejezetben már láttuk, hogy párhuza­ mos, azonos frekvenciájú rezgések amplitúdói úgy összegezhe­ tők, mintha vektorok lennének. Itt is pontosban erről van szó. R

L

C

I----- V W W V \W A ^— 1|-

3.44. ábra

Az ellenálláson eső feszültség fázisban van az árammal, a te­ kercs feszültsége 90°-kai siet. Ezek szerint a tekercs és a kon­ denzátor feszültsége ellentétes fázisú, azaz a nekik megfelelte­ tett amplitúdóvektorok ellentétes irányúak. Az összegzés menete a 3.45. ábráról olvasható le, az összegvektor a körre kapcsolt feszültségnek felel meg. Igen egyszerű összefüggés írható fel e négy mennjdség kö­ zött. Pitagorasz tétele alapján

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

221

U^ = Ul + { U L - U c f A kifejezés négyzetgyökét az áramerősség effektív értékével osztva

ahol az ^ hányados az áramkör váltóáramú ellenállása, azaz im­ pedanciája: jele Z, mértékegysége ohm. írjuk be X l és X c he­ lyére a már megismert értékeiket. így a \

Z = \ R ^ + i Luj-

Cuj

kifejezéshez jutunk. A vektorábráról leolvashatjuk az áramkör árama és feszültsé­ ge közötti fáziskülönbség szögének tangensét is: tga =

Xl - X c R

3.2.4. A FESZÜLTSÉGREZONANCIA Állítsuk össze a 3.46. ábra szerinti kapcsolást! Méijük meg külön-külön a tekercs és a kondezátor feszültségét és e két fe­ szültség összegét is! Változtassuk a tekercs induktivitását a zá­ róvas tologatásával! Vannak olyan helyzetek, amikor a tekercs.

222

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

ill. a kondezátor feszültsége nagy értékű, míg az összegük ehhez képest jóval kisebb, sőt nulla is lehet. Az utóbbi eset a feszült­ ségrezonancia. A jelenség és az elnevezés magyarázata a következő. Mivel Z = \ R^+{ L(v-

-V CuJ

az induktivitás változtatásával elérhetjük, hogy a tekercs induktív ellenállása megegyezzen a kondenzátor kapacitív el­ lenállásával: Ekkor viszont az áramkör ellenállása a tekercset alkotó drót ellenállásával egyenlő: Z = R, amely viszonylag kis értékű, így az áramkörben nagy áram foly­ hat. Ekkor a tekercsen, illetve a kondezátoron wL/R-szer na­ gyobb feszültség esik, mint amennyi az ellenálláson eső feszült­ ség. Határozzuk meg adott L és C esetén azt a frekvenciát, ame­ lyiknél fesztiltségrezonancia jön létre! Az előzőek értelmében akkor lesz feszültségrezonanda, ami­ kor = Xc. Ebből

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

223

Őiu> következik, átrendezve és felhasználva, hogy u = 27t/, kapjuk az ún. Thomson-képletet: / -

2-k^ÍLC

Feszültségrezonancia esetén a kör ellenállása tiszta ohmos és minimális.

3.2.5. AZ ÁRAMREZONANCIA E Kapcsoljunk párhuzamos tekercset és kondenzátort (3.47. ábra)! P 0 -^ W W W V ^

o —

Ih

3.47. ábra

Változtassuk a tekercs induktivitását a záróvas tologatásával, és méljük külön-külön a tekercs és a kondezátor áramát, vala­ mint a kettő összegét is! Vannak olyan helyzetek, amikor az egyes mellékágakban folyó áramok erősségei igen nagyok, ugyanakkor a főágban mérhető érték kicsi és szélső esetben kö­ zel nulla lehet. A jelenség az áramrezonancia, magyarázata a következő. Az induktivitás változtatásával elérhetjük, hogy a tekercs in­ duktív ellenállása megegyezzen a kondenzátor kapacitív ellen­ állásával. Ekkor - mivel párhuzamos kapcsolás miatt a feszült­ ség a tekercsen és a kondenzátoron azonos - az áramok is azonos nagyságúak lesznek, de fázisuk közel ellentétes (a te­

224________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

keresnek ug;^anis van ohmikus ellenállása is a tekercset alkotó drót miatt). így elérhetővé válik, hogy az áramok összege közel nulla. Határozzuk meg ideáUs (ellenállás nélküli) tekercs és kon­ denzátor esetén azt a frekvenciát, amely mellett létrejön az áramrezonancia! Az eddigiek értelmében ekkor a rezonancia esetén a konden­ zátor és a tekercs árama azonos nagyságú, csak ellentétes fázi­ sú, azaz ^ = UCu. L lü Egyszerűsítsük í/-val, majd fejezzük ki w-t! U) =

1

^/LC

amiből / =

1

2ttV L C

adódik, ugyanaz az összefüggés, mint feszültségrezonancia ese­ tén. Mivel áramrezonancia esetén a főágban folyó áram közel nulla, ezért ekkor a párhuzamosan kapcsolt tekercs és konden­ zátor eredő ellenállása nagyon nagy (ideális tekercs esetén vég­ telen nagy).

3.2.6. A REZGŐKÖRÖK VIZSGÁLATA E Kapcsoljunk párhuzamosan nagy induktivitású tekercset nagy kapacitású kondenzátorral, és helyezzünk el az áramkör­ ben egy középállású árammérő műszert is (3.48. ábra). A Morse-kapcsoló egyik állásában a kondenzátor feltöltődik a telep feszültségére, majd átkapcsolva a másik állásra, a kondenzátor kisül a tekercsen keresztül. Igen érdekes a kisülés folyamata, ugyanis a műszer mutatója kezdetben nagy, később egyre csök­ kenő amplitúdóval rezeg, azaz csökkenő intenzitású váltakozó áram folyik az áramkörben.

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

225

' o----------p.

3.48. ábra

A jelenség magyarázata a következő: kezdetben a feltöltött kondenzátor feszültsége (U) megegyezik a telep feszültségével, az áram erőssége pedig nulla. Az áram megindulása után a kon­ denzátor feszültsége csökken, hiszen csökkent a töltése, így ha­ marosan nulla lesz. Ekkor viszont a tekercsnek már kiépült a mágneses tere, az áram maximális, de nincs töltésutánpótlás. Az áram ennek megfelelően nullára csökkenne, de emiatt válto­ zik a tekercs mágneses tere, és ez a változó mágneses tér a te­ kercsen Lenz törvénye értelmében olyan feszültséget indukál, amely az áram csökkenését akadályozni igyekszik, vagyis az eredeti áramirányt tartja fenn. Ennek következtében a konden­ zátor újra feltöltődik, csak ellenkező polaritással. Ezután a fo­ lyamat újraindul, csak az ellenkező irányban. Ez a mechanikai rezgésekkel analóg folyamat az elektromágneses rezgés. Energetikailag vizsgálva a folyamatot azt mondhatjuk, hogy kezdetben a kondenzátor elektromos terének az energiája ala­ kult át a tekercs mágneses terének energiájává és fordítva. Ha­ sonló történik egy vízszintesen rezgő test esetén is, amikor a rugalmas és a mozgási energiák alakulnak egymásba periodiku­ san. E két folyamatot szemlélteti a 3.49. ábra. B,

I

;= o

\w v \o i -e---- 1 xo

A W AW W p-

V=0 3.49. ábra

226________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

Valódi tekercs és kondenzátor esetén csillapodó rezgés jön létre, az elrendezést pedig elektromos rezgőkörnek nevezzük. Általában, ha az áramkörre külső kényszer nem hat és rezgés jön létre, úgy ezeket szabad elektormágneses rezgéseknek, a rez­ gés frekvenciáját pedig sajátfrekvenciának nevezzük. Ideális tekercs (R - 0) és kondezátor esetén egyszerűen hatá­ rozhatjuk meg a rezgőkör sajátfrekvenciáját, ugyanis az ener­ giák egyenlőségéből indulhatunk ki:

ahol U a kondenzátor csúcsfeszültsége, I pedig az áramkör ma­ ximális árama. Mivel: U = IX c és 1 Cüj

ezért egyenletünk rendezés után a következő alakot ölti: ÜJ =

1

\ÍLC

ami a már jól ismert Thomson-képlet.

3.3. A VÁLTOZÓ ELEKTROMOS MEZŐ Mint már láttuk, a változó mágneses mező maga körül elekt­ romos teret kelt, amelynek erővonalai önmagukban záródó gör­ bék. Felvetődik a kérdés, hogy igaz-e az, hogy változó elektro­ mos tér körül is kialakul mágneses tér? Vizsgáljunk meg gondolatban egy R -C áramkört, amelyet egyenfeszültségre kapcsolunk. Bekapcsoláskor a kondenzátor még töltetlen, tehát az áram erőssége kezdetben / = ^. Ez az áram kezdi tölteni a kondenzátort, amelynek így egyre nagyobb lesz az Uc feszültsége. Az áram erősségének pillanatnyi értéke

___________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________2 ^

I — lesz, vagyis az előzőeknél egyre kisebb érték. Végül is a kondenzátort töltő áram erőssége egyre kisebb lesz, a konden­ zátor feszültsége pedig a telep feszültségéhez közelít. A felöltődés ideje alatt tehát áram folyik az áramkörben. Vizsgáljuk meg ennek a mágneses terét! Az áramkört alkotó drótok mentén a mágneses tér indukcióvonalai „csőszerűén” veszik körül az áramot. De mit mondhatunk a kondezátorlapokkal határolt térrészről? Ott ugyanis töltésáramlás nincs, áram nem folyik a kondenzátor lemezei között. Maxwell felté­ telezte, hogy nem hiányozhat egy „szelet” az áramokat „cső­ szerűén” körülvevő mágneses térből. Elgondolása szerint a kon­ denzátor körüli mágneses teret a kondenzátor elektromos terének változása hozza létre. Legyen egy pillanatban a kondenzátort töltő áram erőssége I. Ez az áram egy nagyon kicsi Aí idő alatt nem változik meg nagyon, így a Aí idő alatt a kondenzátor töltése AQ = ló d értékkel növekszik, így viszont megváltozik a feszültsége is: AQ AC/ = C Fejezzük ki AQ-t, C helyére pedig íijuk be a síkkondenzátor kapacitására már megismert összefüggést: AQ = AUC - AU- ^ 4t7rkd Vegyük észre, hogy

azaz A E A _ A'ií> A-nk ~ A-nk vagyis a töltés megváltozása a 'í' elektromos fluxus megváltozá­ sával arányos, tehát az / áram:

228

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

1=

AQ At

1 áirk A t

Azt mondhatjuk tehát, hogy a kondenzátor lemezei közötti térrészben az elektromos erővonalakat körülvevő mágneses mezőt az elektromos fluxus változása hozza létre, azaz a válto­ zó elektromos térnek pontosan ugyanolyan hatása van mágne­ ses szempontból, mint a vezetési áramnak. Ebből az követke­ zik, hogy a vezetési áramhoz hasonlóan a változó elektromos teret is az úgynevezett jobbcsavarral veszi körül a mágneses tér. Ez azt jelenti, hogy ha jobb kezünk hüvelykujját az E elektro­ mos térerősségvektor változásának irányába tartjuk, akkor a begörbített ujjaink irányában „csavarodik” a mágneses tér.

3.4. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK A váltakozó áramok nem túl nagy frekvenciák esetén ún. kvázistacionárius áfamok, ami azt jelenti, hogy a vezeték men­ tén egy adott pillanatban az elektromos térerősség gyakorlati­ lag mindeütt ugyanakkora. Egészen más a helyzet nagyon nagy frekvenciájú feszültségforrás alkalmazásakor. Ekkor már kis tá­ volságokon belül sem tekinthető a térerősség egy adott pillanat­ ban állandónak, ezért az áramerősség sem állandó a vezeték mentén. Gondolatban „nyissunk ki” egy nagyfrekvenciás rezgőkört (3.50. ábra)! Kezdetben egyszerű energia oda-vissza alakulásról beszélhetünk, a kondenzátor lemezei közötti elektromos tér energiája alakul át a tekercs mágneses terének energiájává és

3.51. ábra

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________ ^

viszont. Ahogyan egjre jobban kinyitjuk az eredetileg energia szempontjából zárt rendszernek tekinthető rezgőkört, egyre na­ gyobb energia áramlik ki a rendszerből egy periódus alatt. A rezgőkör „teljes kinyitása” (3.51. ábra) után ún. rezgő dipólust, vagy másiiéven dipólantennát kapunk, amely folyamatosan su­ gároz ki energiát. Eltekintve az antenna közvetlen környezeté­ től, a kisugárzott elektromágneses tér E, ill. B vektora egymás­ sal megegyező fázisban van, egymásra és a terjedés irányára is merőleges, hiszen a változó mágneses mező balcsavarral hoz létre elektromos teret, a változó elektromos tér pedig jobbcsa­ varral mágneses teret. Ez a sugárzási elektromágneses tér az an­ tenna méretéhez képest viszonylag nagy távolságban egyszerű szinuszos hullám formájában terjed tova, amelyről megállapít­ hatjuk, hogy transzverzális hullám, hiszen egy tetszőlegesen ki­ választott megfigyelési pontban az E és B merőlegesek mind egymás­ ra, mind a terjedési irányra (3.52. ábra). A választott helyen az E vek­ tor mindig ugyanabban a síkban, a megfigyelési pont és a pontszerű­ nek tekintett antenna által megha3.52. ábra tározott síkban van. Ez egyben azt is jelenti, hogy polarizált síkhullám­ ról van szó. A dipólantennával előállított elektromágneses hullámok is mutatják a már megismert hullámtulajdonságokat, azaz: -

visszaverődés, törés, elhajlás résen, rácson, állóhullám, interferencia.

A felsorolt utlajdonságok pl. mikrohullámú adó-vevővel igen egyszerűen bemutathatok. A sugárzási térben áramló energia adott frekvencia mellett függ az iránytól is. Legnagyobb az intenzitás az antennára me­ rőleges síkban, és nulla az intenzitás az antenna hossztengelyé­ nek irányában.

230________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

Az elektromágneses rádióhullámok terjedési tulajdonságai a hullámhosszak szerint különbözőek. Ennek figyelembevételé­ vel a következő csoportokra bonthatjuk: 1. hosszúhullámok 2. középhullámok 3. átmeneti hullámok 4. rövidhullámok 5. ultrarövid hullámok 6 . mikrohullámok

Hullámhossz Frekvencia A >1000 m / <300 kHz 200 m - 1000 m 300 k H z- 1,5 MHz 100 m - 200 m 1,5 M H z- 3 MHz 10 m - 100 m 3 M H z- 30 MHz l m - 10 m 30 M Hz-300 MHz <0,3 m >100 MHz

A hosszú- és középhullámok terjedésükkor viszonylag jól kö­ vetik a Föld görbületét, ezért segítségükkel a rádiózás több száz kilométerre terjed ki. A rövidhullámok terjedése gyakorlatilag egyenes vonalú, de terjedésükben alapvető szerepet játszik a Földet kb. 80 és 400 km közötti tartományban körülvevő ionoszféra, amelyről lénye­ gében visszaverődnek, így a rövidhullámú rádióadások több ezer km távolságban is vehetők. Az ultrarövid- és mikrohullámok szigorúan egyenes vonalban terjednek. Ennek megfelelően a jó vételhez az szükséges, hogy „lássuk” az adót.

3.4.1. GEOMETRIAI OPTIKA Az optikai törvények nagyon jól magyarázhatók a HuygensFresnel-elv alapján, ami szerint a fény hullámtermészetű, így minden nehézség nélkül leírható a hullámelmélet segítségével. Bizonyos jelenségeket viszont sokkal egyszerűbben tudunk leír­ ni, ha nem vesszük figyelembe a fény hullámtermészetét. Ilyen­ kor azt a közelítést használjuk, hogy a fény frekvenciája nagyon nagy, így hullámhossza nagyon kicsi, homogén közegben egye­ nes vonalban terjed, nem veszünk figyelembe elhajlást, ill. in­ terferenciát. A testek elsődleges vagy másodlagos fényforrások, aszerint, hogy saját maguk bocsátanak ki-fényt vagy csak visszaverődik

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

231

3.53. ábra

róluk. Beszélhetünk pontszerű, ill. kiterjedt fényforrásokról. Egy kisméretű halogénizzó izzószála pontszerűnek vehető, míg egy 120 cm-es neoncső már kiterjedt fényforrásnak minősül egy tanteremben. A kétféle fényforrás között az ámyékjelenségeknél van nagy különbség, hiszen pontszerű fénj^orrás esetén az árnyék határvonala éles, míg kiterjedt fényforrást használva áz árnyék elmosódott: van egy sötét, ún. árnyékmag, ahonnan kezdve fokozatosan világosodik, egészen az ámyékmentes zó­ náig (3.53. ábra). Ebben a leírásban a fény visszaverődése, ill. törése tapaszta­ lati törvény, amely mérések alapján mondható ki. A fény két közeg határfelületére érve megváltoztatja terjedé­ si irányát, egy része átlép a másik közegbe, másik része vissza­ verődik. E két, mindig egyszerre fellépő jelenség (3.54. ábra) fo­ galmazódik meg a visszaverődés, ill. a törés törvényében:

I I I

a beesés szöge a beeső sugárnak a beesési merőlegessel bezárt szöge. [d ]

[d] a visszaverődés szöge a visszavert sugárnak a beesési me­ rőlegessel bezárt szöge. n A törés szöge a megtört sugárnak a beesési merőlegessel bezárt szöge.

3.54. ábra

Í

® A visszaverődés törvénye szerint a beeső fénysugár, a viszszavert fénysugár és a beesési merőleges egy síkban vannak.

A beesés szöge megegyezik a visszaverődés szögével. A törvényből közvetlenül következik, hogy ha sík felületre párhuzamos nyaláb érkezik, akkor az párhuzamosan is verődik vissza, a széttartó nyaláb széttartóan, az összetartó nyaláb pedig összetartóan. Az is nyilvánvaló, hogy ha a felületen apróbb egyenetlenségek vannak (pl. gyöngyvászon), akkor a párhuza­ mos fénynyaláb szinte minden irányba szóródik. Ez a diffúz viszverőidéi jelensége (3.55. ábra).

I

li] A törés törvénye szerint a beeső fénysugár, a megtört fény­ sugár és a beesési merőleges egy síkban vannak.

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________^

A beesési szög szinusza arányos a törési szög szinuszával. Az arányossági tényező az ún. relatív törésmutató: sin a

—ö — ^^21 smp

ahol a a beesés, /3 pedig a törés szöge, n 2i pedig a második kö­ zegnek az elsőre vonatkozó törésmutatója. Nyilvánvaló, hogy fordított iránjoi átmenet esetén ennek reciprokát kapjuk. Ha a fény vákuumból lép az illető anyagba, ak­ kor abszolút törésmutatóról beszélünk.

A visszaverődés és törés speciális problémái Visszaverődés gömbfelületről A tükör görbületi középpontjának jele G, a tükör középpont­ jának jele A. Az A G egyenes a tükör optikai tengelye. A tükör nyílásszöge a G pontot a tükör széleivel összekötő sugarak szö­ ge. A továbbiakban csak a kis nyílásszögű tükrökkel foglalko­ zunk. 1 ] Optikai pad forgatható korongjára erősítsünk homorú, majd domború tükröt, és bocsássunk rá párhuzamos sugarakat (3.56. ábra)! Az első esetben a tükör összegyűjti a nyalábot, míg a máso­ dik esetben úgy szórja szét, hogy a sugarak meghosszabbításai látszanak egy pontból kiindulni. 1 ] Az a pont, ahova a homorú tükör a ráeső párhuzamos nya­ lábot összegyűjti, ül. ahonnan a domború tükör által szétszórt nyaláb kiindulni látszik, a fókuszpont, jele: F.

[f] Határozzuk meg a homorú tükör fókuszpontjának a tükör középpontjáról mért távolságát (3.57. ábra)! Az ábra szerint párhuzamost húztunk az optikai tengellyel. Ennek a tükörrel való metszéspontja M. Összekötjük a G és M pontokat, ez a beesési merőleges. A visszaverődés törvényét fel­ használva megrajzolhatjuk a visszavert sugarat. Ennek a sugár-

234

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

3.57. ábra

nak és az optikai tengelynek lesz a metszéspontja az F fókusz­ pont. Az MFG háromszög egyenlő szárú, hiszen MG oldalon lé­ vő szögei egyenlők. Az MG szakasz éppen a kör sugara, így R 2 cos a

Ha a kicsi, akkor cos a értéke « 1, így

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

FG

235

, ezért ■ ’

2

Látható, hogy ha nagy a tükör nyílásszöge, akkor a tengelytől távolabb beeső sugarak jóval közelebb metszik az optikai ten­ gelyt, mint a közeliek.

I

dl Az ebből származó leképezési hibát gömbi (szférikus) hi­ bának nevezzük (3.58. ábra).

Fény áthaladása párhuzamos síklapokkal határolt optikai törőközegen (plánparalel lemez) Bocsássunk fénysugarat a 3.59. ábra szerinti elrendezésben egy d vastagságú, n törésmutatójú üveglemezre! Azt tapasztal­ juk, hogy a kétszeri törés után az eredetivel párhuzamos irány­ ban halad tovább a sugár, csak egy kicsit eltolódott. Számítsuk ki az eltolódás nagyságát! A törés törvénye szerint sin a sin j3 Az ábra szerinti AB C háromszög A-né\ lévő szöge: a - (3, ahol a a beesés, /? pedig a törés szöge, így X = ABsm{a-l3).

236

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

Az A B szakasz az A D B derékszögű háromszögnek is átfogó­ ja, tehát kifejezhető a d befogóval és a ,3 szöggel: AB =

^ tehát cosp

.Y -.

cos/3

A z ismert trigónometriai összefüggést használva: ^

d{smacos/3 —cosasin/?) cosP

Egyszerűsítés és rendezés után X - dsina 1

-

cosa \/n 2 —si sm^a.

Fény áthaladása egymással szöget bezáró síklapokkal határolt optikai törőközegen (prizma) A 3.60. ábra szerint bocsássunk a prizmára egy fénysugarat! A két síklap szöge ez a prizma törőszöge. Legyen a beesés szöge ai- A fény mind a belépésnél, mind a kilépésnél megtö­ rik. Az ábra szerint a teljes eltérítés szöge: 6 — CXi

012 — ^

Számítások szerint a minimális eltérítés szögét akkor kapjuk, amikor a sugármenet szimmetrikus 6 ^ 2a

Ekkor a $ törőszög és a minimális 6 eltérítési szög között a következő összefüggés áll fenn: . ^ sm—-— = n sm — z z

Fény áthaladása gömbfelületekkel határolt optikai tőrőkőzegen (lencse) [k] optikai padra helyezzünk egy kétszerdomború lencsét, majd világítsuk meg párhuzamos fénynyalábbal! Ismételjük meg a kísérletet kétszerhomorú lencsével is (3.61. ábra)! Azt tapasztaljuk, hogy a domború lencse a ráeső nyalábot öszszetartóvá teszi, fókuszálja, míg a homorú lencse a ráeső fény­ nyalábot széttartóvá teszi. Az a pont, ahová összehozza a nyalá­ bot, illetve ahonnan a szétszórt nyaláb kiindulni látszik, a fókuszpont. Legyen a két gömbfelület görbületi sugara Ri, ill. R 2 (3.62. ábra), anyagának törésmutatója n. Ekkor, itt nem rész­ letezett számítások szerint a fókusztávolság reciproka:

3.62. ábra

+

R2.

A formula szerint a fókusztávolság előjele nemcsak attól függ, hogy a lencse domború vagy homorú, hanem a környezet­ re vonatkozó törésmutatótól is. így például, ha óraüvegből öszszeragasztunk egy domború lencsét, és vízbe tesszük (levegőlencse), akkor a ráeső párhuzamos nyalábot szétszórja, míg az ugyanígy készült homorú lencse a ráeső párhuzamos nyalábot összetartóvá teszi.

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

239

Optikai leképezés Általában optikai leképezésről beszélünk, ha egy pontból in­ duló sugárnyalábot egy másik pontra illeszkedő sugárnyalábba viszíink. Tökéletesen mindössze a forgási ellipszoidnál, illetve paraboloidnál valósul meg az, hogy egy pontra illeszkedő valamennjd sugár képe visszaverődés után szintén egy pontra illesz­ kedik. Ellipszoid esetén az egyik fókuszon átmenő valamennyi sugár visszaverődés után áthalad a másik fókuszon, míg parabo­ loidnál az ún. végtelen távoli pontból érkező párhuzamos nya­ láb megy át visszaverődés után a fókuszponton (3.63. ábra).

Gömbfelületű lencsék és tükrök esetén nem tökéletesen való­ sul meg az optikai leképezés, de kis nyílásszögű tükrök, ill. vé­ kony lencsék esetén nagyon kicsi a leképezés hibája. [U Valódi a kép, ha ernyőn felfogható, vagyis a fénysugarak összetartóak. Látszólagos a kép, ha a leképező eszközt elha­ gyó sugárnyaláb széttartó, a képet a sugarak meghosszab­ bításában látjuk. A következőkben a tükrök és lencsék képalkotásának egyes eseteit, ill. a szerkesztéseket nézzük végig.

240

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

Sík tükör E Optikai padra helyezzünk a padra merőlegesen tiszta üveglapot, majd elé és mögé azonos távolságra egy-egy gyer­ tyát! Gyújtsuk meg az egyik gyertyát, majd az égő gyertya felől nézzünk rá az üveglapra! A másik gyertyát is égni látjuk (3.64. ábra). Ez annyit jelent, hogy a gyertya látszólagos képe tényleg a túloldalon keletkezik, a tárggyal azonos távolságra. k=\t\

3.64. ábra

Homorú tükör E Optikai padra helyezzünk homorú tükröt, egy égő gyer­ tyát és egy ernyőt (3.65. ábra)! A gyertya tologatásával keres­ sük meg a gyertya lángjának éles képét az ernyőn! Végezzük el a szerkesztést is!

3.65. ábra

A következő nevezetes szerkesztő vonalakat használhatjuk (3.66. ábra): - a fókuszon átmenő sugarat, amely visszaverődés után pár­ huzamos az optikai tengellyel; - az optikai tengellyel párhuzamos sugarat, amely visszave­ rődés után átmegy a fókuszon;

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

241

- a geometriai középponton átmenő sugarat, amely önmagá­ ba verődik vissza; - a tükör középpontjába irányított sugarat, amely az optikai tengellyel szimmetrikusan verődik vissza; Ezek felhasználásával végezzük el a szerkesztést!

