Gróf Gyula
HŐKÖZLÉS Ideiglenes jegyzet
Budapest, 1999
Az 1.–5. fejezet a Termodinamka részt jelenti.
2
TARTALOMJEGYZÉK 6. HŐVEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN................................................................................................................................5 6.1.A hőterjedés mechanizmusa, leírása ........................................................................................ 5 6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1.5. 6.1.6.
A hőterjedés alapvető formái ......................................................................................................... 5 Fourier-törvény, hővezetési tényező .............................................................................................. 6 Hőátadás, hőátadási tényező ........................................................................................................ 8 Síkfal, henger és gömb állandósult hővezetése, hőellenálása ...................................................... 8 Hőátvitel........................................................................................................................................ 12 Bordák (rudak) hővezetése........................................................................................................... 20
6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.5. 6.2.6.
Az alaktényező .............................................................................................................................. 25 Hőmérsékletfüggő anyagjellemzők, a Kirchoff-transzformáció.................................................. 28 Konform leképezések alkalmazása.............................................................................................. 29 Fiktív hőforrások/hőnyelők alkalmazása .................................................................................... 32 Grafikus módszer.......................................................................................................................... 35 A Relaxációs módszer ................................................................................................................... 37
6.2.Időben állandósult, hőforrás mentes hővezetés..................................................................... 25
7. HŐMÉRSÉKLET-ELOSZLÁS BELSŐ HŐFORRÁSOK ESETÉN ..............................................................................45 7.1.Időben állandósult belső hőforrások....................................................................................... 45 7.1.1. Síklemez hőmérséklet-eloszlása belső hőforrások esetében....................................................... 45 7.1.2. Belső hőforrásos, végtelen magas henger hőmérséklet-eloszlása .............................................. 47
7.2.Elektromos fűtőtestek ............................................................................................................. 49
8. AZ IDŐBEN VÁLTOZÓ HŐVEZETÉS..............................................................................................................................54 8.1.Hővezetés általános differenciálegyenlete ............................................................................. 54 8.2.A hővezetés differenciálegyenletének egydimenziós alapmegoldásai.................................. 58 8.3.Hasonlóság, dimenziótlan egyenlet ........................................................................................ 59 8.4.Hőmérséklet-eloszlás fél-végtelen testek esetében ............................................................... 64 8.4.1. A felszíni hőmérséklet ugrásszerű változása .............................................................................. 64 8.4.2. Két, különböző hőmérsékletű, fél-végtelen test érintkezése ...................................................... 66 8.4.3. Periodikusan változó felszíni hőmérséklet.................................................................................. 67
8.5.A "belső" hőellenállás nélküli testek lehűlése (felmelegedése)............................................. 69
9. KÖZELÍTŐ MÓDSZEREK .................................................................................................................................................. 71 9.1.1. Az explicit differencia módszer .................................................................................................... 73 9.1.2. Az implicit differencia módszer.................................................................................................... 74 9.1.3. A Crank–Nicolson módszer .......................................................................................................... 75
9.2.Egy grafikus módszer: a SCHMIDT-BINDER szerkesztés ........................................................ 76 9.3.Kísérleti módszerek................................................................................................................. 79 9.3.1. Homológ modell ............................................................................................................................ 79 9.3.2. Analóg modell ............................................................................................................................... 80
10. A HŐÁTADÁSI TÉNYEZŐ GYAKORLATI MEGHATÁROZÁSA................................................................................85 10.1. A hőátadás alapfogalmai .................................................................................................... 85 10.2. A hőterjedés áramló közegekben........................................................................................ 86 10.2.1. A határréteg és szerepe a konvektív hőátadásban ..................................................................... 87 10.2.2. A sebesség és hőmérséklet-eloszlás meghatározásához szükséges differenciálegyenletek ...... 89
10.3. A kísérleti eredmények általánosítása, dimenziótlan mennyiségek................................ 90 10.3.1. A differenciálegyenletek dimenzótlanítása ................................................................................. 90 10.3.2. Dimenzió analizis –Rayleigh algebrai módszere ........................................................................ 96
10.4. Hőátadás kényszeríttet áramlásnál ................................................................................... 98 10.4.1. Hőátadás vízszintes csövekben áramló közegek esetén ............................................................. 98 10.4.2. Körüláramlott testek hőátadása kényszerített áramlásnál ....................................................... 99
10.5. Hőátadás természetes (szabad) áramlásnál .................................................................... 103 10.6. Hőátadás halmazállapot változás esetén......................................................................... 105 10.6.1. Forrásban lévő folyadékok hőátadása ....................................................................................... 105 10.6.2. Hőátadás gőz kondenzációjakor ................................................................................................. 107
3
11. HŐCSERÉLŐK ..................................................................................................................................................................109 11.1. A rekuperatív hőcserélők.................................................................................................. 109 11.1.1. Az egyen- és ellenáramú hőcsere hőmérséklet viszonyai ......................................................... 109 11.1.2. A keresztáramú hőcsere hőmérséklet viszonyai ....................................................................... 111
11.2. Rekuperatív hőcserélők méretezése................................................................................. 113 11.2.1. méretezés a logaritmikus közepes hőmérséklet- különbség alapján ....................................... 113 11.2.2. A hőcserélők hatásossága (Bosnjakovic féle Φ tényező) ........................................................... 116
11.3. Csőköteges hőcserélők....................................................................................................... 120 11.3.1. Csőköteges hőcserélők közegáramlás szerinti típusai .............................................................. 120 11.3.2. Hőátadás a köpenytérben........................................................................................................... 123
11.4. Regeneratív hőcserélők ..................................................................................................... 126 11.5. Keverő hőcserélők ............................................................................................................. 128
12. HŐSUGÁRZÁS ..................................................................................................................................................................131 12.1. A hősugárzás alapjai ......................................................................................................... 131 12.1.1. Bevezetés és alapfogalmak......................................................................................................... 131 12.1.2. A hősugárzás alaptörvényei ....................................................................................................... 134
12.2. Két szilárd test közötti sugárzásos hőáram számítása................................................... 136 12.2.1. Távolságukhoz képest nagy felületek közötti hőáramsűrűség................................................. 137 12.2.2. Egymást burkoló felületek közötti hőáram ............................................................................... 137 12.2.3. Általános helyzetű felületek közötti hőáram ............................................................................ 138
12.3. Sugárzás és konvekció ...................................................................................................... 140
13. IRODALMI FORRÁSOK.................................................................................................................................................143
4
6. 6.1.
HŐVEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN
A hőterjedés mechanizmusa, leírása
6.1.1. A HŐTERJEDÉS ALAPVETŐ FORMÁI Az energia hőmérséklet-különbség következtében történő térbeli terjedése általában igen összetett folyamatok eredménye. A hő terjedésének mennyiségi leírásához a következő három elkülöníthető elemi folyamat formát szokás megkülönböztetni: 1. Hővezetés az energia térbeli terjedésének az a formája, amikor a hő egy közeg egyik - magasabb hőmérsékletű - részéből annak másik része felé történő "áramlása" során a közeget alkotó részecskék elmozdulása nem számottevő illetve rendezetlen. (Például az egyik végén melegített rúd másik vége is, felmelegszik, az energia a rúd melegebb végétől hővezetéssel jut a másik végéhez.) A hővezetés konkrét mechanizmusa a különböző közegek esetében azonban lényegesen különbözik egymástól. Gázokban az atomok, molekulák rendezetlen mozgása miatti ütközéseknek (és a diffúzió) következtében terjed az energia. A fémekben a hő két párhuzamos, majdnem független mechanizmus révén terjed, egyrészt a kristály rácsot alkotó atomok rezgése által, másrészt a szabad elektronok diffúziója révén. A nem fémes anyagok és folyadékok esetén az energia terjedése rugalmas elemi hullámok révén valósul meg. 2. Hőszállítás (konvekció) az energia térbeli terjedésének az a módja, amely a közeget alkotó részecskék rendezett elmozdulásának (áramlásának) következtében valósul meg. Az áramló közegben az energia térbeli terjedésének a (molekuláris szintű) vezetéses és –bizonyos közegekben – a sugárzásos formája is jelen van. A közeg áramlását okozhatja a hőmérséklet-különbség miatti sűrűség változásból származó felhajtó erő, ekkor szabad áramlásnak, amennyiben valamilyen külső mechanikai hatás az áramlás okozója, kényszerített áramlásnak nevezzük a jelenséget. (Például szabad áramlás a központi fűtés radiátorai által felmelegített levegő felfelé történő áramlása, míg kényszerített az áramlás a hajszárító ventilátora által a fűtő spirálon átfúvott levegő esetében.) A szilárd testek és a folyadékok (gázok) érintkező felületein keresztül történő hőterjedést hőátadásnak nevezzük. Ez a mechanizmus nem a hőterjedés külön formája, hanem hővezetés, hőszállítás és olykor hősugárzás együttes megvalósulása melletti összetett folyamat. Áramló közegek esetében a folyadékok (gázok) saját hővezetése a hőszállításhoz képest jelentéktelen az áramló közeg nagy részében, azonban a szilárd felülettel érintkező, áramló folyadék esetében mindig találunk egy vékony (határ)réteget amelyen belül a hőterjedés hővezetés révén valósul meg.
5
3. Hősugárzás az energia térbeli terjedésének elektromágneses hullámok formájában megvalósuló folyamata, ami közvetítő közeg szükségessége nélküli mechanizmus. E folyamat a hővezetéstől és hőszállítástól eltérő természetű, folyamatos energia átalakukás révén valósul meg, azaz a hő elektromágneses sugárzássá majd a tér egy másik pontján az elektromágneses sugárzás ismét hővé alakul. A terjedés mechanizmusából következően a hőmérsékletnek a terjedés irányában nem kell monoton csökkennie. (Például a Napból a Földre elektromágneses sugárzás formájában érkező energia döntő része a földfelszínen, illetve a légkörben hővé alakul.) A szobahőmérsékletű tárgyak esetében a hősugárzás szerepe sok esetben a többi energia terjedési formához képest elhanyagolható, de a hőmérséklet növekedésével egyre jelentősebbé válik. A hőterjedés összetett jelenségének elemi folyamat formákra való bontása valójában módszertani fogás, a valóságban a hőterjedés a fenti formák egyidejű kombinációjaként valósul meg, és önmagukban, tiszta formában ritkán lépnek fel. Nagyon sokszor (pl. hőveszteség kiszámítása során) elkülöníthetjük egymástól a hőszállítást és a hősugárzást, majd azok eredőjeként számíthatjuk ki a hőmennyiség tényleges értékét. A műszaki gyakorlatban sok esetben valamely hőterjedési forma lényeges túlsúlya érvényesül, ilyenkor elegendő lehet az adott (pl. csak konvektív) hőterjedés leírása. A hőterjedés mindhárom fenti formája lehet időben állandósult (stacionárius) illetve változó (instacionárius) folyamat. 6.1.2. FOURIER-TÖRVÉNY, HŐVEZETÉSI TÉNYEZŐ FOURIER (1822.) törvénye szerint egy homogén testben a hőáram a csökkenő hőmérsékletek irányába mutat, arányos a terjedési irányú, hosszegységenkénti hőmérséklet-változással és az erre az irányra merőleges keresztmetszettel. Ez az összefüggés un. empirikus törvény, azaz a jelenség, itt a hővezetés, megfigyelésén alapul. A törvény matematikailag megfogalmazva, a 6.1. ábra jelöléseivel:
dt Q! = − λ ⋅ F ⋅ , dx
(6.1)
ahol: Q! a hőáram, az F mértékegysége: W.
felületen
időegységenként
átáramlott
λ
a hővezetési tényező, az adott test anyagjellemzője, mértékegysége:
F
a hővezető keresztmetszet, mértékegysége: m2.
dt a dx
hőmérséklet-eloszlás
hely
szerinti
differenciálhányadosa
hosszegységenkénti hőmérséklet-változás, mértékegysége:
6
K m
.
energia, W m⋅ K
.
azaz
a
A hőáram és a keresztmetszet hányadosa, q! = felület-egységenkénti hőáram, mértékegysége
W , m2 ⋅ K
q! = − λ F
Q! a hőáramsűrűség, azaz a F és ezzel a FOURIER törvény:
dt . dx
(6.2) t2
t1 Q! Q!
Q! t+dt t
dx
dx x
δ
6.1. ábra FOURIER törvényhez A FOURIER törvényben bevezetett hővezetési tényező az anyag fizikai jellemzője, és azt fejezi ki, hogy mekkora a hőáramsűrűség 1 K/m hosszegységenkénti hőmérséklet-változás esetén, azaz:
λ=−
q! dt dx
.
(6.3)
A hővezetési tényező számértéke az adott anyag szerkezetétől és termodinamikai állapotától függ. Meghatározása bonyolult, többnyire valamely hővezetési folyamat laboratóriumi körülmények között megvalósított mérési eredményei alapján történik. Néhány, gyakrabban előforduló anyag fizikai jellemzőit a Függelék táblázataiban megtaláljuk, további anyagokra vonatkozó adatokat a különféle kézikönyvek tartalmaznak. (Egyes intézmények fizikai jellemzőkre vonatkozó adatbázisai az INTERNETEN keresztül is elérhetőek.)
7
6.1.3. HŐÁTADÁS,
HŐÁTADÁSI TÉNYEZŐ
A szilárd testekben lejátszódó hővezetési folyamatokat a legtöbb esetben az okozza, hogy azok a felszíni hőmérsékletüktől eltérő hőmérsékletű folyadékkal (gázzal) érintkeznek. A szilárd felszín és a folyadék határon át való hőterjedés a hőszállításnál említetteket megismételve a hőátadás. (Megjegyezzük, hogy nem csak szilárd felületen, de folyadék felszínen is történhet hőátadás.) A hőátadás alapegyenlete NEWTON nyomán
Q! = α ⋅ F ⋅ (t w − t foly ) ,
(6.4)
a szereplő mennyiségek pedig a következők: Q!
a szilárd test felszínén fellépő hőáram, W.
F
a folyadékkal érintkező felület, m2.
tw
a test felszínének hőmérséklete, °C, vagy K.
tfoly a folyadék hőmérséklete, °C, vagy K.
α
a hőátadási tényező, W/(m2K).
A test felszíne és a folyadék közötti hőáram fenti felírásakor feltételeztük, hogy a teljes felszín hőmérséklete azonos (izotermikus), és a folyadék egyetlen hőmérséklettel jellemezhető. A hőátadási tényező ilyen módon történő bevezetésével egy összetett folyamat két leglényegesebb paraméterét, a hőmérséklet-különbséget és a felületet kiemelve, valamennyi egyéb fizikai hatást (áramlás jellege, sebesség, stb.) a hőátadási tényező maga - számértékével - fejezi ki. A hőátadással részletesen a 10. fejezet foglalkozik. 6.1.4. SÍKFAL, HENGER ÉS GÖMB ÁLLANDÓSULT HŐVEZETÉSE, HŐELLENÁLÁSA A homogén anyagú, egyszerű geometriájú testek egydimenziós, állandósult hővezetésének összefüggéseit a 6.1. táblázat foglalja össze. Az egyes összefüggéseket a FOURIER törvény integrálásával kapjuk meg, részletesen ld. Műszaki Fizika II. kötet vonatkozó fejezetében. HŐVEZETÉS VÁLTOZÓ HŐVEZETÉSI TÉNYEZŐ ESETÉN A hővezetési feladatok egy részében, a testeken belüli hőmérséklet-különbségek nagysága miatt, a hővezetési tényezőt nem tekintjük állandónak. Az, hogy ez mekkora hőmérséklet-különbség esetében lesz így, attól függ, milyen pontosan kívánunk számolni és milyen mértékű a hővezetési tényező hőmérsékletfüggősége. Ez a függés sokféle lehet, a gyakorlatban többnyire a hőmérséklettel való lineáris kapcsolatot feltételezve, a λ (t ) = λ0 (1 + bt ) alakú összefüggés használata megfelelő pontosságú eredményt ad. Ebben az esetben a hőmérsékleteloszlás és a hőáram számítási összefüggések bonyolultabbak lesznek az egyszerű geometriájú testeknél is. A síkfalra vonatkozó összefüggés levezetésén mutatjuk be, hogy az említett képletek hogyan származtathatóak. A FOURIER törvényt, figyelembe véve λ hőmérséklettől való függését, így írhatjuk 8
q! = − λ (t )
dt dt = − λ0 (1 + b ⋅ t ) dx dx
(6.5)
A változók szétválasztása, és (6.5) integrálása után az eredmény δ
t2
! = − λ0 ∫ (1 + bt )dt ∫ qdx
(6.6)
λ0 b 2 2 − + t t t1 − t 2 ( ) 1 2 δ 2
(6.7)
0
q! =
t1
(
)
amit ebben az alakban is írhatunk,
q! =
λ0 δ
1 b − = + + λ (t1 − t 2 ), t t t t 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 2 δ
t +t λ = λ 1 2 . 2
(6.8)
Azaz, a hővezetési tényezőt a középhőmérsékleten kiszámítva, a hőáramot az állandó λ esetére érvényes összefüggésből kapjuk. A hőmérséklet-eloszlásra vonatkozó összefüggést a (6.6)-ból határozzuk meg úgy, hogy δ helyett x-ig és t2 helyett pedig t-ig integrálunk, majd t-ét kifejezzük, ezzel az eredmény: t2 2
! 1 2qx 1 − . t(x) = t1 + − b bλ0 b
b>0
(6.9)
Ha a b pozitív, a (6.9) szerinti görbe alulról homorú, azaz a lineáristól felfelé tér el, és b negatív értékére pedig domború. A hőmérséklet b<0 említett menetét tanulságos még egyszer t1 átgondolni, ha a λ nő a hőmérséklettel, a nagyobb 0 δ hőfok értékű helyen a hőmérséklet görbe kisebb meredekségű, és fordítva ha λ csökken a hőmérséklet növekedésével, a hőmérséklet görbe meredeksége a nagyobb hőmérsékletű helyen lesz nagyobb, mint az alacsonyabb hőmérsékletű helyen. λ=állandó
A változó λ-jú hengeres és gömb fal hőáramát is úgy határozzuk meg, hogy a középhőmérsékleten számolt hővezetési tényezőt helyettesítjük az állandó λ-ra vonatkozó hőáram képletébe. A hőmérséklet-eloszlást ez utóbbi esetekben a következő egyenletek írják le. Hengeres fal 2 1 2 Q! r 1 t ( x ) = t1 + − ln − πbλ0 rb b b
(6.10)
Gömb fal 2
Q 1 1 1 1 t ( x ) = t1 + − − − πbλ0 r1 r2 b b
(6.11)
9
HŐELLENÁLLÁS, ELEKTROMOS ANALÓGIA A 6.1. táblázat hőáram számításának síkfalra vonatkozó egyenletét úgy átrendezve, hogy a hőmérsékletek különbsége maradjon a jobboldalon, az eredmény
δ = t1 − t 2 . Q! ⋅ λ⋅F
(6.12)
δ un. termikus- v. hőellenállás bevezetésével a FOURIER és az OHM λ⋅F törvény analógiája nyilvánvaló: Az Rh =
Q! ⋅ Rh = t1 − t2 ,
I ⋅R =U .
(6.13)
Az egyszerű geometriájú, állandó hővezetési tényezőjű testek hőellenállásának számítási összefüggésit szintén tartalmazza a 2.1. táblázat, egy- és többrétegű szerkezetekre is. A réteges szerkezetekre a táblázatbeli értékek csak abban az esetben érvényesek ha az egyes rétegek ideálisan kapcsolódnak egymáshoz, azaz a közöttük lévő kontaktus a hőáram számára nem jelent ellenállást. A valóságban ez a feltételezés sok esetben nem teljesül. Ilyenkor a rétegek közötti hőellenállást is figyelembe kell vennünk, ami azt jelenti, hogy az eredő hőellenállás kiszámításánál az egyes rétegek ellenállásával sorba kapcsolódva a kontaktusok hőellenállását is számításba vesszük. A kontaktus hőellenállása (Rk) abból adódik, hogy a rétegek a felületi érdességük miatt nem érintkeznek tökéletesen egymással, a fellépő rés átlagos (δ) vastagsága és a rést kitöltő anyag (λ) hővezetési tényezője ismeretében értéke megbecsülhető (Rk≈δ/λ), pontosan általában csak laboratóriumi mérésekkel tudjuk meghatározni. A hőellenállás fogalmát kiterjesztjük más hőterjedési formákra is, így pl. a hőátadás alapegyenletét úgy átrendezve, hogy a jobb oldalon a hőmérsékletek különbsége maradjon, a hőáram mellet megjelenő tényezőt a hőátadás hőellenállásaként definiáljuk:
1 =t −t , Q! ⋅ αF w foly Rα =
1 . αF
(6.14)
(6.15)
A hőellenállás fogalmának alkalmazása a hőáram számításában igen hatékony. A különböző, összetett hőterjedési folyamatoknál a sorosan ill. párhuzamosan kapcsolt ellenállásokra vonatkozó összegző összefüggések felhasználásával írhatjuk fel a szükséges számítási összefüggéseket, határozhatjuk meg a hőáramot, amint ezt a hőátvitel esetében is alkalmazni fogjuk.
10
6.1. táblázat
Síkfal, henger és gömb hővezetése
Q! t1
λ Geometria, használatos jelölések
t t1 r1
t1
t2 r2
t2
δ
x
r1 r2
r
t2 Q
(t − t ) Q! = λ ⋅ F ⋅ 1 2 δ Hőáram és a hőfokeloszlás számítási összefüggései
t ( x ) = t1 −
Q! ⋅x λ⋅F
t −t t ( x ) = t1 − 1 2 ⋅ x δ
2πλL Q! = (t1 − t2 ) ln(r2 r1) t (r ) = t1 −
r Q! ⋅ ln 2 Lπλ r1
r t ( r ) = t1 − ⋅ ln r1 ln r2 r1 t1 − t2
(
)
4πλ (t1 − t 2 ) Q! = 1 r1 − 1 r2 t (r ) = t 1 −
Q! 1 1 − 4πλ r1 r
t(r) (t1 − t 2 )r1r2 1 1 = t1 − − r2 − r1 r1 r
δ = r2 − r1 2πL(r2 − r1 ) Fe = Egyenértékű ln(r2 / r1) hővezető Hőáramot hengerre keresztmetés gömbre így is ha r2 r1 ≤ 2 szet számíthatjuk, a δ és Fe ≈ (r1 + r2 )πL az Fe értékeivel.
λ Q! = ⋅ Fe ⋅ (t1 − t 2 ) δ
Egy réteg hőellenállása
Több réteg eredő hőellenállása
Rλ =
1 Rλ = F
δ Fλ n
∑ 1
Rλ =
δi λi
ln(r2 r1 )
1 Rλ = 2πL
2 Lπλ
ri +1 ln n ri
∑ 1
λi
δ = r2 − r1 Fe = 4π r1r2
r −r Rλ = 2 1 4πλr1r2 1 Rλ = 4π
n
−r
∑ rii++11ri λii r
1
11
6.1.5. HŐÁTVITEL Amikor egy szilárd fal két különböző, (pl. tf1>tf2) állandó hőmérsékletű folyadékot választ el, a melegebb közegtől a hidegebb felé hőáram lép fel. A melegebb közeg oldalon a folyadék és a vele érintkező felszín között hőátadás, a falban hővezetés és a hidegebb folyadékkal érintkező felületen ismét hőátadás történik. A hőterjedésnek ezt az együttes folyamatát hőátvitelnek nevezzük. A két folyadék között, a hőátvitel eredményezte hőáramot a k hőátviteli tényező, az Fv vonatkoztatási (v. hőátviteli) felület és a közegek hőmérsékletei alapján a hőátadáshoz hasonló módon számítjuk:
(
Q! = kFv t f 1 − t f 2
)
(6.16)
A hőáramot az előző fejezetben definiált hőellenállás fogalmának felhasználásával így is felírhatjuk
(
Q! (Rα 1 + Rλ + Rα 2 ) = t f 1 − t f 2
).
(6.17)
ahol a jobboldali összeg tagjai sorrendben a következők: az egyik oldali hőátadás, a hővezetés és a másik oldali hőátadás hőellenállása. A hőáram előbbiekben felírt két összefüggése alapján kFv szorzatot a hőátvitelt alkotó részfolyamatok eredő hőellenállásának reciprokának tekinthetjük, azaz
1 = kFv . Rα 1 + Rλ + Rα 2
(6.18)
Az eredő hőellenállás reciprok mennyiségét egy Fv felület és egy a hőátadási tényezővel megegyező dimenziójú mennyiség szorzataként felírva eljutunk a k hőátviteli tényezőhöz, amiből következik, hogy annak értéke szorosan a felület kiválasztásához kötődik, és önmagában nem jellemzi a hőátvitel mértékét. Az áramló közeget elválasztó, egyszerű geometriájú falon keresztüli hőátvitel számítási képleteit a 6.2 táblázat foglalja össze. Az összefüggések levezetése pl. a már említett Műszaki Fizika II. kötetében megtalálható.
tf1
δ
α1
λ tw 1
α2 tw 2 tf2
Rα1 =
1 α1F
Rλ =
δ λF
Rα 2 =
1 α2 F
6.2. ábra A hőátvitel hőellenállásai
12
6.2. táblázat
A hőátviteli tényező számítása a különböző falak esetén tf1
δ λ tw 1 α1
Jelölések
síkfalra
α2 tw 2
r1 hengerre,göm bre r2
kFv = Síkfal
tf2
1 1 1 + + Rλ F1α1 F2α2
Fv = F1 = F2 = F k=
kFv = Hengeres fal
1 1 1 δ + + α1 α2 λ 1
ln(r2 r1 ) 1 1 + + F1α1 F2 α 2 2 Lπλ
F1 = 2r1π , F2 = 2r2 π és Fv = Fe k Fe =
kFv = Gömbfal
1 Fe Fe δ + + α 1F1 λ α 2 F2 1
r −r 1 1 + + 2 1 F1α1 F2 α 2 4πλr1 r2
F1 = 4r12 π , F2 = 4r22 π és Fv = Fe k Fe =
1 Fe Fe δ + + α1 F1 λ α 2 F2
13
HŐÁTVITEL BORDÁZOTT FALON Hőátadó felületek bordázattal való megnövelése egy gyakran alkalmazott módja egy falfelület és a vele érintkező közeg közötti hőáram fokozásának. Bordázaton a falfelületből a felület melletti közegbe kinyúló, általában a fallal megegyező anyagú, magával a fallal hővezetéses kapcsolatban álló elemeket értünk. Az anyagok véges hővezető képessége miatt a bordázott felület hőárama nem a felület növekedésének arányában növekszik, mert a bordák átlagos felületi hőmérsékletének eltérése a körülöttük lévő közeg hőmérsékletétől kisebb, mint a bordázatlan felület esetében, amit a 6.3. ábra szemléltet. tb ha λ=∞ tb
tw
tb
F b0 tb ha λ=∞
x 0
H
H
6.3. ábra Borda hőmérséklet-eloszlása hőleadásnál, hőfelvételnél A bordák hőáramát az un. bordahatásfok segítségével számítjuk. A bordahatásfok, a borda tényleges hőáramának és az állandó (tw) hőmérsékletű, azaz végtelen hővezetési tényezőjű borda azonos feltételek melletti hőáramának hányadosa, azaz
Q! b ηb = ! Qb,∞
.
(6.19)
A nevezőben álló hőáramot a hőátadás alapegyenlete szerint számíthatjuk
(
),
(
),
Q! b ,∞ = αFb t w − t f
(6.20)
ezzel a borda által leadott hőáram
Q! b = ηbαFb t w − t f
(6.21)
amihez, persze a bordahatásfok ismerete szükséges. A borda hőáramát a hőátadási egyenlet alapján, mivel a felület mentén változik a hőmérséklet, így kell számítanunk
(
)
Q! b = ∫ α t(F ) − t f dF .
(6.22)
Fb
A fenti integrál kényelmetlen kiszámítása helyett, különböző típusú bordák hőáramának meghatározásánál, abból a meggondolásból indulunk ki, hogy a borda átadott hőárama a tőkeresztmetszetben fellépő vezetéses hőárammal megegyezik. Továbbá, általában a bordák kis keresztmetszettel, jó hővezető 14
anyagból készülnek, ezért gyakran egydimenziós hőmérséklet-eloszlásúnak tekinthetők, és ekkor
dt Q! b = − λF0b . dx x =0
(6.23)
A borda hőáramát, és ezzel a bordahatásfokot, a borda hőmérséklet-eloszlásának ismeretében tudjuk meghatározni, amivel a következő fejezet foglalkozik. Néhány bordatípus hatásfokát a 6.3. táblázat tartalmazza. A bordázott felület hőátadásának felírásához visszatérve, jelölje Fb a bordázott felületet, Fr a bordatövek között bordázatlanul megmaradt felületet és F0 pedig a bordák elhagyásával kapott falfelületet, így a bordázott felület teljes hőárama
(
)
Q! = (αr Fr + αηb Fb ) t w − t f .
(6.24)
A bordákra és a bordázatlanul maradt felületre vonatkozó hőátadási tényezőket egymástól megkülönböztettük, mert a hőátadási viszonyaik különbözőek lehetnek. Továbbra is az 1 és a 2 jelű közegeket szerepeltetve a hőátvitelben, a mindkét oldalon bordázott falra vontakozó hőátvitel egyenlete a következő
1 1 1 = + Rλ + . kFv (α1r F1r + α1η1b F1b ) (α2r F2r + α2η2b F2b )
(6.25)
Sok esetben feltehetjük, hogy α r ≈ α , így (6.25)-öt egyszerűbben írhatjuk fel. Vezessük be a bordázottságot mint b = Fb F0 , és az r pedig jelölje a Fr F0 hányadost, így
(
Q! = αF0 (r + ηbb) t w − t f
).
(6.26)
Amennyiben az F = Fb + Fr összes felülettel kívánunk számolni az F0 felület helyett, bevezethetjük az F-re vonatkoztatott összhatásfokot, azaz
ηF = Fr + ηb Fb = F − Fb + ηb Fb ,
(6.27)
ahonnan
η = 1−
Fb 1 1 (1 − ηb ) = 1 − (1 − ηb ) = 1 − (1 − ηb ) . Fb + Fr 1 + Fr Fb 1+ r b
(6.28)
(Vegyük észre, hogy ha a bordázatlanul maradt rész aránya a bordafelülethez képest elhanyagolható, az összhatásfok a bordahatásfokkal azonos.) A bordázott felület felhasználva, tehát
hőátvitelének
egyszerűsített
egyenlete
1 1 1 = + Rλ + . α 2 F02 (r2 + b2η2b ) kFv α1 F01(r1 + b1η1b )
a
(6.26)-ot
(6.29)
Ezt az eredményt alkalmazva egy mindkét oldalon bordázott síkfal hőátvitelére, ahol természetesen az F01 = F02 fennáll, azt kapjuk, hogy
15
k=
1 δ 1 1 + + α1(r1 + b1ηb1 ) λ α 2 (r2 + b2ηb 2 )
.
(6.30)
A HŐÁTVITEL INTENZITÁSÁNAK NÖVELÉSE A gyakorlatban a hőátvitelt bizonyos esetekben erősíteni, és más esetekben pedig fékezni kell. Láttuk, hogy a hőátvitel több elemi hőterjedési folyamat együtteseként jön létre. A (6.18) összefüggés szerint a hőátvitel eredő hőellenállása a kétoldali hőátadás és a hővezetés hőellenállásainak összege, azaz ezen tagok megváltoztatásával érhető el a kívánt eredmény. A továbbiakban, az elemi folyamatok elemzése nélkül, pusztán azt vizsgáljuk meg, hogy a hőátadás és a hővezetés leíró paramétereinek változása milyen hatást gyakorol a hőátvitelre. A részfolyamatok megvalósulási körülményeinek vizsgálata, a leíró paraméterek meghatározása a következő fejezetek tárgyköre lesz. Először a hőátvitel erősítésének kérdésével foglalkozunk. Ahhoz, hogy az egyes tényezők hatását megvizsgálhassuk, szükséges ismernünk a hőátvitelre vonatkozó, a vizsgált tényezőket tartalmazó egyenletet, annak elemzésével, az egyes tagok hatásait, a beavatkozás korlátait feltárhatjuk. Példaként a síkfalra vonatkozó hőátviteli tényező meghatározására felírt összefüggést vizsgáljuk meg. A gyakorlati esetek egy részében, mivel a fémek hővezető képessége jó, és az alkalmazott falvastagságok sem nagyok, a síkfalban lejátszódó hővezetés hőellenállását elhanyagolhatjuk, így eredményül a
k=
1 1 1 + α1 α 2
=
α1α 2 α1 + α 2
(6.31)
összefüggést kapjuk a hőátviteli tényező meghatározására. Innen megállapíthatjuk, hogy a k értéke mindig kisebb, mint a kisebbik hőátadási tényező, amiből azonnal az a következtetés adódik, hogy a kisebbik hőátadási tényezőt növelése célszerű, a hőátvitel erősítése végett. 10 9
10-3⋅k,W /m 2K
8 7 6 5
α2=
∞
20 15 10
5
4 3 2 1 0 0
2
4
6
8
6.3. ábra Az k =
16
10
12
14
16
18
2
10−3⋅α1,α2
1
W m 2K
20
α 1α 2 függvény menete α1 + α 2
α1
Meddig érdemes a növelést véghezvinni? A választ a k = f (α1 , α2 ) függvény vizsgálatával adhatjuk meg, aminek menetét a 6.3. ábrán követhetjük. Ha az α1 értéke jóval kisebb mint α2, akkor α1-et növelve a k értéke gyorsan nő, míg α1 egyenlő nem lesz α2-vel. Ezt követően az α1 növelésével a k növedése lelassul, majd pedig jelentéktelenné válik. Mindezek alapján tehát azt állapíthatjuk meg, hogy ha a hőátadási tényezők közel azonosak, a hőátvitel intenzitásának erősítését bármelyikük növelésével kiválthatjuk, azonban ha nagyon különböznek egymástól, célunkat elérni csak a kisebbik hőátadási tényező növelésével tudjuk. Az előzőekben a hővezetésből származó hőellenállást elhanyagoltuk. Most megvizsgáljuk, milyen hatással van a hőátviteli tényező értékére a fal hőellenállásának változása. Legyen a vonatkoztatási hőátviteli tényezőnk a fal hőellenállása nélkül számított, azaz
k0 =
1 1 1 + α1 α 2
.
(6.32)
Ugyanakkor a véges hőellenállású fal esetén
k=
1 1 = 1 1 δ 1 δ + + + α1 α 2 λ k 0 λ
.
(6.34)
A két hőátviteli tényező hányadosát felírva, az eredmény
k 1 = . k0 δ k + 0 1 λ
(6.35)
k0=1 100
1 0.9 0.8
500
0.7 0.6
1000
0.5
2.000
0.4 0.3
5.000
k/k0
0.2 0.1
10.000
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5
10 ⋅δ/λ, m 2K /W 6.4. ábra A k/k0 függvény menete
17
A 6.4. ábra a k/k0 hányadost a δ/λ függvényében, a k0 értékekkel paraméterezve ábrázolja. A függvény menetéből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a hőellenállás növekedése annál jelentősebben csökkenti a hőátviteli tényező értékét, minél nagyobb a k0 értéke. A fal hőellenállása a berendezések üzemeltetése során keletkező lerakódások következtében is megváltozhat, pl. 1 mm vastag vízkő 40 mm vastag acélfal, 1 mm korom pedig 400 mm vastag acélfal hőellenállásával egyenértékű. Ahhoz, hogy a hőcserélő berendezések a tervezettnek megfelelő hőteljesítményt nyújtsák, a lerakódásokat lehetőség szerint el kell kerülni, ami vagy az áramló közegek szűrését, tisztítását vagy ha ez nem lehetséges, a hőátadó felületek rendszeres tisztítását, cseréjét jelentheti. HŐSZIGETELÉS A hőátvitel csökkentését az eredő hőellenállás növelésével tudjuk elérni. Ehhez elegendő valamely rész hőellenállás növelése, amit többféle módon is elérhetünk. A hőátadás körülményeinek megváltoztatása helyett – aminek erőssége sokszor amúgy sem csökkenthető egy bizonyos határnál tovább – a fal vezetéses hőáramát csökentjük, általában egy hőszigetelésnek nevezett réteg alkalmazásával. A hőszigetelésként alkalmazott anyagoknak több feltételnek is eleget kell tenniük, de közös jellemzőjük a kis hővezető képesség. (λ < 0.2 W/(m⋅K) A szigetelő anyagok egy részét természetes állapotukban alkalmazzák, (fűrészpor, tőzeg, homok, parafa stb.) többségben azonban, valamilyen gyártási folyamat eredményeként, mesterségesen állítják elő a hőszigetelés céljára alkalmas anyagokat. Az ismert salakgyapotot pl. úgy gyártják, hogy a salakot először megolvasztják, majd gőzsugárral permetezik. Mivel a gázok hővezetése kicsi, a különböző habosított anyagok, esetenként a levegőtől eltérő gázzal töltött cellákkal, igen alacsony hővezetési tényezővel rendelkeznek.(∼0.03 – ∼0.06 W/(m⋅K)) Gyakori hőszigetelési megoldás, hogy zárt üregeket, légréseket képezünk ki a szerkezetekben, az ilyen, a gázok alacsony hővezető képességét kihasználó hőszigeteléseknél a résekben, üregekben fellépő konvekció és a hősugárzás rontja a szigetelés hatékonyságát. Fontos, hogy a hőszigetelésként alkalmazott anyag a hőszigetelő képességét biztosító tulajdonságait megtartsa, ha szükséges, a külső behatások (emberi, természeti) ellen megfelelően védeni kell. A nedves helységek, alacsony hőmérsékletű berendezések szigetelésénél külön problémaként jelentkezik a hőszigetelés elnedvesedése, mert a nedveséggel telítődő anyag hővezető képessége megnő, esetenként a nedvességnek a megfagyására is számítani kell. A hőszigetelések hatékonyságát az alkalmazott anyagokon kívül befolyásolja számos egyéb körülmény, mint a szerelés, rögzítés alkalmazott technológiája, kivitelezésének minősége stb. A hőszigetlések méretezésére alapvetően a hőátvitel számítására szolgáló összefüggéseket használjuk. Egy adott hőszigetelési probléma jó megoldása, mint a mérnöki tevékenység általában, nem csak műszaki, hanem gazdaságossági kérdés is. Így a megfelelő hőszigetelések kialakításához a műszaki adatokon túl szükséges az energia, anyag és a kivitelezés költségeire vonatkozó adatok 18
ismerete is. Ebből a szempontból optimálisnak, a legalacsonyabb összköltségű szigetelést tekintjük általában. Mivel egy nagyon gyakori feladat, vizsgáljuk meg a csővezeték hőszigetelésének kérdését. A csőfelület belső hőátadási és hőmérséklet viszonyait adottnak tekintjük, azon változtatni általában úgy sem lehet. A belső csőfelszín és a külső környezet közötti hőellenállás a csőfal és a hőszigetelés hővezetéséből, továbbá a külső felület hőátadásából adódik. A hőszigetelés hőellenállásához képest a fémcsövek hőellenállása elhanyagolható, így egy db belső, dk külső átmérőjű csőszigetelés és az αk külső hőátadási tényező esetén, a hőátvitel hőellenállása L=1m csőszakaszon
RL =
d 1 1 ln k + 2πλ szig d b α k d k π
.