3.67. ábra

A 3.67. ábrán látható két hasonló háromszögre felírhatjuk K : T = k : t , ÜL K : T = (;k - 2f ) : (2 / - t)

A kettőt egybevetve, a szükséges összevonások elvégzése után a leképezési törvényt kapjuk: 1_ 1 /

1 k

Teljesen hasonló módon lehet domború tükörre is levezetni a leképezési törvényt. Vezessük be a nagyítás fogalmát!

242

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

Hl Nagyításnak nevezzük az előjelesen vett képtávolság és tárg 5itávolság arányát. t

t- f

Vizsgáljuk meg, hogyan függ a nagyítás a tárgj^ávolságtól! Negatív a nagyítás értéke, ha 0 < í < /.

Ekkor a keletkező kép virtuális, egyenes állású, nagyított (3.68.a ábra).

Ha f = t, akkor nem keletkezik kép, a fókuszból induló sugarak a tükör­ ről visszaverődve párhuzamosan haladnak (3.68.b ábra).

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

243

Ha

akkor a keletkező kép nagyított, fordított állású, valódi ábra). Ha

(3.68.C

2/ < í ,

akkor a keletkező kép kicsinyített, fordított állású, valódi (3.68.d ábra). E Optikai padra helyezzünk domború lencsét, egy égő gyer­ tyát. és egy ernyőt! A gyertya tologatásával keressük meg a gyertya lángjának éles képét az ernyőn! Végezzük el a szerkesz­ tést is! A következő nevezetes szerkesztő vonalakat használhatjuk: - a fókuszon átmenő sugarat, amely törés után párhuzamos az optikai tengellyel; - az optikai tengellyel párhuzamos sugarat, amely törés után átmegy a fókuszon; - a lencse középpontjába irányított sugarat, amely törés nél­ kül halad tovább. Ezek felhasználásával végezzük el a szerkesztést (3.69. ábra).

3.69. ábra

Az ábrán látható két hasonló háromszögre felírhatjuk K : T ^ k : t , illetve K : T = {k - f ) : f

244

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

A kettőt egybevetve, a szükséges összevonások elvégzése után a leképezési törvényt kapjuk: 1_ 1 1 l~ t^ k

ami megegyezik a tükrökre kapott leképezési törvénnyel. A homorú tükör képalkotásával teljesen analóg módon ve­ zethetjük be a nagyítást: =

t

f

t- f

Vizsgáljuk meg, hogyan függ a nagyítás a tárgy távolságtól! Negatív a nagyítás értéke, ha 0<í < /

Ekkor a keletkező kép virtuális, egyenes állású, nagyított (3.70.a ábra). Ha / .= t,

f<\

a)

b)

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

245

akkor nem keletkezik kép, a fókuszból induló sugarak a tükör­ ről visszaverődve párhuzamosan haladnak. Ha f < t < 2 /, akkor a keletkező kép nagyított, fordított állású, valódi (3.70.b ábra). Ha 2f
k - 3 0 cm

1_1

1 _ 1

246________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

Mint a szerkesztésből is látszik, a lencse által alkotott kép a sík tükör mögött keletkezne, de nem jön létre, mert a tükör viszszaveri a ráeső összetartó nyalábot, amely a visszaverődés után is összetartó marad. így a sík tükör valódi képet hozott létre, hi­ szen a visszavert sugarak metszik egymást. Ilyen esetben beszé­ lünk virtuális tárgyról: az optikai eszközre eső összetartó nyaláb tartópontja a virtuális tárgy, amiről az optikai eszköz valódi ké­ pet is alkothat. A leképezési törvényben ilyenkor a tárgytávol­ ságot negatív előjellel kell venni, hiszen a szokványos esethez képest a „másik” oldalon van a tárgy. Folytatva a feladat megoldását, a sík tükör által alkotott kép a tükörtől 20 cm-re jön létre, de ott van a lencse. A lencsére öszszetartó nyaláb esik, amelynek tartópontja virtuális tárgy a len­ cse számára. Ismét a leképezési törvényt használva: J__l k ~ f ~ t ~ 10^ÍÖ ~5 k = 5 cm A végső kép a lencsétől balra, tőle 5 cm-re keletkezik.

3.4.2. HULLÁMOPTIKA A mechanikai hullámoknál már megismerkedtünk a visszave­ rődés, a törés, az elhajlás, az interferencia és a polarizáció jelen­ ségével, valamint az ezeket magyarázó Huygens-Fresnel el­ mélettel. A fény hullámtermészetét úgy tudjuk igazolni, ha kísérleti úton előállítjuk ezeket a jelenségeket. A visszaverődés, törés és polarizáció jelensége viszonylag egyszerűen bemutat­ ható. 11 Forgatható optikai korongra szerel-^ jünk sík tükröt, majd bocsássunk rá né­ hány fénysugarat! Mérjük meg a beesés és a visszaverődés szögét! Mérésünk alapján kimondhatjuk a visszaverődés törvényét (3.72. ábra).

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

247

HJA visszaverődés törvénye szerint a beeső és visszavert fénysugár a beesési merőlegessel egy síkban van, a beesés szöge megegyezik a visszaverődési szöggel. Ha a fény két összeg határfelületére érkezik, akkor „megtö­ rik”, azaz nem az eredeti irányban halad tovább. Csak a merőle­ ges beesésnél nem változik meg az eredeti terjedési irány. Ezt használjuk fel a törés törvényének vizsgálatakor. 13 Forgatható optikai korongra erősítsünk egy üvegből ké­ szült félhengert (3.73. ábra^, és bocsássunk néhány fénysugarat a henger középpontjába! így a továbbhaladó fénysugár sugáriránjm lesz a törés után, vagyis kilépéskor már nem változik a terjedés iránya. A korongon leolvasva a beesési és törési szöge­ ket, kimondhatjuk a törésre vonatkozóan a Snellíus-Descartestörvényt. E A Snellius-Descartes-törvény szerint a beesési és törési szög szinuszainak aránya állandó, ez az illető anyagnak a má­ sik anyagra vonatkozó törésmutatója H21

sma sin;0

Ha a fény vákuumból érkezik az átlátszó anyagra, akkor a mérés eredménye az abszolút törésmutató. A Huygens-elv felhasználásával az abszolút törésmutató azt mutatja, hogy hányadrészére csökken a fény sebessége az illető anyagban a vákuumhoz képest.

248

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

E Ismételjük meg előző kísérletünket úgy, hogy most sugár­ irányban a félhenger palástjára bocsájtjuk a fénysugarat, és az a félhenger síklapján lép ki (3.74. ábra)! Növelve a beesés szögét egy bizonyos szögnél, az ún. határszögnél megszűnik a fénykilé­ pés, tovább növelve a beesés szögét pedig már teljes visszaverő­ dés tapasztalható. Ennek a határszögnek a szinuszára a törés törvénye alapján 1 smaji = — n adódik, ugyanúgy, ahogyan ezt már a mechanikai hullámok ese­ tén beláttuk.

A polarizáció (Hl Bocsássunk keskeny fénynyalábot egy üveglapokból álló lemezsoron keresztül! Az átmérő fény egy tengelyezett fekete tükörre esik (3.75. ábra). A tükröt a tengely körül forgatva, a visszavert fény két hely­ zetében is eltűnik. A lemezsor polarizálta a fényt, a tükörrel

___________________ ELEKTRQMÁGNESSÉGTAN________________ ^

analizáltuk. Amikor eltűnik a fény, a polarizátor és az analizá­ tor „keresztezett” helyzetben vannak. HJA Brewster-törvény szerint a visszavert fény akkor teljesen poláros, ha a visszavert és a megtört sugár egymásra merőle­ ges. így a törés törvénye alapján a polarizáció szögére tgcüp = n adódik. Elhajlást és interferenciát itt már jóval nehezebb előállítani, mint a mechanikai hullámoknál, hiszen a fény hullámhossza egyrészt nagyon kicsi, másrészt koherens fényforrások a fénykibocsájtás mechanizmusa miatt nem léteznek. Koherens fényforrásokat a legegyszerűbb létrehozni úgy, hogy látszólag megkettőzzük a fényforrást. [k] Vékony résen áthaladó fény egy része a vele párhuzamos síktükörre jut, így a nyaláb kettéoszUk: olyan, mintha két fény­ forrásból érkeznének fénysugarak az ernyőre. Az ernyőn na­ gyon szép interferenciakép figyelhető meg (3.76. ábra).

Ernyő

3.76. ábra

[k] A Ti féUg áteresztő tükröt világítsunk meg lézen-el (3.77. ábra)! A nyaláb egy része visszaverődik, másik része továbbha­ lad. A visszavert rész T2 tükörről, a továbbhaladó rész T3 tü­ körről verődik vissza. A visszaverődő nyalábok az E ernyőn nagyon szép interferenciaképet hoznak létre (Michelson interferométer). [k] Erős fénynyalábbal világítsunk meg keskeny rést (3.78. áb­ ra)! Ez a Ycang-féle kettős rés. A résből mint erős fényforrás­ ból kiinduló fényhullámok a szimmetrikus helyzetű és i ?2

5.77. ábra Ernyő

Maximum

íí=kh a 3.78. ábra

keskeny réseket azonos fázisban érik el. Ezekből a résekből a Huygens-elv szerint másodlagos és koherens fényhullámok in­ dulnak ki, és ennek eredményeként a velük szemközti ernyőn megjelennek a jellegzetes interferenciából származó maximumés minimumhelyek, az útkülönbségtól függően. Hl Vékony fehér fénynyalábot bocsássunk optikai rácsra (3.79. ábra). Az ernyőn a középső fehér vonalra szimmetriku­ san színképek jelennek meg. Legyen a rácsállandó d. Vizsgáljuk meg, hogy az eredeti iránnyal szöget bezáró irányban hogyan kaphatunk fényjelenséget? A rács két szomszédos részéből in­ duló sugarak útkülönbsége As = dsina

ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

251

Ha ez az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszörö­ se, akkor erősítést kapunk: dsina = kA Minden színre máshol van a maximum, ezért kapunk színké­ pet.

4. ATOM- ÉS MAGFIZIKA 4.1. ATOMFIZIKA 4.1.1. AZ ATOMOS FELÉPÍTÉSRE UTALÓ MEGFIGYELÉSEK Az atomelmélet kezdeti csírái már az ókori görög gondolko­ dók műveiben megtalálhatók. Először négy őselemet (tűz, víz, föld és levegő) képzeltek el, majd Démokritosz több egyforma atomról (görögül oszthatatlan) beszélt. Kétezer éven át azon­ ban - kísérleti tapasztalat híján - az atomelmélet az anyag szer­ kezetének pusztán egy elképzelhető leírásmódja maradt. Komolyabb eszközzé és így a vizsgálat tárgyává csak a XVIII. századtól vált az atomelmélet. Folyamatosan kialakult és hosszú idő után teljes lett a kinetikus elmélet, amelyet a hő­ tan tárgyalásánál mi is használtunk. A kinetikus elmélet már használja az atomos felépítést, de magukról az atomokról nem mond bővebbet. Igazán hatásosan először a kémia segítette az atomelmélet ki­ alakulását, a XVIII. század végén és a XIX. században tett fel­ fedezéseivel. Lavoisier (1743-1794) már tisztázta az elemek fogalmát, s ezek súlyarányát a vegyületekben, majd Proust (1754-1826) felállította az állandó súlyviszonyok törvényét (1801). [t]A kémiai elemek nem egyesíthetek vegyületekké bármi­ lyen arányban, hanem csak egy, a vegyületre jellemző súly­ arány szerint. Röviddel utána Dalton (1766-1844) megfogalmazta a több­ szörös súlyviszonyok törvényét (1803). [t] Ha két elem többféle arányban is képes egymással vegjóilni, akkor az egjdk elem azon mennyiségei, amelyek a másik elem egy adott mennyiségével vegyülnek, úgy viszonylanak egymáshoz, mint a kis egész számok.

_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA__________________ 2M

Ezt a tövényt csak az atomelmélet segítségével lehet magya­ rázni, miszerint minden elem egyes atomjai azonosak, és a kü­ lönböző anyagok legkisebb egységei (molekulái) kisszámú kü­ lönböző atomból állnak. A reagáló gázok térfogatarányai között hasonló törvény fo­ galmazható meg. Ezután született meg Avogadro (1776-1856) törvénye.

I

[t]Azonos nyomás, térfogat és hőmérséklet mellett a gázok azonos számú részecskét tartalmaznak.

A molnyi mennyiségben lévő molekulák száma, amit több módszerrel is meghatároztak: iV = 6,02 • 10^^ Bevezették az atomsúly és a molekulasúly fogalmát, amiket mai szóhasználattal relatív atom-, ül. molekulatömegnek neve­ zünk. Meggyőző bizonyítéknak számított az atomok és moleku­ lák létezésére az Einstein (1879-1955) által értelmezett Brownmozgás. (Einstein erről szóló dolgozata azonban csak a XX. század elején, 1905-ben jelent meg.) [3 Ha mikroszkóppal figyelünk füstszemcséket levegőben vagy apró festékszemcséket folyadék felszínén, akkor azok ren­ dezetlen, zegzugos mozgását tapasztaljuk. A levegő, ill. a folya­ dék molekuláinak véletlenszerű lökdösődése okozza a hozzájuk képest lényegesen nagyobb szemcsék lassúbb, s így már látható mozgását. (Brown, botanikus lévén, eredetileg virágporszem­ csék mozgását észlelte mikroszkópjában 1827-ben.) A XIX. század második felére a kinetikus gázelmélet már tu­ datosan használta az atom és a molekula fogalmát. Hatalmas si­ kernek számított, hogy mennyiségi összefüggéseket tudott felállítani a mikrofizikai folyamatokra, a molekulák méretére, tömegére. Nem tudott azonban válaszolni arra, hogyan kap­ csolódnak molekulákká az atomok, s nem mondhatott semmit az atom oszthatatlanságáról, vagy ellenkezőleg a belső felépíté­ séről.

254

ATOM- ÉS MAGFIZIKA

Az Atomfizika című fejezet ismerteti hogyan fedezte fel a tu­ domány az eredetileg oszthatatlannak hitt atom belső struktúrá­ ját, és hogy miképpen lehet ennek ismeretében megérteni az atomok kapcsolódását.

4.1.2. AZ ELEKTRON FELFEDEZÉSE Az elektrolízis Az atomok oszthatatlanságának elve a kezdeti kémiai tapasz­ talatok alapján fogalmazódott meg, de érdekes módon éppen a kémia adta az első érvet ahhoz a meglátáshoz, hogy az atom va­ lamilyen összetett dolog, továbbá az atomok kapcsolódása és az elektromosság között szoros összefüggés van. [U Elektrolitoknak nevezzük savak, lúgok, sók oldatait vagy olvadékait, mivel ezek vezetik az áramot, ellentétben például a tiszta vízzel. [k] Helyezzünk elektrolitba két elektródát és kapcsoljunk rá áramforrást (4.1. ábra). A körben mérhető áramerősség és az idő ismeretében megkapjuk az elszállított töltés nagyságát. Az áram az ionok vándorlásának következménye: az ellentétes elő-

4.1. ábra

_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA__________________ ^

jelű töltéssel rendelkező iónok különböző elektródákhoz ván­ dorolnak, semlegesítődnek, s ott általában gáz vagy szilárd alak­ ban kiválnak. A kinyert anyagok mennyisége, és így az ionok darabszáma kémiai mérésekkel határozható meg. Egy ion töltését megkap­ hatjuk tehát, ha az áramkör által szállított töltés nagyságát el­ osztjuk a kinyert ionok számával. A tapasztalat szerint az így kapott töltés mindig egy bizonyos érték egész számú többszörö­ se:

ahol qion egy ion töltése, Q a szállított össztöltés, amelyet I áram t idő alatt szállít, és Nion az ionok darabszáma. Ugyanerre az eredményre vezettek Faraday elektrolízissel kapcsolatos tapasztalati törvényei is. S / áramerősség mellett, t idő alatt az elektródákon levált anyag tömege m = k -1 -t,

ahol k az elektrokémiai egyenérték, amely az egységnyi töltés által kiválasztott anyag tömegét jelenti, vagyis az elektroké­ miai egyenérték az anyagi minőségtől függő állandó. [t ] Egy molnyi anyag kiválasztásához annyiszor 96 500 C töl­ tés szükséges, amennyi az illető anyag vegyértéke. A két törvény és az Avogadro-szám ismeretében az egy vegyértékű anyag egy ionjára jutó töltés:

I

_

96 5 0 0 C

_ , g

^ * " " " 6 ,0 2 .1 0 2 3 -^ ’^

^

Úgy tűnik tehát, hogy létezik egy legkisebb töltés, amelynek a kémiai folyamatokban fontos szerepe van.

256

ATOM-ÉS MAGFIZIKA

A Millikan-kísérlet E Millikan (1868-1953) angol fizikus vízszintesen elhelyezett kondenzátorlemezek (4.2. ábra) közé olajcseppeket porlasztott, majd ezeket mikroszkópon keresztül figyelte meg. Egy olajcseppet kiválasztva addig változ­ tatta az elektromos mezőt, míg a porlasztás so­ rán töltést kapott olajcsepp lebegni kezdett. Az egyensúlyt a gravitációs erő és az elektro­ sztatikus erő egyenlősége okozta. Az olajcsepp mérete optikai úton meghatározható, így a kö­ vetkező egyenlőség írható fel: 4.2. ábra mg = Vgg= QE = Q ^ a ahol m az olajcsepp tömege, V a térfogata, g a sűrűsége, Q a töl­ tése, E a kondenzátor lemezei közötti térerősség, U a feszült­ ség, d a távolság. Az U feszültség és a lemezek d távolsága mér­ hetőek, így megkaphatjuk az olajcsepp töltését. Millikan azt tapasztalta, hogy minden esetben az eleminek nevezhető töltés egész számú többszörösét kapta, vagyis az ele­ mi töltés a legkisebb töltésegység: g = n - l , 6 - 10 -i^C

A hidegemisszió [Hl Vigyünk fémtárgyra töltést, amely - amint az elektrosztati­ kából tudjuk - az azonos töltések taszítása következtében a fém felületén helyezkedik el. Nagyon nagy töltés esetében akkora lehet a taszítás, hogy a töltés egy részét kinyomja a felü­ letből, különösen a csúcsok közelében. A környező gázmolekulák zavaró hatá­ sát kiküszöbölhetjük, ha a fémtárgyat légritkított térbe helyezzük (4.3. ábra). A jelenség neve hidegemisszió és arra utal, hogy a töltés valamilyen töltéshor­ dozóhoz tartozik. 4.3. ábra

ATOM-ÉS MAGFIZIKA

257

A Richardson-hatás Richardson (1879-1959) angol fizikus figyelte meg azt a jelen­ séget, hogy a fémekből minden külső hatás nélkül is kilépnek a negatív töltések. E Légritkított edénybe egymással szemben két elektródát helyezünk el, az egyiket leföldeljük, a másikra gyenge pozitív feszültséget adunk. Azt tapasztaljuk, hogy az elektródák között áram indul meg (4.4. ábra).

A jelenség magyarázata a következő: a töltés valamely töltés­ hordozóhoz kapcsolódik, amely a hőmozgás következtében ki­ léphet a felületből. A földelt elektródából spontán kilépő negatív töltéshordozó nem esik vissza az elektródára, hanem engedve a gyenge vonzó hatásnak, a másik elektródára kerül.

Az izzóelektromos hatás Magas hőmérsékleten erősen megnő a Richardson-hatás, az izzó fémből már tömegesen távozik a negatív töltés. Ez az iz­ zóelektromos jelenség vagy termikus emisszió. Ez utóbbi két jelenség az alapja a katódsugárcső, így például a tv-képcső mííködésének. Ezekben a katódot általában külön áramkör ffíti és hevíti izzásig.

258

ATOM- ÉS MAGFIZIKA

A katódsugárcső E Helyezzünk erősen légritkított térbe két elektródát, s kap­ csoljunk rájuk áramforrást! Nagyon kis gáznyomás esetén a katód egy láthatatlan sugárzást bocsát ki, amely abból vehető ész­ re, hogy a katóddal szemben, ahol a sugárzás az üvegburát éri, fényjelenség jön létre, amennyiben az üveg belső felületét fluo­ reszcens anyaggal vonták be. Ez a sugárzás a katódsugárzás (4.5. ábra).

\\\ 4.5 ábra

A katódsugárzást /. J. Thomson (1856-1940) vizsgálta elő­ ször. 1897-ben végzett kísérleteiben elektromos és mágneses te­ rek segítségével a katódsugárzásban megjelenő részecske eltérülését vizsgálta, s ennek segítségével meghatározta annak fajlagos töltését. Az elemi töltés ismeretében kiszámítható volt a részecske tömege is, ezért ezt az időpontot tekintjük az elekt­ ron felfedezésének. Mi a Thomson által elvégzett mérés egyszerűsített változatát mutatjuk be. [k] a katódsugárcsőben izzókatódot alkalmazunk, a katód és az anód közé ismert gyorsítófeszültséget kapcsolunk. Az anód nyílásán keskeny nyalábban áthaladó, közel egyforma sebes­ ségű elektronok ismert erősségű homogén mágneses térben ugyanazon a körpályán mozognak, amelynek sugara meghatá­ rozható (4.6. ábra). A levezetés a következő. 0 A körmozgásra vonatkozóan a centripetális erőt a mágne­ ses Lorentz-erő szolgáltatja: innen v = ^ R B m

259

ATOM-ÉS MAGFIZIKA

ahol m az elektron tömege, v a sebessége, q a töltése, R a kör­ pálya sugara, B a mágneses indukció. A gyorsítási munka megadja az elektron mozgási energiáját (feltéve, hogy a gyorsítási feszültség néhány százezer V alatt marad, s így az elektron sebessége nem közelíti meg a fényse­ bességet); gí7 = ^ mv^ Helyettesítsük ebbe a sebesség kifejezését: 2

így a fajlagos töltésre adódik: q 2U m ~ A z elemi töltés ismeretében az elektron tömege: m — 9,1 ■

kg

Ezzel tehát az elektron polgárjogot nyert, „oszthatatlannak”^hitt atom egyik alkotórésze.

mint

az

260__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________

4.1.3. AZ ENERGIAKVANTUM MEGJELENÉSE A XIX-XX. század fordulóján két egymástól független jelen­ ség magyarázata során is felmerült az a gondolat, hogy az ener­ giát az anyag nem képes folytonosan felvenni, ill. leadni, amint az a klasszikus fizika alapján joggal feltételezhető volt.

A hőmérsékleti sugárzás Tapasztalati tény, hogy a testek minden hőmérsékleten hőt sugároznak ki elektromágneses hullámok formájában. Ez a hőmérsékleti sugárzás. Az elektromágneses sugárzás intenzitása természetesen nő a hőmérséklet növekedésével, emellett a su­ gárzás hullámhossz-eloszlása is változik a hőmérséklettel. H] KirchhofF sugárzási törvénye szerint anyagi minőségtől függetlenül minden anyagra igaz, hogy a kibocsájtás és az el­ nyelés intenzitásának hányadosa egy adott frekvencia- és hő­ mérsékletérték mellett állandó. I ] Abszolút fekete test az az idealizált test, amely minden ér­ kező sugárzást teljes egészében elnyel. (Jó közelítéssel ilyen lehet egy kicsiny nyílású üreg.)

A kísérleti vizsgálatok során a fekete test esetében két fontos törvényszerűséget fogalmaztak meg. E A Stefan-Boltzmann-törvény szerint az egységnyi felület­ ről egységnyi idő alatt kisugárzott energia arányos a test ab­ szolút hőmérsékletének negyedik hatványával. [t ] a Wien-féle eltolódási törvény szerint minden hőmérsék­ lethez tartozik egy hullámhossz, ahol a sugárzás intenzitása maximális. Ez a hullámhossz fordítva arányos a hőmérséklet­ tel (4.7. ábra).

A 4.7. ábrán látható tapasztalati összefüggést sok fizikus megkísérelte elméletileg értelmezni, és a függvény matematikai

ATOM-ÉS MAGFIZIKA

261

4.7. ábra

formáját megadni. Ez azonban a klasszikus fizika keretein belül nem sikerült. Max Planck (1858-1947) vizsgálatait szintén az a cél vezérelte, hogy magyarázatot találjon az előbbi törvényekre. 1900-ban ku­ tatásai során arra a meglepő eredményre jutott (bár saját beval­ lása szerint csak modellszerűen értelmezve), hogy akkor kap kielégítő magyarázatot a tapasztalati eredményekre, ha feltéte­ lezi a következőket. [H Egy test részecskéi (atomok, molekulák vagy ionok) nem folytonosan, hanem elkülönült adagokban (kvantumokban) sugároznak ki és nyelnek el energiát. Ez a véges energiaadag arányos a sugárzás frekvenciájával: E^hf Az arányossági tényező h = 6 ,6 .10~^Js, amelyet ma Planck-állandó néven emlegetünk. így jelenik meg először az energiaadag (energiakvantum) fo­ galma. Ez a korabeli fizikusok számára megdöbbentő ellent­ mondásban volt a klasszikus szemlélettel, ami a folytonos ener­ giaközlés lehetőségét természetesnek tartja.

262__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________

A kristályok fajhője Dulong és Petit mérései legtöbb kristály molhöjét - ele­ gendően magas hőmérséklet felett - 25 J/K értékűnek mutat­ ták. A kristályok többségére széles hőmérséklet tartományban jó közelítés a Dulong-Petit-szabály. Alacsony hőmérsékleten azonban a molhő értéke erősen csökken, és van olyan kristály (pl. a gyémánt), melynek molhője már szobahőmérsékleten is erősen eltér a 25 J/K értéktől. A magyarázat sokáig váratott magára. Végül Einstein oldotta meg a kérdést 1906-ban, ismerve és felhasználva Planck ötletét. H] A kristály nem képes akármilyen kis energiát felvenni, ha­ nem csak egy meghatározott kis energiaadag egész számú többszörösét. Ez az energiakvantum arányos a frekvenciával, az arányossági tényező a Planck-állandó. Einstein megoldásában feltette, hogy a kristályban minden rugalmas hullám azonos frekvenciájú, ami nem helytálló, így az ő modelljét később Peter Debye helyesbítette. A jelenség magyarázata szintén az energiakvantum létezését támasztotta alá.

4.1.4. AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁM ADAGOSSÁGA A fotoeffektus (fényelektromos jelenség) Tapasztalati tényként ismert az a jelenség, hogy fény hatására a fémek felületéről elektronok léphetnek ki. Ez a fotoeffektus, azaz a fény elektromos jelenség. A mérések szerint azonban a fény intenzitásától független az a tény, hogy valóban megtörténik-e az elektron kilökődése az anyagból: ez csak a fény frekvenciájától függ. A vörös fény álta­ lában nem, az ibolya ritkán, do. ultraibolya sok fém esetén ele­ gendő a jelenség bekövetkezéséhez. A fény intenzitása csak a kilépő elektronok számát határozza meg, a kilépés bekövetke­

ATOM-ÉS MAGFIZIKA

263

zését és a kilépő elektron energiáját nem. A klasszikus szem­ lélet alapján ezt a tényt nem lehetett magyarázni. A problémát Einstein oldotta meg, felhasználva a fény, mint elektromágneses hullám adagosságát. HJA fény nem folytonosan, hanem adagokban, kvantumok­ ban szállítja az energiát. Egy energiakvantum nagysága ará­ nyos a fény frekvenciájával. e = hf A z elektromágneses hullámban terjedő energiakvantum a fo ­ ton. Az anyagban kötött elektron egyszerre mindig csak egy fo­ tonnal találkozik, amelynek energiája nagyobb kell legyen az elektron kötési energiájánál ahhoz, hogy az elektron kiszaba­ duljon. Ezzel a gondolattal lehetővé válik a kötési energia mérése is. A konkrét kísérlet a következő: E Erősen légritkított üvegedényben helyezzünk el fémlapot, majd vele szemben egy másik elektródát (4.8. ábra). A két elektródát összekötve és a fémlapot megvilágítva, a körben áram folyik. Kapcsoljunk a két elektródára olyan feszültséget, hogy a fémlap legyen pozitív töltésű, és változtassuk úgy a fe­ szültség nagyságát, hogy a kezdeti elektronáramlás az ellentér hatására éppen megszűnjön. Az így mérhető feszültséget meg­ szorozva az elektron töltésével, megkapjuk azt a munkát, amit

264__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________

a tér végzett, miközben a fémlapból valamilyen sebességgel ki­ lépő elektront lelassította. Ez tehát éppen egyenlő az elektron kezdeti mozgási energiájával. A foton energiájánák egy része tehát a kilépési munkát szolgáltatta, másik része pedig az eltá­ vozó elektron mozgási energiáját adta. A következő összefüg­ gés írható fel: h f = W + lm v ^ = W + qU Zi ahol = qU Ismerve a fény frekvenciáját innen a kilépési munka kiszámítható. A jelenség gyakorlati alkalmazását látjuk a fotocellák műkö­ désekor.

A Compton-effektus Compton (1892-1962) amerikai fizikus végezte el azt a kísérletsorozatot, amelyben nagy energiájú elektromágneses fo­ tonok szóródását figyelte meg lényegében szabad elektrono­ kon. Ennek során az elektromágneses hullám kvantuma, a fo­ ton úgy viselkedett, mint egy részecske, azaz a megszokott energia- és impulzusmegmaradási tételek igaznak bizonyulnak (relativisztikus korrekcióval), ha a foton impulzusát a következólcéppen határozzuk meg. c

A

ahol c az elektromágneses hullám sebessége, A pedig a hullám­ hossza. A foton tömege így a következő: hf &

_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA__________________ ^

4.1.5. AZ ELEKTRON MINT HULLÁM Az elektromágneses huUám, a fény kettős természete (hullámként és részecskeként is képes viselkedni) hívta fel Louis de Broglie (1892-1987) francia fizikus figyelmét arra, hogy az eddig részecskének ismert elektronnak is lehet hullámtulajdonságot tulajdonítani. Vizsgálatai során a foton esetében bevált gondolatmenetet fordította meg. Ismerve az elektron impulzusát, adjuk meg ennek alapján a hullámhosszát: A --- ^ I mv Feltevése helyesnek bizonyult, az elektron hullámhossza az­ óta Broglie-hullámhossz néven ismert. A kísérleti bizonyíték 1927-ben született meg. Davisson (1881-1958) és Germer (1896-1971) amerikai fizikusok elekt­ ronnyaláb kristályon való áthaladásakor interferenciát figyeltek meg, ami egyértelműen hullámjelenség. Azóta más részecskék­ kel (például protonokkal, neutronokkal) is végeztek ilyen diff­ rakciós kísérleteket, s a hullámtulajdonság minden esetben ki­ mutatható volt. Broglie feltételezése tehát minden részecskére általánosítha­ tó. Gyakorlati alkalmazását látjuk például az elektronmikrosz­ kóp működése során.

4.1.6. Á RÉSZECSKE-HULLÁM KETTŐSSÉG Kialakult tehát az a kép, hogy a mikrovilág tagjai, pl. az elektron és k foton, egyszerre részecske- és hullámtulajdonsá­ gokkal is rendelkeznek, amiknek megnyilvánulásait a körülmé­ nyek határozzák meg. Általában azt lehet mondani, hogy a mozgás, mint tulajdonság mindegyikre jellemző, és terjedésnél általában hullámként, kölcsönhatásokban általában részecske­ ként mutatkoznak meg. Ezt a tárgyalási módot az adagosság fi­ zikája néven is emlegetik, innen származik az elnevezés: kvan­ tumfizika. A matematikai leírás ennélfogva igen bonyolult, hiszen az

266__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________

összes tapasztalatot egységes rendszerbe kell foglalni. Egymás­ tól függetlenül több fizikus is kísérletezett a matematikai el­ mélet kidolgozásával. Heisenberg (1901-1976) mátrixokkal, Schrödinger (1887-1961) komplex állapotfüggvénnyel alkotott egységes matematikai leírást, később maga Schrödinger mu­ tatta ki a két leírás egyenrangúságát. Dirac (1902-1984) operá­ torokkal dolgozott, majd a relativisztikus kiterjesztéssel álta­ lánosította a kvantummechanikát. így jutott el a tudomány a mai szemlélethez, amelynek alapja a valószínűségi leírás. A részecskére jellemző fizikai mennjáség több lehetséges értékét tudjuk adott körülmények között meg­ határozni, mindegyik értékhez hozzátéve a bekövetkezés valószínűségét. Egy konkrét mérés kimenetele tehát nem jósol­ ható meg biztosan, de meghatározható, hogy több mérést vé­ gezve, milyen valószínűséggel kapjuk az egyes értékeket. A leírt képhez jól illeszkedik az a tétel, amelyet Heisenberg fogalmazott meg minden részecskére vonatkozóan. H] Egy részecske helyének és impulzusának egyidejű megha­ tározása nem lehet tetszőlegesen pontos. A két mennyiség bi­ zonytalansága összefügg, a mérési hibák szorzata nem lehet kisebb egy állandó értéknél, bármilyen „pontos” mérőberen­ dezéseket fejlesztünk is ki. Ezt a törvényt szokás Heisenberg-féle határozatlansági relá­ ciónak nevezni. Például az x tengely menti mozgásra nézve ez így fejezhető ki képlettel: h A x ■AIx > — A

A

.

47T

ahol Ax a hely, AIx az x irányú impulzus bizonytalansága, h a Planck-állandó.

_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ ^

4.1.7. ATOMMODELLEK A Thomson-modell A XX. század elejére világossá vált, hogy az atomban találha­ tó elektronok ugyanazok, mint a katódsugárzás részecskéi. Magyarázatra várt azonban, hogy mi tartja össze az atomot, mi­ lyen szerkezetű, és hogyan magyarázható a kívülről tapasztalt semlegesség. /. /. Thomson talált először érveket amellett, hogy az atom­ ban található elektronok száma nem túl nagy, az atom tömegé­ nek nagy részét a pozitív töltésű rész adja. Elképzelése szerint az atom egész térfogatát kitölti a folytonosan elosztott pozitív rész, s ebben vannak beágyazva az igen kis méretű elektronok. Ezek vagy nyugalomban vannak az atom középpontjában, vagy meghatározott sugarú pályákon körben keringenek. A modell bár nem sokáig volt elfogadható -, igen pozitív szerepet játszott a kutatásokban, mivel teljes egészében figyelembe vette a klaszszikus elektrodinamika törvényeit (pl. hogy a gyorsuló töltés su­ gároz), és itt vetődött fel először az elektronburok héj szerke­ zete. A modell azért nem maradt sokáig érvényben, mert hamar kiderült, hogy az atomban viszonylag sok hely van, és így nem lehet folytonos kitöltésű.

A Rutherford-modell Rutherford (1871-1937) munkatársaival kísérleteket végzett az atom szerkezetének vizsgálatára. Nagy energiájú hélium­ atommagok vékony férnfólián való áthaladásának vizsgálata so­ rán a tapasztalat szerint a pozitív töltésű héUumatommagok nagy számban áthaladtak a vékony anyagrétegen. Ez mutatja, hogy az atom igen „szellős” szerkezetű, tömegének nagy része igen kis helyre koncentrálódik. Másrészt néhány részecske je­ lentősen, nagy szögben elkanyarodott, szóródott, ami csak nagy pozitív töltésű centrumokkal való ütközéssel magyarázható. Ez volt a híres szórási kísérlet. A konkrét kísérleti eredmények értelmezésével született

268__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________

1911-ben meg az újabb atommodell. Eszerint az atom közép­ pontja az atom méreténél három nagyságrenddel kisebb pozitív mag, amely körül, mint bolygók a Nap körül, keringenek az elektronok. Az elektronokat az elektrosztatikus vonzóerő tartja körpályán. A körpályán keringő elektron azonban, mivel gyorsul, ezért sugároz, és így fokozatosan elveszti energiáját, az atom tehát nem lehetne stabil. A modell ezen hibája hamar nyilvánvalóvá vált.

A Bohr-modell Niels Bohr (1885-1962) a következőképpen oldotta meg az előző problémát. Alapkövetelményeket fogalmazott meg in­ doklás nélkül az atomban kötött elektronnal szemben. Ezek a Bohr-féle kvantumfeltételek. Az atom elektronjai csak meghatározott pályákon keringhet­ nek a mag körül. Az ilyen pályán keringő elektron - a klasszi­ kus fizika törvényeivel ellentétben - nem sugároz. Az atom csak akkor sugároz, ha az elektron az egyik pályáról a másikra ugrik. Ilyenkor a két pálya közötti energiakülönbséget az elekt­ ron egyetlen foton formájában kisugározza, amelynek így az energiája: h f —En2

-Eni

Energiaelnyelésnél, gerjesztésnél fordított folyamat játszódik le. A modellt később Sommerfeld (1868-1951) fejlesztette to­ vább, kiegészítve a körpályákat ellipszispályákkal. Az elmélet legfontosabb érdeme, hogy magyarázatot adott a diszkrét energiaszint létezésére, és a legegyszerűbb esetekben a színképelemzés tapasztalatait is értelmezni tudta. Szemléletes képet festett az elektronpályák alakjáról, az atomfizikával kap­ csolatos plakátok többsége ma is ezekhez a modellekhez kap­ csolódik. IS A diszkrét energiaszintek létezését jól igazolták Franck (1882-1964) és Hertz (1887-1975) kísérietei, amelyekben hi­ ganyatomokat gerjesztettek gyorsított elektronokkal való ütkö­

ATOM-ÉS MAGFIZIKA

zéssel. Az elektron csak jól meghatározott energiaadagokat volt képes átadni a higanyatomnak. A modell végül kiegészült a forgó elektronnal, amelynek így sajátperdülete (spinje) és saját mágneses momentuma van. Ezek a külső mágneses térhez képest különböző módon állhatnak. Egy atom kötelékébe tartozó elektron így négy kvantum­ számmal jellemezhető. Az n főkvantumszám (pozitív egész) a pálya sugarát és ezzel együtt az energiáját jelzi. Az l mellék­ kvantumszám (értéke l,2 ,...,n -l) a pálya alakját jelzi. Az m mágneses kvantumszám (értéke - 1 és + 1 közötti egész szám), illetve az s spinkvantumszám (értéke +^/2 vagy -^/a) azt hatá­ rozza nieg, hogy az atomi pálya impulzusmomentuma, ill. az elektron saját impulzusmomentuma a külső mágneses-térhez képest milyen helyzetben van. így értelmezhetők a Zeemann-, ill. Stark-effektus néven ismert jelenségek, amelyekben az atomi energiaszintek mágneses és elektromos terekben megváltoznak, felhasadnak több szintre. 1925-ben fogalmazza meg Pauli (1900-1958) a kizárási elvet. □ Egy atomban egyensúlyi állapotban minden elektron csak más-más állapotban lehet, azaz nem lehet két elektronnak azonos a négy kvantumszáma. Ez a Pauli-elv egy atomra vonatkozó megfogalmazása. Megjegyezzük, hogy a Pauh-elv összetett rendszerekben is érvé­ nyes. A Bohr-modell alapfeltevését (a gyorsuló töltés bizonyos pályán nem sugároz) azonban axiómaként igen nehéz volt el­ fogadni, ezért egyre több kifogás merült fel az elmélettel szem­ ben. Ráadásul a modell a hidrogén után már a hélium spektru­ mát sem tudta megmagyarázni, nem beszélve a bonyolultabb elemekről. így tehát az elmélet, óriási eredményei ellenére, hi­ bás következtetései miatt túlhaladottá vált, maga Bohr is csak induló lépésnek tekintette, és kortársaival együtt kereste a jobb magyarázatot. Ennek ellenére mind a mai napig használjuk a Bohr-modellt, amit a modell nagyfokú egyszerűsége indokol. Ha a Bohr-modell és a Pauli-elv mellett a természet energiami­

270__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________

nimumra való törekvését is figyelembe vesszük, nyomon követ­ hetjük a Mengyelejev-féle periódusos rendszer felépítését. A rendszer és az elemek sorrendje fizikai magyarázatot kap, aminek igen nagy jelentősége van.

A valószínűségi modell 1927-ben kísérleti igazolást kapott de Broglie elektronra vo­ natkozó hullámhipotézise, amely nagy lökést adott a korábban említett matematikai vizsgálatoknak. Elfogadottá vált a hul­ lám-részecske kettó'sség, és a határozatlanság irreláció miatt a konkrét elektronpálya tarthatatlansága. Ma azt mondjuk, hogy az atomon belül az elektron lehetsé­ ges tartózkodási helyét és az ott-tartózkodás valószínűségét ad­ hatjuk meg. A legvalószínűbb helyek például a hidrogénatom esetében megegyeznek a Bohr-féle pályáknak megfelelő gömb­ héjakkal. A kvantumszámokat továbbra is használjuk, azonban nem annyira a pálya alakja, sokkal inkább az elektron energia­ szintjeivel kapcsolatban, ami persz^ szorosan összefügg az elő­ fordulási tértartomány mintázatával. Ha szemléltetni akarjuk az atomon belüh elektront, akkor in­ kább az állóhullámokhoz hasonlítjuk. így talán látható, mit is jelent az, hogy az elektron a lehetséges helyeket egyszerre kitöl­ ti. Ha azonban detektálni, befogni akarjuk az elektront, az ré­ szecskeként, egy pontban jelenik meg.

4.1.8. KÉMIAI KÖTÉSEK A kvantummechanika magyarázatot ad az ún. zárt elektron­ héjak stabilitására, így a kémiai kötésekért általában a külső elektronok a felelősek. Az egyszerű kötések ezután már könynyen érthetőek.

_____________________ ATOM-És MAGFIZIKA__________________ ^

A heteropoláris (ionos) kötés Ha egy-két elektron helyezkedik el az utolsó zárt héjon kívül, akkor azok könnyen leszakíthatok az atomról. Ha viszont né­ hány hiányzik a zárt szerkezethez, akkor az atom könnyen be­ fog elektronokat. így egyszeres elektroncsere megy végbe pél­ dául a NaCl esetében, és kétszeres a ZnS létrejöttekor. Az elektron elvesztése vagy befogása azonban elektromosan töltött iont eredményez, amelyeket a Coulomb-törvény szerint vonzó­ erő tart össze.

A homeopoláris (kovalens) kötés Semleges atomok kapcsolódását a valószínűségi pályák alap­ ján gyakran könnyen megérthetjük. Például két hidrogénatom magja taszítja egymást, tehát szétlökődnének. A két pozitív mag vonzóereje azonban kölcsönösen megváltoztatja egymás elektronjának valószínűségi pályáit. Mindkét elektron lehetsé­ ges helyei közül nagy valószínűséget kap a két mag közötti tar­ tomány, leárnyékolják a magok taszítását, ezzel jön létre a hid­ rogénmolekula. Nagyobb atomok esetén is hasonló a helyzet.

A fémes kötés Fémek esetén a legkülső elektronok nem rendelhetők külön­ álló atompárokhoz, hanem a fémrácshoz, mint egészhez tartoz­ nak. A fémek rácsszerűeh összekötött atomtörzsekből állnak, amelyek között a leszakadt vegyértékelektronok elektrongáz­ ként szabadon mozognak. A pozitív töltésű atomtörzsek és a negatív töltésű elektronok közti vonzóerő tartja össze a rácsot. A Pauli-elv a fémek részben szabad elektronjaira is érvényes. Mivel a sok elektron egyszerre az egész rácshoz tartozik, ezért az energiaszintek sokszorosan felhasadnak. Ez azt jelenti, hogy energiasávok alakulnak ki, amelyeken belül nagyon sok, egy­ máshoz igen közeli energiaszint valósul meg. Ezeket a sávokat töltik be az elektronok.

272__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________

4.2. MAGFIZIKA 4.2.1. AZ ATOMMAG LÉTEZÉSE [Hl A Rutherford-féle szórási kísérlet lényeges elemeit az atommodellek tárgyalása kapcsán ismertettük. Most emeljük ki az atommagra vonatkozó fontos következtetést. A bombázó ré­ szecskék nagy számban keresztülhaladtak az anyagon, amiből az következik, hogy az atom nem tömör felépítésű. Kiderült, hogy az atom igen kisméretű, pozitív töltésű magból és az elekt­ ronok alkotta burokból áll. A mag méretére öt nagyságrenddel kisebb értéket kaptak a mérések során, mint maga az atom mé­ rete. így érthetővé válik, hogy a mag pontszerű, pozitív töltés­ nek felel meg, tehát a kémiai folyamatokban az atommag nem is játszik szerepet. Az atomfizika tárgyalása során láttuk, hogy a tudósok figyel­ me a XX. század első évtizedeiben elsősorban az atom külső tartományára, az elektronburok leírására irányult. Bár az atom magjával kapcsolatos jelenségek már 1896-tól, a radioaktivitás felfedezésétől kezdve jelen voltak a kutatási témákban, a külső burok és a mag vizsgálata csak Rutherford kísérleti eredmé­ nyeinek következtében válhatott ketté. Ez az 1911-es dátumhoz kapcsolódik. Ettől kezdve vizsgálták tudatosan az atom magját, s a figyelem a neutron felfedezése után, a harmincas években fordul igazán e terület felé. A magfizikai kutatások során le kellett győzni az elemek egy­ forma atomjaiba vetett hitet, amit a kémia eredményei mindad­ dig általános törvényként sugalltak. Az egyes elemek atomjai sem bizonyultak mindig egyformának például tömegük, radio­ aktivitásuk alapján, s megjelentek a spontán elemátalakulások, ahogyan azt az alkimisták elképzelték. Emellett kiderült, hogy a magban lezajló folyamatok sok nagyságrenddel nagyobb ener­ giafelszabadulással járnak, mint a kémiai folyamatok. Ez elve­ zetett a tömegmegmaradás és az energiamegmaradás törvényei­ nek egységesítéséhez, a tömeg-energia ekvivalenciaelv felisme­ réséhez.

_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA__________________ ^

4.2.2. AZ ATOMMAG FELÉPÍTÉSE A proton felfedezése Már Rutherford feltételezte a kísérleti tapasztalatok alapján, hogy léteznie kell egy olyan részecskének, amelynek az elekt­ ron töltésével egyező abszolút értékű, pozitív töltése van. Tömegét az atommagok osztályozásával lehetett megbecsülni, ha az elemek atomjainak tömegét a hidrogénatom tömegével összehasonlították. A becstilt érték az elektron tömegénél kb. 1840-szer nagyobbnak adódott. [1 Az elem rendszáma (Z) megadja a semleges atom külső burkában lévő elektronok számát, ill. a mag ezzel egyenlő pozitív töltéseinek számát.

[U Az elem relatív tömegszáma (A) azt fejezi ki, hányszor na­ gyobb tömegű az illető elem egy atomja a hidrogénatom tö­ megénél, ill. mai megfogalmazás szerint a szénatom tömegé­ nek 12-ed részénél. A feltételezett részecske gondolata annjdra természetes volt, s egyéb paramétereit is olyan pontosan meg lehetett határozni, hogy létezésében senki sem kételkedett, s a kutatások, számítá­ sok eszköze lett. A proton elnevezést is Rutherford adta. A kísérleti bizonyítással azonban 1925-ig várni kellett, így a pro­ ton ékes példája a tudományos előfelfedezések fontosságának. B A kísérleti kimutatás P. Brackett (1897-1974) nevéhez fű­ ződik, aki atommagok ütközéseit vizsgálta. Sikerült rögzítenie azt az eseményt, amikor a nitrogénmag elnyelte az ütköző ré­ szecskét, s protonkibocsátás mellett oxigénmaggá alakul át. Ezzel vált bizonjatottá a proton létezése.

A neutron felfedezése Rutherford a kísérleti tapasztalatok alapján először úgy kép­ zelte (1910), hogy a Z rendszámú magban A darab proton és A -Z darab elektron található, így válik kívülről semlegessé az

274__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA________ _____________

atom, és a protonokat és elektronokat az elektromos vonzóerő tartja össze. Elképzelését azonban el kellett vetnie, amikor Heisenberg 1927-ben kimutatta annak tarthatatlanságát. A ha­ tározatlansági törvény szerint ugyanis, ha az elektron a mag mé­ retének megfelelő igen kis helyen tartózkodna csak nagy valószínűséggel, akkor impulzusa, s ezzel sebessége olyan nagy lenne, hogy ekkora mozgási energiával nem lehet ott tartani a Coulomb-erő segítségével. így már nagyon hamar felvetődött egy semleges részecske létezésének gondolata. (H 1930-ban különös jelenségeket észleltek a kísérletezők, mikor berilliumot héliummagokkal bombáztak. A bombázás hatására olyan áthatoló sugarat kaptak, amely vastag ólomle­ mezen is áthatol és nem ionozál, vagyis töltéssel nem rendelke­ zik. A sugárzás hatására a hidrogéntartalmú anyagból hihetet­ len energiájú protonok léptek ki. A jelenséget Chadwick (18911974) értelmezte 1932-ben, neutronok kilépésével, a következő reakció szerint; 2Hé

-f4 Be® = 6

+0

A hélium" és beriliumatom találkozásakor tehát szén és az eddig ismeretlen sugárzást alkotó részecske, neutron keletke­ zett. Ez a felismerés tekinthető a neutron felfedezésének. A neutron ismeretében módosul az atom szerkezetéről alko­ tott kép. A mag Z darab protont és A -Z darab neutront tartal­ maz, az atomburokban pedig Z darab elektron kap helyet.

A nukleonok

I

E A proton és a neutron, azaz a mag alkotói, közös neve a nukleonok.

A nukleonok sokkal nagyobb tömegűek, mint az elektron. A neutron kicsit nagyobb tömegű a protonnál: = 1, 672648- 10^27

ATOM-ÉS MAGFIZIKA

275

m „ = 1 ,6 7 4 95 3 -1 0 -2 ^ A;5 me = 9,1 0 9 53 - 10"^^

Eszerint tehát az anyag igen szellős felépítésű. Tömegének 99,98%-a az atomok magjában, nagyon kis helyen van összesíJTÍtve. A mag 16 nagyságrenddel sűrűbb, mint az elektronbu­ rok. Mivel a neutron tömege közel azonos a proton tömegével, ezért első pillantásra megdöbbentő, s igen fontos mérési ered­ ményként adódik az a tény, hogy az elemek tömegszáma közelítőleg sem fejezhető ki egész számmal. Kiderült, hogy egy adott elem magjában, azonos protonszám mellett, különböző számú neutron lehet. A többféle előfordulás miatt átlagos ér­ tékként kapjuk a törtszámmal kifejezett atomsúly értéket.

I

H] Egy adott elem különböző tömegszámú atomjai az illető elem izotópjai.

A különböző izotópok tehát kémiailag egyformán, de más szempontból (például stabilitásukat tekintve) különbözőkép­ pen viselkednek. Éppen ezért van nagy jelentőségük a magfizi­ kai folyamatokban. A mérések szerint a protonok és neutronok száma a kis rend­ számú elemek magjában általában azonos. A nagy rendszámú

276__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________

elemek esetén ez az arány eltolódik a neutronok javára, ami a rendszám és a tömegszám összehasonlításával jól látható (4.9. ábra). A tapasztalat a későbbiekben akkor válik érthetővé, ami­ kor megvizsgáljuk a magot összetartó erőt, ill. az atommag energiaviszonyait.

Erős kölcsönhatás Az atommagot összetartó erőhatás természetének teljes meg­ értése az elméleti fizikusok számára a mai napig sem lezárt problémakört képez. A gravitáció nem elég erős. Az elektro­ mos vonzás nem jöhet szóba, hiszen a neutron semleges részecs­ ke, míg az egymáshoz rendkívül közel elhelyezkedő protonok óriási erővel taszítják egymást. Egy új típusú kölcsönhatás jele­ nik meg tehát a nukleonok között, amelynek általános jellem­ zői a következőkben foglalhatók össze: - a kölcsönhatás elektromos töltéstől független, - bármely két nukleon között vonzás jellegű, - erősebb, mint az elektromos, hiszen legyőzi a protonok taszítását (innen származik az elnevezés), - igen kis hatótávolságú, csak a közvetlenül szomszédos né­ hány nukleon között hat.

Az atommag sűrűsége Hofstadter (1915-) szórási kísérleteket végzett az atommag méretének pontosabb vizsgálata céljából. A mérések megerő­ sítették Rutherford eredményeit, miszerint az atommag mére­ tének nagyságrendje

Hofstadter méréseinek következményeként adódott viszont egy, az energiaviszonyok szempontjából, nagyon fontos felisme­ rés. Ha egy nukleon átlagos sugara ro S 1, 2 és a mag sugara evvel és a tömegszámmal kifejezhető

_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ 277

akkor az atommag térfogata képlettel kifejezve V = ^P?T^ = ^rl'K-A Tehát az atommag térfogata a tömegszámmal arányosnak bi­ zonyult. Ez azt jelenti, hogy a mag sűrűsége nem nő a tömegszám nö­ vekedésével, mint az elektronburok sűrűsége. Mint látni fogjuk, ez a tapasztalat sugallta az energetikai leíráshoz az egyik lehet­ séges magmodellt, amely az atommagot az állandó sűrűségű, öszszenyomhatatlan folyadékcsepphez hasonlítja.

4.3. ENERGIAVISZONYOK A MAGBAN Az atom és a magfizikában használatos energiamértékegység az elektronvolt (eV): [U 1 eV annak az elektronnak a mozgási energiája, amely álló helyzetből 1 V feszültség hatására gyorsult fel, tehát leV = 1,602 ■ A magfizikában szokásos energiák nagyság­ rendje az elektronvolt milliószorosa: lO^eV = IMeV (ejtsd: megaelektronvolt).