(6.35)
Amikor a külső hőátadás körülményei nem ismertek, a szigetelés külső felszíni hőmérsékletének megadásával a probléma megkerülhető. Általában az 1 (α k d k π ) tag nem nagy, ha kiszámításában mintegy 10%-os hibát elkövetünk, a végeredményre alig 1%-nyi hatással van. Az RL -re vonatkozó összefüggés vizsgálatából megállapíthatjuk, hogy a szigetelés külső átmérőjének növelése nem feltétlenül jelenti a hőátvitel hőellenállásának növelését. Ugyanis kiszámítva az RL , dk szerinti deriváltját
∂R L 1 1 = − ∂d k 2πλszig d k αk d 2k π
,
(6.36)
és annak zérus helyét, az eredmény a d kr = 2 λ α , mely átmérőnél az RL-nek minimuma van, a reciroknak, és ezzel hőaramnak pedig maximuma. 0.30
1 W W , α = 10 2 Rk m ⋅ K , k m K
λ = 0.20
0.25
λ=0.15
0.20 0.15
0.10
W m⋅ K
λ=0.10 λ=0.05
0.05 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 dk,m m 6.5 ábra Az 1 R L változása
19
Ebből következően ha a db átmérő kisebb, mint a szigetelés kritikus átmérőjének nevezett előbbi eredmény, a szigetelés külső átmérőjének helytelen megválasztásakor a hőáram nem csökkenni, hanem éppen nőni fog. Minél kisebb hővezetési tényezőjű anyagot alkalmazunk, a kritikus átmérő annál kisebb, így a kis átmérőjű csöveknél a kis λ-jú anyagok alkalmazása célszerű, hogy a túlságosan nagy szigetelési vastagságokat elkerülhessük. A 6.5. ábrán az 1m szigetelt csőre vonatkozó hőátvitel eredő hőellenállásának reciprokát ábrázoltuk, ami az 1 °C hőmérséklet-különbség okozta hőáram. Az elektromos szigetelések kialakításának a hőszigeteléssel ellentétes szempontja, hogy a hő hatékony elvezetését is biztosítsa a megfelelő villamos szigetelés mellett. Ilyen esetekben az alkalmasan megválasztott λ-jú anyagból kialakítható az éppen kritikus, vagy ahhoz közeli szigetelési vastagság is. 6.1.6. BORDÁK (RUDAK) HŐVEZETÉSE A borda hosszirányú hőmérséklet-eloszlásának meghatározásához feltételezzük, hogy benne hosszirányú, egydimenziós hővezetés játszódik le, azaz a hosszra merőleges keresztmetszetben a hőmérséklet állandó. A 6.6. ábrán a bordatő hőmérséklete (t0), a borda palástja mentén a hőátadási tényező (α) és környezetének hőmérséklete (t∞) állandó. A borda keresztmetszetét A, a keresztmetszet kerületét U-val jelöljük. U
t0
Az x helyen a hőáram:
Q +dQ
Q
dt Q! = − λ A( x ) . dx
A x
dx
(6.37)
A paláston átadott hőáram:
Qp
6.6. ábra A borda hővezetéséhez
Q! p = α U ( x ) dx [t ( x ) − t ∞ ] .
(6.38)
Az energia megmaradását alkalmazva a rúdból kivágott szeletre, írhatjuk, hogy a vezetéssel belépő és távozó hőáram különbsége a paláston leadott hőárammal egyezik meg:
Q! − (Q! + dQ! ) = Q! p ,
(6.39)
(6.38)-ból behelyettesítve, átrendezve
−
dQ! = αU ( x )[t ( x ) − t ∞ ], dx
(6.40)
(6.37)-ből a hőáramot behelyettesítve
d dt ( x ) = αU ( x )[t ( x ) − t∞ ] . λA( x ) dx dx
(6.41)
A differenciálás elvégzése után a leíró differenciálegyenletet kapjuk eredményül
dA( x ) dt ( x ) d 2t ( x) + λA( x ) = αU ( x )[t ( x ) − t∞ ] . λ dx dx dx 2 20
(6.42)
Bevezetve a ∆t(x)=t(x)-t∞ helyettesítést, az eredmény
d 2 ∆t (x ) dA( x ) d∆t ( x ) λ + λA( x ) = αU ( x ) ∆t (x ) . dx dx dx 2
(6.43)
Legyen U(x) és A(x) állandó, azaz a borda egy prizmatikus rúd (a differenciálegyenlet változó keresztmetszetek esetében is megoldható az U(x), A(x) függvények ismeretében, ezek a megoldások azonban meghaladják a fejezet terjedelmének kereteit):
d 2 ∆t ( x ) = m2 ∆t ( x ) , 2 dx
ahol m =
αU λA
.
(6.44)
A változók szétválasztása és integrálás után a (6.44) általános megoldása:
C1 e − mx + C2 e mx = ∆t ( x ) .
(6.45)
ahol C1 és C2 integrálási állandók. a./ Végtelen hosszú rúd A megoldásnak a következő peremfeltételeket kell kielégítenie: x=0 (azaz a rúd tövében) a ∆t(0)=t(0) – t∞= t0 – t∞=∆t0 x→∞ esetén pedig ∆t(∞)=t(∞) – t∞= t∞ – t∞=0
innen C1=∆t0
innen C2=0
Így a megoldás alakja:
t ( x ) = (t 0 − t ∞ ) e − mx + t ∞
.
(6.46)
vagyis a rúd hossza mentén a hőmérséklet exponenciálisan csökken. A hőmérséklet csökkenésének mértékét a
αU értéke határozza meg. λA
A rúd palástja által leadott hőáram a rúdtőbe belépő hőárammal egyezik meg:
dt ( x ) Q! rud = − λA dx x = 0
,
(6.47)
behelyettesítve:
αU Q! ∞rud = λA (t − t ) = λAαU (t 0 − t ∞ ) . λA 0 ∞
(6.48)
b./ Véges (H) hosszúságú rúd A megoldásnak a következő peremfeltételeket kell kielégítenie: x=0 (azaz a rúd tövében) a ∆t(0)=t(0) – t∞= t0 – t∞=∆t0 x=H (azaz véglapon) a környezet felé leadott hőáramra teljesülni kell
21
−λA
dt ( x ) = α H A[t ( H ) − t ∞ ] . dx x = H
(6.49)
A levezetés elhagyásával, a megoldás ebben az esetben:
t ( x ) = (t 0 − t ∞ )
αH sin h(m( H − x )) mλ + t∞ αH cos h( mH ) + sin h(mH ) mλ
cos h( m( H − x)) +
.
(6.50)
A rúd által leadott hőáram pedig (6.42) egyenletbe helyettesítve a fenti t(x)-t:
Q! rud
αH + tanh(mH ) λ m = λAm(t 0 − t ∞ ) , αH tanh(mH ) 1+ λm
(6.51)
továbbá, ha a véglapon és a paláston a hőátadási tényezők azonosak:
tanh(mH ) α λm = α (t 0 − t ∞ ) A 1 + (α λm)tanh(mH ) 1+
Q! rud
.
(6.52)
Az (α/λm)=1 esetén a fenti kifejezés éppen a tőkeresztmetszetnek megfelelő felület hőátadásával egyezik meg és független a borda hosszúságától. Az (α/λm)>1 esetén a Q! rúd<αA(t0 – t∞), így a borda alkalmazása csökkenti a felületről távozó hőt a csupasz felülethez képest. Az (α/λm)<1 esetén a Q! rúd>αA(t0 – t∞), így a borda alkalmazása növeli a felületről távozó hőt a csupasz felülethez képest. Az alkalmazható összefüggések jelentősen egyszerűsödnek, mert a véglapon a hőleadás általában elhanyagolható (pl. mert a véglap felület nagyon kicsi, vagy αH ≈ 0). Ekkor a (6.50) megoldás:
t ( x ) = (t 0 − t ∞ )
cos h(m( H − x )) + t∞ , cos h(mH )
(6.53)
és a rúd által leadott hőáram pedig:
Q! rud = λmA(t 0 − t ∞ )tanh(mH ) .
(6.54)
A rúdban nincs hosszirányú hőmérséklet változás λ=∞ esetén (m=0), és ekkor a rúd teljes felszíne t0 hőmérsékletű, a paláston leadott hőáram pedig:
Q! ∞ = αUH (t 0 − t ∞ ) .
(6.55)
A bordahatásfok a Q! rúd (λ=valóságos érték) és a Q! ∞ hányadosa:
ηborda = 22
tanh(mH ) . mH
(6.56)
A rúd által leadott hőáram a bordahatásfokkal felírva:
Q! rud = ηborda αFrud (t 0 − t ∞ )
ahol
Frud = UH .
(6.57)
Az egyszerűbb (6.53)...(6.57) összefüggések alkalmazása esetén is jó közelítéssel figyelembe vehetjük a véglap hőátadását, ha a borda hosszúságát a fél vastagsággal megnöveljük (véglap felületet a palást megtoldásaként állítva elő). 6.3. táblázat
Különböző bordatípusok bordahatásfoka
Bordatípus
m=
α λδw
Lemezborda,
2δ
δw = δ = állandó
A bordahatásfok a véglap hőátadása nélkül
ηb =
tanh(mH ) mH
H Parabolikus,
x
x H
δ (x) = δw
2δw H
Háromszögű,
δ (x) = δ w
x
x H
2δw H
Parabolikus,
x δ (x ) = δ w H
x 2
2δw
4mH I2 3 3 1 ηb = mH 4mH I −1 3 3 2mH I1 3 1 ηb = mH 2mH I0 3
ηb =
2 1 + 4(mH ) + 1 2
H Hengeres rúd,
ηb =
δw = δ = állandó 2δ
tanh( 2mH ) 2mH
H
23
Paraboloid,
δ (x) = δw
x
x H
2δw
H
Kúpos,
x
x δ (x) = δ w H
2δw
ηb =
2mH 3 2mH 3
I 2 (2 2mH ) 4 2 2mH I1(2 2mH )
H
Paraboloid
x δ (x ) = δ w H
4 I1 2 ηb = 4 2mH 4 I0 3
x 2
2δw
ηb =
2 1+
8 (mH )2 + 1 9
H
Gyűrűborda, 2δ
δw = δ = állandó
ηb =
2 ⋅ rh mH rw
I1(mrw )K1(mrH ) − I1(mrH )K1(mrw ) I0 (mrw )K1(mrH ) − I0 (mrH )K0 (mrw ) rw
rH
A következő fejezetekben a hővezetéshez kapcsolódóan az un. első-, másod- és harmadfajú peremfeltételek ismeretét feltételezzük. Előtanulmányok hiányában a 8.1. pont előre átolvasása javasolt.
24
6.2. Időben állandósult, hőforrás mentes hővezetés A hőforrásmentes, állandósult (stacionárius) hővezetés differenciál egyenlete hőmérséklettől független anyagjellemzők esetében a
∇2t = 0
(6.58)
un. LAPLACE egyenlet. A LAPLACE egyenlet számos más fizikai jelenség pl. a stacionárius folyadékáramlás, diffúzió, elektrosztatika stb. leírásának is alapegyenlete, melynek derékszögű, henger és gömbi koordináta rendszerbeli alakjai a következők:
∂ 2 t ∂ 2 t ∂ 2 t = + 2, 0 2 + 2 ∂y ∂z ∂x
(6.59)
∂ 2 t 1 ∂ t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t + 2 + 2 , 0= 2 + 2 ∂ r r ∂ ∂ ϕ ∂z r r
(6.60)
∂ 2 t 2 ∂ t ∂ ∂t ∂2 t 1 1 + 2 2 . 0= 2 + (sin ϕ )+ 2 2 2 ∂ ∂ϕ ∂ ϕ r r ∂ ϕ ϕ ∂ ω r r r sin sin
(6.61)
A (6.58) egyenlet megoldásának meghatározásával az a célunk, hogy különböző (alakú) testekben meghatározzuk a hőmérséklet térbeli eloszlását. Sok esetben - esetleg csak közelítőleg - a vizsgált tárgy (=tartomány) egymásra merőleges (ortogonális) adiabatikus és izotermikus felületekkel határolt. Ilyen esetekben az izotermikus felületek hőmérsékleteinek ismeretében szeretnénk a két vagy több izotermikus felület közötti hőáramot meghatározni. Bizonyos valóságos tárgyaknak a különböző irányú kiterjedésének nagymérvű különbsége lehetőséget nyújt végtelen határfelületekkel (izotermikus, adiabatikus) való közelítésre és a leíró tér dimenziójának csökkentésére is. 6.2.1. AZ ALAKTÉNYEZŐ Két izotermikus felület között a hőáramot a felületek menti lokális hőmérsékletgradiens integrálásával határozhatjuk meg:
Q! = − λ
∫
A1
∂t ∂t dA1 = λ ∫ dA2 . ∂n n ∂ A
(6.62)
2
A (6.62) egyenlet azt fejezi ki, hogy az A1 felületről „távozó” hőáram az A2 felületre „érkezővel” meg kell, hogy egyezzen. A hőáramot felírhatjuk a következő módon is:
Q! = λ ⋅ S ⋅ ( t1 − t2 ) .
(6.63)
ahol az S a [m] mértékegységű, un. alaktényező, melynek definíciója (6.62) és (6.63) egybevetése alapján:
25
dt
S=
∫ dn
A1
1
∫
dA1
t2 − t1
=−
A2
dt dA2 dn 2 t2 − t1
.
(6.64)
Az alaktényező független a tartomány anyagának hővezetési tényezőjétől és a hőmérsékletektől, pusztán csak az izotermák (a testek) geometriai alakja határozza meg. A (6.64) szerinti S alaktényező kiszámítása nem mindig egyszerű feladat. Hővezetéssel foglalkozó különféle kézikönyvekben megtaláljuk számos, a gyakorlatban előforduló esetre vonatkozó számítási összefüggést. Sok alakzatra pl. a 6.2.3. fejezetben szereplő konform leképzéssel előállított izotermahálózat alapján határozható meg a számítási összefüggés. Amennyiben az izotermikus S mértékfelületek prizmatikusak, a hosszegységre vonatkozó alaktényező S L = L egység nélküli szám, és a hosszegységenkénti hőáramot így számítjuk:
Q! L = λ ⋅ S L ⋅ (t1 − t 2 ) .
(6.65)
Különböző alakú, prizmatikus izoterma felületek közötti tér alaktényezőjét a 6.4. táblázat tartalmazza. Mivel az alaktényező a hőellenállás reciprokával arányos a párhuzamos hőáramok esetén összegezni, soros hőáramok esetén reciprok összegezni kell a számításokhoz. 6.4. Táblázat
Az alaktényező kiszámítása néhány alapesetben
A keresztmetszet alakja, jelölések
Az alaktényező kifejezése
2πL r
ln r0 − 2A 1
r0 r1 T0
T1 r1<
n oldalú szabályos sokszög
r0 T1
1 + ρ2 + ε 2 arch 2ρ
r1
ρ=
26
A 1,13916 0.54159 0.32131 0.21339 0.11397 0.07076 0
2 ⋅π ⋅ L
T0
e
n 3 4 5 6 8 10 ∞
r1 e ; ε= r0 r0
2πL ln π4⋅ar − 2 A T0
1
T1
b/a A 1.00 0.08290 1.25 0.03963 1.50 0.17870 2.00 0.00373 3.00 0.00016 5.00 3.0140*10-7 0 ∞
r1 a
b
T0
T1
a
r1
2πL ln π4⋅ar
T1
2πL
1
T0 a
ln c + d
a +b
b d c T0
b
SL = r T1
2 ⋅π b arch r
r sugarú henger, b mélységben
r
S = 4⋅r ⋅λ
Talajon álló, r sugarú henger
27
6.2.2. HŐMÉRSÉKLETFÜGGŐ ANYAGJELLEMZŐK, A KIRCHOFF-TRANSZFORMÁCIÓ A stacionárius hővezetés differenciálegyenlete hőforrásmentes esetben, derékszögű koordináta rendszerben, hőfokfüggő hővezetési tényező esetén
∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t λ + λ + λ = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
(6.66)
alakú. KIRCHHOFF javaslatára vezessük be
λdϑ = λdt .
(6.67)
összefüggéssel a ϑ „új hőmérsékletet”. Ahol λ , a λ (T ) hőmérsékletfüggő hővezetési tényezőnek a hőmérséklettől független átlagértéke. A (6.66) differenciál egyenlet ezzel a következő alakú
∂ 2ϑ ∂ 2ϑ ∂ 2ϑ λ 2 + 2 + 2 = 0 ∂y ∂z ∂x
(6.68)
A (6.68) egyenlet alapján az mondhatjuk, hogy az állandó hővezetési tényezővel meghatározott megoldások kiterjeszthetők a hőmérsékletfüggő hővezetési tényező esetére is. A ϑ újhőmérséklet határértékeit a probléma természetes hőmérséklet határaival azonosnak definiálva, legyen t1 az előforduló legalacsonyabb t2 pedig a legmagasabb hőmérséklet, ekkor ϑ1 = t1 és ϑ2 = t2. A (6.67) egyenlet integrálásával kapjuk, hogy t2
λ (ϑ 2 − ϑ 1 ) = λ (t2 − t1 ) = ∫ λ ( t )dt
.
(6.69)
t1
(t + t ) A λ (T ) hőmérsékletfüggvény gyakran lineáris, ekkor a λ = λ 1 2 . 2 Sok esetben a hőmérséklet valamelyik szélső értéke csak a feladat megoldása után ismert, ilyenkor a (6.69) egyenletből nem tudjuk λ - t kiszámolni. Ebben az esetben sorozatos iterációval jutunk a feladat megoldásához. Közelítő hőmérséklet-eloszlásból kiindulva meghatározzuk λ 0 értékét és kiszámítjuk a hőmérséklet-eloszlását, majd az eredmény függvényében módosítunk a kiinduló feltételünkön és megismételjük az eljárást addig míg az előfeltételezett és a számításul kapott hőmérsékletértékek az általunk szükségesnek előírt (pl.: 1%,5% stb.) mértékben megközelítik egymást.
28
6.2.3. KONFORM LEKÉPEZÉSEK ALKALMAZÁSA A síkbeli, hőforrásmentes, stacioner hőmérséklet-eloszlások meghatározásához a LAPLACE egyenletnek az adott tartományon a peremfeltételeket kielégítő megoldását kell meghatározni. A hőmérséklet-eloszlás T(x,y) meghatározásával egyenértékű a q!( x , y ) függvény meghatározása. A q!( x , y ) függvény a sík minden egyes pontjához a q! hőáram vektort rendeli hozzá. Számos fizikai jelenség esetében érvényes, hogy valamilyen vektor mennyiség a tér vagy sík pontjaihoz van rendelve. Pl. gondoljunk az elektrosztatikus erőtérre vagy az áramló folyadékok sebesség terére. A kétdimenziós vektorterek leírásának közös módszere a komplex potenciálokkal való leírásuk, amelynek elemeit összefoglaljuk a következőkben és amely tananyag megértéséhez haladó matematikai ismeretek feltételezünk. (A komplex potenciálok elméletének eredményei a hőtani alkalmazásokon kívül is rendkívül jelentősek voltak a tudomány fejlődésében, ezért tesszük meg e helyütt az alkalmazott elmélet rövid összefoglalását.) Egy f ( z ) = u( x , y ) + i ⋅ v ( x , y ) komplex függvény a z = x + i ⋅ y síkot képezi le a u,v síkra. Az f(z) függvény által megvalósított leképezést konformnak nevezzük, ha a z sík két tetszőleges, egymást metsző görbéjére teljesül: 1./ c1 és c2 görbék Z metszéspontjának a W képpontján átmenő, a γ1 és γ2 görbéknek, mint kép görbéknek W pontbeli metszésszöge, irányával együtt megegyezik c1 és c2 görbék Z pontbeli metszésszögével és irányával. 2./ A Z pont köré rajzolt ∆R sugarú kör képgörbéjének ∆H sugara csak ∆R magasabb rendűen kicsiny mennyiségeivel különbözik ∆R-től. y
z sík α Z
w sík
v
γ2
γ1 c2
∆H
∆R
W α
c1 x
u
6.7. ábra A konform leképezés (A konform szó jelentése: „a formát változatlanul megtartó”. A fenti definíciót tekintve, ez azt jelenti, hogy egy tetszőleges pont környezetében = (kicsiben) alaktartó azaz, konform leképezés.) A komplex függvények differenciálhatóságának feltétele, a CAOUCHY-RIEMANN feltételek teljesülése, azaz:
∂u ∂v = , ∂x ∂y ∂u ∂v =− . ∂y ∂x
(6.70)
29
A differenciálható komplex függvényeket analitikus függvényeknek is szokás nevezni. Az analitikus komplex függvények által megvalósított leképezés konform. Így az analitikus f ( z ) , z = x + i ⋅ y komplex függvény a z sík tetszőleges merőleges görbeseregét (pl.: x = áll., y = áll. vagy r = áll., ϕ€= áll.) u(x,y), v(x,y) egymásra szintén merőleges (ortogonális) görbeseregbe viszi át. Mivel az f(z) differenciálható, és a deriváltja a következő
f ′( z) =
∂u ∂v ∂v ∂u +i = −i . ∂x ∂x ∂y ∂y
(6.71)
Újra alkalmazva (6.71) összefüggést az f’(z) – differenciálható – függvényre
f ′′( z) =
∂ 2u ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2v + = − −i 2 , i ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂y
(6.72)
ahonnan következik, hogy
∂ 2u ∂ 2u =− 2, ∂x 2 ∂y
∂ 2v ∂ 2v =− 2. ∂x 2 ∂y
(6.73)
Azaz az u(x,y), v(x,y) függvények kielégítik a LAPLACE egyenletet. Az u(x,y), v(x,y) ortogonális görbeseregnek a vizsgált fizikai jelenség függvényében, (egymás között felcserélhetően) fizikai jelentés adható. A w = f ( z ) függvényt a jelenség komplex potenciáljának nevezzük. Tekintsünk példaként néhány esetet: Forrás és örvénymentes áramláskor:
w = Φ( z) = ϕ ( x , y ) + iψ ( x , y ) .
(6.74)
ϕ ( x , y ) – az áramlás potenciál függvénye, melyből a sebesség komponenseket a vx =
∂ϕ ∂ϕ és v y = szerint határozzuk meg, azaz a v = gradϕ ( x ) . ∂y ∂x
ψ ( x , y) – az áramfüggvény - az áramló részecskék pályáját leíró függvény. Elektrosztatika:
w = F ( z) = U ( x, y ) + i ⋅V ( x, y ) . U(x,y) – erő függvény, így az U(x,y) = állandó, erővonalait meghatározó összefüggés.
(6.75)
az elektrosztatikus tér
V(x,y) – az elektrosztatikus tér potenciálfüggvénye, így a V(x,y) =állandó, az ekvipotenciális vonalakat meghatározó összefüggés. Hőforrás mentes, állandósult hőmérséklet-eloszlások esetén:
W = W ( z) = ψ ( x, y) + i ⋅ T ( x, y) .
(6.76)
T(x,y) – a hőmérsékletfüggvény, így a T(x,y) = állandó, az izoterma vonalakat meghatározó összefüggés. 30
ψ(x,y) – az áram függvény, így a ψ(x,y) = állandó, áramvonalakat meghatározó összefüggés.
összefüggés
az
A hőáram és hőmérséklet kapcsolata a FOURIER törvény:
q! x = − λ
∂T ∂T . ; q! y = − λ ∂x ∂y
q! = − λgradT .
(6.77) (6.78)
Az előbbiekben megadott valamennyi komplex potenciálra érvényesek a CAUCHY–RIEMANN összefüggések. Fejezetünk témájánál maradva a hőáram komplex potenciáljára CAUCHY - RIEMANN összefüggések érvényessége a forrás- és őrvény-mentességből következnek, mert: a hőforrás mentesség azt jelenti, hogy
∂q! x ∂q! y + = 0, ∂x ∂y
(6.79)
továbbá a hőáram vektor tér örvénymentes azaz,
−
∂q! x ∂q! y + =0 ∂y ∂x
(6.80)
A q! hőáram vektort a T(x,y) hőmérsékletfüggvényéből – mint potenciálból – kapjuk a (6.78) szerint. A (6.77) összefüggést felhasználva, egy tetszőleges ψ ( x , y ) függvény teljes differenciáját így írhatjuk le:
−
∂ψ ∂ψ 1 q y ⋅ dx − q x dy = dx + dy . λ ∂x ∂y
(
)
(6.81)
Az így bevezetett ψ ( x , y ) függvényt a hőáram áramfüggvényének nevezzük. A (6.81) alapján nyilvánvaló:
∂ψ ∂T ∂ψ ∂T = =− és ∂y ∂x ∂x ∂y
.
(6.82)
A LAPLACE egyenletnek a z = x + i ⋅ y függvény is megoldása, a x = állandó vonalaknak az izotermáknak, az y = állandó vonalaknak a hőáram vonalaknak való megfeleltetéssel a síkfal hővezetési feladat megoldása adódik. A z = r exp(i ⋅ ϕ ) polár koordináták használatával az r = állandó vonalaknak az ϕ= izotermáknak, állandó vonalaknak a hőáramvonalaknak való megfeleltetéssel a hengerekben kialakuló hőmérséklet-eloszlást kapjuk meg. A konform leképezés alkalmazásának középponti problémája a megfelelő transzformációs függvény meghatározása. Különböző eljárások ismertek a megfelelő leképező függvények meghatározására melyek érintőleges ismertetése is meghaladja e fejezet kereteit, a módszert csupán egy egyszerű példával illusztráljuk. 31
A w(z) = z2 függvény által megvalósított transzformáció a következő:
u = u + i ⋅ v = (x + i ⋅ y ) = x 2 − y 2 + i ⋅ 2 ⋅ x ⋅ y , 2
(6.83)
amelyet a 6.8. ábra szemléltet. -u1
w sík v=v1
c
v
y
c d
b
u=0
a u u=u1
u=-u1
u1
b
v1 d
z sík
a
x
6.8. ábra A w(z)=z2 leképezés ábrázolása A (6.83) alapján a hőáram vonalak egyenlete
ψ = x2 − y2 ,
(6.84)
a hőmérséklet állandó vonalak egyenlete pedig
T = 2⋅x⋅ y.
(6.85)
Eredményül a 90°-os sarok körüli kis környezet hőmérséklet – hőáramvonal hálózatát kapjuk. y
Ψ Q
T Q x 6.9. ábra Derékszögű sarok (kis)környezetének T és Ψ vonalai (Vegyük észre, hogy a T és Ψ felcserélésével az eredmény nem változik, csak 45°-os elforgatást kell a 6.9. ábrán alkalmazni.) A (6.64) szerint definiált alaktényezők meghatározásához ismernünk kell az adott tartomány hőmérséklet-eloszlását. A 6.4. táblázatban közölt alaktényezők is a megfelelő konform leképezés meghatározásával kerültek kiszámításra. 6.2.4. FIKTÍV HŐFORRÁSOK/HŐNYELŐK ALKALMAZÁSA A LAPLACE egyenlet lineáris volta miatt annak különböző megoldásainak lineáris kombinációja is megoldás azaz ha pl. f1 és f2 megoldásai (6.58) 32
egyenletnek akkor f = a ⋅ f 1 + b ⋅ f 2 is megoldása, ahol az a és b konstans.
tetszőleges
A fiktív hőforrások/hőnyelők alkalmazása azt jelenti, hogy a vizsgált probléma hőmérséklet-eloszlását hőforrások/hőnyelők ismert hőmérsékletmezőinek szuperpozíciójával állítjuk elő. A módszert egy földbe fektetett csővezeték körüli hőmérsékletmező meghatározásán keresztül mutatjuk be.
− ϑc
y R0 R2 xp
h
P yp
x
R1 h R0
ϑc
6.10. ábra Izotermikus henger és a fiktív „hőnyelő ” A 6.10. ábra szerinti R0 átmérőjű csővezeték t0 izotermikus hőmérsékletű. Az y=0 magasságában a talaj felszíne izotermikus, t = t0 hőmérsékletű. Vezessük be a ϑ = t − t 0 hőmérsékletet, így a cső felszín ϑ c = t c − t 0 , a talaj felszín pedig ϑ = 0 hőmérsékletű lesz. Ahhoz, hogy az x - tengely vonalában izoterma legyen itt van a talaj felszín - egy, a csővel azonos geometriájú és azonos erősségű „hőnyelőt” kell feltételeznünk, a 6.10. ábra szerint melynek hőmérséklete - ϑ c
! L hőáram a forrástól számítva R1 távolságra értékű. A hosszegységre redukált Q a P pontban: Q! L = Q! L1 =
2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ (ϑc − ϑa ) . R1 ln R0
(6.86)
A nyelőtől számítva R2 távolságra a P pontban:
− Q! L = Q! L2 =
2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ (− ϑc − ϑb ) . R2 ln R0
(6.87)
A két hőáram azonos értékű, de ellentétes előjelű. A ϑ a és ϑ b hőmérsékleteket (6.86) és (6.87) egyenletekből kifejezhetjük. Ezek azok az értékek melyek a másik hőforrás jelenléte nélkül lépnének fel. A P pontbeli hőmérséklet ezek összege lesz a két hőforrás egyidejű jelenlétében, azaz:
33
R22 R2 R 1 Q! L ⋅ ln − ln Q! L ⋅ ln 2 R0 R1 R0 ϑ = ϑa + ϑb = = . 2 ⋅π ⋅ λ 4 ⋅π ⋅ λ
(6.88)
A 6.10. ábra geometriája alapján
R12 = x 2 + ( y + h) 2 , R22
2
(6.89)
2
= x + (h − y ) ,
amelyből
x 2 + (h − y) 2 Q! L ϑ= ⋅ ln , 4 ⋅ π ⋅ λ x 2 + ( h + y ) 2
(6.90)
másként pedig
e
4⋅π ⋅λϑ Q! L
=
x 2 + (h − y) x 2 + (h + y )
2 2
2
=ω =
R22 R12
.
(6.91)
Ha ϑ állandó, akkor ω is állandó, és viszont, így az izotermákat az
x 2 + (h − y) x + (h + y) 2
2 2
= ω = állandó
(6.92)
összefüggésből határozzuk meg. A (6.92)- t átalakítva a következő alakra hozhatjuk: 2
1− ω 2 4 hω 2 + − = x y 1+ ω 2 1− ω 2 2
(
)
2
,
(6.93)
így az izotermák geometriai megjelenése könnyebben felismerhető, azaz
r =
2 ⋅ h ⋅ω 1− ω 2
(6.94)
sugarú körök, melyeknek középpontjai az y tengelyen helyezkednek el,
1+ ω 2 ⋅h b= 1− ω 2 távolságra az origótól, amint azt a 6.11. ábra mutatja.
34
(6.95)
Izoterm talajfelszín y
x T4 T3
b T1 T0
T2
r
6.11. ábra Talajban futó, izotermikus csővezeték körüli hőmérséklet-eloszlás A hőáramot (6.25)- ből kifejezve kapjuk:
Q! L = 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ϑ ⋅ ln ω = 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ϑ ⋅
1 b arch r
.
(6.96)
Ez a hőáram, mely a hosszegységre redukált, a b mélységben elhelyezkedő r sugarú cső vagy kábel által generált hőáram ahonnan az alaktényezőt kifejezve:
SL =
2⋅π b arch r
,
(6.97)
egyezően a 6.4. táblázat 6. sorával. 6.2.5. GRAFIKUS MÓDSZER Az izotermák és a hőáram áramvonalak egymásra merőlegességét felhasználva, az alak tényezőt grafikus úton is meghatározhatjuk. Α ψ1 és ψ2 áramvonalak között áramló hő a T1 izotermától a T2 izotermáig a 6.12. ábra szürke ívnégyszöge alapján, a következő:
∆s ⋅ (T − T ) , Q! L 1,2 = λ ⋅ (ψ 1 − ψ 2 ) = λ ⋅ ∆n 1 2
(6.98)
ahonnan:
ψ 1 − ψ 2 T1 − T2 = ∆s ∆n
.
(6.99)
Amennyiben a hőmérséklet és a hőáram vonalakat egyenletes osztással vesszük fel, és a ∆s/∆n hányados állandó, akkor a ψa és a ψb közötti hőáram:
∆s ⋅ (T − T ) , Q! L1,2 = Q! L = λ ⋅ (ψ a − ψ b ) = λ ⋅ ms ⋅ ∆n 1 2
(6.100)
ahol ms a ψa és ψb közötti áramcsatornák száma.
35
Tb
T2 T1
Ta
Ψb
∆s Ψ2
∆n Ψa
Ψ1
6.12.ábra Az izoterma és áramvonal hálózat részlete A Ta-T1, T1-T2, . . . ,Tmn-Tb izotermák közötti hőáram azonos, így (6.100) alapján 1:
λ ⋅ (ψ a − ψ b ) = λ ⋅ ms ⋅
∆s ⋅ (T − T1 ) , ∆n a
(6.101)
2:
λ ⋅ (ψ a − ψ b ) = λ ⋅ ms ⋅
∆s ⋅ (T − T ) , ∆n 1 2
(6.102)
" m n:
∑
λ ⋅ (ψ a − ψ b ) = λ ⋅ ms ⋅
∆s ⋅ Tm −1 − Tb , n ∆n
∆s ⋅ (Ta − Tb ) . mn ⋅ Q! L = mn ⋅ λ ⋅ (ψ a − ψ b ) = λ ⋅ ms ⋅ ∆n
(6.103)
(6.104)
Az eredményt mn db egyenlet jobb és baloldalának összegzésével kaptuk. A (6.104) összefüggés átrendezésével kapjuk, hogy
m ∆s ⋅ (T − Tb ) , Q! L = λ ⋅ (ψ a − ψ b ) = λ ⋅ s ⋅ mn ∆n a
(6.105)
ahonnan az alaktényezőt kifejezve, azaz
SL =
ψ a − ψ b ms ∆s = ⋅ . Ta − Tb mn ∆n
(6.106)
A módszer alkalmazására tekintsük a két izotermikus, koncentrikus négyzet közötti izotermák és áramvonalak megszerkesztését a 6.13. ábrán. Elég lenne a szimmetria tengelyek miatt csak az 1/8-ad részt vizsgálni, de szemléletesség miatt az 1/4-ed részt ábrázoltuk. Ha ∆s/∆n=1 a „zavartalan” hálózat szabályos négyzethálózat lesz, így indulásként a saroktól távol ilyen négyzeteket rajzolunk. A hálózat megrajzolását segítik a segédkörök, melyek érintői az izotermák és az áramvonalak lesznek. A segédköröket úgy kell elhelyezni, hogy párhuzamos darabszámuk azonos legyen és érintsék egymást, amit az átmérőik változtatásával érhetünk el. A szerkesztést valamilyen egyszerű grafikus segédprogrammal célszerű végezni. A hálózat próbálgatásos rajzolása közben az áramvonal és izoterma 36
tulajdonságokat betartani és alkalmaznunk kell, azaz a vonalainknak merőlegesen kell metszenie egymást. Az áramvonalaknak a határoló izotermákra is merőlegesnek kell lennie. Az izotermák zárt görbék, vagy hőszigetelt felületről merőlegesen(ti. a szigetelt felület áramvonal ui. nem lép át hőáram rajta) illetve a végtelenből indulhatnak és végződhetnek. Az a:b:c=100:180:40 arányú két izotermikus koncentrikus négyzet közötti tartományból képzett prizmatikus test alaktényezőjére a szerkesztésünk eredményeként, a (6.106) alapján
SL ≅
7.5 = 15 . 5
(6.53)
kaptuk eredményül.