4.3.1. A TÖMEGDEFEKTUS [U Ha a magot alkotó nukleonok saját tömegét összeadjuk, akkor nagyobb értéket kapunk, mint a mag tömege. Ez a je­ lenség a tömegdefektus (tömeghiány). Képlettel: Z ■mp + {A —Z) ■run > M

E tényhez tartozik még egy kísérleti tapasztalat. Például, ami­ kor egy deutériummag létrejön, ami egy protonból és egy neut­ ronból áll, azaz a nukleonok kölcsönhatásba kerülnek, egy igen nagy energiájú elektromágneses foton távozik el, tehát a folya­ mat energiafelszabadulással jár. Összetett magoknál a nukleo-

278__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________

nők beépülése természetesen több lépcsőben zajlik. A folyama­ tot megfordíthatjuk. Ha a nukleonokat újra szét akarjuk szakí­ tani, azaz a kötéseket felbontani, akkor ehhez az elektromágne­ ses sugárzás által elvitt energiát kell befektetnünk. A magyarázat a relativitáselméletben megfogalmazott tö­ meg-energia kapcsolat segítségével adható meg. A hiányzó tö­ megnek megfelelő energiát a keletkező és eltávozó fotonok viszik magukkal.

I

m A tömeghiánynak megfelelő energia a kötési energia: A M ■ = Ekötési

A tömeg-energia ekvivalenciájának elve alapján tehát a fo­ lyamatok tömeg és energia egységekben is leírhatók. A töme­ get gyakran relatív atomtömegegységekben adják meg. [S Példa a kétféle leírásra: Hidrogén és lítium egyesülésekor két héhumatom és felszaba­ duló energia keletkezik. Az első sor a kémiában használatos reakcióegyenlet, a második sor a relatív atomtömegeket mutat­ ja, az energiát is ilyen egységben kifejezve: \H 1,007825

+ +

iL i 7,016005

= =

\He 4,002604

+ +

\He 4,002604

+ -I-

1 7 ,4 MeV 0,018622

B Példa a tömeg-energia átszámításra: Egy hélium atommag összetevőit relatív atomtömeg egységek­ ben kifejezve a tömegdefektus nagyságát átszámíthatjuk ener­ giaegységbe: 2p 2 -1 ,0 0 7 2 7 6 6 1

+ +

2n 2 -1 ,0 0 8 6 6 5 2 0

7

A m = 0,0303766 {rel. at. töm eg )

=

7

^ ^

\He 4,001507 28,298 MeV

A kötési energiát elosztva a tömegszámmal megkapjuk az egy nukleonra jutó átlagos kötési energiát: A m 28,298 MeV ^ — = ^ ^ ------- = 7,074 MeV A 4 Az atommag energiáját az előzőek alapján általában a követ­ kező módon jellemezzük. Zérus potenciális energiájú állapot­

_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ 279

nak tekintjük a nukleonok szabad állapotát. Ha a nukleonok atommaggá kapcsolódnak össze, akkor a mag együttes energiá­ ja a kötési energiának megfelelő értékkel csökken a zérus alá, vagyis negatív. Ebből az állapotból természetesen pozitív ener­ giabefektetéssel tudjuk a nukleonokat kiszakítani. A mag létre­ jötte pozitív energiafelszabadulással jár.

4.3.2. AHÉJMODELL(1934) Az egyik lehetséges magmodell a következő megállapításon alapszik. A nukleonok csak a közvetlen szomszédjukhoz kap­ csolódnak erős kölcsönhatással így más jellemző potenciálgör­ bét képzelhetünk el a leírásukhoz, mint az elektron esetében. Az összes nukleontól származó közepes potenciáltér alakul ki, amelyben minden egyes nukleon a többitől független, önálló mozgást végez. A nukleonok állapotaihoz ugyanakkor hasonló módon rendelhetünk kvatumszámokat, mint az elektron eseté­ ben. Itt is érvényes a Pauli-elv, azzal a különbséggel, hogy itt mindig az azonos spinű helyzetet veszik fel először (AntiHund-szabály). Ezenkívül külön érvényes a Pauli-elv a proto­ nokra és a neutronokra. Ezekkel a megállapításokkal dolgozik a modell (4.10. ábra).

P otenciál-gödör G n erg ia szin tje i

4.10. ábra

A modell érdeme többek között az, hogy indoklást ad az atommag belsejében diszkrét energiaszintek létezésére. Segít­ ségével értelmezhetjük a fotonkibocsátást, mint egy újonnan

280__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________

keletkezett vagy megkötött nukleon alapállapotba kerülésének következményét, hasonlóan az elektron fotonkibocsátásához. Ezenkívül a modell utal lezárt héjú, tehát stabil magokra. De ez valóban csak utalás, mivel a tapasztalatok szerint egészen más nukleonszámoknál találunk kiugró stabilitást. A tapasztalt sta­ bil nukleonszámok a következők; 2, 8 , 20, 50, 82,126. Ezeket a számokat csak jóval később, egy javított héjmodell segítségével tudták értelmezni.

4.3.3. ACSEPPMODELL(1936) Ehhez a modellhez az a gondolat vezetett, hogy az atommag sűrűsége minden atommagra közelítőleg egyforma. Ez a tulaj­ donság a folyadékcseppre jellemző, innen az elnevezés. A modell segítségével a tömegdefektus a következő empiri­ kus képlettel bontható fel tagokra: M = Z ' Ui p ^ { A - Z ) - m n -

A zárójelben lévő kifejezés a tömeghiány, különböző tagokra bontva. Az első tag a nukleonok számával egyenesen arányosan növekvő, úgynevezett térfogati energiát fejezi ki, azaz az erős kölcsönhatást. Ez tehát mélyíti az energiát, ami a mag stabilitá­ sa szempontjából javítja az energiamérleget. A második tag, mi­ vel a tömegszám harmadik gyöke a mag sugarával arányos (lásd korábban), így a mag sugarának négyzetével, azaz a mag felüle­ tével arányos. Azt fejezi ki, hogy a mag felületén lévő nukleon kevésbé kötött állapotban van, ezért rontja a stabilitást. A har­ madik tag a rendszám, azaz a protonok számának négyzetével arányos, vagyis az elektrosztatikus taszítás hatását fejezi ki, ami szintén rontja a stabilitást, emeU az energiaszintet. A negyedik tag azt jelenti, hogy a protonok és neutronok egyenlő számától való eltérés rontaná a stabilitást, amit a tömegszám növekedése javíthat, ezért szerepel A a nevezőben. Végül az utolsó korrek­ ciós tag a nukleonok páros vagy páratlan számára utal, ami javíthatja, de ronthatja is a stabilitást. Az energiamérlegen való rontás és javítás akkor érthető előjelhelyessen, ha az egy nukleonra jutó, ún. fajlagos kötési ener­

ATOM-És MAGFIZIKA

281

giát fejez ki. Az előbbi zárójelben lévő kifejezést tehát (-l)-e l és c^'-tel szorozva, valamint A-val osztva, a következő kifeje­ zéshez jutunk: E A

'

b2 -h ^

A modell legnagyobb sikerét a maghasadás értelmezésével aratta. Mindkét eddig tárgyalt modell csak bizonyos jelenségkör leírására alkalmas, mint ahogy készült úgynevezett optikai mo­ dell is a magreakciók kvantitatív leírására. Az egységesítési törekvések eredményeképpen 1952-ben született meg a kollektívmodell, Aage Bohr (1922-, Niels Bohr fia) és Mottelson (1926-) munkája nyomán.

4.3.4. A FAJLAGOS KÖTÉSI ENERGIA Az egy nukleonra jutó átlagos kötési energia, a fajlagos kötési energia. A-tói és Z-tól függő kétváltozós függvény. Ezt ábrázol­ va egy felületet kapunk, amelynek metszetei a tömegszám men­ tén haladva parabolák, hiszen a függvény Z-ben másodfokú. Ábrázoljuk a fajlagos kötési energiát most a másik változó, a tö­ megszám szerint. (4.11. ábra)

4.11. ábra

282__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________

A görbe alakját a kötési energia egyes tagjai különböző tarto­ mányokban más-más mértékben határozzák meg. A kis tömeg­ számú elemek esetében az összes nukleonszámhoz képest sok nukleon található a mag felszínén, azaz kevésbé kötött állapot­ ban. Ezért a felületi energiatag erősen emeh az energiaszintet. A nagy tömegszámú elemeknél a felületi energia jelentősége csökken, viszont egyre több a protonok száma. Ezért nő a Coulomb-erő taszító hatását kifejező tag, s ezzel együtt emelke­ dik áz energiaszint. Itt rontja még a stabilitást a protonok és neutronok számának egyre nagyobb eltérése is. A jellegzetes görbe bal oldala azt mutatja, hogy nő a kötési energia, azaz mélyül az energiaszint, ha a nagyobb tömegszám felé haladunk. Ez azt jelenti, hogy a kis tömegszámú elemeknél az egyesülés, a fúzió során szabadul fel energia, ez lehet az energiatermelés módja. A görbe jobb oldalán a nagy tömegszámú elemek találhatók. Itt akkor haladunk a mélyebb energia felé, ha bomlanak a ma­ gok, hasadnak. Ez tehát a másik energiatermelési lehetőség. Mindkét utat részletesebben tárgyaljuk. A görbének minimuma van az 58 tömegszám környékén. Ez azt mutatja, hogy a természetben lejátszódó energiatermelő magreakciók ezen állapot, tehát a vas felé haladnak. Szokás ezért a teljes energiafelület ezen részét „vastónak” nevezni. (Az Univerzum még fiatal - sok mag még nem jutott el a „vastó­ ba”.)

4.4. A RADIOAKTIVITÁS 4.4.1. A RADIOAKTÍV SUGÁRZÁS A radioaktivitás jelensége már nagyon korán, az atommaggal kapcsolatos vizsgálatokat évekkel megelőzve, ismertté vált. Becquerel (1852-1908) francia fizikus uránsókkal végzett más jellegű kísérletei során figyelt fel arra, hogy az uránsó kristályá­ nak közelében hagyott fényképlemezen előhívás után a kristály nyoma láthatóvá vált. A felfedezést tudatos vizsgálatok követ­ ték. Ő, majd később a Pierre és Marié Curie, ill. Rutherford

_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ ^

több radioaktív elemet is felfedeztek, s ezek vizsgálata során lassan fény derült a sugárzás természetére. A sugárzásokat elektromos vagy mágneses téren átvezetve, azok három különálló részre bomlanak, amelyek erősen külön­ böző tulajdonságokat mutatnak. Az is kiderült, hogy a sugárzá­ sok a mágból erednek külső energiabefektetés nélkül, tehát magfolyamatok eredményeképpen jönnek létre. A tulajdonsá­ gok értelmezésére és magyarázatára azonban csak akkor kerül­ het sor, mikor a valószínűségi leírás és a magmodellek megszü­ lettek.

4.4.2. A RADIOAKTÍV SUGÁRZÁSOK JELLEMZŐI Az a-sugárzás kétszeresen ionizált He atommagokból áll. Ezek a részecskék tehát elég nagy tömegűek, pozitív föltésűek. Az első szórási kísérleteket éppen evvel a részecskével végez­ ték. Az a-részecskét két proton és két neutron alkotja. m Az a-részecske előfordulási valószínűsége az atommagon kívül sem zérus a radiaktív elemek esetében. Ez ad lehetősé­ get arra, hogy a magból bizonyos valószínűséggel kiléphet egy ilyen nukleoncsoport. Ez a jelenség az alagút-effektus. Ha az előző esemény bekövetkezik, akkor új elem keletke­ zik, a rendszám 2-vel, a tömegszám 4-gyel csökken. Ez a sugár­ zás a részecskék természeténél fogva nem nagy energiájú, kis áthatoló képességű. A ^-sugárzás kétféle lehet, áthatoló képessége nagyobb az előző sugárzásénál. Vagy elektronokból, vagy azok antirészecskéiből, a pozitronokból áll. Ez utóbbiak az elektronnal azonos tömegű részecskék, töltésük az elemi töltés nagyságával meg­ egyezik, de pozitív előjelű. A sugárzás létrejöttekor egy nuk­ leon (neutron vagy proton) megsemmisül és egy másik nukleon, az elektron vagy a pozitron, ill. egy eddig ismeretlen semleges részecske jön létre, amely utóbbi kis tömegű és igen nagy átha­ toló képességű. A folyamattól függően ez a semleges részecske

284__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________

a neutrínó vagy annak antipárja. A ^-sugárzás bekövetkezése­ kor így a tömegszám nem változik, a rendszám 1-gyel változik, nő vagy csökken. [p] Példák a /3-bomlásra: (3~ n + e~ + v (proton, elektron, antineutrino) n + e'^ + v (neutron, pozitron, netrino) A /3-átalakulás általában azért jön létre, mert az atommagban egy a-rész kiválása után nem megfelelő a proton-neutron arány, hiszen ezek száma a nagy rendszámú elemeknél nem egyenlő. Az átalakulás ezt az arányt hozza helyre, amely során új elem keletkezik. A harmadik, a ^-sugárzás nem hajlik el sem elektromos, sem mágneses térben. Ez nagy energiájú, nagy áthatoló képességű elektromágneses sugárzás. Létrejöttét az okozza, hogy a kelet­ kezett neutron vagy proton nem a lehetséges legkisebb energiá­ jú állapotban jön létre, hanem magasabb energiájú gerjesztett állapotban, és egy 7 -foton kibocsátásával jut a megfelelő szint­ re. ^-sugárzás során a tömegszám és a rendszám nem változik, nem keletkezik új elem.

4.4.3. A TERMÉSZETES RADIOKTIVITÁS Láthatjuk, hogy a három sugárzás egymás után bekövetkező magátalakulások során jön létre. Ha a fajlagos kötési energia görbéjére tekintünk, érthetővé válik, hogy ilyen folyamatok so­ rán közelítenek a nagy rendszámú elemek a vastó felé, azaz a minimáUs energiájú állapot felé. 1 ] A radioktív magátalakulások tehát a természetben leját­ szódó spontán folyamatok lehetnek. Ez a jelenségkör a termé­ szetes radioktivitás.

_____________________ ATOM-És MAGFIZIKA__________________ ^

Az atommagokat csoportosíthatjuk stabil és radioaktív ma­ gokra. Ez a felosztás azonban önkényes, hiszen a stabilnak te­ kintett magokról is kiderül, hogy bár hosszú idő alatt (azaz kis valószínűséggel), de elbomlanak. Megállapodás szerint akkor tekintünk stabilnak egy izotópot, ha ahhoz, hogy atomjainak fe­ le elbomoljon, hosszabb idő szükséges, mint a világegyetem je­ lenlegi életkora, ami körülbelül tizenhatmilliárd évre tehető. A radioaktív bomlások mennjdségi jellemzésére vezették be a következő fogalmakat. [l Ha egy t időpillanat utáni rövid Aí időintervallumban An(í) darab bomlás következik be,, akkor a következő kifeje­ zés a folyamat erősségét jellemzi, és aktivitásnak nevezzük: An(í) O' — ----- — Aí A negatív előjel arra utal, hogy a magok száma csökken. [H Az aktivitás arányos a meglévő magok számával n(t), ahol az arányossági tényezőt (A) bomlásállandónak nevezzük: a{t) = A • n{t) A természetben található radioaktív izotópok darabszáma a természetes radiaktivitás során bekövetkező bomlásokkal csök­ ken. A csökkenés azonban nem egyenletes. Nagy számú atomot vizsgálva, statisztikusan egy bizonyos izotóp még meglévő atomjainak mindig azonos hányada bomlik el azonos időtarta­ mok alatt, mértani sorozat szerint. Egy konkrét atom bomlásá­ nak bekövetkezéséről azonban semmit nem mondhatunk. [U Ha egy radioaktív izotóp atomjainak fele T idő alatt bom­ lik el, akkor minden újabb T időtartam alatt a megmaradt atomok fele fog elbomlani. Ez az időtartam a felezési idő. Ha a kezdeti atomszám n(0), akkor t időpillanatban a még meglévő atomok száma:

286__________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA_____________________

n{t) — n(0) • 2~ ? A radioktív bomlás során létrejövő izotópok gyakran szintén radioaktívak, azaz tovább bomlanak. így jöhetnek létre hosszú bomlási sorok. Mivel a tömegszám csak 4-gyel képes változni (a-átalakulás), ezért egy bomlási sor minden tanának tömeg­ számát 4-gyel osztva azonos maradékot kapunk. így tehát 4 csa­ lád különböztethető meg (4.12. ábra).

4.4.4. AZ INDUKÁLT RADIOAKTIVITÁS m Az instabil izotópmag nem csak a-átalakulás során eshet szét. Előfordulhat kis valószínűséggel, hogy a nagy tömegszá­ mú atommag két nála kisebb, de a héliummagnál nagyobb atommagra bomlik szét. Ez az esemény a hasadás, amely álta­ lában a már ismert radioaktív sugárzásokkal jár együtt. 4k család 232xh ^ 20|Pb 4k + 1 család 2gNp ^ 4k + 2 család 4k + 3 család 23|u

T = 1,8 •10^“ év

T = 2,14 •10« év T = 4 ,5 -1 0 » é v

^

207p,,

t

= 7 ,0 4 -1 0 * év

A viszonylag nagy felezési idők miatt spontán hasadás ritkán következik be a természetben. Valamilyen külső gerjesztés azon­ ban jelentősen megnövelheti a bekövetkezés valószínűségét. Ilyen külső gerjesztés lehet például egy lassú neutron befogása. Szabad neutronokat viszont a nagy tömegszámú elemek maguk szolgáltatnak bomlásuk során. Ennek okát könnyű belátni, hi­ szen tudjuk, hogy a neutronok száma ezen elemeknél egyre na­ gyobb a protonokhoz képest. Hasadás közben azonban kisebb tömegszámú elemek keletkeznek, amelyekben fölösleges neut­ ronok lesznek és ezek eltávoznak az újonnan keletkezett magokból. Szilárd Leótól (1934) származik az ötlet, hogy hasznosítani kellene ezeket a neutronokat újabb hasadások indukálásához. Hahn (1879-1968) és Strassmann (1902-1981) mutattak ki elő­ ször olyan hasadási folyamatot kísérletileg 1938-ban, amikor egy nagy tömegszámú elem, az urán neutronokkal való bombá­

_____________________ ATOM-És MAGFIZIKA__________________ ^

zásakor két közepes tömegszámú elem, két-három szabad neut­ ron keletkezett. Ezek megjelenése adja a lehetőséget, hogy újabb hasadást okozva, a hasadások láncszerűen kövessék egy­ mást, és a folyamat önmagát tartsa fenn. A láncreakciót először 1942-ben Fermi (1901-1954) csoportjának sikerült a gyakorlat­ ban megvalósítani.

4.5. A MAGENERGIA FELHASZNÁLÁSA 4.5.1. HASADÁSOS REAKTOR Ismerkedjünk meg a gyakorlati felhasználás problémáival! A hasadás során keletkezett szabad neutronok nagy energiával tá­ voznak az új magok közeléből. A nagy energiájú neutronok azonban kis valószínűséggel ütköznek újabb magoknak, azaz ki­ csi az ütközési hatáskeresztmetszetük. Ezért a neutronokat le kell lassítani. A lassításhoz használt közeg a moderátor, amely általában víz vagy grafit. Ha a neutron hamar elhagyja az anyagot, akkor szintén nem következhet be az újabb ütközés. így vagy elegendően nagy tö­ meget, úgynevezett kritikus tömeget halmozunk fel a hasadásra képes anyagból (ezt alkalmazzák az atombombában a folyamat szabályozása' nélkül) vagy a moderátort a hasadó anyag kisebb darabjai közé kell elhelyezni. Ez utóbbi valósul meg a reakto­ rokban. A folyamatot a békés célú felhasználás során szabályozni kell. Tehát a láncreakciót fenntartva, a hasadó magok és az újabb hasításra képes néutronok száma legyen közel egyenlő. Ezt olyan anyagokkal érik el, amelyek a fölösleges neutronokat könnyen befogják, például a kadmiummal vagy a bórral. A hasadás következtében létrejövő ütközések során hő kelet­ kezik, amit el kell vezetni a reaktorból. Erre a célra szintén a vi­ zet használják. A keletkező magas hőmérsékletű és nyomású víz vagy vízgőz viszi el az energiát.

288__________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA_____________________

A reaktorokban általában az uránt használják fűtőanyagként. Az urán izotópjai köztil azonban csak a 235-ös vesz részt a fo­ lyamatban nagy valószínűséggel. A 235-ös izotóp a természetes uránércben csak 0,7%-bán található, amely nem elegendő a fo­ lyamat fenntartásához. Ezért az uránércet felhasználás előtt dúsítani kell, íizaz növelni kell a 235-ös izotóp arányát a 238-as izotóphoz képest. A hasadás során keletkező radiaktív elemek és a berendezé­ sek radiaktíwá váló tagjai erősen sugároznak, emiatt meg kell oldani a sugárvédelmet is. A ma használatos reaktorok egyik fajtája a nyomottvizes reaktor. Ebben a dúsított urántömbök között nagy nyomású vi­ zet keringtetnek zárt körben, a víz a moderátor és a hűtő fel­ adatát is ellátja. A szabályozást például kadmiumrudak auto­ matikus mozgatásával biztosítják. A keletkező vízgőz másik zárt vízkör vizét melegíti, ott gőzt termel, s ez hajtja meg a tur­ binákat, hogy a generátorokból elektromos energiát kapjunk. A biztonságot a szigorúan ellenőrzött zárt rendszerek, a sugárvé­ delmet biztosító falak és a nagyfokú, többlépcsős automatizálás adja.

4.5.2. A FÚZIÓS ENERGIA A fajlagos kötési energia grafikonja már utalt arra, hogy nem a hasadás az egyetlen lehetséges módja a magenergia hasz­ nosításának. A könnyű magok esetében nem a bomlás, hanem az egyesítés, a fúzió jár energiafelszabadulással. Ilyen folyama­ tok játszódnak le a csillagok belsejében, mint látni fogjuk a csil­ lagászat tárgyalása során, ahol a fúziós folyamatok konkrét leírása is megtalálható. A mai kutatások egyik legnagyobb problémája a fúziós energia ipari hasznosításának megoldása. Uránérc viszonylag kevés található, tengervíz és benne hidro­ gén azonban bőven van, a hasznosítással tehát az emberiség energiagondja beláthatatlan idóTcre megoldódna. A fúziós reakció akkor megy végbe, ha a részecskék elegen­ dően nagy mozgási energiával ütköznek. Ez a gyorsítókban megvalósítható, de olyan kis hatásfokkal, hogy energiatermelés­

_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA__________________ ^

re nem gondolhatunk. A nagy mozgási energia magas hőmér­ séklettel is elérhető a szóba jöhető könnyű atommagok azon­ ban csak több száz millió fokos hőmérsékleten képesek fúzióra, és akkor is csak az alagúteffektus révén. A törekvés arra iránjoil tehát, hogy a Földön is létrehozzanak ilyen nagy hőmérsékleten reakciót, ami egyelőre csak a hidrogénbomba esetében sikerült, ahol persze nincs szó a folyamat szabályozásáról, irányításáról. Az irányított reakció ipari megvalósítása tehát még a jövő fel­ adata.

5. RÉSZECSKEFIZIKA

Az atomfizika és a magfizika fejezetekben már megismerked­ tünk néhány elemi részecskével. Tiidjuk, hogy az atomot elekt­ ronok, protonok és neutronok alkotják. Néhány magfizikai fo­ lyamat során újabb részecskék tűntek fel, a pozitron és a neutrínó. Ebben a fejezetben az anyag további alkotóeleníeivel ismerkedünk meg, valamint ezek kutatásának folyamatával és rendszerezésük lehetőségeivel.

5.1. AZ ELEMI RÉSZECSKÉK TERMÉSZETE 5.1.1. HULLÁM ÉS RÉSZECSKE Az elektromágneses hullámokkal kapcsolatos vizsgálódá­ saink során a hullámtermészetnek ellentmondó tapasztalatokat szereztünk a fotoeffektus tárgyalásakor. Kidertilt, hogy az elekt­ romágneses sugárzásban jól meghatározott adagokban terjed az energia, és ez elvezetett a fotonok felismeréséhez. Felfedezése után az elektront egyértelműen részecskének te­ kintették. Később kiderült, hogy bizonyos körülmények között az elektron is hullámként viselkedik. Mindez arra a fehsmerésre vezet, hogy a mikrovilágbeli ré­ szecskéknek, beleértve a fotont és az elektront is, hullámtulaj­ donságot és részecsketulajdonságot is kell tulajdonítanunk. Ez a kettő együttesen jellemző rájuk, s a körülmények határozzák meg, hogy melyik tulajdonság nyilvánul meg jobban.

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^

A szükséges matematikai leírás főként L. de Broglie,, E. Schrödinger, M. Born és W. Heisenberg munkája során alakult ki. Kiderült, hogy az elemi részecskéknek a klasszikus fizikai szemlélettől eltérő, úgynevezett valószínűségi leírás adható meg. Vagjás nem mondhatjuk, hogy az elektron itt van és ekko­ ra a sebessége, csak azt, hogy milyen valószínűséggel van itt és milyennel ott. Milyen valószínűséggel ekkora a sebessége és mi­ lyen valószínűséggel akkora. Két részecske ütközésekor milyen valószínűséggel történik ez vagy az. Ezeket szem előtt tartva azonban megérthetjük a természet viselkedését. Amit eddig elmondtunk, nem csak az elektronra és a fotonra igaz, hanem minden részecskére, a protonra, a neutronra és azokra is, amelyeket csak ezután fogunk megismerni.

5.1.2. VIZSGÁLATI EUÁRÁSOK A részecskék konkrét kísérleti vizsgálata, azok méretei miatt, komoly technikai nehézségeket okoz. Ismerkedjünk meg azok­ kal az eszközökkel, amelyek lehetővé teszik a vizsgálatok elvég­ zését! A Rutherford-féle szórási kísérlet elvét továbbra is alkalmaz­ zák, vagyis azt az eljárást, hogy valamely céltárgyra részecskék áramát bocsájtják, s különböző irányokban észlelik a céltárgyon szóródó anyagok becsapódását. A becsapódások számából kö­ vetkeztetnek a szóródás közben lezajlott kölcsönhatásra. Egyszerű kísérleti eszköz a szcintillációs ernyő, amin a be­ csapódó részecske felvillanást okoz. A^ egyik leggyakrabban használt eszköz a fényképező lemez. A módszer arra épül, hogy a töltött részecske vagy az elegendő­ en nagy energiájú foton nyomot hagy a fotólemez nagyon vé­ kony, finomszemcsés emulziójában, miközben rajta áthalad. Ha a lemezt előhívjuk, vonalak jelzik a részecskék útját. Az egyik legérdekesebb eszközt C. T. R. Wilson (1869-1959) szerkesztette meg. A róla elnevezett Wilson-kamra tulajdon­ képpen egy ködkamra. Azon az elven működik, hogy a nagyon tiszta, túltehtett gőzt tartalmazó kamrában a gőz kicsapódása

292____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________

mindaddig nem indul meg, amíg szennyező szemcsék nem ke­ rülnek a gőzbe, s ekkor körülöttük alakulnak ki először csep­ pek, ők lesznek a ködképződés központjai. A szennyező szem­ csék szerepét ionok is játszhatják. A kamrába nagy energiával bejutó részecske mozgása során ionizálja azokat az atomokat, amelyekkel találkozik, így útja mentén folyadékcseppek füzére alakul ki rövid időre, mielőtt az egész kamrára kiterjed a köd­ képződés. Ha ekkor fényképfelvételt készítünk a kamra tartal­ máról, a képen jól látható lesz a részecske útja. Mint látjuk, mindegyik eszköz arra irányul, hogy az ember számára közvetlenül nem érzékelhető elemi részecskék mozgá­ sáról makroszkopikusan értékelhető információt adjon.

5.2. A NAGY ENERGIÁK Ha valamely tárgyat meg akarunk vizsgálni, akkor meg kell világítani. Minél pontosabban akarjuk ismerni pl. a helyét, an­ nál rövidebbre kell választanunk a megvilágításra használt su­ gárzás hullámhosszát. Ez a szabály más esetben is érvényes. Valamely tárgy méretének vagy helyzetének meghatározása so­ hasem végezhető el kisebb hibával, mint a megvilágítására hasz­ nált sugárzás hullámhossza. Ha az elemi részecskék kis méreteire gondolunk (10'^^ m nagyságrend), akkor a nyilvánvaló út a mind rövidebb és rövidebb hullámhossz előállítása felé vezet. Természetesen nem csak fényhullámokra, hanem a részecskék de Broglie-hullámára is gondolunk. Mivel a hullámhossz fordítottan arányos az im­ pulzussal, lehetőleg minél nagyobb impulzusú részecskékből kell nyalábokat létrehozni. Tehát a szuperkicsi térbeli tartomá­ nyok titkai csak akkor nyílneik meg, ha elég nagy energiájú ré­ szecskékkel végezzük a kísérleteket. A szükséges energia mértékét az is megszabja, hogy mekkora a kötési energia a vizsgált részecskék között, hiszen ennyi ener­ giával tudjuk őket elszakítani egymástól. Vizsgáljuk meg, mekkora a mikrovilágban előforduló kötési energiák nagyságrendje! Mint már korábban említettük, az ele­ mi részecskék fizikájában a célszerűség miatt ezt az energiát

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________293

elektonvoltokban (eV) szokás mérni. A nagyobb egységeket a szokásos módon képezzük: 1 kiloelektronvolt (keV) = ezer eV 1 megaelektronvolt (MeV) = millió eV 1 gigaelektronvolt (GeV) = milliárd eV 1 teraelektronvolt (TeV) = billió eV Makroszkopikus szempontból szemlélve 1 eV nagyon kis energiát jelent. De ha azt vizsgáljuk, hogy mennyi energia kell ahhoz, hogy egy makroszkopikus test minden részecskéjével 1 eV energiát közöljünk, akkor a kép észrevehetően megváltozik: ehhez az anyagot kb. 10'* K fokra kell hevíteni. Az atomok és molekulák világában a kötési energiára jellem­ ző érték az eV törtrészeitől a néhány eV-ig terjed. Az atomma­ gokra ezek az értékek miUiószor nagyobbak, a részecskekuta­ tásban pedig már túl vannak a milliárd eV-on. Most már érthető, hogy miért nevezik a fizikának ezt a terü­ letét a nagy energiák fizikájának, ill. miért használnak az egjn-e inkább kérdésessé váló „elemi” jelző helyett a fizikusok „nagy energiájú” jelzőt a részecskék emlegetésekor. Ugyanis ezek leg­ fontosabb energetikai jellemzője a tömeg, a részecskék tömegét pedig energetikai egységekben szokás kifejezni. A grammok átszámítása elektronvoltokra a relativitáselmélet képlete alap­ ján történik: E = mc^. Ily módon az elektron tömege 0, 51 MeV. A proton tömege 938,28 MeV, azaz kb. 1 GeV. A neutron töme­ ge közelítőleg 1,3 MeV-al nagyobb a proton tömegénél. Egy összetett alakzat összetettségének jellemzésére a kötési energia és a szerkezetbe tartozó legkönnyebb részecske töme­ gének arányát használhatjuk. Az atomok esetén ez rendkívül kicsi, néhány milliomod nagyságú érték. Az tehát, hogy az elektron az atom szerkezeti egysége, nagy pontossággal igazol­ ható. Az atommagokban a helyzet már nem ilyen nyilvánvaló, mert az elóljbi viszonyszám néhány ezred nagyságú. De ez még megengedi, hogy az atommagot protonokból és neutronokból állónak gondoljuk. Ha viszont két elemi részecske ütközésének eredményeként új részecske keletkezik, akkor semmi értelme azt állítani, hogy az új részecske az ütközők valamelyikében rej­

294____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________

tőzött, mivel a viszonyszám ekkor közelítőleg 1 lenne. Ez pedig azt jelenti, hogy az alkotórész korábban nem rendelkezett saját arculatával. Ésszerűbb feltételezni, hogy az új részecske közvet­ lenül a két eredeti részecske kölcsönhatási folyamatában kelet­ kezett. Byen jelenséggel gyakran találkozunk tárgyalásunk so­ rán.

5.3. AZ ELSŐ RÉSZECSKÉK FELFEDEZÉSE 5.3.1. AZ ELEKTRON ÉS A FOTON Az elektron felfedezéséről már szóltunk az Atom- és magfizi­ ka című fejezetben. Csupán emlékeztetőül idézzük fel a felfede­ zés történetét. Az elektrolízis, a q/m mérések és a Millikankísérlet során bizonyossá vált az elemi töltés és hordozója az elektron létezése. A fotoeffektus jelenségének értelmezésekor ismerte fel Einstein a foton létezését. A fotonnak nincs njoigalmi tömege, tehetetlen tömege a z E — mc^ összefüggés alapján számítható. E két részecske megtalálása volt az első lépés az elemi ré­ szecskék világába vézető úton.

5.3.2. A PROTON Nem kevésbé érdekes a mikrovilág harmadik „nagy öregje”, a proton előéletének és későbbi kísérleti felfedezésének törté­ nete sem (lásd a Magfizika részt). Rutherford feltételezte elő­ ször - a híres szórási kísérletek eredményeit értékelve - egy olyan részecske létezését, amely az elektron töltésével azonos abszolút értékű pozitív töltéssel rendelkezik, de tömege az elektron tömegénél kb. 1840-szer nagyobb. Feltételezése logi­ kusan következett az atommagok osztályozásából. Ily módon az egységnyi pozitív töltésű hidrogén-atommag lett az elemi építőkő, amelyből a többi atommag összerakható. Az új részecske közvetlen kísérleti észlelésére csak néhány év múlva, 1925-ben került sor.

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^

5.3.3. A NEUTRON Rutherford 1920-ban már feltételezett egy elektromosan sem­ leges nukleáris részecskét, amelynek a neutron nevet is ő adta, (lásd a Magfizika fejezetrészt). Tényleges kísérleti bizonyítékra azonban 1932-ig kellett várni. Ekkor írta le /. Chadwick (18911974) a berillium alfa-részecskékkel való bombázása során keletkező furcsa, rendkívül nagy áthatoló-képességű sugárzás természetét. Bebizonyította, ha a berillium atommagja befog egy alfa-részecskét, akkor szén-atommag és egy semleges ré­ szecske keletkezik, amelyik valamelyik ütköző atommag része volt. A semleges részecskéről kiderült, hogy tömege majdnem megegyezik a proton tömegével, s így a már régen keresett neutronnal azonos. A foton és az elektron stabil részecske. A proton is az, mivel felezési ideje a világegyetem jelenlegi korát messze meghaladja. Bár a neutron, amikor az atommagban van, örökéletűnek lát­ szik, a szabad neutron nem stabil. Körülbelül 12 perces felezési idővel protonra, elektronra és neutrínóra bomlik, ami azonban ciz előző fejezet szerint nem jelenti azt, hogy ezekből áll. A neutron önálló részecske.

5.3.4. A KOZMIKUS SUGÁRZÁS Valószínűleg Charles Coulomb, francia tudós volt az, aki elő­ ször tekintette teljes komolysággal kutatási témának azt a jelen­ séget, hogy a töltött test - látszólag minden külső beavatkozás nélkül - egy idő után elveszti töltését. Ő a tökéletlen szigetelés­ sel magyarázta a töltések elvándorlását. Századunk elején azon­ ban kiderült, hogy az ólomlemezekkel való árnyékolás lényege­ sen lelassítja a spontán kisülést. Arra kezdtek gondolni, hogy a töltések elveszítésének oka a földkéregben előforduló elemek gamma-sugárzása. Ez viszont nem magyarázza meg, hogy a ki­ sülés törvényei a Föld különböző helyein azonosak, hiszen ne­ héz lenne elhinni, hogy a radioaktív anyagok abszolút egyenle­ tesen oszlanak el. Valószínűbbnek látszott, hogy valamilyen Földön kívüli sugárzásról van szó.

296____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________

Az új sugárzás felderítésére kísérletek indultak. 1909-ben a svájci K. Höckel léggömbre szerelt elektroszkóppal végzett mé­ réseket, s kiderült, hogy 4 km magasan a műszer hamarabb veszti el töltését, mint a Föld felszínén. A kéregből eredő sugár­ zást tehát kizárta, de az még lehetett légköri eredetű. 1923-tól kezdve méréseket végeztek mély alpesi szurdokban, 20 m mé­ lyen egy kaliforniai tóban, valamint 220 m mélységig a Bodenitóban. A kísérletek során megdőlt a sugárzás légköri eredetét felté­ telező hipotézis. Beigazolódott, hogy az új sugárzás a Földön kívülről érkezik. Áthatolóképessége fantasztikus, hiszen átju­ tott íiz atmoszféra háromszoros vastagságának megfelelő vízrétegen is. Ebből az következett, hogy a sugárzás részecskéi­ nek olyan hatalmas az energiája, hogy ezerszer vagy még több­ ször meghaladja a földi radioaktív sugárforrások energiáit. Az új sugarakat kozmikus sugaraknak nevezték el. Bebizo­ nyosodott, hogy a világűrből megdöbbentően széles energiatar­ tományban érkezik sugárzás. Ráadásul nemcsak elektromágne­ ses hullámokat tartalmaz, hanem szó szerint az egész Mengyelejev-táblázatot, a protontól a nehéz atommagokig. A csillagkö­ zi tér tehát nem hideg és üres, hanem mikrorészecskékből álló nagy energiájú, bár nagyon ritka gázzal van kitöltve. A kozmi­ kus részecskék energiája sokszorosan meghaladja a radioaktív sugárforrásokét. A fizikusok találtak egy új kutatási lehetősé­ get, amellyel tovább vizsgálhatják a mikrovilág titkait. Most a kozmikus sugarakkal folytatott vizsgálatok néhány példáját említjük meg.

5.3.5. ANTIRÉSZECSKÉK 1932-ben C. D. Anderson (1905-) - a kozmikus jövevények mágneses térben való elhajlásának vizsgálatakor - meg­ állapította, hogy a Wilson-kamrában bizonyos nyomok olyan pozitív töltésű részecskéknek felelnek meg, amelyek tömege az elektron tömegével megegyezik. Ezzel kísérleti bizonyítást nyert P. Dirac (1902-1984) 1928-ban megfogalmjizott jóslata. Ő a relativitáselmélet figyelembevételével vizsgálta az elektronok kvantummechanikai leírását. Elméleti megfontolások alapján

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________297

jutott arra a következtetésre, hogy léteznie kell egy olyan ré­ szecskének, ami mindenben azonos az elektronnal, csak éppen pozitív töltésű. A kísérleti bizonyíték után vált elfogadottá az antielektron, azaz a pozitron. A pozitron volt az elsőként megismert antirészecske. Azóta majd minden részecskének felfedezték már az anti-páiját. Az antirészecskék világa azonban még nagyon sok kérdést vet fel, amelyekre ma is keresik a választ. A kérdéskör azért is fontos, mert ha egy részecske antirészecskével találkozik, annihiláció (megsemmisülés) megy vég­ be, azaz a kölcsönhatásba lépő részecskék eltűnnek, és helyet­ tük nagy energiájú fotonok keletkeznek. Érdekes probléma például, hogy mivel a neutronnak nincs elektromos töltése, a neutron és az antineutron közötti különbség (a tükrözési szim­ metrián kívül) csak a kölcsönös megsemmisítő képességük alap­ ján definiálható. Az elektron és a pozitron találkozásának legvalószínűbb következménye kettőjük megsemmisülése, és egyidejíQeg két nagy energiájú foton keletkezése. Ha nagy menynyiségű anyag és antianyag lép ilyen reakcióba, akkor hihetetlen erősségű sugárzás jön létre, az anyag teljes nyugalmi tömegé­ nek megfelelő sugárzási energia keletkezik. Nem csoda hát, ha ez a kérdés erősen foglalkoztatja az új energiaforrásokon gondolkodó fizikusokat.

5.3.6. MEZONOK A kozmikus sugarakhoz kötödő másik példa azokkal a folya­ matokkal kapcsolatos, amelyekben a hatalmas energiával repü­ lő kozmikus részecske az atommaggal ütközve valósággal felrobbant, amiről rengeteg nyomvonal tanúskodott a fénykép­ lemezen. Ezeket a vonalakat olyan új részecskéknek lehetett tulajdonítani, amelyek tömege az elektronnál nagyobb, a pro­ tonnál kisebb. Az új részecskék a mezonok. A mezonok között különleges, az elektronokhoz hasonló ré­ szecskéket találtak. Az új részecskéket mü-mezonoknak, rövi­ debben müonoknak nevezték el, valószínűleg azért, hogy meg lehessen különböztetni őket a náluk aktívabb többi mezontól.

298____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________

A müonok tömege 207-szer nagyobb az elektronok tömegénél, egyéb tulajdonságaik viszont teljesen megegyeznek az elektro­ nokéval, minden reakcióban pontosan ugyanazoknak a szabá­ lyoknak engedelmeskednek. A többi mezon további vizsgálata - mint a következő fejezet­ ben látni fogjuk - elvezetett az atommag belsejében uralkodó, az elektrosztatikus vonzást legyőző, szükségképpen létező na­ gyon erős kölcsönhatás megértéséhez.

5.4. RÉSZECSKEGYORSÍTÓK A rendszeres kutatáshoz olyan eszközökre volt szükség, ame­ lyekkel a tervezett kísérleteket el lehetett végezni. Ezek az esz­ közök a részecskegyorsítók. Az elv egyszerű, az elektromosan töltött részecskét elektromos térrel gyorsítjuk, pályáját mágne­ ses térrel vezéreljük, és a megfelelő pillanatban ütköztetjük a céltárggyal. Az ütközés során keletkező és szétrepülő részecs­ kék viselkedéséből következtetünk az ütközésben lezajlott ese­ ményekre. A gyorsítók megépítésének feladata azonban technikailag igen nehéznek bizonyult. Tekintsük át röviden a gyorsítók fejlő­ dését! Az első működő modell 1929-ben a Princetoni Egyetemen kezdte meg működését, de ez csak 80000 V gyorsítófeszültség­ gel működött. Az első gyorsítók az egyenes úton felgyorsított részecskenyalábbal álló céltárgyat bombázták, így másfél millió eV-ig jutottak el. 1932-ben Berkeley városában E. Lawrence (1901-1958) mun­ kacsoportja megépítette az első ciklotront. Ez a berendezés azon az elven működik, hogy a töltött részecskéket körpályára kell kényszeríteni, és nagyfrekvenciás elektromos erőtérrel, se­ bességüket periodikusan kell nöyelni. Az első ciklotronnal 3,6 MeV energiájú jól használható protonnyalábot tudtak elő­ állítani. A milliárd eV-ig (GeV) azonban ezzel a berendezéssel nem lehet eljutni. Ugyanis a relativisztikus tömegnövekedés szerint az egyre nagyobb sebességű részecske tömege is megnő, és ez a tömegnövekedés megzavarja a folyamat ciklikusságát.

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^

A megoldást 1944-ben találták meg. Ha a növekvő tömeg megváltoztatja a periódust, akkor a térnek kell szinkronban len­ nie a részecske mozgásával, vagy a gyorsító elektromos tér frek­ venciáját változtatjuk, vagy a körpályát biztosító mágneses teret erősítjük fokozatosan. Az első megoldáson alapuló berendezést szinkrofazotronnak nevezték el, ilyen típusból a legnagyobbat 1957-ben Dubnában építették, ez 10 GeV energiájú. A második megoldás nagyobb ener^ákat tett lehetővé, az ilyen berendezések a szinkrotronok. Egymás után épültek a nagy gyorsítók, 1967-ben Szerpuhovban 76 GeV energiát, 1972-ben Batáviában 200 GeV, majd később ugyanitt 800 GeV energiát értek el. A tudósok azonban még nagyobb energiákról álmodoztak. Az újabb ötletet az adta, hogyha mindkét részecskét felgyor­ sítjuk és egymással szembe mozogva ütköznek, akkor sokkal nagyobb energiájú az ütközés, mintha az egyik áll. Az ilyen gyorsítók az ütközőnyalábos gyorsítók. Ilyen a Hamburg mel­ letti Héra nevű berendezés, amely 1000 GeV energiájú protono­ kat ütköztet a 30 GeV energiájú elektronokkal. Ugyanezen az elven működik a Genfi-tó közelében az Európai Magkutató Központ (CERN) berendezése. Tervezik Chicago mellett egy 1000 GeV, Szerpuhovban pedig egy 3000 GeV energiájú gyorsító megépítését. A méretek szemléltetésére néhány adat a CERN gyorsítójá­ ról. A berendezést a föld alatt mintegy 40 m mélyen fúrt alagútban helyezték el, hogy ne zavarja a környezetet. A kerülete 7 km, és áthalad Franciaország és Svájc határán. A régi, 30 GeV-es gyorsítótól kapja a protonnyalábokat, amelyek több mint egymillió km ( 150 000 fordulat) megtétele után lövődnek az észlelőberendezés felé. A térerősségnek egy ezrelékre pon­ tosnak kell lenni a mágnesek ezreiben, a berendezés egyes ré­ szeit tizedmilliméíer pontossággal kell egymáshoz beállítani; A berendezésben olyan nagy vákuumnak kell lenni, mint a Hold felszínén. A vezérlést számítógépek sora végzi, az ellenőrző rendszer mintegy 1500 km kábelt használ fel. A gyorító hűtésé­ re a Genfi-tó vizét használják. Ezek a gigantikus méretek és a technikai igényesség mutatja, hogy miért olyan fantasztikusan drága berendezés egy modern gyorsító.

300____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________

5.5. A FELFEDEZÉSEK SOKASÁGA 1914-től kezdve foglalkoznak azzal a problémával, hogy az atommagból kilépő béta-sugárzásban található elektronok energiája nagyon széles határok között változott. A magyará­ zattal több fizikus próbálkozott. Végül Pauli feltételezte elő­ ször, hogy az atommagból a béta-elektronnal együtt kilép egy kis tömegű, semleges elektromos töltésű és nagy áthatolóképességű részecske. A jelenséget E. Permi (1901-1954) magyarázta meg, 1933-ban. Az új részecskét is ő nevezte el neutrínónak. Rámutatott arra, hogy a béta-radioaktivitást az elektromágne­ ses erőknél gyengébb, új, különleges kölcsönhatás idézi elő. Az ún. „gyenge kölcsönhatás” következtében a neutron proton­ ná alakul, miközben elektront és antineutrínót bocsát ki. Azért, hogy a neutrínó kísérleti kimutatása sokáig váratott magára, maga a neutrínó a felelős. Fantasztikus az áthatolóképessége, képes egy 100 fényév vastagságú ólomfalon is keresz­ tülhaladni. Ez az érték tíz nagyságrenddel nagyobb a Nap suga­ ránál, és háromszor nagyobb a Galaktikánk magjához tartozó sugárnál. Ezért a neutrínó valószínű észleléséhez egy elegendő­ en nagy intezitású neutrínónyalábot kellett létrehozni. 1956-ban amerikai fizikusoknak sikerült néhány atomreaktorban előállítaniuk az antineutrínó megfelelő nagyságú áramát, és ki­ mutatták a következő reakciót: amikor az antineutrínó a protonhoz csapódik, egy neutron és egy pozitron keletkezik. 1962-ben pedig felfedezték a müon bomlásakor keletkező új neutrínótípust, a müonneutnnót. Ahogy tehát az elektronhoz hasonKt a müon, úgy az elektronneutrínóhoz hasonlít a müonneutrínó. Egy másik probléma is régen izgatta a fizikusokat. Amint megfogalmazódott a protonból és neutronból álló atommagmodell, azonnal nyilvánvalóvá vált, hogy léteznie kell a nukleonok között egy, az elektromágneses erőtől független, azt legyőzni képes, nagyon erős kölcsönhatásnak. A kvantumelektrodinami­ ka szerint két töltött részecske úgy hat egymással kölcsön, hogy egyik kibocsát egy látszólagos fotont, a másik pedig elnyeli azt. Az atommagon belüh erős kölcsönhatásnak azonban sokáig nem találták a közvetítőjét.

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________301

1935-ben jelent meg H. Yukawa (1907-1981) cikke, amelyben pontosan kiszámította a feltételezett részecske tömegét, és ez az elektron tömegénél kb. 300-szor nagyobbnak adódott. Vagyis az új részecske valószínűleg mezon. Az elmélet ellen és mellett sokáig folyt a kutatás. Végül 1947-ben találták meg a keresett részecskéket, amelyek az atommaggal is kölcsönhatásba tudtak lépni, tehát valóban az erős kölcsönhatás közvetítői. Ezek a pimezonok. A gyorsítók fejlesztésével egyre több és több új részecske lá­ tott napvilágot. Felfedezték az ún. „ritka” részecskéket, ame­ lyek közül a protonnál könnyebbeket K-mezonoknak, a proton­ nál nehezebbeket hiperonoknak nevezték el. A protont, a neutront és a hiperonokat a közös barion elnevezéssel is ellát­ ták. És a felfedezések még nem értek véget. A pi-mezon (pion) és proton ütközésének vizsgálatakor kide­ rült, hogy a folyamat leírásához fel kell tételezni bizonyos igen rövid életű részecskék létezését, amelyek szintén az erős köl­ csönhatásban vesznek részt. Ezek voltak a rezonanciák. (Az el­ nevezést onnan kapták, hogy a folyamatban az ütközés objektív jellemzésére szolgáló ún. hatáskeresztmetszet látszólag hirtelen megnőtt, ami a rezonancia jelenségére hasonlít. Tulajdonkép­ pen ezen részecskék keletkezése és elbomlásá történt.) Valójában az is kérdés, mit tekintünk részecskének. A rezo­ nanciák ugyanis nem hagynak nyomot a Wilson-kamrában vagy a fényképlemezen, létezésük csak a nyomok eloszlása alapján, számítással igazolható. Ha ezt megengedettnek tekintjük, akkor a rezonanciák a részecskék családjának teljes jogú tagjaivá vál­ nak. A rezonanciák megjelenése előtt kb. 30 részecskét és antirészecskét ismertek. A rezonanciákkal együtt az összes részecs­ kék száma csaknem tízszeresére duzzadt. Hozzávetőleges táblá­ zat látható az 5.1. ábrán.

302

RÉSZECSKEFIZIKA

Részecskék Osztályok Jel

Megnevezés

Foton

7

foton

Leptonok

76 7m e

elektron-neutrínó müon-neutrínó elektron müon

7T

pi-mezonok K-mezonok éta-mezon

St3.Dll

K

részecskék

V

Mezonok Q

ÜJ

rezonanciák

pszi-mezonok

M O

E H íí

proton neutron lambda-hiperon szigma-hiperon kszi-hiperon omega-hiperon

N i 470

N(1470)

N303O A i 232

N(3030) delta-három-három

A 3230

delta(3230)

P n A

Ö

o V h ctí

ró-mezonok omega-mezonok

stabil részecskék Barionok

rezonanciák

5.1. ábra

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^

5.6. A RENDSZEREZÉS LEHETŐSÉGE Az előző fejezet végén láttuk, milyen sok részecskét fedeztek már fel. Ettől kezdve persze furcsának tűnik a korábban meg­ szokott „elemi” jelző használata, hiszen ennyi részecskéről ne­ héz elfogadni, hogy mindegyik elemi. Hasonló a helyzet, mint mielőtt Mengyelejev megalkotta periódusos táblázatát. Az elő­ ször szintén eleminek tekintett atomokról kiderült, hogy szá­ mos hasonló tulajdonság alapján csoportokba rendezhetők, s később az is, hogy egyáltalán nem elemiek. Vajon mi a helyzet a részecskék világában? A megmaradási törvények jöttek a fizikusok segítségére, s adtak lehetőséget a rendszerezésre. A szimmetria görögül - szó szerint - összemérhetőséget je­ lent. Valóban nem tudunk megkülönböztetni két fényképet, ha az egyik egy szimmetrikus épületről, a másik annak tükörképé­ ről készült. Vagyis a szimmetriküs testek fontos tulajdonsága, hogy alakjuk a tükrözés során nem változik. Általában is igaz, hogy a testek vagy folyamatok szimmetriá­ ja kapcsolatban van valamely mennyiség megmaradásával. De ez fordítva is teljesül, bármely megmaradási törvényhez feltétle­ nül tartozik egy meghatározott szimmetria. Ezért emlegetik a fizikusok, hogy a természet legfontosabb törvényei a szimmetriák. Mindenekelőtt vizsgáljuk meg az igaznak vélt megmaradási törvényeket! Tudjuk, hogy meghatározott zárt térben lévő elektromos töl­ tés nem tűnhet el és nem keletkezhet. Ezt a törvényt már oly sok kísérletben és olyan nagy pontossággal ellenőrizték, hogy joggal sorolják az abszolút megmaradási törvények közé. A törvény egyik megnyilvánulási formája, hogy az elektron - a legkönynyebb elektromosan töltött részecske - stabil becsült felezési ide­ je jóval meghaladja az Univerzum életkorát. A másik abszolút megmaradási törvény a barionok megmara­ dása. Barionok nyomtalanul nem tűnhetnek el és a semmiből nem keletkezhetnek. Ezt a törvényt is nagy pontossággal igazol­ ták. A legkönnyebb barion, a proton szintén stabil, nem hasad­ hat fel könnyebb, ún. bariontöltést nem hordozó részecskékre.