K
a
c
b 6.13. ábra Szerkesztett izotermák és áramvonalak 6.2.6. A RELAXÁCIÓS MÓDSZER A 6.2.4. és 6.2.5. pontokban síkbeli hőmérséklet-eloszlások (az izoterma vonalak) analitikus úton való meghatározásával foglalkoztunk. A relaxációs módszerrel a LAPLACE egyenlet megoldását az analitikus módszerekkel ellentétben nem folytonosan, hanem előre meghatározott, un. rácspontokban tudjuk meghatározni. Az eljárást SOUTHWELL (1946) dolgozta ki, és természetesen minden, a LAPLACE egyenlet által leírt fizikai jelenségre alkalmazható. Bontsuk a vizsgált tartományt azonos méretű cellákra, így a tartományban egy ∆x, ∆y osztású rácshálózatot kapunk, melyet a cella középpontok alkotnak, amint azt a 6.14. ábra mutatja.
37
anyag cella T i,j+1
T i,j
T i-1,j
T i+1,j
∆y ∆x
T i,j-1
6.14. ábra Folytonos tartomány cellákra osztása Az (i,j) cella és a szomszédos cellák közötti hőáramot az x és y irányában úgy írjuk fel, mintha síkfalak lennének az egyes koordináta irányokban:
(i , j − 1) → (i , j ):
λ ⋅ ∆y ⋅ Ti −1, j − Ti , j Q!i −1,i = ∆x
(
)
(6.108)
A cellába belépő és kilépő hőáram a cella hőmérséklet-változásával együtt járó belsőenergia (entalpia) időegységenkénti megváltozásával egyenlő. Állandósult állapotban azonban, mivel a hőmérsékletek állandóak, így az belsőenergia (entalpia) változás nulla értékű, azaz az (i,j) pontban a belépő és a kilépő hőáramok összege is nulla értékű:
∑ Q! = 0 = Ti −1, j + Ti +1, j + Ti , j −1 + Ti , j +1 − 4Ti , j ,
(6.109)
azaz
Ti , j ( n ) =
(
1 Ti −1, j + Ti +1, j + Ti , j −1 + Ti , j +1 4
)(
n−1)
.
(6.110)
A (6.110) egyenlet a potenciál elmélet középérték tételét fejezi ki, ami azt jelenti, hogy egy potenciál térben az adott pontbeli (potenciál)függvény értéke a pontot „körülvevő” pontokbeli függvényértékek számtani közepének értékével egyezik meg. A (6.110) egyenlet származtatható a (9.4a) differenciaegyenletből is, ha azt a tárgyalt, térfogati hőforrás nélküli, állandósult hővezetésre alkalmazzuk.) A relaxációs módszer alapja éppen a (6.110) egyenlet, és magát az eljárást pedig a következőkben foglalhatjuk össze. Az adott testet (tartományt) osszuk fel elemekre. (A felosztást befolyásolja számos körülmény, mint a test alakja, mérete a részletekre nézve rendelkezésre állnak-e ismert megoldások kiindulásnak stb.) Induljunk ki egy feltételezett (közelítő) hőmérséklet-eloszlásból. A hálózat adott rácspontjában kiszámolva a környező pontok hőmérsékleteinek számtani átlagát, ezzel az értékkel helyettesítjük az ottani hőmérsékleteket. A „régi” és az „új” hőmérsékletek eltérése a hiba, ∆εi,j:
∆εi , j = Ti (, nj ) − Ti (, nj −1) .
38
(6.111)
A sorozatos átlag számítást és cserét addig folytatjuk, míg a maximális hiba, az előre elhatározott hibakorlát mértéket (1%, 5%) meghaladja, azaz: max ε i , j ≤ hibakorlát i=1…m j=1…n A rácshálózatban a fentiek szerint eltüntetve a hibákat, a rendszer „relaxált” (a rácspontokban) állapotban lesz. A módszer illusztrálásaként megoldjuk a 6.2.5. fejezet grafikusan megoldott feladatát relaxációval. A szimmetria tengelyek kihasználásával elég egy rész tartomány vizsgálata. Vezessünk be egy rácshálózatot a 6.15. ábra szerint.
2 22
1
2
3
4
5
6
7
6
32
21
22
23
24
25
26
27
28
27
31
32
33
34
35
36
37
38
39
38
6.15. ábra Rácshálózat négyzetes cső keresztmetszetben Az hőmérséklet-eloszlás szimmetriája következtében azonos hőmérsékletű helyek azonos sorszámot kaptak, ezek a következők: 2,22,32,6,27,38. A fizikai hőmérsékletértékkel való számolás helyett a (6.112) szerinti dimenziótlan hőmérsékletre áttérve a számítandó értékek 0 és 1 közé esnek, az eredményül kapott eloszlást pedig tetszőleges hőmérsékletek esetén felhasználhatjuk ha a geometria hasonlóság fennáll az alakzatra a számolttal.
ϑ=
T − Tmin Tmax − Tmin
(6.112)
A nem sorszámozott pontokban (=perempontok) a hőmérséklet állandó, az egyik felületen 1, a másikon pedig 0 értékű. (Elhelyezésük közömbös a megoldás szempontjából, a 6.5. táblázatban a belső felületen ϑ = 1 .) A számításokat a 6.5. táblázat foglalja össze. A négyzet szelvényt síkfalnak tekintve kapjuk a kiindulási hőmérséklet adatokat, ez 0-dik közelítés. A kiindulási eloszlásnak láthatóan a sarokban – ahogy várható – a legnagyobb az eltérése a relaxált állapottól és ennek hatása „terjed” az egyes számítási lépések végrehajtásával.
39
6.5. táblázat
A hőmérséklet-eloszlás relaxációs számításának eredményei Számítási lépések száma
Pozíció
40
0
1
2
3
4
5
10
20
40
1
0,75 0,62 5
0,62 5
0,57 8
0,57 8
0,54 8
0,51 2
0,50 2
0,47 7
2
0,75 0,75 0
0,71 9
0,71 9
0,69 9
0,69 9
0,66 6
0,66 6
0,64 6
3
0,75 0,75 0
0,75 0
0,74 2
0,74 2
0,73 5
0,72 3
0,71 9
0,70 7
4
0,75 0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,74 8
0,74 8
0,74 0
0,74 0
0,73 1
5
0,75 0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,74 8
0,74 6
0,74 1
6
0,75 0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,74 9
0,74 9
0,74 5
7
0,75 0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,75 0
0,74 9
0,74 6
21
0,5
0,37 5
0,37 5
0,31 3
0,31 3
0,27 6
0,23 9
0,22 9
0,20 5
22
0,5
0,50 0
0,43 8
0,43 8
0,39 6
0,39 6
0,33 8
0,33 8
0,30 8
23
0,5
0,50 0
0,50 0
0,47 7
0,47 7
0,45 6
0,42 9
0,42 1
0,39 9
24
0,5
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,49 2
0,49 2
0,46 9
0,46 9
0,45 0
25
0,5
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,49 8
0,49 0
0,48 7
0,47 6
26
0,5
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,49 6
0,49 6
0,48 8
27
0,5
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,49 9
0,49 9
0,49 4
28
0,5
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,50 0
0,49 5
31
0,25 0,12 5
0,12 5
0,09 4
0,09 4
0,07 8
0,06 3
0,05 9
0,05 1
32
0,25 0,25 0
0,18 8
0,18 8
0,15 6
0,15 6
0,11 9
0,11 9
0,10 1
33
0,25 0,25 0
0,25 0
0,21 9
0,21 9
0,19 7
0,17 3
0,16 7
0,15 0
34
0,25 0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,23 6
0,23 6
0,20 9
0,20 9
0,19 2
35
0,25 0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,24 5
0,23 4
0,23 0
0,21 9
36
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,24
0,24
0,23
0
0
0
0
0
3
3
4
37
0,25 0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,24 8
0,24 7
0,24 2
38
0,25 0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,24 9
0,24 9
0,24 6
39
0,25 0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,25 0
0,24 7
A rácspontbeli értékek felhasználásával az izoterma vonalak menetét interpolációval határozhatjuk meg. Egy ϑ függvény érték helyét, melyre fennáll, hogy ϑa < ϑ < ϑb a következő módon kapjuk meg, helyezkedjenek el az a és b pontok akár függőleges akár vízszintesen, ekkor az interpoláció szabályai szerint
ϑ − ϑa a = . ϑb − ϑ a b
(6.113)
b a
ϑ
ϑa
ϑb
6.16. ábra Adott függvényérték helye a rácspontok között A ϑ = 0.25 izoterma a 6.5. táblázat szerint a 21 és 22 pontok között megy át, azaz ϑb = 0.308 és ϑa = 0.205 , ahonnan a helyét kiszámítva, kapjuk: 0.25 − 0.205 = 0.437 . (0.308 − 0.205)
(6.114)
A rács pontjai között hasonló módon eljárva kapjuk meg az izotermákat, melyek menetét és a 6.5. táblázatbeli eredmények megfelelő rácspont melletti feltüntetését a 6.17. ábra mutatja.
646
1
1
1
1
1
1
1
V alam ennyi 308 477 646 707 731 741 745 746 745 belsõ pontra! 101 205 308 399 450 476 488 494 495 494 0
051 101 150 192 219 234 242 246 247 246
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ϑ ⋅10−3
0
6.17. ábra A izotermák menete Kiegészítések a relaxációs módszerhez: 1./ A módszer alkalmazható akkor is, ha nincs közelítő kiindulási eloszlásunk. Tetszőleges eloszlásból kiindulva, a perem értékek hatására a rácspontbeli 41
értékek a relaxált állapothoz konvergálnak. A 6.6. táblázatban az 1-7. sorszámú pontokra vonatkozó számítási értékeket találjuk, abban az esetben amikor az indulási eloszlás mindenütt 0 érték, amint ezt a táblázat első oszlopa mutatja és néhány lépés után a konvergencia jól felismerhető. 2./ A módszer pontosságát a rácspontok száma és az alkalmazott számítástechnika számolási, számábrázolási pontossága is meghatározza. 3./ A relaxációs számítás igénye a pontok számának növekedésével növekszik. Különböző, un. „túlrelaxálási” módszerek ismertek a számítás idejének csökkentésére, melyek lényege hogy valamilyen algoritmus szerint a hibát túligazítva, a hibák eltűnése felgyorsul, mivel rácspontbeli változás monoton. Ha pl. a lépésszámot negatív kitevőként egy exponenciális függvényben szerepeltetjük, a lépések számának növekedésével a túljavítás egyre kisebb mértékű, majd eltűnik. 6.6. táblázat
Eredmények egyenletesen zérus eloszlásból kiindulva. Számítási lépések sorszáma
0
1
2
3
4
5
10
20
40
50
1
0,000
0,000
0,125
0,156
0,219
0,242
0,364
0,449
0,475 0,476
2
0,000
0,250
0,313
0,391
0,422
0,464
0,556
0,624
0,644 0,645
3
0,000
0,250
0,375
0,438
0,492
0,523
0,626
0,688
0,706 0,706
4
0,000
0,250
0,375
0,453
0,504
0,545
0,649
0,713
0,730 0,731
5
0,000
0,250
0,375
0,453
0,508
0,548
0,659
0,724
0,740 0,741
6
0,000
0,250
0,375
0,453
0,508
0,549
0,661
0,728
0,744 0,745
7
0,000
0,250
0,375
0,453
0,508
0,549
0,662
0,729
0,746 0,746
4./ Másod- és harmadfajú peremfeltételek esetében egy segédréteg felvételével a peremfeltételi egyenletnek megfelelő összefüggést írhatunk fel a perempontok függvény értékeinek meghatározásához: Másodfajú peremfeltétel esete: H atárfelület
D
q! B
A
1 (t B + t C + t D + t E ) 4
q! A ≅ − λ C
E V izsgált Segédréteg tartom ány
Harmadfajú peremfeltétel esete
42
tA =
t B − tC 2∆x
tB =
2∆x q! + tC λ
tA =
1 2 ∆x q! + 2t C + t D + t E 4 λ
(6.115)
t −t α (t A − t ∞ ) ≅ − λ C B 2∆x
H atárfelület
t∞ α
D B
A
Segédréteg
C
E V izsgált tartom ány
tB =
α ⋅ 2 ⋅ ∆x (t A − t∞ ) + tC λ
tA =
1 α 2 ∆x (t A − t ∞ ) + 2 ⋅ t C + t D + t E 4 λ
α ⋅ 2 ⋅ ∆x 1 α ⋅ ∆x t∞ 1 − t A = 2 ⋅ tC + t D + t E − λ 2⋅λ 4 tA =
(
1 1 * 2t C + t D + t E − 2 ⋅ Bi ⋅ t ∞ * 2 2 − Bi
ahol Bi * =
)
(6.116)
α ⋅ ∆x λ
A harmadfajú peremfeltételt a segédfal elvének alkalmazásával elsőfajúra vezethetjük vissza. Legyen egy négyzet keresztmetszet nyílású kémény külső kerülete is négyzet, és mind a külső, mind a belső felületen ismerjük a hőátadási tényezőket a 6.18. ábra a./ szerint. A segédfalak vastagsága a megfelelő λ/α hányadosnak felel meg, a 6.18. ábra b./ mutatja az elsőfajú peremfeltételre visszavezetett feladatot. b./
a./
α1=10 W /m 2K t∞=-10 °C
δ1 = λ=1W /m K
1 = 100mm 10 260
δ2 =
1 = 40mm 25
570
ϑ =0
α2=25 W /m 2K 120
ϑ =1 650
t∞=80 °C
970
1170
6.18. ábra A segédfal alkalmazásának szemléltetése A segédfalakkal kiegészített tartomány méreteire az 1170:650:260=180:100:40 arányok állnak fenn, így a relaxációval megoldott feladat megoldása éppen ilyen arányú tartományra vonatkozott. A 6.19. ábrán 40 mm a falvastagság, így itt a segédfalak vastagságai a következők,
δ1′ = (δ1 260) ⋅ 40 = 15.4mm , δ 2 ′ = (δ 2 260) ⋅ 40 = 6.15mm . 43
646
1
1
1
1
1
1
1
V alam ennyi 308 477 646 707 731 741 745 746 745 belsõ pontra! 101 205 308 399 450 476 488 494 495 494 0
051 101 150 192 219 234 242 246 247 246
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋅10−3
0
6.19. ábra A segédfalak alkalmazása A két vastagított vonal jelzi az anyagi tartomány határát, belül 6.15 mm, kívül pedig 15.4 mm vastag a segédfal. Például a téglakémény külső sarkának hőmérséklete az ábráról leolvasva, (0.051+0.205)/2=0.128 dimenziótlan érték, ami megfelel 1.52 °C értéknek. (-10+0.128⋅(80-(-10))=1.52). A segédfalakkal kiegészített alakzatot nem csak a hőmérséklet-eloszlás meghatározására használhatjuk, hanem az alaktényezővel a hőáramot is kiszámíthatjuk. A 6.2.5. fejezetben a tárgyalt feladat alaktényezőjére SL=1.5 értéket kaptunk, ami az 1/8 tartományra vonatkozott. A kéményfalon átmenő hőáram így a következő:
W Q! L = λ ⋅ S ⋅ ∆t = 1 ⋅ 8 ⋅ 15 . ⋅ 90 = 1080 . m
44
(6.117)
7.
HŐMÉRSÉKLET-ELOSZLÁS BELSŐ HŐFORRÁSOK ESETÉN
A hővezetés differenciálegyenletének bevezetésekor a vizsgált térfogatban adott mennyiségű hő felszabadulását is feltételeztük. Ilyen hő felszabadulás történik ha pl. elektromos áram folyik az adott térrészen keresztül, nukleáris anyagokban fellépő maghasadás történik stb. A hőfelszabadulással járó fizikai v. kémiai folyamatban résztvevő anyagok térbeli eloszlásától függ, hogy milyen lesz a folyamatból felszabaduló energia térbeli eloszlása. A hőfelszabadulás lehet az időben állandósult és változó. A továbbiakban terjedelmi korlátok miatt csak néhány, a gyakorlat számára fontos, egyszerű geometria esetére vizsgáljuk az időben állandósult, hőforrásos hővezetési feladat megoldását.
7.1. Időben állandósult belső hőforrások 7.1.1. SÍKLEMEZ HŐMÉRSÉKLET-ELOSZLÁSA BELSŐ HŐFORRÁSOK ESETÉBEN A δ vastagságú, végtelen magas, egyenletes belső hőforrással rendelkező síkfalra vonatkozó hővezetés differenciálegyenlete a következő:
∂ 2t q!v + 0= ∂x λ
(7.1)
A 7.1 ábra jelöléseivel a két peremfeltételt így írhatjuk fel: a./ Elsőfajú eset
b./ Harmadfajú eset
δ x=± : 2
t = t∞
δ x=± : 2
(t w − t ∞ ) ⋅ α = − λ
x = 0:
∂t =0 ∂x
x = 0:
∂t =0 ∂x
dt dx
(7.2)
(7.3)
A peremfeltételek első sora a definíciójuk alapján triviális. (ld.8.12 és 8.14) Mivel a vizsgált tartomány és a peremfeltételek az x = 0 , azaz az y tengelyre szimmetrikusak, a szimmetria tengelyen át nem léphet hő, tehát a hőmérsékleteloszlás görbe első deriváltja eltűnik. Ezek szerint a hőmérsékletgörbe maximuma is itt lesz, mivel a test minden más pontjában csak alacsonyabb lehet a hőmérséklet, ugyanis a hő a test belsejéből kifelé áramlik. t tt
t tt
tw
α tw =t∞ δ − 2
x a./
δ 2
t∞ δ − 2
b./
δ 2
α x
7.1 ábra Belső hőforrásos síkfal I. fajú és III. fajú peremfeltétele 45
Az u( x ) =
dt segédfüggvényt bevezetve, (7.2) kétszeres integrálásával kapjuk: dx
du q! v + . dx λ q! − ∫ v ⋅ dx = ∫ du . λ
0=
−
q! v dt ⋅ x + c1 = u = . λ dx
∫ (−
q! v ⋅ x + c1 ) ⋅ dx = ∫ dt . λ
t ( x) = −
q! v 2 x + c1 x + c2 . 2λ
(7.4)
(7.5)
A c1 és c2 integrálási konstansok értékeit pedig (7.3) a./ és b./ alattiak alapján a következőképpen határozhatjuk meg. A c1 konstans értékét az x = 0 helyen érvényes feltételből kapjuk: b./
a./
dt = 0 → c1 = 0 dx x = 0
dt = 0 → c1 = 0 dx x = 0
a c2 konstans értékét az x =
δ helyen előírt peremfeltétel alapján kapjuk: 2
a./
q! v δ 2 − ⋅ + c2 = t ∞ . 2λ 2 q! v δ 2 − ⋅ + t ∞ = c2 . 2λ 2 így a keresett hőmérséklet-eloszlás pedig
q! v 2 q! v δ 2 ⋅x + ⋅ + t∞ . t ( x) = − 2λ 2λ 2
(7.6)
q! v δ 2 q! v δ − λ ⋅ − ⋅ = α ⋅ − ⋅ + c2 − t ∞ . λ 2 2λ 2
(7.7)
b./
2 q! v δ q! v δ ⋅ + ⋅ + t ∞ = c2 . α 2 2λ 2
46
q! v δ 2
1 δ 1 ⋅ + ⋅ + t = c2 . α 2λ 2 ∞
Ahonnan az eredmény hőmérséklet-eloszlás
t ( x) = −
q! v 2 q! v ⋅ δ 1 1 δ ⋅x + ⋅ + t∞ . + 2λ 2 α 2λ 2
(7.8)
A hőmérsékleteket kifejezve a síklemez szimmetria tengelyében és a felszínén a következő összefüggéseket kapjuk: a./
x=±
δ : 2
t w = t∞ . 2
q! δ ⋅ + t∞ . tt = 2λ 2
x = 0: b./
x=±
δ : 2
tw =
(7.9)
q! ⋅ δ + t∞ 2α 2
q! δ q! ⋅ δ + t∞ ⋅ + tt = 2λ 2 2α
x = 0:
(7.10)
Vegyük észre, hogy mind az a./, mind a b./ esetben a tt − t w különbség ugyanaz az érték, így magában a testben a felszíni és a középponti hőmérséklet különbsége mindkét peremfeltétel esetén ugyanakkora, azaz a testbeli hőmérséklet-eloszlás mindkét esetben egy fordított másodfokú parabola, melynek magassága
q! δ ⋅ tt − t w = 2λ 2
2 .
(7.11)
δ helyen felírva a FOURIER törvényt, megkapjuk a síklemezből távozó 2 hőáramsűrűséget Az x =
dt q! w = − λ dx
δ 2
δ q! q! = −λ − v ⋅ 2 ⋅ = v δ . 2λ 2 2
(7.12)
7.1.2. BELSŐ HŐFORRÁSOS, VÉGTELEN MAGAS HENGER HŐMÉRSÉKLET-ELOSZLÁSA Az R sugarú, végtelen magas, belső hőforrásos hengerben, (huzalban) lejátszódó hővezetés differenciálegyenlete a következő:
0=
dt 1 dt q! v 1 d dt q! v + ⋅ + = r ⋅ + dr 2 r dr λ r dr dr λ
.
(7.13)
A peremfeltételek a 7.2. ábra szerint, a síkfallal megegyezően a./ Elsőfajú és b./ Harmadfajú esetben: a./
b./ 47
r = R: t (r ) = t∞
r = R: − λ ⋅
dt = α ⋅ (t (r ) − t∞ ) dr
Az, hogy a tengelyvonalon nincs hőáram a sugár irányában azt jelenti, hogy
r = 0:
dt =0 dr
r = 0:
dt =0 dr
t t
tt tt tw
α
tw =t∞
R
r
α
t∞ R
a./
r
b./
7.2. ábra Hőforrásos henger hőmérséklet-eloszlása, kétféle peremfeltétel esetén A (7.13) differenciál egyenletet az u = r ⋅
dt segédváltozó bevezetésével, kétszedr
res integrálással így oldjuk meg:
q! 1 du ⋅ =− v, λ r dr q! v = − du ∫ ∫ λ ⋅ rdr . q! dt u = − v ⋅ r 2 + c1 = ⋅ r . dr 2λ
(7.14)
c q! v ⋅ r + 1 ⋅ dr = dt . − 2λ r −
q! v 2 ⋅ r + c1 ⋅ ln r + c2 = t (r ) . 4λ
(7.15)
A c1 és c2 konstansokat, mint előbb a síkfal esetében, a peremfeltételek alapján határozzuk meg. A c1=0 nyilvánvaló, a
dt = 0 alapján. dr r = 0
A c2 konstans a két peremfeltételre a levezetések mellőzésével, a következő: a./
48
b./
c2 = t ∞ +
q! v ⋅ R2 . 4λ
c2 = t ∞ +
q! v q! ⋅ R2 + v ⋅ R . 4λ 2α
Így, végül a hőmérsékletet a következő függvények írják le: a./ Elsőfajú peremfeltétel esetén
t (r ) = −
q! v 2 q! v ⋅r + ⋅ R 2 + t∞ 4λ 4λ
(7.16)
b./ Harmadfajú peremfeltétel esetén
t (r ) = −
q! v 2 q! v q! ⋅r + + v ⋅ R 2 + t∞ 4 λ 2 Rα 4λ
(7.17)
A henger tengelyében és a felszínén mért hőmérsékletek különbségét kiszámítva azt kapjuk (mint a síklemez esetében), hogy mindkét peremfeltételre
tt − t w =
q! v 2 R . 4λ
(7.18)
A felszíni hőmérséklet pedig az a./ esetben a t∞ és a b./ esetben pedig
tw =
q! v ⋅ R + t∞ . 2α
(7.19)
A belső hőforrásos hővezetési feladatok egy részében a hővezetési tényező hőmérséklettől való függését is figyelembe kell vennünk, mert a testbeli nagy hőmérsékletkülönbségek miatt a legtöbb anyagra már nem tekinthetjük állandónak az értékét. Ekkor alkalmazhatjuk a KIRCHOFF transzformációt, és a 6.2. fejezet szerint határozzuk meg a hőmérséklet-eloszlását.
7.2. Elektromos fűtőtestek Az elektromos fűtőtesteket a hétköznapi és technikai élet széles körében alkalmazzuk. Az elektromos fűtőtestek kiválasztásának, méretezésének legfontosabb mozzanata az üzemeltetés termikus körülményeinek meghatározása. Már a fejezet elejében példaként említettük az áramjárta ellenállásban fejlődő hőt, a JOULE–LENZ törvény szerint az elektromos energiának termikus energiává ( hővé ) átalakulását így számítjuk: 2
U = I 2 ⋅ R [W]. Q! = U ⋅ I = R
(7.20)
A keletkező hő nagyságát a vezető ellenállása határozza meg, anyagára nézve bármilyen állapotú lehet. (Pl. gáz esetén villamos ív keletkezik.) A technikai gyakorlatban a legtöbb esetben különféle ötvözetből készült (magas hőmérsékleteket álló, nagy fajlagos ellenállású ) huzalt alkalmazunk hőfejlesztés céljából. A fűtő felületekről a fejlődő hő a hőterjedés mindhárom formájában és azok kombinációjában is távozhat a melegítendő közegbe, azaz vezetéssel és/vagy konvekcióval és/vagy sugárzással. A sugárzásos hőtranszport szerepe a magasabb felszíni hőmérsékletekben válik jelentőssé és meghatározóvá, ebben az esetben a hősugárzásra vonatkozó összefüggéseket kell alkalmaznunk. Ebben a fejezetben olyan eseteket vizsgálunk, amikor a fűtő felületről távozó hőáramot 49
döntően a konvekció határozza meg és a hőátadási tényezőt ismertnek tételezzük fel. Mint a legegyszerűbb feladatot, az ellenállás huzal felszínéről közvetlenül távozó hőáram esetét vizsgáljuk meg. Állandósult állapotban az elektromos energiából fejlődő hő teljes egészében a környező (fűtendő ) közegnek adódik át:
Q! = I 2 ⋅ R = α ⋅ A ⋅ ( t w − t f ) .
(7.21)
A vezető R ellenállását kifejezhetjük a vezeték keresztmetszetével, hosszával és ρ fajlagos ellenállásával:
[
R=ρ
Ω⋅mm2 m
]⋅ AL[ [ ] ] m
mm2
,
(7.22)
így
L Q! = I 2 ⋅ ρ ⋅ = α ⋅ A f ⋅ (t w − t f ) . A
(7.23)
Az Af az a felülete a vezetőnek amely hőátadó felületként működik. Feltételezve, hogy A f = d ⋅ π ⋅ L , azaz a hengeres ellenállás huzal teljes palástja hőátadó felület, akkor a (7.23)-t így írhatjuk:
I2 ⋅
ρ = α ⋅ d ⋅ π ⋅ (t w − t f ) ⋅ 10− 3 . 2 d π
(7.24)
Mivel a (7.24) bal oldalán mm2-ben és a jobb oldalán m2-ben kellene behelyettesítenünk, a 10-3 tényezőt azért alkalmazzuk, hogy (7.24) mindkét oldalán a d átmérő mm-ben kifejezett értékét írhassuk, (7.24) összefüggés csak az állandó (tf) hőmérsékletű fűtött közeg esetére érvényes és a ρ, I, d, α, tw paramétereknek egy kivételével való megválasztása után a hiányzót 1 meghatározhatjuk. Fejezzük ki például a szükséges átmérőt, a többi adatok ismeretében:
d =3
(
I2 ⋅ρ
)
α ⋅ π 2 ⋅ t w − t f ⋅ 10− 3
.
(7.25)
A fűtőhuzalok gyártóinak katalógusaiban találjuk meg a méretezéshez szükséges adatokat. (Azokat a huzalokat, melyek alkalmasak elektromos fűtések készítésére, szokták (az egyik gyártó nyomán) kantál drótnak vagy cekásznak is nevezni.) A fűtőhuzal időszerinti hőmérséklet-változását (be/kikapcsolás után), állandó környezeti hőmérséklet esetén így határozhatjuk meg:
(tw − t f ) ahol
α ⋅ Af I2 ⋅R = ⋅τ , 1 − exp − α ⋅ Af m⋅c m - fűtőtest /huzal tömege, c - fűtőtest /huzal fajhője.
50
(7.26)
(A belső hőforrásos testekre vonatkozó (7.1)-(7.19) összefüggéseket akkor alkalmazzuk ha a fűtőtest(huzal) átmérője olyan nagy, hogy a sugár irányú (keresztmetszetbeli) hőmérséklet-változást nem hanyagolhatjuk el.) Számos fűtési feladat esetében a tf állandóságára tett feltételezésünk nem érvényes, hiszen pl. valamely tér hőmérsékletének adott hőmérsékletig történő felmelegítési ideje az amit meg akarunk határozni. A változó hőmérsékletű fűtött közeg esetében a fűtőtestből idő egységenként felszabaduló energia a fűtött anyag belső energiájának növelésére (a fűtőtest hőkapacitását, a fűtendő téréhez képest elhanyagoljuk) és a fűtött közegből távozó hőre fordítódik, azaz
I 2 ⋅ R ⋅ dτ = m f ⋅ c f ⋅ dt + k ⋅ A ⋅ (t − t ∞ ) ⋅ dτ .
(7.27)
Ahol mf a fűtendő teret kitöltő anyag tömege, cf a hőkapacitása, k a környezet felé a hőátviteli tényező és A pedig a hőátadó felületet jelöli. Bevezetve:
θ=
I2 ⋅R , mf ⋅cf
ς=
k⋅A , mf ⋅cf
és a változókat szétválasztva kapjuk:
dt 1 d [θ − ς (t − t∞ )] = ⋅ = dτ . θ − ς (t − t∞ ) ς θ − ς (t − t∞ )
(7.28)
A (7.28) integrálásával, és figyelembe véve, hogy a τ = 0 idő pontban t = t ∞ , eredményül kapjuk, hogy:
(t − t ∞ ) =
I 2 ⋅ R k⋅A . − − ⋅ τ 1 exp m ⋅c k ⋅ A f f
(7.29)
Az adott hőmérsékletre (tc) való felmelegedési időt (7.29) alapján, így számítjuk:
τc =
mf ⋅ c f
k⋅A ⋅ ln 1 − 2 (t c − t ∞ ) . k⋅A I ⋅R
(7.30)
A τ → ∞ , állandósult állapotban a maximális hőmérséklete a fűtött közegnek
t max
I2 ⋅R = + t∞ k⋅A
(7.31)
lesz. Az elektromos fűtőtestek széles körben alkalmazott változata a köpeny– vagy csőfűtőtest, amelynek szerkezetét a 7.4. ábra mutatja. Ebben az esetben a villamos energiából átalakult hő nem közvetlenül az áramvezető felületéről adódik át a fűtött közegnek.
51
áram vezetõ villam os szigetelés
köpeny
7.4 ábra A csőfűtőtest szerkezete A csőfűtőtest hőmérséklet viszonyait a 7.5 ábra mutatja. Szigetelés vastagság
t tm ax
tk K öpeny vastagság
r 0
rv
rsz rk
7.5. ábra A csőfűtőtest hőmérséklet viszonyai Stacioner állapotban, egy adott teljesítményű és konstrukciójú köpeny fűtőtest esetében a (t max − t w ) különbség a külső hőátadási körülményektől függetlenül állandó érték. Hasonlítsuk össze a két leggyakoribb közeg, a levegő és a víz melegítése során kialakuló viszonyokat.(7.1 táblázat) A két közeg esetében a hőátadás intenzitásában (azaz a hőátadási tényezőben) kb. kettő nagyságrendnyi a különbség. 7.1. táblázat A hőátadási tényező nagyságrendje különböző közegek esetén Közeg
W α 2 m ⋅ K
levegő
~ x ⋅ 101
víz
~ x ⋅ 103 Vegyünk példaként egy 10 mm átmérőjű, 0.5 m hosszú 1 kW-os fűtőtestet. Ennek felszínén a hőáram sűrűség értéke kerekítve 64 kW/m2.
52
7.2. táblázat
Hőmérséklet-különbségek különböző közegek esetén Közeg
(t w − t∞ )
W α 2 m ⋅ K
Levegő
640
100 *
Víz
64
1000**
( * ilyen magas felszíni hőmérsékleten a sugárzás szerepe lényeges, a konvektív hőáram többszöröse, ebbe az értékbe azt is beleértjük, ld. később12.3. fejezetet. **
forrásban lévő folyadék esetében sok esetben még nagyobb az érték.)
A 7.2. táblázat adatai alapján nyilvánvaló, hogy ugyanazt a hőáramsűrűséget lényegesen eltérő felületi hőmérsékletű fűtőtest tudja csak átadni a két közegben. A folyadékok melegítésére készült konstrukciók még a felvett értéknél is nagyobb felületi hőáramra méretezettek, gázok melegítésére pedig a táblázat kiszámításához használt felületi hőáramsűrűséghez közeli felületi hőterhelés figyelembe vételével készülnek a fűtőtestek. Így, ha egy folyadék fűtésre méretezett fűtőtestet gáz közegben üzemeltetünk, nagy valószínűséggel az ellenállás huzal hőmérséklete, annak olvadás pontjáig is felmelegedhet, ami annak tönkremenetelét jelenti. A folyadék melegítésre alkalmazva, a gáz halmazállapotú közegre méretezett fűtőtest, a kialakuló alacsony felszíni hőmérséklet miatt csak korlátozott mértékű hőmérséklet-változást képes a melegítendő közegben okozni, ennek az alkalmazásnak pedig nincsen sok értelme.
53
8.
AZ IDŐBEN VÁLTOZÓ HŐVEZETÉS
8.1. Hővezetés általános differenciálegyenlete A hővezetés általános differenciálegyenletének kiindulási feltételezéseket tesszük meg.
felírásához a következő
A vizsgált tartomány kicsiny – dV – térfogat elemében (=cella) termodinamikai egyensúly van, a képzeletbeli cella válaszfalak a termikus kölcsönhatás számára átjárhatóak, a cellabeli állapotjelzők között az állapotegyenlet érvényes, és
dH = ρ ⋅ cp ⋅ dt .
(8.1)
Az energia megmaradás tétele érvényes, azaz a cellába be- és kilépő energia különbsége és a cellában felszabaduló energia teljesen a cella entalpiájának megváltozására fordítódik. A tartományban az intenzív állapotjelző (hőmérséklet) térbeli inhomogenitása az oka az extenzív állapotjelző (energia) térbeli transzportjának, amit mennyiségileg a „vezetési egyenlet” – FOURIER-törvény – ír le. Első lépésként egy tökéletesen merev, nyugvó szilárd test dV térfogat elemét tekintsük a 8.1 ábra szerint, ahol az alkalmazott derékszögű koordináta rendszernek megfelelő hőáram komponensek megváltozását követhetjük. Q z+dQ Q y+dQ
Qx Q x+dQ Qy Qz 8.1. ábra Hőáram komponensek megváltozása a dV térfogatelemben A dx–dy–dz elemi élű kockán az x irányban a be és kilépő hőáram különbsége:
∂ ∂t Q! x ( x ) − Q! x ( x + dx ) = dydz )dx . (−λ ∂x ∂x
(8.2)
Hasonlóan az y és z irányban:
54
∂ ∂t Q! y ( y ) − Q! y ( y + dy ) = dxdz)dy . ( −λ ∂y ∂y
(8.3)
∂ ∂t Q! z ( z ) − Q! z ( z + dz ) = dxdy )dz . (−λ ∂z ∂z
(8.4)
Felírva a dV térfogat energiamérlegét: keletkező energia - (ki - bemenő energiaáram) = entalpia megváltozás. ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂t q!V dxdydz − ( − λ . )+ (−λ )+ ( − λ ) dxdydz = ρ c p (dxdydz) ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂τ ∂ x
(8.5)
(dxdydz)=dV tetszőleges, – dx, dy, dz egyike sem zérus – de nem zérus értékkel egyszerűsítve:
∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂t . q!V + ( λ )+ (λ )+ (λ ) = ρ c p ∂y ∂y ∂z ∂z ∂τ ∂ x ∂ x
(8.6)
Ha a λ hővezetési tényező nem függ a hőmérséklettől, írhatjuk, hogy:
∂ 2 t ∂ 2 t ∂ 2 t ∂t + + =ρc q!V + λ . 2 2 2 ∂ τ ∂y ∂ z ∂ x bevezetve az a =
λ ρc
(8.7)
hőmérsékletvezetési tényezőt és ρc-vel való osztás után
kapjuk:
∂ 2 t ∂ 2 t ∂ 2 t ∂ t q!V + a + + . = 2 2 2 ρc ∂τ ∂y ∂ z ∂ x
(8.8)
A henger és gömbi koordináta rendszerekre érvényes differenciálegyenletek a következők: henger (r,ϕ,z) koordinátákkal:
∂ 2 t 1 ∂ t q!V 1 ∂2 t ∂2 t ∂ t + a + + + . = 2 2 2 2 ρc ∂ ∂τ r r ∂ z r ∂ϕ ∂ r
(8.9)
gömbi (r,ϕ,ω) koordináták esetén: ∂ 2 t 2 ∂ t q!V ∂ ∂t ∂2 t ∂ t 1 1 (sin ϕ )+ + a + + . (8.10) = 2 r∂r ρc ∂ ϕ r 2 sin 2 ϕ ∂ ω 2 ∂τ r 2 sin 2 ϕ ∂ϕ ∂ r A (8.8),(8.9) és (8.10) egyenletekben a szögletes zárójelben álló kifejezések a ∇2 differenciál operátornak megfelelő parciális differenciálások eredményeként adódnak, az egyes koordináta rendszereknek megfelelően. A helyvektort jelölje: r , a hővezetés általános differenciálegyenletének koordináta rendszertől független, állandó együtthatós alakját így írhatjuk:
q!V ∂ t (r , τ ) + a∇ 2 t (r , τ ) = . ρc ∂τ
(8.11)
Időben állandósult esetekben a jobb oldal zérus, a (8.11) egyenlet pedig közönséges differenciálegyenletté válik, melynek megoldásaival a 6-7. fejezetekben foglalkoztunk. Az időben változó hővezetési feladat megoldása azt jelenti, hogy meghatározzuk t ( r , τ ) függvényt azt a mely megoldásfüggvénye a hővezetés 55
differenciálegyenletének, továbbá kielégíti az adott feladatban szereplő test (tartomány) határán érvényes, a test és a környezete közötti kölcsönhatásokat leíró un. peremfeltételi egyenleteket is. A t ( r , τ ) előállításához továbbá ismernünk kell a nulla időpillanatban fennálló hőmérséklet-eloszlást, ez az un. kezdeti feltétel. (A perem- és kezdeti feltételeket együttesen mellék feltételeknek nevezzük.) Gondoljunk például arra az esetre amikor egy szobahőmérsékletű testet egy hőkezelő kemencébe helyezünk és a test felmelegedésének folyamatát akarjuk leírni. Ekkor a kezdeti feltétel: Állandó a hőmérséklet a test minden pontjában a melegítési folyamat nulladik időpillanatában. Általánosan a kezdeti feltételt így fogalmazhatjuk meg:
t (r , τ ) τ = 0 = g (r ) ,
(8.12)
ahol g() meghatározott, általunk ismert függvény. A hővezetési folyamatok során a testek felszínén (peremen) alapvetően a következő három féle peremfeltételt különböztetjük meg: Elsőfajú a peremfeltétel, ha a tartomány adott határán a hőmérséklet értékét ismerjük. Ez jelentheti azt is, hogy valamilyen állandó érték, vagy ha nem állandó, akkor az idő ismert függvénye szerint változik. Ilyen eset az, amikor ismerjük a test felszíni hőmérsékletét ami állandó, mert pl. tökéletes hőkontaktusban van egy végtelen hőkapacitású “hőtartállyal”. Változhat a felszín hőmérséklete pl. periodikusan (ω körfrekvenciával) tw=t0sin(ωτ). Másodfajú a peremfeltétel, ha a tartomány adott határán a q! w hőáramsűrűséget ismerjük, ami a FOURIER-törvény szerint egyben azt jelenti, hogy a hőmérsékletet meghatározó t ( r , τ ) függvény differenciálhányadosát ismerjük a peremen. Ez lehet állandó, vagy az idő ismert függvényeként változó érték. Matematikailag megfogalmazva:
q! w = − λ
dt , dn w
(8.13)
ahol az n a felületre merőleges normál vektor, a w index pedig a felszínre utal. Előírt hőáramsűrűséget jelent pl. az ha elektromos fűtőtesttel melegítjük a test felszínét. Speciális eset a hőszigetelt felszín, ilyenkor a hőáramsűrűség és ezzel a hőmérsékletet leíró függvény normális irányú deriváltja is zérus. Harmadfajú a peremfeltétel, ha a test adott felszínén a hőáramsűrűség arányos a test felszíni és a környezet hőmérsékletének a különbségével - azaz ha hőátadás történik. Ekkor a hőátadás alapegyenlete és a FOURIER-törvény alapján írhatjuk:
−λ ahonnan: 56
dt = α (t w − t foly ) , dn
(8.14)
−
dt (t w − t foly ) = . λ dn α
(8.15)
A (8.15) egyenlet szerint a hőmérsékletet a test belsejében leíró függvény deriváltjának értéke a test felszínén minden időpillanatban arányos a felszín és a vele érintkező közeg hőmérsékletének különbségével, az arányossági tényező pedig a hőátadási- és a hővezetési tényező hányadosa. A peremfeltételeket geometriailag, egydimenziós esetben a 8.2.ábra szemlélteti. t
t t(x,τ3) t(x,τ2) t(x,τ1)
tw
t
α α α
t(x,τ3)
tw 2
t(x,τ2)
t(x,τ2)
tw 1
t(x,τ1)
t(x,τ1)
q! tan(α ) = w λ
R tfoly
λ/α
Elsőfajú
Másodfajú
Harmadfajú
A hőmérsékletgörbék felszíni pontja közös.