304____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________

Mindezt azért mondtuk el, hogy megértsük a fizikusok hoz­ záállását a megmaradási tételekhez. A megmaradási törvények­ hez persze szeretnénk ragaszkodni, ezért vizsgálunk meg min­ den olyan elméletet, amely a törvény érvényben maradását segíti. Általában csak azt mondhatjuk, hogy egy-egy törvény a jelen­ legi ismereteink mellett igaz. Ha felmerül olyan jelenség, amelyre semmiképp nem illik ez vagy az a törvény, akkor ez csak közelítő törvényszerűségnek fogadható el. A mikrovilágban valp eligazodás, rendszerezés érdekében a fizikusok még további töltés jellegű tulajdonságokkal ruházzák fel a részecskéket, hogy legalább közelítő érvényű megmaradási tételeket találjanak. Ilyen például a ritkaság. Végül tehát a tudósok bizonyos szimmetriákat találnak a mik­ rovilágban, amelyek segítségével a részecskéket csoportokba le­ het sorolni, a periódusos táblázathoz hasonlóan. így könnyebb eligazodni, könnyebben kezelhetők a részecskék tulajdonságai. Befejezésül a részecskefizika fejlődésének vázlatos áttekinté­ se után meg kell említenünk azokat a kutatásokat, amelyek már a jövőbe mutatnak. A sok-sok részecske, s azok táblázatba rendezhetősége vetet­ te fel a kérdést, hogy vajon nem léteznek-e olyan, az eddigi­ eknél „elemibb” részecskék,- amelyekből az eddigiek fel­ építhetők? Az elméleti megfontolások, a még magasabb rendű szimmetriák adták azt a modellt, amely szerint léteznek ilyen részecskék. Az elméletet a Kaliforniai Technológiai Inté­ zet munkatársai, M. Gell-Mann és G. Zweig fogalmazták meg 1964-ben, és a részecskéknek a kvark nevet adták. Ma már kísérleti bizonyíték született a nagy gyorsítókban arra, hogy a protonnak három kemény magja van. A további elméleti model­ lek és számítások pedig azt mutatják, hogy nem is három, ha­ nem több kvark létezését kell feltételezni. A kvark-modellben az a furcsa, hogy az elektromos és a barion tőkésnek tört részét kell egy kvarknak tulajdonítanunk. Egy olyan általános elmélet megalkotása, amely az eddig megismert kölcsöhatásokat egységes rendszerben lenne képes tárgyalni, a jövő nagy feladata.

6. RELATIVITÁSELMÉLET

6.1. A KLASSZIKUS RELATIVITÁS A relativitás elméletében alapvető szerepet játszik a vonat­ koztatási rendszer, más szóval a koordináta-rendszer. A fiziká­ ban alapvető kérdés, hogy egy esemény hol és mikor követke­ zik be. A kérdés megválaszolásához feltételezünk egy min­ dentől függetlenül létező teret, amelyben koordináta-rendszert definiálunk, és így válaszolni tudunk a hol kérdésre. A klasszi­ kus mechanikában, Galilei és Newton szerint, ha egy vonatkoz­ tatási rendszerben érvényes a tehetetlenség törvénye, akkor a hozzá képest egyenes vonalú, egyenletes mozgást végző másik rendszerben is érvényben marad a törvény. Ezek az inerciarend­ szerek. (Egy, a külvilágtól teljesen elzárt fülkében ülve nem tu­ dom megállapítani, hogy a fülke áll-e, vagy valamely jármfívön egyenes irányban egyenletesen mozog-e a földhöz képest.) Az ilyen rendszerekben elvégezve egy kísérletet, mindig ugyanarra az eredményre jutunk. Ilyen gondolatok vezettek a relativitás elvének megfogalmazásához. HJA fizikai tudomány alapja, hogy a természeti törvény nem függhet attól a koordináta-rendszertől, amelyet a törvényhez kapcsolódó jelenség leírásához választottunk. Ehhez kapcsolódik, hogy a klasszikus fizikában abszolút időt feltételezünk, amely a fizikai tér eseményeitől függetlenül telik. Másként megfogalmazva: egy. esemény időtartama független at­ tól, hogy azt milyen koordináta-rendszerhez kapcsolódva mér­ jük.

RELATIVITÁSELMÉLET

6.2. A FÉNYSEBESSÉG ÁLLANDÓSÁGÁNAK ELVE A korábbi fizikai eredmények egy csoportja látszólag ellent­ mond a relativitás elvének. A fénynek és minden elektromágneses hullámnak - ellentét­ ben például a hanghullámokkal - nincs szükségük anyagi hor­ dozóra, a fény pl. vákuumban is terjed. A klasszikus fizika a fény terjedéséről kétféle elméletet dolgozott ki. A korpuszkuláris elmélet alapján a fényt a fényforrás egy jel­ legzetes sebességgel kilövi, és így az a fényforráshoz képest ál­ landó sebességgel mozog (6.1. ábra). c-v

c+v I v''

6.1. ábra

Ezt azonban könnyen cáfolhatjuk. A kettős csillagok egyik tagja közeledik, másik távolodik a Földtől. Ezért az el­ mélet szerint a két csillagról különböző sebességgel érkezik hozzánk a fény (6.2. c+v c-v ábra). Bár a csillagok sebessége tícsi a fény sebességéhez képest, a nagy távolság következtében a látszólagos pályagörbén olyan nagy szabálytalanságok jönnének létre, amit már észlelnénk. Ilyet azonban soha nem vettek észre. Hasonlóan erős érv a különböző fénysebességek ellen a következő. Az elekt­ 6.2. ábra romágnesség elméletének leírásakor Maxwell a fénj^, mint elektromágneses hullámot értelmezte, és a sebességét is megjósolta. A leírás alapján azonban a fényse­ besség nem függhet a fénj^orrás mozgásától. Minthogy az el­ mélet minden más jelenséget a Valóságnak megfelelően ír le, ezt a következtetést is el kell fogadnunk.

_____________________RELATIVITÁSELMÉLET__________________307

A fény terjedésének másik lehetséges klasszikus leírása meg­ kívánja egy mindent átható közeg, az éter jelenlétét, amely kö­ rülvesz minket, és kitölti a világegyetemet. Az éterelmélet sze­ rint a fény ebben ^ közegben terjed, mint a hang más közegben, vagyis a fény sebessége az éterhez képest állandó. Az elmélet azonban azonnal új kérdést vet fel. Ha az éterhez rögzítünk inerciarendszert, akkor ebben milyen sebességgel mozog a Föld? Egyáltalán megtalálható-e ez a rendszer, amiben a fény sebessége állandó? Elvben könnyű ilyen kísérletet kitalálni. Vegyünk egy rövid időre felvillanó fénj^orrást. A villanás után bizonyos idővel megvizsgáljuk, hogy a fény különböző irányokban milyen távol­ ságra jutott. Ha ez a távolság minden irányban ugyanakkora, akkor a kísérletet nyilván a nyugvó éterrendszerben végeztük, a fény sebessége minden irányban megegyezett. Ha viszont a kí­ sérletet nem ebben a rendszerben hajtottuk végre, akkor az éterelmélet szerint más eredmény adódik. A kísérlet technikailag igen nehéz, hiszen kis eltéréseket kell mérni. Először 1887-ben Michelson és Morley végezték el meg­ felelő pontossággal. Felhasználták, hogy a Föld a Nap körül és így a nyugvó éterhez képest is - hozzávetőlegesen 30 000 m/s sebességgel mozog, így a Földön különböző irányokban mérve más-más sebességet kellett volna kapniuk. A sebesség azonban minden irányban azonos volt, az észlelések között nem tapasz­ taltak időkülönbséget. A kísérletet azóta lézerrel, nagyobb pon­ tossággal is elvégezték, amelynek során az éterhez képest 9 m/s sebességet is ki lehetett volna mutatni. Az eredmény azonban továbbra is negatív. Az éterelméleten kívül annyira nem volt más lehetőség, a helyzet feloldására, hogy a tudósok sokat próbálkoztak az el­ mélet megmentésén. Feltételezték például, hogy a Föld maga körül magával ragadja az étert, és ezért nem mozog ahhoz ké­ pest. Volt azonban más jelenség is, ami ezt a lehetőséget kizár­ ta. Egy csillagból jövő fény észlelésekor a távcső tengelyét kissé más irányba kell beállítani, attól függően, hogy a Föld milyen mozgást végez a beérkező fény irányához képest (6.3. ábra). Ez a jelenség viszont egyszerűen úgy magyarázható, hogy a Föld a nyugvó éteren keresztülhalad, anélkül, hogy azt magával ragad-

308

RELATIVITÁSELMÉLET

ná. Ez az aberráció jelensége, amit már a XIX. században ismer­ tek. Az előzőek és más eredmények külön-külön még illeszthetők lettek volna az éterelmélettel, de egyszerre már nem. így az éter feltételezését el kellett vetni. Mindezekután a fénysebesség állandósága, ámi az elektro­ mágneses elmélet tiszta következménye, továbbra is ellentétben áll a relativitás elvével, hiszen a relativitás elve szerint egymás­ hoz képest egyenletesen mozgó koordináta-rendszerekben kü­ lönböző fénysebességeket kellett volna mérni.

6.3. AZ EGYIDEJŰSÉG RELATIVITÁSÁNAK ELVE A mindennapi életben természetesnek érezzük, hogy két ese­ ményről el tudjuk dönteni; egyszerre történtek vagy sem. Ha azonban mélyebben belegondolunk, mit is jelent az egyidejű­ ség, kiderül, hogy nein is olyan könnyű pontosan megfogal­ mazni. Tisztázzuk először, hogyan tudjuk eldönteni két különböző helyen bekövetkező eseményről, hogy egy időpillanatban zaj­ lottak-e le vagy nem? Az egyidejűség definíciójától csak azt az egyet kell megkövetelnünk, hogy minden esetben adjon módot annak eldöntésére, hogy az állítás igaz vagy sem. Az egyik lehetséges megállapodás a következő. Ha az A és B pontban felvillanó lámpák fénye az A B szakasz felezőpontjá-

_____________________RELATTVITÁSELMÉLET_________________ 309

bán álló megfigyelőhöz egyszerre érkezik, akkor a két villanás egyszerre történt. Ez a definíció attól is független, hogy milyen sebességgel haladt a fény az egyik vagy a másik szakaszon, hi­ szen az érkezésnél a kérdést mindig el lehet dönteni. Valamely esemény időpontja az esemény helyén levő óra állása. Képzeljük el, hogy egy koordináta-rendszerben sűrűn egymás mellett azonos gyorsasággal járó órák vannak. Ha fel­ tesszük egy rendszeren belül az órák szinkronizálásának meg­ történtét, egységes rendszeridőre tettünk szert. Két esemény egy koordináta-rendszerben így akkor egyidejű, ha rendszeride­ jük megegyezik. E A szinkronizálás végrehajtható például a következő mó­ don. A vonatkoztatási pontból t - 0 pillanatban indítunk egy fényjelet. Az innen r távolságra álló megfigyelőnek előre meg­ mondjuk, hogy ha a fényjelet meglátja, állítsa be az óráját r/c ér­ tékre. Ilyen módon bármely két órát össze lehet hangolni (6.4. ábra).

Ugyanígy két, egymáshoz képest egyenletesen mozgó rend­ szer óráit is össze lehet hangolni. Legyen kpt rendszer, amely­ nek X és x ’ tengelyei összeesnek és a K ’ rendszer az x ’ tengely mentén mozog jobbra (6.5. ábra). Amikor az 0 és 0' pontok egybeesnek, indítsunk egy fényjelet! A P-ben álló megfigyelő a K rendszer szerint r/c, a K rendszer szerint r’lc értékre állítja be az órát, hiszen ekkor 0 és 0’ már nem esik egybe. A két idő ter­ mészetesen nem azonos, két különböző rendszeridő lesz. Egysé­ ges világidőről tehát nem lehet beszélni! [p] Vizsgáljuk most a következő példát! Egyenes pályán hala­ dó vonal mellett a töltés A és B pontjában fényvillanás történik

310

RELATIVITÁSELMÉLET

F' vonat ----------- - h -V F

6.6. ábra (6.6. ábra). Az A B távolság felezőpontjában (F) álló megfigye­ lőhöz a két villanás fénye egyszerre érkezik. F azt mondja, hogy a villanások egyidejűek. A z A és B helyeknek a vonaton is az A és B helyek felelnek meg. Legyen F’ a gördülő vonaton dcz A és B helyek”távolságának felezőpontja. F’ egybeesik F-el a villanások pillanatában, a töltésről nézve. Azonban F’ a B pont felé halad, így annak fé­ nyét előbb észleli, mint az A pont villanásának fényét. így az egyidejűségről adott definíció szerint ő a B pontbeli villanást korábbinak mondja, mint a másikat. Ebből tehát az látszik, hogy olyan események, amelyek a töl­ téshez képest egyidejűek, a vonathoz képest nem azok, és meg­ fordítva. Ez az egyidejűség relativitásának elve. E Minden koordináta-rendszernek megvan a saját külön ide­ je. Az időadatnak csak akkor van értelme, ha megadjuk a vo­ natkoztatási rendszert is, amelyre az időadat vonatkozik. A fizika a relativitás elméletének létezése előtt hallgatólago­ san mindig feltette az: abszolút idő létét, vagyis az időadatok függetlenségét a vonatkoztatási rendszertől. Ez a feltevés tehát nem tartható fenn.

_____________________ RELATIVITÁSELMÉLET__________________3 ^

6.4. A SPECIÁLIS RELATIVITÁS ELMÉLETE Az előző három fejezetben felvázolt elvek és azok ellentmon­ dásossága régóta foglalkoztatja a fizikusokat, többen megpró­ bálták a nehézségeket feloldani. A probléma lényege a következő: Ha a ^ koordináta-rendszerben a K ’ koordináta-rendszer v sebességgel mozog, akkor fordítva, a K ’ rendszerben a - v se­ bességgel mozog. Megadhatunk tehát olyan összefüggéseket, amelyek egy adott pontnak az egyik rendszerben kifejtett koor­ dinátáit megadja a másik rendszer koordinátáival és a v sebes­ séggel. Az ilyen összefüggések a transzformációk, mert az egyik rendszer koordinátáiból áttranszformálnak a másik rendszer koordinátáiba^ [t]A klasszikus fizikában az ún. Galilei-féle transzformációt használták; Xl

=

x —vt

X — Xi

+vt

yi^y

y = yi

Z l =

Z =

Z

Zi

Ennek megvolt az a jó tulajdonsága, hogy a relativitás elvé­ nek megfelelően, az összefüggések szimmetrikusan alkalmazha­ tók bármely irányú transzformációra, csak a koordinátákat kell kicserélni. Vagyis ez azt jelenti, hogy a két rendszer egyenran­ gú. A klasszikus fizika természettörvényei mindkét rendszerben azonos alakúak. Azonban mihelyt alkalmazni akarjuk a fény esetére a Galilei-transzformációt, akkor az derül ki, hogy a fény sebessége nem lenne azonos minden rendszerben. Ez pedig lát­ tuk, hogy ellentmond a tapasztalatnak. A Galilei-transzformáció másik hibája, hogy abszolút időt feltételez, vagyis olyan idő­ mérést, amely független a rendszertől. Mint láttuk, ez sem tartható. A relativitáselmélet megszületését Albert Einstein (18791955) 1905-ben megjelent cikkével szokás azonosítani.

312__________________RELATIVITÁSELMÉLET_____________________

Einstein meg akarta tartani a relativitás elvét és a fénysebes­ ség állandóságának elvét. Ehhez keresett megfelelő transzfor­ mációs képleteket. Ekkor már ismert volt Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) eredménye, amelyet 1904-ben publikált. Ő dn elektron mozgá­ sának leírásához - pusztán formai okokból - olyan összefüggé­ seket használt, amelyek alkalmasak arra, hogy általánosan is le­ írják két egymáshoz képest egyenletesen mozgó koordinátarendszer adatai közötti kapcsolatot. Ezek az összefüggések az­ óta is Lorentz-transzformáció néven ismertek. [t]a Lorentz-transzformáció: X — vt Xi

—

—

--------------------

X\-{-V t X

yi = y

y = yi

Z i =

Z =

Z XV

Zi XiV

.2

V

(Meg kell említeni Jules Henri Poincaré (1854—1912) nevét, aki folytatta Lorentz munkásságát. Mindketten használták a kérdéses összefüggéseket, de nem vonták le a megfelelő követ­ keztetéseket, nem tudtak elszakadni a klasszikus fizikai szemlé­ lettől. Eredményeik mégis rendkívül fontosak voltak a relativi­ táselmélet kialakulása szempontjából.) A Lorentz-transzformációt alkalmazva a fény esetére azt kapjuk, hogy a fénysebesség minden egymáshoz képest egyen­ letesen mozgó rendszerben azonos, amint azt az elektrodinami­ kából kapjuk. A transzformáció az időt, mint negyedik koordinátát használ­ ja a három térbeli koordináta mellett, amely függ a többitől.

_____________________ RELATIVITÁSELMÉLET__________________313

azaz függ a vonatkoztatási rendszertől. Vagyis nem használ ab­ szolút időt, minden rendszernek saját ideje van. A transzformáció valóban szimmetrikus az egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszerekre, akkor is, ha azok relatív se­ bessége megközelíti a fénysebességet. A két rendszer kis relatív sebessége esetén pedig határesetként megkapjuk a Galileitranszformációt. Ilyen módon a két rendszerben minden termé­ szettörvény egyforma alakú. Végül tehát a Lorentz-transzformáció fenti tulajdonságait fel­ ismerve Einstein volt az, aki határozottan és tudatosan szakított a klasszikus tér és az abszolút idő fogalmával, elvetve ilyen mó­ don az éterhez rögzített, kitüntetett inerciarendszer fogalmát és létét. Teljesen egyenrangúnak tekintett minden inerciarend­ szert, vagyis mindegyik koordináta-rendszerben helyet foglaló megfigyelő az ő rendszerében nyugvó órák által mutatott időt fogadhatja el a helyes, az igazi időnek. Ugyanakkor tudomásul veszi, hogy a másik rendszer helyes, igazi ideje nem egyezik az ő idejével. Einstein 1905-ben kidolgozott elméletét speciális relativitáselméletnek nevezzük. A speciális szó arra utal, hogy kizárólag egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó inerciarendszere­ ket hasonlítunk össze a tárgyalás során. A relativitáselmélet szerint a világunk a tér-idő, négydimen­ ziós világ, amelyben az idő ugyanolyan koordináta, mint bárme­ lyik tengely menti távolság. Az e felfogásnak megfelelő mate­ matikai leírást Minkowski dolgozta ki 1908-ban megjelent cikkében.

6.5. A SPECIÁLIS RELATIVITÁS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYE A továbbiakban olyan K és K\ koordináta-rendszerekben fo­ galmazzuk meg a tételeket bizonyítás nélkül, amelyek egymás­ hoz képest a fénysebességet megközelítő nagyságú, egyenletes sebességgel mozognak. A tételek a tér-idő szerkezetéből és a Lorentz-transzformációból következnek. Egy esemény hely- és időkoordinátái a K és rendszerben nem lesznek egyformák.

314__________________RELATIVITÁSELMÉLET_____________________

különbözni fognak. Azok az események, amelyek a K rendszer­ ben egjddejűek, a rendszerben nem azok, és viszont. H] Relativisztikus tömegnövekedés A kis sebességnél mért tömeg, az úgynevezett njmgalmi tö­ meg ( m o ) , mellett a nagy sebesség esetén jelentőssé válik a sebességtffl függő tömegnövekedés, amely végső soron mozgási energiával van kapcsolatban. mo m =

A tehetetlen tömeg e képlet szerinti növekedése azt a ténj^ juttatja kifejezésre, hogy véges m nyugalmi tömegű testek (ré­ szecskék) sebessége nem érheti el a fénysebességet. Az ezt megközelítő sebességű test sebességének további növelése egy­ re nagyobb munkavégzést (energiabefektetést) igényel. Ennek a jelenségnek kísérleti kimutatásához nagy sebességre van szükség, mert csak akkor lesz a változás észlelhető. Ilyen sebességek csak igen kis részecskék (elektronok, protonok) esetén valósulhatnak meg. A tömegnövekedést atomi részecs­ kékkel, számtalan kísérletben tapasztalták, így ez a relativitáselmélet legpontosabb bizonyítéka.

6.6. AZ ENERGIA ÉS A TÖMEG EKVIVALENCIÁJA Ha két részecskét nagy sebességgel ütköztetünk, akkor létre­ jöhet egy nagyon fontos jelenség: az ütközés után egyes esetek­ ben a részecskék nem repülnek szét, hanem egy új részecske jön létre. Ha ez az új részecske állva marad, akkor az ő tömege nem az eredeti két test njoigalmi tömegének összege, hanem a megnövekedett tömegek összege. Ez tehát azt jelenti, hogy a megnövekedett mozgási energiával megnövekedett tehetetlen tömeg is együtt jár.

_____________________RELATWITÁSELMÉLET_________________ 315

Más esetekben az ütköztetések során éppen az ellenkezőjét tapasztalták. Az ütközés eredményeként keletkezett új részecs­ ke tehetetlen tömege kisebb volt, mint az eredeti két test nyu­ galmi tömegének összege, ugyanakkor nagy energiájú sugárzás szabadult fel. Ekkor viszont a felszabadult energiával együtt tö­ meg is eltávozott. Ma már a fenti jelenségek mindennaposak a részecskekutatás területén, sőt, azokat ki is használják új részecskék előállítá­ sára. E A tömeg és energia szoros összetartozásának, a tömeg­ energia ekvivalenciájának ténye az E — m(? összefüggés alapján, a relativitáselmélet egyik legtöbbet em­ legetett, klasszikus törvénye. A relativitáselmélet szerint a tömeg- és az energiamegmaradás törvényei nem különálló tör­ vények, hanem a tömeg-energia ekvivalenciának megfelelően egyetlen megmaradási törvényről, az anyagmegmaradás tör­ vényéről beszélhetünk.

6.7. AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJA Ebben a fejezetben betekintést adunk az általános relativitáselmélet lényegébe, amelyet Einstein a speciális relativitásel­ mélet szükségszerű folytatásaként 1916-ban foglalt össze. Az elmélet kialakulásában három problémakör játszott fon­ tos szerepet. Már a múlt században foglalkoztatta a tudósokat az a kérdés, hogy a tér vajon megfelel-e az euklideszi geometriának. Léte­ zett már ugyanis az euklideszitől eltérő (görbült felületeken és nem síkon dolgozó), ellentmondásmentes rendszert alkotó geo­ metria. A mérési pontatlanságok miatt azonban akkor még nem tudták ezt a kérdést eldönteni. Lehet-e egyáltalán erre a kérdésre válaszolni? Észrevennénk-e, ha görbült térben élünk? Példaként nézzük a következőket;

316

RELATIVITÁSELMÉLET

Egy gömbfelszínen rajzoljunk két kört (6.7. ábra), majd raj­ zoljunk szabályos hullámvonalat a két kör közé! Könnyű belát­ ni, hogy a két kört a hullámvonal nem azonos távolságonként éri el. Az előbbihez hasonló ábrát lehet rajzolni egy üvegnyakszerű felületen (6.8. ábra). Ha az üveg tengelyére merőleges két kör közé a felületen szabályosan rajzoljuk a körökre merőleges vo­ nalakat, akkor azok távolsága a két kör mentén nem lesz azo­ nos.

Hasonlót mértek nem olyan régen a valóságban. (Ma már a kísérleti eszközök fejlettebbek, kis eltéréseket is képesek mér­ ni). Egy 13 m magas víztorony teteje és alja között ugráltattak egy jelet. A két helyen a beérkezések közötti időkülönbségek

_____________________RELATIVITÁSELMÉLET_________________ 317

nem voltak azonosak. Ez a kísérleti tapasztalat a tér görbültségére utal. A másik ismeret, amely erősen befolyásolta az elmélet kiala­ kulását, a mechanikából ismert. Nevezetesen, hogy a testek te­ hetetlenségének mértéke, a tömeg, és a gravitáló hatásuk mér­ téke, a gravitáló tömeg, minden lehetséges mérési pontosság mellett egymással arányosnak bizonyul. Úttörő munkát végzett ezen a téren Eötvös Loránd (1848-1919), aki a múlt század vé­ gén olyan pontossággal mérte meg a két tömeg egyenlőségét, hogy azt az utóbbi évtizedekben tudták csak felülmúlni. Felmerül a kérdés tehát, hogy a két tömeg arányossága eg­ zakt módon érvényes-e? A harmadik kérdéskör, amely az elmélet kialakulásához ve­ zetett, a következő. A klasszikus fizika szerint a minden csillag­ tól távol lévő űrhajó, amelynek hajtóműve nem működik, za­ vartalanul mozog, benne súlytalanság van. De a Föld körül keringő űrhajóban, amelynek szintén nem működnek a hajtó­ művei, a Föld felé szabadon esik, és így benne szintén súlytalan­ ság van. Ennek az az oka, hogy minden test, függetlenül az anya­ gi összetételétől, egyformán gyorsul a gravitációs térben. így tehát az űrhajós, ha kívülről nem kap információt, a be­ zárt kabinban nem tudja megállapítani, hogy az ő vonatkoztatá­ si rendszere a Föld körül keringve, gyorsuló mozgást végez-e, vagy végtelen távol van-e minden jelentős tömegtől, és nem gyorsul. Márpedig, ha a gyorsuló rendszer nem egyenrangú, nem ekvivalens az inerciarendszerrel, akkor a kabinban kísérle­ ti úton különbséget tudnánk tenni a két rendszer között. Einstein a leírtak alapján radikáhs következtetéshez jutott. H] Ha a gravitáció jelenlétét a tér-idő szerkezeti tulajdonságá­ nak tekintjük, akkor a végtelen távoli űrhajó, a keringő űrka­ bin vagy a szabadon eső kabin mozgását egyformán tekinthet­ jük zavartalan, szabad mozgásnak. A mozgás pályája minden esetben a tér-idő adott tartományának megfelelő „legegyenesebb vonal”, az úgynevezett geodetikus vonal, amely persze eukUdeszi értelemben nem feltétlenül egyenes. így tehát a tér-idő sem euklideszi általában, hanem görbült.

318__________________RELATIVITÁSELMÉLET_____________________

A tér-idő szerkezete geometriailag tükrözi a gravitáció jelen­ ségét. Ebben az értelemben a tömegek nem gravitációs mezőt keltenek maguk körül, amellyel megzavarják a többi test zavar­ talan mozgását, hanem elgörbítik a tér-időt, amelyben már más lesz a„legegyenesebb vonal”. így tehát a gravitáló tömeg fogal­ mára nincs szükség, csak tehetetlen tömeg van. A z általános relativitáselmélet így nem csak az egymáshoz ké­ pest tetszőleges mozgást végző koordináta-rendszerek ekviva­ lenciáját mondja ki, hanem ezen túlmenően, a gravitáció új.ér­ telmezését is adja. Az elmélet következménye, hogy a fény is a tér szerkezeté­ ből adódó vonalon mozog. Nagy tömegű csillag közelében elha­ ladva a fény elhajlik az egyenestől. A másik következmény, hogy a fény valamely tömeget el­ hagyva energiát veszít, mivel le kell győznie annak a tömegnek a fény súlyos tömegére gyakorolt gravitációs hatását. Az ener­ giavesztés a hullámhossz növekedésével jár, ez a hatás a gravitá­ ciós vörös-eltolódás. E Azok a kísérleti tények, amelyek az általános relativitásel­ méletet erősítik, már évtizedek óta ismeretesek. Ezek a fény út­ jának elgörbülése a csillagok mellett, a vörös-eltolódás a nehéz csillagok színképében és a Merkúr perihéliumának elfordulása. A fizikusok az utóbbi néhány évtizedben nagy erőkkel dol­ goznak az általános relativitáselmélet (ami az univerzum nagy­ léptékű szerkezetéről ad információkat) és a kvantumfizika (ami az elemi részecskék leírását adja) egyesítésén, de ez a munka még a mai napig nem vezetett eredményre.

7. CSILLAGÁSZAT

7.1. A CSILLAGÁSZAT RÖVID TÖRTÉNETE A csillagászat az egyik legrégebben fejlődő természettudo­ mány. A történelemből,^ megmaradt írásos dokumentumokból tudjuk, hogy már az első kultúrnépek - babilóniaiak, egyipto­ miak, kínaiak, indiaiak, mayák, aztékok - is sok-sok csillagásza­ ti megfigyelést végeztek. Ennek egyik oka, hogy szükségesnek mutatkozott egy meg­ bízhatóan előre számítható gyakorlati időbeosztás, melyből később a különböző időszámítások kifejlődtek. Bár semmi is­ meretük sem volt az égitestek mozgásának fizikai törvényszerű­ ségeire vonatkozóan, a hosszú évszázadok alatt felhalmozott megfigyelési anyag alapján a Nap, a Hold és az első öt bolygó égi helyzetét közelítőleg meg tudták jósolni. Kövessük végig röviden a csillagászati ismeretek gyarapodá­ sának történetét. A babilóniaiak különböző táblázatokban pontosan rögzítet­ ték az égi eseményeket, a bolygók mozgását, s ezek az adatok a mai tudós számára is fontosak. Az egyiptomiak a naptárkészí­ tésben és a csillagászati geodéziában értek el jelentős eredmé­ nyeket. A kínaiak nem törekedtek egységes csillagászati rend­ szer kiépítésére, hanem csupán bizonyos események - nóvák, üstökösök, fogyatkozások - megfigyelésére és leírására speciali­ zálták magukat. Kiemelkedik azonban az i.e. II. sz.-ban kelet­ kezett elmélet, amely a Földet gömbnek, a világmindenséget pedig végtelennek tekintette. Közép-Amerika ősi kultúrnépei közül különösen a mayáknál találkozunk igen régi megfigyelé­ sekkel, mint pl. egy i.e. 3379-ben lejátszódott napfogyatkozás leírása. Érdekes és máig megmagyarázatlan, hogy a maya épü­

320_____________________ CSILLAGÁSZAT_________________________

leteken talált csillagászati megfigyelések sokkal régebbi idő­ pontokat jelölnek, mint az épületek régészetileg becsült kora. A görögöknél találkozunk először azzal az igénnyel, hogy nem elégednek meg a puszta megfigyeléssel, hanem az okokat is keresik. Ők alkották meg az első bolygómozgás-elméleteket, magas fokra fejlesztették a deduktív gondolkodást, amely álta­ lános alapelvekből kiindulva próbál mindent megmagyarázni. A számoszi Arisztarkhosz (i.e. 320-250) geometriai okosko­ dás és szögmérés alapján rájött arra, hogy a Nap sokkal na­ gyobb, mint a Föld, s ezért a Napnak kell a központban állnia. Nagy érdeme, hogy ő nemcsak filozofált, hanem mért is. Hipparkhosz (i.e. 190-125) és Ptolemaiosz (i.u. 90-160) új­ fent geocentrikus nézeteket vall. Szerintük a Föld áll a közép­ pontban, és az égitestek egyszerű vagy összetett körpályákon, körülötte keringenek. Ez a felfogás egészen Kopernikuszig egyeduralkodó maradt. Ahogy telt az idő és sokasodtak az észlelések, egyre nyilván­ valóbbá vált, hogy a ptolemaioszi rendszer nem tökéletes. Egy­ re több kört kellett eiz összetett pálya leírásához bevezetni, hogy a számítás az észlelések eredményével megegyezzen. A fordulatot Nikolausz Kopernikusz (1473-1543) elmélete jelen­ tette, aki észrevette, hogy a heliocentrikus (napközéppontú) rendszer sokkal egyszerűbb magyarázatot ad a bolygómozgás leírására, mint a geocentrikus. A bolygópályát azonban ő is kör­ nek képzelte, s ez ellentmondáshoz vezetett. A heliocentrikus elmélet végső formáját Johannes Kepler (1571-1630) fogalmazta meg, aki a róla elnevezett törvények­ ben foglalta össze a bolygómozgás alapelveit. Erre az időre esik a távcső feltalálása is, amit komoly tudo­ mányos eredménnyel Galileo Galilei (1564-1642) alkalmazott először. Segítségével felfedezte a Jupiter négy legfényesebb holdját, a Hold hegyeit, a napfoltokat és a Nap tengely körüli forgását. Elvetette az ókori szaktekintélyekre való puszta hivat­ kozás bizonyító erejét, s hangsúlyozta a megfigyelések szüksé­ gességét. A Kepler utáni évszázadot Newton neve fémjelzi. Az általa megfogalmazott gravitációs törvény segítségével magyarázatot kapott a bolygók mozgása, az árapály jelensége, valamint az

_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ ^

égitestek forgástengelyének kúpfelületen való mozgása, a pre­ cesszió is. A megfigyelésekben lényeges szerep jutott a távcsőnek és az egyre tökéletesebb csillagászati óráknak. Olaf Römer (16441710) először mérte meg a fény terjedési sebességét. Ticho Brache (1546-1601) obszervatóriuma után megépülnek az első nagy csillagdák: 1670-ben a párizsi, néhány évvel később a greenwichi és 1700-ban a berlini. 1706-ban Edmund Halley (1656-1742) először számolta ki egy üstökös pályáját, amelyet később róla neveztek el. A pályaszámításokból derült ki, hogy az üstökösök nem légköri jelensé­ gek - mint pl. a sarki fény - hanem önálló égitestek. 1781-ben William Herschel (1738-1822) felfedezte az Uránuszt, az első olyan bolygót, amit az ókoriak nem ismertek. Ugyancsak ő, 1783-ban felismerte, hogy a Nap sem mozdulat­ lan, így nem lehet többé a világegyetem középpontjának tekin­ teni. A Nap is elveszítette tehát kiváltságos helyzetét. A pályaszámítás kifejlesztésével az XVIII. század második felében és a XIX. század elején egész sor kiváló matematikus foglalkozott: Euler, d ’ Alembert, Lagrange, Laplace. A XIX. századot az jellemzi, hogy ekkor vált igazi szaktudo­ mánnyá az asztronómia, s kezdődött meg önálló tudomány­ ágakra való felbomlása is. Az égi mechanika a század közepén érte el addigi legnagyobb sikerét a Neptunusz felfedezésével. Ezt a bolygót az Uránusz pályaháborgásain alapuló számítások után találták meg tácsővel a megadott helyen. Ugyanez ismétlő­ dött meg 1930-ban a Plútóval. A század második felére esik az asztrofizika kifejlődése, ekkor kezdik rendszeresen kutatni az égitestek fizikai jellemzőit. Végül, a távcső felfedezésével szinte egyenrangú jelentőségű volt a színképelemzésnek, mint kutatási eljárásnak a bevezetése. A XX. század elejétől váltak isifleretessé a csillagok hőmér­ sékletére és méreteire vonatkozó adatok, és jelentősen fejlődött a csillagrendszerek kutatása. A század második évtizedében ke­ rült sor a Tejútrendszer méreteinek helyes meghatározására, s a húszas években bizonyosodott be, hogy az extragalaxisok óriási birodalma létezik. Napjaink kutatására az a jellemző, hogy összetalálkoztak a

322_____________________ CSn^LAGÁSZAT________________________

csillagászok és az elemi részecskék vizsgálatával foglalkozó el­ méleti fizikusok. A v/tógegyeíem jelenségeinek magyarázatához egyre inkább szükség van a kvantummechanika, a kvantum­ elektrodinamika és a relativitáselmélet eredményeire, s ugyanak­ kor a csillagvilág kutatása egyre újabb és újabb tényeket, isme­ reteket ad a részecskekutatók kezébe, hiszen a világmindenség legnagyobb részén az anyag számunkra egészen különleges - la­ boratóriumban megvalósíthatatlan - körülmények között van jelen. Ma úgy tűnik, hogy elég átfogó képünk van a világegyetem­ ről. A rádiótávcsövekkel sok-sok fényévre, egyre messzebbre „látunk”. Minél messzebbről érkezik az információ, a világegyetem annál régebbi állapotáról ad hírt. Mivel így az időiben is visszatekintünk, tehát remény van arra, hogy az univerzum kialakulásáról is egyre többet tudhatunk meg. A fizika tudomá­ nyának fejlődése pedig segíti a megfigyelt jelenségek megérté­ sét. Könnyen beláthatjuk, hogy a csillagászat óriási hatást gyako­ rolt a többi tudományág fejlődésére. Elősegítette az időmérés egységesítését, a földrajzi koordináták és irányok meghatározá­ sát. Általa fejlődött az optika és a meteorológia, és nem utolsó­ sorban a matematika. Sok-sok új ismeretet adott a kémiának, a fizikának és a filozófiának. A mesterséges égitestek által hajtott közvetlen haszon pedig már ma is lemérhető a geológia, geográ­ fia, oceonográfia, hidrológia, a mezőgazdaság, a biológia, a táv­ közlés, valamint a technika különböző ágazatai, mint pl. a mik­ roelektronika területén. Mielőtt rátérnénk a csillagászati ismeretek tárgyalására, te­ kintsük át röviden azokat az információs csatornákat, amelyek a fizikusok és csillagászok rendelkezésére állnak. A közönséges optikai távcsőről már volt szó. Bár szerepe ma sem elhanyagolható, bizonyos távolságnál messzebbről távcső­ vel nem tudunk információt szerezni, így inkább a közelebbi objektumok vizsgálatára használják. Részben az optikai vizsgálattal függ össze a színképelemzés asztronómiai használata is. A csUlagok színképében jól elkülö­ níthetők az egyes elemekre jellemző spektrumok, s így informá­ ciót kapunk a csillagok kémiai összetételéről.

_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ 3M

A rádiócsillagászat születésének időpontját 1931-re tehetjük, amikor először észleltek jeleket 15 m-es hullámhosszon, a Te­ jútrendszer közepéből. 1946 óta a ráióinterferencia módszerével már pontosabban megállapítható a rádióhullámokat kibocsátó objektumok helye. Ezen objektumok között külön említést ér­ demelnek a kvazárok és a pulzárok. A pulzárok változó csilla­ gok, róluk még később szólunk. A kvazárok nagyon nagy fé­ nyességű csillagok, amelyek erős rádiósugárzást bocsátanak ki. 1963-ban megállapították róluk, hogy színképük erősen eltoló­ dik a vörös felé, ami a Doppler-effektussal magyarázva azt je­ lenti, hogy nagy sebességgel távolodnak tőlünk. Valószínűleg ezek tekinthetőik; univerzumunk legtávolabbi objektumainak. A rádiócsillagászat érdekes eredménye volt a világegyetem fejlődése szempontjából, mikor 1965-ben Arho Penzias és Ró­ bert Wilson felfedezték az univerziun mindenütt jelenlevő, min­ den irányból érkező ún. háttérsugárzását. Ez olyan energiájú rá­ diósugárzás, amely egy 2,7 K hőmérsékletű, egyensúlyi álla­ potban lévő gáz elektromágneses sugárzása. A mai rádiótávcsö­ vek, amelyek tulajdonképpen hatalmas antennák, olyan távol­ ságokból fognak jeleket, vag5ds olyan régi jeleket érzékelnek, amikor még nem voltak galaxisok. Földünket állandóan éri a világűrből a kozmikus sugárzás, amely nagyon nagy energiájú részecskék árama. A csillagászat­ nak az az ága, amely ezek vizsgálatával foglalkozik, a röntgencsillagászat. Végül említést kell tennünk egy fejlődésben lévő kutatási ág­ ról, a neutrínócsillagászatról. Korábban beszéltünk már arról, hogy a neutrínó - éppen az anyaggal való nagyon gyenge köl­ csönhatása következtében - igen nagy áthatoló képességű, ilyen módon közvetlen információt tud hozni a galaktika mélyéről vagy egy csillag belsejéből. Igaz, hogy éppen emiatt a befogása, detektálása is nehézségeket okoz.

324

CSILLAGÁSZAT

7.2. A NAPRENDSZER A Naprendszer középpontja és legfontosabb energiaforrása a Nap. Vele a következő fejezetben részletesen foglalkozunk. A hozzánk legközelebbi égitest a Hold. Átlagos távolsága a Földtől 384 000 km. A Hold felszínén különböző alakzatok fi­ gyelhetők meg: hegységek, kráterek, lapos síkságok. Nincs lég­ köre, hiszen a szökési sebesség itt mindössze 2,4 km/s, s ezért a molekulák termikus mozgása elegendő ahhoz, hogy elhagyják a Holdat. Hasonló ok miatt nincs víz sem. A levegő és a víz hiá­ nya azt is jelenti, h o ^ nincsenek olyan romboló erők, amelyek a Föld felszínén az egyenetlenségeket eltüntetik. Romboló ha­ tásuk az akadálytalanul lehulló meteoroknak van. Ezért a Hold felszíni alakzatai sokkal élesebben jelentkeznek, mint a Földön a felszín változásai. Míg a Föld átmérője 12 740 km, a Hold átmérője 3476 km. Mérete - anyabolygójához képest - kiugróan nagy, ha a többi nagybolygó holdjával összehasonlítjuk. Ennek döntő szerepe volt a földi élet kialakulásában, mivel ez okozza a jelentős ár­ apály jelenséget. A jelenség modellszerű magyarázata a követ­ kező. Tegjóik fel az egyszerííség kedvéért, hogy a tenger egyenlete­ sen borítja a Föld szilárd felszínét (7.1. ábra). A szilárd gömbre a Hold vonzóereje úgy hat, mint egy szilárd testre, vagyis a gra-

Hold

7.1. ábra

CSILLAGÁSZAT

325

vitációs erő támadáspontja a Föld középpontjába tehető. A szi­ lárd kéreg minden pontja, így A és B pont is egyforma a gyorsu­ lással rendelkezik. A tenger folyékony anyagára azonban ez a feltevés már nem vonatkoztatható;. Az A pont messzebb van a Holdtól, mint a B pont, így az A pontban a tenger anyagán lét­ rehozott p gyorsulás kisebb, a B pontban a q gyorsulás na­ gyobb. A tenger 1 kg-jára a tengerfenék 1 kg-jához képest tehát a Föld középpontjától kifelé mutató gyorsulás érvényes. Az árapályerők eloszlását a Föld felszínén a 7.2. ábrán láthat­ juk. Kiderül tehát, hogy a Holddal megegyező és ellentétes ol­ dalra áramlik a víz, a másik két oldalon pedig csökken a tenger­ szint. A Föld tengely körüli forgásával változnak a helyszínek, s így egy adott helyen kb. hatóránként váltja egymást a dagály és az apály. Mikor a Hold felszíne még olvadt állapotban volt, ugyanilyen hatást gyakorolt rá a Föld. Az árapálymozgásokkal egjóittjáró súrlódás hatására a keringési idő csökkenhetett. Va­ lószínűleg ez az oka annak, hogy a Hold jelenleg annyi idő alatt fordul meg a saját tengelye körül, mint amennyi idő alatt meg­ kerüli a Földet, és így mindig ugyanazt az oldalát mutatja fe­ lénk. A nagybolygók a Naprendszer legfontosabb égitestjei a Nap után (7.3. ábra), amely körül közel egy síkban keringenek.

326

CSE^LAGÁSZAT

Bolygó

Naptól való távolság

Átmérő

Tömeg

Közepes sűrűség

Merkúr Vénusz Föld Mars Jupiter Szaturnusz Uránusz Neptunusz Plútó

0,39 0,72 1,00 1,52 5,20 9,54 19,18 30,06 39,6

0,40 0,99 1,00 0,54 11,26 9,45 4,19 3,89 0,5

0,042 0,81 1,00 0,108 317 95 15 17 0,18

0,70 0,81 1,00 0,72 0,24 .0,13 0,23 0,29 0,3

Hőmérsék­ let a Nap által meg­ világított oldalon 460 400 22 -1 3 -1 4 0 -1 5 0 -1 6 0 -1 6 0

°C °C °C °C °C °C °C °C

Számuk kilenc, jellegzetes adataikat - szokásosan a Föld ada­ taihoz viszonyítva - a 7.4. ábrán láthatjuk. A táblázatból kitűnik, hogy a nagybolygók két csoportba so­ rolhatók. A Föld típusú bolygókra a lassúbb tengely körüli for­ gás, kisebb tömeg, nagyobb közepes sűsűség jellemző. AJupiter típusú bolygókra ezek ellenkezője igaz. Ennek a megállapítás­ nak a bolygórendszerek kialakulásával kapcsolatban lesz jelen­ tősége.

O O

oo

Foglaljuk össze röviden az egyes bolygók jellemző tulajdon­ ságait! A Merkúrnak légköre gyakorlatilag nincs, a Naphoz va­ ló közelsége és kis tömege miatt. Pályája aránylag eln5nilt eUipszis, amelynek tengelye a többi bolygó hatása miatt elmozdul. Nagyon magas a felületi hőmérséklete. Felszínét csak durván is­

_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ 3 ^

merjük, mivel a Nap közelsége miatt nehéz megfigyelni. Közve­ tett mérésekből tudjuk, hogy méreteihez képest magas hegysé­ gek találhatók rajta. A Vénusz népies neve Esthajnalcsillag. Felszíne nem látható, átlátszatlan felhőburok veszi körül. Több mesterséges szonda vizsgálta felületét és légkörét. A felhőréteg felső határán a hő­ mérséklet 220 K, az alsó határon 370 K, a felszínen kb. 700 K. Megállapítható volt, hogy a Vénusz felszíne elég egyenetlen, nagy domborzati különbségek találhatók rajta. A légköri nyo­ más a normál földi nyomásnak több mint 100-szorosa. A boly­ gónak jelentős mágneses tere nincs. A légkör, amely döntően szén-dioxidból áll, a ráeső fény 76%-át visszaveri. A magas fel­ színi hőmérsékletet az üvegházhatás magyarázza. A Mars sok szempontból hasorűít a Földhöz. Pályasíkja és egyenlítője szintén szöget zár be egymással, így itt is vannak év­ szakok. Légköre vékony és átlátszó, néha sárga, fehér és kék színű felhőket figyelhetünk meg benne. Légköre főleg széndi­ oxid. A felületen a légköri nyomás 0,017-szerese a normál nyo­ másnak, ami megfelel a Föld légköri nyomásának 20 km maga­ san. Felszínét meglehetősen jól ismerjük. Jellegzetesek a szárazjégsapkák a téli féltekén, a sötétebb medencék és a több száz kilométer hossztí árkok. A Marsnak két kis tömegű holdja van, a Phobos és a Deimos. A Jupiter a Nap után a Naprendszer legjelentősebb égiteste. Nincsenek rajta évszakok, felszínét nagy tömegű légkör veszi körül, amiben ammóniát, metánt, hidrogént és héliumot fedez­ tek fel. Felhői sávokban helyezkednek el, valószínűleg a gyors tengely körüli forgás miatt. Jellegzetes képződmény felszínén az ún. vörös folt, amely az egyenlítői sávhoz képest mozog. A Jupiternek erős mágneses tere van, s a földihez hasonló su­ gárzási öv veszi körül. 12 holdja van, amelyek közül a legismer­ tebbek az Európa, az lo, a Ganimedes és a Kallistó. Az utóbbi kettő nagyobb a Merkúrnál. A Szaturnusz sok tekintetben hasonlít a Jupiterhez. Légköre hasonló összetételű és bár gyengébb mértékben, de csíkszerű felhőket is találhatunk rajta. 10 holdja és egy gyűrűrendszere van. A holdak közül legérdekesebb a Titán, amely abból a szempontból kivételes a Naprendszerben, hogy légköre van.

328_____________________ CSILLAGÁSZAT________________________

A gyűrűrendszer három különálló részgyűrűre bomlik. Spekt­ roszkópiai méréssel igazolni lehetett, hogy a gyűrűk homok­ szem vagy legfeljebb kavics nagyságú részecskékből állnak, amelyek körpályán keringenek a bolygó körül. Lehetséges, hogy a gjóírű a Szaturnusz egy felrobbant holdjának maradvá­ nya. Az Uránuszról és a Neptimuszról, nagy Földtől való távolsá­ guk miatt keveset tudunk. Légkörük hasonlít a Jupiterére. Az Uránusznak 5, a Neptunusznak 2 holdját ismerjük. A Plútót 1930-ban fedezték fel. Keveset tudunk róla. Ha mé­ retét és tömegét nézzük, a Föld típusú bolygókra hasonlít. Ezért okoz fejtörést a csillagászoknak, hogy hogyan lehet ez a legkül­ ső bolygó. A XVIIL században misztifikációs törvényekbe igyekeztek a bolygók Naptól való távolságait beilleszteni. Egy ilyen empiri­ kus szabály szerint a Mars és a Jupiter között hiányzik egy boly­ gó. Ehelyett ezéií a területen nagyon sok kisbolygót találtak. A legnagyobb közülük a Ceresz, átmérője 768 km. A legkisebb ismert kisbolygók km-es átmérőjűek. Statisztikai számítások szerint az ennél nagyobb kisbolygók száma mintegy 100 000, és össztömegük 0,5 földtömeg. Egyes kisbolygók - pl. az Erosz, az Ám or és az Ikarusz - időnként közel kerülnek a Földhöz. A Naprendszer leglátványosabb égitestei az üstökösök. Éven­ te kb. egy tucatot lehet megfigyelni, ezek közül 6-7 új, 4-5 pedig már korábban is megfigyelt üstökös. Az üstökös magja tan-es nagyságrendű, szilárd részecskékből és a rájuk fagyott gázokból áll. A Nap közelébe érve a gáz elpárolog, s külön vagy a porral egjóitt a csillag sugárnyomása a Nappal ellentétes oldalra taszít­ ja a gázt. így keletkezik a csóva. Az üstökösök túlnyomórészt elnyújtott ellipszispályákon keringenek, de a bolygók hatására ez hiperbolikussá válhat, s ekkor elhagyják a Naprendszert. A meteorrajok valószínűleg felbomlott üstökösök maradvá­ nyai. Ha a Föld egy ilyen meteorraj pályáján keresztülhalad, ak­ kor gyakori meteorhullást észlelünk. A nagy sebességgel a Föld légkörébe érkező meteor a súrlódás következtében fényjelen­ ség kíséretében elég. Már néhány milligramm tömegű meteor is látható fényjelenséget okoz. A nagy meteorok maradványai le­ esnek a Földre, ezek a meteoritok. Ezek vizsgálata érdekes is­

______________ CSILLAGÁSZAT_____________________ ^

mereteket nyújt a Földön kívüli világ anyagi összetételéről. Évente mintegy 2000 ilyen meteorit esik a Földre, átlagosan 100 kg tömeggel. Bizonyos számításoknál figyelembe kell venni az ún. interplanetáris anyagot, amely a Naprendszer szimmetriasíkjában elhe­ lyezkedő por- és gázfelhő. Ide tartozik még a bolygóközi térben állandóan jelenlevő kozmikus sugárzás is. Végül vizsgáljuk meg egy bolygórendszer kialakulásának le­ hetséges folyamatát! Le kell szögeznünk először, hogy a Naprendszer nem egy vé­ letlen, egyedi jellegű folyamat eredménye. Ezt bizonyítja, hogy a bolygórendszer és a kettős vagy többszörös csillagrendszer na­ gyon hasonló, lényegében csak a résztvevők tömegében van kü­ lönbség. Kettős és többsörös csillagrendszer pedig nagyon sok van a Tejútrendszerben. Bár biztosak lehetünk abban, hogy a galaktikában számtalan, a Naprendszerhez hasonló bolygórendszer van, mégis csak min­ tegy 10 csillag esetében tudták közvetve meggyőződni arról, hogy a csillag körül sötét kísérő, feltehetően bolygó kering. Közvetlen tanulmányozásra tehát csak a mi bolygórendszerünk áll rendelkezésre. Ezért a Naprendszer keletkezésének kérdése a csillagászat egyik legnehezebb problémája. A Föld korát geológiai módszerekkel 4-5 milliárd évre lehet becsülni. Továbbá megállapítható, hogy közben az ide másod­ percenként érkező sugárzás mennyisége nem változott lényege­ sen. A Nap is tehát legalább ennyi idős. A bolygók keletkezésével foglalkozó elméletek a bolygókozmogóniai elméletek. Mindegyiknek a Naprendszer jelenlegi ada­ taiból kell kiindulni, de nem lehet tudni, hogy melyik adat álta­ lános és melyik egyedi. Ilyen adatok: a Föld típusú bolygók közelebb vannak a Naphoz, mint a Jupiter típusú bolygók (a Plútó inkább elszökött holdnak tekinthető). A Jupiter típusú bolygók mintegy 100-szor nagyobb tömegűek, kémiai összetéte­ lük hasonlít az interplanetáris anyag összetételéhez, a bolygók mind közel egy síkban és egy irányban keringenek. A Nap las­ san forog, a bolygók összes perdülete sokkal nagyobb, mint a Nap impulzusnyomatéka stb. Az elméleteknek mindezeket figyelembe kéne venni. Valójá-

330

CSILLAGÁSZAT

bán egyik elméletről sem állíthatjuk, hogy kifogástalanul leírja a Naprendszer keletkezését. Inkább csak részkérdésekre van­ nak elfogadható magyarázataink. Még az sem dönthető el egyértelműen, hogy a bolygók a Nap anyagából vagy a csillag­ közi gázból keletkeznek-e? Az elméleteknek több csoportja ismeretes. A katasztrófa tí­ pusú elméletek azt feltételezik, hogy a bolygók anyaga a Napból vagy egy másik csillagból szakadt ki, a két csillag találkozásá­ nak következtében. A csillagok találkozása azonban olyan rit­ ka, hogy így a bolygórendszer kialakulása véletlen jelenség len­ ne. Az elméletek másik csoportja szerint a bolygók anyagát a Nap a csillagközi gázfelhőkből szedte össze, rajtuk áthaladva. Azonban az ilyen befogás is nagyon kis valószínűséggel követ­ kezik be. A harmadik, legvalószínűbb elméletcsoport szerint a Nap és a bolygók ugyanabból az anyagból, ugyanazon folyamat során jöttek létre. A bolygókozmogónia olyan elméletek összességét jelenti, amelyek kizárólag spekulatív módszerekkel, de a feltevések alapján komoly és igen nehéz számításokkal születnek. A kér­ dés tisztázása W to s lenne, mivel így a Föld belső szerkezeté­ nek megismerése és közvetve az ipari nyersanyagok felkutatása is lehetségessé válna.