A hőmérsékletgörbék felszíni érintőjének meredeksége azonos.
A hőmérsékletgörbék felszíni érintői mind az (R) pontba mutatnak.
8.2. ábra Peremfeltételek geometriai jelentése Az áramló közegek esetében egy dV térfogatelem energia mérlegében az energiaáram és a felszabaduló energia mellett a cellába be és kiáramló anyag entalpiaárama okozta változást is figyelembe kell vennünk, így a w sebességgel áramló közeg esetében a (8.6) egyenlet a következő: ∂ ∂ t ∂ t ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂t ∂t q!V + wx + wy + wz . (8.16) + (λ )+ (λ )+ (λ ) = ρ c p ∂y ∂y ∂z ∂z ∂y ∂ z ∂ x ∂ x ∂ τ ∂ x A hővezetés differenciálegyenletének további még általánosabb alakját a felületi és térfogati erők munkáját figyelembe vevő tag(ok)nak az energiamérlegbe való bevonásával kaphatjuk meg. Ez utóbbinak, és az áramló közegekre vonatkozó hőmérséklet-eloszlások meghatározásának a tárgyalásával, a kereteinket meghaladó matematikai apparátus igény miatt nem foglalkozunk. A hővezetés általános differenciálegyenletének megoldásai és megoldási módszerei közül a gyakorlatban fontos, egyszerűbb fejezetei következnek a továbbiakban.
57
8.2. A hővezetés differenciálegyenletének egydimenziós alapmegoldásai A hővezetés differenciálegyenletének a gyakorlat számára fontos megoldásait a D. BERNOULLI nyomán, szorzat szeparációval határozhatjuk meg. A FOURIER egyenletet általánosabban így írhatjuk:
∂ 2 t n ∂t ∂t = a 2 + , ∂τ r ∂r ∂r
(8.17)
ahol n=0 a síkfalak, n=1 hengerek és n=2 gömbök esetében. A t(r,τ) megoldást két függvény szorzataként feltételezzük, ahol az egyik csak a helytől, míg a másik csak az időtől függ:
t (r , τ ) = Φ (τ ) ⋅Ψ (r ) .
(8.18)
A (8.18) feltételezett megoldást a (8.17) egyenletbe helyettesítve, két közönséges differenciálegyenletet kapunk, amelyeknek ugyanazon értékkel – az un. szeparációs állandóval – kell megegyezniük
1 Φ′ 1 = ±β 2 = Ψ aΦ
nΨ ′ Ψ ′′ + , r
(8.19)
mivel a Φ független r-től és a Ψ pedig független τ-tól. A (8.19) baloldali egyenlet megoldása
Φ = C0 ⋅ exp( ± β 2 aτ ) ,
(8.20)
ahol fizikai értelme csak a negatív előjelű kitevőnek van, hiszen hőforrások hiányában a hőmérséklet a testek belsejében csak csökkenő tendenciájú lehet. A (8.19) jobb oldali differenciálegyenlet megoldásai az n érték függvényében a következők: 8.1. táblázat A szorzat szeparációs megoldás síkfal, henger és gömb esetén Geometria
n
Ψ (r )
síkfal
0
C1 ⋅ cos( β ⋅ r ) + C2 ⋅ sin( β ⋅ r )
henger
1
C1 ⋅ J 0 ( β ⋅ r ) + C2 ⋅ Y0 ( β ⋅ r )
gömb
2
C1 ⋅
1 1 sin( β ⋅ r ) + C2 ⋅ cos( β ⋅ r ) β ⋅r β ⋅r
(A J0 és Y0 az első és másod fajú, nullad rendű BESSEL függvényeket jelölik.) A (8.18) megoldást általánosan így írhatjuk:
t (r , τ ) = C0 ⋅ exp( − β 2 aτ ) ⋅Ψ ( β ⋅ r ) .
(8.21)
Vegyük észre, hogy (8.21) végtelen sok megoldást jelent, hiszen a C0,C1,C2 és β>0 állandók tetszőleges értékűek lehetnek, melyek konkrét értékeit az adott feladatra vonatkozó kezdeti és peremfeltételi egyenletekből kell meghatároznunk. Általánosan az adott geometriának megfelelő (8.1. táblázat szerinti) függvényekből álló végtelen sorokkal tudjuk az előírt kezdeti és peremfeltételeket 58
kielégítő megoldást előállítani, kihasználva, hogy a megoldások lineáris kombinációja is megoldása egy lineáris differenciálegyenletnek. A FOURIER egyenletnek n=0 esetében, a dimenziók vizsgálata alapján feltételezx hetjük, hogy létezik az x és τ változókból képzett, ξ = dimenziótlan 2 a ⋅τ változótól függő megoldása, azaz
t ( x , τ ) = Θ (ξ ) .
(8.22)
A Θ(ξ) és ξ -vel a (8.17) egyenlet, n=0 esetén közönséges differenciálegyenlethez vezet
Θ ′′ + 2 ⋅ ξ ⋅ Θ ′ = 0 ,
(8.23)
melynek általános megoldása
Θ = C1 ⋅
x ( 2 aτ )
∫ exp(ξ
2
)dξ + C2 .
(8.23)
0
A (8.23) megoldásban megjelenő integrál a GAUSS hiba integrál, amit röviden hibafüggvénynek nevezünk és erf(z) a használatos jelölése, a definíciója pedig
erf( z) =
2 z ⋅ ∫ exp( −ξ 2 ) dξ . π 0
(8.24)
A FOURIER egyenlet lineáris volta miatt a megoldásokon végzett lineáris operációk eredményeként kapott függvények is megoldások lesznek. Így a (8.23) a τ vagy x szerinti differenciálásával további megoldások kaphatók. Az x változó szerinti első derivált:
C x2 ⋅ exp( − t ( x,τ ) = ), 4 aτ 2 aτ
(8.25)
valamint az ismételt differenciálás eredményeként kapott
t ( x,τ ) =
C 4(a ⋅ τ )
3 2
x2 ⋅ exp( − ), 4aτ
(8.26)
függvényeket fundamentális megoldásoknak hívjuk, amelyeket a végtelen rövid idő alatt bekövetkező, véges hőfelszabadulás hatására fellépő hőmérsékleteloszlások meghatározására használhatunk fel. A következő fejezetekben, a bemutatott alapmegoldásoknak néhány hővezetési feladat megoldására való alkalmazásával foglalkozunk.
8.3. Hasonlóság, dimenziótlan egyenlet A különböző fizikai folyamatokat a rájuk vonatkozó differenciálegyenletek írják le. Ezek a bennük szereplő tagok dimenziójára nézve homogének (azonos a tagok mértékegysége). Így lehetőség van arra, hogy alkalmas átalakításokkal a leíró differenciálegyenleteket mértékegységtől független alakra hozzuk. Mindez a 59
feladatok megoldásához szükséges kezdeti és peremfeltételekre is érvényes. Általánosan megfogalmazva két fizikai jelenséget akkor nevezünk hasonlónak, ha a jelenségekre vonatkozóan teljesülnek a következők: • a leíró differenciálegyenletek dimenziótlan alakja azonos • geometriai körülmények hasonlóak, egyszerű geometriai transzformációval azonossá tehetők a geometriák • kezdeti feltételek dimenziótlan alakja azonos • peremfeltételek dimenziótlan alakja azonos A dimenziótlan paraméterek használata több szempontból is előnyös. Egyrészt a dimenziótlan paraméterek bevezetése révén az esetek nagy többségében redukálható az ismeretlenek száma, másrészt az így nyert megoldások érvényesek valamennyi, a hasonlósági feltételeket kielégítő fizikai probléma esetében. Tekintsük a (8.17) sík, henger és gömbi geometriákra vonatkozó FOURIER egyenletnek dimenziótlan alakra hozását, majd a szorzat szeparációs megoldás alkalmazását a szimmetrikusan, állandó hőmérsékletű közeggel hűtött (vagy fűtött), állandó kezdeti hőmérsékletű, állandó anyag jellemzőjű, belső hőforrásoktól mentes síkfalban lejátszódó hővezetési folyamat meghatározására. A 8.3. ábrán a geometriai, a hőmérséklet és a peremfeltélei viszonyokat ábrázoltuk.
ϑ
t
ϑ0=1
t0 t(x,τ1)
ϑ(ξ,Fo1)
t(x,τ2)
ϑ(ξ,Fo2)
t∞ λ/α
x L
-L
ϑ=0
ξ -1
1
1/Bi
8.3.ábra Síkfal időben változó hővezetéséhez Vezessük be a következő mértékegység nélküli változókat (ld. 8.3. ábra):
ξ=
x t ( x ,τ ) − t∞ ; ϑ= L t0 − t∞
(8.27)
Az L a síkfal fél vastagsága, ezzel az (-L,L) tartományt a (-1,1)-re képeztük le. A ϑ dimenziótlan hőmérsékletet így felírva, a kezdeti pillanatban ϑ=1, végtelen hosszú idő múlva pedig ϑ=0 és minden időpontban értéke a (0,1) tartományban fog változni. (Hengerek és gömbök esetében a dimenziótlanításhoz a sugarat (R) használjuk.) A ϑ,ξ változókkal (8.17) egyenletet felírva kapjuk: 60
∂ 2ϑ n ∂ϑ δϑ L2 = ( t0 − t∞ ) 2 + (t0 − t∞ ) . ξ ∂ξ ∂τ a ∂ ξ
(8.28)
L2 aτ dFo = dτ , amivel (8.28) Bevezetve a Fo = 2 dimenziótlan változót, melyre a L dimenziótlan differenciál egyenletté válik, azaz
∂ϑ ∂ 2ϑ n ∂ϑ = + . ∂Fo ∂ξ 2 ξ ∂ξ
(8.29)
A bevezetett Fo dimenziótlan mennyisséget FOURIER számnak nevezzük. A Fo szám a hőmérséklet-eloszlások időbeli hasonlósági kritériuma, ugyanis a aτ különböző anyagjellemzőjű testek esetében, ha a Fo = mennyiség azonos, L2 akkor ugyanarról, a (8.29) egyenletet kielégítő, megoldásról van szó. A geometria hasonlóságot az alakzat rögzítésével valamint a dimenziótlan helykoordináta ennek megfelelő bevezetésével, a kezdeti feltételek hasonlóságát pedig a dimenziótlan hőmérséklet bevezetésével megoldottnak tekinthetjük. A peremfeltételek hasonlóságának kérdését a harmadfajú peremfeltételek esetére vizsgáljuk meg. A (8.14) egyenletet írjuk fel a ξ,ϑ változókkal:
1 δϑ ϑ w δξ
= w
αL = Bi λ
(8.30)
A (8.30) egyenlet jobboldalán álló dimenziótlan mennyiséget, BIOT-számnak nevezzük, jelölése Bi. Az αL/λ számérték azonossága esetén a dimenziótlan hőmérséklet aránya a dimenziótlan hőmérséklet-differenciálhányadoshoz azonos. Ez nem más, mint a harmadfajú peremfeltétel hasonlóságát biztosító feltétel. Összefoglalva, a dimenziótlan hőmérsékletfüggvény formája a következő:
ϑ = f (ξ , Fo, Bi )
(8.31)
A megoldandó differenciálegyenlet a (8.29), a peremfeltétel a (8.31) összefüggés és a kezdeti feltételt pedig a ϑ (ξ , Fo = 0) = 1 összefüggés jelenti. A (8.29) megoldását, szorzat szeparációval határozhatjuk meg, a 8.1. táblázat szerint síkfalnál (n=0) a megoldás sin() és cos() függvényekből, valamint exponenciális tagokból áll. Mivel a kezdeti eloszlásunk és a peremfeltételek szimmetrikusak, a sin(βnξ) tagok együtthatóinak el kell tűnniük, mert a szimmetriát csak a páros függvényekkel (f(x)=f(-x)) tudjuk leírni. A Ci konstansok értékeit a kezdeti feltétel függvény (ξ>1: f(ξ)=0, 1≥ξ≥-1:f(ξ)=1, -1>ξ: f(ξ)=0) un. FOURIER sorfejtésével határozhatjuk meg: 1
∫ f (ξ ) cos( βnξ )dξ = 2 sin( βn ) . C2 ,n = −1 1 2 βn ) cos( βn ) + βn sin( β ξ ξ d cos ( ) ∫−1 n
(8.32)
61
1 β n = ctg ( β n ) Bi egyenlet gyökei, mely sajátértékek biztosítják, hogy valamennyi cos(βn)-re az érintők a 8.3 ábra szerinti, 1/Bi pontba mutatnak. A βn un. sajátértékek pedig a (8.30) egyenletből származó,
A dimenziótlan megoldás így a következő ∞
ϑ = 2 ∑ e − ( βn ) n =1
2
Fo
sin( βn ) cos( βnξ ) sin( β ) cos( β ) + β . n n n
(8.33)
A számítások céljára bonyolult (8.33) megoldást néhány kitüntetett ξ értékre diagramban ábrázolhatjuk pl. úgy, hogy a ϑ(Fo,Bi) függvényben a Bi -t független változónak választva, a Fo szerint paraméterezett görbéket rajzoljuk meg. Hengeres és gömb alakú tartományok esetében a megoldás alakjai a (8.33) egyenlethez hasonlóak, azzal, hogy a 8.1 táblázat megfelelő sorában álló függvények alkotják a végtelen sorokat. A 8.4-9. ábrák a síkfal, henger és gömb felszíni és középponti dimenziótlan hőmérsékletét ábrázolják. A vízszintes tengelyen a Bi szám logaritmikusan változik. A (8.33) típusú megoldások Fo<0.1 esetében nem kellő konvergenciát mutatnak, így ebben a tartományban, azaz a hővezetési folyamatok kezdeti szakaszában nem alkalmazhatók. Kiegészítő megjegyzések az egyszerű geometriára vonatkozó, végtelen soros megoldásokhoz: Egy a,b,c oldalú téglatest dimenziótlan hőmérsékletét, az a vastagságú, b vastagságú és c vastagságú síkfalakkal számított dimenziótlan hőmérsékletek szorzataként állíthatjuk elő. Egy h magasságú R sugarú henger dimenziótlan hőmérsékletét mint az R sugarú végtelen magas hengerre és a h vastagságú végtelen síkfalra számított dimenziótlan hőmérsékletek szorzataként számíthatjuk.
8.4. ábra Dimenziótlan hőmérséklet végtelen síkfal felszínen
62
8.5. ábra Dimenziótlan hőmérséklet végtelen hosszú henger felszínen
8.6.ábra Dimenziótlan hőmérséklet gömb felszínen Bi 0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
(Mindhárom fenti ábrára)
8.7. ábra Dimenziótlan hőmérséklet végtelen síkfal középsíkjában 63
8.8. ábra Dimenziótlan hőmérséklet végtelen hosszú henger tengelyében
8.9.ábra Dimenziótlan hőmérséklet gömb középpontjában Bi 0.001
0.01
0.1
1 10 (Mindhárom fenti ábrára)
100
1000
8.4. Hőmérséklet-eloszlás fél-végtelen testek esetében 8.4.1. A FELSZÍNI HŐMÉRSÉKLET UGRÁSSZERŰ VÁLTOZÁSA Egy olyan tartományt, (8.10. ábra) amelynek egy szabad felszínére merőlegesen és párhuzamosan a térbeli kiterjedése végtelen, un. fél-végtelennek nevezünk. A hőmérsékletet egy ilyen test esetében, a felszínre merőleges irányú, egydimenziós eloszlásnak tételezhetjük fel, azaz a felszínnel párhuzamos izotermikus felületek hőmérséklete a felszíntől mért távolságtól függ.
64
t tf t (x,τ) x x=0,felszín 8.10. ábra Fél-végtelen test Feltételezve, hogy a kezdetben egyenletes t0 hőmérsékletű test felszínének hőmérsékletét ugrásszerűen tw értékre változtatjuk, azaz a felszínen a peremfeltétel Elsőfajú, a (8.24) hibafüggvénnyel írhatjuk le a t(x,τ) hőmérséklet eloszlást. t0
tw
τ =0
t(x,τ )
t(x,τ)
x
tw
t0
Felszín hõm érséklete ugrásszerûen csökken
τ =0
x
Felszín hõm érséklete ugrás szerûen nõ
8.11. ábra Hőmérséklet változása a fél-végtelen testben A felszíni hőmérséklet kisebb értékűre változása esetén
x t ( x ) − t w = (t o − t w ) ⋅ erf . 2 a ⋅τ
(8.34)
A felszíni hőmérséklet nagyobb értékűre ugrása esetén
x t ( x ) = t w − (t w − t 0 ) ⋅ erf . 2 a ⋅τ
(8.35)
Legyen ∆t=to-tw, így az előző két összefüggést, így írhatjuk
x t ( x ) = ∆t ⋅ erf +t , 2 aτ w
(8.36)
x t ( x ) = ∆t ⋅ 1 − erf +t . 2 aτ 0
(8.37)
Az x irányú hőáramsűrűséget a FOURIER törvény alapján a (8.36) megoldásból
x2 1 q! = − λ∆t exp − πaτ 4aτ
[ ] W m2
(8.38)
alakban kapjuk meg. A szabad felszínen, x=0 helyettesítéssel a hőáramsűrűség 65
1 πaτ
q! w = − λ∆t
[ ]. W m2
(8.39)
A (8.39) egyenletben a hőmérsékletvezetési tényező kifejezését (a=λ/ρc) behelyettesítve kapjuk, hogy
q! w = − λρc ⋅∆t
1 πτ
[ ] W m2
,
(8.40)
ahol a λρc =b mennyiséget az adott test hőbehatolási tényezőjének szokás nevezni, mely érték az adott test hőfelvevő képességére jellemző. A hőmérsékletugrástól eltelt Uτ idő alatt az A felületű felszínen leadott teljes hőáramot a (8.40) integrálásával számíthatjuk ki:
Qw = − A ⋅ b ⋅ ∆t ⋅
Uτ
∫ 0
Uτ 1 . dτ = −2 A ⋅ b ⋅ ∆t ⋅ πa πτ
(8.41)
A valóságos testeket fél-végtelen testként kezelhetjük a hővezetési folyamatok kezdeti szakaszában, ugyanis ekkor még a hőmérséklet-változások a felszín közeli, a test kiterjedéséhez képest vékony rétegre korlátozódnak, így pl. a Fo<0.1 esetében 8.3 fejezet nem kellően konvergens sorfejtéses megoldásai helyett a hibafüggvényes megoldás alkalmazása célszerű. 8.4.2. KÉT, KÜLÖNBÖZŐ HŐMÉRSÉKLETŰ, FÉL-VÉGTELEN TEST ÉRINTKEZÉSE Érintkezésbe hozva a t1 és a t2 hőmérsékletű fél-végtelen testeket, a kialakuló viszonyokat a 8.12. ábra mutatja. A két fél-végtelen test érintkezésekor a kontaktus felszín hőmérséklete az összeérintést követően nagyon rövid idő alatt kialakul, és az időtől függetlenül állandó az értéke. Így a két testben a kialakuló hőmérséklet-eloszlások olyanok, mint a felszíneknek t1-ről te-re illetve t2-ről te-re való hirtelen ugrása esetében, amit (8.36) és (8.37) összefüggésekkel írhatunk le.
t2
λ1,ρ1,c1 τ>0 τ>0
te
λ2,ρ2,c2,
t1 x1
x2
8.12.ábra Két fél-végtelen test érintkezési pontjának hőmérséklete Az érintkezési pontbeli hőmérsékletet az egyik testből a felszínen át a másik testbe lépő hőáramsűrűségek egyezőségéből fejezhetjük ki, azaz (8.40) alapján
q!1w = ( te − t1 ) λ1ρ1c1 66
1 = ( t2 − te ) λ2 ρ2 c2 πτ
1 = q!2 w , πτ
(8.42)
azaz
(te − t1 ) ⋅ b1 = (t2 − te ) ⋅ b2 ,
(8.43)
ahol b1 = λ 1ρ1c1 és b2 = λ 2 ρ 2 c2 . Kifejezve az érintkezési pontbeli hőmérsékletet, kapjuk
te =
t2 ⋅ b2 + t1 ⋅ b1 . b2 + b1
(8.44)
A (8.44) összefüggés magyarázata annak a ténynek, hogy különböző anyagú, de azonos hőmérsékletű testek tapintása eltérő hőmérséklet – hő – érzetet keltenek bennünk. Az érintkezési hőmérsékletet – egyben a magasabb hőmérsékletű testből távozó hőáramot – a kontaktusba hozott anyagok hőbehatolási tényezőinek értéke határozza meg. 8.4.3. PERIODIKUSAN VÁLTOZÓ FELSZÍNI HŐMÉRSÉKLET A hőmérséklet periodikus változása a hétköznapi élet és a műszaki gyakorlat fontos jelensége. A Föld forgásából és a Nap körüli keringéséből napi és éves periódus idejű hőmérséklet-változások adódnak például, míg a technika területén elegendő pl. a ciklikus működésű hőerőgépekben, regeneratív hőcserélőkben lejátszódó periodikus hőmérséklet-változásokra utalnunk. A sokféle és bonyolult periodikus hővezetési feladat közül, a felszíni hőmérséklet végtelen hosszú ideje tartó periodikus ingadozása következtében kialakuló hőmérséklet-eloszlás leírásával foglalkozunk következőkben. Ebben az esetben a vizsgált tartomány kezdeti, azaz a periodikus hőmérséklet-gerjesztés előtti, hőmérséklet-eloszlásának hatása a hőfokmezőre nem érvényesül. Így mindenütt egy tk középérték körül fog periodikusan ingadozni a hőmérséklet. A felszíni hőmérséklet-ingadozást mint a legnagyobb kitérést jelölje ta. A t(x,τ) t ( x,τ ) − t k hőmérséklet helyett vezessük be a ϑ = dimenziótlan hőmérsékletet. ta Az x=0 síkban, azaz a felületen a hőmérséklet-ingadozását leíró peremfeltétel
t w = t ( x , τ ) x = 0 = ta ⋅ cos(
2π ⋅ τ ) = ta ⋅ cos(ω ⋅ τ ) , τp
(8.45)
ahol τp a hőmérséklet-ingadozás periódus ideje, ω a frekvenciája és ta az amplitúdója. A ϑ dimenziótlan hőmérsékletre vonatkozóan (8.45)
ϑ w = cos(ω ⋅ τ ) .
(8.46)
A FOURIER egyenlet a ϑ dimenziótlan hőmérsékletre
∂ϑ ∂ 2ϑ =a 2 , ∂τ ∂x
(8.47)
és a (8.46) peremfeltételi egyenletet kielégítő megoldása pedig
ϑ ( x, τ ) = exp( − x ⋅ ω 2a ) ⋅ cos(ω ⋅ τ − x ⋅ ω 2a ) .
(8.48)
67
ta(x) ta t
tk
τ1
λt τ2
x
8.13. ábra Hőmérséklethullámok fél-végtelen testben A (8.48) megoldásról a következőket állapíthatjuk meg: −
A felszíntől távolodva, a test belsejében a hőmérséklet-ingadozások amplitúdója a t a ( x ) = t a ⋅ exp( − x ⋅ ω 2a ) összefüggés szerint exponenciálisan csökken, ahol ta(x) az x helyen fellépő amplitúdót jelöli.
− A felszíntől távolodva, a felszíni ingadozásokhoz képest, a test belsejében egyre növekvő mértékű a fáziskéltetés, azaz ϕ ( x ) = x ⋅ ω 2a . − Az azonos fázisú ingadozások egymástól mért távolságát, azaz a hőmérsékleti λt hullámhosszát a 0 = ω ⋅ τ − λt ⋅ ω 2a hullámok összefüggésből határozhatjuk meg, így λt = 2π ⋅ 2a ω . − A hőmérsékleti hullámok terjedési sebességét pedig a
λt w= = 2 aω τp
összefüggésből határozhatjuk meg. Ez a sebesség egyrészt az ω frekvenciától, másrészt az adott anyag hőmérsékletvezetési tényezőjétől függ, és ez a magyarázata az a = λ ( ρ ⋅ c) elnevezésének. A hőmérséklet amplitúdójának csökkenése annál gyorsabb, minél nagyobb az ω 2a mennyiség, azaz minél nagyobb az ingadozások frekvenciája és kisebb a hőmérsékletvezetési tényező. A elmondottaknak megfelelően, a fél-végtelen testben terjedő hőmérséklethullámokat a 8.13. ábra mutatja, két különböző, τ1,τ2 időpontban. A periodikus hőmérséklet ingadozások hatására a τ1–τ2 időtartam alatt a test A felszíne által felvett/leadott hőt a FOURIER törvény szerint felírt hőáram függvénynek (8.49) τ1–τ2 határok közötti integrálásával számíthatjuk ki, melynek eredményeként kapjuk
Q! = λ ⋅ A ⋅ t w ⋅ ω a ⋅ cos(ωτ + π4 ) , τ2 cos(ωτ − π4 )dτ . τ1
Q = λ ⋅ A ⋅ tw ⋅ ω a ⋅ ∫
(8.49) (8.50)
A hőáram iránya a hőmérséklet ingadozásának megfelelően változik, így a (8.50) integrálás határainak megválasztásán múlik, hogy az ingadozás mely szakaszát vizsgáljuk. Ha a pozitív hőáramokat, azaz a test által felvett hőt 68
kívánjuk meghatározni a − π ≤ (ωτ + π ) ≤ π tartományt kell vizsgálnunk és az eredmény pedig a következő
2
Qbe =
4
2 ω
2
λρc ⋅ A ⋅ t w .
(8.51)
A frekvencia növekedésével, a Qbe értéke csökken, és arányos a hőbehatolási tényezővel, valamint a felületi hőmérséklet amplitúdójával.
8.5.
A "belső" hőellenállás nélküli testek lehűlése (felmelegedése)
A Bi számban szereplő L/λ hányadost a test „belső hőellenállásának” nevezzük. Abban az esetben ha a Bi << 1 azaz, az L/λ értéke elég kicsi a hőátadáshoz viszonyítva (pl. fémek szabad levegőn való hűlése esetén), a hőmérséklet-eloszlás a tárgyak belsejében gyakorlatilag állandó, azaz egyetlen hőmérséklettel jellemezhetjük a test egészének hőmérsékletét. A kezdetben t0 hőmérsékletű testet egy t∞ hőmérsékletű közeggel kapcsolatba hozva, a hőmérséklet – idő függvény a következő
t = t ∞ + (t0 − t ∞ ) ⋅ e ahol:
−α F τ mc
,
(8.52)
α a test felületén a hőátadási tényező,
m a test tömege, c a test fajhője, F a hőátadó felület. mc Az idő dimenziójú hányadost a folyamat időállandójának nevezzük. αF
69
Ez az oldal szándékosan maradt üresen!
70
9.
KÖZELÍTŐ MÓDSZEREK
A hővezetési problémák megoldása a hővezetés differenciálegyenletének az adott feladatra vonatkozó kezdeti és peremfeltételeket kielégítő megoldásának a meghatározását jelenti. A műszaki feladatok sok esetében – a vizsgált tartomány bonyolultsága, a peremfeltételek miatt (pl. nem állandó hőátadás) vagy az anyagjellemzők hőmérsékletfüggése miatt – a differenciálegyenlet szükséges megadását analitikus módon nem tudjuk előállítani, vagy nincs megfelelő irodalmi forrásunk. Ebben az esetben a hővezetés differenciálegyenletének az adott problémára vonatkozó megoldását valamely közelítő módszer alkalmazásával határozhatjuk meg. A közelítő megoldás nem azt jelenti, hogy csak közelítőlegesen kapjuk meg a feladat megoldását. Az elnevezés magukra a megoldási módszerekre vonatkozik és bizonyos, az éppen alkalmazott módszertől függő feltételek teljesülésekor, a közelítő módszerek a hővezetési feladatok tényleges megoldását eredményezik. Megjegyezzük, hogy a hővezetés differenciálegyenletének felírásakor, illetve az egyszerűsített alakjának alkalmazásakor is bizonyos „közelítést” végzünk, így annak akár analitikus, akár közelítő módszerrel való megoldása a valóság (nagyon) jó megközelítést jelenti. A differenciálegyenletek közelítő megoldásának egyik lehetősége a differenciálhányadosoknak véges differenciákkal való helyettesítése, majd az így kapott algebrai egyenlet, egyenletrendszer megoldása. A véges differenciákat térben két egymástól meghatározott ∆r távolságra lévő pontbeli, időben azonos hőmérsékletek különbségeként, az időben pedig egy adott helyen fellépő, adott ∆τ időtartammal egymást követő hőmérsékletek különbségeként számítjuk. Ezzel a vizsgált tér–idő tartományt véges szakaszokra osztjuk fel, mely műveletet diszkretizációnak is szokás nevezni. A felosztás elvégzésekor elsősorban a vizsgált tér (tartomány) jellegéhez, a feladat sajátosságaihoz, az elvárt pontossági követelményekhez kell alkalmazkodnunk.
ti,j+1
τ = j⋅∆τ
ti,j ti-1,j-1
∆τ
ti,j-1
ti+1,j-1
∆x x = i⋅∆x 9.1. ábra Egydimenziós tranziens hővezetés tér–idő hálója A térbeli és időbeli osztásközök határoló vonalai hálót alkotnak, a hálóvonalak metszéspontjai pedig a rács- vagy csomópontok. Az egyes irányokban egyenletes osztású háló csomópontjainak helyzetét egyértelműen megadhatjuk a megfelelő sorszámoknak, mint indexnek, a hőmérséklethez való hozzárendelésével. 71
Egydimenziós tranziens hővezetés vizsgálatára alkalmas a 9.1 ábra szerinti tér– idő háló melynek a ∆x helyszerinti osztása és a ∆τ időszerinti osztása egyenletes. Az egyes hőmérsékleteket két indexszel jelöljük a tartományban. A ti,j jelenti azt a hőmérsékletet, melyre t ( x , τ ) = t (i ⋅ ∆x , j ⋅ ∆τ ) . A differenciál egyenlet analitikus megoldása azt jelenti, hogy a hőmérsékletet folytonosan tudjuk kiszámítani a tér–idő tartományban. Valamilyen közelítő módszer alkalmazásakor a hőmérsékletet csak a diszkrét távolságokra lévő rács pontokban tudjuk meghatározni. Ez azonban nem jelent akadályt, mert a különböző interpolációs módszerekkel, ha szükséges, a rácspontok közötti függvényértékek is meghatározhatók, kvázi ugyanúgy folytonos hőmérsékleteloszlásokat kaphatunk tehát eredményül. A továbbiakban tekintsük először a differenciálhányados közelítési lehetőségeit. y
1 y = f(x)
4
3 2
α
x-∆x
x
x+∆x
x
9.2. ábra A differenciálhányados közelítő meghatározásának lehetőségei dy differenciálhányadosának dx dy geometriai megfelelője 1 érintő amint azt a 9.2 ábra szemlélteti, azaz tg α = . dx A y = f ( x ) függvénynek az x helyen, az f ' ( x ) =
Közelítőleg ugyanezt az értéket többféleképpen is előállíthatjuk: y ( x + ∆x ) − y ( x ) ( x + ∆x ) − ( x )
előre lépő differencia (haladó)
y ( x ) − y ( x − ∆x ) ( x ) − ( x − ∆x )
visszalépő differencia (retrográd)
y ( x + ∆x ) − y ( x − ∆x ) ( x + ∆x ) − ( x − ∆x )
(9.1a)
2 egyenes (9.1b)
3 egyenes szimmetrikus vagy centrális differencia
(9.1c)
4 egyenes
Az egyes differenciák különböző „jóságú” közelítések, ám a ∆x csökkentésével a dy értéket mindhárommal tetszőleges mértékűen megközelíthetjük. dx Az elsőrendű differenciálhányadoshoz hasonlóan a másod, harmad stb. rendű differenciálhányadosok közelítő értékét is meghatározhatjuk. Mivel a hővezetés differenciálegyenletében második deriváltak szerepelnek, csak ezek előállításával foglalkozunk. A második derivált, az első derivált függvény, f ′( x ) első deriváltja, azaz: 72
df ' ( x ) f ' ( x ) − f ' ( x − ∆x ) f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x ) − f ( x ) + f ( x − 2 ∆x ) ≈ = , dx x − ( x − ∆x ) 2( ∆x ) 2
(9.2a)
df ' ( x ) f ' ( x + ∆x ) − f ' ( x ) f ( x + 2 ∆x ) − f ( x ) − f ( x + ∆x ) + f ( x − ∆x ) ≈ = , dx ( x + ∆x ) − ∆x 2( ∆x ) 2
(9.2b)
df ' ( x ) f ' ( x + ∆x ) − f ' ( x − ∆x ) f ( x + ∆x ) − 2 f ( x ) + f ( x − ∆x ) ≈ = . dx ( x + ∆x ) − ( x − ∆x ) ( ∆x ) 2
(9.2c)
Az eredményekhez a számlálókban álló deriváltaknak a centrális közelítését használtuk fel: f ' ( x) =
f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x ) , 2 ∆x
(9.3a)
f ' ( x + ∆x ) =
f ( x + 2 ∆x ) − f ( x ) , 2 ∆x
(9.3b)
f ' ( x − ∆x ) =
f ( x ) − f ( x − 2 ∆x ) . 2 ∆x
(9.3c)
9.1.1. AZ EXPLICIT DIFFERENCIA MÓDSZER A hővezetés differenciálegyenletének un. differencia egyenletté való átírásának több lehetősége közül, a hely szerint centrális közelítést, az időben pedig előrelépő közelítést alkalmazva a következő egyenletet kapjuk eredményül: t ( x + ∆x , y , z , τ ) + t ( x − ∆x , y , z , τ ) − 2t ( x , y , z, τ ) t ( x , y , z , τ + ∆τ ) − t ( x , y , z , τ ) ≈a⋅ + 2 ∆τ ∆x t ( x , y , z + ∆z , τ ) + t ( x , y , z − ∆z , τ ) − 2t ( x , y , z , τ ) + ∆z 2 t ( x , y + ∆y , z , τ ) + t ( x , y − ∆y , z , τ ) − 2t ( x , y , z , τ ) q! v + . ρ ⋅ c ∆y 2 (9.4a)
Csak a belső hőforrást nem tartalmazó, egydimenziós hővezetést tárgyaljuk a továbbiakban, elsősorban azért, hogy rövidebb összefüggéseket írhassunk, az olvasó formális helyettesítéssel a többdimenziós megoldásokat egyszerűen kaphatja meg eredményül. A (9.4a) egyenlet egydimenziós, hőforrás mentes alakja
t ( x , τ + ∆τ ) − t ( x , τ ) t ( x + ∆x , τ ) + t ( x − ∆x , τ ) − 2t ( x , τ ) = a⋅ . ∆τ ∆x 2
(9.4b)
Az azonos időpontbeli értékeket egy oldalra rendezve, kapjuk
t ( x , τ + ∆τ ) =
a ⋅ ∆τ
a ⋅ ∆τ ⋅ [t ( x + ∆x , τ ) + t ( x − ∆x , τ )] + 1 − 2 t ( x,τ ) . ∆x 2 ∆x 2
(9.5)
73
Az időszerint előrehaladó differencia választásának két következménye van. Egyrészt a (9.5) egyenlet mutatja, hogy a hőmérséklet idő szerinti változását egy adott helyen lépésről-lépésre haladva, míg a hely szerint pontról-pontra haladva meghatározhatjuk. A (9.5) egyenletet explicit differencia egyenletnek, és az előbb említett pontról-pontra haladó számolási eljárást explicit differencia módszernek nevezzük. A (9.5) egyenlet baloldalán megjelenő, a Fo számhoz hasonló mennyiséget differencia modulusnak is nevezhetjük:
p=
a∆τ
∆x 2
,
(9.6)
amivel a (9.5) egyenletet így írhatjuk:
t ( x , τ + ∆τ ) = p ⋅ [t ( x + ∆x , τ ) + t ( x − ∆x , τ )] + (1 − 2 p) ⋅ t ( x , τ ) .
(9.7)
Másrészt a (9.7) egyenletben a jobboldalon szereplő második tag együtthatója, p>0.5 esetében negatív előjelűvé válik, ami az előbb megfogalmazott lépésrőllépésre számításunkat teljesen destabilizálja. Az explicit differencia módszer numerikus stabilitása így csak a 0.5 ≥ p feltétel teljesülésekor biztosított, ami azt jelenti, hogy a hely szerinti és az idő szerinti véges lépések nagysága nem független egymástól és a nagyon finom x irányú hálózat nagyszámú időlépést von maga után. 9.1.2. AZ IMPLICIT DIFFERENCIA MÓDSZER Az implicit differencia módszert úgy kapjuk, ha a hővezetés differenciálegyenletének differencia egyenletté való átírásakor a hely szerint centrális közelítést, az időben pedig előrelépő közelítést alkalmazzuk mint az explicit módszernél, azzal a különbséggel, hogy a hely szerinti második differenciálhányadost nem a τ helyen, hanem a τ+∆τ helyen számítjuk. Így eredményül a következő egyenletet kapjuk: a ⋅ ∆τ a ⋅ ∆τ t ( x , τ + ∆τ ) − t ( x, τ ) = 1 + 2 ⋅ [t ( x + ∆x , τ + ∆τ ) + t ( x − ∆x , τ + ∆τ )] . 2 ∆x ∆x 2
(9.8)
A differencia modulust és a 9.1 ábrán alkalmazott jelölések használatával (9.8) egyenletet rövidebben így írhatjuk: ti , j = (1 + 2 ⋅ p) ⋅ ti , j +1 − p ⋅ (ti −1, j +1 + ti +1, j +1 ) .
(9.9)
Ugyanezzel a jelölésrendszerrel az explicit egyenlet a következő: ti , j +1 = (1 − 2 ⋅ p) ⋅ ti , j + p ⋅ (ti −1, j + ti +1, j ) .
(9.10)
A (9.9) egyenlettel meghatározott kapcsolatrendszer a rácspontbeli hőmérsékletek között implicit, azaz bármely rácspontbeli hőmérséklet meghatározása valamennyi, megelőző rácspontbeli értékre támaszkodik, ugyanis (9.9) egyenletet valamennyi x irányú pontra felírva egy n ismeretlenes egyenletrendszert kell megoldanunk ahhoz, hogy egy időlépést végrehajtsunk. A bonyolultabb számítási eljárás azonban tetszőleges p értékre stabilis, így az időlépéseket csak az elérni kívánt pontosság befolyásolja.
74
9.1.3. A CRANK–NICOLSON MÓDSZER A (9.9) differencia egyenleten alapuló implicit módszerrel kiküszöbölhető a (9.10) differencia egyenleten alapuló explicit módszer korábban említett hátrányos tulajdonsága, ennek azonban a szükséges számítási eljárás bonyolultsága az ára. A számítási igény ugyan a ∆τ növelésével valamelyest csökkenthető, ám ennek a felosztási hibák növekedése a következménye. CRANK és NICKOLSON a hely szerinti második differenciahányadost a τ + 1 ∆τ 2 időpontra vonatkoztatva írták fel, és az így kapott egyenletre alapuló eljárást alkotóik után CRANK-NICKOLSON módszernek nevezzük. A CRANK és NICKOLSON differencia egyenlet a következő: (1 + p) ⋅ ti , j +1 − 1 p ⋅ (ti +1, j +1 + ti −1, j +1) = (1 − p) ⋅ ti , j + 1 p ⋅ (ti +1, j + ti −1, j ) . 2 2
(9.11)
A (9.11) egyenleten alapuló módszer is implicit módszer, a felosztási hibája azonban az egyszerű implicit és explicit módszer ∆τ-val azonos rendű hibájához képest, csak ∆τ-ban másodrendű, így azonos hibakorlát esetén nagyobbak lehetnek az időlépések, azaz kevesebb lépésre van szükség és minden differencia modulus érték esetében stabil. Az egyes differencia módszerek hatástartományát a 9.3-5 ábrákon hasonlítjuk össze. Az explicit módszert talpára állított, az egyszerű implicit módszert csúcsára állított háromszög alakú tartomány jellemzi, míg CRANK –NICKOLSON módszert a két háromszög együttesen alkotja. ti-1,j+1
ti,j+1
ti+1,j+1
ti,j
ti+1,j
τ = j⋅∆τ ti-1,j
∆τ ∆t x = i⋅∆x 9.3. Az explicit módszer hatástartománya
75
ti-1,j+1
ti,j+1
ti+1,j+1
ti,j
ti+1,j
τ = j⋅∆τ ti-1,j
∆τ ∆t x = i⋅∆x 9.4. Az implicit módszer hatástartománya ti-1,j+1
ti,j+1
ti+1,j+1
ti,j+1/2
τ = j⋅∆τ
ti,j
ti+1,j
ti-1,j
∆τ ∆t x = i⋅∆x 9.5. ábra A CRANK-NICKOLSON módszer hatástartománya
9.2. Egy grafikus módszer: a SCHMIDT-BINDER szerkesztés Az explicit differencia módszer esetében az eljárás stabilitásának határán, a a∆τ p= =1/2 értéknél, a (9.7) egyenlet jobb oldalának harmadik tagja eltűnik, így ∆x 2
t ( x , τ + ∆τ ) =
1 ⋅ [t ( x + ∆x , τ ) + t ( x − ∆x , τ )] . 2
(9.12)
Ami azt jelenti, hogy egy adott helyen a ∆τ-val későbbi időpontban a hőmérséklet a szomszédos pontok hőmérsékleteinek számtani középértékével egyezik meg. Ezt az értéket grafikusan is egyszerűen meg lehet határozni. Egyenletes felosztás esetében a számtani közép megszerkesztése az x hellyel szomszédos x+∆x és x-∆x helyek hőmérsékleteinek egyenessel való összekötésével adódik. Az eljárást BINDER (1910.) írta le először, majd tőle függetlenül SCHMIDT (1924.) újra felfedezte és széles körűen általánosította. A folytonos hőmérséklet-eloszlást az egyenletes, ∆x vastagságú rétegek középvonalához rendelt réteg-átlaghőmérsékletek törött vonalasan közelítik. Egy t(x,τ) hőmérséklet-eloszlásból a ∆τ időlépéssel későbbi hőmérséklet-eloszlás megszerkesztését szemlélteti a 9.6. ábra. 76
t(x,τ)
t(x,τ+∆τ)
t(x,τ+2∆τ)
∆x
∆x x-∆x
∆x x
∆x
∆x
x+∆x
9.6. ábra A SCHMIDT–BINDER szerkesztés Egy adott feladat megoldását a SCHMIDT–BINDER szerkesztés alkalmazásával a következők szerint végezhetjük el. Első lépésként el kell döntenünk, hogy milyen léptékű rajzot szerkesztünk. Harmadfajú peremfeltétel esetében a falvastagság mellett, a felszíntől λ/α távolságra elhelyezkedő pólust is ábrázolnunk kell. (Szimmetrikus kezdeti eloszlás és peremfeltétel esetén elegendő csak a szimmetria tengely és a pólus távolságának ábrázolhatóságához igazodó lépték.) A függőleges, hőmérsékletnek megfelelő léptékezést az elérendő leolvasási pontosság figyelembe vételével határozzuk meg. Α δ vastagságú síkfalat ∆x vastagságú rétegekre osztjuk. (1,2,3,..) A rétegek középvonalához a réteg átlaghőmérsékletét rendelve kapjuk a folytonos hőmérséklet-eloszlás törött vonalas közelítését. A felosztás számával a szerkesztési lépések közötti időlépés a (9.6) összefüggésnek megfelelően adott lesz, ezért a ∆x megválasztásakor az elfogadható számú, (10-20) szerkesztési lépést jelentő időlépés értékre is tekintettel kell lennünk. A megfelelő léptékek és a felosztás megállapítása után elkészíthető a szerkesztési ábra. A 9.7. ábrán egy állandó kezdeti hőmérsékletű, szimmetrikusan hűtött síkfal lehűlési folyamatának néhány kezdeti lépését szerkesztettük meg.
∆τ elteltével, egy osztáspontban való Láttuk, hogy a hőmérsékletnek meghatározásához a szomszédos hőmérsékletek ismerete szükséges. Ez a test felszínén ütközik nehézségbe, mivel annak nincsen szomszédja. Egy ∆x segédrétegnek a felszínhez csatolásával a probléma megoldódik. A segédréteg vezetéssel pontosan a hőátadásnak megfelelő hőáramot vezet el a falfelszínről, ha ebben a rétegben a hőmérséklet-gradiens a fal felszíntől λ/α távolságra lévő pólusba mutat, ahogyan ezt a peremfeltételek geometriai jelentését szemléltető 8.2. ábra is mutatja. Mivel a szerkesztő vonalak a rétegközéppontokban vannak, így a felszíntől jobbra balra fél osztásnyira, majd pedig egész osztásnyira helyezkednek el.
77
δ/2
t(x,∆τ) t(x,2∆τ)
0
t(x,3∆τ)
∆x
1
2
∆x
t(x,4∆τ)
∆x
3
∆x
4
∆x
5
∆x
t0
t
b
a c
t∞
λ/α
9.7. ábra Síkfal lehűlésének grafikus meghatározása Az előzőekben részletezett előkészítés után maga szerkesztés a következő. Először az a jelű vonalat tudjuk megrajzolni. A 0-s szerkesztővonallal kapott metszéspont még a kezdeti eloszláshoz tartozik. Ezt a pontot a 2-es szerkesztővonalon lévő hőmérsékletponttal köti össze a b vonal, melynek 1-es szerkesztővonallal való metszéspontja lesz az üres körrel jelölt hőmérséklet a ∆τ időpontban. Ezt a pontot a c vonal köti össze a pólussal és a 0-s szerkesztővonallal való metszéspontja a segédréteg üres kör jelölte hőmérséklete ∆τ időpontban. A 2-es és magasabb sorszámú rétegek hőmérséklete változatlan, hiszen a szomszédok hőmérsékletei azonosak. Az üres négyzetek jelölte hőmérsékleteket a körrel jelölt pontok összekötéséből, a háromszögekkel jelölt értékeket a négyzettel jelöltekből kapjuk és így tovább. Figyeljük meg, hogy először továbbra is az 1-es szerkesztővonalon elhelyezkedő pontot tudjuk meghatározni, majd ezt a pólussal összekötve kapjuk az ugyanezen időponthoz tartozó segédrétegbeli hőmérsékleteket. Vastagított vonallal a törtvonalas hőmérséklet-eloszlásokat ábrázoltuk melyek szükségszerűen egyes szerkesztővonalat elfednek, a szerkesztés menete azért követhető marad. A szerkesztési lépések számának növekedésével a változások mértéke egyre kisebb és nehézséget okozhat a megfelelő pontok megrajzolása. Ekkor áttérhetünk az eredeti felosztásból adódó ∆x helyett a 2∆x felosztásra azzal, hogy 78
minden második vonalon 1,3,5, ... szerkesztünk, ami (9.6) összefüggésnek megfelelően 4∆τ időlépést jelent. Mivel a szerkesztés során nem szükséges, hogy a pólus helyzete változatlan maradjon, így változó környezeti hőmérséklet és változó hőátadási körülmények esetén is alkalmazhatjuk a szerkesztést, továbbá a kezdeti hőmérséklet-eloszlás is tetszőleges lehet. Mindezek alapján elmondhatjuk, hogy a grafikus eljárás egy egyszerű és hatékony mérnöki eszköz.
9.3. Kísérleti módszerek 9.3.1. HOMOLÓG MODELL A 6,7,8, és 9. fejezetekben különböző, a hővezetési feladatok megoldására alkalmazható eljárásokat és módszereket ismerhettünk meg. Bár a hővezetés differenciálegyenletének analitikus megoldásai az ismertetettnél jóval szélesebb körben is alkalmazhatóak, továbbá különféle közelítő módszerek is rendelkezésre állnak, mégis sok esetben kénytelenek vagyunk közvetlen méréseket végezni egy adott probléma megoldásához. A mérések elvégzése történhet közvetlenül magán a hővezetési jelenségen, vagy ha ez nehézségbe ütközik, alkalmazhatunk homológ vagy analóg modellt. A modellezés különleges formájú kísérlet, ugyanis a szokásos kísérleteknél a mérőeszközeink közvetlenül magával a vizsgálat tárgyával kerülnek kölcsönhatásba, addig a modellezésnél a jelenség helyettesítőjét vizsgáljuk közvetlenül a mérőeszközeinkkel. A fizikai jelenségek hasonlóságát már NEWTON 1687-ben vizsgálta, gondolatai azonban mintegy 150 évig visszhang nélkül maradtak és csak a XIX. század közepén vette kezdetét a hasonlóság elméletére vonatkozó munkák megjelenésének sora és a modern tudomány általánosan alkalmazott módszerévé vált a modellezés. A 8.3. fejezetben a fizikai jelenségek hasonlóságának feltételeit már érintettük. Homológ modellen azt értjük amikor a valóságos és a modellként alkalmazott jelenség fizikai természete azonos. Így pl. homológ modellen való mérést jelent egy repülőgép, hajó, gépkocsi stb. kismintáján való áramlástani mérések, vagy a hővezetésnél maradva egy a vizsgált tartományhoz geometriailag hasonló, de attól különböző anyagú modellen való hőmérsékletmérések végzése. Homológ modelleken történik továbbá a hőátadási tényező különböző körülmények közötti méréssel való meghatározása és a mérési eredmények általánosítása, melynek elméletével a 10. fejezet foglalkozik részletesebben. Homológ modell alkalmazásának illusztrálására tekintsük a következő feladatot. Egy 2Lv vastagságú kemence falazatban állandósult üzemállapotban a hőmérséklet lineárisan változik t1 és t2 értékek között. A kemence leállásakor mindkét oldalról azonos, t∞ hőmérsékletű levegő, azonos, α hőátadási tényező mellett hűti. A fal középsíkjának hőmérséklet-változását kell meghatároznunk. Mivel a kemencefalazat nem bontható meg hőmérő beépítése céljából, modellt kell alkalmaznunk a méréssel történő lehűlésgörbe felvételéhez. A modellen alkalmazható maximális hőmérséklet korlátja legyen tm1, ami adódhat pl. a mérőeszköz, az alkalmazott anyagok stb. hőállóságának korlátaiból. Ahhoz, hogy a hűlés folyamatának indulási állapota a modellben a valóságosnak megfeleljen az szükséges, hogy a dimenziótlan hőmérséklet-eloszlások azonosak legyenek, ahonnan kapjuk: 79
t 2 − t ∞v t −t = ϑ 02 = m2 ∞m . t1 − t ∞v tm1 − t ∞m tv
tm
t1
tm1
ϑ01=1 ϑ02
tm2
t2
t∞v
(λ/α)v -Lv
(9.13)
xv
xm
t∞m
Lv
-Lm
Lm
(λ/α)m
9.8. ábra Homológ modell a hőmérséklet-változás mérésére A valóságos kemencefal és a modell hűlésének folyamata a dimenziótlan időtől, azaz a Fo számtól ugyanúgy függ, így a modell időlépéseinek és a kemencefalazat hűlési folyamatának időlépései közötti összefüggés a következő:
avτ vi
( Lv )
2
= Foi =
amτ mi
( Lm )
2
.
(9.14)
Végezetül ahhoz, hogy a lehűlés külső körülményei azonosak legyenek a peremfeltételek dimenziótlan értékeinek azonossága szükséges, ami a Bi szám azonosságát jelenti harmadfajú peremfeltétel esetében, ez pedig a következő, a hőátadási tényezőkre vonatkozó összefüggést eredményezi:
α v Lv α L = Bi = m m . λv λm
(9.15)
Ahhoz tehát, hogy a modellen végzett mérésekből a vizsgált valóságos lehűlési folyamatot határozzuk meg a (9.13),(9.14) és a (9.15) feltételi egyenletek teljesülése szükséges.
9.3.2. ANALÓG MODELL Analógiáról akkor van szó különböző fizikai természetű jelenségek között, amikor a leíró differenciálegyenletek matematikai alakja azonos. Emlékezzünk pl. a 6.4. fejezetre, ahol láttuk, hogy különböző fizikai jelenségek, mint pl. a hővezetés, az elektrosztatika, az elektromos vezetés, a forrás és örvénymentes áramlás, a rugalmas deformáció, a diffúzió, stb. állandósult (azaz időtől független) problémáit egyaránt a LAPLACE egyenlet írja le, így e jelenségeket egymás analógiáinak tekinthetjük. Az analóg modellen való mérések végzésének elsősorban méréstechnikai okai vannak, amikor is bizonyos fizikai jelenségeket egyszerűbben és a jelenség kevéssé való megzavarásával mérhetünk. Az analóg 80
modell lehet folytonos vagy diszkrét. A folytonos modell a differenciálegyenlethez, a diszkrét a differenciaegyenlethez kapcsolódik.
leíró
Mivel az elektromos mennyiségek mérése jól kidolgozott, a gyakorlatban leghatékonyabban az elektromos analóg modellek alkalmazhatók. A hővezetés jelenségével az elektromos vezetést összehasonlítva a legfontosabb különbség a szigetelés megvalósíthatóságában van, azaz az elektromos szigetelést sokkal könnyebb megvalósítani mint a hőszigetelést, mivel a villamos vezetőképességek hányadosa a vezetők és a szigetelők esetében 4-5 nagyságrenddel nagyobb mint ugyanez az arány a hővezető képességek esetében. Továbbá a villamos jelenség esetében mind a feszültség, mind az áram mérése kialakult gyakorlat, a hőtani mérésekben csak a hőmérsékletmérés általános, a hőáram közvetlen mérésének gyakorlata nem terjedt el. EGY FOLYTONOS ANALÓG MODELL A LAPLACE egyenlet által leírt jelenségek hasonlóságát a geometria megtartásán kívül semmilyen hasonlósági kritérium sem korlátozza, így történetileg a LAPLACE egyenlet által leírt jelenségek közötti analógia felhasználására került sor először. Időben állandósult síkbeli hővezetési problémák megoldására KIRCHOFF (1845.) vékony rézlemezben kialakuló villamos feszültség eloszlás mérését alkalmazta. Az olyan természetű jelenségeket ahol csak geometriai feltétele van a hasonlóságnak, önmodellezőnek nevezzük. A 6.6. és 6.7. fejezetben tárgyalt négyzet keresztmetszetű csőben kialakuló hőmérséklet-eloszlásnak elektromos analógia alkalmazásával való meghatározását a következően foglalhatjuk össze röviden. Ha a hővezetés szempontjából homogén és izotróp a vizsgált tartomány anyaga, a villamos vezetés szempontjából ugyanilyen anyagra van szükségünk. A síkbeli villamos modellezéshez ún. vezető papírt alkalmazunk (3D-s modellhez elektromosan vezető folyadékkal telt tartályt alkalmaznak), melynek elektromos vezetőképessége homogén és izotróp. A vezetőpapírból egyszerűen kivágjuk a megfelelő síkbeli alakzatot. Az elsőfajú peremfeltétel villamos megvalósítása egyszerű, hiszen csak egy jó villamos vezető anyagból kell bevonatot képezni a papír megfelelő peremvonalain. Erre a célra általában ezüst kolloidot tartalmazó un. vezetőezüst (leitsilber) festéket használnak, amelyből az oldószer elpárolgása után az ezüst részecskék egymáshoz tapadása miatt, gyakorlatilag folytonos, igen jó villamosan vezető réteg alakul ki. A peremen kialakított vezető réteghez csatlakoztatva valamilyen áramforrást, nem kell mást tenni, mint kimérni a vezetőpapírban kialakuló ekvipotenciális görbéket, melyek az izoterma görbéknek felelnek meg a hővezetés esetében. A mért feszültség értékeket a (6.112) képlet szerint dimenziótlan alakra átszámítva az izotermáknak való megfeleltetést is megoldottnak tekinthetjük. A vezető papír alkalmazásánál a szigetelt peremgörbe, a szimmetria tengelyek megvalósítása különösebb nehézség nélküli az anyagoknak az elektromos vezetésben mutatott, korábban már részletezett tulajdonságai miatt. EGY DISZKRÉT ANALÓG MODELL A hővezetési problémák megoldására alkalmazott közelítő módszerek tárgyalásánál folytonos tartományok diszkretizálásáról már szó volt. A felosztott tartomány egyes elemeinek véges hőellenállása és hőkapacitása van. 81
Amennyiben ezeket az értékeket a csomópontokba koncentráltan képzeljük el, a felosztott tartományhoz egy villamos ellenállásokból és kapacitásokból álló áramkört, mint analóg modellt rendelhetünk hozzá. Az un. RC módszert BEUKEN 1933-ban írta le először.
Rα RαΗ
Rv U0
αΗ,t∞
t0
∆x
α,t∞ 9.9. Rúd analóg RC modellje
Tekintsük a módszer illusztrációjaként az állandó t0 tőhőmérsékletű, a palástján állandó, α hőátadási tényező mellett hűtött rúd instacionárius hővezetésének meghatározására alkalmazható elektromos analóg modell felépítésének menetét. A rúd prizmatikus, keresztmetszete A, a hővezetési tényezője pedig λ. A rudat ∆x hosszúságú részekre osztva, az egyes elemek hőellenállása és a hőkapacitása a következő:
∆x λA
(9.16)
Ct = ρ c p A∆x
(9.17)
Rt =
A levezetés elhagyásával egy ilyen koncentrált hőellenállásból hőkapacitásból álló elem hőmérsékletének idő szerinti változását a
t − t∞ 1 τt) = exp( − t0 − t∞ Rt Ct
és
(9.18)
egyenlet írja le. Egy Rv villamos ellenállásból és Cv kapacitásból álló áramkör esetében pedig a (9.18) egyenlettel alakra teljesen megegyező összefüggés érvényes az U feszültség változásokra, azaz
U − U∞ 1 τv) = exp( − U0 − U∞ Rv Cv
(9.19)
A (9.18) és (9.19) egyenletekben τv a villamos folyamat valós ideje és τt a hővezetési folyamat valós ideje. A részekre osztott rúd elektromos analóg modelljét a 9.9. ábra szemlélteti. Mivel a villamos ellenállások és kapacitásokat nem tetszőleges értékűre gyártják, a rúdelemek paraméterei és az elektromos analóg hálózat elemei között arányos kapcsolat lesz, azaz: 2Rv = β R ⋅ Rt 82
Cv = β C ⋅ Ct
τ v = βτ ⋅τ t U = βt ⋅t Ezzel a (9.18) és (9.19) egyenletekből kapjuk, hogy
βτ λ U − U∞ τt) = exp( − β R β C ρ c p ( ∆x ) 2 U0 − U∞
(9.20)
A βt arányossági tényező valójában érdektelen, hiszen a relatív változásokkal végzett számításoknál eltűnik. A βC és βR értékeket nem szabadon választjuk, ezért βτ = βC ⋅βR, ami azt jelenti, hogy a két jelenség időhányadosa
τv λ = Rv Cv 2 τt ρ c p ( ∆x )
(9.21)
lesz. A rúd palást hőátadásának hőellenállása a ∆x szakaszon
Rtα =
1 , αK∆x
(9.22)
ahol K a rúd palást kerülete. Hasonlóan az AH területű véglap esetében pedig
RtαH =
1 α H AH
.
(9.23)
Az előbbi két hőellenállásnak megfelelő villamos ellenállásokat a βR arányossági tényezővel számítjuk ki. Sok esetben így olyan ellenállás értékeket kapunk, amit több tag soros/párhozamos kapcsolásával lehet csak előállítani. Az előzőek szerint elkészített villamos hálózatra a feszültséget kapcsolva a szokásos méretű kapacitások mellett a folyamat nagyon gyorsan zajlódik le, ezért a megfigyelhetőség miatt periodikusan szokás az RC hálózatot be-ki kapcsolni és így az ismétlődő periodikus jelet oszcilloszkópon figyelhetjük meg kényelmesen.
83
Ez az oldal szándékosan maradt üresen!
84
10.
A HŐÁTADÁSI TÉNYEZŐ GYAKORLATI MEGHATÁROZÁSA 10.1. A hőátadás alapfogalmai
Az áramló folyadékok (gázok) és a határoló felületeik közötti hőterjedést hőátadásnak nevezzük. Ez a mechanizmus nem a hőterjedés külön formája, hanem hővezetés, hőszállítás (konvekció) és – a feltételektől függően – a hősugárzás együttes megvalósulása melletti jelenség. A hőátadást tehát alapvetően az energia különböző halmazállapotú közegek határán keresztüli terjedése jellemzi és egy bonyolult és összetett folyamat. A leggyakrabban egy szilárd felszín és valamely áramló gáz vagy folyadék közötti hőátadás történik, de a gázáram és folyadék felszín közötti hőátadás is gyakori folyamat. (Ez utóbbi esetben általában anyagátadás is történik.) A hőátadás alapegyenlete NEWTON nyomán:
Q = α ⋅ F ⋅ (t w − t foly ) ⋅ τ .
(10.1)
ahol: Q
a szilárd test felszínéről a folyadéknak átadott hő, Joule
F
a folyadékkal érintkező felület, m2
tw
a test felszínének hőmérséklete, °C, vagy K
tfoly a folyadék hőmérséklete, °C, vagy K
α
a hőátadási tényező, W/m2K
τ
idő, sec
A szilárd testekben lejátszódó hővezetési folyamatokat a legtöbb esetben az okozza, hogy azok a felszíni hőmérsékletüktől eltérő hőmérsékletű folyadékkal különböző fémtárgyak lehűlésének (gázzal) érintkeznek. NEWTON tanulmányozása során állította fel a (10.4) összefüggést, ezért szokás NEWTON féle lehűlési törvénynek is nevezni. Azt fejezi ki, hogy egy szilárd test által leadott hő arányos a felülettel, a hőmérséklet-különbséggel és az idővel. Az arányossági tényezőt hívjuk hőátadási tényezőnek, amelyet kifejezve kapjuk meg a többi mennyiség ismeretében való meghatározásához szükséges összefüggést:
α=
Q . − τ t t F ( w foly )
(10.2)
A (10.2) egyenlet lényegében egy mérési utasítás az α meghatározására és ezáltal egy adott időtartamra és felületre vonatkozó átlagos értéket kapunk eredményül, hiszen a hőmérséklet-különbségek hely és idő szerint változhatnak. A műszaki gyakorlatban többnyire fellépő állandósult estekben a Q/τ hányadost a hőáramnak tekinthetjük a (10.2) egyenletben. A hőmérsékletkülönbség felület menti átlagát képezve, az átlagos hőátadási tényezőt kapjuk:
85
α=
(t
Q!
w
− t foly ) ⋅ F
.
(10.3)
A hőmérséklet-különbség felületi átlagának meghatározására a későbbiekben visszatérünk. Amennyiben a (10.3) összefüggés nevezőjében egy elemi dF felület melletti hőmérséklet-különbséget és a dF felületet helyettesítjük, az adott helyen vett lokális hőátadási tényező meghatározására szolgáló összefüggést nyerjük:
α=
q! . (t w − t foly )
(10.4)
A (10.1) összefüggéssel kapcsolatban megjegyzendő, hogy az mint fizikai modell nélkülöz mindenfajta megkötést arra nézve, hogy a határfelületen átlépő hő milyen módon jut a folyadékba. Az áramló folyadékokban a hőterjedés döntő hányadát a konvekció képviseli, ezáltal a hőátadás fogalma is történetileg összekapcsolódott a konvekcióval, megkülönböztetésük az elvi jelentőségen túl azért is indokolt, mert a kialakult gyakorlat szerint a hőátadási tényezővel mind a konvektív módon, mind a sugárzással átadott hőt figyelembe vesszük. Amennyiben hőátadási folyamat vizsgálata/számítása során a hőátadó felületen csak a konvektív hőáaramot vesszük figyelembe, úgy a konvektív hőátadási tényezőt határozzuk/számítjuk ki. A továbbiakban ez utóbbi meghatározásával foglalkozunk és röviden csak a hőátadási tényező elnevezést használjuk ebben az értelemben. A hőátadási tényező értékének esetről esetre történő meghatározása a (10.3) vagy (10.2) összefüggések alapján a gyakorlat számára nem igazán jelent megoldást, mert ezzel a berendezések hőteljesítményét ugyan utólagosan meghatározhatjuk, de tervezni nem tudjuk, ha nem tudjuk a hőátadási tényezőt a hőátadás körülményeiből előre kiszámítani. Célunk a hőátadás törvényszerűségeinek vizsgálatával az, hogy megállapítsuk az adott körülményekből mi módon határozhatók meg a hőátadási tényezők vagy legalább, a már kísérletileg megállapított eredményeket milyen módon általánosíthatjuk, hogy más berendezések méretezési számításaihoz is felhasználhassuk azokat. A hőátadás folyamatának a határoló felület mellet a másik sajátossága az áramló közeg jelenléte. A hő és a folyadék áramlások önmagukban is meglehetősen bonyolult jelenségek, melyek egymással kölcsönhatásban lépnek fel a hőátadás során. A rájuk vonatkozó differenciálegyenletek alapján történő, tisztán elméleti hőátadási tényező meghatározása rendkívül szűk körében jöhet szóba a gyakorlati eseteknek, a kapott eredmények pedig sok esetben csak tájékoztató jellegűek. Az általánosítható félempirikus összefüggések alkalmazása ezért nélkülözhetetlen a mérnöki gyakorlat számára.
10.2. A hőterjedés áramló közegekben Az áramló folyadékokban az energia térbeli terjedése – a hővezetés mellet – a közeget alkotó részecskék rendezett elmozdulásának (áramlásának) következtében valósul meg. Abban az esetben, ha az áramló folyadék sebességeloszlását pontosan ismernénk a számunkra szükséges összefüggések meghatározása relatíve 86
egyszerű lenne. Az izotermikus áramlások sebességeloszlásának meghatározása sem egyszerű, a hőterjedés, hőmérsékletváltozás fellépése tovább nehezíti a feladatot. Ezért fontosak az áramlástani folyamatról szerzett kvalitatív ismereteink. Egyrészt annak eldöntése, hogy a közeg áramlását a hőmérséklet-különbség miatti sűrűség változásból származó felhajtó erő okozza-e – ekkor szabad áramlásnak – amennyiben valamilyen külső mechanikai hatás az áramlás okozója, kényszerített áramlásnak nevezzük a jelenséget. (Például szabad áramlás a központi fűtés radiátorai által felmelegített levegő felfelé történő áramlása, míg kényszerített az áramlás a hajszárító ventillátora által a fűtő spirálon átfúvott levegő esetében.) A közegek áramlásának másik kvalitatív jellemzője, azok lamináris (réteges) vagy turbulens (gomolygó) volta. A kialakult lamináris áramlás jellegzetessége, hogy egyrészt időben a sebesség nagysága és iránya nem változik egy adott helyen, másrészt a helytől a sebesség iránya nem, vagy csak kevéssé függ. A turbulens áramlásoknál a sebességnek mind az időtől, mind a helytől való függése számottevő. A turbulencia származhat a vizsgált térrészen kívülről, azaz már eleve gomolyogva léphet be a közeg az általunk megfigyelt áramlási tartományba, vagy valamilyen fékező hatás – legtöbb esetben szilárd felületen való súrlódás – következtében egy bizonyos sebesség nagyság túllépésekor lép fel. Egy szilárd felület mellett áramló közeg esetében a felülettel közvetlenül érintkező részecskék sebessége zérus és a felülettől távolodva a sebesség növekedése figyelhető meg. Az előbbiek szerint további kvalitatív tulajdonsága az áramlásnak, hogy az áramló közeget határoló/hőátadó felületek teljes egészében körülveszik-e vagy sem, különösen természetes áramlások esetében más lesz a folyamatok jellege határolt vagy határolatlan térben. 10.2.1.
A HATÁRRÉTEG ÉS SZEREPE A KONVEKTÍV HŐÁTADÁSBAN
Az áramlások döntő hányada ún. határréteg áramlás. Mint a korábbiakban szerepelt, a felülettel közvetlenül érintkező közegrészecskék sebessége zérus. A felszín mentén elhelyezkedő, változó vastagságú rétegben a felületre merőleges irányban a sebesség folyamatos, nagymérvű változása figyelhető meg. (E rétegben a részecskék áramlása döntően a felszínnel párhuzamos.) Azt a felszínre merőleges távolságot, ahol a sebesség eléri a zavartalan áramlás értékének egy meghatározott %-át, (pl. 99%-át) a határréteg vastagságának (δx) nevezzük. Az elmondottak szemléltetéseként tekintsük a síklap melletti áramlás esetét. A síklap mellett áramló közeg zavartalan sebessége w∞. A határréteg vastagsága a síklap hossza mentén a 10.1. ábra szerint változik és ebben a rétegben a hő az y irányba vezetéssel terjed, mivel a részecskék a síklappal párhuzamosan mozognak. A tw hőmérsékletű felületről a t∞ hőmérsékletű közeg felé az energia terjedése az 1 jelű (x) helyen, a δx vastagságú rétegben hővezetéssel történik. A hőátadás alapegyenlete (10.4) és a (6.2) FOURIER törvény δx rétegre felírt egyenlete alapján következik:
α x (t w − t ∞ ) =
λf δx
(t w − t ∞ ) .
(10.5)
87
Tehát a hőátadási tényezőt a folyadék hővezetési tényezője mellett alapvetően a δx határréteg vastagság határozza meg.
w∞
t∞ y
w∞
w∞ w x(y) lam ináris határréteg
δx
turbulens határréteg
tw 1
2 3
x
10.1.ábra Síklap melletti áramlás A (10.5) egyenlet előbbi felírásánál úgy jártunk el, hogy a határréteg áramló közeg felöli szélénél a zavartalan áramlás hőmérsékletét tételeztük fel. Joggal merül fel a kérdés, hogy ez a feltételezés érvényes-e, és a hőátadás jelenségeire általánosan alkalmazható-e? A tapasztalatok azt mutatják, hogy igen. A felülettel közvetlenül érintkező, nulla sebességű folyadékrészek hőmérséklete a felszíni hőmérséklettel megegyező értékű, attól távol pedig a zavartalan áramlás hőmérséklete érvényesül. Az áramló folyadékrészek tehát, e két hőmérséklet közötti hőmérsékletűek lehetnek. A hidraulikai határréteg analógiájára beszélhetünk az un. termikus határrétegről, melynek vastagságát egy önkényesen megszabott határértékhez (pl. 1%) köthetjük. A faltól távolodva, az a távolság a termikus határréteg vastagsága, ahol a relatív hőmérséklet eltérés az előbb említett határértéket éppen eléri. Az így definiált határréteg nem köteles egybe esni a hidraulikai határréteggel, kettőjük aránya a kinematikai viszkozitás és a hőmérsékletvezetési tényező egymáshoz viszonyított arányától függ. Szokásos esetekben a két határréteg közel esik egymáshoz, és általában a termikus határréteg a hidraulikai határrétegen belül helyezkedik el. Ennek megfelelően (10.5) egyenlet alkalmas a hőátadási tényező nagyságának (ha nem is pontos) megállapítására, a befolyásoló tényezők hatásainak bemutatására. A síklap hossza mentén a változó határréteg vastagság a hőátadási tényező helytől való függését eredményezi. A műszaki gyakorlatban azonban nem ezt a (10.4) összefüggéssel már egyszer definiált lokális (helyi) hőátadási tényezőt, hanem a teljes felületre vonatkozó átlagos hőátadási tényezőt használjuk, amint azt (10.3) kapcsán már említettük. A (10.5) egyenletet közvetlenül a határfelülettel érintkező folyadékrészekre, általánosan – valamennyi határréteges áramlásra – így írhatjuk:
(
)
α ⋅ t w − t foly = − λ foly ⋅ grad ( t ) w .