7.3. A NAP, A LEGKÖZELEBBI CSILLAG A Nap egy csillag a sok közül, de átlagos jellemzők folytán a többi csillag sok tulajdonságát is hordozza. Tanulmányozása te­ hát - közelsége miatt - sok vonatkozásban a csillagokra vonat­ kozó általános ismereteinket is bővíti. Adatok a Napról. sugara; i? = 6,96 • 10* m = 696 000 km tömege: M = 2 • 10^° kg a felületi gravitációs gyorsulás: g = 2,7 ■10^ m/s^ középpontjában a hőmérséklet: T = W K a felületi hőmérséklet: T' = 5780 K

_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ 331

Érdemes megemlíteni még, hogy az állócsillagokhoz viszo­ nyítva a Nap mintegy 25 napos periódussal forog saját tengelye köríil. Forgása azonban nem egyenletes, az egyenlítői tartomá­ nyok nagyobb, a póluskörnyéki tartományok kisebb szögsebes­ séggel mozognak. A Napról a földfelszín minden négyzetméterére 1 kW teljesít­ ménnyel érkezik az energia. Ez annyit jelent, hogy az emberi­ ség jelenlegi villamosenergia-szükségletét körülbelül egy ha­ zánk területével azonos nagyságrendű területre eső napenergia fedezni tudná. Még impozánsabb számadatot kapunk akkor, ha meggondoljuk, hogy a Nap felületének minden négyzetmétere 60 MW teljesítményt sugároz szét az űrben, ez a teljesítmény egy kisebb erőmű teljesítményével mérhető össze. Az egyszerű ember azt képzeh, hogy a Nap energiatermelése valamiféle „égés”. Könnyen kiszámítható azonban, hogyha a Nap anyaga a legkitűnőbb rakétahajtóanyag-keverék lenne, égése akkor sem volna többre elegendő, mint néhány ezer év. 1929-ben, számítások alapján mutattak rá a helyes megoldásra, miszerint a Nap és más csillagok energiatermelése a nagyon ma­ gas hőmérsékleten létrejövő magreakciók (magfúzió) következ­ ménye. A pontos folyamatokat csak az első gyorsítókkal vég­ zett kísérletek segítségével tudták leírni 1938-ban. Két alapvetően lehetséges reakciót fogalmaztak meg. Az egyik, ún. p-p ciklus vázlatos rajza és lépései a 7.5. ábrán látha­ tók. A másik, az ún CN-ciklus vagy karbon-ciklus vázlatos rajza a 7.6. ábrán látható. Ez utóbbiban a szén csak mint katalizátor szerepel. Mindkét folyamat lehetséges. A Napnál kisebb tömegű csilla­ gokban a p-p reakció gyakorisága nagyobb, így ez ad nagyobb teljesítményt. A Napnál nagyobb tömegű csillagokban nagyobb a hőmérséklet, százmiUió fok körüli, megnövekszik a CN-ciklus gyakorisága, így ott ez dominál. A csillag élete során a hidrogén mennyisége tehát elfogy, azaz elfogy a nukleáris fűtőanyag. Ekkor más fúziós reakciók is belépnek, egészen addig, míg a fúziós reakció energiafelszaba­ dulással jár. A magfizika fejezetben láttuk, hogy a folyamat a vas környékén lévő elemeldg tart. Ehhez azonban egyre na­ gyobb hőmérséklet szükséges.

332

CSILLAGÁSZAT

CSILLAGÁSZAT

333

A múlt század közepén H. Helmholtz (1821-1894) a Nap energiatermelésének új elméletét fogalmazta meg. Feltevése szerint a Nap egy hatalmas izzó gázgömb, amely felületének su­ gárzása közben állandóan energiát veszít, s közben összehúzó­ dik. Az összehúzódásért felelős gravitációs erő munkája adja te­ hát az energiát. Kiszámította, hogy ez a folyamat a kémiai reakcióknál sokszorta több energiát termel, s hogy ezzel a Nap - jelenlegi fényessége mellett - néhány százmillió évig fennma­ rad. Akkor ez elegendően hosszú időtartamnak látszott. Ma tudjuk, hogy a Föld életkora legalább ötmilliárd év. Az összehú­ zódás tehát nem adhat elegendő energiát. A radioaktivitás felfedezése és annak a felismerése, hogy az atommagokban elraktározott energia milliószorta több az addig ismert folyamatokban felszabaduló energiánál, új színben tün­ tette fel a Nap energiaforrásának problémáját. Csupán az okoz gondot, hogy a természetes radiokatív bomlás nagyon lassú fo­ lyamat. Ha ezzel akarjuk magyarázni a Nap sugárzási teljesít­ ményét, akkor azt kéne feltételeznünk, hogy teljes egészében uránból, tóriumból és ezek bomlástermékeiből áll. Márpedig ez nincs így. A Nap közvetlen megfigyelése csak a felszínére terjedhet ki, mivel a belsejébe a szem nem képes behatolni. A Nap központi tartományairól mégis többet tudunk, mint a Föld magjáról, pe­ dig az itt van a lábunk alatt, a Nap pedig 150 millió km-re. En­ nek az a magyarázata, hogy mindkét égitest esetén elméleti megfontolásokkal jutunk következtetésekre, ehhez viszont is­ merni kell az anyag viselkedését a megfelelő körülmények kö­ zött. A Föld belsejében, a szilárd kéreg alatt rendkívül nagy nyomáson lévő olvadt anyag van, aminek igen nehéz az elméleti leírása. Azonban a Nap belsejél?en fennálló körülmények kö­ zött a közönséges anyagot képező molekulák, atomok csaknem teljesen alkotóelemeikre esnek szét. A heves hőmozgásban szinte csupasz atommagokat és szabad elektronokat találunk, így a Nap anyagát, sűrűségétől függetlenül, ideális gáznak te­ kinthetjük. Ezzel a modellel pedig a leírás viszonylag egyszerű­ vé válik. Vizsgáljuk meg a Nap szerkezetét! A legbelső tartomány a Nap sugarának mintegy 10%-áig tér­

334

CSILLAGÁSZAT

jed, itt játszódnak le a magfolyamatok. A következő rétegben a magban keletkezett energia röntgen- és gammasugárzás formá­ jában, folytonos elnyelődés és újrakeletkezés útján terjed a kül­ ső hidegebb tér felé. A felszín alatt, mintegy 100 000 km mélyen kezdődik az a tartomány, amelyen keresztül már nemcsak su­ gárzás, hanem áramlás útján is vándorol az energia kifelé. Ezek az áramlások a felszínen foltokat okoznak, a meleg, felfelé áramló anyag fényesebb, a hidegebb, lefelé áramló anyag sötétebb foltként látszik. A következő, 400 km vastag réteg a fotoszféra. Az itt keletke­ ző sugárzás már gyakorlatilag változatlanul halad át a külső tar­ tományokon. A réteg vastagsága a Nap sugarához képest el­ enyésző, ezért szokták ezt a Nap felszínének nevezni. A felszín fölött találjuk az egyre ritkuló kromoszférát, amely­ nek vastagsága a Nap méretével azonos nagyságrendű, és foko­ zatosan megy át az interplanetáris anyagba. Ez tekinthető a Nap légkörének. Itt születnek a protuberanciák, ezek a felszín fölé emelkedő, néhányszor 100 000 km-es hosszúságú gázoszlo­ pok. Itt jelennek meg időnként fényes foltok, amelyeket napki­ töréseknek hívunk. Ilyenkor nagy mennyiségű korpuszkula dobódik ki a Napból, amelyek a Földet is elérhetik, s hatással vannak az élővilágra, zavarják a rádiózást. Még egy érdekesség kapcsolódik ide. A fotoszférában a gázatomok olyan szorosan vannak összezárva, hogy mindenféle frekvenciával, folytonos sugárzást bocsátanak ki. A kromoszférában azonban a gáz már nincs annyira összenyomva, így minden gázatom gerjeszthető, s a rá jellemző frekvenciájú sugárzást elnyelheti. Legelőször /. Fraunhofer (1787-1826) mérte gondosan a Nap színképét, s figyelte meg a folytonos színképben a sok ezer sötét vonalat. A Nap színképében tehát elnyelési színképet is találunk. A Napban lezajló folyamatokkal kapcsolatban még nagyon sok kérdés vár válaszra. A kutatás tovább folyik, hiszen a Nap megismerésével más csillagok viselkedésére is magyarázatot ta­ lálhatunk.

_________________________CSILLAGÁSZAT_____________________ 33S

7.4. A CSILLAGOK KELETKEZÉSE ÉS FEJLŐDÉSE Az eddigiekben azt láttuk, hogy Napunk jelenleg hirdogénjét fogyasztja, miközben középpontjában feldúsul az átalakulás ter­ méke, a hélium, amely egy magasabb hőmérsékleten végbeme­ nő átalakulás nyersanyaga lehet. Érdemes megvizsgálni azon­ ban azt a kérdést, hogy mitől emelkedett a hőmérséklete ilyen magasra, s mi történik egy csillaggal, ha elfogy benne a „tüze­ lőanyag”? A kérdések megválaszolásához a meglevő csillagok katalogi­ zálása ad segítséget. A különböző tulajdonságú csillagokat úgy lehet tekinteni, mint különböző korú csillagokat. Az egyik most születik, a másik éli életét, a harmadik az öregedés jeleit mutat­ ja. Ahogy egy város lakosságának ismeretében felállíthatjuk egyetlen ember életútját, ugyanúgy a különböző csillagok isme­ retében Igen nagy valószínűséggel nyomon tudjuk követni egyetlen csillag fejlődésének útját. A csillag kialakulása a kozmikus gázfelhő gravitációs össze­ húzódásával indul meg. Az első fázisban a gravitációs energia a részecskék mozgási energiáját növeli. A csillag anyaga kezdet­ ben szinte akadálytalanul esik össze, későljb a növekvő nyomás hatására a folyamat lelassul. Az összehúzódás során a gázfelhő belseje fokozatosan melegszik, először vörösen izzik, majd egy­ re fényesebb. Mikor a központi tartomány eléri a néhány millió fokot, beindulnak a magreakciók, megszületett a csillag. Életé­ nek mintegy 99%-át ebben az állapotban tölti, mikor hidrogén­ jét fogyasztja. Ebben az állapotban a csillag egyensúlyban van, mérete lényegesen nem^változik. Ha megszűnik a középpont­ ban az energiatermelés, a sugárnyomás már nem tart egyensúlyt a gravitációs hatással, újabb összehúzódás lép fel. Ekkor a csil­ lag megint felmelegszik, s belsejében beindul a hélium „égése”. A hidrogén átalakulása viszont a külső rétegekre teijed át, ami­ nek küvetkeztében ezek a külső rétegek kiterjednek. A csillag ugyan belül most melegebb, de n a ^ a felülete, ezért a felület hőmérséklete alacsonyabb. Az ilyen csillagot nevezzük vörös óriásnak. A mi Napunk körülbelül 5 milliárd év múlva éri el ezt az álla­

336_____________________ CSILLAGÁSZAT________________________

potot. Ekkor sugara majd túlnyúlik a Merkúr, a Vénusz pályá­ ján, de lehet, hogy Földünk is a belsejébe kerül. Elfogyasztva a héliumot, a csillag megint összehúzódik, s a felmelegedés hatására további fúziós reakciók indulhatnak be. A külső rétegek minden ilyen lépésnél kitágulhatnak, s a csil­ lag, mint fényes nóva jelenik meg az égbolton. Az ilyen rövid ideig tartó felvillanások alatt a csillag tömegéből mindig nagy mennyiségű anyag áramlik ki az űrbe. A csillag anyaga egyre sűrűbb lesz, végül fehér törpévé válik. Ekkor felszíni hőmérséklete magas, de kis felülete miatt nem túl fényes csillag az égbolton. Innen kapta a nevét. Az ilyen csil­ lag lassan kihűl, szürke, jellegtelen objektummá válik. A leírt befejezés a másfél naptömegnél nem nagyobb csilla­ gokra jellemző. Sokkal érdekesebb az ennél nagyobb tömegű csillag sorsa. Nagy tömeg esetén &fehér törpe állapot nem stabil. Az összehúzódás tovább tart, a csillag belseje tovább melegszik, míg eléri az egymilliárd fokot. Ekkor már a periódusos rendszer összes eleme kialakulhat. Ez az állapot instabil, a csillag a feles­ leges tömegtől a külső burok robbanásszerű szétszórásával sza­ badul meg. Ez a jelenség, a szupernóvarobbanás, az egyik leg­ látványosabb a világegyetemben. Az égbolton váratlanul új csillag jelenik meg, fényessége olyan nagy lehet, hogy világos nappal is észrevehető, összemérhető egy egész galaxis fényessé­ gével. A történelem három nevezetes szupernóvát jegyzett fel. 1054-ben kínai csillagászok figyeltek meg egy ilyet. A másodi­ kat Tycho de Brahe jegyezte fel 1572-ben. A harmadik szuper­ nóvát 1604-ben Kepler írta le. A robbanás után megmaradó csillag további sorsa a gravitá­ ció hatására történő összeroppanás. Elegendően nagy tömeg esetén a sűrűség olyan nagyra nőhet, hogy a csillag anyaga az atommag sűrűségéhez lesz hasonló. Ez a neutroncsillag. ^ A szupernóvarobbanás nagy jelentősége, hogy úgy látszik, a nehézelemek létrejöttének feltételei a robbanás előtt álló csillag­ ban vannak meg. A robbanáskor ezek az elemek szétszóródnak a világűrben. A Naprendszerben is találhatunk ilyen elemeket, tehát minden valószínűség szerint az itteni anyag része volt egy szupernóvarobbanásnak.

CSILLAGÁSZAT

0 GV

I

337

10"22gr/cm^

l

T -1 0 K

/

\

I / Gravitációs összehúzódás

/ \

T=15-10® K 9 = 100 gr/cm^ p = 2-1011 at

30-10® év

y R - R nqp

5000-10^ év

^

H ->H e fúzió

10 000-10® év Gravitációs összehúzódás Vörös óriás

I

▼

5-10® év

\

(

I I

V V

/

] \

100-10® év

L

R=100-Rnqp

H e -^ C fúzió

100-10® K M>1,4 M nop

X '\'\

1000-10® Gv

Szupernóva

o

O

I

o

I^~2-103^ gr R-2-10® cm

> Neutroncsillag

9~2-10’’^gr/cm^^ Fekete lyuk

7.7. ábra

338_____________________ CSILLAGÁSZAT________________________

Úgy tűnik, hogy a neutroncsillag még nem a végső stádiuma egy nagy tömegű csillag életének. Elképzelhető, hogy olyan mértékben sűrűsödik össze az anyag, hogy közeléből az intenzív gravitációs tér már semmilyen anyagi információt sem enged ki. A fénynek is van tömege, tehát a fény sem szabadulhat az ilyen csillag környezetéből. Érthetően ezért nevezik ezt fekete lyuk­ nak. Az ilyenről közvetett jelenségek útján szerezhetünk tudo­ mást. A csillag életútját a 7.7. ábrán rajzoltuk meg vázlatosan, fel­ tüntetve az egyes állapotokban eltöltött időt és néhány jellegze­ tes adatot. Csillagok ma is keletkeznek a világegyetemben, amire a na­ gyon rövid életű csillagok létezése a bizonyíték. Ugyanakkor sok milliárd éves csillaghalmazokat is ismerünk, a világegyetem tehát dinamikusan változik.

7.5. GALAXISUNK ÉS SZOMSZÉDAI Tiszta éjszakákon, a mesterséges fényektől távol, ha az ég­ boltra tekintünk, a sok pontszerű csillagon kívül egy fényes sá­ vot is látunk. Ezt a galaktika vagy más néven a Tejút halványfé­ nyű csillagai és ködfelhői alkotják. A Tejútrendszer 100 milliárd csillaga közül csak kevés látszik szabad szemmel, a többiek fé­ nye elmosódottan, együttesen alkotja a fényes sávot. Ehhez a sok-sok csillagból álló családhoz tartozik Napunk is. Mielőtt, a galaktikáról beszélünk, praktikus okokból vezes­ sünk be egy új távolságegységet. 1 parsec (pc)=3,26 fényév. A galaktika alakját oldalról és felülről a 7.8. ábrán rajzoltuk meg. A központi mag körül 12 spirálkar figyelhető meg. A mi Napunk az egyik ilyen spirálkarban van, a központtól 10 kpc tá­ volságra, a szimmetriasíktól 15 pc távolságra. A szimmetriasík­ tól nagyobb távolságra egyedülálló csillagok és csillagcsoportok figyelhetők meg. A szimmetriasík közelében található a csilla­ gok össztömegének néhány százalékát kitevő diffúz intersztelláris anyag. A Nap közelében, mintegy 15 pc sügarú gömbben 290 csilla­ got ismerünk. A legközelebbi állócsillag a Proxima Centauri,

339

CSILLAGÁSZAT

X

X X

X

X

X

Nap 5 kpc

^ 30 kp c ^

X

"

X , OldalnezGt

\

\

\ / Felütnézet 7.8. ábra

tőlünk 1,3 pc távolságra van. Az égbolt legfényesebb csillaga, a Szíriusz 4,2 pc távolságra van tőlünk. A közeli csillagok megfigyeléséből statisztikai módszerekkel arra lehetett következtetni, hogy a csillagoknak mintegy a fele kettős vagy többszörös rendszer tagja. Ez azt jelenti, hogy a rendszer alkotói dinamikai egységet alkotnak, és a gravitáció törvényeinek megfelelő mozgást végeznek egymás körül. Érdekesek még a változó csillagok. Vannak olyanok, ame­ lyek a fényességüket, és mint később kiderült, a sugarukat is változtatják, a másik csoporjuk a pulzárok, a lüktető csillagok.

340_____________________ CSILLAGÁSZAT________________________

Ezek igen szabályos időközönként, néhány másodperc perió­ dussal, impulzusokat bocsátanak ki a rádiófrekvenciás tarto­ mányban. A kis periódusidő arra enged következtetni, hogy a pulzárok kis kiterjedésű objektumok, esetleg szupersűrűségű neutroncsillagok. A galaktika azonban nem különleges képződmény. A műsze­ reinkkel elérhető térrészben - ami kb. 2 milliárd pc sugarú gömb - mintegy 10 milliárd darab. Tejútrendszerünkhöz többékevésbé hasonló, ún. extragalaxis található. A galaxisok nem töltik ki egyenletesen a teret. Általában kisebb-nagyobb csoportosulásokat, ún galaxishalmazokat alkot­ nak. A Tejútrendszer is egy kisebb csoport tagja. E csoporthoz két nagy spirális és 15 kisebb galaxis tartozik. A két nagy spirá­ lis galaxis a Tejútrendszer és az Androméda-köd, amely táü n k 690 kpc távolságra van. A kisebb galaxisok közül a déli fél­ gömbön látható Nagy és Kis Magellán Felhő fekszik hozzánk a legközelebb. Az előbbi 50 kpc, az utóbbi 60 kpc távolságra ta­ lálható. Csillagvilágunk tehát igen tágas és nagyon gazdag, még sok felfedezés vár a kutatókra. A legújabb mérések arra utalnak, hogy a látható anyag csak néhány százalékát alkotja az univer­ zum anyagának, a többi az úgynevezett sötét anyag. A kutatá­ sok most arra irányulnak, hogy a sötét anyag természetét felku­ tassák.

7.6. A VILÁGEGYETEM KIALAKULÁSÁNAK ELMÉLETE Az általános relativitáselmélet alapegyenleteinek csak egy tá­ guló vagy összehúzódó világegyetemet szolgáltató megoldása van, illetve a kettő közötti aszimptótikus átmenet lehetséges. A csillagok színképének eltolódása a vörös felé azonban egyér­ telműen a tágulást igazolja. A tömeg mintegy létrehozza magá­ nak a teret. Ez persze nem jelenti azt, hogy mi vagyunk a közép­ pontban. Hasonló a jelenség ahhoz, mintha egy átlátszó, felfújódó léggömb felszínén lévő pontból néznénk a felszínen lévő többi pontot - mindegyiket távolodni látjuk. A tágulásból

CSILLAGÁSZAT

341

azonban következik a gondolat, hogy az univerzum anyaga va­ lamikor nagyon kis helyre volt összesűrítve. Ebből a gondolat­ ból származik a ma legvalószínűbbnek tartott elmélet, amelyet a következőkben leegyszerűsítve vázolunk. Az univerzum egy nagy robbanással kezdi létezését. Az anyag ebben az állapotban protonok, neutronok, elektronok, pozitronok, fotonok és neutrínók tízezermillió fokos közelítőleg homogén keveréke. A robbanás durván tízmilliárd évvel ezelőtt történt. A tágulás kezdetben fantasztikus gyorsasággal folyik. Az első századmásodpercben a protonok és neutronok száma még közel egyenlő, egy másodperc múlva azonban a protonok javára tolódik el a mérleg, míg elérkezik az anyagtömeg egy olyan állapotba, amikor 70% hidrogénből és 30% héliumból áll. Innen már valóban kozmikus léptékkel mérhető időintervallu­ mok következnek. A térben a lényegében homogén eloszlású hidrogén- és hélium­ atomok ionizált állapotúak, és szoros kölcsönhatásban van­ nak a fotonokkal. Azt szokták mondani, hogy ekkor a részecskesugárzás-átalakulások még folytonosan mennek végbe, az ál­ landóan jelen levő nagy energiájú sugárzás szétszakítja az ato­ mos szerkezeteket. Az univerzum azonban rohamosan tágul, és ezzel együtt gyorsan hűl, mint táguló gáz. Mikor a hőmérséklet 4000 K-t ér el, az ionizációs fok erősen lecsökken, és így a semleges gáz köl­ csönhatása a fotonokkal már elhanyagolható. A sugárnyomás megszűnése után folytatódhat a kezdeti százmillió fényév kiter­ jedésű besűrűsödések torábbi összehúzódása a gravitáció hatá­ sára. Létrejönnek az első struktúrák, a galaxishalmazok. Eze­ ken belül az áramlások további sűrűsödéseket okoznak, amelyek összehúzódását a gravitáció okozza. Létrejönnek a ga­ laxisok, a csillaghalmazok, majd a csillagok. A jelenségek részletes vizsgálata, a számítások magyarázatot adhatnak a galaxisok diszkoszhoz hasonló alakjáról, sőt a for­ gásukat is megindokolják. Jogos lehet a kétkedés a tudósok bátorságát látva, mikor a la­ boratóriumban kapott ismereteket felhasználva, tízmilliárd évre visszanyúlva igyekeznek a folyamatokat tized- vagy századmá­ sodperc pontossággal meghatározni. Vajon mennjdvel hihetó'bb

342

________________ CSILLAGÁSZAT________________________

ez az elképzelés a különböző teremtésmítoszoknál?-Az igazo­ lást most az jelenti, hogy az elmélet számot tud-e adni az észlelt jelenségekre, érvényes lesz-e majd az új tapasztalatokra, s kü­ lönösen ad-e útmutatást azok keresésére? Ha igen, akkor hitele megközelíti a klasszikus fizika magyarázatainak hitelét. Nézzük meg ezek után, hogy jelen pillanatban milyen ismere­ tek támasztják alá ezt az elméletet! A legfontosabb az univer­ zum első fejezetben említett, minden irányból érkező sugárzá­ sa, amelyet 1965-ben találtak meg. Ez a rádiósugárzás egy 2,7 K fokos háttérsugárzásnak felel meg. A tízmilliárd évvel ezelőtti sok millió fokos egyensúlyi sugárzásnak a világegyetem tágulá­ sa közben éppen ilyen mértékben kellett lehűlnie. A többi meg­ figyelés: a galaxishalmazok elméletből kiadódó mérete is a mé­ rési eredményeknek felel meg. A világegyetem tágulása konkrét mérésen alapuló elméleti következtetés. Az általunk ismert tér­ ben a hidrogén és hélium jelenleg tapasztalt aránya megegyezik az elméletből számított aránnyal, ha figyelembe vesszük a csil­ lagok eddigi működését. Természetesen léteznek más elméletek is, amelyek jogossá­ gát nem lehet elvitatni, hiszen a különleges körülmények között az általunk ismert természettörvények sem feltétlenül igazak. A fizikusok többsége mégis az itt ismertetett elméletre szavazna, amely az energia- és tömegmegmaradási törvény érvényességét tételezi fel. A jelen egyik legnagyobb csillagászati kutatási programját a világ sok obszervatóriuma közös munka keretében valósítja meg, feltérképezik a galaxisok eloszlását az egész univerzum­ ban. Remélhető, hogy a megszerzett információk alapján sok­ kal többet fogunk tudni az univerzum történetéről.

Készítette a Kaposvári Nyomda Kft. - 150947 Felelős vezető: Mike Ferenc

Sebesség, nyomás, áram..., ismerős hétköznapi fo­ galmak. Entrópia, térerősség, fúziós energia..., meny­ nyi minden van a fizikában, amit tudni kellene! Eb­ ben a könyvben, ami több mint egy lexikon, és más, mint egy tankönyv szinte mindent megtalálsz. Ez a fízikakönyv a kis diák, nagy diák, felvételire készülő diák segítségére lehet a tanulásban, és az érdeklődő felnőtt is kielégítheti kíváncsiságát.

IS B N 963 545 046 X

Ára: 550,- Ft

9 "7 S 9 t.3 5 "4 5 0 1 6 9