(10.6)
Az előbbi, (10.6) összefüggést a konvektív hőátadás NUSSELT–féle differenciálegyenletének nevezzük. A (10.5) összefüggésünknél elmondottak általánosítását fejezi ki, azaz, valamennyi határréteges áramlás esetében a határfelület közvetlen közelében a folyadékban is hővezetés történik, a határfelületre merőleges irányban.
88
Mind az átlagos, mind a helyi hőátadási tényezőnek (10.6) alapján való meghatározásához az áramló közeg hőmérséklet-eloszlásának, ez utóbbihoz pedig a sebességeloszlás teljes ismeretére van tehát valóban szükség. A (10.6) egyenletben szerepel a hőátadó felület tw és a közeg tf hőmérsékletének különbsége, ami lényegében egy vonatkoztatási hőmérséklet-különbség. A tf hőmérséklet, mint az előbbiekben szerepelt, a határrétegen „kívüli közeg” hőmérséklete, ami körüláramolt testek esetében a zavartalan áramlás hőmérsékletét jelenti és csövekben, csatornákban stb. áramlások esetén pedig az áramló közeg közepes hőmérsékletét értjük rajta. Ez utóbbi esetben a használt közepes hőfok értéknek alkalmasnak kell lennie az áramló közeg által az adott csőszakaszon felvett/leadott hő meghatározására. Ezért az egyszerű átlagszámítás helyett általában a sebességgel súlyozott középértéket alkalmazzuk:
tf =
∫ wtdF
F
∫ wdF
=
1 wtdF . V! ∫
(10.7)
F
F
10.2.2.
A
SEBESSÉG
ÉS
HŐMÉRSÉKLET-ELOSZLÁS
MEGHATÁROZÁSÁHOZ
SZÜKSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Az áramló közegre vonatkozó hővezetés differenciálegyenlete a következő: ∂ ∂ t ∂ t ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂t ∂t q!V + wx + wy + wz . (10.8) + (λ )+ (λ )+ (λ ) = ρ c p ∂y ∂y ∂z ∂z ∂y ∂ z ∂ x ∂ x ∂ τ ∂ x A 10.1 pontban, a (10.2) felírása kapcsán már említettük, hogy az időben állandósult folyamatokkal foglalkozunk csak, továbbá hőforrás mentes folyadék áramlásokat vizsgálva, állandó anyagjellemzőket feltételezve, a (10.8) egyenlet
∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t λ ⋅ 2 + + = ρ ⋅ cp 2 2 ∂ x ∂y ∂z
∂t ∂t ∂ t ⋅ wx + wy + wz . ∂x ∂y ∂ z
(10.8b)
A sebességmező differenciálegyenlete a NAVIER-STOKES féle mozgás egyenlet, mely derékszögű koordináta rendszerben, az x, y és z koordináta irányú komponensekre vonatkozóan, a következő: ∂ 2w ∂wx ∂ wx ∂ wx ∂ wx ∂p ∂ 2 wx ∂ 2 wx x ρ (10.9x) + ρ wx + wy + wz + µ + + = Fx − ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ y2 ∂ z 2 ∂ x2 2 2 ∂ 2w ∂ wz ∂ wz ∂ wz ∂p y ∂ wy ∂ wy ρ (10.9y) + ρ wx + wy + wz + µ + + = Fy − 2 2 2 ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂y x y z ∂ ∂ ∂
∂w y
∂ 2w ∂ wz ∂ wz ∂ wz ∂p ∂ 2 wz ∂ 2 wz ∂wz z ρ (10.9z) + ρ wx + wy + wz + µ + + = Fz − ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂z ∂ y2 ∂ z 2 ∂ x2 89
A (10.9) egyenlet, NEWTON második törvényét fejezi ki, azaz a baloldalon szereplő, a folyadék tömegének és gyorsulásának szorzata egyenlő, a jobb oldalon álló, F-el jelölt térerők, a nyomóerők és a súrlódási erők eredőjével. A (10.9) egyenlet mind a lamináris, mind a turbulens kényszerített áramlásokra érvényes, összenyomhatatlan, viszkózus közegre. Állandósult áramlásoknál a sorok elején szereplő tagok, a sebesség komponensek időszerinti deriváltjai eltűnnek. A sebesség eloszlás meghatározásához továbbá az anyagmegmaradást kifejező ún. kontinuitási egyenletre van szükség, mely összenyomhatatlan folyadékok esetében a következő alakú:
∂wx ∂w y ∂wz + + =0 ∂x ∂y ∂z
(10.10)
A differenciálegyenlet mellet a sebesség és a hőmérséklet-eloszlásokat leíró függvények meghatározásához a vizsgált tér geometriájának, valamint a vonatkozó peremfeltételek megfelelő leírására van szükségünk. Mint a fejezet bevezetésében már utaltunk rá, a vonatkozó differenciálegyenletek megoldása néhány alapvető eset kivételével (pl. lamináris áramlás csőben, síklap mellett stb.) analitikus formában nem állítható elő. A hőátadási tényező meghatározásában ezért a kísérleti adatokból származó un. empirikus (tapasztalati) összefüggések alkalmazása alapvető. A kísérleti eredmények feldolgozásának és általánosításának módszerei a hasonlóság elméletén alapulnak. A fizikai jelenségek hasonlóságának feltételeit a hővezetés tárgyalása során már megismertük. Láttuk, hogy a jelenséget leíró differenciálegyenleteket – alkalmasan választott változók segítségével – dimenziótlanítani tudjuk, és a levezetés során kapott, a szereplő fizika mennyiségek alkotta un. dimenziótlan csoportok a folyamatok sajátléptékű, azaz általános érvényű összefüggéseinek meghatározását teszik lehetővé. A hővezetés esetében, a dimenziótlan változók közötti kapcsolatot a dimenziótlan differenciálegyenlet közvetlen megoldásából kaptuk. A hőátadásnál, mint már említettük, leíró differenciál egyenletrendszert a szükséges feltételek mellett dimenziótlan formában sem fogjuk tudni megoldani, de a dimenziótlan csoportok meghatározásával útmutatást kapunk arra, hogy a mérési eredményeket milyen mennyiségek közötti összefüggések megállapítására használjuk fel, továbbá, milyen feltételei vannak az egyes hőátadási jelenségek összehasonlíthatóságának, a kapott eredmények általánosításának.
10.3. A kísérleti eredmények általánosítása, dimenziótlan mennyiségek A hőátadás jelenségét meghatározó fizikai mennyiségek közötti dimenziótlan összefüggések megállapításának két módszerét mutatjuk be a következőkben, a differenciálegyenletek közvetlen dimenziótlanítását és az un. dimenzió analízist. 10.3.1.
A DIFFERENCIÁLEGYENLETEK DIMENZÓTLANÍTÁSA
Az áramló közeg sebesség és hőmérséklet-eloszlásának meghatározásához szükséges (10.8), (10.9) és (10.10) egyenletek közül a (10.10) kontinuitási egyenletből hasonlósági feltételt nem kaphatunk, így csak a hővezetés 90
differenciálegyenletével, a NAVIER–STOKES egyenlettel és a NUSSELT egyenlettel foglalkozunk. A dimenziótlan változók felírásakor úgy járunk el, hogy a kísérletekben jól mérhető, a peremfeltételekre jellemző mennyiségek jelenjenek meg a hasonlósági (dimenziótlan) feltételekben. A kísérleti eredmények csak a méréshez hasonló geometriák esetére terjeszthetők ki. A geometriailag hasonló alakzatok egymásnak megfeleltetése (transzformációja) és egyben a dimenziótlan hely koordináták (saját léptékű) származtatása egy alkalmas, hosszúság dimenziójú tényezővel történik, jelölése legyen L. A sebességet csövek, csatornák esetén az áramlás wk közepes sebességével, körüláramlott testeknél a zavartalan áramlás sebességével és a hőmérsékletet pedig (tw-tf), azaz az áramló közeg és a fal hőmérsékletének különbségével végezhetjük el a saját léptékre való átszámítást. (A tf értelmezésére a 10.1 fejezetben elmondottak érvényesek) így a szereplő dimenziótlan változók a következők: x ; L
dimenziótlan hely koordináták:
ξ=
dimenziótlan sebesség komponensek:
ωx =
dimenziótlan hőmérséklet:
ϑ=
dimenziótlan nyomás:
π=
ϕ=
y z ; ζ= L L
wy wx w ; ωy = ; ωz = z ; wk wk wk t −tf
tw − t f p
ρwk2
HASONLÓSÁGI KRITÉRIUM A NAVIER–STOKES EGYENLETBŐL Az egyes koordináta irányokra vonatkozó egyenletekből nyilván azonos hasonlósági kritériumok származtathatók, az egyszerűség érdekében ezért csak egy koordináta irányú (pl. x) egyenletek szerepelnek csak a továbbiakban. A (10.9) egyenlet a dimenziótlan változókkal a következő alakú:
∂ωξ ∂ ωξ w ρwk2 ∂ ωξ ρwk ∂π ωξ = Fx − + ωϕ + ωζ + µ 2k L L ∂ξ ∂ξ ∂ϕ ∂ζ L
∂ 2ωξ ∂ 2ωξ ∂ 2ωξ . + + 2 2 ∂ ξ2 ∂ϕ ∂ζ (10.11)
Az F térerő maga gravitációs erő, ha más pl. mágneses, elektrosztatikus stb. hatások az áramló közegre nem érvényesülnek, azaz Fx = ρg x , így a (10.11) egyenlet
∂ωξ ∂ ωξ w ρwk2 ∂ ωξ ρwk ∂π ωξ = ρg x − + ωϕ + ωζ + µ 2k L L ∂ξ ∂ξ ∂ϕ ∂ζ L
∂ 2ωξ ∂ 2ωξ ∂ 2ωξ . + + 2 2 ∂ ξ2 ∂ ϕ ∂ ζ (10.12)
Figyelembe véve, hogy µ = ρν ,valamint a
ρwk2 együtthatóval osztva a (10.12) L
egyenletet, az eredmény 91
2 2 2 ∂ωξ ∂ ωξ g x L ∂ π ∂ ωξ ν ∂ ωξ ∂ ωξ ∂ ωξ . (10.13) ωξ = + ωϕ + ωζ − + + + ∂ξ ∂ϕ ∂ ζ wk2 ∂ ξ wk L ∂ ξ 2 ∂ ϕ2 ∂ ζ 2
A dimenziótlan differenciálegyenlet megoldásai akkor lesznek azonosak, ha a (10.13) egyenlet dimenziótlan együtthatóinak értéke az összehasonlítandó jelenségekre azonosak, azaz
gx L wk2
ν wk L
= A
= A
gx L , wk2 B
ν . wk L B
(10.14)
(10.15)
A (10.14) összefüggés a tehetetlenségi erők és a térerők viszonyát fejezi ki, amit FROUD kritériumnak nevezzük, és a belőle származtatott dimenziótlan mennyiséget pedig FROUD számnak nevezzük:
Fr =
w gL , vagy Fr = gL wk2
(10.16)
A (10.15) összefüggés a tehetetlenségi és a súrlódási erők viszonyát fejezi ki, amit REYNOLDS kritériumnak nevezzük, és a belőle származtatott dimenziótlan mennyiséget pedig REYNOLDS számnak nevezzük:
Re =
wk L . ν
(10.17)
Az Re szám és a Fr szám változatlansága általában nem teljesíthető, mert pl. egy kismintának az eredeti tized részére kicsinyítése esetén a Re szám szerint ugyanolyan közeg mellett tízszeres sebességre van szükség, a Fr szám szerint pedig 1 10 szeres sebességre van szükség. A közeg megváltoztatásával a két kritérium teljesíthető, de ez viszont általában nem követelmény. Amikor a térerők szerepe döntő a jelenség hasonlóságában (felszíni hullámok, hajó hullámellenállása stb.) a Fr szám állandósága a döntő. Olyan folyadék áramlások esetében amikor a közeg a teret teljesen kitölti, vagy a körüláramlott test teljesen a folyadékba merül, továbbá a (még nem tárgyalt) felhajtóerők nem játszanak szerepet, a hasonlóságnak csak a Re állandósága a feltétele. Ugyanis az összenyomhatatlan folyadék nyomását írjuk fel mint a hidrosztatikai nyomás és a mozgás következtében fellépő nyomás összegeként, azaz
p = p 0 + ρg x x + ρg y y + + ρ g z z + p w ,
(10.18)
így a
∂p ∂p = gx + w ∂x ∂x
,
(10.19)
amit a NAVIER-STOKES egyenletbe helyettesítve, eredményül azt kapjuk, hogy
92
ρ
2 2 ∂ 2w ∂w x ∂ wx ∂ wx ∂ wx ∂ pw x + ∂ wx + ∂ wx . + ρ wx + wy + wz + µ = ρg x − ρg x − ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ y2 ∂ z2 ∂ x2 (10.20)
Tehát, a nehézségi erő, illetve a geometriai magasság nem játszik szerepet az áramlási kép kialakulásában. Abban az esetben amikor a közeg áramlása pusztán a hőmérséklet-különbségek okozta sűrűségváltozás miatti felhajtóerők okozzák, azaz a sűrűség a hőmérséklet függvénye, a térerőket így írhatjuk:
Fx = ρ(t )g x .
(10.21)
Továbbá, a sűrűség a tf hőmérséklettől, ∆t értékkel eltérő, t hőfokon, a térfogati hőtágulási együtthatóval így írható
(
)
( ),
ρ t f + ∆t = (1 + β∆t )ρ t f
(10.22)
amivel (10.21)
( )
( )
Fx = ρ t f g x + β∆tρ t f g x .
(10.23)
A nyomásváltozás csak a folyadék súlyából származik, így
−
∂p ≈ ρ t f gx . ∂x
( )
(10.24)
A (10.23) és (10.24) alapján a NAVIER-STOKES egyenlet természetes áramlások vizsgálatára alkalmas alakja a következő formába írható ρ
∂ 2 wx ∂ 2 wx ∂ 2 wx ∂ wx ∂w x ∂ wx ∂ wx , (10.25) + ρ wx + wy + wz + + = ρg x β∆t + µ ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂ y2 ∂ z2 ∂ x2
a dimenziótlan változók behelyettesítésével pedig kapjuk, hogy
∂ωξ ∂ ωξ w ρwk2 ∂ ωξ ωξ = ρg x β∆t + µ 2k + ωϕ + ωζ L ∂ξ ∂ϕ ∂ζ L Figyelembe véve, hogy µ = ρν ,valamint a
∂ 2ωξ ∂ 2ωξ ∂ 2ωξ (10.26) + + 2 2 ∂ ξ2 ∂ϕ ∂ζ
ρwk2 együtthatóval osztva a (10.26) L
egyenletet, az eredmény 2 2 2 ∂ωξ ∂ ωξ g x β∆tL ∂ ωξ ν ∂ ωξ ∂ ωξ ∂ ωξ ωξ = . + ωϕ + ωζ + + + ∂ξ ∂ϕ ∂ζ wk L ∂ ξ 2 ∂ ϕ 2 ∂ ζ 2 wk2
(10.27)
A dimenziótlan differenciálegyenlet megoldásai akkor lesznek azonosak, ha a (10.27) egyenlet dimenziótlan együtthatóinak értéke az összehasonlítandó jelenségekre azonosak, azaz g x β∆tL wk2
A
g β∆tL , = x 2 wk
(10.28)
B
93
ν wk L
= A
ν . wk L
(10.29)
B
A (10.29) kritérium a már korábban is eredményül kapott Re szám. A (10.28) és (10.29) azt is jelentik, hogy egy adott jelenség esetén a két kritériumból számítható dimenziótlan mennyiségek hányadosa is állandó az összehasonlítandó jelenségekre nézve, így a (10.28) és (10.29) kritériummal teljesen megegyezően, a Re mellett alkalmazhatjuk (10.18) és a (10.29) hányadosaiból képzett kritérium. Fizikailag ez utóbbi hányados a viszkózus erők és a felhajtóerők közötti arányt fejezi ki, azaz
g x β∆tL2 νwk
= A
g x β∆tL2 νwk
.
(10.30)
B
A (10.30) hasonlósági kritériumból a természetes áramlásoknál kényelmetlen közepes sebességet eltüntethetjük, ha (10.30) kritériumot ismételten elosztjuk a (10.29) összefüggéssel, eredményül a GRASHOF-ról elnevezett kritériumot kapjuk:
Gr =
g x β∆tL3
ν2
= A
g x β∆tL3
ν2
.
(10.31)
B
HASONLÓSÁGI KRITÉRIUM A HŐVEZETÉS DIFFERENCIÁLEGYENLETÉBŐL A (10.8b) állandósult áramlásokra vonatkozó hővezetés differenciálegyenletébe behelyettesítve a dimenziótlan változókat, az eredmény a következő:
λ wk Lρc p
∂ 2ϑ ∂ 2ϑ ∂ 2ϑ ∂ ϑ ∂ϑ ∂ϑ = ω + + + ωϕ + ωζ . 2 2 2 ξ ∂ξ ∂ϕ ∂ζ ∂ϕ ∂ζ ∂ ξ
(10.32)
Ahonnan a hőmérséklet-eloszlások hasonlóságát megfogalmazó kritérium:
wk Lρc p
λ
=
wk Lρc p
λ
A
(10.33) B
lesz, amiből a PECLET-ről elnevezett Pe számot kapjuk
Pe =
w k Lρc p
λ
=
wk L . a
(10.34)
A HŐÁTADÁSI TÉNYEZŐRE VONATKOZÓ HASONLÓSÁGI KRITÉRIUM A (10.6) NUSSELT-féle differenciálegyenletet az alkalmazott dimenziótlan változókkal felírva, eredményül kapjuk, hogy
(
)
α t w − t f = −λ f
tw − t f L
grad (ϑ ) w .
A hasonlósági kritériumok teljesülésekor nyilván érvényes lesz, hogy
94
(10.35)
(grad (ϑ ) ) = (grad (ϑ ) ) w A
w B
,
(10.36)
amelynek eredményeként (10.22) alapján kapjuk, hogy
αL λf
= A
αL , λf
(10.37)
B
ami a NUSSELT-ről elnevezett Nu-számot, a hőátadás hasonlósági kritériumát eredményezi:
Nu =
αL . λf
(10.38)
Ha a (10.12) egyenlet jobboldalának első és második tagjától eltekinthetünk, (10.19) és (10.12) egyenletek alakja teljesen azonos lesz, azzal a különbséggel, hogy a hőfokmezőt leíró egyenletben az a hőmérsékletvezetési tényező, a sebességmezőt leíró egyenletben pedig a ν kinematikai viszkozitás szerepel. E két anyagjellemző aránya, azaz a hőtranszportot és az impulzustranszportot jellemző mennyiségek hányadosa szabja meg a hőfokmező és a sebességmező közötti kapcsolatot. Formálisan e kapcsolatot leíró, PRANDTL-ról elnevezett Pr számot mint a Pe szám és a Re szám hányadosaként is megkaphatjuk:
Pr =
ν wL 1 ⋅ = . a wL a ν
(10.39)
(Figyeljük meg, hogy a PRANDTL-szám csak anyagjellemzőket tartalmaz, így maga is anyagjellemzőnek tekinthető.) A differenciálegyenletek dimenziótlanításával kapott hasonlósági kritériumokat felhasználva, a kísérleti eredményekből a hőátadási tényező meghatározására alkalmas általánosítható összefüggések alakja a következő lehet
Nu = f ( Re, Gr , Pe) , vagy
(10.40)
Nu = f ( Re, Gr , Pr ) . A tapasztalatok azt mutatják, hogy az előbbiekben levezetett, a hasonlósági kritériumoknak megfelelő mennyiségek mellet szükséges – többnyire a kényszerített áramlások esetében – különböző K korrekciós tényezők szerepeltetése is a Nu szám meghatározására felhasznált összefüggésekben. Ilyen tényezőkkel vesszük figyelembe pl. az anyagjellemzők hőmérséklettől való függésének hatását, a megfúvási sebesség irányának változását, az átmérőhosszúság arányát stb. Mindezek alapján a tisztán kényszerített áramlásokra a
Nu = f ( Re, Pr , K1 , K 2 ...) ,
(10.41)
a természetes áramlásokra pedig a
Nu = f (Gr , Pr ) ,
(10.42)
95
alakú összefüggéseket alkalmazunk. A dimenziótlan mennyiségekben szereplő anyagjellemzőknek az említet hőmérséklettől való függése miatt a (10.41),(10.42) félempirikus összefüggések alkalmazásakor, az adott jellemzők behelyettesítésénél a mérési eredmények kiértékelése során követett helyettesítési elvet, a szerző(k) által előírtakat kell betartani. Azt, a sokszor fiktív hőmérsékletet, melyet az anyagjellemzők értékeinek a (pl. táblázatokból való kiolvasás) meghatározásánál felhasználunk, jellemző hőmérsékletnek (tj) nevezzük. Mivel a hőátadást alapvetően meghatározzák a 1 határréteg jellemzői, gyakori az átlagos határréteg hőmérséklet t j = (t w + t f 2 alkalmazása, és egyes esetekben a felszíni (tw) és a folyadék (tf) átlagos Pr hőmérséklet-különbség hatását pontosabban követő külön előírást ( pl. a Prw tényezőt ) is tartalmaznak az egyes összefüggések.
n
Az adott elrendezést geometriailag leíró L mennyiséget jellemző méretnek nevezzük és értékét az adott összefüggés megállapításakor követett módon kell meghatározni. Az egyes gyakorlati esetekre vonatkozó, a Nu-szám meghatározásához szükséges összefüggéseket a 10.4,10.5. és 10.6. fejezetek tartalmaznak. 10.3.2.
DIMENZIÓ ANALIZIS –RAYLEIGH ALGEBRAI MÓDSZERE
A dimenziótlan csoportok meghatározásának klasszikus algebrai módszere RAYLEIGH-től (1892) származik. A módszer bemutatására a BUCKINGHAM-től származó, a kényszeríttet áramlásra vonatkozó levezetést használjuk fel. A dimenzió analízis alkalmazásához valamennyi fizikai hatás ismeretére, számbavételére szükségünk van. A kísérleti eredmények csak a méréshez hasonló geometriák esetére terjeszthetők ki. A geometriailag hasonló alakzatok egymásnak megfeleltetése (transzformációja) egy alkalmas hosszúság dimenziójú tényezővel történik, jelölése legyen L. Feltételezve, hogy a szabadáramlás hatása elhanyagolható, a kényszeríttet áramlás esetén az átlagos hőátadási tényező az L hosszon kívül, az áramló közeg következő paramétereitől függ:
µ
viszkozitási tényező,
kg/ms
c
ρ
sűrűség,
kg/m3
w
λ
hővezetési tényező,
W/mK
∆t=tw-tf
fajhő,
J/kgK
áramlási sebesség,
m/s
hőmérséklet-különbség,
K
A felsorolt változókkal a hőátadási tényezőt a következően fejezhetjük ki:
α ( µ , ρ , λ , c, w, ∆t , L) = Aµ a1 ρ b1 λc1 c d1 w e1 ∆t f 1 Lg1 + Bµ a2 ρ b2 λc2 c d 2 w e2 ∆t f 2 Lg2 +... , (10.43)
96
ahol az A, B tényezők állandók, az a,b,c,d,e,f,g számok pedig a megfelelő kitevők. A jobb oldalon álló tagok mértékegységének meg kell egyezni a bal oldalon álló hátadási tényező, J/sm2K, mértékegységével. Valamennyi mértékegység felírható a tömeg (M), a hosszúság (H), az idő (I), a hőmérséklet (T) és az energia (E) mint alapmennyiségek mértékegységével. Alkalmazva (10.43) egyenlet első tagjára, kapjuk: b
a c d e M M E E H f g = 3 (T ) ( H ) . 2 HI H HTI MT I H TI
E
(10.44)
(10.44) összefüggést rendezve:
H −2 I −1T −1 E = H e+ g −a −3b −c I − a − c−e T f −d −c E c + d M a +b − d .
(10.45)
(10.45) alapján a kitevőkre vonatkozó egyenletrendszer: −2 = e + g − a − 3b − c −1 = − a − c − e −1 = f − c − d
(10.46)
1= c+d 0 = a +b−d Mivel öt egyenlet és hét ismeretlen van, két, paraméternek választott változóval felírhatjuk valamennyi többi ismeretlent. A d és e választásával kapjuk:
a = d − e , b = e , c = 1 − d , f = 0 , g = e − 1. Az így kifejezett kitevőket helyettesítve a (10.43) egyenletbe és az azonos kitevőjű tagokat összevonva:
λ µc 1 ρwL α = A L λ µ d
e1
µc + B λ
d2
ρwL µ
e2
+... ,
(10.47)
átrendezve:
µc ρwL αL = f( , ), λ λ µ
(10.48)
ahol f() valamilyen függvény. Az (10.48) összefüggésben szereplő dimenziótlan csoportok azonosak a 10.3.1. pontban bevezetett mennyiségekkel, azaz
Nu =
αL , a NUSSELT-szám λ
Pr =
µc ν = , a PRANDTL-szám, ahol λ a
Re =
ν=
µ a kinematikai viszkozitás ρ
a=
λ hőmérsékletvezetési tényező ρc
ρwL wL = , a REYNOLDS-szám µ ν 97
(10.48) a dimenziótlan mennyiségekkel:
Nu = f ( Re, Pr ) .
(10.49)
(10.48) a korábban említett korrekciós tényezőkkel kiegészítve megegyezik az előző fejezetben eredményül kapott (10.41) összefüggéssel.
10.4. Hőátadás kényszeríttet áramlásnál 10.4.1.
HŐÁTADÁS VÍZSZINTES CSÖVEKBEN ÁRAMLÓ KÖZEGEK ESETÉN
A kör keresztmetszetű csövekben történő áramlás esetén (és a továbbiakat előre bocsátva, általában is) a hőátadási tényező nagysága legerőteljesebben az áramlás jellegétől függ, mivel az áramlás jellege a csőfal mellet kialakuló határréteg fizikai paramétereit döntően befolyásolja, és így a korábban elmondottak szerint a hőátadás mértékét is elsősorban meghatározza. Az áramlás jellegében az un. kritikus sebesség elérésekor - REYNOLDS eredményei alapján - a váltás hirtelen következik be, amikor is a kisebb sebesség esetén fennálló lamináris (réteges) áramlás turbulenssé (gomolygóvá) válik. Csövekben áramló közegek esetén az átmenethez a Re≈2320 érték tartozik. A sebesség a cső keresztmetszetben a sugár függvényében változik, a Re számban szereplő sebesség a közeg átlagsebessége, ami az időegységenként átáramlott térfogat (térfogatáram V! ) és az áramlási keresztmetszet (F) hányadosa: w = V! / F . A határréteg a közeg belépési keresztmetszetétől folyamatosan épül fel, és egy bizonyos hosszúság után a teljes cső keresztmetszetet kitölti. E folyamat lényege, hogy az áramló folyadék belépés előtti egyenletes sebességeloszlása átalakul. A közegnek és a csőfalnak, majd a lelassult részek egymáshoz való súrlódása következtében a részecskék lefékeződése a csőfaltól egyre nagyobb távolságra terjed ki. Megfelelő csőhossz esetén az adott áramlásra jellemző sebességprofil alakul ki. Ezt az állapotot nevezzük hidraulikusan kialakult áramlásnak. (10.2. ábra) A hőátadási tényező átlagos értékét ennek megfelelően a csőátmérő és a csőhosszúság aránya is befolyásolja. a./
b./
w
w
10.2. ábra Sebesség eloszlás hidraulikailag kialakult lamináris (a./) és turbulens (b./) áramlásnál A Nu-számot a (10.50) összefüggés alapján határozhatjuk meg. Az összefüggés mind lamináris, mind turbulens áramlásokra alkalmazható és vegyük észre, hogy csak formálisan egyetlen összefüggés. A szögletes zárójel első tagja a lamináris áramlást, míg a második tag, a súrlódási tényezőtől való függést is tartalmazó rész, a turbulens áramlást írja le és a két érték közül a nagyobb felhasználását írja elő a MAX utasítás. 98
0.11 1/3 d X Pr 3 3 Nu = MAX 3.66 + 1.61 Re ⋅ Pr ⋅ , ⋅ l Y Prw
GNIELINSKI szerint
d 2 /3 ξ X = ⋅ ( Re − 1000.0) ⋅ Pr ⋅ 1 + 8 l
(
)
Y = 1 + 12.7 ⋅ Pr 2 / 3 − 1 ⋅
ξ=
FILONENKO szerint
Érvényes:
(10.50)
ξ 8
1 (182 . ⋅ log10 Re − 164 . )2
0 < Re <106, 0 < d/l < 1 és
0.5 < Pr < 2000
Jellemző méret:
a cső belső átmérője
Jellemző sebesség:
a közeg átlagsebessége
Jellemző hőmérséklet:
a közeg közepes hőmérséklete
Nem kör keresztmetszetű csövekben történő áramlásnál az un. egyenértékű átmérőt (de) használjuk, mely egy olyan fiktív átmérőt jelent, ahol a nedvesített kerület és az áramlási keresztmetszet aránya akkora mint a nem kör F keresztmetszetű csőnél, így de = 4 ⋅ , K ahol F az áramlási keresztmetszet, K a nedvesített kerületet jelenti. Görbült csövek esetén a hőátadási tényező értéke megnő: d α R = 1 + 1.77 ⋅ ⋅ α egyenes , R ahol R a görbületi sugár és d a cső átmérője. 10.4.2.
KÖRÜLÁRAMLOTT TESTEK HŐÁTADÁSA KÉNYSZERÍTETT ÁRAMLÁSNÁL
HŐÁTADÁS SÍKLAPOK MELLETTI ÁRAMLÁSNÁL A síklap melletti áramlásnál (10.1. ábra) a fal mellett kialakuló lamináris határréteg az áramlás irányában a belépő éltől fokozatosan vastagodik, a jellegzetes sebesség profilt tüntettük fel az (1) pontban. Az x növekedésével egy adott helyen (2) pont a határréteg egyensúlya megbomlik és megjelenik a turbulens határréteg, ugyanakkor megmarad egy lamináris alapréteg a fal mellett. A (3) pontban e tartományra jellemző sebesség profilt ábrázoltuk. A hőátadási tényező a síklap mentén folyamatosan csökken a határréteg vastagságának növekedésének megfelelően. A (2) pont helye függ a belépési él kialakításától, a felület érdességétől, valamint az áramlás belépés előtti turbulenciájától is. Azt a kritikus hosszúságot ahol már biztosan turbulens az áramlás az un. Rekritikus≈ 5⋅105 alapján határozhatjuk meg. 99
A Nu számot a (10.51) összefüggés szerint számíthatjuk a Re számtól függően.
Re < 105
Re > 5 ⋅ 105 3
Nulam = 0.664 ⋅ Re ⋅ Pr
Nuturb =
0.037 Re0.8 Pr
(
)
1 + 2.443Re − 0.1 Pr 0.66 − 1
(10.51)
illetve a 10 < Re < 107 tartományban egy összevont összefüggést alkalmazhatunk GNIELINSKI szerint:
Nu =
100
2 Nulam
+
2 Nuturb
Pr Prw
0.25
Jellemző méret:
az áramlás irányába eső hosszúság
Jellemző hőmérséklet:
a zavartalan áramlás hőfoka
Jellemző sebesség:
a zavartalan áramlás sebessége
Prw:
a közeg Pr száma a fal hőmérsékletén
HŐÁTADÁS KÖRKERESZTMETSZETŰ HENGERRE MERŐLEGES ÁRAMLÁSNÁL Az egyedül álló henger körül, kis Re számoknál kialakuló áramlási képet a 10.3.ábra mutatja. A határréteg a leválási pontokig lamináris, a leválást követő teret örvénylő folyadék tölti ki és Re>100 esetén kétoldalt periodikusan leváló örvények alakulnak ki. (A KÁRMÁN féle örvénysort egy vízbe mártott botnak nagyobb sebességgel való mozgatásakor érzékelhetjük, ugyanis a leváló őrvények miatt annak egyenes mozgása helyett, ide-oda rándulását tapasztaljuk.) A henger kerülete mentén kialakuló határrétegnek megfelelően a hőátadási tényező értéke a henger (A) áramlással szemben álló alkotójától a leválási (B) pontokig csökken majd az örvénylő zónában hirtelen megnő. B A B
10.3.ábra Henger körüli áramlás Az átlagos hőátadási tényezőt a Re nagyságától függően az (10.52) alapján számítjuk. Re
C
n
10 - 103
0.5
0.5
10 3 - 2.105
0.25
0.6
Nu = C ⋅ Re ⋅ Pr n
0.38
Pr ⋅ Prw
0.25
⋅ εψ
(10.52)
εψ értékei a megfúvási (ψ) szög függvényében: Ψ
90
80
70
60
50
40
30
20
10
εψ
1.00
1.00
0.98
0.94
0.87
0.76
0.66
0.60
0.56
Prw: Jellemző méret:
a közeg Pr száma a fal hőmérsékletén a cső külső átmérője
Jellemző sebesség:
a zavartalan áramlás sebessége
Jellemző hőmérséklet:
a zavartalan áramlás hőmérséklete
Ψ:
az áramlás irányának a cső tengelyével bezárt szöge
101
KÖR KERESZTMETSZETŰ CSÖVEKBŐL ÁLLÓ KÖTEGRE MERŐLEGES ÁRAMLÁSNÁL A csőkötegek kialakítása az 10.4. ábra szerint lehet un. soros-folyosós vagy sakktáblás elrendezésű. Az összefüggések nagyszámú csősor esetére vonatkozó hőátadási tényezőket adnak meg. Kevesebb sor esetén a felület arányoknak megfelelően, az első két sornak az áramlás kialakulatlansága miatti kisebb hőátadását figyelembe kell venni. a./
b./
1.sor
n.sor
1.sor
n.sor
10.4. ábra A soros (a./) és a sakktáblás (b./) elrendezésű csőköteg Soros elrendezés esetén: Nu = 0.23 ⋅ Re
0.65
⋅ Pr
0.33
Sakktáblás elrendezés esetén:
Pr ⋅ Prw
0.25
⋅ εψ ,
Nu = 0.41 ⋅ Re
0.6
⋅ Pr
0.33
Pr ⋅ Prw
0.25
⋅ εψ (10.53)
α köteg =
0.6 ⋅ F1 + 0.9 ⋅ F2 + F3 +# ⋅α , F1 + F2 + F3 +#
α köteg =
0.6 ⋅ F1 + 0.7 ⋅ F2 + F3 +# ⋅α F1 + F2 + F3 +#
Érvényes:
Re = 2 ⋅ 10 2 − 2 ⋅ 105
Jellemző méret:
a csőköteg egy csövének külső átmérője
Jellemző hőmérséklet:
a közeg közepes hőmérséklete
Jellemző sebesség:
a legszűkebb keresztmetszetben fellépő sebesség
Fi:
az i-edik csősor felülete
102
10.5. Hőátadás természetes (szabad) áramlásnál A közegen belüli hőmérséklet-különbség miatt történő sűrűség változás következtében fellépő felhajtóerő okozta áramlást természetes vagy szabad áramlásnak nevezzük. A közegen belüli hőmérséklet-különbséget többnyire a közegnek saját hőmérsékletétől eltérő hőmérsékletű felülettel való érintkezése okozza. A felület és a körülötte elhelyezkedő közeg közötti hőátadás mértékét döntően az így kialakuló áramlás határozza meg. A szabadáramlás a közegek belső súrlódása miatt határréteg jellegű. Az áramlásban kialakuló sebesség viszonyokat a felhajtó és a súrlódó erők közötti viszony határozza meg. A 10.3. fejezetben megmutattuk, hogy ebben az esetben a (10.28b) alakú lesz a hőátadási tényező meghatározása alkalmas összefüggés és emlékeztetve, a hasonlósági kritériumot pedig a Gr, GRASHOFF szám jelenti:
Gr =
g β ∆t L3
ν
2
,
(10.54)
ahol: g a nehézségi gyorsulás, értéke,m/s2
β a térfogati hőtágulási együttható, 1/K
L a jellemző méret, m
ν a kinematikai viszkozitás, m2/s
∆t a közeg és a vele érintkező felszín hőmérsékletének különbsége, K vagy °C. Ha a természetes áramlás kialakulásához rendelkezésre álló térfogat mérete olyan, hogy a vizsgált felületen kialakuló határréteget a többi határoló felület nem befolyásolja, határolatlan térben történőnek és amennyiben a kis méretek miatt az áramlások hatással vannak egymásra, határolt térben történő szabad áramlásról van szó. A NUSSELT szám meghatározására alkalmas összefüggések a következők:
Nu = C ⋅ (Gr ⋅ Pr )
a./ Határolatlan térben:
.
(10.55)
Gr⋅Pr
C
n
1⋅10-4 - 1⋅10-3
0.5
0
1⋅10-3 - 5⋅102
1.18
1/8
5⋅10 2 - 2⋅107
0.54
1/4
0.135
1/3
Érvényes:
2⋅107 - 1⋅1013 Jellemző méret:
n
Gömbök és vízszintes csövek esetén a külső átmérő, függőleges lapok és csövek esetén a magasság. Vízszintes lapok esetén a rövidebb oldal. Ha a hőátadás a vízszintes lap felső oldalán történik, úgy a kiszámított hőátadási tényezőt 30 %-kal növelni, ha az alsó oldalán történik, úgy 30%-kal csökkenteni kell.
Jellemző hőmérséklet:
t=
(
)
1 ⋅ tw + t f . 2
tw a szilárd felszín hőmérséklete 103
tf a közeg hőmérséklete a felszíntől távol Figyeljük meg, hogy az n kitevő értéke 1/3 az előbbi táblázat utolsó sorában. Mivel a GRASHOFF számban a jellemző méret a harmadik hatványon szerepel, így abból köbgyököt vonva, a jellemző méret az első hatványra kerül, megegyezően a NUSSELT számbeli kitevőjével, ami végül is azt eredményezi, hogy magának a hőátadási tényezőnek az értéke a jellemző mérettől független lesz, azaz
gβ∆tL3 ν αL = 0135 . λ ν2 a
1/ 3
gβ∆t = 0135 . νa
1/ 3
L,
(10.56)
ahonnan
gβ∆t α = 0135 . ⋅ λ νa
1/ 3
.
(10.57)
Mindezek alapján azt mondjuk, hogy amikor a Gr⋅Pr szorzat elegendően nagy, a természetes áramlás jelensége önmodellezővé válik. b./ Határolt térben /NIEMAN szerint/: Hőáramsűrűség az egymáshoz közel fekvő sík lapok vagy hengerfelületek által határolt résen keresztül:
λ λ m ⋅ (Gr ⋅ Pr ) . q! = e ⋅ (t1 − t2 ) és e = 1 + δ λ (Gr ⋅ Pr ) + n r
ahol:
δ
a rés mérete
λ
a rést kitöltő anyag hővezetési tényezője
Az m, n, r konstansok értékei az egyes esetekre: Érvényes:
(GrPr)< 108
m
n
r
I.
0.119
1.45⋅104
1.27
II.
0.07
0.32⋅104
1.333
III.
0.0236
1.01⋅104
1.393
0.043
0.41⋅104
1.360
0.025
1.30⋅104
1.360
IV.
V.
104
45 °
45 °
(10.58)
10.6. Hőátadás halmazállapot változás esetén 10.6.1.
FORRÁSBAN LÉVŐ FOLYADÉKOK HŐÁTADÁSA
Számos technológia alapvető folyamata a folyadék-gőz fázisátalakulás, gondoljunk pl. a fűtőművek, a villamos erőművek gőzkazánjaira. A folyadék felszínén történő gőzképződés a párolgás. A forralás során, a folyadék-gőz fázisátalakulás a folyadék felszín alatt következik be, és a keletkező gőz buborékok formájában áramlik át a folyadékon. A nagy térfogatban történő forralásnál a folyadék áramlását döntően a buborékok mozgása okozza. A csövekben, csatornákban történő forralást a folyadék és gőz keverékének együttes, un. két fázisú áramlását a folyamat bonyolultsága miatt nem tárgyaljuk és a továbbiakban csak a nagy térfogatban való forralásról lesz szó. A folyadék nyomása meghatározza azt a (telítési) hőmérsékletet (ts), amelyen a folyadék-gőz fázis egyensúlyban van. A forralás során azonban a fűtőfelülettel érintkező folyadékfilm hőmérséklete ennél magasabb értékű, a folyadék túlhevített állapotban van. A fűtőfelület (tw) hőmérsékletéről egy vékony (néhány mm-es) rétegben csökken a hőmérséklet a telítési hőmérsékletet (ts) megközelítő értékig és a folyadék főtömege közel azonos hőmérsékletű, de csak a felszín felett összegyűlt gőz fázis lesz ténylegesen telítési (ts) hőmérsékletű. A fűtőfelületről a forrásban lévő közeg felé való hőterjedés folyamatát két lépcsőre bonthatjuk. Először a felülettel érintkező folyadékot a fűtőfelülettől átvett energia túlhevíti, majd a túlhevített folyadékból a fázisátalakulással a hő gyakorlatilag ellenállás nélkül jut a gőzbuborékba. A fűtőfelületről a gőz fázis felé a közvetlen hőterjedés elhanyagolható, így a forrásos hőátadás mértékét a fűtőfelület és a túlhevített folyadékréteg közötti hőellenállás határozza meg. a
W B uborékos m 2 106 forrás
b c
d
105
q
104
α 103 102 0.1
Film forrás
∆tkrit 1
101
102
103
∆t [K ]
10.5. ábra A hőáramsűrűség és a hőátadási tényező változása,1 bar nyomású víz forrása esetén a ∆t = t w − t s függvényében A forralásnál tapasztalt intenzív hőátadást a fűtőfelületen keletkező majd leszakadó és újra keletkező gőzbuborékok által a fűtőfelülettel érintkező folyadékrétegben gerjesztett gyors oszcilláló áramlások okozzák. A forrásnak ezt az állapotát buborékos forrásnak nevezzük. A gőzbuborékok keletkezésének, leszakadásának körülményei — az előbbiek szerint — a hőátadás mértékére jelentős hatással vannak. A jelenség részletezése nélkül, a felületi feszültség és a felület nedvesítésének szerepe alapvető a folyamatban. A keletkező buborékok 105
számát és méretét továbbá meghatározza a fűtőfelületen fellépő hőáramsűrűség (hőterhelés) is. A hőáram, a hőátadási tényező és a hőmérséklet-különbség közötti kapcsolatot ábrázolja a 10.5. ábra. Egy adott (a pont) hőterhelés esetén a gőzbuborékok összefüggő gőzpárnává (filmmé) állnak össze a fűtő felületen. Ebben az állapotban a fűtőfelülettel megszűnik a folyadék közvetlen érintkezése. A forrásnak ezt az állapotát filmforrásnak nevezzük. A nagyságrendeket növekedő hőellenálláson a változatlan hőáram csak nagyságrendekkel növekvő hőmérséklet-különbség mellett juthat át, így a fűtőfelület hőmérsékletének ugrás-szerűen (a →b) emelkednie kell Az így fellépő hőmérséklet több lehet mint az alkalmazott szerkezeti anyag által elviselt hőmérséklet, ami üzemzavarhoz, rossz esetben katasztrófához vezethet. A hőterhelés csökkentésekor az ugrás szerű hőmérséklet-változást az előzőektől eltérő, c→d pontok között tapasztaljuk. Mint az egyik leggyakoribb technológiai közegre, a vízre vonatkozó forrásos hőátadási tényező meghatározására, MIHEJEV szerint a következő összefüggéseket alkalmazhatjuk buborékos forrás, azaz q
α = 2.656 ⋅ p 0.176 ⋅ q w 0.7 ,
(10.57)
α = 25.95 ⋅ p 0.587 ⋅ (t w − t s )
2.333
A helyettesítés mértékegységei: valamint: ts
W α: 2 m K
a telítési hőmérséklet,
tw
.
(10.58)
W q: 2 m
p: [bar]
a falhőmérséklet.
p:
0.2
1
10
20
30
40
50
100
[bar]
qkrit= x⋅106
0.55
1.2
1.8
2.4
3
3.5
3.9
3.7
W m2
106
10.6.2.
HŐÁTADÁS GŐZ KONDENZÁCIÓJAKOR
Abban az esetben, amikor egy szilárd felület hőmérséklete alacsonyabb mint a vele érintkező gőz telítési hőmérséklete, kondenzáció történik. A keletkező folyadék (annak függvényében, hogy a kondenzátum nedvesíti-e a felületet) cseppek vagy összefüggő hártya formájában, a nehézségi erő hatására a felületen csorog végig. A gyakorlati esetek döntő többségében az utóbbi formájú un. film kondenzáció történik. A 10.6. ábra a függőleges síkfalon kialakuló film kondenzáció viszonyait ábrázolja. Egy adott (y) magasságban a folyadék film (δy) vastagságát és a film áramlási viszonyait meghatározza az adott (H) szakaszon kondenzálódott folyadék mennyisége, a nehézségi erő és a folyadék rétegben fellépő viszkózus erők aránya. K ondenzálódó gõz
H t
tgõz
δy
y ts
tw
Folyadék film /kondenzátum / x
10.6. ábra Film kondenzáció függőleges síkfalon A kondenzálódó gőzt a szilárd felülettől a felület mentén áramló kondenzátum elválasztja, és a kondenzáció a folyadék film felszínén történik, a felszabaduló energia (párolgáshőnek megfelelő mennyiség) pedig a folyadékrétegen keresztül, annak hőellenállásán át jut a szilárd felülethez. A FOURIER törvény (6.2) alapján a λf hővezetési tényezőjű, δy vastagságú rétegen keresztül a szilárd felület felé a hőáramsűrűség: q! y =
λf δy
(t s − t w ) .
(10.59)
A hőáramsűrűséget felírhatjuk az (1.4) hőátadás alapegyenlete alapján is: q! y = α (t s − t w ) .
(10.60)
A (10.59) és (10.60) egybevetésével megállapíthatjuk, hogy a hőátadási tényező értéke a folyadék hővezetési tényezője mellett a folyadékfilm áramlási feltételei által befolyásolt, δy vastagságtól függ. A filmben áramló kondenzátum mennyiségét a (H) magasság és a ∆t=ts – tw hőmérséklet-különbség együttesen határozza meg. Abban az esetben, ha a gőz-folyadék felszínen a súrlódást elhanyagolhatjuk, és a folyadékfilm lamináris, alkalmazható NUSSELT által az átlagos hőátadási tényező meghatározására levezetett összefüggés: 1 4 λ3 ⋅ ρ 2 ⋅ g ⋅ r 1 α H = 0.943 ⋅ ⋅ H ⋅ ∆t µ
14
.
(10.61)
107
Érvényes:
( H ⋅ ∆t ) 〈 ( H ⋅ ∆t )lam
Határértékek vízre: ts
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
(H⋅∆t)lam
590
310
200
140
108
85
70
59
52
45.5
ts
130
150
170
190
200
250
300
350
374
(H⋅∆t)lam
34
25
20
16.5
15
11
8.1
4.9
0
Amennyiben a H⋅∆t értéke az előző táblázatbeli határértékeket meghaladja, GRIGULL szerint alkalmazható összefüggés a következő: 12 λ3 ⋅ ρ 2 ⋅ g 1 2 . t)
α H = 0.003 ⋅ ( H ⋅ ∆
⋅
r ⋅ µ3
Érvényes:
( H ⋅ ∆t ) 〉 ( H ⋅ ∆tlam ) .
Jellemző hőmérséklet:
t =(tw+ts)/2.
(10.50)
Mindkét összefüggésre érvényes jelölések a következők:
αH H
átlagos hőátadási tényező, a folyadékfilm kialakulásának függőleges hosszúsága, (Vízszintes cső esetén a külső átmérő, ekkor az α val. = 0.77⋅ α szám )
∆t (ts-tw) ahol ts a telítési hőmérséklet, tw a felület hőmérséklete, µ a folyadék dinamikai viszkozitása a jellemző hőmérsékleten, λ a folyadék hővezetési tényezője a jellemző hőmérsékleten, ρ a folyadék sűrűsége a jellemző hőmérsékleten, r párolgáshő ts hőmérsékleten.
108
11.
HŐCSERÉLŐK
Különféle közegek lehűtése vagy felmelegítése a technika egyik leggyakoribb és legfontosabb feladata. Azokat a berendezéseket, amelyekben az említett folyamatok lejátszódnak hőcserélőknek nevezzük. A hőcserélők szerkezetüket, funkciójukat stb. tekintve nagyon változatosak, több szempont szerint is osztályozhatóak. Működésüket tekintve azonban általában három főbb típust különböztethetünk meg: Rekuperatív működésű az a hőcserélő amelyben a különböző hőmérsékletű közegek egyidejűleg vannak jelen. Regeneratív működésű az a berendezés melyben a különböző hőmérsékletű közegek felváltva érintkeznek a hőátadó felülettel. Keverő hőcserélőkben a különböző hőmérsékletű közegek hőátadó felület közbeiktatódása nélkül, közvetlenül érintkeznek.
11.1. A rekuperatív hőcserélők A rekuperatív hőcserélők szerkezetének kettős feladata van: egyrészt az áramló közegek megfelelő elválasztása egymástól és a környezettől, másrészt az energia egyik közegből a másikba való terjedéséhez megfelelő körülmények, (legfőképp az elegendő hőátadó felület) megteremtése. A hőátvitelnél a hőáram nagyságát döntően befolyásoló három tényező a felület, a hőmérséklet-különbség és a hőátviteli tényező nagysága. A megfelelő feltételeknek eleget tevő hőcserélő megtervezéséhez e három tényező közötti összefüggés ismeretére van szükségünk. A rekuperatív hőcserélőket a közegek egymáshoz viszonyított áramlási irányai alapján egyenáramúnak, ellenáramúnak vagy keresztáramúnak tekinthetjük. 11.1.1.
AZ EGYEN- ÉS ELLENÁRAMÚ HŐCSERE HŐMÉRSÉKLET VISZONYAI
Az 11.1. ábrán a hőcserében résztvevő közegek áramlásának irányait és az áramló közegek hőmérséklet viszonyait ábrázoltuk tiszta egyen- és ellenáram esetében. Feltételezzük, hogy a hőcsere folyamatban csak a két áramló közeg vesz részt, és a környezet felé nincs hőveszteség. Így az energia megmaradás tétele következtében azt írhatjuk, hogy a felmelegedő közeg által felvett hő egyenlő a csökkenő hőmérsékletű közeg által leadott hővel, azaz:
Q! = m! 2 c2 (t 2 ki − t 2be) = m! 1c1 (t1be − t1ki ) .
(11.1)
! = V!ρc szorzatot az áramló közeg hőkapacitás áramának nevezzük, Az W! = mc melyet a tömegáram ( m! ) és a fajhő (c) vagy a térfogatáram ( V! ), a sűrűség (ρ) és a fajhő szorzataként számítunk ki. Vezessük be a ∆t1 = t1be − t1ki és a ∆t2 = t2 ki − t2be jelöléseket:
Q! = W!1∆t1 = W!2 ∆t 2 .
(11.2)
109
EGYENÁRAM
ELLENÁRAM
hõm érséklet
hõm érséklet
t1be
t1be
∆t1 ∆t0
∆t
∆tF ∆t2
t2be felület
dF
∆t0
∆t1
∆t
t1ki t2ki
t2ki
∆t2
F
∆tF felület
dF
F
t1ki t2be
11.1. ábra Az egyen és ellenáramú hőcsere hőmérséklet viszonyai A (11.1) vagy (11.2) egyenletet a hőcserélő hőmérlegének, a Q! hőáramot a hőcserélő hőteljesítményének nevezzük. A hőcserében résztvevő közegek jelölésére azt a konvenciót használjuk, hogy az 1 indexet mindig a kisebb hőkapacitás áramú közeghez rendeljük, azaz W!1 ≤ W!2 (egyenlőség esetén az indexelés közömbös). Egy elemi dF felület mentén a két közeg közötti hőátvitel hőáramát felírhatjuk (11.4) egyenlettel, mert nagyon kicsi a dF menti hőmérséklet változás:
dQ! = kdF (t1 − t 2 ) .
(11.4)
A dF felületről az egyes közegek által el illetve oda szállított hőt így írhatjuk:
! . dQ! = Wdt
(11.5)
A dF felület két oldalán az 1 illetve a 2 közegre a hőmérséklet változások irányát is figyelembe véve írtuk fel a kiindulási összefüggéseket az előbbiek alapján, és az egyen és ellenáramra vonatkozó összefüggéseket párhuzamosan, egyszerre vezetjük le a következőkben. Egyenáram:
Ellenáram:
k (t1 − t 2 )dF = −W!1dt1
k (t1 − t 2 )dF = −W!1dt1
k (t1 − t 2 )dF = +W! 2 dt 2
k (t1 − t 2 )dF = −W!2 dt 2
Összeadva:
(11.6)
Kivonva 2.sorból 1. sort:
1 1 1 1 ( ! + ! )( t1 − t 2 ) kdF = − d (t1 − t 2 ) . ( ! − ! )(t1 − t 2 ) kdF = − d (t1 − t 2 ) . W1 W2 W1 W2 Bevezetve: 1 1 1 1 β =( ! + ! ), ∆t = ( t1 − t 2 ) , (11.7) β ( ). = − W1 W2 W! W! 1
Behelyettesítve a jelöléseket: 110
2
− β k dF =
d∆t . ∆t
(11.8)
Mindkét hőcserélőre: F
− ∫βkdf = 0
∆t ( F )
d∆t , ∆ t ∆t ( 0)
∫
∆t ( F ) = ∆t ( 0) e - β kF .
ahonnan: Egyenáramra:
∆t ( 0) = (t1be − t 2be ) .
(11.9)
Ellenáramra:
∆t ( 0) = (t1be − t 2 ki ) .
A két közeg közötti hőmérséklet-különbség (∆t) tehát mindkét esetben exponenciálisan csökken a felület mentén. A kapott eredményt behelyettesítve a (11.6) kiindulási egyenletekbe, és integrálva kapjuk az egyes közegek hőmérsékletváltozását az F felület függvényében:
t1 = t1be − ∆t ( 0)
W!2 (1 − e − β kF ) , ! ! W1 + W2
W!1 t 2 = t 2be + ∆t ( 0) (1 − e − β kF ) . W!1 + W! 2
t1 = t1be − ∆t ( 0)
W!2 (1 − e − β kF ) , ! ! W1 − W2
W!1 t 2 = t 2 ki − ∆t ( 0) (1 − e − β kF ) . W!1 − W!2 (11.10)
11.1.2.
A KERESZTÁRAMÚ HŐCSERE HŐMÉRSÉKLET VISZONYAI
A keresztáramú hőcserélők a felület kihasználtsága szempontjából az ellen és az egyenáram között foglalnak helyet. Az egyik legközismertebb példa az ilyen típusú készülékre az autómotorok folyadék hűtője, melyben a levegő és a hűtendő folyadék egymásra merőlegesen áramlik. A keresztáramú hőcsere a résztvevő közegek áramlási elrendezését tekintve lehet egyszeres és többszörös, amint azt a 11.2 ábra szemlélteti.
11.2. ábra Egyszeres és többszörös keresztáram A hőcserélőben a közegek hőmérséklet eloszlásának sajátossága, hogy az áramlási elrendezésből adódóan az áramlási keresztmetszet különböző pontjaiban az egyik közeg a másik közegnek más-más hőmérsékletű részeivel 111
találkozik. A hőmérséklet eloszlás meghatározásához tekintsük a 11.3. ábra dF = dx ⋅ dy felületen fellépő hőáramot:
dQ! = k ⋅ [ t1 ( x , y ) − t 2 ( x , y )] ⋅ dF .
(11.11)
dy és ugyanez a 2 indexű Y dx dy dx , valamint a hőkapacitás áramokra W!1 közegre m! 2 és W!2 . Y X X Az 1 indexű közegből a dF felület mentén áramlik m! 1
A dF felület mentén a közegek hőmérséklet változásával a közöttük létrejövő hőcsere hőmérlege a következő:
dy ∂ t1 dx ∂ t1 dQ! = −W!1 dx = W! 2 dy . Y ∂x X ∂y
(11.12)
A (11.11) egyenlettel egyenlővé téve:
W!1 ∂ t W! ∂ t = t1 − t2 . = t 2 − t1 valamint 2 kX ∂y kY ∂x
(11.13)
t2,ki X dx t1,be W1
x
dy Y
t1,ki
y
t2,be W
2
11.3. ábra Jelölések a keresztáramú hőcsere hőmérsékleteloszlását leíró differenciálegyenlet felírásához A (11.13) differenciálegyenleteknek – NUSSELT nyomán, a ξ =
ψ=
kY x és W!1
kX y dimenziótlan változók bevezetésével – a megoldásait végtelen sor W!2
alakban kapjuk: ξ2 ξ3 ψ2 ξ + (1 + ψ ) + (1 + )+ t1 − t 2 ,be 2! 3! 2! . = 1 − exp(− (ξ + ψ ) ) ⋅ n −1 2 ξn t1,be − t 2 ,be ψ ψ ...+ (1 + ψ + +..+ ) +... n! 2! (n − 1)! 112
(11.14)
ξ2 ψ2 1 + ψ + + 1 + ξ (1 + ψ ) + t 2 − t 2,be 2! 2! = 1 − exp(− (ξ + ψ ) ) ⋅ . t1,be − t 2 ,be n n 2 ψ ψ ξ ...+ n! (1 + ψ + 2! +..+ n! ) +...
egyenletes belépõ hõmérsékletek
(11.15)
változó hõmérséklet a kilépésnél
11.4. ábra A keresztáram hőmérséklet viszonyai 3D ábrázolásban A (11.14) és (11.15) megoldások alapján a hőmérsékletek menetét mutatja a 11.4. ábra. A kilépő keresztmetszetben a hőmérséklet ugyanúgy változik, mint a hőcserélő felület mentén egyebütt, ennek átlagos értéke az egyes közegekre a következő:
t1, ki =
kF W!2
W!2 ⋅ ∫ t1 (ξ = kF , ψ ) dψ . W!1 kF 0
(11.16)
kF W!1
W! t 2, ki = 1 ⋅ ∫ t 2 (ξ ,ψ = kF )dψ . W! 2 kF 0
(11.17)
11.2. Rekuperatív hőcserélők méretezése 11.2.1.
MÉRETEZÉS A LOGARITMIKUS KÖZEPES HŐMÉRSÉKLET-
KÜLÖNBSÉG
ALAPJÁN
A hőcserélők tervezése során általában abból indulunk ki, hogy az adott feladathoz a gyakorlatban bevált típusú és konstrukciójú készüléket alkalmazunk. A feladat lehet egyedi készülék tervezése vagy valamely készülékgyártó kínálatából a megfelelő berendezés kiválasztása. Mindkét esetben a szükséges szerkezet kialakításához, kiválasztásához alapvetően fontos ismernünk annak a felületnek a méretét amelyen a 113
hőcserélőben érvényes hőátviteli viszonyok esetében a szükséges teljesítményű hőcsere megvalósítható. Szükségünk van tehát egy olyan összefüggésre, melyből a megfelelő hőcserélő felület kiszámítható, a hőcserében résztvevő közegek hőfokainak, a hőátviteli viszonyainak ismeretében. Hőátvitel során, a két közeg között a hőáramot, a felület mentén állandó közeg hőmérsékletek esetén, így számíthatjuk:
Q! = kF (t1 − t 2 ) .
(11.18)
A hőcserélők esetében ebben a formában (11.18) nem alkalmazható, mert a hőcserélő felület mentén mindkét közeg hőmérséklete változik. A 11.1.1 és 11.1.2 fejezetekben meghatároztuk a egyen, ellen és keresztáramú hőcsere hőmérséklet viszonyait, így ezek alapján felállíthatunk a (11.18) egyenlethez alakilag hasonló összefüggést. Az egyen- és ellenáram esetén a hőcserélőben valamennyi hőmérséklet exponenciálisan változik a felület mentén. A két áramló közeg között tetszőleges F felületen a hőáramot úgy határozhatjuk meg, hogy a (∆t)-re vonatkozó (11.9) eredményt behelyettesítjük a hőátvitelt leíró (11.18) egyenletbe, majd integráljuk:
dQ! = ∆t ( 0) e − β kF k dF , Q!
F
0
0
−β k f k df , ∫ dQ! = ∫ ∆t (0) e
azaz:
∆t ( 0) − ∆t ( F ) 1 . Q! = ∆t ( 0) (1 − e − β kF ) = β β
(11.19)
kifejezve β -tát az (11.19) egyenletből és behelyettesítve kapjuk:
ln(
∆t ( F ) ∆t ( 0)
Q! =
) = − β kF ,
∆t( 0) − ∆t( F ) kF . ∆t( 0) ln( ) ∆t( F )
(11.20a)
(11.20b)
A hőcserélő két végén mért közeghőmérséklet különbségek logaritmikus közepével arányos a hőáram. Ezt a középértéket logaritmikus közepes hőmérséklet-különbségnek ( ∆t log ) nevezzük, azaz:
∆t log =
114
∆t ( 0) − ∆t ( F ) ∆t ( 0) ln( ) ∆t ( F )
(11.21)
és ezzel a hőáram:
Q! = ∆t log kF .
(11.22)
A keresztáramú készülékek esetében is alkalmazzuk (11.22) összefüggést a következő módon. A hőcserében résztvevő közegek hőmérsékleteiből mintha ellenáramú hőcserében vennének részt, kiszámítjuk a (11.21) szerint a logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbséget, majd a hőáram felírásakor egy ε korrekciós tényezőt alkalmazunk, amellyel a egyszeres és többszörös keresztáramok viszonyait is figyelembe tudjuk venni.
Q! = k ⋅ ε ⋅ ∆t log ⋅ F .
(11.23)
Az ε korrekciós tényező a hőcsere közegeinek hőmérséklet változásainak egymáshoz viszonyított arányaitól mint dimenziótlan paraméterektől függ, tiszta keresztáram esetére érvényes értékeit a 11.6. ábra mutatja. 1 0.9
0.2
0.8
0.4
ε
R =4
0.7
2
1.5
0
0.1
1 0.8 0.6
W! R= 2 W!1
0.6 0.5
3
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
t 2, ki − t 2,be t1,be − t 2 ,be 11.6. ábra Az ε korrekciós tényező tiszta keresztáramra
115
Amennyiben több keresztáramú berendezést un. ellen–keresztáramba kapcsolunk amint azt a 11.5. ábra mutatja, a berendezések n számából jó közelítéssel az εn értékét az εn = n ε (11.24) összefüggés alapján határozhatjuk meg. n=1
t1,be
n=3
n=2 t1,be t1,be
t2,be
t2,ki
t2,ki t2,ki t2,be
t1,ki t2,be
t1,ki
t1,ki
11.5. ábra Keresztáramú és az ellen keresztáramú kapcsolás
11.2.2.
A HŐCSERÉLŐK HATÁSOSSÁGA (BOSNJAKOVIC FÉLE Φ TÉNYEZŐ)
A logaritmikus közepes hőmérséklet-különbség mellett a hőcserélők méretezésének másik módja a hőcserélő hatásosság alapján történő méretezés. A fogalmat BOSNJAKOVIC vezette be, ezért nevezik BOSNJAKOVIC féle Φ tényezőnek is, ami a kisebb hőkapacitás áramú közeg hőmérséklet változásának ( t1′ − t1′′ ) és a közegek belépéskori hőmérséklet különbségének ( t1′ − t 2′ ) hányadosa: kF W!1 t ′ − t ′′ Φ = 1 1 = Φ , . t1′ − t 2′ W!1 W!2
(11.25)
A Φ hőcserélő hatásosság a definíciójából adódóan 0 és 1 közötti értéket vehet fel, és azt mutatja, hogy az elvileg lehetséges hőcserének (hőmérséklet változásnak) mekkora hányada valósul meg az adott konstrukció és feltételek ( kF , W!1 , W!2 ) esetében. A Φ hatásosság – hőcserélő típustól és konstrukciótól függően más és más
W! formában – két dimenziótlan változónak, a kF és a !1 hányadosoknak a ! W1
W2
függvénye. A Φ függvény alakjának meghatározása történhet a hőcserélőben áramló közegek hőmérséklet változásait leíró összefüggések (pl. a (11.10) képletek) felhasználásával, vagy az adott hőcserélőn végzett mérés eredményei alapján. A tiszta egyenáram esetében az említett (11.10) összefüggésekből: 116
! kF 1+ W1 −1 − ! W!1 W W!1 2 Φ = 1 − e ⋅ 1 + ! . W2
(11.26)
A tiszta ellenáram esetében az említett (11.10) összefüggésekből: W!1 W!1 − kF − kF 1− ! 1− ! ! ! W!1 W W W 1 W 2 ⋅ 1− 1 ⋅ e 2 Φ = 1 − e ! W2
−1 .
(11.27)
A tiszta keresztáram estében (11.14-17) alapján:
Φ = 1− e
1+ W!1 − kF W!1 W!2
kF ⋅W ! 2
∞
⋅ ∑n⋅ n =1
W!1 W! 2
⋅ I n 2WkF !1
W!1 W! 2
.
(11.28)
Az kisebb hőkapacitás áramú közeg az áramlás irányára merőlegesen keveredik:
− kF 1 − e W!2 Φ = 1 − exp− W! W!1 2
.
(11.29)
Az nagyobb hőkapacitás áramú közeg az áramlás irányára merőlegesen keveredik:
W! W!2 Φ = ! ⋅ 1 − exp − !1 W1 W2
− kF W!1 ⋅ 1 − e .
(11.30)
A 11.7. ábra az egyenáram, a 11.8. ábra az ellenáram, a 11.9. ábra pedig a tiszta keresztáram Φ hatásosságát ábrázolja a kF (mint független változó) ! W1
függvényében, a
W!1 W! 2
változóval paraméterezve.
A legnagyobb hatásosság a
W!1 W! 2
=0 esetében érhető el, és ebben az esetben W!
valamennyi hőcsere hatásosságát azonos összefüggés írja le. (A !1 =0 azt jelenti, W2 hogy az egyik közeg hőmérséklet változása zérus értékű mert a hőkapacitásárama ∞, (pl. halmazállapot-változás történik) és ekkor a közegek egymáshoz viszonyított áramlásának iránya a hőmérséklet eloszlás és a hőáram meghatározása szempontjából közömbös.)
117
Φ
W!1 =0 W! 2
0.25 0.5 0.75 1
kF W!1 11.7.ábra A Φ hatásosság egyenáram esetén
Φ
0.25 0.5 0.75
W!1 =0 W!2 1
kF W!1
11.8. ábra A Φ hatásosság ellenáram esetén
Φ
W!1 =0 W!2
0.25 0.5 0.75 1
kF W!1 11.9. ábra A Φ hatásosság tiszta keresztáram esetében
118
W!
A hatásosság legkisebb értékei a !1 =1 értékhez tartoznak. Ekkor a két közeg W2 hőmérséklet változása azonos, mivel a hőkapacitásáramuk azonos. Az egyenáramú hőcsere esetén ekkor a ( kF ! →∞)-hez Φ=0.5 érték tartozik. W1
Az ellenáramú hőcsere esetében pedig a közegek hőmérséklete a felület mentén lineárisan változik, és a közöttük lévő különbség pedig állandó érték lesz. A keresztáramú hőcserélőkben a hatásosság attól is függ, hogy a hőcserében résztvevő közegek az áramlási irányra merőlegesen tudnak-e keveredni vagy sem. A hőcserélő Φ hatásosság jól illusztrálja azt a tényt, hogy az abszolút mennyiségek helyett arányokat, azaz dimenziótlan paramétereket használva hatékony és általánosan alkalmazható összefüggések felállítására nyílik lehetőség. A Φ hatásosság széles körben alkalmazott, kiterjedt irodalom áll a gyakorlati felhasználók rendelkezésére és a szükséges hőcserélő felület meghatározásán túl, hatékony módszer a változó üzemviteli körülmények hatásainak követésére is. R elatív hõátadásifelület 4
keresztáram egyenáram
3
2 ellenáram 1 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 H õm érséklet változás a belépõ hõm érséklet különbség % -ában
11.10. ábra Az azonos relatív hőmérséklet változáshoz szükséges relatív hőcserélő felület, az egyes hőcsereformák esetében A különböző hőcsereformák közül az ellenáram esetében szükséges a legkisebb felület ahhoz, hogy egy adott %-át a belépő hőmérséklet-különbségnek a kisebb hőkapacitás áramú közeg hőmérsékletének megváltozása elérje (ami tulajdonképpen a Φ ), amint azt a 11.10. ábra mutatja. Amennyiben az előírt hőmérséklet viszonyok lehetővé teszik mind az ellenáramú, mind az egyenáramú elrendezést, úgy akár azt a következtetést is levonhatnánk, hogy minden ilyen alkalmazásban a ellenáramú hőcsere a jó megoldás. Azonban egyrészt, ha figyelembe vesszük azt a tényt, hogy a szerkezeti anyagok hőállósága véges, számos esetben az ellenáram során adódó magasabb falhőmérsékletet elviselő anyag beépítése drágább lehet, mint a nagyobb felületű egyenáramú berendezés. Másrészt, nem csak alacsonyabb, de a felület áramlás irányú hőmérséklet eloszlása kiegyenlítettebb is az egyenáram esetén, ami a szerkezeti anyagokban 119
a hő okozta igénybevétel (hőfeszültség) alacsonyabb szintjét eredményezi, így az egyenáramú hőcsere alkalmazásának is megvannak az indokai. A keresztáramú elrendezést a legtöbb esetben a hőcserében résztvevő közegek sajátos áramlási feltételei miatt alkalmazunk. (Gondoljunk csak a keresztáram bevezetésekor már példaként említett autóhűtőre.) A (11.22) összefüggés vagy a Φ hatásosság alapján elvileg meghatározható egy adott feladathoz szükséges hőcserélő-felület mérete, a készülékben érvényes hőátvitel (k) és a közeg hőmérsékletek ismeretében. A méretezést sok esetben éppen az teszi bonyolulttá, hogy a felület mérete is visszahat a hőátvitel mértékére, s ilyenkor a felület meghatározása csak sorozatos iterációs számításokon keresztül lehetséges.
11.3. Csőköteges hőcserélők A folyadék-folyadék hőcserélők túlnyomó többsége un. csőköteges hőcserélő melynek szerkezetét a 11.11. ábra szemlélteti. A csőköteges hőcserélőben az egyik közeg a párhuzamosan kapcsolt csövekben, a másik pedig a csövek között, a készülék köpeny határolta térben áramlik. A készülék köpeny is általában egy nagy átmérőjű csőhéj. K öpeny s1
D
s2 > 30÷40 d L≈
d
11.11. ábra Csőköteges hőcserélő 11.3.1.
CSŐKÖTEGES HŐCSERÉLŐK KÖZEGÁRAMLÁS SZERINTI TÍPUSAI
A csőköteges hőcserélőknek számos konstrukciós elrendezését alkalmazzák a gyakorlatban, melyeket a 11.12-11.16. ábrák illusztrálnak. A (külső) köpenytérben az áramlás gyorsítása, ezzel a hőátadás intenzitásának növelése érdekében terelőlemezeket alkalmaznak. A terelőlemezek lehetnek kör, körgyűrű és körszegmens alakúak. Az egyik leggyakrabban alkalmazott elrendezés a 11.12. ábra szerinti, ahol a körszegmens alakú terelőlemezek a köpenytérben áramló (főáram) közeget többszöri irányváltoztatásra kényszerítik, amelynek mértékét a terelőlemezek benyúlási hosszával befolyásolhatjuk. Mivel a terelő lemezek nem szorosan érintkeznek a csőköteg csöveivel és a köpennyel, a csövek és a köpeny melletti réseken is keresztül áramlik a folyadék egy része (résáram) valamint a közeg egy része teljesen elkerüli (bypass-áram) a kötegen való keresztül áramlást. (ld. később a 11.17. ábrát részletesebben) 120
a./
Fõ áram
R és áram b./
11.12. ábra Egy csőjáratú, egy köpenyjáratú, ellenáramú hőcserélők a./ teljes terelőlemezes, b./ szegmentált terelőlemezes Ha a terelőlemezeket a köpeny teljes keresztmetszetében alkalmazzuk, az egyes szakaszok elválasztásával keresztáramot valósíthatunk meg, amint a 11.13. ábra mutatja. Az elosztó lemezek gondos kialakítása fontos az egyenletes átáramlás biztosításában. Az ilyen kialakítású készülék lehet többszörös be/kilépésű is. a./
perforált elosztók b./
11.13. ábra Egy csőjáratú, egy köpenyjáratú, keresztáramú hőcserélők a./ elosztó lemezes, teljes terelőlemezes b./ többszörös be/kilépésű, teljes terelőlemezes A nyílásokkal ellátott terelőlemezek lehetővé teszik köpenytérben való axiális áramlás kialakítását, amint ezt a 11.14. ábra hajtű-csöves hőcserélője példázza.
121
11.14. ábra Hajtű-csöves, egyszeres axiális köpenyjáratú hőcserélő, a terelőlemezeken gyűrű alakú nyílásokkal Az egyszeres járatokon túl mind a csőoldalon mind a köpenyoldalon szokásos többszörös járatok alkalmazása is. A csőoldali járatok számát a csőköteg áramlási ellenállásának nagysága határozza meg.
11.15. ábra Négy csőjáratú, egyszeres axiális köpenyjáratú hőcserélő terelőlemezek nélkül
11.16. ábra Négy csőjáratú, axiális két köpenyjáratú hőcserélő terelőlemezekkel A hőcserélő közegáramlásának kialakításánál több, olykor egymásnak ellentmondó feltételt kell figyelembe vennünk. Nyilván elsősorban a minél nagyobb hatásosság elérését tartjuk szem előtt, de tekintetbe kell vennünk a sok egyéb szempontot is. (pl. áramlási ellenállás, gyárthatóság, előállítás költségei stb.) A hatásosság szempontjából például az ellenáram alkalmazása a legkedvezőbb, de a hajtű-csöves hőcserélő, pl. a hőtágulás kedvezőbb viszonyai miatt kerülhet mégis előtérbe egyes alkalmazásokban.
122
11.3.2.
HŐÁTADÁS A KÖPENYTÉRBEN
A csőköteg csöveiben áramló közeg és a csőfal közötti hőátadás meghatározása az ezzel tárgykörrel foglalkozó, 10.4. fejezet összefüggései szerint elvégezhető. A köpenytérben áramló közeg hőátadásának meghatározására azonban a nem kör keresztmetszetű csövekre alkalmazható egyenértékű átmérővel történő számolást, a köpenytérben a terelőlemezek hatására kialakuló bonyolult áramlás miatt nem alkalmazhatjuk. A köpenytérbeli áramlás főáramra, résáramra és kerülő-(bypass)-áramra való felosztása, és a tömegáram arányokon alapuló hőátadási tényező meghatározásának eredeti gondolata BELL- és TINKER-től (1940-es évek) származik. A továbbiakban GNIELINSKI és GADDIS (1978.) által kidolgozott számítást tekintjük át. A köpenytérre vonatkozó Nu számot egy, az idealizált csőkötegre vonatkozó Nuk számból határozzuk meg, úgy, hogy azt a hőcserélő konstrukciótól függő korrekciós tényezőkkel módosítjuk, amelyek a geometria, a résáram és a bypass-áram hatásait veszik figyelembe. Fõáram
R ésáram
B ypass áram
11.17. ábra A köpenytérbeli áramlás jellege csőköteges hőcserélőben A köpenytérbeli Nu számra vonatkozó összefüggés a következő:
Nu = f ⋅ Nu k .
(11.31)
Az f korrekciós tényezőt további három, a terelőlemezek hatását leíró korrekciós tényező, az fg geometriai faktor, az fr résáram faktor és az fb bypass-áram faktor szorzataként állítjuk elő:
f = f g f r fb .
(11.32)
Az egyes faktorok kiszámítására később térünk ki. A Nuk kötegre vonatkozó NUSSELT számot a következő módon számítjuk ki:
Nu k = f k Nu0 .
(11.33)
A Nu0 a kötegre vonatkozó alapérték, az fk pedig az csőelrendezési tényező.
Nu0 = 0.3 + Nu02,lam + Nu02,turb ,
(11.34)
ahol Nu0, lam = 0.664 Re L,ψ
3
Pr és Nu0, turb =
0.037 Re 0L.,8ψ Pr
(
)
1 + 2.443Re 0L.,1ψ Pr 2 3 − 1
, (11.35)
123
Re L,ψ =
wL , νψ
10 < ReL,ψ < 10 6 és 0.6 < Pr < 1000 .
A jellemző méret : A jellemző sebesség:
π d. 2 m! . w= ρDS L=
Ahol m! az készülően áthaladó tömegáram, ν az áramló közeg kinematikai viszkozitása, ρ az áramló közeg sűrűsége, D a köpeny belső átmérője, S a terelőlemezek közötti távolság. A jellemző hőmérséklet a be és a kilépési hőmérséklet átlaga. A ψ kitöltési tényező és a fk csőelrendezési tényező a csőátmérő és a vízszintes illetve a függőleges osztás arányától valamint a csőelrendezés típusától függ:
a=
s1 , d
b ≥1 b <1
s2 d
(11.36)
π 4a π ψ =1− 4ab
(11.37)
(b a − 0.3) . ψ 1.5 (b a − 0.7)2
(11.38)
2 . 3b
(11.39)
b=
ψ =1−
Soros elrendezésű csőkötegekre:
fk =1+
0.7
Sakktáblás elrendezésű csőkötegre:
fk =1+
A terelő(szegmens)lemezek hatásfaktorainak a meghatározása a következő. Az fg geometriai faktor
f g = 1 − R g + 0.524 R g0.32 .
(11.40)
n Ahol az Rg = a , az na a terelőlemezeken kívüli csövek száma úgy, hogy két n egymást követő, váltakozó irányú terelőlemez melletti csövek számát, a félig takartakat félnek számolva, összeadjuk. (ld. 11.18. ábra) Az Rg nevezőjében a csövek darabszáma van. Az fr résáram faktor 124
f r = 0.4
Ar1 A + 1 − 0.4 r1 exp(− 15 . Rr ) . ArΣ ArΣ
(11.41)
Ahol az Ar1 a terelőlemez furatai és a csövek közötti rések összes felülete:
Ar1 = (n − na )
(
π d 2 − d r2 4
).
(11.42)
Az ArΣ az összes rés, azaz az Ar1, valamint a terelőlemez és a köpeny közötti rés Ar2 felületének összege:
Ar 2 =
(
)
π 2 360 − γ . D − Dt2 4 360
(11.43)
γ a terelőlemez hiányzó körszeletének belső szöge.
ArΣ = Ar 1 + Ar 2 .
(11.44)
Továbbá az Rr tényező a következőképpen számítandó
A Rr = rΣ . Aq
Az Aq felületet a terelőlemezek közötti távolsággal és a csövek közötti legszűkebb e méret összegzésével kapott hosszúságból számítjuk, Aq = S ⋅ e .
∑
D Dt Db
γ
s2
nw = 4 na= 7 1 4 + 6⋅ 2
e
d
dr
s1
11.18. ábra Használatos jelölések magyarázata Az fb bypass-áram faktor
2n f b = exp − βRb 1 − 3 s n w
,ha
ns ≤
nw 2
(11.45)
fb = 1
,ha
ns >
nw 2
(11.46)
ahol a β tényező értékei 125
β = 15 . a lamináris áramlásra, azaz ha Reψ , L < 100 β = 135 . a turbulens áramlásra, azaz ha Reψ , L ≥ 100 továbbá az Rb tényező számítása a következő
Rb =
Ab . Aq
Ahol az Aq már szerepelt, a Ab pedig így számítandó: Ab = S ( D − Db − e) ha e < ( D − Db ) Ab = 0
ha e ≥ ( D − Db )
A Db a csőköteghez kívülről megrajzolható érintőkör átmérője. A nw a valamennyi terelőlemezen átmenő csősorokra, a legszűkebb távolsággal számítható utak száma, az ns pedig a köpeny és a csőköteg között elhelyezett tömítő lemez párok száma. A (11.31) alapján meghatározott Nu számból a köpenytérben érvényes hőátadási tényező kiszámítását a közegnek a jellemző hőmérsékleten vett Pr számának és a Prw csőfal hőmérsékleten vett értékének a hányadosának függvényében így határozzuk meg:
Nu ⋅ λ Pr α= L Prw
0.25
Nu ⋅ λ Pr α= L Prw
0.11
,
ha
Pr >1 Prw
(11.47)
,
ha
Pr <1 Prw
(11.48)
11.4. Regeneratív hőcserélők A regeneratív hőcserélők olyan berendezések melyben a különböző hőmérsékletű közegek felváltva érintkeznek a hőátadó felülettel. Ezeket a készülékeket a nagy tömegű és felületű un. mátrix vagy töltet jellemzi. A töltetnek a melegebb közeggel való érintkezése a hőfelvétel (töltés) szakasza, a hidegebb közegnek ugyanezen felületekkel való érintkezése a hőleadás (kisütés) szakasza. A működés során e két folyamat ( a töltet szempontjából) periodikusan ismétlődik. A töltet anyagát az alkalmazási hőmérsékletek határozzák meg. Egy kohó, kemence levegő előmelegítő hőcserélőiben tűzálló betéteket, alacsonyabb hőmérsékleten acélrudakat, golyókat vagy rácsokat alkalmaznak. A tűzálló betétek elhelyezése lehet folytonos csatornás (COWPER - betét) vagy hézagosan egyenes (SIEMENS - betét) illetve változó elrendezésben. Alacsonyabb hőmérsékleten, mint például egy épület szellőztető levegőjéből való hővisszanyerésre alkalmas hőcserélőkben, fémforgács van. Különleges töltetként alkalmazható az üzemeltetési hőmérsékleten fázis átalakulást mutató anyag. Ekkor a töltet hőmérséklet változása kisebb, a térfogat egységenkénti 126
tárolt hő pedig jelentősen nagyobb lehet, a fázisátalakulás nagyobb hő felvétellel, (hő leadással) járó folyamata miatt. A regenerációs hőcserélők konstrukciójuk szerint lehetnek szelepvezéreltek vagy forgóbetétesek. A szelepvezérelt típus lehet un. egytöltetes szakaszos üzemű illetve két (vagy több) töltetes folyamatos működésű. A különböző típusokat a 11.19. ábra mutatja. h ideg k özeg be szelepek felváltva n yitn ak , zárn ak
m átrix
m otor
h ideg k özeg be
m átrix
szelepek felváltva n yitn ak , zárn ak
m átrix
m eleg k özeg be
m eleg k özeg be
egy töltetes
forgó h en geres m átrix
h ideg levegõ
forró fü stgáz
forgó betétes
szelepes
11.19. ábra Regeneratív hőcserélő típusok A töltés/kisütés periódusok egyező időtartama esetén a két töltetes hőcserélőt alkalmazzuk. Amennyiben a két periódus időben elválik egymástól, egy betét alkalmazása is elegendő lehet. A regeneratív hőcserélőkben nemcsak a felület mentén hanem az időben is változik a hőmérséklet amint azt a 11.20. ábra mutatja egy síkfalnak tekinthető töltet esetében. hõ átadó felület
t
t1(τ) t1
t 0 τ1 τ2 τp
tw ,1 tw (τ) tw ,2
τp x középsík
t2(τ)
τp t2
τ
11.20. ábra A hőmérséklet változások jellege a regeneratív hőcserélőben A töltet felszínétől befelé haladva a hőmérséklet változás amplitúdója egyre kisebb. A hőátadási folyamat az áramló gázok és a felszín között játszódik le. A felszíni hőmérséklet változások jellegét is ábrázoltuk a 11.20. ábrán. A regenerációs hőcserélőkben lejátszódó folyamatok összetett jellege miatt a pontos hőmérséklet eloszlás számolása és ezáltal a hőcserélők méretezése rendkívül bonyolult. A gyakorlatban, a hőátadó felszín és az áramló közegek hőmérsékleteinek a ciklusbeli középértékével történő közelítést felhasználva, alkalmazzuk a rekuperatív hőcserélőkre kidolgozott módszereket és a méretezést a hatásosság, azaz a Φ tényező alapján végezzük. A hatásosság regeneratív 127
esetben egy harmadik paraméternek is, a kisebb hőkapacitásáramnak és a töltet hőkapacitásából és a periódus idő hányadosából képzett látszólagos hőkapacitásáram viszonyának is függvénye.
kF W! W! Φ = Φ ; 1 ; 1 . W!1 W!2 W!t
(11.1)
Ahol mint eddig, k - hőátviteli tényező, F - hőcserélő felület, m1 ⋅ c1 = W!1 és m2 ⋅ c2 = W!2 a közegek hőkapacitásárama, úgy jelölve, hogy W!1 ≤ W!2 . Továbbá m ⋅c W!t = t t , ahol ahol mt - töltet tömege, ct - töltet fajhője, τp - a periódus idő. τp A Φ hatásosság jelleggörbéket mérések, kísérletek sorozatával és/vagy számítógéppel végzett szimulációs számítások segítségével határozzák meg a különböző regeneratív hőcserélő változatokra. A hőerőművekben levegő előmelegítésre a forgóbetétes, LJUNGSTRÖM - féle hőcserélőket alkalmazzák. A betét anyaga préselt acéllemezekből áll. A préselést oly módon végzik, hogy vékony járatok alakulnak ki az áramló közeg számára. A betét forgatásával igen eredeti módón valósul meg a töltés/kisütés folyamata, a gázáramok áramlásának megszakítás nélkül azáltal, hogy maga a betét változtatja helyzetét periodikusan. A Ljungström hőcserélők fordulatszáma rendszerint alacsony érték, néhány (4-6) fordulat/perc.
11.5. Keverő hőcserélők A keverőkészülékekben a közegek hőátadó felület közbeiktatódása nélkül, közvetlenül érintkeznek. Az ilyen típusú készülékeket főként gázoknak folyadékkal (pl.: vízzel) való lehűtésére, folyadéknak gázzal (levegővel) való lehűtésére és gőzöknek saját folyadékfázisukkal való kondenzáltatására használják. A 11.21. ábra tipikus változatait ábrázolja a keverő hőcserélőknek. A keverő hőcserélőkben a szétporlasztott cseppek felületén játszódik le a hőátadás. A folyadék porlasztási fokát a működési feltételek szabják meg. A kisebb cseppek nagyobb felületet eredményeznek, ám korlátozzák az áramló gáz sebességét, így fontos a porlasztási fok, a gázáram sebessége és a készülék teljesítményének az összhangja. A keverő hőcserélők egy részében a folyadék- és gázáramnak a térfogatban egyenletes elosztására valamilyen töltetet alkalmaznak, miáltal az egységnyi térfogatra eső hőcsere teljesítmény növekszik. Az ilyen töltetes hőcserélőkben a hőcserélő felület a folyadékhártya (film), melynek kialakulásához a betétnek a folyadék által nedvesíthetőnek kell lennie. A hűtési célokra használt víz lehűtésére szolgáló hűtőtornyok döntő többsége ilyen betétes keverő hőcserélő, melyeknek fontos tartozéka a gázáram által elragadott cseppek visszatartására szolgáló nedvesség leválasztó. A folyadék szétoszlatására a porlasztás mellett a csurgatást is alkalmazhatjuk. A vegyipari műveletek egyik fontos berendezése az ilyen fajta hőcserélő (szkrubber), ahol az áramló közegek kémiai tulajdonságaival szemben többnyire közömbös kerámia anyagú betétek (pl. golyók, gyűrűk stb.) alkalmazása általános. 128
gõz be
csepp leválasztó víz
gõz és perm et keveredése
hûtõvíz
betét levegõ
kondenzátum
Keverő kondenzátor
Hűtőtorony
11.21. ábra Keverő hőcserélő típusok
129
130
12.
HŐSUGÁRZÁS
12.1. A hősugárzás alapjai 12.1.1.
BEVEZETÉS ÉS ALAPFOGALMAK
Mindegyik test bocsát ki elektromágneses sugárzást. Alacsony hőmérsékleteken (kb. a szobahőmérsékletig) az így kibocsátott energia gyakorlatilag elhanyagolható, míg a magas hőmérsékletek tartományában jelentőssé válik. Az energiának elektromágneses hullámok formájában való térbeli terjedésének és más energiaformává átalakulásának pontos mennyiségi leírásához szükséges matematikai apparátus bonyolultsága miatt, egyszerűsítő leíró modellt használunk a műszaki gyakorlat hőáram számításaihoz szükséges összefüggések meghatározására. 12.1. táblázat Az elektromágneses sugárzás tartományok 5⋅10-4 ÷10-2nm
gammasugárzás
0.4÷0.8µm
látható fény
10-2 ÷20nm
röntgensugárzás
0.8÷400µm
infravörös-sugárzás
20÷400nm
ultraibolyasugárzás
400µm ÷. . .
egyéb sugárzás (pl. rádióhullámok)
Az elektromágneses sugárzás szokásos hullámhossz-tartománya szerinti felosztását a 12.1. táblázat tartalmazza. A hőközlésben a hősugarak λ=0.5-100µm közötti tartománya, a nagy energia tartalom miatt jelentős. Az elektromágneses sugárzás egy adott energiaáramot (W, kW) jelent, amit φ vel jelölünk a továbbiakban. A környezetével sugárzásos hőkapcsolatban lévő test hőáramát a kibocsátott (emittált) és az elnyelt (abszorbeált) energiaáram különbségeként írhatjuk fel:
Q! = Φ e − Φ a [W, kW].
(12.1)
(12.1) kifejezi, hogy szemben a hővezetés és a hőszállítás esetével hősugárzáskor az energia forgalom – egyensúlyban is – kétirányú. A sugárzás felületi energiasűrűsége a felületegységenkénti sugárzás:
E=
dΦ [W/m2, kW/m2]. dF
(12.2)
A felületi energiasűrűség egységnyi hullámhosszúságra eső hányada a sugárzás intenzitása:
dE d 2 Φ [W/m3]. = Iλ = dλ dFdλ
(12.3)
A teljes (λ=0 ÷ ∞) hullámhossz tartományra (spektrumra) vonatkozó sugárzás egy F felület esetében: 131
∞
∫ ∫ Iλ
Φ=
dλ dF .
(12.4)
F 0
Az Iλ intenzitás a test felület eleméről az un. teljes féltérbe kisugárzott energia. A teljes féltér térszöge ω=2π [sr]. (A steradián [sr] a térszög mértékegysége, azt fejezi ki, hogy az adott nyílásszögű kúp mekkora felületet metsz ki az egységnyi sugarú gömb felszínéből. Mivel a gömb felszíne 4πr2, az egység sugarú félgömb felszíne 2π.)
n
ϕ
dIλ
ω Iλωdω
dFcosϕ
dF
12.1. ábra Az Iλ és Iλω összefüggéshez dω=sinϕdϕdΨ sinϕ
ϕ
dϕ
Ψ R =1
dΨ
12.2. ábra A dω térszög meghatározásához Egy adott irányba kisugárzott energia, az egységnyi térszögre vonatkoztatott intenzitás:
Iλ, ω =
dI λ cos ϕ dω
,
(12.5)
és ezzel a teljes féltérbe kisugárzott energiát így írhatjuk fel:
Iλ =
∫ I λω cos ϕdω .
(12.6)
2π
ahol a dω=sin(ϕ)dϕdψ (a szögek értelmezését a 12.2. ábrán követhetjük). Az Iλ féltérbe kisugárzott energiát az előbbiek alapján tehát így írhatjuk:
Iλ =
2π π / 2
∫ ∫ I λω sin ϕ cosψdϕdψ . 0
132
0
(12.7)
φ i -a környezetbõl érkezõ e -a kibocsátott φ φ a -az elnyelt φ d -az áteresztett φ r -a visszavert φ s -a szóródás m iatt irányt változtatott
φi φr φe együtt a test látszólagos sugárzása
φs
φa
φd
12.3. ábra Egy test sugárzással szembeni makroszkopikus viselkedése Egy test elektromágneses sugárzással szembeni makroszkopikus viselkedését jellemzi, hogy annak hányad részét nyeli el (abszorpció), hányad részét veri vissza (reflexió) és végül hányad részét engedi át (diatermia). Az említett tulajdonságok által meghatározott sugárzási hányadok jelentését (jelölésükkel együtt) szemlélteti a 12.3. ábra. A test sugárzási jellemzőit az előbbiek alapján definiálhatjuk az adott hullámhosszra és adott irányra vonatkoztatva (λω), a teljes féltérből érkező sugárzásra vonatkoztatva (λ) és a felületi energia sűrűségre vonatkoztatva egyaránt (). Az abszorpciós tényezők (elnyelő képesség): a λω =
a I λω
aλ =
,
i I λω
I λa
,
I λi
a =
Ea ,
Ei
(12.8)
A reflexiós tényezők (visszaverő képesség): rλω =
r I λω i I λω
rλ =
,
I λr I λi
,
r =
Er Ei
,
(12.9)
,
(12.10)
A diatermicitások (áteresztő képesség): d λω =
d I λω i I λω
dλ =
,
I λd I λi
,
d =
Ed Ei
A (12.8),(12.9),és (12.10) összefüggésekkel definiált tényezők, a definícióban felhasznált mennyiségek közötti összefüggések alapján, egymás között átszámíthatóak. A sugárzást diffúznak nevezzük, ha az Iλω erőssége irány független, így az (12.7) egyenlet alapján írhatjuk:
I λ = I λω
2π π / 2
∫ ∫ 0
sin ϕ cosψdϕdψ = π ⋅ I λω .
(12.11)
0
Diffúz sugárzás esetében tehát a féltér teljes sugárzása π-szerese a tetszőleges irányú (egységnyi térszögre vonatkozó) sugárzásnak. Egy testre vonatkozó sugárzási jellemzők között fennáll, hogy a+r+d=1.
133
Átlátszatlan testek esetén d=0, így a=1-r. (A hősugárzásra vonatkozóan a legtöbb szilárd test gyakorlatilag átlátszatlan.) Azt a testet, melynek sugárzási jellemzőire fennáll, hogy aλω=aλ=a=1 abszolút fekete testnek nevezzük, és a rá vonatkozó mennyiségeket a "0" index feltüntetésével jelöljük a továbbiakban.
12.4. ábra Felszín közeli üreg, mint "fekete" test Az a=1, azaz az abszolút fekete test esetében mind a visszavert, mind az áteresztett hányada a sugárzásnak nulla. Egy közelítő fizikai megvalósítását az ilyen viselkedésű "testnek" a 12.4. ábra mutatja. Az átlátszatlan falú üregből a résen bejutó sugárzásnak elhanyagolható hányada távozhat csak és a sorozatos visszaverődés és részleges elnyelődés hatására energiája teljes egészében elnyelődik, így a kis nyílású üreg gyakorlatilag "fekete" test. 12.1.2.
A HŐSUGÁRZÁS ALAPTÖRVÉNYEI
A fekete test egységnyi térszögre vonatkozó, tetszőleges irányban kibocsátott e sugárzási intenzitásának ( I λω ) meghatározására vonatkozó összefüggést ,0 PLANCK 1901-ben állította fel, e I λω ,0
1 2hc 2 = 5 ⋅ ( hc λTk ) [W/m3sr], −1 λ e
(12.12)
ahol c az elektromágneses sugárzás terjedési sebessége = 2.998 108m/s, h=6.625 10-34 Js, a PLANCK állandó, k=1.38 10-23 J/K, a BOLTZMANN állandó, T az abszolút hőmérséklet K-ben,
λ a sugárzás hullámhossza m-ben. PLANCK a fekete test hőmérséklettől függő sugárzási görbéi alapján, először empirikus úton jutott el a megfelelő összefüggéshez. Később, az atomokat olyan ω frekvencián rezgő harmonikus oszcillátoroknak kezelve, amelyek egyszerre csak hω, (azaz véges mennyiségű) energiát vehetnek fel, a sugárzásra vonatkozó összefüggésének levezetését is megadta, és ezt tekinthetjük az első, helyesen levezetett kvantummechanikai összefüggésnek. A PLANCK törvény szerint a fekete test diffúz sugárzó, és a kibocsátott energia nagymértékben függ a test abszolút hőmérsékletétől. A teljes féltérbe kibocsátott sugárzás erősséget (intenzitást) a hőmérséklet és hullámhossz függvényében a 12.5. ábra mutatja. 134
A görbék maximum helyeinek (az a hullámhossz, ahol az adott hőmérsékletű fekete test a maximális intenzitású sugárzást produkálja) hőmérséklettől való függését, a WIEN féle eltolódási törvény írja le, λmax⋅T =2.9 mmK, azaz minél magasabb hőmérsékletű a test, a maximális energiájú sugárzás az egyre rövidebb hullámhosszúság felé tolódik el.
λm T=2.9 [m m K] 1800K
Iλω,0 10-9 [W /m 3]
1600K 1500K 1400K 1300K 1200K 1000K 800K
hullám hossz [µm ]
12.5. ábra A fekete test spektruma A (12.12) integrálásával (a 12.5. ábra görbéi alatti területek meghatározásával), egy adott hőmérsékletű fekete testnek a teljes spektrumra (λ=0 ÷ ∞) vonatkoztatott felületi, energia sűrűségét határozzuk meg: E 0e
∞
e dλ = σ 0 ⋅ T 4 . = ∫ π I λω ,0
(12.13)
0
Az (12.13) összefüggés a STEFAN-BOLTZMANN törvény, a σ0=5.67 ⋅10-8 W/(m2K4) pedig a STEFAN-BOLTZMANN állandó. Valamennyi test hősugárzását az abszolút fekete testéhez viszonyítjuk, így:
ε λω =
e I λω . e I λω ,0
(12.14)
Az (12.14) összefüggéssel definiált tényezőt (relatív) emisszióképességnek vagy feketeségi foknak nevezzük. A emissziós tényező diffúz sugárzók esetében irány független:
ε λω = ε λ =
I λe . I λe ,0
(12.15)
135
Azokat a testeket melyek emissziós tényezője nem független λ-tól, színes testnek nevezzük. Amennyiben a emissziós tényező a hullámhossztól is független, a hősugárzás szempontjából szürke testről van szó és ekkor:
ε λω = ε λ = ε =
Ee . E0e
(12.16)
A szürke testek tehát olyan diffúz sugárzók, melyek minden hullámhosszúságon a fekete test energiájának állandó hányadát sugározzák ki, így a szürke testek által kisugárzott energia a STEFAN-BOLTZMANN törvény alapján:
E e = ε ⋅σ 0 ⋅ T 4 .
(12.17)
A továbbiakban csak szürke testekkel foglalkozunk. Az emissziós és abszorpciós képesség közötti kapcsolatot a KIRCHHOFF törvény írja le, mely szerint a testeknek az adott irányú és hullámhosszúságú sugárzásra vonatkozó elnyelési (abszorpciós) és kibocsátási (emissziós) képessége azonos érték. Ebből a törvényszerűségből következik, hogy a fekete testre ε = a = 1, ami azt jelenti, hogy a fekete test nem csak a maximális elnyelő képességű test, hanem a maximális energia kibocsátó is. Mivel ez utóbbihoz viszonyítjuk a többi test sugárzását, az emissziós tényezőre fennáll, hogy ε < 1.
12.2. Két szilárd test közötti sugárzásos hőáram számítása A szilárd testek nagy részét a hősugárzás tartományában felületi sugárzónak tekinthetjük, míg a gázok és folyadékok térfogati sugárzók és általában a spektrumuk sem folytonos. Ez utóbbi közegek sugárzásával nem foglalkozunk. A hősugárzás szempontjából a környezeti levegőt átlátszónak tekintjük és a sugárzás terjedését a geometriai optika törvényeivel írhatjuk le. Bevezetve az un. effektív (látszólagos) sugárzás segédfogalmat: az 1 testtől a 2 test felé irányuló összes sugárzott áramsűrűséget jelenti, azaz a saját (e) és a visszavert sugárzás összegét. Nem átlátszó testeknél r=1-a, így: E1eff = E1e + (1 − a1 ) E 2eff , E2 eff = E 2e + (1 − a2 ) E1eff .
(12.18)
ebből az E1eff és E2eff kifejezve: E e + (1 − a1 ) E2e E1eff = 1 , a1 + a2 − a1a2 E e + (1 − a2 ) E1e E2 eff = 2 . a1 + a2 − a1a2
(12.19)
A szürke testek esetében KIRCHHOFF törvény szerint az átlagos emissziós tényező is egyenlő az átlagos abszorpciós tényezővel, a1=ε1 és a2=ε2 valamint a STEFAN-BOLTZMANN törvény alapján a teljes hullámhossz tartományban kisugárzott energia: E1e = ε 1σ 0T14 136
valam int
E2e = ε 2σ 0T24 .
12.2.1.
TÁVOLSÁGUKHOZ KÉPEST NAGY FELÜLETEK KÖZÖTTI HŐÁRAMSŰRŰSÉG
A távolságukhoz képest nagy felületek esetében a lemezszélek kivételével más testről érkező sugárzás nem éri a felületüket, és a közöttük fellépő hőáramsűrűség az effektív sugárzásaik különbsége:
1 E 1eff E 2eff 2 12.6. ábra Két párhuzamos síkfelület sugárzása E 1e + ( 1 − a 1 ) E 2e E 1e ff = , a1 + a 2 − a1a 2 E 2e + ( 1 − a 2 ) E 1e E 2 e ff = . a1 + a 2 − a1a 2
(12.20)
Bevezetve a kölcsönös (relatív) emissziós tényezőt:
ε12 =
1 . 1 1 + −1 ε1 ε2
(12.21)
A két felület közötti hőáramsűrűség: α
12.2.2.
=
N u ⋅ λ L
P r P rw
0 .1 1
.
(12.22)
EGYMÁST BURKOLÓ FELÜLETEK KÖZÖTTI HŐÁRAM
Ha a két test olyan, hogy legalább az egyikről kiinduló teljes sugárzás eléri a másikat (ez történik ha egy konvex felszínű testet teljesen körülvesz egy másik test ld. 12.6. ábra) akkor is az effektív összes sugárzást (Φ1eff illetve Φ2eff ) felhasználva határozhatjuk meg a két test közötti hőáramot.
1
2
12.6. ábra Egymást burkoló testek F Mivel a kisebb felszínű test (1) az Φ2eff -ből csak az a1 1 hányadot tud elnyelni: F2
F Φ1eff = F1E1e + (1 − a1 1 )Φ2eff F2
,
137
Φ2eff = F2 E2e + (1 − a2 )Φ1eff
.
(12.23)
A 2.1. pont lépéseit megismételve kapjuk:
Q!12 = F1ε12σ 0 (T14 − T24 ),
ε12 =
12.2.3.
1 1 F1 1 + ( − 1) ε1 F2 ε2
.
(12.24)
ÁLTALÁNOS HELYZETŰ FELÜLETEK KÖZÖTTI HŐÁRAM
A diffúz sugárzókra a LAMBERT törvény szerint egy dF1 felülettől r távolságra lévő, az r sugarú gömb érintősíkjában elhelyezett dF2 felületelemre az (1) által kisugárzott elemi sugárzásos hőáram: dF 2
ϕ
dF dQ! = EndF1 cosϕ 2 , r2
r
(12.25)
dF 1
A dF2 felületelem tetszőleges helyzete esetén az r sugarú gömb érintősíkjába eső vetülete dF2cosϕ2. Így végül az dF1 felület által a dF2-re kisugárzott energiából elnyelődik:
ϕ1
ϕ2
dF 2
dF dF dQ!1→ 2 = En1ε2 cosϕ1 cosϕ2 12 2 , r
(12.26)
E1 = ε 1σ 0 T14 ,
(12.27)
εε dF dF dQ!1→ 2 = σ0 1 2 T14 cosϕ1 cosϕ2 12 2 . π r
(12.28)
r dF 1 figyelembe véve, hogy
E n1 =
E1 π
valam int
ezzel
Hasonlóan a 2→1 felé irányuló sugárzás:
εε dF dF dQ! 2→1 = σ0 1 2 T24 cosϕ1 cosϕ2 12 2 . π r
(12.29)
Mivel mindkét felület elemi, az 1 vagy 2 felületről visszavert sugárzásnak elhanyagolható része éri csak el a másikat, és közöttük a hőáram az (1→2) és a (2→1) különbsége, azaz: 138
dF dF 1 dQ!12 = σ 0ε1ε2 cosϕ1 cosϕ2 1 2 (T14 − T24 ) . π r2
(12.30)
Két véges felület esetén a fenti mennyiséget kell a teljes F1 és F2 felületekre integrálnunk. (Továbbra is feltételezve, hogy a visszavert sugárzás kölcsönösen nem éri el a másik testet, ami általában teljesül, mert úgysem találják el egymást.) A teljes hőáram tehát:
dF dF 1 1 2 ! (T14 − T24 ) . Q12 = F1σ0ε1ε2 cosϕ1 cosϕ2 ∫∫ 2 πF1 F F r 1 2
(12.31)
A […] kifejezés csak a két test elhelyezkedésének (méret, alak, pozíció) függvénye amit térszögaránynak (pontosabban besugárzási tényező) nevezünk:
ϕ12 =
dF dF 1 cosϕ1 cosϕ2 12 2 . ∫∫ πF1 F F r
(12.32)
1 2
Így végül a két általános helyzetben lévő felület közötti hőáram a ϕ12−vel:
Q!12 = ϕ12 F1σ0ε1ε2 (T14 − T24 ) .
(12.33)
A két test közötti hőáram nyilván független a jelöléseinktől, ezért az
F1ϕ12 = F2ϕ 21 . A térszögarány meghatározása a (12.32) képlet alapján adott esetben bonyolult, a kézikönyvekben különböző, gyakrabban előforduló kölcsönös helyzetben lévő felületek esetére vonatkozó értékét megtaláljuk. Ha a felületek között fennáll, hogy F1<
ϕ12 =
F 2' F1
F2′′ 2
R π F2
.
(12.34)
F 2" R
12.7. ábra A térszögarány szerkesztéssel történő meghatározása A szerkesztés lényege, hogy először az F1 felület fölé egy tetszőleges sugarú félgömböt emelünk. Az F2 felületet a félgömb középpontjából centrálisan a félgömb palástra vetítve kapjuk az F2'-t, majd egy merőleges vetítés eredménye az F2".
139
12.3. Sugárzás és konvekció A hőterjedés három alapvető formája többnyire nem elkülönülten, hanem együttesen zajlik, így a hőátviteli folyamatok általában elég bonyolultak. A hővezetés és a hőszállítás (konvekció) különválasztására nincs szükség, a 10. Fejezetben láttuk, hogy a hasonlóság elméletének alkalmazásával a két forma hatására fellépő együttes folyamat leírható. A hősugárzásnak és szilárd test hővezetésének együttes fellépése a mérnöki gyakorlatban nem jelentős, ennek tárgyalására nem térünk ki. A hősugárzás és konvekció együttesen lép fel a sugárzó gázokban valamint a szilárd és a folyadék felületről gázokba történő hőátadás során. Ebben az esetben az átadott hőáram a NEWTON-féle hőátadási egyenletből csak akkor számítható, ha a hőátadási tényező meghatározásakor a sugárzást és a konvekciót együttesen figyelembe vesszük, amire két lehetőség van. 1./ Külön-külön határozzuk meg a két hőáramot és összegezzük.
(
)
Q! Σ = Q!α + Q! s = α ⋅ (Tw − T∞ ) ⋅ Aα + σ 0 ⋅ ε ws ⋅ Tw4 − Ts4 ⋅ As .
(12.35)
Mivel elképzelhető, hogy egy adott test esetében a konvekció és a sugárzás a test felszínének különböző méretű részén lép fel ezt az Aα és As jelölésekkel különböztetjük meg. 2./ Ha környezetet kitöltő közeg mérsékelten sugárzás elnyelő, mint amilyen a levegő, akkor a határréteg hőmérsékleteloszlásra gyakorolt hatása elhanyagolható és a sugárzási és konvektív hőátadásitényező külön-külön meghatározható, és így:
Q! Σ = (α s + α ) ⋅ A ⋅ (Tw − T∞ ) .
(12.36)
A (12.36) egyenlet felírásakor azt feltételeztük, hogy az adott testet körülvevő többi test olyan távol van, hogy sugárzásukat a környezeti gáz elnyeli vagy hőmérsékletük megegyezik a gáz hőmérséklettel. A Tw a hőátadó, T∞ pedig a környezeti gáz hőmérséklete, az A pedig a mind a sugárzásban mind a konvekcióban egyaránt résztvevő felületet jelenti. Valamelyik előbbi feltételünk teljesülésekor, amennyiben a besugárzási tényező a környezet felé 1-nek tekinthető és ismert a környezetet elfoglaló gáz a elnyelő képessége, a sugárzásos hőátadási tényezőt így határozhatjuk meg:
a ⋅ Tw4 − ε ⋅ T∞4 α s ⋅ (Tw − T∞ ) = ε w ⋅ σ 0 ⋅ , a + ε ⋅ (1 − a )
(12.37)
ε w ⋅ σ 0 a ⋅ Tw4 − ε ⋅ T∞4 αs = ⋅ . (Tw − T∞ ) a + ε w ⋅ (1 − a )
(12.38)
A gázteret határoló felületeknek a hőátvitelben való részvételekor, magának a gáznak a hősugárzását hanyagolhatjuk el. Amennyiben a szóban forgó egyéb felületek egyenletesen Ts hőmérsékletűek és a kölcsönös emissziós tényező alkalmazásának feltételei teljesülnek: 140
(
)
q! s = α s ⋅ (Tw − Ts ) = ε ws ⋅ σ 0 Tw4 − Ts4 ,
(12.39)
ahol az ε ws a (12.21) szerint számított kölcsönös emissziós tényező a hőátadó felület és a gázteret határoló felületek között. A (12.39) alapján a sugárzás hőátadási tényezője
(
)
α s = ε ws ⋅ σ 0 ⋅ Tw3 + Tw2 Ts + Tw Ts2 + Ts3 .
(12.40)
A teljes hőáram ezzel
QΣ = A[α ⋅ (Tw − T∞ ) + α s ⋅ (Tw − Ts )] = α Σ (Tw − T0 ) A ,
(12.41)
ahol bevezettük a T0 fiktív (vagy operatív) környezeti hőmérsékletet
T0 =
α ⋅ Tα + α s ⋅ Ts . α +αs
(12.42)
Az 1. pont szerinti módszer egyszerűbb, bár a gyakorlatban sokszor előnyös lehet a (12.41) és (12.42) képletek alkalmazása is.
141
142
13.
IRODALMI FORRÁSOK
BIHARI P.-FÜSTÖSS L.-GRÓF GY. Műszaki fizika II. Bp. 1998. Phare Prog.HU 94.05 BENKŐ I.-KISS L.: A hőtani mérések történetének néhány jellemző vonása Bp. Technikatörténeti szemle, 101-107.old IX. 1977. DUNN, P.D.- REAY, D.A.: Hőcsövek, Budapest, 1982. MK. DUFFIE, J.A.- BECKMAN, W.A.: Solar Engineering of New York, 1980, Wiley
Thermal
Processes,
FRAAS, A.P.: Heat Exchanger Design, New York, 1986. Wiley FUKSZ, B.A. - SABAT B.V.: Komplex változós függvények, Budapest, 1953. TK. FEYNMAN, R.P.: Mai fizika, Budapest, 1969. Műszaki Könyvkiadó GRUBER J.-BLAHÓ M.: Folyadékok mechanikája, Budapest, 1973. TK. GRIGULL, U.-SANDNER, H.: Heat Conduction, Berlin, 1984. Springer Verlag HSIEH, S.J.: Principles of Thermodynamics, Washington, 1975. Scripta Book IMRE L.-VARGA P.: Napenergia aktív hőhasznosítása, Bp, 1997. Magyar Napenergia Társaság IMRE L.: Hőátvitel összetett szerkezetekben, Budapest, 1983. Akadémiai K. JÁSZAY T.: Műszaki Hőtan (Hőközlés),BME jegyzet, Budapest, 1983. TK. JÁSZAY T.: Műszaki Hőtan (Termodinamika),BME jegyzet, Budapest, 1983. TK. MCADAMS,W.H.: Heat Transmission, New York, 1954. McGraw-Hill MIHEJEV, M.A.: A hőátadás gyakorlati számításának alapjai, Budapest, 1987.TK. OBERT, E.F.: Concepts of Thermodynamics, New York, 1960. McGraw-Hill ÖZISIK, M.N.: Heat Conduction, New York, 1980. Wiley STREETER, V.L.: Handbook of Fluid Dynamics, New York, 1961. McGraw-Hill VDI-Wärmeatlas, Düsseldorf, 1984. VDI-Verlag
143
